Zadání semestrální práce z předmětu Mechanika 2 Jméno: VITALI DZIAMIDAU Číslo zadání: 7 U zobrazeného mechanismu definujte rozměry, hmotnosti a silové účinky a postupně proveďte: 1. kinematickou analýzu mechanismu. Zvolené závislosti vhodně zobrazte. 2. statickou analýzu mechanismu. Zvolené závislosti vhodně zobrazte. 3. definujte úlohu vlastní dynamiky a vyřešte.
1. Kinematická analýza mechanismu Dokážeme, že máme ve skutečnosti mechanismus: (
)
(
)
Soustava má 1 stupeň volnosti, tzn. že uvedená soustava je mechanismus Daný mechanismus představuje spojení kulisového mechanismu a klikového mechanismu.
x
Pro kinematické řešení si zvolíme následující hodnoty: L1 L2 L=L1+L2 r
150 80 230 50
mm mm mm mm
Kinematické řešení neuvažuje vliv žádných sil a momentů, proto jich neuvádíme. Pro účely dalších výpočtů, zavedeme pomocný úhel ψ, který je závislý na zadaný úhel ϕ.
Cílem kinematického řešení je zjistit závislost výchylky y ná úhlu ϕ, popř. ψ, stanovit rychlosti ̇ , a zrychlení ̈ .. 1.1. Platí: ( ) Odsud dostáváme závislosti ψ(ϕ), ̇ ( )
( )
̈:
( )
√
( ) (
) ( )
̇ √
( ) ̈ [
√[
̇ ( )]
[
( )
( ) √
( )] ]
[
( )]
[
( ) ̇ √
( )]
[
[
]
1.2. Pro výchylku y bude platit:
̇ ̈
̇
̇ ̇
( ) ̈
1.3. Pro výchylku x bude platit: ( ) √
( )
̇
( ) nebo [
( )]
( )
( ) [
√
[
̇ ( )]
]
̈ ( )]
( )
( ) ̈
[
√
( )]
[
]
[ ( )
( ) √
( )]
[
√[
[ ( )
( ) [
√
[
[
( )] ]
̇ ]]
̈ ( )]
]
Provedeme simulaci vypočtených vztahů pro číselné hodnoty a uvedeme je na grafech. Budeme předpokládat, že ̈ ̇ 0,175 rad/s nebo 10°/s čas t [s] 0 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 18 19 20 21 22
uhel ω [°] 0 10 20 30 40 50 60 70 80 90 100 110 120 130 140 150 160 170 180 190 200 210 220
uhel ω [rad] 0,0 0,2 0,3 0,5 0,7 0,9 1,0 1,2 1,4 1,6 1,7 1,9 2,1 2,3 2,4 2,6 2,8 3,0 3,1 3,3 3,5 3,7 3,8
uhel ψ [rad] 0,0 0,1 0,1 0,2 0,2 0,3 0,3 0,3 0,3 0,3 0,3 0,3 0,3 0,3 0,2 0,2 0,1 0,1 0,0 -0,1 -0,1 -0,2 -0,2
uhel ψ [°] 0,0 3,3 6,5 9,6 12,4 14,8 16,8 18,3 19,2 19,5 19,2 18,3 16,8 14,8 12,4 9,6 6,5 3,3 0,0 -3,3 -6,5 -9,6 -12,4
X6 [mm] 0,0 1,0 4,0 8,8 15,2 22,8 31,4 40,4 49,6 58,6 67,0 74,6 81,4 87,1 91,8 95,4 98,0 99,5 100,0 99,5 98,0 95,4 91,8
Y [mm] 0,0 13,3 26,2 38,3 49,3 58,7 66,4 72,0 75,5 76,7 75,5 72,0 66,4 58,7 49,3 38,3 26,2 13,3 0,0 -13,3 -26,2 -38,3 -49,3
VY aY [mm/s] [mm/s^2] 13,4 0,0 13,2 -0,4 12,6 -0,8 11,6 -1,2 10,3 -1,5 8,6 -1,8 6,7 -2,0 4,6 -2,2 2,3 -2,3 0,0 -2,3 -2,3 -2,3 -4,6 -2,2 -6,7 -2,0 -8,6 -1,8 -10,3 -1,5 -11,6 -1,2 -12,6 -0,8 -13,2 -0,4 -13,4 0,0 -13,2 0,4 -12,6 0,8 -11,6 1,2 -10,3 1,5
23 24 25 26 27 28 29 30 31 32 33 34 35 36
230 240 250 260 270 280 290 300 310 320 330 340 350 360
4,0 4,2 4,4 4,5 4,7 4,9 5,1 5,2 5,4 5,6 5,8 5,9 6,1 6,283
-0,3 -0,3 -0,3 -0,3 -0,3 -0,3 -0,3 -0,3 -0,3 -0,2 -0,2 -0,1 -0,1 0,000
-14,8 -16,8 -18,3 -19,2 -19,5 -19,2 -18,3 -16,8 -14,8 -12,4 -9,6 -6,5 -3,3 0,00
87,1 81,4 74,6 67,0 58,6 49,6 40,4 31,4 22,8 15,2 8,8 4,0 1,0 0,0
-58,7 -66,4 -72,0 -75,5 -76,7 -75,5 -72,0 -66,4 -58,7 -49,3 -38,3 -26,2 -13,3 0,0
-8,6 -6,7 -4,6 -2,3 0,0 2,3 4,6 6,7 8,6 10,3 11,6 12,6 13,2 13,4
1,8 2,0 2,2 2,3 2,3 2,3 2,2 2,0 1,8 1,5 1,2 0,8 0,4 0,00
závislost úhlu ψ na ϕ 25 20 15
úhel ψ, °
10
-40
5 0 -5
10
60
110
160
210
260
310
360
-10 -15 -20 -25
úhel ϕ, °
Z grafu je vidět že pro uvedené rozměry L1, L2 a r, úhel ψ nabývá maximálních hodnot 19,47 ° při úhlu ϕ = 90° a minimálních hodnot -19,47 ° při úhlu ϕ = 270°
závislost Y v čase t 100,0 80,0
výchylka Y, mm
60,0 40,0 20,0 0,0 -20,0
0
5
10
15
20
25
30
35
40
-40,0 -60,0 -80,0 -100,0
čas t, s
Maximální výchylka Y je 76,67 mm při úhlu ϕ = 90° v čase t = 9s. Stejná veličina, ale v opačném směru je při ϕ = 270° v čase t = 27s . Maximální rychlost nastane na začátku a na konci děje – 13,4 mm/s a maximální zrychlení – v moment maximálních výchylek a to v čase t = 9 a 27 s.
závislost X6 v čase t 120,0
výchylka X6, mm
100,0 80,0 60,0 40,0 20,0 0,0 0
5
10
15
20
čas t, s
25
30
35
40
závislost rychlosti Vy v čase t 15,0
rychlost Vy, mm/s
10,0 5,0 0,0 0
5
10
15
20
25
30
35
40
30
35
40
-5,0 -10,0 -15,0
čas t, s
závislost zrychlení ay v čase t
zrychlení ay, mm/s^2
3,0 2,0 1,0 0,0 0
5
10
15
20
-1,0 -2,0 -3,0
čas t, s
25
2. Statická analýza mechanismu Cílem statické analýzy je vyšetřit všechny reakce a zjistit moment M2 který je nutno připojit k mechanismu, aby mechanismus byl v rovnováze. K danému mechanismu pro výpočet reakcí v obecných vazbách zakótujeme rozměry a,b,c,d. Označíme také body A,B,C,D,E,G ve kterých budeme vyšetřovat reakci. Statickou analýzu provedeme metodou uvolňování. Budeme uvolňovat kliku 2, ojnici 3, kulisový mechanismus 5 a posuvný člen 6. Pro každý uvolněný člen budeme mít 3 podmínky rovnováhy. Pak dostaneme matici, kterou vyřešíme vůči hledaných reakcí.
β
Pro statické řešení si zvolíme následující hodnoty: L1 L2 L (L1+L2) r F β = 40° a b c d ϕ =30° ψ =19,5°
150 80 230 50 1000 0,70 10 30 50 20 0,52 0,34
mm mm mm mm N rad mm mm mm mm rad rad
2.1. Uvolnění kliky 2.
Výpočet reakcí:
2.2. Uvolnění ojnice 3
¨ Výpočet reakcí:
2.3. Uvolnění kulisového mechanismu 5:
Výpočet reakcí:
(
)
2.4. Uvolnění posuvného tělesa 6:
(
)
Sestavíme a řešíme soustavu lineárních rovnic, kterou můžeme zapsát do maticového tvaru. MATICE A RAX
RAY
RBX
RBY
RCX
RCY
N
NE
NG
M
VEKTOR Y
1
0
-1
0
0
0
0
0
0
0
0
0
-1
0
1
0
0
0
0
0
0
0
0
0
25
-43,3
0
0
0
0
0
1
0
0
0
1
0
-1
0
0
0
0
0
0
0
0
0
-1
0
-1
1
0
0
0
0
0
0
-50
-141
0
0
217
0
0
0
0
0
0
0
0
0
0
1
0
0
0
643
0
0
0
0
0
0
0
-1
-1
0
766
0
0
0
0
0
0
-30
-20
0
0
35837
0
0
0
0
0
0
0 0 0 0 1 Řešení matice najdeme podle pravidla:
X = A-1*Y Vektor-sloupec řešení je: VEKTOR X RAX
0 N
RAY
986 N
RBX
0 N
RBY
986 N
RCX
0 N
RCY
-343 N
N
643 N
NE
-2756 N
NG
1990 N
M
426,78 Nm
Reakce RCY a NE vychází záporné, to znamená že mají opačný směr. Provedeme výpočty momentů pro různé počatečné úhly ϕ a ψ: uhel ϕ [°]
uhel ϕ [rad]
uhel ψ [°]
uhel ψ [rad]
M, Nm
0,0
0,00
0,000
0,00
492,8
15,0
0,26
4,949
0,09
476,2
30,0
0,52
9,594
0,17
427,7
45,0
0,79
13,633
0,24
346,9
60,0
1,05
16,779
0,29
245,2
75,0
1,31
18,782
0,33
127,1
90,0
1,57
19,471
0,34
0,4
105,0
1,83
18,782
0,33
-
126,3
120,0
2,09
16,779
0,29
-
244,5
135,0
2,36
13,633
0,24
-
349,8
150,0
2,62
9,594
0,17
-
427,3
165,0
2,88
4,949
0,09
-
476,0
180,0
3,14
0,000
0,00
-
492,8
195,0
3,40
-4,949
-0,09
-
476,4
210,0
3,67
-9,594
-0,17
-
425,6
225,0
3,93
-13,633
-0,24
-
347,4
240,0
4,19
-16,779
-0,29
-
245,9
255,0
4,45
-18,782
-0,33
-
127,8
270,0
4,71
-19,471
-0,34
-
1,2
285,0
4,97
-18,782
-0,33
125,6
300,0
5,24
-16,779
-0,29
248,1
315,0
5,50
-13,633
-0,24
349,2
330,0
5,76
-9,594
-0,17
426,9
345,0
6,02
-4,949
-0,09
475,8
360,0
6,28
0,000
0,00
492,3
závislost M na úhlu ϕ 600,0
400,0
200,0
0,0
50,0
100,0
150,0
200,0
250,0
300,0
350,0
400,0
-200,0
-400,0
-600,0
Z grafu je patrné, že maximální moment pro uvedení soustavý do rovnováhy je 492Nm při úhleh 0 a 180 stupňu. Minimální momenty jsou při svislých pozicích kliky, tzn. při úhlech 90 a 270 stupních.
3. Úloha vlastní dynamiky Úloha vlastní dynamiky spočívá v tom, že budeme mít všechny akční silové účinky působící na jednotlivé členy soustavy, vyšetřuje se pohyb hnacího členu (klika 2). Zavedeme setrvační účinky. Předpokládejme ideální rozložení hmotnosti a umístění těžiště do vzdálenosti r/2, v bode S2. Pro výpočet zrychlení α použijeme momentovou podmínku rovnováhy k bodu A
Výpočet reakcí: ( )
( )
( )
( )
( )
( )
Po úpravě dostaneme vztahy: ( ) ̈ ̇
( ) ̈ ( )
̇ ( )
( ) (1)
̈
( ) (2) (3)
Podobným způsobem uvolníme ojnici 3
m𝒙̈
𝒙 𝒙̈
Výpočet reakcí: ( )
( ) ( )
( ) Po úpravě dostaneme vztahy:
( )
̈ ( )
( )
( )
̈
( )
( ) √
[
[
( )
( ) ( )]
√
[
[
̈
( )]
]]
( )
( ) √[
[
[
( )
( )
( )
[
( )] ]
√
[
( )]
]
( )
[
√
[
√[
( )]
[
̇
( )] ]
( )
( )
( )[ (√
( )
√
[
( )[
( ) √
( )
[
(
( ))
] ̇ (5)
( )
( )[
√
[
( )]
] ̈
( )]
( ) √
[
]
( )]
[
[
( )
( ) [
̈
( ))
(
( ) ))
( )
( )
( )]
]
]]
( )
(
( )
]
[
( )]
(4)
( ) √
√
[
]
( )
( )
√
[
[
( )
̇
( )
( )
√[
[
( )
( )] ]
]] (6)
[
√[
[
( ) ( )] ]
( ) √
[
̇ ( )]
] ]
Pro posuvný člen 6 platí:
̈
Po úpravě dostaneme vztahy:
( )[
( ) √
[
( )
( )[
] ̈
√
( )]
[
[ ( )
( ) √
[
[
( )]
√[
[
( )] ]
(8) (9)
̇ ]]
(7)
( )]
]
ma
m5g
Výpočet reakcí:
̈ (
)
(
)
Po úpravě dostaneme vztahy: (10) ( ) ̈ (
)
( ) ̇ (
)
(11)
(12)
Dále shrnutím vztahů 1-12 lze sestavit a řešit soustavu lineárních rovnic, kterou můžeme zapsát do maticového tvaru.
MATICE A
RAX
RAY
RBX
1
RBY
RCX
RCY
̈
N
N1
NE
NG
VEKTOR Y
( )
-1 -1
̇
( )
1 ( )
N2
( )
̇
( )
( ) ( ) [
√
( )]
[
( ) ̇ ]
( )
( ) [
[
√[
√
[
1
( )]
[
( )
( ) -1
√
(
]
]
√
[
( )]
√[
̇
( )] ]
[
]] ]
( ) ̇ ] ( )
( ) ( ))
( )]
[
[
[
1
( )]
( ) √
( )
1
[
( )
( )
( ) -1
]
( )]
[
( )]
[
[
( )
√
√
( ) [
√
( )
( )] ]
[
( )
( )
( )
[
(√
(
( ) ( ) ))
( ) √
(
̇ ( ))
]
( )
( )
( ) √
[
[
√
( )]
[
[
(√
(
-
( )
( )
√
√
√[
[
( )
( )] ]
[
]]
( ) ))
̇ ( ))
( )]
[
( )
( ) (
( )
( )
]
( )
( )
( )
( ) ̇
]
[
[ ( )
( )]
[
√[
[
]
( )
( ) √
( )] ]
[
̇ ( )]
[
] ]
( )
( ) [
√
( )]
[
]
[
( )
( ) [
1
√
[
1
( )
( ) √ ( )]
[
( )]
√[
[
] -1
-1
-
-1
1
-1
( )
( ) ̇ (ab)
(d-c) ( )
( ) ̇
[
( )] ]
̇ ]]
Výsledné závislosti jsou uvedené na grafech.
Vpřípadě když ale budeme mít větší moment, mechanismus začne rozkmitávat Výsledné závislosti při větším momentu jsou uvedené na grafech.
