Stavební mechanika 2 (K132SM02)

Stavební mechanika 2 (K132SM02) Přednáší: doc. Ing. Matěj Lepš, Ph.D. Katedra mechaniky K132 místnost D2034 e-mail: [email protected] konzultační hodiny budou upřesněny později

Podklady https://mech.fsv.cvut.cz/student/

Organizace předmětu SM02

Získat ze zápočtového testu alespoň 10 bodů ze 20 možných Alespoň 6 z 9 povinných příkladů (domácích úkolů) správně vyřešit do termínu stanoveného individuálně pro každý domácí úkol. Současně v písemné formě v kvalitní grafické úpravě vypracovaný úkol odevzdat na následujícím cvičení cvičícímu. Správně vyřešit 9 povinných příkladů (domácích úloh) do stanoveného termínu (neděle 15.1.2017 24:00). Splnění doplňujících požadavků cvičícího.

Organizace předmětu SM02

Grafická úprava •

Řešení zadaných příkladů vypracovat na papírech formátu A4.

•

Obrázky, text a výpočty psát obyčejnou tužkou (v případě chyby se totiž může gumovat) pouze na jednu stranu papíru.

•

Každou stránku očíslujte!

•

Každý domácí úkol opatřit na titulní straně tabulkou, která bude narýsována nebo vytištěna na počítači a ve které se uvede příjmení, jméno, paralelka, studijní skupina (do které student chodí na cvičení), pořadové číslo domácího úkolu.

•

Na začátku řešení se uvede zadání domácí úlohy (stačí výtisk zadání úlohy z internetu, ve kterém budou doplněny konkrétní číselné hodnoty pro studentovo osobní zadání).

Organizace předmětu SM02

Termín řádného zápočtového testu je pondělí 5.12.2016, 14:00, C215 Řádný termín pro udělení zápočtu je poslední den zápočtového týdne pátek 6.1.2016. Poslední možný termín pro zapsání zápočtu je pátek 27.1.2016. Pravděpodobný termín opravného zápočtového testu je pondělí 2.1.2017 (páteční výuka!). Přihlášení na zkoušku podmíněno zápisem zápočtu v KOS.

Nezbytné znalosti ze SM01 •

Statická určitost/neurčitost

Nezbytné znalosti ze SM01 •

Výpočet reakcí

Literatura

Statický software •

Výpočet vnitřních sil – Komerční • SCIA, IDA Nexis, Feat, Fine, … • Existují studentské verze • https://www.ideastatica.com/

– Volně dostupné • Komplexní, např. EduBeam – http://www.oofem.org/wiki/doku.php?id=edubeam:edubeam • Dílčí http://www.zbynekvlk.cz/vyuka/rocnik1/index_1r.html#

•

Výpočet průřezových charakteristik – Komerční – Volně dostupné • Např. http://www.zbynekvlk.cz/vyuka/rocnik1/index_1r.html#

1.VNITŘNÍ SÍLY PRUTU 1.1 Úvod * Jak konstrukce přenáší zatížení do vazeb/podpor? Jak jsou prvky konstrukce namáhány? * Modelování (zjednodušení a popis) tvaru konstrukce.

pruty

Prut: konstrukční prvek, jehož jeden rozměr (délka) převládá nad ostatními.

h

l

l >> h l >> b

b

Průřez: příčný řez prutu Střednice: čára tvořená těžišti průřezů prutu

 Pruty budeme modelovat jejich střednicí.

Prostorový prut - střednice je prostorová křivka nebo lomená čára

Rovinný prut - střednice je rovinná křivka nebo lomená čára

Prizmatický prut - přímý prut konstantního průřezu osa Obecný prut - zakřivený, proměnného průřezu

Nosník = podepřený prut

Př:

Prostý nosník

Prostý nosník s převislými konci

Konzolový nosník, konzola, krakorec

Nosníky

• přímé

• lomené

• prutové soustavy

• obloukové

1.2 Vnitřní síly prutu

Abychom mohli popsat, jak prut přenáší zatížení po celé své délce, t.j. jak jsou namáhány jednotlivé průřezy prutu, zavádíme veličiny ... vnitřní síly prutu.

Vnitřní síly prutu

L P rozdělíme fiktivním řezem na 2 části L a P

Prut v rovnováze (reakce a zatížení ... rovnovážná soustava sil)

Aby každá část byla v rovnováze, musí v řezu působit síly a momenty: FP, MP ... účinek části P na L, uvádí část L do rovnováhy FL, ML ... účinek části L na P, uvádí část P do rovnováhy L

L

P P

Akce a reakce: P

L

P

=-

P

=-

L L

P

Vy My y

Vz

N

Mz

P

z

Vntiřní síly prutu

x T=Mx

Ve zkoumaném řezu zavedeme lokální souřadnicový systém x-y-z; osa x tečna ke střednici, y, z normály

Vektory P a P rozložíme do složek: FPx = N ... normálová síla [N] FPy = Vy ... posouvající síla [N] FPz = Vz ... posouvající síla [N] MPx = T = Mx ... kroutící moment [Nm] MPy = My ... ohybový moment [Nm] MPz = Mz ... ohybový moment [Nm]

Kladná orientace vnitřních sil

Záporně orientovaný průřez (vidíme ze směru záporné poloosy x) P P

P

Vz

N

T

x

T

N

z Kladně orientovaný průřez (vidíme ze směru kladné poloosy x)  kladné vnitřní síly orientované shodně se souřadnicovými osami

=-

L

P

Vz

My Vy

Mz

P

L

Mz

Vy My y

=-

L

y

x

z  kladné vnitřní síly orientované opačně než souřadnicové osy

Rovinný prut zatížený v rovině xg Pokud: 1) střednice - rovinná křivka 2) vnější síly (zatížení a reakce) - rovnovážná soustava v rovině střednice

zg

 zjednodušení vnitřních sil:

 y

V z

N

Vy = 0 T = Mz = 0

x

 z podmínek rovnováhy oddělené části

Vnitřní síly: N ... normálová síla [N] Vz = V ... posouvající síla [N] My = M ... ohybový moment [Nm]

Vnitřní síly prutu - roštové konstrukce: Obecně platí Nenulové jsou pouze tři vnitřní síly Vz ≠ 0 ; T ≠ 0 ; M y ≠ 0 ; Zbývající tři jsou vždy nulové N = 0 ; Vy = 0 ; Mz = 0 ;

My y

T Vz z

x

Kladná orientace vnitřních sil xg V

M zg

x N

z

V

Kladně orientovaný průřez (vidíme ze směru kladné poloosy x)

x

N M z

Záporně orientovaný průřez (vidíme ze směru záporné poloosy x)

Příklad 1: Určete vnitřní síly v průřezu A rovinného nosníku.

(kN, m)

(kN, m)

(kN, m)

Příklad 2: Určete vnitřní síly v průřezu A prostorového nosníku.

(kN, m)

(kN, m)

(kN, m)

(kN, m)

1.3 Sřednicový model rovinného prutu Pruty budeme modelovat jejich střednicí.

Zatížení prutu/nosníku Pruty modelujeme jejich střednicí 

veškeré síly působící na konstrukci (zatížení i reakce) redukujeme ke střednici

F

Příklady:

Av Ah

h 2 Av

Ah

h/2 h/2 B

Fz h F x Fx 2 Ah

B

osamělé síly/reakce redukujeme k těžišti průřezu, ve kterém působí

fz

x z fx

fx

x

d z

m = fx d

spojité momentové zatížení [Nm/m]

fz = f sin

f

fx = f cos

 x

d z

fx = f cos fz = f sin

m = f cos d

F

Fx

Fz d1

d1 zatížení působící v této oblasti redukujeme ke styčníku

d2

d2

Fz

Fx

M2 = Fzd2 M1 = Fxd1

f

zatížení působící v této oblasti redukujeme ke styčníku

d2

F = fd2

d2

F = fd2 Ms =F∙

Orientace lokálního souřadnicového systému (rovinná kce.) • osa x ... vždy tečná ke střednici prutu • osa z ... preferujeme ve směru zemské tíže (shora dolu) nebo zleva doprava x x • x-z pravotočivá soustava souřadnic z x z x x x z z z x x x z z z

z

někdy též z x

* "spodní" vlákna (stranu) prutů označujeme čárkovanou čarou

Poznámka: Vztah volby spodních vláken a znaménka ohybových momentů (viz další přednáška) F

F

F

F

L

+





+

1.4 Výpočet vnitřních sil v daném průřezu prutu (rovinná složená sousava)

Určete vnitřní síly v průřezu A.

F A

f1

1) Prut vyjmeme ze soustavy a určíme všechny vnější síly na něj působící (zatížení a reakce)

F A f2

FR1

Ah Av Bh Bv

2) Prut rozdělíme řezem A na části L a P a do řezu zavedeme neznámé vnitřní síly.

V

FR1 F A

F

Ah

Ah

Av

Av

L

M

N

M N

P

V Bh

Bh Bv

FR1

Bv

3) Pro výpočet vnitřních sil můžeme uvážit rovnováhu nebo ekvivalenci vnějších a vnitřních sil.

3a) Rovnováha: Vnitřní síly interpretujeme jako síly uvádějící do rovnováhy oddělenou část prutu. Vnitřní síly v řezu určíme z podmínek rovnováhy všech sil působících na oddělenou část prutu L nebo P: V FR1 FR1 F A M F M N N P Ah Ah L V Av Av Bv

Bh

L: Ah, Av, F, N, V, M ... musí být v rovnováze

Bv

Bh

P: Bh, Bv, FR1, N, V, M ... musí být v rovnováze * Ať použijeme část L nebo P, vnitř. síly N, V, M musí vyjít stejně (akce a reakce)  kontrola výsledku !

3b) Ekvivalence: Vnitřní síly interpretujeme jako síly vyjadřující účinek jedné oddělené části prutu na druhou. Vnitřní síly v řezu určíme z podmínek ekvivalence všech sil působících na opačné straně průřezu: V FR1 M N F F M Ah

N AhL L Av Av

P

L

P

V

Bh Ah, Av, F jsou ekvivalentní N, V, M působícím na P

Bv

Bh, Bv, FR1 jsou ekvivalentní N, V, M působícím na L

* Ať použijeme část L nebo P, vnitř. síly N, V, M musí vyjít stejně (akce a reakce)  kontrola výsledku !

Příklad: Vypočítejte vnitřní síly v řezech A, B, C dané konstrukce. F2 = 2 kN

f = 1,5 kN/m B A

3

C

3

F1 = 8 kN

Reakce: 2

2

4

2

(m)

3

6

8

4 4

6

3 4

8 5

4 (kN)

9

Průřez A: Výpočet z rovnováhy oddělené části prutu "zleva" NA MA 8

3

A

 N A  5  0  N A  5 kN

3

VA  VA  4  8  8  0  VA  4 kN

4

8 5

(m, kN)

 M A  4  6  8  6  8  3  0  M A  0 kNm

Průřez A: Výpočet z rovnováhy oddělené části prutu "zprava" 2

1,54

4

VA A MA NA

2

3 2

 N A  6  3  2  0  N A  5 kN  VA  4  0  VA  4 kN   M A  4  3  6  2  0  M A  0 kNm

(m, kN)

Průřez A: Výpočet z ekvivalence vnitřních sil a sil působících na opačné straně průřezu (zleva) VA A NA

 N A  5 kN

MA

 VA  4  8  8  4 kN 3

8

3

 M A  4  6  8  6  8  3  0 kNm 4

8 5

(m, kN)

Pozn.: oproti výpočtu z rovnováhy není třeba hledané vnitř síly převádět na druhou stranu rovnice ... rychlejší výpočet

Průřez B: Výpočet z rovnováhy oddělené části prutu "zleva"

B 8

MB

 NB  4  8  8  0  NB  4 kN  VB  5  2  0  VB  3 kN

3

VB

NB 3

2

4

8 5

(m, kN)

 M B  4  6  8  6  8  3  2  0  0  M B  0 kNm

Průřez B: Rovnováha ve styčníku 2

VA A

B

VB MB

NB

MA NA

 NB VA  0  NB  VA  4 kN  VB  N A  2  0  VB  N A  2  3 kN  M B  M A  0  M B  M A  0 kNm

(m, kN)

Průřez C: 1,52

C 8

MC

3

VC

NC 3

2

4

8 5

2

(m, kN)

 NC  4  8  8  0  NC  4 kN  VC  5  2  3  0  VC  0 kN  MC  4  6  8  6  8  3  2  2  5  2  3 1  0  MC  3 kNm

Průřez C: (alternativní výpočet): 1,52

VB NB

C

MC

NC

VC

MB 2

(m, kN)

 NC  NB  0  NC  NB  4 kN  VC VB  3  0  VC  VB  3  0 kN  MC  M B VB  2  3 1  0  MC  3 kN

2.5 Vnitřní síly v průřezu vs. vnitřní síly v bodě střednice V bodech, kde se • mění tvar střednice (a) • stýká více prutů (e) • působí osamělá síla či moment (b, c) • je umístěna vazba (d) mohou mít vnitřní síly nespojitost. V takovýchto bodech je třeba vypočítat vnitřní síly ve všech přilehlých průřezech. a

d

b c

e

Viz předchozí příklad: Určete vnitřní síly v bodě a.

V bodě a zleva  průřez A

V bodě a zprava  průřez B

NA 2

6

4

a 8

MA A

4 5

(m, kN)

B

VA 8

8

3

8

2

8

4

8

MB

NB

VB 4

5 N A  5 kN

5 NB  4 kN

VA  4 kN

VB  3 kN

M A  0 kNm

M B  0 kNm

Př.: Spočtěte vnitřní síly v podporách, koncích nosníku a pod silami 10 kN

2m

10 kN

10 kN

2m

5 kN

1m

5 kN

2m 20 kN

20 kN

1m

10 kN

10 kN

1m

1m

10 kN

1m 10 kN

10 kN

1m

10 kN

10 kN 1m

1m 10 kN

Tento dokument je určen výhradně jako doplněk k přednáškám z předmětu Stavební mechanika 2 pro studenty Stavební fakulty ČVUT v Praze. Dokument je průběžně doplňován, opravován a aktualizován a i přes veškerou snahu autora může obsahovat nepřesnosti a chyby. Při přípravě této přednášky byla použita řada materiálů laskavě poskytnutých doc. Vítem Šmilauerem, Ph.D., prof. Ing. Michalem Polákem, CSc. a prof. Ing. Petrem Kabelem, Ph.D., ze Stavební fakulty ČVUT. Ostatní zdroje jsou ocitovány v místě použití.

Prosba. V případě, že v textu objevíte nějakou chybu nebo budete mít námět na jeho vylepšení, ozvěte se prosím na [email protected].

Datum poslední revize: 3.10.2016 © Matěj Lepš 2016