Stavební mechanika 3 9. přednáška, 2. května 2016
Stavební mechanika 3
9. přednáška, 2. května 2016
1) 2) 3) 4) 5)
Silová metoda opakování – použití principu virtuálních sil vliv smykové deformace motivační příklad zobecnění a formalizace silové metody ukázka použití – další příklad
Využití principu virtuálních prací L
L
M ( x) ( x)dx f ( x)w( x)dx F w M i
0
0
i
i
j
j
Princip virtuálních přemístění (PVp): - kontrola rovnováhy - výpočet zvolené reakce - výpočet zvolené vnitřní síly L
L
M ( x) ( x)dx f ( x)w( x)dx F w M i
0
0
i
i
j
j
Princip virtuálních sil (PVs): - kontrola kompatibility (spojitosti) - výpočet zvoleného posunu či pootočení
j
j
Výpočet průhybu nosníku pomocí PVs Shrnutí postupu: 1)
pro skutečný stav vypočteme ohybové momenty
2)
skutečné křivosti odvodíme ze skutečných momentů jejich vydělením ohybovou tuhostí
3)
ve virtuálním stavu zatížíme tentýž nosník jednotkovou silou v tom bodě, jehož průhyb hledáme
4)
je-li nosník n-krát staticky neurčitý, můžeme před výpočtem virtuálních ohybových momentů odebrat n vazeb
5)
z podmínek rovnováhy na staticky určitém nosníku vypočteme virtuální ohybové momenty
6)
integrací součinu virtuálních ohybových momentů a skutečných křivostí získáme přímo hodnotu hledaného průhybu
Výpočet přemístění pomocí PVs Zobecnění předchozího postupu: • • •
• • •
při výpočtu pootočení se ve virtuálním stavu na nosník nechá působit jednotkový moment místo jednotkové síly je možné vzít v úvahu i vliv smykových deformací, tj. do výrazu pro virtuální práci vnitřních sil zahrnout i příspěvek posouvajících sil při výpočtu podélného posunu se virtuální práce vnitřních sil počítá jako práce normálových sil na relativním protažení střednice pro rovinnou prutovou konstrukci je virtuální práce vnitřních sil součtem práce ohybových momentů a normálových sil, případně i posouvajících sil teplotní změny se berou v úvahu při výpočtu skutečných deformací ze skutečných vnitřních sil předepsaná přemístění podpor se berou v úvahu při výpočtu virtuální práce vnějších sil
Vliv smykové deformace GAs ... smyková tuhost průřezu
As
... efektivní smyková plocha (závislá na tvaru průřezu, vždy menší než skutečná plocha A )
Vliv smykové deformace GAs ... smyková tuhost průřezu
As
... efektivní smyková plocha (závislá na tvaru průřezu, vždy menší než skutečná plocha A ) As
I y2 S y2
b A
2
dA
Vliv smykové deformace GAs ... smyková tuhost průřezu
As
... efektivní smyková plocha (závislá na tvaru průřezu, vždy menší než skutečná plocha A ) As
I y2 S y2
b
2
dA
A
např. pro obdélník ... As 56 bh
PVs - shrnutí hlavních vzorců Obecný výraz pro doplňkovou virtuální práci vnitřních sil (tah-tlak, ohyb a smyk v rovině xz): L
L
L
0
0
0
Wint* M ( x) ( x)dx N ( x) s ( x)dx V ( x) s ( x)dx
Obecné vztahy mezi vnitřními silami a přetvořením segmentu prutu: M Td Th T EI h křivost
N s T Ts EA relativní protažení střednice
V s GAs smykové zkosení
Silová metoda – princip Základními neznámými jsou staticky neurčité veličiny, jejich počet odpovídá stupni statické neurčitosti, konkrétní volba těchto neznámých není jednoznačná. Základními rovnicemi, ze kterých se staticky neurčité veličiny vypočtou, jsou podmínky kompatibility, které se sestaví s využitím principu virtuálních sil. Metoda vede na soustavu lineárních algebraických rovnic, jejíž matice je vždy symetrická a nazývá se matice poddajnosti konstrukce.
Silová metoda – shrnutí postupu 1)
Určíme stupeň statické neurčitosti
2)
Uvolněním s vazeb vytvoříme základní staticky určitou soustavu a zavedeme příslušné staticky neurčité veličiny X 1, X 2 , ... X s
3)
Na základní soustavě určíme vnitřní síly M f , N f , V f od zatížení
4)
Na základní soustavě určíme vnitřní síly M i , Ni , Vi od jednotkových statických neurčitých veličin X i 1
s
i 1,2, ... s
Silová metoda – shrnutí postupu 5)
Vypočteme
někdy lze zanedbat
M i ( x) M f ( x) Ni ( x) N f ( x) Vi ( x)V f ( x) if dx , i 1,2, ... s EI EA GAs p 0 Lp
M i ( x) M j ( x) Ni ( x) N j ( x) Vi ( x)V j ( x) ij dx , i 1,2, ... s, EI EA GAs p 0 j 1,2, ... s Lp
vliv ohybu
vliv protažení střednice
vliv smyku
Silová metoda – shrnutí postupu 6)
Řešením soustavy lineárních rovnic 11X 1 12 X 2 ... 1s X s 1 f
21X 1 22 X 2 ... 2 s X s 2 f ....
s1 X 1 s 2 X 2 ... ss X s sf vypočteme staticky neurčité veličiny X 1, X 2 , ... X s 7)
Výsledné vnitřní síly na staticky neurčité konstrukci určíme jako kombinace M M X M X M ... X M f 1 1 2 2 s s N N f X 1 N1 X 2 N 2 ... X s N s V V f X 1V1 X 2V2 ... X sVs
Silová metoda - pomůcka M i ( x) M f ( x) Ni ( x) N f ( x) Vi ( x)V f ( x) if dx EI EA GAs p 0 Lp
M i ( x) M j ( x) N i ( x) N j ( x) Vi ( x)V j ( x) ij dx EI EA GAs p 0 Lp
11X 1 12 X 2 ... 1s X s 1 f 21X 1 22 X 2 ... 2 s X s 2 f ....
s1 X 1 s 2 X 2 ... ss X s sf
M M f X 1M 1 X 2 M 2 ... X s M s N N f X 1 N1 X 2 N 2 ... X s N s V V f X 1V1 X 2V2 ... X sVs
Silová metoda - příklad f
L1
L2
Silová metoda - příklad f
L1
f
L2
f
Silová metoda - příklad f
L1
f
f
f
f
L2
X1
Silová metoda - příklad f
L1 f
L2 f
X1
f
f
X1
Silová metoda - příklad f
L1 f
L2 f
f
f
X1
X1 M f x
Silová metoda - příklad f
L1 f
L2 f
f
f
X1
X1 M f x
X 1 M1 x
Silová metoda - příklad f
L1 f
L2 f
f
f
X1
X1 M f x
M x M f x X 1 M1 x
X 1 M1 x
Silová metoda - příklad f
L1
L2
f 16 kN/m L1 4 m L2 2 m
b 0,2 m h 0,5 m E 24 GPa 0,2
Silová metoda - příklad f
L1
f 16 kN/m L1 4 m
L2
L2 2 m
EI 50 MNm 2
b 0,2 m h 0,5 m E 24 GPa 0,2
GAs 833 MN
f f 4 4 2 2 1 f L2 L1 L L 2 1 9, 6 0,115 * 8 EI 2GA 1 1 3 3 11 L2 L1 L2 L1 0, 48 0, 0072 * 3EI GA 1 f 9, 6 0,115 X1 19,94 kN 11 0, 48 0, 0072
mm mm/kN
Silová metoda - příklad f
L1
f 16 kN/m L1 4 m
L2
L2 2 m
EI 50 MNm 2 GAs 833 MN
1 f
b 0,2 m h 0,5 m E 24 GPa 0,2
f f L42 L14 L22 L12 9, 6 0,115 8 EI 2GAs
1 1 3 3 11 L2 L1 L2 L1 0, 48 0, 0072 3EI GAs
1 f 9, 6 0,115 X1 19,94 11 0, 48 0, 0072
kN
mm mm/kN
Silová metoda - příklad f
L1
f 16 kN/m L1 4 m
L2
L2 2 m
EI 50 MNm 2 GAs 833 MN
1 f
b 0,2 m h 0,5 m E 24 GPa 0,2
f f L42 L14 L22 L12 9, 6 0,115 8 EI 2GAs
1 1 3 3 11 L2 L1 L2 L1 0, 48 0, 0072 3EI GAs
1 f 9, 6 0,115 X1 19,94 11 0, 48 0, 0072
kN
mm mm/kN
9,6 X1 20 0,48
kN
