Z¶rzavaros bevezetés a sztochasztikus analízisbe közgazdászok számára 1
Medvegyev Péter
2010. február 23.
1
A jelenlegi anyag viszonylag hosszú id® alatt született. Vagy tíz éve egy pár oldalas el®adásjegyzetként látta meg a napvilágot, majd évr®l évre b®vült. Ezt a verziót többé-kevésbé véglegesnek gondolom.
Tartalomjegyzék
1. Sztochasztikus folyamatok 1.1.
1.2.
1.3.
5
Wiener-folyamatok . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . A Wiener-folyamatok nem korlátosak
. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
6
1.1.2.
A Wiener-folyamatok trajektóriáinak megfordítása . . . . . . . . . . . . . .
9
1.1.3.
A Wiener-folyamatok nem deriválhatóak . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
10
Poisson- és Lévy-folyamatok . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
12
1.2.1.
Poisson-folyamat . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
12
1.2.2.
Lévy-folyamatok . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
14
1.2.3.
Bolyongások, kompenzált Lévy-folyamatok
1.2.4.
Markov-láncok
. . . . . . . . . . . . . . . . . .
15
. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
16
A tökéletes véletlen: martingálok . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
17
1.3.1.
Filtráció és martingálok
19
1.3.2.
Exponenciális martingálok . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
21
1.3.3.
Függetlenség, korrelálatlanság, martingálok . . . . . . . . . . . . . . . . . .
22
1.3.4.
Lokális martingálok
23
. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
2. Sztochasztikus integrálás 2.1.
2.2.
27
Korlátos változású folyamatok szerinti integrálás
. . . . . . . . . . . . . . . . . . .
27
2.1.1.
Riemann-integrál . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
28
2.1.2.
NewtonLeibniz-szabály . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
31
2.1.3.
Stieltjes-integrálás
. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
32
2.1.4.
Korlátos változású függvények . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
36
2.1.5.
Sztochasztikus Stieltjes-integrálás . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
38
Itô-féle sztochasztikus integrál . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
39
2.2.1.
Kvadratikus variáció . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
40
2.2.2.
Martingálok kvadratikus variációja, kompenzátorok
2.2.3.
Martingálok szerinti Itô-integrálás
2.2.4.
Sztochasztikus integrálok kvadratikus variációja
2.2.5.
Asszociativitási szabály
2.2.6.
Lokális martingálok
2.2.7.
Szemimartingálok
. . . . . . . . . . . . .
42
. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
44
. . . . . . . . . . . . . . .
48
. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
49
. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
49
. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
51
3. Itô-formula 3.1.
3.2.
5
1.1.1.
54
Itô-formula mint a NewtonLeibniz-szabály általánosítása
. . . . . . . . . . . . . .
54
. . . . . . . . . . . . . . . . .
54
3.1.1.
Másodrend¶ közelítések, kvadratikus variáció
3.1.2.
Itô-formula alkalmazása várható értékek kiszámolására . . . . . . . . . . . .
57
3.1.3.
Itô-formula id®t®l függ® transzformációs függvény esetén . . . . . . . . . . .
59
3.1.4.
Lineáris sztochasztikus dierenciálegyenletek
60
. . . . . . . . . . . . . . . . .
FeynmanKac-formula . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
62
3.2.1.
Parciális és sztochasztikus dierenciálegyenletek
. . . . . . . . . . . . . . .
62
3.2.2.
A derivatív árazás alapképlete . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
65
3.2.3.
Példák . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
65
1
TARTALOMJEGYZÉK
2
4. Girszanov-formula
70
4.1.
Mértékcsere megadása s¶r¶ségfüggvénnyel . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
70
4.2.
Girszanov-formula Wiener-folyamatok esetén
. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
72
4.3.
Girszanov-formula lokális martingálokra
. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
78
5. Kvadratikus variáció és arbitrázs 5.1.
82
A BlackScholes-formula . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
82
5.1.1.
Az árazási képlet levezetése parciális dierenciálegyenlettel
82
5.1.2.
Az árazási formula levezetése mértékcserével . . . . . . . . . . . . . . . . . .
84
5.1.3.
A nincsen arbitrázs elv . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
89
5.1.4.
. . . . . . . . .
A piac teljessége, az integrálreprezentációs tétel . . . . . . . . . . . . . . . .
89
5.2.
Többdimenziós eszközárazás . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
93
5.3.
Frakcionális Wiener-folyamat
. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
5.3.1.
Itô-lemma frakcionális Wiener-folyamat esetén
. . . . . . . . . . . . . . . .
5.3.2.
BlackScholes-modell frakcionális Wiener-folyamat esetén
. . . . . . . . . .
6. Függelék: A feltételes várható érték
97 99 99
102
6.1.
Valószín¶ségi változók várható értéke . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
6.2.
Regressziós függvény . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
104
6.3.
Feltételes várható érték
111
. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
102
7. Függelék:Hasznossági függvény és martingálmérték viszonya
116
8. Ellen®rz® feladatok
122
TARTALOMJEGYZÉK
3
A sztochasztikus analízis, más néven sztochasztikus kalkulus célja a klasszikus dierenciálszámítás kiterjesztése sztochasztikus folyamatokra. Az elmélet alapgondolatai igen egyszer¶ek, de az egyszer¶ alapötletek technikai megvalósítása nagyon körülményes és nehézkes. A gyelmes olvasó alább több helyen is joggal nehezményezheti a matematikai pontosság teljes hiányát. Integrálokat véges összegekkel helyettesítünk, nem teszünk különbséget a konvergenciafogalmak között, az integrálok mögé bederiválunk, az integrálok sorrendjét minden megfontolás nélkül felcseréljük, általában nem teszünk különbséget lokális martingál és martingál között stb. Ezek súlyos matematikai hibák, és az alább bemutatott állítások jelent®s része a megfogalmazás pontatlansága miatt matematikailag nem is igaz, de a probléma szabad szemmel remélhet®leg azért nem látható.
Ugyanakkor úgy
látjuk, hogy egy bevezet® pénzügyi matematikai kurzus során a precizitás magasabb foka inkább káros, mint hasznos lenne.
Minden heurisztikus megközelítés nagy hibája, hogy amennyiben
az érdekl®d® olvasó mégis meg akarja érteni a pontos gondolatmenetet bajba kerülhet, ugyanis a heurisztikus gondolatmenet durván hibás lehet. Miként ismert minden nehéz problémának van egy világos és egyszer¶, de hibás magyarázata. Határozottan jelezni szeretnénk, hogy az alábbi bizonyítások egyikébe sem szabad túlságosan belegondolni. Az elmélet pontos bemutatása nagyon messze vezetne, és meg vagyunk gy®z®dve arról, hogy már a tényleges utazás el®készítése is meghaladná a rendelkezésre álló id®keretet. A tételek pontos alakja, illetve a bizonyítások megtalálhatóak az [2] és [1], illetve [3] könyvekben. Önkritikusan megjegyzzük, hogy reméljük, hogy a hozzáért® olvasó nem fogja a fejünkre olvasni az alább leírtakat, és elfogadja azt a véleményünket, hogy egy átlagos matematikai felkészültséggel rendelkez® közgazdász hallgató számára a sztochasztikus analízis tárgyalásakor a matematikailag közelít®leg is precíz stílus teljesen lehetetlen. Ugyanakkor azt gondoljuk, hogy az itt leírtak megértése segítheti az érdekl®d® olvasót a pontos matematikai elmélet megértésében és megemésztésében, ugyanis ha heurisztikusan is, de azért a helyes irányba orientálja az olvasót.
Másképpen fogalmazva reméljük azért kárt nem teszünk avval, hogy a
matematika tényeit némiképpen lazán interpretáljuk és idézzük. A pénzügyi matematika kulcs eszköze az Itô-formula. A pénzügyi könyvekben legtöbbször idézett alakjában a formula meglep®en, talán túlzottan is bonyolult, és a legtöbb ember számára legalábbis nagyon nehezen megjegyezhet®. Valójában azonban, a tárgyalás során szándékosan mell®zött nem csekély apró technikai problémáktól eltekintve, a formula igen egyszer¶en igazolható, de ami jóval fontosabb a tartalma könnyen megérthet® és megjegyezhet®. A formula megértésének kulcsa, mint általában a matematikában, a megfelel® néz®pont megválasztása.
Ha hajlandók
vagyunk az absztrakciós létrán egy kicsit feljebb mászni és hajlandók vagyunk a sztochasztikus analízis bizonyos általános kérdéseit megfontolni, akkor az egyébként homályos kép azonnal kitisztul. Vagy legalábbis reméljük, hogy kitisztul. Az Itô-formula számos olvasattal rendelkezik: Az alábbiakban a NewtonLeibniz-szabály általánosításaként tárgyaljuk. Az általánosítás oka, hogy a tiszta véletlen hatására kialakuló folyamatok által befutott pályák, matematikailag igen komplexek. A pénzügyi matematika kiindulópontja, hogy a kiélezett piaci verseny hatására a pénzügyi eszközök áralakulását leíró ábrák helyes matematikai absztrakcióját olyan folyamatok alkotják, amelyek a szokásos zikai szemlélettel ellentétben nem rendelkeznek véges úthosszal, csak a folya-
1
mat úgynevezett kvadratikus variációja, négyzetes megváltozása véges . A négyzetes megváltozás pozitivitása két következménnyel bír: egyrészt a NewtonLeibniz-formulában megjelenik az Itôformulában szerepl® nevezetes másodrend¶ korrekciós tag, másrészt a folyamatokban nincsen arbitrázs.
Az arbitrázs hiánya, mint alapvet® pénzügyi feltétel a piaci folyamatok hatékonyságát
jellemz®, közgazdasági, pénzügyi észrevétel.
A piacon azért nincsen arbitrázs, mert a piac az
információt azonnal és tökéletesen feldolgozza. Ami a hatékony információfeldolgozás után megmarad az tökéletesen véletlen, fehér zaj, amib®l, a tökéletes véletlen de níciója miatt, nem lehet pénzt csinálni. Matematikailag a tökéletes véletlen által indukált mozgás annyira bonyolult, hogy csak a folyamat kvadratikus variációja lesz véges. Másképpen fogalmazva, ha nincs kvadratikus variáció, akkor van arbitrázs, és akkor befektetéselemzés mint önálló tevékenység szükségtelen és értelmetlen. Némiképpen eltúlozva: a befektetéselemz®k azért kapják a zetésüket, hogy a pénzügyi életben kezeljék azokat a komplikációkat, amelyeket a kvadratikus variáció pozitivitása okoz.
1A
kvadratikus variáció, illetve a négyzetes megváltozás azonos fogalmak.
A kvadratikus variáció az angol
terminológia közvetlen átvétele, a négyzetes megváltozás már az 1.0-ás magyarított verzió. V.ö.: fájl, állomány.
TARTALOMJEGYZÉK
4
2
Nincs kvadratikus variáció, nincs állás, és lehet menni a híd alá aludni . kenyéradó gazdája a kvadratikus variáció!
A befektetéselemz®k
Bár alább közvetlenül nem jelenik meg, a háttérben
egy nagyon jól megértett és tisztázott matematikaipénzügyi állítás húzódik meg: az eszközárazás alaptétele. Az eszközárazás alaptétele szerint egyrészt ha valamely piacon nincsen lehet®ség arbitrázsra, akkor az alapul vett folyamat úgynevezett szemimartingál, másrészt a piacon pontosan akkor nincsen arbitrázs, ha alkalmas valószín¶ség, az úgynevezett kockázatsemleges valószín¶ség
3
mellett, az alapfolyamat lokális martingál .
Minden, nem azonosan konstans, lokális martingál
kvadratikus variációja pozitív. A szemimartingálnak nevezett folyamatosztály tagjai de níció szerint két folyamat összegére bonthatóak: az egyik folyamat teljes megváltozása véges, a másik
4
tag pedig lokális martingál, így a négyzetes megváltozása véges .
Az Itô-formula talán legjobb
olvasata, hogy a szemimartingálok osztálya zárt a kétszer folytonosan deriválható függvényekkel való transzformációra nézve.
Az Itô-formula megadja, hogy miként módosul az eredeti szemi-
martingál említett két komponense a formulában szerepl® függvénytranszformáció hatására: Ha valamely lokális martingált beleteszünk egy kétszer folytonosan deriválható függvénybe, akkor a transzformált folyamat felbontását magadó Itô-formulában szerepl® Itô-féle sztochasztikus integrál a transzformáció során kapott szemimartingál lokális martingál része, miközben a formulában szerepl® másodrend¶ korrekciós tag teljes megváltozása véges.
2 Vegyük
észre, hogy bár Budapest sok szép híddal rendelkezik, a hidak alatt legfeljebb egy évfolyamnyi befek-
tetéselemz® férne el. Mivel a legtöbb befektetéselemz®nek van állása ezért az empirikus tapasztalat azt mutatja, hogy a kvadratikus variáció a gyakorlatban is pozitív. Vagy talán mégse? Lehet, hogy a matematika és a pénzügyi gyakorlat kölcsönhatása bonyolultabb? Annyi azonban igaznak t¶nik, hogy a kvadratikus variáció megértése nem rontja az álláshoz jutás esélyeit. Azért ez is valami.
3 Bizonyos
szempontból a sztochasztikus analízis megértésének kulcsa a borzalmas terminológia elfogadása és
tudomásulvétele. Sajnos szinte minden tudományra és áltudományra jellemz® a nagykép¶ terminólógiai használata. Azért legyünk ®szinték: a short call opcióra való hivatkozás legalább annyira pofátlan blabla mint a szemimartingál. Általános szabályként elmondható, hogy egy terület annál kevésbé tudományos minnél zavarosabb és nagykép¶bb a terminológiája. A sztochasztikus analízis azonban ez alól kivétel. A borzalmas terminológia egyik oka, hogy a terület igencsak nem rég, és meglehet®sen váratlanul, került ki a világ vezet® matematikusainak egy sz¶k szektájának keze közül. Az alapító atyák nem igazán számítottak arra, hogy valaha ezekkel a fogalmakkal a sz¶k szektatagokon kívül bárki is foglalkozni fog.
4 Hogy
ez mit jelent az alábbiakból remélem világos lesz.
nem tökéletes.
Sajnos a terminológia történelmileg alakult ki, így
Jobb lenne, ha a teljes megváltozás helyett els®rend¶ megváltozást írhatnánk, vagyis azt mond-
hatnánk, hogy minden szemimartingál két folyamat összegére bontható: az els®nek az els®rend¶, a másodiknak a másodrend¶ megváltozása véges. Vigyázni kell azonban, nem minden folyamat, amelynek a négyzetes megváltozása véges lesz lokális martingál. A szemimartingálok felbontásában a kvadratikus variációval rendelkez® tagnak lokális martingálnak kell lenni.
1. fejezet
Sztochasztikus folyamatok Ebben az els® fejezetben röviden áttekintjük a sztochasztikus folyamatok elméletének néhány alapfogalmát. Bevezetjük a Wiener és Poisson-folyamatokat és a martingálokat. Sztochasztikus folyamaton mindig kétváltozós függvényt értünk. Az egyik változó, amit általában
t
vagy
s
ω
jelöl, az id®; a másik, amit általában
a lehetséges értékeit egy
(Ω, A, P)
jelöl, véletlen, ismeretlen paraméter, amely
valószín¶ségi mez®b®l veszi fel. Bizonyos szempontból nagyon
zavaró, de ugyanakkor igen indokolt konvenció, hogy az
ω argumentumot általában elhagyjuk.
Ha a
képletet a szövegkörnyezetb®l kiragadjuk, nem világos, hogy egyszer¶ skalárról, vagy valószín¶ségi
t = 0 id®pontban kiválasztásra ω véletlen kimenetel értéke, és ami meg gyelhet®, az az ω rögzítése mellett keletkez® t→ 7 ξ (t, ω) úgynevezett trajektória , vagyis a folyamat realizációja az ω kimenetel megvalósulása
változóról van-e szó. A folyamatot úgy célszer¶ elképzelni, hogy a kerül az
1
esetén .
A sztochasztikus analízis nehézségei abból származnak, hogy az érdekes esetekben a
t 7→ ξ (t, ω)
trajektóriák igen széls®séges matematikai tulajdonságokkal rendelkeznek. Általában
durván nem folytonosak, tele vannak szakadásokkal, kisebb nagyobb ugrásokkal. A sztochasztikus folyamatok általános elmélete, vagyis amikor ugrásokat és szakadásokat is megengedünk igen nehéz, így az alábbiakban csak a folytonos sztochasztikus folyamatok elméletével foglalkozunk. Folytonosságon azt értjük, hogy feltételezzük, hogy a trajektóriák folytonos függvények. A folytonosság igen szigorú megkötés, a pénzügyi tapasztalat azt mutatja, hogy a legtöbb meg gyelt sztochasztikus folyamat nem folytonos. Pontosabban a folytonos folyamatok számos, a pénzügyi gyakorlatban meg gyelt jelenséget nem megfelel®en modelleznek. Ennek ellenére a matematikai tárgyalás egysz-
2
er¶sége céljából a folytonosság feltételét alább lényegében mindig meg fogjuk követelni .
1.1.
Wiener-folyamatok 3 folytonos sztochasztikus folyamat a Wiener-folyamat , pontosabban a Wiener-
A leghíresebb
folyamat típusú folyamatok családja.
1.1 De níció. Valamely
{w (t, ω)}t≥0
1 Természetesen
sztochasztikus folyamat Wiener-folyamat, ha teljesíti az alábbi öt feltételt:
a meg gyel® nem tudja, hogy melyik
ω
kimenetel lett kiválasztva. A trajektória meg gyelése
során az id® el®rehaladtával egyre több információhoz jutunk és az becsülni.
Talán a legszerencsésebb példa a következ®:
id®pontban kiválasztjuk.
ω
kimenetelt egyre pontosabban meg tudjuk
Tegyük fel, hogy a
[0, 1]
szakasz egy pontját a
t = 0
Tegyük fel, hogy a kapott számot bináris formában írjuk fel, és hogy az id® múlását
diszkrét id®pontokkal ábrázoljuk. Tegyük fel továbbá, hogy az id® el®rehaladtával minden id®pontban megtudjuk a a
t=0
id®pontban kiválasztott szám egy újabb bináris számjegyét. Természetesen az id® múlásával egyre többet
tudunk meg a számról, de minden id®pontban az új számjegy meglepetés lesz számunkra. Ez a modell ekvivalens avval hogy minden id®pontban egy fej vagy írás játékkal egy újabb számjegyet írunk a korábbi számjegyek mögé.
2 Ett®l
azonban a matematikai tárgyalás nem lesz sokkal egyszer¶bb, ugyanis a folytonos sztochasztikus folyama-
tok általában nem deriválhatóak, és alább némi túlzással nem deriválható függvényekre akarunk dierenciálszámítást csinálni.
3A
folyamat méltán híres. A Wiener-folyamat a matematikusok, és reméljük a pénzügyesek egyik kedvence.
5
1.1. WIENER-FOLYAMATOK
1.
6
w (0) ≡ 0, 4
2. a
w
növekményei függetlenek ,
3. a
w
stacionárius növekmény¶, vagyis a
w (t + h) − w (t)
növekmény eloszlása csak a
h-tól
függ és nem függ a t-t®l, 4. tetsz®leges
0≤s
5
értékekre
√ w (t) − w (s) ∼ = N 0, t − s , w
5. a
folytonos abban az értelemben, hogy minden
ω
kimenetelre a
t 7→ w (t, ω)
trajektória
folytonos. Más szavakkal, a
[0, ∞)
id®intervallumon értelmezett
w
folytonos trajektóriájú, független és sta-
t
cionárius növekmény¶ folyamatot Wiener-folyamatnak mondjuk, ha minden eloszlása
√ N 0, t .
id®pontban a
w (t)
Mivel a Wiener-folyamatok összes véges dimenziós eloszlása normális, ezért a Wiener-folyamatok
6
Gauss-folyamatok . Érdemes hangsúlyozni, hogy a Wiener-folyamatokat de niáló feltételek szorosan összefüggnek, és nem azonos súlyúak. Például a negyedik feltétel szerint a növekmények eloszlása normális.
7
Megmutatható , hogy ez következik a trajektóriák folytonosságából, illetve a növek-
8 9 mények függetlenségéb®l . A szórásra tett feltétel, a normalizáló konstanstól eltekintve, a stacionaritás feltételével azonos. Ugyancsak hangsúlyozni kell, hogy a Wiener-folyamat elnevezés pontatlan. Helyesebb lenne Wiener-típusú folyamatokról beszélni. A Wiener-folyamat fogalma emlékeztet az eloszlás, például a normális eloszlás fogalmára. Számos különböz® valószín¶ségi változó
ξ standard normális eloszlású, akkor az η $ −ξ is standard {ξ = η} esemény valószín¶sége nulla. Hasonlóan, ha w Wienerfolyamat, akkor az u $ −w folyamat is Wiener-folyamat, és annak a valószín¶sége, hogy valamely t id®pontban w (t) = u (t) ismételten nulla. Két folyamat akkor különböz®, ha a folyamatot megadó
létezik amely normális eloszlású. Ha normális eloszlású és triviálisan a
kétváltozós függvények különböz®ek.
Természetesen két függvény triviálisan különböz®, ha az
értelmezési tartományuk különböz®. Számos olyan matematikai konstrukció létezik, amely segítségével Wiener-folyamat készíthet®. A különböz® konstrukciókban a folyamatot hordozó
(Ω, A, P)
terek általában különböz®ek, így természetszerüleg a folyamatok is különböz®ek. A sztochasztikus analízis talán legszebb állításai azok, amelyek valamely bonyolult konstrukció eredményér®l azt állítják, hogy a folyamat Wiener-folyamat, vagy folyamatok széles osztályára megadják azokat a további feltételeket, amelyek garantálják, hogy a folyamatosztály elemei Wiener-típusú folyamatok lesznek.
1.1.1.
A Wiener-folyamatok nem korlátosak
Fontos, hogy viszonylagosan pontos képünk legyen a Wiener-folyamatok legalapvet®bb kvalitatív tulajdonságairól.
4 Vagyis
ha
t1 < t2 < · · · < tn
∆w (tk ) $ w (tk ) − w (tk−1 ) növekmények ξ és az η valószín¶ségi változókat függetlennek mondjuk, ha tetsz®leges A ⊆ R {ω : ξ (ω) ∈ A} és az {ω : η (ω) ∈ B} események függetlenek, vagyis P (ξ ∈ A, η ∈ B) = tetsz®leges id®pont sorozat, akkor a
függetlenek. Megjegyezzük, hogy a
és B ⊆ R esemény esetén az P (ξ ∈ A) P (η ∈ B). A feltétel úgy is fogalmazható, hogy az együttes eloszlásfüggvény a peremeloszlások szorzatára bontható.
5A ∼ = egyenl®ségen 6 Gauss-folyamaton
esetén a
(ξ (tk ))
azt értjük, hogy a két oldal eloszlása azonos. olyan
ξ (t, ω) sztochasztikus folyamatot értünk,
amelyre tetsz®leges
(tk ) véges számú id®pont
véletlen vektor normális eloszlású.
7 Viszonylagosan
nehéz tételr®l van szó. Az irodalomban szokás jelezni, hogy az állítás a centrális határeloszlás-
tételb®l következik. Ez igaz, de az összefüggés nem jön ki a centrális határeloszlás-tétel elemi alakjából.
8 Ez
is mutatja, hogy a trajektóriák folytonosságára tett feltétel igen szigorú. A pénzügyi adatsorok esetén széles
körben meg gyelt vastag farok jelenség nehezen illeszthet® össze a folytonossági feltétellel.
9 Vagyis
hogy a szórás éppen
√
t-vel
és mondjuk nem
√ 2 t-vel
n®.
1.1. WIENER-FOLYAMATOK
7
10 tulajdonságait. A normális eloszlás legalapvet®bb √
El®ször vizsgáljuk meg a folyamat globális tulajdonságai miatt tetsz®leges
t-re
a folyamat nagy valószín¶séggel a
±3 t
parabola által leírt
tartományban ingadozik. A normális eloszlás jórészt középen ingadozik és bár el®fordulhatnak nagyon nagy értékek is, annak a valószín¶sége hogy egy adott t-re a
√ ±3 t parabolán kívül találjuk
11 . Ha úgy tetszik tetsz®leges id®pontban a parabolán kívüli meg gyelések
magunkat nagyon kicsi
el®fordulása gyakorlati szempontból elhanyagolható.
Másképpen fogalmazva nem követünk el
nagy hibát, ha minden véges és x id®pontban az eloszlás tartóját korlátosnak képzeljük el. A trajektóriák globális viselkedését leíró pontos állítást az úgynevezett iterált logaritmusok
12
tétele tartalmazza, amely szerint
w (t) w (t) = −1 = P lim sup √ = 1 = 1. P lim inf √ t→∞ t→∞ 2t ln ln t 2t ln ln t Emlékeztetünk, hogy de níció szerint valamely függvény vagy sorozat limesz inferiorja, illetve
limesz szuperiorja a torlódási pontok közül a legkisebbet, illetve a legnagyobbat jelenti. Például az
an $ (−1) sorozat limesz szuperiorja
n
1 a limesz inferiorja −1.
1+
1 n
Vegyük észre, hogy a sorozat, illetve a függvény
értékei egy id® után a limesz szuperior és a limesz inferior által el®írt szakasz tetsz®legesen kicsi, de azért pozitív sugarú, környezetében fog ingadozni. sorozat tagjai elég nagy
n
indexre az
(−1 − ε, 1 + ε)
Az imént említett
(an )
sorozat esetén a
szakaszon belül fognak elhelyezkedni. Vagyis
a sorozat a végtelenben lényegében a limesz superior és a limesz inferior között ingadozik. torlódási pont tulajdonság miatt tetsz®legesen kicsi
A
ε > 0 megengedett hiba esetén a sorozat tagjai,
vagy függvény esetén a függvény értékei egy id® után a limesz inferior, illetve a limesz szuperior köré írt
ε
széles környezetbe végtelen sokszor visszatérnek. Ugyanakkor mondjuk a limesz szuperiort
de niáló maximalitási megkötés miatt a limesz szuperiornál nagyobb érték már nem rendelkezik evvel a tulajdonsággal.
Vagyis egy id® után a sorozat minden értéke a limesz szuperiornál egy
tetsz®legesen kicsivel nagyobb, de azért rögzített, érték alatt fog elhelyezkedni. az
ε
Természetesen
csökkenésével esetlegesen egyre ritkábban fog a sorozat a limesz szuperior, illetve a limesz
inferior közelébe visszatérni, illetve egyre kés®bbi id®pontoktól kezdve fog a kifejezés a két érték által meghatározott sávban elhelyezkedni, de egy id® után a sorozat ingadozása
ε
pontosággal a
limesz inferior és a limesz szuperior között lesz.
ε > 0 esetén a trajektóriák a végtelenben egy 2t ln ln t√+ ε görbék által leírt tartományban tartózkodnak amely tartománynak a korábban említett ±3 t parabola egy durva bár igen szemléletes és √ √ praktikus közelítése. Kicsi t értékekre a ±3 t tartomány b®vebb mint a ± 2t ln ln t pontok √ által megadott tartomány, de nagyon nagy t értékekre ± 2t ln ln t pontok által leírt tartomány √ b®vebb mint a ±3 t pontok által leírt parabola. A két görbe a 9 t = exp exp ∼ 1, 2 × 1039 2 Az iterált logaritmusok tétele szerint tetsz®leges
13 a
valószín¶séggel
√ − 2t ln ln t − ε
√
és
pontban metszi egymást.
10 Miként alább látni fogjuk a folyamat lokális és globális tulajdonságai szorosan összefüggnek. 11 A 3 konstansnak nincsen jelent®sége. Egyszer¶en a statisztikában szokásos három szigma szabályra utalunk.
De
bárki gondolhat a négy vagy akár hét szigma szabályra is. Az alábbikban a lényeg az, hogy tetsz®leges, elegend®en nagy
a-ra
a
√ ±a t
parabola nagy valószín¶séggel tartalmazza a trajektórákat, ugyanakkor a trajektóriák ebb®l a
parabolából elegend®en hosszú id® alatt id®nként egy valószín¶séggel kilépnek.
12 Az
iterált logaritmusok elnevezés a képletben szerepl®
itmusának logarimusát.
ln ln
kifejezés indokolja.
Vagyis venni kell a
Már maga a logaritmus függvény is elképeszt®en lassan n®.
függvény elképeszt®en gyorsan n®.) Az iterált logarimus függvény, elég nagy
t
t
logar-
(Ugyanis az exponenciális
értékekre "szabad szemmel nézve"
nem n®, szinte állandó.
13 Az
egy valószín¶séggel kitétel azt jelenti, hogy azok a trajektóriák, amelyekre a feltétel nem teljesül nulla
valószín¶séggel következnek be.
1.1. WIENER-FOLYAMATOK
8
2 14 végtelen
Miközben véges id®horizonton a trajektóriák lényegében egy x korlát alatt maradnak
A halmazán a w trajektóriái √ w (t) / t ∼ = N (0, 1) eloszlású változók sorozata az A halmazon nulvagyis elég nagy t-re az A valószín¶ség közel nulla lenne, ami csak úgy lehetséges,
id®horizonton a trajektóriák korlátlanok. Ha a kimenetelek valamely korlátosak lennének, akkor a lához tartana
15 ,
A valószín¶sége már eredend®en nulla. Némiképpen pontosabban érvelve vegyük észre, hogy A = ∪n An , ahol az An halmaz azokból a kimenetelekb®l áll, amelyekre az n természetes szám a trajektória abszolút értékének egy fels® korlátja, ugyanis az A halmaz a korlátos trajektóriák halmaza és minden korláthoz van olyan n természetes szám, amely nagyobb nála. Nyilván az összes n-re az An nem lehet nulla valószín¶ség¶, ugyanis akkor az egész A halmaz valószín¶sége is nulla lenne, mi pedig feltettük, hogy az A valószín¶sége pozitív. Legyen δ tetsz®leges. Ha a t √ elég nagy, akkor n/ t ≤ δ. Ilyenkor w (t) √ 0 < P (An ) ≤ P ≤ δ = P (|N (0, 1)| ≤ δ) . t ha az
A jobb oldalon álló valószín¶ség a
δ
alkalmas megválasztásával tetsz®legesen kicsi lehet, ami
lehetetlen,ugyanis a bal oldalon egy x pozitív szám van.
P (A)
Az így kapott ellentmondás miatt a
16 . Mivel egy igen fontos észrevételr®l van szó közvetlenül is kimondjuk:
valószín¶ség nulla
1.2 Állítás. Egy valószín¶séggel a Wiener-folyamatok trajektóriái nem korlátosak. Az, hogy a
w
trajektóriái nem korlátosak csak a nem korlátossággal kapcsolatos megfontolások
egyik fele. Mivel minden Wiener-folyamat szimmetrikus, például a felülr®l való nem korlátoságból következik, hogy a trajektóriák sem alulról sem felülr®l nem korlátosak, vagyis az id® el®rehaladtával egy valószín¶séggel minden trajektória egyre nagyobb pozitív és egyre nagyobb abszolút érték¶ negatív számot is felvehet. Összefoglalva: nem követünk el nagy hibát, ha globálisan úgy képzeljük el, hogy valamely Wiener-folyamat
t 7→ w (t)
trajektóriái nagy valószín¶séggel
√ ±3 t
w
parabola által megadott tar-
tományban bolyonganak miközben az id® el®rehaladtával végtelen sokszor kilépnek a parabola
17 Alul is meg felül is. A trajektóriák az id® el®rehaladtával szét-
által megadott tartományból
spricelnek, egyre nagyobb hullámokat alkotva bolyonganak a plusz és a mínusz végtelen értékek között. Az id® el®rehaladtával a
√ ±3 t
parabolából való kilépések nagysága és ennek megfelel®en
id®tartama egyre nagyobb lehet. A folyamat küÍs® burkolóját a
√
± 2t ln ln t
görbék adják meg. Tetsz®leges
tóriák az
ε>0
√ ±3 t parabolától egyre távolodó
szám esetén bizonyos id® eltelte után
18 a trajek-
√ √ − 2t ln ln t − ε, + 2t ln ln t + ε
intervallumon belül helyezkednek el.
14 Természetesen
a feltételezett folytonosság miatt minden trajektória minden véges szakaszon önmagában kor-
látos. Természetesen az egyes trajetóriák fels® korlátjainak a halmaza nem korlátos. Vagyis egy adott szakaszon, persze esetlegesen igen kicsi valószín¶séggel, akár mekkora nagy fels® korlát el®fordulhat. Az el®z® paragrafus szerint nagy valószín¶séggel", gyakorlati szempontból" a trajektóriák véges id®tartományon egyenletesen" is korlátosak.
15 Ugyanis az A halmazon a számláló korlátos, a nevez® pedig végtelenbe tart. 16 A pontos indoklást az iterált logarimusok tételével is elvégezhetjük. Vegyük észre,
tételében szerepl® hányados limesz szuperiorja éppen az
hogy az iterált logaritmusok
1, vagyis a hányados egyik torlódási pontja, nevezetesen a legnagyobb,
1, vagyis a számláló végtelen sokszor megegyezik" a nevez®vel, miközben a nevez® a plusz végtelenhez tart.
A Wiener-folyamat szimmetrikus, így ugyanez igaz a mínusz végtelen oldalon is. Vagyis a trajektóriák alkalmas sorozaton a plusz végtelenbe és valamely másik alkalmasan választott sorozaton pedig a mínusz végtelenhez tartanak.
17 A
Wiener-folyamatok trajektóriái nagy valószín¶séggel a parabolán belül haladnak.
És minden rögzített
t
esetén praktikusan" fel is tehetjük, hogy a parabolán belül van. Ugyanakkor végtelen sokszor megkisérelve egy kicsi, de azért pozitív valószín¶ség¶ eseményt végtelen számú bekövetkezést kapunk. Közgazdaságilag fogalmazva, egy forint nem túl nagy érték, de nagyon sok egy forintos nagyon nagy érték. Mindegy, hogy forint, dollár vagy euró. Csak sok legyen bel®le! Másképpen, aki a kicsit nem becsüli, a nagyot nem érdemli.
18 Az
utolsó kilépési id® nagysága trajektória függ® és nyilván függ az
ε
számtól.
1.1. WIENER-FOLYAMATOK
9
A Wiener-folyamat korlátlanságának egy gyakran használt és idézett következménye az úgynevezett duplázási stratégia véges id® alatt való befejez®dése. Tegyük fel, hogy fej vagy írás játékot játszunk és a kumulált nyereményt vizsgáljuk. Ha duplázva tesszük meg a téteket, akkor az
n-edik
lépés után a megtett tétek összege
1 + 2 + 4 + . . . + 2n = 2n+1 − 1. (n + 1)-edik
Ha az
lépésben bejön a várva várt eredmény, akkor mivel az utolsó tét
nyeremény a játék szabályai szerint ennek duplája
2
n+1
2n
volt, a
lesz, és így a nettó nyereményünk
2n+1 − 2n+1 − 1 = 1 lesz. Annak a valószín¶sége, hogy az
n-edik
lépésben bejön a kívánt érték éppen
2−n .
Így tehát
annak a valószín¶sége, hogy valamikor nyerünk
1 1 1 + + + . . . = 1, 2 4 8 vagyis egy valószín¶séggel a duplázási stratégiához szükséges lépések száma véges. A fej vagy írás játék nettó eredményét megadó folyamat nagyon hasonlít egy Wiener-folyamatra. Wiener-folyamat a fej vagy írás játék folytonos változata.
Legyen
a > 0
Valójában a
egy el®re megadott
nyereségi szint. Vezessük be a következ® értéket
τ a $ min {t : w (t) ≥ a} . Egy adott
ω
kimenetel esetén
(1.1)
τ a (ω) az els® olyan id®pont, amikor az a nyeremény, az ω
megvalósulása esetén, már a zsebünkben van.
kimenetel
Mivel a Wiener-folyamat trajektóriái nem korlá-
tosak, ezért egy valószín¶séggel el®bb vagy utóbb mindig be tudjuk gy¶jteni az Vagyis a Wiener-folyamat korlátlansága miatt a
τa
a
nyereményt.
egy valószín¶séggel mindig véges. Másképpen
fogalmazva, ha tetsz®leges sokáig tudunk játszani, akkor mindig nyerhetünk. Ez a modern matematikai pénzügyek nyelvén kifejezve azt jelenti, hogy korlátlan er®forrással rendelkezve mindig van arbitrázs stratégia.
Másképpen fogalmazva az arbitrázs lehetetlensége csak akkor értelmes, ha
hozzátesszük, hogy véges er®forrás esetén nincsen arbitrázs. Az isteneket semmi sem korlátozza, így számukra van arbitrázs. Következésképpen számukra a pénz is érdektelen. Nem emlékszem rá, hogy valahol arról olvastam volna, hogy Zeusz a t®zsdei monitorokat gyelte volna. Az arbitrázs, vagyis a könnyen való meggazdagodás vágya az emberi er®források sz¶kös voltának bizonyítéka
1.1.2.
19 .
A Wiener-folyamatok trajektóriáinak megfordítása
Miként említettük, nem csak egy Wiener-folyamat van. Ezt a legegyszer¶bben úgy láthatjuk be, ha meggondoljuk, hogy ha a
w
Wiener-folyamat, akkor az
u $ −w
is Wiener-folyamat. Ugyanis
kielégíti a folyamatosztályt de niáló feltételeket. Sokkal érdekesebb a következ® példa:
1.3 Példa. Ha
w
Wiener-folyamat, akkor az
u (t) $ tw (1/t)
folyamat is Wiener-folyamat.
Ahhoz, hogy valami Wiener-folyamat legyen a folyamatnak teljesíteni kell a Wiener-folyamatot mint folyamatosztályt de niáló feltételeket. A példában gondot jelent, hogy a az
u
nincsen de niálva, így az
u
a példa értelemszer¶en úgy értend®, hogy a terjesztjük ki
t=0
id®pontban
nem is lehet szigorú értelemben Wiener-folyamat. Ugyanakkor
t = 0
id®pontra az
20 . Els® lépésben tehát meg kell mutatni, hogy
u
folyamatot a határértékével
1 lim u (t) $ lim tw = 0. t&0 t&0 t 19 Az
arbitrázs hiánya elv tehát a mikroökonómiában tárgyalt sz¶kösségi elv sajátos megjelenése a pénzügyi
elméletben.
20 Valahogy
úgy, ahogy a
sin x függvényt az x
x=0
pontban az
1
értékkel de niálva folytonos függvényhez jutunk.
1.1. WIENER-FOLYAMATOK
10
Vegyük észre, hogy a határérték tulajdonképpen értelmetlen, ugyanis adott téren értelmezett függvény
t mellett a w (1/t) az Ω
21 , és függvények körében a határérték az elemi analízisben lényegében
nincsen de niálva. Másképpen fogalmazva, ha függvények határértékér®l beszélünk, akkor mindig meg kell mondani, hogy hogyan értjük a határértéket, ugyanis szemben a számokkal, illetve a véges dimenziós vektorokkal, a határérték a függvények körében nem egyértelm¶en de niált fogalom. Ebben a konkrét esetben a határérték úgy értend®, hogy az valószín¶sége
1
a határérték létezik és értéke éppen
u (t) = u A
0.
Ω
egy olyan részhalmazán, amely
Ennek oka a következ®: Ha
t $ 1/n,
akkor
w (n) 1 $ . n n
√ w (n) eloszlása N (0, n) , és a w (n) tekinthet® n darab független N (0, 1) eloszlású valószín¶ségi
változó összegének. Másképpen
u
Pn 1 w (n) ∼ k=1 N (0, 1) $ , = n n n
ahol az összegben szerepl® tagok függetlenek. A nagy számok er®s törvénye szerint
22 a kifejezés a
N (0, 1) eloszlás várható értékéhez, vagyis nullához tart. Másképpen fogalmazva, ha u (0) $ u folyamat folytonos lesz, vagyis a t = 0 id®pontban megadott de níció miatt az u minden t ≥ 0 id®pontban automatikusan folytonos. Tetsz®leges t-re az u (t) eloszlása r ! 1 ∼ √ ∼ u (t) = tN 0, = N 0, t , t
közös
0,
akkor az
w megfelel® tulajdonsága miatt nyilván függetlenek u-ra a Wiener-folyamatot de niáló tulajdonságok teljesülnek. Következésképpen az u Wiener-folyamat. Triviálisan az u és a w különböz® folyamatok. Az u (t, ω) $ tw (1/t, ω) folyamat felfogható úgy mintha a w folyamatot id®ben visszafelé, a t = ∞ id®pontból visszafelé és az egyes id®szakokban a növekmények a maradnak, így az
haladva, gyelnénk meg. irányától
23 .
Ez alapján a Wiener-folyamat tulajdonság független az id®tengely
2
1.1.3.
A Wiener-folyamatok nem deriválhatóak
Az el®z® pontban szerepl® példa szerint a Wiener-folyamatok a végtelenben hasonlóan viselkednek mint a
t=0
pontban. Mivel a folyamat a stacionárius növekmények feltétele miatt az id®
tengely mentén eltolható, ezért bármely id®pont után kvalitatíve ugyan úgy ingadozik mint a nulla id®pont után. Mivel a végtelenben össze-vissza ingadozik, ezért a megfordított, visszafelé olvasott folyamat a nulla id®pontot követ® tetsz®leges id®szakaszon ingadozik vadul. Mindegy, hogy a folyamatot távolról és hosszú ideig nézzük, vagy egészen közelr®l és rövid ideig. Minkét esetben a z¶rzavart látjuk.
A z¶rzavar egészében és részleteiben is z¶rzavar.
Ez a lényege a következ®
méltán ünnepelt észrevételnek.
1.4 Állítás. (PaleyWienerZygmund ) A Wiener-folyamat trajektóriái nem deriválhatóak.
21 Adott t-re a az ω 7→ w (t, ω) függvényr®l van szó. 22 A nagy számok er®s törvénye szerint független, azonos
eloszlással rendelkez® változók számtani átlaga egy nulla
valószín¶ség¶ eseményt®l eltekintve a közös eloszlás várható értékéhez tart. A véges határértékhez való konvergencia szükséges és elegend® feltétele annak, hogy a közös eloszlásnak legyen várható értéke.
23 Egy
véletlen jelsorozatot elölr®l olvasni pontosan annyira értelmes dolog mint visszafelé olvasni.
fejét®l a farkáig pontosan olyan véletlen mint a farkától a fejéig. ugyanis a ténylegesen visszafelé meg gyelt
t 7→ w (1/t)
folyamat nem Wiener-folyamat.
A
t
szerepe is fontos, vagyis ha a kígyót visszafelé gyeljük meg, akkor a meg gyelés során egy a elhelyezett tölcséren át kell préselni.
A kígyó a
Természetesen a megjegyzés egy kicsit sántit, normalizáló szorzó
t = 0
id®pontban
1.1. WIENER-FOLYAMATOK
11
A Wiener-folyamat matematikailag legizgalmasabb tulajdonsága, hogy a folyamat trajektóriái egyetlen id®pontban sem deriválhatóak. Ennek indoklása céljából egy tetsz®leges
t0
id®pontban
írjuk fel a dierenciahányadost:
w (h + t0 ) − w (t0 ) ∆w $ . ∆t0 h A de níciók alapján evidens, hogy tetsz®leges
t0 ≥ 0
v (h) $ w (h + t0 ) − w (t0 )
id®pont esetén a
folyamat szintén Wiener-folyamat. Ezt úgy interpretálhatjuk, hogy a Wiener-folyamat tulajdonság független attól, hogy a folyamatot mikor és hol kezdjük el meg gyelni. A különbségi hányados
v (h) ∆w $ $ sv ∆t0 h módon írható, ahol értelemszer¶en
s $ 1/h.
példa szerint szintén Wiener-folyamat.
Ha
1 $ u (s) s
Mivel a
h → 0,
v
Wiener-folyamat, ezért az
akkor
s → ∞,
u (s)
az el®z®
így a dierenciahányados
határértéke az egyes kimenetelekre Wiener-folyamatként szétspriccel.
2 Az állítás fontos következménye, hogy az úgynevezett fehér zaj folytonos id®horizont esetén nem tekinthet® valós érték¶ sztochasztikus folyamatnak. A fehér zaj intuitív szinten a folytonosan beérkez® apró, nulla várható értékkel rendelkez® független lökésekb®l álló folyamat. A fehér zajt leginkább a rosszul beállított rádió sistergéseként, vagy a rosszul beállított televizó képerny®jén megjelen® pontok kavalkádjaként képzelhetjük el. A zaj azért fehér, mert nincsen benne információ és ezért nincsen szine. Hangsúlyozzuk, hogy a fehér zajnak az egyes id®pontokban felvett értékei és nem a folyamat növekményei függetlenek. Mivel a fehér zaj egyes értékei függetlenek, a fehér zaj integrálja, a független tagokból álló részösszegek folyamata, a lökések kumulált összege független növekmény¶ kellene, hogy legyen. üres, akkor az sok összegét®l.
I1 -ben
Ha ugyanis az
I1
és
I2
id®intervallumok metszete
bekövetkez® hatások összege független lesz az
I2 -ben
bekövetkez® hatá-
Mivel a lökések relatíve egyenl® és kicsi értékek, ezért az integrálfolyamatnak
folytonosnak kellene lenni, vagyis az apró lökésekb®l álló fehér zaj integrálfolyamata Wienerfolyamat.
De a Wiener-folyamatoknak nincsen deriváltja, így a folytonos id®paraméter¶ fehér
zaj, mint közönséges sztochasztikus folyamat értelmetlen. A sztochasztikus analízis célja éppen az, hogy az intuitíve világos fehér zaj fogalmát matematikailag precíz módon kezelje. Ezen az úton az els® lépés az, hogy megértsük, hogy a vállakozás miért is nem olyan egyszer¶. Ezen a ponton érdemes egy lozó ai kérdést is felvetni. Miért mondják a matematikusok, hogy a fehér zaj fogalma értelmetlen, miközben a fehér zajt valóságként hallhatjuk és láthatjuk. Elment ezeknek az esze?
Az ellentmondásra a válasz természetesen a modell és a valóság nyilvánvaló
különböz®ségében rejlik. A sztochasztikus analízis a valóságos folyamatok egy képe. Hasonlóan, ahogyan a fénykép nem azonos a fényképen szerepl® személlyel, a sztochasztikus analízis is csak bizonyos szempontokból tükrözi a mögöttes meg gyeléseket, folyamatokat. Számtalan statisztikai vizsgálat létezik, amelyek azt igazolják, hogy a ténylegesesen meg gyelt árfolyammozgások nem írhatók le a matematikai pénzügyek egyenleteivel
24 . Nyilván nem! Miért olyan meglep® ez? A
két dolog mindjárt az elején szétválik. Miközben a fehér zaj tapinthatóan, hallhatóan létezik, a fehér zaj matematikai modelljében a fehér zaj nem értelmezhet®. de niálni!
Csak az integrálját tudjuk
Természetesen a modellt és a tényleges tapasztalatokat mindig össze kell mérni, a
kett®t tapasztalati úton kalibrálni kell. A közgazdaságtan egyik alapvet® problémája, hogy ezt nem végzi el rutinszer¶en. Bár életünk párja nem azonos a róla készített esküv®i fényképpel, ennek ellenére érdemes az esküv®i fotókat eltenni és id®nként el®venni. Miért? Hogy tudjuk, hogy mikor
és miért tévedtünk!
24 Az
eloszlások farka vastag, a volatiltás klaszterez®dik, bla, bla, bla....
1.2. POISSON- ÉS LÉVY-FOLYAMATOK
1.2.
12
Poisson- és Lévy-folyamatok
Természetesen Wiener-folyamaton kívül számos más típusú sztochasztikus folyamat létezik. Általában mi csak folytonos trajektóriával rendelekz® folyamatokat tárgyalunk, de röviden érdemes a nem folytonos folyamatokat is megvizsgálni. A nem folytonos sztochasztikus folyamatok közül a legfontosabbak a Poisson-folyamatok.
1.2.1.
Poisson-folyamat
A Wiener-folyamat mellett a sztochasztikus folyamatok másik királya a Poisson-folyamat.
A
Wiener-folyamat sok kis, önmagában jelentéktelen, gyakran, a matematikai absztrakció szerint folyamatosan, bekövetkez® in nitezimális hatású esemény eredményeként, ered®jeként létrejöv®
25 .
viselkedési forma modellezésére szolgál
Ezzel szemben a Poisson-folyamat az
R+
félegyenes
mint id®tengely mentén ritkán, egymástól függetlenül bekövetkez® események számát adja meg. A kés®bbiek szempontjából érdemes hangsúlyozni, hogy ha a akkor a
t 7→ π (t, ω)
π (t, ω)
folyamat Poisson-folyamat,
trajektóriáik monoton n®nek és nem folytonosak.
Az, hogy az események
ritkán következnek be, a következ®t jelenti: elegend®en kicsi szakaszon már csak legfeljebb egy esemény következhet be, vagyis az események bekövetkezésének id®pontjai nem torlódhatnak. En-
ω ∈ Ω véletlen kimenetelekre megadható egy (In (ω)), pozitív ω -tól függ®, számsorozat, amely elemei a különböz® események között eltelt, pozitív hosszúságú id®tartamokat adják meg. Az ω kimenetel realizációja esetén az els® esemény az I1 (ω) > 0 id®pontban következik be, a második esemény I2 (ω) > 0 id®pont múlva, vagyis az I1 (ω) + I2 (ω) id®pontban stb. A Poisson-folyamat fontos tulajdonsága, hogy a Wiener-
nek következtében a különböz® számokból álló, természetesen
folyamathoz hasonlóan független és stacionárius növekmény¶. A stacionaritás feltétele azt jelenti, hogy az id®tengely bármely azonos hosszúságú részén a folyamat által számlált események azonos eséllyel következhetnek be, és mivel a folyamat független növekmény¶, ezért az egyes diszjunkt id®szakaszokon a számlálandó események egymástól függetlenül következhetnek be. Hasonlóan a Wiener-folyamathoz a Poisson-folyamat mint valószín¶ségszámítási jelenség független attól, hogy az id®tengely mely pontját tekintjük indulópontnak, vagyis mikor kezdjük el a folyamat mögötti események számolását. Ennek megfelel®en a Poisson-folyamat egy olyan ritka jelenségsorozat eseményeit számlálja, amely eseményeket egy struktúráját nem változtató rendszer generál, nyilván ritkán és véletlenszer¶en Ha
dt
26 .
egy elegend®en kicsi id®hossz, akkor a ritkasági feltétel miatt egy
csak egyetlen esemény következhet be.
Legyen
számlálandó események valamelyike egy
dt
az adott rögzített
dt
λdt
dt
hosszú id®szakaszon
közelít®leg annak a valószín¶sége, hogy a
hosszú szakaszon bekövetkezik.
Ha
λ
nagy, akkor
hosszú szakaszon az esemény bekövetkezésének valószín¶sége nagy, így a
számlálandó események gyakran következnek be, ha
λ kicsi akkor ritkán.
Másképpen, ha a
λ nagy,
akkor átlagban két esemény között kevés id® van, ha kicsi, akkor az átlagos várakozási id® hosszú.
25 Ez
a feltétel nyilván nem mindig teljesül.
A szokásos példa a következ®:
Ha egy stadionba összegy¶jtünk
100 ezer embert majd hozzátesszük a világ legnehezebb emberét, az átlagos súly nem fog változni.
Ha azonban
ezt a jövedelmekkel tesszük, könnyen elképzelhet®, hogy a világ leggazdagabb emberének nagyobb lesz a vagyona, vagy akár a jövedelme, mint a stadionban lev® emberek összes vagyona, illetve jövedelme.
F®leg, ha az afrikai
éjben a stationban éppen Ghána és Kamerun csapata játszik. A példából világos, hogy vannak esetek, amikor az átlagtól való eltérést a rendszer bünteti. Ez például a testmagasság esetén így van. Ilyenkor a Wiener-folyamat jól használható.
Vannak azonban esetek, amikor a gy®ztes mindent visz.
Ez a társadalmi különbségek esetén
igen gyakori. Gondoljunk csak arra, hogy a divat" milyen igazságtalan" tud lenni. A divatos könyvet mindenki olvassa, az író dúsgazdag.
A költ®k pedig gyakran nyomorognak.
Valamely versenyszám gy®ztese a gy®ztes, a
második helyezete a vesztes. Ha az átlagtól való eltérést a rendszer nem bünteti, ha az átlag körüli szórás nagyon nagy, akkor Wiener-folyamat valószín¶leg használhatatlan modellje a vizsgált jelenségnek.
26 Példaként
szokás a balesetek, földrengések, cs®d események számát hozni. De szokás valamely telefonközpontba
beérkez® hívások számát is említeni.
Ez utóbbi példa esetlegesen sántíthat.
Ha mindenkinek van telefonja és
mindenki éjjel-nappal telefonál, nehéz a ritkasági feltételt komolyan venni. És valóban, számos statisztikai vizsgálat ismert, amely azt mutatja, hogy a Poisson-folyamatra jellemz® exponenciális várakozási id® például a telefonhívások közötti id®tartamokra nem jellemz®.
Meg vagyunk lepve?
Nem igazán.
A Poisson-eloszlás ritka" események
számáról szól, mi pedig éjjel nappal, a metróban, az utcán, tetsz®leges percdíj esetén folyamatosan csevegünk. Még mondja valaki, hogy a marketing nem, komoly dolog.
1.2. POISSON- ÉS LÉVY-FOLYAMATOK
A
λ
13
tehát az esemény bekövetkezésének intenzitását adja meg: a s¶r¶n bekövetkez®, intenzíven
λ
jelentkez® események Ha egy
0
paramétere nagy, a ritkán bekövetkez®ké kicsi.
dt
hosszú szakaszt
kis részintervallumunk lesz.
hosszú kis szakaszokra bontjuk, akkor
dt
Mivel az egyes
bekövetkezése egymástól független, a
T N
(1 − λdt) annak a valószín¶sége, hogy a
T
N $ T /dt
darab
hosszú részintervallumokon az egyes események
hosszú id®szak alatt
=
λT 1− N
N ≈ exp (−λT )
hosszú id®tartam alatt nem következik be az esemény.
valószín¶séget megadó szorzat felírásakor természetesen felhasználtuk, hogy az egyes
dt
A
hosszú
résszakaszokon a bekövetkezés, pontosabban a be nem következés, valószín¶sége minden résszakaszon azonos. Ez éppen a stacionaritás feltétele. A szorzat felírásakor felhasználtuk még, hogy a számlálandó esemény be nem következése az egyes részintervallumokon a többi részintervallumtól függetlenül nem történik meg. Másképpen, ha
τ
jelöli azt a valószín¶ségi változót, hogy mennyi
id® múlva jön a következ® esemény, akkor
P (τ > T ) = exp (−λT ) . ω 7→ In (ω) valószín¶ségi λ. Némiképpen általánosabban: ank esemény következik be
Ebb®l következ®en az események bekövetkezése között eltelt id®t megadó
27
változók eloszlása exponenciális, és az eloszlás paramétere nak a valószín¶sége, hogy egy
ahol
N $ T /dt
a
dt
T
hosszú szakaszon pontosan
N k N −k Pk (T ) = (λdt) (1 − λdt) , k N
hosszú szakaszok száma. Az
binomiális együttható képletét beírva
k k
(λT ) N! k! (N − k)! N k
Pk (T ) = Ha
N
nagy és
k
1−
λT N
N −k .
28 , akkor
kicsi
Pk (T )
k
k
λT 1− N
N −k
N! = N k (N − k)!
λT N
N −k
N (N − 1) · · · (N − k + 1) ≈ Nk
=
(λT ) k!
=
(λT ) k!
≈
(λT ) exp (−λT ) , k!
1−
k
vagyis egy
T
hosszú id®szak alatt bekövetkez® események száma Poisson-eloszlást követ
λT
para-
méterrel. Ez indokolja, hogy a folyamatot Poisson-folyamatnak hívjuk. A Poisson-eloszlás várható
T
értékének képlete szerint egy értéke
λT .
hosszú id®szakasz alatt bekövetkez® események számának várható
Ez tulajdonképpen nem meglep®, ugyanis az exponenciális várakozási id® miatt két
esemény között átlag
1/λ
hosszú id®intervallum gyelhet® meg, vagyis egységnyi id® alatt átlag
esemény következik be, így
T
id® hosszú alatt átlagosan
λT
λ
darab esemény gyelhet® meg.
Összefoglalva: A Poisson-folyamat a valószín¶ségszámítás két fontos eloszlását kapcsolja össze. Az események közötti id® hossza exponenciális eloszlású, valamely adott id®szak alatt bekövetkez® események száma viszont Poisson eloszlású. Az eloszlások paraméterei a következ®k: Ha
λ
az ese-
mények bekövetkezésének intenzitása, akkor a két esemény közötti várható id®tartam hossza
27 Emlékeztetünk
exp (−λx) .
arra, hogy a
τ
változó exponenciális eloszlású, ha
Az exponenciális eloszlás várható értéke
események között eltelt id® várható értéke,
28 Vagyis
ha rögzített
k
mellett
dt → 0.
1/λ,
1/λ,
kicsi.
1/λ,
P (τ < x) = 1−exp (−λx) . Ebb®l P (τ ≥ x) = λ intenzitási paraméter nagy, akkor az egyes
vagyis ha a
1.2. POISSON- ÉS LÉVY-FOLYAMATOK
14
ugyanis az exponenciális eloszlás várható értéke
1/λ.
Ennek megfelel®en egy x
T
id®szak alatt
λT
esemény következik be átlagosan, így az események számát megadó Poisson-eloszlás várható értéke
λT . Ha átlagban két percenként változik az ár legalább egy forinttal, akkor egy óra alatt átlagban 30 egy forintnál nagyobb árváltozást gyelhetünk meg. Ha átlagban két percenként változik az ár, akkor a két árváltozás közötti id® átlagos hossza 2 perc. eloszlás várható értéke
1/λ a λ = 1/2.
Ebb®l következ®en
Ilyenkor, mivel az exponenciális
60 perc alatti események várható száma
60 ∗ 1/2 = 30.
1.2.2.
Lévy-folyamatok
A Poisson- és a Wiener-folyamatok egy b®vebb folyamatosztály, a Lévy-folyamatok osztályának alapvet® reprezentánsai. Valamely
ζ (t, ω) folyamatot Lévy-folyamatnak, pontosabban Lévy-típusú
folyamatnak mondunk, ha 1.
ζ (0) = 0, ζ (t) stacionárius és független növekmény¶, a ζ (t) trajektóriái regulárisak abban az értelemben,
2. a 3.
hogy jobbról folytonosak és rendelkeznek
bal oldali véges határértékkel. A korábbiakban nem szerepl®, így magyarázatra szoruló megkötés a harmadik. A feltétel szerint valamely
t 7→ ζ (t, ω) trajektória meg gyelése esetén egy t0
id®pontban két dolog lehetséges: vagy a
trajektória a t0 id®pontban folytonos, vagy a trajektória ugrik. Az ugrás de níció szerint a szakadás egy igen speciális esete, amikor az adott pontban a két különböz® oldalról vett határérték létezik és véges, de a két határérték nem egyezik meg
29 . A feltétel szerint a trajektória értéke minden
id®pontban megegyezik a trajektória jobb oldali határértékével.
A Wiener-folyamat folytonos
Lévy-folyamat. Nem egyszer¶ igazolni, de megmutatható a fordított implikáció is, vagyis minden
30 . Az állítás igazolása
folytonos Lévy-folyamat egy lineáris trendt®l eltekintve Wiener-folyamat
abból áll, hogy meg kell mutatni, hogy ha a folyamat trajektóriái folytonosak, akkor a folyamat értéke minden id®pontban normális eloszlású
31 . A trajektóriákra tett regularitási feltétel miatt
a Lévy-folyamatok mindegyike három fajta folyamat lineáris kombinációjára bontható. A három bázisfolyamat a következ®: 1. lineáris trend, 2. Wiener-folyamat, illetve egy 3. tiszta ugrófolyamat. A lineáris trend oka, hogy a Lévy-folyamatokat de niáló feltételek között nem szerepel, hogy a növekmények várható értéke nulla legyen
32 , következésképpen el®fordulhat, hogy a növekmények
várható értéke az id®vel arányosan n®, illetve csökken.
A folyamat folytonos részét a Wiener-
folyamat reprezentálja. A folyamat ugrásainak szerkezete, a trajektóriákra tett feltételek miatt, igen speciális. Ha
a > 0,
akkor a folyamat
α-nál
nagyobb ugrásai nem torlódhatnak, ugyanis ha
torlódnának, akkor a trajektóriákra tett regularitási feltételek az ugrások torlódási pontjában nem teljesülnének, ugyanis a torlódási pontban a folyamat valamelyik határértékének, vagyis vagy a jobb, vagy a bal oldali határértéknek, az
a > 0
a
pozitivitása miatt, végtelennek kellene lenni. Ebb®l
33 , így az
a-nál nagyobb (a − da, a + da) szakaszba es® ugrásokat megadó részfolyamat jól közelíthet® egy alkalmas λ (a) paraméter¶ a · π (t, ω) Poisson-folyamattal, ahol a π természetesen az ugrásokat számláló Poisson-folyamat és λ (a) pedig az a körüli ugrások id®ben való bekövetkezésénk intenzitásától függ®, a Poisson-folyamat tár-
következ®en az
értéknél nagyobb abszolut érték¶ ugrások ritkák
nagyságú ugrások száma Poisson-folyamatot alkot.
gyalásakor említett konstans.
Ebb®l következ®en az
Ebb®l következ®en egy lineáris trendt®l eltekintve minden Lévy-
29 Másképpen fogalmazva az oszcilláló, illetve a végtelenbe tartó határértékeket de níció szerint kizárjuk. 30 Egy konstans folyamat csak akkor Lévy-folyamat, ha a konstans értéke nulla. Minden x (t) = at alakú lineáris függvény Lévy-folyamat és mint ilyen tulajdonképpen a legegyszer¶bb Lévy-folyamat.
31 Ez, miként korábban már említettük a centrális határeloszlás-tétel egy igen éles verziójából következik. 32 S®t, elképzelhet®, hogy a várható érték végtelen, vagy esetlegesen nem is létezik! 33 Miként írtuk a ritkaság azt jelenti, hogy az egyes bekövetkezési id®pontok nem torlódhatnak.
1.2. POISSON- ÉS LÉVY-FOLYAMATOK
15
folyamat egy Wiener-folyamat és esetlegesen végtelen sok különböz®
34 .
folyamat végtelen súlyozott összegeként képzelend® el megadó összefüggést vagyis az
a 7→ λ (a)
λ (a)
paraméter¶ Poisson-
A folyamat ugrásainak intenzitását
hozzárendelést a folyamat spektumának mondjuk.
A
spektrum elnevezést az indokolja, hogy miként a fény spektruma megadja a fénysugár felbontását különböz® rezgés¶ tiszta fénysugarakra, egy Lévy-folyamat mat felbontását adja meg
λ (a)
a 7→ λ (a)
intenzitású tiszta ugró folyamatokra.
spektruma a folya-
Természetesen konkrét
Lévy-folyamat esetén a spektrum a folyamat közvetlen meg gyelése alapján kiszámolható, s®t kiszámolandó, ugyanis a folyamat ugrásaira vonatkozó legalapvet®bb információkat éppen a spektrum tartalmazza.
A spektrum meg gyelése az egyes ugrásokhoz tartozó Poisson-típusú rész-
folyamatok meg gyelését jelenti. Ez indokolja azt, hogy a Wiener-folyamatok mellett a Poissonfolyamatokat tekintjük a sztochasztikus folyamatok másik alaptípusának. Valószín¶ségszámítási értelemben a Lévy-folyamatokat a lineáris komponens, a Wiener-komponens együtthatója, illetve a spektrálfüggvény jellemzi.
A három objektumot együttesen a folyamat karakterisztikájának
szokás nevezni. Lévy-folyamat esetén csak a karakterisztika bír valószín¶ségszámítási jelent®séggel. Ténylegesen maga a
ζ
Lévy-folyamat nem gyelhet® meg, csak a folyamat valamely, véletlen-
szer¶en választott realizációja. karakterisztika.
A meg gyelt realizáció alapján várhatóan
35 reprodukálható a
Valamely folyamattal kapcsolatban csak azok a matematikai formulák bírnak
valószín¶ségszámítási jelent®séggel, tartalommal, amelyek statisztikailag meg gyelhet® adatokra épülnek. Lévy-folyamatok esetén ez azt jelenti, hogy a valószín¶ségszámítási szempontból releváns formulák adatként egyedül a karakterisztikát tartalmazhatják. A gyelmes olvasónak feltünhetett, hogy a Lévy-folyamatok értékét a trajektória jobb oldali határértékével de niáltuk. Miért a jobb és miért nem a bal oldali határértéket vettük? A kérdés pontos tisztázása igen messze vezetne, de a két féle folytonosság közötti eltérés heurisztikusan megérthet®.
Az id®tengely nem szimmetrikus!
balról jobbra halad.
Az id®, a számegyenes szokásos ábrázolásában,
Az ugrások id®pontjában a jobb oldali határérték, balról jobbra haladva
soha sem látható el®re, a bal oldali, legalábbis in nitezimálisan, azonban el®relátható.
Ennek
megfelel®en a balról folytonos folyamatokat, így a folytonosakat is, el®rejelezhet®nek mondjuk, a jobbról folytonosakat pedig kockázatosnak. Az ugrásokat is tartalmazó Lévy-folyamatok kockázatosak. A kockázatosságuk abból ered, hogy a folyamat nagysága tetsz®leges id®pontban még in nitezimálisan sem jelezhet® el®re. A két folyamatosztály közötti eltérésre a sztochasztikus integrálás tárgyalásakor hallgatólagosan kés®bb vissza fogunk térni
1.2.3.
36 .
Bolyongások, kompenzált Lévy-folyamatok
A Lévy-folyamatok esetén a növekmények várható értékére nem tettünk megkötést. Többek között az is el®fordulhat, hogy a növekmények eloszlásának nincsen várható értéke. Tegyük fel, hogy az egységnyi id®tartományhoz tartozó növekmény várható értéke létezik, és az egységnyi id® alatti
M . Ha ξ (t, ω) jelöli a Lévy-folyamatot, akkor az η (t, ω) $ ξ (t, ω) − tM folyamat szintén Lévy-folyamat, de az η növekményeinek várható értéke már nulla. A t 7→ tM lineáris függvényt a ξ folyamat trendjének, vagy kompenzátorának mondjuk. A nulla növekmény várható értékét jelölje
34 Az
állítás csak heurisztikusan igaz, elképzelhet®, hogy a folyamat ugrásaiból álló sorozat az id®ben való
bekövetkezés sorrendjében konvergens, de nem abszolút konvergens, így ha az ugrásokat a bekövetkezésükt®l eltér®en átcsoportosítjuk, vagyis el®bb nagyság szerint, aztán id® szerint rendezzük ®ket, akkor nem kapunk konvergens konstrukciót. A felmerül® probléma heurisztikusan igen nehezen áttekinthet® és érzékelhet®, így csak mint érdekességet jelezzük. A kérdés összefügg a kés®bb tárgyalt kvadratikus variációval. Minden Lévy-folyamat négyzetes megváltozása véges, de a teljes megváltozása nem feltétlenül.
A heurisztikusan vázolt felbontás csak akkor m¶ködik,
ha a kvadratikus variáció mellett a teljes megváltozás is véges. Ha csak a négyzetes megváltozás véges, akkor a lineáris trend egy részével az ugrásokat kompenzálni kell. Az ugró rész és a lineáris trend viszonya igen szövevényes, következésképpen matematikailag varázslatosan szép, az alkalmazások szempontjából azonban másodlagos.
35 Mint
általában a statisztikában, most is csak remélhetjük, hogy a realizáció elég reprezentatív. Az meg már
lozó ai kérdés, hogy mit kezdünk azokkal a tulajdonságokkal, ami a konkrét meg gyelt realizációban nem gyelhet® meg, ugyanis az adott tulajdonságot a véletlen trajektória nem reprezentálja. Például ha a spektrum egy része a konkrétan meg gyelt trajektóriában nem jelentkezik, akkor a nem jelentkez® ugrások most léteznek vagy sem?
36 A
sztochasztikus integrálás során az integrátor kockázatos, az integrandus el®rejelezhet®.
1.2. POISSON- ÉS LÉVY-FOLYAMATOK
16
37 mondjuk. Ha a
várható értékkel rendelkez® Lévy-folyamatokat bolyongásnak a folyamatnak létezik kompenzátora, akkor az elnevezés oka a következ®: Ha a
ξ
η
t 7→ tM
A
trend biztos nyereménynek tekinthet®, a
bolyongás rész pedig a játék véletlen része. Az
várható értéke minden id®pontban nulla, a kompenzált van szó.
ξ
Lévy-folyamat és
Lévy-folyamat valamilyen játék nyereményét írja le, akkor
a nyereményfolyamatot két felé bonthatjuk: A
ξ (t, ω) − tM
ξ
kompenzált folyamat bolyongás. A kompenzáció
η
η
bolyongás nyilván fair játék, az
η
esetén valódi, korrekt szerencsejátékkról
játék azonban csak akkor fair, ha a játékban való részvételért kompenzáció jár.
t hosszú id®szakon keresztül, ξ (t, ω) valamilyen biztositási esemény a ξ (t, ω) véletlenszer¶en jelentkez® kár
Ésszer¶ feltételek mellett csak akkor vehetünk részt a játékban egy ha ki zetjük, vagy megkapjuk a
tM
részvételi díjat.
során keletkez® kár folyamata, akkor a
tM
Ha
tekinthet®
elleni biztosításért járó biztosítási díjnak.
1.2.4.
Markov-láncok
Az olvasónak talán felt¶nt a Poisson és az exponenciális eloszlás kitüntetett szerepe. folytonos id®horizonton három ismert eloszlásé a f®szerep:
Valóban,
normális, exponenciális és Poisson.
Igazándiból azonban a Poisson eloszlás pusztán egy másik arca az exponenciális eloszlásnak. Valójában a valószín¶ségszámításban két központi jelent®ség¶ eloszlás létezik: A normális és az exponenciális.
Némi egyszer¶sítéssel és er®s túlzással a normális eloszlás a pozitív és negatív
értékeket egyaránt felvev® változók eloszlása, az exponenciális a pusztán pozitív értékeket felvev® változók standard modellje id® hossza.
38 . A leginkább kézenfekv®en pozitív értékeket felvev® változó az eltelt
A várakozási id®k standard modellje az exponenciális eloszlás, a Poisson-eloszlás
pedig úgy kerül a képbe, hogy ha bizonyos egymást követ® események közötti id®tartamokat azonos paraméter¶ és független exponenciális eloszlású változók sorozata írja le, akkor egy x id®tartam alatt bekövetkez® események száma Poisson-eloszlású. Vagyis ha valamilyen események bekövetkezését számolom, akkor a természetes eloszlás a Poisson, ha id® hosszakat mérek, akkor a természetes keret az exponenciális eloszlás.
De miért éppen az exponenciális eloszlás?
Van-e
erre valami hasonló, általános elv mint a centrális határeloszlás tétele, amelyre hivatkozva indokolni szokás a normális eloszlást. Az exponenciális eloszlás fontosságát az adja, hogy homogén Markov-folyamatok esetén az egyes állapotokban való várakozás id®tartama mindig exponenciális
39 .
eloszlású
Bár a kés®bbi tárgyalás szempontjából nem bír jelent®s szereppel röviden, néhány sor erejéig mégis foglalkozzunk a Markov-folyamatokkal. A Lévy-folyamatok bár széles körben használhatóak nem minden sztochasztikus jelenség leírására alkalmasak. Tulajdonképpen a különböz® alkalmazásokban a legtermészetesebben jelentkez® osztály nem a matematikai pénzügyekben kézenfekv®en jelentkez® Wiener-folyamatok és az alább bevezetett martingálok, illetve szemimartingálok. Ezek az osztályok viszonylag kés®n kerültek a matematika vizsgálatok homlokterébe. A leginkább kézenfekv®, leginkább természetes osztály a Markov-láncok osztálya.
40
Hogy konkrét példáról beszéljünk induljunk ki abból, hogy adott kötvények egy halmaza.
A
kötvények nem feltétlenül kereskedettek, de mindegyik valamilyen rating kategóriába tartozik. Az egyszer¶ség kedvéért a rating osztályok száma legyen
N.
Mivel a rating kategória a kötvény
zet®képességének valószín¶ségét reprezentálja, ha valamely kötvény egy alacsonyabb kategóriába kerül, akkor az ára csökken. A kötvényekb®l álló portfolió értékének dinamikáját nyilvánvalóan az összetételének megváltozása adja meg. Ha nagyon sok kötvény kerül alacsonyabb kategóriába,
37 A
bolyongás fogalma az irodalomban csak részben jól de niált. Szokás bolyongásról csak diszkrét id®horizonton
beszélni.
38 Természetesen
minden ilyen általános kijelentés triviálisan hamis és ostobán leegyszer¶sít®. Gondoljunk arra,
hogy a részvények árát általában lognormális eloszlással modellezzük. Ugyanakkor a hozamok eloszlása a matematikai pénzügyek standard feltételei szerint normális. Az exponenciális és a normális eloszlás kitüntetett szerepér®l szóló állítás csak egy durva és gyakran hibás, de azért id®nként jól használható irányt¶nek tekinthet®. Mégis merre van észak? Hát ott ahol a fák mohásak.
39 A
várakozási id®t leíró eloszlás paramétere függhez az állapottól, amelyben a rendszer várakozik és az expo-
nenciális eloszlás lehet elfajuló is, vagyis a paramétere lehet nulla vagy végtelen is.
40 A
Markov-láncok elmélete számtalan alkalmazással rendelkezik.
1.3. A TÖKÉLETES VÉLETLEN: MARTINGÁLOK
17
akkor a portfolió értéke csökken, ha a kötvények besorolása átlagban n®, akkor a portfolió értéke feltehet®en növekszik. helyzetét.
Tegyük fel, hogy a rating besorolás tökéletesen fedi a kötvény tényleges
Ebb®l következ®en csak új információ hatására változik a besorolás.
Feltételezzük,
hogy valaminek történni kell, valamilyen új információ kell ahhoz, hogy egy kötvényt átsoroljuk az egyik kategóriából a másikba.
Idáig a dolog igen emlékeztet a bolyongásra, illetve a Lévy-
folyamatokra. Van azonban egy további feltétel: Az új információ beérkezésének módja és hatása egyedül az aktuális rating kategória függvénye.
Más paraméter¶ folyamatok lökik ki az egyes
osztályokban szerepl® kötvényeket az aktuális állapotukból. Ugyanakkor az azonos kategóriában lev® kötvényekre azonos er®k hatnak.
Továbbá a változás hatása is más és más lesz az egyes
41 , de a jelen igen. Valamely
kategóriákban. Ennek megfelel®en a múlt nem igazán hat a jöv®re
folyamatot Markov-folyamatnak mondunk, ha a jöv® el®rejelzése független a múlttól, de azért a jöv® függhet a jelent®l.
Másképpen a jöv® csak a jelenen keresztül függ a múlttól.
Ennek
megfelel®en a Lévy-folyamatok nyilván Markov folyamatok. A jöv® állapot függ a növekményt®l és a jelen állapottól. Ha
t > s,
akkor
X (t) = X (s) + X (t) − X (s) . Az
X (t)−X (s) növekmény a Lévy-folyamatot de niáló függetlenségi feltétel miatt a múlt alapján X (t) értéke szempontjából az X (s) értéke fontos. Egy fej-vagy írás
nem becsülhet® meg. De az
játékban egy adott id®szak alatti becs®dölés valószín¶sége függ attól, hogy mennyi pénzünk volt a játék kezdete el®tt! A rating osztályokra visszatérve vegyük észre, hogy a Markov-folyamatok korábban idézett tulajdonsága alapján az egyes kategóriákban való tartózkodás ideje exponenciális eloszlású, vagyis minden rating osztályban a kötvények egy exponenciális eloszlású várakozási id® szerint pihennek. Az egyes osztályokhoz tartozó
λi
intenzitási paraméterek nem feltétlenül azonosak. Az egyes
osztályokból való kilöködést generáló folyamat hasonló a Poisson-folyamatoknál tárgyalt folyamatokhoz.
Ha azonban az ugrást kiváltó ok bekövetkezik, akkor szemben a Poisson-folyamattal
nem pusztán húzunk egy vonalat, na még egy ugrást láttunk.
Ha ezt tennénk, akkor
Poisson-folyamatunk lenne. A rating osztályok közötti mozgást megadó Markov-lánc az
N N
darab darab
kilöködési folyamat összekapcsolásából áll. Megnézzük, hogy az ugrást követ®en hova lépett a kötvény, mi lett az új rating osztály. Vagyis minden állapot esetén a
λi
paraméter mellett azt is
meg gyeljük, hogy mi az új állapot eloszlása, hova lépett az egyed. A folyamat m¶ködése tehát a következ®: Várakozás, majd egy új állapotba való ugrás, majd megint várakozás, majd megint ugrás stb. A lényeges feltétel, hogy mint a várakozás id®tartamának eloszlása, mind a lehetséges új állapotok eloszlása csak az éppen aktuális állapottól függ és független attól, hogy milyen úton jutott el az adott kötvény a megfelel® rating osztályba. Látható, hogy a modell paraméterei általában könnyen meg gyelhet®ek és ez a Markov-láncokat a gyakorlati alkalmazások szempontjából kiemelked®en fontossá teszik.
Mi azonban csak azért
tárgyaltuk röviden a Markov-láncokat, hogy jelezzük, hogy az alább tárgyalt martingálelméleten kívül más fejezetei is vannak a sztochasztkus folyamatok elméletének
1.3.
42 .
A tökéletes véletlen: martingálok
A bolyongások a fair véletlen folyamatok egy speciális osztályát alkotják. A martingál fogalma a bolyongás fogalmának lehelet nom általánosítása. Heurisztikusan a martingálokat a fair szerencsejátékokkal szokás azonosítani, de a két fogalom azonosítása csak azért nem megfelel®, mert nem tudjuk, hogy mit jelent a fair szerencsejáték kifejezés. Egy szerencsejáték pontosan akkor fair, ha a játék kumulált nyereménye martingált alkot! Egy másik de níció, hogy egy játék fair,
41 Ez az a feltétel, miszerint a rating osztály mindent tartalmaz, amit érdemes a kötvényr®l tudni. 42 Valójában miként jeleztük többr®l van szó. Az alkalmazások többsége a Markov-láncokra és
nem a mart-
ingálelméletre épül. A sztochasztikus analízis és a pénzügyi matematika a sztochasztikus folyamatok alkalmazásának csak egy igen divatos töredéke.
1.3. A TÖKÉLETES VÉLETLEN: MARTINGÁLOK
18
ha a játékban való részvételért nem jár kompenzáció. OK, de mi a kompenzáció de níciója, milyen folyamatokat tekinthetünk kompenzációnak? Egy további de níció szerint egy játék fair, ha az eredménye tökéletesen véletlen. De mikor lesz egy sorozat eredménye teljesen, vagy tökéletesen véletlen? A martingál de níciója a sztochasztikus folyamatok elméletének egyik nagy eredménye. Igen, a matematika tételekr®l és fogalmakról szól! A tételek mellett igen fontosak, ha nem fontosabbak, a megfelel® jó de níciók, fogalmak meghatározása. A valószín¶ségszámítás, illetve a sztochasztikus folyamatok egyik célja a tökéletes véletlen, a tovább nem bontható atomisztikusan strukturálatlan véletlen, a fehér zaj de niálása. Mikor tekintsünk egy
(ξ k ) sorozatot teljesen
véletlennek, fehér zajnak? Egyrészr®l nyilván olyan de níciót akarunk, amely közel áll a fogalom köznapi értelmezéséhez, másrészt olyan fogalmat szeretnénk, amellyel azért könny¶ számolni. Ha a
(ξ k ) sorozat tagjai csak korrelálatlanok, akkor a matematikai tapasztalat azt mutatja, hogy a (ξ k ) 43 . A korrelálatlanság túl enyhe megkötés. A matematikai
sorozat matematikailag túl általános
tapasztalat, igen a matematikai tapasztalat, azt mutatja, hogy a korrelálatlan sorozatokkal nehéz
44 okokból nem tekinthet®ek a véletlen sorozat
dolgozni, így a korrelálatlan sorozatok praktikus megfelel® modelljének.
Kolmogorov egyik alapvet® hozzájárulása a valószín¶ségszámításhoz az
volt, hogy megmutatta, hogy ha a
(ξ k )
sorozat tagjai függetlenek, akkor a
(ξ k )
sorozattal kön-
ny¶ dolgozni, vagyis elegáns módon beláthatóak olyan tételek, amelyeket a tökéletesen véletlen sorozatoktól heurisztikusan elvárunk. A függetlenség fogalmát a bevezet® valószín¶ségszámítási kurzusokon természeti törvényként, a priori kategóriaként szokás bevezetni.
Úgy szokás tenni, mintha a függetlenség a tér és id®
kategóriájával azonos szinten lev® alapkategóriája lenne a szemléletünknek.
Az események sz-
intjén ez talán így is van, de a változók esetén a de níció nagyon szép és elegáns, de nem
45 . Emlékeztetünk,
feltétlenül és megkérd®jelezhetetlenül azonos a függetlenség intuitív fogalmával hogy valószín¶ségi változók egy választunk
k1 , k2 , . . . , kn P ξ k1
(ξ k )
sorozatának tagjait függetlennek mondunk, ha bárhogyan is
A1 , . . . , An ⊆ R halmazokat, akkor ∈ A1 , . . . , ξ kn ∈ An = P ξ k1 ∈ A1 · · · P ξ kn ∈ An .
indexeket és
Vagyis valószín¶ségi változók akkor függetlenek, ha az együttes eloszlásuk a peremeloszlások szorzataként írható fel.
A függetlenség de níciója szerint az összes valószín¶ségi változó segít-
ségével megfogalmazható események valószín¶sége azonos a különálló valószín¶ségek szorzatával! A változók függetlenségének de nícióját visszavezettük az általuk megfogalmazható események függetlenségére.
A de níció egyszer¶, szemléletes és elegáns.
lajdonsága, hogy ha a az
f (ξ)
és a
g (η)
ξ
és az
η
változók függetlenek és
f
és
A függetlenség legel®ny®sebb tu-
g
46 függvények akkor
tetsz®leges
változók függetlenek lesznek. Miként közismert a függetlenségb®l következik a
korrelálatlanság, így
M (f (ξ) g (η)) = M (f (ξ)) M (g (η)) . Speciálisan tetsz®leges
s
és
t
számok esetén
M (exp (itξ + isη)) = M (exp (itξ) exp (isη)) = M (exp (itξ)) M (exp (isη)) , 43 A
statisztika a véletlen sorozatot a korrelálatlan sorozattal azonosítja. A függetlenség statisztikailag nem ver-
i kálható", az adatok alapján nem ellen®rizhet® fogalom. A valószín¶ségszámítás a korrelálatlan sorozatokat csak akkor tekinti tökéletesen véletlennek", ha a sorozat tagjainak eloszlása normális. Ilyenkor azonban a korrelálatlanságból következik a függetlenség.
44 A paraktikus szó tartalma most a bels® matematikai építkezés praktikus aspektusaira vonatkozik. 45 Hangsúlyozni kell, hogy a matematika egyik célja, hogy pontosítsa és rögzítse az intuitív fogalmak
tartalmát.
Evvel felbecsülhetetlen szolgálatot tesz az emberi gondolkodásnak, de azt azonban látni kell, hogy a fogalomalkotás is történelmi folyamat és nem mindig sikerül els®re a legjobb matematikai modellt megtalálni a köznyelvben szerepl® valamilyen intuitív tartalomra. Egy matematikai modell, fogalom jóságát a mikroökonómiában ismert elv írja le: A modellnek egyszerre kell egyszer¶nek és az intutívnek lenni. A két szempont gyakran egyszerre csak egymás rovására érvényesíthet®. A matematikai által használt fogalmak megalkotása hasonló a számítógépes metaforák" készítéhez. Egy jó számítógépes metafora" elegáns, egyszer¶ és intuitív. És a mögöttes kód általában igen bonyolult.
46 Valójában
a függvények csak Borel-mérhet®ek lehetnek, de ez a Borel-blabla az, amit az olvasó nyugodtan -
gyelmen kívül hagyhat. Egy átlagos közgazdász feltehet®leg nem képes egy nem Borel-mérhet® függvényt elképzelni. Ha az olvasó az egyetem befejezése helyett még mindig vágyik a matematikai pontosságra, akkor legyenek az
g
folytonosak. Evvel az állítás precíz lesz.
f
és
1.3. A TÖKÉLETES VÉLETLEN: MARTINGÁLOK
19
ahol
exp (ix) $ cos x + i sin x. Ezt úgy szokás kifejezni, hogy az együttes eloszlás karakterisztikus függvénye a különálló peremeloszlások karakterisztikus függvényeinek szorzataként írható fel. Ez a tulajdonság ráadásul jellemzi is a független változókat, vagyis két változó pontosan akkor független, ha az együttes eloszlás karakterisztikus függvénye szorzat alakba írható. A függetlenséggel kapcsolatos tételek zöme nem túl meglep® módon a karakterisztikus függvény segítségével indokolható a legegyszer¶bben.
A
klasszikus valószín¶ségszámítás tételei a matematikai gondolkodás remekm¶vei. Sajnos ebb®l még nem következik, hogy megtaláltuk a tökéletes véletlen de nícióját. A független valószín¶ségi vál-
47 . Az egyik legnagyobb és leginkább
tozókból álló sorozatok sajnos bizonyos dolgokat nem tudnak
kézenfekv® gond, hogy a független tagokból álló sorozatok nem alkotnak lineáris teret. Az lineáris kombináció a legtermészetesebb matematikai m¶velet, amely minden korlátozás nélkül való végrehajthatósága minden lényeges matematikai fogalom esetén alapkövetelmény.
Bármilyen ésszer¶
matematikai fogalmat is de niálunk, nagyon jó oka kell lenni annak, ha nem akarjuk a területen a lineáris algebra eszközeit használni.
A sztochasztikus folyamatok elméletét megalapító Doob
érdeme, hogy a független, nulla várható érték¶ sorozat fogalmát felcserélte a martingál fogalmá-
48 . A martingál a bolyongás fogalmának továbbfejlesztése. Ha a bolyongás a Windows 2000, 49 akkor a martingál a Windows XP . Két változó függetlensége szimmetrikus fogalom. Egyik
val
sem magyarázható a másikkal. Az id®ben alakuló folyamatok esetén a függetlenség némiképpen túl er®s megkötés. Ha valamely sztochasztikus folyamat független növekmény¶, akkor a növekmény független a múlttól, vagyis a múltból nem tudunk a jöv®ben bekövetkez® megváltozásra következtetni. De ez fordítva is igaz. A változás ismerete nem hordoz információt a múltról. De a múlt és a jöv® nem teljesen szimmetrikus!
1.3.1.
Filtráció és martingálok
A martingál de níciója a következ®: Legyen adva egy a lehetséges id®pontok halmaza.
Az
A
(Ω, A, P)
valószín¶ségi mez®.
eseménytér mellett legyenek még adva az
Legyen
Ft , t ∈ T
T
es-
t id®pontig bekövetkezett eseményeket tartalmazzák. Az Ft interpretációja Fs ⊆ Ft , vagyis ha s < t, akkor minden az meg gyelhet® esemény meg gyelhet® a t id®pontig is. Az (Ft )t∈T matematikai struk-
eményterek, amelyek a miatt, ha
s
s
id®pontig
a
T
két lehetséges id®pontja, akkor
túrát ltrációnak mondjuk. Az
(Ω, A, P) mez® mellett az (Ft ) ltrációt is a modell alapadatának tekintjük. A T id®halmazon ξ (t) folyamatot az (Ω, A,P, (Ft )) alapadatok mellett martingálnak mondjuk, ha az
értelmezett
alábbi tulajdonságok teljesülnek: 1. A
ξ (t)
trajektóriái jobbról folytonosak és rendelkeznek bal oldali határértékkel.
2. Minden
t∈T
esetén létezik az
M (ξ (t))
várható érték és ha
Az els® tulajdonság diszkrét id®pontokból álló
T
s < t,
akkor
M (ξ (t) | Fs ) = ξ (s).
esetén természetesen semmitmondó, folytonos
id®horizont esetén a korábban elmondottaknak megfelel®en azt jelenti, hogy a martingálok rendelkezhetnek ugrásokkal, de az ugrásokat in nitezimálisan nem lehet el®relátni, ugyanakkor a folyamatnak az ugrásokon kívül más típusú szakadásai nem lehetnek.
47 A
A második tulajdonság
tökéletesen véletlen sorozatoktól elvárjuk, hogy az ellenük folytatot stratégiai játék eredménye is tökéletesen
véletlen legyen. Bolyongás ellen végrehajtott stratégiai játék nyereménye csak martingál, folytonos esetben csak lokális martingál, és nem bolyongás.
48 Némi
zavart okozhat, hogy a bolyongást most azonosítjuk a független, nulla várható érték¶ sorozattal.
A
bolyongás tulajdonképpen független, nulla várható értékkel rendelkez® sorozatból, a fehér zajból, képzett sor részletösszeg sorozata. A martingál a bolyongásnak felel meg, a véletlen sorozatnak, a fehér zajnak a martingáldifferencia sorozat felel meg. Diszkrét id®ábrázolás esetén a martingál és a martingáldierencia ekvivalens ábrázolási formák. Folytonos id®paraméter esetén azonban a martingál, illetve a bolyongás értelmes fogalmak, a fehér zaj, vagyis a folytonosan képzett növekményekb®l álló folyamat, vagyis a deriváltakból álló folyamat matematikailag nehezen értelmezhet®.
49 Ha
tetszik a lokális martingál pedig a Windows 7.
1.3. A TÖKÉLETES VÉLETLEN: MARTINGÁLOK
20
ξ (t)
szerint a folyamat statisztikailag el®rejelezhetetlen, vagyis a alapján a
ξ (s)
50 az
érték legjobb becslését
Fs
adja. A folyamat martingál, ha a múltja alapján a jöv®jét nem lehet el®rejelezni.
Egy folyamat tökéletesen véletlen, ha a múltja nem szolgáltat információt a jöv®jére nézve.
A
legtöbb amit a múltból a jöv®re nézve kiolvashatunk az a jelen állapot. Nem rossz de níciója a tökéletes véletlennek, jobb, és valljuk meg heurisztikusan is jobb és
51
világosabb, mint a korábbi bolyongásra épített megközelítés!
Ezen a ponton érdemes egy további fontos lozó ai megjegyzést tenni. A Kolmogorov-féle valószín¶ségszámítási modellnek van egy alapvet® hibája. A hiba a teljes valószin¶ségszámítás problémája, mondhatnánk az általunk is használt teljes matematikai modell gyenge pontja.
Mikor is tekintünk egy
sorozatot véletlennek? Ha adott valószín¶ségi változók egy meghatározott tulajdonságokkal rendelkez® diszkrét vagy folytonos idej¶ folyamata. OK, de mit is jelent ez? Hát diszkrét id®ábrázolás esetén ez azt jelenti, hogy minden
ω
esetén adott egy
(ξ k (ω))
számsorozat.
Minden
ω
esetén!
Valójában azonban ilyen nincsen! Egy részvény árának alakulása csak egyszer gyelhet® meg. Mi van a többi
ω
esetén való realizációval? Reméljük, hogy azok is olyanok mint a meg gyelt. De
mit jelent az, hogy olyanok mint a meg gyelt sorozat? A Lévy-folyamatok esetén bevezetett stacionárius és független növekmény feltétele éppen azt szolgálja, hogy biztosítsa, hogy a különböz®
ω
kimenetelek esetén meg gyelt konkrét sorozatok, realizációk nagyon hasonlóak legyenek, vagy
legalábbis a különböz® lehetséges sorozatok hosszútávú átlagos tulajdonságai stabilan viselked-
52 . Na de egy sorozat, hangsúlyozzuk egyetlen sorozat mikor tekinthet® véletlennek? Az
jenek
általunk vizsgált egy darab részvény, egyetlen realizációja mikor tekinthet® véletlen sorozatnak? A kérdés többek között Kolmogorovot is izgatta. Nem véletlenül. Az általa és számos más matematikus
53 által talált válasz a következ®: Tegyük fel, hogy adott
szik az
(an )
sorozat lehet
0
és
1
(an )
számok egy sorozata. Ha tet-
jelek egy végtelen sorozata. Ha a sorozat nem véletlen, akkor van
benne valami szabályszer¶ség. De mikor mondjuk, hogy egy sorozatban van valamilyen szabály? Akkor mondjuk, hogy egy sorozatban van szabály, ha megadható egy olyan eljárás, amely rövidebb, egyszer¶bb mint az eredeti és amelyet alkalmazva reprodukálni tudjuk a sorozatot. Egy sorozat véletlen, ha nincsen benne szabály. Némiképpen pontosabban fogalmazva, ha egy sorozatban van szabály, akkor írható egy olyan számítógépes
54 program, amely el®rejelzi a sorozat tagjait55 . A
program hossza tekinthet® a sorozat komplexitásának mértékének. program
n
sorból áll, akkor a sorozat komplexitása
a sorozat els®
n
tagjából el®rejelzi a sorozat
akkor a sorozat véletlen.
n.
Ha a lehetséges legrövidebb
Ha a legrövidebb program, hossza, amely
(n + 1)-edik
tagját az
n
növekedésével arányosan n®,
Vegyük észre, hogy éppen err®l van szó a részvények áralakulásának
el®rejelzése esetén is. Nincs olyan x hosszú, el®re rögzített számítógépes program, amely a már ismert adatokból az adatsor következ® tagját megadja. A martingál de níciója a véletlen sorozatok éppen ezen tulajdonságát ragadja meg.
Nincs olyan statisztikai módszer, amely alapján a
múltból a jöv® el®rejelezhet® lenne. Másképpen fogalmazva a sorozat komplexitása a sorozatban lev® információ nagyságának mértéke, bármit is jelentsen az információ szó. Ha a sorozat véletlen, akkor a sorozat minden tagja meglepetés, vagyis a sorozat információtartalma nem tömöríthet®. A martingál olyan sztochasztikus folyamat, amely meg gyeléséb®l származó információtartalom nem tömöríthet®.
50 Természetesen
még most is körbeforog a de níció, ugyanis a becslés szót a feltételes várható értékkel de niáljuk.
A feltételes várható érték legegyszer¶bb tulajdonságait a függelékben röviden össze fogjuk foglalni.
51 Persze
hátra van a feketeleves, az
M (ξ (t) | Fs )
feltételes várható érték.
A lozó ai duma igen fontos, de a
végén, a függelékben egy kis matematika is lesz azért.
52 Véletlengenerátorokkal
való egyszer¶ játszadozással könny¶ belátni, hogy az egyes
ω
kimenetelek melletti tra-
jektóriák igencsak különböz®ek lehetnek. Egyik alapvet®en n®, a másik alapvet®en csökken stb.
53 A
kérdés nyilván visszamegy a tudományos gondolkodás kezdetéig.
A komplexitás fogalmát Kolmogorovtól
függetlenül de niáló Chaintin szerint a kérdéssel már Leibniz is foglalkozott. A Leibniz által adott válasz éppen a KolmogorovChaitin-féle komplexitás de níciója: akkor mondjuk, hogy rendelkezésünkre áll egy természeti törvény, ha van olyan szabálygy¶jteményünk, amellyel le tudunk írni egy adott jelenséget és a szabálygy¶jtemény egyszer¶bb mint a leírandó jelenség.
54 A számítógépet rögzítjük. 55 n elemb®l álló sorozat esetén
a2 , . . . ,
print
an .
mindig létezik
n
sorból álló program, amely a sorozatot visszaadja: print
A kérdés csak az, hogy létezik-e olyan program, amely ennél jóval rövidebb.
a1 ,
print
1.3. A TÖKÉLETES VÉLETLEN: MARTINGÁLOK
21
Már jeleztük, de nyomatékosan hangsúlyozni kell, hogy a martingál a bolyongáshoz hasonlóan kumulált fogalom, vagyis véletlen lökések összege. A fehér zaj intuitív fogalma a folyamatosan megjelen® lökések folyamata; a bolyongás, illetve a martingál ezek integrálja. A gond csak az, hogy folytonos id®ábrázolás esetén az integrálfolyamat létezik, de nem létezik a deriváltfolyamat
56 .
ξ martingál és az dk $ ξ k − ξ k−1 martingáldif-
Folytonos id®ábrázolás esetén a fehér zaj értelmetlen fogalom. Ha azonban a id®ábrázolás diszkrét, akkor értelmezhet® a fehér zajnak megfelel®
ferencia sorozat. A martingál de níciója miatt
M (dk | Fk−1 )
= M ξ k − ξ k−1 | Fk−1 = = M (ξ k | Fk−1 ) − M ξ k−1 | Fk−1 = = ξ k−1 − ξ k−1 = 0, 57 . A feltételes várható értékre vonatkozó
vagyis a növekmények feltételes várható értéke nulla toronyszabály miatt
M (M (dk | Fk−1 )) = M (0) = 0. Ha a
ξk
független, nulla várható értékkel rendelkez® változók összege
M (ξ k | Fk−1 )
=
M
k X
58 , vagyis ξ k
$
Pk
i=1
di , akkor
! di | Fk−1
=
i=1
=
k X
M (di | Fk−1 ) =
i=1
=
M (dk | Fk−1 ) +
k−1 X
di =
i=1
=
0+
k−1 X
di = ξ k−1 ,
i=1 ahol kihasználtuk, hogy függetlenség esetén a feltételes várható érték megegyezik a tényleges várható értékkel, illetve az
(Ft )
ltráció azon implicite mindig feltételezett tulajdonságát, hogy
ha adott valamilyen sorozat, vagy folyamat akkor mindig feltesszük, hogy minden
ξ (t)
mérhet® az
1.3.2.
Ft
eseménytérre
t
id®pontra az
59 . Másképpen fogalmazva minden bolyongás martingál.
Exponenciális martingálok
A martingálok osztálya azonban jóval b®vebb mint a bolyongások. A legjobb példa olyan martingálra, amely nem bolyongás a szorzatbolyongás.
Ha adott egy
(dk )
véletlen sorozat, akkor
nem világos, hogy a folyamat aggregálását miért additív módon, vagyis miért összeadással kell elvégezni. A pénzügyi folyamatok esetén az egyes elemi lépéseket szorzással kell aggregálni. Ez éppen a közismert kamatos kamat elv. A pénzügyekben a természetes átlagolás a geometriai átlag, a pénzügyi folyamatok természetes módon multiplikatívak. Ha a
56 Mindig
(dk ) sorozat tagjai függetlenek és
az integrállal dolgozunk, de heurisztikusan mindig a nem létez® deriváltra gondolunk.
probléma indokolja a sztochasztikus analízis jelölési rendszerét a
(dw)2 = dt
Ez a sajátos
és hasonló szabályok általánosan
elterjedt alkalmazását.
57 Miként említettük a ltráció mindig el®re rögzített, implicite vagy 58 Vagyis, ha a (ξ ) sorozat bolyongás. k 59 Ezt a tulajdonságot szokás adaptáltságnak nevezni. Másképpen
a ltráció, akkor az
Ft
de níció szerint a
t
explicite adott. fogalmazva, ha nincsen megadva explicite
id®pontig meg gyelt változók által de niált eseménytér.
Független
növekmény¶ folyamatok esetén a ltráció általában explicite nincsen adva, de az említett módon implicite mindig értelmezve van.
1.3. A TÖKÉLETES VÉLETLEN: MARTINGÁLOK
a várható értékük egy, akkor a
ξk $
Qk
i=1
M (ξ k | Fk−1 )
di
22
sorozat martingál, ugyanis a kiemelési szabály miatt
=
k−1 Q di | Fk−1 = M dk
=
k−1 Q
i=1
di M (dk | Fk−1 ) =
i=1
=
k−1 Q
di · 1 $ ξ k−1 ,
i=1 ahol ismét felhasználtuk, hogy független változók esetén a feltételes várható érték megegyezik a közönséges várható értékkel.
A multiplikatív martingálokra vonatkozó legfontosabb példa a
Wiener-folyamathoz tartozó úgynevezett exponenciális martingál. Ha az
exp (w (t))
változó lognormális eloszlású.
nevezetes
w
Wiener-folyamat, akkor
A lognormális eloszlás várható értékére vonatkozó
σ2 M (exp (N (µ, σ))) = exp µ + 2
képlet alapján
√ t = exp M (exp (w (t))) = M exp N 0, t . 2
Ebb®l következ®en az
t exp (w (t)) exp w (t) − = 2 M (exp (w (t)))
valószín¶ségi változó várható értéke
1.
Így a
t ξ (t) $ exp w (t) − 2 folyamat folytonos id®paraméter¶ szorzatbolyongás:
M (ξ (t) | Fs ) $ = = = = = = = A
ξ (t)
1.3.3.
folyamatot szokás a
w
t M exp w (t) − | Fs = 2 t M (exp (w (t)) | Fs ) = exp − 2 t exp − M (exp (w (t) − w (s)) exp (w (s)) | Fs ) = 2 t exp − exp (w (s)) M (exp (w (t) − w (s)) | Fs ) = 2 t exp − exp (w (s)) M (exp (w (t) − w (s))) = 2 √ t exp − exp (w (s)) M exp N 0, t − s = 2 t t−s exp (w (s)) exp = exp − 2 2 s exp w (s) − $ ξ (s) . 2 exponenciális martingáljának mondani.
Függetlenség, korrelálatlanság, martingálok
(dk ) sorozat de níció szerint martingáldierencia sorozat, ha minden i < j esetén M (dj | Fi ) $ 0. Az elnevezést triviálisan az indokolja, hogy egy (dk ) sorozat pontosan akkor martingáldierencia Egy
1.3. A TÖKÉLETES VÉLETLEN: MARTINGÁLOK
23
sorozat, ha van egy martintingál, amelynek növekményei éppen a
(dk )
sorozat elemei. A mart-
ingáldierencia sorozatra a legegyszer¶bb példa a független és nulla várható értékkel rendelkez® valószín¶ségi változókból álló sorozat. Megjegyezzük, hogy ha a
(dk )
sorozat martingáldierencia
sorozat, akkor a sorozat tagjai korrelálatlanok. Mivel a martingálok tartják a várható értéket a martingáldierencia sorozat tagjainak várható értéke nulla, így ha
i < j,
60 ,
akkor a kiemelési és a
torony szabály miatt
cov (di , dj ) $ M (di dj ) = M (M (di dj | Fi )) = = M (di M (dj | Fi )) = M (di 0) = 0. Ebb®l látható, hogy a martingálok a független növekmény¶ és a korrelálatlan növekmény¶ folyamatok között helyezkednek el. Ezért mondtuk a martingálok bevezetésekor, hogy a martingál a bolyongás lehelet nom általánosítása. Természetesen a Lévy-folyamatok és a martingálok nem meritik ki a sztochasztikus folyamatok családját. Fontos példa olyan folyamatra, amely sem nem Lévy-folyamat
61 sem nem martingál a
korábban tárgyalt Markov-lánc, vagy a kés®bb tárgyalt frakcionális Wiener-folyamat.
1.3.4.
Lokális martingálok
Van azonban egy rossz hír. Valójában a sztochasztikus analízisben nem a martingálok adják az atomisztikus véletlen fogalmát. A pontos osztály az úgynevezett lokális martingálok osztálya, amely némiképpen b®vebb osztály a martingáloknál. A lokális martingálokra még többször vissza fogunk térni, most csak néhány érint®leges megjegyzést teszünk. A martingálok kapcsán a leggyakrabban használt állítás az úgynevezett megállási opciókról szóló
tétel. A lokális martingálok bevezetéséhez is célszer¶ ebb®l a tételb®l kiindulni. Vegyük észre, hogy a martingálok legfontosabb tulajdonsága, hogy tartják a várható értéket. Ez éppen a toronyszabály következménye: Ha
ξ
martingál és
t > s,
akkor
M (ξ (t)) = M (M (ξ (t) | Fs )) = M (ξ (s)) . A fordított állítás persze nem igaz. várható értéket lesz martingál.
(1.2)
Természetesen nem minden olyan folyamat, amely tartja a
A megállási opciókról szóló tétel a várható érték megmaradási
tulajdonságot terjeszti ki x id®pontokról úgynevezett megállási id®kre, megállási szabályokra. A megállási id® fogalmát legegyszer¶bben példákon keresztül világíthatjuk meg. Mindenki tudja, hogy a lehet® legolcsóbban venni és a lehet® legdrágábban eladni lehetetlen. Ennek oka, hogy az az id®pont, amikor mondjuk egy részvény a lehet® legdrágább az esemény bekövetkeztekor nem ismert. Majd kés®bb, a történelem eldönti, hogy a múltban az adott esemény bekövetkezett-e és ha igen, akkor mikor. Másképpen fogalmazva, az az id®pont, amikor a részvény ára egy adott id®szak alatt a legnagyobb nem megállási id®. Ez egy véletlen id®pont, ugyanis a trajektória maximuma és annak id®pontja függ a trajektóriától és így véletlenszer¶en alakul. A megállási id®k olyan véletlen id®pontok, amelyek bekövetkeztével a bekövetkezés id®pontjában tisztában vagyunk és nem csak visszatekintve vagyunk okosak. Megállási id®re tipikus példa a halmazok találati ideje. Például az els® olyan id®pont, amikor a részvény ára mondjuk 100 dollár fölé emelkedik, vagy el®ször lesz egy dollár három euró stb.
Világos, hogy amikor ez bekövetkezik, akkor err®l
az esemény bekövetkezéssének id®pontjában mindenki tud
62 . Ugyanakkor az az id®pont, amikor
utoljára volt a részvény ára száz dollár nem megállási id®. Az, hogy valami el®ször következik be a bekövetkezés pillanatában eldönthet®. Valamely esemény utoljára való bekövetkezése általában csak visszatekitve értelmezhet®
63 . Világos, hogy ténylegesen cselekedni, csak megállási id®k men-
tén lehet.
60 V.ö.: (1.2) sor, 23. oldal. 61 A folyamat növekményei stacionáriusak,
de nem függetlenek. Vegyük észre, hogy a frakcionális Brown-folyamat
folytonos.
62 Persze csak olyanok, akiket a kérdés érdekel. 63 A probléma mögött, lozó ai szinten" triviálisan
az id® megfordíthatatlansága van. A sztochasztikus analízis-
ben az id® mindig egy irányban változik, ugyanis a ltráció mindig n®, így az id®tengely egy egyértelm¶ irányítással bír.
1.3. A TÖKÉLETES VÉLETLEN: MARTINGÁLOK
24
1.5 Tétel. (A megállási opciókról szóló tétel) Egy
ξ (t)
τ
jobbról reguláris, adaptált folyamat pontosan akkor martingál, ha minden korlátos
megállási id® esetén
64
M (ξ (0)) = M (ξ (τ )) , és a két oldal mindig véges. Másképpen egy adaptált és jobbról reguláris folyamat pontosan akkor martingál, ha korlátos megállási id®k mentén a várható értéke véges és a megállított változó várható értéke független a megállítási szabálytól. A tétel elnevezését az indokolja, hogy a tétel szerint várható értékben a tetsz®leges id®pontban való kilépés opciója, lehet®sége, joga értéktelen, feltéve, hogy a tétel
65 . Ha a
állításának megfelel®en egy x id®vel korlátozzuk a kilépési opció lehetséges élettartamát
kilépés lehet®ségével nem várhatunk addig, amig csak akarunk, akkor a megállási jog, legalábbis a várható érték szempontjából, értéktelen. A megállási id® korlátosságának feltétele igen fontos! Minden Wiener-folyamat független növekmény¶ és a növekmények várható értéke nulla, így minden Wiener-folyamat martingál. Ugyanakkor az (1.1) sorban de niált
τa
megállási id®re
M (w (τ a )) = M (1) = 1, miközben
w (0) = 0.
Nem minden martingál tartja minden megállási id®re a várható értéket.
Ha valamely adaptált és jobbról reguláris folyamatra tetsz®leges
τ
megállási id® esetén teljesül a
megállási opciókról szóló tétel, akkor a folyamatot nevezhetnénk er®s martingálnak. Az igazán kijátszhatatlan véletlen folyamatok nem a martingálok, hanem az er®s martingálok. Sajnos a matematika, mint minden emberi tudomány, id®ben fejl®dött és nem minden elnevezése tökéletes. A sztochasztikus analízisben számos esetben a viszonylag egyszer¶ koncepcióknak nagyon tudományos neve van
66 . Az er®s martingálok hivatalos neve egyenletesen integrálható mart-
67 ingál . Minden martingálból lehet egyenletesen integrálható martingálokat csinálni. Legyen egy sztochasztikus folyamat és legyen
τ
ξ
egy véletlen id®pont. Tekintsük a
ξ τ (t, ω) $ ξ (t ∧ τ (ω) , ω) módon de niált folyamatot. Emlékeztetünk, hogy az
ξτ
folyamatot a
ξ
folyamat
τ
a∧b
jel az
a
és a
b
számok közül a kisebbre
t id®pont τ (ω) el®tt van, akkor a ξ τ értéke ebben az id®pontban azonos a ξ τ értékével. De ha t ≥ τ (ω) , vagyis t a τ bekövetkezése után van, akkor a ξ értéke éppen a ξ értéke τ a τ bekövetkezésének pillanatában. Vagyis a ξ a τ el®tt azonos a ξ -vel, de a τ id®pontban az utal. A
id®pontban való megállításának mondjuk. Ha a
valamilyen kimenetelre a
értéke kimerevedik. A megállási opciókról szóló tétel segítségével belátható, hogy a martingálok halmaza invariáns a megállási id®k szerint megállításra nézve. tetsz®leges megállási id®, akkor a
Vagyis ha a
ξ
megállított folyamat ismét martingál lesz
τ ≡t
martingál és a
τ
68 . Ugyanakkor ha
ξτ
ξ
martingál és a
a
64 A ξ (τ ) változó az a valószín¶ségi változó, amely értéke minden ω kimenetel esetén éppen a ξ folyamat értéke τ (ω) id®pontban. Vagyis (ξ (τ )) (ω) $ ξ (τ (ω) , ω) . A ξ (τ ) valószín¶ségi változó elnevezése megállított változó. 65 A
t
ξτ
tetsz®leges id®pont, akkor a
egy megállási id®, és ilyenkor a
folyamat
korlát függhet a szabálytól. A pénzügyi matematikában mindig megköveteljük, hogy az opcióknak legyen
egy x, véges lejárati ideje. Ez nagyban egyszer¶síti a matematikai kezelést, mert ilyenkor az összes számbajöhet® megállási szabálynak van egy x fels® korlátja, így a megállási opciókról szóló tételben szerepl® korlátozó megkötés, s®t annál több is, teljesül.
66 Maga
a martingál is ezek közé tartozik.
A martingál elnevezés nagyban nehezíti a koncepció megértést és
elfogadását, ugyanis a martingál szó önmagában nem igazán jelent semmit és ezért a kezd®knél a szükséges intuitív motivációk autómatikusan nem érzékelhet®ek. Ebb®l a szempontból a valójában sokkal bonyolultabb és bizonyos szempontból jóval keresettebb függetlenség elnevezés telitalálat. Másképpen a függetlenség marketing kommunikációja jó, a martingál rossz kommunikációval rendelkez® igen hasznos fogalom.
67 Hogy
az elnevezést miért használjuk, annak jó oka van és ennek megtárgyalása nagyon messze vezetne.
Az
olvasónak elegend® annyit megjegyezni, hogy az egyenletesen integrálható martingálokat átlagban nem lehet megállási stratégiával manipulálni.
68 Érdemes
hangsúlyozni, hogy hasonló tulajdonság a Lévy-folyamatok és a bolyongások esetén nem teljesül. Ez
is azok közé az észrevételek közé tartoznak, amelyek a martingálok szerepét nyomatékosítják.
1.3. A TÖKÉLETES VÉLETLEN: MARTINGÁLOK
25
egyenletesen integrálható martingál. Ennek oka igen egyszer¶: Ha most
σ
tetsz®leges megállási
id®, akkor
M (ξ τ (σ)) = M (ξ (σ ∧ τ )) = M (ξ (σ ∧ t)) = M (ξ (0)) , ρ$σ∧t
ugyanis a
megállási id® korlátos, és korlátos megállási id®k esetén a megállási opciókról
τ n ≡ n sorozatot. Világos, hogy ha a ξ martingál, akkor minden n-re ξ τ n egy egyenletesen integrálható martingál. Mivel a τ n % ∞, ezért azt szokás mondani, hogy a (τ n ) sorozat lokalizálja a ξ martingált. szóló tétel igaz. Tekintsük most a
1.6 De níció. Ha valamely folyamatra van olyan megállási id®kb®l álló (τ n ) sorozat, amelyre τ n % ∞, és amelyre n-re a ξ τ n megállított folyamat egyenletesen integrálható martingál, akkor a ξ folyamatot
minden
69 .
lokális martingálnak mondjuk
Az olvasó joggal vetheti fel, hogy mi értelme van ennek a de níciónak. Jogos az igény, hogy némi magyarázattal szolgáljunk. A magyarázat, vagy inkább indokolgatás el®tt célszer¶ azonban egy általános jelleg¶ megjegyzést tenni. Minden matematikai elméletnek megvan a maga gyenge pontja. Nullával nem lehet osztani, negatív szám nem lehet a gyök alatt, a mátrixok szorzásakor a sorrend fontos stb. Ezek a technikai részletek ügyes kerülgetése adja a matematikai elmélet sava-borsát.
A tényleges
gyakorlati alkalmazásokban azonban ezek a kérdések nem bírnak akkora jelent®séggel, mint azt az elméleti fejtegetések kapcsán esetlegesen gondolnánk. Magunktól, ritkán akarunk nullával os-
70 , és ha egyáltalában valaha gyököt akarnánk vonni, nyilván nem fogunk negatív számot
ztani
tenni a gyök alá. Hasonlóan, nem is olyan könny¶ lokális martingált csinálni. Viszonylag komoly felkészültség kell, ahhoz, hogy valaki martingált akarjon csinálni és mégis valódi lokális mart-
71 .
ingált kapjon
Erre kés®bb vissza fogunk térni.
Mivel a lokális martingál kontra martingál
a sztochasztikus analízis technikai alapproblémája a kérdést nem szabad alábecsülni, de nem is kell túlbecsülni sem. olvasónak
A sztochasztikus analízissel nagyrészt feltehet®en felületesen ismerked®
72 a két fogalom eltéréséb®l nem kell nagy ügyet csinálni.
Lássuk, tehát, hogy miért természetes fogalom a lokális martingál, vagyis miért nem elegend® x id®pontok mentén lokalizálni a martingálokat?
A kérdés inkább fordítva érdekes.
Miért is
akarnánk mi a sztochasztikus folyamatokat x id®pontokkal lokalizálni? A legtöbb, természetesen jelentkez®, tényleges id®pontmeghatározás nem x id®pontokra épül. Az id®tengely rögzítése meglehet®sen önkényes. Az ebéd után id®pont egy véletlen id®pont, egy megállási id®. Két ember el®re megbeszélt találkozásának id®pontja a legritkább esetben írható le egy pontos id®ponttal. Az id® nem feltétlenül az id®tengely által el®írt egyenletes sebesség mentén változik. Igen gyakran megállási id®k sorozata jelöli ki az id®tengelyt. Úgy érezzük, hogy a véletlen fogalma nem változik, ha az id®tengelyt rendezéstartó módon esetlegesen átskálázzuk. Vagyis természetes igény, hogy mindenhová, ahová x id®pont írható, megállási id® is írható legyen. Lényegében ezt biztosítja martingálok esetén a megállási opciókról szóló tétel, de számos más hasonló karakter¶ tétel ismert az irodalomban.
A lokális martingál csak annyit mond, hogy xen választott lokalizációs
id®pontsorozat helyett a folyamatot egy természetesen jelentkez® eseménysorozat id®pontjaival is
73 , hogy miért kapunk így egy b®vebb osztályt mint a
lokalizálhatjuk. Ami intuitíve nem világos
69 A
lokalizáló
τn ≤ n
minden
70 Mindig
τ n megállási n-re.
id®kr®l feltehet®, hogy mindegyikük külön-külön korlátos, például feltehetjük, hogy
a matektanárok jönnek evvel. Egy normális diák még osztani sem akar változót tartalmazó kifejezéssel.
Nem beszélve arról, hogy az átlagember csak a gépkocsi fogyasztás kiszámolásakor találkozik az osztással.
71 Számos igen elegáns példa ismert, de mindegyik elég technikás. 72 Mi mint egyszer¶ átlagemberek, csak pénzt akarunk keresni. Ehhez
pedig a martingál is csak azért kell, hogy
átmenjünk a vizsgán. A lokális martingállal meg törödjenek a francia és az orosz matematikusok.
73 Újra és újra hangsúlyozni kell, egy nagyon trükkös és árnyaltan kezelend® technikai fogalomról van szó, amit csak
egy küldetéstudattal rendelkez®, indokolatlanul lenézett törpe kisebbség ért. Mi közgazdászok mindig a többséggel tartunk. Naná, majd pazaroljuk az id®nket apróságokra.
1.3. A TÖKÉLETES VÉLETLEN: MARTINGÁLOK
26
martingálok, ugyanis valahol a két fogalom intuitíve nagyon hasonló
74 .
Hogy a fejtegetést némiképpen jobban motiváljuk, megjegyezzük, hogy egy martingál esetén nem csak a megállási stratégia id®tartamának korlátozásával érhetjük el a várható érték változat-
75 megszüntetése céljából kiköthetjük azt 76 is, hogy a lehetséges nyeremények és a veszteségek halmaza korlátos legyen . Vagyis nem csak lanságát.
A duplázási és a hozzá hasonló stratégiák
azt írhatjuk el®, hogy egy x id® után a játékot be kell fejezni, hanem azt is mondhatjuk, hogy egy bizonyos értékhatár átlépésekor lesz a játéknak vége. Az, hogy id®ben mikor lépjük át el®ször az el®írt szintet nyilván megállási id®, függ a játék alakulásától. Ennek megfelel®en az egyenletes
77 nem lesz x id®pontok sorozata.
integrálhatóságot biztosító lokalizációs id®sorozat esetlegesen
Semmi okunk nincsen arra, hogy egy játékban az id®tartamot és nem a nyeremény és veszteség értékét, vagyis ne az értékfolyamat nagyságát korlátozzuk. Valljuk be, az értékfolyamat nagyságának korlátozása sokkal természetesebb, mint a játék tényleges lefolyásától függetlenül a játék id®tartamának korlátozása. Ha viszont az értékfolyamat nagyságát korlátozzuk, nem feltétlenül tudunk különbséget tenni a martingálok és a lokális martingálok között.
Ha az értékfolyamat
korlátozására koncentrálunk, akkor derékig belesülyedtünk a sztochasztikus analízis mocsarába: Szabad akaratunkból megteremtettük a sztochasztikus analízis szörnyét a lokális martingált!
74 A
lokális martingál versus valódi martingál probléma lényegében a végtelennel kapcsolatos matematikai para-
doxonok egyike.
A dolog lényeg, hogy korlátlan er®sforrásokkal sok mindent meg lehet csinálni.
tökéletesen véletlen folyamatból várható érték szintjén nyereséget lehet kicsiholni. val egy valódi martingálból lehet lokális martingált csinálni.
Például egy
Trükkös kereskedési stratégiá-
Ugyanakkor az er®források természetes módon
korlátosak, és korlátos er®források esetében nem lépnek fel lokális martingálok csak valódi martingálok.
75 Nyilván
a duplázási stratégia korlátlan er®forrást, hátteret igényel. A duplázási stratégia lényege, hogy semmi-
lyen körülményke között sem szabad befejezni, végtelen nagy zseb, rendelkezésre álló hitel, kell a nanszírozásához.
76 Hangsúlyozni
kell, hogy az általunk tárgyalt matematikai modellben a f® nehézséget a duplázási típusú
stratégiák lehet®sége hozza be.
A duplázási stratégia pedig tipikusan csak matematikailag lehetséges.
inókban a duplázás nem azért tiltott, mert kaszinó fél t®le.
Nem, á dehogy.
A kasz-
A kaszinó hírnevének a duplázási
stratégiát folytató, nyilvánosan öngyilkosságot elkövet® ostobák tömege ártana.
77 Ez
például abban a kiemelked®en fontos esetben, amikor a trajektóriák folytonosak mindig megtehet®.
2. fejezet
Sztochasztikus integrálás Ebben a fejezetben a sztochasztikus integrál fogalmát de niáljuk. A gondolatmenet lényege, hogy minden integrál súlyozott összegek határértéke. A sztochasztikus integrálok esetén a konvergenciát a sztochasztikus konvergencia de niálja. A sztochasztikus integrálás másik sajátos tulajdonsága, hogy a közelít® összegek megválasztásakor csak az intervallum kezd®pontja megengedett. A sztochasztikus analízis legfontosabb fogalma a sztochasztikus integrál. A sztochasztikus integrál, mint minden integrál valamilyen közelít® összegek határértéke. Az integrál közelít® összegek súlyozott számtani közepek, vagyis az integrál mindig súlyozott számtani közepek határértéke. Ennek megfelel®en minden integrál esetén meg kell különböztetni a súlyt, amit integrátornak szokás nevezni, illetve az összegzend® értékeket, amit integrandusna k szokás mondani. A különböz® integrálfogalmak lényegében csak abban térnek el, hogy miként képezzük az integrál értékét közelít® összegeket, illetve hogyan képezzük a határértékeket. Az integrál heurisztikus tartalma mindig a közelít® összegekb®l olvasandó ki, a határérték képzése mindig matematikai b¶vészkedés
1
tárgya . Az integrál de níció szerint a közelít® összegek által hordozott intuitív fogalmat, tartalmat terjeszti ki a határértékre. A sztochasztikus integrál képzésekor a súlyt valamilyen véletlen, kockázatos folyamat id®ben való értéknövekedése adja. A pénzügyi matematikában a súly, vagyis az integrátor valamilyen pénzügyi termék adott id®szakban való ármegváltozása, az integrandus pedig a kockázatos termékb®l az integrálási id®periódus alatt tartott portfolió nagysága. Ennek megfelel®en a pénzügyi matematikában a sztochasztikus integrálok a kockázatos termékekb®l álló portfoliók értékének alakulását megadó sztochasztikus folyamatként interpretálhatóak.
2.1.
Korlátos változású folyamatok szerinti integrálás
Az integrálás heurisztikus megértésének egyetlen kulcsa van: a klaszikus, az elemi analízisben tárgyalt, úgynevezett Riemann-féle integrálfogalom, illetve konstrukció megértése. Ennek megfelel®en el®ször röviden áttekintjük az elemi analízisben tanult Riemann-integrált, majd ismertetjük a fogalom általánosításait. A legegyszer¶bb általánosítás az úgynevezett Stieltjes-integrál, amikor a súlyfüggvényt explicit módon gyelembe fogjuk venni.
A Stieltjes-integrál a Riemann-integrál
közvetlen és igen kézenfekv® általánosítása. Számos szempontból a Stieltjes-integrál egyszer¶bb mint a Riemann-integrál, ugyanis éppen a fogalom általánossága miatt az integrálással kapcsolatos problémák a Stieltjes-integrál esetén világosabban jelentkeznek mint az igen speciális Riemannintegrál esetén. A sztochasztikus integrálás megértése szempontjából kulcs jelent®sége van annak, hogy a Stieltjes-típusú integrálás csak akkor használható, ha a súlyfüggvény úgynevezett korlátos
2
változású .
1A
b¶vészkedés nem lekicsinyl® kifejezés, a b¶vészkedés általában mély meglátást takar. A b¶vészkedés célja a
határérték létezésének garantálása, illetve a konvergencia természetének feltárása.
2 Szokás
még véges megváltozású függvényekr®l is beszélni.
A korlátos és a véges változás lényegében azonos
fogalmak. Véges megváltozás alatt azt szokás érteni, hogy a függvény minden véges szakaszon korlátos változású. Így a Riemann integrál integrátora az
y = x
függvény a teljes számegyenesen nem korlátos változású, de mivel
27
2.1. KORLÁTOS VÁLTOZÁSÚ FOLYAMATOK SZERINTI INTEGRÁLÁS
28
Az integrállal kapcsolatban mindig két kérdés teend® fel: 1. Mikor létezik az integrál, illetve
3
2. hogyan számolható ki az értéke ? Ez els® kérdés bizonyos értelemben lozó ai karakter¶: mikor létezik, milyen általános körben de niálható például a terület, a várható érték, vagy miként kés®bb látni fogjuk a kereskedés, a dinamikus stratégiai játék kumulált eredménye, stb.
A létezés feltételeinek tisztázása után
felmerül® els® kérdés: ha matematikai értelemben létezik a fogalom, mekkora az értéke. gosan látni kell, hogy az els® kérdésre a válasz jóval egyszer¶bb mint a másodikra.
Vilá-
A matem-
atikában áttekinthetetlenül sok integrálfogalom van. Számtalan konstrukció létezik, amely garantálja alkalmasan választott súlyozott összegek határértékének létezését. Ugyanakkor az összegek határértékének, vagyis az integrál értékének kiszámolásához igen kevés, mondhatnánk, hogy nevetségesen kevés módszer áll rendelkezésre. Univerzálisan, vagyis igen nagyszámú összeg kiszámolását lehet®vé tev® egyszer¶ módszer tulajdonképpen csak egy van: a NewtonLeibniz-szabály. Bár a NewtonLeibniz-szabály hatékonysága bámulatos, mégis sok fontos integrál esetén közvetlenül nem
4
használható . Ha a NewtonLeibniz-szabály nem m¶ködik, akkor két dolgot tehetünk: vagy ad hoc integrálási technikát alkalmazunk, vagy az integrált numerikusan közelítjük. A matematikai elméletben el®forduló fontos integrálok kiszámolására számos ad hoc módszer született, ezek mindegyikének hatóköre azonban korlátozott, és az alkalmazott gondolatmenetek legtöbbször igen
5
speciális megfontolásokra épülnek . Ha az integrál értéke ad hoc, speciális módszerrel sem számolható ki, és az integrál értéke gyakorlati szempontból fontos, akkor az integrált numerikusan is kiszámolhatjuk, vagyis az integrál értékét valamelyik közelít® összeggel közelíthetjük.
Erre
tipikus példa a normális eloszlás eloszlásfüggvényének táblázata, miként ide tartozik az összes függvénytáblázat vagy az összes Excel-függvény is.
2.1.1.
Riemann-integrál
Riemann-integrál esetén az integrátor, vagyis a súlyfüggvény az
y = x, az integrandus, az összegzend® 6
értékeket szolgáltató objektum pedig tetsz®leges folytonos függvény lehet . Jelent®ségét két dolog adja: egyrészt szemléletes tartalma a szokásos geometriai fogalmak mint terület, térfogat
7 stb. ál-
talánosítása, másrészt az integrálra könnyen igazolható a NewtonLeibniz-szabály. A két fogalom szoros kapcsolatára utal, hogy az analízist felületesen ismer®k számára
A Riemann-integrál de níciója igen egyszer¶: vegyük az
[a, b]
8 a két fogalom egyet jelent.
szakasz egy
a = x0 ≤ x1 ≤ . . . ≤ xn = b minden véges szakaszon korlátos változású ezért véges változású. A pontos de níciókat lásd alább.
3 További
fontos kérdés, hogy milyen számolási szabályokkal rendelkezik az integrál. Mint minimális követelmény
meg szokás követelni, hogy az integrál lineáris operáció legyen, vagyis, hogy felcserélhet® legyen a lineáris kombináció képzésével. Ez olyan természetes követelmény, hogy teljesülését szinte triviálisnak szokás tekinteni. A lineáris kombináció képezhet® az integrátor, illetve az integrandus szerint is. A különböz® integrálok matematikailag legfontosabb tulajdonsága az integrál és a határértékek viszonya: Mikor lehet az integrált és a határértéket felcserélni?
4 Meg
szokás jegyezni, hogy a NewtonLeibniz-szabály mellett az úgynevezett Cauchy-formula is univerzálisan
használható integrálási technika.
A Cauchy-formula azonban inkább univerzális módszer arra, hogy olyan inte-
grálokat, amelyeket nem tudunk közvetlenül kiszámolni a NewtonLeibniz-szabállyal miként vezethetjük vissza olyan integrálokra, amelyekre a szabályt már alkalmazni tudjuk.
5A
speciális integrálok kiszámolása a matematika megbecsült, klaszikus és igen nehéz területeinek egyike. Nagy
tévedés azt hinni, hogy a számítógépes programokkal minden integrál könnyen számolható. A könny¶ integrálokat könny¶ kiszámolni, a nehezeket nehéz! A matematikában is érvényes az energiamegmaradás elve: a nehéz problémák megoldásához és a megoldások megértéséhez sok id®, sok türelem, sok er®feszítés és kitartás kell.
6 Nem
folytonos függvénynek is értelmes lehet a Riemann-integrálja, de a mi szempontunkból ez egy érdektelen
észrevétel. Általában, ha tényleg nem folytonos függvényeket akarunk integrálni, akkor érdemesebb a Lebesgueféle konstrukciót bemutatni, a Riemann-féle konstrukció nem folytonos integrandus esetén inkább csak történeti érdekesség. A Lebesgue-féle integrálás elmélete azonban a matematikai analízis egyik gyöngyszeme. Minden valódi gyöngyszemért nagyon mélyre kell merülni, mi pedig most csak a hullám hátán akarunk lovagolni, hiszen arbitrázs lehet®séget keresünk.
7 Természetesen a többdimenziós Riemann-integrál 8 Nem akarom az olvasót elkeseríteni, de várhatóan
adja a térfogatot. a jegyzet összes olvasója ebbe a kategóriába sorolható.
2.1. KORLÁTOS VÁLTOZÁSÚ FOLYAMATOK SZERINTI INTEGRÁLÁS
felbontását és tekintsük a
n X
29
f (tk ) (xk − xk−1 )
k=1 közelít® összeget.
[xk−1 , xk ]
A közelít® összeg képzésekor a
tk
úgynevezett közelít®, vagy teszt pont az
9 és a
zárt szakasz tetsz®leges pontja lehet. De níció szerint, ha a felbontás módjától
közelít® pont választásától függetlenül létezik véges határérték, akkor a határértéket az féle integráljának mondjuk és a határértéket
Rb a
f (x) dx
f
Riemann-
módon jelöljük.
10 az integrál?
Miként említettük minden integrál esetén az els® kérdés mikor létezik
2.1 Állítás. Ha az
f
függvény az
[a, b]
véges, zárt intervallumon folytonos, akkor az
Rb a
f (x) dx
integrál létezik.
A tétel indoklása jóval bonyolultabb mint gondolnánk. Az indoklás bonyolultsága els®sorban abból származik, hogy mélyen és alapvet®en a valós számok teljességére épül.
A teljesség a valós
számok lozó ailag legvitathatóbb, ugyanakkor matematikailag vitathatatlanul a legfontosabb, tulajdonsága.
Miért létezik az integrál?
számegyenest teljesnek?
Azért, mert a számegyenes teljes.
Miért tekintjük a
Hát számos okból, többek között azért is, mert ilyenkor az integrál,
Riemann-integrál esetén a terület fogalma, széles körben értelmezhet®. Mit értünk teljességen? A teljesség a matematika egyik alapvet® fogalma. A számegyenes esetén a teljesség azt jelenti, hogy a számegyenesen nincsenek lyukak! De ez mit jelent? Mi az, hogy lyuk? Szemben a lyukas zoknival a lyukas számegyenes fogalma nem evidens kategória. számegyenes? Mit jelent ez? Hát például a OK, hát legyen a
√
2
√
Miért lyukas a racionális számokból álló
2 a geometriában létez®
szám, de nem racionális
11 .
is valós szám, vagyis a racionális számokat egészítsük ki a geometriában
megszerkeszthet® számokkal. Miért nem tünnek el a lyukak, ha a geometriailag megszerkezthet® számokkal kiegészítjük a racionális számokat? Hát vannak olyan számok, amelyek nem szerkez-
π . Legyen a π is valós szám! OK. Milyen e számot is, stb. De hol van a dolognak vége? Ha egy
thet®ek, de el®fordulnak a geometriában. Ilyen például a számokat vegyünk még? Hát vegyük még az
cs® lyukas el®bb vagy utóbb a lyukakat be lehet tömni. De a számegyenes esetén? Hány lyuk van a számegyenesen? Nyilván egy olyan konstrukciót akarunk, amely biztosítja, hogy minden értelmes szám amivel az analízisben találkozunk valós szám legyen. Mi az, hogy értelmes szám? Hát azok a számok, amelyekkel elvileg valaha találkozhatunk.
Mikor?
Hát például folytonos függvények
Riemann-integráljának elvi konstrukciója során. Aha!
A teljes matematikai analízis a teljesség feltételére épül. Ha nincs teljesség, nincs matematikai
12 . A teljesség az a feltétel, amely általános és könnyen megjegyezhet®, mondhatnánk szép 13 és elegáns tételek megfogalmazását lehet®vé teszi . analízis
A teljesség feltétele számos módon megadható. A kés®bbi általánosítások miatt a legegyszer¶bb, bár semmiképpen nem a legszemléletesebb
9 Természetesen
14 de níció a következ®:
az osztópontok növelésével a felbontásban szerepl® szomszédos pontok távolsága nullához kell,
hogy tartson. Tehát nem csak az osztópontok számát, hanem a felbontás nomságát" is növelni kell.
10 Talán
helyesebb lenne azt kérdezni, hogy miért létezik az integrál? A mikor kérdésre a tétel szövege, a miért
kérdésre a bizonyítás ad választ.
11 Hogy
a létezés szó mit jelent nem evidens, ugyanis ha evidens lenne, akkor szegény Pithagorasz a legenda szerint
nem vetette volna le magát a kékl® habokba. A legenda léte arra utal, hogy az elmúlt pár ezer év alatt az emberek nagyonis elgondolkodtak a létezés szó értelmén.
12 Miként tudjuk: No martini no party! Még George Clooneynak is. 13 A matematika nagy része a teljesség feltételére épül. A hiányzó rész pedig azt vitatja, hogy miért helytelen ez. 14 Talán a legszemléletesebb, a Cantor és az Archimédesz axiómák megkövetelése. A Cantor-axióma szerint min-
den egymásba ágyazott, zárt és korlátos intervallumokból álló sorozatnak van közös pontja. Ez jelenti szemléletesen azt, hogy nincsen üres hely a számegyenesen. Nem lehet egy lyukra ráhúzni egy zárt szakaszokból álló sorozatot. Az Archimédesz axióma szerint bármely két valós szám között van racionális szám, vagyis a valós számok a racionális számok és csak azok kib®vítéséb®l, teljessé tételéb®l erednek. Egy másik, evvel érdekes módon ekvivalens megfogalmazás az, hogy ha az intervallumokat mindig felezzük, akkor az els® axióma szerint létez® pont egyetlen lesz. Másképpen
limn→∞ 2−n = 0,
vagy ami evvel szintén ekvivalens
limn→∞ 1/n = 0.
a matematika egyik axiómája és nem tétele. Gondolta volna a naív olvasó?
Vagyis ez a nevezetes határérték
2.1. KORLÁTOS VÁLTOZÁSÚ FOLYAMATOK SZERINTI INTEGRÁLÁS
30
2.2 De níció. (xn ) sorozatot Cauchy-féle sorozatnak, röviden Cauchy-sorozatnak mondjuk, ha minden számhoz található olyan N (ε) index, hogy ha n, m ≥ N (ε) , akkor |xn − xm | ≤ ε. Az
ε>0
15 .
´ ´ TELJESSEGI AXIOMA :
A valós számok körében minden Cauchy-sorozat konvergens
A teljességi axióma szerint tehát, ha számok egy sorozata olyan, hogy a tagjai egy id® után minden határon túl elég közel kerülnek egymáshoz, akkor a sorozatnak van határértéke. Van, létezik egy olyan szám, amihez a sorozat tagjai tartanak. Ha az
(xn ) sorozatot valamilyen számolási, közelítési ε pontossá-
eljárás eredményének képzeljük el, akkor a Cauchy-feltétel azt jelenti, hogy tetsz®leges got megadva, ha nem tudunk
ε-nál pontosabban mérni,
akkor egy id® után már nem tapasztalunk
változást a számolási eljárás során. Ha tetsz®leges mérési pontosság esetén a módszer véges id® után már konstans eredményt biztosít, akkor a számolási eljárásnak létezik
16 , mégpedig egyetlen
eredménye, amit tetsz®legesen megadott pontosság erejéig közelíteni tudunk. Ha a számegyenes lyukas lenne, akkor a lyukhoz tetsz®legesen közel menve olyan Cauchy-sorozatot készíthetnénk, amely nem lenne konvergens.
A teljesség de níció szerint azt jelenti, hogy minden Cauchy-féle
konstrukcióhoz létezik egy idealizált elem, egy valós szám, amely a sorozat határértéke lesz.
A teljesség lényege, hogy úgy tudjuk egy sorozat konvergenciáját biztosítani, hogy nem mondjuk meg el®re a sorozat határértékét, csak a konstrukciót
17 , amivel a közelítést végezzük.
Be akarjuk látni, hogy folytonos függvény esetén a Riemann-integrál létezik. Ehhez azt kell belátni, hogy a közelít® összegek sorozata Cauchy-sorozat. Tekintsünk két közelít® összeget.
n m X X 0 0 00 00 ∆$ f (tk ) xk − xk−1 − f (sk ) xk − xk−1 . k=1
k=1
Bár a két felosztás különböz®, vehetjük a közös nomitásukat, vagyis azt az
N
(xk )k=1
felosztást,
amely a két felosztás közös osztópontjaiból áll. Ekkor
∆
=
N X (f (tk ) − f (sk )) (xk − xk−1 ) ≤ k=1
≤
N X
|(f (tk ) − f (sk )) (xk − xk−1 )| ≤
k=1 N
≤ max |f (tk ) − f (sk )| k=1
N X
|xk − xk−1 | ≤
k=1
N
≤ max |f (tk ) − f (sk )| (b − a) . k=1
Az
f
feltételezett folytonossága miatt a
maxN k=1 |f (tk ) − f (sk )| kifejezés az osztópontok növelése b−a véges szám, ezért a ∆ is egy id® után tetsz®legesen
18 során tetsz®legesen kicsi lesz , így mivel a
kicsi lesz, tehát a közelít® összegek sorozata Cauchy-sorozat. A számegyenes feltételezett teljessége miatt a közelít® összegek sorozata konvergens, vagyis létezik az integrál.
15 Miként
jeleztük számos egyéb megfogalmazás is létezik.
Természetesen ízlés dolga, hogy ki melyik megfo-
galmazást választja. Az ízlés persze nagyon fontos dolog. Nem csak az öltözködésben, hanem a matematikában is.
A teljességi axiómát azért fogalmazzuk meg az egyébként némiképpen izléstelen Cauchy-kritériummal, mert
hangsúlyozni szeretnénk, hogy a Riemann-integrál létezése lényegében az analízis egyik axiómája.
16 Emlékeztetünk:
a létezés nagy szó. Létezik határérték! És Harry Potter? És a Deep Space 9? A körnek létezik
területe, de nem léteznek a Romulánok! Miért?
17 Vagyis magát a sorozatot. 18 Szemléletesen, a szomszédos
osztópontok egyre közelebb kerülnek egymáshoz, így a
egyre kisebb lesz, tehát a folytonosság miatt az
f (tk ) − f (sk )
tk
és az
sk
távolsága is
is egyre kisebb lesz. (Miként jeleztük kicsire nem
adunk, ha az olvasó tudja mi a különbség a folytonosság és az egyenletes folytonosság között akkor ne húzgálja a száját. Az egyenletes folytonosság maradjon a mi titkunk.)
2.1. KORLÁTOS VÁLTOZÁSÚ FOLYAMATOK SZERINTI INTEGRÁLÁS
2.1.2.
31
NewtonLeibniz-szabály
Térjünk rá az integrál kiszámítására. Az integrál kiszámítását lehet® tev® matematikai szabály a
Lagrange-féle középérték-tétel :
2.3 Állítás. f függvény t ∈ (a, b) , hogy
Ha az
az
[a, b]
szakaszon folytonos, az
(a, b)
19
halmazon deriválható, akkor létezik
f (b) − f (a) = f 0 (t) (b − a) . Deriválható függvény növekménye megegyezik valamely pontjába húzott érint®jének növekményével. Ha a
b−a
kifejezéssel átosztunk, akkor
f (b) − f (a) = f 0 (ξ) . b−a f (b)−f (a) éppen az f függvény által megadott görbe a és b pont közötti húrjának iránytanb−a gense. A középérték-tétel szerint van olyan pont, ahol a húr párhuzamos az érint®vel, vagyis a húr Az
iránytangense megegyezik az érint® iránytangensével. Legyen az eltérést.
F
Ha
deriválható függvény. A középérték-tétel segítségével becsüljük meg az
n
(xk )k=1
az
[a, b]
F (b) − F (a)
szakasz tetsz®leges felbontása, akkor
F (b) − F (a)
= =
n X k=1 n X
(F (xk ) − F (xk−1 )) = f (tk ) (xk − xk−1 ) ,
k=1 ahol
f
az
F
tk a középérték-tétel által az (xk , xk−1 ) intervallumban garantált pont. tk pont elhelyezkedésr®l semmit nem tudunk. Csak a létezését tudjuk, Ha az f függvény integrálható, akkor minden közelít® összeg sorozat az
deriváltja és
Hangsúlyozni kell, hogy a pontos értékét nem.
integrálhoz tart, így az itt konstruált
n X
! f (tk ) (xk − xk−1 )
k=1 sorozat is. A közelít® sorozat értéke konstans módon
Z
F (b) − F (a) ,
vagyis de níció szerint
b
f (x) dx = F (b) − F (a) , a vagyis teljesül a NewtonLeibniz-formula:
2.4 Tétel. (Newton-Leibniz) Riemann-integrálható függvény esetén az integrál értéke az antiderivált növekménye. Hangsúlyozzuk, hogy a gondolatmenet kulcsa, hogy az integrál de níciójában a köztes tk pontokat szabadon választhattuk meg.
Vegyük ugyanakkor észre, hogy némiképpen csaltunk, ugyanis a
NewtonLeibniz-szabály némiképpen üres, ugyanis nem mondjuk meg, hogy mikor alkalmazható. Önmagában a tétel rendkívül elegáns, de a tétel erejét nem csak a megadott gondolatmenet adja. A tétel erejének másik forrása, hogy folytonos
f
esetén az állítás alkalmazható. Némi túlzással
a két állítás együtt alkotja az elemi analízist. Ez indokolja azt, hogy a NewtonLeibniz-szabályt szokás az elemi analízis alaptételének is mondani.
19 Miért
is létezik? Hát persze, hogy a valós számok feltételezett teljessége miatt. Miért másért! Általános ökölsz-
abály: ha valamely matematikus azt mondja létezik, gyanakodjunk, hogy a háttérben a valós számok teljességének feltétele van. Kivétel, ha az illet® algebrista, és a kérdést még a marketingszakosok is megértik.
2.1. KORLÁTOS VÁLTOZÁSÚ FOLYAMATOK SZERINTI INTEGRÁLÁS
2.1.3.
32
Stieltjes-integrálás
A Riemann-integrál közvetlen általánosítása a Stieltjes-integrál. áll, hogy az
y=x
súlyfüggvény helyett egy
y = G (x)
Az általánosítás egyedül abból
általános súlyfüggvény kerül. Az integrált
ilyenkor értelemszer¶en az
b
Z
f (x) dG (x) a módon jelöljük. A konstrukció tehát a következ®: Ismét vegyük az
[a, b]
szakasz egy
a = x0 ≤ x1 ≤ . . . ≤ xn = b felbontását és tekintsük a
n X
f (tk ) (G (xk ) − G (xk−1 ))
k=1 közelít® összeget.
A közelít® összeg képzésekor a
tk
pont ismételten az
[xk−1 , xk ]
zárt szakasz
tetsz®leges pontja lehet. De níció szerint, ha a felbontás módjától és a közelít® pont választásától függetlenül létezik véges határérték, akkor a határértéket az
f
integrandus
G
súlyfüggvény, vagy
integrátor szerinti Stieltjes-féle, vagy egyszer¶en Stieltjes-integráljának mondjuk. integrál intuitív tartalma a
G
súlyfüggvény tartalmától függ. Ha
G
A Stieltjes-
egy eloszlásfüggvény, akkor
G (xk ) − G (xk−1 ) eltérés éppenPannak a valószín¶sége, hogy az eloszlás mögötti ξ változó az n [xk−1 , xk ) intervallumba esik. A k=1 f (tk ) (G (xk ) − G (xk−1 )) közelít® összeg éppen az f (ξ)
a
transzformált valószín¶ségi változó átlagának, várható értékének közelítése. Ezt a következ®képpen indokolhatjuk:
Vegyük észre, hogy az eloszlásfüggvény de níciója miatt, miként az imént
említettük
G (xk ) − G (xk−1 ) $ P (ξ < xk ) − P (ξ < xk−1 ) = = P ({ξ < xk } \ {ξ < xk−1 }) = = P ({xk−1 ≤ ξ < xk }) . Az
Ω
téren értelmezett
ξ
valószín¶ségi változó az
A $ {xk−1 ≤ ξ < xk } halmazon jól közelíthet® az
[xk−1 , xk )
szakasz bármely
tk
pontjával, így az
f (ξ)
transzformált
valószín¶ségi változó jól közelíthet® a
ξn $
X
f (tk ) χ (xk−1 ≤ ξ < xk )
k függvénnyel, ahol a
χ (A)
az
A
20 . Az átlag de níciója szerint
halmaz karakterisztikus függvénye
X
f (tk ) P (xk−1 ≤ ξ < xk )
k súlyozott átlag az
M (f (ξ))
várható jó közelítése. Speciálisan, ha
ξ
valószín¶ségi változó,
G
a
ξ
eloszlásfüggvénye, akkor de níció szerint
M (ξ)
= =
lim
∆&0
lim
∆&0
Z
X
xk−1 P (xk−1 ≤ ξ k < xk ) =
(2.1)
k
X
xk−1 (G (xk ) − G (xk−1 )) $
k
∞
xdG (x)
$ −∞
20 Vagyis
a
χ (A)
pontosan akkor
1,
ha a halmazban vagyunk, a halmazon kívül az értéke nulla.
a karakterisztikus függvény elnevezést szokás hamazra és eloszlásra is alkalmazni.
Vigyázat
A két elnevezésnek semmi
köze egymáshoz. De hasonlóan van karakterisztikus polinóm is, s®t miként láttuk, a Lévy-folyamatoknak vannak karakterisztikái stb.
2.1. KORLÁTOS VÁLTOZÁSÚ FOLYAMATOK SZERINTI INTEGRÁLÁS
∆
ahol
jelöli a számegyenes
33
21 felosztásának nomságát, vagyis
∆ $ max |xk+1 − xk | . k
Hasonlóan
M ξ2
= =
lim
X
lim
X
∆&0
k
∆&0
Z
x2k−1 P (xk ≤ ξ k < xk+1 ) = x2k−1 [G (xk+1 ) − G (xk )] $
k
∞
x2 dG (x) .
$ −∞
Az itt tárgyalt formulák az absztrakt helyettesítés formula speciális esetei. A formula szerint valamely valószín¶ségi változó valamely függvényének várható értékét úgy kell kiszámolni, hogy a függvényt integráljuk a változó eloszlása szerint. Absztrakt jelöléssel, ha
G
ξ
egy
változó eloszlás-
függvénye, akkor
Z M (g (ξ)) =
g (x) dG (x) . R
22 . Az integrálban a súlyt a valószín¶ségek adják, a súlyozandó értéket
A várható érték egy integrál
pedig a valószín¶ségi változók. Ezt fejezi ki a várható értéket megadó
Z M (η) =
η (ω) dP (ω) Ω
absztrakt jelölés: az
η értékeit be kell súlyozni a megfelel® valószín¶ségekkel, majd ezeket össze kell
23 . A helyettesítési formula azt adja meg, hogy miként lehet az absztrakt módon megadott
adni
integrált aprópénzre váltani, vagyis miként lehet az absztrakt módon de niált várható értéket Stieltjes-integrálra visszavezetni. Miként említettük minden integrál esetén az els® kérdés mikor létezik az integrál? Természetesen az integrál létezését ismételten a Cauchy-kritériumra akarjuk visszavezetni. Vegyük észre, hogy az alábbiakban egy igen gyakori matematikai trükköt alkalmazunk. Veszünk egy régi, jól megértett de níciót, illetve rá épül® bizonyításokat, majd a de níciót megváltoztatjuk, miközben a bizonyítá-
24 . El®ször tegyük
sokat lényegében változatlanul hagyjuk, illetve csak értelemszer¶en módosítjuk fel, hogy a
G
súlyfüggvény monoton n®.
Próbáljuk megbecsülni a
n m X X 0 0 00 00 ∆$ f (tk ) G (xk ) − G xk−1 − f (sl ) G (xl ) − G xl−1 k=1
l=1
21 A számegyenes a ξ értékkészlete. 22 Tulajdonképpen az egyik legjobb,
legtermészetesebb példa olyan integrálra, ahol a súlyfüggvény nem az
y=x
függvény. Vagyis a súlyfüggvény szerinti integrálásra a legismertebb példa a várható érték.
23 Némiképpen
beszorozni az
elnagyolva
η (ω)
dP (ω)
adja annak a valószín¶ségét, hogy az
ω
értékkel, majd az így kapott értékeket összegezni kell.
esetén most is három dolgot kell kicserélni: a
ξ
változót
x-re
az
Ω
teret
R-re
kimenetel következik be.
Ezt kell
Miként a helyettesítéses integrálás és a
P
mértéket pedig a
ξ
változó
eloszlásfüggvényére.
24 Az elv azonos az objektum orientált programozás gondolatmenetével.
az eredeti Riemann-féle konstrukció overloadolásával" keletkeznek.
Másképpen a különböz® integrálfogalmak
2.1. KORLÁTOS VÁLTOZÁSÚ FOLYAMATOK SZERINTI INTEGRÁLÁS
34
eltérést. Ismételten közös osztópontokra áttérve
∆
=
N X (f (tk ) − f (sk )) (G (xk ) − G (xk−1 )) ≤ k=1
≤
N X
|(f (tk ) − f (sk )) (G (xk ) − G (xk−1 ))| ≤
k=1
≤ ≤ A
G (b) − G (a)
N
max |f (tk ) − f (sk )| k=1
N X
|G (xk ) − G (xk−1 )| ≤
k=1
N
max |f (tk ) − f (sk )| (G (b) − G (a)) . k=1
eltérés véges, így miként a Riemann-integrál esetén, most a
∆
tetsz®legesen kicsi
lehet, így a közelít® összegek sorozata most is Cauchy-sorozat. Így a valós számok teljessége miatt a közelít® összegek sorozata ismét konvergens, tehát folytonos integrandus és monoton növeked® integrátor esetén a Stieltjes-integrál létezik. Vegyük azonban észre, hogy a
G
N X
monotonitását csak a
|G (xk ) − G (xk−1 )| = G (b) − G (a)
k=1 egyenl®ség teljesültekor használtuk. A bizonyítás szó szerint érvényben marad akkor is, ha a
N X
|G (xk ) − G (xk−1 )|
k=1 kifejezés korlátos. Ez indokolja a következ® de níciót:
2.5 De níció. Ha a
G
függvényhez létezik olyan
K
konstans, hogy az
N X
[a, b]
szakasz minden
N
(xk )k=1
felbontására
|G (xk ) − G (xk−1 )| ≤ K,
k=1
akkor a
G
függvényt az
[a, b]
szakaszon korlátos változásúnak mondjuk. A lehetséges
25 a
halmazának legnagyobb alsó korlátját és
Va,b (G)
G
K
korlátok
variációjának, vagy teljes megváltozásának mondjuk
módon jelöljük. Nem nehéz belátni, hogy.
Va,b (G) $ sup
X
|G (xk ) − G (xk−1 )| ,
(xk ) k
ahol a szuprémumot az
[a, b]
összes lehetséges
(xk )
felbontása szerint kell venni.
Az elmondottak miatt, lényegében de níció szerint, ugyanis a bizonyításon egy szót sem kell változtatni, érvényes a következ® állítás:
2.6 Állítás. Ha az
f
integrandus folytonos, a
G
integrátor korlátos változású az
létezik az
Z
[a, b]
véges szakaszon, akkor
b
f (x) dG (x) a
Stieltjes-integrál.
25 Vagyis
venni kell a lehetséges korlátok in mumát, amely a lehetséges korlátok közül a legkisebb.
2.1. KORLÁTOS VÁLTOZÁSÚ FOLYAMATOK SZERINTI INTEGRÁLÁS
35
Az integrállal kapcsolatos következ® kérdés: hogyan számolható ki? Sok jó, és f®leg új hírt nem tudunk mondani. Az integrál kiszámítását lehet®ség szerint vissza kell vezetni a NewtonLeibnizszabályra! Ezt a következ® módon tehetjük meg: Tegyük fel, hogy a
G
súlyfüggvény folytonosan
deriválható. A deriválhatóság miatt használható a középérték-tétel, vagyis
G (xk ) − G (xk−1 ) = g (tk ) (xk − xk−1 ) , ahol
g
értelemszer¶en a
G
deriváltja és
tk ∈ (xk−1 , xk ).
Ebb®l a
(tk )
köztes pontokhoz tartozó
közelít® összegekre
n X
n X
f (tk ) (G (xk ) − G (xk−1 )) =
k=1
f (tk ) g (tk ) (xk − xk−1 ) .
k=1
Vegyük észre, hogy tk közelít® pontnak a Stieltjes-féle közelít® összegben éppen a középérték-tétel által a megel®z® sorban megadott pontot vettük.
Ezt megtehetjük, ugyanis az integrál értéke
független a közelít® pont választási módjától. A
n X
f (tk ) g (tk ) (xk − xk−1 )
k=1 kifejezés éppen az
f (x) g (x)
folytonos függvény Riemann-féle közelít® összege, így a Riemann-
integrálhatóságra vonatkozó kritérium miatt létezik az er¶en
b
Z
a
2.7 Állítás. (Asszociativitási szabály) R x és a
g
folytonos,
G (x) $
g (x) dx,
a
akkor
b
Z
b
Z f (x) dG (x) =
f (x) g (x) dx.
a Vegyük észre, hogy ha a
f (x) g (x) dx integrál, amib®l szükségsz-
f (x) g (x) dx.
a
f
a
b
Z f (x) dG (x) =
Ha az
Rb
a
G egy ξ változó eloszlásfüggvénye, akkor a g deriváltja a ξ s¶r¶ségfüggvény
és a várható érték kiszámolásának valószín¶ségszámításban bevezetett
Z
∞
M (ξ) $
Z
∞
xdG (x) = −∞
xg (x) dx −∞
képletét kapjuk. Az absztrakt helyettesítési formula felhasználásval:
Z
∞
M (h (ξ)) $
Z
−∞
2.8 Példa. Számoljuk ki az Az
R1 −1
y = G (x) = x2
cos xdx2
deriváltja
∞
h (x) dG (x) =
h (x) g (x) dx. −∞
integrált.
g (x) = 2x, Z
így
1
−1
cos xdx2 =
Z
1
2x cos xdx = 0. −1
2.9 Példa. Számoljuk ki a lognormális eloszlás várható értékét!
2.1. KORLÁTOS VÁLTOZÁSÚ FOLYAMATOK SZERINTI INTEGRÁLÁS
Legyen
ξ = N (µ, σ) .
Ilyenkor a
ξ
36
s¶r¶ségfüggvénye
2
(x − µ) 1 f (x) = √ exp − 2σ 2 σ 2π Legyen
η = exp (ξ) . De níció szerint az η Z M (η) = M (exp (ξ)) =
! .
lognormális eloszlású. Az asszociativitási szabály szerint
∞
exp (x) f (x) dx = ! Z ∞ 2 1 (x − µ) √ = exp (x) exp − dx = 2σ 2 σ 2π −∞ ! Z ∞ 2 (x − µ) − 2σ 2 x 1 √ exp − = dx = 2σ 2 σ 2π −∞ 2 Z ∞ x − 2µx + µ2 − 2σ 2 x 1 √ dx = exp − = 2σ 2 σ 2π −∞ 2 ! Z ∞ x − µ + σ 2 )2 + µ2 − µ + σ 2 1 √ = exp − dx = 2σ 2 σ 2π −∞ 2 ! µ2 − µ + σ 2 = exp − = 2σ 2 µ2 − µ2 − σ 4 − 2µσ 2 1 2 = exp − = exp µ + σ . 2σ 2 2 −∞
2.1.4. 1.
Korlátos változású függvények
A Stieljes-integrál kapcsán felmerül® els® kézenfekv® kérdés, milyen interpretáció adható a
korlátos változású függvényeknek, illetve a függvény képzeljük el, hogy a
G
Va,b
teljes megváltozásának. Els® lépésben
függvény egy síkban, vagy térben mozgó pont koordinátáit adja meg.
Természetesen ilyenkor a
G
nem szám, hanem vektor. A
∆$
X
|G (xk ) − G (xk−1 )|
k közelít® összegben a
G
tekinthet® a
|·|
jel a
G (xk )
és
G (xk−1 )
pontok közötti távolságot jelenti. Ilyenkor a
meghatározott törtvonal hosszával közelítjük. Másképpen fogalmazva, a
a [a, b] az
és
b
közötti út hossza.
G
Va,b
interpretációja éppen
∆ összeg az Va,b (G) de níció
Pontosabban az út de níció szerint akkor véges, ha a
összes lehetséges felbontása esetén egy adott
szerint a
∆
által befutott út közelítésének: a görbe által befutott utat a közelít® pontok által
K
korlát alatt marad, illetve
26 . Ha a pontot hordozó tér
d-dimenziós, v u d uX 2 |G (xk ) − G (xk−1 )| $ t (Gj (xk ) − Gj (xk−1 ))
által megtett út hossza
akkor
j=1 és egyszer¶ megfontolással könnyen belátható, hogy a véges, ha a
G
G görbe által leírt út hossza pontosan akkor
koordinátáit megadó függvények korlátos változásúak.
Másképpen fogalmazva a
teljes megváltozás végessége a görbe által befutott út végességét jelenti.
2.10 Példa. Számoljuk ki az
26 Vegyük
y = f (x)
függvény gra konja által meghatározott ív hosszát.
észre, hogy a már említett eljárásról van szó: a közelít® összeg tartalmát de níció szerint kiterjesztjük
a határértékre.
2.1. KORLÁTOS VÁLTOZÁSÚ FOLYAMATOK SZERINTI INTEGRÁLÁS
37
Az imént bemutatott eljárás alapján venni kell a koordináta függvényeket. Az
y = f (x)
függvény
gra konja által megadott görbe mint síkban lev® objektum az
x 7→ (x, f (x)) parametrizálással írható fel.
Γ
Az így felírt
görbének pontosan akkor létezik hossza, ha az
27 . A görbe hosszát közelít® összeg
f
függvény korlátos változású
∆$
n q X
2
2
(xk − xk−1 ) + (f (xk ) − f (xk−1 )) .
k=1 A középérték-tétel miatt
∆
$ =
n q X k=1 n q X
2
2
(xk − xk−1 ) + (f 0 (tk ) (xk − xk−1 )) = 2
1 + (f 0 (tk )) (xk − xk−1 ) .
k=1 Ez utóbbi összeg éppen az
Z
b
q
2
1 + (f 0 (x)) dx
a integrál közelít® összege. Ha tehát az
f0
derivált létezik és folytonos, akkor az ív hossza létezik
és a fenti integrál segítségével kiszámolható. Az elmondottak fontos következménye, hogy ha az
f
függvény folytonosan deriválható, akkor korlátos változású. A korlátos változású függvények köre azonban sokkal b®vebb mint a folytonosan deriválható függvények köre. Miként láttuk, például egy
[a, b]
véges zárt szakaszon értelmezett minden monoton függvény korlátos változású.
2.11 Példa. Számoljuk ki az
y = 32 x3/2
függvény gra konja által meghatározott görbe hosszát.
Az ívhossz képlete szerint
Z tq 2 1 + x1/2 dx
t
Z =
(1 + x)
1/2
dx =
0
0
=
2 3/2 (1 + x) 3
t = 0
2 3/2 (1 + t) − 1 . 3 2
2. További, kézenfekv® kérdés, hogy miként számolható ki
Va,b (f ).
Ha az
f
deriválható, akkor a
változása egyszer¶en kiszámolható. Ha a felosztás már elég nom , akkor a középérték-tétel miatt
Va,b (f ) $
sup
X
|f (xk ) − f (xk−1 )| ≈
(xk ) k
≈
X
|f (xk ) − f (xk−1 )| =
k
=
X
|f 0 (uk ) (xk − xk−1 )| ≈
Számoljuk ki az
y = x2
függvény teljes megváltozását a
27 Ugyanis az y = x függvény triviálisan korlátos változású.
b
|f 0 (x)| dx.
a
k
2.12 Példa.
Z
[−1, 1]
intervallumon!
Természetesen hangsúlyozni kell, hogy véges szakaszon
vagyunk, hiszen két rögzített pont közötti távolságot akarjuk megadni.
2.1. KORLÁTOS VÁLTOZÁSÚ FOLYAMATOK SZERINTI INTEGRÁLÁS
V−1,1 x2 =
38
1
Z
|2x| dx = 2. −1
2
2.13 Példa. sin x
Számoljuk ki a
függvény variációját a
[0, 2π]
szakaszon!
2π
Z
|cos x| dx = 4.
V0,2π (sin x) = 0
2 Nem nehéz észrevenni az
Z Va ,b (f ) =
b
|f 0 (x)| dx =
b
Z
q
2
(f 0 (x)) dx
a
a
Rbq
2 1 + (f 0 (x)) dx képlet közötti szoros kapcsolatot. A két képlet a közötti eltérés egyedül abból származik, hogy az ívhossz kiszámolásakor a síkban a távolságot a képlet és az ívhosszra vonatkozó
közönséges geometria szabályai szerint vettük. Ha a görbét nem a kétdimenziós síkba beágyazva képzeljük el, hanem önmagában próbáljuk a hosszát megadni, akkor kézenfekv® a görbe hosszát a teljes változásával de niálni. Vegyük észre, hogy speciálisan azt is beláttuk, hogy ha a
G (x) =
Rx 0
g (t) dt
alakba írható, ahol a
g
s¶r¶ségfüggvény folytonos, akkor a
szakaszon korlátos változású, ugyanis ilyenkor a
G
deriváltja
g
G
G függvény [a, b]
minden
és
b
Z
|g (t)| dt < ∞,
Va,b (G) = a ugyanis a fenti Riemann-integrál a
2.1.5. Legyen
g
folytonossága miatt létezik és véges.
Sztochasztikus Stieltjes-integrálás θ (t, ω)
sztochasztikus folyamat, az integrandus, és
S (t, ω)
egy másik folyamat az inte-
Rb
Mit értsünk az θdS kifejezésen? A legegyszer¶bb esetben, amikor az S integrátor a t 7→ S (t, ω) trajektóriái n®nek, illetve általában korlátos változásúak és a θ integrandus t 7→ θ (t, ω) trajektóriák folytonosak, akkor minden rögzített ω -ra értelmezhet® a X θ (uk , ω) (S (tk , ω) − S (tk−1 , ω)) grátor.
k közelít® összegek határértéke. mondani.
Ilyenkor az
uk
Az így kapott integrált szokás sztochasztikus Stieltjes-integrálnak
közelít® pont a
[tk−1 , tk ]
tetsz®leges pontja lehet.
A közelít®
uk
pon-
tok trajektóriánként is mások és mások lehetnek. A közönséges Stieltjes-integrál tulajdonságai, változtatás nélkül átvihet®k sztochasztikus Stieltjes-integrálokra. deriválható, vagyis minden
X
ω -ra
a
t 7→ S (t, ω)
Például, ha az
S
folytonosan
trajektória folytonosan deriválható, akkor
θ (uk , ω) [S (tk , ω) − S (tk−1 , ω)] =
k
X
θ (uk , ω) S 0 (vk , ω) [tk − tk−1 ]
k
amely az
Z
b
θS 0 dt
a trajektóriánként vett integrálhoz tart. Ezt formálisan a
θdS = θS 0 dt
(2.2)
2.2. ITÔ-FÉLE SZTOCHASZTIKUS INTEGRÁL
39
módon szokás jelölni. Hangsúlyozzuk, hogy a bevezetett integrálfogalom a klasszikus integrálelméletben szokásos integrálás az integrálást
Egy
S
ω szerinti parametrikus verziója, minden ω esetén külön-külön végrehajtjuk
folyamat variációján, teljes megváltozásán a
Va,b (S) $ sup
X
(tk ) kifejezést értjük, ahol
∆
az
[a, b]
|S (tk ) − S (tk−1 )|
k
összes lehetséges felbontásán fut végig.
Va,b
sztochasztikus integrátor esetén a
függ az
ω
folyamatot véges változásúnak mondjuk, ha az összes minden
[a, b]
Vegyük észre, hogy
kimenetelt®l, vagyis valószín¶ségi változó. Az
ω
kimenetelre a
t 7→ S (t, ω)
S
trajektóriák
szakaszon korlátos változásúak.
2.14 Példa. Poisson-folyamat szerinti sztochasztikus integrálás.
π Poisson-folyamat szerinti intef (t, ω) integrandus trajektóriái Rt t → 7 f (s) dπ (s) sztochasztikus folyamat. A π trajektóriái 0
A sztochasztikus Stieltjes-integrálásra legjobb példa valamely grálás.
A
π
integrátor trajektóriái monoton n®nek, így ha az
folytonosak, akkor értelmezhet® a
egy magasságú ugrásokból állnak, így a
X
f (σ k ) (π (sk ) − π (sk−1 ))
k közelít® összegben minden tag nulla, kivéve azok a tagok, amelyekben az éppen a
π
t
Z
f dπ = 0 ahol
(sk−1 , sk )
intervallum
egy ugrópontját veszi körül. Ebb®l azonnal látható, hogy
τ1 < τ2 < . . .
a
π
X
f (τ k ) ,
τ k ≤t
ugrásainak véletlen id®pontjai.
Mivel a
tartományon nem torlódhatnak, ezért az integrál, minden redukálódik.
(t, ω)
π
folyamat ugrásai véges id®-
pár esetén egy véges összegre
Korábban megjegyeztük, hogy ha a súlyfüggvény folytonosan deriválható, akkor
a Stieltjes-integrálok visszavezethet®k Riemann-integrálokra.
Vegyük észre, hogy az imént el-
mondottakat kézenfekv® módon általánosítva megmutatható, hogy ha a súlyfüggvény diszkrét pontokban ugrik, akkor a Stieltjes-integrálok értékének meghatározása sorösszegek kiszámolását jelenti.
Például ha
G (x)
egy az
xk
eloszlásfüggvénye, akkor
Z
értékeket
pk
valószín¶séggel felvev®
∞
f (x) dG (x) = −∞ ami éppen az
M (ξ)
X
ξ
valószín¶ségi változó
xk pk ,
k
28 .
várható érték elemi valószín¶ségszámításban megadott képlete
2
2.2.
Itô-féle sztochasztikus integrál
A sztochasztikus analízis legfontosabb észrevétele, hogy nem minden sztochasztikus folyamat trajektóriái korlátos változásúak, s®t az érdekes folyamatok, mint például a Wiener-folyamat, illetve általában a Lévy-folyamatok, illetve a martingálok trajektóriái általában nem korlátos változásúak.
28 A
Stieltjes-integrál jelent®ségét nagyrészt az adja, hogy segítségével az elemi valószín¶ségszámításban külön
kezelt folytonos és diszkrét eloszlások egyszerre kezelhet®k.
Az elemi analízisben külön tárgyalt két fogalom az
integrál és a sorösszeg lényegében azonos: mind a kett® a Stieltjes-integrál speciális esete.
2.2. ITÔ-FÉLE SZTOCHASZTIKUS INTEGRÁL
2.2.1.
40
Kvadratikus variáció
Bár a Stieltjes-integrál a matematika talán legsikeresebb integrálfogalma, számunkra nem megfelel®, ugyanis ha az
S
integrátor folytonos martingál, például valamilyen Wiener-folyamat, akkor a tra-
jektóriák egy valószín¶séggel nem korlátos változásúak! A Stieltjes-integrál csak korlátos változású súlyfüggvény esetében értelmezhet®.
Hangsúlyozni kell, hogy az integrál nem értelmezhet®sége
nem azt jelenti, hogy az integrálás eredménye értelmetlen, rossz vagy a szemléletnek ellentmondó érték. Ez azt jelenti, hogy a megadott de níció nem ad választ, sem jót, sem rosszat, sem értelmeset, sem értelmetlent. Másik de níciót kell keresni, lehet®leg olyat, amelyet a korábbi, jól bevált esetben alkalmazva a korábbi de níciót kapjuk vissza. Az egész sztochasztikus analízis kulcsa a kvadratikus variáció, másnéven négyzetes megváltozás!
S integrátor Va,b (S) teljes megváltozása végtelen, akkor a ∆S (tk ) $ S (tk ) − S (tk−1 ) növekmények túl nagyok. Ha az S trajektóriái folytonosak, akkor a 2 ∆S (tk ) jellemz®en egynél kisebb, így a (∆S (tk )) kisebb mint a ∆S (tk ) , így várhatóan, illetve
Az alapgondolat a következ®: Ha az
remélhet®leg a
Q2 $ lim
X
∆&0
2
(S (tk ) − S (tk−1 )) $ hSi2
k
kifejezés véges lesz. Valamivel általánosabban, ha
Qp $ lim
X
∆&0
kifejezést, amit az
p = 2,
S
függvény
p-ed
p ≥ 1,
akkor képezhetjük a
p
(S (tk ) − S (tk−1 )) $ hSip
k
rend¶ variációjának vagy megváltozásának mondunk.
29 .
Ha
akkor az indexet az egyszer¶ség kedvéért elhagyjuk
2.15 Példa. A Wiener-folyamatok kvadratikus variációjaHa
w
Wiener-folyamat,
akkor
[a, b] $ [0, 1], és ∆n = (tk ) a [0, 1] szakasz n egyenl® részre való felbontása, 1 , w (tk ) − w (tk−1 ) ∼ = N 0, √ n
tehát
X
(w (tk ) − w (tk−1 )) ∼ =
X
2
N
k
k vagyis a kvadratikus variáció közelít® összege
1/n
2
1 0, √ n
,
varianciájú, független változók négyzetének
összege. A varianciák adódnak össze, nem a szórások! Ugyanakkor
N
r ! 1 1 0, = √ N (0, 1) , n n
ugyanis a szórás emelhet® ki, és nem a variancia! Ebb®l
X
(w (tk ) − w (tk−1 )) ∼ = 2
P
k A nagy számok törvénye alapján a határérték létezik, és helyett a
[0, T ]
szakaszt írtuk volna, akkor a határérték
folyamat kvadratikus variációja a
[0, T ]
szakaszon
k
2
N (0, 1) . n
1. Triviálisan látható, hogy T lenne. Ennek megfelel®en
ha a
[0, 1]
a Wiener-
T. 2
29 A
jelölés nem teljesen megfelel®. Az irodalomban a kvadratikus variációt a
[.]
jellel szokás jelölni, a
h.i
jel az
úgynevezett el®rejelezhet® kvadratikus variációra utal. Folytonos folyamatok estén a két fogalom egybeesik. Mivel mi csak folytonos folyamatokkal foglalkozunk a jelölésb®l ered® pontatlanság érdektelen.
2.2. ITÔ-FÉLE SZTOCHASZTIKUS INTEGRÁL
41
Ugyanakkor nem csak a Wiener-folyamatnak van véges kvadratikus variációja, hanem tetsz®leges martingál esetén létezik véges kvadratikus variáció, amely a triviális konstans esett®l eltekintve
30
mindig pozitív. Hangsúlyozni kell, hogy általában egy martingálra a kvadratikus variáció valódi sztochasztikus folyamat, vagyis függ az id®t®l és az
ω
kimenetelt®l.
A Wiener-folyamat azért
a legegyszer¶bb nem triviális folytonos sztochasztikus folyamat, mert a kvadratikus variációja a lehet® legegyszer¶bb.
2.16 Példa.
31 !
Vizsgáljuk meg a Wiener-folyamat variációját Legyen
w
egy Wiener-folyamat.
X
|w (tk ) − w (tk−1 )| ∼ =
P
k
k Ha
∞>M >0
jelöli az
|N (0, 1)| √ n
|N (0, 1)| várható értékét, akkor a centrális P k |N (0, 1)| − nM √ ≈ N (0, 1) , n
amib®l
X k
határeloszlás-tétel miatt
nM |w (tk ) − w (tk−1 )| ≈ N (0, 1) + √ → ∞. n 2
Másoldalról ugyanez. A kvadratikus variációra
X
2
(∆w (tk )) ≤ max |∆w (tk )|
X
k
k
|∆w (tk )| .
k
Mivel a bal oldal, a kvadratikus variáció egy pozitív konstanshoz konvergál, és a jobb oldalon az els® tag a folyamat folytonossága miatt nullához tart, a másik tagnak végtelenbe kell tartani, ugyanis ellenkez® esetben
0 < hwi =
X
2
(∆w (tk )) = 0
k lenne. Egy folytonos folyamatra, ha a teljes megváltozás véges, akkor a kvadratikus variáció nulla, ha viszont a kvadratikus variáció pozitív, akkor a teljes megváltozás végtelen. konkrét 1. a 2. a 3. a
S
p-ed p-ed p-ed
görbe esetén különböz®
p
Általában egy
kitev®kre három eset lehetséges:
rend¶ variáció véges, pozitív szám, rend¶ variáció nulla, illetve rend¶ variáció végtelen.
Tegyük fel, hogy az
S
függvény folytonos. A
X
p+ε
[∆S (tk )]
≤ max |∆S (tk )| k
k felbontásban ha
ε > 0,
ε
X
p
|∆S (tk )|
k
akkor a feltételezett folytonosság miatt
ε
max |∆S (tk )| → 0. k
Ebb®l következ®en ha valamely
p
esetén a
esetén a
q -ad
p-ed
p-re
p-ed rend¶ variáció véges, akkor minden q $ p + ε > q -ad rend¶ variáció pozitív, akkor az összes p < q kell hogy legyen. Másképpen fogalmazva azok a p értékek, a
rend¶ variáció nulla, ha a
rend¶ variáció végtelen
30 Amikor a martingál konstans trajektóriákkal rendelkezik. 31 Nem a kvadratikus variációját, hanem a közönséges variációját.
2.2. ITÔ-FÉLE SZTOCHASZTIKUS INTEGRÁL
amelyekre egy adott függvény
p-ed
rend¶ variációja nulla, illetve végtelen egy
kimerítik a pozitív számok halmazát. a két félegyenes egyedül a a
p0 -ad
p0
42
Mind a két értékhez tartozó
pontban érintkezik.
A
p0
p0
pont kivételével
halmaza félegyenes, és
pontban azonban bármi el®fordulhat:
rend¶ variáció lehet pozitív, nulla vagy végtelen.
Általában sztochasztikus folyamatok
esetén semmi sem garantálja, hogy az egyes trajektóriákhoz tartozó Miként azonban láttuk a Wiener-folyamat esetén a
p-k
p0 értéke 2.
p0
értékek azonosak legyenek.
Ennek megfelel®en, ha az integrátor
Wiener-folyamat, akkor a trajektóriák nem korlátos változásúak, így a klasszikus trajektóriánkénti integrálás elmélete nem m¶ködik!!!!! Érdemes nyomatékosan hangsúlyozni, hogy a megfontolás alapvet®en az
S
épül. Ha az
S trajektóriáinak folytonosságára
a sztochasztikus folyamatok irodalmának másik kedvence, a Poisson-folyamat, akkor
mind a kvadratikus variáció, mind a teljes megváltozás az ugrások számát adja meg, így mind a kett® véges és pozitív, ráadásul mind a kett® azonos az alapfolyamattal.
2.2.2.
Martingálok kvadratikus variációja, kompenzátorok
A kvadratikus variációval kapcsolatos els® kézenfekv® kérdés, hogy miként interpretálható? Sajnálatos
Va,b (S)
módon a
teljes megváltozással szemben az
egyszer¶ szemléletes tartalommal.
hSi
kvadratikus variáció nem rendelkezik
Ennek oka, hogy a szemléletünk eredend®en a zikai tér-
ben lejátszódó folyamatokra alapozódik, és az ilyen folyamatok
Va,b
teljes megváltozása véges,
következésképpen a zikai mozgásra alapuló szemléletünk által elképzelt folyamatok kvadratikus variációja nulla, így valódi kvadratikus variációval rendelkez® folyamatokat sohasem látunk
32 . A
kvadratikus variáció eredend®en a véletlen ingadozásokat tartalmazó folyamatokhoz rendelt fogalom, így az interpretációja is a véletlen folyamatokkal kapcsolatban fellép® problémákhoz köt®dik. Legyen az
S
martingál. Az
S
a martingáltulajdonság miatt de níció szerint tekinthet® tökéletes
véletlennek. Ez azt jelenti, hogy az
S
által realizált játékban való ki zetésért nem jár kompenzá-
ció, nulla a költsége annak, hogy megszerezzük az
S
33 .
által reprezentált játék ki zetésfolyamatát
2
S folyamat értéke minden pontban S 2 véletlen ki zetés birtoklásáért zetni kell. Ha bir2 tokoljuk a w folyamatot, akkor elég nagy t esetén nagy valószín¶séggel elég jól fogunk kaszálni, 2 illetve ha elég sokat várunk, akkor tetsz®legesen nagyot kaszálhatunk. Ennek megfelel®en a w
Ugyanakkor az
S
2
folyamat esetén a helyzet teljesen más. Az
nem negatív, s®t általában pozitív, így az
birtoklása elég jó buli. De semmi sincsen ingyen. Mi a kaszálás el®re ki zetend® ára? Mennyibe kerül a kasza? lyet az
S
2
Mi az
S2
folyamat fair ára?
Természetesen az
S2
fair ára az a folyamat, ame-
-b®l levonva tökéletesen véletlen folyamatot kapunk, vagyis az
amelyre az
2
S −P
kiléphetünk, így a tatjuk, hogy az
S
martingál. Az
P 2
S
2
ára az a
P
folyamat,
birtoklásáról bármikor lemondhatunk, a játékból bármikor
34 . Megmu35 folyamat martingál . Az
kompenzátor folyamatról kézenfekv® feltenni, hogy monoton n®
hSi , vagyis S (0) = 0, ugyanis
kompenzátora éppen az
egyszer¶ség kedvéért tegyük fel, hogy
S (t) − S (0)
S2
az
2
S − hSi
ellenkez® esetben a gondolatmenetet az
martingálra alkalmaznánk.
S 2 (t) − hSi (t) ≈ S 2 (t) −
X
2
(S (tk ) − S (tk−1 )) .
k
32 Ugyanakkor minden olyan folyamat, amit látunk véges úthosszal, így véges variációval rendelkezik. 33 Persze ha a várható érték nulla. Pozitív várható érték esetén nyilván zetni kell és éppen a várható értéket. 34 Nem folytonos folyamatok esetén célszer¶ megkövetelni, hogy a P el®rejelezhet® legyen, vagyis a P kompenzátor értékét az ugrás el®tt ki kell zetni, vagyis a várható ugrásért a kompenzációt az ugrást megel®z®en el®re rögzíteni kell, ugyanis az ugrás után már könny¶ okosnak lenni. zetni mint ahogy az ugrás nagysága kiderül.
Vagyis a biztosítási díjat az el®tt kell ki-
Az el®rejelezhet®ség a balról való folytonosság általánosítása.
A
balról folytonos folyamatok in nitezimálisan" el®rejelezhet®ek. Ez azonban a sztochasztikus analízis igen rejtett összefüggése, amire csak nagyon érint®legesen hivatkozunk.
A folytonos folyamatok egyik el®nyös tulajdonsága,
hogy a kvadratikus variáció és az úgynevezett el®rejelezhet® kvadratikus variáció megegyezik. Ebb®l következ®en az elmondottak lényegében csak folytonos lokális martingálok esetén érvényesek, a nem folytonos esetben számos nem elhanyagolható technikai nehézség lép fel.
35 Folytonos
esetben az
hSi
folytonos, így el®rejelezhet®".
2.2. ITÔ-FÉLE SZTOCHASZTIKUS INTEGRÁL
43
A kvadratikus variációban szerepl® zárójelet felbontva
(S (tk ) − S (tk−1 ))
2
2
= S 2 (tk ) + S (tk−1 ) − 2S (tk ) S (tk−1 ) = 2
= S 2 (tk ) − S (tk−1 ) − −2S (tk−1 ) (S (tk ) − S (tk−1 )) . Ebb®l következ®en, ha
0 = t0 < t 1 < . . . < t n = t
[0, t]
a
id®szakasz egy tetsz®leges felbontása,
akkor
S 2 (t) − hSi (t) ≈ S 2 (tn ) −
n X
S 2 (tk ) − S 2 (tk−1 ) +
k=1
+
n X
2S (tk−1 ) (S (tk ) − S (tk−1 )) .
k=1 A teleszkopikus összeget kibontva és felhasználva, hogy a feltétel szerint
S 2 (t) − hSi (t) =
n X
S (t0 ) = S (0) = 0
2S (tk−1 ) (S (tk ) − S (tk−1 )) .
k=1 Megmutatjuk, hogy a
X
2S (tk−1 ) (S (tk ) − S (tk−1 )) $
k
X
dk
k
összeg martingál, amihez elegend® belátni, hogy a
dk $ 2S (tk−1 ) (S (tk ) − S (tk−1 )) sorozat martingáldierencia sorozat: A kiemelési szabály miatt, felhasználva, hogy az
M dk | Ftk−1
tehát a
(dk )k
=
2M S (tk−1 ) (S (tk ) − S (tk−1 )) | Ftk−1 = 2S (tk−1 ) M (S (tk ) − S (tk−1 )) | Ftk−1 =
=
2S (tk−1 ) · 0 = 0,
$
S
martingál
valóban martingáldierencia sorozat, így az
S 2 (t) − hSi (t) ≈
X
dk
tk ≤t martingál.
2.17 Példa. A
w2
kompenzátora
t.
Emlékeztetünk, hogy
s
hwi (t) = t.
Meg kell mutatni, hogy a
w2 (t) − t
folyamat martingál. Legyen
tetsz®leges. A független növekmény feltétele miatt
M w2 (t) | Fs = 2 = M (w (t) − w (s)) + w2 (s) + 2w (s) (w (t) − w (s)) | Fs = 2 = w2 (s) + M (w (t) − w (s)) + 2M (w (s) (w (t) − w (s)) | Fs ) . A kiemelési szabály, illetve a
w
martingáltulajdonsága miatt az utolsó kifejezés
w (s) M ((w (t) − w (s)) | Fs ) = 0,
2.2. ITÔ-FÉLE SZTOCHASZTIKUS INTEGRÁL
az
2 M (w (t) − w (s))
44
második tag értéke
t − s,
így
M w2 (t) | Fs = w2 (s) + t − s, amit átrendezve
M w2 (t) − t | Fs = w2 (s) − s, vagyis a
w2 (t) − t
valóban martingál.
2
2.2.3.
Martingálok szerinti Itô-integrálás
Tegyük fel, hogy az jeleztük ha az
S
S
martingál és próbáljuk meg értelmezni a
Rb a
θ (t) dS (t)
folytonos martingál, akkor a triviális konstans esett®l
integrált. Miként
36 eltekintve a trajektóriái
nem korlátos változásúak, így az integrált hagyományos módon, trajektóriánként vett Stieltjesintegrálként, nem tudjuk de niálni.
2.18 De níció. Tegyük fel, hogy az intervallum
In $
τ k = tk−1
P
k θ (τ k ) ∆S (tk ) közelít® összegekben τ k közelít® pontnak a [tk−1 , tk ] kezd®pontját vesszük. Ilyenkor Itô-féle közelít® összegekr®l beszélünk.
A hagyományos integrálelmélet tárgyalásakor hangsúlyoztuk, hogy a közelít® összegek képzésekor a közbüls® pont tetsz®legesen választható, és az integrál értéke független attól, hogy melyik pontban számoltuk ki az integrandus közelít® értékét.
Az Itô-féle sztochasztikus integrálok esetében ez
nincsen így. A közelít® összeget mindig az intervallum kezd®pontjában kell képezni. Matematikai szempontból az Itô-integrál legfontosabb sajátja éppen ez. A közelít® összeg ezen képzési szabálya azonban igen szemléletes, és tulajdonképpen nagyon természetes. Ha az kumulált nyereségként értelmezzük, akkor a
∆S (tk ) $ [S (tk ) − S (tk−1 )]
S
integrátorfolyamatot
növekmény a
[tk−1 , tk ]
id®szak alatt elért egységnyi befektetésre jutó nyeremény, következésképpen az id®szak alatt elért teljes nyeremény arányos az id®szak során megtett
θ (τ k )
téttel.
Ugyanakkor egy fogadásban a
tétet mindig a fogadás tárgyát képez® véletlen esemény el®tt kell megtenni, vagyis a id®szakra es® fogadás nagyságát a
tk−1
[tk−1 , tk ]
id®pontban kell megadni.
2.19 Példa. A sztochasztikus integrál értéke függhet a közelít® pont megválasztásának módjától. Legyen
w
Rb
Wiener-folyamat és próbáljuk meg de niálni az
a
wdw
integrált. A közelít® összegekre
áttérve
In(1)
X
$
w (tk−1 ) (w (tk ) − w (tk−1 )) ,
k
In(2)
X
$
w (tk ) (w (tk ) − w (tk−1 )) .
k A két összeg közötti egyetlen eltérés, hogy a
τk
közelít® pont az els® esetben a részintervallum
eleje, a második esetben a vége. Ugyanakkor
In(2) − In(1)
$
X
w (tk ) ∆w (tk ) −
k
=
X
X
w (tk−1 ) ∆w (tk ) =
k
(w (tk ) − w (tk−1 )) ∆w (tk ) =
k
=
X
2
(w (tk−1 ) − w (tk )) ,
k
36 Az S (t) = c
konstans folyamat martingál és a trajektóriái korlátos változásúak. Ez az eset azonban megle-
het®sen érdektelen, ugyanis a játék nyereménye
∆S (t) = 0.
Erre mondják olcsó játék, bölcs embereknek.
2.2. ITÔ-FÉLE SZTOCHASZTIKUS INTEGRÁL
45
vagyis a két közelít® összeg különbsége éppen a Wiener-folyamat kvadratikus variációjának közelít® értéke. Ebb®l következ®en ha a két közelít® összegnek van határértéke, akkor a két határérték nem lehet azonos, vagyis az integrál értéke függ a közelít® pont megválasztási módjától. Ez másképpen úgy is fogalmazható, hogy tetsz®leges köztes pont megengedése esetén az integrálközelít® összegek sorozata semmilyen konvergenciafogalom esetén nem lehet konvergens.
2 Vegyük észre, hogy az el®z® példában a b¶nös természetesen a kvadratikus variáció. Az integrál értéke azért függ a köztes ponttól, mert a kvadratikus variáció pozitív. Vizsgáljuk meg az integrál létezésének problémáját! Vegyük észre, hogy az integrál létezése távolról sem t¶nik természetesnek. A kvadratikus variáció pozitivitása er®sen felforgatja az integrálelméletet. Tulajdonképpen igen meglep®, hogy ebb®l a gyászos helyzetb®l mégis van elegáns kiút. Számoljuk ki az
n X
In $
θ (tk−1 ) ∆S (tk )
k=1 Itô-féle közelít® összeg várható értékét és szórását.
! M (In )
X
= M
θ (tk−1 ) ∆S (tk )
=
k
X
=
M (θ (tk−1 ) ∆S (tk )) =
k
X
=
M M θ (tk−1 ) ∆S (tk ) | Ftk−1
=
M θ (tk−1 ) M ∆S (tk ) | Ftk−1
=
k
X
=
k
X
=
M (θ (tk−1 ) · 0) = 0,
k
S
ahol természetesen kihasználtuk, hogy az
martingál, vagyis
M ∆S (tk ) | Ftk−1 = 0 és hogy a
θ (tk−1 ) kiemelhet® s < t, akkor
az
Ftk−1
szerinti feltételes várható értékb®l. A szórás kiszámolására
rátérve, ha
M (θ (t) [S (t + h) − S (t)] θ (s) [S (s + h) − S (s)]) =
ugyanis a
t
=
M (M (θ (t) [S (t + h) − S (t)] θ (s) [S (s + h) − S (s)] | Ft )) =
=
M (θ (t) θ (s) [S (s + h) − S (s)] M ([S (t + h) − S (t)] | Ft )) =
=
M (θ (t) θ (s) [S (s + h) − S (s)] · 0) = 0,
(2.3)
θ (t) θ (s) [S (s + h) − S (s)] változó értéke a t id®pontban már ismert, és ezért kiemelhet®
id®ponthoz tartozó feltételes várható értékb®l. Ebb®l következ®en az alábbi számolás során a
vegyesszorzatok várható értéke nulla:
D2 (In )
=
M
!2 X
θ (tk−1 ) [S (tk ) − S (tk−1 )]
=
k
=
XX M θ (tk−1 ) θ (tj−1 ) ∆S (tk ) ∆S (tj ) = k
=
X
j
2
2
M (θ (tk−1 )) [S (tk ) − S (tk−1 )]
≈
k
! ≈
M
X k
2
θ (tk−1 ) [Q2 (tk ) − Q2 (tk−1 )] .
2.2. ITÔ-FÉLE SZTOCHASZTIKUS INTEGRÁL
ahol
Q2 $ hSi
az
S
46
37 .
kvadratikus variációja
Az
hSi
kvadratikus variáció nagysága a hozzá
tartozó intervallum hosszának növelésével monoton n®, tehát az utolsó várható értéken belüli
Rb
2 k θ (tk−1 ) ∆ hSi közelít® összeg a klasszikus módon értelmezhet® egy közelít® összege. Összefoglalva:
P
θ2 d hSi
a
Stieltjes-integrál
Ha az integrálközelít® összegeket az Itô-féle szabály szerint a
X
θ (tk−1 ) (S (tk ) − S (tk−1 ))
k
módon választjuk, és az
S
integrátorfolyamat martingál, akkor a közelít® összeg várható értéke
nulla, varianciája pedig az
Z
!
b 2
θ (t) d hSi .
M a
közelít® összege lesz. Emlékeztetünk, hogy a közönséges integrál létezését a Cauchy-kritériumra alapoztuk.
Megmu-
tattuk, hogy az integrál azért létezik, mert a közelít® összegek sorozata Cauchy-sorozat, illetve a számok halmaza teljes. Most is err®l van szó. A bemutatott gondolatmenetet egyszer¶en módosítva azonnal látható, hogy ha a
θ
folyamat folytonos, és a felosztás nomságát minden határon
túl növeljük, akkor a különböz® felosztásokhoz tartozó közelít® összegek sztochasztikusan közel kerülnek egymáshoz, vagyis ha az id®intervallum felosztását minden határon túl növeljük, akkor
38 . Pon-
az Itô-féle közelít® összegek sorozata a sztochasztikus konvergenciában Cauchy-sorozat lesz tosabban megmutatható, hogy tetsz®leges
I1
és az
I2
ε>0
és
δ>0
szám esetén létezik olyan
ρ,
hogy ha az
olyan Itô-féle közelít® összegek, amelyekre a felbontás nomsága már kisebb mint
ρ,
akkor
P (|I1 − I2 | ≥ ε) ≤ δ. Némiképpen heurisztikusan okoskodva: ha a
(tk )
felbontás már elég nom, akkor az újabb os-
ztópontok hozzávételével a
X
θ2 (tk−1 ) (Q (tk ) − Q (tk−1 ))
k
Rb
θ2 (t) d hSi (t) Stieltjes-féle trajeka tóriánkénti integrálok léteznek így a felbontás további nomítása már nem változtat, pontosabban már alig változik, ugyanis a
Q = hSi súlyfüggvény szerint vett
csak alig-alig változtat a Stieltjes-integrálhoz tartozó közelít® összegeken. Ebb®l következ®en az
! M
X
2
θ (tk−1 ) (Q (tk ) − Q (tk−1 ))
k szórásnégyzet is alig változik, vagyis a sztochasztikus integrálhoz tartozó Itô-féle közelít® összegek varianciája a felosztás további nomításával már alig változik, vagyis az egyes Itô-féle közelít® összegek eltérésének varianciája nullához tart. Ebb®l következ®en ha
In0
és
In00
két közelít® összeg,
akkor a Csebisev-egyenl®tlenség miatt elég nom felosztásra tetsz®leges rögzített
P (|In0 − In00 | ≥ ε) ≤
ε > 0 szám esetén
D2 (In0 − In00 ) → 0, ε2
ezért úgy érezzük, hogy az Itô-féle közelít® összegek sztochasztikusan ráhúzódnak az integrálra. A Riemann és Stieltjes-integrálokra használt teljességi axióma sztochasztikus megfelel®je a következ®:
2.20 De níció. (ξ k ) sorozat sztochasztikusan Cauchy-sorozat, ha tetsz®leges ε > 0 N (ε) , hogy tetsz®leges n, m ≥ N (ε) indexre P (|ξ n − ξ m | ≥ ε) ≤ δ. A
és
δ >0
37 Vegyük észre, hogy ismét kihasználtuk a ∆ hSi ≈ (∆S)2 közelít® formulát. 38 Ennek oka, hogy a θ ilyenkor a két különböz® felosztáshoz tartozó közelít® pontok eltérése, feltételezett folytonossága miatt elég nom felosztás esetén tetsz®legesen kicsi lesz.
esetén van olyan
amely az integrandus
2.2. ITÔ-FÉLE SZTOCHASZTIKUS INTEGRÁL
47
2.21 De níció. Ha minden
ε>0
szám esetén
lim P (|ξ n − ξ| > ε) = 0,
n→∞
akkor azt mondjuk, hogy a
(ξ n )
´ ´ TMLJMSSEGI TETML :
sorozat sztochasztikusan
ξ -hez
tart.
A valószín¶ségi változók halmaza a sztochasztikus konvergenciában
teljes, vagyis minden a sztochasztikus konvergenciában Cauchy-sorozat sztochasztikusan konvergens
39 .
Összefoglalva az elmondottakat:
2.22 Tétel. Folytonos
θ
integrandus és
S
[a, b] szakaszon képzett Itô-féle közelít® Rb létezik határértéke, amelyet a θdS módon
martingál integrátor esetén az
összegek sorozatának a sztochasztikus konvergenciában fogunk jelölni és a
θ
integrandus
S
szerinti Itô-integráljának fogunk mondani.
Evvel a sztochasztikus integrálás els® problémáját, az integrál létezésének kérdését tisztáztuk
40 .
Emlékeztetünk, hogy minden integrál, a klasszikus, a sztochasztikus, illetve a matematika által de niált összes további integrál, tartalmát tekintve súlyozott összegnek tekinthet®, pontosabban heurisztikusan a súlyozott összeg és az integrál közelít®leg azonos fogalmak. Természetesen nem mellékes, hogy mit jelent a közelít®leg kifejezés. Minden integrál esetén pontosan meg kell mondani, hogy milyen módon mérjük a közelít® összegekkel való közelítés pontosságát. Ezt másképpen úgy
41 . A valószín¶ségszámításban két
is mondhatjuk, hogy meg kell adni a konvergencia fogalmát
természetes konvergenciafogalommal találkozhatunk. Az egyik a már bemutatott sztochasztikus konvergencia, a másik az egy valószín¶séggel való konvergencia:
2.23 De níció. Legyen
(ξ n )
valószín¶ségi változók sorozata. Ha annak a valószín¶sége, hogy
ξn → ξ
egy, vagyis
P ({ω : ξ n (ω) → ξ (ω)}) = 1, akkor azt mondjuk, hogy a
(ξ n )
sorozat egy valószín¶séggel a
ξ -hez
tart.
Az egy valószín¶séggel való konvergencia azonban igen er®s megkötés, és igen gyakran nem teljesül.
Szemléletileg is evidens, de könnyen meg is mutatható, hogy az egy valószín¶séggel való
konvergenciából következik a sztochasztikus konvergencia, de a fordított irány nem igaz.
2.24 Példa. Sztochasztikusan konvergens sorozat, amely sehol sem konvergens. Vegyük a következ® sorozatot: A
[0, 1]
n-részre, és a ξ k a k -adik szakaszon n változót. A következ® lépésben ismét menjünk körbe az így kapott n + 1
szakaszt osszuk fel
legyen egy az összes többin pedig legyen nulla. Így de niáltunk a
[0, 1]
szakaszt osszuk fel
n+1
részre, és ciklikusan
szakaszon, vagyis mindig csak az egyik szakaszon legyen a változó értéke egy, a többin pedig legyen az értéke nulla. A következ® lépésben az eljárást folytatva de niáljunk újabb A konstrukcióval olyan sorozatot kapunk, amely a
[0, 1]
n+2
változót, stb.
egyetlen pontjában sem konvergens, de az
olyan pontok valószín¶sége ahol a sorozat nem nulla nullához tart, vagyis a sorozat sztochasztikusan nullához tart.
2 39 A
tétel indoklása messze vezetne.
Annyit érdemes megjegyezni, hogy számos trükkös megfontolás után az
állítást visszavezetjük a számegyenes teljességére.
40 Az integrál kiszámításával kapcsolatos kérdéseket az Itô-lemma kapcsán fogjuk tárgyalni. 41 Vagyis a konvergencia de nícióját amely mellett a közelít® összegek az integrálhoz tartanak.
2.2. ITÔ-FÉLE SZTOCHASZTIKUS INTEGRÁL
48
A példából is látható, hogy a sztochasztikus konvergencia valami fajta általában
42 való konver-
genciát jelent, amely nem zárja ki az egyes konkrét kimenetelekben való végtelenhez való diver-
ω
genciát vagy ciklikus változást. Minden lépésben a rossz rossz
ω
kimenetelek halmaza változhat, de a
kimenetelek valószín¶sége egyre kisebb lesz. Megjegyezzük, hogy a sztochasztikus konver-
genciában a rossz
ω
kimenetelek realizációja esetén a valószín¶ségi változó nagysága sem érdekes.
El®fordulhat, hogy a rossz esemény valószín¶sége kicsi, de az esemény nagyon rossz
43 .
A korlátos változású súlyfolyamatok szerinti Stieltjes-féle sztochasztikus integrálok esetén a közelít® összegek sorozata a köztes pont megválasztási módjától függetlenül egy valószín¶séggel az integrálhoz tart, a martingálok szerint vett Itô-integrálok esetén az integrálközelít® összegek nem egy valószín¶séggel, hanem csak sztochasztikusan közelítik az integrál értékét.
Az Itô-féle konstruk-
ció lényege, hogy egyrészt a közelít® összegeket speciálisan választjuk, másrészt a trajektóriánkénti konvergenciát a közelít® összegek sztochasztikus konvergenciájára cseréljük. Mivel a majdnem mindenhol való konvergenciából következik a sztochasztikus konvergencia, ezért ha egy sztochasztikus integrál Stieltjes-értelemben létezik, akkor az integrál Itô-értelemben is létezik, vagyis az Itô-féle sztochasztikus integrál a Stieltjes-féle sztochasztikus integrál általánosítása.
2.2.4.
Sztochasztikus integrálok kvadratikus variációja
Miként láttuk, a sztochasztikus analízis kulcsa a kvadratikus variáció. Legyen
t
Z M (t) $
θ (u) dS (u) , 0
t 7→ M (t)
ahol feltettük, hogy az integrál értelmes. Számoljuk ki a
t 7→ hM i (t)
integrálfolyamathoz tartozó
kvadratikus variáció folyamatot. De níció szerint
hM i (t) ≈
X
2
(∆M (tk )) =
k
≈
θ (u) dS (u)
≈
tk−1
k
X
!2
tk
X Z 2
θ2 (tk−1 ) (∆S (tk )) ≈
k
≈
X
t
Z
2
θ2 (u) d hSi (u) ,
θ (tk−1 ) ∆ hSi (tk ) ≈ 0
k ahol felhasználtuk a
(∆S (tk ))
2
2
$ (S (tk ) − S (tk−1 )) ≈ ∆ hSi (tk ) = = hS (tk )i − hS (tk−1 )i
közelít® formulát, illetve, hogy elég nom felbontás esetén az
tk
Z
θ (u) dS (u) tk−1 integrál közelíthet® a
θ (tk−1 ) ∆S (tk ) = θ (tk−1 ) (S (tk ) − S (tk−1 )) közelít® téglalappal.
hM i = 0.
Speciálisan, ha az
S
integrátor
hSi
44 , akkor
kvadratikus variációja nulla
Például
Z 0
42 Nem átlagban, ugyanis 43 Bár igen természetes,
t
Z t Z t 2 w (s) ds = w (s) d hsi = w2 (s) d0 = 0, 0
0
lehet, hogy a sorozat tagjainak nincsen átlaga, vagyis várható értéke. a fogalom pontos megértése céljából jelezzük, hogy abból, hogy két változó a sz-
tochasztikus konvergencia értelmében közel van, még nem jelenti, hogy a kockázatuk is közel van. Bár a kockázat szó de níciója nem evidens, azt érezzük, hogy egy kis valószín¶ség¶ esemény mellett bekövetkezett nagyon nagy bukás igen kockázatos dolog.
44 Például
ha az
S
integrátor folytonos, korlátos változású folyamat.
2.2. ITÔ-FÉLE SZTOCHASZTIKUS INTEGRÁL
49
ugyanakkor
t
Z 0
2.2.5.
Z t Z t t3 2 sdw (s) = s d hw (s)i = s2 ds = . 3 0 0
Asszociativitási szabály S (u) $
Tegyük fel, hogy
Ru
ζ (s) dρ (s) ,
0 a közelít® összegek határértéke, ezért
és tekintsük az
t
Z
θ (u) dS (u) ≈
X
0
Rt 0
θ (u) dS (u)
θ (uk−1 ) ∆S (uk ) .
k
S (u)
Az el®z® alpontban látott gondolatmenettel egyez® módon az
S
növekményei az
integrált. Mivel az integrál
integrálfüggvény
∆S (uk )
alakja miatt közelíthet®ek a
ζ (uk−1 ) ∆ρ (uk ) téglalapokkal, így
t
Z
X
θ (u) dS (u) ≈ 0
Z θ (uk−1 ) ζ (uk−1 ) ∆ρ (uk ) ≈
t
θ (u) ζ (u) dρ (u) . 0
k
Másképpen fogalmazva integrálfüggvény szerinti integrálás esetén a két integrál elvégzésének sorrendje csoportosítható. A szabályt szokás asszociativitási szabálynak is mondani. Az elnevezés indoka a következ®: Ha az integrálokat dierenciális formában írjuk fel, akkor
dS = ζdρ, a
Rt 0
θ (u) dS (u)
integrál pedig a
θdS = θ (ζdρ) = (θζ) dρ formális szabály szerint alakítható, vagyis az integrál
t
Z
Z
t
θ (u) dS (u) =
θ (u) ζ (u) dρ (u)
0
0
átalakítás formálisan a dierenciális alakban felírt kifejezés átzárójelezése.
Vegyük észre, hogy
az indoklás érvényes minden fajta integrálra, így a Stieltjes- és az Itô-féle integrálokra egyaránt használható. Emlékeztettünk, hogy a Stieltjes-integrálok kiszámolásakor megmutattuk, hogy ha a
G
g s¶r¶ségfüggvény, Z b b f (x) dG (x) = f (x) g (x) dx.
súlyfüggvény deriválható és a
Z
G
deriváltja a
a
akkor
a
Vegyük észre, hogy az asszociativitási szabály éppen ennek a s¶r¶ségfüggvényre vonatkozó formulának az általánosítása tetsz®leges integrál esetére.
2.2.6.
Lokális martingálok
Az Itô-integrál de níciója alapján a sztochasztikus integrál egy fajta korrekt folytonos fogadási folyamat nettó, kumulált eredménye, nyereménye.
Az Itô-integrálban szerepl® integrátor mart-
ingál. Miként említetük, a martingálok szokásos interpretációja, hogy fair játékok. Felvethet® a kérdés, hogy az e, vagyis a
θ
S
fair játékkal szemben játszott
θ
stratégiai nettó, kumulált eredménye fair játék-
megjátszásának lehet®sége az érdekelt feleknek, legalábbis átlagban egyenl® esélyt
biztosít vagy sem. Másképpen fogalmazva milyen feltételek mellett lesz a
Z t 7→
t
θ (s) dS (s) 0
2.2. ITÔ-FÉLE SZTOCHASZTIKUS INTEGRÁL
50
integrálfolyamat martingál? Tekintsük a folyamat
M (t) $
X
θ (sk−1 ) (S (sk ) − S (sk−1 ))
sk ≤t közelít® összegét. A kiemelési szabály szerint a már többször látott módon okoskodva
X
M (M (tk+1 ) | Ftk ) =
M (θ (sk−1 ) [S (sk ) − S (sk−1 )] | Ftk ) =
sk ≤tk+1
= M (tk ) + θ (tk ) M (S (tk+1 ) − S (tk ) | Ftk ) = = M (tk ) + θ (tk ) (M (S (tk+1 ) | Ftk ) − M (S (tk ) | Ftk )) = = M (tk ) + θ (tk ) (S (tk ) − S (tk )) = = M (tk ) , vagyis a diszkrét közelít® összegekb®l álló sorozat martingál.
Fontos hangsúlyozni, hogy a sz-
tochasztikus integrálással kapott
Z t 7→
t
θ (s) dS (s) 0
integrálfolyamat azonban nem lesz martingál. Ebb®l a szempontból a diszkrét, illetve a folytonos id®ábrázoláshoz tartozó modellek lényegesen eltérnek. A tárgyalás során a diszkrét összegek és a folytonos összegek, vagyis az integrálok között nem teszünk különbséget. Ez természetesen súlyos matematikai hiba. Általában a sztochasztikus integrálként csak lokális martingált kapunk, és külön gyelmet kell fordítani arra, hogy mikor kapunk integrálként valódi martingált. Miként jeleztük a lokális martingál és a martingál közötti viszony szemléletesen igen nehezen tisztázható, ugyanis
45 . A lényegi problémát az jelenti, hogy míg a
mély technikai fogalomról van szó
X
θ (sk−1 ) (S (sk ) − S (sk−1 ))
k közelít® összegek várható értéke az
S
martingáltulajdonsága miatt nulla, a felosztás nomítása
során kapott sorozat határértékének várható értéke már nem lesz nulla. Általában ugyanis semmi sem biztosítja a határérték és a várható érték felcserélhet®ségét
46 . A probléma abból ered, hogy az
integrandusok egy egyre sz¶kebb halmazon egyre nagyobb értéket vehetnek fel. Szemléletesen az integrandus egyre kockázatosabb lehet. Kis valószín¶séggel nagyon nagyot bukunk, de átlagban azért kicsit nyerünk
47 .
2.25 Példa. A sorozat várható értéke és a határérték általában nem cserélhet® fel. Tegyük fel, hogy az
(Ω, A, P)
valószín¶ségi mez® a
(0, 1)
intervallum egy pontját választja ki
egyenletes eloszlás szerint. Ha
ξ n (ω) $ akkor
M (ξ n ) = 1,
így
ha ha
0 < ω ≤ 1/n , 1/n < ω < 1
limn→∞ M (ξ n ) = 1, de mivel limn→∞ ξ n = 0, ezért M lim ξ n = M (0) = 0 6= 1 = lim M (ξ n ) . n→∞
45 A
n 0
n→∞
lokális martingál és a martingál közötti különbség a sztochasztikus analízisben a legkényesebb, öröké prob-
lémát okozó kérdés, amely egyidejüleg a hibák ®sanyja és ®satyja, maga az eredend® b¶n, a részletekben lev® ördög maga. Ugyanakkor a két fogalom közötti eltérés remélhet®leg szabad szemmel nem látható, mi pedig, közgazdászok lévén, a matematikában kicsire nem adunk.
46 A
határérték és a várható érték felcserélése az analízisben, illetve a valószín¶ségszámításban a végs® technikai
probléma. Aki a várható értéket csak úgy, szemrebbenés nélkül felcseréli a határértékkel az vagy túl sokat tételez fel az olvasóról, vagy túl keveset. Én leginkább az utóbbira gondolok.
47 Fájóan
gyakran elkövetett hiba, bár lehet hogy a hiba kifejezés nem pontos.
2.2. ITÔ-FÉLE SZTOCHASZTIKUS INTEGRÁL
51
2 Ahhoz, hogy a martingáltulajdonságot biztosítani tudjuk, szükséges feltételként például meg szokás követelni, hogy az egyenletesen korlátos.
M
R
b a
θ2 d hSi
kifejezés véges legyen.
Ez teljesül például, ha a
θ
A továbbiak során nem teszük különbséget lokális martingálok és mar-
tingálok között, de valahányszor egy sztochasztikus integrál várható értékét nullának vesszük, mindig automatikusan feltesszük, illetve az alkalmazás során ellen®rizzük, hogy az azt biztosító idézett megkötés teljesül.
Másképpen fogalmazva a továbbiakban a lokális martingálokat nem
különböztetjük meg a martingáloktól, így a martingálok szerinti sztochasztikus integrálok várható
értékét mindig nullának vesszük. A lokális martingálok és a martingálok közötti különbségre bár mély technikai fogalomról van szó, intuitíve mégis jól rá lehet érezni: a probléma az integrandusok nagyságrendjéb®l stratégia megvalósíthatóságából ered.
48 és a duplázási
A martingál szerinti sztochasztikus integrál szemléletileg
egy fair játék ellen játszott stratégia játék eredménye, kumulált nyeresége. A játék annyiban fair, hogy a stratégia megválasztásakor az egyes lépések során a jöv®t
nem lehet el®relátni, ezért a
téteket mindig a fogadás tárgyát képez® esemény el®tt kell megtenni. Ebb®l következ®en az egyes lépésekben a játék ténylegesen fair. A játék azonban annyiban nem fair, hogy a játszás jogát és a tétek nagyságát nem korlátozzuk. A fogadó fél addig és akkora tétekben fogad amíg akar, illetve amekkorákban akar. A
θ
folyamatra egyedül azt tettük fel, hogy az értéke csak a múlttól függ, de
a nagyságát nem korlátozzuk
49 . Elképzelhet®, hogy bizonyos
ω
kimenetelek esetén a
t 7→ θ (t, ω)
trajektória nem korlátos módon n®. Ha így áll a helyzet, akkor nagy kockázatot vállalva és korlátlan ideig játszva általában lehet nyer® stratégiát találni. A Wiener-folyamat diszkrét verziójában, a fej vagy irás játékban, a közismert és korábban már tárgyalt nyer® stratégia a duplázó stratégia, amikor vesztés esetén a nyereményt megduplázzuk.
Mivel bármeddig, bármekkora tétben
jogunk van fogadni, és bármikor ki lehet szállni, nem túl meglep® módon a fogadó fél mind nyer, s®t elvileg végtelen sokat nyerhet. Másképpen fogalmazva egy martingál szerinti sztochasztikus integrál azért nem lesz martingál, mert az integrandus kockázata korlátlanul n®het. Ezért nem lesz a sztochasztikus integrál martingál, csak lokális martingál.
A hazárdjátékos célja, hogy a
martingálként viselked® véletlennel szembeni játékban kihasználja, hogy a kumulált folyamat csak lokális martingál és nem martingál.
Ha természetesen a játszható
θ
stratégiákat korlátozzuk,
nem engedünk meg csak ésszer¶ kockázatot tartalmazó stratégiákat, akkor a játék nyereménye
50 .
martingál marad, vagyis a játék fair marad
Megmutatható, hogy a sztochasztikus integrál konstrukciója átvihet® martingálokról lokális martingálokra is, de evvel nem foglalkozunk
2.2.7.
51 .
Szemimartingálok
Ha egy sztochasztikus folyamat egy korlátos változású folyamat és egy lokális martingál összege, akkor azt mondjuk, hogy a folyamat szemimartingál. Szemimartingálra a legegyszer¶bb és legfontosabb példa az
Z
t
Z ξ (s) ds +
0
48 Az
említett
49 Csak
M
R b a
θ2 d hSi < ∞
feltétel éppen a
t
η (s) dw (s) 0
θ
átlagos nagyságát korlátozza.
azt követeljük meg, hogy az integrandus folytonos legyen. Ez biztosítja, hogy létezzen az integrál. A nem
folytonos eset tartalmaz meglepetéseket, de erre nem térünk ki.
50 A
kockázatkezelés célja éppen az, hogy megakadályozza a túlzott kockázatokat.
A Mi kockázatunk az Ön
pénzével típusú viselkedés lényege, hogy megpróbáljuk a nyereményfolyamatot lokális martingállá alakítani, majd bízva bízunk. V.ö.: K&H, Enron, LTCM stb.
51 Már
csak azért sem, ugyanis a lokális martingál de nícióját emberbaráti okokból nem tárom az érdekl®d®
hallgatóság elé. Ugyanakkor érdemes hangsúlyozni, hogy lokális martingál integrátorok esetén az alapgondolatok nem változnak, tehát a sztochasztikus integrál ilyenkor is az Itô-féle közelít® összegek sztochasztikus határértéke. A lokális martingál de nícióján kívül semmilyen technikai probléma nem jelentkezik.
2.2. ITÔ-FÉLE SZTOCHASZTIKUS INTEGRÁL
kifejezés, ahol a is mondani.
ξ
η
és az
52
folytonos folyamatok.
Az ilyen kifejezéseket szokás Itô-diúzióna k
Az irodalomban szokás konvenció szerint az ilyen kifejezéseket az integrál jelek el-
hagyásával
módon szokás írni. A
ξdt + ηdw Rt ξ folytonossága miatt az 0 ξ (s) ds Z t Z t ξ (s) ds = |ξ (s)| ds V0,t 0
0
variációja véges. A második tag pedig a
w
Wiener-folyamattal de niált sztochasztikus integrál,
tehát lokális martingál, és a sztochasztikus integrál kvadratikus variációjára vonatkozó képlet szerint
t
Z
Z t Z t η (s) dw (s) = η 2 (s) d hw (s)i = η 2 (s) ds.
0 Ha a
ξ
0
0
folyamat folytonos
X (t, ω) = A (t, ω) + S (t, ω) szemimartingál, akkor értelmezhet® az
b
Z
Z ξdX $
b
Z ξdA +
a sztochasztikus integrál.
b
a
ξdS a
Világos, hogy a jobb oldali összeg mind a két tagja értelmes.
Az els®
trajektóriánként vett közönséges Stieltjes-intergál, a másik egy sztochasztikus konvergenciában vett Itô-integrál. Mivel a majdnem mindenhol való konvergenciából következik a sztochasztikus konvergencia, az
Rb a
ξdX tekinthet® a Itô-féle közelít® összegek sztochasztikus X szemimartingálra szintén képezhetjük a X 2 (X (tk ) − X (tk−1 )) lim
konvergenciában
vett határértékének. Az
∆tk &0
k
kvadratikus variációt. Az összegzés mögötti négyzetben szerepl® tagokra
X
2
2
(∆A (tk )) + 2∆S (tk ) ∆A (tk ) + (∆S (tk ))
.
k A harmadik tag éppen az
hSi X
lokális martingál rész kvadratikus variációjához tart. Az els® tagra
2
(∆A (tk )) ≤ max |∆A (tk )| k
k Mivel az
A
A
X
|∆A (tk )| .
k
feltétel szerint korlátos változású, ezért az összeg rendelkezik véges korláttal. Ha az
folytonos, akkor
folytonos, akkor
P 2 maxk |∆A (tk )| → 0, tehát ilyenkor k (∆A (tk )) → 0. X X ∆S (tk ) ∆A (tk ) ≤ max |∆S (tk )| |∆A (tk )| → 0, k k
Hasonlóan ha az
S
k
vagyis folytonos szemimartingálok kvadratikus variációja éppen a lokális martingál rész kvadratikus variációja. Ha
X1
és
X2
két szemimartingál, akkor de niálható a
lim
∆tk &0
X
∆X1 (tk ) ∆X2 (tk ) $ hX1 , X2 i
k
X1 korlátos változású és az X2 folytonos, akkor X X ∆X1 (tk ) ∆X2 (tk ) ≤ max |∆X2 (tk )| |∆X1 (tk )| → 0. k
kvadratikus keresztvariáció. Ha az
k
k
ismételten
2.2. ITÔ-FÉLE SZTOCHASZTIKUS INTEGRÁL
53
Xk (t, ω) = Ak (t, ω) + Sk (t, ω),
Ebb®l következ®en ha
ahol az
Ak
korlátos változású, az
Sk
kvadratikus variációja véges, akkor a szokásos folytonossági feltételek teljesülése esetén
hX1 , X2 i = hS1 , S2 i .
2.26 Példa. Számoljuk ki a t
Z
t
Z
ξ (t) =
η 1 (t) dζ 1 + 0
η 2 (t) dζ 2 0
összeg kvadratikus variációját. Az
Rt 0
η i dζ i ≈
P
tk ≤t
η i (tk−1 ) (ζ i (tk ) − ζ i (tk−1 ))
integrálfolyamat növekményei közelít®leg
η i (tk−1 ) (ζ i (tk ) − ζ i (tk−1 )) , így a korábban elmondottakkal analóg módon
hξi ≈
X
2
(∆ξ (tk )) ≈
X
k
2
(η 1 (tk−1 ) ∆ζ 1 (tk ) + η 2 (tk−1 ) ∆ζ 2 (tk )) =
k
i Xh 2 2 = η 21 (tk−1 ) (∆ζ 1 (tk )) + η 22 (tk−1 ) (∆ζ 2 (tk )) + 2η 1 (tk−1 ) η 2 (tk−1 ) ∆ζ 1 (tk ) ∆ζ 2 (tk ) ≈ k t
Z
η 21 d hζ 1 i +
≈ 0
Z ≈
t
Z
η 22 d hζ 2 i + 2
X
0 t
η 21 d hζ 1 i +
0
Z
η 1 η 2 ∆ζ 1 ∆ζ 2 ≈
k t
η 22 d hζ 2 i + 2
0
Z
t
η 1 η 2 d hζ 1 , ζ 2 i , 0
mulát, illetve az analóg módon érvényes folytonos és korlátos változású és a
ζ2
∆ζ 1 ∆ζ 2 ≈ ∆ hζ 1 , ζ 2 i
közelít®
2
(∆ζ) ≈ ∆ hζi forképletet. Ha a ζ 1 folyamat
ahol többször kihasználtuk a kvadratikus variáció növekményére vonatkozó folytonos, akkor
Z hξi (t) =
t
η 22 d hζ 2 i ,
0 ugyanis az összeg másik két tagjában az integrátor értéke nulla.
2
3. fejezet
Itô-formula Ebben a fejezetben a sztochasztikus kalkulus számítási szabályát az Itô-formulát és alkalmazásait ismertetjük. A szemimartingálok osztálya meglep®en stabil abban az értelemben, hogy egy sor m¶veletet végrehajtva szemimartingálból szemimartingált kapunk. Például könnyen belátható, hogy szemimartingálok összege szemimartingál. Kevésbé nyilvánvaló, de szemimartingálok szorzata és hányadosa
1
2 tartalmazza.
is szemimartingál . A szemimartingálok legfontosabb tulajdonságát az Itô-formula
Az Itô-formula számos alapvet® jelent®ség¶ következménnyel bír. Ezek közé tartozik például a a szemimartingálok már említett zártsága a szorzás és az osztás m¶veletére.
3.1.
Itô-formula mint a NewtonLeibniz-szabály általánosítása
A sztochasztikus analízis központi állítása az Itô-formula :
3.1 Tétel. (Itô-formula) Ha
F
kétszer folytonosan deriválható
n-változós
függvény, és
n
(ξ k )k=1
folytonos szemimartingálok,
akkor
F (ξ (t)) − F (ξ (0))
3.1.1.
=
n Z X
t
∂F (ξ (s)) dξ k (s) + ∂xk k=1 0 Z
1 X t ∂2F + (ξ (s)) d ξ i , ξ j (s) . 2 i,j 0 ∂xi ∂xj
Másodrend¶ közelítések, kvadratikus variáció
A bizonyítás nagyon messze vezetne, de azért némi indoklást célszer¶ adni.
Világos, hogy egy
fajta NewtonLeibniz-szabályról van szó. Próbáljuk meg így igazolni. Vegyük a
F (ξ (t)) − F (ξ (0)) =
N X
[F (ξ (tk )) − F (ξ (tk−1 ))]
k=1
1 Általában
a matematikában az összegre való zártság szinte alapkövetelmény.
Egy olyan folyamatosztály, amely
a négy alapm¶veletre nézve nem zárt, matematikailag igen kellemetlen tud lenni, használata komoly kockázatokat rejt magában.
2 Történeti
okoból használatos még az Itô-lemma elnevezés is.
54
3.1. ITÔ-FORMULA MINT A NEWTONLEIBNIZ-SZABÁLY ÁLTALÁNOSÍTÁSA
55
teleszkópikus felbontást. Vegyük észre, hogy a két oldal azonos. A közönséges NewtonLeibnizszabály esetén az
F (ξ (tk+1 )) − F (ξ (tk ))
' F 0 (ξ (τ k )) [ξ (tk+1 ) − ξ (tk )] = n X ∂F (ξ (τ k )) [ξ i (tk+1 ) − ξ i (tk )] = ∂xi i=1
3
közelítéssel élünk . Vegyük észre, hogy az így kapott
N X n X ∂F (ξ (τ k )) [ξ i (tk ) − ξ i (tk−1 )] ∂xi i=1
k=1
összeg általában nem konvergens, ugyanis a
τ k közelít® pontokat nem a [tk−1 , tk ] szakaszok kezd®ponτ k = tk−1 . A
tjának kaptuk, márpedig a sztochasztikus integrál csak akkor konvergens, ha teleszkopikus összeget becsülhetnénk másképpen is.
Ennek a klasszikus esetben nincs értelme,
most azonban célszer¶, ha a Taylor-formula által biztosított
1 F 0 (ξ (tk−1 )) [ξ (tk ) − ξ (tk−1 )] + F 00 (ξ (τ k )) ([ξ (tk ) − ξ (tk−1 )]) 2 másodrend¶ közelítéssel élünk. Emlékeztetünk, hogy a második derivált egy kvadratikus alak, így a
ξ (τ k )
pontban vett
F 00
második derivált a
[ξ (tk ) − ξ (tk−1 )]
helyen éppen
T
(ξ (tk ) − ξ (tk−1 )) · H · (ξ (tk ) − ξ (tk−1 )) módon írható, ahol
H$
∂2F (ξ (τ k )) ∂xi ∂xj
a második parciális deriváltakból álló úgynevezett Hesse-mátrix. A Taylor-formula szerint a másodrend¶ tagban lev®
τk
továbbra is a
[tk−1 , tk ]
egy köztes pontja, de a
τk
az els®rend¶ tagban
nem szerepel csak a másodrend¶ben. Így tehát a másodrend¶ tag
F 00 (ξ (τ k )) (ξ (tk ) − ξ (tk−1 )) =
n X n X ∂2F (ξ (τ k )) ∆ξ i (tk ) ∆ξ j (tk ) . ∂xi ∂xj j=1 i=1
Az els®rend¶ közelítés éppen az
Z
b
F 0 (ξ) dξ =
a
n Z X i=1
b
a
∂F (ξ) dξ i ∂xi
integrálhoz tart. Mivel a keresztvariáció növekményének becslése alapján
∆ξ i (tk ) ∆ξ j (tk ) ≈ ∆ ξ i , ξ j (tk ) ezért
∂2F ∂2F (ξ (τ k )) ∆ξ i (tk ) ∆ξ j (tk ) ≈ (ξ (τ k )) ∆ ξ i , ξ j (tk ) , ∂xi ∂xj ∂xi ∂xj
tehát
N X ∂2F (ξ (τ k )) ∆ξ i (tk ) ∆ξ j (tk ) ∂xi ∂xj
≈
k=1
→ 3 Ügyeljünk
N X
∂2F (ξ (τ k )) ∆ ξ i , ξ j (tk ) ∂xi ∂xj k=1 Z b
∂2F (ξ (t)) d ξ i , ξ j (t) . a ∂xi ∂xj
a többváltozós függvények deriválási szabályára.
Egy változós esetben egyenl®ség van.
A többváltozós függvények deriváltja sorvektor.
3.1. ITÔ-FORMULA MINT A NEWTONLEIBNIZ-SZABÁLY ÁLTALÁNOSÍTÁSA
56
Vegyük észre, hogy a másodrend¶ tagokból képzett integrál a négyzetes keresztvariáció szerint képzett integrál, vagyis közönséges Stieltjes-integrál, így az a tény, hogy a
4
τk
nem az intervallum
kezd®pontja nem okoz gondot . Az Itô-formula a NewtonLeibniz-szabály általánosítása. A két formula különbsége a másodrend¶ tagokban van. A klasszikus analízisben a másodrend¶ tagok értéke nulla lenne, ugyanis ha az függvény kétszer folytonosan deriválható, akkor az
f 00
folytonos függvény az
[a, b]
f
véges szakaszon
korlátos, tehát
1 X 2 00 f (τ k ) (tk − tk−1 ) ≤ 2 k
≤
1 X 2 K (tk − tk−1 ) ≤ 2 k X 1 K max |tk − tk−1 | (tk − tk−1 ) = k 2 k
=
1 K max |tk − tk−1 | (b − a) → 0. k 2
Másképpen fogalmazva a klasszikus analízisben a másodrend¶ közelítés gyelembevételének nincs
5
értelme .
3.2 Példa. Számoljuk ki a
ξ (t) $ exp (w (t))
Emlékeztetünk, hogy egy
ξ
folyamat kompenzátorát. kompenzátorán azt a
folyamat
folyamatot értjük, amelyre a
ξ−P
szerint
t
Z ξ (t) − ξ (0) =
exp (w (s)) dw (s) + 0
Az els® tag a
P
monoton növeked®, pozitív érték¶
tökéletesen véletlen, vagyis lokális martingál. Az Itô-formula
1 2
Z
t
exp (w (s)) ds. 0
w martingál szerint vett sztochasztikus R t integrál, tehát szintén martingál, így tökéleteP $ 21 0 exp (w (s)) ds integrál szintén véletlen folyamat,
sen véletlen folyamat. A második tag a
de minden trajektóriája monoton n® és folytonosan deriválható, így joggal interpretálható úgy mint az
exp (w (t))
folyamat birtoklásáért zetend® összeg. Számoljuk ki a
P
várható értékét. A
lognormális eloszlás várható értékének képlete szerint
M (P (t))
= = =
Z t 1 M exp (w (s)) ds = 2 0 Z 1 t M (exp (w (s))) ds = 2 0 Z s t 1 t exp ds = exp − 1. 2 0 2 2
Vegyük észre, hogy a lognormális eloszlás várható értékének képlete miatt az alapfolyamat várható értéke
M (exp (w (t))) = exp A két várható érték különbsége
1,
amely éppen az
t . 2
M (ξ (0))
értéke. Mivel a
ξ (0)
a
t=0
id®pont-
ban ismert és a kompenzátoron de níció szerint olyan folyamatot szokás érteni, amely a id®pontban nulla, ezért helyesebb lenne a pen a kompenzátor várható értéke.
M (ξ (t) − ξ (0))
t = 0
várható értéket tekinteni, amely ép-
Ebb®l következ®en a kompenzátor folyamat átlagos értéke
éppen az eredeti folyamat növekményének átlagos értékével azonos, miközben a kompenzátor az alapfolyamatban szerepl® trajektóriánkénti kockázatot kompenzálja.
2 4 Vegyük észre, hogy a formula igazolása pontosan ezen az észrevételen alapszik!!! 5 Ez nem jelenti azt, hogy az integrálok numerikus közelítésekor a másodrend¶ közelítéseket nem szokás használni. A másodrend¶ közelítés pontosabb mint az els®rend¶, de határértékben a klasszikus esetben a másodrend¶ tag elt¶nik.
3.1. ITÔ-FORMULA MINT A NEWTONLEIBNIZ-SZABÁLY ÁLTALÁNOSÍTÁSA
3.1.2.
Itô-formula alkalmazása várható értékek kiszámolására
Az Itô-formula egyik fontos olvasata a következ®: ingál.
57
Ha az
f
Legyen a
ξ (t, ω) folyamat folytonos martη (t, ω) $ f (ξ (t, ω)) módon
függvény kétszer folytonosan deriválható, akkor az
de niált folyamat az Itô-formula szerint folytonos szemimartingál, ugyanis felbontható két integrál összegére, ahol az els® integrál Itô-féle sztochasztikus integrál, a másik pedig korlátos változású folyamat szerint vett közönséges Stieltjes-integrál. A sztochasztikus integrál általában martingál, tehát a várható értéke általában konstans módon nulla, a Stieltjes-integrált tartalmazó tag pedig korlátos változású, így a kvadratikus variációja nulla. Ez lehet®vé teszi, hogy kiszámoljuk az transzformált folyamat, illetve a folyamat kvadratikus variációjának várható értékét. 1. Számoljuk ki a
sin w
sztochasztikus folyamat várható értékét. Az Itô-formula alapján
Z 1 t − sin (w (s)) d hw (s)i = 2 0 0 Z t Z 1 t = cos w (s) dw (s) − sin (w (s)) ds. 2 0 0 t
Z
sin w (t) − sin w (0)
cos w (s) dw (s) +
=
Mind a két oldalon várható értéket véve
t
Z M (sin w (t))
= M 1 = − 2
Z
0 t
Z t 1 cos w (s) dw (s) − M sin (w (s)) ds = 2 0
M (sin (w (s))) ds, 0
ahol kihasználtuk, hogy a sztochasztikus integrálok várható értéke nulla. Ha
f (t) $ M (sin (w (t))) , akkor
1 f (t) = − 2 Mind a két oldalt deriválva a
Z
t
f (s) ds
f (0) = 0.
0
1 d f = − f, ds 2
f (0) = 0
dierenciálegyenlethez jutunk, amely megoldása
f (t) = 0. 6 alapján
Ez azonban nem meglep®, ugyanis a keresett integrál a Wiener-folyamat eloszlása
1 √ 2πt
∞
x2 exp − 2t −∞
Z
sin xdx,
amely a szinusz függvény páratlansága miatt nulla. 2. Számoljuk ki a
cos w
sztochasztikus folyamat várható értékét. Az Itô-formula alapján
t
Z cos w (t) − cos w (0) = −
sin w (s) dw (s) + 0
1 2
Z
t
− cos (w (s)) ds 0
Várható értéket véve, felhasználva, hogy a sztochasztikus integrál várható értéke nulla
t
Z M (cos w (t)) − 1
=
−M 0
1 = − 2 6 Ugyanis
a
w (t)
eloszlása éppen
N 0,
Z
Z t 1 sin w (s) dw (s) − M cos (w (s)) ds = 2 0
t
M (cos w (s)) ds. 0
√ t ,
így a s¶r¶ségfüggvénye
√ f (x) = 1/ 2πt exp −x2 /2t .
η
3.1. ITÔ-FORMULA MINT A NEWTONLEIBNIZ-SZABÁLY ÁLTALÁNOSÍTÁSA
58
Bevezetve az
f (t) $ M (cos w (t)) függvényt
1 d f (t) = − f (t) dt 2
f (0) = 1,
amely megoldása
1 f (t) = exp − t . 2 3. Számoljuk ki az
exp (w)
folyamat várható értékét. Ismételten az Itô-formula alapján
t
Z exp (w (t)) − 1 =
exp (w (s)) dw (s) + 0
1 2
Z
t
exp (w (s)) ds. 0
Várható értéket véve
t
Z M (exp (w (t))) − 1 = M 0
Z t 1 exp (w (s)) dw (s) + M exp (w (s)) ds . 2 0
A megszokott módon dierenciálva a két oldalt
d 1 f (t) = f (t) , dt 2
f (0) = 1
egyenletet kapjuk, amely megoldása
1 t . 2
f (t) = exp t = 1, akkor 2 Z ∞ 1 s √ exp (s) exp − ds = 2 2π −∞
Például, ha
=
1 √ 2π
∞
i 1h 2 exp − (s − 1) − 1 ds = 2 −∞
Z
e1/2
4. Igazoljuk a lognormális eloszlás várható értékére vonatkozó képletet. Az Itô-formula alapján
Z exp (µ + σw (t)) − exp (µ)
t
= σ
exp (µ + σw (s)) dw(s) + Z 1 2 t + σ exp (µ + σw (s)) ds. 2 0 0
Várható értéket véve, és elhagyva a sztochasztikus integrál várható értékét a
d σ2 f= f (t) , dt 2
f (0) = exp (µ)
egyenlethez jutunk, amely megoldása
f (t) = exp 5. Számoljuk ki a
hsin w (t)i
σ2 t+µ . 2
kvadratikus variációt. Az Itô-formula alapján
Z 1 t sin w (s) d hwi (s) = 2 0 0 Z t Z 1 t = cos w (s) dw (s) − sin w (s) ds. 2 0 0 Z
sin w (t) − sin w (0)
=
t
cos w (s) dw (s) −
3.1. ITÔ-FORMULA MINT A NEWTONLEIBNIZ-SZABÁLY ÁLTALÁNOSÍTÁSA
59
Az összeg kvadratikus variációjára vonatkozó képlet szerint
Z
t
cos2 w (s) ds,
hsin w (t)i = 0 ugyanis a többi kvadratikus variáció nulla. 6. Számoljuk ki a
hsin w (t)i
kvadratikus variáció várható értékét.
t
Z t cos w (s) ds = M cos2 w (s) ds = M hsin w (t)i = M 0 0 Z t 1 + cos 2w (s) M = ds = 2 0 Z t Z t 1 = 1ds + M (cos 2w (s)) ds . 2 0 0 Z
2
A második kifejezést a már bemutatott módon az Itô-formula segítségével számolhatjuk ki.
s
Z
1 sin 2w (u) dw (u) − 4 2
cos 2w (s) − 1 = −2 0
Z
s
cos 2w (u) du. 0
Várható értéket véve, a sztochasztikus integrál várható értékét elhagyva
Z f (s) − 1 = −2
s
f (u) du, 0
amib®l
f (s) = exp (−2s) . A keresett kvadratikus variáció
1 1 t+ 2 2
3.1.3.
Z
t
exp (−2s) ds = 0
1 1 1 1 1 t t − [exp (−2s)]0 = t − exp (−2t) + . 2 4 2 4 4
Itô-formula id®t®l függ® transzformációs függvény esetén
A többdimenziós Itô-formula speciális esete amikor
η (t) $ f (t, ξ (t)), ahol az f
kétváltozós, kétszer
folytonosan deriválható függvény. Az Itô-formula szerint
Z t ∂f ∂f (s, ξ (s)) ds + (s, ξ (s)) dξ (s) + f (t, ξ (t)) − f (0, ξ (0)) = ∂s 0 0 ∂x Z t 2 Z t 2 1 ∂ f 1 ∂ f + (s, ξ (s)) d hsi + (s, ξ (s)) d hξi (s) + 2 0 ∂s2 2 0 ∂x2 Z t 2 ∂ f (s, ξ (s)) d hs, ξi . + ∂s∂x 0 Z
Miként már többször láttuk,
hsi = 0.
t
A keresztvariáció szintén nulla, ugyanis a
ξ
trajektóriáinak
folytonossága miatt
X |hs, ξi (t)| ≈ (sk − sk−1 ) (ξ (sk ) − ξ (sk−1 )) ≤ k
≤
t max |ξ (sk ) − ξ (sk−1 )| → 0. k
Megjegyezzük, hogy a gondolatmenet általánosítható: Ha az változásúak, a
ζ 2 (t, ω)
ζ 1 (t, ω) folyamat trajektóriái korlátos
folyamat trajektóriái folytonosak, akkor
|hζ 1 , ζ 2 i (t)| ≈
X (ζ 1 (sk ) − ζ 1 (sk−1 )) (ζ 2 (sk ) − ζ 2 (sk−1 )) ≤ k
≤
V0,t (ζ 1 ) max |ζ 2 (sk ) − ζ 2 (sk−1 )| → 0, k
3.1. ITÔ-FORMULA MINT A NEWTONLEIBNIZ-SZABÁLY ÁLTALÁNOSÍTÁSA
hζ 1 , ζ 2 i = 0.
vagyis a megadott feltételek esetén
60
A másodrend¶ tagban tehát három tényez®
elhagyható, így
Z t ∂f ∂f (s, ξ (s)) ds + (s, ξ (s)) dξ + ∂s 0 ∂x 0 Z 1 t ∂2f + (s, ξ (s)) d hξi . 2 0 ∂x2
Z f (t, ξ (t)) − f (0, ξ (0))
=
t
Speciálisan ha
Z
u
ξ (u) $
X (s) dw (s) , 0
vagyis ha
dξ = Xdw, akkor az integrálok kvadratikus variációjának képlete szerint
u
Z hξi (u) $ Z =
u
Z X (s) dw (s) =
0 u
X 2 (s) d hwi (s) =
0 2
X (s) ds. 0
Ezt és az integrálokra vonatkozó asszociativitási szabályt kétszer felhasználva
f (t, ξ (t)) − f (0, ξ (0)) = Z t ∂f ∂f (s, ξ (s)) ds + (s, ξ (s)) dξ (s) + = 0 ∂x 0 ∂s Z 1 t ∂2f + (s, ξ (s)) d hξi (s) = 2 0 ∂x2 Z t Z t Z 1 t ∂2f ∂f ∂f = (s, ξ (s)) ds + (s, ξ (s)) Xdw + (s, ξ (s)) X 2 ds = 2 ∂s ∂x 2 ∂x 0 0 0 Z t Z t ∂f 1 ∂2f ∂f = (s, ξ (s)) + (s, ξ (s)) X 2 ds + (s, ξ (s)) Xdw. 2 ∂s 2 ∂x 0 0 ∂x Z
t
A pénzügyi matematika könyvek gyakran az Itô-formulát ebben az alakban szokták közölni és dierenciális alakban írni
df =
∂f 1 ∂2f 2 ∂f + X dt + Xdw ∂t 2 ∂x2 ∂x
Ez az alak azonban csak egy nehezen megjegyezhet®, mondhatnánk némiképpen zavaros speciális
7
formája az általunk tárgyalt, és remélhet®leg jóval világosabb, általános esetnek .
3.1.4.
Lineáris sztochasztikus dierenciálegyenletek
A BlackScholes-modellben a részvények ármozgását a
dS = µSdt + σSdw,
S (t) = s
sztochasztikus dierenciálegyenlettel írjuk le. A jelölésen a tetsz®leges
Z S (T ) − S (t) =
µ · S (u) du + t
7A
legfontosabb észrevétel, hogy a két
dt
T
Z
(3.1)
t
id®pontokra teljesül®
T
σ · S (u) dw (u) t
szerinti integrál megjelenésének teljesen eltér® oka van.
3.1. ITÔ-FORMULA MINT A NEWTONLEIBNIZ-SZABÁLY ÁLTALÁNOSÍTÁSA
61
integrálegyenlet értend®. Általában a sztochasztikus dierenciálegyenleteket igen nehéz megoldani. Ebben az esetben azonban a megoldás explicite megadható:
S (T ) = s · exp
1 µ − σ2 2
· (T − t) + σ · w (T − t) .
(3.2)
Valóban, az Itô-formula id®t®l függ® verziója alapján
S (T ) − S (t) = Z T Z Z T 1 T 2 1 2 S (u) dw + σ S (u) du = µ − σ S (u) du + σ = 2 2 t t t Z T Z T = µ S (u) du + σ S (u) dw. t
t
3.3 Példa. Határozzuk meg a (3.1) megoldásának várható értékét. Az egyenlet megoldását a
T
pontban a (3.2) képlet adja meg. A képletb®l világos, hogy a megoldás
8
lognormális eloszlást követ, ahol logaritmushoz tartozó normális eloszlás
N
√ 1 µ − σ 2 (T − t) , σ T − t . 2
A lognormális eloszlás várható értékének képlete alapján
√ 1 2 = s · M exp N µ − σ (T − t) , σ T − t = 2 1 1 = s exp µ − σ 2 (T − t) + σ 2 (T − t) = 2 2 = s exp (µ (T − t)) .
M (S (T ))
2
3.4 Példa. Számoljuk ki az
N (t) $ exp (w (t) − t/2)
exponenciális martingál négyzetének kompenzátorát!
N 2 kompenzátorán azt a monoton N (t) − P (t) folyamat lokális martingál.
Emlékeztetünk, hogy az értjük, amelyre az
növeked®, folytonos
2
Tetsz®leges
N
P
folyamatot
folytonos martingál
esetén az Itô-formula szerint
N 2 (t) − N 2 (0)
Z
t
=
2N dN + 0
Z
1 2
Z
t
2d hN i = 0
t
2N dN + hN i (t) .
= 0
Rt hN i monoton növeked®, az 0 2N dN integrál lokális martingál, tehát az N 2 kompenzátora9 az hN i kvadratikus variáció. Ugyanakkor ha µ = 0, σ = 1, akkor a lineáris sztochasztikus dierenciálegyenlet megoldása éppen N, vagyis Z t N (t) − N (0) = N (u) dw (u) , N (0) = 1. Az
0
8 Értelemszer¶en az s kezdeti feltétel nélkül. 9 Természetesen ezt már korábban is láttuk.
3.2. FEYNMANKAC-FORMULA
Az
N (t) − 1 =
Rt 0
62
N (u) dw (u)
integrál kvadratikus variációja
Z hN i (t)
t
N 2 (s) d hwi (s) =
=
Z
N 2 (s) ds =
0
0
Z
t
t
exp (2w (s) − s) ds.
= 0 Vegyük észre, hogy a
P = hN i
kompenzátor mint sztochasztikus folyamat függ az
ω
kimenetelt®l.
2
3.2.
FeynmanKac-formula
Tekintsük a BlackScholes-féle parciális dierenciálegyenletet (PDE):
∂f ∂f 1 ∂2f + rS + σ 2 S 2 2 = rf, ∂t ∂S 2 ∂S A call opciókhoz tartozó peremfeltétel
f (T, S) = max {S − X, 0} . Ez speciális esete a
∂f ∂f 1 ∂2f +µ + σ 2 2 + rf + k = 0, ∂t ∂x 2 ∂x f (T, x) = Φ (x) µ, σ, k a keresett f függvényhez hasonlóan a (t, x) független változók függvényei, r pedig konstans. A parciális dierenciálegyenlet megoldását sztochasztikus dierenciálegyenlet
egyenletnek, ahol az
(SDE) segítségével adjuk meg. Tekintsük el®ször az általános PDE-hez tartozó következ® úgyn-
10 :
evezett Cauchy-problémát
∂f ∂f 1 ∂2f +µ + σ 2 2 + k = 0, ∂t ∂x 2 ∂x f (T, x) = Φ (x) .
3.2.1.
(3.3)
Parciális és sztochasztikus dierenciálegyenletek
A parciális dierenciálegyenlethez formálisan
11 rendeljük hozzá a
dX (s)
=
µ (s, X (s)) ds + σ (s, X (s)) dw (s) ,
X (t)
=
x
sztochasztikus dierenciálegyenletet. Vegyük észre, hogy az id® jelölésére a id®paraméter és az
x
t
helyébe
s
kerül, a
t
helyparaméter a kezdeti feltételben jelenik meg. Ismételten megjegyezzük,
hogy a sztochasztikus dierenciálegyenletre felírt, sztochasztikus analízisben megszokott jelölés valójában a tetsz®leges
t
id®pontokra teljesül®
Z
T
X (T ) − x = X (T ) − X (t) =
Z µ (s, X (s)) ds +
T
σ (s, X (s)) dw (s)
t
t
integrálegyenl®ség teljesülését jelenti. Vezessük be az úgynevezett Dinkin-operátort, amely a PDEben szerepl®
x
szerint vett deriváltakat tartalmazó tagokból áll:
Af $ µ 10 Vegyük
rf
1 ∂2f ∂f + σ2 2 . ∂x 2 ∂x
észre, hogy a feladat homogén, vagyis nem tartalmazza az
f
függvényt, csak a deriváltjait, vagyis az
tagot elhagytuk.
11 Hangsúlyozni
kell, hogy a hozzárendelés formális, következésképpen mechanikus.
3.2. FEYNMANKAC-FORMULA
Az
A
63
segítségével a (3.3) PDE
∂f + Af + k = 0, ∂t 12
módon írható. Legyen
f (t, x) ∈ C 2 df =
f (T, x) = Φ (x)
(3.4)
az egyenlet megoldása. Az id®t®l függ® Itô-formula alapján
∂f ∂f 1 ∂2f d hXi , ds + dX + ∂s ∂x 2 ∂x2
ugyanis miként korábban láttuk a másodrend¶ tagban a többi kvadratikus variáció nulla. Az képletét a
dX
X
tagba behelyettesítve az integrálokra vonatkozó asszociativitási szabály miatt
∂f ∂f ∂f ∂f dX = (µds + σdw) = µ ds + σ dw. ∂x ∂x ∂x ∂x Az
X
két tag összege, így miként már többször láttuk, az
2
(a + b) = a2 + 2ab + b2 nevezetes összefüggés triviális alkalmazásával
hXi = hµds + σdwi = hµdsi + 2 hµds, σdwi + hσdwi . Miként láttuk, folytonos esetben ha a kvadratikus variációban valamelyik kifejezés véges változású,
13
akkor a kvadratikus variáció nulla, így
hXi = hσdwi . A sztochasztikus integrálok kvadratikus variációjának képlete miatt
Z hσdwi (t) $
t
Z
σdw
t
=
0
σ 2 d hwi =
0
Z
t
σ 2 ds.
0
A Dinkin-operátor mint jelölés segítségével a kifejezés
df
∂f 1 ∂2f ∂f ds + dX + d hXi = ∂s ∂x 2 ∂x2 ∂f ∂f ∂f 1 ∂2f = ds + µ ds + σ dw + σ 2 2 ds = ∂s ∂x ∂x 2 ∂x ∂f ∂f 1 2 ∂2f ∂f = +µ + σ ds + σ dw = 2 ∂s ∂x 2 ∂x ∂x ∂f ∂f = + Af ds + σ dw. ∂s ∂x =
Az egyenl®séget integrálként részletesen kírva és felhasználva, hogy az
f
megoldása a PDE-nek,
vagyis teljesül a (3.4):
T
Z f (T, X (T )) − f (t, X (t))
= t T
Z = t
12 Az f ∈ C 2 jelölés azt jelenti, hogy 13 A µds kifejezés korlátos változású,
az
f
Z T ∂f ∂f + Af ds + σdw = ∂s ∂x t Z T ∂f −kds + σdw. ∂x t
kétszer folytonosan deriválható.
ugyanis a némiképpen homályos dierencia jelölés mögött egy érzéki
integrál dobog, amely teljes megváltozása, mint tudjuk,
Rt 0
|µ| ds < ∞.
Rt 0
µds
3.2. FEYNMANKAC-FORMULA
64
14 , akkor mind a két oldalon várható értéket véve, a megszokott módon
Ha a második tag elég jó
felhasználva, hogy a sztochasztikus integrál várható értéke nulla
M (f (T, X (T )) − f (t, X (t)))
!
T
Z
−kds
= M
Z
∂f σdw ∂x
+M
t
t
! =
!
T
Z
T
−kds .
= M t Mivel az
X (s)
eleget tesz az SDE-nek, ezért a kezdeti feltétel miatt
X (t) = x,
tehát az
f (t, X (t)) = f (t, x) konstans. Az összefüggést átalakítva
M (f (T, X (T )) − f (t, X (t)))
=
M (f (T, X (T )) − f (t, x)) =
=
M (f (T, X (T ))) − f (t, x) = ! Z T −k (s, X (s)) ds . M
=
t Átrendezve
f (t, x)
=
!
T
Z M (f (T, X (T ))) + M
k (s, X (s)) ds
=
t
Z =
!
T
M (Φ (X (T ))) + M
k (s, X (s)) ds , t
ahol felhasználtuk, hogy az
f
megoldása a PDE-nek, tehát minden
y -ra
f (T, y) = Φ (y) , így
f (T, X (T )) = Φ (X (T )) . A közgazdasági alkalmazásokban
k = 0,
így ilyenkor
f (t, x) = M (Φ (X (T ))) , vagyis a parciális dierenciálegyenlet megoldása, a
T
várható értékeként számolható. Vegyük észre, hogy az
id®pontban lev® peremérték segítségével
M
várható érték a sztochasztikus dier-
enciálegyenlethez tartozó valószín¶ség szerint értend®. A sztochasztikus dierenciálegyenlet egy matematikai segédeszköz, amely közvetlenül a parciális dierenciálegyenlethez tartozik és ezért teljesen független attól, hogy miként jutottunk a parciális dierenciálegyenlethez.
A derivatív
árazás elméletében a parciális dierenciálegyenletet egy másik sztochasztikus dierenciálegyenletb®l vezetjük le, amely egyenlet az árak mozgását írja le és amely egyenlet a statisztikailag meg gyelhet® valószín¶ségi mez® felett van értelmezve. A parciális dierenciálegyenlet megoldásakor használt segédmez® azonban egy másik valószín¶ség
15 , amelyet szokás kockázatsemleges valószín¶ségi
mez®nek nevezni és amely elvileg semmilyen kapcsolatban sincsen az eredeti problémában szerepl® statisztikailag meg gyelt adatokra támaszkodó valószín¶ségi mez®vel. Térjünk visssza az eredeti
∂f 1 ∂2f ∂f +µ + σ 2 2 + k + rf = 0, ∂t ∂x 2 ∂x 14 Vagyis 15 Amely
f (T, x) = Φ (x)
a sztochasztikus integrál nem csak lokális martingál, hanem valódi martingál. csak a matematikusok által kreált fantáziavilágban létezik.
3.2. FEYNMANKAC-FORMULA
65
exp (rt)
inhomogén PDE-re. Szorozzuk be az egyenletet az
függvénnyel, és vezessük be a
h (t, x) $ exp (rt) f (t, x) jelölést. A szorzat deriválási szabálya miatt
∂h ∂f = exp (rt) + r exp (rt) f (t, x) , ∂t ∂t így az inhomogén egyenlet az ekvivalens
0
=
Φ (x)
=
∂h 1 2 ∂ 2 h ∂h + k exp (rt) , +µ + σ ∂t ∂x 2 ∂x2 f (T, x) = exp (−rT ) h (t, x)
módon írható. A már bemutatott módon a homogén egyenletet megoldva
Z h (t, x)
!
T
= M (h (T, X (T ))) + M
exp (rs) k (s, X (s)) ds
=
T
!
t
Z = M (Φ (x) exp (rT )) + M
exp (rs) k (s, X (s)) ds
=
t
Z =
exp (rT ) M (Φ (X (T ))) + M
!
T
exp (rs) k (s, X (s)) ds . t
Az
f
függvényt visszahelyettesítve az inhomogén egyenlet megoldása
f (t, x)
=
exp (r (T − t)) M (Φ (X (T ))) + ! Z T + exp (−rt) M exp (rs) k (s, X (s)) ds . t
Ha
k = 0,
akkor
f (t, x) = exp (r (T − t)) M (Φ (X (T ))) .
3.2.2.
A derivatív árazás alapképlete
Vegyük észre, hogy a BlackScholes-féle egyenletben szerepl® éppen
−r,
r
kamatláb a mi jelölésünk szerint
így az eredeti jelölésre áttérve
f (t, x) = exp (−r (T − t)) M (Φ (X (T ))) , t id®pontban vett ára, a T Φ (X (T )) ki zetés diszkontált várható értéke, ahol a várható értéket, illetve az X (T ) vál-
vagyis az BlackScholes-féle egyenlet megoldása, a derivatíva jelenlegi jöv®beli
tozót a parciális dierenciálegyenlethez rendelt fantáziavilágban, az úgynevezett kockázatsemleges
16 .
világban kell venni
3.2.3.
Példák
Tekintsünk néhány példát: 1. Oldjuk meg a
∂h 1 2 ∂ 2 h + σ = 0, ∂t 2 ∂x2 16 Az
eredeti BlackScholes modelben az árak jelölése
S,
h (T, x) = x2 mi következetesen
X -szel
ferenciálegyenlet változóját hangsúlyozva, hogy a kett®nek semmi köze egymáshoz.
jelöljük a sztochasztikus dif-
3.2. FEYNMANKAC-FORMULA
66
PDE-tet. Rendeljük hozzá a sztochasztikus dierenciálegyenletet
dX (s) = 0 · ds + σdw (s) ,
X (t) = x.
Az egyenlet könnyen megoldható, a megoldása
A Wiener-folyamat
X (s) = x + σ (w (s) − w (t)) . √ tulajdonságai alapján X (s) ∼ = N x, σ s − t . Ezt felhasználva h (t, x) = M X 2 (T ) = D2 (X (T )) + M2 (X (T )) = = σ 2 (T − t) + x2 .
Valóban
∂h 1 2 ∂ 2 h = −σ 2 + σ 2 = 0 + σ ∂t 2 ∂x2 h (T, x) = σ 2 (T − T ) + x2 = x2 . 2. Oldjuk meg a
∂h 1 2 ∂ 2 h + x + x = 0, ∂t 2 ∂x2
h (T, x) = ln x2
PDE-tet. Hagyjuk el®ször el a
k (t, x) = x
konstans tagot, vagyis tekintsük a
∂h 1 2 ∂ 2 h + x = 0, ∂t 2 ∂x2
h (T, x) = ln x2
egyenletet. Rendeljük hozzá a
dX (s) = 0 · ds + X (s) dw (s) = X (s) dw (s) ,
X (t) = x,
SDE-tet. Az egyenlet ismételten könnyen megoldható. A (3.2) képlet alapján
1 X (s) = x exp − (s − t) + w (s − t) . 2 Az
X (T )
változót a
Φ (x) = ln x2
függvénybe betéve
√ ln X 2 (T ) = − (T − t) + 2N 0, T − t + ln x2 , amib®l
h (t, x)
=
√ M − (T − t) + 2N 0, T − t + ln x2 =
=
(t − T ) + ln x2 .
Valóban
0 1 1 1 + x2 2x = 2 x2 0 1 = 1 + x2 = x 1 = 1 + x2 − 2 = 0. x
∂h 1 2 ∂ 2 h + x ∂t 2 ∂x2
=
h (T, x)
=
(T − T ) + ln x2 =
=
ln x2 .
a megoldás
3.2. FEYNMANKAC-FORMULA
67
Az eredeti egyenletet az
T
Z f (t, x) = M (Φ (X (T ))) +
M (k (s, X (s))) ds t
általános formula alapján oldjuk meg, ahol
k (s, x) az általános szabad konstans tag a (3.3) egyen-
17 . A lognormális eloszlás várható értékére vonatkozó képlet alapján
letben
M (k (s, X (s)))
amib®l
Z
1 = M (X (s)) = M x exp − (s − t) + w (s − t) 2 1 1 = x exp − (s − t) + (s − t) = x, 2 2
T
Z
T
1ds = x (T − t) .
M (k (s, X (s))) ds = x t
t Ez alapján
f (t, x) = (t − T ) + ln x2 + x (T − t) . Valóban
0 1 1 1 − x + x2 2x +x= 2 x2 0 1 2 =0 = 1+x x
∂f 1 ∂2f + x2 2 2 + x ∂t 2 ∂ x
=
f (T, x) = ln x2 . 3. Oldjuk meg a
∂h ∂h 1 2 ∂ 2 h + + σ = 0, ∂t ∂x 2 ∂x2 h (T, x) = x2 PDE-tet. Rendeljük hozzá a sztochasztikus dierenciálegyenletet.
dX (s) = 1ds + σdw (s) ,
X (t) = x.
Az egyenlet
Z
X (T ) − x
T
Z
T
dw = T − t + σ [w (T ) − w (t)] ∼ = √ ∼ = N T − t, σ T − t . =
ds + σ
t
t
A megoldóképlet alapján
√ 2 h (t, x) = M N 2 x + T − t, σ T − t = σ 2 (T − t) + (x + T − t) . Valóban
∂h ∂h 1 2 ∂ 2 h + + σ ∂t ∂x 2 ∂x2
= −σ 2 + 2 (x + T − t) (−1) + 1 +2 (x + T − t) + σ 2 2 2 = 0,
17 Feltéve,
hogy a két integrál felcserélhet®, de ezt igen általános feltételek mellett meg lehet tenni. A legegysz-
er¶bben ellen®rizhet® feltétel, hogy a kett®s integrálban szerepl® integrandus nem negatív.
3.2. FEYNMANKAC-FORMULA
68
h (T, x) = x2 . 4. Oldjuk meg a
∂h 1 2 ∂ 2 h ∂h = 0, +x + x ∂t ∂x 2 ∂ 2 x2 h (T, x) = ln x2 PDE-tet. Rendeljük hozzá a
dX (s) = X (s) ds + X (s) dw (s) ,
X (t) = x
sztochasztikus egyenletet, amely lineáris sztochasztikus dierenciálegyenlet, tehát a megoldása
X (s) = x exp
1 1− 2
(s − t) + w (s − t) .
A parciális dierenciálegyenlet megoldása
h (t, x)
=
√ M ln X 2 (T ) = ln x2 + M N T − t, T − t =
=
ln x2 + T − t.
Valóban a peremfeltétel triviálisan teljesül, és
∂h 1 2 ∂ 2 h ∂h +x + x = ∂t ∂x 2 ∂ 2 x2 2 2 1 = −1 + x + x2 − 2 = x 2 x = −1 + 2 − 1 = 0. 5. Oldjuk meg a
∂h 1 2 ∂ 2 h ∂h +x + x + x2 = 0, ∂t ∂x 2 ∂ 2 x2 h (T, x) = ln x2 PDE-tet. Rendeljük hozzá a
dX (s) = X (s) ds + X (s) dw (s) , sztochasztikus dierenciálegyenletet.
X (t) = x
Ez ismételten lineáris sztochasztikus dierenciálegyenlet,
tehát a megoldása
X (s) = x exp
1 1− 2
(s − t) + w (s − t) .
A parciális dierenciálegyenlet megoldása
h (t, x) = M ln X 2 (T ) +
Z
T
M X 2 (s) ds.
t Az egyes komponenseket kiszámolva
2
M ln X (T )
1 = M ln x + 2 (T − t) + w (T − t) = 2 √ = ln x2 + M N (T − t) , 2 T − t =
=
2
ln x2 + T − t,
3.2. FEYNMANKAC-FORMULA
69
illetve a lognormális eloszlás várható értékére vonatkozó képlet alapján
Z
T
M X 2 (s) ds =
x2
Z
T
M (exp (s − t + 2w (s − t))) ds = t
t
=
2
Z
T
exp (3 (s − t)) ds =
x
t T
=
x2 [exp (3 (s − t))]t =
=
x2 (exp (3 (T − t)) − 1) . 3
Összefoglalva:
h (t, x) = ln x2 + T − t + Ha
t = T,
x2 (exp (3 (T − t)) − 1) . 3
akkor
h (T, x) = ln x2 , vagyis teljesül a peremfeltétel. Az egyenletbe behelyettesítve
∂h 1 2 ∂ 2 h ∂h +x + x + x2 = ∂t ∂x 2 ∂ 2 x2 −1 − x2 exp (3 (T − t)) + 1 2x2 +2x + [exp (3 (T − t)) − 1] + x 3 2 1 2x2 1 − x2 2 + [exp (3 (T − t)) − 1] + 2 x 2 3 x2 , amely az összevonásokat elvégezve nulla.
4. fejezet
Girszanov-formula A Girszanov-formula a mértékcsere alapvet® eszköze. A mértékcsere célja a kockázatsemleges mértékre való áttérés. A sztochasztikus analízis egyik alapvet® észrevétele, hogy az elmélet formulái nem változnak az ekvivalens mértékcsere folyamán. Természetesen a mértékcsere során a várható érték megváltozhat. Ennek megfelel®en a lokális martingálok osztálya változik a mértékcserével, de a szemimartingálok és az integrálok nem függnek az alapul vett valószín¶ségi mértékt®l. A sztochasztikus analízis nevezetes formulája a Girszanov-formula. Maga a formula tulajdonképpen igen egyszer¶, ami miatt a formulát mégis nehéznek szokás tartani, az a formula mondanivalója. A formula megértésének kulcsa a mértékcsere fogalmának tisztázása. A valószín¶ségszámítás tárgyalásakor mindig abból szokás kiindulni, hogy adott az
(Ω, A, P)
valószín¶ségi mez®.
A
valószín¶ségszámítás célja, hogy az el®re rögzített mez® ismeretében határozzuk meg a külön-
1
böz® valószín¶ségi változók eloszlását . De mib®l is származik az eredeti valószín¶ségi mez®? Ál-
2
talában a feladat természete miatt el®re adott , esetenként szimmetria megfontolásokból nekünk kell meghatározni. Id®nként el®fordul, hogy valamilyen ismert határeloszlás-tétel alkalmazásával nekünk kell kitalálni az eloszlást.
Mind a három esetben úgy érezzük, hogy a valószín¶ségi
mértékek nagysága objektív, a problémához egyedül lehetséges módon hozzá van rendelve.
4.1.
Mértékcsere megadása s¶r¶ségfüggvénnyel
Természetesen ez nem így van. Az
(Ω, A, P) valószín¶ségi mez®ben a P, az úgynevezett valószín¶ségi
mérték, minden további nélkül kicserélhet®. De hogyan lehet a mérték kicserélését jellemezni? A mértékcserét a legegyszer¶bben az új mérték s¶r¶ségfüggvényének
3 megadásával oldhatjuk meg.
4.1 De níció. Az
f
függvényt a
Q
mérték
P
mértékre vonatkozó s¶r¶ségfüggvényének mondjuk, ha minden
esemény esetén
A
Z Q (A) =
f dP. A
A s¶r¶ségfüggvény természetesen az halmaz esetén az adja az új
f
függvény
Q mérték szerint.
1 Természetesen
Ω
halmazon értelmezett függvény. A lényeg, hogy minden
A
halmazon vett integrálja a
P
A
Q és a P nem feltétlenül kell,
szerint éppen az
A
A
halmaz mértékét
hogy valószín¶ségi mérték legyen. A
az eloszlások teljeskör¶ megadása helyett gyakran megelégszünk a változók várható értékének,
vagy szórásának kiszámolásával.
2 Ilyenkor statisztikai és elméleti megfontolások együttesét szokás alkalmazni. 3 A bevezet® valószín¶ségszámításban s¶r¶ségfüggvényen általában a számegyenes
s¶r¶ségfüggvényét szokás érteni. az
Ω
Az alábbi fogalom ennek általánosítása.
elég bonyolult lehet, ezért a s¶r¶ségfüggvény is igen bonyolult lehet.
maga az
Ω
értelmezett
eloszlások
Mivel sztochasztikus folyamat esetén A bonyolultság els®dleges oka, hogy
alaptér igen komplikált, nagyon gyakran függvényekb®l álló összetett matematikai konstrukció.
70
4.1. MÉRTÉKCSERE MEGADÁSA SRSÉGFÜGGVÉNNYEL
71
klasszikus esetben a s¶r¶ségfüggvényt deriválással számoljuk ki és a függvény a derivált integrálja összefüggés miatt igaz az el®állítás. Ilyenkor a
Q
egy valószín¶ségi mérték, de a
P
4
nem az, ugya-
nis a számegyenesen a normál geometria által meghatározott mérték nem valószín¶ségi mérték, hiszen az alaphalmaz mértéke nem egy, hanem végtelen. Mivel a klassszikus esetben a s¶r¶ségfüggvény deriválással számoljuk ki szokás a s¶r¶ségfüggvényt RadonNikodym-deriváltnak is mondani.
Érdemes hangsúlyozni, hogy tetsz®leges két mérték esetében nincsen mindig s¶r¶ségfüg-
gvény. Például a Poisson-eloszlás és a normális eloszlás esetén az egyik valószín¶ségi mértéknek sincsen s¶r¶ségfüggvénye a másik szerint. Ennek oka, hogy a Poisson-eloszlás diszkrét pontokra koncentrálódik, a normális eloszlás pedig folytonos eloszlás, vagyis minden pont valószín¶sége nulla.
Vegyük észre, hogy mind a két eloszlás az
gyelhet® események halmaza, az
A,
R
számegyenesen van értelmezve és a meg -
azonos. Vagyis a két eloszlás azonos
(Ω, A)
eseménytéren van
értelmezve, csak más és más valószín¶séggel súlyozzák az egyes eseményeket. Nagyon fontos, hogy megértsük, hogy miért nincsen az említett két eloszlásnak egymásra vonatkozólag s¶r¶ségfüggvénye. Az integrálás egyik alapvet® szabálya, hogy egy nulla valószín¶ség¶ eseményen integrálva mindig nullát kapunk. Függetlenül attól, hogy mit integrálunk. Ez a szabály közvetlen kiterjesztése annak, hogy az egyenesek területe a síkban nulla, ugyanis nulla a szélességük. Egy téglalap területe a szélesség és a hosszúság szorzata, és de níció szerint, ha az egyik oldal hossza
5
nulla, akkor a szorzat értéke nulla, még akkor is, ha a másik oldal mérete végtelen .
A Pois-
son és a normális eloszlás esetén mindig lehet olyan halmazt találni, amelyik valószín¶sége az egyik eloszlás szerint nulla, a másik esetében azonban pozitív. Például a Poisson-eloszlás szerint a negatív számok halmazának valószín¶sége nulla, miközben a negatív számok valószín¶sége a normális eloszlás szerint pozitív.
4.2 Példa. Exponenciális eloszlás normális eloszlásra vonakozó s¶r¶ségfüggvénye. Legyen
Q
az
h (x) $
exp (−x) 0
s¶r¶ségfüggvénnyel adott exponenciális eloszlás.
ha ha
x>0 x≤0
Vagyis a számegyenesen lev® tetsz®leges
A
es-
eményre
Z Q (A) $
exp (−x) dx. A∩{x≥0}
A
P
valószín¶ségi mértéket de niáljuk a
2 x 1 g (x) $ √ exp − 2 2π s¶r¶ségfüggvénnyel, vagyis a Valamely
u
függvény
P
P legyen a standard normális eloszláshoz tartozó valószín¶ségi mérték.
szerinti integrálja a Stieltjes-integrálásnál bemutatott asszociativitási sz-
abály miatt
Z
Z u dP =
A A
Q-nak
a
P-re
u (x) g (x) dx. A
vonatkozó s¶r¶ségfüggvénye
f (x) $ 4 Vagyis a NewtonLeibniz-formula miatt. 5 Ez a szabály persze csak a sík közönséges
h (x) , g (x)
geometriájára igaz. Vannak olyan eloszlások, amelyek a sík, vagy
az egyenes nulla terület¶ tartomámyára támaszkodnak.
Legegyszer¶bb példa a Poisson-eloszlás, amely az egész
számokra halmazára támaszkodik. Ilyenkor persze nincsen az eloszlásnak hagyományos értelemben vett s¶r¶ségfüggvénye. Éppen ezen jelenség miatt nem lehet minden eloszlást a s¶r¶ségfüggvényével leírni.
4.2. GIRSZANOV-FORMULA WIENER-FOLYAMATOK ESETÉN
ugyanis tetsz®leges
A
72
eseményre
Z
Z f dP
$
A
ZA
h (x) dP = g (x)
=
Z A
h (x) g (x) dx = g (x)
exp (−x) dx = Q (A) . A∩{x≥0}
Érdemes hangsúlyozni, hogy az eredeti
P
mérték szerint a valószín¶ség változó várható értéke
nulla volt, az új szerint azonban a várható érték egy. Ennek oka, hogy az egyes kimenetelekhez tartozó súlyok teljesen mások lettek. Például az új valószín¶ségi mérték szerint a negatív számok mindegyikének a valószín¶sége nulla lesz, korábban a negatív számok valószín¶sége
1/2
volt.
2 Az el®z® példa alapján könnyen látható a következ® szabály: Ha a
Q eloszlás s¶r¶ségfüggvénye h és ahol a h pozitív ott a g s¶r¶ségfüggvénye éppen f = h/g.
a
4.2.
P
g Q eloszlás P-szerinti
eloszlás s¶r¶ségfüggvénye
is pozitív, akkor a
Girszanov-formula Wiener-folyamatok esetén
A következ® példa kulcs szerepet játszik a Girszanov-formula megértésében.
4.3 Példa. Normális eloszlás várható értékének módosítása mértékcserével. Legyen
A
P
Q-hoz
az
N (0, σ)
N (µ, σ) eloszlás. A P-hez x2 1 g (x) $ √ exp − 2 . 2σ σ 2π
eloszlás és legyen
Q
az
tartozó s¶r¶ségfüggvény
tartozó s¶r¶ségfüggvény
2
(x − µ) 1 h (x) = √ exp − 2σ 2 σ 2π
! .
Az el®z® példában látottakkal azonos módon azonnal látható, hogy a
P-r®l Q-ra
való átváltást
biztosító s¶r¶ségfüggvény a két s¶r¶ségfüggvény hányadosa, vagyis
h (x) 1 2 2 f (x) = = exp − 2 (x − µ) − x = g (x) 2σ µ2 µx − = exp . σ2 2σ 2 Bevezetve az
θ $ µ/σ 2
paramétert a formula
1 f (x) = exp θx − θ2 σ 2 2 N (0, σ) eloszlás valamilyen Wiener-folyamat t id®pontban való σ 2 = t. Ekkor ha az eredeti mérték helyett az 1 2 (4.1) f (x) = exp θx − θ t 2
módon írható. Tegyük fel, hogy az meg gyeléséb®l ered. Ekkor
s¶r¶ségfüggvény segítségével kicserélt új mérték szerint tekintjük az eredeti Wiener-folyamat értékét a hanem
µ.
t
id®pontban, akkor a
t
id®pontban kapott eloszlásnak nem nulla lesz a várható értéke,
Hangsúlyozni kell, hogy a várható érték egy súlyozott összeg. A nagysága függ attól,
4.2. GIRSZANOV-FORMULA WIENER-FOLYAMATOK ESETÉN
73
hogy mit és attól, hogy mivel súlyozzuk. A mértékcsere során a súlyozandó értékek, vagyis a
t
id®pontban meg gyelt változó nem változott. De mivel a súlyok megváltoztak a várható értéke
µ.
nem nulla lesz, hanem Általában, ha egy
N (µ1 , σ 1 ) eloszlású változóból akarunk egy N (µ2 , σ 2 ) eloszlású változót csinálni,
akkor az átváltás s¶r¶ségfüggvénye
σ1 exp − σ2 6
Speciális, ha
Ha pedig
√
2
2
(x − µ1 ) (x − µ2 ) − 2σ 22 2σ 21
!! .
µ2 = −γt, akkor !! 2 (x + γt) x2 f (x) = exp − − = 2t 2t !! 2 x2 x2 + 2xγt + (γt) − = = exp − 2t 2t ! 2 2xγt + (γt) 1 2 = exp − = exp −xγ − γ t . 2t 2
σ1 = σ2 =
√
σ1 = σ2 =
t
és
t
és
µ1 = 0,
µ1 = γt
és
miközben
µ2 = 0,
2
f (x)
=
exp −
γt !!
vagyis, ha a
x2 (x − γt) − 2t 2t
trendet el akarjuk tüntetni, akkor
=
!! 2 x2 − 2xγt + (γt) x2 = exp − − = 2t 2t ! 2 1 2 2xγt − (γt) = exp −xγ + γ t . = exp − 2t 2 2 A Girszanov-formula irányába haladva próbáljuk megérteni, hogy hogyan néz ki egy sztochasztikus
folyamat eloszlása. a
P
Hogy a problémát szükségtelenül ne bonyolítsuk, a vizsgálandó folyamat
mérték mellett legyen egy
w
Wiener-folyamat.
A gond természetesen az, hogy a folya-
mat tulajdonképpen egy végtelen dimenziós véletlen vektor, ugyanis minden
t
id®pontban egy
valószín¶ségi változót kapunk, és mindegyik valószín¶ségi változóhoz tartozik egy-egy eloszlásfüggvény. A sztochasztikus folyamat eloszlásának meghatározása az egyes id®pontokban meg gyelt értékek közötti különböz® együttállások valószín¶ségének meghatározása. Természetesen a lehetséges együttállások halmaza áttekinthetetlenül széles.
Szerencsére azonban a s¶r¶ségfüggvény
megadásához elegend® néhány viszonylag egyszer¶ halmaz valószín¶ségét megadni. er¶bb szerkezet¶ események, amelyeket egy
w
A legegysz-
Wiener-folyamat segítségével meghatározhatunk
A $ {w (t1 ) ∈ B1 , w (t2 ) ∈ B2 , . . . , w (tn ) ∈ Bn } A esemény azt adja meg, hogy a w folyamat a t1 , t2 , . . . , tn id®pontokban rendre a B1 , B2 , . . . , Bn halmazokban lesz. Például a t1 id®pontban az értéke 2 felett lesz a t2 id®pontban 3 alatt stb. Az ilyen típusú halmazok valószín¶ségét egy Wiener-folyamat esetén azonban relatíve alakuak. Az
6 V.ö.:
?
[ ], ahol az elvárt új várható érték
−γt.
Az irodalomban némi zavar forrása lehet a képletben szerepl®
konstans el®jele. A matematikai irodalomban általában az a kérdés, hogyan lehet mértékcserével a várható értéket nem nullává tenni, ugyanis a kérdés úgy merül fel, hogy mértékcsere során mi történik egy martingállal, illetve egy Wiener-folyamattal.
A pénzügyi irodalomban azonban a kérdés úgy merül fel, hogy miként lehet egy nem
martingált martingállá tenni mértékcserével, vagyis miként lehet a várható értéket nullává tenni.
4.2. GIRSZANOV-FORMULA WIENER-FOLYAMATOK ESETÉN
74
nehéz meghatározni. Jóval egyszer¶bb azoknak az eseményeknek a valószín¶ségét meghatározni, ahol ki tudjuk használni, hogy a
w
független növekmény¶. A
D $ {w (t1 ) ∈ C1 , w (t2 ) − w (t1 ) ∈ C2 , . . . , w (tn ) − w (tn−1 ) ∈ Cn }
(4.2)
halmazokhoz tartozó valószín¶ség egyszer¶en meghatározható, ugyanis a független növekmény
D
feltétele miatt a
valószín¶sége szorzat alakba írható
P (C) $ Ft1 (C1 ) · Ft2 −t1 (C2 ) · · · Ftn −tn−1 (Cn ) , ahol a normális eloszlás s¶r¶ségfüggvénye alapján
1 Fs (C) = √ 2πs
2 x exp − ds. 2s C
Z
Másképpen fogalmazva Wiener-folyamat esetén kényelmes néz®pont, ha nem a folyamat értékeit gyeljük meg, hanem a növekményeket és kihasználjuk, hogy a növekmények függetlenek.
Ny-
ilvánvalóan a két meg gyelési rendszer matematikailag ekvivalens, ugyanis bármelyikb®l elemi számolással bármelyikre áttérhetünk a másikról. Tekintsük az egyik
η i $ w (ti ) − w (ti−1 ) növekményt! A teljes (Ω, A, P) Ai ⊆ A azok az események, amelyeket
darabonként adjuk meg. Legyenek
téren a mértékcserét az
ηi
meg gyelésével
kaphatunk. Ezek éppen az
{η i ∈ Ci } $ {ω : η i (ω) ∈ Ci }
√ N (0, ti − ti−1 ). Legyen µi egy tet√ sz®leges új várható érték és cseréljük ki úgy a mértéket, hogy az η i új eloszlása N (µi , ti − ti−1 ) legyen. Hogyan lehet ezt megtenni? Természetesen úgy, hogy megadjuk az eredeti P mértékre
típusú részhalmazai az
Ω
eseménytérnek.
ηi
Az
eloszlása
vonatkozó s¶r¶ségfüggvényt! Azonnal meg fogjuk mutatni, hogy az átmenetet biztosító s¶r¶ségfüggvény
Zi (ω)
1 exp θi η i (ω) − θ2i (ti − ti−1 ) $ 2 1 $ exp θi (w (ti , ω) − w (ti−1 , ω)) − θ2i (ti − ti−1 ) , 2
=
ahol
θi $
µi µi = . σ 2i ti − ti−1
A képlet az el®z®ek alapján majdnem ismer®s, az egyetlen eltérés, hogy a (4.1) képletben az helyébe az
η i $ w (ti ) − w (ti−1 )
Az els® fontos észrevétel, hogy a valószín¶ségszámításban az
Ω
7
x
változó kerül . Próbáljuk ennek az okát megtalálni!
dQ/dP
s¶r¶ségfüggvény az
Ω
téren van értelmezve. A bevezet®
alaptér általában nem jelenik meg közvetlenül, ugyanis csak a
valószín¶ségi változók eloszlásával foglalkozunk. Ha úgy tetszik az
Ω alaptérnek kanonikus módon
Ω=R
számegyenesen van értelmezve
választhatjuk az
R
egyenest. Ezért a s¶r¶ségfüggvény is az
és ezt hangsúlyozzuk avval, hogy a mértékcserét megadó s¶r¶ségfüggvény argumentumát nem
ω -val,
hanem egyszer¶en
x-szel
jelöljük. Ha pusztán a szám érték¶ valószín¶ségi változók eloszlá-
saira koncentrálunk, akkor a számegyenesen értelmezett eloszlások közötti transzformációt a (4.1) képletben szerepl® A
Zi
f
függvény adja.
alakjának indoklásául nézzük meg, milyen eloszlást eredményez a
mi lesz a
Zi
s¶r¶ségfüggvény, vagyis
Z Q (A) $
Zi dP,
A ∈ Ai .
A
7A
s¶r¶ségfüggvény az
Ω
alaptéren van értelmezve, ezért szerepel az argumentumában az
kimenetelhez meg kell keresni a hozzá tartozó s¶r¶ségfüggvény konkrét értékét kiszámolni. gvényben az adott
ω
t 7→ w (t, ω)
ω
kimenetel. Az
ω
trajektóriát és ennek növekményét felhasználva kell a
A dolog komplikáltnak t¶nik, de valójában nem az.
A s¶r¶ségfüg-
esetén meg gyelhet® konkét növekmény szerepel, ami persze függ az aktuális realizációtól, de
értéke pont az, amit az adott realizáció esetén éppen meg gyeltünk.
4.2. GIRSZANOV-FORMULA WIENER-FOLYAMATOK ESETÉN
75
Ai eseménytéren vizsgáljuk a mértékcserét. Máshol nem is tudjuk, η i $ w (ti ) − w (ti−1 ) növekményt gyeltük meg. Fontos hangsúlyozni, hogy
Vegyük észre, hogy csak az ugyanis csak az
miként általában a valószín¶ségszámításban az eloszlás a meg gyelhet® események valószín¶ségét megadó függvény. Meg gyelhet® eseményen az összes elvileg meg gyelhet® eseményt értjük. Sztochasztikus folyamatok esetén a meg gyelhet® események halmaza rendkívül nagy. Az itt követett gondolatmenet lényege, hogy rögzítünk bizonyos id®pontokat és az ezen id®pontban végzett meg gyelések halmazán megvizsgáljuk a mértékcserét. Majd ez követ®en növeljük a meg gyelésekhez tartozó id®pontok számát.
Ai
Visszatérve az eredeti megfontolásokhoz, az emény
{η i ∈ C}
alakú, ahol a
az
C
az
A
de nícióját felhasználva minden
egy alkalmas részhalmaza.
R
meg gyelt es-
Az egyszer¶bb jelölés miatt
1 fi (x) $ exp θi x − θ2i (ti − ti−1 ) 2
függvényt bevezetve, amely éppen a (4.1) sorban szerepl® s¶r¶ségfüggvény
Z Q (η i ∈ C) $
Z
Q (A) $
Zi χ (η i ∈ C) dP =
Zi dP = A
=
Ω
M (Zi χ (η i ∈ C)) = Z
= =
M (fi (η i ) χ (η i ∈ C)) = fi (x) χ (x ∈ C) dGi (x) = R Z Z fi (x) χ (x ∈ C) gi (x) dx = hi (x) dx = Hi (C) . R
√ Gi az N (0, ti − ti−1 ) eloszlásfüggvénye, a Hi pedig a N (µi , ti − ti−1 ) √ Zi valóban az η i eredeti N (0, ti − ti−1 ) eloszlását átváltja az
Vegyük észre, hogy a levezetésben eloszlásfüggvénye.
√ N (µi , ti − ti−1 )
Vagyis a
C
√
eloszlásra.
A képlet levezetésekor felhasználtuk a transzformált valószín¶ségi változók várható értékét meghatározó formulát, az úgynevezett absztrakt helyettesítés formuláját. Bár a formula elnevezése els®re talán ismeretlennek t¶nik, valójában egy igen gyakran használt összefüggésr®l van szó. A formula szerint, ha egy
ξ
változó eloszlásfüggvénye
F
η $ g (ξ) ,
és
η
vagyis az
változót a
ξ
változó
g
szerinti
ξ
változó
transzformáltjaként kapjuk, akkor
Z
Z
M (η) $ M (g (ξ)) $
g (ξ) dP = Ω
A formula szerint három dolgot kell kicserélni: Az
F
eloszlásfüggvényére.
A formulával a
Ω-án
sen értelmezett integrálokra lehet átváltani.
g (x) dF (x) . R
ω -át x-re
a
Ω-át R-re
és a
P-t
a
értelmezett absztrakt integrálokat a számegyeneA formula legismertebb alkalmazása momentumok
kiszámolására használt képlet. Például a második momentum esetén
M ξ
2
Z
Z
2
∞
ξ dP =
$
Z
2
−∞
Ω
∞
x dF (x) =
x2 f (x) dx,
−∞
ahol persze feltettük, hogy létezik s¶r¶ségfüggvény. Az absztrakt helyettesítési formula segítségével a mértékcsere már tárgyalt képlete a következ®: Legyen egy
ξ
8
legyen pozitív . Legyen alaptéren generált
Q
f $ h/g .
ξ Z
legyen nulla, ha a
g,
és így a
f $ h/g
és legyen
h
egy olyan a számegyenesen
g
is
transzformált változó által az
Ω
értelmes, vagyis ha a
Vizsgáljuk meg az
mértékre nézve a
Q (ξ ∈ C)
8 A h/g
g
változó eloszlásának s¶r¶ségfüggvénye
értelmezett s¶r¶ségfüggvény, amelyre az
f (ξ) ≥ 0
h
eloszlását!
Z
h (ξ) dP = g (ξ) Ω ZΩ Z h (x) = χC (x) g (x) dx = h (x) dx. g (x) R C =
h
χC (ξ) dQ =
is, nulla.
χC (ξ)
pozitív, akkor a
4.2. GIRSZANOV-FORMULA WIENER-FOLYAMATOK ESETÉN
Következésképpen a
ξ
76
Q alatti eloszlásának is van s¶r¶ségfüggvénye h. Tehát ha számegyenesen értelmezett, vagyis
változó
ez a s¶r¶ségfüggvény éppen
a számegyenesen és ha az eloszlásokhoz
tartozó, s¶r¶ségfüggvények hányadosába betesszük az eredeti változót, akkor megkapjuk az
Ω
téren értelmezett mértékek közötti s¶r¶ségfüggvényt. Térjünk most vissza a fenti (4.2) sorban de niált meg gyelését írja le. Tegyük fel, hogy mindegyik
D ⊆ Ω halmazra, amely a növekmények együttes Ci halmazon adott egy-egy θi . Tegyük fel, hogy
a teljes s¶r¶ségfüggvényt a s¶r¶ségfüggvények szorzataként akarjuk megadni, vagyis meg akarjuk ®rizni a növekmények függetlenségét. Ekkor
Z (n)
= Z1 Z2 · · · Zn =
n Y
Zi =
i=1 n Y
θ2 = exp θi (w (ti ) − w (ti−1 )) − i (ti − ti−1 ) 2 i=1 =
exp
n X
θi (w (ti ) − w (ti−1 )) −
i=1
n X θ2 i
i=1
2
= !
(ti − ti−1 ) .
Ha a felosztást nomítjuk, vagyis egyre több id®pontban végezzük el a mértékcserét, akkor a
A-ra
határérték, amely mint s¶r¶ségfüggvény már persze a teljes
t
Z Z = exp 0 Vegyük ismét észre, hogy a folyamat lesz az eredeti
w
Z
az
ω
1 θ (s) dw (s) − 2
t
Z
θ (s) ds . 2
0
kimenetelek függvénye és a
Wiener-folyamat az új
Q
Ω halmazon van értelmezve.
Milyen
mérték mellett?
Ω
1. Egyrészt a folyamat folytonos marad, ugyanis az
értelmezve van
halmazon a mérték kicserélése semmit sem
változtat a trajektóriánkon. Ha azok folytonosak voltak nyilván azok is maradtak. 2.
A folyamat növekményeinek eloszlásai normálisak maradnak és a szórások nem változnak,
ugyanis csak a 3.
µi
várható értékeket módosítottuk.
Mivel az új eloszlások meghatározásakor a növekményekhez tartozó együttes eloszlásokat a
peremeloszlások összeszorzásával határoztuk meg a növekmények függetlenek maradnak. Ez egy igen lényeges lépés. Elvileg semmi okunk nincsen arra, hogy az egyes id®pontokban végrehajtott mértékcseréket a megadott módon kapcsoljuk össze. A mértékcsere folyamán ügyeltünk arra, hogy a növekmények függetlenek maradjanak és az egyes id®pontokban az új mérték szerint az eloszlások normálisak maradjanak, miközben nem módosítottuk a szórásokat. Miért olyan meglep®, hogy az új mérték szerint egy trenddel rendelkez® Wiener-folyamatot kapunk? Miért, ki számított másra?
4. A f® kérdés csak az, mi történik a várható értékekkel? A ti − ti−1 id®szakon az új várható érték
µi
lesz. Természetesen a várható érték megváltozása, az id® függvénye. Egyenletes várható érték
változást feltételezve kétszer akkor id®szak alatt a várható érték kétszer annyit változhat. Ennek megfelel®en a
θi $
µi µ = 2i ti − ti−1 σi
az egységnyi id® alatt való megváltozása a várható értéknek, vagyis a várható érték változásának sebessége.
A közelít® összeg esetén az új várható érték, az egyes várható érték növekmények
összege, vagyis
n X i=1
µi =
n X
Z θi (ti − ti−1 ) ≈
t
θ (s) ds. 0
i=1
Vagyis az új mérték alatt a várható érték
Q
Z
t
θ (s) ds
M (w (t)) = 0
4.2. GIRSZANOV-FORMULA WIENER-FOLYAMATOK ESETÉN
lesz, ahol a
Q
77
index arra utal, hogy most a várható értéket nem az eredeti
kell venni, hanem az új
Q
P
valószín¶ség alatt
alatt. Ez a képlet éppen az út egyenl® a sebesség integráljával szabály.
Rt w folyamatból levonjuk a 0 θ (s) ds folyamatot, akkor az így kapott w b folyamat Wiener-folyamat lesz a Q alatt, ugyanis a Wiener-folyamat minden
Az egész kérdést némiképpen átforgathatjuk. Ha a
tulajdonsága teljesül, ugyanis a levonás után a várható értéke is nulla lesz.
Ez mondja ki a
nevezetes Girszanov-formula.
4.4 Tétel. (Girszanov-formula) Ha
w
egy Wiener-folyamat valamely
gvénye az
Ω
P
mérték mellett és a
Q
mérték
P-re
vonatkozó s¶r¶ségfüg-
halmazon
Z
t
θ (s) dw (s) −
Z $ exp 0
akkor a
Z w b (t) $ w (t) −
folyamat Wiener-folyamat lesz az új
Q
1 2
Z
t
2 θ (s) ds ,
0
t
θ (s) ds 0
mérték mellett.
Érdemes néhány egyszer¶ megjegyzést tenni. El®ször egy terminológiai megjegyzés. A s¶r¶ségfüggvény elnevezést a valószín¶ségszámításban általában csak a számegyenesen a közönséges integrálás esetén szokás használni. Az elemi valószín¶ségszámításban a s¶r¶ségfüggvény az eloszlásfüggvény deriváltja. Ez indokolja azt, hogy absztrakt körülmények
Q mérték P-re vonatkozó s¶r¶ségfüggvényét, dQ/dP módon szokás jelölni. Tehát a Girszanov-formulában Z t Z dQ 1 t 2 $ Z $ exp θ (s) dw (s) − θ (s) ds . dP 2 0 0
között RadonNikodym-deriváltról szokás beszélni. A vagyis a RadonNikodym-deriváltat
Absztrakt körülmények között, így például a Girszanov-formula esetén, természetesen beszélhetünk s¶r¶ségfüggvényr®l, de deriváltról, mint a különbségi hányadosok határértékér®l, nem. Ennek ellenére a deriválás elnevezés igen szemléletes és hasznos, de hangsúlyozni kell, hogy a RadonNikodym-derivált csak távoli rokona az elemi kalkulusban megismert deriválásnak. Második megjegyzésünk szintén terminológiai jelleg¶. A az
Rt 0
θ (s) ds
µi
átlagos elmozdulások összegét, vagyis
kifejezéseket szokás driftnek nevezni. Vagyis a Girszanov-formula szerint a mértékc-
sere hatására a drift nélküli Wiener-folyamatban megjelenik a drift. Maga a Wiener-folyamat egy igazságos játék, egy martingál. A mértékcsere hatására az igazságos játék esetleg igazságtalanná válhat. Ennek oka, hogy az egyes kimenetelek valószín¶sége módosul. Talán jól szemléltethet® a probléma a fej vagy irás játékkal. Ha felírjuk a lehetséges kimeneteleket, akkor az így kapott bináris fa egy sztochasztikus folyamat, ugyanis az egyes kimenetelekhez minden egyes id®pontban egy valós számot rendel. A játék végeredménye attól függ, hogy a sors melyik útra terel minket. Ha minden lépésben azonos a két elágazás valószín¶sége, akkor a játék fair.
Ha azonban hamis érmével játszunk, a játék nem fair.
Hangsúlyozni kell, hogy az érme
megválasztásától függetlenül maga a lehetséges kimenetelek halmaza azonos, csak az egyes utak valószín¶sége módosul.
Vagyis a lehetséges események, a lehetséges játékok halmaza az érme
kiválasztása el®tt már adott. Absztrakt környezetben ez azt jelenti, hogy az
(Ω, A)
tér a konkrét
érme kiválasztása el®tt adott. Az érme megválasztása a nyerési esélyeket, vagyis a valószín¶ségi mértéket adja meg. Ha az érme fair nincsen drift, vagyis az átlagos nyeremény nulla. Ha nem, vagyis ha az érme hibás, akkor van drift. Minnél tovább játszunk, annál több lesz a becsapott fél átlagos vesztesége. A nyereményfolyamat az egyik irányba sodródik, vagyis a folyamatnak van driftje. Végül megjegyezzük, hogy némiképpen zavaró, hogy a matematikai pénzügyekben a Girszanovformulát fordítva szokás használni. A matematikai pénzügyekben a részvényhozamok folyamata
4.3. GIRSZANOV-FORMULA LOKÁLIS MARTINGÁLOKRA
78
tartalmaz egy driftet. Ennek oka, hogy minnél nagyobb a kockázat annál nagyobb kompenzáció jár a részvényért, így a hozamok, pontosabban a kockázatmentes kamatláb feletti hozamok, nem alkotnak martingált.
9
A részvény mögött lev® reálfolyamatban az érme hamis , így a részvény
tartásáért kompenzáció jár, vagyis a hamis érme pénzügyi tükörképe is hamis. A derivatív árazás esetén azonban csak a relatív összefüggések érvényesek. A részvény driftje megjelenik a bel®le x matematikai összefüggéssel számolt származtatott termékben is: Hamis érme függvénye is hamis és helyes fedezési arányok esetén a két hamisság kioltja egymást.
Mind a két fél tudja, hogy
az érme hamis és ennek tudatában teszik meg a téteket, vagy fogalmazzák meg a szabályokat. A drift kivétele úgy is ábrázolható, hogy átírjuk a valószín¶ségeket. Ha a fej kétszer olyan gyakran jön ki mind az írás, akkor csak minden második fejet veszünk gyelembe és a játék máris fair. A Girszanov-formula éppen ennek a trivialitásnak a megjelenése egy matematikailag igen összetett modellben.
4.5 Példa. Drift kivétele mértékcserével.
X
Legyen az a
P
w (t) + at
sztochasztikus folyamat
alakú a
P
valószín¶ségi mérték alatt. A folyamat
mérték alatt egy drifttel rendelkez® Wiener-folyamat. A sodródás sebesség
ki akarjuk venni a driftet.
w b (t) +
Rt 0
θ (s) ds
Mennyi legyen a
alakú lesz, ahol a
w b
a
Q
θ?
A
Q
alatt az
at
a.
Mértékcserével
tag nem változik, a
alatt Wiener-folyamat. Ha a
θ
w
pedig
konstans, akkor
w (t) = w b (t) + θt. Ilyenkor
X (t) = w (t) + at = w b (t) + θt + at. Ez akkor lesz fair a folyamat a
Q
Q
alatt, ha
θ = −a.
Vagyis ha
θ = −a,
akkor a
P
alatti drifttel rendelkez®
X
alatt Wiener-folyamat.
2
4.3.
Girszanov-formula lokális martingálokra
Végezetül érdemes egy rövid id®re visszatérni a mértékcsere általános problémájához. Miként a mértékcsere bevezetésekor jeleztük a legyen pozitív akkor, ha a
P
dQ/dP
s¶r¶ségfüggvény létezéséhez szükséges, hogy a
Q
ne
nulla. Ez indokolja a következ® de níciót:
4.6 De níció. Azt mondjuk, hogy a
P
és a
Q
mértékek ekvivalensek, ha a
halmazon, ha a halmaz valószín¶sége a
P
Q
mérték pontosan akkor nulla egy
mértékre nézve is nulla.
Ekvivalens mértékek esetén az egy valószín¶séggel konvergens sorozatok triviálisan megegyeznek, ugyanis a gonosz kimenetelek halmaza független a mértékt®l, és e miatt a gonosz halmazok valószín¶sége mind a két mérték esetén, az ekvivalencia de níciója miatt, egyszerre nulla vagy nem nulla. Nem ennyire evidens, de megmutatható, hogy a sztochasztikusan konvergens sorozatok halmaza is egybesik, vagyis az ekvivalens mértékcsere nem változtatja meg a sztochasztikus konvergenciát. Ebb®l következ®en a sztochasztikus integrál és a kvadratikus variáció a mértékcsere folyamán nem változik. Így az Itô-formulában szerepl® különbözö kifejezések nem változnak a mértékcsere folyamán. Ebb®l következ®en a mértékcsere jórészt nem módosítja a sztochasztikus analízist, így érdemes mindig olyan mértéket választani, ahol a dolgok a lehet® legegyszer¶bbek. Másképpen fogalmazva a sztochasztikus analízis invariáns az ekvivalens mértékcserére, így az alapul vett mértéket lényegében kényelmi szempontok határozzák meg. Természetesen felvethet®, hogy akkor mégis mi változik a mértékcsere során?
Nyilvánvalóan
például a várható érték, illetve ennek megfelel®en a szemimartingálok felosztása lokális martingálra
9 Itt most nem feltétlenül csalásra kell gondolni.
Egyszer¶en a reálfolyamat tartalmaz egy sor nem diverzi kálható
kockázatot. A diverzi kálható kockázat egy Wiener-folyamat, a nem diverzi kálható rész a drift.
4.3. GIRSZANOV-FORMULA LOKÁLIS MARTINGÁLOKRA
és korlátos változású tagra. Vagyis ha
X
79
X
egy szemimartingál, akkor az
kicseréljük az alapul vett mértéket. Miért is változna? Ha az
X
nyilván nem változik ha
martingál a
P
alatt akkor a
Q
alatt nem lesz martingál. Miért is maradna, az, hiszen módosul a várható érték? Idáig nem volt trendje, a növekmények várható értéke nulla volt, most pedig a növekmények várható értéke nem lesz nulla. Persze az nem nyilvánvaló, hogy szemimartingál marad.
Miért is lenne ez nyilvánvaló?
X szemimartingál X = X (0) + M + V az X = X (0) + N + B . A
A Girszanov-tétel talán legfontosabb következménye, hogy a válasz igen, ha az
P
a
X
alatt, akkor az
P
felbontása a
X
szemimartingál marad a
alatt és az új mérték alatt az
Q X
alatt is!
Legyen
felbontása legyen
Girszanov-formula a következ® kérdést veti fel: Mi a kapcsolat a
V
és a
B
között?
Az egyszer¶ség kedvéért tegyük fel, hogy az mértéket találni, amelyre nézve az
M
M
trendje
egy martingál. Hogyan tudnánk olyan ekvivalens
B
del rendelkez® szemimartingált akarunk csinálni. lépésenként akarjuk megtenni. konként megkonstruálni.
lesz? Vagyis az
M
martingálból egy
dt
vagyis a mértékcserét csepegtetve akarjuk,
Rögzítsünk egy
B
trend-
Ezt a Wiener-folyamatnál bemutatott módon
0 ≤ t ≤ T
id®pontot.
Mivel az
M
hosszú id®sza-
martingál, ezért
úgy érezzük, hogy egy igazságos játék eredménye. Igazságos játék sok van. A legegyszer¶bb eset, amikor a nyerési esélyek azonosak. Lehetséges azonban, hogy a valószín¶ségek nem azonosak, de ilyenkor a nyeremények nagysága sem azonos, de várható értékben kiegyenlítik egymást.
Az is
lehetséges, hogy több irányban is mozoghatunk, felfelé, lefelé, vagy helyben maradunk stb. egyszer¶ség kedvért azonban tekintsük az els®t, az azonos Ilyenkor az
M
1/2
egy végtelen kicsi id® alatt tetsz®leges trajektória tetsz®leges id®pontjában
valószín¶séggel felfelé megy vagy
1/2
valószín¶séggel lefelé indul el. Vegyük a
A
esemény, ahol az adott trajektórián a
az
A
eseményen
δ.
Mivel az
M
t
t
10 , hogy
1/2
id®pontban azt az
id®pontban felfelé indul el és jelölje az
martingál, ezért úgy érezzük
Az
valószín¶ségekhez tartozó esetet.
M
növekményét
P (A) · δ − P (Ac ) · δ = 0. Másképpen a martingál tulajdonság miatt minden trajektórián minden id®pontban a lehetséges
11 . Jelölje
in nitezimális elmozdulások átlaga nulla lesz valószín¶séget átváltja az
A
halmazon
Q-ra,
α
azt az átváltó konstanst, amely a
vagyis legyen az
A
P
halmazon
dQ = α. dP A és az Ac elválaszthatatlan, ezért ha az Ac halmazon az átváltó P (A) = P (Ac ) = 1/2 feltétel felhasználásával e = αP (A) + βP (Ac ) = α + β 1 = Q (A) + Q A 2 Mivel az
kell, hogy legyen, ugyanis ellenkez® esetben a összegz®dne a
P
szerint egyre.
dQ/dP
konstans
β,
akkor a
nem lenne s¶r¶ségfüggvény, ugyanis nem
Ebb®l
β = 2 − α. Így csak az érték
a
Q valószín¶ségre e δ = ∆B (t) Q (A) δ − Q A
konstanst kell kiszámolni. Az új
a
dt
id®szak alatt az új várható
Az átváltó konstansokat behelyettesítve
1 1 α δ − (2 − α) δ = ∆B (t) . 2 2 10 Nyilván
ez egy igen vitatható gondolat. Ugyanakkor, ha nem így lenne és az A-nak nem lenne árnyoldala, A bekövetkezésére fogadva biztos nyereséghez tudnánk jutni, és a martingál de níciója miatt ez lehetetlen. e az M martingál tulajdonsága miatt, és a minden jóban van valami rossz elve miatt, az A-hoz létezik A.
akkor az Vagyis
Másképpen a kockázat nélkül nincsen üzlet elv miatt, ha van üzlet, kell lenni kockázatnak is.
11 A
martingál kapcsán hangsúlyozni szokás, hogy nem arról van szó, hogy a növekmény várható értéke nulla.
Hanem arról, hogy minden lehetséges módon kiválasztott eseménynek van t®le elválaszthatatlan árnyoldala.
4.3. GIRSZANOV-FORMULA LOKÁLIS MARTINGÁLOKRA
Egyszer¶ átrendezéssel az
A
halmazon
α=1+ az
Ac
80
∆B (t) ∆B (t) =1+ , δ ∆M (t)
halmazon
∆B (t) . ∆M (t)
β =2−α=1+
Ezt némiképpen átalakítva egy igen kicsi id®szak alatt
dQ (∆B) (∆M ) + 1 ≈ 1 + θ∆M, (t) ≈ 2 dP (∆M ) ahol a
θ
azt adja meg, hogy a kvadratikus variáció egységnyi növekedésére nézve mennyivel növek-
12
szik az új trend, vagyis némi elnagyolással
θ= A klasszikus analízisben egy
dt
id®szak alatt az
dB . d hM i 1+ θ∆M
kifejezés közelít®leg éppen
exp (θ∆M ) ,
ugyanis a két kifejezés az els®rend¶ tagok szintjén megegyezik. Az Itô-kalkulus szabályai miatt azonban a másodrend¶ tagok is számítanak, de a harmadrend¶ek már nem, ezért
1 + θ∆M ≈ exp θ∆M −
1 2 (θ∆M ) 2
a
közelítés helyes. Valóban, az els® két közelít® tagot felírva
1 2 exp θ∆M − (θ∆M ) ≈ 2 2 1 1 1 2 2 ≈ 1 + θ∆M − (θ∆M ) + θ∆M − (θ∆M ) = 2 2 2 = 1 + θ∆M + legalább
harmadrend¶
≈
≈ 1 + θ∆M. Ismételten a növekményekhez tartozó csepegtetett s¶r¶ségfüggvényeket összeszorozva a teljes téren a mértékcsere
dQ (T ) dP
=
Y t
1 2 2 exp θ (t) ∆M (t) − θ (t) (∆M ) (t) = 2
! 1X 2 2 = exp θ (t) ∆M (t) − θ (t) (∆M ) (t) = 2 t t ! X 1X 2 = exp θ (t) ∆M (t) − θ (t) ∆ hM i (t) ≈ 2 t t ! Z T Z 1 t 2 ≈ exp θ (t) dM (t) − θ (t) d hM i (t) . 2 0 0 X
Ha az
RT 0
θ (t) dM (t)
sztochasztikus integrálhoz tartozó lokális martingált
L-lel
jelöljük, akkor a
dQ 1 = exp L − hLi (T ) dP 2 12 Joggal
hBi
felvetheti valaki, hogy miért lesz a
θ
M szerint. illetve miért lesz a B deriválható az B trendet nem lehet mértékcserével megvalósítani.
integrálható az
szerint? Természetesen nem kell annak lenni, de akkor a
Vagyis nem minden trendet lehet mértékcserével létrehozni!! Nem ám, éppen ezt állítják a nincsen arbitrázs tételek.
4.3. GIRSZANOV-FORMULA LOKÁLIS MARTINGÁLOKRA
mértékcsere az
M
81
B trenddel rendelkez® szemimartingált csinált. Megfordítva c $ M − B folyamat martingál a Q alatt. Számoljuk ki az hL, M i M variációt: A θ de níciója alapján Z t Z t θdM, M = θd hM, M i ≈ hL, M i (t) =
martingálból egy
az új mérték mellett az kvadratikus kereszt
0
≈
X
=
X
i
0
X ∆Bi θi ∆ hM ii = ∆ hM ii = ∆ hM ii i ∆Bi = B.
i Vagyis az új trend éppen
B $ hL, M i
módon írható fel.
4.7 Állítás. (Girszanov-transzformáció) Ha
M
martingál a
P
mérték alatt és
dQ 1 = exp L − hLi (T ) , dP 2 akkor az
c $ M − hL, M i M folyamat martingál a
Q
alatt.
Természetesen a gyelmes olvasó felvetheti, hogy a bemutatott eljárás túl szigorú megkötéseket tartalmazott. Vajon más módon nem lehetne-e mértékcserét csinálni? Igen általános és természetes feltételek mellett megmutatható, hogy nem.
L
meg lehet konstruálni, van olyan
B trendhez, B = hL, M i .
Minden olyan
lokális martingál, hogy
amelyet mértékcserével
4.8 Példa. Wiener-folyamat és a mértékcsere. A Wiener-folyamatok számos szempontból nem igazán különböznek a többi folytonos martingáltól.
w Wiener13 L lokális martingál integrál alakban írható fel , vagyis ilyenkor Rt minden t id®pontra L (t) = Xdw. Ezt az integrálreprezentációs 0
Talán az egyetlen speciális tulajdonságuk, hogy amennyiben a véletlen forrást egy folyamat adja meg, akkor minden mindig van olyan
X,
hogy
tulajdonságot felhasználva a lehetséges trendekre
Z B (t)
=
t
hL (t) , w (t)i =
Z t Xdw, w (t) = Xd hwi =
0
Z =
0
t
X (s) ds. 0
Vagyis Wiener-folyamatok esetén mértékcserével csak deriválható trendeket lehet csinálni. Ennek van egy igen fontos következménye. Valamely ingál martingál mértéke, ha a
Q
alatt az
X
Q
mértékre azt mondjuk, hogy az
martingál.
X
szemimart-
Az elmondottakból világos, hogy csak
igen speciális szerkezet¶ szemimartingálok esetén lehet a trendet eltüntetni, vagyis csak bizonyos szerkezet¶ szemimartingáloknak van martingálmértéke.
2
13 V.ö.:
5.3. állítás, 5.3. oldal.
5. fejezet
Kvadratikus variáció és arbitrázs Ebben a fejezetben a sztochasztikus analízis és a derivatív árazás kapcsolatát mutatjuk be. Miként a bevezet®ben jeleztük a pénzügyi matematika közgazdaságilag a tökéletes piaci verseny hipotézisére épül. Az elmélet kiindulópontja, hogy a verseny tökéletessége miatt a piacon nincsen lehet®ség arbitrázsra ugyanis az árak változását nem lehet a múlt alapján el®rejelezni. Másoldalról az Itô-formula tárgyalásakor láttuk, hogy a tökéletesen véletlen folyamatok által indukált mozgások trajektóriái matematikailag igen sajátos tulajdonsággal rendelkeznek: a tökéletesen véletlen folyamat kvadratikus variációja pozitív.
Mind az arbitrázs lehetetlensége, mind a kvadratikus
variáció pozitivitása azt jelenti, hogy a folyamat jöv®je rendkívül véletlen. Ebben a fejezetben az arbitrázs és a kvadratikus variáció kapcsolatát vizsgáljuk meg.
5.1.
A BlackScholes-formula
Els® lépésként röviden emlékeztetünk a BlackScholes képlet levezetésére. Legyen és legyen
B
S
egy részvény
egy kötvény. Tegyük fel, hogy a kötvény árát a
dB = exp (rt) dt,
(5.1)
dS = µSdt + σSdw
(5.2)
a részvény árát a
egyenlet írja le, ahol a
µ
a
σ
és az
r
kifejezések konstansok. Tegyük fel, hogy a
t=0
T
id®pontban a
Φ (S (T ))
ki zetéshez fogunk jutni. Mennyi ennek a fair ára a
5.1.1.
Az árazási képlet levezetése parciális dierenciálegyenlettel
id®pontban?
A már bemutatott feltételek mellett tegyük fel továbbá, hogy a feladatban szerepl® problémának van megoldása, amely tetsz®leges
0≤t≤T
id®pontban megadja a derivatíva árát. Tegyük fel
továbbá még, hogy az árat megadó kifejezés csak a Vagyis tegyük fel, hogy adott egy az ár éppen
f (t, S (t)).
f (t, x)
t
S (t) ár függvénye. 0 ≤ t ≤ T id®pont esetén
id®pont és az aktuális
függvény, amelyre tetsz®leges
A kulcs feltevés, amely igencsak vitatható és amelyet hallgatólagosan fel-
teszünk, hogy az ár nem függ egyéb paraméterekt®l. Például nem szerepel benne a piaci szerepl®k kockázati preferenciája, nem érdekes, hogy az ár lefelé mozdult, vagy felfelé az elmúlt id®szakban, az
S
részvény mögötti vállalat éppen szárnyal vagy a cs®d határán van stb. Mindez nem számít.
A feltétel közgazdaságilag igen szigorú és lényegében azt állítja, hogy a közgazdaságtan
1 szokásos
f értékét a f (T, x) = Φ (x) , de mi a t = 0 id®pontban vett értékét szeretnénk megtudni, vagyis az f (0, x) értékre vagyunk kiváncsiak. Tegyük fel, hogy az f (t, x) függvény elég jó, így az f függvényre alkalmazható az Itô-formula. kategóriái a származtatott termék árának meghatározásakor nem játszik szerepet. Az
T
id®pontban ismerjük, ugyanis
1 És
valljuk meg a józan ész.
82
5.1. A BLACKSCHOLES-FORMULA
83
A tett feltételek miatt az id®t®l függ® Itô-formula szerint a derivatíva árát megadó
f
függvény
kielégíti az
T
Z f (T.S (T )) − f (t.S (t)) = t
∂f ds + ∂s
Z
T
t
∂f 1 dS + ∂x 2
T
Z t
∂2f d hSi ∂2x
integrálegyenletet. A korábban már sokszor látott
Z Z Z Z hSi = µ Sdt + σ Sdw = σ Sdw = σ 2 S 2 d hwi = Z 2 S 2 ds = σ összefüggést felhasználva az integrálegyenletet a szokásos dierenciális alakba átírva
df = Kivonva bel®le a (5.2) sor
2
∂f 1 ∂2f 2 2 ∂f σ S ds + + dS. ∂s 2 ∂x2 ∂x
∂f /∂x-szeresét
a jobb oldalon megszabadulhatunk a misztikus
dS
tagtól .
∂f df − dS = ∂x Persze ezt sem t¶nik jobbnak. Most a
dS
∂f 1 ∂2f 2 2 + σ S ds. ∂s 2 ∂x2
tag átkerült a bal oldalra. A probléma megoldása egy
remek közgazdasági észrevétel!! A jobb oldalon álló kifejezés minden id®pontban ismert, ugyanis nem tartalmazza a
dS
és így a
dw
tagot! A
df
az
df − felfogható, mint egy
1
darab derivatíva és
f
megváltozása, a
dS
az
S
megváltozása, így a
∂f dS ∂x
−∂f /∂x
darab részvényb®l álló portfolió rövid id® alatt
bekövetkez® értékváltozása. Az így kapott portfolió értéke
V (t) = 1 · f (t, S (t)) −
∂f (t, S (t)) · S (t) . ∂x
Mivel a portfolió értékének megváltozása nem függ a
dw-t®l,
ezért a portfolió értékváltozása nem
tartalmaz kockázatot, ugyanis a modellben a bizonytalanságot a hozama éppen az
r
dw
3
tag adja .
Így a portfolió
kockázatmentes hozam. Vagyis
dV = rV ds. A
V
konkrét értékét visszaírva
∂f ∂f df − dS $ dV = rV ds $ r f − S ds. ∂x ∂x Ezt visszaírva és a
ds
kifejezéssel osztva és az egyenletet rendezve a
∂f ∂f 1 ∂2f 2 2 +r S+ σ S = rf ∂s ∂s 2 ∂x2
(5.3)
parciális dierenciálegyenletet kapjuk. Emlékeztetünk, hogy teljesülni kell az
f (T, S (T )) = Φ (S (T )) 2 A dolog lényege, hogy persze a µ is kiesik. 3 A t id®pontban az aktuális kimenetel megadja,
hogy éppen mennyi a portfolió értéke, de az értékének rövid id®
alatti megváltozása, legalábbis in nitezimálisan determinisztikus.
5.1. A BLACKSCHOLES-FORMULA
84
feltételnek is. A parciális dierenciálegyenletet a bemutatott módon megoldva azonnal látható, hogy a tett feltételek mellett a
t=0
id®pontban az ár
f (0, S (0)) = exp (−rT ) M (Φ (X (T ))) , ahol az
X
folyamat a (5.3) egyenlethez rendelt
dX
=
X (0)
rXdt + σXdw
(5.5)
= S (0)
sztochasztikus dierenciálegyenlet megoldása. Vegyük észre, hogy az az
µ
S -re
(5.4)
felírt egyenletre.
Az egyetlen eltérés, hogy a
µ
helyébe az
X -re felírt egyenlet r konstans került.
hasonlít Mivel a
alapvet®en a részvény kockázatát jellemzi, szokás azt mondani, hogy a (5.4) várható értéket a
kockázatsemleges világban kell venni. Ez azonban a levezetés alapján nem pontos, ugyanis most a
4
várható értéket az eredeti, ha úgy tetszik a statisztikailag meg gyelt mez® felett is vehetjük , de a folyamat, aminek a várható értékét venni kell nem az
5
S,
hanem az
X,
és a két folyamat általában
különböz® . Némi elnagyolással azt mondhatnánk, hogy nem a mértéket, hanem az alapul vett folyamatot kell kicserélni.
5.1.2.
Az árazási formula levezetése mértékcserével
Az imént látott gondolatmenet minden nagyszer¶sége ellenére igen vitatható. Talán a leginkább problémás feltétel, hogy már eleve feltételezzük, hogy létezik egy árazó képlet és megköveteltük, hogy az egyedül csak az aktuális ártól, illetve az id®t®l függjön. Igencsak heurisztikus a kockázatmentes portfolió indoklása, illetve az a gondolat, hogy ha a portfolió értékváltozása nem függ a
dw-t®l,
akkor a kockázatmentes hozamot kell hogy hozza. Arról nem is beszélve, hogy az
f
vis-
zonylag szigorú analitikus tulajdonságait is megköveteltük. Nem világos továbbá, hogy miért csak egy megoldása van a parciális dierenciálegyenletnek stb.
Az alábbiakban egy másik indoklást
mutatunk be. Némiképpen általánosabban eljárva tekintsünk egy rendszert. Az egyes eszközök árát a
t
n
darab kockázatos eszközb®l álló pénzügyi
id®pontban jelölje
(S1 (t) , S2 (t) , . . . , Sn (t)) . Most is feltesszük, hogy az portfolióban a
t
Sk
folyamatok folytonosak. Tegyük fel, hogy az
n darab
eszközb®l álló
id®pontban a
(θ1 (t) , θ2 (t) , . . . , θn (t)) vektorral megadott mennyiség¶ eszköz van.
A
t
id®pontban a portfolió értéke az érték egyenl®
egységár szorozva mennyiség elv alapján
V (t) $
n X
θk (t) Sk (t) .
k=1 A portfolió értékének megváltozása a megszokott módon, teleszkópikus összegként számolható: Ha
(tl )
a
[t, T ]
id®tartam tetsz®leges felbontása, akkor
V (T ) − V (t)
= =
X
k=1
4 Természetesen
(V (tl ) − V (tl−1 )) =
l n X X
(θk (tl ) Sk (tl ) − θk (tl−1 ) Sk (tl−1 )) .
l
bármilyen olyan mez® felett vehetjük a várható értéket, amely mellett a (5.5) feladat felírható
és megoldható.
5 Nem
beszélve arról, hogy az
megoldható.
X
tetsz®leges olyan valószín¶ségi mez® felett vehet®, amely esetén a (5.4) egyenlet
5.1. A BLACKSCHOLES-FORMULA
85
Az elemi számolással ellen®rizhet®
a 2 b2 − a 1 b1
= a1 (b2 − b1 ) + b1 (a2 − a1 ) + + (a2 − a1 ) (b2 − b1 )
képlet miatt a bels®
X
(θk (tl ) Sk (tl ) − θk (tl−1 ) Sk (tl−1 ))
l összeg éppen az
Z
T
T
Z
Sdθ + hθ, Si
θdS + t
t közelít® összege. Általában, ha
ξ
és
η
két sztochasztikus folyamat, akkor
b
Z ξ (b) η (b) − ξ (a) η (a) =
Z
b
a
b
ηdξ + hξ, ηia
ξdη + a
6
feltéve, hogy az integrálok, illetve a kvadratikus keresztvariáció létezik .
parciális integrálás formulájának is mondani.
Ezt a formulát szokás
A parciális integrálás formulája természetesen a
többdimenziós Itô-formula segítségével is megkapható. A kés®bbiekben azonban a formulát igen általános körülmények között fogjuk alkalmazni és a gondolatmenettel a formula általános jellegére szerettünk volna utalni. A parciális integrálás formuláját felhasználva a portfolió értékváltozása
V (T ) − V (t)
n Z X
=
k=1 t n X
+
T
θk dSk +
n Z X k=1
T
Sk dθk +
t
T
hθk , Sk it .
k=1 Az egyenl®séget sztochasztikus dierenciákkal felírva:
dV =
n X
θk dSk +
A
n
(θk )k=1
portfolió súlyokat az
Sk dθk +
n
(Sk )k=1
n X
d hθk , Sk i .
k=1
k=1
k=1
5.1 De níció.
n X
árak mellett ön nanszírozónak mondjuk, ha
dV =
n X
θk dSk ,
k=1
V értékfolyamat megváltozása csak az árak dSk megválA sztochasztikus dierenciálokat integrálalakban kiírva az ön nanszírozás
vagyis ön nanszírozó portfolió esetén a tozásából származik.
feltétele azt jelenti, hogy tetsz®leges
t
id®pontok esetén
V (T ) − V (t) =
n Z X k=1
T
θk dSk .
t
Fontos hangsúlyozni, hogy az ön nanszírozás tulajdonsága nem függ az ármércét®l, vagyis nem függ attól, hogy milyen egységben fejezzük ki az árakat. számolással is igazolható.
Ez intuitíve nyilvánvaló, és formális
Hogy a technikai részletek ne vegyék el az olvasó kedvét, csak akkor
látjuk be az állítást, amikor az új ármérce egy
B (t) = exp (rt) 6 A hξ, ηib a
jelölésen értelemszer¶en a
ξ
és az
η [a, b]
szakaszon vett keresztvariációját értjük.
5.1. A BLACKSCHOLES-FORMULA
86
7
t-re
alakú kötvény . A parciális integrálás formulája szerint tetsz®leges
V (t) $
A megadott formula szerint a
B
t
Z
V (t) = V (0) + B (t)
0
1 dV (s) + B (s)
t
Z
V (s) d 0
V
korlátos változású, a
8
Sk
az
1 1 + V, (t) . B (s) B folyamatok folytonossága miatt
folytonos, így a kvadratikus keresztvariáció nulla . A portfolió ön nanszírozó, így
dV =
n X
θk dSk .
k=1 Ezt beírva, az asszociativitási szabály szerint az els® integrál a
n
t
Z
X 1 dV = B
0
Z
V (t) − V (0) =
n Z X
t
0
k=1
θk dSk B
0
k=1
módon írható. Vagyis
t
θk dSk + B
t
Z
Vd 0
1 . B
(5.6)
9
Ugyanakkor, ismételten a parciális integrálás formulája szerint
Sk $
Sk Sk (0) = + B B (0)
Ebb®l az asszociativitási szabály alkalmazásával
n Z X k=1
t
θk dS k
$
0
= =
n Z X
t
k=1 0 n Z t X 0
0
1 dSk + B
Z
t
Sk d 0
1 . B
10
n Z t n Z t X X Sk θk 1 = dSk + θk Sk d = B B B k=1 0 k=1 0 Z tX n θk 1 dSk + θk Sk d = B B 0 k=1 Z t θk 1 dSk + Vd . B B 0
θk d
k=1 0 n Z t X
k=1
t
Z
Ezt a (5.6) sorral összevetve
V (t) − V (0) =
n Z X k=1
vagyis a Legyen
(θk )
HT
t
θk dS k ,
0
az új ármérce esetén is ön nanszírozó.
egy tetsz®leges a
jöv®beli ki zetés a
t=0
T
id®szakban esedékes ki zetés. A kérdés továbbra is az: Mit ér ez a
id®pontban? Természetesen minden további megfontolás nélkül a kérdés
nem válaszolható meg. Ahhoz, hogy valamit mondani tudjunk egy alkalmas közgazdasági feltételt kell szabni. Ez a közgazdasági feltétel a következ®: Ha van olyan amelyre
HT = V (T ) $
n X
θk (T ) Sk (T ) = V (0) +
k=1 akkor a
HT
ára a
t=0
n
(θk )k=1
n Z X k=1
ön nanszírozó portfolió,
T
θk dSk ,
0
id®pontban éppen
π (HT ) = V (0) . 7 Ezt is csak azért tesszük, hogy a sztochasztikus kalkulus számolási szabályait egy 8 Valójában a B konkrét alakjából csak ezt kell használni. 9 És természetesen a már említett okok miatt elhagyva a keresztvariációt. 10 Vegyük észre, hogy az S (0) /B (0) konstanst elhagyjuk, ugyanis a d-je nulla. k
kicsit gyakoroljuk".
5.1. A BLACKSCHOLES-FORMULA
87
Vagyis, ha egy követelést replikáltunk egy ön nanszírozó portfolióval, akkor a követelés értéke
11 .
éppen az ön nanszírozó portfolió kezd®értéke
Természetesen a kérdést evvel nem oldottuk
meg, csak átalakítottuk: Hogyan határozható meg a
V (0)
értéke? Amennyiben az ön nanszírozó
portfolióban szerepl® integrálok martingálok, akkor a válasz egyszer¶:
π (HT ) = M (HT ) , ugyanis mivel a martingálok szerint vett sztochasztikus integrálok várható értéke nulla
M (HT )
= M V (0) +
n Z X k=1
12 , ezért
!
T
θk dSk
=
0
= M (V (0)) = V (0) . A gond csak az, hogy az Girszanov-formulával
Sk
folyamatok nem martingálok! Ez azonban nem jelent problémát, a
13 ki fogjuk cserélni a mértéket, és az új mérték alatt az
n
(Sk )k=1
folyamatok
már martingálok lesznek, így a gondolatmenet már alkalmazható lesz. A tárgyalás jobb áttekinthet®sége céljából tegyünk fel, hogy csak két eszközünk van: egy kötvényünk és egy részvényünk. Tegyük fel továbbá, hogy ezek id®ben való mozgását a (5.1) és (5.2) egyenletek írják le. Ekkor az egyenleteket megoldva
B (t)
=
exp (rt) σ2 t + σw (t) . = exp µ− 2
S (t)
Vegyük észre, puszta mértékcserével nem tudjuk a két folyamatot egyszerre martingállá alakítani. A
B
determinisztikus és így ha
r 6= 0, akkor nincs olyan mértékcsere, amely mellett martingál lesz!
Ezt a gondot azonban az ármérce alkalmas megválasztásával megoldhatjuk. Tegyük fel, hogy az eredeti ármérce helyett a
B
14
folyamatot vezetjük be mint ármércét. Ekkor az új ármérce mellett
HT
=
B (t)
=
HT BT 1
S (t)
=
exp
σ2 µ−r− 2
t + σw (t) .
B , amelynek ára az új ármérce B ≡ 1 már martingál, és ami ennél sokkal fontosabb minden más mérték esetén is martingál marad, ugyanis konstans. Így elegend® a mértéket úgy kicserélni, hogy a második folyamat az S is martingál legyen. Vegyük továbbá észre, hogy mivel B (0) = 1, ezért V (0) = V (0). Ebben a felírásban, vagyis az új ármérce esetén, ez els® eszköz, a mellett
De milyen mérték esetén lesz az
S
martingál? Az exponenciális martingálokkal kapcsolatos ko-
rábban már látott megfontolásokból tudjuk, hogy ehhez az szükséges, hogy az új alkalmas
w b
Q mérték esetén
Wiener-folyamattal a diszkontált árfolyam
σ2 S (t) = exp σ w b (t) − t 2 11 Ugyanis
az ön nanszírozás miatt, új pénz az induló id®ponttól eltekintve nincsen befektetve, így bárki által vé-
grehajtható, aki a kezd® pénz mennyiséggel rendelkezik.
A gondolatmenet gyenge pontja nyilván az ön nanszírozás
szó értelmezésén és közgazdasági interpretálásán van. Diszkrét id®horizonton az ön nanszírozás közgazdaságilag jól értelmezhet®, a folytonos id®horizontra való formális átvitel azonban igencsak kérdéses.
12 Ez
miként tudjuk nem mindig van így, itt lép be a lokális martingálok és a martingálok közötti eltérés, de mint
említettük kicsire nem adunk.
13 Illetve, miként látni fogjuk még az ármércét is cserélni kell! 14 Általában a felülvonás mindig a diszkontált változóra utal.
5.1. A BLACKSCHOLES-FORMULA
88
w b független növekmény¶ σ2 t MQ S (t) | Fs $ MQ exp σ w | Fs = b (t) − 2 σ2 t = exp − MQ (exp (σ w b (t)) | Fs ) = 2 σ2 t = exp − MQ (exp (σ (w b (t) − w b (s))) exp (σ w b (s)) | Fs ) = 2 σ2 t = exp − exp (σ w b (s)) MQ (exp (σ (w b (t) − w b (s))) | Fs ) = 2 σ2 t = exp − exp (σ w b (s)) MQ (exp (σ (w b (t) − w b (s)))) = 2 √ σ2 t exp (σ w b (s)) MQ exp N 0, σ t − s = = exp − 2 2 σ (t − s) σ2 t exp (σ w b (s)) exp = = exp − 2 2 σ2 s = exp σ w b (s) − $ S (s) . 2
alakú legyen. Ilyenkor ugyanis, felhasználva, hogy a
Másképpen olyan mértéket kell választanunk, amely mellett a
µ−r t + w (t) $ w b (t) σ folyamat Wiener-folyamat. Ezt meg is tehetjük. Ehhez elegend® a Girszanov-formulát a
r−µ µ−r = σ σ Az így kapott mértéket Q-val jelölve HT π (HT ) = MQ HT $ MQ . B (T ) θ$−
konstans esetén alkalmazni.
De mit is jelent ez?
Milyen alakuak lesznek a mértékcsere után az egyes folyamatok?
determinisztikus így a mértékcssre során semmilyen formában nem változik, így a
B -re
A
B
vonatkozó
egyenlet a mértékcsere után is
dB = exp (rt) dt marad. A Girszanov-formula miatt a
w (t) = w b (t) + θt = w b (t) −
µ−r t. σ
Amit beírva
σ2 t + σw (t) = 2 σ2 µ−r = exp µ− t+σ w b (t) − t = 2 σ σ2 = exp r− t + σw b (t) . 2
S (t)
=
Vagyis a mértékcsere után az
exp
µ−
µ helyébe r kerül a w helyébe pedig w b. Az új mérték alatt a µ eltünt! Q mérték esetén az S kielégíti a
Másképpen a mértékcserével kapott új
dS = rSdt + σSdw b egyenletet. Ezt úgy is fogalmazhatjuk, hogy a mértékcserével explicite módon megkonstruáltunk egy olyan Wiener-folyamatot és egy olyan valószín¶ségi mez®t, amelyek segítségével az el®z® alfejezetben szerepl®
X
folyamat felírható. Ebben a felírásban
S = X.
5.1. A BLACKSCHOLES-FORMULA
5.1.3.
89
A nincsen arbitrázs elv
A formula levezetésekor némiképpen homályosan fogalmaztunk. Ebben az alpontban az alkalmazott gondolatmenetet pontosítjuk.
5.2 De níció. Azt mondjuk, hogy a lyokkal képzett
V
n
(θk )k=1
n
(θk )k=1 súkimenetelre V (T ) ≥ 0
ön nanszírozó portfolió súlyok arbitrázst alkotnak, ha
értékfolyamatra
V (0) = 0
T , hogy minden V (T ) pozitív15 .
és van olyan
és egy pozitív valószín¶séggel rendelkez® halmazon a
n (θk )k=1 súlyok ön nanszírozóak, n ezért a kezdeti V (0) = 0 értékb®l a (θ k )k=1 stratégiát megjátszva a T id®pontban pozitív valószín¶séggel nyereséget lehet csinálni anélkül, hogy a veszteség lehet®ségével számolni kellene. Ha van mód ar-
Az arbitrázs közgazdasági interpretációja a következ®: mivel a
bitrázsra, akkor a piac nem m¶ködhet tökéletesen, ami ellentmond a piac tökéletességér®l szóló kiinduló közgazdasági alapfeltételnek. Az árazási formula levezetése arra alapult, hogy feltettük, hogy a piacon nem lehet arbitrázs.
HT ki zetést V (0) lehet, ugyanis ellenkez® esetben
Az arbitrázs mentesség követelménye miatt a
replikáló ön nanszírozó portfolió létezése esetén az ár csak a triviálisan lenne arbitrázs.
5.1.4.
A piac teljessége, az integrálreprezentációs tétel
Vegyük észre, hogy a gondolatmenet még mindig nem tökéletes, ugyanis nem tudjuk, hogy miért létezik a
HT
követelést el®állító ön nanszírozó portfolió?
A válasz kulcsa a következ® állítás,
amelyet szokás Itô-féle integrálreprezentációs tételnek is nevezni:
5.3 Állítás. (Integrálreprezentáció) Tegyük fel, hogy a modellben a véletlent valamilyen ban meg gyelhet® olyan
X
ξT
w
Wiener-folyamat de niálja. Ha a
T
id®pont-
valószín¶ségi változónak létezik szórása, akkor található, mégpedig egyetlen
folyamat amelyre T
Z ξ T = M (ξ T ) +
Xdw. 0
Az
X
folyamat olyan, hogy az el®állításban szerepl® sztochasztikus integrál valódi martingál.
Az integrálreprezentációs tétel szigorúan a Wiener-folyamatokhoz kötött tulajdonság. fontos megkötés, hogy a
T
id®pontban elvileg meg gyelhet® események által de niált
FT
Nagyon
valószín¶ségi
16 . Általában martingálok esetén a reprezen-
mez® egy Wiener-folyamat meg gyeléseib®l származik
tációs tulajdonság nem teljesül, vagyis ha a véletlen tényez® pusztán egy martingál, akkor a
T
id®pontban meg gyelhet® változók nem feltétlenül írhatók fel várható érték plusz sztochasztikus integrál alakban.
Vagyis ha a véletlen faktor egy absztrakt martingál, akkor a lehetséges szár-
maztatott termékek nem feltétlenül fedezhet®k ön nanszírozó portfoliókkal. Ebb®l következ®en a BlackScholes típusú modellezésb®l a Wiener-folyamat nem hagyható ki.
5.4 Példa. Opciók árazása és az Itô-féle integrálreprezentációs tétel. Vegyük például a call opció ki zetési függvényét, vagyis legyen
HT = max (0, S (T ) − K) . 15 A
de níció nem tökéletes, ugyanis nem zárja ki a duplázó stratégiát amely a végtelen sok lehetséges
t
id®pont
miatt el®fordulhat. Éppen ezért folytonos id®horizont esetén az arbitrázs de níciójában fel szokás tenni, hogy az értékfolyamat alulról korlátos, ahol az alsó korlát közgazdaságilag a kereskedést megvalósító személy vagyona, illetve teljes hitelkerete.
16 A
techikai kifejezés az, hogy a
ξ
mérhet® legyen a Wiener-folyamat által generált ltrációra nézve.
5.1. A BLACKSCHOLES-FORMULA
90
B
Természetesen az árazást tekinthetjük a
ármérce mellett, ekkor az ön nanszírozó portfólió
létezésével kapcsolatos kérdés az, hogy van-e olyan
portfólió, amelyre
T
Z
HT B (T )
(ψ, θ)
= V (0) +
Z
T
ψdB + 0
θdS = 0
T
Z = V (0) +
θdS? 0
Vegyük észre, hogy közvetlenül az Itô-féle integrálreprezentációs tétel nem alkalmazható, ugyanis most a
T
S
id®szakban esedékes követelést az
folyamattal kell el®állítani, és nem egy Wiener-
folyamattal, miként az a tételben szerepel. Ez azonban könnyen orvosolható. A kockázatsemleges mérték mellett
b dS = σSdw, ugyanis az
r
(5.7)
a diszkontálással eltüntethet® ugyanis ha
S (t) = exp akkor
S (t) =
σ2 r− 2
t + σw b (t)
S (t) σ2 = exp − t + σ w b (t) , exp (rt) 2
vagyis
σ2 t , S (t) = exp σ w b (t) − 2 ami az Itô-formula miatt éppen az említett (5.7) egyenlet megoldása. Ezt beírva, az asszociativitási szabály szerint
Z
T
Z
T
θdS = 0 ahol a
w b
0
már Wiener-folyamat. Így alkalmas
Y
θ$ akkor
HT = V (0) + B (T )
Z
folyamattal, ha
Y , σS
T
0
σθSdw, b
Z Y dw b=
0
T
Z θσSdw b=
T
θdS. 0
Ahhoz, hogy a reprezentációs tételt alkalmazni tudjuk, elég azt megjegyezni, hogy a lognormális eloszlásnak van szórása, így az
S (T )-nek
van szórása, így triviálisan a
HT
változónak is van
szórása. A gondolatmenet minden olyan opcióra alkalmazható, amelynek létezik a második momentuma a kockázatsemleges mérték mellett.
2 A piac teljessége nélkül az árazás problémája még a nincsen arbitrázs elv teljesülése esetén sem oldható meg. A dolgok megértéséhez egy kicsit vissza kell mennünk az alapokhoz. Mi határozza meg az árakat és persze az árakon keresztül a jövedelmeket és végs® soron az egész gazdaság szerkezetét?
A közgazdaságtan válasza igen egyszer¶: a kereslet és a kínálat
kétséges, hogy helyes, de van vele egy alapvet® probléma:
Semmitmondó.
17 . A válasz nem A gond az, hogy
egy tudományos elméletet végs® soron csak mérhet®, adatokkal alátámasztható fogalmakra lehet építeni. A kereslet és a kínálat azonban, szemben az árral, általában közvetlenül nem gyelhet® meg. Mind a kett® a gazdasági szerepl®k szándékait és vágyait tükrözi. Ezek a vágyak azonban nem jelennek meg mérhet® formában. Csak a szerepl®k fejében léteznek. E miatt két kérdés merül fel: miként mérjük a kereslet és a kínálat nagyságát, illetve milyen ugyancsak mérhet® fogalmak
17 Persze,
ha sok a hús a hentes köszön el®re, ha kevés akkor a vev®.
5.1. A BLACKSCHOLES-FORMULA
91
határozzák meg a keresletet és a kínálatot. Minden t®zsde egy szervezett piac, amely pontosan azért jött létre, hogy a keresletet és a kínálatot átlátható és dokumentálható, és így végs® soron mérhet® módon megjelenítse. Éppen ezért a t®zsdei folyamatok megértése lényegében az absztrakt közgazdasági piacfogalom viselkedésének megértését jelenti, és így minden t®zsde, végs® soron, a közgazdaságtan alapfelvetéseinek laboratóriumi modellje. A t®zsdék és általában a pénzügyi világ az a laboratórium, ahol a közgazdasági elméletek, természettudományos értelemben, meg gyelhet®ek. Sokszor elhangzó érv, hogy a közgazdaságtan nem rendelkezik adatokkal, vagy hogy nincsen mód kísérletekre, vagy a környezeti feltételek alkalmas beállítására stb. Ebben van igazság, de számos természettudományos terület a pénzügyeknél jóval kevesebb adattal és sokkal korlátozottabb kísérleti lehet®séggel bír. Nem véletlen, hogy a t®zsdei rendszerek vizsgálata a zikusok és a matematikusok számára teljesen elfogadott terület, amely tudományos jellegét elvi, lozó ai alapon senki sem kérd®jelezte meg.
S®t.
A pénzügyi matematika célja tehát pontosan az, ami
a mikoökonómia célja: megmagyarázni az árak alakulását. Az egyetlen különbség csak az, hogy ezt nem papíron, hanem az absztrakció egy jóval alacsonyabb szintjén, szinte már a rögvalósághoz közelálló praktikum szintjén próbálja megtenni. Ez akkor is igaz, ha a matematikai modell, a köntös, amibe a pénzügyi elméletet felöltöztetjük, jóval bonyolultabb mint a két egymást keresztez® egyenes vonal mikroökonómiai modellje.
A bonyolult sztochasztikus modellek csak mint prak-
tikus, közelít® modellek foghatók fel, ahol a modellezést egyetlen szempont hajtotta: a tevékenység kézzelfogható végeredménye.
Pénzt akarunk keresni, pontosabban sok pénzt akarunk keresni
A matematikai pénzügyeken nem kérhet® számon a nyilvánvalóan lényegi kérdés:
18 .
Van-e olyan
értékteremtési folyamat, ami indokolja ezt? A pénzügyi elmélet minden gondolata a szokványos közgazdasági gondolkodás része. Csak a valóság könny¶ megragadhatósága, a vizsgált rendszerek pontosan de niált szabályai, és az ebb®l értelemszer¶en következ® nagyfokú számszer¶síthet®ség emeli ki a pénzügyi elméletet a szokásos közgazdasági modellek köréb®l, amelyek esetén sem az adatb®ség, sem a közvetlen meg gyelhet®ség, sem az egyszer¶ség luxusa nem adott
19 .
A pénzügyi termékeket két csoportba oszthatjuk: Vannak alaptermékek és vannak származtatott termékek.
20 .
Az alaptermékek viselkedését nagyrészt statisztikai úton lehet feltérképezni
Az
alaptermék, származtatott termék megkülönböztetésr®l érdemes úgy gondolkodni, ahogyan az elemi lineáris algebra leírja a véges dimenziós vektorterek elemeit. Vannak vektorok a bázisban és vannak vektorok a bázison kívül. A bázisban lev® termékek az alaptermékek, a bázison kívül lev® termékek a származtatott termékek.
Mivel a bázisból a vektorok ki-be vihet®k, ezért az
alaptermék származtatott termék megkülönböztetés viszonylagos. A bázison kívül lev® vektorok a bázisvektorok lineáris kombinációi. Vagyis a koordinátáik által tökéletesen determináltak. Ha tudjuk a koordinátáikat mindent tudunk róluk. Például ha tudjuk az alaptermékek árát, akkor tudjuk, hogy mibe kerülnek a származtatott termékek.
Egyszer¶en venni kell az alaptermékek
árának koordinátákkal súlyozott összegét. Ezért is hívják az elméletet ketchup elméletnek. Ha az
21 . Miért? Hát az ellenkez®
egy literes ketchup ára 100 forint, akkor a két literes ára 200 forint
esetben létrejöv® arbitrázs lehet®ség miatt. Ha ugyanis nem így lenne, akkor a drágábbat eladva, az olcsóbbat megvéve és az ingyenes átcsomagolás lehet®ségét kihasználva kockázat nélkül pénzt kereshetnénk. Az arbitrázs elmélet lényege, hogy a származtatott termékek ára az alaptermékek árának lineáris kombinációja
22 . Másképpen fogalmazva az arbitrázselmélet szerint a pénzügyek
18 Vagyis maximalizálni akarjuk a hasznossági függvényünket az adott korlátok között. 19 És tegyük hozzá, éppen ez a pénzügyi folyamatok hozzáadott értéke: olyan tükör, amely bár homályos,
de mégis
valamit visszatükröz. A jelenség, amely a lényeget takarja és megjeleníti egyidej¶leg. A társadalomtudományok mindegyike egy súlyos lelki betegségt®l szenved: a zika iránti féltékenységt®l. A pénzügyi matematika korlátai a társadalomtudományok korlátai. Ha a pénzügyi matematikának nem sikerült, akkor senkinek sem fog sikerülni. A pénzügyi matematika jutott a társadalomtudományok közül a legközelebb a természettudományokhoz. Úgy látszik azonban, hogy a tükrön lev® homály nagyobb mint gondoltuk. (És tegyük hozzá, hála istennek.)
20 Alapterméknek
azokat a termékeket szokás tekinteni, amelynek önálló, más termékekt®l független piaca van.
Mivel a különböz® termékek piaca nagyon nehezen különíthet® el, ezért az alaptermék fogalma távolról sem olyan egyszer¶, mint gondolnánk.
21 Ebben
a példában az egy literes a bázisban van, vagyis alaptermék, a két literes a származtatott termék és a
lineáris függést megadó koordináta éppen kett®.
22 Természetesen
a bonyolultabb m¶veletekre mint például a szorzás a dolog már nem m¶ködik. Vagyis például
az alaptermék négyzetének az ára nem az ár négyzete. Éppen arról szól a származtatott termékek elmélete, hogy ilyenkor mit kell tenni, hogyan kell meghatározni a nem lineáris transzformációkkal létrehozott termékek árát.
5.1. A BLACKSCHOLES-FORMULA
92
lényege, hogy a termékek között egyrészt redundacia van, másrészt a pénzügyi összefüggések a lineáris algebra és a konvex analízis szabályai szerint alakulnak
23 . Mindenki számára nyilvánvaló,
hogy ez nincsen így. Vannak tranzakciós költségek, oszthatatlanságok stb. De miként említettük a t®zsde egy laboratórium, egy olyan mesterségesen létrehozott piac, ahol a kísérleti feltételeket úgy állítottuk be, hogy lényegében költség nélkül az egyébként oszthatatlan atomer®m¶ akár tizenkét és fél százalékát is meg lehet venni. A származtatott termékek fogalma, elmélete és gyakorlati használhatósága arra az igencsak megkérd®-
24 koncepcióra épül, hogy a piacon meg gyelhet® termékek között redundancia van,
jelezhet®
és jórészt a pénzügyi matematikai eszköztár ennek a redundanciának a feltérképezését és kihasználását kívánja megvalósítani.
Ahhoz, hogy bizonyos vektorok között redundancia legyen
sok vektor kell és alacsony dimenzió. Vagyis sok termék és a termékekhez képest kevés mögöttes faktor, tényez®, amely a bizonytalanságért, a termékek változékonyságáért felel®s. A redundancai lehet®sége egyáltalában nem nyilvánvaló, ha a vektorokat hordozó vektortér dimenziója nagy, pláne nem, ha a tér dimenziója végtelen. A pénzügyek egyik alapvet® feltevése, hogy a pénzügyi termékek, szemben az imént vázolt lineáris algebrai modellel, nem egy véges dimenziós vektortér vektorai, hanem egy végtelen dimenziós vektortérben vannak, ugyanis az értékük valószín¶ségi változó. Végtelen dimenziós vektorterekben a lineáris kombináció nem igazán használható fogalom. Sem a koordináta fogalma, sem az el®állíthatóság és így a redundancia fogalma ténylegesen nem kézenfekv®. Az nyilvánvaló, hogy hogyan kell árazni az alaptermékek véges lineáris kombinációit, különösen akkor, ha a bázisvektorok száma igen alacsony, és ezért a kapcsolat közvetlenül áttekinthet®.
De hogyan kell árazni egy végtelen sor összegét?
Intuitíve a válasz nem triviális.
Különösen azért nem, mert nem tudjuk, hogy milyen módon kell értenünk a konvergenciát?
Mikor
mondjuk, hogy az alaptermékek közelít® összege közel van a származtatott termékhez pénzügyi értelemben. Ha a szórásuk közel azonos? Ha az információ tartalmuk közel azonos? Bizonyos egyszer¶bb szituációkban az alaptermék-származtatott termék el®állítás igen kézenfekv® és átlátható, de például az opciók esetén a közvetlen el®állíthatóság egyszer¶ koncepciója nem m¶ködik.
A
BlackScholes féle megközelítésben az el®állíthatóságot, a dinamikus replikálást, a matematikai modell de niálja és az integrálreprezentációs tétel biztosítja. Vagyis a replikálhatóság nagyrészt a matematikai modell speciális tulajdonságainak következménye, és nem egy a piaci szerepl®k által megérzett, kitalált, feltárt összefüggés matematikai tükörképe.
Replikálhatóság fogalmát azért
vezeti be a pénzügyi elmélet, hogy meg tudja kerülni a hasznossági függvényekre való közvetlen hivatkozást, miközben a piaci szerepl®ket valójában a meg gyelhetetlen hasznossági függvényeik motiválják. Gyakran felmerül a kérdés, hogy az újabb pénzügyi eszközök bevezetése, a pénzügyi innováció, miként érinti a valóságos piacok teljességet. Ha újabb terméket vezetünk be, akkor a piac teljesebb lesz vagy sem? A válasz természetesen az, hogy nem. Ennek oka, hogy a valós piacok eredend®en
25 .
végtelen dimenziósak
Végtelen dimenziós vektortér esetén nincsen értelme teljes és kevésbé
teljes piacokról beszélni, véges számú termékkel csak egy véges dimenziós alteret lehet kifeszíteni és függetlenül attól, hogy hány dimenziós az altér, a komplementere mindig végtelen dimenziós marad. Mi történik akkor, ha a modellben szerepl® véletlent megadó folyamatosztályra nem teljesül az integrálreprezentációs tulajdonság. Ilyenkor valamely
HT
követelés esetleg nem lesz replikálható
egy ön nanszírozó portfolióval, így a bemutatott megközelítés nem lesz használható.
23 Némiképpen megoldása.
leegyszer¶sítve
a
származtatott
termékek
árazása
lényegében
lineáris
Ilyenkor
egyenletrendszerek
Valahol valóban err®l van szó, miközben a matematikai alapmodellt a végtelenségig bonyolítottuk
és ezért az anyja sem ismer rá.
24 A
redundancia azért kérd®jelezhet® meg, mert a legtöbb formailag származtatott termék, önálló piaccal ren-
delkezik, és ezt a piacot a származtatott termék alaptermékét®l független er®k is mozgatják. Vagyis nagyon gyakran, miközben két termék elméletileg redundáns, számos okból a piaci szerepl®k, legalábbis bizonyos korlátok között, mégis önálló termékként kezelik ®ket. Ennek oka, hogy a származtatott termékek kockázatát valójában nem tudják az elmélet által leírt módon kiküszöbölni.
25 A
valóság mindig végtelen dimenziós. Csak az emberi elme készít a valóságról véges dimenziós modelleket. A
valós személyre a nagy felbontású digitális fénykép hasonlít, vagy esetleg nagyon hasonlít. A kép számos fontos és lényegtelen részletet tartalmaz, de hát nem azonos az eredeti személlyel.
5.2. TÖBBDIMENZIÓS ESZKÖZÁRAZÁS
93
az ár meghatározásához, még a modell szintjén is, szükséges a hasznossági függvények explicit vagy implicit megadása, a részvények pénzügyi és egyéb hátterének ismerete, a monetáris politika ismerete, és minden más, amit a közgadasági elmélet az áralakulás kapcsán megemlít.
5.2.
Többdimenziós eszközárazás
Ezidáig csak az egyváltozós esettel foglalkoztunk. Tegyük fel, hogy nem egy, hanem két eszközünk van, amelyek áralakulását a
dS1
= µ1 S1 dt + σ 1 S1 dw1
dS2
= µ2 S2 dt + σ 2 S2 dw2
egyenletek írnak le. Feltesszük, hogy a
t
esetén a
w1 (t)
és a
w2 (t)
w1
és a
w2
Wiener-folyamatok korreláltak, vagyis minden
valószín¶ség változók korrelációja
ρ.
Ebb®l következ®en a kvadratikus
keresztvariáció nem nulla, mint a független esetben, hanem
hw1 , w2 i (t) = ρt. +
(max (S1 , S) − X) , vagyis egy call + opció az S1 és S2 közül a drágábbra, vagy hasonlóan vehetjük például a (min (S1 , S) − X) opciót
A lehetséges származtatott termékek köre például lehet a is.
Az árazáshoz hasonlóan kell eljárni mint az egyváltozós esetben. Jelölje tott termék árát a
t
V (S1 , S2 , t)
a származta-
id®pontban. A fedez® portfolió legyen
π $ V − ∆1 S1 − ∆2 S2 , ahol
∆1 és ∆2 a dinamikus fedezéshez használt konstansok nagysága.
A többdimenziós Itô-formula
szerint
1 ∂2V ∂2V 1 ∂2V ∂V + σ 21 S12 2 + ρσ 1 σ 2 S1 S2 + σ 22 S22 2 ∂t 2 ∂S1 ∂S1 ∂S2 2 ∂S2 ∂V ∂V + dS1 + dS2 . ∂S1 ∂S2
dV
=
Természetesen a
∂V ∂V , ∆2 = ∂S1 ∂S2 dS2 tagok kiesnek, így a π portfolióban nem ∂V ∂V dπ = rπ = r V − S1 − S2 . ∂S1 ∂S2
dt +
∆1 =
választással a hozama
r
dS1
és
lesz.
lesz Wiener-folyamat, így a
Következésképpen az egyenlet éppen
1 ∂2V ∂2V 1 ∂2V ∂V + σ 21 S12 2 + ρσ 1 σ 2 S1 S2 + σ 22 S22 2 + ∂t 2 ∂S1 ∂S1 ∂S2 2 ∂S2 ∂V ∂V +r S1 + r S2 = rV ∂S1 ∂S2 lesz.
Ha az
S1
és
S2
részvények
q1
és
q2
folytonos osztalékrátával rendelkeznek, akkor az egyenlet
2
∂V 1 ∂ V ∂2V + σ 21 S12 2 + ρσ 1 σ 2 S1 S2 + ∂t 2 ∂S1 ∂S1 ∂S2 ∂V ∂V + (r − q1 ) S1 + (r − q2 ) S2 ∂S1 ∂S2 lesz, ugyanis ilyenkor a fedez® egyenletben az
Si
helyébe
1 2 2 ∂2V σ S + 2 2 2 ∂S22 = rV
Si (t) exp (−qi t)
írandó.
Az egyenlet megoldása azonosan történik, mint korábban, egyedül egyszeres integrálok helyett többszörös integrálokat kell kiszámolni.
5.2. TÖBBDIMENZIÓS ESZKÖZÁRAZÁS
94
5.5 Példa. Részvénycsere árazása. Bizonyos esetekben azonban a többszörös integrálok használata elkerülhet®. Példaként tekintsük a
+
V (S1 , S2 , T ) = (S1 − S2 )
ki zetést. A ki zet® függvény fontos tulajdonsága, hogy
+
V (S1 , S2 , T ) = (S1 − S2 ) = S2 módon írható.
Ennek alapján a
V
S1 −1 S2
+
függvényt
V = S2 H (Z, t) alakban keressük, ahol
Z $ S1 /S2 .
Írjuk fel a parciális deriváltakat a
H
segítségével.
rend¶ deriváltak
∂V ∂S1 ∂V ∂S2 ∂V ∂t
= = =
∂H 1 ∂H = , ∂Z S2 ∂Z ∂H ∂H S1 H + S2 − 2 =H −Z , ∂Z S2 ∂Z ∂H S2 . ∂t S2
A másodrend¶ek
∂2V ∂S12 ∂2V ∂S22
= = =
∂2V ∂S1 ∂S2
=
∂2H 1 ∂Z 2 S2 ∂H S1 ∂H S1 ∂ 2 H S1 − 2 − − 2 +Z = ∂Z S2 ∂Z S2 ∂Z 2 S22 Z 2 ∂2H S2 ∂Z 2 ∂2H S1 − 2 . ∂Z 2 S2
Ezt beírva az eredeti egyenletbe
∂H 1 2 2 ∂2H 1 S1 1 2 2 Z 2 ∂2H ∂2H S2 + σ 1 S1 + ρσ σ S S − + σ S + 1 2 1 2 ∂t 2 ∂Z 2 S2 ∂Z 2 S22 2 2 2 S2 ∂Z 2 ∂H ∂H + (r − q1 ) S1 + (r − q2 ) H − Z S2 = rV ∂Z ∂Z Majd
S2 -vel
osztva
1 S2 ∂2H S12 ∂ 2 H 1 2 2 ∂2H ∂H + σ 21 12 − ρσ σ + σ Z + 1 2 ∂t 2 S2 ∂Z 2 S22 ∂Z 2 2 2 ∂Z 2 ∂H S1 ∂H + (r − q1 ) + (r − q2 ) H − Z = rH ∂Z S2 ∂Z amely
2 1 ∂2H ∂H 1 2 2 ∂2H 2∂ H + σ 21 Z 2 σ Z − ρσ σ Z + + 1 2 ∂t 2 ∂Z 2 ∂Z 2 2 2 ∂Z 2 ∂H ∂H + (r − q1 ) Z − (r − q2 ) Z = q2 H ∂Z ∂Z Tehát
∂H + ∂t
∂2H 1 2 1 ∂H σ 1 − ρσ 1 σ 2 + σ 22 Z 2 + (q2 − q1 ) Z = q2 H 2 2 ∂Z 2 ∂Z
Az els®
5.2. TÖBBDIMENZIÓS ESZKÖZÁRAZÁS
95
alakra egyszer¶södik. Ha bevezetjük a
σ0 $
q
σ 21 − 2ρσ 1 σ 2 + σ 22
konstanst, akkor egy közönséges BlackScholes típusú egyenletet kapunk, amelyet már a szokásos módon árazhatunk be
26 .
2 A többdimenziós árazási formula egy fontos esete
a quantok árazása. A quantok olyan származ-
tatott termékek, amelyek értékét egy másik devizában, mondjuk dollárban kell ki zeni. Legyen az alapul vett forint termék egyenlete
dS = µSdt + σSdw, a dollár árfolyama legyen
dSd = µd Sd dt + σ d Sd dwd . Mivel az
S
forintban van, ezért az
Sd
mértékegysége dollár/forint. Ismét tegyük fel, hogy a két
Wiener-folyamat korrelációs együtthatója
ρ. A fedezésre az alapterméket, az alaptermék devizáját
és a származtatott terméket használjuk. A portfolió most
π $ V − ∆d · Sd − ∆ · S · Sd . 27 . Ehhez a
Vegyük észre, hogy az egyenletben mind a három kifejezés dollárban kell hogy legyen
∆-nak
nem szabad, hogy legyen mértékegysége, ugyanis az
egysége forint
28 , ugyanis az
Sd
nem kereskedett mennyiség, ezért közvetlenül a
Λd Sd A
dπ
SSd
szorzat már dollár. A
∆d
mérték-
mértékegysége dollár/forint. Vegyük ugyancsak észre, hogy az
π
Sd
portfolióban nem is használható. Ugyanakkor a
mennyiség¶ dollár már kereskedésben használható termék. egyenlete
∂V 1 ∂2V 1 ∂2V ∂2V + σ 2d Sd2 2 + ρσ d σSd S + σ2 S 2 2 ∂t 2 ∂Sd ∂Sd ∂S 2 ∂S ∂V ∂V dS − + dSd + ∂Sd ∂S −∆d dSd − ∆d Sd rf t dt −
dπ
=
dt +
−∆Sd dS − ∆SdSd − ρσσ d ∆SSd dt. Az egyenlet levezetéséhez el®ször is vegyük gyelembe a
dXY = XdY + Y dX + d hX, Y i parciális integrálási szabályt
29 , illetve az
hS, Sd i = hσSdw, σ d Sd dwd i = σσ d SSd hdwd , dwi = σσ d SSd ρdt szabályt, amelyek alapján az utolsó sor már nyilvánvaló. Az el®tte lev® sor megértéséhez azt kell gyelmbe venni, hogy a
30
∆d
valójában forintban adott, vagyis egy a fedezéshez használt forint
összeg, így az egyenlete
d∆d = rf t ∆d dt. 26 Persze a peremfeltétel (z − 1)+ lesz. 27 Ugyanis a V dollárban van. 28 Illetve írhatnánk ∆ · S · B -t is ahol a B az r kamatlábbal növekv® kockázatmentes forint kötvény. d d ft ft ft 29 Amely a többdimenziós Itô-formula speciális esete. 30 Illetve, ha a ∆ nem rendelkezik mértékegyéggel, akkor a d ∆ B = ∆ dB = r ∆ B dt egyenletet d d ft d ft ft d ft használni.
kell
5.2. TÖBBDIMENZIÓS ESZKÖZÁRAZÁS
Mivel ez a
dt
96
miatt korlátos változású, a keresztvariáció a parciális integrálás formulájában nulla.
Az összevonás után a
dS
és a
dSd
együtthatója rendre
∂V − ∆ · Sd , ∂S ∂V − ∆d − ∆ · S. ∂Sd Ebb®l
∆=
1 ∂V , Sd ∂S
∆d =
∂V ∂V S ∂V −∆·S = − . ∂Sd ∂Sd Sd ∂S
Ezt visszahelyettesítve és gyelembe véve, hogy a dollárban felírt kockázatmentes portfolió hozama
r
így
dπ
= = = =
Ezt és a további
dt-és
r (V − ∆d Sd − ∆SSd ) dt = S ∂V 1 ∂V ∂V − Sd − SSd dt = r V − ∂Sd Sd ∂S Sd ∂S ∂V ∂V ∂V r V − Sd − S − S dt = ∂Sd ∂S ∂S ∂V Sd dt. r V − ∂Sd
tagokat beírva, majd a
dt-vel
osztva
1 ∂2V 1 ∂2V ∂2V ∂V + σ 2d Sd2 2 + ρσ d σSd S + σ2 S 2 2 + ∂t 2 ∂Sd ∂Sd ∂S 2 ∂S ∂V + rSd − ∂Sd S ∂V ∂V Sd rf t − − − ∂Sd Sd ∂S 1 ∂V −ρd σσ d SSd = rV. Sd ∂S Ezt tovább rendezve
∂V 1 ∂2V ∂2V 1 ∂2V + σ 2d Sd2 2 + ρσ d σSd S + σ2 S 2 2 + ∂t 2 ∂Sd ∂Sd ∂S 2 ∂S ∂V + (r − rf t ) Sd + ∂Sd ∂V = rV. (rf t − ρσσ d ) S ∂S Vegyük észre, hogy ez éppen a
dSd
=
(r − rf t ) Sd dt + σ d Sd dwd
dS
=
(rf t − ρσσ d ) Sdt + σSdw
kockázatsemleges egyenleteknek felel meg
31 .
5.6 Példa. A forward quato ára.
31 Valójában
ρσσ d .)
mint folytonos osztalékrátával rendelkez® folyamatok foghatók fel. (q1
Ilyenkor a két drift tag
r − q1 ,
illetve
r − q2 .
$ rf t ,
illetve
q2 $ r − rf t −
5.3. FRAKCIONÁLIS WIENER-FOLYAMAT
97
S -re kiírt forward ára éppen az a K , amelyre a K −S
Ebb®l következ®en az
32
ára nulla lesz. Vagyis
K = EQ (S (T )) = S (t) exp ((rf t − ρσσ d ) (T − t)) . Ha az
S
q
alaptermék
folytonos osztalékrátával bír, akkor az
rf t
helyébe
rf t − q
írandó és ilyenkor
K = EQ (S (T )) = S (t) exp ((rf t − q − ρσσ d ) (T − t)) . 2
5.3.
Frakcionális Wiener-folyamat ξ
Tegyük fel, hogy a parciális integrálás formulájában a
η
és az
folyamatok nem elég véletlenek.
Ezen most azt a matematikai tulajdonságot értjük, hogy a két folyamat trajektóriái elég regulárisak ahhoz, hogy a
hξ, ηi
kvadratikus keresztvariáció nulla legyen. Ilyenkor a parciális integrálás for-
mulája a jóval egyszer¶bb
b
Z
Z
ξ (b) η (b) − ξ (a) η (a) =
ξdη + a
alakot ölti. Speciálisan ha
ξ = η,
b
ηdξ a
akkor
ξ 2 (b) − ξ 2 (a) = 2
b
Z
ξdξ. a
Másképpen fogalmazva, ha a
ξ
nem elég véletlen, vagyis a trajektóriái elég regulárisak, akkor
érvényes a
dξ 2 = 2ξdξ deriválási szabály. Tegyük fel, hogy egyszer¶bb
(B, S)
hξi = 0
kötvény-részvény modellt:
természetesen a kötvényt értjük, az
S
ξ segítségével megfogalmazható legS (t) $ 1 + ξ (t). A B folyamat alatt
és tekintsük a
B (t) $ 1
és
33 . Legyen
alatt pedig a részvényt
2
θB (t) $ − (ξ (t)) − 2ξ (t) ,
θS (t) $ 2ξ (t) .
a beruházási stratégia. A megfelel® értékfüggvény
V (t)
= θB (t) · B (t) + θS (t) · S (t) = 2
2
= − (ξ (t)) − 2ξ (t) + 2ξ (t) (1 + ξ (t)) = (ξ (t)) . Ha a
ξ (t)
nem azonosan nulla, akkor a
dV
(θB , θS )
pár a
(B, S)
modellben arbitrázs, ugyanis
2
= d (ξ) = 2ξdξ = θB · 0 + θS dξ = = θB dB + θS dS,
egyenl®ség miatt a portfolió ön nanszírozó. Ugyanez közvetlenül megmutatható a parciális integrálás formulájából is. Felhasználva, hogy mind a két keresztvariáció nulla
dV = θB dB + BdθB + θS dS + SdθS . Ugyanakkor
BdθB + SdθS
=
−dξ 2 − d (2ξ) + (ξ + 1) d (2ξ) =
=
−dξ 2 − 2dξ + 2ξdξ + 2dξ =
=
−dξ 2 + dξ 2 = 0.
32 Ami nem más, mint S (t) exp ((r − q ) (T − t)) . 2 33 Miként alább látni fogjuk, a gondolatmenet az exponenciális
ármozgásokra is alkalmazható.
5.3. FRAKCIONÁLIS WIENER-FOLYAMAT
98
Másképpen fogalmazva egy piacon akkor van lehet®ség arbitrázsra, ha a a piacon a pénzügyi folyamatok nem elég véletlenek, amely egyik megjelenési formája a kvadratikus variáció nulla volta. A bemutatott jelenségre a legjobb és legismertebb példa az úgynevezett frakcionális Wiener-
folyamat.
5.7 De níció. Legyen
0 < H ≤ 1,
és vezessük be az
RH (t, s) $ kovarianciafüggvényt
o 1 n 2H 2H 2H |t| + |s| − |t − s| 2
34 . Frakcionális Wiener-folyamaton olyan
BH
sztochasztikus folyamatot értünk,
amelyre 1.
BH (0) = 0,
2. a
BH
növekményei stacionáriusak,
3. a növekmények eloszlása normális nulla várható értékkel, 4. a 5.
Ha
BH
trajektóriái folytonosak, és
cov (BH (t) , BH (s)) = M (BH (t) BH (s)) = RH (t, s) , speciálisan 2 2H M [BH (t) − BH (s)] = |t − s| .
H = 1/2, akkor BH Wiener-folyamat. [a, b] szakaszon.
Számoljuk ki a frakcionális Wiener-folyamat kvadratikus
variációját az
! X
M
2
[BH (tk+1 ) − BH (tk )]
=
X
=
X
k
2 M [BH (t) − BH (s)]
k
|tk+1 − tk |
2H
.
k Ha
2H − 1 > 0,
vagyis ha
X
H > 1/2, 2H
|tk+1 − tk |
akkor
≤
2H−1
max |tk+1 − tk | k
k
=
X
|tk+1 − tk | =
k 2H−1
max |tk+1 − tk | k
(b − a) → 0.
A Markov-egyenl®tlenség miatt
! P
X
2
[BH (tk+1 ) − BH (tk )] ≥ ε
≤
k
1 2H−1 max |tk+1 − tk | (b − a) → 0, ε k
Ha H < 1/2, akkor 1 − 2H > 0, és ezért X X 1−2H 2H b−a= |tk+1 − tk | ≤ max |tk+1 − tk | |tk+1 − tk | → 0
vagyis a kvadratikus variáció sztochasztikusan nullához tart.
a kifejezés
határértéke végtelen, ugyanis ha véges lenne, akkor
k
k
k
lenne. Ennek megfelel®en a frakcionális Wiener-folyamat kvadratikus variációja a
H 6= 1/2 esett®l
eltekintve vagy nulla, vagy végtelen.
34 Csak
a
H -ra
megadott tartományban de niálható a frakcionális Brown-mozgás, egyébként az
kovarianciafüggvény.
RH
nem lehet
5.3. FRAKCIONÁLIS WIENER-FOLYAMAT
5.3.1.
99
Itô-lemma frakcionális Wiener-folyamat esetén
Tegyük fel, hogy
H > 1/2. Ilyenkor a BH F 00 ∈ C 2 , akkor
kvadratikus variációja nulla. Az Itô-formula bizonyítását
megismételve, ha
F (BH (t)) − F (BH (s)) $
X
[F (BH (tk+1 )) − F (BH (tk ))] .
k A Taylor-formula alapján
F (x) = F (y) + F 0 (y) [x − y] +
Z
x
F 00 (u) [x − u] du.
y
F (BH (t)) − F (BH (s)) =
X
F 0 (B (tk )) [BH (tk+1 ) − BH (tk )] + R(n) .
k ahol
R(n) = Mivel az
F (BH (t))
korlátos, ezért
|Rn |
≤
sup F 00 (BH (t)) t
= 1 ≥ H > 1/2,
XZ
sup F 00 (BH (t))
BH (tk+1 )
[BH (tk+1 ) − u] du =
BH (tk )
k
t Ha tehát
F 00 (u) [BH (tk+1 ) − u] du.
BH (tk )
k 00
BH (tk+1 )
XZ
1X 2 P [BH (tk+1 ) − BH (tk )] → 0. 2 k
akkor
dF = F 0 dBH , Ha persze
H = 1/2,
akkor
dF = F 0 dB + 21 F 00 dt.
5.3.2.
BlackScholes-modell frakcionális Wiener-folyamat esetén
Miként korábban, tekinstük az
(B, S)
kötvény-részvény
B (t) ≡ 1, és
1/2 < H ≤ 1.
35 modellt, ahol
S (t) = 1 + BH (t) ,
Ez az úgynevezett frakcionális Bachelier-modell. Legyen ismét
2
θB (t) $ − (BH (t)) − 2BH (t) ,
θS (t) $ 2BH (t)
a beruházási stratégia. A megfelel® értékfüggvény
V (t)
=
θB (t) · B (t) + θS (t) · S (t) =
=
θB (t) · 1 + θS (t) S (t) =
=
− (BH (t)) − 2BH (t) + 2BH (t) (1 + BH (t)) = (BH (t)) .
2
2
Ugyanakkor az Itô-formula szerint
dV (t)
2
= d (BH (t)) = =
2BH (t) dBH (t) = θS (t) dS (t) =
= θB (t) dB (t) + θS (t) dS (t) , 35 A B
most a bond kötvény szóra utal
BH
a frakcionális Brown-mozgás.
5.3. FRAKCIONÁLIS WIENER-FOLYAMAT
következésképpen a
(θB , θS )
100
stratégia ön nanszírozó.
Mivel
V (0) = 0,
és
V (t) > 0,
ezért a
frakcionális Bachelier-modellben van arbitrázs. Most tekintsük az BlackScholes típusú ármozgást, vagyis tekintsük a lognormális modellel analóg modellt. Tegyük fel, hogy.
B (t) dB (t) A
dB (t) = r exp (rt)
=
exp (rt) ,
= r exp (rt) ,
S (t) = exp (rt + σBH (t)) . dS = rSdt + σSdBH .
egyenlet triviális, ugyanis semmi más, mint a
d exp (rt) = r exp (rt) dt deriválási szabály (sztochasztikus) dierenciálokkal való felírása.
Az többdimenziós Itô-formula
képlete szerint
dS = rS · dt + σS · dBH ugyanis a kvadratikus variációkat tartalmazó tagok mind nullák. Vegyük észre, hogy a kvadratikus
S ár képletében a Sdt tagjának együt-
variációk nulla volta miatt szemben a közönséges Wiener-folyamattal most az
t
változó
r
együtthatója közvetlenül megegyezik az ármozgást leíró egyenlet
thatójával. Ha a befektetési stratégia
θB (t) $ 1 − exp (2σBH (t)) ,
θS (t) $ 2 (exp (σBH (t)) − 1) ,
akkor az értékfüggvény
V (t) = =
B (t) · θB (t) + S (t) · θS (t) =
=
exp (rt) [1 − exp (2σBH (t)) + exp (σBH (t)) · 2 (exp (σBH (t)) − 1)] =
=
exp (rt) [1 + exp (2σBH (t)) − 2 exp (σBH (t))] =
=
B (t) (1 − exp (σBH (t)))
2
szigorúan pozitív. A frakcionális Wiener-folyamatra vonatkozó parciális integrálás, illetve az Itôformula szerint
dV (t)
2
2
=
(1 − exp (σBH (t))) dB (t) + B (t) d (1 − exp (σBH (t))) =
=
(1 − exp (σBH (t))) dB (t) +
2
+B (t) · 2 · (exp (σBH (t)) − 1) · exp (σBH (t)) · σdBH (t) =
2
(1 − exp (σBH (t))) dB (t) + +2σ · S (t) · (exp (σBH (t)) − 1) dBH (t)
=
2
(1 − exp (σBH (t))) dB (t) + σ · θS (t) · S (t) dBH (t) =
= θB (t) dB (t) + 2 + (1 − exp (σBH (t))) − 1 + exp (2σBH (t)) dB (t) + +σθS (t) S (t) dBH (t) = θB (t) dB (t) + + (2 exp (2σBH (t)) − 2 exp (σBH (t))) dB (t) +σθS (t) S (t) dBH (t) = θB (t) dB (t) + +2 (exp (σBH (t)) − 1) exp (σBH (t)) dB (t) +σθS (t) S (t) dBH (t) = θB (t) dB (t) + rθS (t) S (t) dt + σθS (t) S (t) dBH (t) = =
θB (t) dB (t) + θS (t) dS (t) ,
5.3. FRAKCIONÁLIS WIENER-FOLYAMAT
101
tehát a stratégia ön nanszírozó, így a frakcionális BlackScholes-modell szintén tartalmaz arbitrázst.
6. fejezet
Függelék: A feltételes várható érték A függelékben emlékeztet®ül összefoglaljuk a valószín¶ségszámítás néhány alapfogalmát. Miképpen korábban, most is nagyvonalúan kezeljük az analízis tényeit és a szemléletes megfontolásokat a pontos megfogalmazás elé helyezzük.
6.1.
Valószín¶ségi változók várható értéke
A valószín¶ségszámítás talán legfontosabb fogalma a várható érték. Legyen valószín¶ségi mez®,
(Ω, A,P)
tetsz®leges
1 a valószín¶ségi
valószín¶ségi változó. Emlékeztetünk, hogy els® közelítésben
ω argumentumot általában ξ jelölést alkalmazzuk. A ξ valószín¶ségi változó R M (ξ) várható értékén de níció szerint az Ω ξ (ω) dP (ω) integrált értjük. Felmerül azonban a kérdés, hogy az említett körülmények között mit értünk integrálon, ugyanis az Ω tér absztrakt változó az
Ω
ξ
téren értelmezett függvény. Miként korábban jeleztük az
elhagyjuk és a
ξ (ω)
jelölés helyett az egyszer¶bb
elemekb®l áll, így a számegyenesen való integrálás során követett eljárásból nem lehet közvetlenül kiolvasni, hogy hogyan kell az integrált absztrakt körülmények között értelmezni. Az absztrakt integrál de níciója lényegében azonos a számegyenesen követettel: El®ször egyszer¶ objektumokra de niáljuk az integrált, majd a de níciót kiterjesszük a közelít® összegek határértékére. 1. El®ször az egyszer¶ valószín¶ségi változókat de niáljuk: Tekintsük az b®l álló partícióját, vagyis bontsuk fel az
ξ
Ω
teret
(Ak )
Ω egy A-beli események-
események diszjunkt egyesítésére.
valószín¶ségi változó diszkrét, vagyis az értéke az egyes
Ak
eseményeken egy-egy
ck
Ha a
konstans,
akkor a várható érték, illetve az integrál de níciója kézenfekv® módon
X
ck P (Ak ) .
(6.1)
k A de níció szempontjából teljesen mindegy, hogy az
(Ak )
partícióban szerepl® halmazok száma
véges, vagy megszámlálhatóan végtelen, de az egyszer¶ség kedvéért kiindulhatunk abból, hogy az
(Ak ) az Ω véges számú eseményb®l álló felbontása.
A véges számú eseményekb®l álló particiókhoz
tartozó diszkrét értéket felvev® valószín¶ségi változókat szokás lépcs®s függvényeknek nevezni. Vegyük észre, hogy ha
F
a
ξ
növeked® sorozat amelyre
valószín¶ségi változó eloszlásfüggvénye, valamint ha
[ck−1 , ck )
(ck ) olyan monoton ξ értékkészletét,
diszjunkt intervallumok egyesítése lefedi a
akkor az
Ak $ {ω : ck−1 ≤ ξ (ω) < ck } halmazok az
Ω
partícióját adják és a (6.1) közelít® összeg éppen
X k
1 Miképpen
ck P (Ak ) =
X
ck (F (ck ) − F (ck−1 ))
k
látni fogjuk, van második megközelítés is. Az alpont legfontosabb célja, hogy indokolja, hogy miért
van szükség második megközelítésre.
102
6.1. VALÓSZÍNSÉGI VÁLTOZÓK VÁRHATÓ ÉRTÉKE
R∞
az
−∞
xdF (x)
103
2
Stieltjes-integrál egy közelít® összege .
2. A várható érték de níciójával kapcsolatos legfontosabb kérdés, hogy hogyan s¶rítjük a felbontást. Az
Ω
(Ak ) 0 ≤ ξ 1 ≤ ξ 2 , akkor
absztrakt objektumokból áll, így nem világos, hogy mit jelent az, hogy az
partíciókat végtelenül nomítjuk. A kiutat a következ® megfontolás jelenti: Ha az integrál, illetve a várható érték intuitív tartalma miatt
M (ξ 1 ) ≤ M (ξ 2 ) . Ha
ξ1
és
ξ2
lépcs®s függvények, akkor ez a tulajdonság a megadott de níció miatt automatikusan
teljesül. Kézenfekv® tehát a következ®: Ha
ξ ≥ 0,
akkor
M (ξ) $ sup {M (η) : η ≤ ξ, η
lépcs®s} .
Szavakban kifejezve: a monotonitás elve miatt egy nem negatív valószín¶ségi változó várható értéke biztos nem kisebb a változónál nem nagyobb lépcs®s függvények várható értékénél, vagyis valamely valószín¶ségi változó várható értéke szükségszer¶en fels® korlátja a változónál nem nagyobb lépcs®s függvények várható értékének. A várható érték de níció szerint a lehetséges fels® korlátok közül a legkisebb.
Ha a lépcs®s függvények integráljaiból álló halmaz nem korlátos, akkor a várható
értéket értelemszer¶en végtelennek tekintjük. Triviális módon a várható érték továbbra is monoton operáció marad, vagyis ha
0 ≤ ξ1 ≤ ξ2,
akkor
M (ξ 1 ) ≤ M (ξ 2 ) .
3. Sajnos evvel a várható érték de nícióját még nem adtuk meg. Ennek oka, hogy nem tisztáztuk, hogy milyen függvényekre érdemes értelmezni a várható értéket. A kulcs probléma, hogy az imént megadott de níció esetén nem tudjuk garantálni, hogy a várható érték additív lesz, vagyis nem tudjuk garantálni, hogy érvényes lesz az
M (ξ 1 + ξ 2 ) = M (ξ 1 ) + M (ξ 2 ) szabály.
Ahhoz, hogy ezt biztosítani tudjuk be kell vezetni a mérhet® függvények fogalmát és
le kell sz¶kíteni a várható érték de nícióját a mérhet® függvények halmazára. A mérhet®séggel kapcsolatos probléma abból ered, hogy elképzelhet®, hogy az közelíthet®, nem írható le az
3
Ω-án
értelmezett
A
Ω
téren értelmezett
események segítségével.
ξ
függvény nem
Ennek lehet tisztán
matematikai oka , de helyesebb ha arra gondolunk, hogy a meg gyelhet® eseményekkel, a ren-
4
delkezésünkre álló információkkal bizonyos függvények, szabályok összefüggések nem írhatók le .
6.1 De níció. (Ω, A,P) téren mérhet®nek mondjuk, ha van (ξ n ) lépcs®s függvényekb®l álló + sorozat, amelyre 0 ≤ ξ 1 ≤ ξ 2 ≤ . . . ≤ ξ n % ξ. A ξ függvény mérhet®, ha a ξ = max (0, ξ) és − a ξ = max (0, −ξ) függvények mérhet®ek. Az (Ω, A,P) téren értelmezett mérhet® függvényeket
A
0≤ξ
függvényt az
5
valószín¶ségi változóknak mondjuk .
6.2 Példa. A várható érték csak a mérhet® függvényeken additív.
2 V.ö.: (2.1) sor, 32. oldal. 3 A függvény túl általános fogalom. 4 Mi a jelenlegi tudásunk alapján egy
kifejlett klingon harcos átlagos testmagassága? Na és a jelenlegi tapasz-
talataink alapján mennyi a romulán n®k átlagos inteligenciaszintje?
Mennyi a két érték összege?
A meg gyelt
statisztikai adatok alapján átlagban a klingonok vagy a romulánok matematikai tudása nagyobb?
5 Megmutatható,
c konstans esetén a {ξ < c} halc esetén {ξ < c} ∈ A, így az {ξ < c} halmazok rendelkeznek valószín¶séggel, tehát értelmes a ξ változó F (x) $ P (ξ < x) eloszlásfüggvénye. A mérhet®séggel kapcsolatos tételekre a tárgyalás intuitív jellege miatt nincsen igazán szükségünk. Az egyetlen dolog, amit érdemes megjegyezni, hogy mivel az A eseménytér nem azonos az Ω összes részhalmazával, ezért az összes Ω-án értelmezett függvénynek nem tudunk várható hogy a mérhet®ség de níciója ekvivalens avval, hogy minden
mazok események, vagyis tetsz®leges
értéket de niálni, ugyanakkor minden nem negatív mérhet® függvénynek van várható értéke, bár el®fordulhat, hogy a várható érték végtelen.
6.2. REGRESSZIÓS FÜGGVÉNY
Az
Ω
tér álljon a
0
és az
1
104
A
jelekb®l,
eseménytér álljon az
6
Ω
és az
∅
halmazokból. A lépcs®s
függvények egyedül a konstans függvények . Ha
ξ 1 (ω) $ M (ξ 1 ) = M (ξ 2 ) = 0,
akkor
0 1
de
ha ha
ω=0 , ω=1
M (ξ 1 + ξ 2 ) = 1.
ξ 2 (ω) $
1 0
ha ha
ω=0 , ω=1
A probléma természetesen az, hogy a
ξ1
és a
ξ2
nem mérhet® függvények.
2 A várható értéket a monotonitáson keresztül de niáltuk. könnyen látható, hogy ha
ξ
A monotonitás miatt a de níciókból
ξ n % ξ a ξ -t a mérhet®ség M (ξ n ) % M (ξ) . Ebb®l nem túl
nem negatív valószín¶ségi változó és
de níciója alapján közelít® lépcs®s függvények sorozata, akkor
meglep®, hogy érvényes a következ® úgynevezett monoton konvergencia tétel, amely a monotonítás és az additivitás mellett a várható érték legfontosabb tulajdonsága:
6.3 Állítás. Ha
0 ≤ ξ 1 ≤ ξ 2 ≤ . . . ≤ ξ n % ξ,
akkor
M (ξ n ) % M (ξ) .
4. A monotonitás mellett az additivitás a várható érték másik kulcs tulajdonsága. Ezt tükrözi a várható érték de níciója is.
6.4 De níció. Ha
ξ
valószín¶ségi változó, akkor
M (ξ) $ M ξ + − M ξ − feltéve, hogy a kifejezés értelmes, vagyis nem
6.2.
∞−∞
alakú.
Regressziós függvény
A valószín¶ségszámítás legalapvet®bb és intuitíve leginkább problémás fogalma a feltételes várható érték. A feltételes várható értékkel kapcsolatos probléma nem matematikai, logikai természet¶. A gond leginkább abból ered, hogy a de níció bár rendkívül elegáns és matematikai, esztétikai szempontból lényegében optimális, az alkalmazások szempontjából túl absztrakt és ezért nehezen köthet® a feltételes várható érték, illetve a feltételes valószín¶ség intuitív fogalmához. A matematika legf®bb eszköze az absztrakció és a sikeres matematikai fogalmak mindegyike, a feltételes várható értékhez hasonlóan igen absztrakt. Ugyanakkor a valószín¶ségszámítás alkalmazott matematika, amely szorosan összekapcsolódik az intuícióval, így egy absztrakt de níció csak akkor elfogadható, ha világosan látható az absztrakt fogalom intuitív tartalma. Megítélésem szerint a feltételes várható érték megértésének kulcs a regressziós függvény, ugyanis míg az absztrakt
σ -algebra
sz-
erinti feltételes várható érték intuitív tartalma nehezen ragadható meg, a regressziós függvény tartalma intuitíve evidens. Ennek megfelel®en el®ször a regressziós függvény fogalmát mutatjuk be. A feltételes valószín¶ség fogalma világos és egyszer¶, ha a feltétel valószín¶sége pozitív. Miként az elemi valószín¶ségszámításból ismert, ha a
B
esemény valószín¶sége pozitív és
A
tetsz®leges
esemény, akkor a feltételes valószín¶ség, de níció szerint
P (A | B) $ 6A
P (A ∩ B) . P (B)
(6.2)
lépcs® alapjának mindig megengedett eseménynek kell lenni, a lépcs® magassága tetsz®leges szám lehet. Ha
a lépcs®
A
alapja nem megengedett esemény, akkor a
P (A)
szám értelmetlen.
6.2. REGRESSZIÓS FÜGGVÉNY
105
A eseményeinek valószín¶ségét (Bn ) az Ω tér A elemeib®l álló, legfeljebb megszámakkor tetsz®leges A ∈ A-ra A = ∪n (A ∩ Bn ) , így X X P (A) = P (A ∩ Bn ) $ P (A | Bn ) P (Bn ) , (6.3)
A feltételes valószín¶ség legnagyobb haszna, hogy segítségével az esetenként könnyen ki tudjuk számolni. Ha lálható partíciója,
n ahol az összegzés az olyan
n
n
indexekre terjed ki, amelyekre
P (Bn ) > 0.
A (6.3) egyenl®ség
kiemelked® szerepet játszik az elemi valószín¶ségszámításban, ahol a teljes valószín¶ség tétele elnevezéssel szokás hivatkozni rá. A a (6.3) felbontás.
Természetesen a
P (A | Bn ) de níció P (A | Bn ) értékek
szerint olyan számok, amelyekre teljesül hasznos intuitív tartalommal bírhatnak,
ami segít a nagyságuk megsejtésében. Ez különösen akkor van így, ha a
Bn
halmazok valam-
ilyen paraméter rögzítése mellett kaphatók, így egy eredend®en kétváltozós probléma
n
darab
egyváltozós problémára bontható.
6.5 Példa. Egy urnában két fehér és három piros golyó van.
Két golyót egymás után kihúzunk.
Mi a
valószín¶sége annak, hogy a második golyó fehér?
1/4 a fehér 2/4. Ebb®l a
A feladat megoldása a következ®: Ha els®re fehéret húzunk, akkor a második húzásra húzásának valószín¶sége, ha els®re pirosat, akkor a fehér húzásának valószín¶sége teljes valószín¶ség tétele szerint a keresett valószín¶ség
1 2 2 3 · + · . 4 5 4 5 Vegyük észre, hogy a feladat megoldása pontatlan, illetve nem speci kált rejtett feltételekre épül. A teljes valószín¶ség tétele egy triviális azonosság, ami önmagában semmire sem használható. A teljes valószín¶ség segítségével a
P (A | Bn )
ha már ismerjük az értéket is.
P (A)
valószín¶sége csak akkor számolható ki, ha ismerjük a
feltételes valószín¶ségeket, amelyeket de níció szerint elvileg csak akkor ismerhetünk,
(Ω, A)
eseménytéren értelmezett
P
valószín¶séget, így ismerjük már a
Miért alkalmazható a példában a teljes valószín¶ség tétele?
miért lesz a második húzásra a fehér golyó húzásának valószín¶sége
2/4?
P (A)
Ha az els® golyó piros, Mi történik, ha a fehér
golyók egyenl® er®viszonyok esetén fellázadnak és megeszik a piros golyókat? Vagy mi történik akkor, ha az egyedül maradt piros golyó menekülésre fogja a dolgot és kiugrik az urnából? Miért gondoljuk azt, hogy ez nem történik meg? Természetesen a feladat intuitív tartalma alapján úgy gondoljuk, hogy a megadott számolás helyes, vagyis az urnában lev® golyók valóban golyóként viselkednek és például nem eszik meg egymást. Vegyük azonban észre, hogy a példa megoldásakor el®bb de niáltuk a feltételes valószín¶séget és ebb®l vezettük le a tényleges valószín¶séget. A feltételes valószín¶ség kiszámolásakor nem a feltételes valószín¶ség de níciójára támaszkodtunk, hanem a feltételes valószín¶ség intitív tartalomából indultunk ki.
Miként említettük, a
valószín¶ségszámítás alkalmazott matematika, ahol az intuíció, a modellépítés alapvet® szerepet játszik.
A teljes valószín¶ség tétele egy azonosság, amit általában kifordítva használunk:
A
feladat tartalma alapján meghatározzuk a feltételes valószín¶ségeket, majd a teljes valószín¶ség tétele által rögzített azonosság alapján de niáljuk a
P (A)
értéket.
A feltételes valószín¶ség is-
merete esetén a valószín¶ség de niálásának egyedül lehetséges módját a természetesen a teljes valószín¶ség tétele adja meg.
P
Azonosság levezetésekor azonban éppen fordítva jártunk el:
valószín¶séget rögzítettük, majd de niáltuk a
P (A | Bn )
A
feltételes valószín¶ségeket. A teljes
valószín¶ség tételét tekinthetjük állításnak és tekinthetjük konstrukciós eljárásnak is. A feltételes valószín¶séggel kapcsolatos szemléleti problémák egyik forrása, hogy általában explicite nem tisztázzuk, hogy a feladatban mikor milyen irányban használjuk az összefüggést. Általános ökölszabály: feladatmegoldáskor a feltételes valószín¶séget, illetve feltételes várható értéket mindig küls® paraméternek tekintjük és értékét explicite vagy implicite a modellépítés során rögzítjük.
2 Pozitív feltételi valószín¶ség esetén a feltételes várható érték a feltételes valószín¶séghez hasonlóan evidens. Mi történik azonban akkor, ha a
B
feltétel valószín¶sége nulla?
6.2. REGRESSZIÓS FÜGGVÉNY
106
6.6 Példa. Határozzuk meg annak a valószín¶ségét, hogy az egységsugarú körlapon véletlenszer¶en választott pont a pozitív térnegyedben a körívre esik, feltéve hogy tudjuk, hogy a körívre esik. A keresett valószín¶séget
1/4-neknérezzük.
A $ o p 2 2 {(x, y) : x, y ≥ 0} , vegyük a Br $ (x, y) : r ≤ x + y ≤ 1 eseményt, és tekintsük a P (A | Br ) = P (A ∩ Br ) /P (Br ) = 1/4
feltételes valószín¶séget, amib®l
Egy lehetséges indoklás a következ®: Legyen
limr→1 P (A | Br ) = 1/4.
2
Vegyük azonban észre, hogy valójában nem kiszámoltuk, hanem most is az intuíciónk segítségével de niáltuk a feltételes valószín¶séget. Az intuíció, mint igen gyakran a matematikában, némiképpen félrevezet®! El®ször is vegyük észre, hogy amit kaptunk az nem valószín¶ség. A valószín¶ség intuitív fogalma er®sen köt®dik a nagy számok törvényéhez, vagyis ahhoz, hogy a relatív gyakoriságok a valószín¶séghez tartanak. határértéke?
A feltételes valószín¶ség miért lesz a relatív gyakoriságok
Ha kísérleteket végzünk, mennyi lesz a kedvez® per összes hányados?
Az el®re
rögzített körvonalat lényegében sohasem találjuk el! Ez a teljesen evidens észrevétel is aláhúzza, hogy nem szabad a feltételes valószín¶séget mint valószín¶séget felfogni. A második megjegyzés sokkal lényegesebb, és jóval kevésbé evidens. Az ismertetett gondolatmenet lényege a következ®: Ha a
B
valószín¶sége nulla, közelítsük a
B
halmazt valamilyen
P (A | B) $ lim P (A | Bn ) = lim n→∞
n→∞
feltéve persze, hogy a de nícióban minden korrekt. de níció nem korrekt, ugyanis az
(Ω, A)
Bn
közelíti a
az eredményt kapjuk? Milyen
Bn
B -t?
sorozattal, és
P (A ∩ Bn ) , P (Bn )
A probléma éppen az, hogy általában ez a
eseménytér természetes módon nem topológizálható,
vagyis nem világos, hogy mit jelent az, hogy a mit jelent az, hogy a
Bn
Bn
eseménysorozat a
Bn
Ha különböz®
B
eseményhez tart! Akkor
sorozatokkal közelítjük a
B -t
ugyanazt
halmazok megengedettek, és miért pont ezek?
6.7 Példa. Nulla valószín¶ség¶ események feltételes valószín¶sége. Legyen
ξ
a
[0, 1]
szakaszon egyenletes eloszlású. Próbáljuk meg értelmezni
P (ξ = 0 | ξ = 0) feltételes valószín¶séget! Intuitív alapon a feltételes valószín¶ség a
|ξ| ≤ h
eseménnyel közelítjük, majd
h → 0,
1. Ha azonban a {ξ = 0} feltételt
akkor evidens módon a
P ({ξ = 0} ∩ {|ξ| ≤ h}) = h&0 P (|ξ| ≤ h) P (ξ = 0) = lim = 0. h&0 P (|ξ| ≤ h)
P (ξ = 0 | ξ = 0) $
lim
2
6.8 Példa. Legyen
Ω $ {(x, y) : |x| ≤ 1, |y| ≤ 1} ,
és
P
legyen az egyenletes eloszlás. Határozzuk meg annak a (ξ, η) pontra ξ 2 ≤ η , feltéve ha ξ = η = 0.
valószín¶ségét, hogy egy véletlenszer¶en választott
ξ = η = 0, akkor η = ξ 2 , ezért a feltétel része az eseménynek, vagyis úgy érezzük, hogy P (A | B) = 1. A P (A | B) $ P (A ∩ B) /P (B) de nícióval azonban nem megyünk semmire ugyanis mind a számláló, mind a nevez® nulla. Ha a B $ {(0, 0)}-át a Bh $ {(x, y) : |x| ≤ h, |y| ≤ h} Ha
halmazzal közelítjük, akkor
P (A ∩ Bh ) $ P (Bh )
2h2 −
Rh
x2 dx −h
4h2
=
1 h3 /6 1 − 2 → . 2 h 2
6.2. REGRESSZIÓS FÜGGVÉNY
107
Bh $ {(x, y) : −h ≤ x ≤ 0, −h ≤ y ≤ 0}, akkor a kapott B $ {(x, h y) : 0 ≤ x ≤ h, 0 ≤ y ≤ h} , akkor pedig 1. Ugyanakkor, (x, y) : |x| ≤ h, |y| ≤ h2 , akkor
Ha a közelít® téglalapok nulla, ha pedig
határérték ha
Bh $
Rh 2h3 − −h x2 dx 1 1 1 P (A ∩ Bh ) = − = . $ 3 P (Bh ) 4h 2 6 3 2 Az elmondottak alapján evidens, hogy a feltételes valószín¶ség fogalma nulla valószín¶ség¶ esemény esetén általában nem de niálható! Akkor mégis mit lehet tenni? A nyer® válasz megtalálása céljából a 6.6. példát némiképpen általánosítva az egyszer¶ség kedvéért induljunk ki abból, hogy a
B
esemény egy
η
változó nívóhalmaza, vagyis
feltételes valószín¶séget akarjuk értelmezni.
B $ {η = y}
P ({η = y}) = 0,
s¶r¶södési pontja, vagyis tegyük fel, hogy bár
P (A | B) = P (A | η = y) η értékkészletének bármely h > 0 számra a
és a
y
Tegyük, fel hogy az
de
érték az
B (h) $ {ω : |η (ω) − y| ≤ h} esemény valószín¶sége már pozitív, tehát értelmezhet® a
P (A ∩ B (h)) P (B (h))
P (A | B (h)) $ hányados. A
P (A | B) $ lim
h&0
P (A ∩ B (h)) = lim P (A | B (h)) h&0 P (B (h))
de níció igen kézenfekv®, feltéve persze, hogy a határérték egyáltalában létezik. hogy egy fajta deriváltról van szó, ugyanis a
P (A | B)
(6.4) Vegyük észre,
két nullához tartó sorozat hányadosának
határértéke.
Megmutatható, hogy lényegében az
η
értékkészletének minden pontjában létezik a határérték.
A lényegében szót szándékosan nem de niáljuk, pontosítjuk. van szükség mert az
η
A lényegében kitételre azért
változó értékkészletének nem minden pontja megfelel® s¶r¶södési pont.
Az idézett állítás azt jelenti, hogy az esetlegesen létez® rossz pontok halmaza nem befolyásolja azt, hogy teljesüljön a teljes valószín¶ség tételének megfelel® NewtonLeibniz-szabály. A lényeges észrevétel az, hogy a deriválási gondolat alapján intuitíve megérezhetjük a feltételes valószín¶séget, amelyre viszont alkalmazható az integrálás formájában megadott teljes valószín¶ség tétele, amellyel az általános esetben de niálni fogjuk a feltételes valószín¶séget, illetve a feltételes várható értéket.
6.9 De níció. Legyen
(Ω, A, P)
valószín¶ségi mez®,
A∈A
tetsz®leges esemény. Az
y 7→ P (A | η = y) $ lim P (A | y − h ≤ η ≤ y + h)
(6.5)
h&0
függvényt az
A
esemény
η
szerinti regresszív feltételes valószín¶ségének mondjuk.
A de nícióból evidens, hogy a regresszív feltételes valószín¶ség alapvet®en derivált típusú objektum. Deriváltakra mindig felvethet®, hogy érvényes-e a NewtonLeibniz-formula, vagyis a deriválás integrálással visszacsinálható-e vagy sem?
Jelölje
G
az
η
eloszlásfüggvényét. Megmutatható, tetsz®leges
Z
a
számok esetén
b
P (A | η = y) dG (y) .
P (A ∩ {a ≤ η < b}) =
(6.6)
a Vegyük észre, hogy az egyenl®ség intuitíve a teljes valószín¶ség tételének általánosítása, ugyanis a
dG (y)
in nitezimálisan tekinthet® annak a valószín¶ségének, hogy az
η
éppen az
y
értéket veszi
6.2. REGRESSZIÓS FÜGGVÉNY
fel.
108
Megjegyezzük, hogy az integrálegyenlet és a deriválási formula kölcsönösen megfeleltethet®
egymásnak. A deriválás alapján való megközelítés és az integrálegyenlet azonossága a feltételes
7
valószín¶séggel kapcsolatos legfontosabb állítás . Ez indokolja és köti össze a feltételes valószín¶ség
8 szokásos , és legyünk ®szinték, els® látásra igen nehezen emészthet® de nícióját a fogalom intuitív
tartalmával.
Bizony, bizony, ismét a NewtonLeibniz-formula!
A két öreg lozófus nélkül mire
jutnánk? Nincs NewtonLeibniz-szabály nincs Itô-formula, így nincs sztochasztikus analízis, de a feltételes várható érték fogalmát sem értenénk. Kézenfekv® kérdés azonban, hogy miért szokás a kevésbé intuitív integrálegyenletb®l kiindulni. Ennek több oka van:
Egyrészt általában a konkrét példákban az integrálegyenlet teljesülését
praktikusan egyszer¶bb ellen®rizni, másrészt az integrálegyenlet esetén a lényegében kitételre
a b esetén kielégíti az integrálegyenletet, harmadrészt a regresszív feltételes valószín¶ség integrálos
nincsen szükség, és minden olyan függvény tekinthet® feltételes valószín¶ségnek amely minden és
9
de nícióját könnyebb a bonyolultabb esetekre kiterjeszteni . Az integrálos szemlélet legnagyobb el®nye, hogy azonnal látható, hogy a regresszív feltételes valószín¶ség nem egyértelm¶en értelmezett függvény. A
P (A | η = y)
tetsz®leges olyan függvény
lehet, amely kielégíti a (6.6) integrálegyenletet. Ennek fontos következménye, amit nyomatékosan
y értékekhez tartozó feltételes valószín¶ségeket de niáltunk. y esetén az {η = y} esemény valószín¶sége nulla, akkor az integrálegyenlet szempontjából a P (A | η = y) értéke az adott y esetén érdektelen, így a regresszív feltételes valószín¶ség sem értelmezhet® egyetlen olyan y esetén sem amelyre P ({η = y}) = 0. Pontosabban, ha valamely B ⊆ R halmaz P (η ∈ B) = 0, akkor a B halmazon a P (A | η = y) mint y függvénye
hangsúlyozni kell, hogy nem az egyedi Ha ugyanis valamely
tetsz®legesen el®írható.
Ezt úgy szokás mondani, hogy a feltételes valószín¶ség csak a feltétel
eloszlásában nulla valószín¶ség¶ halmaz erejéig meghatározot. Másképpen a
y
y -tól
függvénye, hanem az
P (A | η = y) nem az
függ® függvények egy osztálya, ahol az azonos függvényosztályba es®
η feltétel eloszlása szerint egy valószín¶ség¶ halmazon megegyeznek. Ez némiképpen 10 . A g (y) $ P (A | η = y) értéke a 11 legtöbb y pontban külön-külön érdektelen, de természetesen nem az összes y esetén érdektelen. A legtöbb y pontban a g értékét szabadon megváltoztathatjuk, de ez nem jelenti azt, hogy a g -hez
függvények az
meglep® és paradoxnak t¶n® tulajdonság, de sajnos így van
tartozó függvényosztályt is megváltoztathatjuk
12 . Egy függvényosztály nem minden tulajdonsága
meghatározott a függvényosztályba es® függvények értékei alapján, feltéve természetesen, hogy a függvényértékeket csak egy-egy pontban módosíthatjuk. Tipikusan ilyen tulajdonság a függvények integrálja. Mivel a regresszív feltételes valószín¶séget a (6.6) integrálegyenlettel értelmezzük, ezért
13 értelmes, így
a regresszív feltételes valószín¶ség nem függvényként, hanem függvényosztályként az értéke a legtöbb pontban értelmetlen.
6.10 Állítás. Ha a
(ξ, η)
pár eloszlásának van
f (x, y)
együttes s¶r¶ségfüggvénye, akkor a
vonatkozó feltételes s¶r¶ségfüggvénye, vagyis a
7 Természetesen
P (ξ < x | η = y)
ξ -nek
létezik az
η -ra
feltételes eloszlásnak lényegében
nem vagyunk meglepve, hogy a deriválás és az integrálás felcserélhet®. Bár az állítás intuitíve
nem t¶nik nehéznek, s®t inkább kézenfekv®nek látszik, megjegyezzük, hogy nem egyszer¶ tételr®l van szó. Mivel a tétel pontos indoklása nehéz, ezért általában el is szokás hagyni, így nem túl meglep®, hogy a feltételes valószín¶séget gyakran motiválatlan fogalomnak szokás tartani.
8A
szokásos,
vagyis
az
irodalomban
követett
megközelítés
az
integrálegyenletre
alapul,
és
a
feltételes
valószín¶séget mint a teljes valószín¶ség tételében szerepl® súlyokat de niálja.
9 Feltehet®en
azonban egyszer¶ lustaságról van szó. Egy valószín¶ségszámítási kurzus során nincs id® az úgy-
nevezett mértékderiválás és az absztrakt, úgynevezett RadonNikodym-féle deriválás kapcsolatának tárgyalására. Az absztrakt tételek mindig gyorsabban igazolhatóak.
10 A
dolog kulcsa, hogy a
h
szerinti közelítés módjától függ, hogy a lényegében jó pontok hol vannak és mely
pontok rosszak a lényegében való közelítés miatt.
11 Ha az {η = y} esemény valószín¶sége pozitív, akkor az y pontban a regressziós függvény értéke nem módosítható.
A legtöbb jelz® az olyan
y
értékekre utal, amelyekre
P ({η = y}) = 0.
12 A g függvényt természetesen módosítjuk, de a függvényosztáyt nem. 13 A függvényosztályba azok a függvények tartoznak, amelyek kielégítik
az integrálegyenletet.
6.2. REGRESSZIÓS FÜGGVÉNY
minden
y -ra
van
f (x | y)
109
feltételes s¶r¶ségfüggvénye
f (x | y) = ahol
g
az
η
f (x, y) /g (y) 0
ha ha
g (y) 6= 0 , g (y) = 0
(6.7)
s¶r¶ségfüggvénye, vagyis
Z g (y) $
f (u, y) du. R
Az
F (x | y) $ P (ξ < x | η = y) feltételes eloszlásfüggvény felírható x
Z
f (t | y) dt
F (x | y) = −∞
módon. Megjegyezzük, hogy ha
g (y) = 0,
akkor a számegyenesen minden
x-re f (x, y) = 0.
Vegyük észre,
hogy ha
g (y) $
g −1 (y) 0
ha ha
g (y) 6= 0 , g (y) = 0
akkor
f (x | y) = f (x, y) g (y) . Ha
A $ {ξ < x}
és
G
jelöli az
η
eloszlását, akkor
P (A ∩ {a ≤ η < b})
= P ({ξ < x} , {a ≤ η < b}) = Z bZ x = f (x, y) dxdy = a
Z
b
−∞ x
Z
f (x, y) g (y) g (y) dxdy =
= a
Z
−∞ bZ x
= a
Z
f (x, y) g (y) dxg (y) dy $
−∞ bZ x
f (x | y) dxg (y) dy =
$ a
Z
−∞ bZ x
f (x | y) dxdG (y) ,
= a
−∞
amib®l a (6.6) de niáló egyenlet alapján
Z
x
f (x | y) dx = P (ξ < x | η = y) $ F (x | y) . −∞
2
6.11 Példa. Legyen a
(ξ, η)
pár együttes s¶r¶ségfüggvénye
f (x, y) $ Számoljuk ki az
M (ξ | η = y)
és az
exp (−y) 0
ha egyébként
M (η | ξ = x)
0<x
.
regressziós függvényeket!
6.2. REGRESSZIÓS FÜGGVÉNY
110
Számoljuk ki a feltételes s¶r¶ségfüggvényeket!
Z
0
Z
Z
f (x) $
f (y | x)
=
M (ξ | η = y)
=
∞
f (x, y) dy = x
R
=
e−y dx = ye−y ,
f (x, y) dx = R
f (x | y)
y
Z
g (y) $
∞ e−y dy = −e−y x = e−x .
1 e−y f (x, y) = −y = , 0 < x < y, g (y) ye y f (x, y) e−y = −x = ex−y , 0 < x < y. h (x) e
Ekkor
Z y 1 x dx = xf (x | y) dx = y 0 R Z y 1 y xdx = , y 2 Z 0 Z ∞ yf (y | x) dy = yex−y dy = x R Z ∞ Z ∞ x −y x −y ∞ −y e ye dy = e −ye + e dy = x x x ex xe−x + e−x = x + 1. Z
= M (η | ξ = x)
= = =
Vegyük észre, hogy a bemutatott számolás csak az érvényes.
x > 0, illetve az y > 0 tartományokon x ≤ 0, illetve az y ≤ 0 tartományok
Ugyanakkor a feltételi változók eloszlásában az
nulla valószín¶ség¶ek.
Emlékeztetünk, hogy a regressziós függvény csak a feltétel eloszlásában
nulla valószín¶ség¶ halmaz erejéig meghatározott, vagyis az
x ≤ 0,
illetve az
regressziós függvény tetsz®leges lehet, így feltehetjük, hogy minden
x
y≤0
halmazokon a
esetén
M (η | ξ = x) = x + 1, de az
M (η | ξ = x) = (x + 1) χ (x > 0) függvény is megfelel®.
max (0, y) /2
Hasonlóan az
M (ξ | η = y) = η/2,
illetve az
M (ξ | η = y) = η + /2 $
egyenl®ség is érvényes. A látszólagos ellentmondás magyarázata, hogy a regresszív
feltételes valószín¶ség, illetve a várható érték miként említettük nem függvény, hanem függvényosztály ahol két függvény azonos osztályba esik, ha egy a feltétel szerint nulla valószín¶ség¶ halmaztól eltekintve megegyeznek.
2 M (ξ | η = y)
Miként a példa szövegében is már jeleztük az
függvényt a
ξ η
szerinti regressziós
y
elemére a de níció
függvényének mondjuk. De níció szerint
M (ξ | η = y) $ lim M (ξ | y − h ≤ η ≤ y + h) . h&0
Megjegyezzük, hogy ismételten lényegében az értelmes, vagyis az
η
η
értékészletének minden
értékészletének majdnem minden elemére az
{ω : y − h ≤ η (ω) ≤ y + h} közelít® események valószín¶sége pozitív és a
h
szerinti határérték létezik. Mivel ismét derivált
típusú kifejezésr®l van szó, ezért nem túl meglep®, hogy most is igaz az
Z M (ξχB )
=
Z ξχB dP =
Ω Z b
ξdP = B
M (ξ | η = y) dG (y)
= a
6.3. FELTÉTELES VÁRHATÓ ÉRTÉK
egyenl®ség, ahol
G
az
η
111
eloszlásfüggvénye és
B $ {ω : a ≤ η (ω) < b} ⊆ Ω. Megjegyezzük, hogy a regressziós függvény elnevezés indoka a következ®:
általában regresszív
Az y érték okozat, ω ∈ Ω kimenetel, amit a ξ és az η meg gyelésekor közvetlenül nem ismerünk. Az y = η (ω) érték az ω ok η összefüggés szerinti okozata. A regressziós függvényben az y okozatból próbálunk a ξ várható értékére visszakövetkeztetni. Ha ξ = χA , akkor a regressziós függvény okoskodáson az okozatból az okra való visszakövetkeztetést szokás érteni. ugyanis az ok, az
M (ξ | η = y) = M (χA | η = y) = P (A | η = y) , vagyis ilyenkor a regressziós függvény segítségével az
y okozatból próbálunk az ω ∈ A ok valószín¶ségére
visszakövetkeztetni.
6.3.
Feltételes várható érték
A feltételes valószín¶ség, illetve a feltételes várható érték általános de níciójában a feltétel nem egy
η
valószín¶ségi változó értékfelvétele, hanem egy
F
eseménytér. Ennek oka, hogy ha a feltételt
végtelen sok valószín¶ségi változó adja meg, akkor a derivált típusú szemlélet, amikor is a nulla valószín¶ség¶ eseményeket pozitív valószín¶ség¶ eseményekkel közelítjük, nem igazán m¶ködik. Természetesen a probléma az, hogy végtelen változóból álló feltételrendszer esetén mit tekintünk egy esemény jó közelítésének? Ilyenkor egyszer¶bb, ha a regressziós függvény helyett a feltételes várható értéket használjuk.
A feltételes várható érték értelmezési tartománya az
Ω
alaptér és
nem a feltételként adott változók értékkészlete, vagyis a feltételes várható érték nem regresszív objektum, vagyis nem az okozatokon, hanem magukat az okokat tartalmazó
Ω
absztrakt téren
értelmezett függvény. A kiinduló gondolat, hogy a feltételes valószín¶ség, illetve a feltételes várható
érték olyan függvényosztály, amely elemei kielégítik a teljes valószín¶ség, illetve a teljes várható
M (ξ | F) feltételes várható értéket szokás a ξ F szerinti becsléseként M (ξ | F) súlyok kiszámításakor csak olyan információkat tudunk használni, amelyeket az F feltétel tartalmaz. Ebb®l következ®en az M (ξ | F) feltételes várható értéket az F segítségével akarjuk leírni, vagyis a pontos matematikai 14 terminológiát használva megköveteljük, hogy az M (ξ | F) függvény F -mérhet® legyen . A pontos
érték tételét. Ugyanakkor az
interpretálni. Másképpen fogalmazva kézenfekv® feltenni, hogy az
de níció a következ®:
6.12 De níció. Legyen adva egy
F
eseménytér és egy
ξ
valószín¶ségi változó. A
re vonatkozó feltételes várható értékén az olyan minden
F ∈F
F -mérhet®
ξ
változó
M (ξ | F) módon jelölt F -
függvények családját értjük, amelyekre
esemény esetén teljesül az
Z
Z M (ξ | F) dP
ξdP = F
integrálegyenlet. Ha gr®l beszélünk, amit
(6.8)
F
ξ = χA , akkor az M (χA | F) feltételes várható érték helyett feltételes valószín¶séP (A | F) módon szokás jelölni.
6.13 Állítás. F feltételi eseménytér esetén M (ξ | F) feltételes várható érték. Speciálisan tetsz®leges A eseményre létezik a P (A | F) feltételes valószín¶ség. Az M (ξ | F) , illetve a P (A | F) függvényosztályokban szerepl® függvények nulla valószín¶ség¶ halmaz erejéig egyértelm¶en meghatározottak, vagyis ha az Ω téren értelmezett
Ha a
ξ
változónak létezik véges várható értéke, akkor tetsz®leges
létezik az
két függvény kielégíti a feltételes várható értékkel szemben támasztott követelményeket, akkor egy nulla valószín¶ség¶ halmaztól eltekintve megegyeznek
15 .
14 Az F feltétel szerinti mérhet®ség a de níció fontos eleme. 15 A valószín¶ségszámításban szokás azt mondani, hogy ha két bözik, akkor mint valószín¶ségi változók ekvivalensek.
függvény csak nulla valószín¶ség¶ halmazon külön-
6.3. FELTÉTELES VÁRHATÓ ÉRTÉK
112
A feltételi eseménytér esetén megadott de níció igen absztrakt. A de níciót a következ®képpen
F ∈F
szemléltethetjük: Tegyük fel, hogy az
Z
1 P (F )
F
esemény valószín¶sége pozitív. Ekkor
1 ξdP = P (F )
Z M (ξ | F) dP. F
M (ξ | F) átlagával az F halmazon. Átlag szintjén a két M (ξ | F) kevésbé pontos. Tegyük fel, hogy nagy felbontású fényképez®géppel készítettünk egy fényképet. A kép tekinthet® egy ξ valószín¶ségi változó-
Vagyis a
ξ átlaga az F
halmazon azonos az
változó azonos információt tartalmaz, de az
nak, amelyet bizonyos jelek sorozata kódol. Mivel a kép nagyon részletes, ezért weblapokon való felhasználása nagyon nehéz, ugyanis sok ideig tart a letöltése. Valamiképpen a képet tömöríteni akarjuk. A tömörítés információvesztéssel jár. Tegyük fel, hogy a még elégséges információk halmazát az
F
eseménytér írja le. Az
F
azokat az információkat tartalmazza, amelyeket a weblapról
ki akarunk a képr®l olvasni. A legegyszer¶bb tömörítési mód, ha bizonyos részleteket kiátlagolunk. Ha a kép valamelyik része nagyon sok piros és kevés fehér pontot tartalmaz, akkor a kevésbé részletes képen ezt a tartományt egyetlen piroshoz közeli ponttal helyettesítjük. Általában, a részletes képet a tömörített képen bizonyos tartományi átlagokkal helyettesítjük. Ha az eredeti képen az 1 mm-es részek is kivehet®k voltak, az új képen pedig csak a 10 cm-es részek vehet®k ki, akkor feltehet®leg az 1 cm-es területeket az ott lev® átlagos értékkel érdemes helyettesíteni. ezt az átlagban való helyettesítést adja meg a (6.8) egyenlet. A
F
Pontosan
által el®írt felbontás mellett az
új kép átlagban azonos a régi pontosabb képpel és ez az összes résztartományra igaz. Konkrét példákban az Tipikusan a
ξ
F
feltételt legtöbször bizonyos
(η α )α
változók meg gyelése határozza meg.
valamely sztochasztikus folyamat értéke egy
t
id®pontban és az
valószín¶ségi változók ennek a folyamatnak korábbi, már meg gyelt értékei.
(η α )α
feltételi
Mivel a folyamat
korábbi meg gyeléseinek száma végtelen, ezért a folyamat információs struktúráját a feltételes várható értékkel célszer¶ leírni.
Az
F
eseménytér ilyenkor tartalmazza azokat az eseményeket,
16 .
amelyek szükségesek ahhoz, hogy az összes korábbi meg gyelés valószín¶ségi változó legyen
6.14 Példa. Partíció által de niált feltétel szerinti feltételes várható érték. Ha a
Ha
ξ
F = {∅, Ω, A, Ac } , ahol P (A) > 0, Z 1 ξdP. M (ξ | F) = P (A) A
változónak van várható értéke és
(An )n
az
akkor az
A
Ω egy pozitív valószín¶ség¶ halmazokból álló, megszámlálható partíciója, F
halmazon
az
(An )n
események által meghatározott eseménytér, akkor
M (ξ | F) (ω) =
1 P (An )
Z ξdP = M (ξ | An ) ,
ω ∈ An ,
An
tehát
M (ξ) P (A)
∞ X
=
n=1 ∞ X
=
M (ξ | An ) P (An ) , P (A | An ) P (An ) ,
n=1 ahol értelemszer¶en, ha
B
egy pozitív valószín¶ség¶ halmaz, akkor
M (ξ | B) $ 16 Emlékeztetünk,
1 P (B)
Z ξdP, B
P (A | B) $
P (A ∩ B) . P (B)
hogy nem minden függvény valószín¶ségi változó, csak azok, amelyek lépcs®s függvények
határértékeként el®állíthatóak.
6.3. FELTÉTELES VÁRHATÓ ÉRTÉK
113
M (ξ | F)
Az említett szabályok indoklása a következ®: Mivel az feltételi eseményteret generáló
Z
A
és
Ac
Z
F -mérhet®,
ezért a
Z M (ξ | F) dP = M (ξ | F)
ξdP = A
függvény
halmazokon konstans, amib®l
A
dP = M (ξ | F) P (A) . A
F -mérhet®
Az általános esetben elég azt meggondolni, hogy minden
függvény az
An
generáló
halmazokon konstans.
2
6.15 De níció. Ha az
F
eseményteret egyetlen
les várható értéket
M (ξ | η)
η
változó lehetséges meg gyelései határozzák meg
17 , akkor a feltéte-
módon szokás jelölni.
Vegyük észre, hogy az
M (ξ | η) és az
M (ξ | η = y) jelölések bár hasonlóak, de nem azonosak.
Ω
az
alaptéren van értelmezve az
Az
M (ξ | η = y)
M (ξ | η) pedig az
az
y
η
értelmezési tartományán, vagyis
függvénye és az
η
értékkészletén van
értelmezve. A két fogalom szoros kapcsolatban van.
6.16 Állítás. η valószín¶ségi változó meg gyelése által meghatározott eseménytér, vagyis F az a legsz¶kebb η mérhet®18 , akkor az M (ξ | η) feltételes várható érték az η változónak az M (ξ | η = y) regressziós függvénybe való behelyettesítésével kapható, vagyis ha g (y) $ M (ξ | η = y) , akkor M (ξ | η) = g (η) .
Ha
F
az
eseménytér amelyre nézve az
A feltételes várható érték, illetve a feltételes valószín¶ség, sok szempontból hasonlít a közönséges
19 .
várható értékre, illetve valószín¶ségre
6.17 Állítás. (A feltételes várható érték tulajdonságai) A feltételes várható értékre teljesülnek a következ® összefüggések:
ξ M (ξ) .
1. Ha a
valószín¶ségi változó és az
F
feltételi eseménytér függetlenek, akkor
2. A feltételes várható érték monoton, vagyis ha
ξ ≤ η,
M (ξ | F) =
akkor
M (ξ | F) ≤ M (η | F) , speciálisan
0 ≤ P (A | F) ≤ 1. 3. Teljesül a kiemelési szabály, vagyis ha az
η
változó
F -mérhet®,
akkor
M (ηξ | F) = ηM (ξ | F) . Speciálisan tetsz®leges
a
konstansra
M (aξ | F) = aM (ξ | F) . 17 Vagyis az F az η −1 (B) ⊆ Ω alakú halmazok családja. 18 Vgyis miként az imént éppen F = A ⊆ Ω : A = η −1 (B) . 19 Feltesszük, hogy az állításban szerepl® objektumok értelmesek, értéke, így a feltételes várható értéke létezik.
vagyis például az összes változónak van várható
6.3. FELTÉTELES VÁRHATÓ ÉRTÉK
114
4. A feltételes várható érték additív, vagyis
M (ξ + η | F) = M (ξ | F) + M (η | F) . Speciálisan, ha
A
és
B
diszjunkt halmazok, akkor
P (A ∪ B | F) = P (A | F) + P (B | F) , A ⊆ B,
amib®l, ha
akkor
P (B \ A | F) = P (B | F) − P (A | F) . 5. Teljesül a teljes várható érték két tétele, vagyis ha
G ⊆ F,
akkor
M (M (ξ | F) | G) = M (ξ | G) . Speciálisan
M (M (ξ | F)) = M (ξ) , illetve ha
G ⊆ F,
akkor
M (M (ξ | G) | F) = M (ξ | G) . Emlékeztetünk, hogy a két szabályt torony szabályoknak is szokás mondani. 6. A feltételes várható értékre teljesül a monoton konvergencia tétele, vagyis ha
0 ≤ ξ n % ξ, akkor
0 ≤ M (ξ n | F) % M (ξ | F) . Speciálisan, ha
An % A,
akkor
P (An | F) % P (A | F) . Ha az
An
halmazok diszjunktak és
A = ∪n An ,
∞ X
akkor
P (An | F) = P (A | F) .
n=1 Az állításban szerepl® tulajdonságok pozitív valószín¶séggel rendelkez® partíciókból álló eseményterek esetén egyszer¶en ellen®rizhet®ek és igen ajánlatos, hogy az olvasó ezt meg is tegye. Az egyes tulajdonságok általános esetben való indoklása messze vezetne.
Ugyanakkor igen fontos, hogy az
olvasó ezeket a szabályokat jól megértse és alkalmazni tudja. A legfontosabb három szabály az
additivitás, a kiemelési szabál y illetve a teljes várható érték tétele i, másnéven a toronyszabályok. Az említett három alapvet® szabály intitív tartalma elég evidens. A becslés linearitása igen természetes megkötés. Gondoljunk csak arra, hogy ha egy összeg két tagját becsülni akarjuk, igen meglep®dnénk, ha a becslés nem lenne külön-külön elvégezhet® és az összeg becslése nem lenne a
20 . A kiemelési szabály bizonyos értelemben a linearitásban is szerepl® konstans
becslések összege
20 A
dolog annyira nyilvánvaló, hogy azok az esetek, amikor mégsem alkalmazható számos potenciális matematikai
hiba forrása. A sztochasztikus folyamatok elmélete tele van rejtett aknákkal. Ezen rejtett aknák legtöbbje a feltételes várható érték additivitásával függ össze.
A leírás pontatlanságából ered®en nem tisztáztuk pontosan,
hogy milyen körben értelmezzük a feltételes várható értéket. sincsen minden valószín¶ségi változónak.
M (ξ)−M (ξ) azonsság értelmetlen.
Ha valamely
ξ
Miként várható értéke, úgy feltételes várható értéke
változónak nincsen várható értéke akkor az
M (ξ − ξ) =
A bal oldali kifejezés értelmes, ugyanis nulla, a jobb oldali azonban nem, hiszen
két értelmetlen különbsége nem nulla, hanem értelmetlen.
Tessék az Excelben kipróbálni!
Az ilyen természet¶
problémák elkerülése céljából fel szokás tenni, hogy egy változónak csak akkor van feltétles várható értéke, ha van közönséges várható értéke.
Ilyenkor az additivitás minden további nélkül teljesül, ha feltesszük, hogy az
egyenl®ségben szerepl® kifejezések mindegyike értelmes.
6.3. FELTÉTELES VÁRHATÓ ÉRTÉK
115
kiemelésének általánosítása. Ha már ismerjük a szorzat egyik tagját, akkor a szorzat becslésében az ismert tagot konstansnak tekinthetjük.
Például, ha becsülni akarjuk az árbevétel alakulását
és már ismerjük az árat, akkor intuitíve világos, hogy csak az eladott termékek számát kell becsülni és a becsült eladási mennyiséget kell az ismert árral beszorozni. A tornyszabály szintén igen szemléletes megkötés: Valamely becslés végs® eredményét nem befolyásolják az irreleváns információk. Ha valamely gazdasági eseményt akarunk becsülni, felesleges gyelembe venni a csillagok állását.
A csillagok állása és a gazdasági változók meg gyelésének együttese pontosan annnyi
gazdasági információt tartalmaz, amennyit a gazdasági adatok tartalmaznak.
6.18 Példa. A függetlenségre vonatkozó szabály indoklása. Emlékeztetünk, hogy egy
ξ
nevezünk függetlennek, ha a
valószín¶ségi változót és egy
ξ
F ∈F 1 χF (ω) $ 0
és minden
esetén az
F F
eseményteret de níció szerint akkor halmaz
ω∈F ω∈ /F
ha ha
karakterisztikus függvénye mint valószín¶ségi változók függetlenek
21 . Független valószín¶ségi vál-
tozókra igaz a szorzatszabály, vagyis a két változó szorzatának várható értéke a várható értékek szorzata. Az
M (ξ)
konstans függvény
F ∈F
de níció szerint minden
F -mérhet®,
ugyanakkor a
Z
és az
F
függetlensége miatt
Z ξdP = M (χF ξ) = M (χF ) M (ξ) =
F így az
ξ
halmazra triviálian
M (ξ) dP. F
M (ξ) F -mérhet® függvény kielégíti a feltételes várható értéket de niáló (6.8) integrálegyenM (ξ) éppen az M (ξ | F) feltételes várható érték. 2
letet, tehát de níció szerint
6.19 Példa. Ha
F = {∅, Ω} ,
Valóban az
akkor
M (ξ | F) = M (ξ) .
F = {∅, Ω}
eseménytér független tetsz®leges
ξ
változótól.
De az indokláshoz erre
F -mérhet® és ha F = ∅, vagy F = Ω, akkor triviálisan teljesül a feltételes várható értéket de niáló (6.8) integrálegyenlet. Például Z Z ξdP $ M (ξ) = M (ξ) dP.
sincsen szükség, elég megjegyezni, hogy az
M (ξ)
Ω
konstans érték¶ függvény
Ω
2
6.20 Példa. Ha
ξ F -mérhet®
valószín¶ségi változó, akkor
M (ξ | F) = ξ.
Valóban a kiemelési szabály miatt
M (ξ | F) = ξ · M (1 | F) = ξ. 2
21 Az
már más kérdés, hogy mikor nevezünk két változót függetlennek: Ha az együttes eloszlásuk a peremeloszlá-
saik szorzataként írható fel.
7. fejezet
Függelék:Hasznossági függvény és martingálmérték viszonya Miként jeleztük a modern pénzügyi elmélet alapgondolata a termékek közötti redundancia, és az arbitrázsmentesség mellett a legfontosabb feltétel a teljesség, amely a redundaciát garantálja, vagyis amely feltétel garantálja, hogy a származtatott terméket kifejezzük az alaptermékek segítségével. Mi történik ha a piac nem teljes? Természetesen ha a piac arbitrázsmentes, akkor mindenképpen létezik martingálmérték, de a martingálmérték nem egyértelm¶.
Milyen kapcsolat van ilyenkor
a martingálmérték és az árak, illetve a piaci szerepl®k hasznossági függvényei között?
Máskép-
pen ha a piac nem teljes, akkor pusztán az arbitrázs hiányára hivatkozva nem tudjuk az árakat megmondani.
Ilyenkor szükségünk van a piaci szerepl®k hasznossági függvényeire és vissza kell
térni a hagyományos egyensúlyelméleti megközelítéshez. Hogyan kapcsolható össze a matematikai pénzügyek árazási modellje a mikroökonómia árazási modelljével?
Miként alább megmutatjuk
egyensúlyi állapotban a helyettesítési határráták éppen a mértékcsere során létrejött kockázatsemleges valószín¶ségi arányokkal írhatók le. A technikai bonyodalmak elkerülése céljából tegyük fel, hogy az id®paraméter diszkrét, és az eseménytér végesen generált, vagy ami ugyanaz az
S
eszközárfolyam valamilyen fával írható le. A
fának nem kell feltétlenül szabályosnak lenni, vagyis nem kell feltenni, hogy az egyes elágazások száma azonos legyen az eszközök számával. Például a hagyományos kötvény-részvény modell esetén a fa lehet három vagy akár száz elágazású is. Az egyszer¶bb jelölés céljából tegyük fel, hogy a diszkonttényez® éppen egy, így a különböz® id®pontokban keletkezett árfolyamnyereségeket össze lehet adni. Legyen fel, hogy az
u
u valamilyen befektet® hasznossági függvénye.
Az egyszer¶ség kedvéért tegyük
1 és a teljes számegyenesen értelmezett.
deriválható, konkáv, szigorúan monoton n®
A befektet® haszonmaximalizációs problémája a következ®:
MP (u(f )) → max, f = w0 +
T X
(7.1)
∆S (t) θ (t) .
t=1 Vagyis a feladat az, hogy adott
w0
id®szakon keresztül az
S -sel
id®szak végére maximum elérni .
Ter-
kezd®készletb®l kiindulva és
kereskedve átlagban mennyi hasznosságot tudunk a
T
T
2
mészetesen az átlagot a statisztikai, vagyis az objektív valószín¶ség mellett kell venni. Erre utal
1A
x≤y
feladat egyszer¶en általánosítható több részvényre is. és az
y
2 Hasonló
valamelyik koordinátája nagyobb, akkor
Ilyenkor az
u
monotonitása azt jelenti, hogy ha az
u (x) < u (y) .
modell írható fel folytonos id®horizonton is, de annak matematikai kezelése már igen nehéz.
ladatban ilyenkor az összeg helyett egy sztochasztikus integrál szerepel. árfolyamnyereségeit összeadjuk.
Ez pénzügyi szempontból hibás.
tegyük fel, hogy a diszkonttényez® éppen egy.
A fe-
Vegyük észre, hogy az egyes id®szakok
Ezt kiküszöbölend® az egyszer¶ség kedvéért
Amennyiben az olvasó nincsen evvel a megoldással megelégedve,
ön nanszírozó portfoliókkal is felírhatja a feladatot.
116
117
a
P
fels® index. Mivel az
u
szigorúan monoton n®, ezért a feladat ekvivalens az
MP (u(f )) → max, f ≤ w0 +
T X
∆S (t) θ (t)
t=1 feladattal, ugyanis az optimális megoldásban a feltételek mindig egyenl®ségre fognak teljesülni. Így az egyszer¶ség kedvéért az els® feladatban feltehetjük, hogy az egyenl®ség helyett egyenl®tlenség van. Els® lépésként belátjuk, hogy a fenti maximum probléma ekvivalens a
MP (u(f )) → max,
(7.2)
Q
M (f ) ≤ w0 , Q ∈ M problémával, ahol M $ M (S) jelöli az S martingálmértékeinek halmazát. Hangsúlyozni kell, hogy M a martingálmértékek és nem az ekvivalens martingálmértékek halmazát jelöli. Ha P jelöli a P-vel ekvivalens mértékek halmazát, akkor az ekvivalens martingálmértékek halmaza M ∩ P. A (7.2) feladat ismét könnyen interpretálható. Ha a diszkonttényez® azonosan egy, akkor a Q ∈ M mértékek a lehetséges árvektorok halmazával azonosíthatóak, ugyanis ilyenkor a Q (A) éppen a χA alakú T id®szaki ki zetés ára. Világos, hogy az ilyen jószágok árának ismerete alapján az Q összes f ki zetés ára is megadható és a ki zetés ára éppen M (f ) lesz. A feladat szerint meg kell keresni a maximális várható hasznosságot biztosító azon f fogyasztást, amelyre az összes lehetséges, számbajöhet® árvektor mellett a költségvetési korlát teljesülni fog. Érdemes azonban
Q (A) csak akkor tekinthet® árnak, T id®szaki χA ki zetés fedezhet®. Ha ezt implicite minden A esemény esetén elvárjuk, akkor Q (A) árként való interpretációjával implicite feltételezzük, hogy a piac teljes, mi pedig éppen a
ezen a ponton egy további megjegyzést tenni. Természetesen a ha a a
nem teljes esetet vizsgáljuk, így a (7.2) feladat említett interpretációja némi csúsztatást tartalmaz. Vegyük észre, hogy semmilyen a matematikai közgazdaságtanban szokatlan probléma nem merül fel. Mind a két feladat egy konkáv hasznossági függvény maximalizálása egy poliedrikus
3 halmaz
felett. A két feladat között az a különbség, hogy az els® feltételi halmazt a halmaz elemeivel, a
4
második feltételi halmazt a határoló félterek metszeteként írtuk fel . A nincsen arbitrázs feltétel szerint a
( K$
f |f =
T X
) ∆S (t) θ (t)
t=1
C legyen a K -ból a díjmentes C $ K − P. Mivel a feltevés szerint a valószín¶ségi modell véges sok kimenetet tartalmaz, ezért a P egy véges dimenziós tér nem negatív vektorainak halmaza, így egy véges kúp. A K egy lineáris altér, így a C és a K halmazok véges 5 kúpok, így a K és C zárt halmazt alkotnak . Nyilvánvaló, hogy a K ∩ P = {0} és a C ∩ P = {0}
altér csak az origóban metszi a nem negatív vektorok
P
halmazát.
lomtalanítás feltételével kapható ki zetések halmaza, vagyis
feltételek ekvivalensek. A nincsen arbitrázs duális formában való megfogalmazása a következ®:
7.1 Tétel. (Az eszközárazás alaptétele) Valamely
S
eszközök által de niált piacon pontosan akkor nem létezik arbitrázs, ha az
6
S
rendelkezik
ekvivalens martingálmértékkel .
3 Vagyis véges számú lineáris feltétel 4 A két feltételi halmaz nem azonos.
által de niált feladatról van szó. Mivel a feltételek szerint az
való maximalizálás ekvivalens az ugyancsak alább de niált
5 Megjegyezzük,
K
u
monoton n®, az alább de niált
C
halmazon
halmazon való maximalizálással.
hogy ezen a ponton er®sen kihasználtuk a valószín¶ségi mez® szerkezetére tett egyszer¶sít®
feltételeket. Az általános eset tárgyalásának nehézségei éppen a most tett észrevétel általában nem triviális voltából ered.
6 Vegyük
észre, hogy az úgynevezett DalangMortonWillinger tételt igazoljuk egy speciális esetben.
118
Bizonyítás: Az itt bemutatott bizonyítás a lehetséges bizonyítások közül talán a legegyszer¶bb és a véges kúpok közismert elméletére támaszkodik. Amennyiben az olvasót a matematikai bizonyítás nem érdekli, azt nyugodtan elhagyhatja. els® éves lineáris algebrára épül.
A bizonyítás egyedül érdekes része az, hogy standard
A tétel általánosításai azonban a modern funkcionálanalízis
kifejezetten nehéz részeit használják. A nehézségek azonban a folytonos id®horizont használatából
V
erednek. A bizonyításra rátérve, valamely
véges kúp esetén a szokásos módon jelölje
Vp
a
V
negatív polárisát, vagyis
V p $ {u | (u, v) ≤ 0, A nincsen arbitrázs feltétel szerint
C ∩ P = {0}. 7
Ha
ha
E
v ∈ V }.
jelöli az összes vektorok, vagyis az összes
valószín¶ségi változók, halmazát, akkor
p
p
E = {0} = (C ∩ P ) = C p + P p $ C p − P, ugyanis
P p = −P .
Mivel
0 ∈ P,
ezért a
tatjuk, hogy normalizálás után az hogy a
Cp
M
Cp
triviálisan tartalmaz egy
M
pozitív elemet. Megmu-
egy ekvivalens martingálmérték. Pontosabban megmutatjuk,
minden nem nulla eleme normalizálás után egy martingálmértéket de niál és fordítva
a martingálmértékek mindegyike eleme a
Cp
kúpnak. Ez utóbbi indoklása egyszer¶: Ha
Q
egy
martingálmérték és
f $k−z $
T X
∆S (t) θ (t) − z ∈ C
t=1 tetsz®leges, akkor a szokásos módon eljárva, felhasználva, hogy diszkrét id®horizonton az integrálható martingáltranszformációk valódi martingálok
Q
M (f ) $
Q
M
T X
! ∆S (t) θ (t) − z
Q
≤M
t=1
=
T X
T X
! ∆S (t) θ (t)
=
t=1
MQ MQ (∆S (t) | Ft ) θ (t) = 0,
t=1
Q ∈ C p. K altérre.
Q ∈ C p , akkor a Q mértéket megadó vektor nyilván mer®leges Q ≥ 0. Ha Q 6= 0, akkor a Q normalizálás után tekinthet® Nyilván minden F ∈ Ft−1 esetén a χF (S (t) − S (t − 1)) ∈ K, ezért Z S (t) − S (t − 1) dQ = 0,
így
Megfordítva, ha
a
Mivel
−P ⊆ C
valószín¶ségi mértéknek.
ezért
F amib®l a feltételes várható érték de níciója miatt valóban martingál a
Q
MQ (S (t) | Ft−1 ) = S (t − 1) ,
vagyis az
S
alatt.
2 A bizonyításból azonnal látszik a következ®:
7.2 Következmény.
p Ha nincsen arbitrázs, akkor con (M) = C . Ilyenkor az ekvivalens martingálmértékek M ∩ P p halmaza a C és a egységszimplex metszetének azon elemei, amelyek nem esnek a nem negatív
vektorok kúpjának határára. Nyilvánvalóan mivel
M ∩ P 6= ∅,
ezért
M = cl (M ∩ P) .
A (7.1) és (7.2) feladatok azonossága az el®z® dualitási tétel egyszer¶ következménye.
7.3 Tétel. A (7.1) és (7.2) feladatok ekvivalensek.
7 Emlékeztetünk,
hogy véges kúpok esetén
(K1 ∩ K2 )p = K1p + K2p .
119
Bizonyítás: A második feladat lehetséges megoldásainak halmaza éppen az
MQ (f − w0 ) ≤ 0, halmaz. Nyilvánvaló módon ez ekvivalens
(Q,f − w0 ) $
X
Q∈M
8 a
qk (fk − w0 ) ≤ 0,
Q ∈ con (M)
k feltétellel. Mivel az el®z® következmény miatt con(M) konvex kúp, ezért
C
pp
= C,
így
f − w0 ∈ C,
= C p,
f − w0 ∈ C pp . Mivel a C zárt f ∈ w0 + C, vagy ami ugyanaz
ezért
vagy ami ugyanaz,
f ≤ w0 +
T X
∆S (t) θ (t) .
t=1 Miként megjegyeztük az mindig
C
u
szigorú monotonitása miatt az optimumok szempontjából a
K
helyébe
írható, ezért a második feladat lehetséges megoldásai egyúttal az els®nek is lehetséges
megoldásai. A fordított irányú tartalmazás nyilvánvaló, ugyanis ha sorozat el®rejelezhet®
MQ
P
T t=1 ∆S (t) θ (t) = 0,
Q
Q
M (f ) ≤ w0 + M
T X
T
Q ∈ M, akkor mivel a (θ (t))t=1
következésképpen
! ∆S (t) θ (t)
= 0 = w0 .
t=1 Vagyis a
C -vel
de niált els® feladat minden lehetséges megoldása egyúttal lehetséges megoldása
a második feladatnak is és fordítva. Így mivel a célfüggvények azonosak a két feladat optimális
9
megoldása megegyezik . Hasonlóan látható be, hogy a két feladatnak csak egyszerre nem lehet optimális megoldása.
2 A haszonmaximalizációs feladat megoldását a Lagrange-multiplikátor módszer segítségével szeretnénk megadni. A feladat második megfogalmazása majdnem alkalmas a módszer alkalmazására, az egyetlen gond, hogy a feltételi halmazt de niáló egyenl®tlenségek száma végtelen. A Lagrangemultiplikátor módszer használatához vegyük észre, hogy az
Cp
M éppen a C p kúp és az egységszimplex M egy korlátos
metszete. Mivel a
C
poliéder, így az
az extremális pontjainak konvex kombinációja. Világos, hogy a második fela-
M
egy véges kúp, ezért a
polárisa is egy véges kúp, így az
datban elegend® ezekre az extremális pontokra megkövetelni az egyenl®tlenség teljesülését. Jelölje tehát
{Q1 , ...QM }
inti valószín¶ségeit
M extremális pontjainak halmazát. Jelöljük az egyes kimenetelek P szerpn -nel, a fenti {Q1 , ...QM } halmaz egy Qm vektorának elemeit pedig qnm -nel.
az
Ekkor a fenti (7.2) maximumprobléma Lagrange-függvénye
L(f1 , ...fN , η 1 , ...η M )
N P
M P
N P
qnm fn
pn u(fn ) − ηm − w0 = m=1 n=1 M N M η qm f P P P m n n + η m w0 . = pn u(fn ) − pn m=1 n=1 m=1 =
n=1
Vegyük észre, hogy mivel a feltételek lineárisak a célfüggvényhez tartozó szorzó választható nullától különböz®nek és mivel a célfüggvény konkáv ezért a feltételekhez tartozó együtthatókat negatívnak választottuk. Mivel a feltételi halmazok egyenl®tlenségek, ezért
η m ≥ 0.
Írjuk fel a feladatra a
KuhnTucker feltételeket! A Lagrange-multiplikátor módszer szerint alkalmas multiplikátorok esetén az
L feltétel nélküli maximuma éppen megegyezik az eredeti függvény feltételes maximumával. u értelmezési tartománya
A Lagrange-függvény stacionárius pontját felírva, felhasználva, hogy az nyílt, így a stacionárius pontban a derivált nulla
M η qm P ∂L m n = 0. = pn u0 (fbn ) − ∂fn m=1 pn 8 Véges dimenzióban a várható érték éppen a valószín¶ségi vektorral 9 A szigorú konkavitás miatt az optimális megoldás egyértelm¶.
való skaláris szorzat.
120
Mivel a feltétel szerint minden
n-re pn > 0,
ezért
u0 (fn ) = Vezessük be a következ® jelöléseket. Legyen
M η qm P m n . m=1 pn
y $ η 1 + ... + η M .
y = 0,
Ha
akkor az összes
ηm
is
nulla. Ilyenkor az optimum szempontjából a feltételek mindegyike irreleváns, vagyis a feltételes optimum megegyezik a globális optimummal. De az
10 , így az
nélküli optimum nem létezik
MP (u (f ))
az általánosság megszoritása nélkül feltehetjük, hogy valamint
Q$
M P
u
függvényre tett feltételek miatt a feltétel
függvénynek nincsen globális optimuma.
y > 0.
Így
µm $ η m \y , µ $ (µ1 , ...µM )
Legyen
µm Qm .
(7.3)
m=1 A de nícióból evidens, hogy így
Q $ (qn ) ∈ M.
Q
11 ,
éppen az extremális pontok egy alkalmas konvex kombinációja
Az optimum feltétele tehát
u0 (fn ) = y Vegyük észre, hogy a
qn /pn
hányados éppen a
qn . pn
dQ/dP
RadonNikodym derivált értéke az
n-edik
kimenetelen, így Lagrange-függvény stacionárius pontjára vonatkozó feltétel éppen
dQ . u0 fb = y dP u hasznossági függvény Q mértéket adja, amelyre a RadonNikodym derivált
Egyensúlyi állapotban a kereslet megegyezik a kínálattal. Ha a keresletet az generálja, akkor a mértékcsere éppen azt a
arányos a határhasznokkal. Ennek megfelel®en nem teljes piacon a hasznossági függvények egyértelm¶en kijelölik a martingálmértéket. Teljes piacon a hozzárendelés egyértelm¶, vagyis ilyenkor a martingálmérték egyértelm¶en meghatározza az optimális fogyasztói döntést, vagyis a keresletet. De általános esetben a martingálmértékek által hordozott információ az egyensúlyi árakra nézve nem bír releváns tartalommal. Az elmondottak azért lényegesek, mert a szokásos matematikai pénzügyi modellek azt sugalják, hogy a pénzügyi piacokon a származtatott termékek ára megmondható olyan kvázi-meg gyelhet® adatok alapján mint a volatilitás vagy a kamatláb. További félrevezet® momentum, hogy a martingálmértékr®l nem látszik közvetlenül, hogy szoros rokonságban van a klasszikus közgazdaságimatematikai elmélet duális változóival
12 . A pénzügyi irodalomban a mértékcserét olyan speciális
tételekkel mint a Girszanov-tétel szokás megadni.
Nem evidens azonban az, hogy ez a sajá-
tos megközelítés csak a folytonos id®horizont miatt szükséges, ugyanis folytonos id®horizonton a dualitás technikája jóval bonyolultabb, mint az általunk tárgyalt véges esetben.
Vagyis sokkal
inkább a matematikai háttér és eszköztár, mint a tényleges pénzügyi probléma miatt szükséges a tételre hivatkozni. Folytonos id®horizonton a technikai nehézségek elkerülése céljából érdemes egy speciális, ám félrevezet® kerül® utat választani.
A Girszanov-tétel használata azért félrevezet®,
mert egyrészt némiképpen misztikus, és ezért a problémát mélyebbnek tünteti fel, mint amilyen az valójában, másrészt azt sugalja, mintha a pénzügyi elmélet más lenne, mint a standard közgazdasági elmélet. A sokat hangoztatott tudományos áttörés, miszerint a drift tagnak a származtatott termékek árazásában nincsen szerepe éppen azt jelenti, hogy a kockázati preferenciák nem játszanak ilyenkor szerepet. Még annyira sem, hogy az egyébként meg gyelhet® alapterméki
13 . Döbbenetes tudományos
hozamoknak sincsen szerepe a származtatott termék árazása során
10 A monotonitás miatt a feltétel nélküli optimum végtelen. 11 A µ számok nem negatívak és az összegük egy. m 12 Lineáris programozás duális megoldása, Neuman-modell, lineáris tevékenységelemzés,
Lagrange-multiplikátorok
stb.
13 Tegyük
fel, hogy két alaptermék közül az egyik kétszer olyan gyorsan n® átlagban mint a másik. Ennek ellenére
a call opciójuk ára az elmélet szerint azonos, feltéve persze, hogy a volatilitásuk azonos. Ez azonban igen kétséges, rendkívül félrevezet® következtetés.
121
felfedezés! Hasonlóan mély mint az anyag kvantumos viselkedése. Nobel-díjat nekik! Ugyanakkor ez a következtetés nem a sokat hangsúlyozott nincsen arbitrázs feltétel következménye, hanem sokkal inkább a teljességet biztosító integrálreprezentációs tétel folyománya, és így er®sen modellspeci kus eredmény. Akárhogyan is van, az impicit üzenet világos, bár rendkívül veszélyes és hamis: A derivatív üzletek területén lehet kockázat nélkül kockázatot vállalni!
8. fejezet
Ellen®rz® feladatok Az alábbiakban néhány egyszer¶ feladatot és kérdést fogalmazunk meg. Wiener-folyamat, a
wH
A feladatokban a
w
frakcionális Wiener-folyamatot jelöl.
1. Mikor mondunk egy portfoliót ön nanszírozónak? Mikor van egy piacon arbitrázs? 2. Miért alapvet® jelent®ség¶ az integrálreprezentációs tétel? 3. Pénzügyi szempontból miért fontos a kvadratikus variáció? 4. Az
Z
2
t
Z
w (t) , sin w (t) , w (s) ds, 0 Z t wH (t) + t2 , wH (s) ds
t
t
Z sdw (s) ,
0
sin w (s) dw (s) , 0
0 folyamatok közül melyik martingál és melyik szemimartingál? Ha a folyamat szemimartingál, akkor adja meg a folyamat felbontását lokális martingálra és korlátos változású folyamatra! 5. Legyen
t M (t) $ exp w (t) − 2 a
w (t) Wiener-folyamathoz tartozó exponenciális martingál! dM = M dw egyenl®ség?
Teljesül-e az
dM = M dt, illetve
az
6. Igaz-e, hogy az
t M (t) $ exp w (t) − 2 folyamat martingál? Indokolja a választ! Milyen
a
és
b
paraméterek mellett lesz az
Ma,b (t) $ exp a · w (t) − folyamat martingál?
Mi a helyzet, ha az
a
b·t 2
paraméter tiszta imaginárius komplex szám?
Próbáljuk meg általánosítani a feladatot Lévy-folyamatokra? Lévy-folyamat esetén mit kell írni a
bt/2
tag helyébe? Mi a helyzet valós és mi a helyzet tiszta imaginárius
a
paraméter
esetén? 7. Adja meg az Itô-integrál konstrukcióját! Mutassa meg, hogy az integrál értéke ekvivalens mértékcsere esetén nem függ az alapul vett mértékt®l. 8. Hasonlítsa össze az Itô-formulát Wiener-folyamat és frakcionális Wiener-folyamat esetén!
122
123
9. Mutassuk meg, hogy ha az változásúak, akkor az
M
M
egy folytonos lokális martingál és az
M
trajektóriái korlátos
trajektóriái konstansok.
10. Mikor mondunk egy sztochasztikus folyamatot martingálnak? Mit tudunk a folytonos martingálok kvadratikus variációjáról és teljes megváltozásáról?
Mit tudunk mondani ha a
folyamat nem folytonos? 11. Bizonyítsuk be, hogy ha az
M
folytonos lokális martingál, akkor az
M 2 − hM i
is lokális
martingál! 12. Számolja ki az 13. Számolja ki az 14. Számolja ki az 15. Számolja ki az 16. Számolja ki az 17. Számolja ki az
R1 0
R1 0
R1 0
R1 0
exp (s) dw (s) sin sdw (s)
integrál szórását!
w (s) dw (s) w2 (s) ds
integrál eloszlását!
integrál szórását!
integrál várható értékét!
M (cos w (t))
M (hsin wi (t)) függvényeket!
2 M (hwi (t)) , M (hwi) (t) és az M w2 (t) függvényeket!
18. Indokolja, hogy ha a
és az
ξ
és az
η
függetlenek, akkor
M (ξ | η) = M (ξ)!
19. Indokolja a feltételes várható értékre vonatkozó toronyszabályt!. 20. Indokolja a feltételes várható értékre vonatkozó kiemelési szabályt!
ξ és az η egyenletes eloszlású M (ξ | η = y) regressziós függvényt!
21. Legyen a
22. Legyen
X (t) $ π (t) − λt
az
x2 + y 2 ≤ 1
egységkörön.
Számolja ki az
az úgynevezett kompenzált Poisson-folyamat. Számolja ki az
X
teljes megváltozását, illetve a kvadratikus variációját! 23. Számolja ki a
t2 , sin t, exp (t)
24. Számolja ki a
w2 , sin w, exp (w)
folyamatok kvadratikus variációját!
25. Számolja ki a
w2 , sin w, exp (w)
folyamatok teljes megváltozását!
2
dw2 = dt, illetve a (dw) = dt formula? Legyen S 2 (dS) = d hSi , illetve a d S 2 = d hSi formula?
26. Igaz-e a igaz a
folyamatok teljes megváltozását!
folytonos lokális martingál. Mikor
27. Milyen kapcsolat van az elemi analízisben tárgyalt parciális integrálási formula és az általunk tárgyalt parciális integrálási formula között?
Tárgymutató absztrakt helyettesítés formulája, 33, 75
kompenzátor, 15, 56, 61
arbitrázs, 3, 89
korlátos változású függvény, 27, 34
duplázási stratégia, 9 asszociativitási szabály, 35, 49
korrelálatlanság, 18 kvadratikus keresztvariáció, 52 kvadratikus variáció, 3, 40
BlackScholes egyenlet, 62 bolyongás, 16
Lagrange-féle középérték-tétel, 31 Lévy-folyamatok, 14
Dinkin-operátor, 62
bolyongás, 16
drift, 77
karakterisztika, 15 lineáris trend, 14
eloszlás exponenciális, 16 lognormális, 35, 61, 67, 69
spektrum, 15 limesz inferior, 7
Poisson, 16 sztochasztikus folyamat, 73 eloszlásfüggvény, 35 eszközárazás alaptétele, 4 exponenciális martingál, 22 fehér zaj, 11 ltráció, 19 folyamat Gauss, 6
szuperior, 7 lognormális eloszlás várható érték, 35, 61, 67, 69 lokális martingál, 4, 23 lokalizáció, 25 Markov-folyamat, 16 Markov-lánc, 16 martingál, 19 egyenletesen integrálható, 24, 25
Lévy, 14
exponenciális, 22
Markov, 16, 17
lokális, 23
martingál, 19 Poisson, 14 Wiener, 14 frakcionális Wiener-folyamat, 98 függetlenség, 18 függvény variációja, 34 Gauss-folyamat, 6 integrálreprezentáció, 81, 89 integrandus, 27 integrátor, 27 iterált logaritmusok tétele, 7 Itô-diúzió, 52
martingáldierencia, 21, 22 megállási id®, 23 megállási opciókról szóló tétel, 23, 24 megállított változó, 24 mérhet® függvény, 103 mértékcsere, 70 ekvivalens, 78 monoton konvergencia tétel, 104 négyzetes megváltozás, 3 NewtonLeibniz-szabály, 107 NewtonLeibniz-szabály, 3 növekmények független, 6
Itô-formula, 3, 4, 54 jobbról folytonos trajektóriák, 14 karakterisztikus függvény, 19 kockázatsemleges valószín¶ség, 4
stacionárius, 6 ön nanszírozó portfolió, 85 parciális integrálás, 85
124
TÁRGYMUTATÓ
Poisson-folyamat, 12 Quanto, 95 RadonNikodym-derivált, 77 realizáció, 5 Stieltjes-integrál, 32 s¶r¶ségfüggvény, 35, 70 szemimartingál, 4, 51 sztochasztikus dierenciálegyenlet, 60 sztochasztikus folyamat, 5 folytonos, 5 Gauss, 6 Lévy, 14 Markov, 17 Poisson, 12 Wiener, 5 sztochasztikus integrál, 4 sztochasztikus Stieltjes-integrál, 38 Taylor-formula, 55 teljes megváltozás, 34 trajektória, 5 valószín¶ségi mérték, 70 Wiener-folyamat, 5, 39 frakcionális, 98 nem deriválható, 10 nem korlátos, 8 trajektóriáinak megfordítása, 9
125
Irodalomjegyzék [1] [2] [3]
126
