Element´arn´ı matematika - v´ybˇer a vypracov´an´ı u´loh ze sb´ırky ˇ AVAN ´ ´ VYSTUPY ´ OCEK E V RVP ZV ˇ ´ Z MATEMATIKY VE SVETLE TESTOVYCH ´ ULOH Martin Ber´anek 21. dubna 2014
1
Obsah 1 Pˇ redmluva
4
ˇ ak zd˚ 2 Z´ uvodˇ nuje a vyuˇ z´ıv´ a polohov´ e a metrick´ e vlastnosti z´ akladn´ıch rovinn´ ych u ´ tvar˚ u pˇ ri ˇ reˇ sen´ı u ´ loh a jednoduch´ ych probl´ em˚ u; vyuˇ z´ıv´ a potˇ rebnou matematickou symboliku 4 2.1 Strom - u ´loha 4 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 4 ˇ ak charakterizuje a tˇ 3 Z´ r´ıd´ı z´ akladn´ı rovinn´ eu ´ tvary ´ 3.1 Utvary -u ´loha 1 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
5 5
ˇ ak urˇ 4 Z´ cuje velikosti u ´ hlu mˇ eˇ ren´ım a v´ ypoˇ ctem 4.1 Vnitˇrn´ı u ´hly - u ´loha 5 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
7 7
ˇ ak naˇ 5 Z´ crtne a sestroj´ı rovinn´ eu ´ tvary. 5.1 Rovnostrann´ y troj´ uheln´ık - u ´loha 2 . . . . . . . . . . . . . . . . .
7 7
ˇ ak odhaduje a vypoˇ 6 Z´ c´ıt´ av´ a obsah a obvod z´ akladn´ıch rovinn´ ych u ´ tvar˚ u 8 6.1 Obsah u ´tvar˚ u-u ´loha 1 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 8 ˇ ak vyuˇ 7 Z´ z´ıv´ a pojem mnoˇ zina vˇ sech bod˚ u dan´ e vlastnosti k charakteristice u ´ tvaru a k ˇ reˇ sen´ı polohov´ ych a nepolohov´ ych konstrukˇ cn´ıch u ´ loh 9 7.1 Stˇred kruˇznice - u ´loha 8 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 9 8 Uˇ z´ıv´ a k argumentaci a pˇ ri v´ ypoˇ ctech vˇ ety o shodnosti a podobnosti troj´ uheln´ık˚ u 9 ´ 8.1 Uhly -u ´loha 3 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 9 ˇ ak naˇ 9 Z´ crtne a sestroj´ı obraz rovinn´ eho u ´ tvaru ve stˇ redov´ e a osov´ e soumˇ ernosti, urˇ c´ı osovˇ e a stˇ redovˇ e soumˇ ern´ yu ´ tvar 10 9.1 Soumˇernost - u ´loha 7 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 10 ˇ ak urˇ 10 Z´ cuje a charakterizuje z´ akladn´ı prostorov´ eu ´ tvary (tˇ elesa), analyzuje jejich vlastnosti 10 10.1 Vlastnosti krychle - u ´loha 2 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 10 ˇ ak odhaduje a vypoˇ 11 Z´ c´ıt´ av´ a objem a povrch tˇ eles 11 11.1 Krabice ml´eka - u ´loha 3 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 11 ˇ ak naˇ 12 Z´ crtne a sestroj´ı s´ıtˇ e z´ akladn´ıch tˇ eles 12 12.1 S´ıt’ tˇeles - u ´loha 1 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 12 ˇ ak naˇ 13 Z´ crtne a sestroj´ı obraz jednoduch´ ych tˇ eles v rovinˇ e 13 13.1 H´ azec´ı kostka - u ´loha 1 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 13 ˇ ak analyzuje a ˇ 14 Z´ reˇ s´ı aplikaˇ cn´ı geometrick´ e u ´ lohy s vyuˇ zit´ım osvojen´ eho matematick´ eho apar´ atu 13 14.1 Lanovka - u ´loha 5 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 13
2
ˇ ak ˇ 15 Z´ reˇ s´ı u ´ lohy na prostorovou pˇ redstavivost, aplikuje a kombinuje poznatky a dovednosti z r˚ uzn´ ych tematick´ ych a vzdˇ el´ avac´ıch oblast´ı 14 15.1 Stˇrecha - u ´loha 9 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 14 16 Zdroje
15
17 GNUˇ skola
15
3
1
Pˇ redmluva
Dokument vznikl jako z´ apoˇctov´ y dom´ac´ı u ´kol z pˇredmˇetu Element´arn´ı matematika 2 na PEDF UK. Je urˇcen k revizi cviˇcen´ı zamˇeˇren´ ych na druh´ y stupeˇ n ´ z´ akladn´ı ˇskoly [2]. Ulohy jsou vypracov´any v nˇekolika kroc´ıch implikuj´ıc´ıch ˇreˇsen´ı. Ze sb´ırky byly vybr´ any u ´lohy, kter´e pokr´ yvaj´ı nˇekolik t´emat tak, aby tvoˇrily uk´ azku moˇzn´eho pr˚ uˇrezu v´ yuky na z´akladn´ı ˇskole.
2
2.1
ˇ ak zd˚ Z´ uvodˇ nuje a vyuˇ z´ıv´ a polohov´ e a metrick´ e vlastnosti z´ akladn´ıch rovinn´ ych u ´ tvar˚ u pˇ ri ˇ reˇ sen´ı u ´ loh a jednoduch´ ych probl´ em˚ u; vyuˇ z´ıv´ a potˇ rebnou matematickou symboliku Strom - u ´ loha 4
U tohoto pˇr´ıkladu je nutn´e, aby student ch´apal v´ yznam Pythagorovy vˇety, tedy c2 = a2 + b2 s t´ım, ˇze c je pˇrepona, a a b jsou strany. Rovnost z´avis´ı na faktu, ˇze mezi stranami je 90◦ . Nav´ıc n´ am m˚ uˇze poradit pomˇer, kter´ y je nanesen´ y na vedlejˇs´ım obr´azku. ´ Uhel, kter´ y sv´ır´ a z´ akladna a pˇrepona, je st´ale stejn´ y. Takˇze m˚ uˇzeme √ vyn´asobit 5 = 10, tedy 10 ∗ c, kde c = a2 + b2 po c z v´ ypoˇctu pomˇerem z´ıskan´ ym z 0.5 dosazen´ı c = sqrt12 + 0, 52 = 1, 11803 a ten vyn´asob´ıme 10∗1, 11803 = 11, 1803. Ted’ uˇz v´ıme a pˇrepona, podstavap je 5 m, takˇze znovu dosad´ıme do √ jak je velk´ vzorce a = −b2 + c2 . Znovu dosad´ıme a = −52 + 11, 8032 = 10.69
4
ˇ ak charakterizuje a tˇ Z´ r´ıd´ı z´ akladn´ı rovinn´ eu ´ tvary
3 3.1
´ Utvary -u ´ loha 1
1. Pravo´ uhl´ y troj´ uheln´ık H 2. Kosod´eln´ık - B 3. Pravo´ uhl´ y lichobˇeˇzn´ık - E 4. Rovnostrann´ y troj´ uheln´ık - A 5
5. R˚ uznobˇeˇzn´ık - C 6. Pravideln´ y ˇsesti´ uheln´ık - J 7. Kruˇznice - F ˇ 8. Ctverec -G 9. Lichobˇeˇzn´ık - I 10. Pravideln´ y osmi´ uheln´ık - K 11. Tupo´ uhl´ y troj´ uheln´ık - D Student mus´ı dostat od vyuˇcuj´ıc´ıho moˇznost nal´ezt nˇejakou tabulku pokr´ yvaj´ıc´ı problematiku pojmenov´ an´ı obrazc˚ u a tu pak m˚ uˇze vyuˇz´ıt. Opakovan´ ym pr˚ uchodem tabulky se m˚ uˇze nauˇcit nejpouˇz´ıvanˇejˇs´ı tvary. Zp˚ usob vyhled´an´ı tabulky je zcela v rukou student˚ u, jedin´ ym krit´eriem je pravost u ´daj˚ u v tabulce.
Obr´ azek 1: Tabulka rovinn´ ych obrazc˚ u ilustraˇcnˇe pˇrevzat´a z kovo-vyroba.sk [3]
6
4 4.1
ˇ ak urˇ Z´ cuje velikosti u ´ hlu mˇ eˇ ren´ım a v´ ypoˇ ctem Vnitˇ rn´ı u ´ hly - u ´ loha 5
Student by mˇel vˇedˇet, ˇze cel´ yu ´hel m´a 360◦ , jeho polovinou je 180◦ . Podle toho uˇz by mˇel b´ yt schopn´ y vypoˇc´ıst cel´ y pˇr´ıklad. ´ Uhel γ je tedy roven 60◦ , u ´hel β je stejn´ y jako u ´hel pod α, tedy 70◦ . Podle tabulky n´ıˇze mohou studenti vyˇc´ıst, ˇze souˇcet vnitˇrn´ıch u ´hl˚ u troj´ uheln´ıku je 180◦ . Ted’ uˇz je jasn´e, ˇze α je rovna 50◦ .
5 5.1
ˇ ak naˇ Z´ crtne a sestroj´ı rovinn´ eu ´ tvary. Rovnostrann´ y troj´ uheln´ık - u ´ loha 2
Studentovi by mˇelo b´ yt vysvˇetleno jak´ y je v´ yznam konstrukˇcn´ıho ˇreˇsen´ı nez´ avisl´eho uˇzit´e rovinˇe. Tak´e jak by vypadal sestrojen´ y rovinn´ yu ´tvar pˇri zmˇenˇe vˇetˇs´ı/menˇs´ı. Nemˇelo by se ani vynechat, jak´ ym zp˚ usobem je definov´ana rovina a kolik rozmˇer˚ u m´ a.
7
Konstrukce je vyhotovena na z´akladˇe vlastnost´ı kruˇznice s pˇrid´an´ım os u ´seˇcek pro vyhotoven´ı roviny.
6 6.1
ˇ ak odhaduje a vypoˇ Z´ c´ıt´ av´ a obsah a obvod z´ akladn´ıch rovinn´ ych u ´ tvar˚ u Obsah u ´ tvar˚ u-u ´ loha 1
8
Student je schopen intuitivnˇe obrazce seˇradit. Pokud tak udˇel´a, mˇel by b´ yt nucen svoj´ı intuici vysvˇetlit. Pro kaˇzd´ y obrazec plat´ı jeho vzorce, kter´e se daj´ı pouˇz´ıt. M˚ uˇze to b´ yt n´ asleduj´ıc´ı krok pˇri vypracov´an´ı u ´lohy. E>F =H>G>A>D>C=B
7
7.1
ˇ ak vyuˇ Z´ z´ıv´ a pojem mnoˇ zina vˇ sech bod˚ u dan´ e vlastnosti k charakteristice u ´ tvaru a k ˇ reˇ sen´ı polohov´ ych a nepolohov´ ych konstrukˇ cn´ıch u ´ loh Stˇ red kruˇ znice - u ´ loha 8
Student by mˇel b´ yt sezn´ amen s geometrick´ ym vyj´adˇren´ım opsan´e kruˇznice. Jej´ı n´ akres se vytv´ aˇr´ı z pr˚ useˇc´ıku os stran, tedy spr´avn´a odpovˇed’ je B.
8 8.1
Uˇ z´ıv´ a k argumentaci a pˇ ri v´ ypoˇ ctech vˇ ety o shodnosti a podobnosti troj´ uheln´ık˚ u ´ Uhly -u ´ loha 3
Student by mˇel b´ yt upozornˇen na obecn´ y vzorec pro v´ ypoˇcet vnitˇrn´ıch u ´hl˚ u, kter´ y je Π∗(n−2) pro radi´ any, tedy 180◦ ∗(n−2). Velikost vnitˇrn´ıho u ´hly, pokud je u ´tvar pravideln´ y, z´ aleˇz´ı na pomˇeru ku celkov´emu souˇctu vnitˇrn´ıch u ´hl˚ u, takˇze je m˚ uˇzeme jednoduˇse podˇelit. 3 60◦ 180◦
4 90◦ 360◦
5 108◦ 540◦
6 120◦ 720◦
7 128◦ 900◦
8 135◦ 1080◦
Tabulka 1: Vyplnˇen´a tabulka u ´hl˚ u obrazc˚ u
9
ˇ ak naˇ Z´ crtne a sestroj´ı obraz rovinn´ eho u ´ tvaru ve stˇ redov´ e a osov´ e soumˇ ernosti, urˇ c´ı osovˇ ea stˇ redovˇ e soumˇ ern´ yu ´ tvar
9
9.1
Soumˇ ernost - u ´ loha 7
T, U, V, A
E, C, D, K
S, Z, N
F, R, P, L
Tabulka 2: Vyplnˇen´a tabulka soumˇernosti
10
10.1
ˇ ak urˇ Z´ cuje a charakterizuje z´ akladn´ı prostorov´ e u ´ tvary (tˇ elesa), analyzuje jejich vlastnosti Vlastnosti krychle - u ´ loha 2
Studentovi by mˇel b´ yt nast´ınˇen tvar krychle, kter´ y je po vˇsech str´ank´ach pravideln´ y. 1. Ano 2. Ano 3. Ano 10
4. Ano - ale z´ aleˇz´ı na rovinˇe 5. Ano - ale z´ aleˇz´ı na rovinˇe
11 11.1
ˇ ak odhaduje a vypoˇ Z´ c´ıt´ av´ a objem a povrch tˇ eles Krabice ml´ eka - u ´ loha 3
Student by mˇel b´ yt upozornˇen, ˇze obsah jednoho litru vody je roven 1dm3 . Staˇc´ı tedy vypoˇc´ıtat rozd´ıl obou rozmˇer˚ u. 65 ∗ 95 ∗ 165 = 1018875mm3 = 1018875 ∗ 10−6 dm3 z toho tedy 1018875 ∗ 10−3 − 1 ∗ 103 = 18, 875cm3
11
12 12.1
ˇ ak naˇ Z´ crtne a sestroj´ı s´ıtˇ e z´ akladn´ıch tˇ eles S´ıt’ tˇ eles - u ´ loha 1
Studentovi by mˇelo b´ yt uk´az´ano kolik kombinac´ı m´a spojit´a oblast stavby krychle. Potom se d´ a rozeb´ırat pˇr´ıklad samotn´ y. Kontroln´ı souˇcet by mohl pro studenty b´ yt poˇcet moˇzn´ ych stran krychle. • 1.1 - ANO • 1.2 - ANO • 1.3 - ANO • 1.4 - NE - horn´ı prav´ a pˇrekryje doln´ı pˇredposledn´ı • 1.5 - ANO • 1.6 - NE - doln´ı pˇrekryje levou krajn´ı
12
13 13.1
ˇ ak naˇ Z´ crtne a sestroj´ı obraz jednoduch´ ych tˇ eles v rovinˇ e H´ azec´ı kostka - u ´ loha 1
Student by se mˇel drˇzet kontroln´ıho souˇctu v podobˇe souˇctu dvou protˇejˇs´ıch stran. V r´ amci jednoduchosti zkus´ıme rozkreslit kostku na s´ıt’ovou plochu:
14
14.1
ˇ ak analyzuje a ˇ Z´ reˇ s´ı aplikaˇ cn´ı geometrick´ e u ´ lohy s vyuˇ zit´ım osvojen´ eho matematick´ eho apar´ atu Lanovka - u ´ loha 5
13
Student by mˇel b´ yt upozornˇen na to, co je doopravdy nadmoˇrsk´a v´ yˇska a jak se s n´ı poˇc´ıt´ a. Tak´e jak´ y vliv m´a zakˇriven´ı zemˇe na cel´ y v´ ypoˇcet. Pro jednoduchost si soustavu pˇrevedeme tak, ˇze bod D je ve v´ yˇsce 0 vzhledem k soustavˇe pozorovatele, proto H je ve v´ yˇsce 460 m. Ted’ je d˚ uleˇzit´e dobˇre pˇrev´est mˇeˇr´ıtko 1:25000, tedy pro 4cm 4 ∗ 25000 = 100000cm, tedy 1000m. √ 2 2 p Pro zjiˇstˇen´ı pˇrepony pouˇzijeme Pythagorovu vˇetu: c = a + b tedy c = (460)2 + (1000)2 = 605800. Sklon lanovky se d´ a vypoˇc´ıtat jako u ´hel u H. M˚ uˇzeme dopoˇc´ıtat u ´hel sinD = 460 ◦ ◦ = 0, 0008 tedy dopoˇ c et na u ´ hel H 179, 99 605800
15
15.1
ˇ ak ˇ Z´ reˇ s´ı u ´ lohy na prostorovou pˇ redstavivost, aplikuje a kombinuje poznatky a dovednosti z r˚ uzn´ ych tematick´ ych a vzdˇ el´ avac´ıch oblast´ı Stˇ recha - u ´ loha 9
Podle u ´daje o 45◦ m˚ uˇze student pochopit, ˇze na velkou ˇc´ast pˇr´ıkladu se d´a pouˇz´ıt Pythagorova vˇeta. N´ aslednˇe je dobr´e vˇedˇet vztah pro cosα = cb z toho b vyj´ adˇr´ıme c, tedy c = sinα . M˚ uˇzeme pouˇz´ıt znalost, ˇze osou strany podstavy rovnoramenn´eho troj´ uheln´ıky je osa proch´ azej´ıc´ı stˇredem a bode vrcholu, tedy v´ıme, ˇze podstavu m˚ uˇzeme pro a vydˇelit dvˇema a z´ ıskat tak a do vzorce. √ 3 2 ted’ uˇz m˚ uˇzeme dopoˇc´ıst v´ yˇsku podle Pythagorovi vˇety c = cos(45 ◦) = 3 q √ v = −(3)2 + (3 2)2 = 9m. V´ yˇska h odpov´ıd´ a√tedy 8 − 3 − 3 = 2m. Obsah troj´ uheln´ıka se d´a vypoˇc´ıst ze znalost´ ı strany c = 3 2 kv˚ u li vlastnostem rovnoramenn´ eho troj´ uheln´ıka, tedy √ 3 2 ∗ 6/2 = 27. Lehce si m˚ uˇzeme dopomoci k obsahu lichobˇeˇzn´ıka a to tak, ˇze vezmeme troj´ uheln´ıka dvakr´at a pˇriˇcteme zbytek, coˇz je h ∗ c. √ polovinu√obsahu √ 3 2 ∗ 6 + 2 ∗ 3 2 = 24 2 √ Celkov´ a plocha je tedy souˇctem tˇechto obrazc˚ u 2 ∗ 24 2 + 2 ∗ 27 = 121, 88. Pro objem staˇc´ı zn´ at, ˇze objem jehlanu je 31 a2 v tedy 13 ∗ 6 ∗ 9 = 18. My ale potˇrebujeme jen p˚ ulku, tedy 9. To pˇriˇcteme k obsahu 9 ∗ 23 ∗ 2 = 27 ze zbytku. Tedy z´ısk´ av´ ame 45. Obr´ azek naznaˇcuj´ıc´ı s´ıt’ stˇrechy by mohl vypadat n´asledovnˇe:
14
16
Zdroje
´ R, ˇ Jiˇr´ı. Oˇcek´ [1]CIHLA avan´e v´ ystupy v RVP ZV z matematiky ve svˇetle tes´ tov´ ych u ´loh [online]. 1. vyd. Praha: Ustav pro informace ve vzdˇel´av´an´ı - Divize nakladatelstv´ı Tauris, 2007, 109 s. [cit. 2014-04-19]. ISBN 978-80-211-05447. Dostupn´e z: http://info.edu.cz/cs/system/files/cekavane_vystupy_ v_RVP_ZV_z_Ma.pdf [3]Kovovyroba.sk. [online]. [cit. 2014-04-19]. Dostupn´e z: http://kovo-vyroba. sk/upload/product/HNrhWRxyxzhupzAE.jpg
17
GNUˇ skola
Tento materi´ al je vytvoˇren pomoc´ı svobodn´eho software v r´ amci projektu Gnuskola.cz 15
