Element´arn´ı matematika - v´ybˇer a vypracov´an´ı u´loh ze sb´ırky ˇ AVAN ´ ´ VYSTUPY ´ OCEK E V RVP ZV ˇ ´ Z MATEMATIKY VE SVETLE TESTOVYCH ´ ULOH Martin Ber´anek 19. dubna 2014
1
Obsah 1 Pˇ redmluva
4
ˇ ak prov´ 2 Z´ ad´ı poˇ cetn´ı operace v oboru cel´ ych a racion´ aln´ıch ˇ c´ısel; uˇ z´ıv´ a ve v´ ypoˇ ctech druhou mocninu a odmocninu 4 2.1 Algebrogramy - u ´loha vyjat´a z jin´e sb´ırky pro zaj´ımavost [1] . . . 4 2.2 Z´ avorky - u ´loha 2 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 5 ˇ ak zaokrouhluje a prov´ 3 Z´ ad´ı odhady s danou pˇ resnost´ı, u ´ˇ celnˇ e vyuˇ z´ıv´ a kalkul´ ator 5 3.1 Pˇrep´ aˇzky - u ´loha 3 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 5 ˇ ak modeluje a ˇ 4 Z´ reˇ s´ı situace s vyuˇ zit´ım dˇ elitelnosti v oboru pˇ rirozen´ ych ˇ c´ısel 6 4.1 Mince - u ´loha 1 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 6 ˇ ak ˇ 5 Z´ reˇ s´ı aplikaˇ cn´ı u ´ lohy na procenta (i pro pˇ r´ıpad, ˇ ze procentov´ aˇ c´ ast je vˇ etˇ s´ı neˇ z celek) 6 5.1 Spoleˇcnost - u ´loha 8 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 6 ˇ ak analyzuje a ˇ 6 Z´ reˇ s´ı jednoduch´ e probl´ emy, modeluje konkr´ etn´ı situace, v nichˇ z vyuˇ z´ıv´ a matematick´ y apar´ at v oboru cel´ ych a racion´ aln´ıch ˇ c´ısel 7 6.1 V´ alec - u ´loha 4 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 7 ˇ ak urˇ 7 Z´ cuje vztah pˇ r´ım´ e anebo nepˇ r´ım´ eu ´ mˇ ernosti 7.1 J´ ama - u ´loha 4 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
7 7
ˇ ak urˇ 8 Z´ cuje vztah pˇ r´ım´ e anebo nepˇ r´ım´ eu ´ mˇ ernosti 8.1 Teplota - u ´loha 5 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
8 8
ˇ ak zd˚ 9 Z´ uvodˇ nuje a vyuˇ z´ıv´ a polohov´ e a metrick´ e vlastnosti z´ akladn´ıch rovinn´ ych u ´ tvar˚ u pˇ ri ˇ reˇ sen´ı u ´ loh a jednoduch´ ych probl´ em˚ u; vyuˇ z´ıv´ a potˇ rebnou matematickou symboliku 10 9.1 Strom - u ´loha 4 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 10 ˇ ak charakterizuje a tˇ 10 Z´ r´ıd´ı z´ akladn´ı rovinn´ eu ´ tvary 11 ´ 10.1 Utvary -u ´loha 1 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 11 ˇ ak odhaduje a vypoˇ 11 Z´ c´ıt´ av´ a obsah a obvod z´ akladn´ıch rovinn´ ych u ´ tvar˚ u 13 11.1 Obsah u ´tvar˚ u-u ´loha 1 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 13 ˇ ak vyuˇ 12 Z´ z´ıv´ a pojem mnoˇ zina vˇ sech bod˚ u dan´ e vlastnosti k charakteristice u ´ tvaru a k ˇ reˇ sen´ı polohov´ ych a nepolohov´ ych konstrukˇ cn´ıch u ´ loh 13 12.1 Stˇred kruˇznice - u ´loha 8 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 13 13 Uˇ z´ıv´ a k argumentaci a pˇ ri v´ ypoˇ ctech vˇ ety o shodnosti a podobnosti troj´ uheln´ık˚ u 14 ´ 13.1 Uhly -u ´loha 3 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 14 2
ˇ ak naˇ 14 Z´ crtne a sestroj´ı obraz rovinn´ eho u ´ tvaru ve stˇ redov´ e a osov´ e soumˇ ernosti, urˇ c´ı osovˇ e a stˇ redovˇ e soumˇ ern´ yu ´ tvar 14 14.1 Soumˇernost - u ´loha 7 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 14 ˇ ak uˇ 15 Z´ z´ıv´ a logickou u ´ vahu a kombinaˇ cn´ı u ´ sudek pˇ ri ˇ reˇ sen´ı u ´ loh a probl´ em˚ u a nal´ ez´ a r˚ uzn´ a ˇ reˇ sen´ı pˇ redkl´ adan´ ych nebo zkouman´ ych situac´ı 15 15.1 Sˇc´ıt´ an´ı a n´ asoben´ı - u ´loha 14 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 15 16 Zdroje
15
17 GNUˇ skola
16
3
1
Pˇ redmluva
Dokument vznikl jako z´ apoˇctov´ y dom´ac´ı u ´kol z pˇredmˇetu Element´arn´ı matematika 2 na PEDF UK. Je urˇcen k revizi cviˇcen´ı zamˇeˇren´ ych na druh´ y stupeˇ n ´ z´ akladn´ı ˇskoly [2]. Ulohy jsou vypracov´any v nˇekolika kroc´ıch implikuj´ıc´ıch ˇreˇsen´ı. Ze sb´ırky byly vybr´ any u ´lohy, kter´e pokr´ yvaj´ı nˇekolik t´emat tak, aby tvoˇrily uk´ azku moˇzn´eho pr˚ uˇrezu v´ yuky na z´akladn´ı ˇskole.
2
2.1
ˇ ak prov´ Z´ ad´ı poˇ cetn´ı operace v oboru cel´ ych a racion´ aln´ıch ˇ c´ısel; uˇ z´ıv´ a ve v´ ypoˇ ctech druhou mocninu a odmocninu Algebrogramy - u ´ loha vyjat´ a z jin´ e sb´ırky pro zaj´ımavost [1]
Algebrogramy jsou u ´lohy, kde p´ısmena (ˇcasto v kapit´alk´ach) maj´ı ˇc´ıselnou hod´ notu, kterou je nutn´e zjistit. Ulohy mohou m´ıt v´ıce ˇreˇsen´ı.
a) Pˇr´ıklad se d´ a vyj´ adˇrit jako 3B = 15 z toho plyne, ˇze B = 5. b) Pˇr´ıklad je lepˇs´ı napsat si pod sebe. Protoˇze XX = poˇc´ıt´ame s t´ım, ˇze X je jedna cifra. Pakliˇze uvaˇzujeme XX = 20 + X mus´ıme zd˚ uraznit, ˇze X je poˇr´ ad jedna cifra, proto je jedin´ y v´ ysledek X = 2. c) Podle minul´eho pˇr´ıkladu v´ıme, ˇze jeden symbol pokr´ yv´a jedno cifru, proto i tady m˚ uˇzeme uvaˇzovat ekvivalenci v podobˇe Y = 4. d) Zde je d˚ uleˇzit´e uvaˇzovat, na kter´e pozici je p´ısmeno. Zde je X na pozici des´ıtek, proto mus´ı b´ yt 5. Potom uˇz zb´ yv´a jen dosadit 1 za Y, aby byl v´ ysledek spr´ avn´ y. e) Tento pˇr´ıklad naznaˇcuje, ˇze cifry mohou pˇrej´ıt pˇres 10, proto je postup trochu jin´ y, neˇz v minul´em pˇr´ıkladˇe. Protoˇze potˇrebujeme pˇrekroˇcit hranici 80, mus´ı b´ yt kombinace v podobˇe S = 7, T = 6. f) V tomto pˇr´ıkladˇe hled´ ame dvoucifern´ y palindrom, kter´ y se d´a naj´ıt pouze u A = 8, B = 9
4
2.2
Z´ avorky - u ´ loha 2
1. (122 + 12).(12 + 132) 2. (12.12).(12 + 112) 3.
(2∗24+120) 14
4.
2∗(12+60) 12
Cviˇcen´ı zd˚ urazˇ nuje pouˇzit´ı z´avorkov´an´ı bez potˇreby znalosti celkov´eho v´ ysledku. Student se m˚ uˇze soustˇredit pouze na jednotliv´a ˇc´ısla tak, aby sloˇzila pˇr´ıklad z lev´e strany. Pokud se student zamysl´ı pˇred zaˇc´atkem u ´vahy, jsou pˇr´ıklady trivi´ aln´ı.
3 3.1
ˇ ak zaokrouhluje a prov´ Z´ ad´ı odhady s danou pˇ resnost´ı, u ´ˇ celnˇ e vyuˇ z´ıv´ a kalkul´ ator Pˇ rep´ aˇ zky - u ´ loha 3
Student si m˚ uˇze pˇrepsat pˇr´ıklad do celkov´eho poˇctu minut, kter´e obˇe pˇrep´aˇzky fungovaly, tedy 120 + 90. Jeden klient zabere 9 minut, tedy 120+90 = 23 klient˚ u. 9 Podle zad´ an´ı nen´ı poznat na co se zaokrouhlovalo, v´ ysledek je tedy asi C.
5
4 4.1
ˇ ak modeluje a ˇ Z´ reˇ s´ı situace s vyuˇ zit´ım dˇ elitelnosti v oboru pˇ rirozen´ ych ˇ c´ısel Mince - u ´ loha 1
Nejmenˇs´ı poˇcet minc´ı je z´ avisl´ y na podm´ınce, ˇze obˇe d´ıvky maj´ı rozd´ıln´ y poˇcet minc´ı. To znamen´ a, ˇze Marie m˚ uˇze m´ıt ˇctyˇri desetikoruny a jednu pˇetikorunu a Eliˇska uˇz mus´ı m´ıt rozd´ıln´ y poˇcet, tedy tˇri desetikoruny a tˇri pˇetikoruny. Nejmenˇs´ı poˇcet je tedy jeden´ act. Oproti tomu u nejvˇetˇs´ıho poˇctu m˚ uˇzeme sestavit penˇeˇzenku pro Marii jako devˇet pˇetikorun, zat´ımco Eliˇska mus´ı m´ıt aspoˇ n jednu desetikorunu. Protoˇze chceme nejvˇetˇs´ı poˇcet minc´ı, Eliˇska m´a pr´avˇe jednu desetikorunu a sedm pˇetikorun. Student˚ um by bylo hezk´e nast´ınit, ˇze obecn´ y tvar by nemusel v˚ ubec uvaˇzovat Marii a Eliˇsku, protoˇze jejich pouˇzit´ı se d´a otoˇcit a v´ ypoˇcty jsou st´ale identick´e.
5 5.1
ˇ ak ˇ Z´ reˇ s´ı aplikaˇ cn´ı u ´ lohy na procenta (i pro pˇ r´ıpad, ˇ ze procentov´ aˇ c´ ast je vˇ etˇ s´ı neˇ z celek) Spoleˇ cnost - u ´ loha 8
D˚ uleˇzit´e je zm´ınit, co je celek pro v´ ypoˇcet procent. V tomto pˇr´ıpadˇe je to 720000. Bylo by hezk´e naznaˇcit v´ yznam slova procento (per cent), tedy pomˇer ku stu. V tomto pˇr´ıpadˇe dˇel´ıme celek na ˇctyˇri nestejnˇe velik´e d´ıly. Prvn´ı d´ıl je tˇretina, tedy 33,33% procent jako racion´aln´ı ˇc´ıslo vyj´adˇriteln´e 13 . Druh´ y d´ıl je 25%, tedy ˇctvrtina a posledn´ı dva kusy jsou polovinou ze zbytku. My potˇrebujeme z´ıskat jednu z polovin ze zbytku, je jedno kterou, protoˇze jsou identick´e. 720000 + 720000 - tedy naˇse prvn´ı dva d´ıly, zbytek jeˇstˇe rozdˇel´ıme na p˚ ul: 3 4 300000 = 150000. 2
6
6
6.1
ˇ ak analyzuje a ˇ Z´ reˇ s´ı jednoduch´ e probl´ emy, modeluje konkr´ etn´ı situace, v nichˇ z vyuˇ z´ıv´ a matematick´ y apar´ at v oboru cel´ ych a racion´ aln´ıch ˇ c´ısel V´ alec - u ´ loha 4
Student by mˇel m´ıt moˇznost pouˇz´ıt vzorec pro obsah v´alce. Mˇel by b´ yt upozornˇen na to, ˇze obsah kruhu je Π ∗ r2 a v´alec je jen n´asobkem tohoto obsahu. R je v tomto smyslu polomˇer, ne pr˚ umˇer, kter´ y se znaˇc´ı d. Pro v´ ypoˇcet jen zmˇen´ıme parametr v´ yˇsky a vyj´adˇr´ıme nov´ y polomˇer. 2 Π ∗ r2 ∗ v = S tedy Π ∗ (4, 5) ∗ 2 = 127, 17 z toho znovu 127, 17 = Π ∗ r2 ∗ 0, 5 q
z toho m˚ uˇzeme vyj´ adˇrit pr˚ umˇer na d = 17, 88.
7 7.1
127,17 Π
0,5
= r, z toho vyjde r = 8, 99cm vyj´adˇr´ıme
ˇ ak urˇ Z´ cuje vztah pˇ r´ım´ e anebo nepˇ r´ım´ eu ´ mˇ ernosti J´ ama - u ´ loha 4
Pokud h´ azeli oba spoleˇcnˇe pˇet minut, staˇc´ı seˇc´ıst oba v´ ykony za minutu a vyn´ asobit, tedy (5 + 7) ∗ 5 = 60. V druh´e ˇc´ asti je pˇr´ıklad identick´ y, ale zn´ame pˇredem kvantum, kter´e napln´ı, 300 tedy 5+7 = 25. Z toho vych´ az´ı, ˇze 300 lopat p´ısk˚ u zpracuj´ı za 25 minut.
7
8 8.1
ˇ ak urˇ Z´ cuje vztah pˇ r´ım´ e anebo nepˇ r´ım´ eu ´ mˇ ernosti Teplota - u ´ loha 5
Graf se tvoˇr´ı postupn´ ym vynesen´ım do soustavy osy X a Y, kde osa Y zn´ azorˇ nuje teplotu a osa X je ˇcas. Pro vynesen´ı hodnot pro 100 cm je nutn´e, aby student tento fakt pochopil. V dneˇsn´ı dobˇe se pouˇz´ıv´a Kart´ezsk´a soustava, v r´ amci v´ yuky je d˚ uleˇzit´e naznaˇcit, co to znamen´a a jak´e jsou jin´e alternativy.
8
Vyplnˇen´ı tabulky je potom o schopnostech studenta vyˇc´ıst hodnoty z grafu. ˇ 1. Cervenec; srpen 2. Leden; u ´nor 3. 18,8; 13,6 4. Leden-ˇcervenec; leden-srpen ˇ 5. Cervenec-leden; srpen-´ unor 6. * 7. Bˇrezen, duben, kvˇeten, ˇcerven, srpen * Pˇredposledn´ı ot´ azka smˇeˇruje k dohad˚ um, ke kter´ ym by se studenti nemˇeli v´est v rovinˇe ”pˇribliˇzn´ ych”hodnot. Student by mˇel argumentovat, ˇze hodnoty jsou ekvivalentn´ı, pokud zaokrouhl´ıme na jistou u ´roveˇ n. Proto je spr´avnou odpovˇed´ı bˇrezen a z´ aˇr´ı, pokud budeme zaokrouhlovat na cel´a ˇc´ısla.
9
9
9.1
ˇ ak zd˚ Z´ uvodˇ nuje a vyuˇ z´ıv´ a polohov´ e a metrick´ e vlastnosti z´ akladn´ıch rovinn´ ych u ´ tvar˚ u pˇ ri ˇ reˇ sen´ı u ´ loh a jednoduch´ ych probl´ em˚ u; vyuˇ z´ıv´ a potˇ rebnou matematickou symboliku Strom - u ´ loha 4
U tohoto pˇr´ıkladu je nutn´e, aby student ch´apal v´ yznam Pythagorovy vˇety, tedy c2 = a2 + b2 s t´ım, ˇze c je pˇrepona, a a b jsou strany. Rovnost z´avis´ı na faktu, ˇze mezi stranami je 90◦ . Nav´ıc n´ am m˚ uˇze poradit pomˇer, kter´ y je nanesen´ y na vedlejˇs´ım obr´azku. ´ Uhel, kter´ y sv´ır´ a z´ akladna a pˇrepona, je st´ale stejn´ y. Takˇze m˚ uˇzeme √ vyn´asobit 5 c z v´ ypoˇctu pomˇerem z´ıskan´ ym z 0.5 = 10, tedy 10 ∗ c, kde c = a2 + b2 po dosazen´ı c = sqrt12 + 0, 52 = 1, 11803 a ten vyn´asob´ıme 10∗1, 11803 = 11, 1803. Ted’ uˇz v´ıme a pˇrepona, podstavap je 5 m, takˇze znovu dosad´ıme do √ jak je velk´ vzorce a = −b2 + c2 . Znovu dosad´ıme a = −52 + 11, 8032 = 10.69
10
10 10.1
ˇ ak charakterizuje a tˇ Z´ r´ıd´ı z´ akladn´ı rovinn´ e u ´ tvary ´ Utvary -u ´ loha 1
1. Pravo´ uhl´ y troj´ uheln´ık H 2. Kosod´eln´ık - B 3. Pravo´ uhl´ y lichobˇeˇzn´ık - E
11
4. Rovnostrann´ y troj´ uheln´ık - A 5. R˚ uznobˇeˇzn´ık - C 6. Pravideln´ y ˇsesti´ uheln´ık - J 7. Kruˇznice - F ˇ 8. Ctverec -G 9. Lichobˇeˇzn´ık - I 10. Pravideln´ y osmi´ uheln´ık - K 11. Tupo´ uhl´ y troj´ uheln´ık - D Student mus´ı dostat od vyuˇcuj´ıc´ıho moˇznost nal´ezt nˇejakou tabulku pokr´ yvaj´ıc´ı problematiku pojmenov´ an´ı obrazc˚ u a tu pak m˚ uˇze vyuˇz´ıt. Opakovan´ ym pr˚ uchodem tabulky se m˚ uˇze nauˇcit nejpouˇz´ıvanˇejˇs´ı tvary. Zp˚ usob vyhled´an´ı tabulky je zcela v rukou student˚ u, jedin´ ym krit´eriem je pravost u ´daj˚ u v tabulce.
Obr´ azek 1: Tabulka rovinn´ ych obrazc˚ u ilustraˇcnˇe pˇrevzat´a z kovo-vyroba.sk [3]
12
11 11.1
ˇ ak odhaduje a vypoˇ Z´ c´ıt´ av´ a obsah a obvod z´ akladn´ıch rovinn´ ych u ´ tvar˚ u Obsah u ´ tvar˚ u-u ´ loha 1
Student je schopen intuitivnˇe obrazce seˇradit. Pokud tak udˇel´a, mˇel by b´ yt nucen svoj´ı intuici vysvˇetlit. Pro kaˇzd´ y obrazec plat´ı jeho vzorce, kter´e se daj´ı pouˇz´ıt. M˚ uˇze to b´ yt n´ asleduj´ıc´ı krok pˇri vypracov´an´ı u ´lohy. E>F =H>G>A>D>C=B
12
12.1
ˇ ak vyuˇ Z´ z´ıv´ a pojem mnoˇ zina vˇ sech bod˚ u dan´ e vlastnosti k charakteristice u ´ tvaru a k ˇ reˇ sen´ı polohov´ ych a nepolohov´ ych konstrukˇ cn´ıch u ´ loh Stˇ red kruˇ znice - u ´ loha 8
Student by mˇel b´ yt sezn´ amen s geometrick´ ym vyj´adˇren´ım opsan´e kruˇznice. Jej´ı n´ akres se vytv´ aˇr´ı z pr˚ useˇc´ıku os stran, tedy spr´avn´a odpovˇed’ je B.
13
13 13.1
Uˇ z´ıv´ a k argumentaci a pˇ ri v´ ypoˇ ctech vˇ ety o shodnosti a podobnosti troj´ uheln´ık˚ u ´ Uhly -u ´ loha 3
Student by mˇel b´ yt upozornˇen na obecn´ y vzorec pro v´ ypoˇcet vnitˇrn´ıch u ´hl˚ u, kter´ y je Π∗(n−2) pro radi´ any, tedy 180◦ ∗(n−2). Velikost vnitˇrn´ıho u ´hly, pokud je u ´tvar pravideln´ y, z´ aleˇz´ı na pomˇeru ku celkov´emu souˇctu vnitˇrn´ıch u ´hl˚ u, takˇze je m˚ uˇzeme jednoduˇse podˇelit. 3 60◦ 180◦
4 90◦ 360◦
5 108◦ 540◦
6 120◦ 720◦
7 128◦ 900◦
8 135◦ 1080◦
Tabulka 1: Vyplnˇen´a tabulka u ´hl˚ u obrazc˚ u
14
14.1
ˇ ak naˇ Z´ crtne a sestroj´ı obraz rovinn´ eho u ´ tvaru ve stˇ redov´ e a osov´ e soumˇ ernosti, urˇ c´ı osovˇ e a stˇ redovˇ e soumˇ ern´ yu ´ tvar Soumˇ ernost - u ´ loha 7
T, U, V, A
E, C, D, K
S, Z, N
F, R, P, L
Tabulka 2: Vyplnˇen´a tabulka soumˇernosti 14
15
15.1
ˇ ak uˇ Z´ z´ıv´ a logickou u ´ vahu a kombinaˇ cn´ı u ´ sudek pˇ ri ˇ reˇ sen´ı u ´ loh a probl´ em˚ u a nal´ ez´ a r˚ uzn´ a ˇ reˇ sen´ı pˇ redkl´ adan´ ych nebo zkouman´ ych situac´ı Sˇ c´ıt´ an´ı a n´ asoben´ı - u ´ loha 14
Studentovi by mˇelo b´ yt vysvˇetleno proˇc sch´ema z´apisu sˇc´ıt´an´ı a n´asoben´ı funguje. Jde o vlastnost ˇc´ıseln´e soustavy. Tak´e j´e d˚ uleˇzit´e pochopit, kter´a ˇc´ısla nepˇrech´ az´ı pˇres des´ıtkovou hranici a kdy se toho d´a vyuˇz´ıt. a) 3 6 3 8 + 8 7 0 7 1 2 3 4 5 b) 3 3 1 × 3 0 3 9 9 3 9 9 3 1 0 0 2 9 3
16
Zdroje
´ Milan a Darina JIROTKOVA. ´ Matematick´e u [1]HEJNY, ´lohy pro druh´ y stupeˇ n z´ akladn´ıho vzdˇel´ av´ an´ı: n´ amˇety pro rozvoj kompetenc´ı ˇz´ak˚ u na z´akladˇe zjiˇstˇen´ı ´ v´ yzkumu TIMSS 2007 [online]. 1. vyd. Praha: Ustav pro informace ve vzdˇel´av´an´ı, 2010, 111 s. [cit. 2014-04-19]. ISBN 978-80-211-0612-3. Dostupn´e z: http://www. ceskaskola.cz/2013/05/e-kniha-pro-vas-matematicke-ulohy-pro_6.html ´ R, ˇ Jiˇr´ı. Oˇcek´ [2]CIHLA avan´e v´ ystupy v RVP ZV z matematiky ve svˇetle tes´ tov´ ych u ´loh [online]. 1. vyd. Praha: Ustav pro informace ve vzdˇel´av´an´ı - Divize nakladatelstv´ı Tauris, 2007, 109 s. [cit. 2014-04-19]. ISBN 978-80-211-05447. Dostupn´e z: http://info.edu.cz/cs/system/files/cekavane_vystupy_ v_RVP_ZV_z_Ma.pdf [3]Kovovyroba.sk. [online]. [cit. 2014-04-19]. Dostupn´e z: http://kovo-vyroba. sk/upload/product/HNrhWRxyxzhupzAE.jpg
15
17
GNUˇ skola
Tento materi´ al je vytvoˇren pomoc´ı svobodn´eho software v r´ amci projektu Gnuskola.cz
16
