INTEGRAL MCSHANE
TUGAS AKHIR untuk memenuhi sebagian persyaratan memperoleh gelar sarjana sains
YOHANA SUWANDI NIM 83950
JURUSAN MATEMATIKA FAKULTAS MATEMATIKA DAN ILMU PENGETAHUAN ALAM UNIVERSITAS NEGERI PADANG 2012
3
4
5
6
Tugas Akhir ini dipersembahkan kepada Kedua orang tua Bapak Afriwandi dan Ibu Azarni Kedua orang adik Ovaria Suwandi dan Tri Wulandari Suwandi
7
ABSTRAK Yohana Suwandi
: Integral McShane
Integral McShane diperkenalkan oleh E. J. McShane (1904-1989). Hal yang membedakan integral McShane dengan integral lain adalah cara McShane mengkonstruksi partisinya yang berbeda dengan integral lain yang dikenal dengan partisi berlabel bebas. Penelitian ini membahas pengkonstruksian integral McShane serta sifat-sifat yang dipenuhi oleh integral McShane. Penelitian ini merupakan penelitian dasar (teoritis). Metode yang digunakan adalah metode deskriptif yang bersifat analisis dan dilakukan dengan cara studi literatur dengan mempelajari buku-buku teks penunjang. Partisi McShane yang disebut partisi berlabel bebas (free tagged partition) dari suatu interval merupakan koleksi berhingga dari subinterval yang dilabeli dimana label tersebut tidak harus berada pada subinterval dan subinterval tersebut juga tidak saling tumpang tindih pada suatu interval yang menutupi interval tersebut. Partisi McShane subordinat pada suatu fungsi positif yang terdapat pada interval tersebut. Jumlah McShane merupakan jumlah dari hasil kali fungsi pada label dengan lebar partisinya. Untuk menentukan apakah suatu fungsi terintegral McShane atau tidak tanpa mencari nilai integralnya digunakan kriteria Cauchy. Fungsi yang terintegral McShane pada suatu selang memenuhi sifat-sifat integral McShane, antara lain: a. Jika terdapat suatu titik yang membagi satu selang menjadi dua selang maka suatu fungsi yang terintegral McShane pada kedua selang akan terintegral McShane pada gabungan kedua selang dan hasil integral McShane pada selang tersebut akan sama dengan jumlah hasil integral McShane pada kedua selang. b. Jika suatu fungsi terintegral McShane maka hasil kali fungsi dengan suatu bilangan juga terintegral McShane dan hasil integral McShane fungsi yang sudah dikalikan dengan suatu bilangan akan sama dengan hasil kali bilangan dengan hasil integral McShane fungsi tersebut. c. Jika dua fungsi terintegral McShane maka penjumlahan kedua fungsi juga terintegral McShane dan hasil integral McShane dari penjumlahan kedua fungsi akan sama dengan penjumlahan hasil integral McShane kedua fungsi. d. Jika dua fungsi yang memenuhi sifat keterurutan terintegral McShane maka hasil Integral McShane kedua fungsi mempertahankan sifat keterurutan tersebut.
i
8
KATA PENGANTAR
Alhamdulillah, segala puji syukur penulis ucapkan kehadirat Allah Swt, atas rahmat dan hidayah-Nya yang telah diberikan kepada penulis berupa ketabahan, ketekunan dan keuletan, sehingga penulis dapat menyelesaikan Tugas Akhir ini dengan sebaik-baiknya yang diberi judul: “Integral McShane”. Semua hambatan dan tantangan dalam penyusunan Tugas Akhir ini merupakan nikmat tersendiri yang dianugerahkan kepada penulis sebagai pengalaman hidup yang tak ternilai. Semuanya akan kembali kepada sumber segala sumber ilmu pengetahuan di jagad raya ini yaitu Allah Swt. Yang Maha Mengetahui sebagaimana yang telah tersirat dan tersurat. Pada kesempatan ini penulis mengucapkan terimakasih atas segala sesuatu yang telah diberikan kepada penulis baik berupa dorongan moril maupun materil, sehingga sangat membantu terselesaikannya Tugas Akhir, yaitu kepada: 1. Ibu Dra. Arnellis, M. Si. Dosen Pembimbing I. 2. Bapak Muhammad Subhan, M. Si. Dosen Pembimbing II. 3. Ibu Dra. Dewi Murni, M. Si, Bapak Dr. Yerizon, M. Si, dan Bapak Drs. Yusmet Rizal, M. Si sebagai dosen penguji Tugas Akhir. 4. Ibu Dra. Nonong Amalita, M. Si. selaku Pembimbing Akademik. 5. Ketua Jurusan Matematika Ibu Dr. Armiati, M. Pd. 6. Ketua Program Studi Matematika Ibu Dra. Dewi Murni, M. Si
ii
9
7.
Bapak dan Ibu staf Pengajar dan Labor Jurusan Matematika FMIPA UNP.
8.
Seluruh rekan Mahasiswa Jurusan Matematika khususnya angkatan 2007 FMIPA UNP.
9.
Semua pihak
yang telah rela
memberikan bantuan sampai
terlaksananya penyusunan Tugas Akhir ini. Semoga bimbingan, dorongan serta pengorbanan yang telah diberikan mendapat ridho dari Allah SWT. Penulis telah berusaha dengan maksimal untuk menyelesaikan Tugas Akhir ini, namun penulis menyadari baik isi maupun penulisan ini masih jauh dari kesempurnaan. Untuk itu kepada pembaca, penulis mengharapkan saran dan kritikan yang sifatnya membangun demi perbaikan di masa yang akan datang.
Padang, Juli 2012
Penulis
iii
10
DAFTAR ISI
Halaman ABSTRAK .................................................................................................... i KATA PENGANTAR .................................................................................. ii DAFTAR ISI ................................................................................................ iv BAB I. PENDAHULUAN A. Latar Belakang ................................................................................... 1 B. Perumusan Masalah ............................................................................ 3 C. Petanyaan Penelitian ........................................................................... 4 D. Tujuan Penelitian ............................................................................... 4 E. Manfaat Penelitian .............................................................................. 4 F. Metode Penelitian ............................................................................... 4 BAB II. KAJIAN TEORI A. Fungsi ................................................................................................. 6 B. Interval ............................................................................................... 7 C. Limit .................................................................................................. 10 D. Supremum dan Infimum ..................................................................... 11 E. Kekontinuan Fungsi .......................................................................... 13 F. Integral Riemann ................................................................................ 13 BAB III. PEMBAHASAN A. Pengkonstruksian Integral McShane ................................................... 18 B. Sifat-sifat Integral McShane ............................................................... 21
iv
11
BAB IV. PENUTUP A. Kesimpulan ........................................................................................ 30 B. Saran .................................................................................................. 31 DAFTAR PUSTAKA ................................................................................... vi
v
1
BAB I PENDAHULUAN
A. Latar Belakang Integral merupakan salah satu ilmu matematika yang termasuk dalam cabang analisis. Teori integral terus berkembang dan telah banyak dipakai dalam bidang ilmu matematika maupun bidang ilmu lainnya. Dasar pengintegralan pertama kali dikemukakan oleh Isaac Newton dan Gottfried Wilhelm Leibniz yang mendefinisikan integral secara deskriptif menggunakan anti turunan. Untuk mendapatkan solusi masalah numerik dalam perhitungan integral, Augustin-Louis Cauchy membangun kalkulus yang berlandaskan konsep limit. Cauchy mendefinisikan integral sebagai limit jumlah persegi panjang yang dibangun dengan membagi interval
menjadi beberapa
subinterval, dan menggunakan nilai fungsi pada titik ujung setiap subinterval untuk menentukan tinggi segi empat yang disimbolkan dengan ( )
dimana
= lim →
( )(
−
)
merupakan titik ujung dari tiap subinterval untuk setiap 1 ≤ ≤ .
Tidak berbeda jauh dengan Cauchy, Riemann mendefinisikan integral secara konstruktif dengan cara membagi selang menjadi sejumlah subinterval dan menghitung jumlah limitnya, namun mengganti nilai titik ujung subinterval dengan nilai suatu titik yang ada pada subinterval tersebut. Bentuk dari integral Riemann adalah sebagai berikut
1
2
( )
dimana
= lim →
( )(
−
)
merupakan titik yang berada pada subinterval [
,
].(Wells,
2011). Pendefinisian integral yang dilakukan oleh Riemann hanya membahas fungsi-fungsi yang terbatas, namun demikian tidak semua fungsi yang terbatas terintegral oleh Riemann, salah satunya adalah fungsi berikut. Misalkan ≔ [0,1] dan ( )≔
∶ → ℝ didefinisikan dengan: 1, 0,
Fungsi tersebut tidak terintegral Riemann namun terintegral Lebesgue. Konsep Integral Lebesgue didasarkan pada ukuran. Integral Lebesgue sudah tidak bergantung pada kekontinuan dan fungsi yang terintegral Lebesgue tidak hanya terdefinisi pada interval tertutup. Setiap fungsi yang terintegral Lebesgue terdefinisi pada himpunan terukur. Sedangkan setiap himpunan terukur mempunyai ukuran luar dan ukuran dalam Lebesgue. (Douglas and Charles, 2004) Kelemahan dari integral Lebesgue adalah banyak dibutuhkannya persyaratan untuk mempelajarinya (seperti aljabar sigma, teori ukuran, himpunan terukur, fungsi terukur). Pada akhirnya ditemukan teori integral baru yang merupakan perluasan dari integral Lebesgue, yakni integral Denjoy dan Perron yang pendefinisiannya masih sedikit rumit. Oleh Henstock dan Kurzweil kemudian disusun definisi integral yang baru secara konstruktif, layaknya integral Riemann. Dengan demikian definisi dan pembuktian teori
3
integral menjadi lebih sederhana. Dan ternyata integral Henstock-Kurzweil ekuivalen dengan integral Denjoy dan Perron.(Peng Lee, 1989) Untuk mendapatkan integral Lebesgue sebagai limit dari jumlah partisi, perlu dilakukan perubahan definisi dari integral Henstock-Kurzweil. Perluasan kelas partisi berlabel didapatkan dengan tidak memaksakan label dari suatu interval berada dalam interval tersebut. Suatu fungsi menjadi lebih sulit dintegralkan karena peningkatan jumlah partisi yang subordinat ke . (Gordon, 1994) Partisi Riemann dan partisi Henstock – Kurzweil merupakan partisi berlabel yang labelnya berada di dalam subinterval yang dilabelinya, sehingga satu label hanya dapat melabeli paling banyak dua subinterval. Sedangkan partisi Mcshane merupakan partisi berlabel bebas yang labelnya tidak harus berada di dalam subinterval yang dilabelinya, sehingga satu label bisa saja melabeli semua subinterval pada suatu interval. (Douglas dan Charles, 2004) Berdasarkan uraian di atas, penulis tertarik untuk mengkaji pengkonstruksian integral McShane serta sifat-sifat yang berlaku pada integral McShane. Sehingga penelitian ini diberi judul: “Integral McShane” B. Perumusan Masalah Berdasarkan latar belakang yang telah diuraikan sebelumnya, maka rumusan masalah yang dibahas dalam penelitian ini adalah bagaimanakah kajian mengenai integral McShane?
4
C. Pertanyaan penelitian Adapun pertanyaan penelitiannya adalah : 1. Bagaimanakah pengkonstruksi integral McShane? 2. Sifat dasar apa sajakah yang berlaku pada integral McShane? D. Tujuan Penelitian Sesuai dengan permasalahan di atas, penelitian ini bertujuan untuk : A. Mengetahui cara membangun atau mengkonstruksi integral McShane. B. Mengetahui sifat-sifat yang berlaku pada integral McShane. E. Manfaat Penelitian Dalam penelitian ini diharapkan dapat memberikan manfaat antara lain : 1. Menambah wawasan penulis dan pembaca dalam mempelajari integral terutama tentang integral McShane. 2. Referensi bagi penelitian selanjutnya. F. Metode Penelitian Penelitian ini adalah penelitian dasar atau
teoritis. Metode yang
dilakukan dalam penelitian ini adalah studi kepustakaan yang menganalisa teori-teori yang relevan terhadap permasalahan yang dibahas. Dalam penyelesaian permasalahan langkah kerja yang dilakukan adalah sebagai berikut: 1. Meninjau dan memahami permasalahan yang dibahas. 2. Mengumpulkan teori-teori yang dapat mendukung dalam pembahasan integral McShane, diantaranya fungsi, partisi, limit, supremum dan infimum, fungsi kontinu, integral Riemann.
5
3. Mengkonstruksi integral McShane. 4. Memaparkan dan membuktikan sifat-sifat dari integral McShane. 5. Merumuskan simpulan dari hasil analisis yang telah dilakukan.
6
BAB II KAJIAN TEORI
Beberapa teori yang digunakan dalam penelitian ini adalah sebagai berikut: A. Fungsi Secara umum dapat dinyatakan suatu fungsi himpunan anggota
adalah suatu relasi antara
dan
dikaitkan dengan tepat satu
dari himpunan
ke
dengan aturan setiap
anggota
, dalam hal ini ditulis
= ( ). Dalam teori himpunan, fungsi dapat dinyatakan sebagai ⊆ = {( , ) ⊆
× }
× ∈ ,
= ( )∈
Definisi formal dari fungsi adalah sebagai berikut. Definisi 1 Misal ,
himpunan tak kosong. Maka fungsi
pasangan terurut di
×
dari
dimana untuk setiap
ke ∈
adalah suatu terdapat
tunggal sehingga ( , ) ∈ . (Dengan kata lain, jika ( , ) dan ( , maka
=
∈ )∈ ,
). (Bartle dan Sherbert, 2000: 5)
Pada himpunan
yang menjadi elemen pertama dari pasangan
terurut fungsi, terdapat himpunan = { ∈ |( , ) ∈
∈
6
}
7
. Sementara pada
yang kita sebut domain (daerah asal) dari fungsi himpunan
terdapat himpunan = { ∈ |( , ) ∈
∈ } ∶
yang disebut range (daerah hasil) dari fungsi . Sehingga, jika =
maka
→ ,
⊆
dan
Contoh = [1,3] dan
Misal
{( , )|1 ≤
≤ 3,1 ≤
sehingga jika ( , →
Pemasangan
)∈
= [1,4]. Maka ≤ 4}.
Misal
( , ) dan ( ,
( dimana ( , ) ∈
×
adalah himpunan
( , )⊂
×
sedemikian
( , ) maka
)∈
=
.
( , ) ) merupakan sebuah
fungsi. Jadi fungsi adalah pengaitan : ∶
→ →
Sedemikian sehingga Himpunan ⊂
×
relasi
dipetakan dengan tepat satu elemen
.
( , ) disebut grafik dari . Secara umun, himpunan bagian mendefinisikan sebuah relasi. Jadi, fungsi adalah sebuah
khusus
dimana
setiap
∈
anggota
hanya
dipetakan
(dipasangkan) satu kali. B. Interval Setiap fungsi memiliki domain fungsi yang berupa interval. Interval merupakan himpunan semua titik dari
ke
. Hal penting dalam
membedakan antara interval yang memuat titik batas atau tidak dijelaskan pada definisi berikut.
8
Definisi 2 < . Interval terbuka ( , ) didefinisikan dengan ( , ) =
Misal { ∶
<
< } dan interval tertutup [ , ] didefinisikan dengan [ , ] =
{ ∶
≤
≤ } sementara itu interval setengah terbuka didefinisikan
dengan definisi yang sama dengan pertidaksamaan ( , ] = { ∶ } atau [ , ) = { ∶
≤
≤
≤
< } sedangakan interval tak terbatas
didefinisikan dengan [ , ∞) = { ∶ (−∞, ] = { ∶
<
≥ } dan ( , ∞) = { ∶
} dan (−∞, ) = { ∶
> } serta
< }. (Apostol, 1982 : 4)
Sebuah interval memuat beberapa subinterval yang lebih dikenal dengan partisi yang didefinisikan sebagai berikut. Definisi 3 Sebuah
partisi pada
{ , ,⋯, ⋯<
} dengan
interval =[
≔ [ , ]
, ] dimana
adalah kumpulan
=
=
<
<⋯<
<
= (Bartle dan Sherbert, 2000: 145) Setiap partisi mempunyai sifat : =
i. ⋃ ii.
⋂
⋃
=
⋃⋯⋃
, titik
Titik-titik di
=[ , ]
( = 0,1, ⋯ , ) disebut titik partisi dari . digunakan untuk membagi interval
=[ , ]
menjadi subinterval yang tidak saling tumpang tindih. Selanjutnya akan dinotasikan partisi
dan didefinisikan norm nya sebagai berikut.
9
Definisi 4 Jika partisi
dinotasikan dengan
merupakan
bilangan
,⋯,
−
yang =
} dengan
= {(
, )}
memenuhi <⋯<
, maka norm dari
‖ ‖= <
{
−
<⋯<
,
−
= .
(Bartle dan Sherbert, 2000: 194) Setiap partisi yang ditandai dengan sebarang titik yang berada dalam partisi tersebut disebut partisi berlabel (tagged partition) yang didefinisikan sebagai berikut. Definisi 5 ∈
Jika sebuah titik 1,2, ⋯ ,
maka
sebarang titik pada subinterval
, untuk
=
disebut label dari subinterval , dan himpunan pasangan
terurut ̇ = {( , ), ( , ), ⋯ , ( , ), … , ( ,
)} disebut partisi berlabel
(tagged partition). (Bartle dan Sherbert, 2000: 145) Selain partisi berlabel, terdapat juga partisi berlabel bebas yang didefinisikan sebagai berikut. Definisi 6 Partisi McShane yang disebut partisi berlabel bebas (free tagged partition) dari interval [ , ] adalah koleksi berhingga sedemikian sehingga {[ ,
= {([ ,
], )}
], 1 ≤ ≤ } adalah koleksi subinterval yang
tidak saling tumpang tindih dari interval [ , ] yang menutupi (covering) [ , ] dan
∈ [ , ], ∀ ≤ . Terdapat suatu fungsi pada [ , ] yaitu
10
∶ [ , ] → (0, ∞).
fungsi
subordinat ke
jika [ ,
]⊂
Partisi
= {([ ,
McShane
− ( ),
], )}
+ ( ) untuk setiap ≤ . (Park, 2003: 644)
C. Limit Sebelum mengenal limit, ada baiknya untuk mengetahui definisi dari lingkungan- dan titik cluster. Definisi 7 ∈ ℝ dan
Misal
> 0. Maka lingkungan-
merupakan himpunan
( −neigborhood) dari
( ) ≔ { ∈ ℝ ∶ | − | < }. (Bartle dan Sherbert, 2000: 46)
Definisi 8 Misal
⊆ . Suatu titik
∈ ℝ merupakan titik cluster dari
> 0 terdapat setidaknya satu titik
setiap
∈ , ≠
jika untuk sedemikian
sehingga | − | < . (Bartle dan Sherbert, 2000: 97) Intisari dari konsep limit untuk fungsi bernilai rill dari variabel rill dijelaskan sebagai berikut. Definisi 9 Misal ℝ,
⊆ ℝ, dan
∶
→
> 0 terdapat
>
merupakan titik cluster dari . Untuk fungsi
dikatakan limit dari
0 sedemikian sehingga dan dituliskan dengan lim
∈ →
di
jika diberikan
dan 0 < | − | < , maka | ( ) − | < ( )= . (Bartle dan Sherbert, 2000: 111)
11
Contoh Lim
→
= , agar lebih jelas misal ( ) ≔
Akan diperlihatkan bahwa lim > 0 diberikan, misal
Jika
→
∈ ℝ.
untuk semua
= .
≔ 1. Maka, jika 0 < | − | < 1,
didapatkan | ( ) − | = | − | = 0 < . Karena
> 0, dari definisi didapat lim
→
= .
D. Supremum dan Infimum Sebelum membahas definisi supremum dan infimum terlebih dahulu akan didefinisikan batas atas dan batas bawah. Definisi 10 Misal 1.
subset tak kosong dari ℝ.
Himpunan
dikatakan terbatas di atas jika terdapat
sedemikian sehingga
≤
untuk semua
∈ . Maka
∈ℝ disebut
batas atas dari . 2.
Himpunan
dikatakan terbatas di bawah jika terdapat
sedemikian sehingga
≤
untuk semua
∈ . Maka
∈ℝ disebut
batas bawah dari . 3.
Suatu himpunan dikatakan terbatas jika terbatas di atas dan terbatas di bawah. Jika salah satu prasyarat tidak dipenuhi maka himpunan tersebut tidak terbatas. (Bartle dan Sherbert, 2000: 48)
12
Contoh Himpunan
≔{ ∈ℝ∶
< 2} terbatas di atas, bilangan 2 dan
bilangan lain yang lebih besar dari 2 merupakan batas atas dari . Himpunan ini tidak memiliki batas bawah, sehingga disebut tidak terbatas di bawah. Oleh karna itu
dikatakan tidak terbatas (walaupun
terbatas di atas). Jika suatu himpunan memiliki satu batas atas, maka himpunan tersebut memiliki batas atas dalam jumlah yang tidak terbatas, karena jika merupakan batas atas dari , maka
+ 1, + 2, … juga batas atas dari .
(hal ini juga berlaku pada batas bawah). Pada himpunan batas atas dan batas bawah, ditentukan batas atas terkecil dan juga batas bawah terkecil, yang didefinisikan sebagai berikut. Definisi 11 subset tak kosong dari ℝ.
Misal a. Jika
terbatas di atas, maka
dari
jika memenuhi kondisi :
(i)
merupakan batas atas dari , dan
(ii) jika b. Jika
merupakan batas atas lain dari , maka terbatas di bawah, maka
terbesar) dari (i)
disebut Supremum (batas atas terkecil)
≤ .
disebut Infimum (batas bawah
jika memenuhi kondisi :
merupakan batas bawah dari , dan
(ii) jika merupakan batas atas lain dari , maka ≤ . (Bartle dan Sherbert, 2000: 48-49)
13
E. Kekontinuan Fungsi Definisi berikut menjelaskan kekontinuan suatu fungsi pada titik. Definisi 12 ⊆ ℝ,
Misal
untuk setiap
∶
→ ℝ, dan
∈ .
> 0 terdapat
sebarang titik pada
dikatakan kontinu pada titik
> 0 sedemikian sehungga jika
jika
adalah
yang memenuhi | − | < , sehingga | ( ) −
( )| < . (Bartle dan Sherbert, 2000: 133) Agar suatu fungsi kontinu pada suatu himpunan, maka fungsi tersebut harus kontinu di setiap titik pada himpunan tersebut. Definisi 13 ⊆ ℝ,
Misal
∶
→ ℝ. Jika
subset dari ,
himpunan B jika dan hanya jika
dikatakan kontinu pada
kontinu pada setiap titik di
.
(Bartle dan Sherbert, 2000: 134) Contoh Fungsi konstan ( ) ≔ Jika
∈ ℝ, maka lim
pada setiap titik
→
kontinu di ℝ. ( ) = . Karena ( ) =
∈ ℝ. Sehingga
maka
kontinu
kontinu di ℝ.
F. Integral Riemann Integral Riemann merupakan teori integral modern pertama yang memaparkan banyak sifat-sifat integral yang sangat diperlukan. Fungsi pada interval [ , ] yang dibagi menjadi beberapa subinterval yang lebih
14
kecil merupakan dasar dari integral Riemann. Sebelum mendefinisikan integral Riemann, terlebih dahulu akan dibahas mengenai jumlah Riemann. ∶ = [ , ] → ℝ suatu fungsi terbatas di
Misal { ,
dan
} merupakan partisi berlabel dari . Jumlah atas dari
,…,
̇ ∶=
terhadap
partisi berlabel ̇ pada [ , ] didefinisikan sebagai ( ̇; ) = ∑ dan jumlah bawah dari
(
)
−
̇ pada [ , ]
terhadap partisi berlabel
didefinisikan sebagai ( ̇; ) = ∑ =
dengan ≤
≤
( ) dan
(
)
−
( ), dimana
=
= 1,2, … ,
dan
. Maka dapat dibentuk ( )=
( ̇, ) pada [ , ] dan
yang disebut integral Riemann atas fungsi ( )=
( ̇, )
yang disebut integral Riemann bawah fungsi
pada [ , ] dengan Infimum
dan Supremum diambil dari semua partisi berlabel ̇ pada [ , ]. Jika nilai integral atas dan integral bawah sama, maka dikatakan bahwa
terintegral
Riemann pada [ , ]. Nilai yang sama ini dinamakan Integral Riemann fungsi ∫
( )
pada
[ , ]
=∫
( )
dan .
ditulis
∫
( )
.
Jadi,
∫
( )
=
15
Definisi 14 : [ , ] → ℝ dikatakan terintegral Riemann pada [ , ] jika dan
Fungsi
hanya jika ada bilangan
∈ ℝ sedemikian sehingga untuk setiap
>0
> 0 sedemikian sehingga jika ̇ adalah sebarang partisi berlabel
ada
pada [ , ] dengan
̇ <
; ̇ −
berlaku
< .
(Bartle dan Sherbert, 2000: 196) Himpunan semua fungsi terintegral Riemann pada [ , ] dinotasikan dengan [ , ]. Contoh Setiap fungsi konstan pada [ , ] terintegral Riemann. Misal ( ) ≔
∈ [ , ]. Jika ̇ ≔ {([
untuk semua
,
], )}
merupakan partisi berlabel dari [ , ], maka diperoleh ; ̇ =
Sehingga, untuk setiap ̇ <
jika
(
)= ( − )
−
> 0, terdapat
≔ 1 sedemikian sehingga
, maka ; ̇ − ( − ) =0<
Karena
> 0, disimpulkan bahwa
∈ [ , ] dan ∫
= ( − ).
Kriteria Cauchy untuk integral Riemann dapat digunakan untuk mengetahui apakah suatu fungsi terintegralkan atau tidak. Teorema 1 Suatu fungsi setiap
∶ [ , ] → ℝ terintegral Riemann jika dan hanya jika untuk
> 0 terdapat
> 0 sedemikian sehingga jika
̇ dan
̇
16
̇ <
merupakan partisi berlabel dari [ , ] dengan ; ̇ −
maka
; ̇
dan
̇ <
,
< . (Bartle dan Sherbert, 2000: 203)
Bukti (i.) Jika
∈ [ , ] dengan integral , misal
⁄2 > 0 sedemikian
≔
sehingga jika ̇ , ̇ partisi berlabel sedemikian sehingga ̇ <
̇ <
dan
, maka ; ̇ −
; ̇ −
< ⁄2 dan
< ⁄2.
Oleh karena itu, ; ̇ −
; ̇
≤
; ̇ − +
≤
; ̇ −
; ̇
−
+
−
; ̇
< ⁄2 + ⁄2 = ∈ ℕ, misal
(ii.) Untuk setiap
> 0 sedemikian sehingga jika ̇ dan ̇
merupakan partisi berlabel dengan norms < ; ̇ −
; ̇
< 1⁄ ≥
Lebih jelas, diasumsikan bahwa diganti dengan
{ ,…,
≔
menjadi partisi berlabel dengan memiliki norm < ; ̇
, maka
untuk
̇
}. Untuk setiap ≤
. Jika
>
, sedemikian sehingga −
; ̇
∈ ℕ; sebaliknya
< 1⁄ untuk
>
̇
∈ ℕ, misal maka ̇ dan ̇
17
sebagai akibatnya, barisan
; ̇
merupakan barisan Cauchy di
ℝ. Oleh karena itu barisan ini konvergen ke ℝ dan misal lim
( ; ̇ ), maka
Untuk melihat
−
≤ 1⁄ untuk semua
∈ ℕ.
menjadi integral Riemann dari , terdapat
∈ ℕ memenuhi ̇ <
; ̇
≔
> 0, misal
> 2⁄ . Jika ̇ merupakan partisi berlabel dengan
, maka ; ̇ −
≤
; ̇ −
; ̇
+
; ̇
−
≤ 1⁄ + 1⁄ < Karena
> 0, maka
∈ ℝ[ , ] dengan integral . ∎
18
BAB III PEMBAHASAN A. Pengkonstruksian Integral McShane Integral McShane dibentuk dari perluasan integral Riemann, dimana Riemann membagi suatu selang menjadi sejumlah subinterval, menandai setiap subinterval, menghitung jumlah Riemann dan menentukan
limit
jumlahnya. Hal yang membedakan antara integral Riemann dengan integral McShane adalah cara McShane mengkonstruksi partisi yang berbeda dengan Riemann. Jika = [ , ] merupakan interval tertutup dan terbatas di ℝ, maka partisi dari 1,2, … ,
=( ,
berhingga. Misalkan =
sedemikian sehingga
<
,
,…,
<⋯<
) dimana
∈ , =
= . Titik-titik di
digunakan untuk membagi interval = [ , ] menjadi subinterval yang tidak saling tumpang tindih. Partisi McShane yang disebut partisi berlabel bebas (free tagged partition) merupakan koleksi berhingga sehingga {[ ,
= {([ ,
], )}
sedemikian
], 1 ≤ ≤ } adalah koleksi subinterval yang tidak saling
tumpang tindih dari interval [ , ] yang menutupi (covering) [ , ] dan ∈ [ , ], ∀ ≤ . Terdapat suatu fungsi pada [ , ] yaitu fungsi [ , ] → (0, ∞). Partisi McShane [ ,
]⊂
− ( ),
Jika
= {([ ,
], )}
subordinat ke
∶ jika
+ ( ) untuk setiap ≤ .
∶ [ , ] → ℝ dan
= {([ ,
], )}
merupakan partisi
berlabel bebas dari interval [ , ] maka jumlah McShane didefinisikan dengan
( )=∑
( )(
− ). Karena integral McShane merupakan 18
19
limit dari jumlah McShane, maka integral McShane didefinisikan dengan ∫
( )
= lim
→
∑
( )(
− ). Nilai tersebut dinamakan integral
pada [ , ] dan ditulis ( ) ∫
McShane fungsi
( )
. Integral McShane
didefinisikan sebagai berikut. Definisi 3.1 Partisi McShane yang disebut partisi berlabel bebas (free tagged partition) dari interval [ , ] adalah koleksi berhingga sedemikian sehingga {[ ,
= {([ ,
], )}
], 1 ≤ ≤ } adalah koleksi subinterval yang
tidak saling tumpang tindih dari interval [ , ] yang menutupi (covering) [ , ] dan
∈ [ , ], ∀ ≤ . Terdapat suatu fungsi pada [ , ] yaitu ∶ [ , ] → (0, ∞).
fungsi
jika [ ,
subordinat ke Jika
∶ [ , ] → ℝ dan
Partisi
]⊂
McShane
− ( ),
= {([ ,
= {([ ,
], )}
+ ( ) untuk setiap ≤ .
], )}
merupakan partisi berlabel
bebas dari interval [ , ] maka jumlah McShane didefinisikan dengan ( )=∑
( )(
− ). Fungsi
∶ [ , ] → ℝ terintegral McShane
pada [ , ] dengan nilai , jika untuk setiap (0, ∞) = {([ ,
sedemikian ], )}
sehingga
> 0 terdapat
‖ ( )− ‖ <
∶ [ , ]→ dimana
merupakan partisi Mcshane dari [ , ] yang
subordinat ke . (Park, 2003: 644)
20
Selanjutnya
dikatakan integral fungsi
ditulis z= ( ) ∫
pada interval [ , ] atau
[ , ] menyatakan himpunan dari fungsi-fungsi
dan
yang terintegral McShane pada interval [ , ]. Contoh Misalkan ≔ [0,1] dan
∈ [0,1] ∩ ℚ ∈ [0,1] ∩ ℚ
1, 0,
( )≔
Akan diperlihatkan bahwa ( ) = 0, untuk setiap = {([ ,
Misal
∶ → ℝ didefinisikan dengan:
teintegral McShane dengan dengan nilai integral
∈ [0,1].
], )}
merupakan partisi berlabel bebas dari [0,1] untuk
setiap , dengan 1 ≤ ≤ . Misal terdapat himpunan ∑
sedemikian sehingga ( ) − ( ) − (
⊆
setiap dan terdapat
,
,…,
− ) ( )∈
untuk
⊆ . Untuk [0,1] ∩
> 0 sedemikian sehingga – ,
∶ [0,1] ∩ ℚ → ℕ. Sehingga
ℚ terdapat fungsi bijektif
dengan
didefinisikan
dengan : ∈ [0,1] ∩ ℚ
1, ( )= 2 dan
= −
,
Jika
∈ [0,1] ∩ ℚ , maka
.
( )− ( )−( Jika
∈ [0,1] ∩ ℚ terdapat [ ,
sehingga
−
∈ [0,1] ∩ ℚ
,
( )
<2 ( )=
( )− ( )−(
− ) ( )=0∈ ]⊆
− ( ),
+ ( )
. , maka − ) ( ) = −(
− )∈
sedemikian
21
Jika ∑ Misal
⊆ =
∈ ∑
dan misal
= ∑
, maka
{ ( ) ∶ 1 ≤ ≤ }. Karena
2
( )
≤
2
( )
≤
dimana
∈
.
bijektif,
2
Maka,
2
1 1 1 1 + + +⋯+ 2 4 8 2
=
1⁄2 1 − 1⁄2
=
= Karena −
<
<
,
− Maka, − <
< . Karena
2
( )
<
<
2
( )
∈ (− , ) ⊆ . Maka ∑
⊆ . Sehingga
terintegral McShane dengan nilai integral ( ) = 0
B. Sifat-Sifat Integral McShane Untuk menentukan apakah suatu fungsi terintegral McShane atau tidak tanpa mencari nilai integralnya, bisa digunakan kriteria cauchy untuk integral McShane yang dijelaskan pada teorema berikut.
22
Teorema 3.1 Fungsi : [ , ] → ℝ terintegral McShane pada interval [ , ] jika dan hanya
sehingga | (
> 0 pada [ , ] sedemikian
> 0 terdapat fungsi
jika untuk setiap
)− (
)| <
dimana
dan
merupakan partisi
berlabel bebas dari [ , ] yang subordinat ke . (Gordon, 1994 : 158) Bukti (i.) Misal
∶ [ , ] → ℝ terintegral McShane pada interval [ , ]. Akan > 0 pada interval [ , ]
> 0 terdapat fungsi
dibuktikan untuk setiap sedemikian sehingga | (
)− (
)| <
dimana
dan
merupakan
partisi berlabel bebas dari [ , ] yang subordinat ke . Dari definisi integral McShane dengan nilai , jika untuk setiap ∶ [ , ] → (0, ∞) sedemikian sehingga ‖ ( ) −
> 0 terdapat fungsi ‖<
= {([ ,
dimana
yang subordinat ke
], )}
terdapat
sedemikian sehingga jika [ , ] yang subordinat ke (
dan dan
)−∫
merupakan partisi Mcshane dari [ , ] > 0 pada interval [ , ]
> 0 dan
merupakan partisi berlabel bebas dari maka berlaku :
<
dan
(
)−∫
<
Perhatikan bahwa : Unttuk setiap
> 0 pilih
( ) = min{ ( ),
( )} dimana
(
− (
maka; | (
)− (
)| =
)−
+
)
∈ [ , ],
23
≤ Dimana
(
)−
−
(
)−
<
2
+
2
=
adalah partisi berlabel bebas pada interval [ , ] yang
dan
subordinat ke . > 0 pada interval [ , ]
> 0 terdapat fungsi
(ii.) Misal untuk setiap sedemikian sehingga | (
)− (
)| <
dimana
dan
partisi berlabel bebas dari [ , ] yang subordinat ke
merupakan
. Akan dibuktikan
∶ [ , ] → ℝ terintegral McShane pada interval [ , ]. Misalkan untuk setiap jika ke
dan
)− (
misalkan
dan
maka | (
)− (
)}
)| < . . Perhatikan, bahwa untuk setiap
)| < , untuk setiap
→ ∞ maka | (
dimana untuk setiap
∈ ℝ. Jadi lim
>
> 0 (pilih
→
(
) − | < . Berarti terdapat > ,
maka )} )= . ∈ ℝ,
∈ ℝ) dan diketahui terdapat
> 0 sehingga; | ( )− | = | ( )− ( ≤| (
dimana
∈ ℝ . Jika
adalah barisan Cauchy di ℝ. Akibatnya { (
Sehingga, ketika
∈ ℝ,
adalah partisi berlabel bebas yang subordinat ke
konvergen, misalkan konvergen ke
fungsi
> 0 sedemikian sehingga
merupakan partisi berlabel bebas dari [ , ] yang subordinat
berlaku | (
{ (
∈ ℝ terdapat
) − ( )| + | (
)+ (
)− | <
1
)− | +
1
=
2
<
adalah sebarang partisi berlabel bebas yang subordinat ke . ∎
24
Integral McShane juga memenuhi sifat penambahan selang yang dijelaskan pada Teorema berikut. Teorema 3.2 Misal : [ , ] → ℝ dan
∈ ( , ). Jika
interval [ , ] dan [ , ], maka ( )∫
= ( )∫
terintegral McShane pada setiap
terintegral McShane pada [ , ] dan
+( )∫ (Gordon, 1994 : 158-159)
Bukti Misal : [ , ] → ℝ dan
∈ ( , ). Misal
terintegral McShane pada setiap
interval [ , ] dan [ , ]. Akan dibuktikan
terintegral McShane pada [ , ]
dan ( ) ∫
= ( )∫
+( )∫
interval [ , ], maka untuk setiap
. Karena
terintegral McShane pada
> 0, terdapat fungsi positif
interval [ , ] sedemikian sehingga | (
)− |<
> 0 pada
dimana
adalah
partisi berlabel bebas pada interval [ , ] yang subordinat ke
. Begitu
juga,
terintegral McShane pada interval [ , ], maka untuk setiap
> 0,
terdapat fungsi positif
> 0 pada interval [ , ] sedemikian sehingga
| (
adalah partisi berlabel bebas pada interval [ , ]
) − | < dimana
yang subordinat ke Definisikan
.
pada interval [ , ] sebagai berikut;
( )=
⎧ ⎪ ⎨ ⎪ ⎩
1 ( ), ( − ) , 2 { ( ), ( )}, 1 ( ), ( − ) , 2
≤
≤
= <
≤
25
Misalkan
adalah partisi berlabel bebas pada interval [ , ] akan ditunjukan
terdapat
pada interval [ , ] yang subordinat ke
[ , ] yang subordinat ke
dan
pada interval
sedemikian sehingga ( ) = (
)+ (
).
Kasus I : Jika
adalah titik partisi dari
, maka
akan termuat ke dalam dua
yaitu [ , ] dan [ , ] dimana pilih
subinterval dari
kedua subinterval. Karena yang subordinat ke
adalah partisi berlabel bebas pada interval [ , ] subordinat ke . Begitu juga dengan
jelas
berlabel bebas pada interval [ , ] yang subordinat ke ke
sebagai label dari
dan ( ) bisa dinyatakan ( ) = (
)+ (
jelas
partisi
subordinat
).
Kasus II : Jika
= {( , )}
bukan partisi dari
maka
beberapa subinterval, katakan label dari subinterval [ titik dan ( )(
pada dua pasang subinterval ([
, ], ) dan ([ ,
adalah label dari ]. Tempatkan
,
], ) dimana
adalah partisi berlabel bebas pada interval [ , ] dan [ , ]. Karena ) = ( )( −
−
) + ( )(
− ) maka jelas
dan
adalah partisi berlabel bebas pada interval [ , ] dan [ , ] subordinat ke dan ( ) bisa dinyatakan ( ) = (
)+ (
).
Oleh karena itu, perhatikan bahwa : ( )− ≤
(
)−∫
+ +
= (
(
)−∫
)+ (
)−
< + =
−
26
terintegral McShane pada interval [ , ] dan
Jadi
( )∫
= ( )∫
+ ( )∫ ∎
Integral McShane juga memenuhi sifat perkalian skalar dan penjumlahan dua fungsi yang dijelaskan pada teorema kelinearan integral berikut. Teorema 3.3 Misal
terintegral McShane pada [ , ], maka
dan
terintegral McShane pada [ , ] dan ( ) ∫
a.
+
untuk
∈ ℝ;
setiap b.
= ( )∫
∈
[ , ] dan ( ) ∫ ( + ) = ( ) ∫
+( )∫
.
(Gordon, 1994 : 159) Bukti Misal
dan
terintegral McShane pada [ , ].
Kasus I : untuk Karena
∈
≠0
( , ) maka setiap
[ , ] sedemikian sehingga
> 0, terdapat fungsi
( )−∫
<|
|
dimana
> 0 pada interval adalah partisi
berlabel bebas pada interval [ , ] yang subordinat ke . Perhatikan bahwa: ( )−
=
( )−
=| |
( )−
<| |
| |
=
27
=0
Kasus II : untuk Perhatikan bahwa: ( )−
( )−
=
Selalu dipenuhi untuk setiap
=0<
> 0.
untuk setiap
∈ ℝ dengan
= > 0,
sifat; untuk setiap
> 0 pada interval [ , ] sedemikian sehingga
terdapat fungsi
=
∈ ℝ; Berdasarkan kasus I dan II, pilih
∈ ℝ karena terdapat
∫
( )−
terintegral McShane pada [ , ] dan ( ) ∫
a. Akan dibuktikan ( )∫
= |0 |
adalah
partisi berlabel bebas pada interval [ , ] yang subordinat ke , berlaku ( )− ∫ untuk setiap
< . Artinya
+
= ( )∫
[ , ] dan ( ) ∫ ( + ) = ( ) ∫
∈
( )∫
. Karena
setiap
> 0, terdapat fungsi
subordinat ke
[ , ] dan ( ) ∫
∈ ℝ.
b. Akan dibuktikan
sehingga
∈
+
terintegral McShane pada interval [ , ] maka untuk > 0 pada interval [ , ] sedemikian
adalah partisi berlabel bebas pada interval [ , ] yang , berlaku
(
)−∫
< . Begitu juga,
terintegral
McShane pada interval [ , ] maka untuk setiap
> 0, terdapat fungsi
> 0 pada interval [ , ] sedemikian sehingga
adalah partisi berlabel
bebas pada interval [ , ] yang subordinat ke ∫
< .
, berlaku
(
)−
28
Perhatikan bahwa : ( )=
Pilih
{ ( ),
( )} untuk setiap
∈ [ , ]. Jika
adalah
partisi berlabel bebas pada interval [ , ] yang subordinat ke
, maka
> 0 berlaku;
setiap
( + )( ) −
≤ Artinya
+
∈
+
=
( )−
( )+ ( )−
( )−
+
<
2
+
2
[ , ] dan ( ) ∫ ( + ) = ( ) ∫
−
= +( )∫ ∎
Sifat selanjutnya merupakan sifat perbandingan dua fungsi yang terintegral McShane, dimana apabila atau sama dengan nilai integral
≤ , maka nilai integral
juga kecil
, seperti yang dijelaskan pada teorema
berikut. Teorema 3.4 Misal ≤
dan
terintegral McShane pada [ , ], sedemikian sehingga jika
pada [ , ], maka ( ) ∫
≤ ( )∫ (Gordon, 1994 : 159)
Bukti Misal
dan
terintegral McShane pada [ , ]. Akan dibuktikan jika
( ) ≤ ( ) setiap
∈ [ , ], maka ( ) ∫
Karena ( ) ≤ ( ) setiap
≤ ( )∫
∈ [ , ] maka ( ) ≤ ( ).
.
29
Perhatikan bahwa : Fungsi
dan
terintegral McShane pada interval [ , ], maka setiap
> 0, terdapat fungsi
> 0 pada interval [ , ] sedemikian sehingga jika
adalah partisi berlabel bebas pada interval [ , ] yang subordinat ke , berlaku
(
)−∫
< dan
(
)−∫
< .
Akibatnya diperoleh; − < ( )−∫
<
⋯ ⋯ ⋯ (∗)
− < ( )−∫
<
⋯ ⋯ ⋯ (∗∗)
Dari (∗) dan (∗∗) diperoleh; − +∫ ∫
<∫
< ( )≤ ( )<∫
+
+ , maka diperoleh ( ) ∫
sehingga didapat ≤ ( )∫ ∎
30
BAB IV PENUTUP A. Kesimpulan Berdasarkan analisa yang telah dilakukan pada bab sebelumnya dapat diambil kesimpulan sebagai berikut: 1. Jika
∶ [ , ] → ℝ dan
= {([ ,
], )}
merupakan partisi berlabel
bebas dari interval [ , ] maka jumlah McShane didefinisikan dengan ( )=∑
( )(
− ).
McShane pada [ , ] dengan nilai ∶ [ , ] → (0, ∞) = {([ ,
sedemikian
], )}
∶ [ , ]→ℝ
Fungsi
, jika untuk setiap sehingga
terin
tegral
> 0 terdapat
‖ ( )− ‖<
dimana
merupakan partisi Mcshane dari [ , ] yang
subordinat ke . 2. Kriteria Cauchy digunakan untuk menentukan apakah suatu fungsi terintegral McShane atau tidak tanpa mencari nilai integralnya. Fungsi : [ , ] → ℝ terintegral McShane pada interval [ , ] jika dan hanya jika untuk setiap (
)| <
pada [ , ] maka berlaku | (
> 0 terdapat fungsi
dimana
dan
)−
merupakan partisi berlabel bebas dari [ , ]
yang subordinat ke . Sifat – sifat yang dipenuhi oleh fungsi terintegral McShane antara lain : a. Integral Mcshane memenuhi sifat : [ , ] → ℝ dan
∈ ( , ). Jika
interval [ , ] dan [ , ], maka ( )∫
= ( )∫
+ ( )∫ 30
penambahan selang. Misal
terintegral McShane pada setiap terintegral McShane pada [ , ] dan
.
31
b. Integral McShane juga memenuhi sifat perkalian skalar dan penjumlahan dua fungsi. Misal [ , ], maka ( )∫
dan
terintegral McShane pada
terintegral McShane pada [ , ] dan ( ) ∫
untuk setiap
( )∫ ( + ) = ( )∫
∈ ℝ; dan jika +( )∫
+
∈
[ , ]
= maka
.
c. Integral McShane juga memenuhi sifat perbandingan dua fungsi yang terintegral McShane. Misal
dan
terintegral McShane pada [ , ],
sedemikian sehingga jika
≤
pada [ , ], maka ( ) ∫
( )∫
≤
.
B. Saran Penelitian ini hanya membahas pengkonstruksian integral McShane serta beberapa sifat integral McShane di ℝ. Bagi peneliti selanjutnya yang ingin melanjutkan pembahasan mengenai integral McShane, disarankan untuk melanjutkan pembahasan mengenai kekonvergenan barisan fungsi terintegral McShane.
32
DAFTAR PUSTAKA Apostol, Tom M. 1974. Mathematical Analysis, Second Edition. California : Addison – Wesley. Bartle, R. G. 2000. A Modern Theory of Integration. Rhode Island : American Mathematical Society Providence. Bartle, R.G and Sherbert, D.R. 2000. Introduction to Real Analysis, Third Edition. New York : John Wiley and Sons, Inc. Goldberg, Richard R. 1976. Method of Real Analysis. New York : John Willey and Sons, Gordon, R.A. 1994. Theory of Lebesque, Denjoy, Perron, and HenstockKurzweil Integral. Rhode Island : Ams Publishing Company. Hutahaean, E. 1980. Fungsi Rill. Bandung : ITB J Purcel, Edwin. 1987. Kalkulus dan Geometri Analitis. Jakarta : PT. Airlangga. Kurtz, Douglas S and Charles W Swartz. 2004. Theories of Integration, The Integrals of Riemann, Lebesgue, Henstock-Kurzwell, and McShane. Singapore : World Scientific Printers (S) Pte Ltd. Paluga, Rolando N. And Sergio R. Canoy, Jr. 2010. On the McShane Integral in Topological Vector Spaces. Park, Chun-Kee. 2003. On Denjoy-McShane-Stieltjes Integral. Saks, Stanislaw. 1937. Theory of the Integral . Second Resived Edition. New York : Hafner Publishing Company. Wells, Jonathan. 2011. Generalizations o the Riemann Integral : An Investigation of Henstock Integral. Yee, Peng Lee. 1989. Lanzhou Lectures on Henstock Integration. Singapore : JBW Printers & Binders Pte. Ltd. Yee, Peng Lee and Vyborny. 2000. Integral : An Easy Approach after Kurzweil and Henstock. USA : Cambridge University Press.
vi
