KONSEP TRAPESIUM PADA INTEGRAL LIPAT DUA (Pendalaman Materi Untuk Peserta Diklat Guru Matematika MA) By. Drs. Swengli Umar, M.Si Widyaiswara Pada BDK Manado
A. Pendahuluan Penerapan integral lipat dua yang paling jelas adalah dalam penghitungan volume benda pejal. Penggunaan integral ganda dua yang demikian telah digambarkan secara luas, sekarang terdapat penerapan lain yaitu massa, pusat massa, momen Inersia dari radius kitaran. Menurut definisi kamus, mengintegrasi berarti “memadukan bersama, sebagian kedalam suatu keseluruhan, menyatukan, menunjukkan jumlah total“, secara matematis integrasi dapat dinyatakan oleh: b
I=
f x dx a
Yang diartikan sebagai integrasi fungsi f(x) terhadap variabel x, yang dievaluasikan antara batas x = a hingga x = b. Sebagaimana dianjurkan oleh definisi kamus, makna persamaan diatas adalah jumlah total atau asumsi f(x) dx yang meliputi bentangan dari x = a hingga x = b. Kenyataannya, symbol sebenarnya merupakan huruf besar S yang divariasikan untuk menandai
1
hubungan yang dekat antara integrasi dan sumasi (Thomas dan Finney,1979). Fungsi yang akan diintegrasikan menurut jenisnya adalah: 1. Fungsi kontinu sederhana, seperti sebuah polinomial, eksponensial atau sebuah fungsi trigonometri. 2. Suatu fungsi kontinu yang rumit, yakni sukar atau tidak mungkin untuk mengintegrasi secara langsung. 3. Suatu fungsi yang ditabulasikan di mana harga x dan f(x) diberikan pada sejumlah titik diskrit, seperti sering dijumpai pada data eksperimen. Dalam kasus pertama, integral sebuah fungsi sederhana bias dievaluasikan secara eksak dengan dievaluasikan secara eksak dengan menggunakan teknik analitis yang telah dipelajari dalam kalkulus. Tetapi untuk kedua kasus terakhir harus dilakukan metode aproksimasi. Suatu pendekatan sederhana dan intuitif ialah dengan memplot fungsi tersebut pada kedua kisi, dan menghitung banyaknya kotak untuk mengaproksimasikan luas. Jumlah ini dilakukan oleh luas setiap kotak, dan akan memberikan sebuah taksiran kasar dari luas total di bawah kurva. Taksiran ini dapat diperbaiki dengan melakukan upaya tambahan, yakni menggunakan kisi yang lebih halus. Pendekatan lain yang masuk akal ialah membagi luas tersebut ke dalam segmen – segmen vertikal, atau bilah – bilah (strips) yang tingginya sepada dengan harga fungsi pada titik tengah pada setiap bilah. Luas beberapa empat persegi panjang kemudian dapat dihitung, lalu dijumlahkan untuk menaksir luas total. Pada pendekatan ini dianggap bahwa harga yang terletak ditengah memberikan suatu aproksimasi yang berlaku untuk tinggi fungsi rata – rata untuk setiap bilah, seperti metode kisi,
2
taksiran yang diperhalus memungkinkan dengan menggunakan bilah yang lebih banyak (dan lebih halus) untuk mengaproksimasikan integral tersebut. B. Pembahasan 1. Integral Tunggal Banyak cara yang dapat digunakan untuk menyelesaikan suatu integral, yakni dengan metode eksak dan numeric dengan bantuan komputer. Dalam hal ini, masalah integral akan diselesaikan dengan metode numeric. Untuk itu, perlu dipahami bahwa integral tidak lain limit dari penjumlahan suatu partisi kecil pada suatu interval. Untuk lebih jelasnya, perhatikan interval [ a,b ] yang dibagi atas n partisi kecil pdan memiliki panjang sebesar ΔXk , k = 1,2,…,n Untuk mengambil n yang cukup besar agar didapat partisi p sangat kecil, jumlah dari luas persegi panjang yang berada di bawah kurva y = f(x) ( f(x) X,Y = 0 ) dan terbatas dalam interval [ a,b ] dapat dinyatakan.
Dengan X k suatu titik pada suatu partisi p. Dan (l) didefinisikan sebagai integral tunggal b
I=
f x dx a
a. Integral Lipat Dua Atas Persegi Panjang R berupa persegi panjang dengan sisi – sisi yang sejajar sumbu – sumbu koordinat R = {(x,,y); a >x
d } Bentuk suatu partisi P dari R berupa garis – garis sejajar sumbu x dan y dan membagi R menjadi beberapa persegi panjang kecil yang berjumlah n
3
buah. Norm P merupakan panjang diagonal terpanjang dari setiap persegi panjang bagian dalam partisi. DEFINISI Andaikan f suatu fungsi dua peubah yang terdefinisi pada suatu persegi panjang tertutup R, jika :
Ada, dikatkan bahwa ʄ terintegral pada R. lebih lanjut
f x, y dA,
disebut sebagai integral lipat dua dari ʄ pada R yang dinyatakan dengan :
Menyatakan volume benda berada dibawah permukaan z = f(x,y) dan di atas persegi panjang R. Pernyataan Keudua Tidak setiap fungsi dua peubah terintegral pada suatu persegi panjang tertutup yang diberikan. Untuk lebih jelasnya, hal tersebut dinyatakan pada teorema berikut : TEOREMA (Teorema Keintegralan) jika f terbatas pada suatu persegi panjang tertutup R dan jika f kontinu pada daerah tersebut kecuali pada sejumlah hingga kurva mulus, f terintegral pada R. Khususnya, jika f kontinu pada seluruh R, f terintegral pada daerah tutup R. Sebagai akibatnya, hampir semua fungsi (asal terbatas) adalah fungsi yang terintegralkan pada setiap persegi panjang.
4
Sifat – sifat integral lipat dua Integral lipat dua mewarisi hampir semua sifat – sifat tunggal. 1) Integral lipat dua adalah linier 2) Integral lipat dua adalah aditif pada persegi panjang yang saling melengkapi hanya pada suatu ruas garis. 3) Sifat pembandingan berlaku jika f(x,y) g(x,y) untuk semua (x,y) di R,maka Semua sifat – sifat ini berlaku pada himpunan – himpunan yang lebih umum daripada persegipanjang. Dalam perhitungan integral lipat dua, pertama–tama perhatikan bahwa jika f(x,y) = 1 pada R, maka integral lipat dua merupakan luas R, dan dari ini menyusul bahwa b. Integral Lipat Dua atas Daerah Bukan Persegipanjang Sekarang perhatikan suatu himpunan S tertutup dan terbatas di bidang. 2. Integral lipat dua pada persegi Banyak cara yang dapat digunakan untuk menyelesaikan suatu integral, yakni dengan metode eksak atau numerik dengan bantuan komputer. Dalam hal ini, masalah integral akan diselesaikan dengan metode numerik. Untuk itu, perlu dipahami bahwa integral tidak lain limit dari penjumlahan suatu partisi kecil pada suatu interval. Untuk lebih jelasnya, perhatikan fungsi f: [a,b] R yang kontinu, dimana a daerah R yang dihubungkan dengan grafik fungsi nonnegatif kontinu y = f(x) dan x berada pada a, x, b (gambar 1). Kita juga melakukannya dengan membagi interval [a,b] menjadi beberapa sub interval dengan panjang xj = xj – xj-1. Setelah memilih satu
5
angka tj secara acak pada masing – masing interval maka akan mendekati penjumlahan Riemann
mewakili penjumlahan daerah persegi yang tampak pada (gambar 2) sehingga kita dapat membuktikan limit dari penjumlahan Riemann dimana n ∆ ~ dan sebagai bentuk dari partisi ||Pn|| ∆ 0, adalah daerah hasil. Hal ini menggambarkan tentang definisi integral tunggal.
Gambar-3 Untuk fungsi dengan dua variabel, alasan utama membentuk integral lipat dua yang akan lebih sesuai untuk perhitungan volume daripada luas. Ini karena a daerah Q pada daerah asal Z = f(x,y) dan grafik f pada bidang Q menghubungkan garis pada ruang nyata. Kita akan mendekati volume secara nyata dengan menggunakan prisma segiempat (gambar 3).
6
Gambar-3 Kita mulai dengan masalah perhitungan volume V dari garis lurus dengan menggunakan grafik fungsi nonnegatif kontinu z = f(x,y), berikut ini menggunakan persegi R ={(x,y) | a _ x _ b, c _ y _ d} pada permukaan datar xy, dan pada keempat sisi datar yang tegak x = a, x = b, y = c, dan y = d (lihat gambar 3). Penggunaan terminology yang sama pada bentuk satu variable maka P1 = {a = x0,x1,x2, . . . ,xn = b} menjadi partisi dari interval [a,b] sehingga P2 = {c = y0,,y1,y2, . . .,yn = d} menjadi partisi dari interval [c,d]. Dan juga Δxj = xj – xj-1, j= 1,2, . . .,n. dan _yk = yk – yk-1, k = 1,2, . . ., m. Seperti yang tampak pada (gambar 4), partisi ini membedakan garis yang membagi daerah R menjadi persegi – persegi Rjk dari daerah Ajk = ΔxΔyk, untuk j = 1,2, . . .,n dan k = 1,2, . . .,m. Kita melihat ini sebagai garis partisi P yang berpengaruh pada R oleh partisi P1 dan P2, dan kita melihat bentuk ||P|| dari partisi ini menjadi lebih luas dari bentuk ||P1|| dan ||P2|| dari partisi P1 dan P2 yaitu ||P|| = max{||P1||,||P2||} = max{Δx1, Δx2, . . . , Δxn, Δy1, Δy2, . . . Δym}. Pemikiran kita sekarang untuk mendekati volume dari daerah diatas persegi Rjk dan dibawah grafik f dengan volume prisma segiempat dengan daerah awal ΔAjk = ΔxjΔyk. Untuk tinggi prisma digunakan fungsi nilai f(sj,tk) dimana titik (sj,tk) ini secara acak pada persegi Rjk. Yang akan mendekati
7
Yang menunjukkan penjumlahan ganda Riemann untuk fungsi f pada persegi R. Seperti pada bentuk satu variabel, kita sekarang bertanya apakah batas dari penjumlahan Riemann seperti ukuran persegi Rjk menjadi sangat kecil. Berikut adalah definisi dari apa yang kita maksud dengan batas penjumlahan Riemann dalam persamaan (1). Definisi.1 Kita menyebut S sebagai batas dari penjumlahan Riemann pada persamaan (1), dimana ||P|| → 0 (dan seperti n → ~ dan m → ~), tertulis:
adalah definisi dari apa yang kita maksud dengan batas penjumlahan Riemann dalam persamaan (1). Definisi.1 Kita menyebut S sebagai batas dari penjumlahan Riemann pada persamaan (1), dimana ||P|| _ 0 (dan seperti n _ ~ dan m _ ~), tertulis: k P 1 1 0 || || lim f(sj,tk) Ajk, . jika, ambil sembarang ∆ > 0, terdapat ∆ >0 sehingga jika 0 < ||P|| < ∆, maka seperti pada titik (sj,tk) yang diambil dari Rjk. Definisi 1 secara sederhana menyatakan bahwa batas dari penjumlahan Riemann dalam persamaan (1) merupakan S jika penjumlahan ini menggunakan jumlah S sebagai jumlah persegi Rjk dalam partisi P menjadi tak terhingga dan seperti dalam kedua dimensi (∆xj dan ∆yk) dari masing – masing persegi Rjk mendekati nol.
8
Seperti dalam bentuk satu variabel penjumlahan ganda Riemann pada persamaan (1) akan memiliki batas S ketika fungsi f continu pada persegi R. Hasilnya tidak terbukti. Teorema 1 Jika f adalah fungsi dari dua variabel tunggal pada persegi R dan f kontinu pada R dan P dengan partisi dari R, seperti penjelasan di atas, maka batas
Definisi 2 Jika f adalah fungsi kontinu dari dua variabel pada persegi R = {(x,y) | a ≤ x ≤ b, c ≤ y ≤ d}.Integral lipat dua dari f pada persegi R merupakan jumlah dari:
Dimana P merupakan partisi dari persegi R dan (sj,tk) adalah titik acak pada persegi Rjk = {(x,y) | xj-1 ≤ x ≤ xj, yk-1 y ≤ yk}.
Kita menggunakan tanda dua integral untuk menunjukkan bahwa ini menyatakan hasil dari proses limit ganda. Interval x [a,b] dan interval y [c,d] keduanya telah dipartisi menjadi sub interval. Pembagian pada R menunjukkan persegi melalui proses pengintegralan. Sekarang symbol dA (yang dapat juga ditulis dx dy) menunjukkan bahwa penjumlahan Riemann telah diperoleh dengan mempartisi R menjadi persegi dari daerah ∆Ajk = ∆xj∆yk. Sebelum fungsi f menjadi integral Berdasarkan pada perkembangan yang menunjukkan penjumlahan Riemann, kita simpulkan bahwa volum V dari garis yang pada bagian atas dihubungkan dengan
9
grafik fungsi f kontinu nonnegative dan pada bagian bawah dengan persegi R pada bidang xy adalah
Tetapi bagaimana kita mengevaluasi Integral pada persamaan (2)? Pada dasarnya akan ada hasil yang sama dengan dasar teori kalkulus yang memungkinkan kita untuk menyelesaikannya. Sebenarnya jawaban untuk pertanyaan ini adalah sama. Diambil dari bab dimana volume V ditunjukkan oleh integral tunggal.
Dimana A(x) adalah daerah persilangan tegak lurus terhadap garis x- axis. Sekarang x0 _ [ a,b ] adalah sesuai / tepat maka daerah dari persilangan ini Menjadi
Karena persilangan di atas dihubungkan menggunakan fungsi g(y) = f (x0,y). ( lihat gambar 4 )
Dengan mengkombinasikan persamaan (3) dan (4) kita dapat menyimpulkan :
10
Maksud dari persamaan (5) adalah bahwa volume V telah dihitung pada pengintegrasian pertama, dengan memperhatikan y ( dimana x adalah konstan) dari c ke d, kemudian mengintegralkan fungsi hasil x dari a ke b. Pada gambar 5 tampak bahwa kita telah mulai dengan mengubah yo dan memperoleh daerah persilangan tegak lurus terhadap y – axis dan y = yo sebagai
Hasil penghitungan untuk volume adalah
Gambar-6 Integral pada persamaan (5) dan (6) disebut sebagai integral iterated / iterasi, karena melibatkan komposisi dari dua integrasi, dimana masing – masing adalah variabel tunggal. Dan dapat ditulis secara sederhana dengan
Dan
Sangat penting untuk mengetahui bahwa integral iretated diinterpretasikan “ dari dalam ke luar “, seperti yang dijelaskan pada persamaan (7) dan (8). Pada akhirnya dapat kita catat bahwa definisi dari integral lipat dua pada definisi ke 2
11
tidak berdasar pada fungsi f nonnegatif. Integral lipat dua f (x,y) dA sehingga menjadi jelas untuk semua fungsi kontinu f, dengan mengabaikan fungsinya pada persegi R. Saat f (x,y) ∆ 0 untuk semua ( x,y ) pada R, kita dapat mengkombinasikan pernyataan (2) dengan pernyataan (5) hingga (8) untuk mendapatkan persamaan – persamaan;
Dan
Persamaan (9) dan (10) benar –benar mengabaikan tanda f ( x,y ), namun integral pada persamaan (9) dan (10) sama dengan volume daerah antara persegi R dan grafik z = f ( x,y ) saat f ( x,y ) ∆ 0 untuk semua ( x,y ) pada R, a < b, dan c < d. untuk selanjutnya kita akan membahas lipat dua. 3.
Integral Lipat Dua pada Daerah Bukan Persegi Integral lipat dua dapat ditunjukan dengan jelas melalui daerah pada
bidang yang lebih tak beraturan dari segi empat. Misal Q adalah region pada bidang yang dibatasi ( dalam arti terdapat dalam beberapa persegi) dan garis batasnya merupakan kurva atau lengkungan yang tidak berpotongan. Sebuah persegi merupakan contoh sebuah region, demikian juga dengan pentagon, segi tiga, dan lingkaran atau mungkin sebuah region yang tak beraturan. Jika f adalah suatu fungsi kontinu dari dua variabel tunggal pada Q
12
Dari keadaan pada Q dan f, pada m ∆ ∆ dan ||P|| ∆ 0 maka penjumlahan Rieamann akan menunjukkan angka yang merupakan integral lipat dua dari f pada region Q:
Persamaan (2) sebenarnya merupakan definisi dari integral lipat dua pada keadaan ini, meskipun kita tidak menyatakan secara langsung karena akan merupakan pengulangan yang mendekati persamaan – persamaan sebelumnya. Sebelum kita membuktikan, kita harus memperhatikan dua hal yang mempengaruhi definisi ini. (i) Meskipun hanya satu penjumlahan yang muncul pada persamaan (2), definisi ini sama dengan definisi 2 dimana Q adalah persegi. Perbedaannya hanyalah kita harus menggunakan langkah penghitungan dimensi dua dalam menyatakan definisi 2. Pada persamaan (2) kita telah menyederhanakan daftarnya termasuk persegi R1, R2,…., Rm yang menggunakan indeks tunggal. (ii) Saat f ( x,y ) _ 0 untuk semua ( x,y ) _ Q, integral lipat dua (2) menunjukan volume dari bentuk yang dihubungkan dengan grafik dari z = f ( x,y ) dan region Q. dengan alasan yang sama pada kasus yang lebih mudah dari integral lipat dua pada persegi. Ada dua macam region untuk integral lipat dua pada persamaan (2) yang dapat dievaluasi sebagai integral iterated: region sederhana x dan y. Definisi 3 13
Sebuah daerah Q pada bidang xy disebut y sederhana jika terdapat fungsi kontinu g1 dan g2 sehingga
Region Q disebut x sederhana jika terdapat fungsi kontinu h1 dan h2 sehingga
Region Q disebut beraturan jika keduanya x dan y sederhana. Gambar 6 memberikan dua gambaran dari region y sederhana. Keadaan dimana g1(x) ≥ y ≥ g2 (x) untuk semua x ≥ [ a, b ] secara sederhana berarti bahwa garis bagi vertical yang menghubungkan ( x, g1(x)) dan ( x g2 (x)) terbentang pada region Q. Dengan kata lain ini adalah garis paralel y – axis yang memotong Q hamper dua kali.
Gambar-6
Gambar-7
Gambar. 6 Dua region y sederhana: garis vertikal memotong Q hampir dua Kali Gambar. 7 menunjukan dua region x sederhana. Keadaan ini berarti bahwa garis paralel x – axis memotong Q hamper dua kali. Demikian juga gambar.6(a) dan 7(a) adalah beraturan (keduanya x dan y sederhana). Namun gambar 6(b) bukan x sederhana dan 7(b) bukan y sederhana.
14
Gambar-6a
Gambar-7a
Gambar. 7 Dua region y sederhana: garis horisontal memotong Q hamper dua kali Teori berikut menunjukan bagaimana integral lipat dua pada region x atau y sederhana dapat dibuktikan sebagai integral iterated. Teorema 2 Jika f merupakan fungsi kontinu dari dua variabel pada region Q : 1.
Jika
Adalah y sederhana maka :
2. Jika :
Adalah x sederhana, maka :
Persamaan (3) menyatakan jika Q adalah y sederhana, kita pertama – tama integrasi f sebagai fungsi dari y sendiri, diantara limit g1(x) dan g2 (x). fungsi hasil dari x sendiri kemudian kita integrasi menggunakan limit konstan a ≤ x ≤ b. Persamaan (4) menyatakan bahwa jika Q adalah x sederhana, kita pertama – tama integrasi f sebagai fungsi dari x sendiri, di antara h1(y) dan h2 (y). Kita tidak harus
15
membuktikan teorema 2. Gambar. 8 menyatakan validitas persamaan (4) ketika f nonnegative pada Q dan Q adalah x sederhana untuk y tetap maka integral :
akan memberi daerah persilangan dari bentuk tersebut dengan grafik f dan region Q. Rumus yang sama untuk volume V dari sebuah bangun yang diketahui daerah persilangannya menjadi
Gambar-8 Gambar. 8 Jika Q adalah x sederhana, daerah persilangan tegak lurus terhadap y – axis pada yo adalah:
Karena sisi kiri persamaan (5) sama dengan integral lipat dua kita peroleh persamaan (4). Dalam menggunakan teorema 2 untuk membuktikan integral lipat dua, sangat penting untuk membuat gambar region Q untuk menentukan apakah x atau y sederhana. Langkah ini akan lebih sering membantu dalam pengintegrasian pada integral iterated. (Tentu saja jika Q adalah region beraturan, kita dapat mengerjakan dengan cara lain. Hati – hati bahwa limit dari integrasi sama dengan langkah yang dipilih dalam integrasi.)
16
Penggantian langkah dalam integrasi Akan ada saat dimana kita perlu mengganti langkah – langkah integrasi pada integral iterated, karena sebuah anti derivative(turunan) tidak dapat ditemukan dengan menggunakan variabel “dalam“. Seperti pada integral iterated berikut:
Kita tidak dapat menemukan sebuah anti turunan (formal) untuk integrand ye dengan memperhatikan x. Namun integral seperti ini dapat dibuktikan dengan membalikkan langkah – langkah integrasinya. Sebagai contoh; anti turunan ye dimana y adalah fungsi y2e . Tapi kita akan membalikan langkah dimana integrasi ditunjukkan, kita juga harus menentukan limit yang benar dari integrasi yang sama dengan langkah integrasi yang baru. Seperti berikut: Untuk membalik langkah integrasi pada integral lipat dua
(i) Identifikasi region Q dimana integral iterated dapat ditulis sebagai integral lipat dua.
(ii) Temukan konstanta a dan b, dan fungsi kontinu g1 dan g2, sehingga region Q dapat dinyatakan sebagai berikut: Q = {( x, y ) | a ≤ x ≤ b, g1(x) ≤ y ≤ g2 (x) } (iii) Tulis kembali integral iterated sebagai berikut:
17
Secara jelas langkah ini dapat digunakan jika Q adalah region beraturan. Dan meskipun langkah ini dinyatakan untuk membalikan langkah integrasi dari dx dy menjadi dy dx, langkah untuk mengganti dy dx menjadi dx dy adalah sama. Pada akhirnya tidak ada kepastian bahwa integral hasil lebih mudah dibuktikan daripada integral awal. Aturan integral lipat dua Dijelaskan dalam bagian ini bahwa integral lipat dua memenuhi persamaan berikut:
pada (iii) Q = Q1 U Q2 adalah union dari dua region nonoverlapping Q1 dan Q2, masing – masing memenuhi nilai Q. persamaan (iii) meluas menjadi union dari banyak region nonoverlapping Q1, Q2, …. Qn dari bentuk ini. Kita tidak membuktikan persamaan (i) sampai (iii). Buktinya adalah sama dengan bentuk integral dengan satu variabel. C. Penutup Dari uraian pada pembahasan di atas dapat disimpulkan : 1. Garis
besar
langkah-langkah
dalam
metode
Trapesium
untuk
menyelesaikan masalah integral lipat dua adalah sebagai berikut: 𝑑
𝑐
𝑑 − 𝑐 𝑓 𝑥, 𝑑 + 𝑓 𝑥, 𝑐 𝑓(𝑥, 𝑦) 𝑑𝑦 ≈ + 𝑛 2 =
𝑛−1
𝑓 𝑥, 𝑐 + 𝑖 𝑖=1
𝑑−𝑐 dan 3 mengikuti arah y sedangkan x tetap 𝑛
18
𝑓 𝑥, 𝑑 + (𝑥, 𝑐) 𝑎𝑚𝑏𝑖𝑙𝑎 𝑠𝑒𝑏𝑢𝑎 𝑓𝑢𝑛𝑔𝑠𝑖 𝑔 𝑥 = + 2
𝑛−1
𝑓 𝑥, 𝑐 + 𝑖 𝑖=1
Sehingga 𝑑 − 𝑐𝑏 𝑛
𝑏
𝑎
𝑑−𝑐 𝑏−𝑎 𝑔 𝑥 𝑑𝑥 ≈ 𝑛2
𝑔 𝑏 +𝑔 𝑎 + 2
𝑛−1
𝑔 𝑎 + 𝑗 𝑗 =1
DAFTAR PUSTAKA Edward B. Saff, R. Kent Nagle. Fundamentals of Diferential Equations and Boundary Value Problems. 1993. USA: Addison-Wesley Publishing Company. Erwin Kreyzig. Matematika Teknik Lanjutan. 1993. Jakarta: PT. Gramedia. J.C. Ault, M.Sc, Frank Ayres, JR, Ph.D. Persamaan Diferensial dalam Satuan SI metric. Jakarta: Erlangga. Kartono. Maple untuk Persamaan Differensial. 2001. Yogyakarta: J&J Learniang. Louis A. Pipes. Applied Mathematics for Engineers and Physicists. 1958. New York. McGraw-Hill Book Company, Inc. N. Finizio, G. Ladas. Persamaan Diferensial Biasa dengan Penerapan Modern. 1988. Jakarta: Erlangga. Raymond P. Canale, Steven C. Chapra. Metode Numerik Untuk Teknik Dengan Penerapan Pada Komputer Pribadi. 1991. Jakarta: Universitas Indonesia Press. Shepley L. Ross. Differential Equations. 1989. New York: John and Wiley & Sons.
19
Wiliams E. Boyce, R. C. DiPrima. Elementary Differential Equations and Boundary Value Problems. 1992. New York: John and Wiley & Sons, Inc.
20
