2. Memahami dan mampu menggunakan Integral Lipat Dua untuk menentukan Volume Bidang Empat, Massa Suatu Benda, Pusat massa suatu benda

TUJUAN PEMBELAJARAN Agar pembaca memahami apa yang disebut dengan Integral Lipat Dua atas Persegipanjang dan bukan Persegipanjang, selanjutnya dapat memahami penggunaan Integral Lipat Dua untuk menghitung Volume Bidang Empat, Massa suatu Benda dan Pusat Massa suatu Benda

OUTCOME PEMBELAJARAN Setelah mempelajari bab ini diharapkan mahasiswa dapat : 1. Memahami dan mampu menyelesaikan Integral Lipat Dua atas Persegipanjang dan Bukan Persegipanjang 2. Memahami dan mampu menggunakan Integral Lipat Dua untuk menentukan Volume Bidang Empat, Massa Suatu Benda, Pusat massa suatu benda

Integral dalam Ruang Dimensi 3

169

5.1. Integral Lipat Dua atas Persegipanjang Adalah Henry Lebesque yang menyumbang tentang pengintegralan dalam dimensi satu dan dimensi n yang dikenal dengan Integral Lebesque yaitu yang memberikan sumbangan pada integral Riemann. Integral Riemann untuk fungsi satu peubah yang telah kita pelajari adalah dalam interval a, b dibagi menjadi n buah partisi P yang

 

x k , dimana k  1,2,3...n , jika kita mengambil suatu titik c k dari sub interval ke- k , maka menurut Riemann didefinisikan :

panjangnya

b

n

f (c )x  f ( x)dx  Lim   P 0

a

k

k 1

k

Diketahui R suatu persegipanjang dengan sisi-sisi sejajar dengan sumbu-sumbu koordinat, misalkan R  x, y : a  x  b, c  y  d







jika dibuat partisi P dari R dengan cara membuat garis-garis yang sejajar dengan sumbu x dan sumbu y seperti Gambar 6.1.

c

a

d

b

 xk , y k 



R

Rk

Gambar 5.1. Pembagian Daerah R Integral dalam Ruang Dimensi 3

170







Terlihat daerah R dengan batas R  x, y : a  x  b, c  y  d dibagi menjadi n buah partisi yang berbentuk persegipanjang kecil yaitu Rk dimana k  1,2,3,.....n , jika kita mengambil satu buah partisi

x k dan y k , maka luas partisi Rk adalah Ak  xk .y k , jika didalam Ak kita mengambil sebuah titik yaitu x k , y k  kemudian kita substitusikan kedalam fungsinya yaitu yaitu Rk yang panjang sisinya

z  f x, y  , maka diperoleh tinggi satu buah partisi yaitu z  f xk , y k  , sehingga volume satu buah partisi diperoleh f xk , y k Ak karena semuanya terdapat n buah partisi, maka

menurut penjumlahan Riemann diperoleh : n

 f x k 1

k

, y k Ak

Seperti pada Gambar 5.2

f  xk , yk Ak

c

a

d

b

 xk , y k 



R

Rk

Gambar 5.2. Volume satu partisi Definisi Integral Lipat Dua : Andaikan f ( x, y) suatu fungsi dua variable bebas yang terdefinisi pada suatu persegi panjang tertutup R , jika : n

Lim  f x k , y k Ak P 0

Integral dalam Ruang Dimensi 3

k 1

171

Ada, kita katakana f ( x, y) dapat diintegralkan pada R , lebih lanjut integral yang dituliskan

 f x, y dA

yang disebut

R

Integral Lipat Dua f ( x, y) pada R diberikan :



n

f x, y dA  Lim  f xk , y k Ak P 0

R

k 1

Seperti halnya integral lipat satu, yaitu jika

f x   0 , maka



b

 f x dx a

menyatakan luas daerah dibawah kurva y  f x dalam interval , dalam integral lipat dua juga menyatakan hal yang sama,

f x, y   0 maka

 f x, y dA

a, b jika

menyatakan Volume benda pejal di

R

bawah permukaan

z  f x, y  dan di atas persegi panjang R .

Sifat-Sifat Integral Lipat Dua : 1. Integral lipat dua adalah linier a.

 kf x, y dA  k  f x, y dA R

b.

R

  f x, y   g x, y dA   f x, y dA   g x, y dA R

R

R

2. Integral lipat dua adalah aditif pada persegi panjang yang saling melengkapi hanya pada suatu ruas garis a.

 f x, y dA   f x, y dA   f x, y dA R

R1

R2

3. Sifat pembandingan berlaku, jika

x, y  di R , maka a.  f x, y dA   g x, y dA R

f x, y   g x, y  untuk semua

R

f x, y   1 pada R , maka integral lipat dua merupakan luas daerah R a.  kdA  k  1dA  kAR 

4. jika

R

Contoh 5.1 :

R

Integral dalam Ruang Dimensi 3

172

f x, y  berupa fungsi tangga yaitu : 1 0  x  3,0  y  1 f  x, y   2 0  x  3,1  y  2 3 0  x  3,2  y  3

Andaikan

Hitung

 f x, y dA dengan

R  x, y  : 0  x  3,0  y  3

R

Penyelesaian 5.1 : Jika fungsi

f x, y  kita gambar, maka seperti Gambar 5.3 Z 3 2 1 1 3

R1

R2

X

2

3 Y

R3

Gambar 5.3. Fungsi Tangga Diketahui ada tiga daerah persegi panjang, yaitu : . R1  x, y : 0  x  3,0  y  1 . .

   R2  x, y  : 0  x  3,1  y  2 R3  x, y  : 0  x  3,2  y  3

 f x, y dA   f x, y dA   f x, y dA   f x, y dA R

R1

R2

 1. AR1   2. AR2   3. AR3 

R3

 1.3 1  2.3 1  3.3 1

Integral dalam Ruang Dimensi 3

173

 1.3  2.3  3.3  18

Contoh 5.2 : Tentukan



f x, y dA jika diketahui f x, y  

R

R  x, y  : 0  x  4,0  y  8

64  8 x  y 2 dimana 16

Penyelesaian 5.2 : Jika daerah R kita bagi menjadi delapan buah bujur sangkar yang sama, dengan sebuah titik tengah x k , y k  yaitu : 1. 2. 3. 4. 5. 6. 7. 8.

R1  x, y  : 0  x  2,0  y  2, dengan titik tengah x1 , y1   1,1 R2  x, y  : 0  x  2,2  y  4, dengan titik tengah x2 , y2   1,3 R3  x, y  : 0  x  2,4  y  6, dengan titik tengah x3 , y3   1,5 R4  x, y  : 0  x  2,6  y  8, dengan titik tengah x4 , y 4   1,7 R5  x, y  : 2  x  4,0  y  2, dengan titik tengah x5 , y5   3,1 R6  x, y  : 2  x  4,2  y  4, dengan titik tengah x6 , y6   3,3 R7  x, y  : 2  x  4,4  y  6, dengan titik tengah x7 , y7   3,5 R8  x, y  : 2  x  4,6  y  8, dengan titik tengah x8 , y8   3,7

Jika ke delapan daerah bujur sangkar kita gambar, maka seperti Gambar 5.4

Z  (0,8,8) (0,0,4)   (4,8,6) Integral dalam Ruang Dimensi 3

174

(4,0,2)   (1)  (5) X

 (2)

 (6)

 (3)

 (7)

 (4)

 (8)

Y

Untuk melakukan penjumlahan Riemann, maka titik tengah x k , y k  kita substitusikan ke dalam fungsi

f x, y  

64  8 x  y 2 untuk 16

memperoleh tinggi masing-masing balok yang alasnya berbentuk bujur sangkar, diperoelh : 1. 2. 3. 4. 5. 6. 7. 8.

64  8(1)  (1) 2 64  8  1 57 x1 , y1   1,1  f x1 , y1     16 16 16 2 x2 , y2   1,3  f x2 , y 2   64  8(1)  (9)  64  8  9  65 16 16 16 2 x3 , y3   1,5  f x3 , y3   64  8(1)  (5)  64  8  25  81 16 16 16 2 x4 , y4   1,7 f x4 , y 4   64  8(1)  (7)  64  8  49  105 16 16 16 2 x5 , y5   3,1  f x5 , y5   64  8(3)  (1)  64  24  1  41 16 16 16 2 x6 , y6   3,3  f x6 , y6   64  8(3)  (3)  64  24  9  49 16 16 16 2 x7 , y7   3,5 f x7 , y7   64  8(3)  (5)  64  24  25  65 16 16 16 2 x8 , y8   3,7  f x8 , y8   64  8(3)  (7)  64  24  49  89 16 16 16

Sehingga menurut Sifat penjumlahan diperoleh :

 R

8

f x, y dA    f xk , y k dA k 1 Rk

Integral dalam Ruang Dimensi 3

175

  f x1 , y1 dA   f x2 , y 2 dA   f x3 , y3 dA  R1

R2

R3

 f x , y dA   f x , y dA   f x , y dA  4

4

5

R4

5

R5

 f x , y dA   f x , y dA 7

7

8

R7

  R1

6

6

R6

8

R8

57 65 81 105 41 dA   dA   dA   dA   dA  16 16 16 16 16 R2 R3 R4 R5

49

65

89

 16 dA   16 dA   16 dA R6

R7

R8

57 65 81 105  AR1   AR2   AR3   AR4   16 16 16 16 41 49 65 89 AR5   AR6   AR7   AR8  16 16 16 16 Karena

AR1   AR2   AR3   AR4   AR5   AR6   AR7   AR8   4

Maka integral di atas dapat ditulis menjadi :

4 57  65  81  105  41  49  65  89  4 552 16 16 f x, y dA  138 

 R

Integral dalam Ruang Dimensi 3

176

5.1.1. Soal-Soal Latihan A. Diketahui

R  x, y  : 1  x  4,0  y  2 hitunglah

dengan fungsi

f x, y  

2.

f x, y  

 1 1  x  4,0  y  1 ; 2 1  x  4,1  y  2

f x, y  

2 1  x  3,0  y  1 1 , 1  x  3,1  y  2 3 3  x  4,0  y  2

f x, y  

2 1  x  4,0  y  1 3 , 1  x  3,1  y  2 1 3  x  4,1  y  2

3.

4.

R

f x, y  sebagai berikut : 1  x  3,0  y  2 2 ; 3  x  4,0  y  2 3

1.

 f x, y dA

R  x, y  : 0  x  6,0  y  4 dan P adalah partisi dari R menjadi enam bujursangkar yang sama oleh garis x  2 , x  4 dan y  2 , hitung nilai pendekatan dari  f x, y dA dengan

B. Diketahui

R

menghitung penjumlahan Riemann dengan menganggap titik

Integral dalam Ruang Dimensi 3

177

xk , y k 

sebagai titik tengah bujur sangkar, jika

f x, y  sebagai

berikut : 1. f x, y 2. 3. 4.

   12  x  y f x, y   10  y 2 f x, y   x 2  2 y 2 f x, y   2  x  2 y

5.2. Integral Lipat Untuk menghitung masalah

 f x, y dA dengan R

berupa

R

persegipanjang yaitu :

R  x, y  : a  x  b, c  y  d  Jika kita asumsikan bahwa f x, y   0 pada R sehingga kita dapat menafsirkan integral lipat dua sebagai Volume dari benda pejal di bawah permukaan, seperti pada Gambar 6.3 Z

z  f  x, y 

c

d Y

a R

b X

Gambar 5.5. Volume Benda Pejal di Bawah Permukaan Volume benda pejal di bawah permukaan didefinisikan sebagai berikut :

V   f  x, y dA R

Integral dalam Ruang Dimensi 3

178

Dengan kata lain bahwa volume benda pejal seperti Gambar 5.5 dapat ditentukan dengan integral lipat dua yaitu :

 R

d b   f  x, y dA     f  x, y dx  dy c a 

Atau dapat kita tulis :

 R

d  f  x, y dA     f  x, y dy  dx a c  b

Contoh 5.3 : 3 2

Tentukan integral berikut

  2 x  3 y dxdy  0 1

Penyelesaian 5.3 : Pada integral di atas, cara pengintegralan yang pertama (di dalam kurung) dengan menganggap variable y sebagai konstanta, sehingga integral lipat di atas dapat diselesaikan sebagai berikut :

2  0 1 2 x  3 y dxdy  0 1 2 x  3 y dx dy 3 2

3

3





  x 2  3 yx dy 2

1

0 3



 



  2 2  3 y (2)  12  3 y (1) dy 0

3

  4  6 y   1  3 y dy 0

3

  3  3 y dy 0

Integral dalam Ruang Dimensi 3

179

 3y 

3 2 y 2

3

0

3 3       3(3)  (3) 2    3(0)  (0) 2  2 2     27 9 2 45  2 3 2

Sehingga

  2 x  3 y dxdy  0 1

45 2

Contoh 5.4 :

1   16 64  8x  y dxdy  8 4

Tentukan Integral berikut

2

0 0

Penyelesaian 5.4 : Pada integral di atas, cara pengintegralan yang pertama (di dalam kurung) dengan menganggap variable y sebagai konstanta, sehingga integral lipat di atas dapat diselesaikan sebagai berikut 8 4  1  1 2 2 64  8 x  y dxdy  0 0 16 0 0 16 64  8x  y dx dy 4 8 1     64 x  4 x 2  y 2 x   dy 0 0 16  8  1     64(4)  4(4) 2  y 2 (4)  0 dy 16  0 

8 4









1     16  4  y 2 dy 4  0 8

Integral dalam Ruang Dimensi 3

180

1     12  y 2 dy 4  0 8

8

1  12 y  y 3 12 0 1    12(8)  (8) 3  12   512  96  12 2  138 3 1 2   16 64  8x  y dxdy  138 3 8 4

Sehingga

2

0 0

Contoh 5.5 :

z  4  x2  y dan di bawah oleh persegipanjang R  x, y ;0  x  1;0  y  2 Tentukan Volume dari benda pejal yang dibatasi oleh

Penyelesaian 5.5 : Volume benda pejal tersebut adalah : 2 1   V   zdxdy     4  x 2  y dx  dy R 0 0  1 2   1   4 x  x 3  yx  dy 3 0 0  





 1 1       4(1)  (1) 3  (1) y    4(0)  (0) 3  (0) y  dy 3 3    0  2

1      4   y dy 3  0 2

 11      y dy 3  0 2

Integral dalam Ruang Dimensi 3

181



11 1 y  y2 3 2

2

0

1 1  11   11    (2)  (2) 2    (0)  (0) 2  2 2 3  3   22 4      3 2 44  12  6 32  6

z  4  x 2  y dan di 32 bawah persegipanjang R  x, y ;0  x  1;0  y  2 adalah 2 Sehingga Volume benda yang dibatasi oleh

5.2.1. Soal-Soal Latihan A. Hitung Integral di bawah ini : 2 3

1.

2.

  xy  y dxdy

4.

  2  2 x  y dxdy

6.

2 3

2

  2 y  x dxdy

  3x



 3 y dxdy

  x  1  3 y dxdy 2 2

8.

2

1 1

2 2

  3x  3 y dxdy

2

1 1

0 0

9.



 y 2 dxdy

3 2

1 1 1 1

7.

2

1 1

2 3

2

  x 1 2

1 0

5.

2

1 1

0 1

3.

  x  y dxdy 4 2

2   x ydxdy

  2  x 0 3

10.

1 1

2



 y 2 dxdy

1 2

B. Hitung Integral Lipat Dua yang ditunjukan atas R di bawah ini 1.

3

dA , R  ( x, y);0  x  1,1  y  1

2

 y 2 dA , R  ( x, y);1  x  1,0  y  2

 xy R

2.

 x



R

Integral dalam Ruang Dimensi 3

182

3.

 xy



1  x 2 dA , R  ( x, y);0  x  3,1  y  2



R

4.

 2  x  y dA , R  ( x, y);0  x  1,0  y  1 R

5.

 4  y dA , R  ( x, y);0  x  2,0  y  2 2

R

C. Tentukan Volume benda pejal dibawah bidang :

R  ( x, y);0  x  1,1  y  3 2. z  2 x  3 y atas R  ( x, y);1  x  2,0  y  4 1. z  x  y  1 atas

5.3. Integral Lipat Dua atas Daerah Bukan Persegipanjang Misalkan ada suatu himpunan tertutup S dan terbatas di bidang seperti Gambar 5.6 berikut :

S

Gambar 5.6. Himpunan Tertutup S Himpunan tertutup S dikelilingi oleh persegi panjang R dengan sisisisinya sejajar dengan sumbu-sumbu koordinat seperti Gambar 5.7

R

S

Gambar 5.7. Himpunan R atas S Integral dalam Ruang Dimensi 3

183

f x, y  terdefinisi pada S dan didefinisikan f x, y   0 pada bagian R diluar S kita katakan f dapat diintegralkan pada S jika ia dapat diintegralkan pada R dan berlaku : Andaikan

 f x, y dA   f x, y dA S

R

S sederhana dimana 1 x  dan  2 x  adalah fungsi-fungsi yang kontinu pada interval a, b yang Misalkan terdapat himpunan

didefinisikan sebagai berikut :

S  x, y  : 1 x   y  2 x , a  x  b Jika kita gambar himpunan

S tersebut seperti Gambar 5.8 y   2 x 

Y

S y  1 x  a

b

X

Gambar 5.8. Himpunan S dibatasi oleh y sederhana Jika kita ingin menghitung integral lipat dua dari suatu fungsi

f x, y 

atau suatu himpunan

S yang y sederhana, maka kita lakukan melingkungi S dalam suatu persegi panjang R dan membuat f x, y   0 diluar S seperti Gambar 5.9 y   2 x 

Y d

R

S c Integral dalam Ruang Dimensi 3

y  1 x  a

b

184

X

Gambar 5.9. Persegipanjang R melingkungi S

Dengan demikian integral lipat dua dapat didefinisikan sebagai berikut : b 2  x   d          f x , y dA  f x , y dA  f x , y dy dx  f x , y dy   dx  S R a c a   x    1 Secara singkat integral lipat dua untuk himpunan S adalah : b

b 2  x 

 f x, y dA     f x, y dydx S

a

1

x

Contoh 5.6 : 1 x2

  4 x  10 y dydx

Hitung integral lipat dua berikut :

0 x

Penyelesaian 5.6 : 2 x   4 x  10 y dydx   4 xy  5 y  x dx 1 x2

0 x

1

2

0

1



 



  4 x( x 2 )  5( x 2 ) 2  4 x( x)  5( x) 2 dx 0

1



 



  4 x 3  5 x 4   4 x 2  5 x 2 dx 0

1





  4 x 3  5 x 4  x 2 dx 0

1

1  x4  x5  x3 3 0 1 1  14  15  (1) 3  1  1  3 3 Integral dalam Ruang Dimensi 3

185

1 x2

  4 x  10 y dydx  3 5

0 x

Contoh 5.7 : Gunakan integral lipat dua untuk menentukan volume bidang empat yang dibatasi oleh bidang-bidang koordinat dan bidang

3x  6 y  4 z  12  0

Penyelesaian 5.7 : Daerah segitiga di bidang yang membentuk alas bidang empat sebagai S , kita akan mencari Volume benda pejal di bawah permukaan

1 12  3x  6 y  dan di atas daerah S , bidang yang diberikan 4 1 memotong bidang xy pada garis y  12  3x  dan garis 6 1 x  12  6 y  , jika kita gambar maka bidang empat tersebut seperti 3 z

pada Gambar 5.10 Z 3

2

S X

y  2

x 2

Y

4

Gambar 5.10. Volume Benda Pejal di Atas Daerah S

x yaitu 0,4 , batas y adalah 1 x  0,2  2  sedangkan fungsinya adalah z  4 12  3x  6 y  sehingga

Diketahui batas S meliputi batas

volume benda pejal tersebut adalah : Integral dalam Ruang Dimensi 3

186



V   Z dA S

4



2

x 2

1  4 12  3x  6 y dydx

 0

0

2

x



3 3  2    3 y  xy  y 2  dx 4 4 0 0



2   x 3  x 3 x    3 2    x 2     2    dx 2 4  2 4 2   0  



3 3 3 3 3     6  x  x  x 2  3  x  x 2  dx 2 2 8 2 16  0



3   3   3  x  x 2  dx 2 16  0

4

4

4

4

4

3 3 3  3x  x 2  x  4 48 0 3 3 192   3(4)  (4) 2  (4) 3  12  12  4 48 48  V 4

Contoh 5.8 : Hitung Integral Lipat dua yang diberikan dengan mengubahnya ke suatu integral lipat

 x

2



 xy dA, S adalah daerah antara y  x dan

S

y  3x  x 2

Penyelesaian 5.8 : Untuk menentukan daerah S didapat 3x  x  x diperoleh batas nilai x , yaitu : 2

 3x  x  x 2

Integral dalam Ruang Dimensi 3

187

 3x  x  x  0 2

 2x  x  0  x(2  x)  0 diperoleh nilai x 2

 0 dan x  2 , sehingga himpunan

daerah S adalah



S  x, y ,0  x  2, x  y  3x  x 2



sehingga

integralnya

sebagai

berikut : 

 x

2



2 3x x2

 xy dA  

S

0

 x

2



 xy dydx

x 3x x2

1      x 2 y  xy 2  2 x 0 2

dx

1 1        x 2 (3x  x 2 )  x(3x  x 2 ) 2    x 2 ( x)  x( x) 2 dx 2 2    0 2

9 1  1      3x 3  x 4  x 3  3x 4  x 5    x 3 dx 2 2  2  0 2

1       2 x 3  2 x 4  x 5 dx 2  0 2

2 4 2 5 1 6  x  x  x 4 5 12 0 2 1 2 1  2   2     (2) 4  (2) 5  (2) 6     (0) 4  (0) 5  (0) 6  5 12 5 12  4   4  2 1  2     (16)  (32)  (64)  5 12  4  64 64   64 16  120 192 80    8      8      5 12   5 3 15 15 15  8 2 S x  xy dA   15 2

Contoh 5.9 :

Integral dalam Ruang Dimensi 3

188

Tentukan Volume benda pejal yang dibatasi oleh bidang-bidang koordinat dan bidang yang mempunyai persamaan z  6  2 x  3 y

Penyelesaian 5.8 :

S meliputi batas x yaitu 0  x  3 , yang didapat jika 2 y  0 dan z  0 , sedangkan batas y adalah 0  y  2  x yang 3 diperoleh jika z  0 , sedangkan fungsinya adalah z  6  2 x  3 y jika Diketahui batas

kita gambar pada sistem koordinat, maka benda pejal tersebut seperti pada Gambar 5.11 dan volumenya sebagai berikut : Z

6

y  2

S

2 x 3

2 Y

X

3

Gambar 5.11. Benda Pejal di Atas Daerah S 

V   Z dA S

3

2 2 x 3

0

0



 6  2 x  3 y dydx 2 2 x 3

3      6 y  2 xy  y 2  2 0 0 3

dx

2 2 3 2      6(2  x)  2 x(2  x)  (2  x) 2   0dx 3 3 2 3  0 3

4 3 8 4     12  4 x  4 x  x 2  (4  x  x 2 ) dx 3 2 3 9  0 3

Integral dalam Ruang Dimensi 3

189

4 2     12  4 x  4 x  x 2  6  4 x  x 2 dx 3 3  0 3

2      6  4 x  x 2 dx 3  0 3

3

2 3 x 9 0 2  6(3)  2(3) 2  (3) 3  18  18  6 9  V 6  6x  2x 2 

5.3.1. Soal-Soal Latihan A. Hitung Integral Lipat Berikut Ini 2 x 1

1 3x

1.

2   x dydx

4.

0 0

1 0

  x 3 3x

2.

2



 y dydx 2

5.

2



 y 3 dydx

3 0

1 1

  x  y dydx 0 x

  x 1 x

1 0

3.

  ydydx

2

2 2x

6.

  xy

3

dydx

1 0

B. Hitung Integral Lipat Dua yang diberikan berikut ini 1.

 2 xydA , S adalah daerah yang dibatasi oleh

y  x 2 dan y  1

S

2.

 x  y dA , S adalah daerah segitiga dengan titik-titik S

3.

 x

2

 x

2



 2 y dA , S adalah daerah yang dibatasi oleh y  x 2 dan

S

4.

S

0,0, 4,0 dan 4,1



yx

 xy dA , S adalah daerah yang dibatasi oleh y  x 2  3x dan y  x

Integral dalam Ruang Dimensi 3

190

5.

 x  3 y dA , S adalah daerah segitiga dengan titik-titik S

C.

0,0, 2,0 dan 2,2

Tentukan Volume Benda Pejal dengan Integral Lipat Dua yang dibatasi oleh : 1. Bidang bidang 2. Bidang bidang 3. Bidang bidang

empat yang dibatasi oleh bidang-bidang koordinat dan

z  8  2x  4 y

empat yang dibatasi oleh bidang-bidang koordinat dan

3x  4 y  z  12  0

empat yang dibatasi oleh bidang-bidang koordinat dan

x yz 8

5.4. Penerapan Integral Lipat Dua Penerapan Integral Lipat dua yang paling jelas adalah untuk menentukan volume benda pejal seperti yang telah dibahas, penerapan lainnya adalah untuk menentukan massa suatu benda yang tak homogeny serta letak pusat massa sebuah benda yang tidak homogen. Benda yang tak homogen adalah benda yang mempunyai kerapanya berubah-ubah atau tidak konstan, dimana kerapatan di setiap titik berbeda, artinya kerapatan di titik A berbeda dengan kerapatan di titik B, secara matematis maka kerapatan yang berubah-ubah itu dirumuskan sebagai fungsi yang mempunyai variable

5.4.1. Massa Andaikan suatu benda yang mencakup daerah

S di bidang xy dan andaikan kerapatan (massa per satuan luas) di x, y  dinyatakan oleh  x, y  seperti pada Gambar 5.12

Z

S Integral dalam Ruang Dimensi 3

191

Y Gambar 5.12. Benda Tak Homogen

Untuk mempermudah, maka benda tak homogen dalam Gambar 5.12 dibagi-bagi atau dibuat partisi-partisi berupa persegipanjang kecilkecil misalnya R1 , R2 , R3 ,.....Rk seperti pada Gambar 5.13

Rk

Z

 xk , y k   S Y Gambar 5.13. Partisi atas Daerah S Kemudian kita ambil satu titik yaitu

xk , yk 

yang terletak di dalam

salah satu partisi yaitu partisi

Rk , maka massa dari Rk adalah  xk , y k ARk  yaitu kerapatan di titik xk , yk  dalam partisi Rk dikali luas partisi Rk , sehingga massa total benda tersebut didekati oleh n

m    xk , y k ARk  , dimana massa sebenarnya, m diperoleh k 1

dengan mengambil limit dari rumus di atas untuk norma partisi mendekati nol, sehingga menurut teorema diperoleh integral lipat dua yaitu :

m     xk , yk dA S

Integral dalam Ruang Dimensi 3

192

Contoh 5.10 : Sebuah

benda

tak

homogen

(lamina)

mempunyai

kerapatan dan

 x, y   xy , lamina tersebut dibatasi oleh sumbu x , garis x  0

garis x

 1 serta kurva y  x  1 , tentukan massa totalnya.

Penyelesaian 5.10 : Dari soal di atas, berarti lamina tersebut di batasi oleh batas x dari x  0 sampai x  1, serta batas y dari y  0 sampai y  x  1 sehingga massa total lamina tersebut adalah : 1 x 1

 m    x, y dA   S

 xy dydx

0 0

x 1

1     xy 2  dx 2 0 0 1

1  1     x( x  1)    x(0) dx 2  2  0 1

1  1    x 2  x dx 2 2  0 1

1

1 1  x3  x2 6 4 0 1 1 1 1  (1) 3  (1) 2   6 4 6 4 10  m    x, y dA  24 S

Contoh 5.11 : Sebuah

 x, y  

benda tak homogen (lamina) mempunyai kerapatan x  y , lamina tersebut dibatasi oleh sumbu x , garis x  0

dan garis x

 1 serta kurva y  x 2 , tentukan massa totalnya.

Integral dalam Ruang Dimensi 3

193

Penyelesaian 5.11 : Dari soal di atas, berarti lamina tersebut di batasi oleh batas x dari

x  0 sampai x  1, serta batas y dari y  0 sampai y  x 2 sehingga massa total lamina tersebut adalah : 1 x2

 m    x, y dA    x  y dydx S

0 0

x2

1      xy  y 2  dx 2 0 0 1

1 1        x( x 2 )  ( x 2 ) 2    x(0)  (0) 2 dx 2 2    0 1

1      x 3  x 4 dx 2  0 1

1

1 1  x4  x5 4 10 0 1 1 1 1  (1) 4  (1) 5   4 10 4 10 6  m    x, y dA  40 S

5.4.2. Pusat Massa Titik pusat massa yaitu suatu titik yang menyebabkan benda dalam keadaan setimbang, titik pusat massa ini dituliskan sebagai koordinat

_ 

_

 

titik yaitu :  x, y  dari pusat massa, koordinat ini dapat ditentukan oleh rumus berikut

_

M x x  m

 x x, y dA S

  x, y dA S

Integral dalam Ruang Dimensi 3

_

y

My m



 y x, y dA S

  x, y dA S

194

Secara rinci jika suatu benda tak homogen (lamina) yang dibatasi oleh y  1 x dan y   2 x dalam interval a, b dan tingkat kerapatan



 x, y  , oleh : 1. Jika dan

 



_ 

_

 

maka koordinat titik pusat massa  x, y  dapat ditentukan

1 x    2 x  x  a, b , maka y  1 x  sebagai batas atas y   2 x  sebagai batas bawah, maka koordinat titik pusat _ 

_

 

massa  x, y  ditentukan oleh rumus :

_

M x x  m

b 1  x 

   x  x, y dydx a

x

2

b 1  x 

b 1  x 

_

y

    x, y dydx a

My m



   y  x, y dydx a

    x, y dydx a

x

2

x

2

b 1  x 

2

x

x  a, b , maka y  1 x  sebagai batas bawah dan y   2 x  sebagai batas atas, maka koordinat titik _ _ pusat massa  x, y  ditentukan oleh rumus :  

2. Jika 1

x    2 x 

b 2  x 

_

M x x  m

 x x, y dydx

   a

x

1

b 2  x 

  x, y dydx

   a

1

x

b 2  x 

_

y

My m



   y  x, y dydx a

1 x b 2  x 

    x, y dydx a

1

x

Contoh 5.12 : Sebuah

 x, y  

benda tak homogen (lamina) mempunyai kerapatan x  y , lamina tersebut dibatasi oleh sumbu x , garis x  0

dan garis x

 1 serta kurva y  x , koordinat titik pusat massa.

Integral dalam Ruang Dimensi 3

195

Penyelesaian 5.12 : Dari soal di atas, berarti lamina tersebut di batasi oleh batas x dari x  0 sampai x  1, serta batas y dari y  0 sampai y  x sehingga koordinat titik pusat massa adalah :

_

M x x  m

 x x, y dA S

  x, y dA

1 x

  xx  y dydx



0 0 1 x

  x  y dydx

S

0 0

  x



1 x



2

 xy dydx

0 0 1 x

  x  y dydx 0 0 x

1 2  2 0  x y  2 xy  0 dx 1



1



x

1 2  0  xy  2 y  0 dx 1



  x

2

( x) 

0

1



1  x( x) 2 dx 2  1

  x( x)  2 ( x) 0

2

 dx 

 3 1 3 1 3 0  x  2 x dx 0  2 x dx  1  1  2 1 2 1 2 0  x  2 x dx 0  2 x dx 1



1 4 x 8

1 3 x 6 6  8 Integral dalam Ruang Dimensi 3

1

1

0 1

0

1 4 (1) 8  1 3 (1) 6

196

_

y

My m



 y x, y dA S

  x, y dA

1 x

  yx  y dydx



0 0 1 x

  x  y dydx

S

0 0

  xy  y dydx 1 x

2



0 0 1 x

  x  y dydx 0 0 x

1 2 1 3 0  2 xy  3 y  0 dx 1



1



x

1 2  0  xy  2 y  0 dx 1

1

  2 x( x)

2

0

1



1   ( x) 3 dx 3  1

  x( x)  2 ( x)

2

0

1



1

3

1

2

  6 x 0 1

  2 x 0



1 4 x 24

1 3 x 6 6  24

 dx 

 dx   dx 

1

0 1

0

1 (1) 4 24  1 3 (1) 6

Sehingga diperoleh koordinat titik pusat massa benda tidak homogen tersebut adalah

_ _  6 6   x, y    ,     8 24  Integral dalam Ruang Dimensi 3

197

5.4.3. Soal-Soal Latihan Tentukan massa dan titik pusat massa dari lamina yang dibatasi oleh kurva dan kerapatan yang diberikan berikut ini 1. 2. 3. 4. 5. 6.

x  0 , x  4 , y  0 , y  3 dengan tingkat kerapatan  x, y   y  1 x  0 , x  1, y  x , y  x  1 dengan kerapatan  x, y   2 y  x x  0 , x  1, y  x , y   x dengan kerapatan  x, y   xy  x y  x 2 , y  4 dengan tingkat kerapatan  x, y   y Bujursangkar dengan titik sudut 0,0, 0, a , a, a  , dan a,0 dengan kerapatan  x, y   y  x Segitiga dengan titik sudutnya 0,0 0, a  a,0 dengan tingkat 2 2 kerapatan  x, y   y  x

Integral dalam Ruang Dimensi 3

198