PAPER FISIKA DASAR MODUL 7 MOMEN INERSIA
Nama
: Nova Nurfauziawati
NPM
: 240210100003
Tanggal / jam
: 18 November 2010 / 13.00-15.00 WIB
Asisten
: Dicky Maulana
JURUSAN TEKNOLOGI INDUSTRI PANGAN FAKULTAS TEKNOLOGI INDUSTRI PERTANIAN UNIVERSITAS PADJADJARAN JATINANGOR 2010
MOMEN INERSIA
Pada saat mempelajari hukum Newton kita telah mengetahui bahwa ukuran kelembaman benda pada gerak translasi adalah massa atau inersia linear. Seperti halnya pada planet-planet yang terus berputar pada sumbunya tanpa henti akan selalu mempertahankan keadaan untuk terus berotasi. Dengan demikian pada gerak rotasi dikenal istilah kelembamam. Dalam gerak rotasi, “massa” benda tegar dikenal dengan julukan Momen Inersia alias MI. Momen Inersia dalam Gerak Rotasi mirip dengan massa dalam gerak lurus. Jika massa dalam gerak lurus menyatakan ukuran kemampuan benda untuk mempertahankan kecepatan linear (kecepatan linear = kecepatan gerak benda pada lintasan lurus), maka Momen Inersia dalam gerak rotasi menyatakan ukuran kemampuan benda untuk mempertahankan kecepatan sudut (kecepatan sudut = kecepatan gerak benda ketika melakukan gerak rotasi. Disebut sudut karena dalam gerak rotasi, benda bergerak mengitari sudut). Makin besar Momen inersia suatu benda, semakin sulit membuat benda itu berputar atau berotasi. sebaliknya, benda yang berputar juga sulit dihentikan jika momen inersianya besar. Besaran pada gerak rotasi yang analog dengan massa pada gerak translasi dikenal sebagai momen inersia (I). Perbedaan nilai antara massa dan momen inersia adalah besar massa suatu benda hanya bergantung pada kandungan zat dalam benda tersebut, tetapi besar momen inersia tidak hanya tergantung pada jumlah zat tetapi juga dipengaruhi oleh bagaimana zat tersebut terdistribusi pada benda tersebut. Momen inersia suatu benda yang berotasi dapat dituliskan sebagai berikut: I = m r2 Dengan: I = momen inersia benda (kg m2) m = massa benda (kg), dan r = jarak ke sumbu rotasi (m). Momen inersia untuk suatu partikel atau elemen massa (dm) dapat ditentukan dengan cara yang sama. Elemen momen inersia (d I) dapat ditulis sebagai berikut: d I = r2 dm
Jumlah momen inersia seluruh elemen massa dapat ditulis sebagai berikut: =
=
Untuk benda tegar, yaitu benda yang terdiri dari gabungan banyak pertikel dengan massa m1, m2 ,m3, ..., mn, momen inersianya terhadap sumbu rotasi ditentukan dengan cara menjumlahkan perkalian massa dengan kuadrat jarak terhadap sumbu rotasi (r12, r22, r32, ..., rn2). =
= 晜
+
+ …+
Mengingat benda tegar mempunyai struktur atom yang saling bersambungan atau kontinu, persamaan di atas dalam bentuk integral sesuai dengan persamaan tersebut. Sementara itu, jika sumbu putar benda tegar berjarak d dari pusat massa maka momen inersia dapat dituliskan sebagai berikut: I = Ipm + md2 dengan Ipm = momen inersia jika sumbu putar melalui pusat massa, d = jarak sumbu putar ke pusat massa benda. Momen inersia untuk beberapa benda tegar dapat dilihat pada tabel berikut:
Tabel I: momen inersia berbagai benda yang diputar terhadap sumbu yang melalui pusat massanya. Benda
Momen inersia
Batang
Ipm = 12 ml2
Segitiga sama sisi
Ipm = 12 ma2
Segiempat beraturan
Ipm = 6 ma2
Segienam beraturan
Ipm = 12 ml2
Selinder pejal
Ipm = 2 mR2
Bola tipis Bola pejal
Ipm = 5 mR2
Keterangan
1
l = panjang batang
1
a = panjang sisi segitiga
1
a = panjang sisi segiempat
5
a = panjang sisi segienam
1
R = jari-jari silinder
Ipm = 3 mR2
2
R = jari-jari
2
R = jari-jari
1. MOMEN INERSIA BATANG PEJAL Anggap suatu batang bermassa m dan panjang l diputar terhadap suatu sumbu yang melalui pusat massanya (Gambar 1). Pada batang ini ada dua variabel yaitu massa dan panjang batang. Jika kita anggap momen inersia batang ini (Ipm) tergantung pada kedua variabel ini maka dengan analisa dimensi kita bisa memperoleh bahwa momen inersia batang sebanding dengan massa batang dan sebanding dengan kuadrat panjang batang, atau secara matematika dapat ditulis: Ipm ∝ ml2
(1)
atau kita boleh tuliskan: Ipm ∝ cml (batang)
(2)
dimana c adalah suatu konstanta.
Gambar 1. Batang yang diputar terhadap sumbu yang melalui pusat massanya
Sekarang perhatikan potongan batang sebelah kiri yang mempunyai panjang ½ l dan massa ½ m. Momen inersia potongan batang ini terhadap sumbu yang melalui pusat massanya dapat ditulis sebagai: (Ipm)1 = c
1 2
1 2
2
1
= c 8 ml2
(3)
Gunakan teorema sumbu sejajar untuk menghitung momen inersia potongan batang ini terhadap sumbu yang melalui titik A. (IA)1 = (Ipm)1 +
′ 2
1
= c 8 ml2 +
1 2
1 4
2
(4)
Catatan: r = ¼ l adalah jarak pusat massa potongan batang dengan titik A dan m’ = ½ m adalah massa dari potongan batang ini. Dengan cara yang sama kita peroleh momen inersia potongan batang kanan terhadap titik A adalah:
1
(IA)2 = = c 8 ml2 +
1 2
1 4
2
(5)
Jumlah momen inersia pada persamaan (4) dan persamaan (5) sama dengan momen inersia yang ditulis pada persamaan (2). Dari sini kita akan peroleh persamaan: 1
c ml2 = c 4 ml2 +
1 16
ml2
(6)
Selesaikan persamaan (6) kita akan memperoleh c = 1/12. Sehingga kita akan peroleh rumus momen inersia batang panjang l dan massa m yang diputar terhadap sumbu yang melalui pusat massanya sebagai: (Ipm)batang =
1 12
ml2
(7)
2. MOMEN INERSIA SEGITIGA PEJAL SAMA SISI Anggap suatu segitiga pejal sama sisi dengan panjang sisi a dan massa m diputar terhadap sumbu yang melalui titik pusat massa A (Gambar 2).
Gambar 2. Segitiga yang diputar terhadap sumbu yang melalui titik pusat massa A
Seperti pada perhitungan momen inersia batang, dengan analisa dimensi kita peroleh momen inersia segitiga terhadap sumbu yang melalui pusat massanya adalah: Ipm = cma2 (segitiga)
(8)
disini c adalah konstanta, m massa segitiga dan a adalah sisi segitiga. Selanjutnya adalah membagi segitiga ini menjadi 4 potongan segitiga dengan panjang sisi ½ a dan massa masing-masing segitiga ¼ m (Gambar 3).
Gambar 3 Membagi segitiga menjadi 4 potong
Dengan menggunakan persamaan (8), momen inertia tiap potongan segitiga terhadap sumbu yang melalui pusat massanya dapat ditulis: 1 4
(Ipm)1 = c
1 2
2
(9)
Sekarang gunakan teorema sumbu sejajar untuk memperoleh momen inersia masing-masing potongan segitiga 1,2 dan 3 terhadap titik A. ′ 2
(IA)1 = (Ipm)1 +
1
1 4
= c 16 ma2 +
√3
2
(10)
6 2
2
Disini m’ = ¼ m adalah massa potongan segitiga dan r = 3 h = 3 600 =
√3
6
1 2
sin
adalah jarak pusat massa potongan segitiga ke titik A (catatan h
adalah tinggi potongan segitiga). Berikutnya jumlahkan momen inersia ketiga potongan segitiga 1,2 dan 3 yaitu dengan mengalikan momen inersia pada persamaan (10) dengan 3 lalu jumlahkan dengan momen inersia potongan segitiga 4 (IA)segiempat = 3
1 16
2
+
1 48
2
+
1 16
ma2
(11)
Samakan persamaan (11) dengan persamaan (8) untuk memperoleh persamaan: 1
cma2 = c 4 ma2 +
1 16
ma2
(12)
Dari persamaan (12) kita peroleh c = 1/12 sehingga momen inersia segitiga sama sisi pejal bermassa m dan bersisi a yang diputar terhadap sumbu yang melalui pusat massanya adalah: (Ipm)segitiga =
1 12
ma2
(13)
3. MOMEN INERSIA SEGIEMPAT PEJAL Anggap suatu segiempat pejal dengan panjang sisi a dan massa m diputar terhadap titik pusat massa A (Gambar 4).
Gambar 4. Segiempat yang diputar terhadap sumbu yang melalui titik pusat massa A. Seperti pada perhitungan sebelumnya, momen inersia segiempat terhadap sumbu yang melalui pusat massanya kita tulis sebagai (dengan analisa dimensi): Ipm = cma2 (segiempat)
(14)
disini c adalah konstanta, m massa segiempat dan a adalah sisi segiempat. Selanjutnya adalah membagi segiempat ini menjadi 4 potongan segiempat dengan panjang sisi ½ a dan massa masing-masing segiempat ¼ m (Gambar 5).
Pusat massa potongan segiempat
Gambar 5. Segiempat yang dibagi menjadi 4 bagian yang sama. Dengan menggunakan persamaan (14), momen inertia tiap potongan segiempat terhadap sumbu yang melalui pusat massanya sendiri dapat ditulis: (Ipm)1 = c
1 4
1 2
2
(15)
Sekarang gunakan teorema sumbu sejajar untuk memperoleh momen inersia masingmasing potongan segiempat terhadap titik A. ′ 2
(IA)1 = (Ipm)1 +
1
= c 16 ma2 +
1 4
√2
2
4
(16)
Disini m’ = ¼ m adalah massa potongan segiempat dan r = 1 4
2
+
2
1 4
2
√2
=
adalah jarak antara pusat massa potongan
4
segiempat ke titik A. Sekarang jumlahkan momen inersia keempat potongan segiempat dengan mengalikanmomen inersia pada persamaan (16) dengan 4 dan samakan dengan persamaan (14) untuk memperoleh persamaan: 1
cma2 = c 4 ma2 +
1 8
ma2
(17)
Dari persamaan (17) kita peroleh c = 1/6 sehingga momen inersia segiempat sama sisi pejal bermassa m dan bersisi a yang diputar terhadap pusat massanya adalah: (Ipm)segiempat =
4.
1 6
ma2
(18)
Momen inersia segienam Anggap suatu segienam pejal dengan panjang sisi a dan massa m diputar terhadap titik pusat massa A (Gambar 6).
Gambar 6. Segienam yang diputar terhadap titik pusat massa A.
Kita bagi segienam ini menjadi 6 potongan segitiga sama sisi dengan panjang sisi a dan massa masing-masing segitiga m/6 (Gambar 7).
Pusat massa segitiga
Gambar 7. Segienam yang dibagi menjadi enam segitiga
Dengan menggunakan hasil yang perhitungan momen inersia pada persamaan (13), kemudian menggunakan teorema sumbu sejajar kita peroleh momen inersia masing-masing potongan segitiga terhadap titik A (pusat massa segienam) adalah: (IA)1 = (Ipm)1 +
′ 2
1
= 12
1 6
a2 + 2
1 6
√3
2
(19)
3 21
disini m’ adalah massa segitiga dan r = 3 ℎ = 3 2 √3 =
√3
3
adalah jarak antara
pusat massa segitiga ke titik A (h adalah tinggi segitiga). Momen inersia segienam sama sisi pejal bermassa m dan bersisi a yang diputar terhadappusat massanya diperoleh dengan mengalikan 6 momen inersia pada persamaan (19), (Ipm)segienam =
5.
5 12
ma2
(20)
Momen inersia selinder Momen inersia selinder dapat dihitung dengan menghitung momen inersia dari benda bersegi n kemudian ambil limit n mendekati tak hingga. Atau dengan menggunakan metode berikut ini. Anggap sebuah selinder pejal berjari-jari R. Momen inersia selinder ini (dengan analisa dimensi) boleh ditulis sebagai Ipm = cmR2 dengan c adalah konstanta dan m massa selinder.
(21)
Gambar 8. Selinder yang berputar
Sekarang kita tinjau selinder berongga dengan jari-jari rongga r dan massanya m.
r R
Gambar 9. Selinder berongga
Dengan prinsip superposisi momen inersia selinder ini sama dengan momen inersia selinder besar dikurangi dengan momen inersia selinder kecil. ′
=
-
= cmbesarR2 – cmkecilR2
(22)
dengan menulis massa selinder besar mbesar = selinder kecil sebagai mkecil = 4
(IA)berongga = c
2
− 4
− 2
2
2 − 2
2 2
− 2
dan massa
kita peroleh
= cm (R2 - r2)
(23)
Sekarang anggap sekumpulan massa dengan massa total m tersebar pada lingkaran berjari-jari R. Momen inersia dari lingkaran ini adalah, Ilingkaran = ∑
2
=
2
∑
= mR2
(24)
Selanjutnya pada persamaan (23) kita ambil r = R dan kita gunakan persamaan (24) untuk memperoleh persamaan: cm (R2+R2) = mR2
(25)
Dari persamaan (25) kita peroleh c = ½ , sehingga momen inersia selinder bermassa m dan berjari-jari R yang berputar terhadap sumbu yang melalui pusat massanya adalah (Ipm)silinder =
1 2
mR2
(26)
6. Momen inersia Bola tipis Ide penurunan rumus ini diperoleh dari Waldemar Gorzkowski(5) Kita anggap sejumlah massa dengan massa total m, tersebar merata pada bola tipis berjari-jari R. Anggap pusat massa bola terletak pada pusat koordinat dan bola diputar terhadap sumbu z. Anggap massa mi terletak pada koordinat (xi, yi, zi). Dari definisi momen inersia besarnya momen inersia massa ini terhadap sumbu z adalah Ii = mi (xi2 + yi2) . Jika massa mi tersebar merata di seluruh permukaan bola, maka momen inersia bola tersebut adalah =∑
=∑
(
)
+
(27)
Z
mi
(xi,yi,zi) Y
1
X
2
r=
+
2 2
Gambar 10. bola tipis yang berputar
Karena massa tersebar merata (uniform) maka bola simetri sehingga, ∑i
2
= ∑i
2
2
= ∑i
(28)
Dengan menggunakan persamaan (28) kita peroleh: mR2 = ∑i atau
2
= ∑i
2
+
2
+
2
= 3 ∑i
2
(29)
2
∑i
= ∑i
2
1
=3
2
(30)
Gunakan persamaan (30) pada persamaan (27) kita peroleh, (Ipm) =
2 3
mR2 (bola tipis)
(31)
7. Momen inersia bola pejal Anggap sebuah bola pejal berjari-jari R. Momen inersia bola ini (dengan analisa dimensi) boleh ditulis sebagai Ipm = cmR2
(32)
dengan c adalah konstanta dan m massa bola.
R
Gambar 11. bola pejal yang berputar terhadap sumbu z.
Sekarang kita tinjau bola berongga dengan jari-jari rongga r dan massanya m.
Gambar 12 bola pejal berongga
Dengan prinsip superposisi momen inersia bola ini sama dengan momen inersia bola besar dikurangi dengan momen inersia bola kecil. ′
=
2
‖
= cmbesarR – cmkecilR2
(33)
dengan menulis massa bola besar besar mbesar = selinder kecil sebagai mkecil = 4 3 5
(IA)berongga = c
3
− 5
− 3
3
− 3 4
= cm
4 3
3
+
3
− 3
4 3
3
dan massa
kita peroleh
+ 3 + 2 2+ 2
4 3
+ 2
3+ 4
(34)
Selanjutnya ambil r=R dan gunakan persamaan (31) untuk memperoleh persamaan: 5
cm 3R2 =
2 3
R2
(35)
Dari persamaan (35) kita peroleh c =2/5 , sehingga momen inersia bola bermassa m dan berjari-jari R yang berputar terhadap sumbu yang melalui pusat massanya adalah 2
Ipm = 5 mR2
(36)
Telah ditunjukkan diatas bahwa kita dapat memperoleh momen inersia dari beberapa benda yang bentuknya beraturan tanpa menggunakan kalkulus. Perhitungan hanya dengan memanfaatkan analisa dimensi untuk mencari hubungan antara momen inersia dengan variabel yang mencirikan benda itu (seperti massa, panjang atau jari-jari) serta dengan memanfaatkan teorema sumbu sejajar dan tentu saja sifat simetri benda.
DAFTAR PUSTAKA
Halliday and Resnick, Physics, John Wiley and Sons, INC, USA 1992 Raymond A Serway, Physics, Saunders College Publishing, USA 1996 Umar, Efrizon. 2007. Fisika dan Kecakapan Hidup Pelajaran Fisika Untuk SMA/MA. Jakarta: Ganeca Exact Waldemar Gorzkowski, “Application of Symmetry and Dimensional Analysis to Solving Problems”. disajikan pada Seminar Guru Fisika Jakarta 2000.
