1. Lineární rovnice, lineární rovnice s parametrem, soustavy lineárních rovnic Základní typy algebraických rovnic. Vysvětlete význam zkoušky. Princip řešení rovnic s parametrem, diskuse řešení, přípustnost parametru. Ukažte základní metody řešení soustavy lineárních rovnic a související pojmy, např. matice soustavy a Gaussova eliminační metoda. 1. Řešte rovnici s neznámou x ∈ R a parametrem p ∈ R:
px − 1 3x + 1 = 3 p
p=0 nedefin. P3 nemá řeš., P-3 = R, ostatní x = 1/(p-3)
2 x + p 2 2 x − p 2 x ( p 2 + 4) + = p+3 p−3 p2 − 9
2. Řešte rovnici s neznámou x ∈ R a parametrem p ∈ R:
p=± ±3 nedefin., P2 nemá řeš., ostatní -6p /(p-2) 2 2 3. Řešte rovnici s neznámou x ∈ R a parametrem p ∈ R: px + 6p x + p = 0 2 p=0 všechna reál. čísla, -1/3 … 1, 1/3 … -1, (-1/3, 0) ∪ (0, 1/3) nemá řeš., ostatní = -3p± ±√(9p -1) 2
2
2 1 = 2 2 a a x+a = ax − 1 5. Řešte rovnici s neznámou x ∈ R a parametrem a ∈ R: a
4. Řešte rovnici s neznámou x ∈ R a parametrem a ∈ R:
a = 0 nepřípustná hodnota, ostatní x = 2a/(a2 – 1) 6. Řešte rovnici s neznámou x ∈ R a parametrem a ∈ R:
x−
ax − 1 3x + 1 = 3 a
V: x = 1/(a – 2) V: a = ± 1 – nemá řeš.
V: a = -3 R, a = 3 nemá
řešení, a = ± 3 x = 1/(a-3) 3
7. Řešte v R a) b) c)
2
zvolenou metodou soustavy rovnic: x – 2y + z = 0 ∧ 3x – 5y – 2z = -3 ∧ 7x -3y + z = 16 2x – 3y + z = 0 x + 2y – z =3 2x + y + z = 12 2x – 3y + 4z = 8 3x + 5y – z = 10 7x – y + 7z = 15
V: 3, 2, 1 V: 2, 3, 5 V: nemá řešení
8. Řešte v R soustavu rovnic: 1/(x + 2) + 10/(y + 5) = 1 ∧ 2/(x + 2) - 25/(y + 5) = -1
V: 1; 10
2. Shodná zobrazení v rovině – otočení Definujte shodné zobrazení, orientovaný úhel, otočení. Popište otočení bodu, přímky a kružnice. 1. Je dán bod A a dvě soustředné kružnice k(S; 2 cm) a l(S; 3 cm). Sestrojte všechny rovnostranné trojúhelníky ABC tak, aby B ∈ k, C ∈ l. 2. Je dán čtverec vhodné velikosti. Na jedné straně je dán bod A (v žádné speciální poloze). Sestrojte všechny rovnostranné trojúhelníky ABC tak, aby zbývající vrcholy B, C ležely na obvodu čtverce. 3. Je dán bod A, přímka p a kružnice k. Sestrojte všechny pravoúhlé rovnoramenné ∆ ABC se základnou BC, pro které platí B ∈ k, C ∈ p. 4. Jsou dány dvě různé kružnice k, l a bod S. Sestrojte všechny obdélníky ABCD se středem S, pro které platí |AB| = √3.|BC|, B ∈ k, C ∈ l. 5. Je dán bod C, přímka p a kružnice k(S; 4 cm), |S,p| = 5 cm, přitom body C, S leží v téže polorovině s hraniční přímkou p. Sestrojte všechny pravoúhlé rovnoramenné trojúhelníky ABC (|
3. Užití určitého integrálu – objem rotačního tělesa Definujte funkci, derivaci spojité funkce a primitivní funkci. Primitivní funkce a určitý integrál, NewtonLeibnitzova věta. 1. Vypočítejte objem rotačního paraboloidu o poloměru podstavy r = 3 cm, výšce v = 6 cm. 2 V: y = (3/2)x, V = 27 2. Odvoďte vzorec pro výpočet objemu koule o daném poloměru r. 3. Vypočítejte objem rotačního tělesa, které vznikne rotací útvaru ohraničeného křivkami y = x, y = 1/x, y = 0, x = 2 kolem osy x. V: (5/6) 4. Odvoďte vzorec pro výpočet objemu rotačního kužele o poloměru podstavy r, výšce v. 2
5. Vypočtěte objem tělesa, které vznikne rotací útvaru ohraničeného křivkami y = x + 3, x = -1, x = 1, y = 0 kolem osy x. 2
2
6. Vypočtěte objem tělesa, které vznikne rotací útvaru ohraničeného křivkami y = 1 - x a y = x kolem osy x. 7. Vypočtěte objem rotačního tělesa, které vznikne rotací oblouku sinusoidy y = sin x kolem osy x v intervalu <0; >.
4. Základy vektorové algebry, operace s vektory Definujte vektor, sčítání a odčítání vektorů, násobení vektoru reálným číslem, radiusvektor bodu v kartézské soustavě souřadnic. Lineární kombinace vektorů. Skalární, vektorový a smíšený součin, využití při řešení geometrických úloh. 1. Vypočtěte souřadnice bodu B, je-li B = A + 2.u – v, kde A[3; –4], u = (1; 2), v = (–3; 5). 2. Zjistěte, zda vektor u = (1; 1; 2) je lineární kombinací vektorů a = (–1; 0; 1), b = (2; 2; 3) a vektor v = (–2; 4; –6) lineární kombinací p = (1; 3; –2), q = (2; 1; 1). 3. Vypočtěte velikosti vnitřních úhlů trojúhelníku A, B, C. Uveďte alespoň dvě metody řešení. A[0; 1], B[–1; 2], C[1; 3]. 4. Je dán ∆ ABC, A(-1, -2, 8), B(0, 0, 0), C(6, 2, 0). Užitím vektorového součinu vypočítejte jeho obsah. 5. Vypočítejte objem rovnoběžnostěnu určeného vektory a = (3, 4, 0), b = (0, -3, 1), c = (2, 0, 5). 6. Jsou dány vektory a = (3, 2), b = (1, 4), c = (0, 3). Určete početně i graficky: a) u = a + b + c, b) v = 2a + 3b –2c. 7. Jsou dány body K (3, 2, -4), L (3, 6, -5), M (-4, -1, 0). Vypočítejte souřadnice bodu N, jestliže platí: L – K = u, M – N = -2u. 8. Je dán ∆ ABC, A (3, 2, 1), B (1, -3, 0), C (0, 2, 5). Užitím skalárního součinu určete velikost vnitřního úhlu . 9. Jsou dány vektory a = (2, -3, 1), b = (1, 1, 2), c = (3, 1, -1). Vypočtěte a . (b x c). 10. Je dán pravidelný čtyřboký jehlan ABCDV, a = 6, v = 3.√2. Zvolte vhodně soustavu souřadnic a určete velikost boční hrany jehlanu, úhel hran AV a BC a úhel hran AV a CV. 11. V krychli ABCDEFGH dokažte, že rovina AFH je kolmá na rovinu CGE. Využijte vhodně zvolenou soustavu souřadnic a vektory.
2
5. Obor komplexních čísel. Zavedení oboru komplexních čísel, algebraický a goniometrický tvar, číslo komplexně sdružené, Gaussova rovina, Moivreova věta, absolutní hodnota a argument komplexního čísla, odmocnina komplexního čísla, diskuse řešení kvadratické rovnice v R a v C. 2
2
1. Jsou dána komplexní čísla: z = 1 + 2i, u = 3 – 5i. Vypočtěte: a) Součin z.u, b) |z + u | - |z - u | , c) Podíl z/u ( 13 + i; -28; -7/34 + 11/34 i) 2. Převeďte daná komplexní čísla z, u na goniometrický tvar. Porovnejte výsledky operací z.u, z/u metodou algebraickou a goniometrickou, vysvětlete geometrickou interpretaci násobení a dělení: z = 1 – i; u = 3 – 2i ( √2(cos7/4 + isin7/4); 2√2(cos/4 + isin/4) ) 3. Zobrazte čísla z, pro která platí:
a) |z – 1 + i| = 2 ( kružnice S(1, -1), r = 2) b) |z - 1| ≥ |z - i| ( polorovina y ≥ x) 4. Najděte všechna komplexní čísla z, pro která platí: a) 2z + z = 6 – 3i, b) 3z – z = 6 + 8i (2+3i, 3-2i) 5. V Gaussově rovině zobrazte všechna komplexní čísla, pro která platí: a) |1 + i| ≥ |z| > ½, 1 + 2i | z |≤ , c) | 2 - 3i | ≥ | z | ≥ | 1 + 2i | 3-i 6. Vypočítejte
b)
z = − 5 + 12i bez přechodu ke goniometrickému tvaru komplexního čísla. ( z = ± 2 ± 3i)
7. Řešte v oboru C rovnici:
i 1 x + 2i = x − 1 − 2i 2+i
(1/10 + 13/10 i) 62
8. Užitím Moivreova věty vypočítejte: a) (cos /3 + i.sin /3) , b) (1 – i) (-1/2 + i√3/2;
50
-2 ;
100
,
10
1 c) 1+ i
-i/32)
6. Shodná zobrazení v rovině – středová souměrnost, posunutí Definujte shodné zobrazení, středovou souměrnost, posunutí. Popište zobrazení bodu, přímky a kružnice. Vztah středové souměrnosti a otočení. 1. Je dána přímka p, kružnice k(S; r), bod M, který neleží na přímce ani na kružnici. Sestrojte všechny úsečky, jejichž krajní body jsou na zadaných útvarech, přičemž tyto úsečky jsou půleny zadaným bodem M. 2. Sestrojte trojúhelník ABC, znáte-li velikosti všech těžnic trojúhelníka. Řešte užitím středové souměrnosti. 3. Jsou dány dvě protínající se kružnice k, l. Jedním jejich průsečíkem veďte přímky tak, aby na nich kružnice vytínaly stejně dlouhé tětivy. 4. V ∆ ABC je dáno: tb = 5 cm, a = 7 cm, = 60°. Výchozím prvkem je tb. Sestrojte jej. 5. Je dána kružnice k(S; 2,5 cm) a její dvě rovnoběžné tečny t1 a t2. Sestrojte všechny rovnostranné trojúhelníky ABC o délce strany 5,5 cm, aby A ∈ t1, B ∈ t2, C ∈ k.
7. Binomická věta Definujte faktoriál, kombinační číslo, uveďte jeho vlastnosti. Binomická věta, Pascalův trojúhelník. 1. Zjistěte, který člen binomického rozvoje neobsahuje proměnnou x. Pokud takový člen existuje, určete jeho pořadí a jeho hodnotu. Použijte vztah pro výpočet k-tého členu binomického rozvoje: 3
a)
(x −
3 15 ) x2
b)
(2x 2 −
1 10 ) 2x 2
V: A6, A6
3 2 2. Vypočtěte 10. člen binomického rozvoje 5x − x
12 4
V: -44.10 .odmoc(2)
10
7 3. Kolikátý člen binomického rozvoje − x neobsahuje proměnnou x? V: 3.člen 4 x 4. Vypočtěte a) (√2 - i)
5
b) (1 + i.√3)
4 6
5. Pro které reálné x platí, že čtvrtý člen rozvoje výrazu (1 + x) je čtyřikrát větší než třetí člen? 6. Vypočítejte čtvrtý člen binomického rozvoje (x
1/3
1/3 4
1/3
+y )
V: 4yx
8. Lineární funkce, grafy. Absolutní hodnota. Definujte binární relaci, zobrazení, funkci, lineární funkci. Definujte absolutní hodnotu reálného čísla. Definujte graf funkce, uveďte způsob výpočtu průsečíku grafu dvou funkcí. 1. Určete průsečík funkce f: y = -3x + 2 se souřadnými osami. Pak napište rovnici lineární funkce g, jejíž graf je rovnoběžný s grafem funkce f(x) a prochází bodem [4; 2]. 2. Sestrojte graf funkce: a) f: y = |x + 1| - 3
b) g: y = ||x + 1| - 3|
3. Sestrojte graf funkce f: y = |x - 3| - |5 - 2x| + 3.|1 - x| a vypočtěte jeho průsečíky se souřadnými osami. 4. Sestrojte graf relace |x | + |y | ≤ 4. 5. Sestrojte graf funkce f: y = |x - 2| - |x + 1| 2
6. Vypočtěte průsečík funkce f: y = 2x + 1 s funkcí g: y = |-x + 2x -1|.
4
9. Kvadratická rovnice (i s parametrem), Vietovy vzorce. Metody řešení. Objasněte pojem kvadratické rovnice, systém jejího řešení. Vysvětlete význam zkoušky. Proveďte diskusi řešení kvadratické rovnice v R. Algebraické a grafické metody řešení. 1. Najděte alespoň jednu kvadratickou rovnici, jejíž kořeny jsou čísla a) opačná b) dvojnásobná ke 2 kořenům rovnice 4x - 11x + 5 = 0, aniž danou rovnici řešíte. 2. Sestavte alespoň jednu kvadratickou rovnici, která má za kořeny převrácená čísla ke kořenům rovnice x – 6x + 7 = 0, aniž danou rovnici řešíte.
2
2
3. V kvadratické rovnici (2a - 5)x – 2(a – 1)x + 3 = 0 určete hodnotu parametru a ∈ R tak, aby tato rovnice měla dvojnásobný kořen. V: a = 4 4. Součet 2. mocnin dvou po sobě jdoucích přirozených čísel je o 420 menší než 2. mocnina součtu těchto 2 2 2 čísel. Určete obě čísla. V: x +(x+1) +420=(2x+1) , čísla 14, 15 5. Vypočítejte obsah obdélníku, jehož úhlopříčka je o 2 cm delší než délka obdélníku a o 16 cm delší než 2 2 2 jeho šířka. V: x =(x-2) +(x-16) , čísla 26, 10 – nemá smysl, S=24.10=240 2
6. Pro která reálná čísla m bude mít rovnice 4x - 8mx - 6m + 9 = 0 jeden kořen třikrát větší než druhý? 2
2
2
7. Řešte v R: a) px + (2p + 3)x + p + 0,75 = 0 b) ax + 6a x + a = 0
10. Neurčitý integrál – jednoduché metody integrace Definujte funkci, derivaci spojité funkce v bodě a intervalu, primitivní funkci (neurčitý integrál). Základní vzorce a metody integrace jednoduchých funkcí. 1. K dané funkci f určete primitivní funkci F tak, aby graf funkce F procházel bodem A(2, 3), jestliže f: y = 2 3 2 3x – 3x + 11. y = x -(3/2)x +11x-21
1
2. Vypočtěte:
∫x
dx 4
∫
3. Vypočtěte:
∫
tg dx
4. Vypočtěte:
∫ cot g x dx ∫ sin
7
∫
x 3 dx
x2 x x5
∫ x
dx
4
cos 2 x dx 2 x
∫ sin
2
1
2
2
2
x cos x
dx
∫ sin
5. Vypočtěte:
∫ x sin x dx ∫ lnxdx ∫ x e dx ∫ x cos x dx
6. Vypočtěte:
∫ (x + 1)
3
dx
∫x
1 2
dx +1
∫x
1 − x 2 dx
5
5
∫ cos 2
x dx 2
x
1
− x 2 x 3 xdx
∫ tg x dx
∫ cos
2
cos 2 x dx 2 x. sin 2 x
x dx 2
11. Aritmetická posloupnost. Definujte posloupnost, aritmetickou posloupnost. Rekurentní vyjádření. Posloupnost rostoucí, klesající, omezená. Graf posloupnosti. Základní vztahy pro práci s aritmetickou posloupností, odvození, Gaussův vzorec. ∞
n + 1 1. Posloupnost je dána vzorcem pro n-tý člen: . Určete zda se jedná o posloupnost rostoucí n n =1 nebo klesající (dokažte), omezenou či neomezenou, najděte některé rekurentní zadání. 2. Posloupnost je dána rekurentně: a1 = -3, a n+1 = a n+2. Určete zda se jedná o posloupnost rostoucí nebo klesající (dokažte), omezenou či neomezenou, najděte vzorec pro n-tý člen. 3. Najděte 1. člen a diferenci aritmetické posloupnosti, pro kterou platí: a2 + a5 = 8 ∧ a3 + a7 = 14 V: a1 = -1, d = 2 4. Určete 1. člen, diferenci a vzorec pro n-tý člen AP, v níž je součet prvních 3 členů roven 27 a součet 2. mocnin těchto členů roven 275. (a1 = 5, d = 4, an = 4n + 1) 5. Najděte 1. člen a diferenci aritmetické posloupnosti, pro kterou platí: a1 + a5 = 26 ∧ a2.a4 = 160 V: a1 = 7, d = 3 nebo a1 = 19, d = -3 6. Určete součet těch dvou sousedních členů AP: -23, -17, -11, -5, 1, …, mezi nimiž leží číslo 1 000. (Pozor: číslo 1 000 nemusí být členem této posloupnosti) (2 000) 7. Najděte 1. člen a diferenci aritmetické posloupnosti, pro kterou platí: součet prvních 4 členů je -32, součet prvních 8 členů je 32. V: a1 = -17, d = 6 12. Analytická geometrie lineárních útvarů – polohové úlohy Definujte vzájemnou polohu přímek a rovin v rovině a prostoru. Uveďte základní způsoby vyjádření přímky v rovině a v prostoru a roviny v prostoru. 1. Napište parametrické rovnice roviny určené třemi body A(6; -3; 3), B(7; -3; 0), C(5; -2; 3). Převeďte na obecnou rovnici. 2. Určete vzájemnou polohu přímky PQ, P(0; 0; 0), Q(1; 0; 2) a roviny 2x + y + z + 8 = 0. Jsou-li rovnoběžné, vypočítejte vzdálenost, jsou-li různoběžné, vypočítejte souřadnice průsečíku. (různoběžné, (-2; 0; -4) 3. Určete vzájemnou polohu rovin 3x – 2y – 6z + 35 = 0, 3x – 2y – 6z = 0. Jsou-li rovnoběžné, vypočítejte vzdálenost, jsou-li různoběžné, vypočítejte rovnici průsečnice a odchylku. (rovnoběžné, v = 5) 4. Určete vzájemnou polohu přímky p a roviny . Napište rovnici přímky q, která je pravoúhlým průmětem přímky p do roviny . a) p: x = 1 - t, y = 2 + 2t, z = 4 + 3t, t∈R; : 2x + 3y - z - 6 = 0 b) p: x = 1 - t, y = 2 + 2t, z = 4 + 3t, t∈R; : x - y + z + 18 = 0 5. Určete vzájemnou polohu rovin a : a) : 2x - 5y + 4z - 10 = 0, : 4x - 10y + 8z - 10 = 0 b) : 2x - 5y + 4z - 10 = 0, : x - y - z - 2 = 0 c) : 2x - 5y + 4z - 10 = 0, : 4x - 10y + 8z - 20 = 0 6. Jsou dány přímky p: x = 6 - 3t, y = m + t, z = -5 + 3t, t ∈ R; q: x = -4 + s, y = 4 + 2s, z = 8 - 4s, s ∈ R. Určete číslo m tak, aby přímky byly různoběžné a vypočtěte jejich průsečík. Napište parametrickou a obecnou rovnici roviny určené přímkami p, q.
6
13. Geometrická posloupnost. Definujte posloupnost, geometrickou posloupnost. Rekurentní vyjádření. Posloupnost rostoucí, klesající, omezená. Graf posloupnosti. Základní vztahy pro práci s geometrickou posloupností, jejich odvození. ∞
1 n−2 . Určete zda se jedná o posloupnost rostoucí 1. Posloupnost je dána vzorcem pro n-tý člen: 2 n =1 nebo klesající (dokažte), omezenou či neomezenou, najděte některé rekurentní zadání. 2. GP kladných čísel má tu vlastnost, že součet jejích prvních dvou členů je roven 1, zatímco součet prvních čtyř členů je roven 3. Vypočítejte kvocient a 1. člen GP. (q=√2, a1=√2-1) 3. Součet 1. a 3. členu geometrické posloupnosti kladných čísel je roven 15. Součet prvních čtyř členů této posloupnosti je roven 45. Určete sedmý člen této posloupnosti. (a1=3, q=2, a7=192) 3 4. Velikosti hran kvádru tvoří 3 po sobě jdoucí členy GP, součet jejich délek je 7 cm, objem kvádru je 8 cm . Vypočtěte povrch kvádru. (hrany: 1, 2, 4, V = 28) 5. Firma odepisuje každoročně 18 % z pořizovací ceny zakoupeného služebního auta. Za jak dlouho klesne cena pořízeného auta na 40 % ceny auta nového? (n = 4,617 = 4 roky 225 dnů) 6. Pan Rozhodný si uložil na 5 let do banky částku 50 000 Kč na 2 % úrok. Kolik mu banka vyplatí po uplynutí 5 let, jestliže je nutno každoročně státu platit 15 % daň z úroků, úrokovací období je 1 rok. (54 397 Kč) 7. Firma GKH se na začátku roku rozhodla, že v každém čtvrtletí zvýší svůj obrat o 2 % ve srovnání s předcházejícím čtvrtletím. Předpokládejme, že se jí tento záměr daří plnit. A) O kolik procent vzroste obrat této firmy za 2 roky? B) Za jak dlouho vzroste obrat o 25 %? V: a) 17, 17 %, b) během 12. čtvrtletí (n = 11,268)
14. Poloha dvou přímek v prostoru – analytická metoda Definujte vzájemnou polohu přímek v rovině a prostoru. Uveďte základní způsoby vyjádření přímky v rovině a v prostoru. 1. Zjistěte vzájemnou polohu přímek v prostoru: p: x = 1 - t, y = 2 + t, z = t, t∈R, q: x = 1 + 2s, y = -1 - s, z = 3 – 3s, s∈R. V: různoběžné, P(7, -4, -6) 2. Bodem P[1; 2; 2] veďte přímku, která je kolmá k rovině : x + 2y + z - 1 = 0. Určete souřadnice průmětu bodu P do této roviny. 3. Jsou dány body A[-1; 1; -1], B[5; 1; 7], C[4; 2; 3], D[1; 2; -1]. Dokažte, že obrazec ABCD je lichoběžník. Určete, které strany jsou základnami a v jakém poměru jsou jejich velikosti. Vypočítejte velikost úhlu BAD. V: Základny AB, CD, poměr je 2:1, úhel = 57st.33 min 4. Dokažte, že přímky AB a CD jsou mimoběžné a vypočítejte jejich odchylku: A(1,2,0), B(4,3,-2), C(2,0,1), D(5,3,-2). 22 stup 12 min 5. Pro které hodnoty reálného parametru m jsou přímky AB, CD rovnoběžné? A(2,3,2), B(-1,0,2), C(m,1,3), D(1,1,3). m = -1 6. Jsou dány body A, B, C: A(7, 0, 5), B(1,-2,-1), C(3,2,-1). Dokažte, že tyto body vytvářejí v prostoru pravoúhlý trojúhelník. Vypočítejte pak souřadnice těžiště, ortocentra, středu kružnice opsané ABC. Přepona AB, C = O, S je středem AB
7
15. Nerovnice – algebraické a grafické řešení Popište řešení algebraických rovnic a nerovnic metodou nulových bodů, jiné způsoby řešení, ekvivalentní a neekvivalentní úpravy. Vysvětlete význam zkoušky. Definujte absolutní hodnotu reálného a komplexního čísla. 1. Řešte v R nerovnici: | 3x - 5 | ≤ 2x + 10
V: 〈 -1, 15〉〉
2. Řešte v R nerovnici: | 2x + 1 | ≤ | x - 3 |
V: 〈 -4, 2/3〉〉 2
3. Řešte v R algebraicky i graficky nerovnici: x – 2x – 3 < 0 4. Určete definiční obor funkce f: y =
2x 2 + 3x − 14
5. Řešte v R nerovnici: (x – 2).(x – 5)/(x – 3).(x – 7) < 0 2
6. Určete definiční obor funkce f: y = log (5x – 8x – 4)
V: (-1, 3) V: (-∝, -7/2〉〉 ∪ 〈2, +∝) V: (2, 3) ∪ (5, 7) V: (-∝, -2/5) ∪ (2, +∝)
16. Trigonometrické řešení obecného trojúhelníka Vyslovte sinovou a kosinovou větu, uveďte jejich možné použití. Vztahy pro výpočet obsahu trojúhelníka, úvahy vedoucí k výpočtu poloměru kružnice opsané a vepsané trojúhelníku. 1. Řešte trojúhelník ABC (tj. vypočítejte velikosti všech stran a vnitřních úhlů), je-li dáno: c = 59 cm, = 2 40°30’, S = 1 087 cm . 2. Letadlo letí ve výšce 2 200 m směrem k pozorovatelně. V okamžiku prvního měření bylo vidět pod výškovým úhlem 23°, v druhém okamžiku pod výškovým úhlem 58°. Určete vzdálenost, kterou letadlo proletělo. 3. Je dán trojúhelník ABC: a = 7,2 cm, b = 4,8 cm, = 65°. Vypočítejte: délku strany c, výšky vc, těžnice tc. V: c = 6,8, vc =4,6, tc =5,1 4. Patu věže C a místa A, B, ze kterých věž pozorujeme, jsou vrcholy trojúhelníku, ve kterém c = 80 m, = 60°, = 38°. Vypočítejte výšku věže, je-li z místa A vidět vrchol věže pod výškovým úhlem = 50°. V: asi 60 m 5.
Budova je vysoká 15 metrů, je vzdálena 30 metrů od břehu řeky. Z vodorovné střechy této budovy je vidět šířku řeky pod úhlem e = 15°. Vypočítejte šířku řeky. V:asi 43 m
8
17. Derivace funkce, geometrická interpretace Vysvětlete geometrický způsob zavedení derivace. Derivace funkce v bodě a intervalu. Derivace součtu, součinu a podílu, derivace elementárních funkcí. Derivace a intervaly monotónnosti funkce. 1. Vypočítejte derivace následujících funkcí f(x) v libovolném bodě x, ve kterém je fce def. a spojitá: 2 4 x 3 − 3x + 5 a) f(x) = 1/x2; b) f(x) = x ; c) f(x) = 3 x ; d ) f(x) = ; e) f ( x ) = 4 3 x x 4
2. Napište rovnici tečny ke grafu funkce y = f(x) = x + x - 1 v jejím bodě T(1; t2). (y = 5x – 4) 2
( = 45°, = 18°26′)
3
( = 45°, = 26°34′)
3. Vypočtěte, pod jakým úhlem se protínají grafy funkcí: f(x) = x, g(x) = x . 4. Vypočtěte, pod jakým úhlem se protínají grafy funkcí: f(x) = x, g(x) = x . 5. Vypočtěte 1. derivaci:
2
a) y = sin x : (1 - sin x) b) y = 5x cos x + 7
6. Napište rovnici tečny a normály funkce y = (3x - 1) : (2x + 3) v bodě T[0, ?]. 7. Vypočtěte, pod jakým úhlem se protínají grafy funkcí: a)f(x) = x, g(x) = sin x, b) f(x) = sin x, g(x) = cosx 3
2
8. Napište rovnici tečny ke grafu funkce f: y = x – 2x + 8x, která prochází bodem T(1; y) ležícím na grafu této funkce.
V: T(1, 5), t: y = x + 4 3
2
9. Určete, ve kterých intervalech je funkce f: y = 2x – 3x – 12x + 5 rostoucí a ve kterých klesající, stanovte V: rost. (-nek, -1) ∪ (2, nek.),
stacionární body a lokální extrémy. klesající (-1, 2)
18. Stejnolehlost, podobnost, využití v konstrukčních úlohách Definujte shodné a podobné zobrazení, typy. Samodružné body. Skládání zobrazení. Shodnost a podobnost trojúhelníků, využití při odvození Euklidových vět a Pythagorovy věty. Stejnolehlost. Společné tečny dvou kružnic. Apolloniovy úlohy. 1. Zobrazte trojúhelník ABC ve stejnolehlosti H(S, k). a) S ∈ AB, k = 2,5 b) S leží vně ∆ABC, k = 2:3 c) S = A, k = -0,75 2. Do ostroúhlého trojúhelníku ABC vepište čtverec PQRS tak, aby P, Q ∈ AB, R ∈ BC, S ∈ AC. 3. Jsou dány dvě různoběžky a, b a bod M, který neleží na žádné z nich. Sestrojte kružnici, která se dotýká obou přímek a prochází bodem M. 4. Je dána přímka p, kružnice k a bod A (vše navzájem disjunktní). Sestrojte všechny úsečky XY, kde X ∈ p, Y ∈ k a |AY| = 3 . |AX| 5. Je dán konvexní úhel AVB a bod M ležící uvnitř tohoto úhlu. Bodem M veďte přímku m, protínající VA a VB v bodech X a Y tak, že |VX| : |VY| = 2 : 3 6. Je dána přímka p, kružnice k a bod A (vše navzájem disjunktní). Sestrojte ∆ABC tak, aby B ∈ p, C ∈ k, = 60° a |AC| = 2 . |AB|. 7. Sestrojte ∆ ABC, pro který platí:
a : c = 4 : 7; = 45°; tc = 4,5 cm.
8. Je dána přímka t, ve stejné polorovině určené touto přímkou jsou dány dva různé body A, B tak, že jejich spojnice není ani kolmá k přímce t, ani není rovnoběžná s t. Sestrojte všechny kružnice, které procházejí body A, B a zároveň se dotýkají přímky t.
9
19. Limita posloupnosti a limita funkce 1. Rozhodněte, zda dané posloupnosti jsou konvergentní či divergentní. Pokud jsou konvergentní ∞
∞
∞
∞ ∞ n n2 + 1 3 3n + 1 , 2n , n − 4 , 5 + (− 1) .n vypočítejte limitu pro n → +∞ : , 2 2 2 n n + 2 n =1 n − 2 n =1 n + 2 n =1 5n n =1 n =1
2. Vypočítejte limity: a)
b)
3. Vypočítejte limity: a)
b)
4. Vypočítejte limity: a)
b)
c)
5. Vypočítejte limity: a)
b)
c)
20. Kartézský součin, binární relace a zobrazení, vlastnosti a grafy. Definujte kartézský součin, binární relaci a zobrazení. Inverzní relace a zobrazení, definiční obor, obor hodnot. Grafy. 1. Je dána množina A = {1, 2, 3, 4} a relace S = {[1; 2], [2; 2], [3; 3], [4; 4]}. Určete definiční obor a obor hodnot relace S. Určete, zda relace S v množině A je zobrazení (funkce), prosté zobrazení. Najděte -1 inverzní relaci S a určete, je-li zobrazením. 2
2
2. V množině R jsou dány dvě binární relace: A: x + y ≤ 9, B: x – y + 2 ≤ 0. Sestrojte jejich kartézské grafy a vyznačte: A ∩ B, A ∪ B, A – B, B – A. 3. V množině R jsou dány dvě binární relace: A: x + y ≤ 3, B: y - 2 ≥ 0. Sestrojte jejich kartézské grafy a vyznačte: A ∩ B, A ∪ B, A – B, B – A. 4. Sestrojte do jednoho obrázku kartézské grafy tří binárních relací v množině R: A: y + 2x ≤ 1, B: y ≤ 2x, C: y + 2 ≥ 0. Vyznačte: A ∩ B, C ∩ B, A ∩ C, A ∩ B ∩ C. 2
5. Sestrojte v R grafy relací T: y ≥ x - 4x + 7 a U: y ≤ x + 3. Určete graf relace V = T ∩ U a vypočtěte obsah grafu relace V.
10
21. Vyšetřování průběhu funkce Definujte kartézský součin, relaci, funkci, definiční obor, obor hodnot, omezenost, spojitost, monotónnost, sudost a lichost, extrémy, inflexní body, asymptoty grafu. Vyšetřování průběhu pomocí derivací a limit. 1. Vyšetřete průběh funkce a nakreslete její graf: y =
x2 − x x +1
V: asymptoty x= -1, y=x-2
2. Vyšetřete průběh funkce a nakreslete její graf: y =
x2 x −4 2
V: as: x = 2, x = -2, y = 1, sudá 3. Vyšetřete průběh funkce a nakreslete její graf: y = x 3 +
4. Vyšetřete průběh funkce a nakreslete její graf: y =
x4 4
1 − x2 1 + x2
22. Goniometrické rovnice Definujte goniometrické funkce obecného úhlu. Definiční obory a obory hodnot, asymptoty a body nespojitosti. Grafy. 1. Řešte rovnici v R: a) sin (2x + /6) = -1 2
b) cos (2x - /8) = -1
2
2. Řešte rovnici v R: 2 sin x – cos x – 4sin x + 2 = 0 3. Řešte rovnici v R: cos 2x = 2 sin x 4. Řešte rovnici v R: 2 tg x + 4 cotg x = 9 2
5. Řešte rovnici v R: 2.sin x + 7.cos x - 5 = 0 6. Řešte rovnici v R:
a) cos 2x + sin x = 0
7. Řešte rovnici v R:
tg x + tg x = 1 + tg x
3
b) 2.sin x = √3.tg x
2
11
23. Exponenciální rovnice Definujte funkci, definiční obor a obor hodnot, prostou funkci, graf funkce. Pojem inverzní funkce, kritérium existence, souvislost D(f), H(f), D(f-1), H(f-1). Definujte exponenciální a logaritmickou funkci, načrtněte jejich grafy. Přirozený logaritmus.
3 x −6 log 27 1. Řešte v oboru R rovnici: 5 − 2 x = log 3 3 (10 x −1 ) 3
2. Řešte v oboru R rovnici:
5x
2
x=4
2 x −3 = 0,01 2
−3
x
x = 1, 2
2x
3. Řešte v oboru R rovnici: 5.2 – 2.2 – 2 = 0 4. Řešte v oboru R rovnici:
1 2x 8
5. Řešte v oboru R rovnici: 6
1+x
1− x
+6
1-x
x = 1, 4 x
1 + 21− x = 1 8
x=½
= 13
x = ± 0,22629
x +3
x
2 .3 = 9 x −2 6 7 − x .8 x − 4 27 = 12 7. Řešte v oboru R rovnici: x 81 + x 81
6. Řešte v oboru R rovnici:
x=5 x = 2, 4
24. Nekonečná geometrická řada Definujte posloupnost, aritmetickou a geometrickou posloupnost, řadu, geometrickou řadu. Posloupnost rostoucí, klesající, omezená, neomezená. Konvergence a součet nekonečné geometrické řady. 3
4
3
8
3
1. Určete hodnotu součinu: x . √x . √x . √x . …
V: součin = x
n −1
∞
4
∞
4x − 3 2 b) V: 6, /4+2k sin (2 n − 2 ) x = 2tgx = x 3 x − 4 n =1 n =1 3. Do rovnostranného trojúhelníku A1B1C1 o straně a je vepsán trojúhelník A2B2C2 tvořený jeho středními příčkami. Do něj je stejným způsobem vepsán další trojúhelník atd. Vypočtěte součet obvodů a součet obsahů všech takto získaných trojúhelníků. 2. Řešte v R rovnici: a)
∑
∞
4. Řešte v R rovnici:
∑2
nx
∑
=1
V: def. obor je x 〈 0, výsl. x = -1
n =1
5. Na jednom rameni úhlu AVB, jehož velikost je /3 rad, je z bodu A spuštěna kolmice na druhé rameno, její pata je označena A1, z ní je spuštěna kolmice na první rameno, její pata je A2, atd … až do nekonečna. Vypočítejte délku takto vzniklé lomené čáry, je-li AV = 10 cm. 6. V rovnoramenném pravoúhlém trojúhelníku ABC s přeponou AB sestrojíme výšku CC1 z vrcholu C, dále v trojúhelníku ACC1 výšku C1C2 z vrcholu C1, … atd. Vyjádřete délku lomené čáry CC1C2C3 … pomocí délky odvěsny BC = a. V: a(√2+1)
12
25. Kvadratická funkce. Definujte funkci, definiční obor a obor hodnot, prostou, rostoucí, klesající funkci, graf funkce. Pojem inverzní -1 -1 funkce, kritérium existence, vztahy mezi D(f), H(f), D(f ), H(f ). Definujte kvadratickou funkci. 2
2
2
2
2
1. Načrtněte graf funkcí: y = x , y = - x , y = (x – 3) , y = -(x +2) , y = -(x -1) + 2. Popište vlastnosti těchto funkcí. 2. Načrtněte graf funkce:
2
2
a) y = x – 2x + 3
b) y = – x – 6x – 8. Nalezněte souřadnice vrcholu
paraboly, která je grafem této funkce. 3. Načrtněte graf funkce:
2
2
a) y = 2x + 5x - 1
b) y = –0,5x + x + 2. Nalezněte souřadnice vrcholu
paraboly, která je grafem této funkce. 4. Načrtněte graf funkce:
a) y = x. |x|
b) y = –2x. |x - 3|. Popište jejich vlastnosti. 2
2
2
5. Do jednoho obrázku načrtněte grafy funkcí: y = x – 2x – 2, y = | x – 2x – 2|, y = | x – 2|x| – 2|. Popište, jak spolu souvisejí jednotlivé grafy. 6. Je dána úsečka délky d. Rozdělte tuto úsečku na 2 části tak, aby součet obsahů rovnostranných trojúhelníků sestrojených z těchto částí byl minimální.
26. Kombinatorika - variace, permutace, kombinace , vlastn. kombinačních čísel Definujte základní kombinatorické postupy a pojmy, variace, permutace, kombinace, faktoriál, kombinační číslo a jeho vlastnosti, Pascalův trojúhelník. Anagramy. 1. Kolik 4-ciferných přirozených čísel lze sestavit z cifer 0, 1, 2, 3, 4, 5, 6, jestliže a) žádná cifra se neopakuje, b) v každém čísle se mohou cifry jakkoliv opakovat. V(4,7)-V(3,6)=720 V´(4,7)4 3 V´(3,7)=7 -7 =2058 2. Kolik anagramů je možno sestavit ze slova MATEMATIKA? 10!/(2!3!2!1!1!1!)=151 200 3. 35 účastníků sportovního kurzu se na cestu zpět rozdělilo na 4 skupiny: 17 se jich vracelo vlakem, 8 16 autobusem, 6 na kole, 4 pěšky. Kolika způsoby se mohli rozdělit? 35!/(17!8!6!4!) tj. asi 4,1696 . 10 4. Kolika způsoby lze ze 7 chlapců a 4 dívek vybrat 6 členné volejbalové družstvo tak, aby v něm byla alespoň 2 děvčata? (4nad2).(7nad4)+(4nad3).(7nad3)+(4nad4).(7nad2)=371 5. Kolik je Apolloniových úloh, tj. konstrukce kružnice ze 3 daných prvků – bod, přímka, kružnice, prvky se mohou jakkoliv opakovat. Pokuste se je specifikovat. K´(3,3) = (5nad3) =10 (n+k-1nadk) 6. V TIPSPORTU se tipuje 12 fotbalových zápasů – výhra hostů, výhra domácích, remíza. Kolik je všech 12 možných tipů? V´(12,3)=3 =531 441 7. Je dáno 12 bodů v rovině, z nichž 5 leží na jedné přímce. Žádné další 3 body na přímce neleží. Kolik přímek je těmito body určeno? 8. V rovině je 10 bodů, z nichž 6 leží na jedné kružnici. Kolik kružnic je těmito body určeno? 9. V prostoru je dáno 12 bodů. z nichž 6 leží v jedné rovině. Kolik čtyřstěnů lze ze všech bodů vytvořit? 10. V kolika bodech se protíná 9 přímek, z nichž 4 jsou navzájem rovnoběžné? 11. Zvětší-li se počet prvků o 1, zvýší se počet trojčlenných kombinací bez opakování o 21. Kolik je dáno prvků? 12. Ve třídě je 18 chlapců a 14 dívek. Kolikerým způsobem se mohou zvolit do tříčlenné skupiny její zástupci, mají-li to být: a) samí chlapci b) samé dívky c) dva chlapci a jedna dívka? 13. Test se skládá z 5 otázek – 2 otázky z dějepisu (připraveno je jich 30), dvě otázky ze ZSV (připraveno je jich 25) a 1 otázka ze zeměpisu (připraveno je jich 20). Kolik variant testu připravené otázky umožňují? 2 14. Vyřešte danou kombinační rovnici: a) (n nad k) – 2(n nad k) – 3 = 0. (3nad1)nebo(3nad2)
13
27. Analytická geometrie kvadratických útvarů – elipsa, kružnice Definujte kružnici, elipsu. Rovnice v základních případech. Ohniska, osy, vrcholy, střed, excentricita. Tečna. Vzájemné polohy útvarů. Kuželosečky obecně. 1. Určete rovnici kružnice, která se dotýká přímky 3x + 4y – 63 = 0 v bodě T(9; ?) a prochází bodem A(11; 7). 2
2
2. Pro které reálné číslo q je přímka y = 3x + q tečnou kružnice x + y + 4x – 8y + 10 = 0 ? 3. Napište rovnici elipsy s ohnisky E[2; 5], F[2; 1] procházející bodem M[5; 1]. 2
2
4. Určete souřadnice středu a velikosti poloos elipsy dané rovnicí 25x + 9y + 400x – 36y + 1411 = 0. Načrtněte tuto elipsu. 5. Napište rovnici elipsy vepsané do obdélníka, jehož rozměry jsou 10cm a 8cm. Vrchol obdélníka je v počátku soustavy souřadnic a strany leží na osách x, y. 2
2
6. Napište rovnice tečen elipsy s rovnicí (x - 1) + 0,25(y + 2) = 1 v jejích průsečících s přímkou y = -2x. 2
2
7. Určete c tak, aby přímka y = x + c byla tečnou elipsy 0,25x + y = 1. 8. Napište rovnici kružnice opsané a vepsané ∆ ABC: A[1; 3], B[-2; -1], C[-5; 3]. 2
2
2
2
9. Najděte společné body elipsy x + 4y = 17 a kružnice x + y = 5. Vysvětlete postup výpočtu odchylky těchto křivek v bodech průniku. 2
2
10. Určete délku tětivy, kterou vytíná elipsa x + 2y = 18 na přímce p s rovnicí x + 2y - 6 = 0.
28. Rovnice a nerovnice s absolutní hodnotou a odmocninou Definujte absolutní hodnotu reálného čísla. Postup řešení rovnice s absolutní hodnotou a odmocninou. Význam zkoušky při řešení rovnice. Rozdíly při řešení rovnice a nerovnice. Možnosti grafického řešení. 1. Řešte v R: a) |x + 1| = 3
b) |x + 1| < 3
2. Řešte v R: a) |2x + 1| = |x - 3|
b) |x + 1| - |x - 2| = 6
3. Řešte v R: a) |x + 3| > |x - 2|
b) |x | + |x - 5| < 8
4. Řešte v R:
|x | - |x - 5| > 4(x – 3)
5. Řešte v R: a ) 6. Řešte v R:
c) |x + 1| > 3
4 x 2 − 8x + 5 = 2 x + 1
b) 2 x + 5 + x − 1 = 8
5 x + 4 − 2 x − 1 = 3x + 1
a) -0,5, b) 10 x=1
14
29. Objemy a povrchy těles – válec, hranol, jehlan, koule Uveďte základní vztahy pro výpočet objemu a povrchu válce, hranolu, jehlanu, koule. Cavallieriho princip při řešení objemů těles. Integrální počet a jeho využití při výpočtu objemu rotačního tělesa. 2
1. Součet obsahů tří stěn kvádru, které procházejí týmž vrcholem, je 300 cm . Rozměry kvádru jsou 3 v poměru 2 : 3 : 5. Vypočítejte objem kvádru. (asi 903 cm ) 2. Vypočítejte rozměry rotačního válce o objemu 1 litr a výšce rovné dvojnásobku průměru podstavy. (r je asi 4,3 cm) 3. Poměr pláště rotačního válce k obsahu podstavy je 5 : 3. Úhlopříčka osového řezu má velikost 36 cm. 3 Vypočítejte objem válce. (asi 12 008 cm ) 4. Do rovnostranného válce (výška je rovna průměru podstavy) je vepsána koule a kužel. Podstava válce je podstavou kužele, který má vrchol ve středu druhé podstavy válce. Vypočítejte poměr objemů těchto tří těles. (3 : 2 : 1) 5. V pravidelném trojbokém jehlanu jsou boční hrany navzájem kolmé, velikost podstavné hrany je 30 cm. Vypočtěte objem jehlanu. (asi 1 590) 6. Vypočítejte objem pravidelného čtyřbokého jehlanu, jehož podstavná hrana má velikost 8 cm a odchylka boční hrany od roviny podstavy je = 52°. 7. Pravidelný 6-boký jehlan má podstavnou hranu a = 10 cm. Dvě sousední boční hrany určují odchylku b = 42°. Vypočítejte objem a povrch jehlanu.
30. Exponenciální a logaritmická funkce Definujte funkci, inverzní funkci, podmínky existence. Definujte exponenciální a logaritmickou funkci, načrtněte jejich grafy. Základní vztahy pro počítání s logaritmy (logaritmus součinu, podílu, mocniny, dekadický a přirozený logaritmus. x
-x
-x
1. Načrtněte grafy funkcí, určete definiční obory a obory hodnot: y = 2 , y = 2 , y = 2x, y = 2 2. Načrtněte grafy funkcí, určete definiční obory a obory hodnot: y = 2
x+1
-x-1
, y = 2x-1
,y=2
y = log2x,
3. Načrtněte grafy funkcí, určete definiční obory a obory hodnot: y = log2x, y = log1/2x, y = log2(x-1)
4. Na základě vlastností exponenciální funkce rozhodněte, které z následujících mocnin jsou menší než
7 jedna, větší než jedna, rovny jedné. Zdůvodněte: 3 x
− 0, 5
2 , 5
x+1
5. Načrtněte do jednoho obrázku grafy funkcí: y = 3 , y =3
0, 75
, y=3
3
5 7 41 , 2,18 , , 4 40 0,1
x-2
0, 2
.
.
6. Načrtněte do jednoho obrázku grafy funkcí: y = ln x, y = ln │x │, y = ln (x – e). Jakou odchylku svírá graf funkce y = ln x s osou x?
15
31. Analytická geometrie přímky v rovině Uveďte parametrické, obecné, směrnicové a úsekové vyjádření přímky v rovině a vyjádření přímky v prostoru. Definujte vzdálenost bodu od přímky, dvou rovnoběžek, odchylku dvou vektorů a dvou přímek v rovině i prostoru, uveďte metody výpočtu. 1. Jsou dány body A(3, -2), B(1, 4), C(-1, -3). Napište parametrické rovnice přímky CD, která protíná úsečku AB v jejím středu S. Vypočtěte souřadnice všech bodů D na této přímce tak, aby platilo: CD3CS 2. Vypočítejte souřadnice vrcholů ABC, jehož strany leží na přímkách, které mají rovnice: 7x – 4y –1 = 0, x – 2y + 7 = 0, 2x + y + 4 = 0. 3. Napište obecné rovnice všech výšek ABC, A(-3, 1), B(4, -2), C(1, 5). Vypočítejte průsečík výšek. 4. Určete vzájemnou polohu přímek r: 2x + ay = 4, s: x – 3y + a = 0. Proveďte diskusi vzhledem k parametru a ∈ R (pro jaké hodnoty parametru a jsou přímky rovnoběžné, shodné, různoběžné). 2 5. Určete vzájemnou polohu přímek r: a x - 9y + 18 = 0, s: x – 4y + (16/3).a =0. Proveďte diskusi vzhledem k parametru a ∈ R (pro jaké hodnoty a jsou přímky rovnoběžné, shodné, různoběžné). 6. Vypočtěte střed kružnice opsané a naznačte metodu výpočtu středu kružnice vepsané trojúhelníku ABC. A[1;-4], B[4;5], C[-3;4]. 7. Napište parametrický, obecný, směrnicový a úsekový tvar přímky AB. Souřadnice bodů jsou A[2;-2], B[3;2]. Ukažte převody jednotlivých tvarů. 8. Určete číslo p tak, aby C byl vnitřním bodem AB. A[2;4], B[3;2], C[p,3]. 32. Derivace funkce implicitní a složené Definujte funkci, vysvětlete složenou funkci a inverzní funkci. Definiční obor, obor hodnot. Vysvětlete geometrický způsob zavedení derivace. Věty pro počítání derivací. Derivace implicitní a složené funkce. Druhá derivace. Využití při vyšetřování průběhu funkce. Slovní úlohy na extrémní hodnoty funkcí. 1. Odvoďte pomocí derivace podílu dvou funkcí derivaci tg x, cotg x. 3
2. Derivujte funkce: y = sin2x, y = sin x, y =
25 − x 2 , y =
1 1+ x2
2
2
3. Pomocí derivace implicitní funkce napište rovnice tečny křivky: x + y = 25 v bodě T(3, -4). Proveďte kontrolu pomocí derivace složené funkce. 2 4. Pomocí derivace implicitní funkce napište rovnice tečny křivky: y = 6x - 8 v bodě T(2, 2). Proveďte kontrolu pomocí derivace složené funkce. 5. Je dána úsečka délky d. Rozdělte tuto úsečku na 2 části tak, aby součet obsahů rovnostranných trojúhelníků sestrojených z těchto částí byl minimální. 6. Do rovnoramenného trojúhelníka o základně délky z = 8 cm, výšce v = 6 cm vepište pravoúhelník tak, aby jedna jeho strana ležela na základně daného trojúhelníka, další dva vrcholy na ramenech zadaného trojúhelníka. Požadavek úlohy je, aby obsah pravoúhelníka byl maximální. 7. Otevřený bazén má tvar hranolu se čtvercovým dnem, jeho objem je V. Určete jeho rozměry tak, aby na obložení stěn a dna bylo spotřebováno co nejméně obkladového materiálu. Řešte obesně pro objem V, 3 pak dosaďte V = 32 m .
16
33. Analytická geometrie lineárních útvarů – metrické úlohy Uveďte definice a metody výpočtu vzdálenosti bodu od přímky, od roviny, dvou rovnoběžných přímek a rovin, odchylky vektorů, přímek, rovin, přímky a roviny. 1. 2. 3. 4. 5. 6. 7. 8. 9. 10. 11.
Vypočtěte vzdálenost bodu A[6; -6; 5] od přímky p: x = 4, y = 1 - 6t, z = 4 - 6t, t ∈ R. Určete odchylku přímek p: x = 1 + t, y = 2 + 3t, t ∈ R; q: 2x + y - 1 = 0. Určete odchylku přímky AB (A[1; 0; 7], B[3; -3; 6]) a roviny : 2x - 3y + z + 4 = 0. Vypočítejte souřadnice paty kolmice spuštěné z bodu A(-1, 9) na přímku p: x – 2y – 1 = 0. Vypočtěte vzdálenost bodu A od přímky p. Je dán trojúhelník ABC, A(-3, 1), B(4, -2), C(1, 5). Vypočítejte souřadnice průsečíku výšek. Určete, pro které reálné číslo a jsou přímky p, q rovnoběžné; p: 3x + 9y + 7 = 0, q: x = 4 +a.t, y = 5 – 2t, t ∈R. Vypočtěte odchylku přímek p: x – 3 = 0, q: x√3 – y + 5 = 0. Jsou dány body A[1; -2; -2], B[2; -1; -1], C[1; -1; -2], M[0; 2; -2]. Vypočtěte vzdálenost bodu M od roviny ABC. Napište rovnici přímky b, která je obrazem přímky a: x + 2y – 4 = 0 ve středové souměrnosti se středem S(-1, -3) [Výsledek: b: x + 2y + 18 = 0]. Napište rovnici přímky b, která je obrazem přímky a: 2x + y – 4 = 0 v osové souměrnosti s osou o: x + 3y +3=0 [Výsledek: b: x - 2y - 7 = 0]. Jsou dány body A(-2, 0), B(1, -1). Vypočítejte souřadnice bodů C, D rovnoramenného trojúhelníku ACD, jehož hlavní vrchol D leží na přímce p: 3x – 2y – 1 = 0 a bod B je středem strany AC [Výsledek: C(4, -2), D(7/3, 3)].
34. Konstrukční úlohy – trojúhelník, čtyřúhelník, kružnice Konstrukce trojúhelníka podle věty sss, sus, usu, Ssu. Vlastnosti výšek, těžnic, os úhlů a stran, využití. Vlastnosti obdélníka, kosodélníka (čtverce, kosočtverce). Popište základní kroky při řešení konstrukční úlohy. 1. Sestrojte všechny trojúhelníky ABC, kde |AB| = 4 cm, vc = 3 cm a = 60°. 2. Sestrojte všechny trojúhelníky ABC, je-li dáno (r je poloměr kruž. vepsané): a) tb = 6 cm, vb = 5 cm, c = 5,5 cm b) ta = 6 cm, a = 5 cm, = 60° c) ta = 6 cm, tb = 4,5 cm, b = 60° d) = 90°, a = 4,5 cm, r = 1,5 cm 3. a) Jsou dány dvě rovnoběžky proťaté různoběžkou. Sestrojte kružnice dotýkající se všech přímek. b) Je dána kružnice k o poloměru 3 cm a její tečna. Sestrojte kružnice o poloměru 1 cm, které mají s kružnicí k vnější dotyk a t je jejich tečna. 4. Sestrojte všechny lichoběžníky ABCD, které mají = 75°, |AC| = 4 cm, |BD| = 5 cm a úhel úhlopříček je 120°. 5. Jsou dány dvě soustředné kružnice k1(S, r1) a k2(S, r2), r1 > r2. Dále je dána a) tečna t kružnice k2 b) libovolná přímka p. Sestrojte všechny kružnice, které se dotýkají obou kružnic a a) přímky t b) přímky p. 6. Je dána úsečka AB, |AB| = 5 cm. Sestrojte všechny tětivové čtyřúhelníky ABCD, v nichž |AC| = 8 cm, |
17
35. Užití určitého integrálu – obsahy rovinných útvarů Definujte funkci, derivaci spojité funkce a primitivní funkci. Primitivní funkce a určitý integrál – NewtonovaLeibnitzova věta. 2
1. Vypočítejte obsah útvaru omezeného grafem funkce f: y = x , osou x, přímkami x = 1, x = 2 S = 7/3 2
2. Vypočítejte obsah útvaru omezeného grafem funkce f: y = x + x – 12 a osou x 3. Vypočítejte obsah útvaru omezeného křivkami: y = x, y = x
3
S = 343/6 S=½
2
4. Vypočítejte obsah útvaru omezeného křivkou y = - x + 4 a osou x
S = 32/3
2
S = 1/3
6. Vypočítejte obsah útvaru omezeného křivkami: y = e , y = e , y = e
-x
S=2
7. Vypočítejte obsah množiny A ohraničené jedním obloukem sinusoidy a osou x
S = 2
5. Vypočítejte obsah útvaru omezeného křivkami: y = √x, y = x x
2
2
8. Vypočítejte obsah množiny A ohraničené křivkami y = x , y = 0,25x , y = 4
S = 10/3
36. Goniometrické funkce pravoúhlého trojúhelníka a obecného úhlu Definujte orientovaný úhel, goniometrické funkce ostrého a obecného úhlu, vztahy v pravoúhlém trojúhelníku. Vztahy dvojnásobného a polovičního úhlu, součtové vzorce a další důležité vztahy. Načrtněte grafy goniometrických funkcí včetně modifikací. 1. Určete hodnoty sin x, cos x, cotg x, je-li tg x = -5/12 a x ∈ (:2). 2. Určete hodnoty sin x, tg x, sin 2x, cos 2x, je-li cos x = -3/5 a x ∈ , 3/2) Výsledek: sin x = -4/5, tg x = 4/3, sin 2x = 24/25, cos 2x = -7/25 3. Načrtněte goniometrické funkce sin x, cos x, tg x, cotg x v základních intervalech, vysvětlete průběh, znaménkové změny, základní hodnoty pro x = 0,/6, /4, …, intervaly monotónnosti a případné body nespojitosti 4. Načrtněte průběh funkce f: y = sin(2x – /3) v intervalu (0, ), v tomto intervalu určete průsečíky grafu průsečíky s osou x. o o o 5. Bez použití tabulek a kalkulačky vyjádřete iracionálním číslem hodnoty sin 15 , cos 15 , tg 15 . Použijte vzorce pro sin a cos součtu a rozdílu argumentů … Výsledek: sin x = √2/4(√3-1), cos x = √2/4(√3-1) 3 6. Vyjádřete sin 3x pomocí sin x sin 3x = 3sinx – 4sin x sin x + sin 2x 7. Dokažte, že pro všechny přípustné hodnoty argumentu x platí: = tgx . Stanovte všechny 1 + cos x + cos 2x nepřípustné hodnoty argumentu x.
18
37. Výroky, tautologie. Základy matematické logiky Pojem výrok, pravdivý a nepravdivý výrok, kvantifikátory, logické spojky. Negace, konjunkce, disjunkce, implikace, ekvivalence, tautologie. Tabulky pravdivostních hodnot. Implikace (matematická věta) obrácená, obměněná, princip přímého a nepřímého důkazu, důkaz sporem. Množinové operace a odpovídající logické vztahy. 1. Negujte výroky: a) Nejvýše tři žáci mají vyznamenání b) Každý den je důvod k radosti c) Rovnice má aspoň tři kořeny d) V této třídě nikdo nikdy nic nepochopí e) Dnes udělám maturitu a oslavím to 2. Negujte výroky: a) Některé omyly nejsou omluvitelné, b) Všechny mezinárodní úmluvy jsou pro ČR závazné, c) Každá osoba může za dlužníka převzít dluh, d) Některé školy poskytují vzdělání za úplatu. 3. U daných implikací vyslovte obměny a obrácené implikace. a) Je-li konstrukce provedena přesně, procházejí sestrojené kružnice jedním bodem. b) Je-li součin daných čísel sudý, pak nejsou oba činitelé lichá čísla. c) Budu-li mít volno, vyjedu si odpoledne na kole. 4. Následující výroky popište symbolicky pomocí logických spojek a vyjádřete jejich negaci symbolicky i slovně. a) Budu-li mít volno, pak půjdu do kina nebo zajdu k přátelům. b) Jestliže je řidič předjížděn, nezvyšuje sám rychlost a nezačíná předjíždět jiné vozidlo. c) Stojí-li řidič s autem u okraje silnice a zamýšlí-li se znovu rozjet, dává znamení o změně směru jízdy. 5. Pomocí tabulkového zápisu proveďte pravdivostní ohodnocení daných složených výroků. Které z nich jsou tautologie? b) ((X ⇒ Y) ∧ X) ⇒ Y ano c) (X ∧ X) ⇒ Y ne a) ((X ⇒ Y) ∧ Y) ⇒ X ano 38. Analytická geometrie hyperboly Definujte hyperbolu, její rovnici v základních případech. Ohniska, střed, vrcholy, osy, excentricita hyperboly. Tečna, asymptota. Vzájemná poloha přímky a hyperboly. Kuželosečky obecně. 1. Určete rovnici hyperboly v osové poloze procházející bodem Q(9; 4√2) s asymptotou 3y = 2x. 2 2 2. Je dána hyperbola 16x – 25y = 400. Určete rovnice a odchylku asymptot. Vypočítejte obvod a obsah trojúhelníku omezeného asymptotami a tečnou hyperboly v hlavním vrcholu. Napište rovnice tečen hyperboly procházejících bodem M(5√5/2; 2) 3. Rozhodněte, zda dané rovnice jsou analytickým vyjádřením hyperboly. Je-li tomu tak, najděte její střed a velikosti obou poloos. V opačném případě zjistěte množinu bodů, která je daným analytickým vyjádřením 2 2 2 2 určena: x + 2y – 4x – 16y + 36 = 0, x – 4y + 6x + 32y – 155 = 0 2 2 4. Určete rovnici hyperboly, která má ohniska v hlavních vrcholech elipsy x + 2y = 6 a hlavní vrcholy v ohniscích elipsy. Určete průsečíky obou křivek. Napište rovnice tečen ke křivkám v jejich průsečíku a určete odchylku těchto tečen. 5. Na hyperbole najděte body, v nichž tečny vedené k této křivce svírají s osou x úhel 60°. x 2 2x2y –2 5y2 = 5 a vektor u(2; 3). Napište rovnici tečny k hyperbole, která je kolmá 6. Je dána hyperbola − =1 k danému vektoru.8 9 7. Najděte rovnici hyperboly v osové poloze, je-li určena body K(4; √3), L(2√2; -1)
19
39. Euklidovy věty, Pythagorova věta Definujte podobné zobrazení, uveďte kritéria podobnosti trojúhelníků. Euklidovy věty, Pythagorova věty, postup důkazů těchto vět. Popište konstrukci obrazu iracionálního čísla na číselné ose užitím Euklidových vět a Pythagorovou větou. Pythagorejské trojúhelníky. 1. V pravoúhlém trojúhelníku ABC ( = 90°) je dáno: ta = 8 cm, tb = 12 cm. Vypočítejte velikosti stran trojúhelníka. V: a = 11,7 b = 5,5 c = 12,6 2. Dvě rovnoběžné tětivy v kružnici o poloměru 6 cm mají délky 6 cm a 10 cm. Vypočítejte jejich vzdálenost. V: 1,88 cm nebo 8,51 cm 2
3. Kosočtverec má obsah 150 cm . Poměr úhlopříček e : f = 3 : 4. Vypočtěte jeho výšku, délku strany a délky úhlopříček. V: e = 15, f = 20 4. Je dána kružnice k(S, r = 4 cm) a bod A, pro který platí AS = 10 cm. Vypočítejte vzdálenost bodu A od spojnice bodů dotyku tečen vedených z bodu A ke kružnici k. V: d = 8,4 5. Daný obdélník „proměňte“ na čtverec o stejném obsahu užitím a) Euklidovy věty o výšce, b) Euklidovy věty o odvěsně. 6. Z dané jednotky j sestrojte j.√10 užitím a) obou Euklidových vět, b) Pythagorovy věty
40. Logaritmické rovnice Definujte exponenciální a logaritmickou funkci, načrtněte jejich grafy. Odvoďte základní vztahy pro počítání s logaritmy (logaritmus součinu, podílu, mocniny, převod logaritmu čísla na logaritmus s jiným základem). Vysvětlete, kdy je zkouška nezbytnou součástí řešení rovnice. 3
1. Řešte v R: log (x + 1) - log 7 - log x = log (x + 1) - log 6 4
8
2. Řešte v R: log x + log √x + log √x + log √x + … = 2
x = 2/3, 3/2 x = 10
3. Řešte v oboru R rovnici:
2 1 − =1 log 2 x + 1 log 2 x − 5
x ≠ ½, 32, x = 4, 8
4. Řešte v oboru R rovnici:
x 3+ 4 log x = 10 x
x 〉 0, x = 10, 10
5. Řešte v oboru R rovnici:
log x +
6. Řešte v oboru R rovnici:
log x 2 log
-1/4
3 =4 log x x
+ log
x = 10, 1000
1 =3 x2
20
x = 1000, 1/10
41. Skalární, vektorový a smíšený součin vektorů Definujte vektor, sčítání a odčítání vektorů (algebraicky i graficky), násobení vektoru číslem, skalární, vektorový a smíšený součin, jejich vlastnosti a využití při řešení typických úloh. Definujte lineární kombinaci vektorů a lineárně závislé vektory. 1. Je dán ∆ ABC, A(-1, -2, 8), B(0, 0, 0), C(6, 2, 0). Vypočítejte jeho obsah. 2. Jsou dány vektory a = (3, 2), b = (1, 4), c = (0, 3). Určete početně i graficky: a) u = a + b + c, b) v = 2a + 3b –2c. 3. Jsou dány body K (3, 2, -4), L (3, 6, -5), M (-4, -1, 0). Vypočítejte souřadnice bodu N, jestliže platí: L – K = u, M – N = -2u. 4. Je dán ∆ ABC, A (3, 2, 1), B (1, -3, 0), C (0, 2, 5). Užitím skalárního součinu určete velikosti vnitřních úhlů , . 5. Jsou dány vektory a = (2, -3, 1), b = (1, 1, 2), c = (3, 1, -1). Vypočtěte smíšený součin: a . (b x c). 6. Vektor x je kolmý k vektorům a = (6, 3, 0), b = (1, 7, 2). Určete jeho souřadnice, je-li x . c = 6, vektor c = (4, -4, -2). 7. Určete neznámou souřadnici bodu A tak, aby body A, B, C ležely na jedné přímce. A (a1, 4), B (-7, 6), C (-5, 5). 8. Jsou dány vektory u = (2, 3, 0), v = (0, 3, 2). Užitím vektorového součinu vypočítejte obsah rovnoběžníku sestrojeného z těchto vektorů. 42. Konstrukční úlohy – množiny bodů dané vlastnosti Základní množiny bodů dané vlastnosti – osa úsečky, osa úhlu, kružnice, ekvidistanta kružnice, kruhové oblouky, z nichž je vidět danou úsečku pod daným úhlem, Thaletova kružnice, kuželosečky, …. 1. Sestrojte množinu všech bodů, z nichž je vidět úsečku AB, AB = 5 cm, pod úhlem a) 30º,
b) 120º.
2. Je dán kosočtverec ABCD (zadání zvolte sami). Sestrojte takový bod X, aby z něho bylo vidět stranu AB pod úhlem 60º a stanu BC pod úhlem 120º. 3. Je dána úsečka AB, AB = 4 cm. Sestrojte všechny trojúhelníky ABC, v nichž = /3, vc = 3 cm. 4. Je dána úsečka BB1, BB1 = 6 cm. Sestrojte všechny trojúhelníky ABC, pro něž je BB1 těžnicí tb a pro které platí: vb = 5 cm, c = 5,5 cm. 5. Sestrojte trojúhelník ABC, pro který platí: vc = 3 cm, b = 4 cm, poloměr kružnice vepsané = Úloha je nepolohová, je možno začít řešení umístěním kteréhokoliv zadaného prvku.
1 cm.
6. Je dána úsečka AB, AB = 5 cm. Sestrojte všechny tětivové čtyřúhelníky ABCD, v nichž je AC = e = 8 cm, = 120º a = 105º; je velikost úhlu AEB, kde E je průsečík úhlopříček. 7. Sestrojte trojúhelník ABC, jsou-li dány délky všech 3 těžnic ta, tb, tc. Úloha je nepolohová, zadání volte sami tak, aby úloha měla aspoň 1 řešení.
21
43. Shodná zobrazení v rovině – osová souměrnost Definujte zobrazení, shodné zobrazení, osovou souměrnost. Skládání osových souměrností. Samodružný bod, samodružná přímka. Typy úloh na použití osové souměrnosti. 1. Světelný paprsek projde bodem A, odrazí se od rovinného zrcadla a projde bodem B. Ve kterém místě se paprsek odrazil od zrcadla? A, B volte obecně. Řešte rovněž pro odraz na dvou kolmých, případně rovnoběžných zrcadlech. 2. Jsou dány dvě různé přímky p, o a kružnice k(O; r). Sestrojte úsečku XY tak, aby byla kolmá k přímce o, její krajní body X, Y ležely po řadě na přímce p a kružnici k a její střed ležel na přímce o. 3. Sestrojte všechny ∆ ABC, je-li jejich obvod a + b + c = 12 cm a úhly = 60°, = 45°. 4. Je dána kružnice k(S; r) a vně bod M. Sestrojte všechny rovnostranné trojúhelníky, pro něž je k kružnice vepsaná a bod M leží na přímce obsahující jednu stranu trojúhelníka. 5. Sestrojte:
a) ∆ ABC, je-li dáno: c = 7 cm, va = 6,5 cm, a + b = 12,5 cm. b) čtverec ABCD, je-li a + e = 10 cm.
6. Je dána přímka p a body A, B ležící v opačných polorovinách s hraniční přímkou p (p není kolmá na AB). Na přímce p sestrojte bod V tak, aby osa úhlu AVB ležela na přímce p.
44. Lineární lomená funkce Definujte funkci, definiční obor a obor hodnot, funkce prostá, inverzní, rostoucí, klesající. Graf funkce. Lineární funkce, přímá úměra, lineární lomená funkce. Hyperbola, asymptoty.
1 1 1 1 1. Načrtněte do stejného obrázku grafy funkcí: y = − , y = − − 1, y = − , y=− + 1. Popište, jak x x x+2 x+2 spolu souvisejí jednotlivé grafy. 2. Načrtněte do stejného obrázku grafy funkcí: y =
1 1 2 , y= + 2, y = . 2x − 1 2x − 1 x+2
3. Proveďte rozbor lineární lomené funkce a načrtněte její graf: y =
x +1 . x−2
4. Proveďte rozbor lineární lomené funkce a načrtněte její graf: y =
2x + 3 . x −1
5. Proveďte rozbor lineární lomené funkce a načrtněte její graf: y =
3− x x+2
22
.
45. Polohové úlohy – stereometrie Vzájemná poloha dvou přímek v prostoru, vzájemná poloha dvou rovin v prostoru. Kritérium rovnoběžnosti přímky s rovinou a rovnoběžnosti dvou rovin. Průnik přímky rovinou, průnik dvou rovin, princip prostorového řešení. Vzájemná poloha tří rovin. Volná rovnoběžná projekce, zobrazení základních těles. Řezy na hranatých tělesech. 1. Zobrazte kvádr ABCDEFGH, a = 6, b = 7, c = 5. Zobrazte řez roviny XYZ kvádrem: X ∈ AE: XE = 2 XA, Y ∈ BC: BY = 2 YC, Z je středem GH. 2. Zobrazte pravidelný šestiboký jehlan ABCDEFV, AB= 3,5, v = 6. Zobrazte řez roviny KLM jehlanem: K je středem AB, L ∈ VC: CL = 2 LV, M ∈ DV: VM = 2 MC. 3. Zobrazte krychli ABCDEFGH a její řez rovinou , která prochází středem hrany AE rovnoběžně s rovinou ACH. 4. Zobrazte kvádr ABCDEFGH, a = 6, b = 7, c = 5. Zobrazte řez roviny XYZ kvádrem: X ∈ AB: XB = 2 XA, Y ∈ CG: GY = 2 YC, Z je středem EH. 5. Zobrazte pravidelný šestiboký hranol ABCDEFGHIJKL, AB= 3,5, v = 6. Zobrazte řez roviny XYC hranolem: X ∈ BH: XH = 2 XB, Y ∈ DJ: YD = 2 YJ. 6. Zobrazte krychli ABCDEFGH a její řez rovinou , která prochází středem hrany AB rovnoběžně s rovinou BDG. 46. Pravděpodobnost jevu, nezávislost jevů Jevy, pravděpodobnosti jevů, klasická definice pravděpodobnosti, pravděpodobnost jevů nezávislých, pravděpodobnost podmíněná, možný geometrický model. Základy matematické statistiky, aritmetický, geometrický průměr, další charakteristiky polohy (modus, medián) a variability (rozptyl, směrodatná odchylka, variační koeficient) 1. 40 studentů má být pro účely určitého písemného testu náhodně rozděleno na 4 stejně početné skupiny. Mezi studenty jsou Petr a Petra. Jaká je pravděpodobnost, že budou zařazeni a) do stejné skupiny, b) do jiné skupiny? 9/39, 30/39=1-a) 2. Hodíme najednou dvěma kostkami – žlutou a modrou. Jaká je pravděpodobnost jevu: „na modré kostce padne větší číslo než na žluté?“ 15/36 3. V bedně je 30 výrobků, z nichž právě 3 jsou vadné. Vybereme náhodně 5 výrobků. Jaká je pravděpodobnost, že mezi nimi bude a) nejvýše 1 vadný, b) aspoň 2 vadné? (27nad5)+(3nad1).(27nad4)/(30nad5) = 0,936 b) 1-a) =0,064 4. Studenti Petr a Pavel skládají zkoušku ve dvou různých termínech. V obou termínech používá zkoušející tentýž okruh 20 otázek, z nichž si vždy student vylosuje 3 otázky. Jaká je pravděpodobnost, že Petr a Pavel a) dostanou tytéž 3 otázky, b) nedostanou ani jednu stejnou otázku? 1/(20nad3)=0,0009, b) (17nad3)/20nad3)=0,569 5. V losovacím osudí je 6 koulí bílých a 8 černých. Který jev je pravděpodobnější: a) A: při náhodném výběru 3 koulí budou všechny bílé, b) B: při náhodném výběru 4 koulí budou všechny černé? Vyčíslete přesně a srovnejte. A: (6nad3)/(14nad3)=0,0549 B: (8nad4)/)14nad4)=0,0699 6. Z mariášových karet (je jich 32) vytáhneme náhodně 3 karty. Jaká je pravděpodobnost, že a) mezi nimi nebude žádné eso?, b) mezi nimi bude eso? (28nad3)/(32nad3)=0,66 b) 1-a) 7. Házíme hrací kostkou. Jaká je pravděpodobnost, že a) při jednom hodu padne šestka, b) při jednom hodu padne sudé číslo, c) při dvou hodech padne dvakrát šestka, d) při dvou hodech padne aspoň jedna šestka, e) při dvou hodech nepadne ani jednou šestka, f) při dvou hodech padne aspoň 1 sudé číslo, g) při dvou hodech padnou pouze lichá čísla, h) při třech hodech padnou pouze lichá čísla? a) 1/6 b) ½ c) 1/36 d) 11/36 e) 25/36 f) 27/34=3/4 g) 1-f) h)1/8 8. Dva přátelé se dohodli, že se potkají v Havířově u restaurace „Zátiší“ v pátek 25. května 2007 mezi 20 – 21. hodinou za následujících pravidel: Budou na sebe čekat 15 minut a nedočkají-li se druhého, odejdou. Jaká je pravděpodobnost, že se setkají, pokud předpokládáme stejnou pravděpodobnost příchodu na určené místo v kterémkoliv okamžiku? 7/16 9. Házíme šipkami do terče tvaru čtverce, Jaká je pravděpodobnost, že zasáhneme kruh, který je vepsán čtvercovému terči (dotýká se čtverce) za předpokladu, že zasáhneme terč? /4 asi 3/4 10. Na MALÉM ministerstvu je 20 zaměstnanců. V tabulce je dán jejich roční příjem (brutto) v tisících Kč s rozdělením četnost: roční příjem 300 440 500 650 700 990 Četnost 2 6 5 5 1 1 Určete: a) průměrný roční příjem zaměstnance, b) medián, c) modus a) 534 b) 500 c) 440 11. 10 opakovaných fyzikálních měření poskytlo tyto výsledky: 2,11; 2,01; 2,09; 2,11; 2,02; 2,03; 2,03; 2,10; 2,05; 2,05. Vypočtěte: a) aritmetický průměr, b) směrodatnou odchylku, c) variační koeficient a) 2,06 b) 0,0368 c) b/a = 0,018, tj. asi 1,8 %
23
47. Využití Vennových diagramů Vennovy diagramy pro třídění prvků ve 2, 3, 4 množinách, popište pomocí množinových operací některá vybraná pole. Uveďte definiční tabulky negace, disjunkce, konjunkce, implikace a ekvivalence. 1. Rozhodněte pomocí Vennových diagramů, zda jsou si rovny množiny: a) (A∪B)∩C, (A∩C)∪(B∩C) A∪(B∩C), (A∪B)∩(A∪C) c) (A∪B)´, A´∩B´
b)
2. Ze skupiny 35 žáků pravidelně čte časopis PPK 10 žáků, 8 žáků čte pravidelně časopis Chip. 20 žáků pravidelně nečte žádný z těchto dvou časopisů. Kolik žáků čte pravidelně oba uvedené časopisy? V: 3 žáci 3. Určete průnik a sjednocení množin A, B, jestliže: - A = { x ∈ Z: x < - 5 }, B = { x ∈ Z: x ≤ - 1 } - A = N, N = { 1, 2, 3, ... }, B = { x ∈ Z: x < 1 } 4. Určete rozdíly A \ B, B \ A množin A,B, jestliže: A = { x ∈ Z: x ≤ - 2 }, B = { x ∈ Z: x < - 7 }. 5. Pomocí Vennových diagramů pro 3 množiny A, B, C vyjádřete: - (A ∩ B‘)∪ C - A ∩ (B’ ∪ C) 6. Nakupování ve dvou prodejnách potravin v jednom dni: - v první nakupovalo 728 osob - ve druhé 582 osob, z nich 416 jen ve druhé. - Kolik osob nakupovalo jen v první prodejně?
48. Binomické rovnice Zaveďte komplexní číslo, operace s komplexními čísly v algebraickém a goniometrickém tvaru. Řešení algebraických rovnic. Pojem binomická rovnice. Moivreova věta. Komplexní odmocnina. 1. Řešte v C, sestrojte obrazy kořenů v Gaussově rovině: 3
3
a) z - 1 = 0 b) z + 8 = 0
3
c) z - i = 0
2. Řešte v C, sestrojte obrazy kořenů v Gaussově rovině: 4
a) z + 1 = 0
4
b) z - 1 = 0
4
c) z - i = 0
3. Řešte v C, sestrojte obrazy kořenů v Gaussově rovině: 6
a) z - 64 = 0
6
b) z + 64 = 0
6
c) z - i = 0
4. Řešte v C, sestrojte obrazy kořenů v Gaussově rovině: z 5 = 1 + i 3 5. Je dán pravidelný pětiúhelník se středem v počátku, jehož jeden vrchol je obrazem komplexního čísla i. Určete komplexní čísla, jejichž obrazy jsou zbývající vrcholy pětiúhelníku. 6. Je dán pravidelný pětiúhelník se středem v počátku, jehož jeden vrchol je obrazem čísla -2. Určete komplexní čísla, jejichž obrazy jsou zbývající vrcholy pětiúhelníku.
24
49. Metrické úlohy – stereometrie Definujte vzdálenost bodu od přímky, dvou rovnoběžek, bodu od roviny, přímky od roviny. Odchylka přímek a rovin. Kolmost přímky k rovině – definice a kritéria, kolmost dvou rovin 1. Je dán pravidelný trojboký hranol ABCA’B’C’, |AB| = 4 cm, |AA’| = 5 cm. Určete konstrukčně i početně odchylku přímek BC a AC’. 2. Je dán pravidelný čtyřboký jehlan ABCDV, |AB| = 5 cm, |AV| = 6 cm, a bod Q (střed hrany BV). Určete konstrukčně i početně odchylku přímek CV, AQ. 3. Je dán kvádr ABCDEFGH, |AB| = 4,5 cm, |BC| = 3 cm, |AE| = 3,8 cm, bod S je střed horní podstavy. Určete konstrukčně i početně odchylku přímky BS od přední stěny ABF. 4. Je dán pravidelný šestiboký jehlan ABCDEFV se středem podstavy S. |AB| = 3,5 cm, |VS| = 6 cm. Určete odchylku přímky CM (M je střed hrany AV) a roviny podstavy. Řešte konstrukčně i početně. 5. Určete vzdálenost vrcholu A pravidelného čtyřbokého jehlanu ABCDV od přímky CV, je-li |AB| = 4 cm, |AV| = 6 cm. Řešte konstrukčně i početně. 6. Krychle ABCDEFGH má hranu dlouhou 5 cm, body K, L jsou po řadě středy hran AB a BC. Určete a) vzdálenost přímek EG a KL b) vzdálenost rovin ACH a BEG.
50. Analytická geometrie paraboly Definujte parabolu, uveďte její rovnice v základních případech. Ohnisko, osa, vrchol, parametr. Tečna paraboly. Vzájemné polohy paraboly a přímky. 2
1. Proveďte rozbor rovnice kuželosečky a načrtněte graf v O(x,y): a) x + 6x – 9y = 0 2 2. Napište rovnici tečny paraboly y – 6x – 6y + 3 = 0, která je // p: 3x – 2y + 7 = 0. 2 3. Napište rovnice všech přímek, které procházejí bodem M[0; -1] a mají s parabolou x - 4x - y + 3 = 0 společný právě jeden společný bod. 4. Průměr parabolického automobilového reflektoru je 24 cm, hloubka reflektoru je 12 cm. Určete rovnici parabolického řezu a vypočtěte polohu vlákna žárovky při zapnutí dálkových světel. 2 5. Parabola (x - 3) = 2p(y + 2) má tečnu x + y + 2 = 0. Určete parametr p a souřadnice bodu dotyku T. 2 2 6. Jsou dány paraboly y = 4x a x = 4y. Vypočtěte jejich průsečíky a odchylku křivek v jejich průsečících.. 7. Napište rovnici paraboly, která prochází body A[1; -3], B[0; -1] a C[2; -1] a její osa je rovnoběžná s osou y. Určete její ohnisko, vrchol a rovnici její tečny v bodě C. 8. Napište rovnici paraboly, jejíž ohnisko je F[4; 1] a řídící přímka má rovnici d: y = -3. Najděte průsečíky této paraboly se souřadnými osami. 2 Najděte tečnu paraboly y - 6x - 4y + 22 = 0, která je rovnoběžná s přímkou q: y = x. Určete dotykový bod.
25
