1/15
ANALYTICKÁ GEOMETRIE Základní pojmy: • Soustava souřadnic v rovině a prostoru • Vzdálenost 2 bodů, střed úsečky • Vektory, operace s vektory, velikost vektoru, skalární součin • Rovnice přímky • Geometrie v rovině - vzájemná poloha přímek, odchylka, vzdálenost přímek Analytická geometrie - za zakladatele považován René Descartes, publikoval základní metody v roce 1637 - geometrie, která řeší geometrické úlohy početně - www.karlin.mff.cuni.cz/katedry/kdm/diplomky/jan_koncel/ 1.
který
Soustava souřadnic v rovině
Číselná osa O x : Kartézská soustava souřadnic O xy : bod O
počátek kartézské soustavy souřadnic
přímky x, y
souřadnicové osy
A[a 1 ; a 2 ]
souřadnice bodu A v kartézské soustavě souřadnic O xy
2.
Soustava souřadnic v prostoru O xyz A[a 1 ; a 2 ; a 3] souřadnice soustavě souřadnic O xyz
bodu
A
v
kartézské
Příklad: 1. Zobrazte body v soustavě O x : A = [-1,5], B = [4], C = [0,5], D = [
PRACOVNÍ LISTY
]
3. ROČNÍK
Analytická geometrie
2/15
2. Vyznačte na číselné ose obrazy čísel
1 5 a . 2 6
3. Najděte obrazy dvojic O xy [1/ 2 ; 1], [4/ 3 ; -1], [2; 0], [-2; -3]
3.
Vzdálenost bodů v rovině a prostoru
Příklad: Určete vzdálenost bodů A[1; 3] a B[5; 6] AB =
Vzdálenost 2 bodů A[a 1 ; a 2 ], B[b 1 ; b 2 ] :
AB = (b1 − a1 ) 2 + (b2 − a 2 ) 2 AB = (b1 − a1 ) 2 + (b2 − a 2 ) 2 + (b3 − a3 ) 2
Příklad: Určete vzdálenost bodů A[-1; 0; -2] a B[1; 3; 4] AB =
PRACOVNÍ LISTY
3. ROČNÍK
Analytická geometrie 4.
3/15
Střed úsečky
Bod S ∈ AB je středem úsečky AB, právě tehdy, když platí |AS| = |BS|.
A+ B S= 2
a + b a S = 1 1; 2 2 a + b a S = 1 1; 2 2
V rovině: V prostoru:
+ b2 2 + b2 a3 + b3 ; 2 2
Příklad: Najděte střed úsečky, která prochází body A[1; 2; 2] a B[3; 6; 2].
Příklad: 1. V soustavě O xy jsou dány body A = [-1; 1], B = [12; -5], C = [12; 0]. Určete jejich vzdálenost od počátku O soustavy O xy . 2. Vypočtěte vzdálenost bodů A, B a střed S úsečky AB, je-li dáno: a) A = [-2; 3], B = [-2; 7] b) A = [0; 2], B = [8; 0] c) A = [3; 0], B = [-1; -3] 3. Je dán jeden krajní bod a střed S úsečky. Určete souřadnice druhého krajního bodu úsečky: a) AB, A [-3; 6], S[-1; 4] b) PQ, Q[3; 0,8], S[-1;0,5] 4. Dokažte, že trojúhelník s vrcholy a) A = [4; -1], B = [3; 4], C = [1; 2] b) K = [4; 3], L = [12; 9], M = [1; 7] je pravoúhlý 5. Určete délky stran a těžnic a rozhodněte, jakého druhu je trojúhelník ABC, je-li dáno: a) A = [-3; 1], B = [2; -1], C = [1; 3] b) A = [10; 14], B = [3; -10], C = [-6; 2] c) A = [3; 8], B = [-1; 2], C = [8; -4] 6. Na ose x najděte bod X, který má stejnou vzdálenost od počátku jako od bodu A = [-3; 6] Výsledky: 1.
2 , 13, 12
3.
a)B[1;2]
5.
a) a = 17 , b =
a) 4, [-2, 5]
4.
a)ano – c přepona
c)5, [1, -
3 ] 2
b) ano - k přepona
9 3 29 , t a = , t b = 3 2 ,t c = 5 , obecný 2 2 5 25 b) a = 15, b = 20, c = 25, t a = , pravoúhlý 73 , t b = 5 13 , t c = 2 2 c) a = 3
6.
b)P[-5;0,2]
b) 68 , [4; 1]
2.
20 , c =
13 , b = 13, c =2 13 , t a =
5 13 13 , tb = , t c = 130 , pravoúhlý 2 2
15 − 2 ,0
PRACOVNÍ LISTY
3. ROČNÍK
Analytická geometrie 5.
Vektory
4/15
Vektor - množina všech orientovaných úseček, které mají stejnou velikost a stejný směr.
u = AB v = CD w = EF z = GH
u=v =w=z
Nulový vektor - je množina všech orientovaných úseček nulové délky, značíme o. Souřadnice vektoru: u = AB , kde A[a 1 ; a 2 ], B[b 1 ; b 2 ] V rovině: u = (u 1 ;u 2 ) = (b 1 – a 1 ;b 2 – a 2 ) u = AB = B − A V prostoru: u = (u 1 ;u 2 ;u 3 ) = (b 1 – a 1 ;b 2 – a 2 ;b 3 – a3) Příklad: V prostoru jsou dány body A[1; 2; 2] a B[3; 2; 5]. Vypočítejte souřadnice vektoru u , který je určen orientovanou úsečkou AB.
Zakreslování vektorů:
Operace s vektory: a) Sčítání vektorů: v rovině v prostoru
u + v = (u 1 + v 1 ; u 2 + v 2 ) u + v = (u 1 + v 1 ; u 2 + v 2 ; u 3 + v 3 )
Příklad: Vypočítejte součet vektorů u a v , jestliže u = (1; 4) a v = AB , je-li A[-1; 2], B[2; -1].
Příklad: Vypočítejte součet a rozdíl vektorů u = (3; 1; 5) a v = (2; -2; 1).
PRACOVNÍ LISTY
3. ROČNÍK
Analytická geometrie
b)
5/15
Násobení vektorů reálným číslem: Pro každé reálné číslo k platí: v rovině k . u = (k.u 1 ; k.u 2 ) v prostoru k . u = (k.u 1 ; k.u 2 ; k.u 3 )
Příklad: Zakresli vektory u = (1; 2), v = 2. u , w = -1. u
Příklad: Vypočítejte souřadnice vektoru u = v + 2 w , kde v = (2; 1; -3) a w = (2; 3;1).
c)
Velikost vektoru | u |:
v rovině v prostoru nulový vektor jednotkový vektor
u = (u1 , u2 ) u = (u1 , u2 , u3 )
2 2 u = u1 + u2 2 2 2 u = u1 + u2 + u3
|o| = 0 |u | = 1
Příklad: Vypočítejte velikost vektoru u = (3; 4).
Příklad: Vypočítejte velikost vektoru u = (-4; 7). Výsledek zaokrouhlete na 2 desetinná místa.
d)
Skalární součin vektorů u a v: v rovině u . v = u1v1 + u2v2 v prostoru u . v = u1v1 + u2v2 + u3v3 u.v = 0 ⇔ vektory jsou navzájem kolmé
Příklad: Vypočítejte skalární součin vektorů u = (1; -2) a v = (2; -3).
PRACOVNÍ LISTY
3. ROČNÍK
Analytická geometrie
6/15
Příklad: Pro u = (8; -5; 4) a v = (-8; -8; 5) vypočítejte u . v .
Příklad: Určete, zda vektory u a v jsou na sebe kolmé:
a)
u = (3; -2) a v = (2; -3)
b)
u = (3; -2) a v = (2; 3)
c)
u = (3; -2) a v = (4; 6)
Pravidlo:
Příklad: Určete vektor v kolmý k vektoru u = (1; -2).
Odchylka vektorů Pro dva nenulové vektory u , v v rovině nebo v prostoru a jejich odchylku φ platí: u.v cos ϕ = , ϕ ∈ 0°,180 u.v e)
Příklad: Určete odchylku vektorů u = (3; -2) a v = (2; -3).
Příklad: Určete odchylku vektorů u = (2; -4) a v = (2; 1).
Příklad: Určete odchylku vektorů u = (8; -5; 4) a v = (-8; -8; 5).
PRACOVNÍ LISTY
3. ROČNÍK
Analytická geometrie
7/15
Příklady: 1. Rozhodněte, zda platí rovnost AB = CD , je-li dáno: A = [3; 2], B = [0; 1], C = [2; 0], D = [-1; 1] 2. Vypočtěte souřadnice vektoru u = AB , je-li dáno: a) A = [0; 2], B = [-1; 0] b) A = [0; 3; 0], B = [0; -2; 0] 3. V O xy určete souřadnice vektorů a) AB , b) AC , c) BA , d) CA , e) BC , f) CB , jestliže A = [-1; 3], B = [4; 2], C = [-5; 7]. 4. Určete velikosti vektorů AB , BA , AC , BC , je-li A = [-2; 3], B = [-1; 4], C = [5; -2]. 5. Určete souřadnice bodu B tak, aby platilo u = AB , je-li dáno A = [-1; 1], u = (-1;-2). 6. Jsou-li dány souřadnice bodů A, B, C, najděte souřadnice bodu D tak. Aby platilo: AB = CD : A = [6; 3], B = [8; 0], C = [5; 2] 7. Je vektor u , jehož umístěním je orientovaná úsečka AB jednotkový vektor? a) A = [5; 1], B = [4; 1] b) C = [3; sin 60°], B = [3,5; tg 60°] 8. Určete t∈R tak, aby vektory u , v byly navzájem kolmé a) u = (-2; 1), v = (1; t) b) u = (-2; 1; 2), v = (1; 4; t) 9. Jsou dány body A = [1; 2], B = [4; 3], C = [5; 5]. Určete souřadnici d 2 bodu D = [3; d 2 ] tak, aby vektor CD byl kolmý na vektor AB . 10. Dokažte, že trojúhelník KLM, kde K = [4; 3], L = [12; 9], M = [1; 7] je pravoúhlý. 11. Pomocí vektorů vypočtěte obsah trojúhelníku ABC a velikosti vnitřních úhlů, je-li dáno: A = [2; 5], B = [-4; 2], C = [9; -3]. 12. Vypočtěte úhel vektorů u , v , je-li a) u = (-1; 2), v = (1; 3) b) u = (-2; 1), v = (-1; -3) c) u = (1; -2), v = (2; 1) d) u = (2; -3), v = (-3; -2) 13. Jsou dány body A = [1; 1], B = [2; -1], C = [3; 2]. Dokažte, že body ABC tvoří trojúhelník a vypočtěte velikosti jeho vnitřních úhlů. Výsledky: 1. ne 3. a) (5; -1), 4. 6. 10. 12.
2. a) (-1; -2) b) (0, -5, 0) b) (-4; 4), c) (-5; 1), d) (4; -4), e) (-9; 5), f) (9; -5)
|AB| = 2 ,| BA| = [7; -1] 7. 90° u vrcholu K
π π π π
, , , 4 4 2 2
PRACOVNÍ LISTY
5.[-2; -1] 2 , |AC| = 74 , |BC| = 6 2 ano, ano 8. t = 2, t = -1 9. [3; 11] 2 11. S = 34,5 j , α = 104°37‘, β = 47°36‘, γ = 27°47‘ π π π 13. α = , β = , γ = 2 4 4
3. ROČNÍK
Analytická geometrie
6.
8/15
Přímka A) PARAMETRICKÉ VYJÁDŘENÍ PŘÍMKY p
• • •
přímka v rovině je určena dvěma různými body A a B vektor u = B - A nazýváme směrový vektor AB – určuje směr X = A + t u ; t ∈ R
- parametrické vyjádření přímky určené bodem A a směrovým vektorem u - proměnná t se nazývá parametr
p: A[a 1 ; a 2], u = (u 1 ; u 2 ):
např.:
x = a1 + t.u1 y = a2 + t.u2; t ∈ R
[x; y] jsou souřadnice všech bodů ležících na přímce p
Příklad: Určete parametrické vyjádření přímky zadané body A[2; 1] a B[3; 3].
Příklad: Zjistěte, zda bod P[-3; 5] leží na přímce AB, kde A[1; 1] a B[5; -3].
Příklad: Určete, jaký geometrický útvar určuje parametrické vyjádření X = A + t u , jestliže a) t ∈ <0; 1>
b) t ∈ <0; ∞) Příklad:
1. Napište parametrické rovnice přímky určené bodem A a vektorem u : c) A = [0; 0], u = (1; 0) a) A = [-2; -3], u = (0; 4) b) A = [0; 3], u = (-7; 0) d) A = [1; 1; 0], u = (2; -1; 3) 2. Napište parametrické rovnice přímky, která prochází body: a) A = [7; 2], B = [3; 5] c) E = [2; -4; 5], F = [0; -10; 7] b) C = [-3; 5], D = [5; 5] d) G = [3; -1; 4], H = [1; -2; 4] 3. Zjistěte, zda body A = [-3; 7], B = [0; 3], C = [-14; -1] leží na přímce, určené rovnicemi
PRACOVNÍ LISTY
3. ROČNÍK
Analytická geometrie
9/15
x = 1 – t, y = 3t, t∈R. 4. Rozhodněte, který z bodů A = [13; -5; 18], B = [0; -14; -1] leží na přímce x = 1 + 2t, y = 1 – t, z = 3t, t∈R. 5. Napište rovnici přímky, která je určena body A = [1; 4], B = [3; 3]. Určete souřadnici c 1 bodu C = [c 1 ; 2] tak, aby bod C ležel na přímce AB.
Výsledky: 1.
a) x = -2, y = -3 + 4t
b) x = -7t, y = 3
2.
a) x = 7 – 4t, y = 2 + 3t
b) x = -3 + 8t, y = 5 c) x = 2 – 2t, y = -4 – 6t, z = 5 + 2t
c) x = t, y = 0
d) x = 1 + 2t, y = 1 – t, z = 3t
d) x = 3 – 2t, y = -1-t, z = 4 3.
B∈p, A, C ∉ p
4.
A∈p, B∉p
5.
x = 1 + 2t, y = 4 – t , C = [5; 2]
B) OBECNÁ ROVNICE PŘÍMKY Rovnice ax + by + c = 0, a, b, c ∈R, kde alespoň jedno z čísel a, b je nenulové, se nazývá obecná rovnice přímky. Příklady obecných rovnic:
Příklad: Najděte 3 body ležící na přímce vyjádřené obecnou rovnicí: 2x - y + 3 = 0.
Příklad: Danou parametrickou rovnici přímky převeďte na obecnou rovnici: x = -7 + 6t, y = 3 + 2t
Vektor kolmý ke směrovému vektoru přímky v rovině se nazývá normálový vektor této přímky. V obecné rovnici ax + by + c = 0 přímky p odpovídají koeficienty a, b souřadnicím jejího normálového vektoru n = (n 1 ; n 2 ) a = n1, b = n2
Příklad: Určete obecnou rovnici přímky p, která je určena body A[3; 1] a B[1; 2].
PRACOVNÍ LISTY
3. ROČNÍK
Analytická geometrie
10/15
Příklad: Najděte obecnou rovnici přímky q: x = 3 - 2t, y = 2 + t; t ∈ R. 1. způsob:
2. způsob:
Příklad: Určete parametrickou rovnici přímky q: x - 3y - 4 = 0.
C) SMĚRNICOVÝ TVAR ROVNICE PŘÍMKY Rovnice y = kx + q; k, q ∈R se nazývá směrnicový tvar rovnice přímky. k ................směrnice přímky u k = tg φ = 2 u1
příklad směrnicového tvaru:
Příklad: Najděte pro přímku AB, kde A[0; 3], B[6; 0] parametrické vyjádření, obecnou rovnici a směrnicový tvar její rovnice.
PRACOVNÍ LISTY
3. ROČNÍK
Analytická geometrie
11/15
Příklady: 1. Dané parametrické rovnice přímky převeďte na tvar obecný a směrnicový: a) x = 3t, y = 1 – 2t b) x = 4 – 3t, y = t 2. Zobrazte přímky o rovnicích: a) 4x – 3y + 10 = 0 b) 6x + 3x – 12 = 0 c) 3x – y + 2 = 0 d) y + 2 = 0
e) 2x – 1 = 0 f) x = t, y = 0 g) x = 0, y = t
h)
2 x–y+1=0 3
i)
x = 1 + t, y = t
3. Napište směrnici a směrnicový tvar rovnice přímky určené body A = [-3; -7], B = [2; -3] 4. Dokažte, že body R = [3; 4], S = [-1; 2], T = [1; 3], U = [-5; 0] leží na jedné přímce. Napište rovnici této přímky. 5. Čemu se musí rovnat číslo n 2 , aby body M = [3; -4], N = [1; n 2 ], P = [-1; 2] ležely na jedné přímce? 6. Napište obecnou rovnici přímky v E 2 , která prochází středem úsečky AB a je kolmá na přímku AB, je-li dáno: A = [3; 1], B = [-1; 5] 7. Napište v E 2 rovnici přímky, procházející středem úsečky AB: a) rovnoběžné s přímkou p b) kolmé na přímku p, je-li dáno: A = [3; 6], B = [1; 2], p: x – 2y + 10 = 0 8. Určete obecnou rovnici přímky v E 2 , která je dána body A = [6; 2], B = [-3; 4]. Dále určete souřadnice průsečíků této přímky se souřadnicovými osami. Tyto dva body tvoří s počátkem soustavy O xy trojúhelník. Vypočtěte jeho obsah. 9. Určete obecnou rovnici přímky, která prochází bodem A = [1; 3] a průsečíkem přímek, daných rovnicemi 3x + 4y – 1 = 0 a 2x + y – 4 = 0. 10. Úsečka AB má krajní body A = [1; 3], B = [-4; 1]. Určete rovnici přímky, která prochází středem úsečky AB a průsečíkem přímek p, q daných rovnicemi p: 2x – y + 4 = 0, q: 3x + 5y – 7 = 0
11. Trojúhelník má vrcholy A = [4; -2], B = [2; 2], C = [-3; -1]. Napište obecné rovnice přímek, na nichž leží strany, těžnice a výšky tohoto trojúhelníka.
Výsledky: 1. 3. 4.
2 a) 2x + 3y – 3 = 0, y = - x + 1 3 4 4 4 23 k= ,y+7= (x+3), y = x 5 5 5 5 x = 3 – 4t, y = 4 – 2t, x – 2y + 5 = 0
7. a) x – 2y + 6 = 0
b) 2x + y – 8 = 0
b)
x + 3y – 4 = 0, y = -
5. n 2 = -1 8. 2x + 9y – 30 = 0
9. 5x + 2y – 11 = 0 10. p ∩ q = P = [-1; 2] 11. BC: 3x – 5y + 4 = 0 AB: 2x + y – 6 = 0 t a : 5x + 9y – 2 = 0 t b : 7x – 3y – 8 = 0 v a : 5x + 3y – 14 = 0 v b : 7x – y – 12 = 0
PRACOVNÍ LISTY
1 4 x+ 3 3
6. x – y + 2 = 0 X = [15; 0], Y = [0;
10 ], S = 25 3
p : y =- 2 AC: x + 7y + 10 = 0 t c : x – 6y – 3 = 0 v c : x – 2y + 1 = 0
3. ROČNÍK
Analytická geometrie
12/15
7. vzájemná poloha přímek Dvě přímky p, q v rovině mohou mít tři vzájemné polohy
p∩q=∅ rovnoběžné různé žádný společný bod
p∩q=p totožné společná je celá přímka
p ∩ q = {P} různoběžné jeden společný bod, bod P
Příklad: Jsou dány body P[3; 5], Q[2; 1] a vektory u = (1; 2), v = (3; 6). Rozhodněte, zda jsou přímky p(P, u ) a q(Q, v ) rovnoběžné.
Příklad: Jsou dány přímky p(P, u ) a q(Q, v ), P[2; -1], u = (1; 2), Q[0; -2], v = (1; 1). Určete jejich vzájemnou polohu a jsou-li různoběžné, najděte i jejich průsečík
Příklad: Jsou dány přímky p(P, u ) a q(Q, v ), P[-1; 0], u = (1; 2), Q[3; 5], v = (3; 6). Určete jejich vzájemnou polohu a jsou-li různoběžné, najděte i jejich průsečík.
PRACOVNÍ LISTY
3. ROČNÍK
Analytická geometrie
13/15
Příklad: Jsou dány přímky p(P, u ) a q(Q, v ), P[1; 2], u = (1; -2), Q[-1; 6], v = (-2; 4). Určete jejich vzájemnou polohu a jsou-li různoběžné, najděte i jejich průsečík.
Příklad: Určete vzájemnou polohu přímek p a q, je-li p: x - y - 1 = 0, Jsou-li různoběžné, najděte i jejich průsečík.
q: 3x + 3y - 6 = 0.
Příklad: Určete vzájemnou polohu přímek p: x - 2y + 5 = 0 a q: x = 3 - 2t, y = 2 + t; t ∈R. Pokud existuje, najděte jejich průsečík.
8.
Odchylka přímek Odchylka přímek p(P, u ), q(Q, v ) je číslo φ ∈ <0, π/2>, pro které platí:
u.v cos ϕ = u.v
Příklad: Jsou dány přímky p a q. Přímka p je určena body A = [2; 0] a B = [1; 6] a přímka q rovnicí 2x - y + 1 = 0. Určete jejich odchylku.
Příklad: Vypočítejte odchylku přímek p: 4x - 7y - 7 = 0 a q: 3x + 9y - 1 = 0. Výsledek zaokrouhlete na stupně.
PRACOVNÍ LISTY
3. ROČNÍK
Analytická geometrie 9.
14/15
Vzdálenost bodu od přímky Vzdálenost d bodu M[m 1 ; m 2 ] od přímky p: ax + by + c = 0 se vypočítá podle vzorce:
v = Mp =
am1 + bm2 + c a2 + b2
Příklad: Vypočítejte vzdálenost d bodu A[-1; 5] od přímky p: 3x + 4y - 2 = 0.
10. Vzdálenost 2 přímek Vzdálenost je rovna vzdálenosti libovolného bodu jedné přímky od přímky druhé. Příklad: Určete vzdálenost d přímky p: 3x - 4y + 1 = 0 od přímky q: 3x - 4y + 4 = 0.
Příklady: 1. Zjistěte vzájemnou polohu přímek p, q, j sou-li dány jejich rovnice: a) b) c) d)
p: 2x-5y+6=0, q: 8x+15y+10=0 p: 2x+y-5=0, q: 3x-y+4=0 p: 2x-4y+9=0, q: x-2y+9=0 p: 2x+7=0, q: 4x-9=0
e) f) g) h)
p: y-3=0, q: 3y-25=0 p: 2x+2y-7=0, q: 9x+6y-14=0 x+5y+9=0, q: 2x-3y+1=0 p: 2x-3y=6, q: 4x-6y-25=0
2. Dokažte, že trojúhelník, jehož strany leží v přímkách a: x-3y+1=0, c: 2x-4y-1=0, je pravoúhlý.
b: 2x+y+7=0,
3. Napište rovnici přímky, která prochází průsečíkem přímek p: x+2y-5=0, q: 3x-2y+1=0 kolmo k přímce a: 2x+3y+7=0. PRACOVNÍ LISTY
3. ROČNÍK
Analytická geometrie
15/15
4. Která přímka prochází průsečíkem přímek a: x-6y-1=0, b: 2x+3y=4 rovnoběžně s osou y? 5. Vypočtěte velikost výšky v a v trojúhelníku ABC, je-li A=[1;5], B[5;-5], C[3;4]. 6. V rovnici přímky ax+3y-1=0 určete a tak, aby přímka měla směrový úhel ϕ = 135°. 7. Jsou dány tři přímky o rovnicích x+2y-3=0, 3x-y-2=0 a 6x+5y-c=0. Určete absolutní člen c tak, aby všechny tři přímky měly jeden společný bod. 8. Určete vrcholy a vnitřní úhly trojúhelníka, jehož strany leží v přímkách a,b,c o rovnicích: a: x+7y+11=0, b: x-3y-1=0, c: 3x+y-7=0. 9. Určete velikost výšek rovnoběžníka, jehož strany leží v přímkách o rovnicích 3x-y+5=0, 6x-2y-1=0, x+2y-3=0, 5x+10y+3=0. 10. Jaká je rovnice přímky, která prochází daným bodem A a s danou přímkou p svírá daný úhel α? a) A=[-3;1], p: y=2x –0,5, α=45° b) A=[3;-2], p:
.x-y+1=0, α=30°
c) A=[1;3], p: 4x-7=0, α=45° d) A=[0;-9], p: 3x-7=0, α=60°
11. Určete koeficient b∈R v rovnici přímky p 1 : 9x+by+7=0 tak, aby přímka p 1 byla rovnoběžná s přímkou p 2 : 8x-5y-11=0. 12. Určete rovnici přímky p, která prochází průsečíkem P přímek p 1 : x-y-3=0, p 2 : 3x+y-25=0, přičemž přímka p je a) rovnoběžná s přímkou BC,
b) kolmá k přímce BC,
kde B=[4; -5], C=[2;3]. 13. Určete obsah trojúhelníka, omezeného přímkami p: x-y-3=0, q: 2x-y-12=0 a osou x. Výsledky:
2 π 1 23 ], α = 42°52´56´´ b) různoběžky P=[ , ], α = 5 5 4 5 c) různé rovnoběžky v=2 d) různé rovnoběžky v=5,75 7 35 e) různé rovnoběžky v=5,3 f) různoběžky P=[ − , ] 3 6 13 π 32 17 g) různoběžky P=[ − ,− ], α = h) různé rovnoběžky v = 13 13 4 2 2. b je kolmé na c 3. p∩q=P=[1,2] 3. p∩q=P=[1,2] k:3x-2y+1=0 9 2 4. P=[ , ], 5x-9=0 5. v a =1,74 6. a=3 7. c = 11 5 15 13 5 8 10 4 20 8. a∩b=[ − ,− ]=C, v c = , γ=26°34´, a∩c=[3;-2]=B, v b = , β = 63°26´ 5 5 5 6 11 2 b∩c=[ , ]=A, v a = 8 2 , α=90° 5 5 9. v 1 =1,74; v 2 =1,61 1 10. a) q 1 : y= x +2 ; q 2 : y=-3x-8 b) q 1 : x-3=0, q 2 : x − 3 y − 3 − 2 3 = 0 3 c) q 1 : x-y+2=0; q 2 : x+y-4=0 d) q 1 : 3 x − 3 y − 27 = 0 ; q 2 : 3 x + 3 y + 27 = 0 45 11. b=12. a) q 1 : 4x+y-32=0 b) q 2 : x-4y+9=0 13. S=9y2 8
1.
a) různoběžky P=[-2,
PRACOVNÍ LISTY
3. ROČNÍK
