Tweedegraadsfuncties Parabolen maken © WISNET-HBO NHL update jan. 2009
Inleiding In deze les leer je wat systeem brengen in het snel herkennen van tweedegraadsfuncties. Een paar handige trucjes voor het opstellen van het functievoorschrift van een tweedegraadsfunctie.
0.5 0.4 0.3 0.2 0.1 K3
K2
K1
0
1
2
3
Functie van de tweede graad De grafieken van tweedegraadsfuncties hebben altijd de vorm van een parabool. (Een dal of een berg.)
Voor het definiëren van een tweedegraads functie zijn altijd 3 gegevens nodig. (Zie eventueel ook de les met curve-fitting.)
1 Parabool met top in O 1
Als de parabool de top in O heeft, zijn dat eigenlijk twee gegevens: De parabool gaat door O en tevens is de verticale lijn door O de symmetrie-as. Wat niet gegeven is, is de vorm van de parabool. Deze kan smal of breed zijn en dat heeft te maken met de parameter a van de 2
algemene vorm a x . 2
y x = ax
a verandert van -3 tot 3 20
y
K3
K2
K1
10
0
1
2
3
x
K10 K20
klik met de muis op de grafiek en zet de animatie in werking.
Script van de figuur 1.1 Voorbeeld Formuleer het functievoorschrift van de tweedegraadsfunctie waarvan de parabool de top in O heeft en verder nog door punt 9, 5 gaat. Antwoord De algemene vorm van een parabool met top in O is 2
y =a x
Vul nu het betreffende punt in x, y = 9, 5 .
5 = 81 a om vervolgens de vergelijking die je zo gekregen hebt, op te lossen. Dit kan ook met pen en papier als de getallen niet erg lastig zijn. In dit geval is
a=
5 81
De gevraagde parabool met top in O en door het punt 9, 5 is dus 2
2
5x y= 81 met de computer
1.2 Oefeningen Formuleer het functievoorschrift van de tweedegraadsfunctie waarvan de parabool de top in O heeft en verder nog door het volgende punt gaat. Door punt 3, 4 Bereken met pen en papier het functievoorschrift van de parabool met top in O en door punt 3, 4 . Antwoord 2
4x y= 9 Met de computer
Door punt K5, 3 Bereken met pen en papier het functievoorschrift van de parabool met top in O en door punt K5, 3 . Antwoord 2
3x y= 25 Met de computer
2 Parabool met top op de y-as Een parabool met de top op de y-as in het punt P = 0, b heeft als standaardvorm
2
f x = ax Cb
3
a verandert van -3 tot 3 en de top ligt op de y-as in punt [0,8] 30
y
20 10
K3
K2
K1
0
1
2
3
x K10
Klik op de grafiek en zet de animatie in werking. Kijk ook in het overzicht van grafiekmanipulaties.
Script van de figuur 2.1 Voorbeeld Formuleer het functievoorschrift van de tweedegraadsfunctie waarvan de parabool de top op de y-as in het punt 0, 4 heeft en verder nog door punt 9, 5 gaat. Antwoord De algemene vorm van een parabool met top op de y-as in het punt 0, 4 is 2
y = a x C4 Vul nu het betreffende punt in x, y = 9, 5 .
5 = 81 a C4 om vervolgens de vergelijking die je zo gekregen hebt, op te lossen. Dit kan ook met pen en papier als de getallen niet erg lastig zijn. In dit geval is
81 a = 5 K4 81 a = 1 a=
1 81 4
De gevraagde parabool met top op de y-as in punt 0, 4 en door het punt 9, 5 is dus 2
x y= C4 81 Met de computer
2.2 Oefeningen Formuleer het functievoorschrift van de tweedegraadsfunctie waarvan de parabool de top op de y-as heeft en verder nog door het volgende punt gaat. Door punt 3, 4 en top in 0, 3 Bereken met pen en papier het functievoorschrift Antwoord 2
x y= C3 9 Met de computer Door punt K5, 3 en top in 0, K2 Bereken met pen en papier het functievoorschrift . Antwoord 2
x y= K2 5 Met de computer
3 Parabool met top op de x-as Een parabool met de top op de x-as heeft als algemene vorm:
f x = a xKb
2
5
a verandert van -3 tot 3 40 30
y
20 10
K2
K1
K10
1
2
3
4
5
6
x
K20 K30 K40 Klik op de grafiek en zet de animatie in werking. Kijk ook in het overzicht van de grafiekmanipulaties om te zien dat als je de standaardparabool 2 naar rechts verplaatst dat je dan x vervangt door x K2.
Script van de figuur 3.1 Voorbeeld Formuleer het functievoorschrift van de tweedegraadsfunctie waarvan de parabool de top op de x-as in het punt 2, 0 heeft en verder nog door punt 9, 5 gaat. Antwoord De algemene vorm van een parabool met top op de x-as in het punt 2, 0 is
y = a x K2
2
Vul nu het betreffende punt in x, y = 9, 5 .
5 = a 9 K2
2
Herleiden:
5 = 49 a om vervolgens de vergelijking die je zo gekregen hebt, op te lossen. Dit kan ook met pen en papier als de getallen niet erg lastig zijn. In dit geval is
a=
5 49
De gevraagde parabool met top op de x-as in punt 2, 0 en door het punt 9, 5 is dus 6
5 x K2 y= 49
2
Met de computer
3.2 Oefeningen Formuleer het functievoorschrift van de tweedegraadsfunctie waarvan de parabool de top op de y-as heeft en verder nog door het volgende punt gaat. Door punt 5, 4 en top in 3, 0 Bereken met pen en papier het functievoorschrift Antwoord
y = x K3
2
Met de computer Door punt K5, 3 en top in 2, 0 Bereken met pen en papier het functievoorschrift Antwoord
3 x K2 y= 49
2
Met de computer
4 Parabool met top in P Als je weet hoe je de parabool door O kunt maken, verschuif dan de parabool vanuit O naar punt P met coördinaten xP, yP . Stel het functievoorschrift van de parabool: 2
y = a x K xP C yP
(Zie voor de regels voor translatie van grafieken in een aparte les.)
7
a verandert van -3 tot 3 150
y
100 50
K4
0
K2
2
4
6
8
10
x
K50 K100
Klik op de grafiek en zet de animatie in werking
script van de figuur 4.1 Voorbeeld De parabool met de top in P = 3, 4.5 gaat verder nog door punt Q = K1, 1.5 . Bepaal het functievoorschrift van de tweedegraads functie die hiermee correspondeert. Antwoord De algemene vorm van een parabool met de top in P = 3, 4.5 gaat verder nog door punt Q = K1, 1.5 .
y = a x K3
2
C4.5
Vul nu het betreffende punt in x, y = K1, 1.5 .
1.5 = a K1 K3
2
C4.5
Herleiden:
1.5 = 16 a C4.5 om vervolgens de vergelijking die je zo gekregen hebt, op te lossen. Dit kan ook met pen en papier als de getallen niet erg lastig zijn. In dit geval is
16 a = 1.5 K4.5 8
16 a = K3 3 a =K 16 De gevraagde parabool met top in P = 3, 4.5 en verder nog door punt Q = K1, 1.5 gaat, is dus
3 x K3 y =K 16
2
C4.5
met de computer
4.2 Oefening Formuleer het functievoorschrift van de tweedegraadsfunctie waarvan de parabool de top op in een punt heeft en verder nog door een ander punt gaat. Door punt 5, 4 en top in 3, 5 Bereken met pen en papier het functievoorschrift van de parabool. Antwoord
x K3 y =K 4
2
C5
Met de computer Door punt K5, 3 en top in 2, 5 Bereken met pen en papier het functievoorschrift van de parabool. Antwoord
2 x K2 y =K 49
2
C5
Met de computer
5 Parabool met twee nulpunten (Dat wil zeggen twee punten op de x-as ofwel twee snijpunten met de lijn y=0) Als je van een parabool de twee nulpunten (x = p en x = q ) weet, dan hoef je nog maar 9
één extra gegeven te hebben om de tweedegraadsfunctie te kunnen formuleren. De algemene vorm is gemakkelijk te bedenken:
y = a x Kp
x Kq
a verandert van -3 tot 3 60 40
y 20 K6
K4
K2
0 K20
2
4
x
K40 K60 Klik op de figuur en zet de animatie in werking. In deze figuur zijn de snijpunten met de lijn y = 0 bij x = K5 en x = 3. Ga na dat als x = K5 en x = 3 de functiewaarde y = a x C5
x K3 gelijk is aan 0.
script van de figuur 5.1 Voorbeeld De parabool met de twee snijpunten op de x-as als x = K5 en x = 3 en verder nog door punt Q = K1, 4 . Bepaal het functievoorschrift van de tweedegraads functie die hiermee correspondeert. Antwoord De parabool met de twee snijpunten op de x-as als x = K5 en x = 3 en verder nog door punt Q = K1, 4 .
y = a x C5
x K3
Vul nu het betreffende punt in x, y = K1, 4 .
4 = a K1 C5
K1 K3
Herleiden
4 = K16 a om vervolgens de vergelijking die je zo gekregen hebt, op te lossen. Dit kan ook met pen en papier als de getallen niet erg lastig zijn. In dit geval is 10
16 a = K4 1 a =K 4 De gevraagde parabool met de twee snijpunten op de x-as als x = K5 en x = 3 en verder nog door punt Q = K1, 4 is dus
y =K
x C5
x K3 4
Met de computer
5.2 Oefening Formuleer het functievoorschrift van de tweedegraadsfunctie waarvan de parabool de x-as in twee punten snijdt en verder nog door een ander punt gaat. Door punt 5, 0 en 3, 0 en door punt 4, 5 Bereken met pen en papier het functievoorschrift van de parabool. Antwoord
y = K5 x K3
x K5
Met de computer Door punt K5, 0 en K2, 0 en door punt 4, 5 Bereken met pen en papier het functievoorschrift. Antwoord
y=
5 x C2 x C5 54
Met de computer
6 Parabool met twee snijpunten op de lijn y = r Als je van een parabool de twee snijpunten met de lijn y = r weet (x = p en x = q ) , dan hoef je nog maar één extra gegeven te hebben om de tweedegraadsfunctie te kunnen formuleren. De algemene vorm is gemakkelijk te bedenken uit het voorgaande als de grafiek van de parabool waarvan de snijpunten met de x-as bekend zijn nog r naar boven verschoven wordt: 11
y = a x Kp
x Kq Cr
a verandert van -3 tot 3 60 40
y 20
K6
K4
0
K2
2
4
x
K20 K40
Klik op de figuur en zet de animatie in werking. In deze figuur zijn de snijpunten met de lijn y = 4 bij x = K5 en x = 3. Ga na dat als x = K5 en x = 3 de functiewaarde y = a x C5 4.
x K3 C4 gelijk is aan
script van de figuur 6.1 Voorbeeld De parabool met de twee snijpunten op de lijn y = 4 als x = K5 en x = 3 en verder nog door punt Q = K1, 6 . Bepaal het functievoorschrift van de tweedegraads functie die hiermee correspondeert. Antwoord De parabool met de twee snijpunten op de lijn y = 4 als x = K5 en x = 3 en verder nog door punt Q = K1, 6 .
y = a x C5
x K3 C4
Vul nu het betreffende punt in x, y = K1, 6 .
6 = a K1 C5
K1 K3 C4
Herleiden:
6 = K16 a C4 12
om vervolgens de vergelijking die je zo gekregen hebt, op te lossen. Dit kan ook met pen en papier als de getallen niet erg lastig zijn. In dit geval is
16 a = 4 K6 16 a = K2 1 a =K 8 De parabool met de twee snijpunten op de lijn y = 4 als x = K5 en x = 3 en verder nog door punt Q = K1, 6 is dus
y =K
x C5
x K3 8
C4
Met de computer
6.2 Voorbeeld Formuleer het functievoorschrift van de tweedegraadsfunctie waarvan de parabool de x-as in twee punten snijdt en verder nog door een ander punt gaat. Door punt 5, 10 en 3, 10 en gegeven is dat de top op de lijn y = 5 ligt. Bereken met pen en papier het functievoorschrift. Antwoord Ga na dat als de y-waarde van de top bekend is en je hebt twee punten gegeven die even hoog liggen, dan weet je ook de x-waarde van de top. Immers de top ligt midden tussen de twee punten die even hoog liggen. Dus de x-waarde van de top is gelijk aan x = 4 De top is dus het punt 4, 5 Begin weer met het model: y = a$ x K3 x K5 C10 Vul het punt x, y = 4, 5 in om a te berekenen en je krijgt: 5 = a$ 4 K3 $ 4 K5 C10 Uitwerken: 5 =Ka C10 a=5 Het antwoord is dus:
y = 5 x K3
x K5 C10 13
Met de computer Door punt K5, K6 en K2, K6 en door punt 4, 5 Bereken met pen en papier het functievoorschrift. Antwoord
y=
11 x C2 x C5 54
K6
Met de computer
7 Vinden van nulpunten 2
Voor het vinden van nulpunten van de functie y x = a x Cb x Cc heb je de vaardigheden nodig van het oplossen van tweedegraadsvergelijkingen (kwadratische vergelijkingen). Voor specifiek tweedegraadsvergelijkingen zoals hier, kun je ook de a,b,c-formule gebruiken. Zie daarvoor de cursus Vergelijkingen in Wisnet.
8 Parabool in algemene vorm Als y een functie is van x , dan zijn de andere letters de parameters. 2
y = a x Cb x Cc
Voor het vinden van de drie parameters a, b en c moet je bijvoorbeeld drie punten x, y invullen en dan drie vergelijkingen met de onbekenden a, b, c oplossen. Zie voor het oplossen van drie vergelijkingen met drie onbekenden in de cursus Vergelijkingen in Wisnet.
voorbeeld Zoek het functievoorschrift van de tweedegraads functie waarbij de grafiek van de parabool gaat door de volgende drie punten: Punten: 1.4, 3.9 en 2.5, 5.6 en punt K4, 6.1 . oplossing Maak drie vergelijkingen door de punten in te vullen in de algemene vorm 2
a x Cb x Cc. Omdat het rekenwerk vrij lastig is bij het oplossen van drie vergelijkingen met drie onbekenden a, b, en c, gebruiken we de computer. Stel eerst de drie vergelijkingen op en los dit stelsel van drie vergelijkingen op. 14
verg1 := 1.96 a C1.4 b Cc = 3.9 verg2 := 6.25 a C2.5 b Cc = 5.6 verg3 := 16 a K4 b Cc = 6.1 Dit stelsel dus bij voorkeur NIET oplossen met pen en papier, dat is veel te veel werk en werkt fouten in de hand. Zie hieronder voor de oplossing met de computer. oplossing met de computer
15
