Wiskunde C vwo Workshop Noordhoff wiskundecongres 19 november 2015 Jan Dijkhuis en Sabine de Waal
Programma 1. Vorm en ruimte in Getal & Ruimte 2. Logisch redeneren in Getal & Ruimte
1.
Examenprogramma Vorm en ruimte
Domein G Vorm en ruimte De kandidaat kan van een ruimtelijk object aanzichten en perspectieftekeningen maken, er berekeningen aan uitvoeren en op basis daarvan conclusies trekken over dit object. Opmerking: Bij het hanteren van de begrippen en methoden uit dit domein worden de probleemsituaties bij voorkeur gekozen in beeldende, architectonische en kunsthistorische context. Parate kennis De kandidaat kent de stelling van Pythagoras; de gulden snede als verhouding; de formules voor het berekenen van de oppervlakte van een rechthoek, een driehoek en een cirkel; de volgende inhoudsformules: I G h (voor balk, prisma en cilinder) en I 13 G h (voor piramide en kegel); de begrippen horizon, oogpunt en verdwijnpunt; het begrip regelmatige veelhoek. Parate vaardigheden De kandidaat kan 1. aanzichten maken van een balk, een piramide en een prisma; 2. een éénpuntsperspectieftekening en een tweepuntsperspectieftekening maken van een balk; 3. het midden van elke zijde van een rechthoek in een perspectieftekening bepalen; 4. de oppervlakte van een rechthoek, een driehoek en een cirkel berekenen; 5. als de oppervlakte van het grondvlak gegeven is, de inhoud van een balk, een piramide, een prisma en een cilinder berekenen; 6. bij een gegeven vergrotingsfactor van de lengte de oppervlakte van gelijkvormige figuren en de inhoud van gelijkvormige objecten berekenen, op basis van de oppervlakte van de oorspronkelijke figuur c.q. de inhoud van het oorspronkelijke object. Productieve vaardigheden De kandidaat kan 7. bij het beschrijven van vlakke meetkundige figuren gebruik maken van gelijkvormigheid en symmetrie; 8. vanuit een perspectieftekening en/of gegeven aanzichten een ruimtelijk object beschrijven; 9. bij een afbeelding nagaan of de regels van perspectieftekenen goed gehanteerd zijn; 10. gebruik maken van de oppervlakte van de figuren die genoemd zijn in G.4, en van de inhoud van de ruimtelijke objecten die genoemd zijn in G.5, om daarmee de oppervlakte en de inhoud van ruimtelijke objecten te berekenen en/of te schatten; 11. berekeningen uitvoeren m.b.t. de inhoud en de oppervlakte van gelijkvormige figuren.
1
Opgave I Tankschip Milagro Sabine staat in het pannenkoekenrestaurant ‘De Oude Maas’ op een afstand van 130 cm van een raam dat 100 cm breed is. Ze kijkt naar buiten en ziet in de verte het tankschip Milagro evenwijdig aan het raam voorbij varen. Ze maakt een foto van het schip op het moment dat ze precies recht voor het midden van het schip staat. Zie de foto. De lengte van Milagro is 86 meter. Bereken hoeveel meter het schip van het raam is verwijderd.
Opgave II Bootje op ‘t IJ Onderstaande foto is genomen door de spijlen van een hek. De fotograaf hield de camera precies midden tussen de twee spijlen. De ruimte tussen de spijlen is 10 cm en de foto is genomen op een afstand van 70 cm van het hek. De boot heeft een lengte van 7 meter. Op welke afstand van het hek vaart de boot? Geef je antwoord in gehele meter nauwkeurig.
2
Opgave III Passi d’Oro in Doesburg Op de foto hieronder zie je het kunstwerk Passi d’Oro van de Italiaanse kunstenaar Roberto Barni op de IJsselkade in Doesburg. De foto is vanaf een hoogte van 1,1 meter genomen. Bereken de hoogte van het kunstwerk (inclusief sokkel).
3
Opgave IV Inntel Hotel Zaandam Op de foto zie je het Inntel Hotel Zaandam. Het hotel is ontworpen door de architect Wilfried van Winden. De in het oog springende gevel bestaat uit bijna zeventig losse Zaanse huisjes in vier kleuren Zaans groen. Het enige blauwe huis is een blikvanger en is geïnspireerd op het schilderij ‘Het Blauwe Huis’ van Claude Monet. Het hotel is 39 meter hoog. Bereken vanaf welke hoogte de foto is genomen.
4
Domein F Logisch redeneren De kandidaat kan logische redeneringen analyseren op correct gebruik. Parate kennis De kandidaat kent de logische symbolen , , en ; bij redeneringen de begrippen conclusie, uitgangspunt, definitie, redeneerstap, correct, volledig en onvolledig; de begrippen contradictie en paradox. Parate vaardigheden De kandidaat kan 1. aangeven hoe een redenering is opgebouwd uit redeneerstappen; 2. “als-dan” redeneringen verbinden met de “hier-uit-volgt” conclusie; 3. gegevens uit een Venn-diagram halen. Productieve vaardigheden De kandidaat kan 4. een onderscheid maken tussen een nodige en een voldoende voorwaarde; 5. de correctheid van redeneringen en daarbij horende conclusies, zoals gebruikt in het maatschappelijk debat, verifiëren en analyseren; 6. gebruik maken van voorbeelden als illustratie van een bewering en van een tegenvoorbeeld om een bewering te weerleggen; 7. een contradictie en een paradox herkennen en beschrijven; 8. verschillende representaties, zoals tabel en (Venn-)diagram, en logische symbolen gebruiken bij het analyseren en oplossen van logische problemen.
5
12.1 Logische problemen en proposities O1
Ad, Ben en Cor staan achter elkaar en hebben elk een rode of blauwe pet op. Niemand kan zijn eigen pet zien. Ad kan de petten van Ben en Cor zien en Ben kan de pet van Cor zien. Ze weten bovendien dat er minstens één blauwe pet is. Aan Ad wordt gevraagd: “Welke kleur pet heb jij op?” Ad zegt: “Ik weet het niet.” Ad Daarna wordt aan Ben gevraagd: “Welke kleur figuur 12.1 pet heb jij op?” Ben zegt: “Ik weet het niet.” Daarna zegt Cor: “Ik weet nu wel de kleur van mijn pet.” Welke kleur is dat?
Ben
Cor
Theorie A Logische problemen
Het probleem van opgave 1 kun je oplossen door logisch te redeneren. Daarbij kan het helpen alle situaties schematisch weer te geven zoals hiernaast. Omdat Ad het niet weet vervalt mogelijkheid 5 , want als Ad twee rode petten ziet, dan weet hij dat hij een blauwe pet op heeft. Als Ben een rode pet bij Cor ziet, dan weet hij dat hij een blauwe pet op heeft, want Ben weet dat Ad minstens één blauwe pet heeft gezien. Ben weet het niet, dus daarom vervallen de mogelijkheden
3 blauwe 2 blauwe
1 2
3 4
1 blauwe
5 6 7
b b b r b r r
b b r b r b r
b r b b r r b
Ad Ben Cor figuur 12.2
2
en 6 . Nadat Ben heeft gezegd “Ik weet het niet” zijn dus de mogelijkheden 1 , 3 , 4 en 7 overgebleven. Zie hiernaast. Bij elk van deze mogelijkheden heeft Cor een blauwe figuur 12. 3 pet op, dus Cor trekt de conclusie dat hij een blauwe pet op heeft. We vatten het voorgaande samen in het volgende werkschema.
1
b b b
3
b r b r b b
4 7
r
r
b
Ad Ben Cor
Werkschema: een aanpak van logische problemen 1 Schrijf alle mogelijke beginsituaties op. 2 Streep bij elke nieuwe informatie de situatie(s) weg die afvallen. 3 Trek een conclusie uit de overgebleven situatie(s). In de volgende opgaven kun je het werkschema gebruiken. Maar het is ook mogelijk een andere redenering te geven. In opgave 2d zie je daar een voorbeeld van.
6
2
Ad, Ben en Cor hebben elk een rode of een blauwe pet op. Ze kunnen de kleur van de pet van de anderen wel zien, naar die van zichzelf niet. Ze weten bovendien dat er minstens één rode pet is. Ad zegt: “Ik weet niet welke kleur pet ik op heb.” Ben zegt: “Ik weet ook niet welke kleur pet ik op heb.” Dan zegt Cor: “Maar dan weet ik het wel!” In de figuur hiernaast zijn alle mogelijke beginsituaties weergegeven. a Welke situatie valt af nadat Ad heeft gezegd dat hij de kleur van zijn pet niet weet? Licht toe.
1 rood
1 2 3
2 rood
4 5 6
3 rood
7
r b b r r b r
b r b r b r r
b b r b r r r
Ad Ben Cor figuur 12. 4
Omdat Ben ook niet weet welke kleur pet hij op heeft vallen ook de situaties 2 en 4 af. b Licht dit toe voor zowel situatie 2 als 4 . c Licht toe dat Cor na de uitspraak van Ad en Ben wel weet welke kleur pet hij op heeft. Welke kleur is dat? d Het is ook mogelijk te weten te komen welke kleur pet Cor op heeft door de volgende redenering te houden. Vul daartoe op de puntjes rode of blauwe in. Ad weet niet welke kleur pet hij op heeft, omdat hij bij Ben en/of Cor een … pet ziet. Dus Ben en/of Cor heeft een … pet op. Ben weet dit ook, dus als hij bij Cor een … pet ziet, weet hij dat hij zelf een … pet op heeft, dus daarom ziet hij bij Cor een … pet. Cor weet nu wat Ad en Ben hebben gezien, dus hij weet nu ook dat hij zelf een … pet op heeft.
7
O9
Gegeven is de bewering: Als je in Assen woont, dan woon je in Drenthe. Deze bewering is waar. Geldt dit ook voor de volgende bewering? Als je in Drenthe woont, dan woon je in Assen.
De logische symbolen
en
Theorie B
In opgave 9 staat de als-dan-bewering “Als je in Assen woont, dan woon je in Drenthe”. Deze bewering is opgebouwd uit de volgende twee atomaire beweringen: A: je woont in Assen; D: je woont in Drenthe. Dit soort beweringen heten proposities. Een propositie is een zin waarin iets wordt beweerd. Een atomaire zin kan niet verder worden opgesplitst in kortere zinnen.
We noteren de als-dan-bewering met het implicatie-teken . Met de proposities A en D krijg je zo A D . Spreek uit: “A impliceert D”, of “uit A volgt D”, of “als A dan D.” In opgave 9 heb je gezien dat als A D waar is, dat D A niet waar hoeft te zijn. Wel geldt: Als je niet in Drenthe woont, dan woon je niet in Assen. We noteren ‘je woont niet in Assen’ met de letter A als volgt: A . Hierbij is het ontkenningsteken. Het ontkenningsteken wordt ook wel het Er geldt dus D A . negatieteken genoemd. Voor de proposities A en B komt A B op hetzelfde neer als B A . Hierin is A de ontkenning van A en B de ontkenning van B. 10
Gegeven zijn de volgende proposities over leerlingen: A: de leerling zit in vwo 6; B: de leerling volgt wiskunde C; C: de leerling doet dit schooljaar eindexamen. Beschrijf in gewoon Nederlands de volgende uitspraken. a AC b BA c A C d B A
11
Gegeven is de volgende bewering: Als het mistig is, dan vertrekt het vliegtuig niet. We gebruiken in deze opgave de volgende proposities: A: het is mistig; B: het vliegtuig vertrekt. a Noteer de bewering met A en B. b Beschrijf in gewoon Nederlands de volgende beweringen. Geef bij elke bewering aan of deze volgt uit de gegeven bewering. 1 A B 2 B A 3 B A 4 B A
8
