Wiskunde als inspiratie voor een zoektocht INLEIDING Een aantal jaar geleden leerde ik een nieuw spel kennen: geocaching. Dit is in feite een zoektocht waarbij je gebruik maakt van GPS-coördinaten. Op de website www.geocaching.com vind je de opgave voor een zoektocht. Soms zijn dit gewoon onmiddellijk de coördinaten van de plaats waarop de doos, stash genaamd, verstopt zijn. Vaak zijn het echter ook “mysterie”caches waarvoor je eerst nog wat moet gaan berekenen. Doordat hier vaak wiskunde aan te pas kwam, begon ik te zoeken naar een manier om dit naar mijn lessen te vertalen. Met andere woorden: hoe kan je nu iets laten zoeken zonder dat de leerlingen een GPS nodig hebben. In deze workshop zal ik aan de hand van drie totaal verschillende reeds uitgeteste opgaven trachten om u te inspireren zelf eens een “zoektochtje” te doen met uw leerlingen.
TYPE 1: een assenstelsel op de plattegrond van de school Principe Je stelt een aantal vragen waarbij elk resultaat de waarde voor een letter oplevert. Deze letters verwerk je in een formule waardoor je de x- en y-coördinaat vindt van de “stash”, een doos waarin je bijvoorbeeld eens iets lekkers kan instoppen. Werkwijze De leerlingen werken individueel of per twee en lossen de vragen op. Eens ze de coördinaat gevonden hebben, laten ze dit bij de leerkracht controleren. Als het juist is, mogen ze op zoek. Zoniet, moeten ze hun resultaat controleren. Laat de leerlingen bij voorkeur nooit met meer dan 2 groepjes naar buiten gaan en zeg duidelijk dat ze discreet moeten zijn bij het bovenhalen en opnieuw verstoppen van de doos (op dezelfde plaats weliswaar). Mogelijke leerinhouden Doordat je hier met vragen werkt, kan je hier alle mogelijke leerinhouden verwerken (van 1ste tot 6de jaar). Je kan eveneens slechts één oefening geven en daar dan de zoektocht aan koppelen. Een voorbeeld daarvan vind je ook verder.
Wiskunde als inspiratie voor een zoektocht – A. Droessaert
VOORBEELD 3de JAAR: Reële getallen Los de onderstaande vragen op en volg de instructies goed. Zo bekom je bij iedere vraag een getal. Deze heb je nodig om de coördinaat te bepalen van de stash (dit is een verborgen doos met een verrassing). 1
Zet het getal 6,1345613456… om naar een breuk. Wat is de teller? Herleid de teller van de breuk tot één cijfer door de som van de cijfers te maken. Blijf de som van de cijfers maken tot je slecht één cijfer bekomt. Dit cijfer is P.
2
P = …..
Los het onderstaand vraagstuk op: De som van twee getallen is 37. Als je bij het eerste getal 5 optelt en bij het tweede getal 8, dan is het product van deze twee nieuwe getallen gelijk aan het product van de twee oorspronkelijke getallen vermeerderd met 300.
Q = …..
Maak de som van de cijfers van het kleinste getal tot je 1 cijfer uitkomt. Noem dit cijfer Q. 3
In de vergelijking m²x – 9 = 9x + 3m is m de parameter. Voor welke waarde(n) van m heeft de vergelijking oneindig veel oplossingen? A) geen
B) 0
C) 3
D) -3
E) -3 en 3
Hieronder vind je voor elke antwoordmogelijkheid een cijferwaarde. De waarde van R is het cijfer dat bij jouw keuze hoort. A: 1 4
B: 2
C: 3
D: 4
R = …..
E: 5
a + a³ is gelijk aan: a A) a a
B) 1+ a a
C) 1+ a
D) 1+ a²
S = …..
Hieronder vind je voor elke antwoordmogelijkheid een cijferwaarde. De waarde van S is het cijfer dat bij jouw keuze hoort. A: 1
B: 2
C: 3
D: 4
Formule voor het stashcoördinaat: x-coördinaat: ( Q + R ) ⋅ S − P = 2
y-coördinaat: (P + Q ) − (R + S ) = De coördinaat is (……… , ………) Controleer dit antwoord eerst bij de leerkracht. Als het juist is, kan je de locatie bepalen op de plattegrond van de school. Ga dan maar op zoek, maar wees discreet bij het bovenhalen en opnieuw wegstoppen van de doos.
2
Wiskunde als inspiratie voor een zoektocht – A. Droessaert
3
Wiskunde als inspiratie voor een zoektocht – A. Droessaert
VOORBEELD 1ste JAAR: Breuken Zoek de waarde van de letters a, b, c en d. 36 30 b 21 d = = = = 48 a 16 c 32 a = ... b=… c=… d=… Bereken de vindplaats van de doos met deze formule:
x-coördinaat: a - c + b - 2 ⋅ ( d : b )
y-coördinaat: a : ( c - d) - d : b : 2 VOORBEELD: getallenpuzzel
We zoeken een getallenpuzzel. Op de zwarte vlakken die grenzen aan de witte, staan getallen die aangeven wat de som van een rij of een kolom moet worden. En de regels zijn dezelfde als bij een sudoku, namelijk in een rij mogen slechts de cijfers 1 tot en met 9 worden gebruikt en ze mogen niet dubbel voorkomen. In elk wit vakje mag je slechts één cijfer plaatsen. In sommige vakjes staat een letter. Deze letters heb je nodig om de juiste coördinaat te vinden met de formule naast de tabel.
16
32
15
x-coördinaat: A ⋅ B
10 16
17 3 13
4
y-coördinaat: C ⋅ (D + E )
14 32
C
4
20 A
15
10
4 4
17
6 E
11 16 17
7
B
17
30
14
10
12 D
4
Wiskunde als inspiratie voor een zoektocht – A. Droessaert
TYPE 2: Een constructieopdracht op de plattegrond van de school Principe Hier zijn geen coördinaten nodig, enkel een beginsituatie. Als de leerlingen de constructie correct en nauwkeurig uitvoeren vinden ze een punt waarop iets te vinden is. Werkwijze Het voorbeeld rond homothetieën heb ik als kleine toets gegeven, dus liet ik de leerlingen individueel werken. Eens klaar met de constructie en het constructieoverzicht, controleerde ik of de gevonden locatie correct was en mochten ze één voor één gaan kijken. Nadien zette ik punten op de juistheid en nauwkeurigheid van de constructie en op de verwoording van hun constructiestappen. Mogelijke leerinhouden 1ste graad: - In het eerste jaar kan je zeker al werken met de juiste verwoordingen en notaties voor halfrechten, rechten, lijnstukken, punten, hoeken, … Tevens kan de kennis van de bijzondere lijnen in een driehoek getest worden. - Voor het 2de jaar kan daar de nauwkeurige constructie van bissectrice en middelloodlijn bijkomen, evenals transformaties. Zo kan je bijvoorbeeld een gegeven punt of figuur laten roteren, verschuiven of spiegelen. Over dit laatste vind je hierna een voorbeeld.
2de graad: - Zie uitgewerkt voorbeeld. - Een andere optie is hier de samenstelling van transformaties (of het werken met vectoren). - Ook met cirkels zijn er mogelijkheden.
Tip In Geogebra kan je een figuur invoegen. Voeg de plattegrond van de school in. Daarop kan je dan beginnen tekenen. Door de punten te verslepen kan je het eindresultaat laten uitkomen waar je wil. Verberg daarna jouw constructie en laat enkel de beginsituatie staan. Kopieer en plak in het gewenste programma.
5
Wiskunde als inspiratie voor een zoektocht – A. Droessaert
VOORBEELD 2de JAAR: transformaties Verschuif de driehoek ABC volgens het georiënteerd lijnstuk DE en noem het beeld A’B’C’. Voer nu een rotatie uit op de bekomen driehoek A’B’C’ rond het punt E en met een rotatiehoek van 45° in wijzerszin. Bepaal in de bekomen driehoek A”B”C” het punt dat even ver van de drie hoekpunten ligt. Op dat punt is iets verstopt.
6
Wiskunde als inspiratie voor een zoektocht – A. Droessaert
VOORBEELD 3de JAAR: constructies gebaseerd op homothetieën
Construeer een parallellogram APQR waarvan 2 zijden op zijden van de driehoek liggen. De zijde op [AB] moet dubbel zo lang zijn als de zijde op [AC] en de vier hoekpunten van het parallellogram moeten op de zijden van de driehoek liggen. Het snijpunt van de diagonalen van het parallellogram is het punt waarnaar je op zoek kan.
C
B
A
7
Wiskunde als inspiratie voor een zoektocht – A. Droessaert
TYPE 3: Analytische meetkunde Principe Hiervoor kan je eveneens werken met een assenstelsel op de plattegrond van de school, of kan je kiezen voor UTM-coördinaten. Meer informatie over deze coördinaten vind je in het uitgewerkte voorbeeld. Eigenlijk gaat het hier om een oefening op analytische meetkunde waarin je de moeilijkheidsgraad naar hartenlust kan aanpassen. Het eindresultaat is telkens ook de vindplaats. Werkwijze Geef deze opgave in de klas of als huiswerk. Indien je dit als huiswerk geeft, kunnen de leerlingen op vrijwillige basis op zoek gaan. Doen ze dat niet, dan kan je hen gewoon beoordelen op de correctheid van hun berekeningen. Doen ze dat wel, dan zit er een klein extraatje aan vast. Wanneer je met Google Earth werkt, is het misschien wel interessant om indien mogelijk een laptop mee te nemen naar de les en hun daar hun oplossing in te laten geven. Zo kan je zelf al enkele plaatsen markeren in Google Earth, zodat men zich beter kan oriënteren en zodat je opnieuw zelf onmiddellijk ziet of ze wel de juiste oplossing hebben. Mogelijke leerinhouden Dit soort opgaven kan je perfect aanpassen naargelang de kennis van analytische meetkunde op dat moment. In principe kan je deze soort oefeningen dus ook in de 3de graad geven.
8
Wiskunde als inspiratie voor een zoektocht – A. Droessaert
VOORBEELD 3de JAAR : Analytische meetkunde en stelsels van 2 vergelijkingen van de 1ste graad
INLEIDING In deze zoektocht werken we met de UTM-coördinaten van een aantal plaatsen (Universal Transverse Mercator). Dit soort coördinaten biedt een modern alternatief voor het werken met graden en minuten. Hieronder vind je een beetje extra informatie over deze manier van plaatsbepaling op aarde. Wanneer we een blad papier rond een wereldbol zouden vouwen, kunnen we vanuit het middelpunt van de wereldbol alle plaatsen projecteren op dat blad. Doordat we hierdoor wel met een grote afwijking te maken krijgen werkt men in stroken. Zo verdeelt men de wereldbol in 60 stroken (elk 6° breed) en iedere strook wordt eveneens verdeelt in 20 zones. Hieronder zie je de verdeling van Europa. België ligt, zoals je ziet, in vak 31U. Elke plaats in België wordt dus aangeduid met 31U, gevolgd door de oostelijke ligging (E) en de noordelijke ligging (N), beiden uitgedrukt in meter.
9
Wiskunde als inspiratie voor een zoektocht – A. Droessaert
OPGAVE Volgende plaatsen zijn gegeven: - Ingang collegekerk: 31U 579705mE 5668958mN Wiskundig werk je met (579705, 5668958) - Stadsschouwburg: 31U 579639mE 5668986mN Wiskundig werk je met (579636, 5668986) - Stadhuis: (579659, 5668763) - Siniscoop: 580151, 5669570) Bepaal het snijpunt van de lijn die de collegekerk met de stadsschouwburg verbindt en de lijn die het stadhuis met Siniscoop verbindt. De plaats met coördinaat (579782, 5668973) is precies het midden tussen dit snijpunt en de vindplaats van de stash. Om te zien waar de stash zich precies bevindt, heb je Google Earth nodig (http://earth.google.com). De coördinaten intypen doe je wel via http://www.earthpoint.us/Convert.aspx. Bij “Position” typ je de coördinaten in zoals hiervoor opgegeven voor de ingang van de kerk en de stadsschouwburg (31U …mE …mN). Klik vervolgens op View on Google Earth en ga verder. Google Earth opent en hiermee kan je inzoomen op de gezochte plaats.
10
Wiskunde als inspiratie voor een zoektocht – A. Droessaert
TYPE 4: op zoek naar een lokaal met een bepaalde nummer Principe Je geeft een vraagstuk op waarin je zoekt naar een getal. Dit getal is dan het nummer van een lokaal waar iets te vinden is. Werkwijze De leerlingen lossen het vraagstuk op en gaan nadien op zoek. Mogelijke leerinhouden In principe kan je de moeilijkheidsgraad van het vraagstuk aanpassen aan de doelgroep. Dit kan dus gaan van een eenvoudige eerstegraadsvergelijking tot een stelsel van vergelijkingen of een vierkantsvergelijking.
11
