Universiteit Hasselt FaculteitBedrijÍseconom ische Wetenschappen Academiejaar 2A10 2011
opleiding$onderdeel 1737 - BEDRIJ,FSF$l*lils|[ERilÍiB ry 2ebachTEW & Hl
WH.GELtr
14februan2O11
0. Vooraf De begippen en voafterrldendie hiema ter spnke komen zijn een uitbreidingen íllustnties van: Hoofdetuk2 : De ondememingsdoeldelling : M crcëranvan waarde (pp. 26 -32an pp. 80.86),uit: Laveren8., EngelenP..1.,LimèrcA., Vandemaele S., HandboekFinanciealfulrean f druk I ntersentia,Anfuvetpn, 2009
L
HETBEGRIPTIJDSWAARDE (;&"v'.b)
Geldbedragendie op verschillendetijdstippenlervallen' (d.w.z.moetenbetaald- of zullen ontvangen- raolden)zijn niet zonder meêr veÍgeliikbaarop basi* van hun nominale waarde. Indienmende keuzehee,fttussenvandaag1.000EURte ontvangenof hetzetfdebedrag te ontuangenovereenjaar (en menzekerheidheeftoverde toekomstigeuitbetaling), zal men het vandaagontvangenvan dit bednagprefererenmet als belangriiksteargument dat men dit bedragvanaf nu reeds kan beleggenhetgeeninterestoplevert. Bij een interestvoetvan b.v. 10oÁzel het bednag'van vandàag' een jear fater immers aángqgroeid zijntot 1.100EUR1=1.000+ í00).
2 Een vorderingof adtuld die op eên andertiidstipdan vandaagVervatt'dient bijgevolg 'geconigeeld'of 'geconverteerd'te wordenom de \rvaarde van vandaag'(d.i.de'actuele waarde')êívante kennen. Dezecon'wtiefac{ornoernt mende titdswËaÍdË(timevalue')of tijdswaardering van het geld. In de litenatuur van bedrijfsfinanciering en financieelmanagement wordt,naargelangde specifiekecontext,het begriptijdswaardeaangêduidmet volgendetermen : interestof interestfactor (interestrate), discontovoet(discountnate), actualisatievoet, afkapvoet(cut ofr rate), kapitaalkost(costof capital)en rcndemenbeis(requirêdrate of retum). Een aanverwantbegripuit de investeringsanalyse is 'interneopbrengstvoet'of 'intemrendement'(intemalrate of retum). ,["lrl"_X*j*À ,L czu\. i.,*[ De'verwaohte'interest of beleggihgsopbrengst is nocfitansniet de enigeredenwaarom menê6n geldbednag, dat menvandaagkanontvangen,hogerwaadeertdan een zelftte nominaalbednag dat menin de toekomstzalontvangen. Anderefaeilorendie-de..tijdmnarde. beihvloede*zijn: 1. Risico'enonzekorheid : naarmatede toekomstverderaf ligt kan het risicoen de onzekerfieHm.b.t.het ontvangenvan dit bednagbenemen. 2' lnflatie':de koopkracht van geldis vandaagmeestalgroterdanin de toekomst. 3. Sebiseiliew tiiiwoor{eeup: zelfs indbn eÍ geen beteggingsmogelijkheid, noch risico en inflatieaanwezp zou zijn, kan de consumentonmiddellgke besteding boven toekomstige (men bêsitêding Pehrenen rlrenst€en consumptb niet uit te stellen). ln deze tekst zal het begriptijdswaardeenkel gedefinieerdwordenin functievan de inbnetvoet d.w.z. de beleggingsopbrenget die men kan ontvangenals men geld belegtof de interestdie mendbnt te betalenindienmengeld onfleent.
2.
SAMEHGESTELDE INTËRE$TEN EINDWAARDEVAN ËEN KAPITAAL
Een bedrag van 1.000 dat vandaagwordt uitgezetop een spaanekeningaan een interesilvoetvan 107o zal op het elnde van dit jaar aangegroeH zijn met een interestbedrag van 100en eeneindwaardehebbenvan 1.100. Indienwe hierbijvolgendeeymbolengêbruiken: Kapitaaf : K= 1.000,interestvoet: p= 1Ao/o en aantalperioden: n = 1, is de toekomstigê waardeof elndrraadevan dit kapitaalns í lsg,tgelijkaan : K + K x ( p / 1 0 0 )= 1 . 0 0 0 + 1 0 0 0 x ( 1 0 / 1 0=0 )í . 1 0 0 = K x ( 1 + p / 1 0 0 )
semengegtelde Intem$ per periode: Qeli$twaardlge, Een samengestelde interestper pefiodekan wordenomgezetin een gelijkwaardige interestvooreenkortereof langereperiode(zieboekp.27r. VoorbeeH 1: Ë
[email protected] zal,tegeneensamengeeblde interwtvostrran10016 !ff jegf, jaar = na3 aangegrceid (1,10)3 I .331.0(D. zijntot 1.000.000 Indienmendltretroeeindbedrag upnst b bekomenop basb van een samengestelde interestvoetvan xoloopsemesteÍbash, zal : +íí00)'r1.331.ff10. 1.000.000(1 , 0n!À^êt"[ O*5:. tU'] + í100)0=1,331en (1 + x/100)= (1,331)1/6 Hieruitvolgtdat(1 '.# Hieruitkanwordena0ebirtdatx n*4,88%(samengcbldpersenrcster). ylU P'/" " f J'[xcu'l^À/)n; lndien heEelffe bedragzou dienengerealiseerd te wordenop basis van een samengeeteHe y%oplcruaÉaalbasis interestvootvan (* 3 maandsn), zal : = 1.331.0*..-_,(1 + y/100)12 1'000'@0 -n .^...,f ,,ï0{d*- d"f au.*, I ll -lÍt -^_,-._-À-h perkwarbaD. Hieruitvobtdaty*2,41%(samengedeld . /" 1,r*,*,o,À" f Eengelijkaardige berekenirg leverteensamengesteHe interestvanzo/operrnaandop van0,7974%. De bovenstaande inbres@rcentages x @ersemester),y (per kwaftaD en z (per maand)djn allegeiliK,ttngtiliq met een eamengesteHe interestvan 10%op iaaÍba$b, d.w.z.hetmaaktvoordeeinduaade(eindejaar3) in pfncipegeenvensdril indienmen hetkaplhaltegênêonvandeze3 lnterertvoebnuiHsl Omgekeerdkan een samengestelde interestper periodeook ongezet woden in gelllkwaadbeinterestvooreenlangereporbde: b.v.eenkapihalK datgedurende 2 semestepwordtufuezetaan5o/o persemeterkan ookopparbasbworden ui$ezetaanx%. Voorwaade : K (1,05)2= K(1+ )dlO0)waaruit volgtdatx = 10,25o/o.
3.
BEGINWAARDE VANEENKAPITAAL
Vele financiële beslissingen,o.a. deze die gebeuren op basis van een investeringscalcuhtie, vereisên êen afrreging tussên geld dat '!g!!dggg' rrtordt (bijeeninvesteringsprcject uitgegeven is dit deinvesteringsuitgave b.v.deaansdrafvan 'in vasteaciiva)en geld dat menvenracht de tqÊhgmsj' te onilangen(toekomstQe opbrengsten vanhetproject). 'aflreglng'speelt Bijdeze hetgarensteÍêndêÍnent"(= trjdswaarde vanhetgeld)op het geihvesteerde kapitaaluiteraard eencentralerol. Detoekomstige ontvangsten dienen niEtenkelte volstaan voorde recuperatie vanhetgeihveeteerde kapitaal, maardienen eveneenseen aanvaardbare (rendement vergoeding of interest)van het kapitaalte bevatten. Hierbiiwenstmente vvetenhseveelvan een bednag van b.v; 1.000EUR,dat in de 'in toekomstzal ontvangennorden, lermenvan vandaag'orerblijltnadat met hët vereiste rendement in mindering eÍvanheefrgebmchfDehierbijgehanteerde conectieof conversiefadoris de ïijdswaarde'die men aan het geld toekent De waarde 'vandaag' (ofgeactualiseerde waalde)is danhetgelddatmenvandaag maximaalwenst te beleggen of te investeÍ€n omin debekomsteenbepaald bedragte ontvangen. geldbedragen De waardevan toekomstige kanmenberekenen op een eerdertijdstip doordezetoekomstige bednagen te diaaontemn:Wanneer metgeldbedragen diein de toekomst vervallen uitdruktin hunwaardevandaag, genoemd. wordtditaetualiseren
vgpÉeq$,3i (metlevensduur Eeninvestedngsproject I jaar)vereisteind2010eenuibavevan1.000 en zal eind2011een ontvang$genercren van 1250. De inrreetseder waagteen project minimum rendement vanminimum 12o/o. dit ls aanvaadbaar ? Bspalingvande aanveadbaarheid,vh berekenlng vande eindrvea$ê: de invesbeÍder = venrachtminimaal[1.000+ 12o/o 1.120 te recupercrcn en zal dit projectals | aanvaardbear besohourven. Bepaling vandeaanvaadbaar,heil via.berekening vandeb,esinwaaÍde : Degeacfualbeerde waade: 1250I 1,12s í.11e,dit bobkontdatda invsstesÍder zelÍs zoubereidzijnomméér(bt 116exba)uittegevenvoorditproject. Het versdiil W tussende geactualbeerde rvaarde(1.116)van de toekomslbe ontvangst ende waadevande uitgave(- 1000)wodt de @NAUV) ooknefroconteÍttemenh (NGtrttlof netprmnt vahre(llPV| genoemd(ziep.40). Eenbelegging of eenirvesbdngspmject b in pdncipe'aanvaardbaar als'de'neËsactuele gelfikaannul)ie. rvaatde.pmifiet(of minstens
6 Vnag : zaldêre investeerder dit proiectookaanvaarden aledit eenlevensduur van2 jaarheefteneind2011 en?J12respectievelijk genereert 500en800aanontvangsten ? Hoeveelbedraagtde neffio-acfuele waaÍde?
Voorbeeld 3: Persoon A beziteenschuldbekentenis vanpersoon B waarbiidezelaaBtehem- precies jaar over6 eenbedrag van1.000dientte betrlen. Dezgn.'fufurevalue'oftoekomstige waardevanditkapitaal is dusgegeven. IndienpoÍsoonA reedsvandaagdit geldzouwillenten4gbeÍaaH krlfuenzal B meÉdeze transactie enkelinstemmen opvoorwaade dathijvaneenredelijke korting(Uiscounf) op dezeedruldkangonieten. IndienA enB beidengeldbeleggen opspaanekeningen aaneeninterest van6%lijkthet redel$k datA dientinte stecÍilnen metdeuitbetalfug váne€nbeduldend lagerbednag, dat voozienvandesamengesteHe interest, eeneindwaade heeftvan1.@0overvijfjaar. Datoekofirstige efiuH van1.000dbnt te wordenomgezetin eengeliikfveadbbpCfaoX vandaag waaÈij: = 1.ggg of X(1.06f= 1.000 umrutvolgtdatX'r1.00011t(1.00fI * FVs(X,S%) 747. pf poqln,íímdgvan Ditbedrag noemtmends dittoekonntig bodrag. hVidion-W,aEÍdê IndienA ditgeHvandaag opeenspaanekening zoubeleggen, zouhijprecies over5 jaar . (1.OOf hieruan eeneindbedreg van747 1.0([ kunnenafrrqlen enditieoolrhetmoment waarophij,zonderverroegdeterugbetaling, ditbednag zouontvangen hebben. .N;8.: beldepartijenziin 'indifuient'befisfiende de betalinguan 747 of i.000 (op voonyaarde datzijeenêenvoÍmi;e interestvoet hantercn). geU IndienA dit vandaagreedsnod[ heefi voor consumpfredoeleinden, die andeszoudengefinancierd moetenwodenmeteenleningaaneeninterestkoet van10%,doethfrmetdêzetansactÍseengoedezaak. In dit laabtegevalzijn beklebednagen voorA nietindÍfferent en zou A zefÊ tevrêden moeten zijnmeteenlagerbedrag datzoukunnen dabntot62í.
Voor de aanduidingvan de beginwaardeof htridige"*eerdé (presentyalue)van een kapitaaldat overn periodenvervaltzal het symboolPVwordengebruiktj: ,&,+;q = KIII+( p/100) In = |&., F S f f i ( K ,p %l= K xP V n (1 ,p o /o) waaóij: n=aantalperioden K = het kapitaal(eeneenmaligbednagin de toekomst) p = anteÍestpercentage (%)dat ook kanaangeduidvrcrdendoorhet symbooli(=p/í00)
I
rneetkund(fêr€ek$\i,aaÍvande som kan +i)61/i.
In plaatsvanbwenstaand symboolwordt (r
Dezewaarden zijn(voorK r í) opgenome p.82-83. ' haidige*,vmr& (prcsentvalue) \Í€ae+eêr+ al het symboolPVAwordengebruikt:
4. epitalen) lijkebednagen in de toekomst) look kanaangeduid wordendoorhet
tet kapitaal = 1 nnrdt ook symbolisch alisatiefaciorg.a.í,zie p. 30). n tnbel B (gecumuleerde actualisatiefrctor) or K s 1) ookhet volgendegebruikt: a nb. stige geldbednagen noemt men ook de aardEdie menvandaagzou ontvangenals afrekenen'(d.w.z.waarbijmen dan reeds rkeerdkrijgen). rnte waarde) is dan de som van alle uitggle) van een investeringEproject. toekomstigegeldbednagen dient duidelijk eginwaarde van een (eenmalig)kapitaalen
\(1,n%)
= (1 + p/100)n
(1+i)n
uiteit(van n kapitalenK)= K x PVA.(1,F70)
i
BEGINWAARDE VAN EEN(P
Een edffi&Ëlt is een reeks van gelijke ge vervallen (d.uz. worden onfuangenof u terugbetalíng vaneen leningvia vastebedra Indiendeze bedragenvervallenop het ber pr€asmêffiïdo annuïteit(,annuitydue) (p. einde van elke periodenoemt men dit e deËned annuity,)(p. 2g).
Vooóeeld: PemoonA bezit een schuHbêkenten gedurende 5 opeenvolgende jaren_ eer jaareinde (d.1.eenpostrwnerando annu é6njaarzalgebeuren. Dozgn.'futurevalues,of bekomoftewa IndienpêÍsoonA reedsvandaag dit gek trangac{eenkelinstenmetr op voorwaaÍ( dezeschuldenreeks kangenieten. Indbnbeitlepeneonen eeninbresillostv vo(;e voorbeeld, toteenbeginwaarde ko PVr(1.000, 6%) + pV2(1.000, 6%) + p1 60Á!.
:' = = =
ï.0001(1,00)+ Í.000/(1,06)2+1.gq 1 . 0 0 0 x J tl ( 1 , 0 6 )+ 1 t ( 1 , 6 ) 2 + 1 t l 1.000x I FV&(i, 6y") I eÍo vetkta 1.000xj 4,2124| = 4.Zi2(afgeron BiJeen interesfircetvan i@6 zoudeze be bedragvan : 1.000x 3,Zg0g= 3.791
De beginunarde vaneenannui.teit van5 kaÍ wordtvoorgesteld pVfu(K,1 doorhetsymbool K x [ í / ( 1 + i ) + 1 l ( 1 + y 2 +1 t ( 1 + D+s í / ( t + D a (zie ook bovenstaandvoorbeeld).
I
Een bijzonder geval van een (postnumerando)annu'r'tEitis de peryctrflteitr of 'eeuwigdurende annuïteifwaarbijonbeperktin de toekomstperiodiekeen kapitaalK zal ontvangenworden. Hierbijzal n -+ o waardoorde beginwaarde annuïteitenformule herleidwordttot.KÍ,1' Voplbgeld: lemandal, met aanvangover precieseen jaar,jaarlijksen zonderbeperking, een bedragvan 1.000uiQekeerdkdigen.Indiendezepemoonrekentmeteen interestuoet van87ozaldebeginuaarde vandezeannufreit gelijkájn aan1.fit0/ 0,09= 12.500. Indiendezepersourdit bedrq nu op e€nspaarekening aan8% Inbrostzouuilzettan bekomthijjaarliiks12.500 x 0,08= 1.000. Beftle'betaalqfremen'zijn bflgevopgelijlffíaaÍdig, alËlan$ in furpfievanoenconEbnb interestvoet
Venahil trtaen de beglnmarde van eên porfirumerando sn ê€n ptunulre6ndo annuitteit Bij een poshumerando annuïteitwordtde beginwaarde berekend(doortoepassing van dE formule)op het tiidstipdat êxact eén periodeeerder ligt dan het tijdstipuíaarpphet eerstekapitaalvervalt(dusop het beginvan de eensteperiode). Bij een Ptlenumet|ndo annuïtêitrrrnrdtde beginunardêberêkêndop het tijdstipwaaÍop het eerstekapitaalvervalt. Een annuïteitkan men- rekenmatig* zoumlbesdrrouuenals postnumêrando en tqelijk als prenumerando. Nodrtanszal het tijdstipwaarop de beginwaardevalt dan niet heEelfrezijnvoorbeideannuïteiten sn aullenookde beginnaardenversdrillen. Opgave: Berekende beginuraardevan êen postnumenando \flffiNen hêt Eerstebedrag annu'r'teit vervalt precies over één jaar. Het betrcft 10 bednagenvan 5.000 die alle met tussenperioden van I jaar vervallen,interestvoet is 5%. Besdrouwdezelfdeannuïteitals een prcnumenando annuïteiten berekeneveneensde boginwaarde. Welkerelatieis ertussenbeidebeginwaarden ?
10
5. AFLossINGsscHËMA vANEËNANNUffgmemLENING Zie voorbeeldpp. 32-3il Leningvan 3.000.000,af te lossenin 10jaarlijksebetrlingenaan g7ointerest. ***
Afloeringstrbel I 1. Berekeningiaarliiksebetraling K Beginweardevaneen(postnumerando)annuihit (van 10 kapitalenK) = 3.000.000
= K x PVA'0(1,9%)
=Kx1-(1
1 - ----1-: 4^ +9/1oo)-1u (l+0,09)10 = ^* 9/100 0,09
of 3.000.000= K x 6,41766
(zieook tabelB p. g4)
waaruit:K a 467.460
2. Evolutiesqmensbllinovan lÍ K bestaatuit een venanderlijk aflossingsbestanddeel (*tijgtjaarlijks)en een veranderlijk interestbestanddeel (daaltjaarlijks). EinSiaar I bevatKeen interestvan270.000(* 97ovan 3.000.000)en bedraagthet kapitaafsgedeelte (aflossing vanhetgeleendebedrag)persaldo19r.4ffi. FindleEr2 dient interestbctaaldte wordenop het resterenduitstaandkapitnalof : 97ox [3.000.000-197.460J= 252.229en persaldobedraagtdan het kapitaalsgedeelte in de aflosslng2í5.2Si ( = 467.160- 252-229). 3. Vnaao Hoeveelbedraagt het percentrgêvande aangerekendE interestindien6êÍt lêningvan 3.000.000over20jaar wordtafretaaldin annuiïeitenvan 2gg.17g?
11
6.
LENING, AFLOSSINGEN ENOVEREENKOMSTEN METEEN INVESTERINGSPROJECT
Ter illustratievan de toepassingsmogefijkheden van voorgaandeformutesuit de financiële wiskunde, volgt in ondenstaandvoorbeeld de berckeningvan aflossingsdrema's vaneênlening. VoorbeeH: lemandleonteind20í0 een bdrag van 3.00 uittryen EenBamêngesblde intereetvan 1070opjaarbasis. De sfiuHenaar heefi ale en[e veplichling dat hij dit bedrag,hdusíef interest,volledig moetterugbebaldhebbenuiterlijkover3 jaar (dusuitertijkeind2013). HiertÍj ínogênbrugbetalingenenkelgebeurenop hetiaareind€ (do eeretebrugbehling kan preciesoveréénjaar gebeuren). Voorgaandetorugbêhalvoqweade imdicsert dat vele aflossingsctremabmogefijkzijn $/aarvanhiernaenkelezijn weergegeven(dezebedragenwordenbekekendoor de bril vande'ui[ener).
Aflossingscfiema A B
c D E F G
20í0
2011
-3.000 -3.000 -3.000 -3.000 -3.000 -3.000 -3.000
3.300
21012
2013
3.630 1.300 800 1.26 1.729
1.200 1.250 1.206 1.729
3.993 1.100 1.650
1.206
De aflossingschema's A, B en C betekeneneenéénrnalpeen integraleterugbetaling van deze lening (kapihal Indusief Í0% interest). Dit zfrn de eindrvaardendb berekend weden na tesp.1,2 en 3 jaar en dit ájn dus aanvaardbare aflossingsc-hema,s. omgekeerd kan msn ook door de berekening van de beginwaarde van de (dusdoorb dhconterenaan 107o)bepalenof eenschemaaanvaadbaar terugbetalingen is: b.v.bijG : PVs(3.993,10%) = 3.993/ (1,10)3= 3.000. scfiema D imf,iceert een parlij|ce rmste kapihalsafroseiruvan 1,000 en schema Ë vadabele kapitaalsaflossingen van resp.500, 1.0@ en 1.500 (tmarbij telkens de vercchuldigdeinterestvan hetvooÊriJe fear werdgevoegd). De scfiemasF en G zijn annuïteitenwaaruande huidigewaade (afgerond)eveneens gelilkie aan3.000.
12
Berekeninovande agtuelewaardevoormeerdereiarcn: Ter vercenvoudiging van het rekenwerk(bij schema,sD t.e.m. G) kan men gebruik 'rcllbacF.methode makenvan de zgn. ranarbijmen snel,eenvoudigen nauwkeurigde somder actuelewaardenberekent. Bij dezemethodewodt gestartmen het disconterenvan het bedragvan het laatstejaar en dit naar het voorlaatstejaar toe. Vervolgenstelt men het gedisconteerde bedragop bij dat van het voorgaandejaar en disconteertmen deze som naar het jaar hiervoor, enz.
VoorbeeHvanrollbqckmethode (voorschema E) : Mensftartmetde hqhtp afloecing (1.650)en deeltdezedoorÍ,í0;veÍvolgersteltmen hierbijde voorlaabte (1.250)op en deeltdezesomdoor1,10. Tenslottetelt aflossing monhierbiide eemteaflossing op(s00)riraama monrcgmaabdeeltdoor1,i0. Ditlaabfieresultaat dientgelijktezijnaan3.000indienhetaflossingschema gebaseerd is ope€ninbrestvan 10%.
Berekeningvanhet aflossingsbednas bii een annul'teitenlenlnq : Voor de berekeningvan het bedragvan de vaste aflossingenbij F en G ken gebruik wordengemaaktvan de formulePVAn.De huidigewaardeis immersgegeven(9.000) en de soÍRvan de gemtualiseerdeweardenvan de aflossingendient hieraangelljkte zijn. ElevasteafloaslngenX moetdan voldoenaan : P V A '= 3 . 0 0 0= X x ( [ 1 - ( 1 + a ) { l t i ) = X x p V A " ( 1i ), . B i j g e v o l gX i s= 3 . 0 0 0I ( Í 1 - ( 1 + i ) . 1 , i ) Voorbeeld(voorschema F) : X - 3 .0 0 0t(tí-(1 +i f | í i; " 3.000/ ( 2í8S) * 1.206 lndiendezeleningovereenperiode van10jaarzoudienente wordenterugbetaa6 zou deFaÍliiltceafloeeing488bedragnn.
Vraag: Zijnvofgendeaflossingschema's aanvaardbaar?ztlndit annu'r'teiten ? -3.000 -3.000
1.902 1.807
1.902 1.807
*> lr-t^-
L*e-
13
: Relatieleqins.aflo, +qinqen, I n inves.tqÍtqg Affe voorgaandeaflossingscfrema's z$n, ondanks de verschillen in het gelijkwaardig terugbetalingspatÍoon, aangazien de somvande gedisconbedewaarden gelijkis aan3.000. telkens Veronderstel datdeze'uitlenefnude keuzehEefttussen: - 3.000uitlenen (aan10%interest) - olirel : 3.000inveeterên pppct H datvolgende in eenfisicoloos nettobedragen zal generercn:
H:
-3.000
1324
1.720
770
De geactuatiseerde of contnntewaarde(nnt discontovoet 10%)vandezeopbrengsbn isgelijkaan (1.320 = 3.200. 11,10)+ (1.T20t1,102, + (t7Ol1,103) Bijgevolg stemmen dezeopbreÍUsten overeenmetde terugbetaling vEneenleningvan 3.200aan 1oo/o terwijldezepersoonslechts3.000zal 'uitlenen'd.w.z.aan dit pÍoject dientte besbden. De-gggtante waardevan de opbrengsten (d.i.de waardena aftrekvan de interesten) overtrefl.de investeringsuitgave en men aegtdan dat dit projecteen positievqn$tto Sntanteuaardeheeftvan 200 1=3.200- 3.000)omdathet, na interestvenekening, meer'kapitaal' (terugbetaaft) oplevert rrverd daner ooËpmnketijk vooruitgegevên. Ditprojecizaldevoorkeur kijgenboveneenleningdieterugbetaald wordtaan10o/o. Andeniids kan men ook stellen dat dit pmjec-thet geihvestcerdekapitaalexact terugbetaalt, maarhierbijeeninterest oplevert diehogerligtdan10olo. Door trial and enor' (b.v. vla de rollbackmethode)kan urordenbepaalddat het opbrengstenschema vanprojec-t H eeninteresfuergoeding impliceeÉ van14o/o. Ditno€mtmende intemgop,brenosg,oet (inteÍnafrateof retum)vandit projeEt. Eeninvesteringsproject kan,uitgedrukt in financiële termenen in functievannegatieve geldstmmen, en positieve rekenmatig bescfiouvud wordenal$ eenleningdie 'aaneen projectuordt toegekend' en vervolgens doordit projectmet interest(rendement) zal wordenterugbetaald. De (minimum) rcndementsnorm die doorde investeerder wordt vooropgesteld bepaaltdande aanvaardbaarheid vanhetproject.
$*mongecteldeinteist = 1q (1+ifl (l+11 Kx= Kw-r of KN = IQ s.i.fo,Li;
Aflorslngrscheml'tven lcningen n '=
K
s;i(N,D
Postnumerandoannuïteit
C,,, PV(annuiteit '"" -, ' *o7=S-*-9-*...+ l+i (l + i)' (t + t)" \
PV(annuiteit*ofl[*]
PY (annuiteitrootsC* g.a.f<*.o metg.a.f6,r;y degecurnuleerde actualisatiefactor. Prenumerandoannuïteit
---*...+.- C,, -. PV(annuiteit,u){ Í M ' * !*-9 l+i (l+i)'""'0+i)"' PV(annuiteitrufC x g.a.f<*.,, x (1+ i) Som meetkundigerij -- -
-Qaa*te termx reden) _ lste term
Variantie portefeuille
Var(Rr): Ewfvar(4 ,) + ,=r t rr=*!, t,wiwicov({,q ) i:I Vrriantie
n r ?u_E(N rz
YÁR(R):I" t:I
n- I
indienberekendop basisvan {idreeksanalyse
