Werkwinkel: smaakmakers 1ste graad Inhoudsopgave 1e jaar van de 1e graad: ................................................................................................................. 4 Getallenleer: ........................................................................................................................................ 4 Vergelijkingen en vraagstukken oplossen ....................................................................................... 4 Rekenen met gehele getallen .......................................................................................................... 4 Breuken vereenvoudigen ................................................................................................................ 5 Procentberekening .......................................................................................................................... 5 Veelvouden en priemgetallen ......................................................................................................... 6 Gemiddelde en mediaan (en diagrammen) .................................................................................... 6 Handig rekenen met eigenschappen............................................................................................... 7 Machten met natuurlijke exponent ................................................................................................ 7 Letters voor veralgemening ............................................................................................................ 8 Letters voor veralgemening ............................................................................................................ 8 Gebruik van Letters ......................................................................................................................... 9 Veelhoeken...................................................................................................................................... 9 Terminologie.................................................................................................................................. 10 Meetkunde: ....................................................................................................................................... 11 Coördinaat van een punt ............................................................................................................... 11 Koorde ........................................................................................................................................... 12 Afstand van een punt tot een rechte ............................................................................................ 12 Merkwaardige lijnen in een driehoek ........................................................................................... 12 Driehoeken classificatie + definitie ............................................................................................... 13 Schaalverdelingen ......................................................................................................................... 13 Omtrek........................................................................................................................................... 14 Oppervlakte ................................................................................................................................... 14 Eigenschappen en/of definities van de soorten vierhoeken......................................................... 14 Vierhoeken definities .................................................................................................................... 14 Ontwikkeling van kubus en balk .................................................................................................... 16 Ruimtemeetkunde: de doorsnede van een ruimtefiguur met een vlak........................................ 16 2e jaar van de 1e graad: ............................................................................................................... 17 Getallenleer: ...................................................................................................................................... 17
Evenredigheden............................................................................................................................. 17 Machten in betekenisvolle situaties.............................................................................................. 17 Machten met een gehele exponent .............................................................................................. 18 Eentermen ..................................................................................................................................... 18 Merkwaardige product: (a + b)² = a² + 2ab + b² .......................................................................... 19 Merkwaardige producten: (a+b)(a-b) = a² - b² ............................................................................ 19 Merkwaardig product: (a + b)³ = a³ + 3a²b + 3ab² + b³ ................................................................ 20 Merkwaardige producten.............................................................................................................. 20 Kgv en ggd ..................................................................................................................................... 21 Evenredigheden............................................................................................................................. 21 Omgekeerde, tegengestelde, absolute waarde ............................................................................ 22 Rationaal getal omzette naar zijn decimale vorm ......................................................................... 22 Schijfdiagram ................................................................................................................................. 23 Wetenschappelijke schrijfwijze ..................................................................................................... 23 Meetkunde: ....................................................................................................................................... 24 Spiegelingen .................................................................................................................................. 24 Som van de hoeken van een vierhoek .......................................................................................... 24 Som van de hoeken van een veelhoek .......................................................................................... 25 Soorten hoeken bij twee evenwijdige rechten en een snijlijn ...................................................... 25 Hoeken .......................................................................................................................................... 26 Gelijkvormige figuren .................................................................................................................... 26 Meetkundige kennis toepassen .................................................................................................... 27 Transformatie van het vlak: spiegeling, draaiing en verschuiving. ............................................... 28 ....................................................................................................................................................... 28 ....................................................................................................................................................... 28 ....................................................................................................................................................... 28 ....................................................................................................................................................... 28 Verschuivingen .............................................................................................................................. 29 Evenwijdige projecties................................................................................................................... 30 Transformatie van het vlak: de draaiing........................................................................................ 30 Spiegelassen .................................................................................................................................. 31 Congruentie ................................................................................................................................... 31 Algemeen:.................................................................................................................................. 32 Domino .......................................................................................................................................... 32
Memory ......................................................................................................................................... 32 Tik Tak Boem ................................................................................................................................. 32 Quickies ......................................................................................................................................... 33
1e jaar van de 1e graad: Getallenleer: Vergelijkingen en vraagstukken oplossen Door middel van vraagstukken is het mogelijk om wiskunde nauw aan de leefwereld van de leerlingen aan te sluiten. Het is dus beter mogelijk om wiskunde te verbinden aan iets dat hen echt interesseert. Zo kan de les vergelijkingen of vraagstukken gestart worden vanuit het volgende vraagstuk.
In Star wars zijn de ruimteschepen van Darth Vader met 3 kanonnen aan het vuren op een vijandig ruimteschip (the millennium falcon). Het eerste kanon schiet 12 schoten per seconde, het tweede kanon vuurt 20 schoten per seconden. Het derde kanon vuurde normaal 36 schoten per seconde, maar het is gesaboteerd… Daardoor vuurt het derde kanon maar een vierde deel van zijn schoten per seconde. Hoeveel schoten lost het ruimteschip van Darth Vader in 10 seconde? De leerlingen zullen, zonder dat ze de leerstof al kennen, dit vraagstuk kunnen oplossen. Vanuit hun manier van oplossen kunnen vergelijkingen en vraagstukken worden geïntroduceerd.
Rekenen met gehele getallen
De leerlingen worden in teams van 2 samen gezet door de leerkracht. Wat volgt is een quiz over het rekenen met gehele getallen. De leerkracht projecteert met een beamer een bewerking met gehele getallen, de leerlingen moeten om ter eerst als team het juiste antwoord vinden.
Breuken vereenvoudigen
De leerlingen hebben geleerd om breuken te vereenvoudigen. Om dit verder in te oefenen kunnen ze in groepjes memorie spelen.
kaartjes, voor het memoriespel
Procentberekening Met dit onderwerp kan er gewerkt worden aan de prijsbewustheid van leerlingen. Procentberekening wordt in het dagelijks leven veel gebruikt in winkels, vooral tijdens de solden. Het is belangrijk dat leerlingen kunnen berekenen wat de effectieve prijs van het artikel wordt om zo een prijsbewuste keuze te maken in deze dagen van overaanbod.
Door de leerlingen deze intro oefeningen te laten doen, exploreer je niet enkel het onderwerp, je maakt ze ook bewust dat hetzelfde artikel vaak in verschillende winkels te koop is en overal een andere prijs heeft.
Veelvouden en priemgetallen Er is een handige manier om alle kleine priemgetallen tot 100 te vinden. Maak een tabel van 10 op 10 en schrijf de getallen van 1 tot en met 10 in. 1
2
3
4
5
6
7
8
9
10
11
12
13
14
15
16
17
18
19
20
21
22
23
24
25
26
27
28
29
30
31
32
33
34
35
36
37
38
39
40
41
42
43
44
45
46
47
48
49
50
51
52
53
54
55
56
57
58
59
60
61
62
63
64
65
66
67
68
69
70
71
72
73
74
75
76
77
78
79
80
81
82
83
84
85
86
87
88
89
90
91
92
93
94
95
96
97
98
99
100
Kleur dan alle veelvouden van 2 in, kleur daarna de veelvouden van 3, 5 en 7 in. De getallen dat nu niet gekleurd zijn (buiten 1), zijn de priemgetallen! Dit handig algoritme draagt de naam de zeef van Eratosthenes.
Gemiddelde en mediaan (en diagrammen) Door middel van smarties kan je de leerlingen helemaal wild krijgen voor het gemiddelde en mediaan. Geef elke leerling een klein zakje smarties en laat elk leerling tellen hoeveel smarties er in zitten (zeg duidelijk dat de smarties op eten nog niet voor nu is!). Schrijf de resultaten van elke leerling op bord en bereken samen met de leerlingen het gemiddelde en de mediaan. Voor een extra oefening kan het gemiddelde aantal smarties van een kleur worden bepaald. Ook kan deze methode gebruikt worden om de leerlingen een taart – en staafdiagram op te laten stellen van hun zakje smarties.
Handig rekenen met eigenschappen Door de les te beginnen met een klein wedstrijdje kan er onderzocht worden hoe de beginsituatie ervoor staat en worden de leerlingen tegelijkertijd geëngageerd voor het komende onderwerp. Er kan op twee manieren een wedstrijdje worden gedaan: 1. Elke leerling neemt een blad en pen. De leerkracht legt uit dat hij dadelijk een oefening luidop zal zeggen en dat de leerlingen die moeten oplossen. Als een leerling klaar is moet hij gaan rechtstaan achter zijn bank. Als iedereen recht staat, dan wordt het antwoord van de eerste verbeterd, als dat fout is gaat de kans naar de tweede,… 2. Er worden twee vrijwilligers gevraagd. De ene leerling neemt plaats aan de achterkant van het linkerbord en de andere neemt plaats achter het rechterbord zodat ze elkaar niet kunnen zien. Dan geeft de leerkracht een oefening op en moeten de leerlingen die zo snel mogelijk oplossen. Wie klaar is, doet het plooit zijn bord zodat de hele klas het kan zien. Mogelijke oefeningen voor de wedstrijdjes zijn: • • • •
11 . 16 17 . 19 6 . 22 19 . 8
Machten met natuurlijke exponent De leerkracht tekent een schaakbord op het bord (zonder de stukken) en vertelt dan het volgende verhaal. Over het schaakbord bestaat een beroemde legende. Naar verluidt vond de wijze Sessa ebn Daher uit India ongeveer 1500 jaar geleden het schaakspel uit. De wijze leerde het spel aan de koning. Deze koning (koning Sheram) was zo enthousiast over het spel dat hij besloot dat het schaakspel als voorbeeld voor het hele volk moest dienen: het schaakspel had hem geleerd dat de boeren (pionnen) en de adel (de stukken) als een eenheid moesten samenwerken. De koning beloofde de uitvinder van het schaakspel een beloning die hij zelf mocht uitkiezen. Sessa vroeg de koning om 1 rijstkorrel (of graankorrel) op het eerste veld van het schaakveld, 2 korrels op het tweede veld, 4 korrels op het derde, 8 korrels op het vierde enz. Op ieder veld dus steeds het dubbele aantal rijstkorrels van het vorige veld, totdat alle velden gevuld waren. De leerkracht vult samen met de leerlingen de eerste vakken in. Hij laat de leerlingen ook nadenken welke macht van 2 het telkens is. Doe is een schatting hoeveel rijstkorrels er in het totaal op het bord moeten liggen! ( er zijn 64 vakjes bij een schaakbord) De lln doen een schatting Lkr: uiteindelijk zouden er zo’n 18 triljoen rijstkorrels op moeten liggen. Wat meer is dat de heel de wereld in die tijd op een jaar maakte.
Letters voor veralgemening Hierbij kan de les begonnen worden met een brainteaser. Dat is een oefening die de leerlingen nog niet of nog niet snel kunnen oplossen. De leerkracht laat het enkele minuten hieraan werken, maar besluit dan dat de klas er nog niet echt in slaagt. Dan zegt hij dat elke leerling op het einde van de les of lessenreeks dit wel zal kunnen! Dit werkt motiverend omdat leerlingen hebben gezien dat ze iets niet konden en nu willen weten hoe het wel moet, hun nieuwsgierigheid wordt geprikkeld. Voor letters voor veralgemening kan het volgende vraagstuk worden gegeven: Op een boerderij lopen een aantal kippen en konijnen. Men telt 37 koppen en 102 poten. Hoeveel kippen zijn er en hoeveel konijnen? Dit is een goed vraagstuk voor een brainteaser omdat leerlingen de oplossing niet snel zullen vinden door gewoon wat getallen uit te proberen. De oplossing aan het eind van de les of lessenreeks zal denk ik het duidelijkste zijn met een schema: koppen
poten
n
2.n
37 –n
4 . (37 – n) = 102 – 2 . n
37
102
kippen
konijnen
totaal
De vergelijking 4 . (37 – n) = 102 – 2 . n wordt uitgewerkt zodat we te weten komen dat n = 23 en dus dat er 23 kippen zijn en 14 konijnen.
Letters voor veralgemening Vaak zien leerlingen het nut niet in van het invoeren van lettervormen. Via een leuk “goocheltrucje” kan de leerkracht ze het nut snel laten inzien. De leerkracht zegt tegen de leerlingen, beeld je een getal in dat niet te groot is, ergens tussen 1 en 50. Tel 10 bij het getal op, vermenigvuldig het met 2, trek er 6 van af, deel het door 2 en trek da het oorspronkelijk getal er vanaf. Doe dit resultaat maal 2. Is het getal dat je nu hebt 14? De leerlingen zeggen verbaasd ja. De leerkracht zegt, we kunnen deze goocheltrucs met lettervormen duidelijk maken. We beginnen met een getal dat ik niet ken: X => x + 10 => 2x + 20 => 2x +14 => x + 7 => 7 => 14 Zo zien jullie dat het niet uitmaakte wat getal jullie kozen voor x, de oplossing is altijd 14!
Gebruik van Letters Hoewel letters vaak als abstract worden ervaren is het mogelijk om ze goed te koppelen aan praktische situaties. Zo kan een kelner letters gebruiken om op een snelle manier alles op te schrijven van de klanten. Zo kan hij snel genoteerd hebben: 4f + 3c + 2w. Aan de kassa kan hij dan rustig uitrekenen met de prijslijst hoeveel de klanten moeten betalen:
prijslijst water
w
€1,50
cola
c
€1,60
fruitsap
f
€1,75
bier
b
€1,75
koffie
k
€1,90
De leerlinge rekenen uit wat de kostprijs is en zien zo hoe het gebruik van letters kan toegepast worden in het dagelijkse leven.
Veelhoeken
Nog een leuke manier om vierhoeken in te leiden is aan de hand van een tangram puzzel. Je laat de leerlingen eerst puzzelen. Daarna vraag je welke figuren er allemaal in zitten. Zo heb je een leuke rustige starter en heb je kort een aantal begrippen van vierhoeken/driehoeken herhaald. Dit is voor het eerste jaar.
Terminologie Ook de wiskunde zorgt voor veel nieuwe woorden voor de leerlingen. Die begrippen kunnen op een leuke manier ingeoefend worden. Het kan gebeuren met een memory maar ook met een kruiswoordraadsel. Hier is een bruikbaar kruiswoordraadsel voor het herhalen van wiskundige begrippen.
Horizontaal 1. Als je van een rationaal getal het toestandsteken wijzigt, bekom je het … 4. Als bij een bewerking de plaats van de haken geen belang heeft, is de bewerking … 5. De uitkomst van een deling noemt men … . 7. Breuken die dezelfde noemer hebben, noemt men … 8. Als bij een bewerking de volgorde van de getallen niet belangrijk is, dan is die bewerking … 10. In een optelling of aftrekking worden de getallen die men moet optellen of aftrekken t… genoemd. 11. Nul is voor de vermenigvuldiging een … element.. 13. De uitkomst van een aftrekking noemt men ….
Verticaal 2. De vermenigvuldiging in Q is … ten opzichte van de optelling in Q. 3. In een onbegrensde decimale vorm noemt men het cijfer of de groep cijfers die altijd terugkeert, de … 6. De vermenigvuldiging van elk rationaal getal verschillend van nul en zijn … is gelijk aan één
Meetkunde: Coördinaat van een punt De leerkracht laat een bioscoopticketje zien aan de klas. Ze moeten eerst allemaal zeggen wat er op een bioscoopticketje staat. De leerlingen antwoorden: bioscoopzaal met stoel en in welke rij ze zitten. Daarna laat de leerkracht een kaart zien van de bioscoopzaal met de coördinaten. De leerlingen moeten de plaats zoeken van de persoon van het bioscoopkaartje. Hierdoor ontdekken ze meer over de coördinaten van een punt. Met een grondplan van een zaal van de cinema kan de leerkracht een assenstelsel invoeren en vanuit dit voorbeeld coördinaat van een punt uitleggen.
Nog een voorbeeld om de coördinaat van een punt te introduceren is aan de hand van schaken. De leerkracht tekent een schaakveld op bord. Hij leert de leerling schaken door snel de bewegingen van alle stukken te overlopen. Het paard staat op A6, naar waar kan het paard allemaal? De leerkracht heeft de assen aangepast naar x-as en y-as en geijkt volgens 1,2 en 3. Dit is leerstof voor het eerste middelbaar.
Koorde Cirkels komen veel voor in het dagelijks leven en ook van koorden zijn er smakelijke voorbeelden te vinden. Een voorbeeld hiervan is een taart. Door een echte taart als voorbeeld te gebruiken zal je zeker de interesse van heel de klas hebben. Je kunt ze ook gebruiken als beloning voor goed op te letten en rustig te zijn heel de les lang. Maar het hoofddoel van de taart is ze te gebruiken voor het begrip koorde te introduceren. De taart dient als praktisch voorbeeld, de leerkracht tekent een cirkel op het bord. Een leerling moet op het bord een deegstrookje komen tekenen op de cirkel. De strookjes zijn koorden op de cirkel. Na nog een koorde te laten tekenen vraagt de leerkracht wat de definitie zou zijn van een koorde.
Afstand van een punt tot een rechte Een praktisch verhaaltje/probleem om de afstand van een punt tot een rechte in te leiden. Stel je bent op vakantie en je bent aan het zwemmen in de zee. (de leerkracht tekent een puntje op het bord dat de persoon voorstelt). Dan zie je plots een haai achter je! (de leerkracht tekent een haai achter het puntje). Natuurlijk wil je zo snel mogelijk op het strand geraken! ( de leerkracht tekent een rechte). Wat zal de kortste weg zijn tot het strand? Laat een leerling naar bord komen en de volgens hem kortste weg tekenen. Vanuit dit voorbeeld wordt de afstand van een punt tot een rechte uitgelegd.
Merkwaardige lijnen in een driehoek Voorzie voor elke leerling een uitgeknipte driehoek (het moeten niet allemaal dezelfde driehoeken zijn). Er wordt klassikaal besproken hoe je een bissectrice kan plooien. Daarna vouwt elke leerling alle bissectrices in zijn driehoek. Vervolgens vraagt de leerkracht of er iets speciaals gebeurt. Deze vouwoefening kan ook gebruikt worden voor de andere merkwaardige lijnen in een driehoek.
Driehoeken classificatie + definitie Elke leerling krijgt een driehoek toegewezen. Er worden drie categorieën gemaakt (scherphoekig, rechthoekig en stomphoekig maar de leerlingen kennen de naam van de categorie nog niet), 1 bij het rechter bord, 1 bij het middenbord en 1 bij het rechterbord. De leerlingen moeten nu bij het juiste bord gaan staan. Daarna stelt de leerkracht vragen: • • •
Waarom sta jij daar? Welke categorie zou dit kunnen zijn? Hoe zou je de definitie kunnen omschrijven van jouw driehoek?
Ook om driehoeken te classificeren volgens de zijden is deze manier van werken mogelijk!
Schaalverdelingen Ik ga zelf heel graag in een achtbaan, en dus zou ik willen weten hoe hoog deze hoogste achtbaan van de wereld eigenlijk is! Het enige dat ik heb is deze prent, de schaal 1:1750 en dat op de afbeelding deze afstand 8cm is. We bekijken eerst even de schaal, 1:1750 Als we die schaal zien staan, wat wil dat dan juist zeggen, hoe moeten we dit interpreteren? Lln: Lkr: Lln: Lkr:
1cm op de tekening is 1750cm in het echt. Hoe hoog is de Kingda Ka? 8cm * 1750 = 14000cm = 140m we kunnen dus zien dat de schaal ervoor zorgt dat we de Kingda Ka op een blad kunnen afbeelden. Deze is dan wel kleiner als in het echt, maar heeft wel dezelfde vorm.
Omtrek Voor de volgende oefening te doen, moeten de leerlingen al een voorkennis hebben van de omtrek van vlakke figuren. Deze oefening kan dus gebruikt worden voor de 2de les omtrek. Het is de bedoeling dat de leerlingen de omtrek zoeken van hun hand. Laat ze eerst een schatting doen. Daarna moeten ze hun hand op een blad leggen en er met een potlood rond tekenen zodat ze de omtrek van hun hand op het blad hebben getekend (tip: teken de vingers hoekig, niet te afgerond). Laat ze dan de omtrek bepalen van hun eigen hand, ze zullen versteld staan van het resultaat Oppervlakte Wie heeft er al eens gehoord van Nauru? Nauru is het kleinste eiland dat op de wereld bestaat. Het is zo klein dat het zelfs geen hoofdstad heeft. Op dit eilandje wonen ongeveer 10 000 inwoners. En in Brasschaat zijn we met iets meer dan 37 000 inwoners! Dit wil dus zeggen dat het echt een heel klein eilandje is. De oppervlakte van Brasschaat is bijna 40 km², wat is de oppervlakte van Nauru als je het volgend weet? Nauru is een rechthoekig eiland en heeft ongeveer een lengte van 5km en een breedte van 3km. Eigenschappen en/of definities van de soorten vierhoeken Elke leerling krijgt een vierhoek (vierkant, rechthoek, parallellogram, …). De leerkracht zegt een deel van een definitie of eigenschap van een vierhoek. De leerling die een vierhoek vastheeft die hieraan voldoet staat recht. Op deze manier kunnen de definities en eigenschappen van de vierhoeken herhaald worden of op een actieve manier onderverdeeld worden. Vierhoeken definities Voor het volgende spel moeten de leerlingen de definities van vierhoeken al kennen. Het spel wordt per 2 gespeeld, per 2 krijgen de leerlingen een raster met benamingen op. (zie volgende pagina) Elke leerlingen krijgt een stapel in een verschillende kleur waar vierhoeken op staan getekend. Om de beurt draaien ze een kaart om van hun stapel en leggen ze hun vierhoek correct op het veld. De eerste leerling die vier op een rij kan vormen wint! (voor de vierhoeken, zie volgende pagina) Om het spel nog meer tactisch te maken, kan je de regel invoeren dat elke leerling 3 kaarten in zijn hand mag houden en 1 van die drie moet kiezen om af te leggen elke beurt. Als hij een kaart aflegt dan mag hij daarna een nieuwe van zijn stapel pakken. Op deze manier kan de leerling nog beter beslissen op welk vakje hij een figuur wil leggen om het spel te winnen. Het spel kan ook omgekeerd worden gespeeld met de figuren als veld en definities als uitgeknipte kaartjes! Ook kan het spel uitgebreid worden om eigenschappen van vierhoeken speels te maken. Nadat de leerlingen eigenschappen van vierhoeken hebben geleerd. Gaan de leerlingen terug per 2 zitten en krijgen ze een veld met eigenschappen op. Ze krijgen ook 2 stapels met vierhoeken op en spelen
terug op dezelfde manier als hierboven vier-op-een-rij. Ook dit kan omgekeerd worden gespeeld met de vierhoeken als veld en de eigenschappen als de kaartjes.
Ontwikkeling van kubus en balk Voor de volgende oefening moeten de leerlingen weten wat een ontwikkeling is. De leerkracht heeft een ontwikkeling bij van een kubus of balk uit karton. Hij vraagt aan de leerlingen van welke ruimtelijke figuur dit een ontwikkeling is en waarom. Nadat de leerlingen het juiste antwoord en de juiste redenering hebben gegeven, vouwt hij de ontwikkeling samen zodat de leerlingen de echte kubus of balk kunnen zien. Ruimtemeetkunde: de doorsnede van een ruimtefiguur met een vlak De leerlingen zien in het eerste jaar voor het eerste wat een doorsnede is en ontdekken welke vlakke figuren deze doorsneden kunnen aannemen. Omdat dit vaak voor leerlingen niet aanschouwelijk genoeg is, is het moeilijk om het zich voor te stellen welke vlakke figuur de doorsnede zal aannemen. Een leuke manier om hier achter te komen is om stukken cake in de vorm van een kubus mee te nemen. In de les wordt er besproken op welke manier de kubus doorgesneden gaat worden. Bij het uitvoeren van die doorsnede (bij de cake), kunnen de leerlingen onmiddellijk zien welke vorm deze aanneemt. Als de leerlingen goed meewerken, krijgen ze aan het einde van de les een stukje cake die gebruikt is bij het maken van de doorsneden.
2e jaar van de 1e graad: Getallenleer: Evenredigheden Als leuke teaser kan de volgende vraag gesteld worden: “Als een vlo zo groot als een olifant was, zou hij dan over de Eiffeltoren kunnen springen?” . In het begin van de les kunnen de leerlingen hier al even over nadenken. Na verloop van tijd leren de leerlingen over evenredigheden en aan het einde van de les kunnen ze dan logisch gaan nadenken over de vraag:
Hoogte recht evenredig met kracht
Hoogte omgekeerd evenredig met massa
=> Een vlo zo groot als een olifant kan niet springen .
Machten in betekenisvolle situaties Om machten met een natuurlijke exponent in te leiden kan je de leerlingen een papier laten vouwen. Laat iedereen een blanco papier erbij pakken en geef aan dat ze dit 1 keer moeten vouwen. Je vraagt dan in hoeveel stukken het papier nu is verdeeld als ze het terug op plooien. Schrijf dan op het bord 1 keer vouwen => 2 stukken. Laat de leerlingen het papier nu nog een extra keer vouwen en vraag terug in hoeveel stukken het papier verdeeld is. Schrijf dan op het bord 2 keer vouwen => 4 stukken. Laat de leerlingen zo telkens meer plooien en laat ze onderzoeken in hoeveel stukken het papier telkens is verdeeld. Na een tijdje zal het bord er als volgt moeten uitzien: • • • • •
1 keer vouwen : 2 stukken 2 keer vouwen: 4 stukken = 2 . 2 3 keer vouwen: 8 stukken = 2 . 2 . 2 4 keer vouwen : 16 stukken = 2 . 2 . 2 . 2 5 keer vouwen : 32 stukken = 2 . 2 . 2 . 2 . 2
Voeg machten in om een vermenigvuldiging met telkens hetzelfde getal veel korter te schrijven!
Machten met een gehele exponent Een memoryspel kan voor veel onderwerpen worden gebruikt om zaken in te oefenen. Maak 2 soorten tegels: machten met gehele exponent en hun uitkomsten. In groepjes van 2 tot 4 leerlingen kan er memory gespeeld worden. He t spel gaat als volgt, een leerling draait 2 tegels om, als ze samen horen (als ze gelijk zijn) dan neemt hij ze van het veld en mag hij nog een keer 2 tegels omdraaien. Als er twee tegels worden omgedraaid die niet gelijk zijn aan elkaar gaat de beurt naar de leerling links van hem. Het spel gaat door tot alle tegels op zijn en de winnaar is de persoon met de meeste gevonden tegels. Een aantal voorbeelden van tegels zijn:
25
16
2³
(-5)²
4²
8
-16
-(-4)²
Een memoryspel valt ook makkelijk online te maken door middel van deze site: http://www.memoryspelen.nl .
Eentermen Wiskunde en fysica sluiten nauw bij elkaar aan. Voor eentermen kan de les begonnen worden met een brainteaser uit de fysica. De hoogste brug ter wereld staat in Millau in Frankrijk en is 343 meter hoog. Als er een steen zou af vallen, hoe lang duurt het dan tot de steen de grond raakt? (zonder rekening te houden met de wrijving van de lucht) De leerlingen gaan dit niet snel kunnen en na een paar minuten zegt de leerkracht dat de leerlingen moeten stoppen. Hij benadrukt dan dat iedereen dit zal kunnen op het einde van de les! Op het einde van de les wordt er terug gegrepen naar dit voorbeeld.
Gebruik de formule x = g .t² /2 waarmee je uitkomt dat t = 8.28 s is.
Merkwaardige product: (a + b)² = a² + 2ab + b² Dit onderwerp valt meetkundig voor te stellen, wat voor ondersteuning kan zorgen voor de leerlingen. Ook toont het aan dat de wiskunde één samenhangend geheeld is.
Voor de formule (a + b)² = a² + 2ab + b² meetkundig voor te stellen, wordt er een vierkant getekend met zijde (a + b). Door de oppervlakte te berekenen weten we langs de ene kant dat (a + b) . (a + b) = (a + b)² zal zijn, maar meetkundig kunnen we vast stellen dat de oppervlakte ook a² + 2ab + b² is.
Merkwaardige producten: (a+b)(a-b) = a² - b²
Het merkwaardig product: (a+b)(a-b) = a² - b² is een formule die de leerlingen vanbuiten moeten leren, daar kunnen ze niet buiten. Omdat dit al theoretisch is, is het voor de leerlingen veel leerrijker om de formule te ontrafelen via de meetkunde en formules voor de oppervlakte van vlakke figuren die ze al kennen. Op die manier kunnen ze heel gemakkelijk de formule afleiden en ook gemakkelijker onthouden, wat belangrijk is voor later. Bij figuur 1 stelt het grijze gedeelte de oppervlakte voor die we onderzoeken namelijk: a² - b² Bij figuur 2 delen we onze figuur op in 2 delen. Bij figuur 3 halen we de twee figuren die we gevormd hebben in figuur 2 uit elkaar. Bij figuur zetten we beide figuren op elkaar zodat ze een rechthoek vormen. De oppervlakte van deze rechthoek is: (a+b).(a-b)
Figuur 1
Figuur 2
Figuur 3 Figuur 4
Merkwaardig product: (a + b)³ = a³ + 3a²b + 3ab² + b³
Ook de formule (a + b)³ = a³ + 3a²b + 3ab² + b³ is op een gelijkaardige manier voor te stellen. Knutsel thuis 8 kubusjes. Eén kubus met volume a³, drie kubussen met volume a²b, drie kubussen met volume 3 ab³ en één kubus met volume b³. Als je ze op de juiste manier op elkaar stapelt kan er een kubus worden gevormd met ribbe ( a + b) waarvan het volume (a + b)³ is.
Merkwaardige producten De merkwaardige producten hebben ook een interessante connectie met de driehoek van Pascal. De driehoek van Pascal is een driehoek die je door middel van een eenvoudige regel kan samenstellen. Zo geeft de derde rij de voorzetsels aan als we (a + b)² uitwerken: ( a + b)²= a² + 2ab + b² De vierde rijd geeft de voorzetsels aan om (a + b)³ uit te rekenen: ( a + b)³ = a³ + 3a²b + 3ab² + b³ Zo geeft elke n-de rij de voorzetsels aan van (a + b) n-1 Door kort deze connectie te geven met de driehoek van Pascal hebben de leerlingen er een nieuw trucje bij en kunnen ze de schoonheid van de wiskunde extra ervaren.
Kgv en ggd Als de leerlingen de theorie van kgv en ggd onder de knie hebben, kan het volgende spel worden gespeeld voor 2 tot 4 leerlingen. Elke leerling heeft een pion en wanneer je aan de beurt bent gooi je met een dobbelsteen. Bij elk wit vakje moet je een opdrachtenkaartje omdraaien en correct oplossen. Wanneer de uitkomst niet juist is zet de leerling hetzelfde aantal stappen terug richting start. Wanneer de leerlingen op een gekleurd vakje met ladder komen hoeven ze geen opdracht op te lossen en nemen ze de ladder naar het bijhorende vakje (de ladder werkt in beide richtingen). Elke groep krijgt hiernaast ook opdrachtenkaartjes. Opgaven: kgv (7,8) kgv (5,10) kgv (8,12) kgv (20,30) kgv (6,9) kgv (4,6) kgv (3,15) kgv (2,13)
ggd (7,8) ggd (5,10) ggd(8,12) ggd(20,30) gd(6,9) ggd (12,18
Evenredigheden
Vaak heeft taal heel wat meer gemeen met de wiskunde dan wij allemaal denken. Dit kan ook snel duidelijk gemaakt worden aan de leerlingen. Aan het begin van de les laat je de leerlingen het alfabet klassikaal opzeggen. Wanneer dit gebeurd is kan je de leerlingen melden: het alfabet heeft heel veel te maken met wat wij vandaag in de les zullen zien. En dan vooral de 4 letters OPQR (in die volgorde). Dit wekt de nieuwsgierigheid op van de leerlingen. Naarmate de les vordert en de leerlingen met evenredigheden werken (omgekeerd- en rechtevenredig) wordt het steeds duidelijker wat OPQR met wiskunde te maken heeft. OPQR: Omgekeerd evenredig => Product is constant Recht evenredig => Quotiënt is constant
Omgekeerde, tegengestelde, absolute waarde Op dit onderwerp kunnen er op een leuke engagerende manier oefeningen worden gemaakt aan de hand van het spel jungle speed. De leerkracht maakt zelf kaarten waarop omgekeerde, tegengestelde en absolute waarde staan. Het spel wordt gespeeld met 3 tot 6 leerlingen. Elke leerling heeft een stapel kaarten voor hem liggen. Om de beurt wordt een kaart omgedraaid, als er 2 kaarten hetzelfde resultaat geven dan moeten die 2 leerlingen om het snelst de totem pakken. Wie als eerste de totem pakt, geeft zijn stapel omgedraaide kaarten aan de verliezer. Dan gaat het spel verder en begint de verliezer met terug een kaart om te draaien. Als je geen kaarten meer hebt die je kan omdraaien, blijft je omgedraaide stapel gewoon liggen met een kaart van boven en gaat de beurt gewoon over naar de volgende leerling. Je wint het spel als je geen kaarten meer over hebt. Voorbeelden van kaarten zijn: -(-5)
|5|
2-1
1/2
Rationaal getal omzette naar zijn decimale vorm Voor dit onderwerp kan er ook een leuke spelvorm voorzien worden. Aan de hand van domino kunnen de leerlingen elk rationaal getal koppelen aan zijn decimale vorm én andersom. De leerkracht voorziet uitgeknipte “dominostenen” met langs de linkerkant een rationaal getal en aan de rechterkant een decimaal getal. Het spel kan gespeeld worden met 2 tot 4 leerlingen. Elke leerling krijgt een aantal dominostenen. Om de beurt wordt er een dominosteen correct aangelegd. De leerling die op het einde de meeste dominostenen heeft aangelegd wint. Een aantal voorbeelden van dominostenen zijn:
0, 25
2/9
0,8
1/4
0,222…
4/5
Schijfdiagram
In de actua horen we tegenwoordig vaak dat de jeugd te weinig beweegt. Een gezonde portie beweging is 30 minuten per dag. Aan het begin van de les kan aan de leerlingen gevraagd worden wie er volgens deze normen voldoende of onvoldoende sport. Op die manier kan de leerkracht vier categorieën vormen: meisjes voldoende / meisjes onvoldoende / jongens voldoende / jongens onvoldoende. De leerkracht kan dit op bord noteren door de categorieën op bord te schrijven en daarachter te turven hoeveel leerlingen beantwoorden aan deze eisen. Met de gegevens uit de klas kan een schijfdiagram gevormd worden met daarin het gebruik van de getallen en daarna een schijfdiagram gevormd door de percentages te berekenen en op die manier uit te tekenen in een cirkel.
Wetenschappelijke schrijfwijze
Laat een leerling het volgende weetje voorlezen: WEETJE: De Niagara watervallen liggen gedeeltelijk in de VS en gedeeltelijk op het grondgebied van Canada. Aan de Canadese kant van de grens passeert in de zomermaanden dagelijks ongeveer 218730000000 liter. De leerlingen zullen heel veel moeite hebben om dit laatste getal te lezen. Van wat ze kennen zullen ze het getal al eerst groeperen in cijfers van 3: 218 730 000 000 liter. Zelfs wanneer ze dit getal zien staan is het moeilijk om te lezen. Dit is een duidelijke probleemstelling en daarom gaan we in de wiskunde een oplossing toepassen, nl. we schrijven getallen vaak in wetenschappelijke schrijfwijze. Op die manier is de les snel en gemakkelijk ingeleid en zien de leerlingen onmiddellijk in dat het een belangrijk thema is.
Meetkunde: Spiegelingen Er is een manier om het onderwerp spiegelingen creatief in te leiden, verder kan er na deze methode ook ingegaan worden op de eigenschappen. Elke leerling krijgt een blad, ze moeten het blad in 2gelijke delen vouwen en dan terug open plooien. Zorg voor elke leerling voor wat verf en een verfborstel (of pak een spons en knip en in klein balkvormige stukjes, die je achteraf gewoon kan weggooien). Elke leerling maakt een tekening op de ene helft van zijn blad, de tekening moet hoekig zijn, loodrechte en evenwijdige lijnstukken bevatten. De verf moet nog een beetje nat zijn, dan vouwt elke leerling zijn blad dicht waardoor de tekening van de ene kant op de andere kant een afdruk maakt. Laat ze het blad nog wat aanduwen zodat hun tekening goed is afgedrukt. Daarna wordt het blad terug open geplooid. Klassikaal worden de eigenschappen en de definitie onderzocht, die met deze oefening heel duidelijk naar voor komen.
Som van de hoeken van een vierhoek Op de volgende manier kunnen de leerlingen experimenteel de som van de hoeken van een vierhoek bepalen. Geef elke leerling een blad papier en laat elke leerling een grote vierhoek erop tekenen (ze moeten niet allemaal dezelfde vierhoek tekenen). Zeg dat ze de vierhoek moeten uitknippen. Laat daarna de leerlingen de vierhoek in stukken knippen zodat ze de hoeken tegenelkaar kunnen leggen en vraag wat er opvalt.
Som van de hoeken van een veelhoek Begin de les met een brainteaser en vraag aan de leerlingen wat de som is van alle hoeken op de volgende figuur zonder een gradenboog of geodriehoek te gebruiken. De leerlingen gaan dit niet snel kunnen en na een paar minuten zegt de leerkracht dat de leerlingen moeten stoppen. Hij benadrukt dan dat iedereen dit zal kunnen op het einde van de les! Op het einde van de les wordt er terug gegrepen naar dit voorbeeld.
Soorten hoeken bij twee evenwijdige rechten en een snijlijn Je zet als leerkracht acht stoelen in het midden en geeft 6 leerlingen een stukje touw. Uiteindelijk moet je 2 evenwijdige hebben die wordt gesneden door een rechte. De leerlingen hadden de vorige les al de soorten hoeken geleerd (verwisselende binnenhoek, verwisselende buitenhoek, buitenhoek aan dezelfde kant van de snijlijn, binnenhoeken aan dezelfde kant van de snijlijn en overstaande hoeken). De leerkracht zegt: de overstaande hoeken mogen opstaan. De leerlingen die een overstaande hoek vormen mogen rechtstaan. De leerlingen verbeteren als ze fout staan. Ook verwisselende binnenhoeken,… kunnen zo herhaald worden. Dit is een goede manier voor de soorten hoeken te herhalen. De leerlingen stellen het zich visueel voor en herhalen op een leuke manier.
Hoeken
De leerlingen krijgen een dominospel dat uitsluitend over hoeken gaat. Hierbij komen veel hoeken aan bod in verschillende situaties, zoals: hoeken tussen twee snijdende rechten, hoeken in cirkels, hoeken in driehoeken, …
Gelijkvormige figuren De leerkracht voorziet 2 gelijkvormige figuren die hij op het bord kan plakken met plakband of met een magneet. Hij vraagt aan een paar leerlingen om de hoeken op te meten. Deze worden op het bord geschreven. Daarna wordt er gevraagd wat er opvalt.
Meetkundige kennis toepassen
Neem naar de klas 2 potjes mee om crème brulée in klaar te maken (zie foto, hier met melk gevuld om een duidelijke foto te kunnen nemen). De potjes staan met een vulling (liefst iets van pudding of iets dat een beetje gelijkt op crème brulée) in de klas: “Welk potje crème brulée zou jij uitkiezen? Waarom? ” De meeste leerlingen zeggen het stenen potje, want daar lijkt het meeste in te kunnen. Tijdens de les leren de leerlingen vraagstukken oplossen waarbij we meetkundige figuren hebben. Ook bij de crème brulée potjes kunnen de leerlingen dan gaan uitrekenen. De leerlingen kunnen de gegevens gaan bepalen van de potjes door metingen te gaan uitvoeren. Uiteindelijk vinden ze: Dat het glazen potje klein lijkt, maar toch meer crème brulée bevat door zijn grotere hoogte.
Transformatie van het vlak: spiegeling, draaiing en verschuiving.
In het dagelijkse leven, maar ook in de kunst vind je heel vaak voorbeelden terug van spiegelingen, verschuivingen en draaiingen. Laat telkens een voorbeeld zien van een kunstig voorwerp of schilderij en vraag de leerlingen over welke transformatie(s) er zichtbaar is, en op welke manier ze dit kunnen aantonen.
Verschuivingen Voor de volgende lesfase moeten de leerlingen al overweg kunnen met verschuivingen. Geef elke leerling een bad waarop ze een aantal verschuivingen moeten uitvoeren.
Geef aan dat ze punt per punt verschuiven. Elk vakje waarin een beeld terecht komt, moet volledig gekleurd worden. Lijnstuk per lijnstuk verschuiven -> AB volgens a -> CD volgens b -> EF volgens c -> GH volgens d -> IJ volgens e
Evenwijdige projecties De leerkracht begint met een verhaaltje dat er buiten een vliegje vliegt en dat het regent. De regendruppels lopen evenwijdig met de rechte b op de tekening. De leerlingen moeten zeggen waar het vliegje de grond raakt (rechte a). De leerkracht vertelt ook dat er een spin op de grond (rechte a) loopt. Hij vraagt de leerlingen waar deze terecht zal komen als de regen hem raakt?
Transformatie van het vlak: de draaiing De leerlingen spelen het spelletje Tetris. De leerlingen zullen dit spel gedurende de les een aantal keer spelen, maar telkens met een kleine aanpassing aan de spelregels. De eerste keer moeten de leerlingen gewoon zeggen of ze het blokje naar links of rechts willen draaien. Daarna leren ze wijzerzin, tegenwijzerzin, het benoemen van graden, het centrum bij een draaiing, … deze nieuwe leerstof kan onmiddellijk verwerkt worden in het Tetris spel. Zo mogen de leerlingen niet meer ‘links’ en ‘rechts’ gebruiken, maar geven ze met de geleerde leerstof weer waar en in welke positie ze het blokje willen hebben.
Spiegelassen De leerkracht geeft elke leerling een afgedrukte foto van de man van Vitruvius. Hij vraagt de leerlingen een symmetrie as te tekenen door de man. Daarna geeft hij verdere uitleg over deze historische tekening. Dit is de Vitruvius man van Leonardo da vinci. Dit is een heel bekende tekening van hem, hij beschrijft van alle opmerkelijke verhoudingen bij de mens. Zoals bijvoorbeeld dat de lengte van de mens hetzelfde is als de lengte van het topjes van je handen (als je je handen strekt). De mens is over het algemeen niet symmetrisch, we hebben vaak ergens een pukkel of een iets langere teen let maar op. Maar als we niet op details letten dan zijn wij ook langs buiten symmetrisch.
Congruentie
Laat de leerlingen een blad pakken schrijf op bord dat ze een hoek een zijde moeten tekenen van een bepaalde lengte, daarna een bepaalde hoek en daaraan een aanliggende zijde van een vastgelegde lengte. Ze moeten daarna de driehoek vervolledigen en mogen zelf kiezen hoe ze dat doen. Laat ze daarna hun driehoek uitknippen en tegen elkaar houden. Als elke leerling het juist heeft gedaan, zullen alle driehoeken perfect op elkaar passen. Dit is een goed begin om het congruentiekenmerk zijde-hoek-zijde in te leiden. Om de les oefeningen rond congruentie op een leuke manier te starten, vraagt de leerkracht aan de leerlingen hoe je de breedte van een rivier kunt bepalen als je ervoor staat. De leerkracht maakt een schets op bord en begeleid de leerlingen om het op te lossen.
Kies eerst een herkenningspunt (in dit geval de boom), plaats daar tegenover een stok. Stap dan 10 meter langs de over en plaats daar weer een stok (in punt B), wandel vervolgens nog eens 10 meter en plaats daar weer een stok (punt C). Vanaf daar wandel je loodrecht op BC weg, totdat je B en de boom op 1 lijn zien staan. Plaats daar een stok. Je hebt nu 2 congruente driehoeken en daaruit kun je de breedte van de rivier bepalen
Algemeen: Er zijn enkele spelvormen die je algemeen kunt gebruiken, die je kunt gebruiken voor meerdere onderwerpen. Het competitieve element zorgt ervoor dat elke leerling meer gemotiveerd wordt om aan oefeningen te werken! Domino Domino is een makkelijk gemaakt spel waarbij je tegels moet maken die in 2 vakken zijn verdeeld. Zo kan je een dominospel maken om verschillende begrippen te herhalen waarbij je aan de linkerkant van de tegel een begrip plaatst en aan de rechterkant de verklaring plaatst. Ook is het mogelijk om domino te gebruiken voor kleine rekenoefeningen, zoals er al een voorbeeld gegeven is over omgekeerde, tegengestelde en absolute waarde. Memory Ook het spel memory kan je gebruiken om begrippen en korte rekenoefeningen in te oefenen. Een klein memory spel is snel gemaakt door met de computer een in een aantal vierkantjes je begrippen of oefeningen te schrijven, af te drukken en uit te knippen. Ook valt het online te maken met de website: http://www.memoryspelen.nl Tik Tak Boem Tik Tak Boem is een spel dat je kunt kopen waarin een bom zit (een plastieken). Vanaf dat je de bom aanzet begint hij te tikken en op een willekeurig tijdstip gaat hij af. Deze bom kan gebruikt worden om eigenschappen te herhalen. Zo kan je de leerlingen in een cirkel zetten en iemand de bom geven. Je zegt dat als iemand de bom krijgt hij een eigenschap van spiegelingen moet zeggen en dan pas mag doorgeven. De persoon bij wie de bom ontploft ligt eruit. Op deze manier kan je veel eigenschappen op een leuke en hopelijk snelle manier herhalen.
Quickies Quickies zijn allemaal kleine herhalingsoefeningen en zijn ideaal om te gebruiken als je bij een les nog wat overschot hebt. Doorheen het jaar maak je kleine basisoefeningen op een klein papiertje van zowel meetkunde als getallenleer, 1 oefening per papiertje. De klas werkt samen om zo veel mogelijk quickies af te krijgen in een bepaalde tijd (de leerkracht kan hen uitdagen door te zeggen als jullie er zoveel kunnen doen dan … ). Als een leerling klaar is met een quickie gaat hij naar voor en laat hij de leerkracht zijn oplossing nakijken aan de hand van een verbetersleutel, enkel de oplossing wordt gecontroleerd. Als hij fout is moet de leerling blijven werken aan de quickie en mag hij om hulp vragen, als hij juist is wordt de quickie bijgehouden bij de leerkracht. Op het einde wordt er een grote slinger gemaakt van alle goed opgeloste quickies. Deze slinger wordt opgehangen in de klas, want wiskunde is een feest(lokaal)!
