Werkcollege. Huishoudelijke zaken. Voorbeeld 1: Data-analyse. Deel I. Inleiding. dr.ir. P.R. de Waal CGN, kamer A-358, tel

Huishoudelijke zaken

Werkcollege

Docent:

dr.ir. P.R. de Waal CGN, kamer A-358, tel. 9252 e-mail: [email protected]

Website:

Overzicht hoorcolleges (en handouts) Opgaven werkcolleges Oude tentamens

Zelfwerkzaamheid. Voorbereiding Groepsindeling op webpagina studiegids

Literatuur:

Morris H. DeGroot, Mark J. Schervish (2002). Probability and Statistics, 3rd edition, Addison-Wesley.

Tentamen:

Schriftelijk (gesloten boek) met aantekeningen Tussentijdse toets in week 41

Hfdstk 1: Inleiding

1 / 55

Hfdstk 1: Inleiding

2 / 55

Voorbeeld 1: Data-analyse

T1 T2 T3 ...

Deel I Inleiding

Database van transacties bier, chips, cola, rijst, melk, kaas luiers, bier, cola, hagelslag, kaas, jam luiers, waspoeder, melk, vleeswaren, tandpasta ...

Kansen schatten uit de gegevens van de database. Wordt gebruikt voor: Samenstellen van reclame-acties Indeling van schapruimte Beroemd voorbeeld is het verband tussen bier en luiers.

Hfdstk 1: Inleiding

3 / 55

Hfdstk 1: Inleiding Voorbeelden Statistiek in Informatica

4 / 55

Voorbeeld 2: Beslissingondersteunende systemen Het zoeken van niet voor de hand liggende verbanden in grote databestanden (datamining) I Koopgedrag klanten in supermarkt I

Menselijk genoom

Surfgedrag op het web Intelligente data-analyse: I Risicofactoren prostaatkanker uit klinische en demografische gegevens

Griep

Verkoudheid

Koorts

Hoesten

I

I

In het netwerk specificeren we P(G), P(V),

P(K | G),

P(K | ¬G)

P(H | G ∧ V), P(H | ¬G ∧ V), P(H | G ∧ ¬V), P(H | ¬G ∧ ¬V)

Prijsbepalende factoren voor verkoop artikelen

Diagnose: bij observatie (¬K ∧ H) dan diagnose in vorm G: 17% V: 78% Hfdstk 1: Inleiding Voorbeelden Statistiek in Informatica

5 / 55

Slokdarmkanker netwerk


6 / 55

Probabilistische netwerken

Location proximal mid distal

Length Shape

circular non-circular

Type adeno squamous undifferentiated

Het netwerk legt verbanden vast tussen verschillende stochastische variabelen met behulp van conditionele kansen. In het slokdarmkanker-netwerk betreft dit bijvoorbeeld variabelen die betrekking hebben op

Circumf

x<5 5<=x<10 10<=x

polypoid scirrheus ulcerating

Gastro-circumf

Gastro-location

circular non-circular non-determ

Passage

proximal mid distal

solid puree liquid none

Gastro-length

Biopsy adeno squamous undifferentiated

x<5 5<=x<10 10<=x non-determ

Gastro-shape polypoid scirrheus ulcerating

Endosono-mediast

Weightloss none x<10% x>=10%

yes no non-determ

Invasion-wall

Invasion-organs CT-organs none trachea mediastinum diaphragm heart

Lengte en vorm van de tumor

Endosono-wall

T1 T2 T3 T4

none trachea mediastinum diaphragm heart

T1 T2 T3 T4 non-determ

Necrosis

Uitzaaiingen

yes no

Lapa-diaphragm yes no

Lymph-metas Fistula Gastro-necrosis

Bronchoscopy

Stage

N0 N1 M1

Metas-cervix

yes no

yes no

yes no non-determ

yes no

yes no

Effect van behandelingen. Metas-liver

X-fistula yes no non-determ

Physical-exam Sono-cervix

Metas-lungs yes no

yes no

Metas-truncus

yes no

Diagnostische testen

Haema-metas

I IIA IIB III IVA IVB

yes no

yes no

Lapa-liver

yes no

Endosono-truncus yes no non-determ

CT-loco

yes no

CT-truncus yes no

Een netwerk kan gebruikt worden voor

X-lungs

yes no

Metas-loco

CT-liver yes no

Diagnose: wat is het stadium van de kanker bij een patiënt?

CT-lungs yes no

yes no

Prognose: Welke behandeling geeft het beste (verwachte) effect?

Endosono-loco yes no non-determ

Lapa-truncus yes no


7 / 55


8 / 55

Voorbeelden: overig

Overzicht College

Kansrekening I Inleiding (kansen, tellen)

Operations research: I Wachtrijtheorie Simulatie Informatietheorie I Coderingstheorie

I

Voorwaardelijke kansen (informatie)

I

Samengestelde kansverdelingen

I

Verwachting en variantie

I

Speciale verdelingen Statistiek I Schatten

Cryptografie Graphics I Patroonherkenning

I

I

I


9 / 55

Betrouwbaarheidsintervallen

Hfdstk 1: Overzicht

10 / 55

Overzicht Statistiek voor Informatica Hoofdstuk 1: Inleiding in de kansrekening Experimenten, uitkomsten en gebeurtenissen

Cursusjaar 2009

Verzamelingen Kansmaten

Peter de Waal

Combinatoriek Departement Informatica

Hfdstk 1:

11 / 55

Hfdstk 1: Overzicht

12 / 55

Experimenten

Uitkomsten en gebeurtenissen

Een kansexperiment is een proces waarvan de uitkomst tevoren niet met zekerheid vaststaat. Voorbeelden:

De beschrijving van de kansberekening bij een experiment gebeurt m.b.v. verzamelingen in de volgende stappen: Vastleggen van de verzameling van elementaire uitkomsten. Beschrijving van de mogelijke samengestelde uitkomsten of gebeurtenissen.

Aantal ogen bij worp met dobbelsteen.

Voor elke gebeurtenis, bepalen van de kans dat die gebeurtenis op kan treden.

Inhoud record bij willekeurige selectie in klantendatabase. Test van mogelijke ziekte bij een patiënt.

Notatie:

Aantal s in een willekeurig bestand. Wachttijd tot de eerstvolgende bus lijn 12.

x een element is van S: x ∈ S. Een lege verzameling: ∅.

Hfdstk 1: Experimenten Kansexperimenten

Hfdstk 1: Experimenten Uitkomsten en gebeurtenissen

13 / 55

14 / 55

Definities: Uitkomstenruimte: verzameling van alle mogelijke resultaten van kansexperiment. (Eng. sample space). In de literatuur vaak aangeduid als S of Ω.

Worp met dobbelsteen: I Uitkomstenruime S = {1, 2, 3, 4, 5, 6} I

Uitkomst: Een element uit de uitkomstenruimte (Eng. outcome) Gebeurtenis: Een samengestelde uitkomst bestaat uit e´ e´ n of meer uitkomsten. (Eng. event). We noemen S ook wel de zekere gebeurtenis en ∅ de onmogelijke gebeurtenis.


Voorbeeld:

15 / 55

Gebeurtenissen: {1}, {4, 5, 6}, {2, 4, 6} (worp is even), . . . .

Willekeurige selectie klanten in database: I Uitkomstenruimte S = database I

Gebeurtenissen: {klant# 10354}, {totaal orderbedrag(klant) > e20000}, {postcode(klant) ∈ {1067, 2034, 3584, 3585}}.


16 / 55

Vervolg voorbeelden Twee opeenvolgende worpen met e´ e´ n dobbelsteen: I S =? Vervolg voorbeelden: Twee dobbelstenen: I A met ogen 1, 2, 3, 4, 5, 6,

Wachttijd tot de eerstvolgende bus I S = [0, 15]

B met ogen 2, 4, 6, 8, 10, 12. Kies willekeurig een dobbelsteen en gooi tweemaal met deze dobbelsteen: I

Gebeurtenissen: {5}, [10, 12.5]. Aantal bits in een willekeurig bestand: I S =? I

I

I

Gebeurtenissen: ?


17 / 55

I

Overaftelbaar: als deze niet aftelbaar is. Voorbeeld: F S = [0, ∞) S = (−∞, ∞)

F

S = [−10, +20]


Een gebeurtenis is een deelverzameling van S.

Doorsnede (Eng: intersection) I A ∩ B: alle elementen die zowel in A als in B zitten. Vereniging (Eng: union) I A ∪ B: alle elementen die in A, of B, of beide zitten. Complement (Eng: complement) I AC : alle elementen die niet in A zitten. Verschil (Eng: difference) I A\B: alle elementen die wel in A en niet in B zitten.

S = {2, 46, 67, . . .}

F

18 / 55

Deelverzameling (Eng: subset) I A ⊂ B: als elk element of uitkomst uit A o ´ ok ´ in B zit

S = database. Oneindige uitkomstenruimte: het aantal elementen is oneindig. I Aftelbaar: als er een 1-op-1 afbeelding bestaat van de natuurlijke getallen ({1, 2, 3, . . . }) naar S. Voorbeeld: F S = {1, 2, 3, . . .} I

F


Operaties op verzamelingen

Eindige uitkomstruimte: het aantal elementen is eindig. Voorbeelden: I S = {1, 2, 3, 4, 5, 6}.

I

S =?

19 / 55

Hfdstk 1: Verzamelingen

20 / 55

Disjuncte gebeurtenissen

Kans Beschrijving uitkomsten en gebeurtenissen van een kansexperiment:

Twee gebeurtenissen A en B heten disjunct (Eng. disjoint) als A ∩ B = ∅.

De verzameling S geeft alle mogelijke uitkomsten. De elementen van S zijn de elementaire uitkomsten van het experiment.

Als A and B disjunct zijn, dan sluiten de gebeurtenissen A en B elkaar uit. Een aantal n gebeurtenissen A1 , A2 , . . . , An heet disjunct als voor elk paar Ai en Aj , waarbij i 6= j, geldt Ai ∩ Aj = ∅.

Een kansverdeling is een afbeelding P die aan elke gebeurtenis een getal toekent dat de waarschijnlijkheid van die gebeurtenis weergeeft. Een kansverdeling moet voldoen aan axioma’s, die ervoor zorgen dat de kansen goed gedefinieerd zijn.

Met andere woorden: gebeurtenissen heten disjunct als ze geen uitkomsten gemeen hebben.

Hfdstk 1: Verzamelingen

de deelverzamelingen van S zijn de mogelijke gebeurtenissen bij het experiment.

Hfdstk 1: Kansmaten

21 / 55

Kans-axioma’s

22 / 55

Afgeleide eigenschappen Er geldt: P(∅) = 0

Axioma 1: Voor elke gebeurtenis A, moet gelden P(A) ≥ 0. Axioma 2: P(S) = 1

Bewijs:

Axioma 3: Voor elke oneindige rij van disjuncte gebeurtenissen A1 , A2 , . . . , moet gelden P

∞ [ i=1

Ai =

∞ X

Neem oneindige rij verzamelingen A1 , A2 , A3 , . . ., alle gelijk aan ∅. Voor elk paar Ai en Aj geldt: Ai ∩ Aj = ∅.

P(Ai )

De verzamelingen voldoen dus aan de eisen van Axioma 3. ∞ ∞ [ X Er geldt: P Ai = P(Ai )

i=1

i=1

Definitie Een kansverdeling is een afbeelding die aan elke deelverzameling van S een getal toevoegt, en die bovendien voldoet aan Axioma’s 1,2 en 3.

ofwel P(∅) =

∞ X

i=1

P(∅)

i=1

Dit is alleen mogelijk als P(∅) = 0. Hfdstk 1: Kansmaten Axioma’s

23 / 55

Hfdstk 1: Kansmaten Axioma’s

24 / 55

Nog meer afgeleide eigenschappen

Voorbeeld

Voor elke eindige rij disjuncte gebeurtenissen A1 , A2 , . . . , An : ! n n [ X P Ai = P(Ai ) i=1

Een patiënt komt bij de dokter met een zere keel en enkele graden koorts.

i=1

De dokter weet met zekerheid dat de patiënt een bacterie-infectie, een virusinfectie, of beide heeft.

Voor elke gebeurtenis A: 0 ≤ P(A) ≤ 1. Voor elke gebeurtenis A: P(AC ) = 1 − P(A).

De dokter acht de kans dat het een bacterieinfectie is 0.7 en een virusinfectie 0.4.

Als A ⊂ B, dan geldt P(A) ≤ P(B). Voor elke twee gebeurtenissen A en B geldt

Vraag: Hoe groot is de kans dat patiënt beide infecties heeft?

P(A ∪ B) = P(A) + P(B) − P(A ∩ B)


25 / 55

Voorbeeld


26 / 55

Kansbepaling

Een frisdrankenfabrikant produceert cola en sinas. De vraag naar deze dranken is onzeker met continue uitkomstenruimte:

In het algemeen maken we onderscheid tussen drie methoden:

s

Frequentie interpretatie: Bij deze methode wordt de kans op een gebeurtenis berekend als de relatieve frequentie waarmee deze gebeurtenis optreedt, als het experiment heel vaak herhaald wordt.

150

50

100

300

c

We nemen aan dat de kans op een gebeurtenis E evenredig is met het oppervlakte van E. Beschouw de volgende twee gebeurtenissen:

Klassieke interpretatie: Hierbij worden de kans op een gebeurtenis afgeleid door hem te relateren aan gebeurtenissen die even waarschijnlijk zijn. Subjectieve interpretatie: Bij subjectieve interpretatie wordt met persoonlijke inschatting de waarschijnlijkheid bepaald.

A: de vraag naar cola is hoog (minstens 250) B: de vraag naar sinas is hoog (minstens 100) Q: Hoe groot is de kans dat de vraag naar cola of sinas hoog is? Hfdstk 1: Kansmaten Axioma’s

27 / 55

Hfdstk 1: Kansmaten Kansbepaling

28 / 55

Voorbeelden kansbepaling

Symmetrische kansruimte Definitie (Symmetrische kansruimte)

Kwaliteitsbeheersing in productielijn I De kans dat een product defect is, wordt bepaald op grond van defecten in de producten die reeds gemaakt zijn. Medische toepassing I Een kans wordt bepaald door gebruik te maken van de gegevens van veel patiënten.

We noemen een uitkomsten ruimte S symmetrisch als S eindig is: S = {s1 , . . . , sn }, Alle uitkomsten even waarschijnlijk zijn: 1 P(si ) = , voor i = 1, . . . , n. n

Een arts kan met behulp van zijn expertise een schatting van een kans bepalen Datamining I Een kans wordt bepaald door te tellen in de records van de database. I

I

P(A) =

Een domeinexpert kan een schatting bepalen.

Hfdstk 1: Kansmaten Kansbepaling

Als we k maal een keuze kunnen maken, en het aantal keuzemogelijkheden bij de j-de keuze is nj , dan is het totale aantal keuzemogelijkheden gelijk aan n1 n2 · · · nk .

S = {1, 2, 3, 4, 5, 6} P {1, 4, 5} = 36 = 12

Voorbeeld Menukaart met 4 voorgerechten, 5 hoofdgerechten en 3 toetjes geeft 4 · 5 · 3 = 60 mogelijkheden.

Voorbeeld 2: Worp met twee dobbelstenen (1, 3), (2, 3), (3,3), (4, 3), (5, 3), (6, 3),

P(som is gelijk aan 6) =

(1, 4), (2,4), (3, 4), (4, 4), (5, 4), (6, 4),



(1,5), (1, 6),  

(2, 5), (3, 5), (4, 5), (5, 5), (6, 5),

(2, 6), (3, 6), (4, 6), (5, 6), (6, 6)

    

Met behulp van de telregel kunnen we uitrekenen wat het aantal mogelijkheden is bij willekeurige (of aselecte) selectie van elementen uit een verzameling. We maken hierbij onderscheid in:

      

Selectie met of zonder teruglegging; Geordende of ongeordende selectie.

5 36

Hfdstk 1: Combinatoriek Symmetrische kansruimte

30 / 55

Telregel

Voorbeeld 1: Worp met e´ e´ n dobbelsteen

(1, 2), (2, 2), (3, 2), (4,2), (5, 2), (6, 2),

aantal elementen in A aantal elementen in S


29 / 55

Voorbeeld symmetrische kansruimte

 (1, 1),     (2, 1),    (3, 1), S= (4, 1),      (5,1),   (6, 1),

Gevolg: In een symmetrische kansruimte wordt de kans op gebeurtenis A gegeven door

31 / 55


32 / 55

Trekking met teruglegging, volgorde belangrijk Experiment e´ e´ n onderdeel, met n mogelijke uitkomsten,

Voorbeeld:

wordt k maal op dezelfde manier herhaald.

We hebben een vaas met n genummerde ballen. We trekken k maal aselect een bal en leggen deze daarna terug. Het aantal mogelijk uitkomsten, lettend op de volgorde, is nk .

Als de volgorde van belang is, is elke mogelijke uitkomst van het experiment te representeren als een rijtje symbolen van lengte k, waarin elke symbool n verschillende waarden kan aannemen. Volgens telregel: Het aantal mogelijke uitkomsten, als de volgorde van belang is, is gelijk aan n · n · · · n = nk .

Hfdstk 1: Combinatoriek Trekking met teruglegging, volgorde belangrijk

33 / 55

Hfdstk 1: Combinatoriek Trekking met teruglegging, volgorde belangrijk

34 / 55

Trekking zonder teruglegging, volgorde belangrijk Als we alle n ballen trekken zonder teruglegging, dan is het totale aantal mogelijke uitkomsten We hebben een vaas met n genummerde ballen en trekken hieruit 3 ballen zonder teruglegging. Volgens de telregel is het aantal mogelijke uitkomsten n · (n − 1) · (n − 2) Als we k ballen nemen zonder teruglegging is het aantal mogelijke uitkomsten dus n · (n − 1) · (n − 2) · · · · · (n − k + 1) We noemen dit het aantal variaties van k uit n en we noteren het als Pn,k .

Hfdstk 1: Combinatoriek Trekking zonder teruglegging, volgorde belangrijk

35 / 55

Pn,n = n · (n − 1) · (n − 2) · · · · · 2 · 1 Dit aantal noemen we ook wel het aantal permutaties van n, Notatie Pn,n = n! (dit is n faculteit of (Eng.) factorial). Voor wiskundige consistentie spreken we af dat 0! = 1. We kunnen het aantal variaties van k uit n ook uitschrijven met behulp van het aantal permutaties van k en van n: Pn,k = n · (n − 1) · · · (n − k + 1) =

n! (n − k)!

Hfdstk 1: Combinatoriek Trekking zonder teruglegging, volgorde belangrijk

36 / 55

Voorbeeld: volgorde belangrijk/onbelangrijk

Trekken zonder teruglegging, volgorde onbelangrijk

We hebben een vaas met 7 genummerde ballen en we nemen er, zonder teruglegging 3 uit. Het aantal mogelijkheden als de volgorde belangrijk is is P7,3 = 7 · 6 · 5 =

Als de volgorde belangrijk is, is het aantal mogelijke uitkomsten

7! = 210 4!

Pn,k =

Elke set van 3 ballen kunnen we op 3! manieren ordenen.

n! (n − k)!

Het aantal uitkomsten van trekking zonder teruglegging, waarbij de volgorde onbelangrijk is, is dus

Het aantal mogelijke uitkomsten als de volgorde onbelangrijk is is dus gelijk aan

Pn,k n · (n − 1) · · · (n − k + 1) n! = = k! k · (k − 1) · · · 1 (n − k)! k!

P7,3 7·6·5 7! = = = 35 3! 3·2·1 4! 3! Hfdstk 1: Combinatoriek Trekking zonder terruglegging, volgorde onbelangrijk

Stel we hebben een vaas met n genummerde ballen, waaruit we zonder teruglegging k, 0 ≤ k ≤ n, ballen wegnemen.

37 / 55

Hfdstk 1: Combinatoriek Trekking zonder terruglegging, volgorde onbelangrijk

38 / 55

Binomiaalcoëfficiënten

Definitie

Voorbeeld

We noemen dit aantal combinaties van k uit n de binomiaal coëfficiënt van k uit n (of soms ook wel “k uit n”, of “n over k”) en we schrijven dit als n k

Bij de lotto worden 6 getallen en een reservegetal uit 41 getallen getrokken.

Hfdstk 1: Combinatoriek Binomiaalcoëfficiënten

39 / 55

Vraag: Hoeveel verschillende uitslagen zijn er mogelijk?


40 / 55

Driehoek van Pascal Voor alle n en k, 0 ≤ k < n, geldt n n n+1 + = k k+1 k+1

Enkele bijzondere gevallen: Voor alle n en alle k, 0 ≤ k ≤ n, geldt:

Bewijs.

n n = k n−k n n = =1 n 0 n n = =n 1 n−1

n n n! n! + = + k k+1 (n − k)!k! (n − k − 1)!(k + 1)! =

n!(k + 1) n!(n − k) n!((k + 1) + (n − k)) + = (n − k)!(k + 1)! (n − k)!(k + 1)! (n − k)!(k + 1)!

n!(n + 1) = = (n + 1) − (k + 1) !(k + 1)!


4 0

3 0 ?

2 0

4 1

0 0 ?

42 / 55

1 ??

?

?

??

?

Driehoek van Pascal

1 0 ?

3 1

n+1 k+1


41 / 55

Driehoek van Pascal

2 1

1 1

??

??

??

4 2


3 2

2 2

??

??

4 3

3 3

??

4 4

1

43 / 55

1 ??? ?? ?? ? 2 1 ?? ?? ? ?? ? 3? 1? ??? ??? ? ?? ?? ?? ?

4

6

?? ?? ??

?? ?? ?? ??

1 ??

?? ?? ??

3? ??? ?? ??


1 ??

?? ?? ??

4

1 ??

?? ?? ??

1

44 / 55

Binomium van Newton

Andere eigenschappen van binomiaalcoëfficiënten

Voorbeeld: (a + b)4 = (a + b)(a + b)(a + b)(a + b) a4

a3

a2

b2

b3

n X n (−1)k = 0 k

b4

+4 b+6 +4a + 4 4 0 4 3 1 4 2 2 4 1 3 4 0 4 = a b + a b + a b + a b + a b 0 1 2 3 4 =

k=0

n X n k=0

k

= 2n

Algemeen (Binomium van Newton) n

(a + b) =

n X n k=0

k

an−k bk


45 / 55

Voorbeeld

46 / 55

Voorbeeld

Vaas met R rode knikkers en B blauwe knikkers. We trekken willekeurig k knikkers zonder teruglegging. Hoe groot is de kans op precies l rode knikkers? De kans op l rode knikkers gelijk is aan

Beschouw een groep van 20 studenten. Vraag: Op hoeveel manieren kunnen we die 20 studenten verdelen over 3 groepen met respectievelijk 5, 6, en 9 personen. 20 Aantal manieren voor selectie van 5 uit 20 studenten: 5 15 Aantal manieren voor selectie van 6 uit 15 studenten: 6 9 Aantal manieren voor selectie van 9 uit 9 studenten: 9 20 15 9 20! Het totale aantal is = 5! 6! 9! 5 6 9

aantal uitkomsten met l rode knikkers aantal mogelijke uitkomsten R+B Aantal mogelijke uitkomsten is k R B Aantal uitkomsten met l rode knikkers: . l k−l R B l k−l De kans is dus R+B k Hfdstk 1: Combinatoriek Binomiaalcoëfficiënten


47 / 55

Hfdstk 1: Combinatoriek Multinomiaalcoëfficiënten

48 / 55

Multinomiaal-coëfficiënten

Voorbeeld We nemen een vaas met 9 genummerde ballen

We hebben een verzameling van n elementen. We willen uitrekenen op hoeveel manieren we deze verzameling kunnen verdelen in k deelverzamelingen met respectievelijk n1 , n2 , . . . , nk elementen (waarbij we veronderstellen dat n1 + n2 + . . . + nk = n). Dit aantal is

n! n1 ! n2 ! · · · nk !

Een voorbeeld van een uitslag kunnen we turven: 1

2

3

4

5

6

7

8

9

Dit zijn Twee (links en rechts) afsluitende blauwe strepen ,

We noemen dit aantal een multinomiaal coëfficiënt en we noteren het als n n1 , n2 , . . . , nk Hfdstk 1: Combinatoriek Multinomiaalcoëfficiënten

We trekken hieruit aselect 20 keer een bal, met teruglegging, waarbij de volgorde onbelangrijk is.

49 / 55

Trekking met teruglegging, volgorde onbelangrijk

met hiertussen 8 blauwe strepen en 20 groene strepen .

28 Het aantal mogelijkheden voor zo’n rijtje is gelijk aan 8 Hfdstk 1: Combinatoriek Trekking met teruglegging, volgorde onbelangrijk

50 / 55

Experiment Vaas met 15 rode en 20 witte ballen. Trekken aselect per keer e´ e´ n bal, zonder teruglegging.

Algemeen

Vraag: Wat is de kans dat we alle rode ballen trekken, voordat we de eerste witte bal trekken?

We nemen een vaas met n genummerde ballen. Hieruit trekken we aselect k maal een bal, met teruglegging. De volgorde is hierbij niet belangrijk. Het aantal verschillende uitkomsten is n+k−1 k Dit heet het aantal herhalingscombinaties van k uit n.

Hfdstk 1: Combinatoriek Trekking met teruglegging, volgorde onbelangrijk

51 / 55

Hfdstk 1: Combinatoriek Voorbeelden

52 / 55

Experiment

Experiment

Vaas met 15 rode en 20 witte ballen.

Vaas met 15 rode, 10 blauwe en 20 witte ballen.

Trekken aselect per keer e´ e´ n bal, zonder teruglegging.

Trekken aselect per keer e´ e´ n bal, zonder teruglegging.

Vraag: Wat is de kans dat we alle rode ballen trekken, voordat we de tweede witte bal trekken?


53 / 55

Met de stof van Hoofdstuk 1 moet je kunnen:

Uit probleembeschrijving een uitkomstenruimte modelleren: I Elementaire uitkomsten I

Samengestelde gebeurtenissen

I

Kansen op gebeurtenissen

Met behulp van de kansaxioma’s voor complex samengestelde verzamelingen kansen kunnen berekenen. (Verzamelingenleer + kansaxioma’s) Kansen kunnen berekenen voor ’telproblemen’.

Hfdstk 1: Samenvatting

55 / 55

Vraag: Wat is de kans dat we alle rode ballen trekken, voordat we de tweede witte bal trekken?


54 / 55

Werkcollege. Huishoudelijke zaken. Voorbeeld 1: Data-analyse. Deel I. Inleiding. dr.ir. P.R. de Waal CGN, kamer A-358, tel

Recommend Documents