Uitwerkingen Werkcollege 3
WERKCOLLEGE 3 Rollende cilinder (tentamenopgave 27-11-2000) Een cilinder met binnenstraal ri en buitenstraal ro rolt met een constante snelheid v over een horizontaal oppervlak. De totale massa van de cilinder is mc. a) Laat zien dat het traagheidsmoment Ic van de cilinder gelijk is aan: Ic =
(
1 m c ro2 + ri2 2
)
b) Wat is de relatie tussen de translatiesnelheid v en de hoeksnelheid ω waarmee de cilinder om zijn eigen as roteert? c) Geef een uitdrukking voor de totale kinetische energie van de cilinder.
Op een gegeven moment bereikt de cilinder een helling en rolt naar boven (zie figuur). d) Wat is de maximale hoogte die de cilinder zal bereiken? Geef een uitdrukking voor deze hoogte als functie van de beginsnelheid v, de gravitatieversnelling g en de binnen- en buitenstralen ri en ro. (De invloed van wrijving is te verwaarlozen.).
1.H Satelliet met vliegwiel We beschouwen een satelliet waarbij een vliegwiel constructie wordt gebruikt voor uitrichting. Voor de eenvoud denken we de satelliet opgebouwd zoals weergegeven in onderstaande figuur.
Het geheel bestaat uit twee concentrische ringen waarbij de binnenste straal R1 heeft. De buitenste heeft een buitenstraal R2 en een binnenstraal die gelijk gesteld mag worden aan R1. De hoogte van
1
Inleiding Mechanica & Transductietechniek
beide ringen is h en de (massa) dichtheid ρ. De hoeksnelheid van de binnenste ring wordt aangegeven met ω1 en die van de buitenste met ω2. A
Geef een definitie van “massatraagheidsmoment” en bereken de massatraagheidsmomenten I1 en I2 voor de binnenste en buitenste ring respectievelijk. Druk de massatraagheidsmomenten uit mbv de massa’s m van de schijven.
B
Geeft een uitdrukking voor de afzonderlijke impulsmomenten L1 en L2 en het totale impulsmoment Ltot van het systeem (je mag hierbij gebruik maken van de symbolen I1 en I2 uit A zonder deze verder uit te schrijven).
Beide ringen zijn in eerste instantie in rust (ω1=ω2=0). Door middel van een motor kunnen de ringen t.o.v. elkaar een tangentiële kracht uitoefenen waardoor de rotatiesnelheden kunnen worden gevarieerd. C
Maak voor de situatie waarin de motor is ingeschakeld een tekening van de vector hoeksnelheden ω1 en ω2 , de impulsmomenten L1 en L2, en de krachtmomenten T1 en T2 die werken op schijf 1 en 2 respectievelijk. Geef duidelijk de richtingen aan en laat d.m.v. de grootte van de vectoren zien hoe de verschillende grootheden van schijf 1 zich verhouden tot die van schijf 2.
De motor wordt eventjes ingeschakeld. In de tijd dat de motor is ingeschakeld levert deze in totaal een arbeid A [J]. Daarna wordt de motor weer uitgezet. D
Geef een uitdrukking voor de totale kinetische energie van het systeem (na uitschakeling van de motor).
E
Bereken de rotatie snelheden van beide ringen na uitschakeling van de motor en druk deze uit in I1, I2 en A.
F
Geef aan of je denkt dat je antwoorden onder D en E correct zijn door de situatie te beschouwen waarin I1=I2.
1.E Een wagen met vliegwiel (tentamenopgave 4-1-1999) Een auto is uitgerust met een vliegwiel. De auto heeft 4 wielen, ieder met een massa mw. Er mag verondersteld worden dat alle massa van een wiel zich bevind op een afstand rw van de wielas. a) Wat is het massatraagheidsmoment Iw van één wiel? Het vliegwiel bestaat uit een massieve cilindervormige massa met buitenstraal rv, breedte b en met soortelijke massa ρ. b) Wat is de massa mv van het vliegwiel? c) Wat is het massatraagheidsmoment Iv van dit vliegwiel? Het vliegwiel draait onbelast rond met een initiele hoeksnelheid ωv,i. Nu wordt het via een overbrenging verbonden met de wielen zodanig dat de wielen c maal zo snel ronddraaien als het vliegwiel (dus voor de hoeksnelheden geldt ωw=cωv). De auto zal zich in beweging zetten en na zekere tijd met een constante snelheid va bewegen. U mag hierbij aannemen dat er geen verliezen zijn in de vorm van wrijving of anderszins. Het totale gewicht van de auto, inclusief de 4 wielen met ieder een massa mw en het vliegwiel met massa mv, is mt. d) Wat is in de nieuwe situatie de hoeksnelheid van het vliegwiel ωv?
2
Uitwerkingen Werkcollege 3
e) Wat is de snelheid va waarmee de auto zich voortbeweegt? (U mag hier de symbolen mv, Iw en Iv van de onderdelen a en b gebruiken zonder deze verder uit te schrijven).
1.F De intercity (tentamenopgave 21-8-1998) Een locomotief trekt 10 wagons, die een afzonderlijke massa van 10.000 kg hebben. De Coulombse wrijvingskracht Fc van de stalen wielen op de stalen rails is evenredig met de normaalkracht Fn. Fc=µFn, waarbij µ=0,90 voor staal op staal. Als de Coulombse wrijvingskracht overschreden wordt, zullen de wielen van de locomotief gaan slippen. De machinist wil de trein vanuit stilstand met een versnelling a = 1,0 m/s2 laten vertrekken. De gravitatieversnelling g bedraagt 9,8 m/s2. Het gewicht van de locomotief is gelijkelijk over zijn wielen verdeeld. a)
Hoe zwaar moet de locomotief zijn zodat de wielen juist niet slippen bij deze versnelling?
Zodra de trein een bepaalde snelheid v heeft bereikt, zullen er twee tegenwerkende krachten optreden: Fk=αv Fl=βv2 waarbij Fk de wrijvingskracht in de kogellagers is en Fl de kracht t.g.v. luchtwrijving. Voor deze trein geldt: α=90 β=50 Bij een bepaalde snelheid zijn de tegenwerkende krachten zo groot geworden, dat de trein niet meer kan versnellen zonder te slippen. b)
Bereken deze snelheid.
In de praktijk zal deze snelheid niet bereikt worden, omdat het motorvermogen van de locomotief ontoereikend is. c)
Leid m.b.v. de wet van de arbeid en het tweede axioma van Newton een algemene vergelijking af voor het geleverde motorvermogen P als functie van de snelheid v en de versnelling a.
Het blijkt dat de trein niet sneller kan dan 40 m/s. d)
Wat is het maximale motorvermogen?
De trein rijdt een heuvel op met een hellingshoek van 5o. e)
Welke snelheid kan de trein maximaal bereiken? Hint: Bereken eerst bij welke snelheid de wielen gaan slippen en bereken vervolgens of de motor genoeg vermogen heeft om deze snelheid te bereiken. Hoeveel procent van het geleverde vermogen wordt omgezet in potentiele energie?
In de locomotief is een vliegwiel gemonteerd, zodat de kinetische energie van de trein kan worden opgeslagen in rotatie-energie van het vliegwiel. Het vliegwiel heeft de vorm van een fietswiel, waarbij al zijn massa in de buitenste rand geconcentreerd zit. Alle massa roteert daarom met een straal R = 2,0 m om de rotatie-as. De massa m bedraagt 500 kg. De trein vertraagt van 40 m/s tot 0,0 m/s en draagt daarbij al zijn kinetische energie over aan het vliegwiel. (De wrijvingskrachten worden dus verwaarloosd).
3
Inleiding Mechanica & Transductietechniek
f)
Bereken m.b.v. het traagheidsmoment van het vliegwiel hoeveel omwentelingen het per seconde maakt als de trein tot stilstand is gekomen.
UITWERKINGEN 3 Rollende cilinder (tentamenopgave 27-11-2000) a) Laat zien dat het traagheidsmoment Ic van de cilinder gelijk is aan: Ic =
r4 − r4 1 m c o2 i2 2 ro − ri
Het traagheidsmoment is gedefinieerd door:
∫
I c = ρr 2 dV (zie dictaat blz. 27, vergelijking 1.77)
met ρ de dichtheid van het materiaal. In ons geval is ρ niet afhankelijk van de plaats. Uitwerken van de integraal geeft: r = ro θ = 2π
∫
2
I c = ρr dV = ρb
r = ro
1
∫ ∫ r rdθdr = 2πρb ∫ r dr = 2 πρbr 2
3
r = ri θ = 0
r = ri
4
r = ro r = ri
=
(
1 πρb ro4 − ri4 2
)
Dit is nog niet het gevraagde resultaat: we moeten ρ nog uitdrukken in de massa mc: r = ro θ = 2π
∫
m c = ρdV = ρb
r = ro
∫ ∫ rdθdr = 2πρb ∫ rdr = πρbr
r = ri θ = 0
2
r = ri
r = ro r = ri
(
= πρb ro2 − ri2
)
Oftwel: ρ=
(
mc
πb ro2 − ri2
)
Invullen in de uitdrukking voor Ic geeft: Ic =
(
r4 − r4 1 1 m c o2 i2 = m c ro2 + ri2 2 2 ro − ri
)
b) Wat is de relatie tussen de translatiesnelheid v en de hoeksnelheid ω waarmee de cilinder om zijn eigen as roteert? Bij iedere omwenteling van de cilinder wordt een afstand gelijk aan de omtrek afgelegd. Een omwenteling komt overeen met een hoekverandering 2π. De omtrek van de cilinder is 2πro. Een hoeksnelheid ω geeft dus een translatiesnelheid v die ro keer zo groot is, oftwel: v = ro ω
4
Uitwerkingen Werkcollege 3
Of, als we v, ro en ω als vectoren schrijven (zie ook blz. 24 van het dictaat): v = ω × ro
c) Geef een uitdrukking voor de totale kinetische energie van de cilinder. We kunnen 2 vormen van kinetische energie onderscheiden, nl de energie in de rotatiebeweging en de energie in de translatiebeweging. De totale kinetische energie is: E kin, totaal = E kin, trans + E kin, rot =
1 1 mc v 2 + Icω2 2 2
Met de bij B gevonden relatie tussen v en w kunnen we dit verder uitwerken tot: E kin,totaal =
(
1 ro2 + ri2 1 1 1 m c v 2 + I c ω 2 = m c v 2 1 + 2 2 2 2 ro2
)
d) Wat is de maximale hoogte die de cilinder zal bereiken? Geef een uitdrukking voor deze hoogte als functie van de beginsnelheid v, de gravitatieversnelling g en de binnen- en buitenstralen ri en ro. (De invloed wrijving is te verwaarlozen.) De maximale hoogte is bereikt als alle kinetische energie is omgezet in potentiele energie. We noemen de hoogte ten opzichte van het horizontale oppervlak h. De toename van de potentiele energie is gegeven door: E pot = m c gh
De maximale hoogte hmax volgt nu uit: m c gh max =
(
1 ro2 + ri2 1 m c v 2 1 + 2 2 ro2
)
Oftwel: h max =
(
1 v 2 1 ro2 + ri2 1+ 2 g 2 ro2
)
1.H Satelliet met vliegwiel A
Geef een definitie van massatraagheidsmoment en bereken de massatraagheidsmomenten I1 en I2 voor de binnenste en buitenste ring respectievelijk. Druk de massatraagheidsmomenten uit in de massa’s m van de schijven.
Het massatraagheidsmoment is als volgt gedefinieerd (zie ook blz. 27 van het diktaat):
∫
I = ρr 2 dV
Voor de ringen vinden we nu:
5
Inleiding Mechanica & Transductietechniek
r = R o θ=2π
∫ ∫
I1,2 = ρh
r =R o
r 2 rdθdr = 2πρh
r = R i θ =0
1
∫ r dr = 2 πρhr 3
r =R i
4
r =R o r =R i
=
(
)
(
)(
1 1 πρh R 4o − R i4 = πρh R 02 − R i2 R 02 + R i2 2 2
)
waarbij ri en ro de binnen (inner) en buiten (outer) straal zijn. Aangezien de massa van de schijven wordt gegeven door: r = R o θ=2π
∫
r =R o
∫ ∫ rdθdr = 2πρh ∫ rdr = πρhr
m1,2 = ρdV = ρh
r = R i θ =0
r =R i
2
r =R o r =R i
(
= πρh R 2o − R i2
)
kan het massatraagheidsmoment voor beide schijven worden geschreven als: I1,2 =
(
1 m1,2 R 2o + R i2 2
)
Hiermee vinden we:
B
I1 =
1 mR 12 2
I2 =
1 m R 12 + R 22 2
(
)
Geeft een uitdrukking voor de afzonderlijke impulsmomenten L1 en L2 en het totale impulsmoment Ltot van het systeem (je mag hierbij gebruik maken van de symbolen I1 en I2 uit A zonder deze verder uit te schrijven).
Het impulsmoment van het gehele systeem is de som van de afzonderlijke impulsmomenten. Deze zijn gedefinieerd als: L = ωI
Hiermee wordt het totale impulsmoment: L tot =
∑ω I
i i
= ω1I1 + ω 2 I 2
i
C
Maak voor de situatie waarin de motor is ingeschakeld een tekening van de vector hoeksnelheden ω1 en ω2 , de impulsmomenten L1 en L2, en de krachtmomenten T1 en T2 die werken op schijf 1 en 2 respectievelijk. Geef duidelijk de richtingen aan en laat d.m.v. de grootte van de vectoren zien hoe de verschillende grootheden van schijf 1 zich verhouden tot die van schijf 2.
6
Uitwerkingen Werkcollege 3
Bij deze tekening moet er goed opgelet worden dat alle grootheden voor schijf 1 tegengesteld gericht zijn aan die voor schijf 2. Immers T12=-T21 en (daardoor) ook L1=-L2. Echter, ω1 en ω2 zijn wel tegengesteld gericht maar niet even groot aangezien de massatraagheidsmomenten I1 en I2 verschillend zijn (zie ook hieronder) D
Geef een uitdrukking voor de totale kinetische energie van het systeem na uitschakeling van de motor.
De totale energie van het systeem is de som van kinetische energien van de beide schijven. Oftewel E tot =
∑E i
E
i
=
1 2 1 ω1 I1 + ω 22 I 2 2 2
Bereken de rotatie snelheden van beide ringen na uitschakeling van de motor en druk deze uit in I1, I2 en A.
Om deze snelheden uit te rekenen hebben we twee vergelijkingen. Enerzijds weten we de totale kinetische energie van de twee draaiende schijven: E tot =
1 2 1 ω1 I1 + ω 22 I 2 = A 2 2
Anderzijds weten we dat er slechts interne krachten op de schijven hebben gewerkt. Dit betekent dat het totale impulsmoment nadat de motor in geschakeld is geweest gelijk moet zijn aan het totale impulsmoment voordat de motor heeft gedraaid. Aangezien beide rotatiesnelheden 0 waren voordat de motor werd ingeschakeld geldt: L tot = ω1 I1 + ω2 I 2 = 0
Omdat Ltot, ω1 en ω2 dezelfde richting hebben kunnen we voor de grootte van de snelheden schrijven:
ω1 I1 + ω 2 I 2 = 0 1 ⇒ 1 ω12 I1 + ω 22 I 2 = A 2 2
I1 ω 2 = −ω1 I 2 ⇒ I 1 2 1 2 ω1 I I1 + I 2 = A 2
[
]
7
2 A I1 ω 2 = − I1 + I 2 I 2 2A I 2 ω1 = I + I I 2 1 1
[
[
]
]
Inleiding Mechanica & Transductietechniek
F
Geef aan of je denkt dat je antwoorden onder D en E correct zijn door de situatie te beschouwen waarin I1=I2.
Wat we verwachten bij gelijke massatraagheidsmomenten (dus niet gelijke massa’s) is dat alle energie die in de draaiing is gestop gelijkelijk wordt verdeeld over beide schijven en dat ook hun rotatiesnelheden even groot, maar wel tegengesteld gericht zijn (zodat het totale impulsmoment 0 blijft). Invullen van I1=I2=I in bovenstaande vergelijkingen resulteert in : A ω 2 = ± I A ω 1 = m I
Hiermee wordt het impulsmoment en de kinetische energie van de schijven: L1 = ± AI L 2 = m AI
en
1 A 2 1 E2 = A 2
E1 =
hetgeen is wat we verwachten op basis van de symmetrie van het probleem.
Opdracht 1.E. (paragraaf 1.8) Een wagen met vliegwiel a) Wat is het massatraagheidsmoment Iw van een wiel? Het massatraagheidsmoment voor discreet (gedachte) (punt) massa’s wordt gegeven door: I=
∑ mi ri 2 i
In dit geval kunnen we de hele massa gedacht zien als een punt dat zich bevindt op een afstand rw van de as van het wiel. Hiermee wordt het massatraagheidsmoment dus: I w = mw rw 2
b) Wat is de massa mv van het vliegwiel? De massa van het vliegwiel vinden we door de soortelijke massa te integreren over het volume waarin de massa zich bevindt. Bij homogene soortelijke massa wordt dit:
∫
mv = ρ (r ) ⋅ dV = V
b 2π rv
rv
1
∫ ∫ ∫ ρ(r) ⋅ rdϕ ⋅ dr ⋅ dx = 2πbρ ∫ rdr = 2πbρ 2 r 2 0 0 0 0
rv
= πbρrv 2
0
c) Wat is het massatraagheidsmoment Iv van dit vliegwiel? Het massatraagheidsmoment voor een continue massaverdeling wordt gegeven door:
∫
I v = ρ ( r ) r 2 dV V
waarbij geintegreerd moet worden over het hele volume V waarin zich de roterende massa bevindt. 8
Uitwerkingen Werkcollege 3
b 2π rv
Iv =
∫ ∫∫
rv
1 4
∫
ρ (r )r 2 ⋅ rdϕ ⋅ dr ⋅ dx = 2πbρ r 3dr = 2πbρ r 4
0 0 0
0
rv 0
=
1 1 bρπrv 4 = mv rv 2 2 2
In vergelijking met een vliegwiel van een holle cylinder met zeer dunne wand zien we dus dat het massatraagheidsmoment een factor 2 kleiner is bij gelijke massa. d) Wat is in de nieuwe situatie de hoeksnelheid van het vliegwiel ωv? In de situaties voor en na het aankoppelen van het vliegwiel aan de wielen moet de totale energie gelijk zijn aangezien er mag worden aangenomen dat er geen verliezen zijn. Nu bestaat voor aankoppelen de energie alleen maar uit de kinetische (rotatie) energie van het vliegwiel: E = E rot =
1 I ω2 2 v v ,i
Na aankoppeling is de totale energie gelijk aan de som van de rotatieenergie van het vliegwiel, de rotatieenergie van de 4 wielen, plus de kinetische energie van de totale massa van de auto: E = E rot ,v + E rot , w + E kin ,a =
1 1 1 I ω 2 + 2 I wω w2 + ma va2 = I vω v2,i 2 v v 2 2
Om hieruit de hoeksnelheid van het vliegwiel te halen is het noodzakelijk ww en va uit te drukken in wv. Hierbij maken we gebruik van ωv=cωv en va=rwωw=crwωv. Dit invullen levert:
( )2 + 21 ma (crwω v )2 = 21 ω v2 ( I v + 4 I w c2 + ma (crw )2 )
1 1 I v ω v2,i = I v ω v2 + 2 I w cω v 2 2
waaruit eenvoudig volgt: ω v = ω v ,i
Iv
( )2
I v + 4 I w c 2 + ma crw
e) Wat is de snelheid va waarmee de auto zich voortbeweegt? Met ωv bekend uit onderdeel d en de relatie va=crwωv wordt de snelheid: va = crwω v ,i
Iv
( )2
I v + 4 I w c 2 + ma crw
1.F De intercity (tentamenopgave 21-8-1998) a) Hoe zwaar moet de locomotief zijn zodat de wielen juist niet slippen bij deze versnelling? Op het moment van juist-niet-slippen is de Coulombse wrijvingskracht van de locomotief (Fc) juist gelijk aan (beter: tegengesteld, aktie is -reaktie; ik heb het verder over kracht-moduli) de totale massatraagheidskracht: die van de locomotief plus de 10 wagons. Fc = µ ⋅ Fn = µ ⋅ g ⋅ m loc Ftraag = a ⋅ m totaal = a ⋅ ( m loc + 10 * m wagon ) = a ⋅
Fn + a ⋅ 10 ⋅ 10 4 g
9
Inleiding Mechanica & Transductietechniek
Uit gelijkstelling van Fc en Ftraag kunnen we Fn oplossen: µ ⋅ Fn = a ⋅
Fn a a ⋅ 105 + a ⋅ 10 ⋅ 104 ⇒ Fn µ − = a ⋅ 105 ⇒ Fn = g g a µ − g
als we a, g en µ invullen vinden we de massa van de locomotief: m loc =
Fn a ⋅ 105 = = 1.28 ⋅ 10 4 g gµ − a kg.
b) Bereken deze snelheid. De (modulus van) maximale trekkracht die de locomotief kan leveren is dan gelijk aan de (modulus van de) tegenwerkende krachten. µFn = Fk + Fl
Als we Fk en Fl invullen vinden we een kwadratische vergelijking in v: µ ⋅ Fn = α ⋅ v + β⋅ v 2 ⇒
Oplossingen zijn: v1,2 =
v1, 2
β⋅ v 2 + α ⋅ v − µ ⋅ Fn = 0
− α ± α2 + 4βµFn 2β
met α = 90,β = 50,µ = 0.9,Fn = 1.25 ⋅ 10 5 :
− 90 ± 8,1 ⋅ 10 3 + 2.25 ⋅ 10 7 = = −0.9 ± 47.5 = 46.6 m/s. 100
c) Leid m.b.v. de wet van de arbeid en het tweede axioma van Newton een algemene vergelijking af voor het geleverde motorvermogen P als functie van de snelheid v en de versnelling a. De trekkracht van de locomotief is gelijk aan de som van de wrijvingskrachten en de traagheidskrachten.
(
)
Ftotaal = Fl + Fk + Ftraag = α ⋅ v + β ⋅ v 2 + m loc + 105 ⋅ a
P is de arbeid per seconde van de locomotief. Arbeid is kracht maal weg. Dus P is F maal v.
(
)
Ptot = Ftotaal ⋅ v = α ⋅ v 2 + β ⋅ v 3 + m loc + 105 ⋅ a ⋅ v
d) Wat is het maximale motorvermogen? Invullen van een snelheid v=40 m/s en versnelling a=0 geeft: P = 90 ⋅ 40 2 + 50 ⋅ 40 3 = 3.34 ⋅ 10 6 Watt e) Welke snelheid kan de trein maximaal bereiken? Hint: Bereken eerst bij welke snelheid de wielen gaan slippen en bereken vervolgens of de motor genoeg vermogen heeft om deze snelheid te bereiken. Hoeveel procent van het geleverde vermogen wordt omgezet in potentiele energie? Bij het beklimmen van een heuvel van 5° zijn er twee verschillende zaken die gaanveranderen: ⇒ naast de wrijvingskracht werkt er een extra tegenkracht op de locomotief als gevolg van het gewicht van de locomotief en de treinstellen (bij v=constant zijn traagheidskrachten steeds 0). Zie ook vraag B. 10
Uitwerkingen Werkcollege 3
Fn helling = Fz ⋅ cos5o = m loc ⋅ g ⋅ cos5o
⇒
Daarnaast is de normaalkracht van de locomotief (Fn) nu ook kleiner. Fextra = m totaal ⋅ g ⋅ sin5o
(orde van grootte: cos 5 = 0.996 en sin 5 = 0.087). Deze twee extra gevens meenemen geeft: µFn ⋅ cos 5o = Fk + Fl + m tot ⋅ g ⋅ sin 5o
Invullen van sinus en cosinus geeft: β⋅ v 2 + α ⋅ v + m tot ⋅ g ⋅ 0.087 − µ ⋅ g ⋅ m loc ⋅ 0.996 = 0
Oplossingen zijn: v1,2 =
− α ± α 2 − 4βg ⋅ ( m tot ⋅ 0.087 −µ⋅ m loc ⋅ 0.996) 2β
met
α = 90,β = 50,µ = 0.9,Fn = 1.25 ⋅ 105 ,g = 9.8,m loc = 1.28 ⋅ 10 4 , m tot = 1.128 ⋅ 105
v1,2 =
− 90 ± 8,1 ⋅ 103 − 4 ⋅ 50 ⋅ 9.8 ⋅(9.81 ⋅ 103 − 1.147 ⋅ 10 4 ) − 90 ± 3.26 ⋅ 106 = = −0.9 ± 18 m/s. 100 100
Alleen 18-0.9=17.1 m/s is een fysische relevante oplossing. f) Bereken m.b.v. het traagheidsmoment van het vliegwiel hoeveel omwentelingen het per seconde maakt als de trein tot stilstand is gekomen. 1 m tot ⋅ v 2 met mtot de totale massa van de trein (1,1*105 kg) 2 Vliegwiel: R=2,0 m. Massatraagheidsmoment van het vliegwiel: I = m ⋅ R 2 = 2000 . Kinetische energie 1 van rotatiebeweging: Tr = I ⋅ ω2 . Beide kinetische energieën zijn aan elkaar gelijk. Hieruit kunnen we 2
Totale kinetische energie van trein is Tt =
een vergelijking voor ω afleiden.
1 1 m ⋅ v2 m ⋅ v 2 = I ⋅ ω2 ⇒ω2 = 2 2 I
ω=
Het aantal omwentelingen is dan: n = 47 per seconde.
11
1.1 ⋅ 105 ⋅ 402 = 297rad/s 2000
