WERKBOEK REKENVAARDIGHEID
Voeding en Diëtetiek
11
INHOUDSOPGAVE
ACHTERGROND
3
1. Elementaire bewerkingen
4
2. Voorrangsregels (bewerkingsvolgorde)
8
3. Bewerkingen met machten
11
4. Rekenen met breuken
13
5. Breuken optellen/aftrekken
15
6. Breuken vermenigvuldigen en delen
16
7. Werken met percentages
18
8. Wortels uit breuken
20
9. Wortels onderling vermenigvuldigen / delen
22
10. Negatieve machten en gebroken machten
24
11. Vergelijkingen oplossen
27
12. (Eenvoudige) vergelijkingen met twee onbekenden
31
13. 'Bijzondere' notaties
33
14. Logaritmen
34
15. Formules invullen
38
16. Grafieken en functies
39
2
ACHTERGROND Bij diverse vakken in je studie komt er het nodige rekenwerk kijken: onder andere bij scheikunde (chemie), bij 'methoden en technieken van onderzoek' (waaronder statistiek) en bij diverse voedings- en dieetleeronderdelen. Om die vakken goed te kunnen begrijpen, is dus enige rekenvaardigheid nodig. Dat is de reden dat tijdens de decentrale selectie ook een rekentoets is opgenomen. Om je goed op de decentrale selectie (en dus de opleiding) te kunnen voorbereiden, is er dit werkboek. De categorieën zijn: A. Basisbewerkingen, voorrangsregels, percentages, notaties B. Breuken C. Wortels D. Gewone, negatieve en gebroken machten E. Vergelijkingen (met een of twee onbekenden) F. Logaritmen en grafieken G. Opgaven met behulp van een rekenmachine Inhoud/onderdelen Het werkboekgedeelte is naar onderwerp onderverdeeld in de volgende paragrafen: 1. Elementaire bewerkingen 2. Voorrangsregels 3. Machten vermenigvuldigen/delen 4. Rekenen met breuken 5. Breuken optellen/aftrekken 6. Breuken vermenigvuldigen en delen 7. Percentages 8. Wortels uit breuken 9. Wortels vermenigvuldigen 10. Negatieve machten en gebroken machten 11. Vergelijkingen oplossen 12. (Eenvoudige) vergelijkingen met twee onbekenden 13. Notaties 14. Logaritmen 15. Formules invullen 16. Grafieken en functies
3
1. ELEMENTAIRE BEWERKINGEN
1.2 Soorten getallen Positieve getallen Negatieve getallen Gehele getallen Natuurlijke getallen Rationele getallen Irrationele getallen 1.3 Bewerkingen met getallen A) Optellen en aftrekken Bewerking
Symbolen
Voorbeelden
Naam
Optellen
+
3+2
Som
Aftrekken
-
3-2
Verschil
Optellen en aftrekken zijn gelijksoortige bewerkingen: Aftrekken is optellen van een negatief getal: 12 - 8 = 12 + -8; 20 + 10 = 30 en 30 - 10 = 20
B) Vermenigvuldigen en delen Bewerking
Symbolen
Voorbeelden
Naam
Vermenigvuldigen
x en ⋅ en niets
3x2 3⋅2 3p ab maar let op: 3½ is niet 3⋅½ maar 3+½
Produkt
Delen
: en / en -
10:5 10/5
Quotiënt
9 3
Vermenigvuldigen en delen zijn gelijksoortige bewerkingen: Delen is vermenigvuldigen met een breuk: 8 1 - = - x 8; 2 2
5x4 = 20 en 20/5 = 4
4
Tekens bij vermenigvuldigen/delen: + x + = + dus ook: + / + = + - x - = + dus ook: - / - = + + x - = - dus ook: + / - = - x + = - dus ook: - / + = -
C) Machtsverheffen, worteltrekken en logaritme bepalen Bewerking
Symbolen
Voorbeelden
Naam
Machtsverheffen
'verhoging'
5²
23
a²
Macht
Worteltrekken
√
√4
√100 √8
Wortel
Logaritmen
log
²log4 10log100 log1
Logaritme
Machtsverheffen, Worteltrekken en Logaritmen zijn gelijksoortige bewerkingen: 42 = 16; √16 = 4 23 = 8;
3
8 =2
Wanneer er geen macht in de 'opening' van het wortelteken staat, gaat het om de tweedemachtswortel, ofwel de vierkantswortel ofwel gewoon de wortel. Afspraak:
De vierkanstwortel uit een getal is altijd een positief getal. Dus: √16 = 4 (en niet -4).
D) Aandachtspunten bij het gebruik van een rekenapparaat: - machtsverheffen - worteltrekken: eerst getal, dan wortelteken
E) Getallen voorstellen door letters -a x -a = a²;
a x -b = -ab;
5
Opgaven zonder rekenmachine 1
30 x ½
2
30/2
3
15 x -3
4
-½ x 18
5
33
6
(-2)3
7
√100
8 9
10
3
27
-44 22 3
-27
11
-80 -10
12
8 - 20
13
-3 + 14
14
(-3) x (-4)
15
9²
16
√9
17
√81
18
√(8,13)²
19
24
20
18/1
21
1²
22
140
23
03
24
0a
25
13
6
Opgaven met rekenmachine
26
√456
27
√34,56
28
2,4569
29
√23425,835
30
66,876²
31
(-65)3
32
4√9
33
34 x -78 / 45
7
2. VOORRANGSREGELS (BEWERKINGSVOLGORDE)
Probleem: hoe ga je om met: 8x4-√36+64/32-98/72+7x42
2.1 'Mijnheer van Dalen' Voorheen werd ‘Mijnheer van Dalen’ vaak gebruikt als ezelsbruggetje voor de voorrangsregels. Dit ezelsbruggetje klopt echter niet helemaal meer. Voor de prioriteiten zijn tegenwoordig de volgende afspraken gemaakt;
Merk op: 6+4-2+3 is niet 10-5=5 maar 11! 6x4/2x3 is striktgenomen 24/6 = 4. Dit geeft echter nogal gemakkelijk verwarring, omdat delen en vermenigvuldigen min of meer gelijkwaardig zijn. Dan bewerkt men stapsgewijs: 6x4/2x3 = 24/2x3 = 12x3 = 36 (zo doen ook computers dat!). Daarom is het verstandig in zulke gevallen duidelijkheid te geven door andere middelen (zie 2.2 en 2.3).
2.2 Haakjes en dergelijke Haakjes doorbreken de prioriteit afspraken. Wat tussen haakjes staat wordt eerst uitgewerkt. Dus: 5x9-4 = 45-4 = 41, maar 5x(9-4) = 5x5 = 25. √9+16 = 3+16 = 19, maar √(9+16) = √25 = 5. Voor ingewikkelder voorrangsproblemen gebruikt men wel accolades ({}) en/of 'vierkante haken' ([]) en/of vaker een haakje. In het algemeen geldt: van binnen naar buiten uitwerken. √{(17+8)x(5-1)+800} = √(25x4+800) = √900 = 30 √((17+8)x(5-1)+800) = √(25x4+800) = √900 = 30 √[300+{(3+2)x(3-1)}²] = √{300+(5x2)²} = √(300+10²) = √400 = 20
8
2.3 Grafische middelen De voorrang kan ook worden aangegeven met grafische middelen. De omvang van deelstrepen, haken, worteltekens, de 'stok' van worteltekens, en soms ook van cijfers en letters, dwingen je dan tot een bepaalde volgorde.
Voorbeelden: 8+8 = √16 = 4 34/17 x 16/8 = 2 x 2 = 4 8+18 = 26 = 2 6+7 13 ½/¼ = 2; ½ : ¼ = ½ x 4 = 2
2.4 Aandachtspunten bij het gebruik van een rekenapparaat -
haakjes, accolades e.d. van binnen naar buiten werken tussenresultaten in het geheugen zetten tussenresultaten opschrijven en later opnieuw intikken (maar dan zoveel mogelijk met oorspronkelijke getallen)
9
Opgaven zonder rekenmachine 1
-(16+8)
2
-4²
3
(-8)²
4
3²√4
5
-3½x2²
6
(√16-2)²
7
√(6²+8²)
8
√25-9
9
8/(1/2)
10
√25⋅4
11
√(-4)²
12
½x8²+(2-6)² (6x8)x(5-4)
13
{(12-9)x2}² (2+8) 5
14
√[300+{(3+2)x(3-1)}²]
10
3. BEWERKINGEN MET MACHTEN
3.1 Machten met een gelijk grondtal vermenigvuldigen/delen Achtergrondsvoorbeeld: 23 x 24 = (2x2x2)x(2x2x2x2) = 2x2x2x2x2x2x2 = 27. REGEL:
Om machten met een gelijk grondtal te vermenigvuldigen, neem je hetzelfde grondtal, maar tel je de exponenten bij elkaar op.
Achtergrondsvoorbeeld (bedenk dat delen en vermenigvuldigen elkaars omgekeerde zijn): 25 2x2x2x2x2 ── = ───────── = 2x2 = 22 23 2x2x2 REGEL:
Om machten met een gelijk grondtal te delen, neem je hetzelfde grondtal, maar trek je de exponenten van elkaar af.
3.2 Machten van machten Achtergrondsvoorbeeld: machten van machten (23)² = 23⋅23 = 26 De exponenten worden kennelijk met elkaar vermenigvuldigd. Voorbeelden: (3²)² = 34 = 81 (a4)² = a8
3.3 Machten van producten Achtergrondsvoorbeeld: (3a)² = 3a⋅3a = 3⋅3⋅a⋅a = 3²a² = 9a² Zo is ook (ab)² = a²b² etc. REGEL:
Een macht van een product P is gelijk aan het product van de machten van elk lid van P.
11
Opgaven zonder rekenmachine
Bereken of vereenvoudig: 1
23 x 26 = 2?
2
107 x 107 = 10?
3
2,53 x 2,53 = 2,5?
4
23 x 26 x 24 = 2?
5
29 : 25
6
85 : 83
7
33 x 36 : 37
8
a2a3
9
b3 x b6
10
b9 : b4
11
b3 x b9 : b4
12
b2a x b4a
13
8b2a x 2b4a
14
(2²)3
15
(3a)3
12
4. REKENEN MET BREUKEN
teller Breuk: ────── of: teller/noemer noemer
REGEL:
Je mag de teller en de noemer van een breuk met een gelijk getal vermenigvuldigen of delen.
VOORBEELDEN: 5 - = 6
10 ── 15
1,2 ─── 1,8
5x2 ────6x2
10 = ── 12
10/5 ──── 15/5
=
12 = ── 18
=
2 = 3
2 3
De twee laatste voorbeelden tonen vereenvoudiging van breuken. Je moet breuken normaal gesproken zover mogelijk vereenvoudigen. Uit deze regels komt ook het zogeheten 'wegstrepen' van gelijke elementen uit de teller en de noemer. Voorbeelden: 8x9x4x5 ─────── 5 x 8 x 7 x 11 In deze deling zitten 5 en 8 in zowel teller als noemer. Deze worden dus tegen elkaar weggestreept: 8\ x 9 x 4 x 5/ 9x4 36 ───────── = ───── = ── 5/ x 8\ x 7 x 11 7 x 11 77 Iets soortgelijks vindt plaats in de volgende situatie, waarin 24 (in teller) en 36 (in noemer) beide deelbaar zijn door 12, wat vereenvoudiging mogelijk maakt. 13
24 x 5 ──── = 7 x 36 3
2x5 10 ─── = 7x3 21
Opgaven zonder rekenmachine
Vereenvoudig: 1
12/48
2
25/125
3
100/8
4
3/½
5
2,5/7,5
6
4x7 42
7
18 x 5 25 x 27
8
¼/½
9
81x76x24x105 35x9x38x72
10
5a²bc 15ac
11
c 1/c
14
5. BREUKEN OPTELLEN/AFTREKKEN Je telt breuken op of trekt ze af door het gelijkmaken van de noemers. Dit 'gelijknamig maken' gebeurt met de regel uit de voorgaande paragraaf. Voorbeelden: 1/2 + 1/4 = 2/4 + 1/4 = 3/4 1/3 + 1/4 = 4/12 + 3/12 = 7/12 2 + 4/5 = 10/5 + 4/5 = 14/5 1½ - 2/3 = 3/2 - 2/3 = 9/6 - 4/6 = 5/6 a/b + a/2b = 2a/2b + a/2b = 3a/2b Opgaven zonder rekenmachine 1
1/3 + 1/4
2
2/5 + 1/2
3
4/5 + 3/6
4
1/8 + 1/4 + 5
5
1¼ - 5/8
6
1/7 - 1/8
7
21/8 + 5/3
8
1/200 + 1/300
9
1/400 - 1/500
10
1/a + 6/a
11
8/g - 6/g
12
16/(3b) + 7/b
13
12/(7a) + 8a/(14a²)
14
16/(3b) - 5/b
15
2a/3 + 3a/5
16
y/4 - y/6 15
6. BREUKEN VERMENIGVULDIGEN EN DELEN REGEL:
Om breuken met elkaar te vermenigvuldigen, moet je de tellers met elkaar vermenigvuldigen tot een nieuwe teller, en de noemers met elkaar vermenigvuldigen tot een nieuwe noemer.
Voorbeelden: 1 1 1x1 1 ─ x ─ = ─── = ── [korter: 1/3 x 1/4 = (1x1)/(3x4) = 1/12] 3 4 3x4 12 Net zo is: 2/3 x 2/5 = 4/15 2/5 x 15/4 = 30/20 (vereenvoudigen:) = 3/2 = 1½ Hetzelfde geldt in principe voor delen. Dus: 6 3 6:3 2 ── : ─ = ──── = ── 25 5 25:5 5
[korter: 6/25 : 3/5 = (6:3)/(25:5) = 2/5]
MAAR: delen en vermenigvuldigen zijn elkaars omgekeerde. Het is gemakkelijker te werken met de volgende regel: REGEL:
Delen door een breuk is vermenigvuldigen met het omgekeerde van die breuk.
Uitgaande van het laatste voorbeeld: 6 3 6 5 30 2 ── : ─ = ── x ─ = ── = ─ 25 5 25 3 75 5 Andere voorbeelden: 8 ─── = 8 x (2/1) = 8 x 2 = 16 1/2 1/5 ─── = 1/5 x 3/2 = 3/10 2/3 6/5 ──── = 6/5 x 10/4 = 60/20 = 3 4/10
16
a/b ac ──── = a/b x c/2b = ──── 2b/c 2b²
Opgaven zonder rekenmachine
1
2x4 3 5
2
1/3 x 1/4
3
3/2 x 5/4
4
14/3 x 15/7
5
8(1/4)2(1/2)3
6
1:3 3 2
7
3 : 2/3
8
5 1/2
9
1/6 1/3
10
1/3 x 2/7 x 11/5
11
(3/2 x 5/4)/(3/4)
12
a/b x b/c
13
a/b : b/c
14
t²/6 : t/30
17
7. WERKEN MET PERCENTAGES
'Percent' betekent 'per honderd'. Rekenen in percentages houdt in dat je alles terugrekent 'per honderd', ofwel een standaardnoemer van 100 hanteert. 30% van 200 is 30/100 van 200 = 30/100 x 200 = (30x200)/100 = 60. REGEL:
a% van b = ab/100
De meeste mensen vinden het omgekeerde lastiger. 3 van de 50 komt neer op 6 van de 100, en is dus 6%. Ofwel: 3/50 = 6/100 -> 3/50 is 6%. Om te zien hoe je het met lastiger getallen moet berekenen, gaan we na hoe deze 6% eigenlijk tot stand komt. Hou in de gaten dat het doel daarbij is om tot een teller van 100 te komen. 3 3 x 100 300 300/50 6 -- = -------- = -------- = ------ = --- = 6% 50 50 x 100 50 x 100 100 100 De oorspronkelijke breuk was 3/50, het percentage is 300/50. Zo is ook 6 van de 25: (6/25)x100 = 600/25 = 24% Zo is ook 8 van de 32: (8/32)x100 = 800/32 = 25%
REGEL:
a is (100⋅a)/b % van b
Opgaven zonder rekenmachine
1
15% van 60 =
2
35% van 200 =
3
200% van 35 =
4
37½% van 200 =
5
17% van 20 =
6
10 = ?% van 40
(komt neer op: 10 van de 40 = ?%) 18
7
13 = ?% van 50
8
27 = ?% van 72
9
10 = ? % van 80
10
80 = 80% van ?
11
80 = 40% van ?
12
40 = 80% van ?
13
30 = 15% van ?
14
12 = 48% van ?
15
18 = 27% van ?
19
8. WORTELS UIT BREUKEN
Machten en wortels zijn omgekeerde bewerkingen. Zo is bijvoorbeeld: 3² = 9 -> √9 = 3 Eerder bleek: ½ x ½ = ¼ ofwel: (½)² = ¼ Daarom is: √¼ = ½ Evenzo is: √(1/9) = 1/3, √(1/16) = 1/4, enzovoort. Merk op: √(1/9) = 1/3 = √1/√9 Eerder bleek ook: 2 2 4 - x - = - Dus: (2/3)2 = 4/9. Daarom geldt: √(4/9) = 2/3. 3 3 9 Algemeen gezegd: √(a/b) = √a/√b Geformuleerd in woorden: REGEL:
De wortel uit een breuk is gelijk aan de wortel uit de teller gedeeld door de wortel uit de noemer.
Omgekeerd geldt natuurlijk ook: √a/√b = √(a/b) Merk op: √0,16 = √(16/100) = √16/√100 = 4/10 (= 0,4)
20
Opgaven zonder rekenmachine
Reken uit: 1
√(1/25)
2
√(1/100)
3
√(1/64)
4
√0,36
5
√0,81
6
√1,44
7
√(16/25)
8
√0,09
9
√(1/10000)
10
√0,0001
21
9. WORTELS ONDERLING VERMENIGVULDIGEN / DELEN 9.1 Algemene regel (√9)² = (3² =) 9 Dus: √9 x √9 = 9 Maar ook: 9 = √81 Dus: √9 x √9 = √81 Algemeen geldt: √a x √a = √(a⋅a) = a Deze vermenigvuldigingsregel is ook breder toepasbaar. Zo is: √8 x √2 = √(8x2) = √16 = 4 (controleer dit met je rekenapparaat). REGEL:
√a x √b = √ab
en omgekeerd: √ab = √a x √b.
Vanwege de overeenkomst tussen delen en vermenigvuldigen, geven we meteen de bijbehorende deelregel: REGEL:
√a / √b = √(a/b)
Voorbeeld: √72 / √2 = √(72/2) = √36 = 6. Dit komt eigenlijk neer op het omgekeerd toepassen van de regel uit paragraaf 8 (Ga dit na!).
9.2 Vereenvoudiging van wortels Door de laatste regel is het mogelijk wortels te vereenvoudigen. Voorbeelden: √48 = √(16x3) = √16 x √3 = 4√3 √50 = √(25x2) = √25 x √2 = 5√2 9.3 Breuken wegwerken van onder het wortelteken Dikwijls is het lelijk of onhandig om met wortels uit breuken te werken. Deze kunnen worden weggewerkt door teller en noemer van de breuk zodanig te vermenigvuldigen, dat de noemer een kwadraat van een heel getal wordt. Voorbeelden: √(1/8) = √(2/16) = √2/√16 = (√2)/4 = ¼√2 √(1/5) = √(5/25) = √5/√25 = (√5)/5 = (1/5)√5 √(5/6) = √(30/36)=√30/√36)=(√30)/6 = (1/6)√30
22
Opgaven zonder rekenmachine Reken uit: 1 √8 x √8 2
√8 x √2
3
√50 x √½
4
√27 / √3
5
√32 / √2
6
√32 x √2
7
√b x √(b3)
8
√50 x √6 / √3
9
√ab x √bc x √ac
10
√a3 / √a
Vereenvoudig: 11 √500 12
√72
13
√100a
14
√50b
15
√32
16
√45
17
√98
Werk de breuk onder het wortelteken weg: 18 √½ 19
√(1/10)
20
√(1/6)
21
√(3/4)
22 23
√(1/n) √(2/5) 23
10. NEGATIEVE MACHTEN EN GEBROKEN MACHTEN
10.1 Gebroken machten Eerder bleek dat bijvoorbeeld: a3⋅a3 = a6 Ter vermenigvuldiging van machten met een gelijk grondtal, moet je de exponenten optellen. Maar hoe zit het dan met bijvoorbeeld het volgende: a?⋅a? = a1 (= a) Redenerend vanuit de genoemde regel, zou je op de vraagtekens een ½ kunnen zetten. Dan krijg je dus: a½⋅a½ = a M
aar we weten ook:
√a⋅√a = a Dat komt er dus op neer dat a½ hetzelfde is als √a. AFSPRAAK: Een gebroken exponent duidt op een wortel. Voorbeelden: 16½ = √16 = 4 27½ = √27 = 3 8 2/3 =
3
8²=
3
64 = 4
10.2 Negatieve machten
Een volgende, soortgelijke stap: a4⋅a? = a2. Dus: 4 + ? = 2 → Op het vraagteken hoort -2 te staan. Dus: a4⋅a-2 = a2.
24
We weten ook: a4/a2 = a4 x 1/a2 = a2. Hieruit blijkt: a-2 = 1/a2 Voorbeelden: 10-1 = 1/101 = 1/10 6-2 = 1/6² = 1/36 3-3 = 1/33 = 1/27 8⋅4-2 = 8/4² = 8/16 = 1/2
Er bestaan natuurlijk ook negatieve gebroken machten. Met een voorbeeld: 9-½ = 1/9½ = 1/√9 = 1/3
10.3 De macht nul
We zetten nu de laatste soortgelijke stap: a3⋅a-3 = a? Op het vraagteken hoort kennelijk een nul te staan. Maar: a3⋅a-3 = a3/a3 = 1 Dus: a0 = 1 REGEL:
Welk getal je ook tot de macht nul verheft, er komt altijd 1 uit!
Het belangrijkste zijn:
de macht ½ en -½ de macht nul de negatieve gehele macht
25
Opgaven zonder rekenmachine Reken uit of vereenvoudig: 1
9½ =
2
3-2 =
3
50 =
4
4-2 x 4
5
4-2 . 41½
6
100½
7
50⋅5-1
8
50⋅5-2
9
6⋅6-½
10
10-7 x 10-7
11
a4⋅a-3
12
a⋅a4⋅a-3
13
8⋅a4⋅a-3
14
16¼
15
16-¼
16
41½
26
11. VERGELIJKINGEN OPLOSSEN
Een voorbeeld van een vergelijking is het volgende: a+3=4 Een vergelijking bevat altijd een = ('is gelijk')-teken). Links van dat teken staat het linkerlid, rechts het rechterlid. Het linkerlid is hier a+3, het rechterlid 4. Er staat een getal in de vergelijking dat aanvankelijk onbekend is (a), maar door oplossing van de vergelijking, kun je die onbekende berekenen. In dit geval is de oplossing: a = 1. Vergelijkingen kunnen heel gemakkelijk en heel moeilijk zijn. De basis van het oplossen van vergelijkingen is vervat in drie regels.
REGEL 1:
Je mag een element van het linkerlid overbrengen naar het rechterlid, maar dan moet je het teken omdraaien.
Je kunt zeggen: 8 + 4 = 12, maar ook: 8 = 12 - 4. Je ziet dat +4 uit het linkerlid naar het rechterlid is gebracht, met omkering van het teken. Voorbeelden: a + 12 = 20 → a = 20 - 12 = 8 a - 12 = 20 → a = 20 + 12 = 32 10 = a + 7 → 10 - 7 = a → 3 = a 2r + 8 = r + 5 → 2r - r = 5 - 8 → r = -3
REGEL 2:
Je mag het linkerlid en het rechterlid met eenzelfde getal vermenigvuldigen of delen.
Voorbeelden: 4p = 8 → (4p)/4 = 8/4 → p = 2 ½y = 8 → ½y⋅2 = 8⋅2 → y = 16 De truc is dan dus om met een zodanig getal te delen of te vermenigvuldigen, dat de onbekende 'vrij' komt. Je vermenigvuldigt met -1, als je wilt dat de tekens omdraaien. Bijvoorbeeld: 8 - t = 34 → -t = 26 → t = -26.
27
REGEL 3:
Je mag het linker- en het rechterlid tot dezelfde macht verheffen (en er dus ook dezelfde wortel uit trekken).
Deze regel gebruik je als er machten of wortels aan de onbekende zijn gekoppeld. Voorbeelden: p² = 4 →√(p²) = √4 → p = 2 (maar zie onder) r² = 0,36 → r = 0,6 (maar zie onder) f² = 9/16 → f = 3/4 (maar zie onder) √y = 4 →(√y)² = 4² → y = 16. √t = 1/3 -→ = 1/9 MAAR LET OP! In bijvoorbeeld het eerste voorbeeld kan p ook -2 zijn. Ook dan is p² immers 4! Men zegt dat die vergelijking twee oplossingen heeft: -2 en +2. Dit wordt veelal geschreven als: p = ±2.
REGELS COMBINEREN In de praktijk gebruik je de drie regels veelal in combinatie met elkaar. Het doel is dat je de onbekende stap voor stap verder 'vrijmaakt'.
Voorbeelden: gegeven: regel 3: → → regel 1: →
(a + 3)² = 16 √(a + 3)² = √16 a+3=±4 a = 1 of -7
gegeven: regel 3: → regel 1: → regel 2: →
√(4 - 2p) = 6 4 - 2p = 36 -2p = 32 p = -16
28
Opgaven zonder rekenmachine Los de volgende vergelijkingen op: 1
20 = 4r
2
8p = 4
3
2p+8 = 16
4
2b+4 = b+7
5
n/8 = 2
6
¼p=3
7
3 = (1/5)p
8
14/n = 2
9
9/m = 5
10
10/3d = 5/2
11
8/3m = 2/5
12
8/n = n/2
13
3+n 8
14
2 = (p-10)/√9
15
x² = 25
16
r² = 0,16
17
s² = 81/16
18
9p² = 36
19
27/t² = 3
20
24/3g² = 2
21
(a+3)² = 36 (LET OP)
22
√(y-2) = 5
23
√(2t²+3) = 1 (LET OP)
=
2² √4
29
24
8 ────── = √8 √(p+4)
25 5y 5y ──────── = 2 MERK HET VERSCHIL OP MET: ─────── = -2 √(y²+21) √(y²+21)
30
12. (EENVOUDIGE) VERGELIJKINGEN MET TWEE ONBEKENDEN
Het is ook mogelijk vergelijkingen met meer dan één onbekende op te lossen. Daarvoor heb je dan wel meer dan één vergelijking tegelijkertijd nodig. We gaan hier in op de situatie waarin je met twee redelijk simpele vergelijkingen te maken hebt. Bijvoorbeeld: 1) y + 5z = 15 2) y + 2z = 9
Er zijn twee standaardmanieren om deze paren op te lossen, namelijk substitutie en eliminatie.
12.1 Substitutie
Substitutie betekent 'vervanging'. Deze methode houdt in dat je de ene vergelijking gebruikt om de ene onbekende 'vrij' te maken, en daardoor uit te drukken in de andere onbekende. In het voorbeeld: 1) y + 5z = 15 → y = 15 - 5z Met deze 'oplossing' (y) vervang je de betreffende onbekende in de andere vergelijking. Hierdoor ontstaat één vergelijking met één onbekende, waar we inmiddels raad mee weten (zie vorige paragraaf). 2) y + 2z = 9 → (15 - 5z) + 2z = 9 → 15 - 3z = 9 → 3z = 15 - 9 = 6 → z=2 Deze oplossing (z) stop je weer in één van de vergelijkingen. In dit geval bijvoorbeeld in 1): 1) y + 5z = 15 → y + 5⋅2 = 15 → y + 10 = 15 → y = 15 - 10 = 5
12.2 Eliminatie Eliminatie betekent 'verwijdering'. Deze methode houdt in dat je één van de onbekenden verwijdert door de vergelijkingen op te tellen of af te trekken.
31
Voorbeeld 1: 1) y + 5z = 15 2) y + 2z = 9 ─────────── - (aftrekken) 3) 3z = 6 → z = 2 enzovoort. Voorbeeld 2: 1) 2y - z = 5 2) 3y + z = 10 ─────────── + (optellen) 3) 5y = 15 → y = 3 (en z is dan 1)
Soms is het nodig om (een van) de vergelijkingen eerst te vermenigvuldigen met een of ander getal (volgens regel 2 van paragraaf 11): Voorbeeld 3: 1) 2y + 5z = 20 vermenigvuldigen met 3: 6y + 15z = 60 2) 3y + 2z = 8 vermenigvuldigen met 2: 6y + 4z = 16 ───────────── ─ 11z = 44 etc. Opgaven zonder rekenmachine 1
d + 3e = 13 d + 2e = 7 Hoe groot zijn d en e?
2
4t - r = 5 16t - 5r = 17 Hoe groot zijn t en r?
3
d + 3n = 20 d - 3n = 2 n=?
4
z=2 d + z√n = 40 d - z√n = 20 n=?
5
z = 2, s = 3 d + z.s/√n = 20 d - z.s/√n = 16 n = ? 32
13. 'BIJZONDERE' NOTATIES 13.1 > < ≤ ≥ =/ a > b betekent: a is groter dan b a < b betekent: a is kleiner dan b a ≥ b betekent: a is groter dan of gelijk aan b (dus: a is minstens b) a ≤ b betekent: a is kleiner dan of gelijk aan b (en dus: a is hoogstens b) a =/ b betekent: a is ongelijk aan b 13.2 Modulusstrepen Modulusstrepen zijn verticale rechte strepen: || Ze geven aan dat het getal ertussen niet negatief is. Een eventueel min-teken vervalt dus. Voorbeelden: |12 - 20| = |- 8| = 8 |5 x -4| = |-20| = 20 |a| = a als a positief is en -a als a negatief is. Men spreekt van de absolute waarde van een getal. De absolute waarde van -10 is dus 10.
Opgaven zonder rekenmachine
Bereken: 1
3 x |2-6|
2
|45-55| x (40 - |20-70|)
33
14. LOGARITMEN 14.1 Algemeen In paragraaf 1.3 stond al dat machtsverheffen, worteltrekken en logaritmen elkaar onderling aanvullende bewerkingen zijn. Pas hier gaan we op die logaritme in. De verhouding tussen macht, wortel en logaritme is, met getallenvoorbeelden, als volgt: macht
wortel
logaritme
42 = 16
√16 = 4
4
log16 = 2
23 = 8
3
8 =2
2
log8 = 3
104 = 10000
4
10000 =10
10
log10000 = 4
Algemeen gezegd: a
LOGb is het getal waartoe je a moet verheffen om b te krijgen. (NB. We schrijven log hier met hoofdletters (LOG) als we met letters werken i.p.v. cijfers)
VOORBEELDEN: 2
log8 = 3
2
log16 = 4 want 24 = 16
3
log9 = 2
want 32 = 9
9
log9 = 1
want 91 = 9
10
7
want 23 = 8
log100 = 2 want 102 = 10
log1 = 0 want 70 = 1
Basisopgaven zonder rekenmachine 1
4
log16
2
2
log16
3
5
log125
4
8
log64 34
5
6
log? = 2
6
2
log? = 5
7
2
log√2
8
?
9
5
log(1/5)
10
3
log(1/9)
11
9
log3
12
?
13
10
log100
14
10
log107
15
10
log10-6
16
10
log103 + 10log104 = 10log10?
log49 = 2
log23 = 3
De meeste toepassingen van de logaritme hebben het grondtal 10. Vandaar de volgende AFSPRAAK:
Wanneer bij een logaritme geen grondtal staat, gaat het om het grondtal 10.
Dus:
log100 = 2 log10 = 1
log0,1 = -1 enzovoort.
17
log1
18
log√10
19
log(1/100)
20
log0,001
21
log1000000
22
Waarom is logA negatief voor elke A die kleiner is dan 1?
23
8log100
24
½log1000000
25
8+log0,001
35
14.3 De pH ofwel waterstof-exponent In de scheikunde wordt veel met logaritmes gewerkt. Een belangrijke toepassing is de pH: pH = -log(concentratie van waterstof-ionen) In een neutrale oplossing is de concentratie waterstof-ionen 1 op de tien miljoen, ofwel 1/10.000.000 ofwel 1/107. Dat is dus 10-7. De pH is dan dus -log10-7 = -(-7) = +7. Als de concentratie hoger is, bijvoorbeeld 1/105, is de pH lager. In dit geval is de pH dan 5. Dan is de oplossing dus zuur. Een alcalische oplossing heeft een concentratie H-ionen die lager is, en heeft dus een pH van boven de 7. 14.4 Rekenregels voor logaritmen
Er bestaan diverse rekenregels voor logaritmen. We behandelen er hier twee van. De eerste is de optelregel (waarmee je 'dus' ook kunt aftrekken). Merk op: log10 + log100 = 1 + 2 = 3 Maar ook: log1000 = 3 Dus: log 10 + log100 = log1000 (= log10x100)
Algemeen geldt: REGEL:
LOGa + LOGb = LOGab LOGa - LOGb = LOG(a/b)
Voorbeelden: log200 + log5 = log200⋅5 = log1000 = 3 log200 - log20 = log(200/20) = log10 = 1
Je kunt ook vergelijkingen met logaritmes erin oplossen: Gegeven: Oplossing: Dus: Dan moet:
log5 + LOGy = log20 log5 + LOGy = log5y (optelregel) log5y = log20 5y = 20 → y = 4
36
Opgaven zonder rekenmachine
Bereken: 26
log5 + log2
27
log8 + log12½
28
log250 + log4
29
log6 + log5 + log(1/3)
30
log300 - log3
31
log5 - log5
32
Vereenvoudig: LOGab²c - LOGab
37
15. FORMULES INVULLEN Formule geven het verband aan tussen een aantal 'grootheden'. Deze grootheden worden meestal uitgedrukt met letters. Het handige van een formule is, dat je de waarde van een grootheid kunt uitrekenen als je de waarden van andere grootheden kent. Voorbeelden van formules zijn: O=lxb
(waarbij O staat voor oppervlakte van een rechthoek, l voor de lengte en b voor de breedte)
R=V/I
(waarbij R staat voor de elektrische weerstand in Ohms, V voor de elektrische spanning in Volts en I voor de stroomsterkte in Ampères)
Inc = Exc x 1,175
(waarbij Exc is de verkoopprijs van een artikel vóór Btw-heffing, Inc de prijs inclusief Btw van 17,5 %)
Meestal staat de grootheid die je moet berekenen vòòr het 'is gelijk-teken (=). De grootheden die je nodig hebt om deze te berekenen zijn bekend.
Opgaven zonder rekenmachine 1
Gegeven: k=12, n=16 en π=½. Bereken z met behulp van de volgende formule: z = k - nπ √{nπ(1-π)}
2
Gegeven: -x = 13, a = 3, s = 10 en n = 25. Bereken t met behulp van de volgende formule: t=
-x
-a s/√n
38
16. GRAFIEKEN EN FUNCTIES
Er bestaan verschillen tussen functies en formules, maar deze zijn klein, en lastig uit te leggen. Vandaar dat we dat hier dan ook maar achterwege laten. Een functie drukt het verband uit tussen variabele grootheden. Drie voorbeelden zijn: 1)
y = 2x
2)
y = x²
3)
y = 2x - 1
De omvang van y hangt in deze voorbeelden kennelijk af van x. Men zegt: y is een functie van x. Eigenlijk zijn het vergelijkingen, maar dan met twéé onbekenden. Ze zijn dan ook niet op te lossen. Je kunt de vergelijking pas oplossen, als je weet hoe groot x is. Als we uitgaan van voorbeeld 3, kun je zeggen: als x bijvoorbeeld 1 zou zijn, is y ook 1, als x bijvoorbeeld 5 zou zijn, is y 9. Zo kun je doorgaan, en bijvoorbeeld de volgende tabel maken: áls x is: -2 -1 0 1 2 2½ 5 100
dán is y: -5 -3 -1 1 3 4 9 199
Deze tabel zou je eindeloos kunnen aanvullen. Maar je kunt ook een tekening, een grafiek, maken waarin het verband tussen x en y naar voren komt. Zo'n grafiek helpt je dan om bij elke waarde van x de bijbehorende waarde van y te vinden. In de volgende figuur staan de punten uit de voorgaande tabel aangebracht. Ze liggen op een rechte lijn.
39
┬12 ┼ y ┼10 ┼ ⋅ ┼8 ┼ ┼6 ┼ ┼4 ⋅ ┼ ⋅ ┼2 ┼ ⋅ ────┼─┼─┼─┼─┼─┼─┼─┼─┼─┼─┼─┼─┼─0─┼─┼─┼─┼─┼─┼─┼─┼─┼─┼─┼─┼─┼─┼─┼─┼── -12 -10 -8 -6 -4 -2 ┼⋅ 2 4 6 8 10 12 14 16 ┼ -2 x → ┼ ┼ -4 ┼ ┼ -6 ┼ ┼ -8 ┼ ┼ -10 │
#
Je kunt de lijn tekenen door twee punten van die lijn vast te stellen. Voor de functie y = 2x - 1 vul je bijvoorbeeld voor x een keer 0 in (dit levert op: y = -1) en een keer 5 (dan is y = 9). Die twee punten zet je in het assenstelsel, waarna je de lijn kunt trekken.
Andersoortige functies kunnen op niet-rechte lijnen liggen. We gaan hier alleen in op functies met een rechte lijn. Deze heten lineaire functies. Voor zo'n functie geldt de algemene vergelijking: y = ax + b x en y zijn hierbij de variabelen; a en b zijn vaste getallen.
We hebben hier dus gezien hoe je de lijn kunt tekenen van een bekende functie. Hierna doen we het omgekeerde: uitpuzzelen welke functie hoort bij een gegeven lijn.
40
Als een rechte lijn in een assenstelsel staat, kun je de bijhorende functie als volgt bepalen. We gaan met een voorbeeld uit van de volgende tekening. ┬12 ┼ y ┼10 ┼ ┼8 ┼ ┼6 . A ┼ ┼4 ┼ ┼2 ⋅ B ┼ ────┼─┼─┼─┼─┼─┼─┼─┼─┼─┼─┼─┼─┼─0─┼─┼─┼─┼─┼─┼─┼─┼─┼─┼─┼─┼─┼─┼─┼─┼── -12 -10 -8 -6 -4 -2 ┼ 2 4 6 8 10 12 14 16 ┼ -2 x -> ┼ ┼ -4 ┼ ┼ -6 ┼ ┼ -8 ┼ ┼ -10 │ Trek een lijn door de punten A en B. voor punt A geldt: x=-4 en y=+6, we schrijven: A(-4,+6) voor punt B geldt: x=+4 en y=+2, we schrijven: B(+4,+2) De getallen tussen haakjes heten de coördinaten van de betreffende punten. Je weet dat de algemene vergelijking is: y = ax + b Je vult nu voor A en B afzonderlijk de bijbehorende waarden in voor x en y. Dat levert op: punt A: 6 = a⋅-4 + b -> 6 = -4a + b punt B: 2 = a⋅4 + b -> 2 = 4a + b Dit zijn twee vergelijkingen met twee onbekenden, a en b. Eliminatie van b door aftrekken levert op: 6 = -4a + b 2 = 4a + b ─────────── 4 = -8a -> a = -½; b is dan 4 De gezochte functie is dus: y = -½x + 4
41
Opgaven zonder rekenmachine 1.
Teken, in één assenstelsel, de lijnen van de volgende functies. Wat valt je op? a. y=x b. y = 4x c. y = ½x d. y = -x
2.
Teken, in hetzelfde assenstelsel, de grafieken van de volgende functies. Wat valt je op? a. y=x b. y=x+4 c. y=x-2
3. a. b. c. d. e.
Welke functie hoort er bij de lijn door de punten: (0,0) en (5,5) (1,3) en (3,9) (-4,-2) en (8,4) (0,2) en (2,8) (0,4) en (-1,0)
42
ANTWOORDEN REKENVAARDIGHEIDSWERKBOEK Onderdeel 1/Elementaire bewerkingen Opgavenummer 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17
Uitkomst 15 15 - 45 -9 27 -8 10 3 -2 -3 8 -12 11 12 81 3 9
Opgavenummer 18 19 20 21 22 23 24 25 26 27 28 29 30 31 32 33
Uitkomst
Opgavenummer 8 9 10 11 12 13 14
Uitkomst
Opgavenummer 9 10 11 12 13 14 15
Uitkomst
8,13 16 18 1 1 0 0 1 21,35 5,88 3251,29 153,06 4472,40 - 274625 12 -58,93
Onderdeel 2/Voorrangregels Opgavenummer 1 2 3 4 5 6 7
Uitkomst - 24 - 16 64 18 -14 4 10
-4 16 10 4 1 18 20
Onderdeel 3/ Bewerkingen met machten Opgavenummer 1 2 3 4 5 6 7 8
Uitkomst 29 1014 2,56 213 24 82 32 a5
43
b9 b5 b8 b6a 16b6a 26 27a3
Onderdeel 4/Rekenen met breuken Opgavenummer 1 2 3 4 5 6
Uitkomst 1/4 1/5 25/2 6 1/3 2/3
Opgavenummer 7 8 9 10 11
Uitkomst
Opgavenummer 9 10 11 12 13 14 15 16
Uitkomst 1/2000 7/a 2/g 37/3b 32/14a 1/3b 19a/15 y/12
Opgavenummer 8 9 10 11 12 13 14
Uitkomst
Opgavenummer 9 10 11 12 13 14 15
Uitkomst
2/15 1/2 18 ab/3 c2
Onderdeel 5/ Breuken optellen/aftrekken Opgavenummer 1 2 3 4 5 6 7 8
Uitkomst 7/12 9/10 39/30 43/8 5/8 1/56 103/24 5/600
Onderdeel 6/ Breuken vermenigvuldigen en delen Opgavenummer 1 2 3 4 5 6 7
Uitkomst 8/15 1/12 15/8 210/21=10 1/16 2/9 9/2
10 ½ 22/105 5/2 a/c ac/b2 5t
Onderdeel 7/ Werken met percentages Opgavenummer 1 2 3 4 5 6 7 8
Uitkomst 9 70 70 75 3,4 25 26 37,5
44
12,5 100 200 50 200 25 66,67
Onderdeel 8/ Wortels en breuken Opgavenummer 1 2 3 4 5
Uitkomst 1/5 1/10 1/8 0,6 0,9
Opgavenummer 6 7 8 9 10
Uitkomst 1,2 4/5 0,3 1/100 0,01
Onderdeel 9/ Wortels onderling vermenigvuldigen/delen Opgavenummer 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12
Uitkomst 8 4 5 3 4 8 b2 10 abc a 10√5 6√2
Opgavenummer 13 14 15 16 17 18 19 20 21 22 23
Uitkomst 10√a 5√2b 4√2 3√5 7√2
√2-1 √10-1 √6-1 1/2√3 √n-1 √0,4
Onderdeel 10/Negatieve machten en gebroken machten Opgavenummer 1 2 3 4 5 6 7 8
Uitkomst 3 1/9 1 ¼ 1/2 10 10 2
Opgavenummer 9 10 11 12 13 14 15 16
45
Uitkomst
√6
10-14 a a2 8a 2 1/2 8
Onderdeel 11/Vergelijkingen oplossen Opgavenummer 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13
Uitkomst r=5 p = 1/2 p=4 b=3 n = 16 p = 12 p = 15 n=7 m = 9/5 d = 4/3
Opgavenummer 14 15 16 17 18 19 20 21 22 23
m = 20/3 n = 4 of n = -4 n = 13
24 25
. Onderdeel 12/Vergelijkingen met 2 onbekenden Opgavenummer 1
Uitkomst e=6 d = -5 t=2 r=3 n=3 d = 11 n = 25 d =30 n=9 d = 18
2 3 4 5
Onderdeel 13/ Bijzondere notaties Opgavenummer 1 2
Uitkomst 12 - 100
46
Uitkomst p = 16 x = 5 of x = -5 r = 0,04 of r = - 0,04 s= 9/4 of s = -9/4 p = 2 of p = -2 t= 3 of t = -3 g = 2 of g = -2 a = 3 of a = -9 y = 27 t = ? opgave is niet oplosbaar p=4 y=2
Onderdeel 14/ Logaritmen Opgavenummer 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16
Uitkomst 2 4 3 2 36 32 1/2 7 -1 -2 ½ 2 2 7 -6 7
Opgavenummer 17 18 19 20 21 22 23 24 25 26 27 28 29 30 31 32
Uitkomst 0 ½ -2 -3 6 * 16 3 5 1 2 3 1 2 0 log c
* omdat je, alleen als je 10 verheft met een getal < 0, een getal < 1 krijgt
Onderdeel 15/ Formules invullen Opgavenummer 1 2
Uitkomst Z=2 T=5
Onderdeel 16/Grafieken en functies Opgavenummer 3a 3b 3c 3d 3e
Uitkomst Y=x Y = 3x Y = ½x Y = 3x + 2 Y = 4x + 4
47
