WE 82.04
INTERACTIEVE BUIGINGSKNIK VAN EEN EENVOUDIG DISCRZET MODEL
C. M. Menken
1. Gebruikte symbolen : a, b
hulpgrootheden
C
breedte
e
indrukking veer, vervorming
1
lengte
U
axiale indrukking
x9 z
coördinaten
C
hulpgrootheid
E
(veer-)stijfheid
F
drukkracht op veer
P
drukkracht op constructie
a
hoekverdraaiing
7r
totale potentiële energie
7r2
kwadratische toename potentiële energie
Indices : O
initieel
k
knik, critisch
L
lokaal
T
gereduceerd, tangent
- 2 -
2. Inleiding
Bij het onderzoek naar fenomenen die zich zouden kunnen voordoen bij door dwarskracht belaste geëxtrudeerde Al-profielen wordt o.a. gedacht aan een interactie van lokale knik en kip (interactieve kip). Aan het fenomeen interactieve kpik van axiaal gedrukte kolommen, verstijfde plaatpanelen en cirkelcilinders werd door verschillende onderzoekers veel aandacht besteed
Cll. Het bleek dat de oudste
analysemethode, waarbij de lokale knik ontkoppeld geanalyseerd werd, waarna het daarbijhorende na-knik gedrag als een geredueeerde stijfheid bij de constructie in rekening werd gebracht, door meer verfijnde methoden in grote lijnen bevestigd werd [21. Van der Neut C31 was in 1969 de eerste die een continu model op deze wijze analyseerde en welde interactieve knik van een kolom. Hij besteedde daarbij o.a. aandacht aan de invloed van de modellengte. Alvorens de interactieve kip te analyseren leek het nuttig de bij knik gehanteerde werkwijzen te exploreren aan een discreet model, íx
we1 het m o d e l van Shanley L41. Thm~ps~:: C . S . [SI grhriiikte d i t
model om kwalitatief inzicht te krijgen in de knik van verstijfde platen. Bij deze studie was de lokale knikbelasting PL variabel, terwijl de modellengte 1 constant gehouden werd. Om kwalitatieve aansluiting bij het continue model van van der Neut te krijgen zal daarom hier ook bij het discrete model van Thompson aandacht aan de invloed van de lengte besteed worden. Bovendien zal aandacht geschonken worden aan het gemak van de werkwijze, zodat daarvan ook bij een komende analyse van de interactieve kip gebruik gemaakt kan worden. Alleen het perfecte model zal geanalyseerd worden.
- 3 -
3. Modelbeschrijving Het mechanisch model is in fig.
1
gegeven. Bij dit model is
zowel axiale indrukking als buiging mogelijk. Verondersteld is dat het model knikt bij een belasting Pk' Fig. 2 toont de karakteristieken van de ondersteunende veren. Deze representeren een lokaal constructiedeel dat kan knikken onder een belasting 'L/2
en dat daarna toch nog een (gemiddelde)
gereduceerde stijfheid ET heeft.
/-
Fig.
1
Fig. 2
Het bi-lineaire gedrag van de veren laat nu drie knikmogelijkheden toe.
1.
Pk < PL ; beide veren hebben tijdens het knikken de stijfheid E.
2. PK > PL ; beide veren hebben tijdens het knikken de stijfheid ET.
3. Het grensgeval Pk
=
P L Y d.w.z. de totale knikbelasting is precies
gelijk aan de lokale. Bij het uitknikken zal de ene veer ontlasten en de stijfheid E behouden, terwijl de andere veer iets verder belast wordt en de gereduceerde stijfheid ET krijgt.
- 4 -
Het laatste, meest algemene, geval zal allereerst beschouwd worden. De beide andere kunnen daaruit verkregen worden. Het model zal op twee manieren geanalyseerd worden : a) We gaan uit van een fictief model met lineaire veren. In plaats van de bi-lineaire veer nemen we een lineaire met initiële indrukking eo en stijfheid ET. Bovendien beschouwen we de verplaatsingen van het "zwaartepunt van de dwarsdoorsnede", punt Z in fig.
1.
b) We gaan uit van het werkelijke model en beschouwen alleen
de toename van de potentiële energie bij uirknikken. De verplaatsingen worden gerelateerd aan het "drukpunt" N met de eigenschap dat een vertikale belasting door N géén rotatie veroorzaakt.
4 . Analyse van het fictieve model. We veronderstellen dat de constructie bij het knikken rechtsom (a >
o).
In het fictieve model heeft de linker veer dan de stijfheid E en de rechter de stijfheid ET, samen met een
draait
initiële indrukking eo. De grootheden die in onbelaste toestand een rol spelen zijn in fig. 3 gedefinieerd en de bij de belaste toestand horende in fig. 4 .
€!,*=O
Fig. 3
Fig. 4
- 5 -
Wij kiezen u (z
o) en a als vrijheidsgraden. Het model houdt
=
op fictief te zijn voor a 2 o. Het verband tussen de fictieve voorvervorming e20 en de lokale kniklast PL volgt uit fig. 2 :
*
e2
=
pL
BC
2E
PL
=
ET
De bij het fictieve model horende potentiële energie is : 1
K
= 1Eel2
+ yET(e2
-
2
e20)
-
P(u - u
O
- 1
cos
a +
1
cos a o )
De vervormingen el en e2 drukken we uit in de verplaatsingen : C
2
el=u--a C
e2=u+-a 2
Bovendien nemen we aan dat u en a zo klein zijn dat we ons, na vLccn,,LLLw,kkeling, n-1 t ~ kvadratische t termen kimmen beperken. "nntTT;
De potentiële energie wordt dan :
(4.2)
De evenwichtspaden volgen uit : ar _ au
C o = E(u - -a)
2
+ ET(u + -Ca 2
e20) - P (4.3)
ar _ aa -
O =
E(U
C -Ta) (-
C -) 2
C
C
+ E T ( ~+ -U 2 - e20)(-) 2 - ~ l a
- 6 -
Eliminatie van u geeft : E-E
-
P - Pla
=
o
(4.4)
Deze niet lineaire vergelijking schrijven we als : aa
-
- b - CP
Pla
=
o
(4.5)
met :
2EET
b
:=
(2) C E+ET e20
< o
(zie 4.1)
We gaan ons nu een beeld vormen van de verbanden tussen P, 1 en a in de buurt van a
=
o en wel voor vaste P
L'
p = - -b = p C L
(4.9)
Dit was ook ons uitgangspunt. Indien hieraan ook voldaan is voor a eigenwaardeprobleem (a - P 1)a L
t
o, dan levert ( 4 . 5 ) ons een
:
= o,
met als critische lengte :
1
= -a
(4. IO)
pL
Bij deze lengte hebben we dus met zogenaamd neutraal evenwicht te maken.
- 7 -
Met (4.5) a =
kunnen we ook het verband tussen P en
o en bij constante 1 onderzoeken. Uit (4.5)
dP
= ol=0
a
in de buurt van
volgt :
a - P 1 L
(4.11)
C
We kunnen nu twee gevallen onderscheiden : 1.
1 < lky dus (a
dan geldt
-
PL1) > o
dP (z) > o
,
, fig. 5
a=0
2.
i > lk, dus (a - PLl) < o
dan geldt
(-1dP dol
< o , fig. 6
a=0
o Fig. 5
,
-ct
Verband tussen P en voor 1 < 1 k
I
a
-a
Fig. 6 Verband tussen P en voor 1 > lk
a
- 8 -
We houden ons aan het geldigheidsgebied
a
2
o.
Zou de constructie
linksom knikken, dan moeten we de figuren spiegelen om de P-as. stabiliteit bij P De -----------
=
PL beoordelen we aan de hand van het verband
tussen P en de daarbijhorende verplaatsing u. Na eliminatie van
a
uit het oorspronkelijke stelsel vergelijkingen ( 4 . 3 ) vinden we :
dP (ZÜ)
a=O
a
-
P,1 L
-P 1 L E+ET
-
Zoals hiervoor onderscheiden we weer twee gevallen : 1.
1
< lk9 dus (a
-
PLi) > o :
< o
O
,
fig. 7
-U
Fig. 7 Verband tussen P en u voor 1 < lk
Fig. 8 Verband tussen P en u voor 1 > lk
- 9 -
Volgens fig. 5 geldt alleen het bij toenemende P horende deel van de vertakking. Het gedrag is dus stabiel. 2.
1 > lk, dus (a dP
-
PLl) < o :
> o
+
fig. 8
a=0
Volgens fig. 4 . 6 geldt alleen het bij dalende P horende deel van de vertakking. Het gedrag is dus labiel. Hiermee is het grensgeval P = PL behandeld. De beide andere gevallen k (zie pag. 3 ) zijn hieruit te verkrijgen. De bij het grensgeval horende critische belasting en/of lengte volgt immers uit (zie ( 4 . 6 ) en ( 4 . 1 0 ) ) :
(Pl),
=
a
=
C 2 4EET (y) E+ET
(4.12)
De critische belastingen horende bij P < P zijn hieruit te verkrijgen k L door E te vervangen door E : T =
2 iC E voor P
Voor het geval Pk (Pi),
=
(4.13)
k < L'
'L'
vervangen we in (4.12) E door E
2 iC ET voor Pk > P L
-
T '
(4.14)
De drie gevallen, samen met de mate van stabiliteit zijn verzameld in fig. 9 . Kwalitatief komt deze figuur geheel overeen met door van der Neut C31
voor een continu model verkregen resultaten!
Imperfectie gevoeligheid : Voor 1 > lk zien we uit (4.11) dat
dP Ida met toenemende 1 steeds nega-
tiever wordt. Uit fig. 4.6 is dan te concluderen dat de gevoeligheid voor imperfecties daarmee toe zal nemen. Het is te verwachten dat de grootste gevoeligheid zal optreden als de helling dP/da het grootste
-
10 -
P
I
I
2
2PL
C EET
PL(E+ET)
C2E
2%
Fig. 9 Het stabiliteitsgedrag van de constructie.
is. Dit treedt op als de kniklast van de constructie zonder lokale knik gelijk is aan de lokale kniklast (punt A in fig. 7 ) .
5. Vereenvoudigde werkwijzen. Uit ( 4 . 1 2 ) ,
( 4 . 1 3 ) en ( 4 . 1 4 ) blijkt dat ter bepaling van het gedrag
van de perfecte constructie (fig. 9 ) uitdrukking ( 4 . 1 2 ) belangrijk is. Omdat het om een vertakkingspunt gaat kan volstaan worden met de kwadratische uitdrukking van de toename van de potentiële energie bij verstoring of uitknikken. Daarnaast zal het handiger zijn indien niet met de verplaatsingen van het hart van de constructie gewerkt wordt,
-
11
-
doch met die van het drukpunt van het fictieve model, d.w.z. dat punt waar de werklijn van de belasting doorheen moet gaan om te zorgen dat er beneden de critieke belasting géén rotatie optreedt.
Fig. 10 We nemen aan dat dit punt op een afstand d links van de oorsprong ligt. De indrukking van de veren is dan : e
e
1
2
- (C7 -
=
u
d)a
=
u + ( - + d)a
C
2
De toename van de potentiële energie bij uitknikken is : ïi2 =
C
~E{u - (7 - d)a)
2
C
+ 4ET{u + (-2 + d)a)
2
- 1P la L
2
- 12 -
Uit de eis dat hierin géén producttermen ua voorkomen volgt de
ligging van het drukpunt : d
C E-ET 2 E+ET
= --
Hiermee wordt n2 :
Een stationaire waarde treedt op als :
an2 au
-=
o = (E+E )u
T
an2 C2 EET -- - o = { aa E+ET
-
P
11
L
a=o
Uit de eerste voorwaarde volgt, zoals te verwachten [ S I , u=o. Uit de tweede voorwaarde volgt opnieuw (4.12).
-
13
-
LITERATUUR
1. Tvergaard, V., Buckling Behaviour of Plate and Shell Structures, Proc. 14th IUTAM Congress, Delft, 232
-
247.
2. Budiansky B,, Hutchinson J.W., Buckling : progress and challenge, Proc. of the Symposium dedicated to the 65th Birthday o f W.T. Koiter. Sijthoff & Noordhoff International Publishers, 1979. 3 . Van der Neut A., The interaction of local buckling and column
failure of thin-walled compression members, Proc. of the Twelfth Intern. Congr. on Appl. Mech., Stanford Univ. 1968.
4. Shanley, F.R., J. Aero. Sci. 14, 261, 1947. 5. Thompson J.M.T., Tul1 J.D., Walker A.C., An experimental study of imperfection-sensitivity in the interactive buckling of stiffened plates. Buckling of Structures, IUTAM Symposium, Cambridge USA, 1974.
6. Koiter W.T., Stijfheid en Sterkte Hoikerna i naariem i 1972, p. 215
1 -
c lLIL11
Grondslagen, Scheltema en 9-72
LLJ.
F
1 ~
'I
\ '\
Fictief Pad
R
/g edra g I imperfecte I constructie
pad/
I
/gedrag 1 imperfecte constructie -a
I
I
O
-u
\ ,
O
'I LABIEL
PL
I-
X
P
