Vyučování by mělo zajistit, aby došlo k propojení oblastí čísel, tvarů, prostoru a měr

Národní učební osnovy pro Anglii

MATEMATIKA Stupeň 1 Znalosti, dovednosti a porozumění Vyučování by mělo zajistit, aby došlo k propojení oblastí čísel, tvarů, prostoru a měr. Ma2 Čísla Používání čísel 1. Cíle: Řešení problémů a) přístup k problémům zahrnujícím čísla a data, která jsou uváděna v různých podobách b) rozvíjet flexibilní přístupy k řešení problémů a rozvíjet způsoby jak překonávat potíže c) rozvíjet rozhodnutí o použití strategií k řešení matematických operací a problémů d) učit organizovat si svou práci a kontrolovat ji Komunikace e) žák používá správný jazyk, symboly a slovník spojený s čísly a daty f) žák komunikuje v mluvené, obrazové i písemné formě, zpočátku používá neformální jazyk, později matematický jazyk a symboly Usuzování g) žák prezentuje výsledky v organizované podobě h) žák rozumí všeobecnému příkladu a zjišťuje, zda se s ním zvláštní případy shodují i) žák vysvětlí své metody a postup uvažování při řešení problémů zahrnujících čísla a data. Čísla a číselná soustava 2. Cíle: Počítání a) žák spolehlivě počítá do 20 a rozezná, zda číslo zůstává stejné, když dojde k přeskupení objektů; žák je obeznámen s čísly od 11 do 20; postupně rozšiřuje počítání do 100 a více Matematické vzorce a věty b) žák vytváří a popisuje číselné vzory; zkoumá a zaznamenává vzorce související se sčítáním, odčítáním, vzorce násobků 2, 5 a 10. Rozezná řady čísel obsahující sudá a lichá čísla, do 30 a více. Rozezná vztahy mezi půlením a zdvojnásobením. Číselný systém c) žák čte a píše čísla zpočátku do 20, později do 100 a více; rozumí porovnání a uspořádání těchto čísel; používá oddělené modely (počítá na prstech), dokáže umístit čísla na číselnou osu. Výpočty 3. Cíle: Číselné operace a vztahy mezi nimi a) žák rozumí sčítání a používá související pojmy; odhaluje zákon komutativnosti; rozumí odčítání jako inverzní operaci ke sčítání; používá související pojmy; používá odčítání jako sčítání, přičemž jeden sčítanec je číslem opačným; používá symbol '=' představující rovnost; řeší jednoduché číselné výrazy b) žák rozumí násobení jako opakovanému sčítání; chápe půlení jako inverzní úkon k dvojnásobku a dokáže vyjádřit jednu polovinu a jednu čtvrtinu tvarů a malých čísel; začíná pracovat s dělením pomocí opakovaného odčítání; žák používá pojmy související s násobením a dělením. Počítání zpaměti

c) d)

e)

žák je schopen rychle zpaměti sčítat a odčítat do 10; používá tyto dovednosti při sčítání a odčítání do 20; ovládá násobky 2 a 10, které používá při násobení i dělení; žák ovládá dvojnásobky čísel do 10 a umí určit polovinu ze sudých čísel do 20. žák dokáže najít více řešení problému zahrnujícího přičítání čísla 10 k jakémukoli jednocifernému číslu, potom přičítání násobků 10 k dvojcifernému číslu a odčítání násobků 10 od dvojciferného čísla; žák hledá způsoby řešení pro sčítání a odčítání, přičemž si uvědomuje komutativnost sčítání i skutečnost, že odčítání je inverzní k sčítání. žák provádí jednoduché početní výkony z Č. 2, Č. 3, Č.; zaznamenává výpočty v číselné větě, používá správně symbolů +, -, x, O a = [například, 7 + 2 = 9].

Řešení číselných problémů 4. Cíle: a) žák dokáže vybrat vhodné početní metody k vyřešení příkladů s celými čísly (včetně problémů zahrnující peníze nebo míry) b) žák provádí zpětnou vazbu svých řešení. Zpracování a interpretace dat 5. Cíle: a) žák řeší daný problém užitím jednoduchých zápisů, tabulek a diagramů, pomocí nichž třídí, klasifikuje a organizuje údaje b) žák je schopen zhodnotit svou práci a zdůvodnit svůj postup. Ma3 Tvary, prostor a míry Používání a použití tvarů, prostoru a míry 1. Cíle: Řešení problémů a) žák zkouší různé přístupy k překonání obtížností při řešení úloh s tvarem a prostorem b) žák vybírá a používá příslušné matematické vybavení při řešení problémů týkajících se měr nebo měření c) žák vybírá a používá příslušné pomůcky a materiály při řešení problémů týkajících se tvaru a prostoru

Komunikace d) žák používá správné pojmy pro tvar, prostor a míry Zdůvodnění e) žák rozezná jednoduché prostorové tvary a vztahy f) žák používá matematickou symboliku Porozumění vzorům a vlastnostem tvarů 2. Cíle: a) žák popisuje vlastnosti tvarů, které sám může pozorovat nebo si představit, používá související pojmy b) žák sleduje běžné rovinné a prostorové tvary, manipuluje s nimi a popisuje je; pojmenovává a popisuje matematické rysy běžných rovinných a prostorových tvarů, tj. trojúhelníků různých druhů, čtyřúhelníků (čtverec), kružnice, krychle, hranolu, dále šestiúhelníků, pětiúhelníků, válců, jehlanů, kuželů a koulí c) žák vytvoří modely rovinných a prostorových útvarů d) žák rozezná osovou souměrnost v osvojených rovinných útvarech. Porozumění polohovým a metrickým vlastnostem 3. Cíle: a) žák pozoruje, představuje si a popisuje polohu, směr a pohyb používáním běžných slov b) žák rozezná pohyb vpřed (posunutí) a otočení a kombinuje je v jednoduchých případech [například pokyn jak se dostat do kanceláře ředitele nebo otočit programovatelnou hračku]

c)

žák rozezná pravé úhly.

Porozumění mírám 4. Cíle : a) žák odhaduje velikost objektů a porovnává je použitím příslušných výrazů; řadí důvěrně známé události chronologicky; žák porovnává a měří objekty používáním neobvyklých jednotek [například stéblem, dřevěnými kostkami], dále standardními jednotkami délky (cm, m), hmotnosti (kg), objemu (l) [například delší nebo kratší než metrové pravítko, třílitrová konvice]; srovnávání událostí používáním jednotek času b) žák rozumí úhlu jako míře otočení používané při celých otáčkách, polovičních a čtvrtinových otočkách c) žák odhaduje velikost a hmotnost objektů; vybírá si a používá jednoduché měřicí přístroje a stupnice. Rozsah studia 1. Během tohoto stupně žáci získávají znalosti, dovednosti a porozumění pomocí: a) praktických aktivit, zkoumání a diskuze b) používání matematických myšlenek v praktických aktivitách, dále záznamem těchto myšlenek použitím objektů, obrázků, schémat, slov, čísel a symbolů c) představ o číslech a jejich vztazích d) odhadováním, nákresem a měřením v řadě praktických souvislostí e) dat z praktických aktivit f) zkoumáním a užitím různých zdrojů a materiálů, včetně ICT g) aktivit, které vybízejí k vytváření vztahů mezi čísly a dalšími matematickými aspekty.

Stupeň 2

Znalosti, dovednosti a porozumění Vyučování by mělo zajistit propojení oblastí čísel, tvarů, prostoru a měr. Ma2 Čísla Používání čísel a práce s nimi 1. Cíle : Řešení problémů a) žák si uvědomuje matematické zákonitosti, které potřebuje při řešení problémů a úloh i v dalších oblastech matematiky b) žák řeší složitější úlohu postupnými jednoduchými kroky; dokáže identifikovat informace potřebné k provedení úkolu c) žák vybírá a používá příslušné matematické vybavení, včetně ICT d) žák nachází různé způsoby řešení problému za účelem překonání potíží e) žák odhaduje výsledky a kontroluje je Komunikace f) žák organizuje svou práci a zdokonaluje způsoby zápisu g) žák správně používá schémata a symboly v rámci daného problému h) žák nabízí a interpretuje řešení v kontextu daného problému i) žák používá matematický jazyk Zdůvodnění j) žák rozumí všeobecným příkazům a zkoumá je [například existují čtyři prvočísla do 10, zápěstní velikost je poloviční krční velikost] k) žák pátrá po vzoru ve svých výsledcích; rozvíjí své logické myšlení a vysvětluje své zdůvodnění. Čísla a číselná soustava 2. Cíle: Počítání a) žák počítá po desítkách nebo stovkách od jakéhokoli dvojciferného nebo trojciferného čísla (vpřed i zpět); žák rozezná číselnou následnost a pokračuje v ní, dostává se k záporným číslům, když počítá pozpátku Matematické vzorce a věty

b)

žák rozezná a popisuje matematické vzorce zahrnující dvou- a trojciferné násobky 2, 5 nebo 10; vytváří všeobecné příkazy používající slova k popisu funkčního vztahu; rozezná prvočísla do 20 a čísla umocněná na druhou do 10 x 10; určuje dělitele a všechny prvočinitele jakéhokoli dvojciferného celého čísla

Celá čísla c) žák čte, zapisuje a řadí celá čísla, rozezná, která pozice prstu dává jeho hodnotu; používá správně symboly <, >, =; násobí a dělí celá čísla 10 nebo 100, poté pak dospívá k násobení a dělení 1000; zaokrouhluje celá čísla k nejbližší 10 nebo 100 a potom 1000; řadí soubor celých záporných čísel, vysvětluje své postupy a úvahy; násobí a dělí desetiny 10 nebo 100. Zlomky, procenta a poměr d) žák rozumí zlomkům [například 1/3 nebo 1/8], dále zlomkům, které jsou vyjádřením více částí jednoho celku [například 2/3 nebo 5/8], žák je umísťuje na číselnou osu a používá je k nalezení zlomků tvarů a množství e) žák rozumí jednoduchým ekvivalentním zlomkům a zjednodušuje zlomky; srovnává a řadí jednoduché zlomky převáděním zlomků se společným jmenovatelem, vysvětluje své postupy a úvahy f) žák rozezná rovnocennost mezi desetinnými a zlomkovými formami jedné poloviny, čtvrtin, desetin a setin; rozumí, že procento znamená část ze 100 a že může být použito pro srovnání; žák nachází procenta z celých číselných množství, v případě potřeby používá kalkulačku g) žák rozezná přibližné proporce celku a používá jednoduché zlomky a procenta k jejich popisu, vysvětluje své postupy a úvahy h) žák řeší jednoduché problémy zahrnující procenta Desetinná čísla i) žák rozumí desítkovému zápisu pro desetiny a setiny a používá ho v souvislostech [například řazení peněžních obnosů, zaokrouhlování peněžní částky k nejbližší celé hodnotě (Kč apod.), převody délky 1,36 metru na centimetry a naopak]; žák je umí umístit na číselnou osu; žák rozezná tisíciny (jen v metrickém měření) j) žák zaokrouhluje čísla s jedním nebo dvěma desetinnými místy k nejbližšímu číslu celému nebo desetinnému; převádí z centimetrů na milimetry nebo metry, později z milimetrů na metry, z metrů na kilometry, vysvětluje své postupy a úvahy. Výpočty 3. Cíle: Číselné operace a vztahy mezi nimi a) žák rozvíjí porozumění operacím se čtyřcifernými čísly a vztahům mezi nimi; používá související pojmy; vybírá vhodné číselné operace k řešení daného problému a rozezná podobné problémy, k jejichž řešení lze operace použít b) žák dělí se zbytkem, vyjadřuje podíl jako zlomek nebo desetinné číslo; v závislosti na kontextu zaokrouhluje po dělení nahoru nebo dolů c) žák používá závorky pro určení pořadí operací; rozumí, jak jsou zákony komutativnosti aplikovány na sčítání a násobení a jak efektivně mohou být využity při pamětním i písemném počítání Pamětní počítání d) žák je schopen pamětně sčítat a odčítat do 20 e) žák zjišťuje, co je třeba přičíst k jakémukoli dvoucifernému číslu, aby došel ke 100, dále přičítá nebo odečítá jakoukoli dvojici dvouciferných celých čísel; ovládá zvláštní případy sčítání a odčítání trojciferných a čtyřciferných čísel použitím kompenzace nebo jiných metod [například 3000 - 1997, 4560 + 998] f) žák je schopen zpaměti násobit čísla do 10 x 10 g) žák umí zdvojnásobit a rozpůlit jakékoli dvojciferné číslo h) žák umí násobit a dělit, zpočátku v rozsahu 1 až 100 [například 27 x 3, 65 : 5], později i větší čísla Metody zápisu i) žák používá zápis pro sčítání a odčítání přirozených čísel menších než 1 000, později až do 10 000, později i pro sčítání a odčítání desetinných čísel, odhaduje přibližnou hodnotu a používá další strategie ke kontrole svých odpovědí j) žák používá zápis pro krátké násobení a dělení celým jednociferným, dvojciferným, trojciferným i čtyřciferným číslem, později desetinných čísel; dále používá zápis pro

dlouhé násobení a dělení [například 64 : 16]; odhaduje přibližnou hodnotu výsledku a používá další strategie ke kontrole svých odpovědí Práce s kalkulačkou k) žák používá kalkulačku pro výpočty zahrnující několik čísel, včetně desetinných čísel; používá kalkulačku k řešení číselných problémů [například Č. 5]; dokáže zadat a vyložit peněžní výpočty a zlomky; dokáže zadat správný postup výpočtu s více než jednou operací [například 56 x (87 - 48)]. Řešení problémů s čísly 4. Cíle: a) žák dokáže vybrat, užít a kombinovat operace s čtyřcifernými čísly k vyřešení problémů ze „skutečného života“, peníze nebo měření délky, množství, kapacity nebo času, dále též obvod a obsah b) žák vybírá a používá příslušný způsob k výpočtu a vysvětluje své postupy a úvahy c) odhaduje přibližnou hodnotu výsledku a používá další strategie ke kontrole svých odpovědí, přemýšlí o souvislostech problému, podle potřeby kontroluje přesnost výpočtu [například použitím obrácené operace, opakováním výpočtu v různém pořadí] d) žák rozezná, vyjadřuje a interpretuje jednoduché vztahy mezi čísly, zápis v symbolech dokáže popsat slovy [například c = 15n je cena, v pencích, za n předmětů, tj. 15 pencí za každý] e) žák čte a vyznačuje souřadnice v prvním kvadrantu, později ve všech čtyřech kvadrantech [například označuje vrcholy pravoúhelníku nebo graf násobků 3]. Ma3 Tvary, prostor a míry Užívání a použití tvarů, prostoru a měr 1. Cíle: Řešení problémů a) žák rozezná základní jednotky míry b) žák vybírá a používá příslušné početní schopnosti k řešení geometrických problémů c) žák flexibilně přistupuje k prostorovým úlohám, zkouší různé alternativní přístupy k překonání obtíží d) žák používá kontrolní postupy, aby se ujistil, že jeho výsledky řešení geometrických úloh jsou přijatelné Komunikace e) žák organizuje svoji práci a zaznamenává nebo popisuje ji různými způsoby při popisu řešení geometrických úloh f) žák správně používá geometrický zápis a symboly g) žák popisuje a vysvětluje řešení úloh Zdůvodnění h) žák používá matematické zdůvodnění pro objasnění vlastností tvaru a prostoru.

Porozumění vlastnostem tvaru 2. Cíle: a) žák rozezná pravé úhly, kolmé a rovnoběžné přímky; ví, že se úhly měří ve stupních a že jedno celé otočení je 360 stupňů a že plný úhel je 360 stupňů, dále ví, že přímý úhel má 180 stupňů; ví, že součet úhlů v trojúhelníku je 180 stupňů b) žák si představuje a popisuje rovinné a prostorové tvary a jejich vlastnosti, vytváří přesnější geometrický jazyk, zvláště trojúhelníky, čtyřúhelníky a hranoly a jehlany různých druhů; pozná případy, kdy jsou tvary identické c) žák vytváří a kreslí přesněji rovinné a prostorové tvary a modely; rozezná osovou souměrnost v pravidelných mnohoúhelnících; rozezná jejich geometrické znaky a vlastnosti, včetně úhlů, strany a dvojice rovnoběžných přímek a souměrnost a podle toho určuje druhy tvarů a řeší problémy d) žák si představuje prostorová tělesa z rovinných nákresů. Porozumění vlastnostem polohy a pohybu

3. a) b) c)

Cíle: žák si představuje a popisuje pohyby užitím příslušného jazyka žák zobrazuje objekty v praktických situacích; zobrazuje náčrtky užitím ICT; představuje si a odhaduje pozici tvaru po otočení, zrcadlení nebo posunutí žák určuje a kreslí rovinné útvary v různých orientacích do čtvercové sítě; umísťuje a kreslí tvary užitím souřadnic v prvním kvadrantu, později ve všech čtyřech kvadrantech [například použitím souřadnic k určení pozice v počítačové hře].

Porozumění mírám 4. Cíle: a) žák rozezná základní jednotky délky, hmotnosti a objemu, vybírá ty, které jsou vhodné pro daný úkol a používá je v rozumných odhadech v každodenních situacích; převádí metrické jednotky [například převede 3,17 kg na 3 170 g]; má představu o metrických ekvivalentech starých jednotek, které se stále používají b) žák zjišťuje, že měření je přibližné; vybírá si a používá vhodné měřicí přístroje pro úkol; umí interpretovat čísla a čte stupnice přesněji; zaznamenává měření pomocí desetinných čísel c) žák rozezná úhly větší i menší než pravý úhel nebo úhel přímý, odhaduje jejich velikost a uspořádá je; měří a rýsuje ostré, tupé a pravé úhly k nejbližšímu stupni d) žák čte čas z analogových a digitálních 12 - a 24- hodinových hodin; používá jednotky času - sekundy, minuty, hodiny, dny, týdny - a zná jejich vzájemné vztahy e) žák určuje obvody jednoduchých tvarů; určí obsah čtyřúhelníků využitím vzorců, rozumí jeho využití při počítání čtverců a rozšíření tohoto přístupu; vypočítá obvod a obsah tvarů složených ze čtyřúhelníků. Ma4 zajišťující data Používání a aplikace zajišťujících dat 1. Cíle: Řešení problémů a) žák vybírá a používá zajišťující datové schopnosti při řešení problémů v dalších oblastech studijního plánu, zvláště vědeckého b) žák přistupuje k problému flexibilně, zkouší alternativní přístupy k překonání nějakého problému c) žák určí nezbytné údaje k řešení daných problémů d) žák vybere a použije příslušné početní schopnosti k vyřešení problémů zadanými údaji e) žák kontroluje výsledky a ujistí se, že výsledky jsou v kontextu problému odpovídající Komunikace f) žák rozhodne, jak nejlépe organizovat a představit zjištění g) žák používá přesný matematický jazyk a slovník pro zajišťující data Logické myšlení h) žák vysvětlí a odůvodní své použité metody a logické myšlení. Zpracování, představování a interpretace dat 2. Cíle: a) žák řeší úlohy zahrnující data b) žák interpretuje tabulky, seznamy a diagramy používané v každodenním životě; vytváří a interpretuje tabulky četnosti, včetně tabulek pro skupinu jednotlivých dat c) žák znázorňuje a interpretuje jednotlivá data použitím grafů a schémat, zahrnující symboly, sloupcové diagramy a čárové grafy, dále interpretuje širší řadu grafů a schémat, v případě potřeby používá ICT d) žák ví, že modus je jednotka průměru a že rozsah je míra šíření, a použije obě myšlenky k popisu skupiny dat e) žák zná rozdíl mezi diskrétními a souvislými daty f) žák dospěje k závěrům ze statistik a grafů a rozezná, kdy je informace uváděna nesprávným způsobem; prozkoumá pochybnosti a ujistí se, že porozuměl jednotlivým typům situací; diskutuje o událostech s použitím patřičného slovníku, který zahrnuje slova jako například „stejně pravděpodobně“, „přiměřený“, „nepřiměřený“, „jistý“. Rozsah studia

1. a) b) c) d) e) f) g) h)

Během tohoto stupně by si měl žák osvojit znalosti, dovednosti a porozumění prostřednictvím: aktivit, které rozšíří jeho porozumění číselné soustavě zahrnující celá čísla, zlomky a desetinná čísla systematičtějším přiblížením a odhadováním ve své práci při matematice používáním vzorů a vztahů k prozkoumání jednoduchých algebraických myšlenek použitím své měřicí zručnosti v řadě souvislostí dedukováním závěrů z dat v praktických aktivitách a rozeznáním rozdílu mezi smysluplnou a matoucí interpretací dat zkoumáním a používáním různých zdrojů a materiálů, včetně ICT aktivit, ve kterých se žáci rozhodnou, kdy je vhodné použití kalkulaček a jejich efektivním používáním používáním matematiky při své práci v dalších předmětech.

Stupeň 3 Znalosti, dovednosti a porozumění Vyučování by mělo zajistit, aby došlo k příslušnému spojení mezi oblastmi: čísla a algebra, tvary, prostor a míry a zajišťující data. Ma2 Číslo a algebra Používání a použití čísel a algebry 1. Cíle: Řešení problémů a) žák prozkoumá spojení v matematice s cílem rozvinutí flexibilních přístupů ke stále více náročnějším problémům; vybírá příslušné strategie použitelné pro číselné nebo algebraické problémy b) žák rozloží složité výpočty na jednoduché kroky předtím, než je začne řešit c) žák používá alternativní přístupy k překonání potíží a ohodnotí efektivitu svých strategií d) žák vybírá účinné techniky pro číselné výpočty a algebraické výrazy e) žák provádí tiché odhady výsledků výpočtů; používá kontrolní postupy pro sledování přesnosti svých výsledků Komunikace f) žák představuje problémy a řešení v algebraických nebo obrazových formách; přesouvá se z jedné formy znázornění k další, aby získal různé pohledy na problém; prezentuje a interpretujte řešení v kontextu původního problému g) žák rozvíjí správné a důsledné užití zápisu, symbolů a diagramů při řešení problémů h) žák kriticky zkoumá, vylepšuje a poté obhajuje svoji volbu matematického zápisu; prezentuje stručný, odůvodněný argument Logické myšlení i) žák prozkoumává, identifikuje a používá vzor a souměrnost v algebraických souvislostech, zjišťuje, zda zvláštní případy mohou být dále zobecněny a chápe význam opačného příkladu; identifikuje výjimečné případy při řešení problémů; odhaduje a ověřuje odhady v nových případech j) žák ukazuje postupnou dedukci v průběhu řešení problému; vysvětluje a obhajuje, jak dospěl k závěru k) žák rozlišuje mezi praktickou ukázkou a důkazem l) žák rozezná význam předpokladů při dedukci závěrů; rozezná omezení jakýchkoli předpokladů, které jsou dané a účinek, jaký mohou mít proměnné předpoklady na řešení úkolu

Čísla a číselná soustava 2. Cíle: Celá čísla a) žák používá své předchozí znalosti o celých číslech a hodnotách při počítání s velkými kladnými čísly a zaokrouhluje je na desítky; chápe kladná čísla a používá je jak v jejich pozici, tak při posunutí na číselné ose; řadí celá čísla; používá pojmy a termíny: faktor (dělitel), násobení, největší společný dělitel, nejmenší společný násobek, prvočíslo a rozklad čísla na prvočinitele Mocniny a odmocniny b) žák používá termíny: druhá mocnina, kladná a záporná druhá odmocnina (ví, že druhá odmocnina odpovídá kladné druhé odmocnině), třetí mocnina, třetí odmocnina; používá indexový záznam pro celé mocniny a indexové zákony pro násobení a dělení kladných celých čísel Zlomky c) žák používá záznam pro zlomky; rozumí ekvivalentním zlomkům, zjednodušuje zlomek krácením společného jmenovatele; uspořádává zlomky hledáním společného jmenovatele Desetinná čísla d) žák používá desítkový zápis a ví, že každé desetinné číslo lze vyjádřit zlomkem [například 0,137 = 137/1000]; uspořádává desetinná čísla Procenta e) žák chápe, že „procento“ znamená „část ze 100“ a používá toto k porovnávání poměrů; interpretuje procento jako „tolik setin z“ [například 10 % znamená 10 části ze 100 a 15 % z Y znamená 15/100 X Y] Poměr a proporce f) žák používá záznam pro poměr, včetně zjednodušování na jeho nejjednodušší podobu a jeho různé vazby na zlomkový zápis g) žák rozezná, kde je třeba použít zlomky a kde procenta k porovnání poměru; identifikuje problém, který vyžaduje zdůvodnění poměrem a vybírá vhodná čísla k vyjádření 100 % nebo celku. Výpočty Cíle: Operace s čísly a vztahy mezi nimi a) žák ovládá sčítání, odčítání, násobení, dělení celých čísel a později jakýchkoli čísel; násobení a dělení 10, dokáže najít prvočinitele při rozkladu přirozených čísel [například Č. 6] b) žák používá závorky a hierarchii operací; ví, jak použít komutativnost, asociativní a distribuční zákony k efektivnějšímu pamětnímu i psanému počítání c) žák vypočítá daný zlomek dané kvantity, vyjádří odpověď jako zlomek; vyjádří dané číslo jako zlomek jiného čísla; sčítá a odčítá zlomky hledáním společného jmenovatele; převádí jednoduchý zlomek na desetinné číslo d) žák chápe a používá jednotku zlomku jako inverzi k násobení [například 1/5 jako dělení 5 nebo 6/7 jak násobení 6 následované dělením 7 (nebo naopak)]; násobí a dělí daný zlomek celým číslem, jednotkovým zlomkem a obecným zlomkem e) žák převádí jednoduché zlomky na procenta a naopak, rozumí multiplikativní povaze procent jako operátoru [například, 20% sleva na £150 se určí jako £(0,8 x 150)] f) žák dělí množství v daném poměru [například £15 v poměru 1:2]

Pamětní metody g) žák vyjmenuje všechny celočíselné doplňky do 100 [například 37 + 63 = 100]; vyjmenuje všechny násobky do 10 x 10 a používá je k rychlému odvození

h) i)

odpovídajícího dělení; určí třetí mocninu čísla 2, 3, 4, 5 a 10, a desetinným číslem vyjádří jednoduché zlomky [například 1/2, 1/4, 1/5, 1/10, 1/100, 1/3, 2/3, 1/8] žák umí zaokrouhlit číslo na nejbližší celé číslo a jednu platnou číslici; odhadne řešení úloh zahrnujících desetiny žák vytvoří několik strategií pro hrubý odhad; umí odvozovat neznámá fakta od toho, co ví [například přibližný Ã85]; sečtěte a odečtěte zpaměti čísla s dvěma desetinnými místy [například 13.76 - 5.21, 20.08 + 12.4]; násobí a dělí čísla s nejvýše jedním desetinným číslem [například 14.3 x 4; 56,7 Ö 7], je−li to možné, používá faktorizaci

Psané metody j) žák používá standardní sloupcové procedury pro sčítání a odčítání celých a desetinných čísel k) žák používá standardní sloupcový postup pro násobení celých a desetinných čísel, ví, kde má umístit desetinnou čárku a uvědomuje si, co se stane, jestliže násobí ekvivalentní zlomky [například, 0,6 x 0,7 = 0,42 z 6/10 x 7/10 = 42/100 = 0,42]; vyřeší úlohu zahrnující dělení desetinným číslem převedením na úlohu dělení číslem celým l) žák používá účinné metody pro počítání se zlomky zahrnující krácení společným dělitelem před provedením výpočtu, ví, že v mnoha případech může přesnou odpověď vyjádřit pouze zlomek m) žák řeší jednoduché úlohy s procenty zahrnující zvýšení a snížení [například jednoduché úrokování, DPH, slevy, zvýšení platu, roční míru inflace, daň z příjmu] n) žák řeší slovní úlohy s procenty a poměrem zahrnující používání běžných postupů a jednotných řešení [například jestliže m položek stojí £ y, pak jedna položka stojí £ y/n a n položek stojí £ (n X y / m), počet položek, které mohou být koupeny za £ z je z X m / y] Výpočty na kalkulačce o) žák používá kalkulačku efektivně: umí zadat složitý výpočet obsahující závorky [například pro záporná čísla nebo dělení s více než jedním výrazem], umí zadat řadu výpočtů, včetně těch, které zahrnují míru [například výpočet času, ve kterých je třeba zlomky hodin zadat jako zlomky nebo desetiny] p) žák používá funkční klávesy pro převrácené hodnoty, druhou mocninu, druhou odmocninu, mocninu, zlomky (a jak zadat zlomek jako desetinné číslo); používají tlačítka konstant q) žák rozumí displeji kalkulačky, správně z něho interpretuje údaje [například ve finančních výpočtech, a v případech zaokrouhlení provedených kalkulačkou] a ví, že se nezaokrouhluje během jednotlivých kroků výpočtu.

Řešení číselných problémů 4. Cíle: a) žák čerpá ze znalostí operací a vztahů mezi nimi a z mocnin jednoduchých celých čísel a jejich odpovídajících odmocnin, řeší problémy zahrnující procenta a poměr, řadu měr a složené míry, metrické jednotky a převody mezi metrickými a starými jednotkami v různých souvislostech b) žák vybírá příslušné operace, metody a strategie řešení číselných problémů zahrnující zkoušku a zlepšení tam, kde není zjevná účinnější metoda najít řešení c) žák používá různé kontrolní postupy zahrnující obrácené zpracování problému a úvahu, zda výsledek je pravé řádové hodnoty d) žák nalezne v tomto kontextu řešení úlohy v příslušném stupni přesnosti, rozezná omezení přesnosti dat a měření. Rovnosti, rovnice a identita 5. Cíle:

Používání symbolů a) žák rozlišuje různé funkce vyjádřené písmeny v algebře, ví, že písmena zastupují v rovnicích konečná neznámá čísla [například Č. 7], stanovené množství nebo proměnné v rovnici [například V = IR], obecná nespecifikovaná a nezávislá čísla v identických rovnicích [například 3x + 2x = 5x nebo 3 (a+ b) = 3a + 3b nebo Č. 8] a ve funkcích, že definují nové výrazy nebo množství odkazující k známému množství [například y = 2 - 7x] b) žák rozumí tomu, že úpravy algebraických výrazů podléhají zákonům aritmetiky; zjednodušuje nebo upravuje algebraické výrazy shromažďováním podobných výrazů [například Č. 9], násobením jednotlivý výrazů, vytýkáním před závorku [například Č. 10] a rozšiřováním dvou lineárních výrazů včetně umocňování na druhou [například Č. 11]; rozlišuje ve významu mezi slovy „rovnice“ , „vzorec“, „identita“ a „výraz“. Indexový zápis c) žák používá indexový záznam pro mocninu celých čísel a jednoduché příklady pravidel úpravy indexů; nahrazuje kladná a záporná čísla do výrazů jako Č. 12 Rovnice d) žák sestavuje jednoduché rovnice [například najděte úhel v trojúhelníku s úhly a, a + 10, a + 20]; řeší jednoduché rovnice [například 5x = 7, 3(2x +1) = 8, 2 - x) = 6 (2 + x), č. 13] použitím inverzních operací nebo úpravou obou stran Lineární rovnice e) žák řeší rovnice prvního stupně s celými čísli, kde neznámá je na obou stranách rovnice; řeší rovnice prvního stupně, které vyžadují zjednodušení závorek, včetně těch, které mají záporná znaménka kdekoli v rovnici, i ty s řešením v podobě záporných čísel Rovnice f) žák řeší lineární rovnice z matematiky a dalších předmětů [například rovnice pro obsah trojúhelníku, obsah vymezený kruhem, hustota = hmotnost/objem]; dosazuje čísla do vzorce; odvozuje vzorec a mění jeho veličiny [například převeďte teplotu ze stupňů Fahrenheita na stupně Celsia, najděte obvod obdélníku daný jeho obsahem A a délkou l jedné strany]

Přímá úměrnost g) žák sestavuje a používá rovnice k řešení slovních a dalších úloh zahrnujících přímou úměrnost, propojuje jejich algebraické řešení do grafického záznamu Lineární soustavy rovnic h) žák spojuje grafický záznam rovnice s jejím algebraickým řešením; hledá přibližné řešení lineární soustavy rovnic grafickými metodami; později hledá přesné řešení vyloučením jedné proměnné; bere v úvahu graf, kdy příklad nemá řešení, nebo kdy existuje nekonečné množství řešení Nerovnice i) žák řeší jednoduché lineární nerovnice s jednou proměnnou, zobrazuje řešení na číselné ose Číselné metody j) žák používá stálé zkoušky a další metody k nalezení přibližného řešení rovnic, ve kterých nefunguje žádná jednoduchá analytická metoda Posloupnosti, funkce a grafy 6. Cíle: Posloupnosti a) vytvářet běžné posloupnosti s celými čísly (včetně posloupností sudých a lichých čísel, druhých mocnin celých čísel, mocnin 2, mocnin 10, součtu aritmetické řady) b) nalézt první členy posloupnosti dané pravidlem, které vyplývá přirozeně ze souvislosti [například, počet možností, jak se dá zaplatit částka použitím jen 1p a 2p mincí, nebo z pravidelně rostoucího prostorového vzoru]; nalézt pravidlo (a vyjádřit ho slovy) pro n-tý člen posloupnosti

c)

vytvářet členy posloupnosti s použitím definice posloupnosti podle sousedních členů a podle pozice; použít lineární výrazy k popisu n-tého členu aritmetické řady, zdůvodnit její tvar odkazem na činnost nebo souvislost, ze které byl odvozen

Funkce d) vyjádřit jednoduché funkce, nejprve slovy a potom symboly; prozkoumat vlastnosti jednoduché polynomiální funkce e) používat konvence pro souřadnice v rovině; zakreslit body ve všech čtyřech kvadrantech; rozeznat (pokud jsou dány hodnoty pro m a c), že rovnice ve tvaru y = mx + c odpovídá grafu přímky v rovině souřadnic; zakreslit graf funkce, kde y je dáno explicitně pomocí x [například, y = 2x + 3], nebo implicitně [například, x + y = 7] f) vytvářet lineární funkce popisující úlohy z reálného života a kreslit jejich grafy; diskutovat a vykládat grafy vyplývající z reálných situací [například, graf závislosti vzdálenosti na čase pro objekt pohybující se konstantní rychlostí] g) vytvářet body a zakreslovat grafy jednoduchých kvadratických a kubických funkcí [například, ITEM 15] Směrnice h) nalézt směrnici přímky dané rovnicí tvaru y = mx + c (pokud jsou dány hodnoty pro m a c); vyšetřit směrnici rovnoběžek a přímek k nim kolmých [například, vědět, že rovnice y = 5x a y = 5x - 4 představuje rovnoběžky, obě se směrnicí 5 a že graf jakékoli přímky kolmé k těmto přímkám má směrnici -1/5].

Ma3 Tvar, prostor a měření Použití tvaru, prostoru a měření 1. Cíle: Řešení problému a) zvolit strategii a zdroje pro řešení problému, včetně ICT (informační a komunikační techniky), pro použití v geometrii, a sledovat jejich účinnost b) volit a kombinovat známá fakta a strategie pro řešení problému na vyřešení složitých problémů c) zjistit, jaké další informace jsou třeba k vyřešení problému; řešit složité problémy rozdělením na řadu úkolů Komunikace d) vykládat, diskutovat a syntetizovat geometrické informace předkládané různým způsobem e) komunikovat matematicky, využívat geometrické obrazce a související vysvětlující text f) používat přesný jazyk a exaktní metody pro analýzu geometrických struktur g) kontrolovat a zdůvodňovat svůj výběr matematického podání Zdůvodňování h) rozlišovat mezi praktickým předvedením, důkazem, konvencí, skutečností, definicí a odvozenými vlastnostmi i) vysvětlit a zdůvodnit úsudky a dedukce s použitím matematického zdůvodňování j) zkoumat geometrické souvislosti; klást podmíněná omezení typu „Pokud ... potom ...“; a pokládat otázky „Co když ...?“ nebo „Proč?“ k) ukázat dedukci při řešení geometrické úlohy krok za krokem l) uvádět omezení a východiska při provádění dedukcí m) rozeznat omezení všech předpokladů, které jsou činěny; chápat vliv, který může mít změna předpokladů na řešení n) rozpoznat výjimečné případy v řešení geometrických úloh. Geometrické zdůvodnění 2. Cíle: Úhly a) připomenout a používat vlastnosti úhlů v bodě, úhly na přímce (včetně pravého úhlu), kolmice, a protější úhly ve vrcholu b) rozlišovat mezi ostrým, tupým, vypouklým (větší než přímý a menší než plný) a pravým úhlem; odhadnout velikost úhlu ve stupních

Vlastnosti trojúhelníku a jiných mnohoúhelníků c) používat rovnoběžky, střídavé úhly a souhlasné úhly; chápat vlastnosti rovnoběžníků a důkaz, že součet úhlů v trojúhelníku je 180 stupňů; chápat důkaz, že vnější úhel trojúhelníku se rovná součtu vnitřních úhlů v ostatních dvou vrcholech d) používat vlastnosti úhlů rovnostranného, rovnoramenného a pravoúhlého trojúhelníku; chápat shodu, rozeznat, kdy jsou dva trojúhelníky shodné; vysvětlit, proč je součet úhlů každého čtyřúhelníku 360 stupňů e) používat své znalosti obdélníků, rovnoběžníků a trojúhelníků, aby odvodili vzorce pro plochu rovnoběžníku a trojúhelníku ze vzorce pro plochu obdélníku f) připomenout základní vlastnosti zvláštních typů čtyřúhelníku, včetně čtverce, obdélníku, rovnoběžníku, lichoběžníku a kosočtverce; klasifikovat čtyřúhelníky podle jejich geometrických vlastností g) počítat a používat součet vnitřních a vnějších úhlů čtyřúhelníku, pětiúhelníku a šestiúhelníku; počítat a používat úhly v pravidelných mnohoúhelníkách h) chápat, vybavovat si a používat Pythagorovu větu

Vlastnosti kružnic i) vybavovat si definici kružnice a význam souvisejících výrazů, včetně středu, poloměru, tětivy, průměru, obvodu, tangenty, oblouku, výseče a úseče; chápat, že tangenta v libovolném bodu na kružnici je kolmá k poloměru v daném bodě; vysvětlit, proč kolmice ze středu na tětivu dělí tětivu na dva stejné díly; chápat, že vepsaný pravidelný mnohoúhelník může být konstruován pravidelným dělením kruhu Třírozměrná tělesa j) zkoumat geometrii pravoúhlých hranolů (včetně krychle), a útvarů z nich vzniklých k) používat dvourozměrné znázornění třírozměrných útvarů a analyzovat třírozměrné útvary pomocí dvourozměrných průmětů a řezů, včetně nárysu a bokorysu. Transformace a souřadnice 3. Cíle: Stanovení transformací a) chápat, že rotace je určena středem a úhlem (proti směru hodinových ručiček); používat pravé úhly, zlomky z kruhu a stupně na měření úhlu rotace; chápat, že osová souměrnost je určena osou symetrie, translace vzdáleností a směrem, a zvětšení středem a pozitivním poměrem zvětšení Vlastnosti transformací b) rozeznat a zobrazit rotace, osovou souměrnost a translaci, včetně osové souměrnosti dvourozměrných a třírozměrných útvarů, a rotační souměrnost dvourozměrných objektů; transformovat dvourozměrné objekty translací, rotací a osovou symetrií, rozeznat, že tyto transformace zachovávají délku a úhel, takže každý vzor je shodný se svým obrazem při každé z těchto transformací c) rozeznat, zobrazit a vytvářet zvětšení objektů s použitím kladných celočíselných měřítek větších než jedna, potom kladných měřítek menších než jedna; chápat z toho, že každé dva kruhy a každé dva čtverce jsou matematicky podobné, zatímco dva pravoúhelníky, obecně, nejsou d) rozeznat, že zvětšení zachovává úhel, ale ne délku; rozpoznat poměr zvětšení jako poměr délky dvou odpovídajících úseček a použít to na trojúhelník; chápat důsledky zvětšení pro obvod; používat a vykládat mapy a výkresy v měřítku; chápat důsledky zvětšení pro plochu a pro objem Souřadnice e) chápat, že jedna souřadnice určuje bod na číselné ose, dvě souřadnice určují bod v rovině a tři souřadnice určují bod v prostoru, s použitím výrazů „jedno-“, „dvou-“ a „třírozměrný“; používat osy a souřadnice na určení bodů ve všech čtyřech kvadrantech; umístit bod o daných souřadnicích; nalézt souřadnice bodů určených geometrickými informacemi [například, nalézt souřadnice čtvrtého vrcholu rovnoběžníku s vrcholy v bodech (2, 1) (-7, 3) a (5, 6)]; nalézt souřadnice středu úsečky AB, dané body A a B, potom vypočítat délku úsečky AB. Měření a rýsování

4. Cíle: Měření a) vykládat měřítko různých měřicích nástrojů, včetně nástrojů na měření času a hmotnosti; vědět, že měření s použitím reálných čísel závisí na volbě jednotky; rozeznat, že měření se zaokrouhlením na nejbližší celou jednotku může být nepřesné až o jednu polovinu v obou směrech; převést měření z jedné jednotky na jinou; znát přibližné metrické ekvivalenty liber, stop, mílí, pint a galonů; dělat rozumné odhady rozsahu měření v běžném životě b) chápat měření úhlů, používat s tím spojený jazyk [například, používat orientaci na určení směru] c) chápat a používat složené míry, včetně rychlosti a hustoty

Rýsování d) změřit a nakreslit úsečku s přesností na milimetr, úhel s přesností na stupeň; nakreslit trojúhelník a jiné dvourozměrné objekty pomocí pravítka a úhloměru, pokud znají informaci o délkách jejich stran a úhlech; chápat, ze své zkušenosti s jejich rýsováním, že trojúhelník splňující pravidlo SSS, SAS (strana-úhel-strana), ASA a RHS jsou totožné, ale trojúhelníky SSA ne; vytvářet krychle, pravidelné čtyřstěny, jehlany se čtvercovou podstavou a jiná třírozměrná tělesa podle daných informací e) používat pravítko a kružítko na provádění standardních výkresů, včetně rovnostranného trojúhelníku s danou stranou, středu a kolmého rozpůlení úsečky, kolmice z bodu k přímce, kolmice z bodu na přímce, a půlení úhlu Výpočet ploch f) nalézt plochu pravoúhelníku, vzpomenout si na vzorec, chápat souvislost s počítáním čtverečků a jak rozšířit tento přístup; vybavovat si a používat vzorce pro plochu rovnoběžníku a trojúhelníku; nalézt plochu jednoduchých útvarů s použitím vzorce pro plochu trojúhelníku a pravoúhelníku; vypočítat obvod a plochu útvarů vzniklých z trojúhelníku a pravoúhelníku g) nalézt objem pravoúhlých hranolů, vzpomenout si na vzorec a chápat souvislost s počítáním krychliček a jak rozšířit tento přístup; vypočítat objem pravoúhlých hranolů a útvarů vzniklých z krychlí a hranolů h) nalézt obvod kružnice a plochu omezenou kružnicí, vzpomenout si na příslušné vzorce i) převádět mezi plošnými měrami, včetně čtverečných centimetrů a čtverečných metrů, a objemovými měrami, včetně kubických centimetrů a kubických metrů Geometrická místa j) nalézt geometrická místa, jak zdůvodněním, tak použitím ICT, na vytvoření obrazců a cest [například, rovnostranný trojúhelník]. Ma4 Zpracování dat Použití zpracování dat 1. Cíle: Řešení problému a) provádět všechny čtyři části cyklu zpracování dat na vyřešení problémů: i) stanovit problém a plán: formulovat otázky na základě potřebných dat, a uvážit, co se dá zjistit z těchto dat; rozhodnout, jaká data je třeba shromáždit(včetně velikosti vzorků a formátu dat) a jaká statistická analýza je zapotřebí ii) shromáždit data z různých vhodných zdrojů, včetně experimentů a odhadů, primárních a sekundárních zdrojů iii) zpracovat a předvést data: přeměnit surová data na užitečné informace, které umožňují pochopení problému iv) vykládat a diskutovat data: odpovědět na počáteční otázku vyvozením závěrů vyplývajících z dat b) zjistit, jaké další informace jsou potřebné k provedení určitého typu šetření c) volit a organizovat vhodné matematické metody a zdroje pro použití na úkolu d) sledovat postup práce; kontrolovat a hodnotit řešení Komunikace e) vykládat, diskutovat a syntetizovat informace předkládané různým způsobem f) komunikovat matematicky, využívat diagramy a související vysvětlující text

g)

kriticky zkoumat a zdůvodňovat svoji volbu matematického podání problémů, které obsahují data

Zdůvodňování h) použít matematické zdůvodňování, vysvětlit a zdůvodnit úsudky a dedukce i) zkoumat matematické souvislosti a hledat při analýze dat příčiny a důsledky j) rozeznat omezení všech předpokladů, a vliv, který může mít změna předpokladů na závěry vyvozené z analýzy dat.

Určení a rozplánování problému 2. Cíle: a) vidět, že náhodné procesy se nedají předvídat b) stanovit otázky, které se dají řešit statistickými metodami c) diskutovat, jak data souvisejí s problémem; určit možné zdroje zkreslení a naplánovat, jak se dá minimalizovat d) určit, jaká primární data potřebují shromáždit a v jakém formátu (včetně tříděných dat, s uvážením vhodných stejných intervalů ) e) navrhnout experiment nebo šetření; rozhodnout, jaká sekundární data mají být použita. Sběr dat 3. Cíle: a) navrhovat a používat formuláře pro sběr dat pro tříděné diskrétní a souvislé hodnoty; shromáždit data s použitím různých metod včetně pozorování, kontrolovaného pokusu, shromažďování dat, dotazníků a šetření b) sbírat data ze sekundárních zdrojů, včetně tištěných tabulek a seznamů z ICT zdrojů c) navrhovat a používat dvourozměrné tabulky pro diskrétní a tříděná data. Zpracování a znázornění dat 4. Cíle: a) nakreslit a vytvořit, s použitím papíru a ICT, kruhové diagramy pro data o kategoriích a diagramy pro spojitá data, včetně čárových grafů pro časové řady, bodové grafy, histogramy a diagram „stem-and-leaf“ 1 b) vypočítat průměr, rozsah a medián malých datových souborů s diskrétními a potom souvislými daty; určit třídu módu (modal class, třída s největším výskytem) pro tříděná data c) chápat a používat míru pro pravděpodobnost d) chápat a používat odhady nebo míry pravděpodobnosti z teoretických modelů, včetně stejně pravděpodobných výsledků, nebo z relativní četnosti e) dělat seznam všech výsledků pro jednotlivé události, a pro dvě následné události, systematickým způsobem f) určit různé vzájemně se vylučující výsledky a vědět, že součet pravděpodobností všech těchto výsledků je 1 g) nalézt medián pro velké datové soubory a vypočítat odhad průměru pro velké datové soubory s tříděnými daty h) nakreslit od oka nejlépe odpovídající křivku, chápat co znamená. Výklad a diskuse výsledků 5. Cíle: a) dát sumarizované údaje do souvislosti s původní otázkou b) vykládat nejrůznější grafy a diagramy a dojít k závěru c) vidět v datech struktury a výjimky d) srovnávat rozdělení a vyvozovat z něj, s použitím tvaru rozdělení a míry pro průměr a rozsah e) hodnotit a kontrolovat výsledky, odpovídat na otázky a upravovat přístup, v případě potřeby f) chápat v zásadě, co je korelace 1

Pozn. překl.: myslím, že v Česku se to nepoužívá a není na to termín. V zásadě to je histogram vyjádřený čísly.

g) h) i) j)

používat nejlépe odpovídající křivky používat při výkladu výsledků jazyk pravděpodobnosti, s použitím neurčitosti a predikce srovnávat experimentální data a teoretickou pravděpodobnost chápat, že pokud budou opakovat experiment, mohou dostat - a obvykle dostanou jiný výsledek, a že vzorek o větší velikosti obecně dává lepší odhad pravděpodobnosti a vlastností populace.

Rozsah studia 1. Během rozhodující fáze by se žáci měli naučit znalosti, získat zručnost a pochopit souvislosti pomocí: a) činností, které zajišťují, že se seznámí se standardními postupy na různé problémy, včetně poměru a podílu a budou je používat s jistotou b) činností, které jim umožní pochopit, že algebra je rozšíření počítání s čísly c) řešení známých a neznámých problémů, včetně problémů s více kroky, v mnoha číselných, algebraických a grafických souvislostech a v otevřené a zavřené formě d) činností, které vytvářejí krátké řetězce deduktivního zdůvodňování a pojetí důkazů v algebře a geometrii e) činností cílených na geometrické definice, v nichž prakticky pracují s geometrickými objekty, aby rozvíjeli své schopnosti zobrazit tyto objekty a pracovali s nimi v duchu f) praktických prací, kde vyvozují úsudky z dat a zvažují, jak se statistika používá v reálném životě pro tvorbu informovaných rozhodnutí g) mnoha činností, které se zabývají stále náročnějšími statistickými problémy h) úloh cílených na používání vhodné ICT [například, kalkulační tabulky, databáze, geometrické a grafické balíky], se správným a účinným používáním kalkulátorů, a vědět, kdy není vhodné používat určitou techniku.

Národní učební osnovy pro Anglii

MATEMATIKA Stupeň 4 Znalosti, schopnosti a porozumění Vyučování by mělo zajistit, aby mezi jednotlivými sekcemi počítání a algebra, tvar, prostor a měření a zpracování dat vznikly odpovídající vazby. Ma2 Počítání a algebra Používání počítání a algebry 1. Cíle: Řešení problému a) volit a používat vhodné strategie na řešení problémů a účinné techniky na řešení numerických a algebraických problémů b) rozložit složitý výpočet do jednodušších kroků před pokusem ho řešit c) používat algebru na formulaci a řešení jednoduchého problému - určit proměnnou, vytvořit rovnici, řešit rovnici a vyložit řešení v souvislosti s úlohou d) provádět v hlavě odhady odpovědí na výpočty; používat kontrolní postupy, včetně používání inverzních postupů; pracovat na dané úrovni přesnosti Komunikace e) vykládat a diskutovat numerické a algebraické informace předkládané různým způsobem f) používat notaci a symboly správně a konzistentně v rámci daného problému g) používat různé strategie na vytváření numerického, algebraického nebo grafického znázornění úlohy a jejího řešení; přesunout se z jedné formy zobrazení do jiné, aby získali jiný náhled na problém h) předkládat a vykládat řešení v souvislosti s původním problémem i) posuzovat a zdůvodňovat svoji volbu matematického podání Zdůvodňování j) prozkoumat, identifikovat a používat strukturu a symetrii v algebraické souvislosti [například použitím jednoduchých kódů, které nahrazují čísla písmeny], zkoumat, zda určité případy mohou být zobecněny, a chápat význam protipříkladu; zjistit výjimečné případy při řešení problémů k) ukázat dedukci při řešení problému krok za krokem l) rozlišovat mezi praktickým předvedením a důkazem m) rozeznat význam předpokladů při vyvozování výsledků; rozeznat omezení všech předpokladů, které jsou činěny a vliv, který může mít změna předpokladů na řešení problému. Čísla a číselná soustava 2. Cíle: Celá čísla a) používat předchozí chápaní celých čísel a řádovou hodnotu pro zacházení s libovolně velkými kladnými čísly a zaokrouhlovat je na danou mocninu 10; chápat a používat

kladná čísla, jako pozice a posuny na číselné ose; uspořádávat celá čísla; používat koncept a slovník dělitele, násobku a společného dělitele

Mocniny a kořeny b) používat výrazy druhá mocnina, druhá odmocnina kladného čísla, třetí mocnina; používat indexovou notaci pro druhou mocninu, třetí mocninu a mocniny 10; vyjádřit standardní indexovou formu jak v konvenční notaci, tak na displeji kalkulačky Zlomky c) chápat ekvivalentní zlomky, krátit zlomky všemi společnými děliteli; uspořádávat zlomky tím, že je přepíšou na společného dělitele Desetinná čísla d) používat desetinnou notaci a rozeznat, že každé konečné desetinné číslo je zlomek [například, 0,137 = 137/1000]; uspořádat desetinná čísla Procenta e) chápat, že „procento“ znamená „počet částí ze 100“ a používat to na srovnávání podílů; vykládat procento jako operátor „tolik setin z“ [například, 10% znamená 10 dílů ze 100 a 15% z Y znamená 15/100 x Y]; používat procento v reálném životě [například, obchod a podnikání, včetně míry inflace, DPH a úrokové míry] Poměr f) používat poměrovou notaci, včetně redukce na nejjednodušší formu a její různé spojitosti s notací zlomků [například, u map a výkresů v měřítku, velikostí archů papíru a převodech]. Výpočty 3. Cíle: Operace s čísly a vztahy mezi nimi a) sčítat, odčítat, násobit a dělit celá čísla a potom všechna čísla; násobit nebo dělit všechna čísla mocninami 10, a všechna kladná čísla číslem mezi 0 a 1 b) používat závorky a hierarchii operací c) vypočítat daný zlomek dané veličiny [například, pro výkresy v měřítku a stavbu modelů, splátky, slevy], vyjádřit odpověď jako zlomek; vyjádřit dané číslo jako zlomek jiného čísla; sčítat a odčítat zlomky tím, že je přepíší na společného dělitele; provádět krátké dělení, aby převedli jednoduchý zlomek na desetinný d) chápat a používat zlomky s jedničkou v čitateli jako opak násobků [například úvahu, že násobení 1/5 je totéž jako dělení 5, nebo násobení 6/7 je totéž jako násobení 6 následované dělením 7 (nebo naopak)]; násobit a dělit zlomek celým číslem, a násobit zlomek zlomkem s jedničkou v čitateli e) převést jednoduché zlomky z celku na procenta celku a naopak [například, při rozboru výživy, rozpočtu nebo nákladů na provoz, udržení a vlastnictví auta], potom chápat multiplikativní povahu procent jako operátorů [například, 30% zvýšení ze 150 £ dá celek vypočtený jako (1,3 X 150) £, zatímco 20% sleva dává celek vypočtený jako (0,8 X 150)] £ f) dělit veličinu v daném poměru [například, část z 15 £ v poměru 1:2] Výpočty v duchu g) vybavovat si všechny kladné celočíselné doplňky do 100 [například, 37 + 63 = 100]; vybavovat si celou malou násobilku do 10 X 10, a používat ji rychle k odpovídajícímu dělení; vybavovat si třetí mocninu 2, 3, 4, 5 a 10, a převod známých jednoduchých zlomků na desetinné [například, 1/2, 1/4, 1/5, 1/10, 1/100, 1/3, 2/3, 1/8] h) zaokrouhlovat na nejbližší celé číslo a na jednu platnou číslici; odhadnout odpovědi na úlohy obsahující desetinná čísla

i)

vytvářet různé strategie pro výpočty v duchu; odvozovat neznámá fakta z těch, která znají [například, odhadnout Ã85]; sčítat a odčítat čísla v duchu až na dvě desetinná místa [například, 13,76 – 5,21, 20,08 + 12,4]; násobit a dělit čísla s jedním desetinným místem, [například, 14,3 X 4, 56,7 : 7] s použitím komutativního, asociativního a distributivního zákona a rozložení na činitele, pokud to jde, a provádět řádový odhad

Písemné metody j) používat standardní sloupcové postupy pro sčítání a odčítání celých čísel a desetinných čísel k) používat standardní sloupcové postupy pro násobení celých čísel a desetinných čísel, chápat, kam umístit desetinnou čárku, když uváží, co se stane, pokud budou násobit ekvivalentní zlomky; řešit problém obsahující dělení desetinným číslem (až na dvě místa desetinného čísla) tím, že jej převedou na problém obsahující dělení celým číslem l) používat účinné metody na počítání se zlomky, včetně krácení společného dělitele před provedením výpočtu, při tom si všimnout, že, v mnoha případech, se přesná odpověď dá vyjádřit jen zlomkem m) řešit jednoduché problémy s procenty, včetně zvýšení a snížení [například, DPH, roční míry inflace, daně z příjmu, slevy] n) řešit slovní úlohy o poměru a podílu, včetně používání neformální strategie a jednotné metody pro řešení [například, pokud m stejných položek stojí y £, potom jedna položka stojí y/m £ a n položek stojí (n X y/m) £, počet položek, které se dají koupit za z £ je z x m/y] Používání kalkulačky o) používat kalkulačku účinně a účelně: vědět, jak zadávat složité výpočty a používat tlačítka funkcí na výpočet převrácené hodnoty, druhé a ostatních mocnin p) zadávat rozsah výpočtu, včetně standardní indexové formy a míry [například, výpočty času, kde zlomky hodiny musejí být zadány jako zlomky nebo jako desetinná čísla] q) rozumět displeji kalkulačky, vykládat jej správně [například při peněžních výpočtech, nebo když je displej zaokrouhlen kalkulačkou], a vědět, že během výpočetních kroků se nezaokrouhluje. Řešení číselných úloh 4. Cíle: a) využít svých znalostí operací a vztahů mezi nimi a jednoduchých mocnin celých čísel a odpovídajících odmocnin na vyřešení úloh obsahujících poměr a podíl, různé míry a složené míry, metrické jednotky a převod mezi metrickými a běžnými anglosaskými jednotkami, v různé souvislosti b) volit vhodné operace, metody a strategie na řešení číselných úloh, včetně pokusu a omylu, kde lepší metoda pro nalezení řešení není zřejmá c) používat různé kontrolní postupy, včetně zpětného postupu v úloze, a uvážit, zda výsledek je ve správném řádu d) dávat řešení do souvislosti s úlohou na odpovídajícím stupni přesnosti, vykládat řešení, která se objeví na displeji kalkulačky, a uvědomovat si omezení pro přesnost dat a měření. Rovnice, vzorce a identity 5. Cíle: Používat symboly a) rozlišovat různé role, které mají písmena jako symboly v algebře, vědět, že tato písmena představují určitá neznámá čísla v rovnici [například, 5x + 1 = 16], určité veličiny nebo proměnné ve vzorcích [například, V = IR], obecná, nespecifikovaná a nezávislá čísla v identitách [například, 3x + 2x = 5x, ITEM 16] a v funkcích definují nové výrazy nebo veličiny odkazem na známé veličiny [například, y = 2x] b) chápat, že transformace algebraických výrazů dodržuje a zobecňuje pravidla aritmetiky; manipulovat s algebraickými výrazy tím, že shromáždí podobné výrazy, násobením jediným výrazem mimo závorku, a vybráním jediného výrazu se společným

jmenovatelem s [například, x + 5 - 2x - 1 = 4 - x; 5(2x + 3) = 10x + 15; ITEM 17]; rozlišovat mezi významem slov „rovnice“, „vzorec“, „identita“ a „výraz“ Indexová notace c) používat indexovou notaci pro mocniny jednoduchých celých čísel a jednoduché příklady pravidel pro počítání s mocninami; nahrazovat kladná a záporná čísla ve výrazech, jako je ITEM 18

Nerovnosti d) řešit jednoduché lineární nerovnosti s jednou proměnnou a představit řešení na číselné ose Lineární rovnice e) řešit lineární rovnice, s celočíselnými koeficienty, v nichž je neznámá na levé, na pravé nebo na obou stranách rovnice; řešit lineární rovnice, které vyžadují předchozí zjednodušení závorek, včetně těch, které mají záporná znaménka kdekoli v rovnici, a rovnice se záporným řešením Vzorce f) používat vzorce z matematiky a jiných předmětů vyjádřené zpočátku slovy a potom s použitím písmen a symbolů [například, vzorce pro plochu trojúhelníku, plochy omezené kružnicí, vydělaná mzda = odpracované hodiny X hodinová sazba]; nahrazovat čísla ve vzorci; odvodit vzorec a změnit jeho předmět [například, převést teplotu mezi stupni Fahrenheita a Celsia, nalézt obvod obdélníku, pokud známe jeho plochu A a délku l jedné strany, používat V = IR na vytvoření vzorce pro Ö pomocí V a I]. Posloupnosti, funkce a grafy 6. Cíle: Posloupnosti a) vytvářet členy posloupnosti s použitím definice posloupnosti podle sousedních členů a podle pozice; používat lineární výrazy k popisu n-tého členu aritmetické řady, zdůvodnit její tvar odkazem na činnost nebo souvislost, ze které byl odvozen Grafy lineárních funkcí b) používat konvence pro souřadnice v rovině; zakreslit body ve všech čtyřech kvadrantech; rozeznat (pokud jsou dány hodnoty pro m a c), že rovnice ve tvaru y = mx + c odpovídá grafu přímky v rovině souřadnic; zakreslit graf funkce, kde y je dáno explicitně pomocí x [například, y = 2x + 3], nebo implicitně [například, x + y = 7] c) vytvářet lineární funkce z problémů reálného života a kreslit jejich grafy; diskutovat a vykládat grafy vyplývající z reálných situací; chápat, že průsečík dvou různých přímek stejných dvou proměnných, které současně popisují reálnou situaci, je řešení dvou rovnic u dvou neznámých představované přímkami; nakreslit nejlépe odpovídající přímku pro množinu lineárně položených bodů a nalézt její rovnici Směrnice d) nalézt směrnici přímky dané rovnicí tvaru y = mx + c (pokud jsou dány hodnoty pro m a c); prošetřit směrnici rovnoběžek Vykládat grafické informace e) vykládat informace prezentované různými lineárními a nelineárními grafy [například, grafy popisující trendy, grafy pro převod, grafy závislosti dráha-čas, grafy výšky nebo váhy proti věku, grafy veličin, které se mění v čase, například zaměstnanost]. Ma3 Tvar, prostor a míry Používat tvary, prostor a míry 1. Cíle:

Řešení problému a) zvolit strategii a zdroje pro řešení problému, včetně nástrojů ICT, pro použití v geometrii, a sledovat jejich účinnost b) volit a kombinovat známá fakta a strategie řešící úlohu na vyřešení složitých úloh c) určit, jaké další informace jsou třeba na řešení a geometrické úlohy; rozložit složité problémy rozdělením na řadu úkolů

Komunikace d) vykládat, diskutovat a syntetizovat geometrické informace předkládané různým způsobem e) komunikovat matematicky, předkládáním a organizováním výsledků a vysvětlováním geometrických obrazců f) používat vhodným způsobem jazyk geometrie g) kontrolovat a zdůvodňovat svůj výběr matematického podání Zdůvodňování h) rozlišovat mezi praktickým předvedením a důkazem i) používat matematické zdůvodňování, vysvětlit a zdůvodnit úsudky a dedukce j) ukázat dedukci při řešení geometrického problému krok za krokem k) uvádět omezení a dávat východiska při provádění dedukcí l) rozeznat omezení všech předpokladů, které jsou činěny; chápat vlivy, které může mít změna předpokladů na řešení m) určit výjimečné případy v řešení geometrických problémů. Geometrické zdůvodňování 2. Cíle: Úhly a) vybavovat si a používat vlastnosti úhlů v bodě, úhlů na přímce (včetně pravých úhlů), kolmic, a protějších úhlů ve vrcholu b) rozlišovat mezi ostrým, tupým, konkávním (větší než přímý a menší než plný) a pravým úhlem; odhadnout velikost úhlu ve stupních Vlastnosti trojúhelníku a jiných mnohoúhelníků c) používat rovnoběžky, střídavé úhly a souhlasné úhly; chápat vlastnosti rovnoběžníků a důkaz, že součet úhlů v trojúhelníku je 180 stupňů; chápat důkaz, že vnější úhel trojúhelníku se rovná součtu vnitřních úhlů v ostatních dvou vrcholech d) používat úhlové vlastnosti rovnostranného, rovnoramenného a pravoúhlého trojúhelníku; chápat shodu; vysvětlit, proč součet úhlů každého čtyřúhelníku je 360 stupňů e) používat své znalosti pravoúhelníků, rovnoběžníků a trojúhelníků, aby odvodili vzorce pro plochu rovnoběžníku, a trojúhelníku, ze vzorce pro plochu obdélníku f) vybavovat si základní vlastnosti zvláštních typů čtyřúhelníku, včetně čtverce, obdélníku, rovnoběžníku, lichoběžníku a kosočtverce; klasifikovat čtyřúhelníky podle jejich geometrických vlastností g) počítat a používat součet vnitřních a vnějších úhlů čtyřúhelníku, pětiúhelníku a šestiúhelníku; počítat a používat úhly pravidelných mnohoúhelníků h) chápat, vybavovat si a používat Pythagorovu větu Vlastnosti kružnic i) vybavovat si definici kružnice a význam souvisejících výrazů, včetně středu, poloměru, tětivy, průměru, obvodu, tangenty, oblouku, výseče a úseče; chápat, že vepsaný pravidelný mnohoúhelník může být konstruován pravidelným dělením kruhu Třírozměrné objekty j) zkoumat geometrii pravoúhlých hranolů (včetně krychlí), a útvarů vzniklých z nich k) používat dvourozměrné znázornění třírozměrných útvarů a analyzovat třírozměrné útvary pomocí dvourozměrných průmětů a řezů, včetně nárysu a bokorysu.

Transformace a souřadnice 3. Cíle: Stanovení transformací a) chápat, že rotace je určena středem a úhlem (proti směru hodinových ručiček); otočit útvar okolo počátku, nebo kteréhokoli jiného bodu; změřit úhel rotace s použitím pravých úhlů, jednoduchých zlomků celého úhlu a stupňů; chápat, že osová symetrie je určena osou, nejprve s použitím přímky rovnoběžné s osou, potom osy symetrie, jako je y = x nebo y = -x; chápat, že translace je určena vzdáleností a směrem, a zvětšení středem a kladných poměrem Vlastnosti transformací b) rozeznat a zobrazit rotaci, osovou symetrii a translaci, včetně osové symetrie dvourozměrných a třírozměrných útvarů, a rotační symetrii dvourozměrných útvarů; transformovat trojúhelník a jiné dvourozměrné útvary translací, rotací a osovou symetrií, vědět, že tyto transformace zachovávají délku a úhel, takže jakýkoli vzor je totožný se svým obrazem podle těchto transformací c) rozeznat, zobrazit a vytvářet zvětšení objektů s použitím kladných poměrů větších než jedna, potom kladných poměrů menších než jedna; chápat z toho, že každé dva kruhy a každé dva čtverce jsou matematicky podobné, zatímco dva pravoúhelníky, obecně, nejsou d) rozeznat, že zvětšení zachovává úhel, ale ne délku; rozpoznat poměr zvětšení jako poměr délky dvou odpovídajících úseček a použít to na trojúhelník; chápat důsledky zvětšení pro obvod; používat a vykládat mapy a výkresy v měřítku; chápat důsledky zvětšení pro plochu a pro objem; rozlišovat mezi vzorci pro obvod, plochu a objem podle jejich rozměrů; chápat a používat jednoduché příklady vztahu mezi zvětšením a plochou a objemem obrazců a těles Souřadnice e) chápat, že jedna souřadnice určuje bod na číselné ose, dvě souřadnice určují bod v rovině a tři souřadnice určují bod v prostoru, s použitím výrazů „jedno-“, „dvou-“ a „třírozměrný“; používat osy a souřadnice na určení bodů ve všech čtyřech kvadrantech; umístit bod o daných souřadnicích; nalézt souřadnice bodů určených geometrickými informacemi [například, nalézt souřadnice čtvrtého vrcholu rovnoběžníku s vrcholy v bodech (2, 1) (-7, 3) a (5, 6)]; nalézt souřadnice středu úsečky AB, dané body A a B, potom vypočítat délku úsečky AB. Měření a rýsování 4. Cíle: Měření a) vykládat měřítko různých měřicích nástrojů, včetně nástrojů na měření času a hmotnosti; vědět, že měření s použitím reálných čísel závisí na volbě jednotky; rozeznat, že měření se zaokrouhlením na nejbližší celou jednotku může být nepřesné až o jednu polovinu v obou směrech; převést měření z jedné jednotky na jinou; znát přibližné metrické ekvivalenty liber, stop, mílí, pint a galonů; dělat rozumné odhady rozsahu měření v běžném životě b) chápat měření úhlů, používat s tím spojený jazyk [například, používat orientaci na určení směru] c) chápat a používat složené míry, včetně rychlosti Rýsování

d)

změřit a nakreslit úsečku s přesností na milimetr, úhel s přesností na stupeň; nakreslit trojúhelník a jiné dvojrozměrné objekty pomocí pravítka a úhloměru, pokud znají informaci o délkách jejich stran a úhlech; chápat, ze své zkušenosti s jejich rýsováním, že trojúhelník splňující pravidlo SSS, SAS (strana-úhel-strana), ASA a RHS jsou totožné, ale trojúhelníky SSA ne; vytvářet krychle, pravidelné čtyřstěny, jehlany se čtvercovou podstavou a jiná třírozměrná tělesa podle daných informací

e)

používat pravítko a kružítko na provádění standardních výkresů, včetně rovnostranného trojúhelníku s danou stranou, středu a kolmého rozpůlení úsečky, kolmice z bodu k přímce, kolmice z bodu na přímce, a půlení úhlu

Výpočet ploch f) nalézt plochu pravoúhelníku, vzpomenout si na vzorec, chápat souvislost s počítáním čtverečků a jak rozšířit tento přístup; vybavovat si a používat vzorce pro plochu rovnoběžníku a trojúhelníku; nalézt plochu jednoduchých útvarů s použitím vzorce pro plochu trojúhelníku a pravoúhelníku; vypočítat obvod a plochu útvarů vzniklých z trojúhelníku a pravoúhelníku g) nalézt objem pravoúhlých hranolů, vzpomenout si na vzorec a chápat souvislost s počítáním krychliček a jak rozšířit tento přístup; vypočítat objem pravoúhlých hranolů a útvarů vzniklých z krychlí a hranolů h) nalézt obvod kružnice a plochu omezenou kružnicí, vzpomenout si na příslušné vzorce i) převádět mezi plošnými měrami, včetně čtverečných centimetrů a čtverečných metrů, a objemovými měrami, včetně kubických centimetrů a kubických metrů Geometrická místa j) nalézt geometrická místa, jak zdůvodněním, tak použitím ICT, na vytvoření útvarů a cest [například, rovnostranný trojúhelník]. Ma4 Zpracování dat Použití zpracování dat 1. Cíle: Řešení problému a) provádět všechny čtyři části cyklu zpracování dat na vyřešení problémů: i) stanovit problém a plán: formulovat otázky na základě potřebných dat, a uvážit, co se dá zjistit z těchto dat; rozhodnout, jaká data je třeba shromáždit (včetně velikosti vzorků a formátu dat) a jaká statistická analýza je zapotřebí ii) shromáždit data z různých vhodných zdrojů, včetně experimentů a odhadů, primárních a sekundárních zdrojů iii) zpracovat a předvést data: přeměnit surová data na užitečné informace, které umožňují pochopení problému iv) vykládat a diskutovat data: odpovědět na počáteční otázku vyvozením závěrů vyplývajících z dat b) zjistit, jaké další informace jsou potřebné k provedení určitého typu šetření c) volit a organizovat vhodné matematické metody a zdroje pro použití na úkolu d) sledovat postup práce; kontrolovat a hodnotit řešení Komunikace e) vykládat, diskutovat a syntetizovat informace předkládané různým způsobem f) komunikovat matematicky, včetně používání ICT, využívat diagramy a související vysvětlující text g) kriticky zkoumat a zdůvodňovat svoji volbu matematického podání problémů, které obsahují data Zdůvodňování h) použít matematické zdůvodňování, vysvětlit a zdůvodnit úsudky a dedukce i) zkoumat matematické souvislosti a hledat při analýze dat příčiny a důsledky

j)

rozeznat omezení všech předpokladů a vliv, který může mít změna předpokladů na závěry vyvozené z analýzy dat.

Určení a rozplánování problému 2. Cíle: a) vidět, že náhodné procesy se nedají předvídat b) stanovit otázky, které se dají řešit statistickými metodami c) diskutovat, jak data souvisejí s problémem; určit možné zdroje zkreslení a naplánovat, jak se dá minimalizovat d) určit, jaká primární data potřebují shromáždit a v jakém formátu (včetně tříděných dat, s uvážením vhodných stejných intervalů) e) navrhnout experiment nebo šetření; rozhodnout, jaká sekundární data mají být použita. Sběr dat 3. Cíle: a) navrhovat a používat formuláře pro sběr dat pro tříděné diskrétní a souvislé hodnoty; shromáždit data s použitím různých metod včetně pozorování, kontrolovaného pokusu, shromažďování dat, dotazníků a šetření b) sbírat data ze sekundárních zdrojů, včetně tištěných tabulek a seznamů z ICT zdrojů c) navrhovat a používat dvourozměrné tabulky pro diskrétní a tříděná data. Zpracování a znázornění dat 4. Cíle: a) nakreslit a vytvořit, s použitím papíru a ICT, kruhové diagramy pro data o kategoriích a diagramy pro spojitá data, včetně čárových grafů pro časové řady, bodové grafy, histogramy a diagram „stem-and-leaf“ b) vypočítat průměr, rozsah a medián malých datových souborů s diskrétními a potom souvislými daty; určit třídu módu (modal class, třída s největším výskytem) pro tříděná data c) chápat a používat měřítko pro pravděpodobnost d) chápat a používat odhady nebo míry pravděpodobnosti z teoretických modelů, včetně stejně pravděpodobných výsledků, nebo z relativní četnosti e) udělat seznam všech výsledků pro jednotlivé události, a pro dvě následné události, systematickým způsobem f) určit různé vzájemně se vylučující výsledky a vědět, že součet pravděpodobností všech těchto výsledků je 1 g) nalézt medián pro velké datové soubory a vypočítat odhad průměru pro velké datové soubory s tříděnými daty h) nakreslit od oka nejlépe odpovídající křivku, chápat, co znamená. Výklad a diskuse výsledků 5. Cíle: a) dát sumarizované údaje do souvislosti s původní otázkou b) vykládat nejrůznější grafy a diagramy a dojít k závěru c) vidět v datech struktury a výjimky d) srovnávat rozdělení a vyvozovat z něj důsledky, s použitím tvaru rozdělení a míry pro průměr a rozsah e) hodnotit a kontrolovat výsledky, odpovídat na otázky a upravovat přístup v případě potřeby f) chápat v zásadě, co je korelace jako měřítko síly souvislosti mezi dvěma proměnnými; zjistit, zda se jedná o korelaci, nebo ne, s použitím nejlépe odpovídající přímky g) používat při výkladu výsledků jazyk pravděpodobnosti, s použitím neurčitosti a predikce

h) i) j) k)

srovnávat experimentální data a teoretickou pravděpodobnost chápat, že pokud budou opakovat experiment, mohou dostat - a obvykle dostanou jiný výsledek, a že vzorek o větší velikosti obecně dává lepší odhad pravděpodobnosti a vlastností populace. diskutovat důsledky svých zjištění v souvislosti s problémem vykládat sociální statistiku včetně číselných ukazatelů [například, General Index of Retail Prices – Obecný index maloobchodních cen]; časové řady [například, růst populace]; data z šetření [například, sčítání lidu].

Rozsah studia 1. Během rozhodující fáze by se žáci měli naučit znalosti, získat zručnost a pochopit souvislosti pomocí: a) rozšíření strategie pro výpočet v duchu a na papíře a používáním účinných postupů s jistotou počítat s celými čísly, zlomky, desetinnými čísly, procenty, poměrem a podílem b) řešení různých známých a neznámých úloh, včetně problémů z reálného života a jiných z výukového plánu c) činností, které poskytují časté příležitosti k diskusi jejich práce, aby rozvíjeli zdůvodňování a porozumění a vysvětlili své zdůvodňování a strategie d) činností cílených na rozvoj krátkých řetězců deduktivního zdůvodňování a správného používání znaménka „=“ e) činností, v nichž prakticky pracují s geometrickými objekty, zobrazit je a pracovat s nimi v duchu f) praktických prací, kde vyvozují úsudky z dat, uvážením, jak se statistika používá v reálném životě pro tvorbu informovaných rozhodnutí, a rozeznáváním rozdílu mezi užitečným a zavádějícím zobrazením dat g) činností zaměřených na hlavní statistické představy, včetně používání odpovídajících populací a reprezentativních vzorků, používání různých měřítek, používání pravděpodobnosti jako míry neurčitosti, používání náhodnosti a variability, zmenšení zkreslení při sběru vzorků a měření, a používání hypotéz/dedukcí v rozhodování h) významných používáním úkolů cílených na používání vhodné ICT [například, kalkulační tabulky, databáze, geometrické a grafické balíky], se správným a účinným používáním kalkulátorů, a vědět, kdy nepoužívat kalkulačku.

Národní učební osnovy pro Anglii

MATEMATIKA Stupeň 4 Znalosti, schopnosti a porozumění Vyučování by mělo zajistit, aby mezi jednotlivými sekcemi, tedy počítáním a algebrou, tvarem, prostorem a mírou a zpracováním dat vznikly odpovídající vazby. Ma2 Počítání a algebra Používání počítání a algebry 1. Cíle: Řešení problému a) volit a používat vhodné a účinné techniky a strategie na vyřešení problémů s rostoucí složitostí, obsahujících numerické a algebraické manipulace b) určit, jaké další informace mohou být třeba pro provedení určitého typu šetření a uvést důvody pro realizaci nebo odmítnutí určitých přístupů c) rozložit složitý výpočet do jednodušších kroků před pokusem o řešení a zdůvodňovat svoji volbu metody d) provádět v hlavě odhady odpovědí na výpočty; předkládat odpovědi s rozumnou mírou přesnosti; chápat, jak se v některých výpočtech skládají chyby Komunikace e) diskutovat svoji práci a vysvětlit své zdůvodnění s použitím rostoucího rozsahu matematického jazyka a notace f) používat různé strategie a diagramy pro vytvoření algebraického nebo grafického znázornění problému a jeho řešení; přesunout se z jedné formy zobrazení do jiné, aby získali jiný náhled na problém g) předkládat a vykládat řešení v souvislosti s původním problémem h) používat notaci a symboly správně a konzistentně v rámci daného problému i) kriticky zkoumat, zlepšovat, potom zdůvodňovat svoji volbu matematického podání; předkládat stručné, zdůvodněné argumenty Zdůvodňování j) prozkoumat, identifikovat, a používat strukturu a symetrii v algebraických souvislostech, zkoumat, zda může být určitý případ dále zobecněn a chápat význam protipříkladu ; určit výjimečné případy při řešení problémů k) chápat rozdíl mezi praktickým předvedením a důkazem l) ukázat dedukci při řešení problému krok za krokem; vyvozovat důkazy s použitím krátkých řetězců deduktivního zdůvodňování m) rozeznat význam uvádění omezení a předpokladů při vyvozování výsledků; rozeznat omezení všech předpokladů, které jsou činěny a vliv, který může mít změna předpokladů na řešení problému.

Čísla a číselná soustava 2. Cíle: Celá čísla a) používat předchozí chápaní celých čísel a řádovou hodnotu pro zacházení s libovolně velkými kladnými čísly a zaokrouhlovat je na danou mocninu 10; chápat záporná kladná čísla a používat je jako pozice a posuny na číselné ose; uspořádávat celá čísla; používat koncept a slovník dělitele, násobku a společného dělitele, nejvyššího společného dělitele, nejmenšího společného násobku, prvočísla a rozklad na prvočísla Mocniny a kořeny b) používat výrazy druhá mocnina, kladná odmocnina z čísla, záporná odmocnina z čísla, třetí mocnina a odmocnina; používat indexovou notaci [například, ITEM 19, ITEM 20] a pravidla pro počítání s mocninami pro násobení a dělení celočíselných mocnin; používat standardní indexy, vyjádřené konvenční notací a na displeji kalkulačky Zlomky c) chápat ekvivalentní zlomky, zjednodušovat zlomky krácením společným dělitelem ; uspořádat zlomky tím, že je přepíšou na společného dělitele Desetinná čísla d) rozeznat, že každé konečné desetinné číslo je zlomek [například, 0,137 = 137/1000]; rozeznat, že periodická desetinná čísla jsou přesné zlomky, a že některé přesné zlomky jsou periodická desetinná čísla [například, 1/7 = 0.142857142857...]; uspořádat desetinná čísla Procenta e) chápat, že „procento“ znamená „počet částí ze 100“ a používat to na srovnávání podílů; vykládat procento jako operátor „tolik setin z“ [například, 10% znamená 10 dílů ze 100 a 15% z Y znamená 15/100 x Y] Poměr f) používat poměrovou notaci, včetně redukce na nejjednodušší formu a její různé spojitosti s notací zlomků Výpočty 3. Cíle: a) násobit nebo dělit všechna čísla mocninami 10 a všechna kladná čísla číslem mezi 0 a 1; nalézt rozklad kladných celých čísel na prvočísla; chápat „převrácenou hodnotu“ jako opak násobení, vědět, že každé číslo kromě nuly násobené svou převrácenou hodnotou je 1 (a že k nule neexistuje převrácená hodnota, protože dělení nulou není definováno); násobit a dělit záporným číslem; používat pravidla pro počítání s mocninami ke zjednodušení a vypočítat hodnotu číselných výrazů obsahujících násobení a dělení celých čísel, čísel s mocninou jako zlomek a zápornou; používat inverzní operace, chápat, že inverzní operace k umocnění kladného čísla n-tou mocninou je umocnění výsledku této operace mocninou 1/n b) používat závorky a hierarchii operací c) vypočítat daný zlomek dané veličiny, vyjádřit odpověď jako zlomek; vyjádřit dané číslo jako zlomek jiného čísla; sčítat a odčítat zlomky tím, že je přepíší na společného dělitele; provádět krátké dělení, aby převedli jednoduchý zlomek na desetinný; rozlišovat mezi zlomky s čitatelem, který obsahuje jen násobky 2 a 5 (které jsou představovány konečnými desetinnými čísly), a ostatními zlomky (které jsou

d)

e)

f)

představovány periodickými desetinnými čísly); převést periodické desetinné číslo na zlomek [například, 0.142857142857... = 1/7] chápat a používat zlomky s jedničkou v čitateli jako opak násobků [například, úvahu, že násobení 1/5 je totéž jako dělení 5, nebo násobení 6/7 je totéž jako násobení 6 následované dělením 7 (nebo naopak)]; násobit a dělit zlomek celým číslem, a násobit zlomek zlomkem s jedničkou v čitateli a obecným zlomkem

převádět jednoduché zlomky z celku na procenta celku a naopak; potom chápat multiplikativní povahu procent jako operátorů [například, 15% zvýšení hodnoty Y, následované 15% snížením se spočítá jako 1.15 X 0.85 X Y]; vypočítat původní částku, když je dána upravená částka po změně o procento; reverzní problémy s procenty [například, pokud víme, že jídlo v restauraci stojí 36 £ s daní 17,5%, jeho cena bez DPH se spočítá jako £36/1.175] dělit veličinu v daném poměru

Výpočty v duchu g) vybavovat si celočíselné druhé mocniny od 2 x 2 do 15 x 15 a odpovídající odmocniny, třetí mocniny 2, 3, 4, 5 a 10, skutečnost, že ITEM 21 a ITEM 22 pro kladná celá čísla n [například, ITEM 23; ITEM 24], odpovídající pravidlo pro záporná čísla [například, ITEM 25], ITEM 26 a ITEM 27 pro všechna kladná čísla n [například, ITEM 28 a ITEM 29] h) zaokrouhlovat na daný počet platných číslic; vytvářet různé strategie pro výpočty v duchu; odvozovat neznámá fakta ze známých; převést mezi obyčejnou a standardní indexovou formou znázornění [například, ITEM 30], převod na standardní indexovou formu na provedení rozumného odhadu pro výpočet obsahující násobení nebo dělení Písemné metody i) používat účinné metody na počítání se zlomky, včetně krácení společného dělitele před provedením výpočtu, při tom si všimnout, že, v mnoha případech, se přesná odpověď dá vyjádřit jen zlomkem j) řešit problémy s procenty, včetně zvýšení a snížení [například, jednoduchý úrok, DPH, roční míra inflace]; a reverzní procenta k) představovat opakovanou procentuální změnu s použitím umocněného násobku [například složený úrok] l) vypočítat neznámou veličinu z veličin, které se přímo nebo nepřímo mění m) počítat ve standardní indexové formě [například, ITEM 31, ITEM 32] o) používat iracionální čísla a ¹ v přesných výpočtech, bez kalkulačky; odstranit odmocninu ze jmenovatele, např. ITEM 33 Používání kalkulačky o) používat kalkulačku účinně a účelně: vědět, jak zadávat komplexní výpočty; používat rozšířený rozsah funkčních tlačítek, včetně trigonometrických a statistických funkcí odpovídajících tomuto studijnímu programu p) rozumět displeji kalkulačky, vědět, kdy vykládat displej, kdy byl displej kalkulačkou zaokrouhlen, a vědět, že během výpočetních kroků se nezaokrouhluje q) používat kalkulačku, nebo písemné metody, na vypočet horní a dolní hranice pro výpočet, zvláště při práci s měřením r) používat displej ve standardní indexové formě a zadávat v ní čísla s) používat kalkulačku na výpočty reverzního procenta prováděním vhodného dělení t) používat kalkulačku na zkoumání exponenciálního růstu a poklesu [například, ve vědě nebo geografii], s použitím tlačítka pro násobení a mocninu. Řešení číselných úloh 4. Cíle: a) využít svých znalostí operací a inverzních operací (včetně mocniny a odmocniny), metod na zjednodušení (včetně rozložení na činitele a používání komutativního, asociativního a distributivního zákona na sčítání, násobení a rozložení na činitele) pro volbu a používání vhodných strategií a technik na vyřešení problémů a slovních úloh, včetně těch, které obsahují poměr a podíl, opakovanou proporcionální změnu, zlomky,

b)

procenta a obrácená procenta, inverzní podíl, iracionální čísla, míry a převod mezi měrami a složené míry definované v určité situaci kontrolovat a odhadnout odpovědi na úlohu; volit a zdůvodňovat vhodný stupeň přesnosti pro odpověď na úlohu; rozeznat omezení přesnosti dat a měření.

Rovnice, vzorce a identity 5. Cíle: Používání symbolů a) rozlišovat různé role, které mají písmena jako symboly v algebře, používat správnou notaci pro násobení a dělení daným číslem, a vědět, že písmena jako symboly představují určitá neznámá čísla v rovnici [například, ITEM 34], určité veličiny nebo proměnné ve vzorcích [například, V = IR], obecná, nespecifikovaná a nezávislá čísla v identitách [například, ITEM 35], a ve funkcích definují nové výrazy nebo veličiny odkazem na známé veličiny [například, y = 2 - 7x; ITEM 36; ITEM 37] b) chápat, že transformace algebraických výrazů dodržuje a zobecňuje dobře definovaná pravidla zobecněné aritmetiky [například, a(b + c) = ab + ac]; rozšířit násobek dvou lineárních výrazů [například, ITEM 38]; manipulovat s algebraickými výrazy tím, že shromáždí podobné výrazy, násobením jediným výrazem mimo závorku, a vybráním společného dělitele [například, 9x - 3 = 3(3x - 1)], rozložením kvadratických výrazů na činitele, včetně rozdílu dvou čtverců [například, ITEM 39] a krácením společného dělitele v racionálních výrazech [například, ITEM 40] c) znát a používat slova „rovnice“, „vzorec“, „identita“ a „výraz“ Indexová notace d) používat indexovou notaci pro mocniny jednoduchých celých čísel a jednoduché příklady pravidel pro počítání s mocninami [například, ITEM 41; ITEM 42; ITEM 43]; nahrazovat kladná a záporná čísla ve výrazech, jako je ITEM 44 a ITEM 45 Rovnice e) vytvářet jednoduché rovnice [například, nalézt úhel v trojúhelníku s úhly a, a + 10, a + 20]; řešit jednoduché rovnice [například, 5x = 7; 11 - 4x = 2; 3(2x + 1) = 8; 2(1 - x) = 6(2 + x); ITEM 46; ITEM 47] použitím inverzních operací nebo transformací obou stran stejným způsobem Lineární rovnice f) řešit lineární rovnice s jednou neznámou, s celočíselnými nebo zlomkovými koeficienty, v nichž je neznámá na levé, na pravé nebo na obou stranách rovnice; řešit lineární rovnice, které vyžadují předchozí zjednodušení závorek, včetně těch, které mají záporná znaménka kdekoli v rovnici, a rovnic se záporným řešením Vzorce g) používat vzorce z matematiky a jiných předmětů [například, pro plochu trojúhelníku nebo rovnoběžníku, plochu omezenou kružnicí, objem hranolu, objem kužele]; dosadit číslo do vzorce; změnit předmět vzorce, včetně případů, kde se předmět objevuje dvakrát, nebo je předmět v mocnině [například, ITEM 48, nalézt x pokud známe y = mx + c]; vytvářit vzorec [například, nalézt obvod obdélníku, pokud známe jeho plochu A a délku l jedné strany] Přímá a nepřímá úměra h) vytvářet a používat rovnice na řešení slovních a jiných úloh obsahujících přímou nebo nepřímou úměru [například, ITEM 49] a dávat do souvislosti algebraická řešení a grafické znázornění rovnice Lineární rovnice s více proměnnými i) nalézt přesné řešení dvou rovnic s dvěma proměnnými vyloučením jedné proměnné a vykládat rovnice jako přímky a jejich řešení jako průsečík

j)

řešit jednoduché lineární nerovnosti s jednou proměnnou, a ukázat řešení na číselné ose; řešit několik lineárních nerovností se dvěma proměnnými a nalézt soubor řešení

Kvadratické rovnice k) řešit kvadratické rovnice rozložením na činitele, doplnit na čtverce a použít kvadratických vzorců

Lineární a kvadratické rovnice s více proměnnými l) řešit přesně, vyloučením jedné proměnné, dvě rovnice s dvěma proměnnými, z nichž jedna je lineární v obou neznámých, a druhá je lineární v jedné proměnné a kvadratická v druhé [například, ITEM 50], nebo kde druhá je ve tvaru ITEM 51 Číselné metody m) používat systematicky pokus a omyl pro nalezení přibližných řešení rovnice, kde neexistuje jednoduchá analytická metoda pro jejich řešení [například, ITEM 52]. Posloupnosti, funkce a grafy 6. Cíle: Posloupnosti a) vytvářet běžné posloupnosti s celými čísly (včetně posloupnosti sudých a lichých čísel, druhých mocnin celých čísel, mocnin 2, mocnin 10, součtu aritmetické řady); vytvářet členy posloupnosti s použitím definice posloupnosti podle sousedních členů a podle pozice; použít lineární výrazy k popisu n-tého členu aritmetické řady, zdůvodnit její tvar odkazem na činnost nebo souvislost, ze které byl odvozen Grafy lineárních funkcí b) používat konvence pro souřadnice v rovině; zakreslit body ve všech čtyřech kvadrantech; rozeznat (pokud jsou dány hodnoty pro m a c), že rovnice ve tvaru y = mx + c odpovídá grafu přímky v rovině souřadnic; zakreslit graf funkce, kde y je dáno explicitně pomocí x (například y = 2x + 3), nebo implicitně (například x + y = 7) c) nalézt směrnici přímky dané rovnicí tvaru y = mx + c (pokud jsou dány hodnoty pro m a c); chápat, že rovnice y = mx + c představuje přímku a že m je její směrnice a c je hodnota průsečíku s osou y; zkoumat směrnice rovnoběžek a přímek k nim kolmých [například, vědět, že přímky reprezentované rovnicí y = -5x a y = 3 -5x jsou rovnoběžné, obě se směrnicí (-5) a že přímka s rovnicí y = X/5 je kolmá k těmto přímkám a má směrnici 1/5] Interpretace grafických informací d) vytvářet lineární funkce a zakreslovat odpovídající grafy vyplývající z problémů reálného života; diskutovat a vykládat grafy modelující reálné situace [například graf závislosti vzdálenosti na čase pro částici pohybující se konstantní rychlostí, hloubka vody v nádrži, když se vyprazdňuje, graf závislosti rychlosti na čase pro částici pohybující se s konstantním zrychlením] Kvadratické funkce e) vytvářet body a zakreslovat grafy jednoduchých kvadratických funkcí [například, ITEM 53; ITEM 54], potom obecnějších kvadratických funkcí [například, ITEM 55]; nalézt přibližné řešení kvadratické rovnice z grafu odpovídající kvadratické funkce; nalézt průsečík grafu lineární a kvadratické funkce, vědět, že představuje přibližné řešení odpovídajících rovnic o více neznámých představující lineární a kvadratické funkce Další funkce f) zakreslovat grafy: jednoduchých kubických funkcí [například, ITEM 56], inverzní funkce ITEM 57, ITEM 58 pro celočíselné hodnoty x a jednoduché kladné hodnoty k [například, ITEM 59; ITEM 60], cyklické funkce y = sin x a y = cos x, použitím tabulkového kalkulátoru nebo zapisovače, i tužky a papíru; rozeznat charakteristické tvary všech těchto funkcí

Transformace funkce g) použít na graf y = f(x) transformaci y = f(x) + a, y = f(ax), y = f(x + a), y = af(x) pro lineární a kvadratickou funkci f(x), sinus a kosinus x

Geometrická místa h) vytvářet grafy jednoduchých geometrických míst, včetně kružnice ITEM 61 pro kružnici o poloměru r a středu v počátku souřadnic; nalézt graficky průsečík dané přímky s touto kružnicí a vědět, že to odpovídá řešení dvou rovnic o dvou neznámých představujících přímku a kružnici. Ma3 Tvar, prostor a míry Používání tvaru, prostoru a míry 1. Cíle: Řešení problémů a) volit strategie řešící úlohu pomocí geometrie, a uvážit a vysvětlit rozsah, ve kterém je jejich volba vhodná b) volit a kombinovat známá fakta a strategie řešící úlohu na řešení složitějších geometrických úloh c) vytvářet a sledovat alternativní možnosti řešení, zdůvodňovat svá rozhodnutí a následně tyto možnosti přijmout nebo odmítnout Komunikace d) komunikovat matematicky, s důrazem na kritické zkoumání prezentace a organizace výsledků, a efektivní používání symbolů a geometrických diagramů e) používat přesný formální jazyk a exaktní metody pro analýzu geometrických struktur Zdůvodňování f) používat matematické zdůvodňování, začínat od stručného matematického vysvětlení a přecházet k úplnému zdůvodnění ve složitější souvislosti g) zkoumat geometrické souvislosti; klást podmíněná omezení typu „když ... pak ...“; a pokládat otázky „Co když ...?“ nebo „Proč?“ h) ukázat dedukci při řešení geometrického problému krok za krokem i) uvádět omezení a východiska při provádění dedukcí j) chápat nutné a dostačující podmínky, za nichž zobecnění, úsudky a řešení geometrických úloh zůstávají platné. Geometrické zdůvodňování 2. Cíle: Vlastnosti trojúhelníku a jiných mnohoúhelníků a) rozlišovat mezi přímkami a úsečkami; používat rovnoběžky, střídavé úhly a souhlasné úhly; chápat z nich vyplývající vlastnosti rovnoběžníků a důkaz, že součet úhlů v trojúhelníku je 180 stupňů; chápat důkaz, že vnější úhel trojúhelníku se rovná součtu vnitřních úhlů v ostatních dvou vrcholech b) používat úhlové vlastnosti rovnostranného, rovnoramenného a pravoúhlého trojúhelníku; vysvětlit, proč součet úhlů čtyřúhelníku je 360 stupňů c) vybavovat si definice zvláštních typů čtyřúhelníku, včetně čtverce, obdélníku, rovnoběžníku, lichoběžníku a kosočtverce; klasifikovat čtyřúhelníky podle jejich geometrických vlastností d) počítat a používat součet vnitřních a vnějších úhlů čtyřúhelníků, pětiúhelníků, šestiúhelníků; počítat a používat úhly pravidelných mnohoúhelníků

e) f)

g)

chápat a používat podmínky SSS, SAS, ASA a RHS na prokázání shody trojúhelníku s použitím formálních důkazů, a ověřit to pomocí standardní konstrukce s pravítkem a kružítkem chápat, vybavovat si a používat Pythagorovu větu ve dvou rozměrech, potom třírozměrné úlohy; zkoumat geometrii pravoúhlých hranolů včetně krychlí, a těles vzniklých z pravoúhlých hranolů, včetně používání Pythagorovy věty na vypočet délky ve třech rozměrech

chápat podobnost trojúhelníku a jiných rovinných obrazců, a používat to na provádění geometrických závěrů; chápat, vybavovat si a používat trigonometrické vztahy v pravoúhlém trojúhelníku, a používat je na vyřešení úloh, včetně úloh obsahujících orientaci, potom používat tyto vztahy v třírozměrné souvislosti, včetně nalezení úhlu mezi přímkou a rovinou (ale ne úhlu mezi dvěma rovinami nebo mezi dvěma mimoběžkami); vypočítat plochu trojúhelníku použitím ITEM 62; nakreslit, načrtnout a popsat grafy trigonometrických funkcí pro úhly všech velikostí, včetně transformací obsahujících změnu měřítka ve směrech x a y (jednom nebo obou); používat sinovou a kosinovou větu na řešení dvourozměrných a třírozměrných úloh

Vlastnosti kružnic h) vybavovat si definici kružnice a význam souvisejících výrazů, včetně středu, poloměru, tětivy, průměru, obvodu, tangenty, oblouku, výseče a úseče; chápat, že tangenta v libovolném bodu na kružnici je kolmá k poloměru v daném bodě; chápat a používat skutečnost, že tangenty z vnějšího bodu kružnice mají stejnou délku; vysvětlit, proč kolmice ze středu na tětivu dělí tětivu na dva stejné díly; chápat, že vepsaný pravidelný mnohoúhelník může být konstruován pravidelným dělením kruhu; dokázat a používat skutečnost, že úhel ležící proti oblouku ve středu kružnice je dvojnásobkem úhlu proti libovolnému bodu na obvodu, úhel na obvodu polokružnice je pravý úhel, že úhly ve stejné úseči jsou stejné, a že součet protilehlých úhlů vepsaného čtyřúhelníku je 180 stupňů; dokázat a používat větu o protilehlých úsečích („alternate segment theorem“) i) používat dvourozměrné znázornění třírozměrných těles a analyzovat třírozměrná tělesa pomocí dvourozměrných průmětů a řezů, včetně nárysu a bokorysu; řešit úlohy obsahující povrch a objem hranolů, jehlanů, válců, kuželů a koulí; řešit úlohy obsahující složitější útvary a tělesa, včetně kruhových úsečí a komolých kuželů. Transformace a souřadnice 3. Cíle: Stanovení transformací a) chápat, že rotace je určena středem a úhlem (proti směru hodinových ručiček); používat libovolný bod jako střed rotace; používat pravé úhly, zlomky z kruhu a stupně na měření úhlu rotace; chápat, že osová souměrnost je určena osou symetrie, translace vzdáleností a směrem (nebo vektorem), a zvětšení středem a pozitivním poměrem Vlastnosti transformací b) rozeznat a zobrazit rotace, osovou symetrii a translaci, včetně osové symetrie dvourozměrných a třírozměrných útvarů, a rotační symetrii dvourozměrných objektů; transformovat trojúhelník a jiné dvourozměrné objekty translací, rotací a osovou symetrií a kombinací těchto transformací; používat shodu, aby ukázali, že translace, rotace a osová symetrie zachovávají délku a úhel, takže každý vzor je shodný se svým obrazem při každé z těchto transformací; rozlišovat vlastnosti, které se zachovají při určité transformaci c) rozeznat, zobrazit a vytvářet zvětšení objektů; chápat z toho, že každé dva kruhy a každé dva čtverce jsou matematicky podobné, zatímco dva pravoúhelníky, obecně, nejsou, potom používat kladných zlomkových a záporných poměrů d) rozeznat, že zvětšení zachovává úhel, ale ne délku; rozpoznat poměr zvětšení jako poměr délky dvou odpovídajících úseček; chápat důsledky zvětšení pro obvod; používat a vykládat mapy a výkresy v měřítku; chápat rozdíl mezi vzorci pro obvod, plochu a

objem při uvážení rozměrů; chápat a používat vliv zvětšení na plochu a objem u obrazců a těles Souřadnice e) chápat, že jedna souřadnice určuje bod na číselné ose, dvě souřadnice určují bod v rovině a tři souřadnice určují bod v prostoru, s použitím výrazů „jedno-“, „dvou-“ a „třírozměrný“; používat osy a souřadnice na určení bodů ve všech čtyřech kvadrantech; umístit bod o daných souřadnicích; nalézt souřadnice bodů určených geometrickými informacemi; nalézt souřadnice středu úsečky AB, dané body A a B, potom vypočítat délku úsečky AB.

Vektory f) chápat vektorovou notaci a používat ji; vypočítat a graficky znázornit součet dvou vektorů, rozdíl dvou vektorů a skalární součin vektoru; vypočítat výslednici dvou vektorů; chápat a používat komutativní a asociativní vlastnosti sčítání vektorů; řešit jednoduché geometrické úlohy ve dvou rozměrech použitím vektorových metod. Míry a rýsování 4. Cíle: Míry a) používat úhlové míry [například, používat orientaci na určení směru]; vědět, že měření s použitím reálných čísel závisí na volbě jednotky; rozeznat, že měření udané na nejbližší celou jednotku může být nepřesné až o jednu polovinu v obou směrech; převádět měření z jedné jednotky na jinou; chápat a používat složené míry, včetně rychlosti a hustoty Rýsování b) nakreslit přibližnou konstrukci trojúhelníku a jiných dvourozměrných obrazců, pomocí pravítka a úhloměru, pokud jsou dány informace o délkách stran a úhlech; vytvářet dané krychle, pravidelné čtyřstěny, jehlany se čtvercovou podstavou a jiná třírozměrná tělesa c) používat pravítko a kružítko na provádění standardních výkresů včetně rovnostranného trojúhelníku s danou stranou, středu a kolmého rozpůlení úsečky, kolmice z bodu k přímce, kolmice z bodu na přímce, a půlení úhlu Výpočet ploch d) nalézt plochu jednoduchých útvarů použitím vzorce pro plochu trojúhelníku a pravoúhelníku; nalézt objem pravoúhlých hranolů, vzpomenout si na vzorec a chápat souvislost s počítáním krychliček a jak rozšířit tento přístup; vypočítat objem pravoúhlých hranolů a těles vzniklých z krychlí a hranolů; převádět mezi objemovými měrami včetně cm3 a m3; nalézt obvod kružnice a plochu omezenou kružnicí, vzpomenout si na příslušné vzorce; vypočítat délku oblouku a plochu výseče Geometrická místa e) nalézt geometrická místa, jak zdůvodněním, tak použitím ICT na tvorbu obrazců a cest [například, oblast vymezenou kružnicí a tětivou]. Ma4 Zpracování dat Používání zpracování dat 1. Cíle: Řešení problému a) provádět všechny čtyři části cyklu zpracování dat na vyřešení úloh: i) stanovit problém a plán: formulovat otázky na základě potřebných dat, a uvážit, co se dá zjistit z těchto dat; rozhodnout, jaká data je třeba shromáždit(včetně velikosti vzorků a formátu dat) a jaká statistická analýza je zapotřebí) ii) shromáždit data z různých vhodných zdrojů, včetně experimentů a odhadů, primárních a sekundárních zdrojů

iii) iv) b)

zpracovat a předvést data: přeměnit surová data na užitečné informace, které umožňují pochopení problému vykládat a diskutovat data: odpovědět na počáteční otázku nakreslením závěrů vyplývajících z dat volit strategie řešící úlohu pro použití ve statistické práci a sledovat jejich účinnost (tyto strategie by se měly řešit měřítko a zvládnutelnost úkolů, a měly by uvážit, zda použité matematické metody a přístup poskytují nejvhodnější řešení)

Komunikace c) komunikovat matematicky, s důrazem na používání stále více diagramů a související vysvětlující text, na výběr své matematické prezentace, vysvětlit jejich účel a přístup, a na používání symbolů na sdělování statistického obsahu Zdůvodňování d) používat matematické zdůvodňování, vysvětlit a zdůvodnit úsudky a dedukce, zdůvodnit argumenty a řešení e) určit výjimečné nebo neočekávané případy, kdy řešení statistických problémů f) zkoumat matematické souvislosti a hledat souvislosti mezi proměnnými při analýze dat g) rozeznat omezení všech předpokladů a vlivy, které by změna předpokladů mohla mít na závěry vyvozené z analýzy dat. Určení a rozplánování problému 2. Cíle: a) vidět, že náhodné procesy se nedají předvídat b) určit podstatné otázky, které se dají řešit statistickými metodami c) diskutovat, jak data souvisejí s problémem; určit možné zdroje zkreslení a naplánovat, jak se dá minimalizovat d) určit, jaká primární data potřebují shromáždit a v jakém formátu, včetně tříděných dat, s uvážením vhodných stejných intervalů; volit a zdůvodňovat plán sběru vzorků a metodu na zkoumání populace, včetně náhodného a stratifikovaného sběru vzorků e) navrhnout experiment nebo šetření; rozhodnout, jaká primární a sekundární data použít. Sběr dat 3. Cíle: a) shromáždit data s použitím různých metod, včetně pozorování, kontrolovaného pokusu, shromažďování dat, dotazníků a šetření b) sbírat data ze sekundárních zdrojů, včetně tištěných tabulek a seznamů z ICT zdrojů c) navrhovat a používat dvourozměrné tabulky pro diskrétní a tříděná data d) řešit praktické problémy, například chybějící odezvu nebo chybějící data. Zpracování a znázornění dat 4. Cíle: a) nakreslit a vytvořit, s použitím papíru a ICT, kruhové diagramy pro data o kategoriích a diagramy pro spojitá data, včetně čárových grafů (časové řady), bodové grafy, histogramy, diagram „stem-and-leaf“, kumulativní frekvenční tabulky a diagramy, grafy typu „box plot“ 2 a histogramy pro tříděná kontinuální data b) chápat a používat odhady nebo míry pravděpodobnosti z teoretických modelů, nebo z relativní četnosti c) udělat seznam všech výsledků pro jednotlivé události a pro dvě následné události, systematickým způsobem 2 Pozn. překl: do grafu se zakresluje nejmenší pozorovaná hodnota, dolní kvartil, medián, horní kvartil a největší pozorovaná hodnota

d) e) f) g) h) i) j)

určit různé vzájemně se vylučující výsledky a vědět, že součet pravděpodobností všech těchto výsledků je 1 nalézt medián, kvartily a interkvartilový rozsah pro velké datové soubory a vypočítat průměr pro velké datové soubory s tříděnými daty vypočítat vhodný klouzavý průměr vědět, kdy sčítat nebo násobit dvě pravděpodobnosti: pokud A a B se vzájemně vylučují, potom pravděpodobnost, že nastane A nebo B je P(A) + P(B), zatímco pokud A a B jsou nezávislé události, potom pravděpodobnost, že nastane A a B, je P(A) X P(B) používat stromové diagramy na reprezentaci výsledků složených událostí, rozeznat, kdy jsou události nezávislé nakreslit od oka nejlépe odpovídající křivku, chápat co znamená používat na kalkulačce nebo kalkulační tabulce příslušné statistické funkce.

Výklad a diskuse výsledků 5. Cíle: a) dát sumarizované údaje do souvislosti s původní otázkou b) vykládat nejrůznější grafy a diagramy a dojít k závěru; určit sezónní vlivy a trendy v časových řadách c) vidět v datech struktury a výjimky d) srovnávat rozdělení a vyvozovat z něj, s použitím tvaru distribuce a míry průměru a rozptylu, včetně mediánu a kvartilů; chápat hustotu četnosti e) posuzovat a kontrolovat výsledky, a upravovat svůj přístup, pokud to je třeba f) uvědomovat si, že korelace je měřítko síly souvislosti mezi dvěma proměnnými; rozlišovat mezi kladnou, zápornou a nulovou korelací s použitím nejlépe odpovídající přímky; uvědomovat si, že nulová korelace nemusí znamenat „žádný vztah“, ale znamená pouze „žádný lineární vztah“ g) používat jazyk pravděpodobnosti na výklad výsledků použitím neurčitosti a predikce [například, „z tohoto vzorku nejsou vidět žádné důkazy, že ...“] h) srovnávat experimentální data a teoretickou pravděpodobnost i) chápat, že pokud budou opakovat experiment, mohou dostat - a obvykle dostanou jiný výsledek, a že vzorek o větší velikosti obecně dává lepší odhad pravděpodobnosti a parametrů populace. Rozsah studia 1. Během rozhodující fáze by se žáci měli naučit znalosti, získat zručnost a pochopit souvislosti pomocí: a) činností, které zajišťují, že se seznámí s určitými standardními postupy pro různé výpočty vhodnými pro tuto úroveň studia a budou je používat b) řešení známých a neznámých problémů v mnoha číselných, algebraických a grafických souvislostech a v otevřené a zavřené formě c) používání standardní notace pro desetinná čísla, zlomky, procenta, poměr a indexy d) činností, které ukazují, jak algebra, jako rozšíření počítání s použitím symbolů, dává přesnou formu matematickým vztahům a výpočtům e) činností, ve kterých pokračují od použití definice a krátkých řetězců zdůvodňování k chápání a formulování důkazů v algebře a geometrii f) mnoha praktických činností, které se zabývají stále náročnějšími statistickými problémy, v nichž vyvozují úsudky z dat a posuzují používání statistiky ve společnosti g) volby vhodných ICT nástrojů a jejich aplikaci na řešení numerických a grafických úloh, aby mohli reprezentovat geometrické struktury a zacházet s nimi a prezentovat a analyzovat data.