VYUŽITÍ PROGRAMU CABRI PRO ZJIŠŤOVÁNÍ VLASTNOSTÍ OSOVÝCH AFINIT

VYUŽITÍ PROGRAMU CABRI PRO ZJIŠŤOVÁNÍ VLASTNOSTÍ OSOVÝCH AFINIT Naďa Stehlíková1, Univerzita Karlova v Praze, Pedagogická fakulta

Úvod Připomeňme nejdříve, že afinní transformace roviny (nebo afinita) je taková transformace, která zachovává kolinearitu a dělicí poměr. Osová afinita je pak afinní transformace, která má přímku samodružných bodů. Z toho pak plyne konstrukce obrazu libovolného bodu (obr. 1). Osová afinita je dána osou o a párem odpovídajících si různých bodů neležících na ose (vzoru A a obrazu A‘). Zapisujeme (o,A,A‘). Spojnice bodů A a A‘ určuje tzv. směr afinity. Při hledání obrazu bodu X nejdříve zkonstruujeme průsečík P přímky AX s přímkou o (P = P‘, což plyne z to, že přímka o je přímka samodružných bodů). Obraz bodu X, tedy bod X‘, leží na průsečíku přímky A’P‘ a přímky rovnoběžné s přímkou AA‘ a procházející bodem X (to plyne z definice afinity). Osové afinity patří mezi geometrické transformace studované v rámci syntetické i analytické geometrie na vysoké škole. Jejich syntetické studium je však značně náročné na rýsování. Chceme-li, by studenti sami některé vlastnosti osových afinit vyvodili, pak je pro ně značně Obr. 1 obtížné vyznat se v náčrtku, kde se brzy objeví změť čar. Proto jsem při výuce tohoto tématu na Pedagogické fakultě UK v Praze začala využívat programu Cabri geometrie II. Program Cabri je využíván ve výuce matematiky na všech úrovních. Řadu námětů je možné najít na českém portálu tohoto programu (http://www.pf.jcu.cz/cabri/), 2 případně na světových stránkách věnovaných Cabri (seznam je na http://www.cabri.com/en/liens.htm). Konkrétní ukázky použití programu zejména na úrovni základní a střední školy jsou častými náměty článků v českých časopisech pro učitele – Matematika, fyzika, informatika a Učitel matematiky. Tvorba maker je podrobně prezentována např. v knize Schumann & Green (1994). Tento článek je příspěvkem k využití programu v rámci vysokoškolské přípravy budoucích učitelů. Cíl použití Cabri v přípravě učitelů je tedy dvojí. Za prvé je pro ně prostředkem pro vyvození nových matematických poznatků a za druhé získávají sami zkušenosti, které mohou dále zúročit při vlastní učitelské práci. Osové afinity v kurzu „Geometrické transformace“ Kurz „Geometrické transformace, analytický přístup“ zaujímá v rámci přípravy budoucích učitelů 2. stupně základní školy a střední školy specifické místo tím, že se snaží využívat konstruktivistických přístupů k výuce (Hejný, Kuřina, 2001). Studenti sami si mají prostřednictvím vhodně volených gradovaných úloh vyvodit řadu poznatků, které jsou

1

Příspěvek byl podpořen grantem GAUK 500/2004/A-PP/PedF. Přímo osovými afinitami v programu Cabri se zabývá seminární práce Gabriely Sosnovyjové na stránce http://www.pef.zcu.cz/pef/kmt/cabri/mgkp2001/osova/index.html.

2

94

v tradičním vyučování předány jako hotové (viz také Kuřina, 2002). Kurz byl popsán např. v Stehlíková (2002, 2003). Studium afinit v rovině následuje po studiu shodností v rovině. Osové afinity zaujímají v rámci afinit v rovině důležité místo a jako takovým je jim věnována značná pozornost. Studenti se s nimi setkávají prakticky poprvé (kromě krátkého úvodu v rámci kurzu „Elementární geometrie“). Snaha zadat úlohy, které by vedly k samostatnému odhalení základních vlastností osových afinit, zpočátku narážela na výše zmíněný technický nedostatek – studenti spotřebovali tolik energie na narýsování obrazů bodů, že jim už příliš nezbývalo na to, aby dokázali z konečného, poměrně chaotického obrázku něco vyčíst. Proto jsem se rozhodla zapojit do výuky program Cabri geometrie. Nejdříve se studenty vyvodíme výše zmíněnou konstrukci obrazu bodu v osové afinitě na základě definice afinity v rovině a osové afinity. Pak vytvoříme makro, s pomocí kterého je možné nalézt obraz bodu, přímky, trojúhelníka a mnohoúhelníka v osové afinitě. Pro involutorní osovou afinitu, která je dána dvěma různoběžkami (jedna z nich je osa, druhá určuje směr afinity), jsou vytvořena zvláštní makra. Tyto makra mají studenti k dispozici, když ve skupinách pracují u počítačů na úlohách zadaných učitelem. S programem Cabri se seznámili již v kurzu „Elementární geometrie“ a jeho ovládání jim většinou nečiní žádné problémy. Kromě použití maker musí umět pracovat s funkcí „Stopa“ a zjišťovat velikost úsečky a obsah útvaru. Sada úloh Cílem níže uvedené sady úloh je objev základních vlastností osové afinity3: rovnoběžné přímky se zobrazí do rovnoběžných přímek, čtverec a obdélník se zobrazí do rovnoběžníka, kružnice se zobrazí do elipsy, obsah obrazce se zachovává u elace (podtyp osové afinity, v níž je osa afinity rovnoběžná se směrem afinity) a u involutorní osové afinity4, samodružné přímky jsou ty, které patří do směru afinity (plus osa), elace má jeden samodružný směr, ostatní osové afinity mají dva samodružné směry, velikost úsečky rovnoběžné s osou afinity se nemění apod. Několik úloh je věnováno problematice skládání osových afinit. Úloha 1: Nadefinujte si osovou afinitu, (a) která není ani elací ani involutorní afinitou, (b) která je elací, (c) která je involutorní osovou afinitou. Pak si mimo osu zvolte bod X a najděte pomocí makra „Obraz bodu v osové afinitě“ jeho obraz. Označte všechny objekty. Pohybujte vzorem, obrazem a osou a sledujte, jak se mění poloha obrazu X‘. Svá pozorování evidujte. Úloha 2: Jako v úloze 1, jen zkoumejte obraz přímky. Úloha 3: Zjistěte, které přímky jsou v osové afinitě samodružné. Prozkoumejte elaci, involutorní osovou afinitu a ostatní osové afinity. Podobně řešte pro samodružné směry. Úloha 4: Co je obrazem čtverce v osové afinitě? Úloha 5: Co je obrazem kružnice v osové afinitě? Úloha 6: Nadefinujte si nějaký mnohoúhelník a sledujte, které jeho vlastnosti zůstanou v osové afinitě zachovány a které se mění.

3

Díky omezenému rozsahu článku uvádím vlastnosti pouze zkratkovitě, a ne pomocí matematických vět. Často se setkávám s chápáním osové afinity jako analogie osové souměrnosti, což vede k tomu, že studenti automaticky předpokládají, že všechny osové afinity jsou involutorní.

4

95

Úloha 7: Zjistěte, jak mění osová afinita délky. Úloha 8: Zjistěte, zda a jak osová afinita mění obsah. Úloha 9: Co je složením osové afinity (o,X,X1) a osové afinity (o,X1,X2)? (Kuřina, 2002, s. 167) Úloha 10: Zjistěte, co je složením osové afinity (o,X,X1) a posunutí o vektor rovnoběžný s osou o. Úloha 11: Zjistěte, co je složením involutorní osové afinity a posunutí o vektor ležící ve směru afinity. Úloha 12: Jsou dány dvě osové afinity f, g s osami p, q a směry Ω, . Popište geometrický tvar afinity h = g ° f, kdy (a) p = q, Ω = , (b) p = q, p ∫ Ω, Ω ≠ , (c) p = q, Ω ≠ , žádná z afinit f, g není elací, (d) p ≠ q, p je rovnoběžná s q, Ω = , f není elace, (e) p ≠ q, p je rovnoběžná s q, Ω = , f je elace, (f) p ≠ q, p je rovnoběžná s q, Ω ≠ , f ani g není elace, (g) p, q jsou různoběžné, q ∫ Ω, p ∫ . Úloha 13: Dokažte větu: Nechť je dán trojúhelník ABC a směr s tak, že A‘ = f(A) (f je afinita) leží na rovnoběžce se směrem s vedené bodem A, bod B‘ = f(B) leží na rovnoběžce se směrem s vedené bodem B a obdobně bod C‘. Pak f je buď posunutí, nebo osová afinita. Úloha 14: Ověřte, že každou afinitu lze napsat jako složení nejvýše dvou osových afinit. Ilustrace studentských prací K úloze 1 a 2: Pomocí těchto dvou úloh se studenti mají seznámit s prostředím a experimentálně si ověřit, jak se asi osové afinity chovají. Evidence poznatků je zatím chaotická (obr. 2). Ukazuje se výhodnost použití Cabri. Zatímco dříve, když si studenti měli klasicky zakreslit nějakou osovou afinitu, často se omezili na ten typ, který jim byl předveden. To znamená, pokud vyučující zakreslil body A a A‘ v jedné Obr. 2 polorovině dané osou o, pak i oni nadále zakreslovali osové afinity takto. Dynamičnost počítačové geometrie je navádí k tomu, aby experimentovali s polohou bodu A‘ a pohybovali jím v obou polorovinách. K úloze 5: Na obr. 3 je zakreslena situace, v níž je nalezen obraz kružnice k v osové afinitě (o,A,A‘). Pomocí pohybu bodu A‘ je možné zjistit, v jaké speciální poloze je obrazem kružnice opět kružnice. K úloze 8: Na obr. 4 je ilustrován postup zjišťování vlivu osové afinity na obsah

Obr. 3 96

Obr. 4 útvarů. Pohybem obrazu A‘ lze experimentálně zjistit, že elace (obr. 4 vpravo, bod A‘ leží na rovnoběžce s osou, přesnost není zcela „stoprocentní“) a involutorní osová afinita zachovávají obsah. Tento poznatek je dokázán v následujících hodinách, kdy studenti odvodí a dokáží větu o souvislosti obsahu obrazu útvaru a determinantu matice afinity (absolutní hodnota determinantu matice elace a involutorní osové afinity je rovna 1). K úloze 13: Nástin důkazu je na obr. 5. Trojúhelník ABC je zobrazen na trojúhelník A’B’C‘, směr je dán přímkou s. Výsledná osová afinita je dána osou procházející body P1, P2, P3, které získáme jako průsečíky přímek AC a A’C‘, BC a B’C‘, resp. AB a A’B‘. Pro prezentaci důkazu použijeme funkci „Historie“, která umožňuje konstrukci provést postupně, krok po kroku. K úloze 14: Na obr. 6 je ilustrován postup práce. Dokazujeme, že Obr. 5 afinitu f(ABC)=A’B’C‘ lze rozložit na dvě osové afinity. Nejprve zvolíme dva různoběžné směry s1 a s2 (je nutné je zvolit tak, aby nevzniklo posunutí). Vzor, tj. trojúhelník ABC, je zobrazen první osovou afinitou do trojúhelníka A*B*C*, a ten je druhou osovou afinitou zobrazen do trojúhelníka A’B’C‘. Osy obou osových afinit bychom mohli nalézt pomocí postupu z úlohy 13. Pro prezentaci opět využijeme funkci „Historie“.

Obr. 6

97

Závěr V programu Cabri pracují studenti zpravidla dvě vyučovací hodiny a výsledky své práce zpracovávají ve skupinách (nemusejí nutně udělat všechny úlohy, často pracují i doma). V dalších hodinách se řada vlastností, které byly objeveny experimentálně, dokáží analyticky. Studenti si postupně uvědomují i omezení syntetického přístupu. Zjišťují, že např. úlohy, které vedou ke skládání afinit, se dají nejlépe řešit analyticky. Experimentální řešení je v řadě případů nemožné. V loňském roce byla na téma prezentované v tomto článku vypsána diplomová práce. Diplomantka ověřuje některé z výše uvedených úloh a navíc pro použití v programu Cabri rozpracovala úlohy, které se řeší analyticky. K tomu vytvořila makro „Souřadnice bodu“ a „Graf přímky“. Tak je možné v Cabri řešit i úlohy typu: Analyticky i synteticky najděte osu a dvojici „vzor – obraz“ pro osovou afinitu, která převádí přímku p do přímky p‘ a přímku q do přímky q‘, platí-li p: x–y–1=0, p‘: 2x–3y–7=0, q: y+2=0, q‘: x–2y–5=0. Literatura [1] Hejný, M., Kuřina, F. (2001). Dítě, škola a matematika. Konstruktivistické přístupy k vyučování. Praha: Portál. [2] Kuřina, F. (2002). 10 geometrických transformací. Praha: Prometheus. [3] Schumann, H., Green, D. (1994). Discovering geometry with a computer – using Cabri Géometre. Chartwell – Bratt Ltd. [4] Stehlíková, N. (2002). Geometrické transformace – konstruktivistický přístup. In Ausbergerová, M., Novotná, J. a Sýkora, V. 8. setkání učitelů matematiky všech typů a stupňů škol. Praha: JČMF, s. 281–287. [5] Stehlíková, N. (2003). Ilustrace konstruktivistických přístupů k vyučování na vysoké škole. In Burjan, V., Hejný, M. a Jány, Š. Zborník príspevkou z letnej školy z teórie vyučovania matematiky Pytagoras. Bratislava: EXAM, s. 83–88.

98