PROSTOROVÉ ŘEŠENÍ APOLLONIOVÝCH ÚLOH POMOCÍ PROGRAMU CABRI 3D

PROSTOROVÉ ŘEŠENÍ APOLLONIOVÝCH ÚLOH POMOCÍ PROGRAMU CABRI 3D Jaroslav Krieg, Milan Vacka Vysoká škola technická a ekonomická v Českých Budějovicích Abstrakt: Příspěvek ukazuje na příkladu řešení některých Apolloniových úloh postup, který je zajímavým příkladem přenesení řešení rovinných úloh do prostoru. Výsledek řešení těchto planimetrických úloh pak získáme jako kolmý průmět získaného stereometrického řešení do roviny, ve které je úloha zadána. Řešení lze zkonstruovat jak prostředky deskriptivní geometrie, tak i např. pomocí software CABRI 3D, který usnadní řešení Apolloniových úloh bez užití kruhové inverze. Klíčová slova: Apolloniovy úlohy, CABRI 3D, cyklografie.

STEREOMETRIC SOLUTION APOLLONIUS’S PROBLEMS WITH CABRI 3D Abstract: The paper shows the example of solving some Apollonius’s problems procedure, which is an interesting example transferring of solutions plane problems in the area. The result of solving these plane tasks then calculated as the orthogonal projection obtained stereometric solutions to the plane in which the problem is submitted. The solution can be constructed as a means of descriptive geometry, as well as using CABRI 3D software that facilitates the solution Apolloniových tasks without the use of circular inversion. Key words: Apollonius’s problems, CABRI 3D, cyklography.

Apolloniovy úlohy, nazvané podle řeckého geometra a matematika Apollonia z Pergy (žil kolem roku 200 př. n. l.), řeší nalezení kružnice, zadané třemi z následujících prvků: a) bod, kterým hledaná kružnice prochází (označíme B), b) přímka, které se hledaná kružnice dotýká (označíme p), c) kružnice, které se hledaná kružnice dotýká (označíme k). 5

Počet těchto úloh je C3  3     10 . 3  

219

Jedná se o následující úlohy: Sestrojit kružnici, která: 1. prochází třemi danými body, 2. prochází dvěma danými body a dotýká se dané přímky, 3. prochází dvěma danými body a dotýká se dané kružnice, 4. prochází daným bodem a dotýká se dvou daných přímek, 5. prochází daným bodem a dotýká se dvou daných kružnic, 6. prochází daným bodem a dotýká se dané přímky a dané kružnice, 7. dotýká se tří daných přímek, 8. dotýká se dvou daných přímek a dané kružnice, 9. dotýká se dané přímky a dvou daných kružnic, 10. dotýká se tří daných kružnic.

(BBB) (BBp) (BBk) (Bpp) (Bkk) (Bpk) (ppp) (ppk) (pkk) (kkk)

Některé z uvedených úloh jsou triviální (osa úsečky, osa úhlu) a řeší je i žáci základních škol. Na středních školách pak studenti užívají ještě stejnolehlost. Zbývající úlohy jsou pak obvykle řešeny pomocí kruhové inverze. Méně známá je pak metoda řešení pomocí cyklografie, která uvedených 10 planimetrických úloh řeší stereometricky. K řešení uvedených úloh užijeme zjednodušení cyklografie bez zavedení orientace zadaných prvků, což pro naši potřebu bude dostačující. Prostorové úlohy provádíme v nezáporných z - ových souřadnicích. K pochopení následujícího je potřeba základních znalostí a pojmů deskriptivní geometrie. Mějme v rovině  kružnici k   S ; r  , kde S   xS ; yS  . Této kružnici přiřaďme v prostoru bod S    xS ; yS ; r  , viz obr. 1. Obr. 1

Uvažujeme-li nyní množinu kružnic k1 , k2 , k3 , se středy S1 , S2 , S3 , v rovině  , které procházejí daným bodem A , leží množina bodů S1, S2 , S3 , na kuželové ploše s vrcholem v bodě A , jejíž povrchové přímky svírají s  úhel 45 , viz obr. 2 a 3. Obr. 2

Obr. 3

220

Uvažujeme-li množinu kružnic k1 , k2 , k3 , se středy S1 , S2 , S3 , v rovině  , které se dotýkají v polorovinách  a  , jejichž hraničními přímky p , leží množina bodů S1, S2 , S3 , přímkami a zároveň stopami je přímka p . Obě poloroviny  a  svírají s  úhel 45 , viz obr. 4 a 5. Obr. 4

Obr. 5

Uvažujeme-li množinu kružnic k1 , k2 , k3 , se středy S1 , S2 , S3 , v rovině  , které mají vnější dotyk s kružnicí k   S ; r  , S   xS ; yS  , pak množina bodů S1, S2 , S3 , leží na kuželové

ploše s kladnými z - ovými souřadnicemi a vrcholem této plochy je bod V   xS ; yS ; r  . Povrchové přímky popsaného kužele svírají s rovinou  úhel 45 viz obr. 6 a 7. Obr. 6

Obr. 7

Uvažujeme-li množinu kružnic k1 , k2 , k3 , se středy S1 , S2 , S3 , v rovině  , které mají vnitřní dotyk s kružnicí k   S ; r  , S   xS ; yS  , pak množina bodů S1, S2 , S3 , leží na kuželové ploše s kladnými z - ovými souřadnicemi, vrcholem této plochy je bod V   xS ; yS ; r  . Povrchové přímky tohoto kužele svírají s rovinou  úhel 45 viz obr. 8 a 9. Obr. 8

Obr. 9

Řešíme-li nalezení středů kružnic, které se dotýkají dvou daných přímek v rovině  , je výsledkem půdorys průsečnic polorovin dle obr. 5 obou přímek a jedná se tedy o půdorys polopřímek případně přímek.

221

Rovnice kuželových ploch z obrázků 3, 7 a 9 mají tvar

 x  xA    y  y A  2

2

  z  zA  , 2

kde vrchol kuželové plochy je A   xA ; y A ; z A  . Hledáme-li průnikovou křivku dvou obecných kuželových ploch s vrcholy A   xA ; y A ; z A  a B   xB ; yB ; zB  , řešíme soustavu rovnic

 x  xA 

2

  y  yA    z  z A  ,

 x  xB 

2

  y  yB    z  z B  .

2

2

2

2

Po úpravách obdržíme rovnici 2 x  xA  xB   2 y  y A  yB   2 z  z A  z B   xB2  x A2  yB2  y A2  z B2  z A2  0 ,

která je rovnicí roviny. Této rovnici vyhovují souřadnice společných bodů obou kuželových ploch, tedy přesně řečeno je průniková křivka uvedených kuželových ploch také rovinná křivka. Hledáme-li středy kružnic, které se dotýkají dané přímky a procházejí daným bodem v rovině  , je výsledkem půdorys průsečnic polorovin dle obr. 5 s kuželovou plochou dle obr. 3. Vzhledem k tomu, že odchylka povrchových přímek kuželové plochy a odchylka uvedených rovin od roviny  je 45 , leží hledané středy kružnic na parabole. Řešíme-li nalezení středů kružnic, které se dotýkají dané přímky a kružnice v rovině  , je výsledkem půdorys průsečnic polorovin dle obr. 5 s kuželovou plochou dle obr. 7 případně 9. Protože odchylka povrchových přímek kuželové plochy a uvedených rovin od  je 45 , leží hledané středy kružnic opět na parabole. Hledáme-li středy kružnic, které procházejí dvěma danými body, případně daným bodem a dotýkají se dané kružnice, případně dotýkají se dvou daných kružnic v rovině  , je výsledným řešením půdorys průsečnic kuželových ploch dle obr. 3, 7, případně 9. Pokud neuvažujeme naše omezení na nezáporné z - ové souřadnice, pak se uvedené kuželové plochy obecně pronikají v obou svých částech a průniková křivka je tedy hyperbola. Řešíme-li tedy deset Apolloniových úloh z úvodu tohoto článku, stačí najít tyto průniky pro dvě dvojice prvků a pak najít jejich průsečíky. Řešení lze zkonstruovat jak prostředky deskriptivní geometrie, tak i např. pomocí software CABRI 3D. Program CABRI Geometrie je program tzv. typu Dynamical Geometry Environment (prostředí dynamické geometrie, zkratka DGE) a je vhodný pro všechny stupně škol, kde se učí geometrie (v rovině - CABRI Geometrie II Plus, v prostoru - CABRI 3D v2). Program CABRI 3D geometrie je kombinací interaktivní prostorové geometrie a matematického softwaru. Tradiční výuka trojrozměrné geometrie je poměrně obtížná a časově

222

náročná. Cabri 3D ulehčuje konstrukci i složitých objektů a tím zároveň odstraňuje zdlouhavé konstrukce a přitom navíc přináší i výhody interaktivní geometrie. Podívejme se nyní na tři základní úlohy, které je nutné v prostoru vyřešit a pomocí nichž lze pak vyřešit všech deset Apolloniových úloh. 1) Bk, BB, kk – hledáme průsečnici dvou kuželů; 2) Bp, kp – hledáme průsečnici kužele a roviny; 3) pp – hledáme průsečnici rovin. Ad 1) Řešení ukážeme na úloze Bk. Obr. 10 Zadání

Obr. 11 Dva pomocné kužele

Obr. 12 Průsečnice kuželů (hyperbola)

Obr. 13 Konstrukce hyperboly h1 a její kolmý průmět do roviny 

223

Obr. 14 Kružnice k1 , k  - vnější dotyk, k 2 , k  - vnitřní dotyk s k   S ; r 

Obr.15 Pohled na uvedená řešení kružnice v nákresně

Obr. 16 Pohled na celkové prostorové řešení

224

Ad 2) Řešení ukážeme na úloze Bp. Obr. 17 Pomocný kužel a rovina s jejich průsečnicí (parabola), včetně jejího průmětu do nákresny. Zakresleno jedno z řešení k   S ; r  .

Ad 3) Řešení úlohy pp. Obr. 18 Průsečnice pomocných rovin a její průmět do nákresny

225

Příklad: Pro ilustraci daných postupů řešme jednu z Apolloniových úloh Bpk (bod B a kružnice k leží uvnitř téže poloroviny určené přímkou p, bod B leží vně kružnice k), která se obvykle řeší užitím kruhové inverze. Poznamenejme, že úloha má v tomto zadání 3 řešení. Obr. 19 Celkový pohled na řešení v prostoru

Obr. 21 Skryté další konstrukční prvky

Obr. 20 Skryté povrchy kuželů

Obr. 22 Pohled na celkové řešení (kružnice l1 , l2 , l3 ) v rovině zadání (nákresně)

226

Tato řešení lze tedy provádět s pomocí Cabri 3D a není nutné zavádět nové pojmy a konstrukce (např. metodu kruhové inverze) a úlohu lze tak řešit díky software Cabri 3D i prostředky dostupnými na střední škole. Úlohy je také možno využít ke geometrické definici paraboly a hyperboly jako množiny bodů daných vlastností. Literatura: [1] Seifert, L.: Cyklografie, Jednota českých mathematiků a fysiků Praha, 1949. [2] http://www.pf.jcu.cz/cabri/cabri3d/download/Cabri_3D_prirucka.pdf Jaroslav Krieg Vysoká škola technická a ekonomická v Českých Budějovicích Okružní 517/10 370 01 České Budějovice [email protected] Milan Vacka Vysoká škola technická a ekonomická v Českých Budějovicích Okružní 517/10 370 01 České Budějovice [email protected]

227