VYSOKÉ UČENÍ TECHNICKÉ V BRNĚ FAKULTA STROJNÍHO INŽENÝRSTVÍ ENERGETICKÝ ÚSTAV
Ing. Jaroslav Štigler, Ph.D.
MATEMATICKÝ MODEL PROUDĚNÍ V ROZVĚTVENÍ MATHEMATICAL MODEL OF FLOW IN JUNCTION
ZKRÁCENÁ VERZE HABILITAČNÍ PRÁCE
BRNO 2008
Klíčová slova: Matematický model rozvětvení, potrubní tvarovky, turbulentní proudění, T-kus, ztráty v rozvětvení Key words: Mathematical model of junction, shaped pieces, turbulent flows, pipe junction, Tjunction, junction losses
Název pracoviště: Vysoké učení technické v Brně, Fakulta strojního inženýrství, Energetický ústav, Odbor fluidního inženýrství Victora Kaplana.
© Jaroslav Štigler, 2008 ISBN 978-80-214-3640-4 ISSN 1213-418X
1
OBSAH
1 OBSAH ................................................................................................................... 3 2 O AUTOROVI ....................................................................................................... 4 3 ÚVOD ..................................................................................................................... 5 3.1 3.2
Proč se zabývat rozvětvením proudu _________________________________________ 5 Problém určování ztrát v rozvětvení __________________________________________ 6
4 MATEMATICKÝ MODEL ROZVĚTVENÍ ..................................................... 7 4.1 4.2 4.3 4.4 4.5 4.6
Výběr rozvětvení_________________________________________________________ 7 Předpoklady odvození matematického modelu. _________________________________ 8 Časová změna hybnosti v rozvětvení _________________________________________ 9 Výkonová rovnice_______________________________________________________ 10 Matematický model rozvětvení – shrnutí _____________________________________ 11 Koeficienty popisující proudění kapaliny rozvětvením __________________________ 12
5 STACIONÁRNÍ PROUDĚNÍ NESTLAČITELNÉ KAPALINY ROZVĚTVENÍM ................................................................................................ 14 5.1 5.2 5.3 5.4
Matematický model rozvětvení při stacionárním proudění _______________________ 14 Numerické modelování stacionárního proudění v rozvětvení _____________________ 16 5.2.1 Okrajové podmínky _________________________________________________ 16 5.2.2 Rozsah výpočtů ____________________________________________________ 17 Určení velikosti oblasti rozvětvení __________________________________________ 17 Výkonoví a hybnostní tvaroví součinitelé ____________________________________ 18
6 APLIKACE MATEMATICKÉHO MODELU ROZVĚTVENÍ NA NESTACIONÁRNÍ PROUDĚNÍ NESTLAČITELNÉ KAPALINY. ............ 22 6.1 6.2
Náhradní hybnostní délky _________________________________________________ 22 Náhradní výkonové délky _________________________________________________ 24
7 ZÁVĚR ................................................................................................................. 27 7.1 7.2
7.3
Shrnutí________________________________________________________________ 27 Diskuse _______________________________________________________________ 27 7.2.1 Stlačitelnost _______________________________________________________ 27 7.2.2 Nestacionární proudění ______________________________________________ 28 7.2.3 Experiment ________________________________________________________ 28 7.2.4 Vybrané rozvětvení _________________________________________________ 28 Výhled________________________________________________________________ 28
8 LITERATURA .................................................................................................... 29 9 ABSTRACT ......................................................................................................... 31
3
2
O AUTOROVI Osobní údaje Jméno a příjmení: Datum narození:
Jaroslav Štigler 28. 6. 1967, Brno
Dosažené vzdělání a akademická kvalifikace • 1998 Ph.D. Fakulta strojní, VUT v Brně, obor inženýrská mechanika. Téma disertační práce: „Třírozměrné řešení potenciálního proudění kapalin“. • 1991 Ing. Fakulta strojní, VUT v Brně, obor Hydraulické a pneumatické stroje a zařízení. Studium na FS VUT ukončeno s vyznamenáním. Udělení ceny děkana Fakulty strojní. Téma diplomové práce: „Třírozměrné proudění“. • 1986 Střední Průmyslová škola strojnická. Kotlářská 9, Brno.
• • • •
Přehled zaměstnání 10/1998–12/1998, Energetický ústav, VUT FSI v Brně, asistent. 01/1999–dosud, Energetický ústav, VUT FSI v Brně, asistent. 11/1995–09/1998, AQUATIS a. s. Botanická, Brno. Samostatný projektant v oboru hydro. 10/1994–11/1995, civilní služba.
• • • •
Univerzitní aktivity 05/2006–dosud, tajemník Energetického ústavu, FSI VUT v Brně. 01/2004–05/2006, tajemník Odboru fluidního inženýrství Victora Kaplana. 03/2007–dosud, transferový poradce na Energetickém ústavu. 2003–2006, organizování exkurzí pro studenty specializace Fluidní inženýrství.
Mimouniverzitní aktivity • 05/2000–dodnes, člen přípravného výboru mezinárodní konference HYDROTURBO. • 10/2006, člen přípravného výboru konference MÍCHÁNÍ 2006. XIV. Celostátní konference MÍCHÁNÍ A MÍCHACÍ ZAŘÍZENÍ, ČERPADLA, UCPÁVKY A TĚSNĚNÍ • 26. a 27. 9. 2006, Brno, Hotel Santon.
4
3
ÚVOD
Autor této práce se zabývá matematickým modelem rozvětvení již od roku 1999, kdy byla tato problematika řešena v rámci projektu GAČR s č. 101/99/PO27. Od té doby byla autorem této práce spolu s jeho kolegy na toto téma napsána řada článků v časopisech a příspěvků na národních i mezinárodních konferencích. Pod vedením autora bylo vypracováno několik diplomových prací souvisejících s matematickým modelem rozvětvení. Přehled všech těchto publikací je uveden v kapitole 8 této práce. 3.1
Proč se zabývat rozvětvením proudu
Hned zpočátku je třeba definovat klíčový pojem této práce „matematický model rozvětvení“. Tímto pojmem je chápána soustava rovnic vyjadřující vztahy mezi průtoky a tlaky v jednotlivých větvích na hranici rozvětvení. V následujících odstavcích jsou diskutovány důvody a motivace, které vedly k hledání nového matematického modelu rozvětvení. Současná doba je charakterizována hledáním nových alternativních zdrojů energie, ale také úsilím vyrábět, navrhovat či projektovat energeticky úsporné, a tím i ekologicky šetrné stroje a zařízení. Je odhadováno, že 20 % energie vyrobené na celém světě je spotřebováno na dopravu kapalin. Z toho je velká část této energie zmařena na pokrytí hydraulických ztrát v potrubí. Rozvětvení je jedním ze zdrojů tlakových ztrát a rozrušení proudu v potrubí. Rozvětvení je řazeno mezi tvarové kusy nebo-li „tvarovky“. Jeho výskyt v potrubních řadech je častý, využívá se k dělení nebo sloučení proudů kapaliny, či pro připojení různých prvků k potrubnímu systému. Tam, kde se v potrubním řadu vyskytuje rozvětvení s cílem rozdělit nebo sloučit proud kapaliny, je možné mluvit o potrubních sítích nebo potrubních systémech. Při hydraulických výpočtech bývá rozvětvení nahlíženo jako na uzel potrubního systému, ve kterém je konstantní tlak, a nikoliv jako na prvek ovlivňující proudění v potrubním systému. První nápady týkající se metodiky sestavení nového matematického modelu rozvětvení přišly od prof. Pochylého. Ty pak byly doplněny a dopracovány až do současné podoby uvedené v této habilitační práci. Prvotním podnětem, který vedl k práci na vytvoření nového matematického modelu rozvětvení, byly nesrovnalosti mezi výpočty a měřením při řešení nestacionárního proudění v potrubí s připojenými tlakovými nádržemi. Stávající matematické modely rozvětvení jsou založeny na předpokladu, že tlak na počátku každé větve vedoucí do rozvětvení je stejný. Novější přístupy již řeší energetické ztráty v rozvětvení, ale stále chybí matematický model rozvětvení jako prvku systému, který by bylo možné využít při řešení stacionárního i nestacionárního proudění v potrubních sítích. Jak již bylo řečeno, rozvětvení je zdrojem ztrát a rozrušení proudu v potrubí. Určování ztrát, eventuálně ztrátových součinitelů v rozvětvení není snadné a doposud není zcela uspokojivě vyřešené. Jednou z mála publikací v českém jazyce, která se obšírněji ztrátami v rozvětvení zabývá, je práce Koláře a Vinopala [6]. Další práce jsou na úrovni výzkumných podnikových zpráv. Ze zahraniční literatury je možné ze starších publikací uvést práci Millera [5] a jednu z novějších publikací Kenji a Hidesato [1]. Práce zabývající se problematikou rozvětvení, které se v současné době objevují, jsou zaměřeny především na určování součinitelů stávajícího matematického modelu, zkoumání struktury proudění v rozvětvení, ověřování modelů turbulence či jiných parametrů proudu.
5
Jednou z oblastí, kde se rozvětvení těší velkému zájmu, je biomechanika, kde je řešeno proudění v rozvětvujících se cévách. Důvodem je zjištění, že právě rozvětvení je místem častého výskytu a vzniku arterosklerózy. Rozvětvení je z hlediska určování ztrát a ztrátových součinitelů černou skříňkou, do které je těžké nahlédnout. Je to dáno tím, že do hry vstupuje mnoho parametrů, na kterých jsou ztráty závislé. Mezi tyto parametry patří celkový průtok rozvětvením, poměr průtoků v jednotlivých větvích, poměr průměrů jednotlivých větví, tvar rozvětvení atd. Cílem této práce je najít nový matematický model rozvětvení, kde budou definovány koeficienty s jasným fyzikálním významem a minimálním počtem experimentálně zjišťovaných závislostí. Současně jde o to, aby bylo možné tento model použít i při nestacionárním proudění kapaliny v rozvětvení. 3.2
Problém určování ztrát v rozvětvení
Ztráty jsou určovány na základě Bernouliho rovnice, která vyjadřuje zákon zachování energie kapaliny v potrubí. Bernouliho rovnice je psána mezi dvěma místy potrubí, ty mohou být označeny indexy 1 a 2. Bernouliho rovnice pro stacionární jednorozměrné proudění pak má tvar c2 p c2 p α (1) . 1 + 1 + U 1 = α ( 2 ) 1 + 1 + U 1 + Y( z ,1− 2 ) (3.1) 2 ρ 2 ρ Je třeba si uvědomit, že Bernouliho rovnice v tom tvaru, jak je používána, je psána pro tzv. měrné energie, tedy energie vztažené na jeden kilogram kapaliny. Jednotky jednotlivých členů v rovnici jsou ⎡ m2 J ⎤ (3.2) ⎢ s 2 = kg ⎥ ⎣ ⎦ Tento přístup je však možný pouze tam, kde hmotností průtok kapaliny v místě 1 a 2 je stejný. V případě rozvětvení je však průtok jednotlivými větvemi různý. Proto je třeba zákon zachování energie v případě rozvětvení vyjádřit jinak. Musí být srovnávána celková energie, která do rozvětvení přichází, s celkovou energií, která z rozvětvení odchází. Celková energie je získána vynásobením měrné energie hmotností procházející daným místem. V případě proudění kapalin bude měrná energie násobena hmotnostním průtokem, který danému řezu přísluší. Hmotnostní průtok udává množství hmoty za čas, které proteče daným průřezem. To však již není celková energie, ale výkon, který daným průřezem prochází. Jednotky členů v Bernouliho rovnici po vynásobení hmotnostním průtokem tedy jsou ⎡ m 2 kg ⎤ (3.3) ⎢ s 2 . s = W⎥ ⎣ ⎦ Zákon zachování energie je třeba pozměnit. Jeho znění pro tento případ tedy je: „Příkon, který do rozvětvení přichází, je roven součtu výkonu, který z něj odchází, a ztrátového výkonu, který je v rozvětvení mařen.“ Z toho také vyplývá výkonový součinitel rozvětvení, který určuje ztrátu výkonu v rozvětvení.
6
4 4.1
MATEMATICKÝ MODEL ROZVĚTVENÍ Výběr rozvětvení
Rozvětvení je mnoho typů a součinitelé charakterizující proudění závisí na mnoha parametrech, jako například na počtu větví, úhlech mezi jednotlivými větvemi, velikosti průřezů jednotlivými větvemi, poměru a uspořádání průtoků jednotlivými větvemi. Proto je důležité vymezit, pro jaké rozvětvení bude matematický model sestavován. Z hlediska tvaru se bude jednat o rozvětvení typu T. Tedy rozvětvení je tvořeno přímou a na ni kolmou odbočující větví. Rozvětvení tohoto typu se vyskytují nejčastěji. Tvar rozvětvení a znázornění příslušných veličin je uvedeno na obrázku 1.
Obrázek 1. Tvar rozvětvení, pro které bude vytvářen matematický model.
Pro takové rozvětvení existuje různé uspořádání průtoků. Ty jsou znázorněny na obrázku 2. Na levé straně je uspořádání průtoků pro dělení proudu a na pravé straně možné uspořádání průtoků pro soutok dvou proudů. Pro rozvětvení typu T s kolmou odbočkou, je uspořádání průtoků r1–r3 a s1–s3 stejné. V případě, že průměr odbočující větve je jiný než průměr přímé větve, existuje šest různých kombinací průtoků rozvětvením. Matematický model je vytvořen tak, aby popisoval všechny tyto kombinace. Pro každé uspořádání průtoků budou rozdílné průběhy ztrátových součinitelů.
7
Typ r1
Typ s1
Typ r2
Typ s2
Typ r3
Typ s3
Obrázek 2. Přehled možných uspořádání průtoků pro rozvětvení tvaru T.
4.2
Předpoklady odvození matematického modelu.
Odvození matematického modelu je provedeno na základě následujících předpokladů: Průřezy vymezující oblast rozvětvení jsou v místech, kde je možné považovat proudění za ustálené. Pak je možné na průřezech S(a) a S(b) předpokládat: ∂c1 = 0 , c2 = c3 = 0 (4.1) ∂x 1
obdobně na průřezu S(c) ∂c 2 = 0 , c1 = c 3 = 0 ∂x 2
(4.2)
Jak již bylo řečeno, matematickým modelem je chápána soustava rovnic, které vyjadřují vztahy mezi průtoky a tlaky v jednotlivých větvích rozvětvení. Matematický model rozvětvení je tvořen • • •
8
vektorovou rovnicí vyjadřující časovou změnu hybnosti, skalární rovnicí vyjadřující zákon zachování energie ve formě výkonu, rovnicí vyjadřující zákon zachování hmoty.
4.3
Časová změna hybnosti v rozvětvení
Při odvození rovnice vyjadřující časovou změnu hybnosti v rozvětvení vycházíme z Navier-Stokesovy rovnice v gravitačním poli. ∂c ∂c ∂p ∂Π ij = ρg i − ρ i +ρ i cj + (4.3) ∂x j ∂x i ∂x j ∂t která je integrovaná přes celý objem rozvětvení V. ∂Π ij ∂c i ∂c i ∂p c dV dV + − dV + ρ ρ j ∫V ∂t ∫V ∂x j ∫V ∂x i ∫V ∂x j dV = g i ∫V ρdV
(kde i = 1, 2 , 3)
(4.4)
Hranice objemu rozvětvení je tvořena plochami S(a), S(b), S(c) a Γ, jak je znázorněno na obrázku 1. Jednotlivé integrály vyjadřují síly působící v rozvětvení. Pro jejich úpravu je možné využít Gaus-Ostrogradského věty. ∂ (ρ.c i ) (4.5) ∫V ∂t dV + ∫S ρ.c i .c j .n jdS + ∫S p.n i dS − ∫S Π ij .n jdS = g i ∫V ρ.dV Hranice S objemu V se skládá z následujících ploch S = S(a ) ∪ S( b) ∪ S(c) ∪ Γ
(4.6)
Rovnici vyjadřující časovou změnu hybnosti je možné napsat ve tvaru F( t ) i + F( k ) i + F( p ) i + F( τ ) i = G i
(4.7)
F(t)i – Setrvačná síla vyvolaná lokálním zrychlením. F(k)i – Setrvačná síla vyvolaná konvektivním zrychlením. F(p)i – Tlaková síla. F(τ)i – Síla vyvolaná tečným napětím. Gi – Tíhová síla. Podrobné úpravy jednotlivých členů jsou ukázány v habilitační práci. Po všech úpravách tedy dostáváme vektorovou rovnici, která má po rozepsání do složek tvar Složka ve směru x1: ∂ (H ( Ma ) L ( Ma ) ) + ρ (a ) c (a )1Q (a ) + p (a ) n (a )1S(a ) + ∂t ∂ + (H ( Mb ) L ( Mb ) ) + ρ ( b ) c ( b )1Q ( b ) + p ( b ) n ( b )1S ( b ) + (4.8) ∂t Q (2C ) + ρ ( C ) S ( C ) ξ ( M )1 2 = g1 m S(C) ve směru x2 dostaneme: 2 ∂ (H ( Mc) L ( Mc) ) + ρ (c) c (c)2 Q (c) + p (c) n (c)2S(c) + ρ (C)S(C) ξ( M )2 Q2(C) = g 2 m ∂t S(C)
(4.9)
9
Třetí složka je pro naše uspořádání nepodstatná. Hybnostní součinitel ξ(M)i je bezrozměrný vektor, který vyjadřuje složky síly působící na rozvětvení vztažené k hybnosti té větve, kterou protéká celkový průtok. 4.4
Výkonová rovnice
Další rovnicí, kterou je možné využít, je výkonová rovnice. Tato rovnice vyjadřuje zákon zachování energie při průtoku kapaliny rozvětvením. Její členové vyjadřují výkony, které odpovídající síly vydaly nebo spotřebovaly při průtoku kapaliny rozvětvením. Jejich součet musí být roven nule. Výkonovou rovnici získáme opět z NS rovnice (4.3) vynásobením rychlostí ci a integrováním přes oblast rozvětvení V, obrázek 1. ∂Π ij ∂c i ∂ (c i ) ∂p c dV c c dV − c dV + + ρ (4.10) ρ i j i i ∫ ∂t ∫ ∂x j ∫ ∂x i ∫ ∂x j c i dV = ∫V ρg i c i dV V V V V Po integraci s využitím GO věty obdržíme: 2 1 ∂ (ρ c ) 1 2 dV + ∫ ρ c c i n i dS + ∫ pc i n i dS − ∫ Π ij c i n j dS + ∫ Π ij c ijdV = ∫ ρg i c i dV ∫ 2 V ∂t 2S S S V V
kde c ij =
∂c i ∂x j
(4.11)
(4.12)
Pro plochu S platí S=S(a)+S(b)+S(c)+Γ. S využitím předpokladů, za kterých je toto odvození prováděno, platí: (4.13) ∫ Π ijc i n jdS = 0 S
Konečné vyjádření výkonové rovnice je 2 1 ∂ (ρ c ) 1 2 dV + ∫ ρ c c i n i dS + ∫ pc i n i dS + ∫ Π ijc ijdV = ∫ ρg i c i dV ∫ 2 V ∂t 2S S V V Jednotliví členové v předcházející rovnici vyjadřují výkony při průtoku rozvětvením. P( t ) + P( k ) + P( p ) + P( z ) = P( po ) .
(4.14)
(4.15)
P(t) – Výkon dynamický (lokální). Je to výkon odpovídající časové změně urychlující energie. P(k) – Výkon konvektivní. Je to výkon odpovídající časové změně kinetické energie kapaliny. P(p) – Výkon tlakový. Je to výkon odpovídající časové změně tlakové energie. P(z) – Ztrátový výkon. Je to výkon, který pokrývá ztráty v rozvětvení. Jsou v něm zahrnuty jak ztráty třením, tak lokální ztráty vlivem tvaru rozvětvení. P(po) – Výkon potenciální. Je to výkon odpovídající změně potenciální energie gravitačních sil. Předpokládáme, že tyto síly mají potenciál. Podrobné úpravy jednotlivých členů jsou ukázány v habilitační práci. Po všech úpravách tedy dostáváme vektorovou rovnici, která má po rozepsání do složek tvar
10
ρ ( a ) Q (2a ) 1 ∂ . (H ( Pa )1 .L ( Pa )1 ) + α ( a ) . . .Q ( a ) + p ( a ) .Q ( a ) − g1 .α ( Ma ) .H ( Ma ) L ( Ma )1 + 2 ∂t 2 S (2a ) ρ ( b ) Q (2b ) 1 ∂ ( ) . + . H ( Pb )1 .L ( Pb )1 + α ( b ) . .Q ( b ) + p ( b ) .Q ( b ) − g 1 .α ( Mb ) .H ( Mb ) L ( Mb )1 + 2 ∂t 2 S (2b ) ρ ( c ) Q (2c ) 1 ∂ ( ) . .Q ( c ) + p ( c ) .Q ( c ) − g 2 .α ( Mc ) .H ( Mc ) L ( Mc ) 2 + + . H ( Pc ) 2 .L ( Pc ) 2 + α ( c ) . 2 ∂t 2 S (2c )
(4.16)
Q (2C ) 1 + .ρ ( C ) .ξ ( P ) . 2 . Q ( C ) = 0 2 S(C)
Tento vztah odpovídá Bernouliho rovnici s tím, že u rozvětvení není možné pracovat s měrnou energií, ale s výkonem procházejícím daným průřezem. 4.5
Matematický model rozvětvení – shrnutí
Jak již bylo dříve řečeno, matematický model rozvětvení je soubor rovnic, které vyjadřují vztah mezi průtoky a tlaky v jednotlivých větvích rozvětvení. Pro případ rozvětvení tvaru T uvažovaný v této práci platí c ( a ) = c ( a )1 , c ( b ) = c ( b )1 , c (c) = c (c)2 (4.17) S ( a ) = S ( a1) ,
S ( b ) = S ( b1) ,
S(c) = S(c2)
(4.18)
H ( Pa ) = H ( Pa )1 ,
H ( Pb ) = H ( Pb )1 ,
H ( Pc ) = H ( Pc ) 2
(4.19)
L ( a ) = L ( a )1 ,
L ( b ) = L ( b )1 ,
L (c) = L (c)2
(4.20)
V této chvíli je k dispozici: vektorová rovnice vyjadřující časovou změnu hybnosti při průtoku rozvětvením, která zahrnuje dvě složkové rovnice ve směru x1 ∂ (H ( Ma ) .L ( Ma ) ) + ρ (a ) .c (a ) .Q (a ) + p (a ) .n (a )1 .S(a ) + ∂t ∂ + (H ( Mb ) .L ( Mb ) ) + ρ ( b ) .c ( b ) .Q ( b ) + p ( b ) .n ( b )1 .S ( b ) + ∂t Q (2C ) + ρ ( C ) .S ( C ) .ξ ( M )1 . 2 = g1 .m S(C)
(4.21)
a ve směru x2 2 ∂ (H ( Mc) .L ( Mc) ) + ρ (c) .c (c) .Q (c) + p (c) .n (c)2 .S(c) + ρ (C) .S(C) .ξ ( M )2 . Q2(C) = g 2 .m ∂t S(C)
(4.22)
11
výkonová rovnice vyjadřující zákon zachování energie ρ ( a ) Q (2a ) 1 ∂ . (H ( Pa ) .L ( Pa ) ) + α ( a ) . . .Q ( a ) + p ( a ) .Q ( a ) − g1 .H ( Ma ) .L ( Ma )1 + 2 ∂t 2 S (2a ) ρ ( b ) Q (2b ) 1 ∂ + . (H ( Pb ) .L ( Pb ) ) + α ( b ) . . .Q ( b ) + p ( b ) .Q ( b ) − g1 .H ( Mb ) .L ( Mb )1 + 2 ∂t 2 S (2b ) ρ ( c ) Q (2c ) 1 ∂ + . (H ( Pc ) .L ( Pc ) ) + α ( c ) . . .Q ( c ) + p ( c ) .Q ( c ) − g 2 .H ( Mc ) .L ( Mc ) 2 + 2 ∂t 2 S (2c )
(4.23)
Q (2C ) 1 + .ρ ( C ) .ξ ( P ) . 2 . Q ( C ) = 0 2 S(C)
a rovnice kontinuity pro stlačitelnou kapalinu ρ (a ) c (a )i n (a )iS(a ) + ρ ( b) c ( b)i n ( b)iS( b) + ρ (c) c (c)i n (c)iS(c) = −
∂ ρdV ∂t ∫V
(4.24)
Index C je v rovnicích nahrazen jedním z indexů (a), (b) nebo (c) podle toho, kterou větví protéká celkový průtok. V matematickém modelu rozvětvení se vyskytují veličiny, které je třeba objasnit, takže H ( Mx ) = ρ ( x ) .c ( x ) .S ( x ) (4.25) H ( Px ) = ρ ( x ) .c (2x ) .S ( x )
(4.26)
L(Mx) – Náhradní hybnostní délky. L(Px) – Náhradní výkonové délky. α(x) – Coriolisova čísla. Ve všech indexech se místo indexu (x) dosazují indexy (a), (b) nebo (c). Pro řešení proudění rozvětvením budou použity rovnice (4.21), (4.23) a (4.24), které platí pro nestacionární proudění stlačitelné kapaliny rozvětvením. V případě barotropní kapaliny je nutno přidat rovnici vyjadřující závislost hustoty na tlaku. V rovnicích matematického modelu se vyskytují veličiny, které je nutné určit experimentálně. Jsou to náhradní délky jednotlivých větví rozvětvení. Každé větvi je přiřazena její náhradní délka, která zahrnuje část oblasti, kde dochází k dělení proudu. Jsou dva typy náhradních délek, a to hybnostní L(Mx) a výkonové L(Px). Dále je třeba určit výkonový ztrátový součinitel ξ(P) a hybnostní součinitel ξ(H1). 4.6
Koeficienty charakterizující proudění kapaliny rozvětvením
Aby bylo možné využívat matematický model uvedený v předchozí kapitole, je třeba znát výkonový a hybnostní koeficient. Ty je možné vyjádřit z rovnic (4.21), (4.22) a (4.23). Pro jejich určení musí být známy průtoky a tlaky v jednotlivých větvích, které jsou určovány na základě experimentu nebo na základě numerického modelování proudění rozvětvením. V této práci jsou koeficienty určovány s využitím numerického modelování proudění v rozvětvení. Výkonový koeficient je vyjádřen z rovnice (4.23).
12
1 ⎡∂ 1 ∂ ∂ ⎤ 1 . ξ ( P ) = − .⎢ (H ( Pa )1 .L ( Pa )1 ) + (H ( Pb )1 .L ( Pb )1 ) + (H ( Pc ) 2 .L ( Pc ) 2 )⎥. − 2 2 ⎣ ∂t ∂t ∂t ⎦ Q (C) ρ (C) Q (C) . 2 S (2C ) ⎞ ⎛ ρ ( a ) Q (2a ) ρ ( b ) Q (2b ) ρ ( c ) Q (2c ) 1 ⎜ − . 2 .q ( aC ) + α ( b ) . . 2 .q ( bC ) + α ( c ) . . 2 .q ( cC ) ⎟. − α(a ) . 2 ⎟ ρ ⎜ 2 S(a ) 2 S( b) 2 S(c) ⎠ (C) . Q (C) ⎝ 2 S (2C ) − (p ( a ) .q ( aC ) + p ( b ) .q ( bC ) + p ( c ) .q ( cC ) ).
1 + ρ ( C ) Q (2C ) . 2 S (2C )
+ (g1 .H ( Ma ) .L ( Ma )1 + g 1 .H ( Mb ) .L ( Mb )1 + g 2 .H ( Mc ) .L ( Mc ) 2 ).
1 1 . 2 Q (C) ρ (C) Q (C) . 2 S (2C ) (4.27)
Hybnostní koeficienty jsou vyjádřeny z rovnic (4.21) a (4.22) S(C) ∂ ⎡∂ ⎤ S(C) ( ) ( ) − H . L H . L ξ ( M )1 = g 1 .m. − + ( Ma ) ( Ma )1 ( Mb ) ( Mb )1 ⎥ 2 ∂t ρ ( C ) .Q (2C ) ⎢⎣ ∂t ⎦ ρ ( C ) .Q ( C ) − (ρ ( a ) .c ( a ) .Q ( a ) + ρ ( b ) .c ( b ) .Q ( b ) )
ξ ( M ) 2 = g 2 .m.
S(C) ρ ( C ) .Q (2C )
− ρ ( c ) .c ( c ) .Q ( c )
S(C) ρ ( C ) .Q (2C )
−
S(C) ρ ( C ) .Q (2C )
− (p ( a ) .n ( a )1 .S ( a ) + p ( b ) .n ( b )1 .S ( b ) )
∂ (H ( Mc) .L ( Mc)2 ) S(C) 2 − ∂t ρ ( C ) .Q ( C )
− p ( c ) .n ( c ) 2 .S ( c )
S(C)
S(C)
(4.28)
ρ ( C ) .Q (2C )
(4.29)
ρ ( C ) .Q (2C )
Fyzikální význam výkonového součinitele ξ(P) je jasný, vyjadřuje ztrátový výkon kapaliny při jejím průtoku rozvětvením. Celkový ztrátový výkon je získán vynásobením výkonového součinitele kinetickou energií kapaliny protékající větví (C) za jednotku času. Fyzikální význam hybnostních součinitelů ξ(M1) a ξ(M2) je následující. Tito součinitelé jsou složkami vektoru, který je úměrný vektoru síly působící na rozvětvení. Vynásobením tohoto vektoru hybností kapaliny za jednotku času, která odpovídá hmotnostnímu průtoku kapaliny větví (C), obdržíme vektor síly působící na rozvětvení.
13
5
STACIONÁRNÍ PROUDĚNÍ NESTLAČITELNÉ KAPALINY ROZVĚTVENÍM.
V této části bude matematický model rozvětvení aplikován na stacionární proudění nestlačitelné kapaliny. Současně bude vymezena velikost rozvětvení a určena závislost tvarových součinitelů na poměru průtoků q(ca). To vše bude provedeno na základě numerického modelování proudění v rozvětvení. 5.1
Matematický model stacionárního proudění rozvětvením
Matematický model stacionárního proudění v rozvětvení je získán z rovnic (4.21), (4.23) a (4.24) odstraněním nestacionárních členů a zavedením následujících předpokladů. • •
Kapalina je nestlačitelná, takže platí ρ=ρ(a)=ρ(b)=ρ(c)=konst. Jedná se o vyvinuté turbulentní proudění, takže Coriolissovy koeficienty α(a)=α(b)=α(c)=1. Matematický model rozvětvení je tedy tvořen hybnostní rovnici ve směru x1 ρ.c ( a ) .Q ( a ) + p ( a ) .n ( a )1 .S ( a ) + ρ.c ( b ) .Q ( b ) + p ( b ) .n ( b )1 .S ( b ) +
+ ρ.S ( C ) .ξ ( M )1 .
Q (2C ) S
2 (C)
= ρ.g1 .V
(5.1)
výkonovou rovnicí 2 ρ Q (a ) . .Q ( a ) + p ( a ) .Q ( a ) − g 1 .H ( Ma ) .L ( Ma )1 + 2 S (2a ) 2 ρ Q ( b) + . 2 .Q ( b ) + p ( b ) .Q ( b ) − g 1 .H ( Mb ) .L ( Mb )1 + 2 S( b) 2 ρ Q (c) + . 2 .Q ( c ) + p ( c ) .Q ( c ) − g 2 .H ( Mc ) L ( Mc ) 2 + 2 S(c)
(5.2)
Q (2C ) 1 + .ρ.ξ P . 2 . Q ( C ) = 0 2 S(C)
a rovnicí kontinuity pro nestlačitelnou kapalinu Q (a ) + Q ( b) + Q (c) = 0
(5.3)
Tento matematický model je třeba aplikovat na vybrané rozvětvení. Tvar rozvětvení a volba souřadného systému je podle obrázku 1. Průměry všech větví jsou konstantní. Uspořádání průtoků je podle varianty r1 na obrázku 2.
14
Pro toto uspořádání platí: • Index C = a. • Jednotkové normálové vektory mají složky n ( a ) i = (− 1; 0; 0)
•
(5.4)
n ( b ) i = (1; 0; 0)
(5.5)
n ( c ) i = (0; 1; 0)
(5.6)
Vektor tíhového zrychlení gi je kolmý k rovině rozvětvení, pak platí g i = (0, 0, − 9,81) Pro toto uspořádání má matematický model tvar Q (a ) Q ( b) ρ.Q ( a ) . − p ( a ) .S ( a ) + ρ.Q ( b ) . + p ( b ) .S ( b ) + S(a ) S( b) + ρ.S ( a ) .ξ ( M )1 .
Q (2a ) S (2a )
(5.7)
(5.8)
=0
2 2 2 ρ Q (a ) ρ Q ( b) ρ Q (c) . .Q ( a ) + . 2 .Q ( b ) + . 2 .Q ( c ) + 2 S (2a ) 2 S( b) 2 S(c)
+ p ( a ) .Q ( a ) + p ( b ) .Q ( b ) + p ( c ) .Q ( c ) +
(5.9)
Q (2a ) 1 + .ρ.ξ ( P ) . 2 . Q ( a ) = 0 2 S(a ) Q (a ) + Q ( b) + Q (c) = 0
(5.10)
Tomu také odpovídají vztahy pro určení koeficientů popisující rozvětvení ⎛ Q (a ) Q ( b) ⎞ 1 ⎟. 1 + (p ( a ) − p ( b ) ) ξ ( M )1 = ⎜ ρ. − ρ.q ( ba ) ⎟ ⎜ S(a ) S( b) Q (2a ) ⎠ ρ. Q ( a ) ⎝ ρ. 2 S(a ) S(a ) ξ( P)
⎛ ρ Q (2a ) ρ Q (2b ) ⎞ Q (2c ) 1 ρ + = ⎜ . 2 − . 2 .q ( ba ) − . 2 .q ( ca ) ⎟. ⎜2 S ⎟ ρ Q2 2 2 S S ( a ) ( b ) ( c ) ( a ) ⎝ ⎠ . 2 S (2a )
+ (p ( a ) − p ( b ) .q ( ba )
1 − p ( c ) .q ( ca ) ) 2 ρ Q (a ) . 2 S (2a )
(5.11)
(5.12)
Kde q ( aa ) = −1 ,
q ( ba ) =
Q ( b) Q (a )
,
q ( ca ) =
Q (c) Q (a )
(5.13)
15
Pro stejné průměry všech větví je možné tyto výrazy ještě zjednodušit 1 ξ ( P ) = (1 − q 3( ba ) − q 3( ca ) ) + (p ( a ) − p ( b ) .q ( ba ) − p ( c ) .q ( ca ) ) 2 ρ Q (a ) . 2 S (2a )
(
)
ξ ( M )1 = 1 − q ( ba ) . q ( ba ) + (p ( a ) − p ( b ) ) ρ.
(5.14)
1 Q (2a )
(5.15)
S (2a )
V našem případě budou dále používány tyto vztahy. Pokud by bylo uspořádání průtoků jiné nebo by byly různé průměry jednotlivých větví, pak by bylo potřeba vycházet z původních obecných vztahů (4.27), (4.28) a (4.29). 5.2
Numerické modelování stacionárního proudění v rozvětvení
Numerické modelování proudění v rozvětvení bylo provedeno pro 3D turbulentní proudění. Pro výpočty byl použit software FLUENT a pro vytváření geometrie oblasti software GAMBIT. Pro modelování turbulentního proudění byl použit model turbulence k-ε Realizable se standardním nastavením všech parametrů. 5.2.1
Okrajové podmínky
Na vstupu byla použita okrajová podmínka „velocity inlet“, intenzita turbulence, charakteristický rozměr a atmosférický tlak. Na výstupech pak byla zadána podmínka „outflow“. Některé parametry zadávané do výpočtů jsou uvedeny v tabulce 1. Popis
Ozn.
Sada 25 Hodnota
Sada 27 Jedn.
Střední rychlost
c(a)
1,00
Celkový průtok
Q(a)
17,01
[l.min-1]
Vnitřní průměr větve
d
19,00
[mm]
Hustota
ρ
998,20
Dynamická viskozita
η
0,001003
[Pa.s-1]
Reynoldsovo číslo
R(a)
18 909,00
[1]
Intenzita turbulence
10,00
Hodnota
-1
[m.s ]
1,5 25,52
[l.min-1]
28 364,00
[1]
[%] Sada 31 Jedn. -1
Hodnota
Jedn.
Střední rychlost
c(a)
2,00
[m.s ]
2,50
[m.s-1]
Celkový průtok
Q(a)
34,02
[l.min-1]
34,02
[l.min-1]
Vnitřní průměr větve
d
19,00
[mm]
Hustota
ρ
998,20
[kg.m-3]
Dynamická viskozita
η
0,001003
[Pa.s-1]
Reynoldsovo číslo
R(a)
37 818,00
[1]
37 818,00
[1]
10,00
[%]
Intenzita turbulence
Tabulka 1. Hodnoty zadávané do výpočtů.
16
[m.s-1]
[kg.m-3]
Sada 29 Hodnota
Jedn.
5.2.2
Rozsah výpočtů
Byly provedeny čtyři sady výpočtů pro uspořádání průtoků r1 podle obrázku 2. Každá sada měla celkový průtok v přívodní větvi (a) konstantní. Pro tento průtok bylo u každé sady modelováno proudění pro 21 hodnot poměrů průtoku q(ca). Poměry průtoků q(ca) se měnily v rozsahu 0–1. Změna ∆q(ca) byla o 0,05. Zadávané hodnoty do výpočtu jsou uvedeny v tabulce 1. 5.3
Určení velikosti oblasti rozvětvení
V předchozích úvahách byla oblast rozvětvení vymezena polohou průřezů S(a), S(b) a S(c). Vymezení velikosti oblasti rozvětvení je pro konkrétní výpočty velmi důležité. Dosud však nebylo řečeno, jak daleko od rozvětvení se tyto průřezy nacházejí. V souladu s předpoklady mají být průřezy vymezující oblast rozvětvení umístěny v takové vzdálenosti, kde vliv rozvětvení na proudění kapaliny bude málo významný. 101 000 100 000 p(a) q(ca)=0,00 p(a) q(ca)=0,40 p(a) q(ca)=0,80 p(a) q(ca)=1,00 p(b) q(ca)=0,00 p(b) q(ca)=0,40 p(b) q(ca)=0,80 p(b) q(ca)=1,00 p(c) q(ca)=0,00 p(c) q(ca)=0,40 p(c) q(ca)=0,80 p(c) q(ca)=1,00
99 000
-1
p(a) [Pa.m]
98 000 97 000 96 000 95 000 94 000 93 000 -15
-10
-5
0
5
10
15
L/d(a) [1]
Obrázek 3. Průběh tlaků podél jednotlivých větví pro celkový průtok Q=34,02 l/min a vybrané poměry průtoků. V přívodní větvi je Re = 38 818.
Vliv rozvětvení je posuzován podle průběhu středního tlaku podél dané větve. U přímé trubky konstantního průřezu s ustáleným rychlostním profilem platí, že střední hodnota tlaku klesá lineárně. Tato skutečnost je rozhodující pro určení velikosti rozvětvení. Příklad průběhu tlaku ve větvích rozvětvení je uveden na obrázku 3. Graf je uspořádán tak, že nulová hodnota na ose x odpovídá středu rozvětvení. Na levé straně od osy y jsou znázorněny tlaky ve větvi (a). Na pravé straně jsou znázorněny tlaky ve větvích (b) a (c). Kapalina v grafech proudí zleva doprava. Na základě uvedeného grafu je možné odhadnout, kam až sahá vliv rozvětvení v jednotlivých větvích. V přívodní větvi je proudění ovlivněno rozvětvením do vzdálenosti 1d až 2d, v odtokových větvích do vzdálenosti 10d. Z průběhu tlaků na obrázku 3 je také patrné, že rozdíly tlaků na počátcích jednotlivých větví jsou rozdílné. Tlak na počátcích jednotlivých větví nelze považovat za konstantní.
17
5.4
Výkonoví a hybnostní tvaroví součinitelé
Koeficienty charakterizující proudění rozvětvením jsou určovány na základě měření průtoků a tlaků. Jejich určování je spojeno s následujícím rozporem. Měření tlaků je třeba provádět co nejdále od rozvětvení, aby na průřezech S(a), S(b) a S(c) byly splněny podmínky, za kterých byl matematický model odvozen. V předchozí kapitole bylo na základě numerického modelování zjištěno, že tato vzdálenost musí být větší jak 10d. Se zvětšující se vzdáleností od rozvětvení však narůstá vliv tření, který je nutné eliminovat. Vliv tření je možné pozorovat u průběhu celkového energetického součinitele, obrázek 4 a hybnostního součinitele, obrázek 5 , při měření tlaků v různých vzdálenostech od rozvětvení. Pro větší vzdálenosti od rozvětvení je tvar křivky již téměř konstantní, ale je posunutý o hodnotu, která odpovídá vlivu tření. 3,0
2,5
1,05*da 2,11*da 3,16*da 4,21*da 10,53*da 11,58*da 12,63*da 13,68*da
ξ(P) [1]
2,0
1,5
1,0
0,5
0,0 0,0
0,2
0,4
0,6
0,8
1,0
1,2
q(ca) [1]
Obrázek 4. Průběh energetického součinitele ξ(P) v závislosti na poměru průtoku q(ca) pro různé vzdálenosti od rozvětvení. Celkový průtok Q(a) = 17 l/min, Re(a) = 18 909.
1,0 0,9 0,8 0,7
1,05*d(c) 2,11*d(c) 3,16*d(c) 4,21*d(c) 10,53*d(c) 11,58*d(c) 12,63*d(c) 13,68*d(c)
ξ(M)1[1]
0,6 0,5 0,4 0,3 0,2 0,1 0,0 0,0
0,2
0,4
0,6
0,8
1,0
1,2
q(ca)[1]
Obrázek 5 . Průběh hybnostního součinitele ξ(M)1 v závislosti na poměru průtoku q(ca) pro různé vzdálenosti od rozvětvení. Celkový průtok Q(a)=17 l/min, Re(a)=18 909.
18
Z toho vyplývá, že vyloučením vlivu tření v jednotlivých větvích při měření tlaků za hranicí rozvětvení je možné získat pouze jednu křivku. To znamená, že celkové součinitele je možné rozložit na dvě části. Část, která vyjadřuje pouze vliv tvaru rozvětvení, a část, která vyjadřuje vliv tření v oblasti rozvětvení. Vliv tření je určován pro případ, kdy kapalina proudí třemi potrubími s ustálenými rychlostními profily. ξ ( P ) = ξ ( PG ) + ξ ( PF ) (5.16) ξ ( M ) i = ξ ( MG ) i + ξ ( MF) i
(5.17)
Část, která vyjadřuje vliv tření, je možné určit buď teoreticky, výpočtem, nebo měřením. Část vyjadřující vliv tvaru rozvětvení je pak možné vyjádřit ξ ( PG ) = ξ ( P ) − ξ ( PF ) (5.18) ξ ( MG ) i = ξ ( M ) i − ξ ( MF ) i
(5.19)
Podrobné odvození třecích výkonových a hybnostních součinitelů je uvedeno v habilitační práci, zde budou uvedeny výsledné vztahy. 2 2 S(C) ξ ( PF ) = [q ( aC ) L ( a ) i ( a ) + q ( bC ) L ( b ) i ( b ) + q ( cC ) L ( c ) i ( c ) ] (5.20) ρ Q (2C ) ξ ( MF ) i = (L ( a ) .s ( aC ) .i ( a ) + L ( b ) .s ( bC ) .i ( b ) )
S (2C )
(5.21)
ρQ (2C )
kde
s ( aC ) =
S(a ) S(C)
s ( bC ) =
S( b) S(C)
s ( cC ) =
S(c) S(C)
(5.22)
Ve vztazích pro třecí součinitele vystupují tlakové spády i(x) (kde x = a, b, c) v jednotlivých větvích. Jedná se o tlakové spády nenarušeného proudu v dané větvi. Průběh výkonového tvarového součinitele ξ(PG) pro různé vzdálenosti průřezů S(a), S(b), S(c) od rozvětvení v závislosti na poměru průtoků q(ca) je uveden na obrázku 6. Podle obrázku 6 je možné průběhy tvarového výkonového součinitele rozvětvení pro vzdálenosti větší než 10d považovat za stejné.
19
2,5
2,0 1,05*da 2,11*da 3,16*da 4,21*da 10,53*da 11,58*da 12,63*da 13,68*da
ξ(PG)[1]
1,5
1,0
0,5
0,0 0,0
0,2
0,4
0,6
0,8
1,0
1,2
q(ca) [1]
Obrázek 6. Průběh výkonového součinitele pouze pro rozvětvení ξ(PG) v závislosti na poměru průtoku q(ca) pro různé vzdálenosti od rozvětvení. Celkový průtok Q(a) = 17 l/min, Re(a)=18 909.
1,4
1,2
.
1
Sada 25 Sada 27 Sada 29 Sada 31
ξ(PG) [1]
0,8
0,6
0,4
0,2
0 0,00
0,10
0,20
0,30
0,40
0,50
0,60
0,70
0,80
0,90
1,00
q(ca) [1]
Obrázek 7. Průběh výkonového součinitele ξ(PG) v závislosti na poměru průtoku q(ca) pro vzdálenost 13.d od rozvětvení a různé průtoky při turbulentním proudění.
Nyní vyvstává otázka, jak se bude tato závislost měnit se změnou celkového průtoku rozvětvením. Na obrázku 7 jsou čtyři průběhy pro čtyři různé celkové průtoky. Velikosti průtoků a hodnoty Reynoldsova čísla v přívodní větvi jsou uvedeny v tabulce 1. Z grafu na obrázku 7je zřejmé, že průběhy se velmi dobře shodují v oblasti s nízkým poměrem průtoků q(ca). V oblasti vyšších poměrů průtoků q(ca) jsou rozdíly mezi tvarovými výkonovými součiniteli větší. Tyto rozdíly však s rostoucím Re(a) klesají. Odchylky u vyšších poměrů q(ca) mohou tedy být způsobeny tím, že se průtok rozvětvením více blíží proudění kolenem 90°. V tomto případě je pak z literatury Desová [20] známo, že k ustálení proudu za kolenem dochází až ve vzdálenosti 60 průměrů, zatímco v případě obrázku 7byly průběhy tvarových výkonových součinitelů počítány ze středních hodnot tlaků ve vzdálenosti 13d.
20
0,8 0,7 0,6 1,05*d(c) 2,11*d(c) 3,16*d(c) 4,21*d(c) 10,53*d(c) 11,58*d(c) 12,63*d(c) 13,68*d(c)
ξ(ΜΓ)1
0,5 0,4 0,3 0,2 0,1 0,0 0,0
0,2
0,4
0,6
0,8
1,0
1,2
q(ca)
Obrázek 8. Průběh tvarového hybnostního součinitele ξ(MG)1 v závislosti na poměru průtoku q(ca), pro různé vzdálenosti od rozvětvení. Celkový průtok Q(a) = 25,5 l/min, Re(a) = 28 364.
0,80 0,70 0,60 0,50
ξ(P)
.
Sada 25 Sada 27 Sada 29 Sada 31
0,40 0,30 0,20 0,10 0,00 0,00
0,20
0,40
0,60
0,80
1,00
1,20
q(ca)
Obrázek 9. Průběh tvarového hybnostního součinitele ξ(MG)1 v závislosti na poměru průtoku q(ca) pro vzdálenost 13.d od rozvětvení a různé průtoky při turbulentním proudění.
Na obrázku 8 jsou uvedeny závislosti tvarového součinitele ξ(MG) poměru průtoků q(ca), pro různé vzdálenosti průřezů S(a), S(b) a S(c) od středu rozvětvení. Od vzdálenosti pěti průměrů se již průběhy nemění. Podobně jako v případě tvarového výkonového součinitele je na následujícím obrázku 9 vykreslena závislost tvarového hybnostního součinitele rozvětvení na velikosti Reynoldsova čísla v přívodní větvi Re(a). Vzdálenost řezů od středu rozvětvení je 13,68 průměrů od středu rozvětvení. Shoda křivek je velice dobrá.
21
6
APLIKACE MATEMATICKÉHO MODELU ROZVĚTVENÍ NA NESTACIONÁRNÍ PROUDĚNÍ NESTLAČITELNÉ KAPALINY.
V literatuře nebyl autorem nalezen žádný pokus o vytvoření nestacionárního matematického modelu proudění v rozvětvení. Avšak při řešení proudění v potrubních sítích je důležité se nestacionárním prouděním v rozvětvení zabývat. Proudění rozvětvením ve skutečnosti není stacionární, i když požadujeme, aby průtoky jednotlivými větvemi byly konstantní. To znamená, že sledovaná hodnota rychlosti nebo tlaku v bodě, který je umístěn v oblasti rozvětvení, se mění v závislosti na čase. Tato nestacionarita se projevuje zvláště při velkých průtocích do odbočující větve, tedy při poměrech q(ca) větších než 0,6. Při výpočtech tento fakt způsobuje zhoršení konvergence řešení. Avšak v této práci bude pod nestacionárním prouděním chápáno takové proudění, kdy dochází ke změnám průtoku jednotlivými větvemi. K takovému proudění může dojít změnou průtoku v jedné, či ve více větvích. V našem případě budeme řešit situaci, kdy celkový průtok větví (a) zůstává konstantní a mění se poměr průtoků q(ca) z hodnoty 0 na hodnotu 1. To znamená, že na počátku je přímá odtoková větev otevřená a odbočující větev uzavřená. Pak probíhá děj, kdy se přímá větev postupně uzavírá a vedlejší větev postupně otevírá tak, aby celkový průtok rozvětvením a tedy i v přívodní větvi zůstával konstantní. Pro další řešení budou nestacionární děje řešeny zjednodušeně jako posloupnost ustálených stavů. Nestacionární proudění je spjato se šířením tlakových vln konečnou rychlostí. Pro přesné řešení je tedy třeba uvažovat stlačitelnost kapaliny. Matematický model rozvětvení pro nestacionární proudění stlačitelné kapaliny je tvořen rovnicemi (4.21), (4.23) a (4.24). Řešení stlačitelného proudění přináší komplikace v rovnici kontinuity (4.24). V této práci bude tedy pro první přiblížení uvažována nestlačitelná kapalina. To znamená, že matematický model rozvětvení bude tvořen rovnicemi (4.21), (4.23) a rovnice kontinuity bude uvažována ve tvaru (6.1) ρ( a ) .c( a ) i. .n ( a ) i .S( a ) + ρ( b ) .c ( b ) i. .n ( b ) i .S( b ) + ρ( c ) .c( c ) i. .n ( c ) i .S( c ) = 0 Pokud bude na tuto rovnici aplikováno zvolené uspořádání průtoků, pak dostaneme ρ( a ) . c( a ) .S( a ) = ρ( b ) . c( b ) .S( b ) + ρ( c ) . c( c ) .S( c )
(6.2)
Tvar rozvětvení včetně označení rozměrů, které budou dále používány, je znázorněn na obrázku 1. 6.1
Náhradní hybnostní délky
Uvažujeme-li matematický model nestacionárního proudění nestlačitelné kapaliny rozvětvením, pak stojíme před problémem určení energetických a hybnostních náhradních délek jednotlivých větví potrubí. Náhradní hybnostní délky mohou být vyjádřeny následujícími vztahy L ( Ma ) = L ( a ) + δ ( Ma ) .d ( c ) (6.3) L ( Mb ) = L ( b ) + δ ( Mb ) .d ( c )
(6.4)
L ( Mc ) = L ( c ) + δ ( Mc ) .d ( a )
(6.5)
Náhradní hybnostní délky se vyskytují u nestacionárních členů v hybnostních rovnicích (4.21) a (4.22). Jsou výsledkem úpravy nestacionárních členů v hybnostní rovnici a členu vyjadřujícího vliv gravitačního zrychlení. Tato úprava je podrobně uvedená v habilitační práci. Hybnostní délky jsou jednoznačně určeny poměrnými koeficienty δ(Mx), (pro x = a, b, c). Pro tyto koeficienty jsou odvozeny vztahy
22
I *( M1) − δ( Ma ) =
H ( Ma )
(6.6)
⎛ H ( Mb ) ⎞ ⎟ ⎜1 − ⎟ ⎜ H ( Ma ) ⎠ ⎝ 1 − I *( M1)
δ( Mb ) =
δ( Mc ) =
H ( Mb )
(6.7)
⎛ H ( Mb ) ⎞ ⎟ ⎜1 − ⎟ ⎜ H ( Ma ) ⎠ ⎝ I *( M 2 ) H ( Mc )
(6.8)
H ( Ma ) Kde I *( M1) = I'( M1) −
L( a ) d(c)
−
H ( Mb ) L( b ) H ( Ma ) d ( c )
I *( M 2 ) = I'( M 2 ) −
∫α
( M1)
.H '( M1) .d' x1
I '( M 2 ) =
x ' ( a )1
H ( M1)
H '( M1) = x '1 =
H ( Ma )
x1 d(c)
H ( Ma ) d ( a )
(6.9)
x '(c ) 2
x ' ( b )1
I'( M1) =
H ( Mc ) L( c )
∫α
( M 2)
.H '( M 2 ) dx '2
(6.10)
0
H '( M 2 ) = x '2 =
x2 d(a )
H ( M 2) H ( Ma )
(6.11) (6.12)
Problém stanovení těchto koeficientů spočívá v určení hodnoty integrálů I‘(M1), I‘(M2). Dalším problémem je to, že v nestacionárních členech vystupují derivace daných integrálů podle času. Hodnotu integrálů je možné určit dvojím způsobem, a to teoreticky na základě zjednodušujících předpokladů, nebo na základě numerického modelování proudění rozvětvením. Při teoretickém určování koeficientů δ(Mx) je odvození založeno na předpokladu, že změna funkcí H‘(M1) a H‘(M2) v oblasti rozvětvení je polynomická, třetího stupně. Koeficienty polynomu jsou určovány ze známých funkčních hodnot a nulových derivací na počátku a konci změny. Koeficienty δ(Mx) pak mají tvar 1 δ( Ma ) = (6.13) 2
δ( Mb ) =
1 2
(6.14)
1 (6.15) 2 Každé větvi je tedy přiřazena polovina velikosti oblasti dělení proudu a měla by být konstantní. Kontrolu je možné provést určením uvedených koeficientů na základě numerického modelování proudění v rozvětvení. δ( Mc ) =
23
V tomto případě jsou integrály ve vztazích (6.10) určovány numericky a pro koeficienty δ(Mx) dostaneme průběhy, které jsou uvedeny na obrázku 10. Z obrázku je patrné, že hodnoty získané z numerického modelování proudění v rozvětvení jsou blízko teoretických hodnot. To znamená, že předpoklady, za kterých byly teoretické hodnoty odvozeny, jsou splněny. 1,0 0,9 0,8 0,7 Delta(Ma)1 anal Delta(Mb)1 anal Delta(Mc)2 anal Delta(Ma)1 num Delta(Mb)1 num Delta(Mc)1 num
δ(M)
0,6 0,5 0,4 0,3 0,2 0,1 0,0 0,0
0,1
0,2
0,3
0,4
0,5
0,6
0,7
0,8
0,9
1,0
q(ca)
Obrázek 10. Průběh δ(Ma), δ (Mb) a δ (Mc) v závislosti na q(ca).Optimalizace je podle všech parametrů v krajních bodech. Celkový průtok je Q(a) = 25,52 l.min-1. Reynoldsovo číslo v přívodní větvi je Re = 28 364, sada 27.
6.2
Náhradní výkonové délky
Postup při určování náhradních výkonových délek je velice podobný jako u náhradních momentových délek. Náhradní hybnostní délky mohou být vyjádřeny následujícími vztahy L( Pa ) = L( a ) + δ( Pa ) .d ( c ) (6.16) L( Pb ) = L( b ) + δ( Pb ) .d ( c )
(6.17)
L( Pc ) = L( c ) + δ( Pc ) .d ( a )
(6.18)
Náhradní výkonové délky se vyskytují u nestacionárních členů ve výkonové rovnici (4.23). Jejich existence je výsledkem úpravy nestacionárních členů. Tato úprava je podrobně uvedená v habilitační práci. Výkonové délky jsou jednoznačně určeny poměrnými koeficienty δ(Px), (pro x=a,b,c). Pro tyto koeficienty jsou odvozeny vztahy H I *( P1) − ( P1b ) H ( P1a ) (6.19) δ( Pa ) = ⎛ H ( P1b ) ⎞ ⎟ ⎜1 − ⎟ ⎜ H ( P 1 a ) ⎠ ⎝
24
δ( Pb ) =
1 − I *( P1)
(6.20)
⎛ H ( P1b ) ⎞ ⎟ ⎜1 − ⎟ ⎜ H ( P1a ) ⎠ ⎝
I *( P 2 ) H ( P 2c )
δ( Pc ) =
(6.21)
H ( P1a ) Kde I *( P1) = I'( P1) −
L( a ) d(c)
−
H ( P1b ) L( b ) H ( P1a ) d ( c )
I *( P 2 ) = I'( P 2 ) −
x ' ( b )1
∫α
I'( P1) =
x '1 =
H ( P1a ) d ( a )
(6.22)
x '( c )2 ( P1)
.H '( P1) .dx '1
I '( P 2 ) =
x ' ( a )1
H '( P1) =
H ( P 2 c ) L( c )
H ( P1) H ( Pa )
x1 d(c)
∫α
( P2)
.H '( P 2 ) .dx '2
(6.23)
x '(0) 2
H '( P 2 ) = x '2 =
H ( P2) H ( Pa )
x2 d(a )
(6.24) (6.25)
Problém určení těchto koeficientů je v tom, že je třeba znát hodnotu integrálů I‘(P1), I‘(P2). Dalším problémem je to, že v nestacionárních členech vystupují derivace daných integrálů podle času. I v tomto případě je možné hodnotu integrálů určit dvojím způsobem, a to teoreticky na základě zjednodušujících předpokladů, a nebo na základě numerického modelování proudění rozvětvením. Při teoretickém určování koeficientů δ(Px) je odvození založeno na předpokladu, že změna funkcí H‘(M1) a H‘(M2) v oblasti rozvětvení je polynomická, třetího stupně a zanedbáváme Bousinesqueova čísla. Koeficienty polynomu jsou určovány stejně jako v případě náhradních hybnostních délek. Koeficienty určené teoreticky δ(Px) pak mají tvar 22 1 − q ( ca ) 35 δ( Pa ) = (6.26) (2 − q(ca ) ) δ( Pb )
13 q ( ca ) 35 = (2 − q(ca ) )
δ( Pc ) =
1−
13 35
(6.27) (6.28)
V případě výkonových náhradních délek je již situace složitější. Pouze koeficient δ(Pc) je konstantní. Průběh těchto teoreticky určených koeficientů je uveden na obrázku 11.
25
Pro srovnání jsou uvedené koeficienty určeny na základě numerického modelování proudění v rozvětvení. V tomto případě jsou integrály ve vztazích (6.23) určovány numericky. Průběhy koeficientů δ(Px) jsou uvedeny na obrázku 12. 1,0 0,9 0,8 0,7
δ(P) [1]
0,6 Delta(Pa)-teor Delta(Pb)-teor Delta(Pc)-teor
0,5 0,4 0,3 0,2 0,1 0,0 0,0
0,1
0,2
0,3
0,4
0,5
0,6
0,7
0,8
0,9
1,0
q(ca) [1]
Obrázek 11. Teoretický průběh δ(Pa), δ(Pb), δ(Pc) v závislosti na q(ca).
40
30
δ(P) [1]
20
10
0 0,0
0,1
0,2
0,3
0,4
0,5
-10
0,6
0,7
0,8
0,9
1,0
(Pa)-25 (Pa)-27 (Pa)-29 (Pa)-31 (Pb)-25 (Pb)-27 (Pb)-29 (Pb)-31 (Pc)-25 (Pc)-27 (Pc)-29 (Pc)-31
-20 q(ca) [1]
Obrázek 12. Hodnoty integrálů I*(P1) a I*(P2) v závislosti na q(ca), pro různá Reynoldsova čísla Re(a) v přívodní větvi (a).
V tomto případě je patrné, že rozdíl mezi teoreticky odvozenými vztahy a vztahy, které jsou určeny na základě numerického modelování, je velký. Je to pravděpodobně dáno vlivem Bousinesqueova čísla. Z obrázku 12 je však patrné, že při zvyšování Re(a) v přívodní větvi mají průběhy tendenci blížit se k teoreticky vypočteným hodnotám.
26
7
ZÁVĚR
7.1
Shrnutí
V této práci je představen nový matematický model proudění v rozvětvení tvaru T, ve kterém byly odstraněny některé principiální nedostatky dříve používaných matematických modelů rozvětvení, jako je předpoklad o konstantním tlaku na počátcích větví, kterými je rozvětvení tvořeno. Dále byly otevřeny nové možnosti používat tento model pro nestacionární proudění rozvětvením. Matematický model je tvořen hybnostní rovnicí ve směru přímé větve (4.21), výkonovou rovnicí (4.23) a rovnicí kontinuity (4.24). Pomocí tohoto matematického modelu je možné řešit velikost průtoků jednotlivými větvemi a rozložení tlaků na hranici rozvětvení, a to jak pro stacionární, tak pro nestacionární proudění. Matematický model zohledňuje orientaci rozvětvení vůči gravitačnímu zrychlení a případně i tvar rychlostních profilů. V práci byl definován výkonový koeficient ξ(P) (4.27), který vyjadřuje energetické ztráty v rozvětvení, a hybnostní koeficient ξ(M) (4.28), který vyjadřuje silové působení kapaliny na rozvětvení. Tyto koeficienty mohou být principiálně rozděleny na dvě části, jedna zahrnuje vliv tření na stěnách rozvětvení a druhá část zahrnuje vliv tvaru rozvětvení. Na základě numerických výpočtu programem FLUENT bylo zjištěno, že tvarové koeficienty jsou v podstatě závislé pouze na tvaru rozvětvení a na poměru průtoků jednotlivými větvemi. Tyto průběhy těchto koeficientů jsou konstantní i pro geometricky podobná rozvětvení. Při nestacionárním proudění rozvětvením musejí být určovány náhradní délky jednotlivých větví. Je to dáno tím, že v matematickém modelu je třeba jednotlivým větvím přiřadit část oblasti, kde dochází k dělení proudu. Náhradní délky jsou dvojího typu podle rovnice, ve které se vyskytují. Náhradní výkonové délky L(Px) (kde x = a, b, c) a náhradní hybnostní délky L(Mx) (kde x = a, b, c). Tyto náhradní délky je možné jednoznačně určit poměrnými koeficienty δ(Mx) a δ(Px) (x = a, b, c), které vyjadřují poměrnou část oblasti rozvětvení příslušející dané větvi. V této práci je ukázána metodika, jak je možné tyto koeficienty určit teoreticky za zjednodušujících předpokladů, a následně je ukázáno jejich stanovení na základě numerického modelování proudění v rozvětvení programem Fluent. Dále je zde popsán experiment, který byl proveden pro kvalitativní verifikaci výpočtů. 7.2
Diskuse
Cílem této kapitoly je připomenout některé předpoklady a zjednodušení, které byly při získávání odvozování matematického modelu a jeho koeficientů použity, a zvážit jejich platnost či oprávněnost a jejich vliv na určování skutečných charakteristik součinitelů rozvětvení. 7.2.1
Stlačitelnost
Jedním z takových předpokladů, který byl často používán, je předpoklad o nestlačitelné kapalině. Dá se říci, že v případě stacionárního proudění je tento předpoklad splněn, avšak v případě nestacionárního proudění už může získané výsledky ovlivnit. Vliv stlačitelnosti může být zmírněn tím, že velikost rozvětvení bude brána co nejmenší. Podle výsledků numerického modelování proudění by však vzdálenost průřezů, které tvoří hranici rozvětvení, neměla být menší než deset průměrů od středu rozvětvení.
27
7.2.2
Nestacionární proudění
Při určování závislosti koeficientů δ(Px) a δ(Mx) (kde x = a, b, c), které určují velikosti náhradních hybnostních a výkonových délek, na poměru průtoků byly použity výsledky ze stacionárního proudění kapaliny rozvětvením. Tyto výsledky jsou tedy platné pro případ, že změna poměru průtoků probíhá velmi pomalu. Toto je poměrně velké zjednodušení. Je třeba tyto výsledky chápat jako orientační. Vliv koeficientů δ(Px) a δ(Mx) (kde x = a, b, c) klesá s rostoucí délkou větví, které jsou zahrnuty do rozvětvení. (Je třeba mít na paměti, že v tomto případě roste vliv stlačitelnosti.) Jejich vliv roste se zkracováním délek větví rozvětvení. 7.2.3
Experiment
Jak již bylo uvedeno, veškeré charakteristiky uvedené v této práci byly získány na základě numerického modelování proudění v rozvětvení. Experiment, který je v této práci popsán, sloužil pouze pro kvalitativní verifikaci numerických výpočtů. V literatuře Čefelín [21] je popsán experiment, ve kterém byli určováni součinitelé rozvětvení. Nicméně výsledky v této práci jsou uvedeny poněkud nepřehledně. Je tedy vhodné tento experiment provést znovu ve větším měřítku. 7.2.4
Vybrané rozvětvení
Matematický model rozvětvení v této práci je tvořen pro rozvětvení tvaru T. Tedy pro případ, že odbočující větev je na hlavní přímou větev kolmá. Pro šikmou odbočující větev nebo rozvětvení tvaru Y je možné tento model principiálně použít, ale je třeba ho upravit. 7.3
Výhled
Hlavním cílem této práce bylo ukázat nový matematický model rozvětvení, který umožňuje řešení i nestacionárního proudění v rozvětvení. Jedná se o jakýsi začátek či první krůčky při matematickém modelování rozvětvení a porozumění toho, co se v rozvětvení děje. Z toho vyplývá, že v této oblasti je třeba vynaložit ještě mnoho úsilí a práce. Některé směry, kterými by se měl výzkum v oblasti rozvětvení ubírat, jsou naznačeny v následujících bodech, které vyplývají z oblastí diskutovaných v předchozí kapitole 7.2. Je tedy ještě třeba • určit úplné charakteristiky výkonového a hybnostního tvarového součinitele. Tím jsou míněny charakteristiky pro všechna možná uspořádání průtoků rozvětvením, • navrhnout upravený matematický model rozvětvení pro obecný úhel odbočující větve, • experimentálně určit tvarové součinitele rozvětvení a srovnat je s výsledky uvedenými v této práci, • podrobně prozkoumat experimentálně a teoreticky ztrátové součinitele pro nestacionární proudění kapaliny, • současně s předchozím bodem zjistit vliv určení náhradních délek větví na součinitele rozvětvení při nestacionárním proudění, • zabývat se problematikou takzvaných malých rozvětvení, tedy rozvětvení, kde délka větví je menší než deset průměrů potrubí. Taktová rozvětvení se v praxi často vyskytují.
28
8 [1] [2] [3] [4] [5] [6] [7] [8] [9] [10]
[11]
[12]
[13]
[14]
LITERATURA KENJI, O. – HIDESATO, I.: Energy Losses at Tees With Large Area Rations. Journal of Fluids Engineering. January 2005, vol. 127, pp. 110–116, ISSN 0098-2202. RAMAMURTHY, A. S. – ZHU, W.: Combining Flows in 90° Junctions of Rectangular Closed Conduits. Journal of Hydraulic Engineering. 1997, 123, pp. 1012–1019. SERRE, M. – ODGAARD, A. J. – ELDER, R. A.: Energy Loss at Combining Pipe Junction. Journal of Hydraulic Engineering. 1994, 120, pp. 808–830. Itō, H. – Imai, K.: Energy Losses at 90° Pipe Junctions. Journal of the Hydraulics Division. September 1973, Am. Soc. Civ. Eng. 99, pp. 1353–1368. MILLER, D. S.: Internal Flow. A Guide to Losses in Pipe and Duct Systems. The British Hydromechanics Research Association, Cranfiled, Bedford, England, 1971, p. 329. KOLÁŘ, V. – VINOPAL, S.: Hydraulika průmyslových armatur: příručka praktických výpočtů. 1. vydání. Praha: SNTL; Bratislava: SVTL, 1963. 652 s. REKTORYS, K. a spol.: Přehled užité matematiky. Vydání první. Praha: SNTL, 1963. Typové číslo L11-E1-IV-51-1364. ŠTIGLER, J.: Tee junction as a pipeline net element. Part 1. A new mathematical model. Journal of Mechanical Engineering. 2006, vol. 57, no. 5. pp. 249–262. ISSN 0039-2472. ŠTIGLER, J.: Tee junction as a pipeline net element. Part 2. Coefficients determination. Journal of Mechanical Engineering. 2006, vol. 57, no. 5. pp. 263–270. ISSN 0039-2472. ŠTIGLER, J.: Mathematical Model of the T-part for Unsteady Uncompressible Fluid Flow, the Equivalent Length Setting. In Engineering Mechanics 2004. National conference with international participation. Book of extended abstracts. Institute of Thermomechanics, Academy of Sciences of the Czech Republic. Do tisku připravil I.Zolotarev a A. Poživilová. First edition. Prague: Institute of Thermomechanics, 2004. s. 287–288. ISBN 80-85918-889. ŠTIGLER, J.: Flow of Mixture Through Bifurcation. In Engineering Mechanics 2003. National conference with international participation. Book of extended abstracts. Institute of Theoretical and Applied Mechanics, Academy of Sciences of the Czech Republic. Do tisku připravil J. Náprstek a C. Fischer. First edition. Prague: Academy of Sciences of the Czech Republic, 2003. s. 340–341. ISBN 80-86246-18-3. ŠTIGLER, J. – POCHYLÝ, F.: Některé aspekty výpočtu místních ztrát větvených potrubí. In Vykurovanie 2003. Sborník 11. medzinárodné konferencie na tému: Legislatívne, normalizačné a technické aspekty zásobovania teplom před vstupom SR do EÚ. Slovenská spoločnosť pre techniku prostredia ZSVTS Bratislava. 1. vydání. Bratislava 2003, s. 313–318, ISBN 80-967479-6-7, EAN 9788096747962. ŠTIGLER, J. – POCHYLÝ, F.: Three-Dimensional Laminar Fluid Flow in T-Part. In Hydraulic Machinery and Systems: proceedings of the XXIst IAHR Symposium 9–12 September 2002 Lausanne. Laboratoire de machines hydrauliques, Faculté des sciences et techniques de ľIngénieur, Ecole polytechnique fédérale de Lausanne. Lausanne: Grafisches Unternehmen AG, 2002, s. 325–330. ISBN 3-85545-865-0. ŠTIGLER, J. – POCHYLÝ, F.: Matematický model rozvětvení tvaru T pro nestacionární proudění. In Engineering Mechanics 2002. National conference with international participation. Institute of Mechanics of Solids, Faculty of Mechanical Engineering, Brno University of Technology. First edition. Brno: Institute of Mechanics of Solids, Faculty of
29
[15]
[16]
[17]
[18]
[19]
[20]
[21]
[22]
[23]
[24]
[25]
30
Mechanical Engineering, Brno University of Technology, 2002. s. 283–284. ISBN 80-2142109-6. ŠTIGLER, J.: Určení ztrátových součinitelů v rozvětvení tvaru T. In Aplikácia experimentálnych a numerických metód v mechanike tekutín. XIII. medzinárodná vedecká konferencia. Žilinská univerzita, Žilina, Strojnícka fakulta, Katedra tepelných a hydraulických strojov. Prvé vydanie, Žilina: EDIS, apríl 2002. s. 150–155. ISBN 80-7100-955-5. ŠTIGLER, J. – NOVÁKOVÁ, M.: Fluid Flow in Bifurcation. In proceedings of 10th International Meeting of the Work Group on THE FEHAVIOUR OF HYDRAULIC MACHINERY UNDER STEADY OSCILLATORY CONDITIONS, June 26.–28. 2001. NTNU Norwegian University of Science and Technology. Trondheim (Norway): NTNU, 2001, s. D3 ŠTIGLER, J. – POCHYLÝ, F. – RUDOLFOVÁ, M.: Fluid Flow in Bifurcation, Measurements and Numerical Modeling. In Engineering Mechanics 2001. National conference with international participation. Institute of Thermomechanics, Academy of Sciences of the Czech Republic. First edition. Prague: Institute of Thermomechanics, Academy of Sciences of the Czech Republic, 2001. ISBN 80-85918-64-1. ŠTIGLER, J. – POCHYLÝ, F.: O matematickém modelu rozvětvení. In Topical Problems of FLuid MEchanics. Institute of Thermomechanics AS CR. První vydání, Prague: Institute of Thermomechanics AS CR, February 2001. s 109–112, ISBN80-85918-62-5. ŠTIGLER, J.: Proudění v rozvětvení. In XIX. medzinárodná konferencia Stretnutie katedier mechaniky tekutín a termomechaniky. Žilinská univerzita v Žilině, Strojnícká fakulta, Katedra tepelných a hydraulických strojov. Vydanie prvé. Rájecké Teplice: EDIS – Vydavateľstvo ŽU, Jún 2000. s. 157–162. ISBN 80-7100-729-3. DESOVÁ, M.: Charakter proudění a hydraulické ztráty ve dvou za sebou řazených kolenech. Brno, 2006. 52 s. Diplomová práce na Fakultě strojního inženýrství, VUT v Brně na Odboru fluidního inženýrství Victora Kaplana. Vedoucí diplomové práce P. Rudolf. ČEFELÍN, F.: Experimentální ověření ztrátových křivek v rozvětvení tvaru T. Brno, 2007. 64 s. Diplomová práce na Fakultě strojního inženýrství, VUT v Brně na Odboru fluidního inženýrství Victora Kaplana. Vedoucí diplomové práce J. Štigler. SVOZIL, J.: Matematický model rozvětvení typu T se šikmou odbočující větví. Brno, 2006. 71 s. Diplomová práce na Fakultě strojního inženýrství, VUT v Brně na Odboru fluidního inženýrství Victora Kaplana. Vedoucí diplomové práce J. Štigler. ŠOUSTKOVÁ, M.: Vliv změny průřezu odtokových větví na ztrátu v rozvětvení tvaru T. Brno 2005. 52 s. Diplomová práce na Fakultě strojního inženýrství, VUT v Brně na Odboru fluidního inženýrství Victora Kaplana. Vedoucí diplomové práce J. Štigler. KOLÁČEK, R.: Určení ztrátového součinitele u geometrických podobných rozvětvení. Brno 2004. 40 s. Diplomová práce na Fakultě strojního inženýrství, VUT v Brně na Odboru fluidního inženýrství Victora Kaplana. Vedoucí diplomové práce J. Štigler. HELIKS, M.: Proudění v rozvětvení tvaru T, jeho optimalizace z hlediska hydraulických ztrát. Brno 2002. 67 s. Diplomová práce na Fakultě strojního inženýrství, VUT v Brně na Odboru fluidního inženýrství Victora Kaplana. Vedoucí diplomové práce J. Štigler.
9
ABSTRACT
New mathematical model of the tee-junction is introduced in this inaugural dissertation. This mathematical model of the tee-junction is used for pressure and flow rate solution in the teejunction branches. New mathematical model consists of three equations; the momentum equation, the power equation and the continuity equation. Some discrepancies of the current models have been removed in the new mathematical model. For example, the current models are based on these wrong assumptions, i.e. that the pressure is constant in the branches connecting the tee-junction or that the pressure distribution is axis-symmetrical in the branches. Some new features, which are added into the new mathematical model, are for example – the influence of the tee-junction’s orientation against a gravity vector, the influence of velocity profiles in the branches, or the possibility to use this model for an unsteady flow. The tee-junction coefficients have been determined in this work. The first of them is the power coefficient ξ(P) which is the rate of the power lost in the tee-junction, and the momentum coefficient ξ(M)i which is the rate of the force affecting tee-junction. Both of them can be divided into two parts. First, the shape coefficient reflects the shape influence and the second one reflects the friction influence. The shape coefficients depend only on the tee-junction geometry and the flow rate ratio. In means that for geometrically similar tee junctions we have only one characteristic for each coefficient. When the unsteady flow is solved the substitute branches lengths have to be determined. The substitute branch lengths are lengths of branch extended by part of area of flow division. There are two types of substitute lengths, momentum L(Mx) and power L(Px) lengths. Where the subscript x is replaced with (a), (b) or (c). These substitute lengths can be determined by theoretical way or on the basis of numerical solution of fluid flow in a tee-junction. Both ways are compared to each other in the inaugural dissertation. The future research goals in the field of tee-junction mathematical modeling have been revealed at the end of the work.
31
