Schwedlerovy vztahy Diferenciální podmínka rovnováhy elementu v osové úloze
Stavební statika, 1.ročník kombinovaného studia
n
Výpočet vnitřních sil přímého nosníku II
N
dx
Výslednice všech sil působících na element musí být nulová:
Rx = 0:
→
Katedra stavební mechaniky Fakulta stavební, VŠB - Technická univerzita Ostrava
M+dM x2
dV = −q dx
x
-q V M
derivace
M
Souvislost mezi spojitým příčným zatížením a průběhy vnitřních sil
Derivačně – integrační schéma
+
Rz = 0: -V + (V+dV) + q.dx = 0 →
dN = −n dx
Závěry ze Schwedlerových vztahů
integrace
V
-N + (N+dN) + n.dx = 0
2
Schwedlerovy vztahy – Diferenciální podmínky rovnováhy elementu v příčné úloze
q
N+dN
z
Výpočet vnitřních sil nosníků zatížených spojitým zatížením Výpočet nosníku v prostorové úloze Výpočet nosníku v krutové úloze
dQ = q.dx
x
x1
x
Výslednice všech sil působících na element musí být nulové:
x2
1. řád funkce V(x) a M(x) → typ čáry v diagramech
dV = −q dx
2. místa extrému u V(x) a M(x)
dM =V dx
1º Rax
x1 m z x
Q
q
V+dV dx
Raz
-M + (M+dM) – V.dx + q.dx.dx/2 + m.dx = 0
→
Extrém posouvajících sil V je v průřezu, kde q=0
l
→ dV = −q = 0 dx
+
V
Extrém ohybových momentů M je v průřezu, kde V=0 nebo mění znaménko
dM =V dx
→
dM =V = 0 dx
-
0
M
0
+
3º Mmax
3
Rbz
2º n
dM =V −m dx
pro m=0:
b
a
Σ Mi,x2 = 0:
vodorovná tečna
4
Konstantní spojité zatížení – konzola – V síly
Konstantní spojité zatížení – konzola – V síly
Úloha řešena zleva
Úloha řešena zleva
q =10kN/m
Mb Rbx
a b
x
x ∈ 0, l
l=2m
Rbz
Rbz = Q = q.l = 20kN (↑ ) l M b = Q. ⇒ 2 q.l 2 Mb = = 20kNm( 2 Posouvající síla zleva
0º
q =10kN/m= konst.
Mb Rbx
a
)
b
x
x ∈ 0, l
l=2m
0
-
V
Rbx = 0,
Q = q.l=20kN
+
0
Reakce: nutno řešit z podmínek rovnováhy
Rbx = 0,
Q = q.l=20kN
V
Rbz
Rbz = Q = q.l = 20kN (↑ ) l M b = Q. ⇒ 2 q.l 2 Mb = = 20kNm( 2 Posouvající síla zleva V( Lx) = − q.x
−
- Q = 20kN
q.l = 10 kN 2
+
Va = V( x =0 ) = 0
-
Vx = −q .x
)
− 20
1º
Vb = V( x =l ) = − q.l = − Rbz = −20 kN
Posouvající síla v polovině délky prutu V(x = l ) = V( x =1) = − q ⋅ l = q ⋅1 = 10kN 2 2 Náhr. břemeno Q nelze použít pro výpočet vnitřních sil na úseku daného spojitého zatížení. 5
Konstantní spojité zatížení – konzola - momenty Úloha řešena zleva
Konstantní spojité zatížení – konzola - momenty Úloha řešena zleva
Q = 20 kN
0º
q =10kN/m= konst.
Mb = 20 kNm
a
Mb = 20 kNm
a b
x l=2m
0
V
Rbx = 0 kN
l=2m
Rbz = 20 kN Ohybový moment
-
0
V
+ M (Lb ) = − q.l .
M -
M (Pb ) = − M b = −20
+ 7
Rbx = 0 kN Rbz = 20 kN
Ohybový moment
M a = M ( x =0 ) = 0
-
Vx = −q .x − 10
2
M
Mx = −
0
q .x 2
2
2
q.l 10.2 − 20 M = M =− = −20 kNm b (x = l ) = −
1º
2
− 20
2º
vodorovná tečna
V( Lx) = − q.x
x q.x 2 M (Lx ) = − q.x. = − 2 2
l 10.2 2 =− = −20 kNm 2 2
− 20 2 l nebo M (Lb ) = −Q. = −20 ⋅ = −20 kNm 2 2
0
b
x
x ∈ 0, l
− 20
vodorovná tečna
Posouvající síla
Q = q.l
q =10kN/m
6
V síla nepřechází přes 0, na celé délce prutu nebude extrém momentu.
−5
-
2
( )
q. l q. x 2 2 M (x = l ) = M ( x =1) = − =− 2 2 2 2 q.1 M ( x =1) = − = −5kNm 2
Náhr. břemeno Q nelze použít pro výpočet vnitřních sil na úseku daného spojitého zatížení.
8
2
Základní zatěžovací stavy spojitého zatížení
Důkaz Schwedlerových vztahů
x q = 2 kN/m
Úloha řešena zleva
Q = q.l
Spojité zatížení:
0º
q ( x ) = q = konst
a b
x
x q.x M ( x ) = − q.x. = − 2 2
-
dM =V dx
− 10
V
2
− 20
1º
integrace
Vx = −q .x
− 20
2º
M Mx = −
0
q .x 2 2
Posouvající síla
l=6m
Raz
V( x ) = − q.x
Ohybový moment:
0
b
x
Posouvající síla:
l=2m
Reakce
Rax a
dV = −q dx
−5
-
Rbz
V
-q
derivace
q =10kN/m= konst.
Úloha řešena zleva
Q = q.l
V M
Nebezpečný průřez
Ohybový moment
M
9
10
Základní zatěžovací stavy spojitého zatížení x q = 2 kN/m
Q = q.l = 2.6 = 12 kN
Rax a
()
x l=6m Rbz 1º
6
+
V
-
xn=3 m
−6
M
2º
VaL VbP
n
0
Úloha řešena zleva Reakce Rax = 0 Q 12 Raz = Rbz = = = 6 kN ↑ 2 2 Posouvající síla
b
Raz
+ Mn = 9
0 vodorovná tečna
Základní zatěžovací stavy spojitého zatížení x q = konst.→ 0º
Raz = Rbz =
b
Posouvající síla
x
= − Rbz = −6 kN
Rbz 1º
+
V
Va 6 = = 3m q 2
Ohybový moment xn 2.32 = 6.3 − = 9 kNm 2 2 11
q.l 2
q.l − 2
+ 1 M n = q.l 2 8
q ⋅l = − Rbz 2
Nebezpečný průřez
-
xn
2º
Va = V( x =0 ) = Raz =
Vb = V( x =l ) = Raz − Q = Va − q ⋅ l = −
n
0
M
Q q.l = (↑) 2 2
V( Lx) = Raz − q.x = Va − q ⋅ x
l
q.l 2
Nebezpečný průřez Vn = 0 ⇒ Va − q ⋅ x n = 0
M n = Raz . xn − q. xn .
Reakce Rax = 0
Rax a Raz
= Raz = 6 kN
⇒ xn =
Úloha řešena zleva
Q = q.l
0 vodorovná tečna
Umět odvodit, řešeno na tabuli, vzorec platí jen pro tento případ
Vn = 0 ⇒ Va − q ⋅ xn = 0 ⇒ xn =
Va q
Ohybový moment M (Lx ) = Raz .x − q ⋅ x ⋅ M a = M ( x= 0 ) = 0
x q.x 2 = Raz .x − 2 2 M b = M ( x =l ) = 0
1 M n = M (x = l ) = q.l 2 2 8
12
Příklad– normálové a posouvající síly - výpočet zleva Q = 3.7 = 21 kN Rax= 0
Výpočet V síly v důležitých bodech: b
c
Rbz=13,65kN
xL 3
7
Va-c = Raz=Vc=7,35kN Vb = Raz – Q= -13,65kN
Výpočet V síly pod spojitým zatížením:
Rax= 0
q = 3kN/m
a
Raz= 7,35kN
Rbz=13,65kN
xP
3
7
N xnL
(zavedeme lokálně x=0 v místě, kde začíná q)
Va = 7,35 = Vc V(1) 1°
V(5)
-13,65
Příklad - ohybové momenty q = 3 kN/m Rax
a
b c
n d 4
Raz=7,35kN
3
e 3
7
V(5)
1°
13
Ma = Mb = 0 na úseku a-c obecně: Mx = Raz . x Mc = Raz . 3 na úseku c-b obecně zleva:
V(1)
-13,65
Vn = 0 Vc + q . xnP = 0 xnP = 13,65/3 = 4,55 m
14
Příklad ze skript (a)
(b)
MxL = Raz . (3+xL) - q . (xL)2/2
MnP = Rbz . xnP - q . (xnP )2 / 2
xnP
Ohybový moment v bodě e:
n 1°
Mn = 31,05 kNm
Výpočet polohy nebezpečného průřezu:
n
V
Extrémní moment v nebezpečném průřezu:
V
1° Mc=22,05
Va = 7,35 = Vc
MnL = Raz . (3+xnL) - q . (xnL)2 / 2
xnL
M
xnP
MxP = Rbz . xP - q . (xP)2 / 2
=0
7,35
xnL
Rbz=13,65kN na úseku b-c obecně zprava:
10
N
Vn = 0 Vc – q . xnL = 0 xnL = 7,35/3 = 2,45 m
např. pro x=1: V(1) = -13,65 + 3 . 1= -10,65kN např. pro x=5: V(5) = -13,65 + 3 . 5= 1,35kN
=0
N
Výpočet polohy nebezpečného průřezu:
n
V
V(x) = Vb + q . xP
např. pro x=1: V(1) = 7,35 – 3 . 1=4,35kN např. pro x=5: V(5) = 7,35 – 3 . 5= -7,65kN
xnP
Vb = -Rbz = -13,6kN Vc-a = - Rbz + Q=7,35kN Va = Vc
Výpočet V síly pod spojitým zatížením:
10
V(x) = Vc – q . xL =0
Výpočet V síly v důležitých bodech:
b
c
(zavedeme lokálně x=0 v místě, kde začíná q)
10
+
Q = 3.7 = 21 kN
+
q = 3kN/m
a
Raz= 7,35kN
Příklad–posouvající síly - výpočet zprava
Md
Me 2°
-13,65
MeL = Raz . (3+4) - q .42 /2 = 27,45kNm MeP = Rbz . 3 - q . 32 / 2 = 27,45kNm Podobně dopočítejte moment v d (v místě náhradního břemene):
MdL= MdP = 29,4 kNm
15
Zadání a řešení příkladu 4.13 Obr. 7.28. / str. 107 16
Příklad 2 – normálové a posouvající síly Výpočet V síly v krajních bodech:
Vnitřní síly u trojúhelníkového zatížení nutno počítat ze strany od „špičky“ trojúhelníku, tj. ze strany, kde q=0 – tady zleva !!!
q (x) = q ⋅
qx
+
q (x) = q ⋅
qx
Rax=0
x L
Výpočet V síly pod spojitým zatížením:
V ( x ) = Va − q x ⋅
Rax=0 a
b
x 6
Raz=
a
3
6 Raz=6 kN
L=9
N
3
např. pro x=2:
=0
vodor. tečna
V(2 ) = Va − q x ⋅
5,11 2°
6
V
Rbz=12 kN
L=9
N
např. pro x=2:
qx =
q⋅ x 4⋅2 8 = = kNm −1 L 9 9
x q ⋅ x2 nebo V(2 ) = Va − 2 2⋅ L
8 2 4 ⋅ 22 V(2 ) = 6 − ⋅ = 5,11kN nebo V(2 ) = 6 − 9 2 2⋅9
V 17
Příklad 2 – posouvající síly – nebezpečný průřez
x q⋅x x q ⋅ x2 = Va − ⋅ = Va − 2 L 2 2⋅ L
L= délka TROJÚHELNÍKU – ne nosníku!!!
b
x
Rbz=
Va = Raz=6kN Vb = Raz – Q= -12kN
q = 4kN/m
Q =0,5 .4.9 =18 kN
Výpočet V síly pod spojitým zatížením:
x L
Výpočet V síly v krajních bodech:
Vnitřní síly u trojúhelníkového zatížení nutno počítat ze strany od „špičky“ trojúhelníku, tj. ze strany, kde q=0 – tady zleva !!!
q = 4kN/m
Q
+
Příklad 2 – normálové a posouvající síly
18
- 12
Příklad 2 – posouvající síly – nebezpečný průřez +
Q =0,5 .4.9 =18 kN
q( x) = q ⋅
x L
+ Q =0,5 .4.9 =18 kN
q = 4kN/m
qn
q( x) = q ⋅
Výpočet polohy nebezpečného průřezu:
Rax=0
x L
q = 4kN/m
qn
Výpočet polohy nebezpečného průřezu:
Rax=0 a
n
xn
b
6 Raz=6 kN
3
Vn = 0
a
n
xn
b
6
Rbz=12 kN
Raz=6 kN
L=9
3
Rbz=12 kN
Vn = 0 x Vn = Va − q xn ⋅ n = 0 2
L=9
Vn = Va − N
N
=0
vodor. tečna
=0
⇒ xn =
vodor. tečna 2°
6
n
6
V
2°
n
q ⋅ xn2 =0 2⋅ L
2 ⋅Va ⋅ L = 5,196 m q
V xn=
xn=5,196 - 12
- 12 19
20
Příklad 2 – ohybové momenty
Příklad 2 – ohybové momenty
+
q (x) = q ⋅
x L
q (x) = q ⋅
a
Rax=0
+
Obecně výpočet momentu pod q = 4kN/m spojitým zatížením:
x L
Ma = Mb = 0
a
Rax=0
b
Obecně výpočet momentu pod q = 4kN/m spojitým zatížením:
b
n x 6
3
Raz=6 kN vodor. tečna
Mx = Raz . x -1/2 . qx . x . x /3 = Raz . x -1/2 . (q.x/L). x .x /3
n
x
9
6
2°
6
Rbz=12 kN
5,11 6
V
Rbz=12 kN
9
vodor. tečna
Výpočet momentu v nebezpečném průřezu:
n
3
Raz=6 kN
obecně : M (Lx ) = Raz ⋅ x −
2°
q ⋅ x3 6⋅ L
n
V xn=5,196
= Raz . xn - q . x3/6.L
Výpočet momentu v nebezpečném průřezu:
xn=5,196
Mn = Raz . xn - q . xn3/6.L - 12
M
- 12
Výpočet momentu např. pro x= 2m od a:
M 3° vodor. tečna
11,4
Výpočet vnitřních sil zleva!!
Jednoduchý důkaz, pokud je spojité zatížení po celé délce nosníku – platí ovšem vždy
x
b
n
q(x)
x = q⋅ L
qx =
dV = −q dx
x L
vodor. tečna
Rbz
Posouvající síla (Va=Raz):
V ( x ) = Raz −
Va=Raz 2°
q⋅x 2⋅ L
dM =V dx
Ohybový moment:
M ( x ) = Raz ⋅ x − Vb
M Mn
3° vodor. tečna
b
a
q ⋅ x3 6⋅ L
-q V M
Vx = −
q. x 2 2.l
Vx
0,94
− 3,75
2º
23
Mb Rax
c L =1,5m
x
n
V
q
qx
q. x l
2
integrace
Raz
q=5kN/m 1º
2,5
Spojité zatížení:
a
derivace
Rax
q
x L
22
Porovnání průběhů vnitřních sil
Důkaz Schwedlerových vztahů
q (x) = q ⋅
M(x=2) = 11,4kNm (dopočtěte)
Mn=20,785
21
= 6 . 5,196 – 4 . 5,1963/6.9 = 20,785 kNm
− 1,875 Mx = −
q. x 3 6 .l
Mx
− 0,23
3º
24
Porovnání průběhů vnitřních sil (doma spočtěte - důležité) Výpočet vnitřních sil zleva!!
x
1º
2,5
q
qx
q. x qx = l
b
a
q. x 2 Vx = − 2.l
Vx
0,94
q.x l
qx =
x
q
qx
1º
Mb Rax
c L =1,5m
x
Výpočet vnitřních sil zprava !!
q=5kN/m
Mb b
a
c L=1,5m
− 3,75
n = konst. Rbz
Mx
3º
Výpočet reakcí Rax
− 3,75
− 2,81
x
q .x 3 6 .l
Normálová síla
-
N (a ) = − Rax = − n.l
N
3º
-
-
= 0:
N (Lx ) = − Rax + n.x = −n.l + n.x = n.(x − l )
− 3,75 M x = − M b + Rbz .x −
ix
Rax − N = 0 ⇒ Rax = N = n.l (→)
N = n.l l
2º
− 1,17
∑F
b
a
-
q .x 2 V x = Vb + 2.l
− 1,875
− 0,23
Při působení spojitého osového zatížení se vodorovná reakce určí pomocí výslednice celého spojitého zatížení – plocha zatěžovacího obrazce (obecně integrace, u jednoduchých obrazců elementární vzorce geometrie). Obdobně se při výpočtu normálové síly určí dílčí výslednice spojitého zatížení vlevo nebo vpravo od uvažovaného průřezu.
x
0
2º
q. x 3 Mx = − 6 .l
Rax
Spojité zatížení v osové úloze
− n.l
n.(x − l )
25
Prostý nosník zatížený momentovým zatížením
Výpočet nosníku v prostorové úloze
m = konst. M = m.l Reakce Rax
b
a
l
Staticky určitý nosník v prostoru musí být podepřen nv=6 jednoduchými vnějšími vazbami, které musí být správně uspořádány, aby nevznikl výjimkový případ podepření. Při řešení prostorového nosníku vycházíme z 6-ti podmínek rovnováhy:
Rax = 0
M = m(↓ ) l M Rbz = = m(↑ ) l
Raz =
x Raz
Rbz
Posouvající síla
V −m
L (x)
V
3 silové podmínky rovnováhy:
∑F
3 momentové podmínky rovnováhy:
∑M
ix
=0 ix , s
=0
∑F
iy
∑M
= konst. = − Raz = − m
=0
iy , s
qz
Va = V( x = 0 ) = − m
∑
=0
F iz = 0
∑M
Pz
iz , s
=0
Py
Složky reakcí:
Vb = V( x =l ) = − m
M
26
a) Konzola složky reakcí: Rax, Ray, Raz, Mx, My, Mz
Ohybový moment M (Lx ) = − Raz . x + m.x = −m.x + m.x = 0 27
b) Nosník na dvou podporách složky reakcí: Rax, Ray, Raz, Rbx, Rby, Rbz
Px
x y z
28
Výpočet nosníku v krutové úloze
Okruhy problémů k ústní části zkoušky
Zatížení nosníku kroutícím momentem Mx (momentem kolem osy x) Mxa
Mx3
Mx2
Mx1
Jedna vnější vazba – jediná složka reakce (nv = 1) z podmínky rovnováhy:
∑M
ix
= 0:
M x1 − M x 2 − M x 3 + M xa = 0 ⇒ M xa
a
b
1. Výpočet vnitřních sil nosníků zatížených spojitým rovnoměrným zatížením
b
2. Řešení trojúhelníkového zatížení nosníku
Jediná složka vnitřních sil – kroutící moment T (torze). Kladný směr při pohledu proti kladnému smyslu osy x se snaží prut otáčet proti směru hodinových ručiček – pravidlo pravé ruky (proti-proti, levotočivé kroucení).
3. Výpočet nosníku v krutové úloze
T1 = − M x1
4. Výpočet nosníku v prostorové úloze
T2 = − M x1 − M x 2
T3 = − M x1 − M x 2 − M x 3
Podrobněji v předmětu Pružnost a plasticita 29
30
