Stavební statika, 1.ročník kombinovaného studia
Výpočet vnitřních sil přímého nosníku II Výpočet vnitřních sil nosníků zatížených spojitým zatížením Výpočet nosníku v prostorové úloze Výpočet nosníku v krutové úloze
Katedra stavební mechaniky Fakulta stavební, VŠB - Technická univerzita Ostrava
Prut - geometrický popis prutu, idealizace Základní pojmy: h, d l
F1=2F
0,1
F
F
a
Rovina souměrnosti prutu
F2
Řídící čára, osa prutu (přímý prut), střednice 1
2
h
b
Průřez prutu
+y +z
(přímý i zakřivený prut)
+x
Těžiště průřezu
d
l
P1
Prut rovinně nebo prostorově lomený.
P2
a Statické schéma – statický model nosné konstrukce
b 1
Rax Raz
2
l
Rbz 2
Směr působení vnitřních sil V
+
M
Kladné směry vnitřních sil:
M
N
N
V
V
-
M
Záporné směry vnitřních sil:
M
N
N V 3
Schwedlerovy vztahy Diferenciální podmínka rovnováhy elementu v osové úloze
n
x2
x
x1
N
N+dN
z x
dx
Výslednice všech sil působících na element musí být nulová:
Rx = 0:
-N + (N+dN) + n.dx = 0
dN dx
n 4
Schwedlerovy vztahy – Diferenciální podmínky rovnováhy elementu v příčné úloze Výslednice všech sil působících na element musí být nulové:
+ dQ = q.dx
Rz = 0:
q
V
-V + (V+dV) + q.dx = 0
M
M+dM x2
dV dx
q
x
x1
m z
x
Mi,x2 = 0: V+dV
dx
-M + (M+dM) – V.dx + q.dx.dx/2 + m.dx = 0 dM dx
V
m
dM pro m=0: dx
V 5
Závěry ze Schwedlerových vztahů
-q V M
derivace
integrace
Derivačně – integrační schéma
dV dx
q
dM dx
V
Souvislost mezi spojitým příčným zatížením a průběhy vnitřních sil 1. řád funkce V(x) a M(x) → typ čáry v diagramech 2. místa extrému u V(x) a M(x)
Q
q
1º Rax
b
a Raz
Extrém posouvajících sil V je v průřezu, kde q=0
dV dx
l
q 0 +
V
2º n
Extrém ohybových momentů M je v průřezu, kde V=0 nebo mění znaménko
dM dx
Rbz
-
0
V
0
M
0
+
3º M max
vodorovná tečna
6
dV dx dM dx
q V
1. řád funkce V(x) a M(x) → typ čáry v diagramech
2. místa extrému u V(x) a M(x)
-q V M
derivace
Závěry:
integrace
Souvislost mezi spojitým příčným zatížením a průběhy vnitřních sil
Souvislost mezi spojitým příčným zatížením a průběhy vnitřních sil Obr. 7.23. / str. 103 7
Konstantní spojité zatížení – konzola – V síly Úloha řešena zleva
Q = q.l=20kN
Rbx
q =10kN/m
Mb Rbx
a
x
0, l
l=2m
0
V
b
x
Rbz
0,
Rbz
Q q.l 20 kN l M b Q. 2 q.l 2 Mb 20 kNm 2 Posouvající síla zleva +
- Q = 20kN
8
Konstantní spojité zatížení – konzola – V síly Úloha řešena zleva
Reakce: nutno řešit z podmínek rovnováhy Q = q.l=20kN
Rbx
0º
q =10kN/m= konst.
Mb Rbx
a
x
b
x
0, l
l=2m
Rbz
Q q.l 20 kN l M b Q. 2 q.l 2 Mb 20 kNm 2 Posouvající síla zleva V Lx
0
V
Rbz
Vx
-
q .x q.l 2
10 kN
1º
20
0,
q.x
Va
Vx
0
Vb
Vx
l
+
0 q.l
Rbz
20kN
Posouvající síla v polovině délky prutu Vx l Vx 1 q l q 1 10kN 2 2 Náhr. břemeno Q nelze použít pro výpočet vnitřních sil na úseku daného spojitého zatížení.
V síla nepřechází přes 0, na celé délce prutu nebude extrém momentu.
9
Konstantní spojité zatížení – konzola - momenty Úloha řešena zleva
Q = 20 kN q =10kN/m
Mb = 20 kNm
a b
x l=2m
0
V
Rbx = 0 kN Rbz = 20 kN Ohybový moment
-
+ 20 M Lb
Q.
l 2
20
2 2
20 kNm
20
M vodorovná tečna
0
-
M Pb
Mb
20
+ 10
Konstantní spojité zatížení – konzola - momenty Úloha řešena zleva
Posouvající síla V Lx q.x
Q = q.l 0º
q =10kN/m= konst.
Mb = 20 kNm
a
x
b
x
0, l
l=2m
Rbx = 0 kN Rbz = 20 kN
Ohybový moment M
0 Vx
V
-
q .x 10
Ma 20 M b
1º
M vodorovná tečna
Mx 0
5
M
x 0
q.l 2 2
x l
0 10.2 2 2
20
2º q .x 2 2
M
q.x 2 2
x q.x. 2
L x
2
M
-
x l
M
x 1
M
x 1
2
q.x 2 q.12 2
Náhr. břemeno Q nelze použít pro výpočet vnitřních sil na úseku daného spojitého zatížení.
20 k Nm
q. l
2 2
5kNm 11
2
Důkaz Schwedlerových vztahů Úloha řešena zleva
Q = q.l
Spojité zatížení:
q( x)
a
konst
Posouvající síla:
b
x
q
l=2m
Vx
-
q .x
V
10
M
1º
20 20
2º
M Mx 0
q .x 2 2
5
-
x
q.x 2 2
integrace
Vx
x q.x. 2
q
dM dx
V
q.x
Ohybový moment:
0
dV dx
-q
V M
derivace
0º
q =10kN/m= konst.
12
Základní zatěžovací stavy spojitého zatížení x q = 2 kN/m
Rax
Úloha řešena zleva
Q = q.l
Reakce
a
b
x Raz
V
Q 12 2 2 Posouvající síla Raz
Rbz
6 kN
l=6m Rbz
Nebezpečný průřez
Ohybový moment
M
13
Základní zatěžovací stavy spojitého zatížení x q = 2 kN/m
Rax
Úloha řešena zleva
Q = q.l = 2.6 = 12 kN
Reakce Rax
a
Q 12 2 2 Posouvající síla Raz
b
x
l=6m
Raz 1º
+ V
VbP
n
-
xn=3 m
6
0
M
2º
Rbz
VaL
Rbz
6
Mn
9
6 kN
Rbz
xn
vodorovná tečna Mn
Raz
6 kN
6 kN
Nebezpečný průřez Vn 0 Va q xn 0
0
+
0
Va q
6 2
3m
Ohybový moment Raz . xn
x q. xn . n 2
2.32 6.3 2
9 k Nm 14
Základní zatěžovací stavy spojitého zatížení x q = konst.→ 0º
Rax
Úloha řešena zleva
Q = q.l
a
Raz
Rbz
Posouvající síla V Lx
l
Raz
Rbz
Va
1º
+
Vb
n
V
Vx
q.l 2
+
2º Mn
1 2 q.l 8
q.l 2
Raz q.x Va q x
Vx l
Q 2
Raz
0
q.l 2 q l 2
Raz Q Va q l
Rbz
Nebezpečný průřez
-
xn 0
M
0
b
x q.l 2
Reakce Rax
0 vodorovná tečna
Umět odvodit, řešeno na tabuli, vzorec platí jen pro tento případ
Vn
0
Va
q xn
0
Va q
xn
Ohybový moment M
L x
Ma Mn
x Raz .x q x 2
M
0
x 0
Mx
l
2
q.x 2 Raz .x 2
Mb 1 2 q.l 8
Mx
l
0 15
Příklad– normálové a posouvající síly - výpočet zleva Q = 3.7 = 21 kN
+
q = 3kN/m
Výpočet V síly v důležitých bodech: Rax= 0
a
b
c Raz= 7,35kN
Rbz=13,65kN
xL 3
Výpočet V síly pod spojitým zatížením:
7
(zavedeme lokálně x=0 v místě, kde začíná q)
10
V(x) = Vc – q . xL např. pro x=1: V(1) = 7,35 – 3 . 1=4,35kN např. pro x=5: V(5) = 7,35 – 3 . 5= -7,65kN
=0
N
xnL
xnP
Va = 7,35 = Vc
Výpočet polohy nebezpečného průřezu:
n
V
Va-c = Raz=Vc=7,35kN Vb = Raz – Q= -13,65kN
V(1) 1°
V(5)
-13,65
Vn = 0 Vc – q . xnL = 0 xnL = 7,35/3 = 2,45 m
16
Příklad–posouvající síly - výpočet zprava + Q = 3.7 = 21 kN
q = 3kN/m
a
Rax= 0
b
c Raz= 7,35kN
Výpočet V síly v důležitých bodech:
xP
3
Rbz=13,65kN
Výpočet V síly pod spojitým zatížením:
7
(zavedeme lokálně x=0 v místě, kde začíná q)
10
V(x) = Vb + q . xP např. pro x=1: V(1) = -13,65 + 3 . 1= -10,65kN např. pro x=5: V(5) = -13,65 + 3 . 5= 1,35kN
=0
N
xnL
xnP
Va = 7,35 = Vc
Výpočet polohy nebezpečného průřezu:
n
V
Vb = -Rbz = -13,6kN Vc-a = - Rbz + Q=7,35kN Va = Vc
V(5) 1°
V(1)
-13,65
Vn = 0 V c + q . x nP = 0 xnP = 13,65/3 = 4,55 m
17
Příklad - ohybové momenty q = 3 kN/m Rax
a
b c
n d
4
Raz=7,35kN
3
e 3
7
MxP = Rbz . xP - q . (xP)2 / 2 Extrémní moment v nebezpečném průřezu:
MnL = Raz . (3+xnL) - q . (xnL)2 / 2
=0
7,35
MxL = Raz . (3+xL) - q . (xL)2/2
Rbz=13,65kN na úseku b-c obecně zprava:
10
N
Ma = M b = 0 na úseku a-c obecně: Mx = Raz . x Mc = Raz . 3 na úseku c-b obecně zleva:
xnL
MnP = Rbz . xnP - q . (xnP )2 / 2
xnP
Ohybový moment v bodě e:
V n 1°
M 1 Mc=22,05 Mn = 31,05 kNm
Md
Me 2
-13,65
MeL = Raz . (3+4) - q .42 /2 = 27,45kNm MeP = Rbz . 3 - q . 32 / 2 = 27,45kNm Podobně dopočítejte moment v d (v místě náhradního břemene):
MdL= MdP = 29,4 kNm
18
Příklad 2 – normálové a posouvající síly Výpočet V síly v krajních bodech:
Vnitřní síly u trojúhelníkového zatížení nutno počítat ze strany od „špičky“ trojúhelníku, tj. ze strany, kde q=0 – tady zleva !!!
q = 4kN/m
Q
+
q( x)
q
Výpočet V síly pod spojitým zatížením:
x L
qx Rax=0 a
b
x 6
Raz=6 = kN
N
3
Rbz=12 = kN
L=9 např. pro x=2:
V 20
Příklad 2 – normálové a posouvající síly Výpočet V síly v krajních bodech:
Vnitřní síly u trojúhelníkového zatížení nutno počítat ze strany od „špičky“ trojúhelníku, tj. ze strany, kde q=0 – tady zleva !!!
q = 4kN/m
Q =0,5 .4.9 =18 kN
+
q( x)
q
x L
Výpočet V síly pod spojitým zatížením:
qx
V( x )
Rax=0 a
6
3
Va
Va
q x2 2 L
Rbz=12 kN
např. pro x=2:
=0
V2
5,11 6
qx
q x x L 2
L=9
N vodor. tečna
Va
x 2
L= délka TROJÚHELNÍKU – ne nosníku!!!
b
x
Raz=6 kN
Va = Raz=6kN Vb = Raz – Q= -12kN
2
V
V2 - 12
Va
qx
q x L
4 2 9
x qx nebo V 2 2
8 2 nebo V 2 6 9 2
8 kNm 1 9
Va
4 22 6 2 9
q x2 2 L 5,11kN 21
Příklad 2 – posouvající síly – nebezpečný průřez + Q =0,5 .4.9 =18 kN
q( x)
q
x L
q = 4kN/m
qn
Výpočet polohy nebezpečného průřezu:
Rax=0 a
n
xn
b
6 Raz=6 kN
3
Vn
0
Rbz=12 kN
L=9
N
=0
vodor. tečna 2
6
V
n
xn= - 12
22
Příklad 2 – posouvající síly – nebezpečný průřez + Q =0,5 .4.9 =18 kN
q( x)
q
x L
q = 4kN/m
qn
Výpočet polohy nebezpečného průřezu:
Rax=0 a
n
xn
b
6 Raz=6 kN
3
Rbz=12 kN
Vn 0 x Vn Va qxn n 2
L=9
Vn N
=0
vodor. tečna
xn 6
V
Va
2
n
q xn2 2 L 2 Va L q
0 0 5,196 m
xn=5,196 - 12
23
Příklad 2 – ohybové momenty + q( x)
Rax=0
q = 4kN/m
x q L
a
Obecně výpočet momentu pod spojitým zatížením:
b
n x 6
3
Raz=6 kN vodor. tečna
V
6
Rbz=12 kN
9 2
Výpočet momentu v nebezpečném průřezu:
n
xn=5,196 - 12
M
Výpočet momentu např. pro x= 2m od a:
24
Příklad 2 – ohybové momenty + q( x)
Rax=0
q = 4kN/m
x q L
Ma = M b = 0
a
b
Mx = Raz . x -1/2 . qx . x . x /3 = Raz . x -1/2 . (q.x/L). x .x /3 = Raz . xn - q . x3/6.L
n x 6
3
Raz=6 kN vodor. tečna 6
V
Rbz=12 kN
9
5,11
Obecně výpočet momentu pod spojitým zatížením:
2
L
obecně : M ( x )
Raz
q x3 x 6 L
n Výpočet momentu v nebezpečném průřezu:
xn=5,196
Mn = Raz . xn - q . xn3/6.L - 12
M 11,4 Mn=20,785
3 vodor. tečna
= 6 . 5,196 – 4 . 5,1963/6.9
= 20,785 kNm M(x=2) = 11,4kNm (dopočtěte)
25
Důkaz Schwedlerových vztahů Jednoduchý důkaz, pokud je spojité zatížení po celé délce nosníku – platí ovšem vždy
Rax
Spojité zatížení:
a
b
n
q( x)
q
x L
x Rbz
V( x)
Va=Raz 2
Raz
n Ohybový moment:
V
M ( x) Vb
M Mn
3 vodor. tečna
Raz
q
dM dx
V
q x2 2 L q x3 x 6 L
integrace
Raz
vodor. tečna
Posouvající síla (Va=Raz):
L
dV dx
-q
V M
derivace
q( x)
q
x q L
26
Porovnání průběhů vnitřních sil Výpočet vnitřních sil zleva!!
x
1º
2,5 qx
q=5kN/m q
qx
q.x l
b
a
Vx
q.x 2 2.l
Rax
c L =1,5m
x
Vx
0,94
Mb
2º
3,75 1,875
Mx
q.x 3 6.l
Mx
0,23
3º
27
Porovnání průběhů vnitřních sil (doma spočtěte - důležité) Výpočet vnitřních sil zleva!!
qx
x
1º
2,5 qx
q
qx
q.x l
b
a
Vx
q.x 2 2.l
0,94
q
qx
1º
Mb c L=1,5m
x Rbz
-
Vx
Vb
-
q .x 2 2.l
3,75
3,75
2,81
2º
1,875 Mx
q.x 6.l
Mx
0,23
Rax
0
2º
3
Mb b
a
Rax
c L =1,5m
x
Vx
Výpočet vnitřních sil zprava !! q.x x l
q=5kN/m
3º
-
3,75 Mx
Mb
Rbz .x
q.x 3 6.l
3º
1,17
28
Spojité zatížení v osové úloze Při působení spojitého osového zatížení se vodorovná reakce určí pomocí výslednice celého spojitého zatížení – plocha zatěžovacího obrazce (obecně integrace, u jednoduchých obrazců elementární vzorce geometrie). Obdobně se při výpočtu normálové síly určí dílčí výslednice spojitého zatížení vlevo nebo vpravo od uvažovaného průřezu. n = konst.
Výpočet reakcí Rax
b
a
x
N = n.l
Rax N
l
n.l
Rax n.x
Na
-
0: 0
Rax
N
n.l
Normálová síla
N Lx
N
Fix
n.l n.x
Rax
n. x l
n.l
n. x l 29
Prostý nosník zatížený momentovým zatížením m = konst. M = m.l
Reakce Rax
b
a
Raz
x Raz
V
l
Rbz
Rbz
Rax
M l M l
0
m m
Posouvající síla V Lx konst. Raz
m
Va
Vx
0
m
Vb
Vx
l
m
m
Ohybový moment
M M Lx
Raz .x m.x
m.x m.x 0 30
Výpočet nosníku v prostorové úloze Staticky určitý nosník v prostoru musí být podepřen nv=6 jednoduchými vnějšími vazbami, které musí být správně uspořádány, aby nevznikl výjimkový případ podepření. Při řešení prostorového nosníku vycházíme z 6-ti podmínek rovnováhy: 3 silové podmínky rovnováhy:
Fix
3 momentové podmínky rovnováhy:
M ix,s
0
Fiy 0
M iy,s
qz Složky reakcí: a) Konzola složky reakcí: Rax, Ray, Raz, Mx, My, Mz b) Nosník na dvou podporách složky reakcí: Rax, Ray, Raz, Rbx, Rby, Rbz
0
Fiz
0
0
M iz,s
Pz
0
Py
Px x y z
31
Výpočet nosníku v krutové úloze Zatížení nosníku kroutícím momentem Mx (momentem kolem osy x)
Mxa
Mx3
Mx2
Mx1
Jedna vnější vazba – jediná složka reakce (nv = 1) z podmínky rovnováhy: M ix
0:
M x1 M x 2 M x3 M xa
0
M xa
a
b
b
Jediná složka vnitřních sil – kroutící moment T (torze). Kladný směr při pohledu proti kladnému smyslu osy x se snaží prut otáčet proti směru hodinových ručiček – pravidlo pravé ruky (proti-proti, levotočivé kroucení).
T1 T2
T3
M x1
M x1 M x 2
M x1 M x 2 M x3
Podrobněji v předmětu Pružnost a plasticita 32
Okruhy problémů k ústní části zkoušky
1. Výpočet vnitřních sil nosníků zatížených spojitým rovnoměrným zatížením 2. Řešení trojúhelníkového zatížení nosníku
3. Výpočet nosníku v krutové úloze 4. Výpočet nosníku v prostorové úloze
33
