Stavební statika, 1.ročník bakalářského studia
Výpočet vnitřních sil přímého nosníku II Výpočet vnitřních sil nosníků zatížených spojitým zatížením: příčné konstantní a trojúhelníkové spojité zatížení, spojité zatížení v osové úloze, momentové zatížení Výpočet nosníku v prostorové úloze Výpočet nosníku v krutové úloze Katedra stavební mechaniky Fakulta stavební, VŠB - Technická univerzita Ostrava
Závěry ze Schwedlerových vztahů Souvislost mezi spojitým příčným zatížením a průběhy vnitřních sil
-q V M
derivace
integrace
Derivačně – integrační schéma
dV = −q dx
1. řád funkce V(x) a M(x) → typ čáry v diagramech 2. místa extrému u V(x) a M(x)
dM =V dx
Q
q
1º Rax b
a
Extrém posouvajících sil V je v průřezu, kde q=0
→ dV = − q = 0 dx
Raz
l +
V
2º n
Extrém ohybových momentů M je v průřezu, kde V=0 nebo mění znaménko
→
dM =V = 0 dx
Rbz
-
0
M
0
+
3º Mmax
vodorovná tečna
2
Posouvající síla pod spojitým zatížením Q = q.l
Reakce
a
Raz = Rbz =
b
l
q.l 2 q ⋅l Vb = V( x =l ) = Raz − Q = − 2
Rbz Va = V( x=0 ) = Raz =
Mx
q a
b
x
Vx
Raz q.l 2
V [kN]
Posouvající síla pod spojitým zatížením
1º
V M
q polynom 0°→V polynom 1°
V( Lx) = Raz − q.x = Va − q ⋅ x
n
xn
-q
q = konst → q ⋅ x 0
l Rbz
+
Q q.l = (↑) 2 2
Posouvající síla na hranici spojitého zatížení
x Raz
Rax = 0
derivace
Rax
+
Úloha řešena zleva
integrace
x q = konst.→ 0º
-
Nebezpečný průřez −
q.l 2
Vn = 0 ⇒ Va − q ⋅ xn = 0 ⇒ xn =
Va q
3 Náhr. břemeno Q používat jen pro výpočet reakcí, u vnitřních sil pracovat pouze s „q.x“
Posouvající síla pod spojitým zatížením Q = q.l
Reakce
a
Raz = Rbz =
b
l
Rbz V = V = − R + Q = q.l a ( x =l ) bz
Mx
q
q ⋅l Vb = V( x 0 ) = − Rbz = − 2
a
Raz q.l 2
V [kN]
x Rbz
l
2
Posouvající síla pod spojitým zatížením
b
Vx
Q q.l = (↑) 2 2
Posouvající síla na hranici spojitého zatížení
x Raz
Rax = 0
q = konst → q ⋅ x 0
-q V M
derivace
Rax
Úloha řešena zprava
integrace
q = konst.→ 0º
x
q polynom 0°→V polynom 1°
V( Px) = − Rbz + q.x = Vb + q ⋅ x
1º
+
n
xn
Nebezpečný průřez
-
−
q.l 2
Vn = 0 ⇒ Vb + q ⋅ xn = 0 ⇒ xn =
Vb q
4 Náhr. břemeno Q používat jen pro výpočet reakcí, u vnitřních sil pracovat pouze s „q.x“
Ohybový moment pod spojitým zatížením Úloha řešena zleva
Mx b
x
Vx
Raz q.l 2
Posouvající síla v poli
Rbz
l
V( Lx) = Raz − q.x = Va − q ⋅ x Ohybový moment pod spojitým zatížením
1º
+
n
V
-
xn
−
[kN]
0
M [kNm]
2º
0
+ M max
q.l 2 = 8
vodorovná tečna
q.l 2
-q derivace
a
M a = M ( x = 0 ) = 0 M b = M ( x =l ) = 0 (kloubové podpory→M=0) integrace
x q
V M
V polynom 1°(lineární pr ůběh) →M polynom 2°(parabola)
M
L (x )
x q ⋅ x2 = Raz ⋅ x − q ⋅ x ⋅ = Raz ⋅ x − 2 2
Extrémní moment je v nebezpečném průřezu (V=0) xn q ⋅ xn2 L M ( x ) = Raz ⋅ xn − q ⋅ xn ⋅ = Raz ⋅ xn − 2 2
Po dosazení: pouze prostý nosník zatížený q=konst po celé délce: M ( x
q.l 2 = M (x = l ) = max ) 2 8
5
Ohybový moment pod spojitým zatížením Q = q.l
q = konst. Rax
x
Úloha řešena zprava
a
Posouvající síla
b
V( Px) = − Rbz + q.x = Vb + q ⋅ x
x l
Raz
Rbz
q.l 2
xn
1º
+
Ohybový moment
V
-
n
q.l − 2
[kN]
0
M [kNm]
Nebezpečný průřez V Vn = 0 ⇒ Vb + q ⋅ xn = 0 ⇒ xn = − b q
2º
0
+ M max
q.l = 8
2
vodorovná tečna
M
P (x)
x q.x 2 = Rbz .x − q ⋅ x ⋅ = Rbz .x − 2 2
Dosazením M a = M ( x =l ) = 0 M b = M ( x=0 ) = 0
q.l 2 M ( xmax ) = M (x = l ) = 2 8
6 Náhr. břemeno Q používat jen pro výpočet reakcí, u vnitřních sil pracovat pouze s „q.x“
Příklad 1 – posouvající síly - výpočet zleva xL
Q
q = 3kN/m
a
Rax= 0
b
c Raz= 7,35kN
x5
x1 1
+ 1) Výpočet V síly v důležitých bodech:
6
3
2
5
xL =1
Rbz=13,65kN
Mx1
Va =Vc= Raz=7,35kN(↑) Vb = Raz – Q= -13,6k(↓)
2) Výpočet V síly pod spojitým zatížením: (zavedeme lokálně x=0 v místě, kde začíná q)
Vx1
Raz
Rbz
xL =5
např. pro x=1: V(x1) = Raz – q . 1 = Vc – q . 1 V(x1) = 7,35 – 3 . 1=4,35kN (↑)
Mx5
Vx5
Raz
Rbz
Va = 7,35 = Vc
V [kN]
n V(x1)
1°
V(x5)
V(x) = Vc – q . xL
-13,65
např. pro x=5: V(x5) = Raz – q . 5 = Vc – q . 5 V(x5) = 7,35 – 3 . 5= -7,65kN (↓) 7
Příklad 1 – posouvající síly, nebezpečný průřez n - výpočet zleva xL Rax= 0
q = 3kN/m
a
b
c
Rbz=13,65kN
Raz= 7,35kN
xn 3
+ Obecně:
7
V(x) = Vc – q . xL
Mn
Výpočet polohy nebezpečného průřezu: Raz
Va = 7,35 = Vc
V [kN]
Rbz
Vn=0
Vn = 0 Vc – q . xnL = 0
xnL
xnL =Vc / q = 7,35/3 = 2,45 m
n V(x1) 1°
V(x5)
-13,65 8
Příklad 1 –posouvající síly - výpočet zprava Rax= 0
xP
Q
q = 3kN/m a c Raz= 7,35kN
+
b x5
x1 1
3
1) Výpočet V síly v důležitých bodech:
6 2
5
Mx1
Rbz=13,65kN
xP =6
Va =Vc= -Rbz+Q=7,35kN(↓) Vb = -Rbz = -13,6kN(↑)
2) Výpočet V síly pod spojitým zatížením:
Vx1
Raz
Rbz
V(x) = Vb + q . xP
xP =2
Mx5
Raz
(zavedeme lokálně x=0 v místě, kde začíná q)
Vx5
Rbz
Va = 7,35 = Vc
V [kN]
např. bod x5, kde x=2: V(x5) = -Rbz + q . 2= Vb + q . 2 V(x5) = -13,65 + 3 . 2= -7,65kN (↑)
n V(x1)
1°
např. bod x1,kde x=6: V(x1) = -Rbz + q . 6 = Vb + q . 6 V(x1) = -13,65 – 3 . 6=4,35kN (↓)
V(x5)
Vb= -13,65
9
Příklad 1 – posouvající síly, nebezpečný průřez n - výpočet zprava xP
q = 3kN/m Rax= 0
a
b
c
+ Rbz=13,65kN
Raz= 7,35kN
xn 3
V(x) = Vb + q . xP
7
Výpočet polohy nebezpečného průřezu:
Mx
Vn = 0 Vb + q . xnP = 0
Vn=0
Raz
Obecně:
Rbz
xnP = -Vb / q = 13,65/3 = 2,45 m
xnP Va = 7,35 = Vc
n
V [kN]
V(x1) 1°
V(x5)
-13,65 10
Příklad 1 –ohybové momenty- výpočet zleva q = 3kN/m
a
Rax= 0
b
c Raz= 7,35kN
x5
3
2
5
Rbz
xL =5
Mx5 Vx5
Raz
Rbz
Va = 7,35 = Vc
n
V
V(x1)
[kN]
1°
V(x5)
-13,65
Ma = Mb = 0 (kloubové podpory→M=0) na úseku a-c obecně: Mx = Raz . x Mc = Raz . 3=22,05kNm ( ) polynom 1°, neboť v rovnici x1 a zároveň V síly na úseku a-c konstantní (polynom 0°) na úseku c-b obecně zleva: -q posouvající síla: V V(x) = Vc – q . xL Ohybový moment : M MxL = Raz . (3+xL) - q . (xL)2 /2 polynom 2°, neboť v rovnici x2 a zároveň V síly na úseku c-b lineární (polynom 1°)
+
derivace
Q
integrace
xL
M 1°
[kNm]
2°
Mc
Mx5
Ohybový moment v bodě x5: Mx5L = Raz . (3+5) - q .52 / 2 = 21,3kNm (
Všimněte si tečen v průběhu – zakreslovat do obrázků a dodržovat tvary
) 11
Příklad 1 –ohybové momenty- výpočet zprava xP
Q
q = 3kN/m
Ma = Mb = 0 (kloubové podpory→M=0)
a
b
c 3
2
5
Rbz
xP =2
Mx5
Raz
Vx5
Rbz
V(x1)
1°
V(x5)
-13,65
M 1°
[kNm]
2°
Mc
V M
Mx5P = Rbz . 2 - q .22 / 2 = 21,3kNm
n
[kN]
-q
Ohybový moment v bodě x5:
Va = 7,35 = Vc
V
na úseku b-c obecně zprava: posouvající síla: V(x) = Vb + q . xP Ohybový moment : MxP = Rbz . xP - q . (xP)2 /2
Mx5
na úseku c-a: již za spojitým zatížením, výhodnější počítat zleva. Mc = Raz . 7 - Q . 3,5=22,05kNm (
Všimněte si tečen v průběhu – zakreslovat do obrázků a dodržovat tvary
) 12
derivace
Raz= 7,35kN
x5
integrace
Rax= 0
Příklad 1- Mn , výsledky q = 3 kN/m
Rax
a c
n d 4
Raz=7,35kN
3
b
MxL = Raz . (3+xL) - q . (xL)2 /2
Rbz=13,65kN
na úseku b-c obecně zprava:
e 3
Ma = Mb = 0 na úseku a-c obecně: Mx = Raz . x Mc = Raz . 3 na úseku c-b obecně zleva:
7
MxP = Rbz . xP - q . (xP)2 /2 Extrémní moment v nebezpečném průřezu:
MnL = Raz . (3+xnL) - q . (xnL)2 /2
=0
N [kN]
7,35
L
MnP = Rbz . xnP - q . (xnP )2 /2
P
xn
xn
V
Ohybový moment v bodě e: n
[kN]
-13,65
1°
M 1°
[kN]
Mc=22,05
Mn = 31,05 kNm
Me Md
MeL = Raz . (3+5) - q .52 / 2 = 21,3kNm MeP = Rbz . 2 - q . 22 / 2 = 21,3kNm
2°
Podobně dopočítejte moment v d (v místě náhradního břemene):
MdL= MdP = 29,4 kNm
13
Pravidla, která je nutno dodržet při řešení vnitřních sil q = 3 kN/m
- vykreslit schéma pro všechny 3 vnitřní síly (i nulové) Rax - N,V kladné nad osu, M na stranu tažených vláken - vlevo od každého schématu označit, o kterou vnitřní c n d b a sílu se jedná. Značení v kroužku, např. N Raz Rbz - v každém obrazci zřetelné znaménko vnitřní síly =0 N - obrazce buď šrafovat kolmo na osu nosníku nebo L P x x n n [kN] 7,35 ponechat prázdné - značení stupňů polynomů V n - značení bodu, kde se mění stupeň polynomů (bod c) 1° [kN] - přechod z 1° do 2° (bod c) plynulý -7,65 -13,65 (pokračování lineárního průběhu tvoří tečnu paraboly) M - všechny potřebné hodnoty vnitřních sil do obrázku: 1° zejména: v místě změny zatížení (bod c), minimálně 1 2° [kN] 22,05 29,4 hodnota M v poli pod spojitým zatížením (bod d), extrémní moment Mn = 31,05 kNm - hodnota V síly v zadaném místě např. bod d, včetně rovnice výpočtu (viz předešlé i následující snímky) - označit a okótovat místo nebezpečného průřezu Výpočet reakcí - výpočet polohy nebezpečného průřezu - nutná rovnice dodržet všechna pravidla: - výpočet momentů – pro všechny hodnoty nutné rovnice 3 podmínky rovnováhy + 1 kontrolní, - v místě Mmax (Mn) je tečna vodorovná (extrém funkce) 14 zřetelné značení skutečného směru
Příklad ze skript Zadání: pro oba zatěžovací stavy (liší se pouze velikostí osamělé síly) stejného prostého nosníku určit reakce, sestrojit průběhy posouvajících sil a ohybových momentů a určit extrémní hodnoty vnitřních sil.
(a)
(b)
Zadání a řešení příkladu 4.13 Obr. 7.28. / str. 107 15
Konstantní spojité zatížení – konzola – V síly Úloha řešena zleva
Reakce: nutno řešit z podmínek rovnováhy Rbx = 0,
Q = q.l=20kN 0º
q =10kN/m= konst.
Mb Rbx
a b
x
x ∈ 0, l
l=2m
Rbz
Rbz = Q = q.l = 20kN (↑ ) l M b = Q. ⇒ 2 q.l 2 Mb = = 20kNm ( 2
)
Posouvající síla V( Lx) = − q.x
0
V
-
Vx = − q.x −
q.l = 10kN 2
1º
Va = V( x =0 ) = 0 − 20
Vb = V( x =l ) = − q.l = − Rbz = −20kN
Posouvající síla v polovině délky prutu V(x = l ) = V( x =1) = − q ⋅ l = q ⋅1 = 10kN 2 2 Náhr. břemeno Q používat jen pro výpočet reakcí, u vnitřních sil pracovat pouze s „q.x“. V síla nepřechází přes 0, na celé délce prutu nebude extrém momentu.
16
Konstantní spojité zatížení – konzola - momenty Rbx = 0,
Úloha řešena zleva
Q = q.l 0º
q =10kN/m= konst.
l q.l 2 M b = Q. = = 20kNm( 2 2
Mb
a
x ∈ 0, l
l=2m
0
V
− 10
Rbz
− 20
1º
q .x 2 Mx = − 2
−5
Ohybový moment x q.x 2 L M ( x ) = −q.x. = − 2 2 M a = M ( x =0 ) = 0 M b ( vnitrni sila ) = M ( x =l )
M (x = l ) = M ( x =1) 2
-
)
Posouvající síla V( Lx) = −q.x
− 20
2º
M
Rbx
-
Vx = − q.x
[kN]
[kNm]
b
x
Rbz = Q = q.l = 20kN (↑ )
2
q.l 2 =− 2
q.x =− =− 2
( 2)
q. l
2
2 q . 1 vodorovná M ( x =1) = − = −5kNm tečna 2 17 Náhr. břemeno Q používat jen pro výpočet reakcí, u vnitřních sil pracovat pouze s „q.x“
0
2
Důkaz Schwedlerových vztahů pro příčnou úlohu Úloha řešena zleva Spojité zatížení:
0º
q =10kN/m= konst.
q ( x ) = q = konst
viz snímek č.2 ↓:
dV = −q dx
a b
x
Posouvající síla:
V( x ) = − q.x
l=2m
viz snímek č.2 ↓:
dM =V dx
Ohybový moment:
M 0
-
Vx = − q.x − 10
V
x q.x 2 M ( x ) = − q.x. = − 2 2 − 20
1º
− 20
2º q .x 2 Mx = − 2
−5
-
Poznámka:
integrace
0
Integrační konstanty jsou zde nulové, protože V(x=0)=0 i M(x=0)=0
-q V M
derivace
Q = q.l
18
Základní zatěžovací stavy spojitého zatížení Úloha řešena zprava
q = konst.
Reakce: nutno řešit z podmínek rovnováhy Rbx = 0,
0º
Mb
a b
x l
V
M
[kNm]
q.x 2 − M b + Rbz ⋅ x − 2
0
Rbx
Posouvající síla Va = V( x =l ) = − Rbz + q.l = 0
Rbz
Vb = V( x =0 ) = − Rbz = − ql V( Px) = Vb + q.x = − Rbz + q.x
[kN]
Vb + q.x = − Rbz + q.x
Rbz = Q = q.l (↑ ) l q.l 2 ( ) M b = Q. = 2 2
Q = q.l
q.l − 2
q.l 2 − 8
1º 2º
-
− q.l
q.l 2 − 2
Ohybový moment q.x 2 M = − M b + Rbz ⋅ x − 2 ql 2 M a = M ( x =l ) = − M b + Rbz ⋅ l − =0 2 ql 2 M b = M ( x =0 ) = − M b (reakce ) = − 2 q.l 2 M (x = l ) =− 19 2 po dosazení 8 P (x )
Trojúhelníkové zatížení - posouvající síly q
Posouvající síla na hranici spojitého zatížení Va = Raz Vb = Raz – Q= -Rbz
qx Rax=0 b
x
Rbz
L
Raz
q qx
Mx
x1 q(x ) = lineární → q x = q ⋅ L
1°
q je lineární funkce x -polynom 1° →V polynom 2°(parabola)
Raz
vx
V( x)
vodor. tečna
V
V M
Rbz x
Va
-q derivace
a
Posouvající síla pod spojitým zatížením Vnitřní síly pod trojúhelníkovým zatížením nutno počítat ze strany od „špičky“ trojúhelníku, tj. ze strany, kde q=0. + Tady zleva !!! integrace
q (x)
x Q = q⋅ L 1°
2°
x q⋅x x q ⋅ x2 = Va − q x ⋅ = Va − ⋅ = Va − 2 L 2 2⋅ L
L= délka TROJÚHELNÍKU – ne nosníku!!! n
Nebezpečný průřez – není v těžišti trojúhelníku!
[kN] Vb
xn2 Va ⋅ 2 L = 0 ⇒ xn = Vn = 0 ⇒ Va − q ⋅ 2L q 20
Trojúhelníkové zatížení – ohybový moment q (x)
Raz
x = q⋅ L Mx qx
Q
q
M a = M ( x =0 ) = 0
(kloubové podpory→M=0)
1°
Posouvající síla pod spojitým zatížením Rbz
x
vodor. tečna Va=Raz
V( x )
x q⋅x x q ⋅ x2 = Raz − q x ⋅ = Va − ⋅ = Va − 2 L 2 2⋅ L
Ohybový moment pod spojitým zatížením
vx 2°
M b = M ( x =l ) = 0
n +
V
Vnitřní síly pod trojúhelníkovým zatížením nutno počítat ze strany od „špičky“ trojúhelníku, tj. ze strany, kde q=0. Tady zleva !!!
[kN]
[kNm]
3° vodor. tečna
L= délka TROJÚHELNÍKU – ne nosníku!!! Nebezpečný průřez – není v těžišti trojúhelníku!
q ⋅ x3 M ( x ) = Raz ⋅ x − 6⋅ L Mx = Raz . x -1/2 . qx . x . x /3 = Raz . x -1/2 . (q.x/L). x .x /3 = Raz . x - q . x3/6.L
Všimněte si tečen v průběhu – zakreslovat do obrázků a dodržovat tvary
V M
derivace
M
-q integrace
Vb
V je funkce x2 -polynom 2°(parabola) →M polynom 3°(parabola 3°)
21
Příklad 2 – normálové a posouvající síly Výpočet V síly v krajních bodech: Va = Raz=6kN Vb = Raz – Q= -12kN
Vnitřní síly pod trojúhelníkovým zatížením počítat ze strany od „špičky“ trojúhelníku, tj. ze strany, kde q=0 – tady zleva !!! q = 4kN/m
Q =0,5 .4.9 =18kN
+
q (x)
x = q⋅ L
V( x )
qx b
x
např. pro x=1: Rbz=12kN
2°
4 ⋅12 4 1 = 5,78kN nebo V(1) = 6 − V(1) = 6 − ⋅ 2 ⋅ 9 9 2 q⋅ x 4⋅2 8 např. pro x=2: q x = = = kNm −1 L 9 9
=0 5,78 5,11
vodor. tečna 6
q ⋅ x 4 ⋅1 4 = = kNm −1 L 9 9
L=9
3
N [kN]
qx =
q⋅x x V(1) = Va − q x ⋅ nebo V(1) = Va − 2⋅ L 2
6 Raz=6kN
x q⋅x x q ⋅ x2 = Va − q x ⋅ = Va − ⋅ = Va − 2 L 2 2⋅ L
L= délka TROJÚHELNÍKU – ne nosníku!!!
Rax=0 a
Výpočet V síly pod spojitým zatížením:
2
2 x q ⋅ x V(2 ) = Va − q x ⋅ nebo V(2 ) = Va − 2 2⋅ L
V [kN] -12
8 2 4 ⋅ 22 nebo V(2 ) = 6 − V(2 ) = 6 − ⋅ = 5,22 11kN 9 2 2⋅9
Příklad 2 – posouvající síly – nebezpečný průřez Vnitřní síly u trojúhelníkového zatížení nutno počítat ze strany od „špičky“ trojúhelníku, tj. ze strany, kde q=0 – tady zleva !!! Q =0,5 .4.9 =18 kN
q (x)
x = q⋅ L
q = 4kN/m Výpočet V síly pod spojitým zatížením:
qn
V( x )
Rax=0 a
n
xn
b
6 Raz=6kN
3
Rbz=12kN
Výpočet polohy nebezpečného průřezu: Není v těžišti trojúhelníku
L=9
Vn = 0 x Vn = Va − q xn ⋅ n = 0 2
=0
[kN]
5,78 6
5,11
2°
n
q ⋅ xn2 =0 Vn = Va − 2⋅ L
V [kN]
x q⋅x x q ⋅ x2 = Va − q x ⋅ = Va − ⋅ = Va − 2 L 2 2⋅ L L= délka trojúhelníku – ne nosníku!!!
N vodor. tečna
+
xn=5,196 -12
⇒ xn =
2 ⋅Va ⋅ L = 5,196m q
23
Příklad 2 – ohybové momenty Vnitřní síly pod trojúhelníkovým zatížením nutno Výpočet V síly pod spojitým zatížením: počítat ze strany od „špičky“ trojúhelníku, + x q ⋅ x2 V ( x ) = Va − q x ⋅ = Va − tj. ze strany, kde q=0 – tady zleva !!! 2 2⋅ L q = 4kN/m L= délka trojúhelníku – ne nosníku!!! q (x) = q ⋅
Rax=0
x L
Výpočet momentu pod spojitým zatížením:
a
b
Ma = Mb = 0
Rbz=12kN
Mx = Raz . x -1/2 . qx . x . x /3 = Raz . x -1/2 . (q.x/L). x .x /3 = Raz . x - q . x3/6.L
n x 6
3
Raz=6kN
9 5,78
vodor. tečna 6
5,11
L
2°
obecně : M ( x )
n
q ⋅ x3 = Raz ⋅ x − 6⋅ L
V [kN]
xn=5,196
Výpočet momentu v nebezpečném průřezu: -12
M [kNm]
5,93 11,4 Mn=20,785
Mn = Raz . xn -1/2 . qxn . xn . xn /3 = Raz . xn -1/2 . (q.xn/L). xn .xn /3 = Raz . xn - q . xn3/6.L
3° vodor. tečna 24 Mn = 20,785 kNm, M(x=1) = 5,93kNm, M(x=2) = 11,4kNm
Základní zatěžovací stavy spojitého zatížení výpočet nutný zprava q
1º
Q=
q.l 2
Reakce
x
2 q.l (↑) Raz = .Q = 3 3
qx qx =
q.x l b
Raz
l
q.l 3
V
P (x )
V
2 l 3
+
x Rbz
Q q.l = (↑) 3 6
q x .x q.x x q.x 2 = − Rbz + = Vb + ⋅ = Vb + 2 l 2 2l q.l Va = V( x =l ) = = Raz 3 q.l Vb = V( x =o ) = − Rbz = − 6
Nebezpečný průřez xn
2º n
-
[kN]
0
−
q.l 6
0
3º M max
q.xn2 Vn = 0 ⇒ Vb + = 0 ⇒ xn = 2.l
vodorovná tečna
2 Vb ⋅ l q
Ohybový moment M
+
M [kNm]
Rbz =
Posouvající síla
Rax a
Rax = 0
P (x )
q x .x x q.x 3 = Rbz .x − . = Rbz .x − 2 3 6l
M max = M ( x = xn ) 25
Základní zatěžovací stavy spojitého zatížení x podobnost trojúhelníků
Q=
q .x Qx = x 2
q.l 2
q
1º
Reakce
qx
q.x → qx = l
Mb b
a
c
x/3
qx ⋅ x q.x x q.x 2 =− ⋅ =− V =− 2 l 2 2.l Va = V( x =0 ) = 0 q.l Vb = V( x =l ) = − = −Q − Rbz 2q.l Vc = V(x = l ) = − 2 8 L (x)
l vodorovná tečna
V
q.x 2 → Vx = − 2.l
q.l − 8
[kN]
M
q.x 3 → Mx = − 6.l [kNm] vodorovná tečna
−
1 q.l 2 48
q.l Rbz = Q = (↑) 2 l q.l 2 M b = Q. = ( ) 3 6
Rbx = 0,
Rax Posouvající síla
l/3
x
0
výpočet nutný zleva
q.l 2 q.l 2 − 6 −
2º
3º
-
Ohybový moment q.x 2 x q.x 3 . =− M =− 2.l 3 6.l M a = M ( x =0 ) = 0 q.l 2 M b = M ( x =l ) = − = −M b 6 1 M c = M (x = l ) = − .q.l 2 2 48 L (x)
26
Základní zatěžovací stavy spojitého zatížení qx =
q
q.x l
výpočet nutný zprava x qx Mb 1º Rax b
a
c
x
Reakce Rbx = 0,
Rbz = Q =
2 q.l 2 M b = Q. .l = 3 3
(
q.l ( ↑) 2
)
Posouvající síla
qx ⋅ x q.x x q.x 2 V = − Rbz + = Vb + ⋅ = Vb + 2 l 2 2.l Va = V( x =l ) = 0 P (x)
Rbz
l
Vb = V( x =0 ) = − Rbz
V
V(x = l ) = −(3 / 8).q.l
0 Vx = Vb +
q.x 2.l
-
2
2
− 3 − q.l 8
M q .x 3 − M b + Rbz ⋅ x − 6.l
q ⋅l 2
2º −
5 .q.l 2 48
q.l 2 − 3
3º
-
Ohybový moment M
P (x )
q.x 2 x = − M b + Rbz ⋅ x − . 2.l 3 q.x 3 = − M b + Rbz ⋅ x − 6.l Ma = M( x=l ) = 0
Porovnejte průběhy V,M včetně hodnot u obou typů zatížení
M b = M ( x =0 ) = − M b
M (x = l ) = − 2
5 .q.l 2 48
27
Porovnání průběhů vnitřních sil x
q 2
qx
q. x qx = l
q
Rax
Mx = −
[kNm]
−
3
q. x 6.l
Mx
q.l 8
1 − q.l 2 48
-
[kN]
q.l 2 − 6
3º
-
Rax
x
c
Rbz
0
q.l − 2
2º
Mb
l
V Vx
1º b
a
l q. x 2 Vx = − 2.l
x
Mb
c
V
q.x l
qx b
x
M
q
1º
a
[kN]
qx =
q .x 2 V x = Vb + 2.l
3 − q.l 8
M q .x M x = − M b + Rbz .x − 6.l
[kNm]
3
−
−
q ⋅l 2
2º
5 .q.l 2 48
q.l 2 − 3
3º
28
Spojité zatížení v osové úloze Při působení spojitého osového zatížení se vodorovná reakce určí pomocí výslednice celého spojitého zatížení – plocha zatěžovacího obrazce (obecně integrace, u jednoduchých obrazců elementární vzorce geometrie). Obdobně se při výpočtu normálové síly určí dílčí výslednice spojitého zatížení vlevo nebo vpravo od uvažovaného průřezu. n = konst. Výpočet reakcí Rax
b
a
x
N = n.l l
∑F
ix
= 0:
Rax − N = 0 ⇒ Rax = N = n.l (→) Normálová síla
N (Lx ) = − Rax + n.x = −n.l + n.x = n.( x − l )
N [kN]
− n.l
-
N (a ) = − Rax = −n.l
n.( x − l ) 29
Prostý nosník zatížený momentovým zatížením m = konst. M = m.l Reakce Rax
b
a
V [kN]
l
−m
M = m(↓ ) l M Rbz = = m(↑ ) l
Raz =
x Raz
Rax = 0
Rbz
Posouvající síla V( Lx) = konst. = − Raz = − m Va = V( x =0 ) = − m Vb = V( x =l ) = − m
M [kNm]
Ohybový moment M (Lx ) = − Raz .x + m.x = − m.x + m.x = 0 30
Výpočet nosníku v prostorové úloze Staticky určitý nosník v prostoru musí být podepřen nv=6 jednoduchými vnějšími vazbami, které musí být správně uspořádány, aby nevznikl výjimkový případ podepření. Při řešení prostorového nosníku vycházíme z 6-ti podmínek rovnováhy: 3 silové podmínky rovnováhy:
∑F
3 momentové podmínky rovnováhy:
∑M
ix
=0 ix , s
=0
∑F
iy
∑M
=0
iy , s
qz
∑F
=0
iz
∑M
Pz
=0
iz , s
=0
Py
Složky reakcí: a) Konzola složky reakcí: Rax, Ray, Raz, Mx, My, Mz b) Nosník na dvou podporách složky reakcí: Rax, Ray, Raz, Rbx, Rby, Rbz
Px
x y z
31
Výpočet nosníku v krutové úloze Zatížení nosníku kroutícím momentem Mx (momentem kolem osy x) Mxa
Mx3
Mx2
Mx1
Jedna vnější vazba – jediná složka reakce (nv = 1) z podmínky rovnováhy:
∑M
ix
= 0:
M x1 − M x 2 − M x 3 + M xa = 0 ⇒ M xa
a
b
b
Jediná složka vnitřních sil – kroutící moment T (torze).
T1 = − M x1 Kladný směr při pohledu proti kladnému smyslu osy x se snaží prut otáčet proti směru hodinových ručiček – pravidlo pravé ruky (proti-proti, levotočivé kroucení).
T2 = − M x1 − M x 2
T3 = − M x1 − M x 2 − M x 3
Podrobněji v předmětu Pružnost a plasticita 32
Okruhy problémů k ústní části zkoušky
1. Výpočet vnitřních sil nosníků zatížených spojitým zatížením 2. Řešení trojúhelníkového zatížení nosníku 3. Výpočet nosníku v krutové úloze 4. Výpočet nosníku v prostorové úloze
33
