ˇ Sumov´ a anal´ yza Josef Dobeˇs 26. z´aˇr´ı 2013
R´adiov´e obvody a zaˇr´ızen´ı 1
1
Fyzik´ aln´ı pˇr´ıˇ ciny ˇsumu a jeho typy
N´ahodn´y pohyb nosiˇc˚ u n´aboje (elektron˚ u a dˇer) v elektronick´ych prvc´ıch generuje napˇet´ı a proudy n´ahodnˇe se mˇen´ıc´ı v ˇcase. Amplituda tˇechto elektrick´ych sign´al˚ u nen´ı predikovateln´a v ˇcase. Nicm´enˇe spektr´aln´ı v´ykonovou hustotu definovat lze (v jednotk´ach W na Hz). Rozezn´av´ame tˇri z´akladn´ı typy ˇsumu: • Tepeln´y ˇsum (thermal noise) • V´ystˇrelov´y ˇsum (shot noise) • Blikav´y ˇsum (flicker noise)
2
1.1
Tepeln´ y ˇsum
Nejrozˇs´ıˇrenˇejˇs´ı typ ˇsumu zp˚ usoben´y teplotn´ımi vibracemi nosiˇc˚ u n´aboje. 2
vn '$ &%
Rezistor se ˇsumem
R
-
R Rezistor bez ˇsumu
Kaˇzd´y rezistor lze nahradit ide´aln´ım ( bezˇsumov´ym“) rezistorem s do” dateˇcn´ym napˇet’ov´ym zdrojem charakterizovan´ym vztahem v2n =
4hfR∆f , hf exp −1 kT
kde h je Planckova konstanta (6.546 × 10−34 J s), k je Boltzmanova konstanta (1.38 × 10−23 J/K), T je absolutn´ı teplota, ∆f je ˇs´ıˇrka p´asma, v kter´em ˇsum mˇeˇr´ıme a f je centr´aln´ı frekvence tohoto p´asma. 3
Pro kmitoˇcty menˇs´ı neˇz 100 GHz a pro teploty vˇetˇs´ı neˇz 10 K plat´ı pˇribliˇzn´a rovnost hf hf exp ≈1+ kT kT a tedy v2n ≈ 4kTR∆f.
1.1.1
ˇ Sumov´ y faktor, ˇsumov´ a teplota, ˇsumov´ eˇ c´ıslo
ˇ Sumov´ y faktor dvojbranu je definov´an pomˇerem pomˇeru sign´alu a ˇsumu na vstupu a pomˇeru sign´alu a ˇsumu na v´ystupu Si N F= i, So No Si So kde a reprezentuj´ı dosaˇziteln´e pomˇery v´ykon˚ u sign´alu a ˇsumu Ni No (obvod mus´ı b´yt pˇrizp˚ usoben´y z hlediska ˇsumu na vstupu i v´ystupu). 4
ˇ Sumov´ y faktor lze tak´e vyj´adˇrit pomˇerem F=
Celkov´y v´ystupn´ı ˇsum v ∆f pˇri teplotˇe vstupn´ıho zdroje 290 K V´ystupn´ı ˇsum bezˇsumov´eho“ zesilovaˇce pˇri teplotˇe zdroje 290 K ”
tj. F=
kT0 ∆fG + Pint , kT0 ∆fG
kde G je zes´ılen´ı (gain) dvojbranu, T0 = 290 K a Pint je v´ystupn´ı ˇsumov´y v´ykon, kter´y je generovan´y dvojbranem sam´ym Pint = k(F − 1)T0 ∆fG = kTe ∆fG. Te je ekvivalentn´ı ˇsumov´a teplota dvojbranu, kter´a je s ˇsumov´ym faktorem sv´az´ana jednoduch´ym vztahem Te = (F − 1)T0 . ˇ Sumov´ y faktor vyj´adˇren´y v decibelech se naz´yv´a ˇsumov´e ˇc´ıslo (noise figure) FdB = 10 log10 (F).
5
1.2
V´ ystˇrelov´ y ˇsum
Tento ˇsum je zp˚ usoben n´ahodn´ymi fluktuacemi nosiˇc˚ u n´aboje proch´azej´ıc´ıch potenci´alov´ymi bari´erami v elektronick´ych prvc´ıch – typick´ym pˇr´ıpadem je pr˚ uchod elektron˚ u a dˇer PN pˇrechodem. Spektr´aln´ı v´ykonov´a hustota proudu zp˚ usoben´eho v´ystˇrelov´ym ˇsumem je d´ana vztahem i2n = 2qI∆f, kde q je element´arn´ı n´aboj 1.602 × 10−19 C, ∆f je ˇs´ıˇrka p´asma a I je pr˚ umˇern´y“ proud (kter´y v d˚ usledku tohoto typu ˇsumu fluktuuje). ”
1.3
Blikav´ y ˇsum
Tento ˇsum je zp˚ usoben chaotick´ymi jevy v dynamice syst´emu, kter´e jsou napˇr. v polovodiˇcov´ych prvc´ıch zp˚ usobeny poruchami krystalick´e mˇr´ıˇze. Spektr´aln´ı v´ykonov´a hustota proudu zp˚ usoben´eho blikav´ym ˇsumem je d´ana vztahem i2n = kf
I af ∆f, f
kde kf a af jsou konstanty, jejichˇz hodnota se zjiˇst’uje mˇeˇren´ım a n´aslednou identifikac´ı parametr˚ u modelu. 6
2
Optimalizace ˇsumov´ eho ˇ c´ısla
Bˇeˇzn´e obvodov´e simul´atory nedok´aˇz´ı urˇcovat ˇsumov´e ˇc´ıslo dvojbranu pˇr´ımo. V pramenu1 je vˇsak uveden zp˚ usob, jak lze tento probl´em ˇ obej´ıt. Sumov´e ˇc´ıslo se urˇc´ı podle vztahu F=
v2n , G2 4kT0 R
FdB = 10 log F,
kde vn , G, k a R jsou spektr´aln´ı hustota v´ystupn´ıho ˇsumov´eho napˇet´ı, napˇet’ov´e zes´ılen´ı dvojbranu, Boltzmanova konstanta a vnitˇrn´ı odpor vstupn´ıho zdroje. Z´asadn´ı chybou vˇsak b´yv´a to, ˇze konstrukt´eˇri obvody ˇcasto nepˇrizp˚ usobuj´ı (spr´avnˇe vy mˇelo b´yt provedeno ˇsumov´e pˇrizp˚ usoben´ı, avˇsak i impedanˇcn´ı pˇrizp˚ usoben´ı ˇsumov´e ˇc´ıslo podstatnˇe zlepˇs´ı – viz n´asleduj´ıc´ı pˇr´ıklad).
1
Ortiz, Denig, Noise Figure Analysis Using Spice, Microwave Journal, April 1992.
7
V uveden´em pˇr´ıkladu reprezentuje rezistor R5 vnitˇrn´ı odpor zdroje, tj. jde o rezistanci R uvedenou v pˇredch´azej´ıc´ıch vztaz´ıch. Autoˇri pouˇzili vstupn´ı i zatˇeˇzovac´ı odpor ve standardn´ı hodnotˇe 50 Ω, coˇz (jak ukazuj´ı n´asleduj´ıc´ı v´ysledky) vede k pomˇernˇe velk´e chybˇe v urˇcen´ı ˇsumov´eho ˇc´ısla. R3/440
6 7
8
Rsource R5/20
C1/100p
βF ,rB ,τF
RB
βF ,rB ,τF Q2/QRF6E20
LE R4/0.6
9 R1/200
L1/0.8n
V8/DC(0),AC(1)
Q1/QRF6E20
Rload
RE
I7/DC(0),AC(resist(V7,V0,300)) V6/DC(5),AC(0)
C2/10p
R2/4k
(Proudov´y zdroj je cestou, jak vytvoˇrit bezˇsumov´y“ rezistor z´atˇeˇze.) ” 8
Moˇzn´a zlepˇsen´ı v´ypoˇctu ˇsumov´eho ˇc´ısla: 1. Pˇrizp˚ usoben´ı na vstupu a v´ystupu 2. Zmˇena obvodov´ych parametr˚ u po citlivostn´ı anal´yze
3 2.8 2.6
FdB n (dB)
2.4 Unmatched
2.2 Matched
2 1.8
Updated
0.6
0.8
1
f (GHz)
9
1.2
1.4
2.1
Impedanˇ cn´ı pˇrizp˚ usoben´ı 299
10
300
Zout
0
−10
1.06
200
−9.32
150 100
−20
|Zinp,out | (Ω)
arg (Zinp,out ) (◦ )
250
50
Zinp 20.2
0.6
0.8
1
1.2
1.4
f (GHz) Protoˇze ˇsumov´e ˇc´ıslo je nejvˇetˇs´ım probl´emem pro 1.5 GHz, pouˇzijeme impedanˇcn´ı pˇrizp˚ usoben´ı pro tuto frekvenci. 10
2.2
Citlivostn´ı anal´ yza 0.0122
(∂FdB n /∂p)(p/100) (dB), p ∈ {βF ,rB ,RB ,RE ,LE ,τF }
0.012 0.01 0.008
∂ ∂τ F
0.006 0.004
∂ ∂r B
0.002
∂ ∂R E
∂ ∂L E
0
−0.002
∂ ∂β F
∂ ∂R B
0.6
0.8
1
1.2
1.4
f (GHz) Pr˚ uletov´a doba τF byla 28 ps. Pˇri pouˇzit´ı pokroˇcilejˇs´ı technologie je moˇzn´e pouˇz´ıt tranzistory s pr˚ uletovou dobou τF = 21 ps (tj. −25 %). 11
3
Kask´ adn´ı ˇrazen´ı dvojbran˚ u
V pˇr´ıpadˇe kask´adn´ıho ˇrazen´ı dvojbran˚ u se ziskem G1 , G2 , . . . a ekvivalentn´ımi ˇsumov´ymi teplotami Te1 , Te2 , . . . je v´ysledn´a ˇsumov´a teplota kask´ady urˇcena vztahem Te = Te1 +
Te3 Te2 + + ··· G1 G1 G2
Obdobn´y vztah plat´ı pro kask´adn´ı ˇrazen´ı dvojbran˚ u se ziskem G1 , G2 , . . . a ˇsumov´ymi faktory F1 , F2 , . . . – v´ysledn´y ˇsumov´y faktor je urˇcen vztahem F = F1 +
F2 − 1 F3 − 1 + + ··· G1 G1 G2
12
