Vydava Ceskoslovenska akademie ved a Statni ko1Dise pro vedeckotechnicki a investicni rozvoj
3
87 nakladatelsni literatnry
technick~
cena IO Kelii>
Paradoxy
tepel~e
vodivosti v polovodicich
Na aktudlnost zkoumdni pfenosu tepla v polovodicich a s nim spojenych termoelektrickych a termomagnetickych jevu poukdzal jiz Joffe. I nyni jsou tyto jevy stfedem zvyseneho zdjmu. S jejich pomoci se aktivne zkoumaji vlastnosti polovodicovych materidlu ( v tom zacinaji uspeSne konkurovat galvanomagnetickym jevum, ktere vznikaji pfi pruchodu elektrickeho proudu polovodicem umistenym v magnetickem poli) a na jejich principu jsou zalozeny termoelektricke generdtory, ktere bezprostfedne pfevddeji tepelnou energii na elektrickou. 1 Pfevdznd vetsina soucasnych elektronickych pfistroju a zafizeni je pfi prdci vystavena silnym vnejsim vlivum, coz je doprovdzeno uvolnovdnim tepla, ktere je nutne efektivne odvest. I zde je vyber sprdvnych pracovnich rezimu a geometrickych tvaru vzorku urcen zdkony pfenosu tepla. Tepelnd vodivost se zkoumd jiz tak dlouhou dobu, ze stereotypy, ktere se vytvofily v prubehu desetileti, casto neddvaji pfileiitost zamyslet se nad tim, do jake miry obvykle pouzivane modely odpovidaji redlne situaci. Zkoumdni provedend v poslednich letech VSak ukazuji, ze mnohe ze zdkladnich pfedstav teorie tepelne vodivosti jsou v pfipade polovodicu bud zcela nesprdvne, nebo maji omezenou oblast pouziti.
Korektne zkonstruovana teorie obvykle nejenom kvantitativne upresnuje jiz drive zname jevy, ale take pfedpovida principialne nove, ktere jiz nasly (nebo teprve nafdou) pouziti v technice. Tak diky nove teorii tepelne vodivosti se podafilo najit cesty zvyseni efektivnosti termogeneratoru a fotoelektrickych menicu. Krome toho se tato teorie stala neodmyslitelnou soucasti noveho smeru ve fyzice polovodicu, ktery byl zformulovan v poslednich tfech desetiletich a ziskal nazev ,,horke elektrony" 2 • Na jeho zaklade byly vy-
1 Podstata siroke tfidy termoelektrickych jevu tkvi v tom, ze pri prenosu tepla v polovodicich vznikaji ruzna elektricka pole. Termomagneticke jevy se projevuji jako dodateena elektricka a teplotni pole, ktera se objevi ve vzorku vlivem pusobeni vnejsiho magnetickeho pole [1]. Jestlize pHCinou vzniku elektrickych a teplotnich poli neni tepelny tok ve vzorku, ale elektricky proud, hovori se o galvanomagnetickych jevech [2]. 2 Tak se obrazne nazyva situace, ktera vznikne v polovodicich, kdyz jimi proteka silny elektricky proud. v nekterych pfipadech se Jouleovo teplo, ktere elektricke pole predava elektronum, nemuze efektivne absorbovat v krystalove mfizi a v dusledku toho bude energie elektronu vetsi nez energie krystalove mfize. Samotny polovodic pfitom zustava ,,chladny", ale elektrony jsou ,,horke" [3J.
pracovany soucasne metody generace a zesilovani elektromagnetickych vln a take nemalo zafizeni polovodieove mikroelektroniky. Dfive nd pfejdeme k rykladu novych pfedstav o tepelne vodivosti, pripomenme kratce dHvejsi teorii.
TRADICN! TEORIE TEPELNE VODIVOSTI A TERMOMAGNETICKYCH JEVU Vezmeme polovodieov:Y vzorek, ktery ma napfiklad tvar protahleho pravouhleho rovnobefoostenu 3, a vytvorme v nem spad teploty ~ T podel osy X, kolme ke stenam x = a a x = -a. Ve vzorku vznika tepelny tok Q ve smeru od tepleho konce s teplotou T 1 k chladnemu s teplotou T2. Jestlize je vzorek homogenni a jeho delka je dostateene velika, je pfirozene pfedpokladat, ze T(x) = (T1
+ T2)/2 -
~T.
x/2a, ~T = T1 -
T2,
coz znamena, ze zmena teploty je ve vsech bodech s Pro urcitost pi'edpokladejme, ze delka tohoto rovnobefoostenu je mnohem vetsi nez sifka a vyska, to znamena, ze budeme zatim zkoumat v podstate jednorozmernou ulohu. Tento pl'edpoklad je ovsem pro da!Si diskusi zcela nepodstatny. Wda a technika v SSSR. 15. 1987.
c. '.l
143
stejna a urcuje se pouze hodnotami teplot na protilehlych stenach vzorku. V tomto pfipade se fika, ze je zadan vnejsi gradient teploty dT/dx = -C...T/2a nezavisly na soufadnicich. V kazdem bode x je tok tepla funerny tomuto gradientu a znamenko konstanty funernosti (koeficientu tepelne vodivosti latky x)
T
__..
je urceno smerem Q od tepleho konce k chladnemu. Jestlize je znam vnejsi gradient teploty, potom celkovy tok tepla podel osy X je roven Qx = x. T/2a, a uloha o vedeni tepla se redukujena vypocet koeficientu tepelne vodivosti. To vsak neni jednoducha uloha, protoze x se na mikroskopicke urovni ureuje z charakteru srazek nosicu tepla na ruznych rozptylovych centrech. V polovodicich je pfenos tepla zprostredkovan hlavne elektrony a kmity krystalove mriZe. Ve fyzice pevnych latek je vyhodnejsi zkoumat kvazicastice, coz jsou napfiklad vodivostni. elektrony a diry, kterymi se popisuje pohyb elektronu, a fonony, odpovidajici kmitil.m krystalove mfize [4]. Vodivostni elektrony (pro strucnost dale nazyvane proste elektrony) maji jednotkovy zaporny naboj, diry maji stejne velky kladny naboj a fonony jsou elektricky neutralni. Protoze se na pfenosu tepla ucastni take nabite castice, na protilehlych koncich vzorku se vytvaH nadbytek naboju ruzneho znamenka. Jestlize je v polovodici mnohem vice elektronu nez der, nazyva se elektronovy (typ N) a diry v nem obvykle nehraji zvlastni roli. V takovem pfipade se na chladnem konci hromadi elektrony. Teply konec se tudiz nabiji kladne a ve vzorku tak vznika elektricke pole, ktere vytvaH tok elektronu od chladneho konce k teplemu a vyrovnava tak pocatecni proud4. Ve stacionarnim stavu tak ve vzorku existuje nenulove termoelektricke pole Ex, ale rysled:ny elektricky proud j x je nulovy. Kdyby se vsechny elektrony v polovodici pohybovaly stejnou rychlosti, pak v pfipade nuloveho elektrickeho proudu (nulova stfedni rychlost elektronu podel osy X) by odpovidajici cast tepelneho proudu Q~ spojeneho s pohybem elektronu byla take nulova. Protoze vsak existuje rozptyl v rychlostech elektronu, je Q~ obecne nenulove i pri nulovem j x. Tepelny tok je tudiz podminen nejenom gradientem teploty, ale i vznikajicim (nebo z venku pfilozenym) elektrickym polem. Je slozen ze dvou casti: Qx = Q~ + Q~, kde · Q~ = - X e . dT/dx - MTEx je elektronovy tepelny tok a
QZ=
-
xp .
dT/dx
je tepelny tok pfenaseny nenabicymi fonony. Zde X e a x p znamenaji koeficienty elektronove a fononove
4
V derovem polovodici (typ P) ma toto pole opacny smer.
a
-a
a X
Obr. 1. Rozdeleni teploty T (x) v polovodieovem vzorku typu N, jehoz konce (se soufadnicemi x = - a, x = a) jsou udrzovany na teplotach T i a T 2. Sipkou je naznacen smer tepelneho toku Q x a termoelektrickeho pole E x. V klasicke teorii tepelne vodivosti se pfedpoklada, ze jestlize jsou teploty protilehlych sten homogenniho vzorku pevne, uvnitf vzorku se T meni linearne
tepelne vodivosti souvisejici s pohybem elektronu a fononu ( x = X e + xp ), a je elektricka vodivost rovna pfevracene hodnote merneho odporu a ('/. je tzv. diferencialni termoelektricka sila. Analogicky jako tepelny tok, i elektricky proud je v obecnem pfipade urcen nejen elektrickym polem, ale i gradientem teploty dT/dx:
j x = aEx
+ MdT/dx.
J e prirozene pfedpokladat, ze v homogennich vzorcich jsou veliciny j x a Qx nezavisle na soufadnicich. V pfipade, ze proud neproteka stenami vzorku, je jx = 0 ve vsech bodech uvnitr vzorku. Z teto podminky lze snadno zjistit velikost termoelektrickeho napeti
Ux =
-
(J..
dT/dx = ('/. . C...T/2a,
ktere take nezavisi na soufadnicich. Vznik pole Ex ma za nasledek vznik rozdilu potencialu - termosily, coz je projev jednoho z mnoha termoelektrickych jevu, na jehoz principu je zalozena cinnost termoelektrickych generatoru. Vyse uvedene uvahy se stejnou merou vztahuji jak na polovodice, tak i na kovy. V kovech je ovsem koeficient ('/. zanedbatelne maly, a proto se termoelektricke a termomagneticke jevy studuji prave v polovodicich5. Jestlize na zkoumany vzorek budenie pusobit vnejsim statickym magnetickym polem H (pro urcitost predpokladejme, ze je orientovano ve smeru osy Y), potom vznika fada termomagnetickych jeVU., mezi nimiz lze odlisit jevy izotermicke a adiabaticke.
s Ze stejneho duvodu v kovech vzdy plati klasicka teorie tepelne vodivosti, zatimco pro polovodice je ji nutne podstatne zmenit.
_-
~
·-·-e jery lze pozorovat, jsou-li boeni steny dokonale tepelne izolovany, jinak feceno, po. je na techto stenach tepelny tok Qy a Qz nulovy. Protoze v homogennim vzorku tok tepla neni funkci oufadnic, jsou v tomto pfipade slozky tepelneho toku ' e smeru os Y a Z nulove v8ude. Ovsem elektrony pohybujici se podel osy X _jsou odklaneny v magnetic-
z
kem poli i tehdy, pokud elektricke pole Ea elektricky tok j jsou na stenach (a tudiz i v libovolnem bode vzorku) rovny nu1e. Pfitom elektrony pohybujici se od tepleho konce jsou odklaneny k jedne Stene (fekneme, ze je to stena z = c) a nositele proudu pohybujici se smerem od chladneho konce jsou odklaneny k opaene stene (z = - c). V dusledku toho se jedna stena zahfiva, zatimco druha stena se ochlazuje, coz znamena, ze se vytvafi gradient teploty podel osy Z. Tento termomagneticky jev se nazyva Righiuv-Leducuv jev. Protoze se liSi ry.chlosti nositelu naboje pohybujicich se od tepleho a od chladneho konce, lisi se take mnozstvi nositelu naboje odklonenych magnetickym polem za jednotku easu k temto stenam a mezi stenami z = c a z = - c tak vznika elektricke pole Ez. Tento jev se nazyva pfieny Nernstuv-Ettingshausenuv jev. Charakter pohybu elektronu podel osy X v magnetickem poli a bez neho se lisi. Proto se v magnetickem poli meni jak elektronovy tepelny tok Q~, tak i termoelektricke pole Ex. Zmena Q~ odpovida zmene elektronove tepelne vodivosti xe (Maggiuv - Righiuv Leducuv jev). Zmena Ex pfedstavuje podstatu tak zvaneho podelneho Nernstova-Ettingshausenova ievu. Izotermicke termomagneticke jevy nastavaji v pfipade dokonale v:Ymeny tepla mezi bocnimi stenami vzorku a okolnim prostfedim (termostatem). V tomto pfipad~ je na stenach y = b a y = -b nulov:Y gradient teploty dT/dy a na tenach y = c a y = - c je nu1ov:Y gradient dT/dz. Vzhledem k tomu, ze gradienty nezaviseji na soufadnicich, je tato podminka splnena v celem homogennim vzorku. Je tedy z definice zfejme, ze izotermicky Righiuv-Leducuv jev je nulovy. Ostatni termomagneticke jevy sice nevymizi, ale samozfejme se budou lisit od odpovidajicich adiabatickych jevu. V takto zformulovanem pfistupu se urceni velikosti vsech termomagnetickych jevu redukuje na feseni algebraicke soustavy rovnic jx = jy = jz = 0, Qy = = Qz = 0 pro adiabaticke podminky ajx = jy = jz = = O, dT/dy = dT/dz = 0 pro izotermicke podminky. Pfitom se zajem tradieni (,,klasicke") teorie tepelne vodivosti a termomagnetickych jevu pfenasi na urceni ruznych kinetickych koeficientu (et., a, xe, xp, atd.). Az dosud jsme zanedbali zavislost kinetickych koeficientu na soufadnicich a teplote. J e zfejme, ze v homogennim vzorku neexistuje explicitni zavislost na soufadnicich, ale tepelna zavislost je mofoa. Protoze
Obr. 2. PfiCina vzniku termomagnetickych jevu. Jestlize je teplota Ti steny x = - a vetsi nez teplota T2 steny x =a, pak v magnetickem poli H, jez ma smer osy Y, jsou elektrony pohybujici se od tepleho konce a majici tudiz vetsi energii (horke elektrony) odklaneny ke stene z = c, a elektrony, ktere se pohybuji od chladneho konce (chladne elektrony) jsou odklaneny ke stene z = - c. Pritom se vrchni stena vzorku zahfiva, zatimco spodni stena se ochlazuje (termomagneticky Righiuv-Leducuv jev). Protoze rychlost elektronu zavisi na jejich energii a sila, jez zpusobuje jejich odklon v magnetickem poli zavisi na rychlosti, jsou uhly odklonu horkych a chladnych elektronu ruzne, v dusledku cehoz se u vrchni a spodni steny hromadi ruzne mnozstvi elektronu, a tak mezi temito stenami vznika potencialovy rozdil (pricny termomagneticky Nernstfiv-Ettingshausenuv jev)
gradient teploty je konstantni, je teplota T(r) linearni funkci soufadnic a vsechny kineticke koeficienty v libovolnem bode r v klasicke teorii pres teplotu implicitne zaviseji na soufadnicich, coz odporuje pfedpokladu, ze pole (E, dT/dr) a proudy (j, Q) jsou konstantni. Aby se tento spor odstranil, obvykle se pfedpoklada, .Ze gradient teploty je maly (b.T ~ Ti, T2). Potom i ostatni gradienty budou male. V tomto pfipade je moZile pfedpokladat, ze dynamicke koeficienty jsou urceny stfedni teplotou vzorku T* = (T1 + T2)/2. Timto zpusobem se pfi klasickem pfistupu explicitne nebo mlcky delaji tyto zakladni pfedpoklady: - kazdy bod vzorku je charakterizovan svoji teplotou T; Obr. 3. Obvykle geometricke usporadani experimentu pri pozorovani termoelektrickych a termomagnetickych jevu. Sterry x = - a ax = a jsou udrfovany na teplotach Ti a T2; vnejsi magneticke pole ma smer osy Y. Meri se rozdil potencialu mezi stenami x = =•-a ax =·a, z = -ca z = c, a take teplotni rozdil na stenach Ii .. -· z = - ca z = c
y
Veda a technika v
SSSR, 15, 1987, c. 3
145
T
I
T
I
I
I I
T1
I
I
Te
I
\
-+----
'
Tp
-----~... Te
T1
\ I
I ''
I '
I '
T2
-a -a
L I
0
I L
a X
0 L
-----+I I
Tp \
Te
a
x
IL
Obr. 4. Prubeh elektronove (Te) a fononove (T p) teploty v masivnfm polovodieovem vzorku. Podle klasicke teorie by platilo Te = = T P ve vsech bodech vzorku, a spolecna teplota by byla linearni funkd soufadnic (pfimka). Podle dvouteplotni teorie jsou v povrchove vrstve tloustky L teploty Te a T p ruzne, pri cemz na stenach x = - a resp. x = a neni ani jedna z nich rovna teplote T1 resp. T2. Uvniti' krystalu se teploty Te a Tp shoduji, ale jejich gradient (sklon) se lisi od hodnoty pi'edpovidane klasickou teorii
Obr. 5. Prubeh teploty T(x) pro pfipad velke povrchove a male objemove tepelne vodivosti. Protoze teplomery mei'i teplotu krystalove mi'izky (plna cara), teplomerem se v tomto pi'ipade nezjisti zadna zmena teploty uvniti' vzorku. Soueasne vsak bude termoelektricke pole velikc, protoze to je spjato se spadem elektronove teploty (teckovana cara)
- tato teplota je linearni funkci soufadnic, takze pole
A prave s ni je obvykle spojovana mofoost existence teploty spoleene pro vsechny subsystemy, ktera se nazyva teplota vzorku T. Vskutku, pfi libovolne slabe energeticke interakci musi existovat charakteristicka delka L (primo funerna tepelne vodivosti a neprimo umerna rychlosti vymeny energie), na niZ se vyrovnaji teploty obou podsystemu. 6 Tato delka se obvykle nazyva delka chlazeni. J estlize se proto v nejakem miste vzorku z nejakych duvodu liSi teploty elektronu a fononu, pak ve vzdalenosti L od neho by se mela ustavit spoleena teplota. Zdrojem nesouhlasu teplot v ruznych podsysteinech muZe byt povrch vzorku. Jak bylo teoretiky ukazano a experimentalne potvrzeno, tepelna vymena mezi termostatem, v nemz je vzorek umisten, a jednotlivymi podsystemy kvazicastic (elektrony a fonony) probiha nezavisle alze ji charakterizovat koneenou povrchovou tepelnou v~di~osti fJe a fJP· Jestlize fJe =!= fJp, pak elektrony a fonony ziskavaji nebo odevzdavaji termostatu ruzne mnozstvi energie a v povrchove vrstve tlousiky radove L jsou jejich teploty ruzne (diky tomu, ze fJe a fJp jsou koneene, Te a T P nejsou rovny teplote termostatu na vnejsim povrchu vzorku). Pro oblast vzdalenou od povrchu o vice nd L by se zdalo, ze je mofoe zavest teplotu spoleenou pro vsechny kvazicastice T = Te= Tp. Pro prevafoou vetsinu polovodicu I0-3 cm. J e proto mofoe predpokladat, ze poje L kud jsou rozmery vzorku mnohem vetsi nez L (tato podminka je bohate splnena jiZ pro vzorky milimetrovych rozmeru), pak tenka povrchova vrstva nemuze mit
(E, dT/dr) a proudy (j, Q) jsou konstantni;
- gradient teploty dT/dr je maly.
POLOVODICOVE VZORKY KONECNYCH ROZMERO Do jake miry tyto predpoklady odpovidaji realne situaci? Zdalo by se, ze o spravnosti prvniho predpokladu neni pochyb. Uvedomme si vfak, co to vlastne je polovodic z hlediska prenosu tepla. Jak jiz bylo receno, teplo se v pevne latce prenasi ruznymi casticemi: elektrony, derami, fonony atp. Kazdy podsystem kvazicastic je v libovolnem bode charakterizovan urcitou vlastni tepelnou vodivosti a za urcitych podminek i vlastni teplotou. Abychom pochopili toto tvrzeni, predstavme si dve nadoby, z nichz kazda obsahuje dostatecne zredeny plyn urciteho typu, vfrazne se lisici hmotnostmi molekul a teplotou. Smichame-li tyto plyny, pak vzhledem k jejich zredeni jsou srazky mezi molekulami fidke a teploty obou plynu se vyrovnaji az za dlouhy (v limite nekonecny) eas. Proto velmi dlouhou dobu b~de kazdY plyn charakterizovan jinou teplotou. Podobne jako v uvedenem prikladu, tak i v polovodici typu N existuji dva podsystemy kvazicastic elektrony s tepelnou: vodivosti Xe a teplotou Te a fonony charakterizovane tepelnou vodivosti xp a teplotou T P· Pro versinu polovodicu je Xp mnohonasobne (10-IOOOkrat) versi nez xe. Jelikoz pfi srazce elektronu s fononem dochazi nejen k vymene impulsu, ale i energie, fikame, ze mezi dvema podsystemy kvazicastic existuje energeticka interakce.
146
Veda a technika v SSSR, 15, 1987,
c. 3
=
6 Jak bude ukazano nize, dokonce i tyto zi'ejme uvahy jsou easto nespravne.
masimii
~s::;::~-::e""
z
em:m nci 10 ~ cm), .,~~......,...,klad. OvSem, jak • .c _ · ·en tenkjch povrcho-
meni principialne masirn.iho vzorku7. rrchu, kde T e =l= T p, ry lincirni funkci sou.fad\ k.aZdem z podsystemu • . T 11 dr) je urcen hodnotami 'f/e y-: •• o podsystemu a jeji derivace je ufadnic I've vsech bodech uvnitf rake druhy pfedpoklad klasicke teorie ....,.., ......uc..:u·,
a X
-a
-~·-- ,.,--- ~....'
u dva diildite dusledky. - ie porrchove vrstve nejsou gradienty teplot :r-f, ·sou v teto vrstve take elektricka pole, _ _ a elektricky proud funkcemi soufadnic. ' -~-~~ -oho nemuseji byt elektricky a tepelny tok r-r,..-_,..,.~nulove ani v pfipade, kdy stenou zadny Nalezeni velikosti termomagnetickych y neredukuje na feseni algebraickych rov-
:Sci:
... ._._..__"-"'·- toky pfenasene v objemu vzorku elektrony :r: e vytvareji zvlaste v povrchotjch vrstvach, eplotni profil uvnitf vzorku, kde existuje spo. · -eplota, zavisi na velicinach 'f/e a 'f/ p a take na :- •· ~ u teplot Tea T P v povrchove vrstve. Timto zpuna rozdil od klasicke teorie, nelze teplotni y apriorne zadat. · ejme se napfiklad na hypoteticky pfipad, kdy 11 > Y.e a 'f/p ~ 'f/e · V tomto pfipade je pfestup tepla - • soueasnosti se v elektronickych apararurach easto pouzivaji -,oj,m-om·eove prvky o tloustce mensi nez 10- 3 cm, v nichz v celem · "emu plati T e # T P ·
ff . 6. Z:lvislost intenzity E z pi'icneho termoelektrickeho Nerns= -Erringsbausenova pole na magnetickem poli H podle klasicke :a c eplotni teorie (plna a teckovana cara). Protoze se v magne. ckem poli na jedne stem! hromadi horke a na protilehle stene c±Jadne elektrony, budou se v povrchovych vrstvach tloustky L blizkosti techto sten lisit teploty elektronu a fononu. Proto ' rechto vrstvach vznikaji termoelektricka pole orientovana podel osy Z, ktera se skladaji s klasick:Ym Nernstov:Ym-Ettingshauseno.-ym polem
H
z
-a
a X
-c
0H
Obr. 7. Vifive proudy v polovodifovem vzorku ve slabem (nahofe) a silnem (dole) magnetickem poli. V povrchovych vrstvach tloustky tadove L je elektronova teplota T e nelinearni funkci soufadnic. Z tohoto duvodu pfestavaji byt x- a y-ove slozky proudu a tepelnych toku konstantni a jakoby se ,,staceji", cimz vznikaji vifive proudy a tepelne toky
do vzorku zprostfedkovan hlavne elektrony, ktere maji velkou povrchovou a malou objemovou tepelnou vodivost. Proto v povrchove vrstve bude velky gradient elektronove teploty a ona sama bude mit na stenach x = a a x =-a hodnoty blizke teplotam Ti a Tz . Fonony v povrchove vrstve prakticky neziskivaji teplo ani od termostatu (dusledek male hodnoty 'fJp) ani od elektronu (v delce L elektrony nestaci pfedat vyznamnejsi mnozstvi energie fononum), takze u sten bude gradient fononove teploty temer nulotj. Naopak uvnitr vzorku je teplo pfenaseno hlavne fonony, jez maji velky koeficient objemove tepelne vodivosti, a proto bude gradient spoleene teploty maly. Je nutne zduraznit, ze uvnitf vzorku, kde pro oba typy kvazicastic existuje spoleena teplota, jejiz gradient je konstantni, je tento gradient blizky nule a ne hodnote fi.T/2a jako je tomu v klasicke teorii. V polovodici, kde xe)> xp a 'f/ e~ 'f/p,si kfivky T e(x) a T p(x) vymeni ulohy. Protoze se obvyklymi metodami mefi teplota krystalove mfize (fononu) a nikoli elektronu, podafi se prakticky namefit spad teploty blizky fi.T soustfedeny do povrchotjch vrstev. Teplota elektronu Te bude konstantni : T e(x) = T*, coz se projevi nepi'itomnosti termoelektrickeho pole . Ex, ktere, jak jsme videli, je 'spjato vyluene s '.gradientem elektronove teploty. ' Tfeti postulat klasicke teorie nevyvolava zadne namitky, nebot jeho platnost je podrninena malou hodnotou veliciny fi.T ve srovnani s Ti a Tz, coz je otazka vnejsich podminek. A tak v obecnem pfipade nelze hovofit o konstantnim gradientu teploty ve vsech bodech vzorku spolecVc!da a technika v SSSR, 15, 1987, c, 3
147
T
-a
0
a
X
Obr. 8. Zavislost teplot Te a T P na soufadnici xv polovodieovem vzorku vpodminkach silneho elektron-fononoveho strhavani. Zavislost Te je znazornena ki'ivkou 1, pokud frekvence elektron-fononovych srazek roste s rustem energie; ki'ivka 2 plati, pokud ta to frekvence klesa. Termoelektricke pole E x, umerne rozdilu elektronovych tepl~t na protilehlych stenach vzorku, byva priblifoe tisickrat vetsi nez v pl'ipade, ze nenastava strhavani elektronu, kdy Ex je umerne Ti - T2
nem vsem podsystemfun kvazicastic a zadanem vnejsimi podminkami. V souvislosti s tim vznika otazka, jakym zpusobem se ma spravne formulovat uloha o vedeni tepla v polovodicich a kdy je mofae pouzit vysledky klasicke teorie.
PRENOS TEJ?LA VE VZORCiCH KONECNYCH ROZMERU
z uvah predchoziho odstavce vyplyva, .Ze nelze predem zadat rozlozeni teplot elektronu a fononu v objemu vzorku, ale je ho treba odvodit s pfihlednutim k povrchovym a objemovym tepelnym vodivostem kazdeho podsystemu, a intenzite vymeny energie mezi nimi. Na toto rozdeleni ma znacny vliv rozdeleni teplot v okolnim prostredi (termostatu) a take intenzita elektrickeho pole vznikajiciho ve vzorku, ktera musi byt take (selfkonzistentne) urcena ve shode s prubehy teplot v zavislosti na tom, jsou-li spojeny ci rozpojeny proudove kontakty v tom kterem vzorku [6]. Elektricke pole a prubeh teplot ve vzorku (a samozrejme take termoelektricke a termomagneticke jevy) jsou popisovany jednak Maxwellorymi rovnicemi, jednak rovnicemi energeticke rovnovahy elektronoveho a fononoveho podsystemu s pfihlednutim k jejich tepelne a elektricke vodivosti a rymene energie mezi temito podsystemy. Okrajove podminky pro tyto rovnice jsou podminky kladene na elektricky a tepelny tok v jednotlirych podsystemech na povrchu vzorku, obsahujici informaci o povrchorych teplotnich vodivostech a o prubehu rozdeleni teplot v termostatu. Pres zdanlivou jednoduchost uvedenych rovnic je
jejich reseni v obecnem pHpade znaene obtifae. Proto budeme diskutovat znaene idealizovany model, v nemz se jiz projevi principialni rozdily popsaneho postupu od klasicke teorie. . Predpokladejme, .Ze vzorek,)ehoz dva protilehle konce jsou udrfovany na teplotach T 1, T 2 ma vsechny bocni steny tepelne izolovane (adiabatienost) a ze vsechny proudove kontakty jsou rozpojeny. V tomto pHpa.de teploty Te a T P zaviseji jen na jedine soufadnici. Polo.Zme si otazku: za jakych podminek bude gradient spoleene teploty roven !1T/2a tj., kdy je mozne hovofit 0 zadanem gradientu teploty? Poznamenejme nejprve, .Ze jestlize v objemu vzorku je gradient teploty roven !1T/2a, pak i v povrchove vrstve se museji teploty Te a Tp shodovat a museji mit stejny gradient. Je pochopitelne, .Ze v tomto pHpade se bude vzorek chovat (ve smyslu prenosu tepla) jako neohranicene prostfedi. Proto odpovecf na zadanou otazku bude te.Z odpovedi na otazku, jak velike vzorky se mohou v Uloze tepelne vodivosti povafovat za neohranicene. Tradicni odpovedi na podobne otazky v nejruznejsich oborech fyziky je tvrzeni, ze rozmery vzorku museji byt mnohem vetsi ne.Z jista charakteristicka delka urcena vlastnostmi latky, z niz je vzorek vyroben, nezavisla na podminkach experimentu. V Ulohach o tepelne vodivosti existuje takova delka L * = ("e
+ "p)/{[17; + ("e/L)-l]-l + [17; + 1
1
+ ("p/L)-1] -1}; ta vfak je urcena nejen vlastnostmi latky, z niz je vzorek vyroben, ale i charakteristikou jeho povrchu. Je-li "P ~ "e' 17P ~ 17e, pak gradient teploty uvnitr vzorku je roven 11T/2a, pokud a ~ L 10-3 cm. Jestli.Ze je jako drive i<:p ~ "e' ale 17P ~ 17e, potom se tento re.Zim dosahne, pokud a ~ L. "Pf"e 1 cm, tj. ve vzorcich delky okolo 10 cm. Ovsem to, .Ze L * zavisi nejen na vlastnostech materialu, ale take na vlastnostech povrchu, znamena, .Ze definice neohraniceneho vzorku zavisi na charakteristice jeho povrchu, jinak receno, v teorii tepelne vodivosti ztraci pojem neohraniceneho prostredi smysl. 8 S pojmem izotermickych a adiabatickych okrajovych podminek na bocnich stenach a izotermickymi a adiabatickymi jevy je spojena jeste jedna principialni otazka. V klasicke teorii adiabaticke okrajove podminky podminuji adiabaticke jevy a izotermicke okrajove podminky zase izotermicke jevy s pfenosem tepla uvnitr vzorku. Ve skuteenosti se v povrchove vrstve teploty Te a T P neshoduji, a jejich zavislost na soufadnicich je nelinearni. Splneni adiabatickych ci izotermickych podminek na rozhrani proto vii.bee neznamena, .Ze tyte.Z
=
=
s Na tento fakt bylo poprve poukazano v praci [7].
,_._..__--"..: · dou splneny i uvnitr vzorku. Krome toho, .;em tomu, ze polovodic typu N je slozen ze _ podsystemu kvazicastic, mohou byt pro jeden z nich (napr. pro elektrony) splneny adiabaticke podminky, a pro druhy (fonony) zase izotermicke. Ve skueeno ti se navic nikdy nerealizuje ani uplna tepelna izolace ani idcilni tepelna vymena. Proto je zajimave zjistit, za jakych podminek rozdeeni teplot v termostatu (na vnejsi strane sten vzorku) nem·limuje teploty elektronu a fononu ve vzorku, tj. kdy e realizuji adiabaticke okrajove podminky a adiaba. e jevy, kdy toto rozdeleni ureuje prubeh elektrono\ e a fononove teploty pouze na bocnich stenach (izotermicke okrajove podminky), nebo ve vsech bodech \ZOrku (izotermicke podminky a izotermicke jevy). Analogicke otazky jsou zajimave a dulezite i vzhledem ke kaZdemu podsystemu zvlasi. Vysvetleny pfistup umoziiuje odpovedet na vsechny tyto otazky. Ukazalo se napfiklad, ze adiabaticke termomagneticke jevy mohou existovat ve vzorcich s rozmery desitek centimetru podel osy Z a nekolik metru podel osy X (coz je, ovsem, nerealne). Izotermicke jevy jsou podmineny dobrou tepelnou vymenou mezi termostatem a elektronov:Ym podsystemem ('Y/e je velke) a nezavisi na tepelnem kontaktu s fonony. Toto tvrzeni bude pochopitelnejsi, pfipomeneme-li si, ze magneticke pole ovliviiuje pouze pohyb nabitych castic (elektronu) a teplota fononu muze tedy zaviset na pfienych soufadnicich pouze diky interakci s elektrony. Obvykle se termomagneticke jevy neredukuji ani na izotermicke, ani na adiabaticke. Tak, jestlize ma vzorek tvar vrstvy ldici v rovineXY,jejiz tlousika je pfiblifoe I0 -3 cm (obvykla situace v soueasne elektronice), pak spad elektronove teploty podel osy Z je pfiblifoe tisickrat vetsi nez hodnota odpovidajici klasicke teorii (Righiuv-Leducuv jev). Naproti tomu ve fononovem podsystemu takoryto spad teploty zcela chybi. Odlifoosti se stanou zvlasi v:Yrazne, prejdeme-li k elektrickym polim vznikajicim v magnetickych polich, ktera podmiiiuji siroke vyuziti termomagnetickych jevu ve vede a technice. Podle zavedenych klasickych pfedstav je elektricke pole vznikajici podel osy Z v pficnem NernstoveEttingshausenove jevu lichou funkci magnetickeho pole (zmena polarity magnetickeho pole H ma za nasledek zmenu polarity Ez), v slabych magnetickych polich jeho intenzita roste s rustem Ha v silnych polich klesa na nulu. Ve skuteenosti se vsak Righiuv-Leducuv jev znaene lisi od klasickeho, a termoelektricke pole Ez ureovane prubehem elektronove teploty Te(z) prestane v silnych magnetickych polich zaviset na H, tj. znaene pferysi Nernstovo-Ettingshausenovo pole z klasicke teorie. Podelny Nernstuv-Ettingshausenuv jev je podle klasicke teorie sudy vuci magnetickemu poli. Z vyse uvedenych uvah je vsak pochopitelne,
ze existence magnetickeho pole ma za nasledek nejen vznik dTe/dz, ale i zmenu dTe/d.x, ktere vytvareji termoelektricke pole Ex % svazane s dTe/d.x), jez je liche vi'lci H. J estlize, jako v klasicke teorii, jsou vsechny pole a gradienty teplot nezavisle na soufadnicich, pak rozpojeni proudovych kontaktu na stenach vede k tomu, ze elektricky tok je nulovy i v kazdem bode uvnitr vzorku. Jestlize se vsak teploty Te a Tp neshoduji v povrchove vrstve tloust'ky L, pak v magnetickem poli vznikaji uvnitr vzorku vifive elektricke proudy dokonce i pfi rozepnutych proudorych kontaktech. V soucasne dobe existuje rozvinuta oblast technickych aplikaci termomagnetickych jevu - vifive termoclanky, v nichz se podle klasicke teorie vifive termomagneticke proudy vytvafeji slozitym systemem objemov:Ych zdroju tepla a chladu. Novy pristup umoz:iiuje znaene zjednoduseni predstavy 0 podstate techto proudu. Stejne uvahy jsou dulezite i pfi vytvafeni norych termoelektrickych generatoru vyuZivajicich slunecni energii (elektricky v:Ykon pracujicich zarizeni je do 90 W; pouzivaji se v jifoich oblastech SSSR pro uspokojeni pofadavku na elektrickou energii) nebo organicka paliva (v:Ykon do I kW; pouzivaji se na ochranu plynovodu a ropovodu proti korozi), nebo jadernou energii (vykon do 500 W; poilZivaji se jako dodateene zdroje elektricke energie v pozemnich nebo kosmickych elektrarnach) [8] . Dosavadni ryklad vede k zaveru, ze elektrony a fonony v polovodicich jsou charakterizovany srymi teplotami. Ale zdaleka ne vzdy tomu tak musi byt. VZdyi ze zakona zachovani energie a impulsu plyne, ze s elektronem s impulsem p mohou 'interagovat pouze ty fonony, jejichz impuls je mensi nez 2p. Fonony, ktere mohou interagovat s elektrony se nazyvaji dlouhovlnne, vsechny ostatni jsou kratkovlnne. JestliZe se dlouhovlnne a kratkovlnne fonony srazeji mezi sebou casteji nez dlouhovlnne fonony s elektrony, pak nastava situace, o niZ se hovorilo. V opaenem pfipade se obrazek znaene meni; teplota dlouhovlnnych fononu se vyrovna s teplotou elektronu Te a kratkovlnne fonony budou charakterizovany vlastni teplotou T P· Proto opet ziskame dva podsystemy s ruznymi teplotami, ale-nyni jeden z nich bude sestavat z elektronu a dlouhovlnnych fononu a druhy z kratkovlnnych fononu. Prvni situace nastava pfi T P = 40 K a druhli pfi nizsich teplotach. Je zajimave, ze v kovech se pfi libovolne teplote realizuje druha situace a vsechny fonony si mohou vymeiiovat energii s elektrony. Proto v kovech vzdy plati Te= Tp, a tedy tam plati klasicka teorie vodivosti tepla. Na zaver jdte jedna dulezita poznamka. Vyse jsme predpokladali, ze existuje delka L, na niZ se vyrovnaji teploty elektronu afononu. Jakukazuje rozbor, Veda a technika v SSSR, 15, 1987, c. 3
149
toto tvrzeni plati pro prostredi, jehoz vlastnosti nezaviseji na smeru (izotropni prostredi). Jestlize tyto vlastnosti na smeru zaviseji (anizotropni prostredi), nebo je izotropni vzorek umisten do magnetickeho pole s libovolnou orientaci vuci stenam vzorku, pak tato delka V-Ubec neexistuje 9 • To znamena, ze i v objemu masivniho vzorku (s ryjimkou nekterych pfipadu) se teploty Tf, a T P neshoduji a termomagneticke jevy ziskavaji celou fadu specifickych zvlastnosti, ktere mohou byt zkoumany pomoci vyse formulovaneho noveho pfistupu k jevum tepelne vodivosti. .Mnohe z toho, 0 cem byla rec v tomto clanku, jiz naslo sve experimentalni potvrzeni a je pouzivano pfi ryvoji a konstrukci ritznych polovodieovych zafizeni. Ovsem teorie jeste zdaleka neni uzavrena - s jeji pomoci se odhaluji nove nezname jevy, casto zcela neocekavanelO. Priroda, 1986, c. 3, s. 66 9 Toto na prvni pohled paradoxni tvrzeni je zformulovano v praci [9]. 1 0 Napfiklad zcela nedavno se ukazalo, ze spad elektronove teploty v polovodieovem vzorku muze tisickrar ptevyfo hodnotu !:J.T. Tento jev je spojen se ,,strhavanim" elektronu fonony, ktere pl'i svem pohybu od tepleho konce vzorku ke chladnemu,, tahnou" za sebou elektrony. Pfitom jsou pi'edevsim strhavany ty elektrony, ktere se easteji sraZi s fonony. Frekvence techto srazek je zase zavisla na energii elektronu. Jestlize tato frekvence roste s rustem energie, fonony budou strhavat pfedevsim horke elektrony, ktere se tak budou hromadit na chladnem konci vzorku. V dusledku toho vznikne v elektronovem podsystemu ohromny spad teploty
• KRATCE 0 AUTOROVI
Jurij Gurevic, doktor matematickofyzikalnich ved, je vedeckym pracovnikem Ustavu radiofyziky a elektroniky AV Ukrajinske SSR a profesorem katedry teoreticke a experimentalni fyziky Charkovske polytechniky. Jeho vedecke zajmy jsou spjaty hlavne s nelinearnimi jevy v elektronovem plazmatu. Je autorem monogram: Gorjacije elektrony i silnyje elektromagnimyje volny v plazme poluprovodnikov i gazovogo razrjada (spolecne s Bassem; Moskva 1975). Elektrony i fonony v ogranicennych poluprovodnikach (spoleene s Bassem a Bockovem; Moskva 1984). • LITERATURA [l] Cidilkovskij, I.: Termomagnitnyje javlenija v poluprovodnikach. Moskva 1960. [2] Stilbans, L.: Fizika poluprovodnikov. Moskva 1967. [3] Bass, F.; Gurevic, J.: Gorjacije elektrony i silnyje elektromagnimyje volny v plazme poluprovodnikov i gazovogo razrjada. Moskva 1975. [4] Kaganov, M.: Elektrony, fonony, magnony. Moskva 1979. [5] Granovskij, M.; Gurevic, J.: Fiz. i tech. polupr., 9, 1975, s. 1552. [6] Gurevic, J.: Ukr. fiz. z., 24, 1979, s. 1601. [7] Gurevic, J.: Fiz. i tech. polupr., 17, 1983, s. 728. [8] Jordanisvili, E.: Termoelektriceskije istoeniki pitanija. Moskva 1986. [9] Gurevic, J.; Kaganov, M.: ZETF, 75, 1978, s. 2330.
orientovany proti teplotnimu spadu krystalove mfizky. Jestlize naopak frekvence srazek ubyva s rustem energie elektronu, rozdil elektronovych teplot na protilehlych koncich vzorku je take veliky, ale jeho znamenko souhlasi se znamenkem rozdilu teploty krystalove mfizky.
• ZASEDANi BYRA PROBLEMOVE KOMISE ,,ZEMSKA KURA (STRUKTURA, EVOLUCE A METALOGENEZE)" Ve dnech 23. -27. i'.mora 1987 se v Praze konalo zasedani byra problemove komise mnohostranne spoluprace akademii ved socialistickych zemi ,,Zemska kura (struktura, evoluce a metalogeneze)". Byro komise pracuje v novem slozeni - pfedsedou je clen korespondent CSAV M. Vanecek z pi'irodovedecke fakulty UK v Praze, vedeckym sekretarem dr. ing. I. Landa, CSc., feditel Geofondu, mistopfedsedy jsou dr. A. Knipper, DrSc., z Geologickeho ustavu AV ·SSSR v Moskve a dr. D. Koforachov, DrSc., z Geologickeho ustavu BAV v Sofii. Zasedani zhodnotilo prvni rok cinnosti nove organizovane komise, ktera fesi sedm projektu vcetne komplexniho ciloveho programu ,,Srovnavaci geodynamika a metalogeneze zemske ktiry". Jeho koordinatorem je pfedseda sovetske narodni casti dr. M. Leonov, Dr Sc., ktery by! rovnez pozvan na zasedani byra. Na zasedani by! dale vypracovan plan prohloubeni a koordinace prace jak v jednotlivych projektech komise, tak mezi projekty navzajem. V souvislosti s tim se pfedpoklada, ze terenni prace budou mit dlouhodobejsi charakter; tak bude mofoe podrobneji zpracovat studovane regiony a zaroven i efektivneji vyuzit ziskane vysledky. Vzhledem k nove organizaci komise bude zpracovan navrh pozme1C:.O
neneho organizaeniho a jednaciho radu komise, ktery bude pi'edlozen ke schvaleni na zasedani rady komise v Bulharsku. 0 stavu praci na komplexnim cilovem programu referoval jeho koordinator, s vysledky prace komise za rok 1986 seznamil zasedani byra vedecky sekretai'. GSAV
•NOVA TECHNOLOGIE PESTOVANi OBILi V SSSR Vyziva zemedelskych rostlin pomoci nitrogennich bakterii je novy zpusob zvyseni objemu a kvality urody, ktery vyvinuli odbornici z Ustavu zemedelske mikrobiologie. Efektivnost teto metody dokazuji zkusenosti s pestovanim psenice v krymskem sovchozu Gvardejskij. ,,Zivy preparat" se zavadi do pudy spolu se semeny. J ak dokazuji laboratorni vyzkumy, psenice s vetsim mnozstvim aminokyselin znamena nejen vetsi urodu, ale i podstatne kvalitnejsi obili. Dobre zkusenosti s pouzitim nitrogennich bakterii maji krymsti zemedelci take pi'i pestovani prosa. Novou technologii pi'evzalo nekolik krymskych zemedelskych organizaci.
GTK - Hospoddi'ske informace ze zahranici, 1987, c. 6, s. 82
