vuurwerk Wiskunde #7 mei 2008 jaargang 4 Relatiemagazine van de Faculteit der Economische Wetenschappen en Bedrijfskunde

Bereik méér aan de VU! • Certified Management Accountant en

Ben jij een professional met een goede baan? Dan heeft de VU-Postgraduate

Certified Financial Manager • Chartered

School dé opleiding voor jou. De VU-Postgraduate School biedt dé manier om

Financial Analyst • Controller in de publieke

een titel te behalen en je deskundigheid te vergroten.

en non-profitsector • Corporate Compliance • Financieel en Beleggingsanalist • Basisop-

Aan de Amsterdamse zuidas heeft de VU-Postgraduate School zich in korte tijd

leiding Management Consultant • Manage-

ontwikkeld tot een academisch centrum voor wetenschappelijk georienteerde

ment Consultant• Parttime opleiding master

beroepsopleidingen en executive onderwijs. In samenwerking met de Faculteit

Bedrijfswetenschappen • Parttime opleiding

der Economische Wetenschappen en Bedrijfskunde (FEWEB) biedt de Postgradu-

master Accounting & Control in combinatie

ate School veertien gerenommeerde deeltijdopleidingen aan.

met Registeraccoutant • Registeraccountant • Registercontroller • Register EDP-auditor •

Typerend voor het onderwijs aan de Postgraduate School is de interactie tussen

Treasury Management • Verandermanage-

theorie en praktijk, tussen cursist en docent en tussen cursisten onderling. Inter-

ment • Basisopleiding Verandermanagement

actie is zowel op de uitwisseling van kennis als op de uitwisseling van ervaring gericht. Interactie staat borg voor de practische toepasbaarheid van de leerstof. Interactie wordt niet alleen bewerkstelligd door een optimale integratie van theorie en praktijk in de leerstof maar tevens door voor het leerproces gebruik te maken van hoogleraren en docenten die naast hun aanstelling aan de universiteit tevens werkzaam zijn in de praktijk. De verankering met de Vrije Universiteit Amsterdam waarborgt het hoge niveau van de opleidingen. De verbondenheid van de opleidingen met de praktijk is een garantie voor de actualiteit van de programma’s.

vuurwerk Wiskunde Wiskunde in het onderwijs • De wiskunde achter de containerlogistiek • Electriciteitsvraag in Frankrijk • Bayesiaanse kansrekening • De curator en de wiskundig

Meer weten? Surf naar www.feweb.vu.nl en klik op ‘postgraduate school’ voor informatie over de postgraduate opleidingen. Van iedere opleiding is

econoom • Spelenderwijs naar duurzaamheid

uitgebreide documentatie beschikbaar. Voor nadere inlichtingen kun je je ook wenden tot het secretariaat van de Postgraduate School. Telefoon (020) 598 60 45.

#7

mei 2008

jaargang 4

Relatiemagazine van de Faculteit der Economische Wetenschappen en Bedrijfskunde

VOLGEND NUMMER

In dit nummer:

De volgende Vuurwerk verschijnt

Thema WISKUNDE

Samenvatting oraties

in oktober 2008 (lustrumnummer). Deadline kopij: 1 september 2008.

Redactioneel

3

Overzicht FEWEB

4

Overzicht opleidingen FEWEB

5

Legitimatie & verankering. Uitdagingen voor

6

de maatschappelijk ondernemer

Wiskunde in het onderwijs

Menselijkheid in organisaties

De wiskunde achter de containerlogistiek

12

Oratie van Yvonne Burger ter gelegenheid van de aanvaarding

Interview met Alexander Tieman

18

van het deeltijd hoogleraarschap Organisatiecultuur,

Forecasting national electricity load

20

communicatie en leiderschap in de Post Graduate Opleiding

consumption

Management Consultant, Faculteit der Economische

Bayesiaanse kansrekening:

24

Wetenschappen en Bedrijfskunde aan de VU in Amsterdam,

Verfrissend en leerzaam Column: ‘Van nostalgie wordt het

18 januari 2008

28

wiskundeonderwijs niet beter’

Professor Burger begon haar betoog met een persoonlijk verhaal over

De curator en de wiskundig econoom

30

haar ervaringen in Canada, omdat ze het hoopvol vindt om te zien dat

Spelenderwijs naar duurzaamheid?

36

er op verschillende plaatsen in de wereld mensen bijeen komen om

Agenda

40

na te denken over wat hun eigen praktische bijdrage zou moeten zijn

Nieuws FEWEB

41

aan een leefbaar planeet en ze is ervan overtuigd dat deze vorm een

Oraties

43

prachtig voorbeeld is van een interventie die tot positieve verandering en vernieuwing leidt. Deze ervaringen hebben tevens richting gegeven aan het thema ‘menselijkheid in organisaties’. Het betoog werd Oratie van Goos Minderman ter gelegenheid van de

voortgezet met de ontwikkelingen in de wereld en de behoefte bij

aanvaarding van het bijzonder hoogleraarschap Public

individuen aan organisatievormen waarin de menselijke maat weer

Governance and Public Law aan de Faculteit der Economische

terug is.

Wetenschappen en Bedrijfskunde aan de VU in Amsterdam,

Om een menselijke organisatie te realiseren is het ten eerste van

10 april 2008

belang een passende organisatievorm te kiezen waarin de menselijke maat weer leidend is met alle positieve gevolgen van dien voor het

Het Nederlandse middenveld krijgt steeds meer bevoegdheden

werkklimaat en de effectiviteit. Inspirerend leiderschap is daarbij een

omdat de centrale overheid terugtreedt. Deze nieuwe bevoegdheden

noodzakelijke voorwaarde om deze organisatievorm te implementeren.

betekenen echter niet dat de non-profitorganisaties vrijer zijn

Ten tweede is het werken aan individuele ontwikkeling een respectvolle

Wiskunde in het onderwijs

geworden: zij verwisselen hun afhankelijkheid van de overheid voor

veranderstrategie waardoor mensen – en daarmee organisaties

/ pagina 6

een afhankelijkheid van hun maatschappelijke partners, die niet minder

– worden geholpen om hun effectiviteit te verhogen. Een interessante

kritisch maar hopelijk wel minder bureaucratisch zijn. Maatschappelijk

uitkomst uit onderzoek is dat de effectiviteit van coaching meer te

ondernemen is dan ook vooral samenwerken. Deze onderlinge

maken lijkt te hebben met de persoonlijkheid van de coach dan met

maatschappelijke verankering van organisaties is een proces met

specifieke interventies: Hoe menselijker de coach, hoe effectiever de

risico’s, omdat die aanleiding kan zijn tot veel ondoorzichtige

coaching.

netwerken en ongewenste machtsconcentraties. Het middenveld moet

Ten slotte is het thema ‘persoonlijk leiderschap’ aan de orde gekomen

Spelenderwijs naar duurzaamheid / pagina 36

COLOFON

op zoek naar nieuwe heldere samenwerkingsverbanden waardoor

en de noodzaak om in tijden waarin veel onvoorspelbaar en onzeker is,

Vierde jaargang, nr. 7, mei 2008

Ontwerp en opmaak

De curator en de wiskundig econoom

men zich op verantwoorde wijze daadwerkelijk kan verzelfstandigen

in ieder geval van jezelf te weten wat je wilt bijdragen aan deze wereld.

Vuurwerk is het relatiemagazine van de

Room for ID’s, Nieuwegein

/ pagina 30

van de overheid. Helderheid scheppen in de ondoorzichtigheid en het

Echter, voor het slagen van het individu is ook de context van belang;

Faculteit der Economische Wetenschappen

Druk

ontwikkelen van nieuwe legitimatienormen zijn de twee bouwstenen

organisaties zullen dus de voorwaarden moeten creëren waaronder

en Bedrijfskunde (FEWEB).

Drukkerij Damen, Werkendam

van de maatschappelijke onderneming.

de mensen binnen deze organisaties hun persoonlijk leiderschap

Redactie

Fotografie

vorm en inhoud kunnen geven. Waardoor de organisaties als geheel

Frans Snijders, Iris Visser, Ina Putter,

FEWEB, Johan Hoekstra, Room for ID’s

effectiever zullen worden. Het begrip organisatiestructuur is niet meer

Henri de Groot

Oplage

zo in de mode, maar van uitermate groot belang voor de kwaliteit van

Adres

Vuurwerk verschijnt twee keer per jaar

de relaties tussen individuen en de mate waarin deze organisaties erin

Faculteitsbureau FEWEB,

in een oplage van 7.000 exemplaren.

slagen om hun doelen te bereiken.

De Boelelaan 1105, 1081 HV Amsterdam [email protected], (020) 598 61 57



vuurwerk #7

mei 2008

jaargang 4

vuurwerk #7

mei 2008

jaargang 4

43

REDACTIONEEL/

Het nut van wiskunde Op de schoolkrantwebsite (http://www.deskepsis.nl/) kun je lezen dat veel leerlingen het nut van wiskunde niet inzien. Ze snappen het niet en denken daarom dat ze het later ook niet nodig zullen hebben. Wat is het nut van een vak dat eigenlijk een soort taal is zonder woorden maar met cijfertjes en formules? In dit nummer van Vuurwerk laten we zien dat wiskunde wel degelijk nut heeft. Iris Vis betoogt dat toegepaste wiskunde De wiskunde achter de containerlogistiek / pagina 10

een belangrijke rol speelt bij het zo efficiënt mogelijk laden en lossen op de containerterminal in de wereldhavens. Siem Jan Koopman e.a. laten zien dat het Franse elektriciteitsbedrijf met behulp van wiskunde kan uitrekenen hoeveel elektriciteit er per dag geproduceerd en beschikbaar moet zijn. Henk Tijms denkt dat studenten voor wie wiskunde niet de eerste keus is, met Bayesiaanse kansrekening het nut en de kracht van de wiskunde meer zullen waarderen. Met behulp van speltheorie kunnen problemen zoals het verdwijnen van het regenwoud en de vermindering van biodiversiteit worden geanalyseerd. In welke andere deelgebieden van de milieueconomie de speltheorie met veel vrucht wordt toegepast beschrijft Withagen in zijn artikel. Ten slotte gaat Van der Laan in zijn artikel in op de wijze waarop de wiskundige economie kan bijdragen aan het oplossen van faillissementproblemen wat betreft de verdeling van de boedel over de claims. Over nut dus geen twijfel, sterker: vrijwel geen enkele wetenschap kan het tegenwoordig zonder wiskunde stellen. De overheid heeft hierop willen inspelen door wiskunde verplicht te stellen voor alle middelbare scholieren. Of de universiteiten en hogescholen hier blij mee zijn kun je lezen in het artikel van Franx. Namens de redactie wens ik u veel leesplezier! Ina Putter

Bayesiaanse kansrekening: Verfrissend en leerzaam / pagina 24

vuurwerk #7

mei 2008

jaargang 4



OVERZICHT/FEWEB

Faculteit der Economische Wetenschappen en Bedrijfskunde (FEWEB) De Faculteit der Economische Wetenschappen en Bedrijfs-

1987 verzorgd door de Interfaculteit der Actuariële Weten-

kunde (FEWEB) biedt plaats aan ruim 3000 studenten,

schappen en Econometrie. Beide faculteiten zijn in 1987

1500 postgraduate studenten en 400 medewerkers.

samengevoegd tot de Faculteit der Economische Weten-

Daarmee is zij landelijk gezien een middelgrote faculteit.

schappen en Econometrie (FEWEC). Per 1 september 2000

Tegelijkertijd is het één van de grotere faculteiten van

is de opleiding Bedrijfswetenschappen van start gegaan.

de VU.

Dit heeft er toe geleid dat de naam van de Faculteit per

De Faculteit der Economische Wetenschappen is opgericht

1 januari 2001 is veranderd in de Faculteit der Economi-

in 1948. De opleiding Econometrie werd van 1962 tot

sche Wetenschappen en Bedrijfskunde (FEWEB).

Afdelingen en Onderzoeksprogramma’s De Faculteit der Economische Wetenschappen

Informatiekunde en Logistiek

en Bedrijfskunde van de VU heeft 8 afdelingen

Prof. dr. A.R. van Goor

en 12 onderzoeksprogramma’s:

http://www.feweb.vu.nl/informatiekunde en http://www.feweb.vu.nl/logistics Information Systems for Organisational Networks

Algemene en Ontwikkelingseconomie,

Secretariaat:

Prof. dr. G.J. van den Berg,

Kamer 3A-15, tel. 020 598 6185, fax 020 598 6005

http://www.feweb.vu.nl/economics Applied Labour Economics en Farms and Firms:

Afdeling Marketing

The micoreconomics of poverty, risk and development

Prof. dr. R.T. Frambach

Secretariaat AE:

http://www.feweb.vu.nl/marketing

Kamer 2E-71, tel. 020 598 6030, fax 020 598 6020

Marketing Strategy

Secretariaat OE:

Secretariaat:

Kamer 2E-71, tel. 020 598 6140, fax 020 598 6004

Kamer 2E-43, tel. 020 598 7145, fax 020 598 6005

Accounting,

Management en Organisatiekunde

Prof. dr. T.L.C.M. Groot

Prof. dr. T. Elfring

http://www.feweb.vu.nl/accounting

http://www.feweb.vu.nl/mo

Accounting and Decision Making

Strategic Entrepreneurship, en Human Resources

Secretariaat:

Secretariaat:

kamer 2E-43, tel. 020 598 6040, fax 020 598 9870

Kamer 3A-15, tel. 020 598 6050, fax 020 598 6005

Econometrie

Ruimtelijke Economie

Prof. dr. ir. G. van der Laan

Prof. dr. P. Rietveld

http://www.feweb.vu.nl/econometrics

http://www.feweb.vu.nl/re

Strategic and Cooperative Decision Making;

Spatial, Transport and Environmental Economics

Time Series Econometrics: methods, computations and

Secretariaat:

applications en Operations Research and Information

Kamer 4A-33, tel. 020 598 6090, fax 020 598 6004

Technology Secretariaat:

Daarnaast heeft de faculteit verschillende Postdoctorale

Kamer 1A-17, tel. 020 598 6010, fax 020 598 6020

Opleidingen (De Postgraduate School, zie achterzijde van Vuurwerk) en twee stichtingen, te weten het Amsterdam

Financiering en Bedrijfskunde voor de

Centre for Business and Economic Research (AMBER) en

Financiële Sector

de Stichting Onderzoek Wereldvoedselvoorziening (SOW).

Prof. dr. M. van der Nat en Prof. dr. B. Compaijen



http://www.feweb.vu.nl/fb

AMBER, Secretariaat, Kamer 5A-36, tel. (020) 598 6080,

Finance and Banking

fax (020) 598 6127, http://www.feweb.vu.nl/esi/

Secretariaat:

SOW, Secretariaat, Kamer 15A-15, tel. (020) 598 9321,

Kamer 1A-17, tel. 020 598 6060, fax 020 598 6020

fax (020) 598 9325, http://www.sow.vu.nl/

vuurwerk #7 mei mei2008 2008 jaargang jaargang44

OVERZICHT OPLEIDINGEN/FEWEB

Bacheloropleidingen De Faculteit biedt momenteel vier bachelor opleidingen aan en daarnaast voor een selecte groep studenten een “honours programma”: • Economie en Bedrijfseconomie

Masteropleidingen

• Econometrie en Operationele Research • Bedrijfswetenschappen (in Amsterdam en Zwolle)

Een masteropleiding is een specialistische opleiding.

• International Business Administration

Na afronding van een bacheloropleiding biedt een

(alleen in het Engels)

masteropleiding verdieping van kennis en inzicht in een

• Honours programma

deelgebied van de in de bachelor bestudeerde discipline. De masteropleiding is tevens een wetenschappelijke

Na succesvolle afronding ontvangen studenten

opleiding, waarbij niet alleen het doen van onderzoek,

het ‘Bachelor of Science’ diploma.

maar ook de toepassing van de wetenschap centraal staat. Na succesvolle afronding van de master ontvangen studenten het MSc (Master of Science) diploma. Deze is internationaal erkend. De onderstaande masters duren één jaar full-time, worden in het Engels gegeven en hebben een studielast van 60 ects. • Accounting & Control • Business Administration • Econometrics and Operations Research • Economics • Finance • Quantitative Finance Honors Track • Marketing • Spatial, Transport and Environmental Economics (STREEM)

Het Tinbergen Instituut

Research- en deeltijdmasters:

Het Tinbergen Instituut is een samenwerkings-

• MPhil Economics (research master, twee jaar,

NIEUWS/FEWEB

verband tussen de economische faculteiten van

full-time, Engelstalig)

de Vrije Universiteit, de Erasmus Universiteit

• MSc Bedrijfswetenschappen (twee jaar,

Rotterdam en de Universiteit van Amsterdam.

part-time, Nederlandstalig)

Het Tinbergen Instituut is behalve een onderzoek-

• MSc Accounting & Control i.c.m. RA-opleiding

instituut ook een opleidingsschool voor promovendi en

(drieëneenhalf jaar, part-time, Nederlandstalig)

Meer informatie over het Tinbergen Instituut is te

• MPhil Finance (research master, twee jaar,

lezen op http://www.tinbergen.nl/

full-time, Engelstalig) Voor meer informatie over opleidingen zie: www.feweb.vu.nl vuurwerk vuurwerk#7 #7 mei mei 2008 2008 jaargang jaargang 4 4



WISKUNDE/

Wiskunde in het onderwijs Gert-Jan Franx1



vuurwerk #7

mei 2008

jaargang 4

Er is tegenwoordig vrijwel geen wetenschap die het zonder wiskunde kan stellen. Was het eeuwenlang vooral de natuuren sterrenkunde die zich van wiskundige methoden bedienden, in de twintigste eeuw gingen vrijwel alle disciplines overstag, met als resultaat dat tegenwoordig de meeste vakliteratuur nauwelijks leesbaar is voor de wiskundig ongeschoolde. De overheid heeft op deze ontwikkeling willen inspelen door wiskunde verplicht te stellen voor alle middelbare scholieren. Was het vroeger mogelijk om een vakkenpakket te kiezen zonder wiskunde, tegenwoordig zit in alle keuzeprofielen een verplichte wiskundecomponent. Nu zullen alle universiteiten en hogescholen dus wel heel tevreden zijn met de wiskundige bagage van hun aspirant studenten…

De invoering van de basisvorming heeft alle diepgang uit de eerste drie jaren van het middelbaar onderwijs gehaald Helaas, het tegendeel is het geval: Alle universiteiten en

Duitse studenten aan de Economische Faculteit van de

hogescholen klagen steen en been over het wiskundige

Universiteit van Maastricht. Jarenlang deden de Nederlandse

niveau van hun studenten. De onderwijsministers hebben

studenten het net een beetje beter dan de Duitse, totdat in

dit jarenlang afgedaan als het eeuwige geklaag van de uni-

de negentiger jaren het niveau van de Nederlanders gestaag

versiteiten. Bovendien zouden de Nederlandse scholieren het

begon te dalen. In die periode bleven de Duitse studenten

goed doen in diverse internationale vergelijkende onderzoe-

wel op hun oude peil. Momenteel is het niveauverschil

ken. Wat er dan niet bij verteld wordt, is dat Nederlandse

dramatisch: ca 2,5 punt (op een schaal van 1 tot 10) in het

scholieren in de zestiger, zeventiger en tachtiger jaren

voordeel van de Duitse studenten. Op onze faculteit studeren

excelleerden in alle internationale vergelijkingen, terwijl zij

niet zoveel Duitse studenten als in Maastricht, waardoor

het tegenwoordig alleen nog maar redelijk doen in het zoge-

een dergelijke vergelijking aan de VU statistisch niet zinvol

naamde PISA onderzoek, waarin nauwelijks wiskundige vaar-

zou zijn. Onze ervaringen zijn echter identiek: Ook aan de

digheden worden getoetst en waarbij de op te lossen proble-

VU is het wiskundeniveau van de aankomende studenten

men opvallend goed overeenkomen met wat de Nederlandse

drastisch gedaald.

scholier op school gewend is aan vraagstellingen. Dat laatste is geen toeval omdat de voorzitter van de PISA Expert Group

Zijn de studenten dan dommer geworden? Nee, in tegendeel,

for Mathematics een Nederlander is (J. de Lange, ex-directeur

hun intelligentie heeft 18 jaar braak gelegen door een on-

van het Freudenthal Instituut) en omdat zowel het CITO als

derwijssysteem dat hen geen enkele intellectuele uitdaging

het Freudenthal Instituut een belangrijk aandeel had in de

heeft geboden. En ze zijn slim genoeg om dat zelf door te

totstandkoming van de PISA wiskundeopgaven.

hebben. Het is niet voor niets dat scholieren tegenwoordig de straat op gaan om te protesteren tegen de zogenaamde

Wiskundeniveau studenten en scholieren

‘ophokuren’. Ze hadden niet beeldender kunnen zijn in hun

Een eerlijker vergelijking is te vinden in de wiskunde-

oordeel over het onderwijs dat zij door de strot geduwd

tentamenresultaten van Nederlandse studenten t.o.v.

krijgen. Nog duidelijker in hun uiting waren de gezamen-

1 Gert-Jan Franx is universitair docent bij de afdeling Econometrie, De Boelelaan 1105, 1081 HV Amsterdam, [email protected]

vuurwerk #7

mei 2008

jaargang 4



lijke studieverenigingen van alle wis- en natuurkundestudenten met hun actiebrief ‘Lieve Maria’ waarin zij de toenmalige minister van onderwijs (Maria van der Hoeven) er fijntjes op wezen dat zij veel te weinig ‘echte’ wiskunde hadden geleerd op de middelbare school en dat dit niet zozeer ligt aan het aantal lesuren, maar vooral aan de onderwijsmethoden. In het bijzonder klagen zij over de introductie van de grafische rekenmachine, waardoor zij geestelijk lui zijn gemaakt… Een dergelijk scholieren- en studentenprotest is uniek in de Nederlandse geschiedenis. In de zestiger en zeventiger jaren gingen de studentenprotesten over macht en inspraak, in de tachtiger en negentiger jaren ging het de studenten vooral om hun eigen portemonnee, maar nu willen zij beter onderwijs!

Veranderingen Wat is er zo drastisch veranderd aan het wiskunde onderwijs, dat voor het eerst in de geschiedenis de scholieren niet klagen dat het te moeilijk is, maar dat het te weinig diepgang heeft? Er hebben veel hervormingen plaatsgevonden die hieraan hebben bijgedragen. De belangrijkste hiervan zijn de ‘outputfinanciering’, de basisvorming voor iedereen, de zogenaamde ‘contextwiskunde’ en ten slotte het studiehuis met zijn verplichte profielkeuze en profielwerkstukken. De outputfinanciering houdt grofweg in dat onderwijsinstellingen niet betaald krijgen voor het aantal scholieren of studenten, maar voor het aantal diploma’s dat zij uitreiken. Dit is in feite een corrumperend systeem, dat ertoe heeft geleid dat zittenblijvers en gezakte examenkandidaten een verliespost zijn geworden. Abstracte wiskunde is derhalve ongewenst, omdat een hoger abstractieniveau als een ‘zittenblijfrisico’ wordt gezien. Een ander gevolg van deze drang naar efficiency is dat veel wiskundeleraren belangrijke delen van de examenstof niet of nauwelijks behandelen, omdat zij inmiddels ervaren hebben dat deze onderwerpen op het examen niet of nauwelijks gevraagd worden, en dus ook niet veel punten zullen opleveren. De invoering van de basisvorming heeft alle diepgang uit de eerste drie jaren van het middelbaar onderwijs gehaald. Dit geldt niet alleen voor de wiskunde, maar voor alle vakken. Vergelijk voor een willekeurig vak de schoolboeken uit de jaren zestig of zeventig met die van tegenwoordig en zie hoe de infantilisering heeft toegeslagen. Boeken met veel plaatjes waarin de leerlingen op kinderlijke wijze worden aange-



vuurwerk #7

mei 2008

jaargang 4

sproken en waarin nauwelijks enige structuur of abstractie

de problemen doorzien. Dit is pas mogelijk nadat de leerling

te vinden is (dus ook geen grammatica). De intellectueel zo

zich de (abstracte!) wiskundige taal heeft eigen gemaakt.

vruchtbare jaren van de jeugd in de leeftijd van 12 tot 15 jaar worden hierdoor nauwelijks benut. Helaas wordt deze

In dit opzicht komt de huidige contextwiskunde niet boven

achterstand nooit meer ingehaald. Veel vaardigheden moeten

het voormalige lagere school niveau uit. Overigens toont deze

nu eenmaal op jonge leeftijd geleerd worden.

vergelijking aan dat het probleem zich niet beperkt tot het middelbaar onderwijs. Ook het lager onderwijs is gedevalu-

Ten slotte is er nog de zogenaamde ‘contextwiskunde’, die

eerd. De voormalige lagere school is daarom niet vergelijk-

ervan uit gaat dat wiskunde over de concrete wereld gaat.

baar met de huidige basisschool.

In deze visie hebben we niet veel aan training in het manipuleren van formules en het ontwikkelen van een wiskundige

Contextwiskunde

taal. De leerlingen worden daarom getraind in het verrichten

Zijn deze constateringen niet wat overdreven? Kijk naar de

van berekeningen aan de hand van concrete problemen,

VWO eindexamens contextwiskunde en constateer zelf dat

meestal met behulp van de grafische rekenmachine. Deze

deze niet moeilijker zijn dan de voormalige toetsnaaldsom-

aanpak gaat totaal voorbij aan het feit dat de abstracte wis-

men van de lagere school. Ter controle leg ik elk jaar aan

kunde in feite een taal is, waarin we problemen heel compact

mijn eerstejaars studenten een sommetje voor uit de vijfde

en helder kunnen formuleren. Op de lagere school kreeg ik

klas van de voormalige lagere school: Een bad loopt in vijf

Betekent dit alles dat er alleen maar abstracte wiskunde gedoceerd zou moeten worden, zonder enige toepassingen? zelf de volgende zogenaamde toetsnaaldsom: Je hebt voor een

minuten vol als je alleen de koudwaterkraan open draait.

bedrag van fl 3,65 aan dubbeltjes en kwartjes. In totaal heb je

Met alleen de warmwaterkraan duurt het zes minuten. Een

26 munten. Hoeveel dubbeltjes en hoeveel kwartjes heb je?

gevuld bad loopt in drie minuten leeg als je de stop eruit

De te volgen redenering bleek wonderschoon: Stel dat je al-

trekt. Nu open je beide kranen en haalt tevens de stop eruit.

leen dubbeltjes had, dan was het totale bedrag fl 2,60 geweest.

Hoe lang duurt het nu voordat het bad vol is? (Per minuut

Je komt dus fl 1,05 tekort. Door nu een dubbeltje te verwisse-

vult de koudwaterkraan 1/5 v.h. bad, de warmwaterkraan 1/6,

len voor een kwartje kun je het bedrag met fl 0,15 verhogen.

dus samen 1/5 + 1/6 = 11/30. Er loopt per minuut 1/3 = 10/30

Dit moet je kennelijk 1,05 / 0.15 = 7 keer doen. Je hebt dus 7

uit, dus er blijft per minuut 11/30 – 10/30 = 1/30 over. Het

kwartjes en 19 dubbeltjes. Deze redenering is geheel volgens

duurt dus 30 minuten voordat het bad helemaal gevuld is.)

het ideaal van de contextwiskunde. Alleen wij deden dit soort

Gemiddeld zijn er jaarlijks twee studenten die dit sommetje

dingen op de lagere school. Op de middelbare school leerden

aankunnen, de overigen moeten passen…

we direct vanaf de eerste klas hoe je dergelijke problemen wiskundig formuleert, namelijk in de vorm van vergelijkin-

De invoering van de contextwiskunde heeft er dus helemaal

gen. Reeds aan het begin van de tweede klas leerden we twee

niet toe geleid dat studenten vaardiger zijn geworden in het

lineaire vergelijkingen met twee onbekenden op te lossen.

oplossen van concrete problemen. Waarom niet? Ik leg deze

Daarbij kwam als één van de voorbeelden het probleem met

vraag wel eens voor aan studenten die het badwatersommetje

de munten weer opduiken. Ineens werd ons duidelijk dat

niet konden oplossen. Hun antwoord is verbluffend: zij heb-

er een hele klasse van problemen is, die in mathematisch

ben nooit geoefend in sommen over het vullen van een bad!

opzicht allemaal identiek zijn, maar die in hun praktische

Dit antwoord is tevens onthullend, want het toont aan wat

toepassing totaal van elkaar kunnen verschillen. Anders

er mis is aan het concept van de contextwiskunde. Kennelijk

geformuleerd: wij leerden de mathematische structuur van

ervaren de scholieren de concrete probleemstellingen uit

vuurwerk #7

mei 2008

jaargang 4



de contextwiskunde als het uit het hoofd leren van verschil-

je wel eerst in staat zijn om een functie te definiëren die de

lende recepten uit een kookboek. Als de Stroganoffsaus niet

afgelegde weg beschrijft als functie van de tijd. Kortom, de

beschreven wordt in je kookboek, dan kun je ook niet weten

leerling moet dan wel de wiskundige taal van functies en

hoe je die maakt. Het mooie van de wiskunde is nu juist

verzamelingen beheersen, anders valt er niets te begrijpen!

dat daar zoiets wel degelijk kan. Als een leerling de wiskun-

In het huidige wiskundeonderwijs wordt deze wiskundige

dige structuur van een klasse van problemen doorziet, dan

taal achterwege gelaten en daarmee wordt in feite het kind

herkent hij/zij veel gemakkelijker dit type problemen in de

met het badwater weggegooid.

concrete wereld. Juist het aanbrengen van (abstracte) wis-

Ook hier zien we een treffende parallel met het taalon-

kundige structuur, maakt concrete problemen inzichtelijk.

derwijs. Tegenwoordig moet het taalonderwijs gaan over

Zonder deze structuur ervaart de leerling wiskunde als een

communicatie (lees: de ‘toepassing’ van taal), en niet over

verzameling recepten die telkens over één concreet probleem

grammatica en semantiek. Het gevolg hiervan is dat veel

gaan. Zowel de schoonheid als de kracht van de wiskunde

studenten niet in staat zijn om volwaardige zinnen te formu-

gaat hierdoor totaal verloren.

leren in hun eigen moedertaal, laat staan in vreemde talen. Ook hebben zij vaak problemen met het lezen van hun

Taalonderwijs

studieboeken. Deze problemen zijn natuurlijk veel ernstiger

In dit opzicht zijn er veel overeenkomsten met de problemen

dan de spellingsproblemen waar de media zich voortdurend

in het taalonderwijs. Ook daar is alle structuur uit gehaald.

op concentreren.

Als we onze studenten alsnog wiskundig op peil willen brengen, voor gereserveerd moeten worden Het is in de mode geraakt om alle grammatica achterwege

Ten slotte hebben we nog de invloed van het studiehuis en

te laten, omdat een kind op jonge leeftijd de taal spelender-

de profielen. Scholieren moeten tegenwoordig profielwerk-

wijs leert en daarvoor totaal geen grammatica nodig heeft.

stukken maken. Dit kost erg veel tijd, maar levert geen enkel

Het woord modieus is zonder meer van toepassing op het

onderwijsrendement in termen van verdieping of inzicht.

nieuwe taalonderwijs, omdat er nooit serieus onderzoek was

Niemand leert wiskunde van het maken van een werkstuk

gedaan naar de effectiviteit van het weglaten van de gramma-

over een beroemde wiskundige of over het belang van de

tica. Recent onderzoek heeft aangetoond dat alleen een kind

wiskunde in de ruimtevaart.

op heel jonge leeftijd spelenderwijs een taal kan leren en dat dit vermogen na het zesde levensjaar snel afneemt. Daarna is

Een ander gevolg is dat kinderen op heel jonge leeftijd een

juist structuur nodig om iets nieuws te leren.

carrièrekeuze moeten maken teneinde in het juiste profiel in te stromen voor hun toekomst. Vanaf de vierde klas zijn alle

10

Wat nu?

vakken toegespitst op dit specifieke carrièrepad. Dit betekent

Betekent dit alles dat er alleen maar abstracte wiskunde

dat elk profiel zijn eigen wiskundevariant heeft. Afgezien van

gedoceerd zou moeten worden, zonder enige toepassingen?

het feit dat kinderen op hun 15e levensjaar helemaal niet toe

Nee, natuurlijk niet. Het is zeer motiverend om aan de hand

zijn aan een dergelijke keuze, is een dergelijke vroegtijdige

van concrete probleemstellingen een wiskundige structuur

vernauwing van hun mogelijkheden helemaal niet nodig en

op te bouwen. Op die manier krijgt die abstracte structuur

voor wat betreft de wiskunde zelfs ongewenst. De concrete

ook veel meer betekenis voor de leerling. Zo is voor het

probleemstellingen kunnen dan weliswaar verschillend zijn,

inzicht in de betekenis van de afgeleide niets zo verhel-

de onderliggende wiskundige structuur is telkens dezelfde.

derend als het begrip snelheid (= eerste afgeleide van de

Daarin zit nu juist de kracht van het vak. Al die verschillende

afgelegde weg). Maar om dit verband te kunnen leggen moet

wiskundevarianten zijn uiteraard wel nodig binnen het

vuurwerk #7

mei 2008

jaargang 4

huidige concept van de contextwiskunde, maar voor de echte wiskunde voldeed het oude VWO vak Wiskunde 1 uitstekend. Zo goed zelfs, dat destijds vrijwel alle studierichtingen (inclusief onze faculteit) Wiskunde 1 als toelatingseis hadden gesteld. Het gevolg hiervan was dat de overgrote meerderheid van de middelbare scholieren (ook de alfa’s) eindexamen deed in Wiskunde 1. De weinige scholieren die wiskunde hadden laten vallen als eindexamenvak, hadden wel degelijk 4 jaar wiskunde onderwijs genoten op een niveau dat aanmerkelijk hoger lag dan de huidige eindexamens in de contextwiskunde. We zijn begonnen met de constatering dat de wiskunde onontbeerlijk is voor de moderne wetenschap en dat daarom de wiskunde voor alle middelbare scholieren verplicht is geworden. We moeten helaas constateren dat alle onderwijsvernieuwingen er juist toe geleid hebben dat alle scholieren

zullen er aanzienlijk meer uren

(zowel de alfa’s als de bèta’s) tegenwoordig juist veel minder echte wiskunde leren op het VWO en dat het er dus meer van weg heeft dat de wiskunde uit het onderwijs is gehaald. Is het tij nog te keren op de universiteit? Ja, in principe wel. Het leren denken en formuleren op gestructureerde wijze is immers iets wat we na ons zesde levensjaar steeds beter onder de knie krijgen. Het kost alleen wel de nodige tijd, bloed, zweet en tranen. Als we onze studenten alsnog wiskundig op peil willen brengen, zullen er aanzienlijk meer uren voor gereserveerd moeten worden. Vreemd is dit natuurlijk niet als je bedenkt dat op de middelbare school van oudsher minimaal vier uur wiskunde per week wordt/werd gegeven gedurende zes hele schooljaren. Als deze uren niet nuttig zijn besteed, heb je heel wat in te halen…

vuurwerk #7

mei 2008

jaargang 4

11

WISKUNDE/

Met een jaarlijkse groei van 10% overvleugelt de containermarkt momenteel de groei van de wereldeconomie (Kroon, 2004). In 2006 bedroeg het totaal aantal overgeslagen containers 440 miljoen TEU. Hierbij staat TEU voor Twenty Foot Equivalent Unit, een standaardmaat voor een container met een lengte van 6 meter. Bijna de helft van deze 440 miljoen TEU gaat via de 20 grootste havens in de wereld, waaronder Rotterdam. Van deze 20 havens bevinden zich er 10 in Azië. Om deze razendsnelle groei bij te kunnen houden, groeit ook de vloot van containerschepen jaarlijks in aantal en capaciteit. In 2007 voeren 3904 schepen rond met een totale capaciteit van 9,4 miljoen TEU, een capaciteitsverdubbeling sinds 1987. De grootste schepen vervoeren nu tot 12000 TEU (Unctad, 2007).

12

vuurwerk #7

mei 2008

jaargang 4

De wiskunde achter de containerlogistiek Iris F.A. Vis1

De tijdsfactor is van groot belang bij containertransporten

De tijdsfactor is van groot belang bij containertransporten. Het overslagproces van containers in een haven wordt gezien als het duurste onderdeel omdat er geen waarde wordt toegevoegd, het schip ligt immers stil. De uitdaging voor havens is dan ook om de aanmeertijd van een schip te minimaliseren om zo rederijen tevreden te stellen en de concurrentie voor te blijven. Om dit doel te bereiken moet het terminalmanagement vele keuzes maken bij elk van de logistieke processen die een rol spelen bij het efficiënt lossen en laden van de schepen. Toegepaste wiskunde speelt een belangrijke rol bij het formuleren van tools die dit beslissingsproces ondersteunen. De complexiteit van de logistieke processen zorgt voor een continue uitdaging voor onderzoekers om nieuwe

Figuur 1:

wiskundige technieken te ontwikkelen die razendsnel een

Illustratie: schematische weergave van logistieke processen

goede en liefst optimale oplossing produceren.

in een container terminal. Foto linkerpagina: Het laden/lossen van een containerschip bij

Logistieke processen in een containerterminal

Ceres Paragon Amsterdam (Ceres Paragon Terminals).

De logistieke processen worden weergegeven in Figuur 1 en kunnen als volgt worden beschreven (Vis en De Koster, 2003).

1 Iris Vis is universitair hoofddocent van de afdeling Informatiekunde en Logistiek, De Boelelaan 1105, 1081 HV Amsterdam, [email protected]

vuurwerk #7

mei 2008

jaargang 4

13

Het doel is om opdrachten zo goed mogelijk te combineren om de totale rijtijden te minimaliseren Bij aankomst in de haven meren schepen aan bij een kade-

zijn eindbestemming, zal de straddle carrier de container

muur of in een insteekhaven. Nadat het schip is aangemeerd,

uitslaan uit de stack.

lossen bemande kadekranen de containers een voor een uit

Alle genoemde processen kunnen ook in omgekeerde volgor-

het ruim en van het dek volgens een losplan. Zoals te zien

de worden uitgevoerd om export containers op een schip te

is in Figuur 2 zal de kadekraan een container van het schip

laden. Om zorg te dragen voor een stabiel schip en een snelle

lossen en op de grond plaatsen. Een straddle carrier pakt

en efficiënte overslag van containers in de volgende haven

de container vervolgens van de grond op om deze naar het

worden containers volgens een precies laadplan op het schip

opslaggebied (de stack) te vervoeren.

geplaatst door de kadekranen.

Containers worden tijdelijk opgeslagen in een stack, welke

Bij elk van de logistieke processen zijn vele beslissingen die

is opgebouwd uit parallelle rijen waar containers gestapeld

moeten worden genomen. Beslissingen op strategisch niveau

worden opgeslagen (Postmus, 2006). Bovenloopkranen of

worden voor de langere termijn genomen terwijl op opera-

straddle carriers zorgen voor de in- en uitslag van de contai-

tioneel niveau de dagelijkse gang van zaken wordt geregeld.

ners (Figuur 3). Een container die van een schip afkomstig

Belangrijke strategische beslissingen voor het transport-

is, wordt door de straddle carrier ingeslagen op een wil-

en opslagproces zijn de keuze voor het te gebruiken type

lekeurige locatie in de stack. Op het moment dat de vracht-

transport- en opslagvoertuig. Voordat tot aanschaf van een

wagen is gearriveerd, die de container verder vervoert naar

bepaald type voertuig wordt overgegaan, is het belangrijk

Figuur 2 (foto boven): Kadekraan lost een container die vervolgens door de straddle carrier wordt opgetild (Ceres Paragon Terminals). Figuur 3 (foto rechts): Straddle carrier slaat een container in de stack in (Ceres Paragon Terminals). 14

vuurwerk #7

mei 2008

jaargang 4

om de voertuigen uitgebreid met elkaar te vergelijken (Bak-

komt voor transport. Voor elk tweetal containers kan wor-

ker, 2005). Daarna moet dagelijks worden bepaald hoeveel

den uitgerekend of ze door hetzelfde voertuig kunnen wor-

voertuigen moeten worden ingezet om te zorgen dat alle

den getransporteerd zonder dat er vertragingen in een van

containers van een bepaald schip op tijd worden getrans-

de twee opdrachten plaatsvinden. Per definitie mogen twee

porteerd. Een operationeel beslissingsprobleem in de stack

opdrachten alleen door hetzelfde voertuig worden vervoerd

is het plannen van in- en uitslagopdrachten. Voor deze twee

als de eindtijd van de vorige opdracht plus de benodigde rij-

beslissingsproblemen bespreken we wiskundige technieken

tijd naar de nieuwe opdracht kleiner is dan de starttijd van

die het beslissingsproces ondersteunen.

de nieuwe opdracht.

Voorbeeld 1: Benodigd aantal voertuigen voor

Op basis van deze gegevens kunnen we een netwerk teke-

het transportproces

nen. In dit netwerk stelt elk knooppunt een te verplaatsen

Voertuigen zijn verantwoordelijk voor het transport van

container voor. Twee knooppunten worden verbonden met

importcontainers van het schip naar de stack en van ex-

een lijn als ze door hetzelfde voertuig mogen worden ge-

portcontainers van de stack naar het schip. De vraag is nu

transporteerd. Figuur 4 geeft een voorbeeld van een dergelijk

hoeveel voertuigen minimaal moeten worden ingezet om

netwerk voor een transportproces met 5 containers. Uit dit

geen vertragingen bij het laden en lossen van het schip op

netwerk valt op te maken dat containers 1 en 2 niet door

te lopen. Daarom dient een voertuig altijd klaar te staan op

hetzelfde voertuig kunnen worden getransporteerd zonder

het moment dat de container door de kraan van het schip is

dat opdracht 2 te laat zal starten (ze zijn niet door een lijn

gehaald (zie Figuur 2).

verbonden). Nadat container 1 is afgeleverd is er echter wel voldoende tijd om nog op tijd te starten met het transport

Na het afleveren van de ene container kan het lege voertuig

van container 3.

naar de plek rijden waar een volgende container beschikbaar

vuurwerk #7

mei 2008

jaargang 4

15

2 3

naar container 5 in Figuur 4). Met een standaard maximum flow algoritme kan nu het maximale aantal paden (lees: maximale reductie) in dit getransformeerde netwerk worden bepaald. Het verschil tussen de in stap 1 en 2 verkregen waar-

1

den is het minimale aantal voertuigen dat benodigd is (Vis et al., 2001).

4 5

Voorbeeld 2: Plannen van in- en uitslagopdrachten Een straddle carrier kan in de stack over een rij van containers heen rijden om een container op te halen (uitslag) of neer te zetten (inslag). Aan het uiteinde van iedere rij kan

Figuur 4: Voorbeeld van een netwerk voor transportproces van 5

de straddle carrier wisselen van rij (zie Figuur 3). Na het

containers. Containers 1 en 3, 1 en 4, 1 en 5, 2 en 4, 2 en 5, en 3 en 5

afhandelen van een opdracht zal de straddle carrier leeg

kunnen na elkaar door hetzelfde voertuig op tijd worden getranspor-

naar de volgende opdracht rijden. Het doel is om opdrachten

teerd. Het minimale aantal paden om alle containers te vervoeren is 2.

zo goed mogelijk te combineren om de totale rijtijden te

Het rode pad verbindt containers 1, 3 en 5. Het blauwe pad verbindt

minimaliseren.

containers 2 en 4. De eerste stap om dit probleem op te lossen, is wederom Een pad in dit netwerk correspondeert met een reeks van

het formuleren van een netwerk. Figuur 5 laat zien hoe een

opdrachten die door hetzelfde voertuig kunnen worden

stack van 6 rijen met in- en uitslagopdrachten kan worden

uitgevoerd. Het doel is om het minimale aantal paden (lees:

vertaald naar een netwerk. De knooppunten ai1 en ai2 geven

voertuigen) in het netwerk te vinden zodanig dat alle knoop-

de uiteinden van elk van de rijen weer. Het knooppunt vo is

punten worden bezocht. In de eerste stap van het algoritme

het start- en eindpunt van de route. De overige knooppunten

wordt de slechts mogelijke oplossing bepaald, te weten elke

geven de opdrachten weer. Met behulp van letter-nummer-

container wordt door een ander voertuig getransporteerd.

combinaties wordt bijgehouden de hoeveelste opdracht het

In stap 2 bepalen we met hoeveel voertuigen we dit aantal

in elke rij is, welk type opdracht (s = inslag, r = uitslag) het is

maximaal kunnen reduceren. Hiertoe definiëren we een

en aan welke kant van de stack (1 = zeezijde, 2 = landzijde) de

getransformeerd netwerk met omgekeerde verbindingen

opdracht wordt afgehandeld. Tussen elk van de knooppun-

tussen knooppunten (bijvoorbeeld een lijn van container 3

ten is de af te leggen afstand weergegeven.

Figuur 5: a) stack met in-en uitslagopdrachten, b) netwerk met opdrachten

16

vuurwerk #7

mei 2008

jaargang 4

In Vis en Roodbergen (2008) wordt een methode beschreven die een antwoord op de volgende vragen geeft: 1) in welke volgorde worden de opdrachten in elke rij afgehandeld? 2) aan welke kant van elke rij begint en eindigt de straddle carrier? 3) in welke volgorde worden de rijen bezocht? Met behulp van dynamisch programmeren wordt in een keer een antwoord op alle drie de vragen gegeven. In de eerste stap van het algoritme wordt voor elke rij een optimale volgorde bepaalt van inslag- en uitslagopdrachten voor elke mogelijke combinatie van begin- en eindpunt in de rij. Dit probleem kan worden geformuleerd als een uitgebreid toewijzingsprobleem waarin opdrachten aan elkaar worden gekoppeld zodanig dat rijtijden in de rij worden geminimaliseerd. De uitkomst van deze stap dient als input in het dynamische programmeringalgoritme. Dit algoritme maakt gebruik van twee transities, namelijk het maken van koppelingen tussen rijen en het toevoegen van een route in een rij. Het algoritme start met het bekijken van alle opties

Figuur 6: Optimale route voor straddle carrier om opdrachten uit Figuur

in gang 1. Vervolgens wordt voor elke optie bekeken hoe de

5 af te handelen. De rode nummers geven de volgorde weer waarin elk van

straddle carrier naar gang 2 kan rijden. Aansluitend worden

de pijlen wordt doorlopen. De straddle carrier start in gang 1 in stap 1 en

alle mogelijke routes in gang 2 bekeken. Een voor een wor-

eindigt na het doorlopen van gang 2 in stap 17 met stap 18 weer bij gang 1.

den zo alle gangen afgehandeld en wordt in snelle rekentijd een optimale route voor de straddle carrier gevonden. Voor het in Figuur 5 gegeven voorbeeld is de optimale oplossing

Websites en bronnen

weergegeven in Figuur 6. Met deze methode kunnen bespa-

- http:///www.ceresglobal.nl (Ceres Paragon Terminals)

ring tot wel 50% in rijafstanden worden behaald ten opzich-

- http://www.irisvis.nl/container

te van de in de praktijk gangbare vuistregels.

-B  akker, M. (2005), Transport besturingsregels en lay-out van een geautomatiseerde containerterminal, Masterscriptie Vrije

Voor alle twee de genoemde voorbeelden geldt dat door het gebruik van toegepaste wiskunde tools zijn ontwikkeld die

Universiteit Amsterdam. - Kroon, R. (2004), Seriously Ceres? - The Port of Amsterdam

het terminalmanagement kunnen helpen bij het nemen van

Positioned in the Competitive North-West European Container Port

dagelijkse beslissingen. En dit waren slechts twee voorbeel-

Arena, Masterscriptie Vrije Universiteit Amsterdam.

den. Vele slimme vuistregels en complexere wiskundige technieken zijn beschikbaar om direct te worden geïmplementeerd in de computersystemen op de terminals. Het nut en de toegevoegde waarde van het gebruik van dit soort wis-

- P  ostmus, T. (2006), Containerterminal Lay-out, Masterscriptie Vrije Universiteit Amsterdam. - Unctad (2007), Review of maritime transport 2007, United Nations.

kundige technieken blijkt wel uit feit dat in snelle rekentijd

- Vis, I.F.A., De Koster, R. (2003), Transshipment of containers at a

goede oplossingen zijn te verkrijgen die direct besparingen

container terminal: an overview, European Journal of Operational

in aanmeertijden en logistieke kosten kunnen opleveren.

Research 147, 1-16. - Vis, I.F.A., De Koster, R., Roodbergen, K.J., and Peeters, L.W.P. (2001), Determination of the number of AGVs required at a semi-automated container terminal, Journal of the Operational Research Society 52, 409-417. - Vis, I.F.A. en Roodbergen, K.J. (2008), Scheduling of container storage and retrieval, Operations Research, nog te verschijnen.

vuurwerk #7

mei 2008

jaargang 4

17

INTERVIEW/Alumnus

Werken in het buitenland is nooit een droom geweest Een interview met Alexander Tieman Voor elke editie van Vuurwerk wordt een alumnus van onze faculteit geïnterviewd. Alexander Tieman, de alumnus die voor deze Vuurwerk aan de tand werd gevoeld, werkt voor IMF en bevindt zich momenteel in de Verenigde Staten. Frederick Houtenbos en Tim Burggraaf

Korte introductie

Econometrie. Daarnaast was hij studentassistent van Gerard

Alexander is in 1990 begonnen met de studie Econometrie

van der Laan.

aan de VU en is in 1996 afgestudeerd. Hierna heeft hij promotieonderzoek gedaan bij professor Gerard van der Laan.

Promotieonderzoek

In 2000 is Alexander aan de slag gegaan bij de onderzoeks-

Tijdens zijn studie Econometrie was Alexander studentas-

afdeling van De Nederlansche Bank. Twee jaar later stond er

sistent bij Gerard van der Laan. Zijn promotieonderzoek

een nieuwe uitdaging voor de deur en is Alexander begon-

bouwde voort op zijn afstudeerscriptie. Via het contact met

nen bij het Internationaal Monetair Fonds (IMF) in Washing-

Gerard van der Laan en de projecten waar Alexander mee

ton. Alexander is getrouwd met een Finse vrouw en heeft

bezig was tijdens zijn werk, is hij in zijn promotieonderzoek

een zoontje van een jaar. Het leven in Washington bevalt

gerold.

Alexander goed. Er gebeurt veel in deze stad, die ongeveer net zo groot is als Amsterdam.

De eerste twee jaar van zijn promotieonderzoek heeft Alexander veel tijd doorgebracht aan het Tinbergen Instituut.

Studietijd en nevenactiviteiten

Daar heeft hij extra vakken en cursussen gevolgd en semi-

Alexander heeft besloten om Econometrie te gaan studeren,

nars bijgewoond. Dit was een verrijkende ervaring en het

omdat hij op de middelbare school de vakken wiskunde en

Tinbergen Instituut was een stimulerende omgeving.

economie interessant vond. Hij heeft het eerste jaar van het

Vervolgens is Alexander twee jaar op de VU aanwezig ge-

programma, waar veel programmeerwerk bij kwam kijken,

weest, waar hij meer contact kon hebben met zijn begelei-

als pittig ervaren, maar vond de combinatie van wiskunde

der, Gerard van der Laan.

en economie erg mooi. In het tweede en derde jaar kreeg

Tijdens zijn promotieproject heeft Alexander onderzocht of

hij meer inzicht in de studie en de vakken. Het kleinscha-

het biologische aspect van de evolutietheorie, waarbij suc-

lige aspect en de individuele aandacht van de studie heeft

cesvolle strategieën navolging krijgen en waarbij zich af en

Alexander als zeer positief ervaren.

toe een spontane mutatie voordoet, toepasbaar is op economische processen. De speltheoretische modellen die hieruit

18

In de tijd dat Alexander studeerde, kreeg je nog een studie-

zijn voortgekomen zijn erg wiskundig en abstract. Toch

beurs voor zes jaar. Alexander heeft daarom besloten om

kan vaak wel een economische interpretatie aan de uitkom-

extra vakken aan de Universiteit van Amsterdam te volgen,

sten van de modellen worden gegeven. De modellen geven

die niet in het verlengde lagen van de studie Econometrie,

bijvoorbeeld inzicht in het ontstaan van verschillende maten

maar die hij interessant vond. Ook heeft Alexander een jaar

van competitie en samenwerking in verschillende typen eco-

in het bestuur gezeten van Kraket, de studievereniging van

nomische interacties. In 2000 is Alexander gepromoveerd op

vuurwerk #7

mei 2008

jaargang 4

Het is een heel positieve ervaring en het down side risk van het in het buitenland werken is beperkt: Je hebt niets te verliezen. zijn proefschrift met de titel “Evolutionary Game Theory and

rijkste reden hiervoor was de begeleiding van Gerard van

Equilibrium Selection” aan de Vrije Universiteit.

der Laan. In het buitenland werken is nooit echt een droom geweest,

Na de promotie

maar inmiddels voelt Alexander zich erg op zijn plaats in

Alexander had het gevoel dat hij na zijn promotie klaar

de Verenigde Staten. Hij raadt het dan ook iedereen aan om

was voor de arbeidsmarkt. Hij is toen terechtgekomen bij

(tijdelijk) in het buitenland te gaan werken. Het is een heel

de ­onderzoeksafdeling van De Nederlandsche Bank. Zijn

positieve ervaring en het down side risk van het in het bui-

speltheoretische kennis kon hij direct gebruiken bij DNB.

tenland werken is beperkt: Je hebt niets te verliezen. Je kunt

Over macro-economische aspecten, waar hij zich in zijn

immers altijd terugkeren naar Nederland.

onderzoek niet mee heeft bezig gehouden, heeft hij bij De Nederlandsche Bank veel geleerd. Bij de bank heeft hij zich

Mooiste land

vooral gericht op Nederland en de Eurozone.

Alexander werkt in de Verenigde Staten, maar gaat ongeveer vier keer per jaar voor zijn werk naar het buitenland. Het

Na verloop van tijd is Alexander in contact gekomen met een

land wat hem daarbij het meest is bijgebleven, is Tadzji-

recruiter van IMF. Na een vrijblijvend gesprek heeft Alexan-

kistan. Dit is de armste voormalige Sovjetrepubliek. Er is

der besloten om te solliciteren bij IMF in Washington, waar

vrijwel geen toerisme. Ook zijn reizen naar Oostenrijk en

hij na een selectieprocedure in 2002 aan de slag is gegaan.

Australië zijn twee bijzondere ervaringen geweest voor

Momenteel is Alexander nog steeds werkzaam bij IMF en

Alexander. Dit heeft te maken met de werkcultuur in deze

ziet hij voldoende uitdagingen.

landen. In Oostenrijk is de cultuur meer hiërarchisch en de Australische werkcultuur is losser en meer vergelijkbaar

Werken in het buitenland

met Nederland. Je kunt in Australië gewoon een biertje gaan

Alexander heeft overwogen om voor zijn promotieonder-

drinken met je baas. Het belangrijkste advies van Alexander:

zoek naar het buitenland te vertrekken, maar heeft toen

sta open voor nieuwe ervaringen en hou een open blik op

uiteindelijk besloten om in Nederland te blijven. De belang-

het buitenland!

vuurwerk #7

mei 2008

jaargang 4

19

WISKUNDE/

Forecasting National Electricity Load Consumption: A case study for France Siem Jan Koopman, Marius Ooms en Virginie Dordonnat

The Time Series Econometrics group of the VU has recently developed a statistical model for the short-term forecasting of hourly electricity loads for the French market, in cooperation with Electricité de France (EDF). Accurate models for electric power load forecasting are essential to the operation and planning of EDF. Load forecasting helps EDF to make important decisions including decisions on price setting, purchasing and generating electric power, load switching, and infrastructure development. Load forecasts are extremely important for energy suppliers but also for financial institutions and other participants in electric energy generation, transmission, distribution, and trade. Load forecasts can be divided into three categories: short-term forecasts which are usually from one hour to one week, medium term forecasts which are usually from a week to a year, and long-term forecasts which are longer than a year. The forecasts for different time horizons are important for different operations within EDF. For example, short-term forecasting is important as the national grid requires a balance between produced and consumed electricity at any moment in the day whereas long-term forecasting is relevant for the planning of new electricity utilities. It is clear that inaccurate forecasts have important financial costs.

Electricité de France (EDF) is a leading player in the Euro-

tricity load forecasting. Our forecasting method is based on

pean energy industry, present in electricity power genera-

the decomposition of a time series of electricity loads into

tion, sales, trading and research and development. EDF is

a trend effect, time-varying seasonal effects (yearly, weekly,

known as the main French national electricity producer and

daily), calendar effects (holidays) and weather dependent

provider but it also has solid positions in other European

effects (temperature, cloud cover), see Figure 2. The effects

countries. Our study for EDF has focused on short-term elec-

are specified as evolving over time. In other words, the time

1 Siem Jan Koopman is hoogleraar econometrie bij de afdeling Econometrie, [email protected]; Marius Ooms is universitair hoofddocent bij de afdeling Econometrie, [email protected]; Virginie Dordonnat is promovendus bij de EDF en bij de afdeling Econometrie, [email protected], De Boelelaan 1105, 1081 HV Amserdam.

20

vuurwerk #7

mei 2008

jaargang 4

series model parameters are time-varying. This approach

multivariate time-varying regression models are explained by

­allows us to capture changes in the consumption behaviour

Durbin and Koopman (2001).

of French firms and citizens. The ability of models to adapt to these changes is crucial in the current era of privatization of

A case study for French national loads

the electricity market. Customers adjust their consumption

The dataset consist of the French national hourly electricity

patterns in the light of their new opportunities for deciding

consumption from September 1, 1995 until August 31, 2004.

where and when to buy electricity at which price.

This hourly time series is for nine years and consists of 3288

The first aim of our current research project with EDF has

daily or 78912 hourly observations. The dataset is compiled

been the examination of the evolution of the effect of expla-

by EDF and is complete, that is, no missing observations are

natory variables on the total French electricity load via the

present. However, some days are intentionally considered

time-varying structure of a short-term forecasting model. This

as missing and excluded from the analysis in this study.

evolution is related to the gradual market penetration and

On these days, which are known as EJP (Effacement Jour de

slowly changing efficiency of electricity utilities, for example

Pointe: Peak Day Withdrawal) days, the load supply is subject

for the heating and cooling effects. These adjustments are also

to special tariffs. These financial incentives are introduced

determined by changes in users’ behaviour, for example for

to cut heavy consumption. The EJP tariffs are activated when

the Friday afternoon effect. In addition to changes according to

high levels of consumption and/or when problems with

the hour of the day, we discover a yearly pattern in the effect

electricity supply (production) are expected to occur on

Accurate models for electric power load forecasting are essential to the operation and planning of EDF of temperature on the electricity load. Such changes are not

working days between November and March. On these days,

independent across the different hours of the day, so we study

the daily load and the hourly load curve are severely affected

the different hourly loads in one joint model allowing for

and standard dynamic regression models will overestimate

cross-equation correlations in the innovations.

electricity demand.

The second aim of our project has been the provision of

Different averages of French electricity consumption are

accurate short-term hourly forecasts, from one day to one

presented in Figure 1, showing the main periodic characteris-

week ahead. The interpretation of the time-varying effects

tics of hourly electricity loads. Display (a) shows the monthly

helps us in understanding possible forecast inaccuracies. Such

averages for the complete sample and it shows that January

insights into the dynamic characteristics of electricity loads

consumption is highest and consumption in the holiday

can be very useful in the daily practice of load forecasting.

month of August is lowest. The other displays present the hourly averages for (b) the complete sample, (c) the winter

Our model is based on multiple equations: each equation

months and (d) the summer months. In all cases, the lowest

is associated with a particular hour of the day. Cross-cor-

electricity consumption is observed at 5 AM while the con-

relations between the hourly effects are captured as well.

sumption is highest at 13 AM except in the winter months

The model can be described as a linear multiple-equation

when consumption peaks at 7 PM. Apart from the overall

model with stochastic time-varying regression parameters.

level of consumption, the intra-daily electricity load curves

The flexible formulation of the model provides an under-

in winter and summer are quite similar except in the early

standing of the possible causes of the time-varying trends

evening hours of 6 – 9 PM when consumption increases

and seasonal patterns. Our results are consistent with expert

during the winter period only.

analyses from EDF. The mathematical and statistical details of our approach are reported in Dordonnat, Koopman, Ooms,

Apart from calendar information for holidays and other

Dessertaine, and Collet (2008). The principles of the econome-

special days, the dataset also includes hourly temperature,

tric methodology for specification, estimation and testing of

cloud cover measures and one-day-ahead forecasts of hourly

vuurwerk #7

mei 2008

jaargang 4

21

Figure 1: Average Electricity Loads in France 1995-2004. (a): per month, (b): per hour of the day. (c): per hour of the day in winter. (d): per hour of the day in summer.

temperature, provided by Meteo France. Data for different re-

y(t,i) = f(t,i) + X(t,i)β(t,i) + W(t) γ(t,i) + ε(t,i),

ε(t,i) ~ NID(0,σ2(i)),

gions are weighted to construct a national average for hourly average temperature, their one-day forecasts and cloud cover.

where f(t,i) is the trend component, X(t,i) is a vector of expla-

The use of weather variables in our forecasting model is

natory variables that change with day t and hour i whereas

crucial as approximately 28% of the private homes in France

W(t) is a vector of explanatory variables that only changes

use electric heating. Temperatures explain a large part of the

with day t, for t = 1, ... , n and i = 1, ... , k with k typically equal

seasonal variation in the loads.

to 24 in the case of hourly data. Examples of variables in X(t,i)

Figure 2 provides some further graphical insights in our

are temperature and cloud cover since these variables change

dataset. Display (a) presents the daily French national electri-

with the hour. Examples of variables in W(t) are dummies

city consumption at 9 AM. The yearly seasonal cycle is clearly

indicating day-type and dummies indicating holidays. These

visible and a positive trend is also detectable from the data.

variables do not change with the hour. The disturbance ε(t,i)

These features also appear to various extents in the other

is a random variable with mean zero and a variance σ2(i) that

hours of the day. Display (b) presents the hourly load for the

can be different for different hours.

year 2002. In this graph the weekly seasonality of electricity

The trend component f(t,i) represents the long-term changes

load becomes apparent as well as the effect of the summer

in electricity consumption. The flexible stochastic specifica-

holiday in August and the effect of the special tariff EJP days.

tion of a time-varying trend component is given by the socalled local linear trend model:

The time series with the last three weeks of the hourly loads in our dataset, that is from Monday, August 8, 2004 until



f(t+1,i) = f(t,i) + g(t,i) + v(t,i), g(t+1,i) = g(t,i) + w(t,i),

Sunday, August 29, 2004, is presented in Display (c). The magnitude of the weekly and daily load curves becomes apparent

where g(t,i) is the time-varying growth term of the trend

in this way. The load decreases during Saturday, Sunday and

while the disturbances v(t,i) and w(t,i) are mutually and

the night hours of all days in the week are distinct from each

contemporaneously uncorrelated normally distributed noise

other and from the working day hours generally. Display (d)

terms with mean zero and non-zero variances. From vari-

presents the well-known non-linear relationship between

ous textbook treatments, we can learn that the forecasting

electricity load and average national temperature at 9 AM. The

function of the local linear trend model is the well-known

break in the regression curve appears to be at around 15 C.

non-seasonal Holt-Winters method. The discount coefficients of this forecasting scheme are determined by the variances

Some mathematical details

of the disturbances in the local linear trend model. Some

Systematic analysis of the time-varying effects is impossible

regression coefficients in β(t,i) and γ(t,i) may be time-varying

without specifying an econometric time series model. The-

and can be specified in a similar way as f(t,i) while other co-

refore we sketch the formal specification of our model for

efficients in β(t,i) and γ(t,i) are treated as fixed and unknown

interested readers. Let y(t,i) denote the electricity load at day

regression coefficients.

t and hour i, measured in Megawatt. The basic model for the

22

electricity loads that we consider in our study is a seemingly

Although we have only given a sketch of the model, it reveals

unrelated regression equations (SURE) model where each

the basic framework and the key ideas underlying the full

equation represents a particular hour of the day i. The hourly

model specification. The user only needs to concentrate on

regression equation is given by

the specification of the model since appropriate software can

vuurwerk #7

mei 2008

jaargang 4

Figure 2: Hourly Loads for France: (a), (b): Load at 9 AM versus calendar time. (c): Hourly load versus time. (d): Load at 9 AM versus temperature at 9 AM, 1995-2004.

be developed that carries out the necessary computations

for 1, 2 and 3 days ahead. The electricity loads for working

for forecasting in an automated fashion. The purpose of our

days and Saturdays can be forecasted most accurately while

analysis is to determine the underlying trend components

those on Mondays and Sundays are more difficult to forecast.

f(t,i) and possibly some time-varying coefficients in β(t,i) and

We have also found that the hourly loads for holidays are the

The estimation results reveal interesting trends and time-varying regression coefficients γ(t,i), simultaneously with the estimation of the other para-

most difficult to forecast since they come in small numbers

meters of the model. The econometric methodology provides

and the observed loads vary more than on other days.

forecasts for the trends and coefficients by a set of basic algorithms. The interpretation of the estimated components and

Finally, the estimation results reveal interesting trends and

forecasts does not require special knowledge of the econome-

time-varying regression coefficients. Some of our empiri-

tric methods that are used.

cal findings have been known by experts at EDF but have not been properly measured earlier. For example, we have

Estimation results and forecasting performance

detected a slow increase of the cooling effect on loads in our

The forecasting performance of our new model is investi-

model, a feature which has not been appropriately captured

gated for the post-sample observations from September 1,

by other models. Furthermore, the model has identified

2003 until August 31, 2004. Since the model includes weather

systematic time-varying yearly patterns in the heating regres-

variables as explanatory variables, the forecasting accuracy

sion coefficients and strong correlations between the changes

can be based either on true hourly values of the weather

in the time-varying regression coefficients for the different

variables or on their one-day ahead forecasts. The former

hours of the day.

may be preferred to avoid discussing external inaccuracies due to weather forecast errors, while the latter is preferable

References

to compare models as they would be used in real on-line

Dordonnat, V., S. J. Koopman, M. Ooms, A. Dessertaine and

forecasting situations. Since we have both true temperatures

J. Collet (2008), An hourly periodic state space model for model-

and one-day ahead temperature forecasts available in our

ling French national electricity load. Discussion Paper 08-008/4,

data base, we can evaluate the forecasts of our model for

Tinbergen Institute Amsterdam.

both situations. Detailed estimation and forecasting results are presented in Dordonnat, Koopman, Ooms, Dessertaine,

Durbin, J. and Koopman, S. J. (2001), Time Series Analysis by

and Collet (2008). For example, the forecasts of our model at

State Space Methods, Oxford University Press, Oxford, UK.

the morning hours such as 9 AM have proven to be more accurate compared to those obtained from competing methods and models. Overall, the forecasting results are satisfactory vuurwerk #7

mei 2008

jaargang 4

23

WISKUNDE/

Bayesiaanse kansrekening: verfrissend en leerzaam Henk Tijms1 Bayesiaanse kansrekening verenigt eenvoud met praktische toepasbaarheid en is een tak van de kansrekening die zich richt op beslissingssituaties met onzekerheid welke niet voor herhaling vatbaar zijn. Voorbeelden van dit soort problemen zijn medische beslissingen bij de behandeling van een patiënt of beslissingen in de rechtszaal over schuld of onschuld van een verdachte. Grote bedrij-

In het onderwijs zou men er verstandig aan doen om – naast de klassieke kansrekening / statistiek over herhaalbare kansexperimenten – de nodige aandacht te besteden aan Bayesiaanse kansrekening / statistiek. Zeker nu de praktische bruikbaarheid van significantietests uit de klassieke statistiek steeds meer ter discussie staan en deze tests meer en meer vervangen worden door Bayesiaanse methoden (zie de referenties 3 en 5). Hoe vaak wordt de p-waarde uit de klassieke statistiek niet ten onrechte geïnterpreteerd als de kans dat de veronderstelde hypothese waar is gegeven de data, terwijl de p-waarde alleen de kans geeft op de data of nog extremere data onder de veronderstelde hypothese wanneer het betreffende experiment voor herhaling vatbaar is. Bayesiaanse methoden maken het wel mogelijk een uitspraak te doen over wat de kans is dat een hypothese waar is gegeven de data.

ven – voornamelijk farmaceutische bedrijven – gebruiken steeds meer Bayesiaanse methoden in plaats van traditionele statistische methoden bij het op de markt brengen van nieuwe producten of bij het nemen van investeringsbeslissingen op basis van onderzoeksdata.

Studenten voor wie wiskunde niet de eerste keus is, zullen met Bayesiaanse kansrekening het nut en de kracht van de wiskunde meer waarderen. Een basiskennis van Bayesiaansdenken zal in het latere leven van veel studenten, voornamelijk die later in de medische wereld of de wereld van de rechtspraak hun beroep uitoefenen, van pas komen. Medische en juridische blunders zoals in de recente zaak van Sally Clark, die in Engeland ten onrechte tot levenslang veroordeeld werd vanwege de wiegendood van haar twee opeenvolgend geboren baby’s, zouden hiermee voorkomen kunnen zijn. In Nederland zou de zaak Lucy de B., de vermeende seriemoordenares, ook anders gelopen zijn als bij de rechters

1 Henk Tijms is hoogleraar Operations Research bij de afdeling Econometrie, De Boelelaan 1105, 1081 HV Amsterdam, [email protected]

24

vuurwerk #7

mei 2008

jaargang 4

In Nederland zou de zaak Lucy de B., de vermeende seriemoordenares, ook anders gelopen zijn als bij de rechters en advocaten enig inzicht in de Bayesiaanse kansrekening aanwezig was geweest. en advocaten enig inzicht in de Bayesiaanse kansrekening

jouw gezichtsveld twee dobbelstenen geworpen en vertelt

aanwezig was geweest.

je dat één van de dobbelstenen een zes gaf. Wat is de kans dat de andere dobbelsteen ook een zes geeft? Het antwoord

De formule van Bayes

wordt berekend als

Het begrip conditionele kans is essentieel in de (Bayesiaanse)

menigeen verwacht zou hebben. Zou echter één van de

kansrekening. Het is een intuïtief begrip dat voor de meeste

dobbelstenen op de grond gevallen zijn en je zou gezien

leerlingen direct duidelijk is zonder een theoretische be-

hebben dat die steen een zes gaf, dan was het antwoord wel

schouwing. Bijvoorbeeld, bijna iedereen redeneert als volgt

geweest. Dit voorbeeld illustreert fraai een basisles uit de

wanneer gevraagd wordt naar de kans op twee azen bij het

kansrekening: kansen veranderen als extra informatie ter

random trekken van twee kaarten uit een grondig geschud

beschikking komt. Uitgaande van de regel voor voorwaarde-

pak van 52 kaarten. De kans op een aas met de eerste kaart is

lijke kans, is het een kleine stap naar de regel van Bayes. Deze

. Gegeven dat één aas uit het pak kaarten is, dan is de kans op een aas met de tweede kaart gelijk aan . De gevraagde kans is dus

= . Het antwoord is dus niet

zoals

regel kent verschillende formuleringen. De meest aansprekende is de formulering in termen van “odds”.

x . Dit is een toepassing van de basisregel:

Klassieke denkfout Beschouw de volgende situatie: ‘0.8% van vrouwen van begin 40 die aan een routineonderzoek meedoen hebben borstIn woorden, de kans dat zowel gebeurtenis A als gebeurtenis

kanker. 90% van de vrouwen met borstkanker testen positief,

B optreedt wordt uitgerekend door de kans dat gebeurtenis A

terwijl van de vrouwen zonder borstkanker 7.5% een posi-

optreedt te vermenigvuldigen met de conditionele kans dat

tieve testuitslag krijgt. Mevrouw Peterson in de genoemde

gebeurtenis B optreedt gegeven de informatie dat gebeurte-

leeftijdsgroep krijgt bij een routineonderzoek een positieve

nis A is opgetreden. Vele aardige sommetjes zijn voorhanden

testuitslag. Wat is de kans dat ze werkelijk borstkanker

om deze basisregel of de equivalente formule

heeft?’ Deze vraag werd in een Amerikaans onderzoek aan een groot aantal medici voorgelegd. Veel van de medici gaven een

te oefenen.

verkeerd antwoord en schatten de kans in de orde van 75%.

Een aardige illustratie is de volgende. Iemand heeft buiten

Het correcte antwoord is 8.8%! Blijkbaar dachten vele medici

vuurwerk #7

mei 2008

jaargang 4

25

dat de kans op borstkanker gegeven een positieve uitslag in

Bayes in odds vorm

de buurt moet liggen van de kans op een positieve uitslag

Het begrip “odds” wordt veelvuldig gebruikt in de wereld

gegeven borstkanker. Dit fenomeen staat in de literatuur

van het gokken. Het is een andere manier om kansen weer te

bekend als de “prosecutor’s fallacy” naar de aanklager die de

geven. De odds van een hypothese is de kans dat de hypo-

kans op onschuld van een verdachte met dezelfde zeldzame

these waar is gedeeld door de kans dat de hypothese niet

Blijkbaar dachten vele medici dat de kans op borstkanker gegeven een positieve uitslag in de buurt moet liggen van de kans op een positieve uitslag gegeven borstkanker lichaamskenmerken als de dader verwart met de (uiterst

waar is. Een hypothese die waar is met kans p heeft dus odds

kleine) kans dat een willekeurig gekozen persoon deze ken-

p/(1-p). Omgekeerd odds a betekent een kans a/(1+a). Voor een

merken heeft. Een interessante bevinding in het Amerikaan-

hypothese H en evidentie E voor de hypothese, luidt de regel

se onderzoek was ook dat het percentage foute antwoorden

van Bayes in odds vorm:

veel lager lag als het probleem in de volgende aangepaste vorm werd gepresenteerd: ‘gemiddeld 80 van 10000 vrouwen van begin 40 die aan een routineonderzoek meedoen hebben borstkanker. Van elke 80 vrouwen met borstkanker krijgen 72 vrouwen een positieve

oftewel in woorden Posterior odds = prior odds x waarschijnlijkheidsratio.

testuitslag, terwijl van de 9920 vrouwen zonder borstkan-

In deze formule representeert de prior kans P(H) de waarde

ker 744 vrouwen een positieve testuitslag krijgen. Als 10000

van de kans dat de hypothese H (“mevrouw Peterson heeft

vrouwen van begin 40 een routineonderzoek ondergaan,

borstkanker”) waar is voordat de evidentie E (“de testuitslag

welk percentage van de vrouwen met een positieve testuit-

van mevrouw Peterson is positief”) bekend is en represen-

slag heeft dan werkelijk borstkanker?’ De berekening

teert de posterior kans P(H|E) de waarde van de kans dat de

x 100% = 8.8% werd wel correct gemaakt door de meeste

hypothese H waar is nadat evidentie E bekend is. Analoog,

doctoren.

P(niet-H) en P(niet-H|E). De kans P(E|H) geeft de kans op de evidentie E als de hypothese H waar is. Analoog, P(E|niet-H).

Gigerenzer in zijn boek Calculated Risks bepleit de aanpak om

Het quotiënt P(H)/P(niet-H) heet de prior odds van de hypo-

probleemstellingen zoals bovenstaande in termen van “na-

these H en het quotiënt P(H|E)/P(niet-H|E) de posterior odds

tuurlijke frequenties” te presenteren. Deze “houtje-touwtje”

van de hypothese. Het quotiënt P(H|E)/P(niet-H|E) heet de

aanpak werkt ook heel goed in het beroemde driedeurenpro-

waarschijnlijkheidsratio vanuit de evidentie E. Deze ratio is

bleem (Monty Hall probleem):

een maat voor hoe sterk de evidentie is. Als de waarschijnlijkheidsratio hoger dan 1 is, dan spreekt de evidentie in

Denk in dat je 3000 keer aan de quiz meedoet, dan sta je ge-

het voordeel van de hypothese en zijn de posterior odds

middeld 2000 keer voor de verkeerde deur en veranderen van

hoger dan de prior odds. Belangrijk is dat men de precieze

deur geeft dus in gemiddeld 2000 van de 3000 gevallen de

waarden van de teller en noemer in de waarschijnlijkheids-

hoofdprijs. Echter het blijft een wat ad-hoc aanpak die niet

ratio niet hoeft te weten, de verhouding volstaat.

altijd bruikbaar is. Wat dat betreft is werken met kansbomen

26

een betere en systematischer aanpak. Op deze aanpak gaan

In een rechtszaak waar de evidentie een DNA-spoor is, is het

we niet in, maar wel op Bayes in odds vorm.

een forensische expert die een waarde aan de waarschijn-

vuurwerk #7

mei 2008

jaargang 4

lijkheidsratio toekent, maar is het de rechtbank die de prior

bekentenis van de verdachte. De regel van Bayes in odds

odds een waarde geeft.

vorm geeft inzicht in de onderliggende fout. Laat H = S

De afleiding van de Bayes formule in odds vorm is simpel.

de gebeurtenis zijn dat de verdachte schuldig is en laat E

De formule volgt direct door de relaties P(H|E) = P(E|H)[P(H)/

= B de gebeurtenis zijn van bekentenis van schuld. Wil de

P(E)]en P(niet-H|E) = P(E|niet-H)[P(niet-H)/P(E)]op elkaar te

bekentenis bijdragen tot de veroordeling, dan moet gelden

delen. De intuïtieve formule P(A en B) = P(A)P(B|A) volstaat

dat P(S|B) groter is dan de prior kans P(S). Uit de regel van

dus om de belangrijke formule van Bayes in odds vorm af

Bayes volgt met simpele algebra dat P(S|B) > P(S) alleen dan

te leiden. Meer voorkennis is niet nodig. Dit gevoegd bij de

geldt als P(B|S) groter dan P(B|niet-S) (voor 0 < p,q < 1 is p/(1-p)

vele interessante en leerzame toepassingen van de Bayes

> q/(1-q) alleen dan als p > q). Oftewel, P(S|B) groter dan P(S)

formule maakt dat de Bayesiaanse kansrekening een bij

geldt alleen dan als de bekentenis met grotere kans van een

uitstek geschikt onderwerp is voor het onderwijs in kwan-

schuldige afkomstig is dan van een onschuldige. In werkelijk-

titatieve methoden aan studenten van diverse pluimage. De

heid is het zeer discutabel of dit altijd het geval is. De regel

Bayes formule heeft een ereplaats in het boek 25 Big Ideas

van Bayes onderstreept dat een veroordeling nooit op een

(Oneworld Publishers, 2005) van de wetenschapsschrijver

bekentenis zonder verder bewijs mag berusten.

Robert Matthews.

Literatuur Laten we de formule nu toepassen om voor het eerder gege-

1. Dawid, A. P. (2005). Probability and Proof, on-line manuscript,

ven voorbeeld de aangepaste waarde van de kans te bere-

University College Londen (http://www.ucl.ac.uk/

kenen dat mevrouw Peterson kanker heeft gegeven dat de

~ucak06d).

routinetest positief uitvalt. De gegevens zijn:

2. Gigerenzer, G. (2002). Calculated Risks. Simon and Schuster, New York.

P(H) = 0.008, P(niet-H) = 0.992, P(E|H) = 0.9, P(E|niet-H) = 0.075. Invullen geeft de posterior odds

3. Goodman, S.N. (1999). Toward evidence-based medical statistics. 1: The p value fallacy. 2: The Bayes factor. Annals of Internal Medicine, 130, 995-1013. 4. Joyce, H. (2002). Beyond reasonable doubt. Plus Magazine, 21 (http://plus.maths.org). 5. O’Hagan, A. and Luce, B.R. (2003). A primer on Bayesian Statis-

oftewel de kans dat mevrouw Peterson werkelijk de ziekte heeft bij een positieve testuitslag is 0.09677/(1+0.09677)=0.088.

tics. University of Sheffield (http://www.shef.ac.uk/chebs). 6. Tijms, H.C. (2007). Understanding Probability: Chance Rules in Everyday Life (2de editie), Cambridge University Press,

Voor de lezer is het aardig zijn of haar denkraam te beproe-

Cambridge.

ven op het volgende klassieke voorbeeld dat afkomstig is van

7. W  agenaar, W.A. (1988). The proper seat: a Bayesian discus-

de beroemde psychologen Kahneman en Tversky. In een stad

sion of the position of expert witnesses. Law and Human

zijn twee taxibedrijven “Gele Rijders” en de “Witte Rijders”,

Behavior, 12, 499-510.

waarbij 85% van de taxi’s van het eerste bedrijf zijn en 15% van het tweede bedrijf. Op een regenachtige avond is een taxi na een aanrijding doorgereden. Een getuige van het ongeluk meent de taxi geïdentificeerd te hebben als een taxi van de “Witte Rijders”. Als de rechtbank de betrouwbaarheid van de waarneming van de getuige test onder vergelijkbare weersomstandigheden, dan blijkt dat in 80% van de gevallen de getuige de kleur van de taxi juist identificeert en in 20% van de gevallen verkeerd. Wat is de kans dat de doorgereden taxi inderdaad van de “Witte Rijders is?1

Inzicht met Bayes In de media horen we regelmatig over achteraf onterechte veroordelingen die in feite alleen gebaseerd waren op een

1 Voor het antwoord op deze vraag zie p.42.

vuurwerk #7

mei 2008

jaargang 4

27

maar ook hier bleek, vooral in de onderbouw van het voortgezet onderwijs, de zinloosheid van bijvoorbeeld het intensieve gebruik van de verzamelingenleer. We hadden toen terug kunnen keren naar wat wel het ‘mechanistische wiskundeCOLUMN/

onderwijs’ wordt genoemd, waarbij leerlingen via rijtjes van steeds complexere algebraopgaven naar het eindexamen werden geleid, maar onder invloed van Hans Freudenthal koos

Van nostalgie wordt het wiskundeonderwijs niet beter

Nederland vanaf de invoering van de Mammoetwet een andere koers. Op het Instituut voor Ontwikkeling van het WiskundeOnderwijs (IOWO), de in 1971 opgerichte voorloper van het Freudenthal Instituut, groeide het idee dat wiskunde op school beter floreerde als het in samenhang met voor de leerlingen betekenisvolle en uitdagende situaties werd aangeboden en als leerlingen de wiskunde werkelijk leerden gebruiken. Een belangrijke stap voor de bevestiging (‘evidence based’) van die zienswijze was de ontwikkeling van het vak wiskunde A op het vwo in de periode 1980-85. In tegenstelling tot de recente vernieuwingen in het onderwijs was er destijds ruimte voor een gedegen experiment en ik herinner me als de dag van gisteren de opleving van leerlingen en het enthousias-me van leraren op de eerste 12 proefscholen. Dat zo’n pro-gramma als wiskunde

Jan van Maanen 1

A nu, na bijna 25 jaar, toe is aan een nieuwe injectie is niet verbazingwekkend. Alleen al het feit dat wij centrale examens kennen, waarbij jaar in jaar uit originele opgaven moeten worden ontworpen, maakt dat die examens na verloop van tijd gekunsteld worden. De centrale examens hebben in Nederland

Het onderwijs ligt onder vuur. Nog nooit hebben de media

sterke invloed op de inhoud van de schoolboeken en dat werkt

zoveel kritische aandacht gehad voor wat zich op de scholen

weer door in het onderwijs dat op de examens voorbereidt.

afspeelt of juist niet afspeelt. Van de schoolvakken lijkt ‘rekenen en wiskunde’ wel een kop van Jut geworden, waar iedereen

Een belangrijk kenmerk van de stof in het huidige basis- en

naar hartelust op mag meppen, al dan niet gehinderd door

voortgezet onderwijs is dat deze veel sterker dan vroeger

kennis van zaken.

aansluit bij de leef- en denkwereld van de leerling. Begrijpen wat je doet als je met rekenen een bepaalde bewerking,

Na de tweede wereldoorlog werd wereldwijd de noodzaak

bijvoorbeeld een vermenigvuldiging, uitvoert is tegenwoordig

gevoeld om het wiskundeonderwijs een nieuwe impuls te

belangrijk, terwijl rekenen in de eerste decennia na de oorlog

geven. Het eerste grote initiatief was rond 1960 de beweging

neerkwam op het precies en snel uitvoeren van een serie

‘New Math’. In de landen die dit aanhingen, zoals Frankrijk,

voorgeschreven handelingen. Zij die om het hardst roepen dat

kwam de nadruk te liggen op overkoepelende en abstracte

we weer terug moeten naar het degelijke onderwijs dat ze zelf

structuren zoals die na eeuwenlange ontwikkeling van de

in hun jeugd hebben ‘genoten’, vergeten voor het gemak al die

wiskunde waren opgebouwd. New Math was een schoolvoor-

klasgenoten die bij het leren van formele procedures volstrekt

beeld van het op zijn kop zetten van de wereld. Zonder concrete

de draad kwijtraakten en afhaakten. Ze beseffen bovendien niet

en praktische problemen zou de structuralistische wiskunde

dat de jongeren van nu in een totaal andere wereld leven.

nooit hebben bestaan. En net zo min als je algebra goed kunt

Motivatie voor leren is minder op de autoriteit van de docent

leren zonder begrip van het rekenen met gewone getallen, is

gebaseerd en meer op de functie die het geleerde voor de

het mogelijk om de ‘ouderwetse’ wiskunde geheel over te slaan

leerling heeft. Daar komt nog bij dat er vanuit de toepassings-

en meteen te beginnen met nieuwere onderwerpen zoals

gebieden grote en nog steeds toenemende vraag is naar

groepentheorie. In allerlei landen deed men dat wel, en al gauw

wiskundigen die hun kennis kunnen inzetten voor het oplossen

werd duidelijk dat de invoering van New Math in het voortgezet

van praktijkproblemen. Aan de realiteit ontleende contexten

onderwijs een antididactische operatie was. We zijn in Neder-

spelen met reden een belangrijke rol in het onderwijs, in

land zeer terughoudend geweest met deze modernisering,

wisselwerking met het opbouwen van fundamentele kennis en

1 Jan van Maanen is hoogleraar “Didactiek van het wiskundeonderwijs” aan de Universiteit Utrecht en directeur van het Freudenthal Instituut

(de afdeling wiskunde van FIsme, het Freudenthal Institute for Science and Mathematics Education). Van 1975 tot 1992 was hij wiskundeleraar, eerst een jaar mavo, daarna vwo.

28

vuurwerk #7 mei mei2008 2008 jaargang jaargang44

vaardigheden, onderdelen die de leerling op elk moment paraat

minnen. Ze hadden geen houvast, want ze wisten niet waarmee

moet hebben: tafels van vermenigvuldiging, definities en

ze bezig waren. Dit is tegelijk de verklaring van het slechte

stellingen. Maar de mededeling dat ze ‘later’ zullen begrijpen

imago van de wiskunde onder de naoorlogse generatie: als kind

waar deze fundamenten voor dienen voldoet niet meer. Het

werden veel van hen jarenlang gedwongen om allerlei

bouwen en toepassen loopt door van de voorschoolse educatie

handelingen uit te voeren waarvan ze de plussen en minnen

tot en met het voortgezet en hoger onderwijs.

niet op de goede plaats konden krijgen, omdat ze niet begrepen

Degenen die terugverlangen naar het ‘degelijke’ onderwijs van

wat ze deden. Sommigen van hen wilden dokter worden maar

vroeger halen graag de metafoor van de muziekbeoefening aan

eindigden als ‘alfa’. Wie goed was in rekenen met letters en de

en stellen: “Als je een muziekinstrument wilt leren bespelen

Wet van Ohm mocht wèl medicijnen studeren.

moet je eerst toonladders en loopjes oefenen.” Alles klopt in deze bewering, behalve het woord “eerst”. Vanaf het begin moet

Ik stel u ten slotte voor aan Jasper en Kais (zeg maar ‘Kees’) uit

je muziek maken. Natuurlijk horen daar toonladders en loopjes

Zwolle. Ze deden een aantal jaren terug aan het einde van 5 vwo

bij, maar elk loopje moet mooi zijn, elke toonladder moet

als onderdeel van het schoolexamen een praktische opdracht

dynamiek hebben. Gelukkig zijn er voor alle instrumenten

over integreren. Ze merkten al doende dat ze niet zomaar alle

pedagogen geweest die mooie etudes hebben geschreven.

functies konden integreren. Daarover ging hun PO, en hun

Ook wiskunde-etudes moeten vanaf het begin als muziek in

leraar had ze naar mij verwezen. Voor de invoering van het

de oren klinken.

studiehuis kon je als leerling functies altijd integreren (daar zorgde je docent voor, anders was het geen goede som).

Veel bezwaren tegen het huidige reken- en wiskundeonderwijs

Historisch gezien was integreerbaarheid echter een

komen neer op de constatering dat het niet meer zo is als

fundamenteel probleem, dat rond 1840 werd opgelost door de

vroeger. “Kinderen beheersen de staartdeling niet meer.”

Franse wiskundige Liouville. Hij bewees dat sommige functies

Dat klopt, want de eerste stappen om grote delingen te leren

principieel niet te integreren zijn via een ‘primitieve in gesloten

maken werken niet met een doe-dit-doe-dat recept, maar

vorm’. Jasper en Kais kwamen me na een serie emails op de

beginnen bij de vraag wat ‘delen’ betekent. Als je 1040 door 42

universiteit opzoeken met lijsten functies die ze hadden

deelt (bijvoorbeeld omdat je wilt weten hoeveel bussen je nodig

geïntegreerd en ook een lijst van functies waarbij het ze nog

hebt om 1040 supporters te vervoeren), dan vraag je je af hoe

niet gelukt was. Deze leerlingen hadden veel meer kennis

vaak 42 in 1040 past. Zeker 10 keer (420), ook 20 keer (840),

van integreren en van de problematiek daarachter dan de

maar geen 40 keer (1680). 1040-840=200, en daar past net geen

leer­lingen van voor 1998 toen de Tweede Fase ingevoerd werd.

5 keer 42 in (210, de helft van 420) maar wel 4 keer (168). Conclusie: 1040:42=24 en dan heb je nog 200-168=32 als rest

Wat betekent dit voor het hoger onderwijs? In de eerste plaats

(je hebt dus 25 bussen nodig, en houdt dan nog wat lege stoelen

hebben de huidige eerstejaars als groep minder rijtjeskennis

over). Als ze op deze manier met delen beginnen, zetten de

dan de instroom tussen 1960 en 1990. Dat is met een chronisch

leerlingen de benodigde stappen omdat ze weten waarvoor die

teruglopend aantal lesuren en een andere besteding van die

nodig zijn. De snelle rekenaars leren bovendien in de loop van

lesuren niet vreemd. Wat je weinig hoort is dat er iets zeer

groep 8 nog steeds het staartdelen, aan het einde van de rit.

goeds voor in de plaats gekomen is. Want door PO’s en

In 2004 paste 41% van de leerlingen de staartdeling toe, soms

profielwerkstukken hebben de eerstejaars met elkaar een veel

in combinatie met de hierboven geschetste methode.

groter reservoir aan kennis dan vroeger (denk aan Jasper en

Vijftigers en zestigers, denk nog eens terug aan uw tijd op de

Kais). Voor de docenten en curriculumontwerpers in het hoger

lagere school. Waren uw klasgenoten allemaal even gelukkig

onderwijs zou dat een uitdaging moeten zijn. Maar nee, wat

onder de rekenles? Konden ze allemaal de stappen uit het

hoor ik vaak uit het hoger onderwijs: “We spijkeren ze wel bij,

staartdelingalgoritme uit elkaar houden? Ook toen was er een

tot ze weer op het oude niveau zijn.”

ruime groep die dit niet kon. Die ging op mijn lagere school na

Dat bijspijkeren is even hard werken, maar daarna is het leven

klas 5 eenvoudigweg niet naar de ‘opleidingsklas’; zij waren

weer als vanouds en kunnen de docenten hun dictaten uit de

voorbestemd om naar de ambachts- of huishoudschool te gaan.

vorige eeuw blijven gebruiken.

Nog steeds hebben volwassenen nachtmerries over hun tijd op de lagere en middelbare school, omdat ze hartstochtelijk hun

Als terecht geconstateerd wordt dat leerlingen van nu minder

best deden om de sommen goed te doen, maar toch weer de

reken- en algebravaardig zijn dan vroeger, dan moet er gezocht

oplossingen van de vierkantsvergelijking uitrekenden met

worden naar een eigentijds antwoord. Nostalgie is wel van deze

b + 4ac in plaats van 2

b - 4ac , omdat hun fotografische 2

tijd, maar een antwoord is het niet.

geheugen ze in de steek liet over de plaats van de plussen en

vuurwerk #7

mei 2008

jaargang 4

29

WISKUNDE/

De curator en de wiskundig econoom Gerard van der Laan1

Eén van de meest fundamentele vraagstukken in de

van dit probleem is het belastingverdeelprobleem.

economische theorie is het faillissementprobleem.

In plaats van een verdeling van de boedelwaarde

In een faillissement zijn er meerdere schuldeisers

over de schuldeisers gaat het dan over de vraag

die een claim hebben op de gefailleerde persoon

hoe het totaal op te brengen bedrag aan belasting

of onderneming, waarvan de som hoger is dan de

wordt omgeslagen over de belastingbetalers, waar-

boedelwaarde van alle resterende bezittingen. De

bij het inkomen van de belastingbetaler de plaats

curator staat voor de taak de boedelwaarde te ver-

van de claim inneemt. In dit artikel zullen we ons

delen over de schuldeisers. Dit is een speciaal geval

beperken tot het probleem van het verdelen van de

van het meer algemene rantsoeneringprobleem.

boedelwaarde, in het vervolg kortweg de boedel

Hierbij is de vraag hoe een bepaalde hoeveelheid

genoemd. We zullen daarbij zien dat de wiskunde

middelen te verdelen over economische agenten

een belangrijke bijdrage kan leveren aan het verge-

met conflicterende belangen. Een voorbeeld hiervan

lijken en evalueren van de verschillende regels die

is de Europese visserij, waarbij het totaal van de

voor het verdelen van de boedel kunnen worden

claims van diverse landen op de te vangen hoeveel-

toegepast.

heid vis hoger is dan de door de Europese Unie vastgestelde totale hoeveelheid. De tegenhanger

Introductie

1 G  erard van der Laan is hoogleraar wiskundige economie bij de afdeling Econometrie, De Boelelaan 1105, 1081 HV Amsterdam, [email protected]

30

vuurwerk #7 mei mei2008 2008 jaargang jaargang44

Allereerst bespreken we enkele bekende verdeelregels. Vervol-

is, dan krijgt ieder 20% van zijn claim uitgekeerd. Een tweede

gens zullen we een aantal eigenschappen van verdeelregels

bekende verdeelregel is de gelimiteerde uniforme uitkering. Volgens

de revue laten passeren. In de afgelopen 30 jaar is er door wis-

deze regel krijgt iedere crediteur een gelijk bedrag uitbetaald,

kundig economen veel onderzoek gedaan naar de vraag welke

maar met de restrictie dat niemand meer krijgt dan zijn claim.

regels voldoen aan welke eigenschappen. Het is aan de curator

Is in ons voorbeeld de boedel 2000, dan krijgen de eerste drie

om aan te geven aan welke eigenschappen een verdeelregel

‘kleine’ schuldeisers ieder hun claim geheel uitgekeerd, en

moet voldoen. Vervolgens kan de wiskundig econoom ant-

wordt het restant van 1300 gelijk verdeeld over de twee ‘grote’

woord geven op de vraag of er een regel is die aan de gestelde

schuldeisers. Dit geeft uitbetalingen 100, 200, 400, 650 en 650.

eigenschappen voldoet en zo ja, welke verdeelregels dat zijn.

De tegenhanger van deze regel is de gelimiteerde uniforme inhou-

Als geen enkele regel voldoet, dan zal de curator één of enkele

ding. Volgens deze regel wordt het totale verlies (het verschil

eigenschappen moeten laten vallen; als er meerdere regels

tussen de totale claim en de boedel) uniform over de schuldei-

zijn, dan is het mogelijk om verder te selecteren uit de be-

sers verdeeld, maar onder de restrictie dat niemand meer kan

schikbare regels door het toevoegen van een extra eigenschap.

verliezen dan zijn claim. Dit komt erop neer dat de claims eerst

We zullen deze bijdrage afsluiten met het karakteriseren van

geheel worden uitgekeerd, maar dat vervolgens het tekort via

verdeelregels, d.w.z. we geven steeds een aantal eigenschap-

de gelimiteerde uniforme uitkering op de schuldeisers wordt

pen welke gezamenlijk een verdeelregel bepalen als de unieke

verhaald. In ons voorbeeld met boedel 2000 is er een tekort van

regel die aan de gestelde eigenschappen voldoet. We moeten

900. De gelimiteerde uniforme uitkering geeft dan de verdeling 100,

Het is aan de curator om aan te geven aan welke eigenschappen een verdeelregel moet voldoen hierbij wel goed in de gaten houden dat er een onderscheid is

200, 200, 200 en 200 van het tekort over de crediteuren, zodat

tussen een verdeling en een verdeelregel. Een verdeling geldt

de uitbetalingen 0, 0, 200, 800 en 1000 zijn.

voor één specifiek geval, daarentegen is een verdeelregel een wiskundig voorschrift (functie) dat voor elke willekeurige fail-

Talmudverdeling

lissementsituatie (wat betreft aantal schuldeisers, boedel en

In de Talmud komen we het faillissementprobleem ook al

claims) aangeeft hoe de verdeling moet zijn. Een verdeelregel

tegen. Voor een situatie met twee claims van 100 en 200 en een

is dus een algoritme in een black box: als de curator het aantal

boedel van 200 wordt voorgesteld om de eerste crediteur 50

schuldeisers, de boedel en de claims invoert, dan bepaalt het

uit te betalen en de tweede 150. De redenering is dat de eerste

algoritme de verdeling.

100 van de boedel door beiden wordt geclaimd en dus gelijkelijk over beiden moet worden verdeeld, maar dat de eerste

Verdeelregels

schuldeiser geen claim heeft gelegd op de tweede 100 en deze

Uit de literatuur zijn er veel verdeelregels bekend om dit

dus geheel aan de tweede schuldeiser kan worden uitgekeerd.

probleem op te lossen. In deze bijdrage beperken we ons tot

In een situatie met drie claims van 100, 200 en 300 geeft Rabbi

regels die niet-negatief, claimbegrensd en efficiënt zijn, d.w.z.

Nathan de in onderstaande tabel staande aanbevelingen voor

iedereen krijgt een niet-negatieve uitkering (niemand hoeft bij

drie verschillende boedelwaarden.

te betalen), niemand krijgt meer dan zijn claim en het totaal van de uitbetalingen is gelijk aan de boedel. We zullen de

Claims

regels steeds illustreren voor een situatie met vijf claims: 100,

Boedel

200, 400, 1000 en 1200 met een totaal van 2900. De meest bekende en ook in de praktijk van faillissementsitua-

100

200

300

100

331/3

331/3

331/3

200

50

75

75

300

50

100

150

ties wellicht de meest gebruikte verdeelregel is de proportionele verdeling. Iedere schuldeiser krijgt uitbetaald naar rato van zijn

Volgens deze tabel wordt dus bij een boedel van 100 de geli-

of haar claim. Als in ons voorbeeld met 5 claims de boedel 580

miteerde uniforme uitkering toegepast, maar bij een boedel van

vuurwerk #7

mei 2008

jaargang 4

31

300 de proportionele verdeling. De motivatie voor de verdeling

totale claim, wordt eerst de totale claim uitgekeerd en wordt

bij 200 is lang onbekend geweest. Het waren de wiskundig

vervolgens, om het tekort op de schuldeisers te verhalen, de

economen Aumann en Maschler die in 1985 een verdeelregel

gelimiteerde uniforme uitkering-regel toegepast met de helft van

vonden die de in de tabel gegeven uitkomsten geeft en ook

de claims. In deze situatie verliest een crediteur dus hooguit

in elke willekeurige faillissementsituatie kan worden toege-

de helft van zijn claim. Is in ons voorbeeld de boedel gelijk

past. Tegenwoordig wordt dit in de literatuur de talmudverde-

aan 2000, dan wordt het verlies van 900 verdeeld volgens 50,

ling genoemd. Hierbij wordt onderscheid gemaakt tussen

100, 200, 275 en 275, zodat de uitbetalingen 50, 100, 200, 725

twee situaties, namelijk de boedel is minder of meer dan de

en 925 zijn.

helft van de totale claim (als de boedel precies gelijk is aan de helft maakt het niet uit welke situatie wordt toegepast).

Tegengestelde Talmud

Bij een waarde van minder (of gelijk) aan de helft van de

Recentelijk is in de literatuur een tegenhanger van de talmud-

totale claim, wordt de gelimiteerde uniforme uitkering-regel

regel voorgesteld, we zullen dit de tegengestelde Talmud- regel

toegepast, maar met slechts de helft van de claims. Bij een

noemen. Deze is gelijk aan de Talmud, behalve dat in plaats

boedel van 1300 in ons voorbeeld met de vijf claims geeft dit

van de gelimiteerde uniforme uitkering-regel nu in beide situaties

een verdeling van 50, 100, 200, 475 en 475. In deze situatie

(boedel meer of minder dan de helft van de totale claim) de

krijgt een crediteur dus hooguit de helft van zijn claim uit-

gelimiteerde uniforme inhouding regel wordt toegepast op de

betaald. Als de waarde meer (of gelijk) is aan de helft van de

helft van de claims. Bij een boedel van 1300 krijgt nu eerst

In de Talmud komen we het faillissementprobleem ook al tegen

32

vuurwerk #7

mei 2008

jaargang 4

Onderhandelen over uitgangspunten lijkt daarom een goed alternatief voor directe onderhandelingen over quota iedereen de helft van zijn claim en wordt vervolgens het

om een aantal uitgangspunten overeen te komen waaraan de

resterende verlies van 150 gelijkelijk verdeeld. Dit resulteert

verdeelregel moet voldoen.

in uitbetalingen 20, 70, 170, 470 en 570. Bij een boedel van 2000 krijgt eerst iedereen zijn claim uitbetaald en wordt

Het eerste uitgangspunt is gelijke behandeling, dit wil zeggen dat

vervolgens het tekort van 900 verhaald volgens de gelimiteerde

twee crediteuren met een gelijke claim dezelfde uitbetaling

uniforme inhouding met de helft van de claims. Dit resulteert 1 1 1 in uitbetalingen 100, 200, 333 /3 , 633 /3 en 733 /3.

krijgen. Een tweede uitgangspunt is schaalinvariantie: het maakt niet uit in welke (munt)eenheid de claims en de boedel zijn gegeven. Een situatie met alle waarden in euro’s leidt tot

Uitgangspunten voor verdeelregels

dezelfde uitkomst als een situatie met alle waarden in dollars.

We komen nu bij de vraag een keuze te maken uit deze en

Ten derde noemen we de eigenschap van compositie onafhanke-

de vele andere in de literatuur bekende verdeelregels, die we

lijkheid. Stel dat de boedel eerst op een bedrag A wordt geschat

hier niet zullen bespreken. Uiteraard zal een willekeurige

en wordt een verdeelregel toegepast om vooruitlopend op de

crediteur het liefst de voor hem gunstigste verdeelregel zien

eindafrekening dit bedrag al te verdelen.

toegepast. Dit geeft tegenstrijdige belangen, waarbij elke

Later komt een aanvullend bedrag B beschikbaar en dat

crediteur moet bedenken dat een regel die vandaag gunstig

wordt dan ook verdeeld volgens dezelfde regel, maar met

kan uitvallen, morgen in een andere situatie ongunstig kan

het restant van de claims. Dan is de uiteindelijke uitbeta-

zijn. Denken we aan landen binnen de Europese Unie die

ling gelijk aan de uitbetaling die zou zijn verkregen als de

moeten onderhandelen over visquota, dan is een alternatief

verdeelregel direct op het totaal A + B zou zijn toegepast. De

vuurwerk #7

mei 2008

jaargang 4

33

eigenschap van pad onafhankelijkheid is hiervan de tegenhan-

vervolgens het tekort volgens dezelfde regel (en toegepast met

ger. Als later blijkt dat de boedelwaarde minder dan A is en

dezelfde claims) op de crediteuren wordt verhaald. We hebben

het tekort B wordt verhaald volgens de verdeelregel met als

nu het volgende karakterisering resultaat. Er is maar één regel

claims de aanvankelijke uitbetalingen, dan geeft dit de-

die voldoet aan pad-onafhankelijkheid, consistentie en vrijstelling, dit

zelfde eindbetalingen als in het geval de verdeelregel direct

is de gelimiteerde uniforme uitbetaling-regel. Deze stelling zegt dus

op A – B zou zijn toegepast. Als vijfde eigenschap noemen

dat geen enkele andere regel deze drie eigenschappen combi-

we consistentie. Dit houdt het volgende in. De boedel wordt

neert. Als de curator aan de wiskundig econoom om een regel

verdeeld en een aantal crediteuren accepteren de uitkomst.

vraagt met deze drie eigenschappen, dan voldoet alleen de geli-

De anderen willen de situatie opnieuw bezien. Zij voegen

miteerde uniforme uitbetaling regel. We zien dus ook dat de additi-

hun uitbetalingen weer samen en verdelen dit bedrag dan

onele eis van vrijstelling deze regel selecteert als de enige van de

opnieuw op basis van hun oorspronkelijke claims. Een ver-

drie regels die voldoen aan de eerste vijf genoemde eigenschap-

deelregel is consistent als de uiteindelijke uitbetalingen aan

pen. De eigenschappen uitsluiting en zelf-dualiteit selecteren

deze crediteuren gelijk zijn aan de aanvankelijke uitbetalin-

de andere twee regels. De gelimiteerde uniforme inhouding regel

gen. Dit lijkt een voor de hand liggende eis te zijn, maar niet

wordt uniek gekarakteriseerd door compositie onafhankelijkheid,

alle regels voldoen aan deze eigenschap. Wel zijn alle in dit

consistentie en uitsluiting; de proportionele verdeling wordt uniek

artikel besproken regels consistent.

gekarakteriseerd door gelijke behandeling, compositie (of pad) onafhankelijkheid, consistentie en zelf-dualiteit.

De Talmud regel wordt uniek gekarakteriseerd door consistentie, dus geen andere regel die aan deze drie eigenschappen voldoet Eigenschappen

Ten slotte wil ik karakteriseringen geven van de Talmud en

Recent wiskundig economisch onderzoek heeft aangetoond

de tegengestelde Talmud-regel. Een verdeelregel voldoet aan

dat er maar drie verdeelregels zijn die aan alle vijf bovenge-

onafhankelijkheid van claim begrenzing als de uitbetalingen niet

noemde eigenschappen voldoen. Dit zijn de proportionele verde-

veranderen indien elke claim groter dan de boedel wordt ver-

ling, de gelimiteerde uniforme uitkering en de gelimiteerde uniforme

vangen door een claim ter grootte van de boedel. De gedachte

inhouding regel. Als de curator kiest voor een verdeelregel met

hiervoor is dat er niet meer kan worden geclaimd dan de

deze vijf eigenschappen, dan vallen de Talmud en de tegengestel-

boedel groot is. Hoewel dit voor de hand liggend is, voldoen

de Talmud regel af. Deze regels voldoen niet aan de eigenschap-

bijvoorbeeld de proportionele verdeling en de gelimiteerde unifor-

pen van compositie en pad onafhankelijkheid. Omgekeerd leveren

me inhouding regel niet aan deze eigenschap. De Talmud regel

de vijf eigenschappen nog niet een uniek bepaalde verdeel­

wordt uniek gekarakteriseerd door consistentie, zelf-dualiteit

regel op. We bespreken daarom nog enkele eigenschappen.

en onafhankelijkheid van claim begrenzing, er is dus geen andere regel die aan deze drie eigenschappen voldoet.

Allereerst de eigenschap van vrijstelling, d.w.z. dat kleine

34

claims niet verantwoordelijk worden gehouden voor het

Een regel is zwak proportioneel als bij een toename van de boe-

tekort. Meer precies, een claim die hooguit gelijk is aan de ge-

del de toename van de uitbetaling aan een claim minimaal

middelde uitbetaling (boedel gedeeld door aantal crediteuren)

gelijk is aan de toename van de uitbetaling aan elke kleinere

wordt volledig uitbetaald. De tegenhanger hiervan is de eigen-

claim. Grotere claims krijgen dus minimaal evenveel extra

schap van uitsluiting. Deze eigenschap zegt dat er een eigen

als kleinere claims. Eerder hebben we gezien dat geen enkele

risico is. Een schuldeiser met een claim die hooguit gelijk is

regel voldoet aan zowel vrijstelling als uitsluiting. Twee zwakkere

aan de gemiddelde uitbetaling krijgt niets uitgekeerd. Het zal

eigenschappen zijn beperkte vrijstelling en beperkte uitsluiting.

duidelijk zijn dat deze twee eigenschappen conflicterend zijn.

Een regel voldoet aan beperkte vrijstelling als een claim geheel

Een verdeelregel kan niet aan beide eigenschappen voldoen.

wordt uitgekeerd in het geval de boedel minimaal gelijk is aan

Een regel is zelf-duaal als het niet uitmaakt of de boedel wordt

het tekort en de claim hooguit gelijk is aan het gemiddelde

verdeeld, of dat eerst alle claims volledig worden uitgekeerd en

van het verschil tussen de boedel en het tekort. Een regel

vuurwerk #7

mei 2008

jaargang 4

voldoet aan beperkte uitsluiting als een crediteur niets krijgt

een regel karakteriseren, dan ligt de verdeling vast gegeven

uitgekeerd in het geval het tekort groter is dan de boedel en

de beschikbare hoeveelheid te vangen vis en de claims van de

de claim hooguit gelijk is aan het gemiddelde van het verschil

landen. Onderhandelen over uitgangspunten lijkt daarom een

tussen het tekort en de boedel. In een recent gezamenlijk

goed alternatief voor directe onderhandelingen over quota.

artikel met Van den Brink (VU) en Funaki (Waseda University,

Er kan echter slechts aan een beperkt aantal uitgangspunten

Japan) hebben we bewezen dat de tegengestelde Talmud regel

worden voldaan. Wiskundig kan worden aangetoond dat er

uniek is bepaald door consistentie, zwakke proportionaliteit, be-

bijvoorbeeld geen regel is die voldoet aan de vier eigenschap-

grensde vrijstelling en begrensde uitsluiting. Er is geen andere regel

pen compositie onafhankelijkheid, consistentie, uitsluiting en onaf-

die deze vier eigenschappen verenigt.

hankelijkheid van claim begrenzing, er is ook geen regel die voldoet aan zowel vrijstelling als uitsluiting. De wiskundig econoom

Toepassingen van wiskundige economie

is in staat om aan te geven welke uitgangspunten wel of niet

In dit artikel is ingegaan op de wijze waarop de wiskundige

te verenigen zijn en welke gevolgen de verschillende uitgangs-

economie kan bijdragen aan het oplossen van faillissement-

punten hebben voor de uitkomst van een verdeelprobleem en

problemen wat betreft de verdeling van de boedel over de

kan zo een waardevolle bijdrage leveren aan het oplossen van

claims. Een toepassing hiervan is bijvoorbeeld het verdelen

alledaagse problemen zoals boedelverdeling of het vaststellen

van visquota in de EU. Als de desbetreffende landen het eens

van visquota.

kunnen worden over een aantal uitgangspunten die uniek

zelf-dualiteit en onafhankelijkheid van claim begrenzing, er is

vuurwerk #7

mei 2008

jaargang 4

35

WISKUNDE/

Economen maken dankbaar gebruik van methoden die in andere wetenschappen zijn ontwikkeld. Vooral de wiskunde is een belangrijke toeleverancier. Te denken valt aan kansrekening en statistiek, statische en dynamische optimalisatie, netwerktheorie, en speltheorie. Bijna geen enkele tak van de economie is van het gebruik van zulke methoden uitgesloten (gevrijwaard, zullen sommige studenten zeggen). Dus ook de milieueconomie niet. En omdat in de milieueconomie heel veel takken van de economie samenkomen, vinden we ook toepassingen van vrijwel elke methode. Ik wil het in deze bijdrage hebben over de speltheorie.

1 C  ees Withagen is hoogleraar milieueconomie bij de afdeling Ruimtelijke Economie, De Boelelaan 1105, 1081 HV Amsterdam, [email protected]

36

vuurwerk #7 mei mei2008 2008 jaargang jaargang44

Spelenderwijs naar duurzaamheid? Cees Withagen1

Het is van cruciaal belang om iets zinnigs te kunnen zeggen over de toekomstige ontwikkeling van de olieprijs De milieueconomie bestudeert de economische dimensie van

wordt door grotere schade aan het milieu. Er kan echter

milieuproblemen, waaronder ook het gebruik van vernieuw-

worden aangetoond dat wanneer er sprake is van volledige

bare en niet-vernieuwbare natuurlijke hulpbronnen. Een

mededinging, waarbij dus de prijzen op de wereldmarkt als

opsomming van al zulke problemen maakt u niet vrolijker

gegeven worden beschouwd en wanneer tegelijkertijd de

en gaat het bestek van deze bijdrage te boven. Dus ik ga me

overheden een optimaal milieubeleid voeren, de vrees voor

beperken tot een viertal problemen dat zich bij uitstek leent

een afname van de totale welvaart ongegrond is. Dan hebben

als illustratie van de belangrijke rol die de speltheorie kan

overheden er ook niets aan om zich strategisch te gedragen

spelen.

door bijvoorbeeld een slap milieubeleid te voeren. Maar meer dan als volledige mededinging kan de structuur op

Internationale handel en milieu

wereldmarkten vaak gekarakteriseerd worden als oligopolis-

Een van de belangrijkste leerstellingen van de economie is

tisch. Dan wordt het allemaal anders, en doet de speltheorie

dat vrijhandel leidt tot een grotere welvaart van de landen

haar intrede. In de eerste plaats zullen de oligopolisten een

die eraan deelnemen. Ten opzichte van een situatie van

strategie ten opzichte van elkaar moeten hanteren. Daarvoor

autarkie leidt vrijhandel tot een zogenaamde Pareto-verbe-

wordt in de literatuur meestal het zogenaamde Cournot-Nash

tering. De vraag die ons in het kader van de globalisering

evenwichtsconcept ingezet, waarbij er een evenwicht bestaat

steeds meer bezighoudt, is of dit ook geldt wanneer natuur-

indien geen van de spelers zijn eigen winst kan vergroten,

lijke hulpbronnen en/of vervuiling aan de orde zijn. We we-

gegeven de acties van de andere spelers. Dat is standaard,

ten dat handel tot meer productie leidt, tot meer consumptie

maar het onderhavige geval is wat ingewikkelder en interes-

en tot meer transport. Dat kan allemaal gepaard gaan met

santer, omdat ook overheden een spel tegen elkaar kunnen

toenemende vervuiling en versnelde uitputting van natuur-

spelen. Zij kunnen namelijk hun milieubeleid als strategisch

lijke hulpbronnen. Inderdaad kan het zijn dat in een derge-

instrument inzetten. Het achterliggende idee, dat ook elders

lijk geval de winst in grotere materiële welvaart tenietgedaan

is toegepast, is dat bijvoorbeeld een lage milieubelasting in

vuurwerk vuurwerk #7#7meimei 2008 2008jaargang jaargang 4 4

37

een land voor bedrijven in dat land een prikkel kan vormen

Tegenwoordig wordt veel onderzoek gedaan naar mogelijke

om fel te concurreren met andere bedrijven. Inderdaad

oplossingen en daarbij wordt vaak gedacht aan het koppelen

kan worden aangetoond dat in het geval van oligopolie een

van issues (het zogenaamde issue linking). Kort gezegd gaat

eenzijdig ‘te zwak’ milieubeleid zijn vruchten kan afwer-

het dan om verdragen waarin op meerdere vlakken afspra-

pen. Opgemerkt moet worden dat op deze conclusie allerlei

ken worden gemaakt, bijvoorbeeld over reductie van emissies

varianten mogelijk zijn, bijvoorbeeld als er prijscompetitie

en over overdracht van technologie (zie ook Finus, 2003).

bestaat (Bertrand competitie) of als het probleem in een algemeen-evenwichtskader wordt geanalyseerd (zie ook

Overbevissing

Elbers en Withagen, 2002).

Er ligt ergens een prachtig meer, met daarin veel vis. Eromheen liggen verscheidene dorpjes met vissers die volop vis

Internationale milieuverdragen

vangen. Er vindt op de een of andere manier gecoördineerde

Veel vormen van milieuproblemen zijn grensoverschrijdend

visvangst plaats. Zoals is aangetoond in recent onderzoek

van aard. Te denken valt aan broeikasgassen die klimaatver-

spelen normen, waarden, lokale gewoonten, (informeel) be-

andering teweeg kunnen brengen, zure regen en vervuiling

lonen en straffen een niet te onderschatten rol. Dit valt heel

van rivieren. Omdat rechten op schone lucht, op schoon wa-

fraai te analyseren door middel van zogenaamde evolutio-

ter, of op een stabiel klimaat, internationaal nog moeilijker

naire speltheorie (zie Noailly et al., 2007). Hierbij hanteren

zijn af te dwingen dan op nationaal niveau, treedt er teveel

mensen simpele vuistregels, die kunnen veranderen naar

vervuiling op. Met andere woorden: het Nash-evenwicht is Pa-

aanleiding van het relatieve succes van andere mensen in de

reto-inferieur. Dat laat zich heel eenvoudig als volgt illustre-

buurt. De evolutionaire speltheorie biedt nieuwe inzichten

ren. Beschouw twee landen die elk twee opties hebben: ver-

ten opzichte van de traditionele speltheorie, die in het on-

vuilen of schoonmaken (dan wel minder vervuilen). Als beide

derhavige geval zal voorspellen dat er overbevissing optreedt

landen vervuilen hebben ze elk een pay-off van 5. Als ze al-

zodra er niet meer sprake is van zogeheten common property

lebei hun vervuiling beperken is de pay-off 10 voor elk. Maar

maar van open access. Bij open access kan iedereen op het meer

als er een land vervuilt en het andere maakt schoon, dan is

gaan vissen, ook van buiten de kleine gemeenschappen.

de pay-off voor het vervuilende land 15 en voor het minder

Waarom treedt er overbevissing op? Er ontstaat een even-

vervuilende land 3. Als dit spel eenmaal gespeeld wordt,

wicht als het aantal vissers zo groot is dat gegeven de vangst

dan is het Nash-evenwicht een situatie met beide landen die

van de andere vissers, geen visser een grotere winst kan

vervuilen, zoals eenvoudig valt in te zien. Terwijl ze er ten

behalen door meer of minder te vangen. Maar dat is typisch

opzichte van een dergelijke situatie beide op vooruitgaan als

een situatie waarbij niet de totale winst gemaximaliseerd

ze zouden schoonmaken. Een oplossing van dit ‘prisoners di-

wordt. Dus er vindt overbevissing plaats. In een dynamische

lemma’ zou een internationaal milieuverdrag kunnen zijn,

context, die hier meer van toepassing zou zijn, wordt in

zoals we hebben voor ozon, (Montreal protocol) zure regen

wezen hetzelfde resultaat bereikt. Zo kan er vanuit de

(Oslo protocol) en klimaat (Kyoto protocol). Natuurlijk zijn

speltheorie een verklaring worden gegeven voor het feit dat

we erbij gebaat als er zoveel mogelijk landen aan dergelijke

de stand van diverse vissoorten angstwekkend laag dreigt te

verdragen deelnemen. Hoewel sommige verdragen succesvol

worden. Met behulp van speltheorie kunnen ook problemen

zijn, gaat het met het klimaat moeizaam. De speltheorie

zoals het verdwijnen van het regenwoud en de vermindering

kan daarvoor een verklaring geven. Een verdrag moet aan

van biodiversiteit worden geanalyseerd.

minstens twee stabiliteitseisen voldoen. Interne stabiliteit:

38

partijen die deelnemen mogen geen prikkel hebben om het

Olie

verdrag op te zeggen of de afspraken niet na te komen. En ex-

Olie is de belangrijkste niet-vernieuwbare natuurlijke

terne stabiliteit: partijen buiten het verdrag moeten ook niet

hulpbron. Het is dus van cruciaal belang om iets zinnigs te

meer willen toetreden. Aangetoond kan worden dat verdra-

kunnen zeggen over de toekomstige ontwikkeling van de

gen vaak alleen maar aan deze eisen voldoen als er een klein

olieprijs. Dat is verre van eenvoudig, omdat er allerlei geo-

aantal deelnemers is en dat is nu juist wat we niet willen.

politieke aspecten aan zitten. Maar een puur economische

vuurwerk #7

mei 2008

jaargang 4

aanpak leidt toch wel tot aardige inzichten. Allereerst moet

toepassingen van deze theorie gaan ontstaan. Het Centraal

worden vastgesteld dat het probleem noodzakelijkerwijs in

Planbureau heeft in die richting ambities op het terrein van

een dynamisch kader moet worden aangepakt. Eigenaren

de Europese gasmarkt. En ook het Instituut voor Milieuvraag-

van oliebronnen moeten nu eenmaal bepalen of ze hun

stukken gaat zich met deze aanpak bezighouden.

voorraden dit jaar of volgend jaar aanspreken, en wat er dit jaar wordt uitgehaald kan er morgen niet meer uit worden

Conclusie

gehaald. Dat is typisch voor een niet-vernieuwbare natuur-

Ik heb heel in het kort en schrijnend onvolledig en kinder-

lijke hulpbron. Ten tweede is de marktvorm voor olie een

lijk vereenvoudigd een schets gegeven van vier deelgebieden

heel bijzondere. Zeker geen volledige mededinging, maar

van de milieueconomie waar de speltheorie met veel vrucht

ook geen monopolie. Voor dat laatste is OPEC niet machtig

is en wordt toegepast. Er zijn nog veel meer van die gebie-

genoeg, zolang er elders nog aanzienlijke voorraden zijn.

den. En ik ben ervan overtuigd dat de milieueconomie een

Oligopolie dan? Neen, want OPEC heeft toch wel veel macht.

belangrijk toepassingsgebied zal blijven. En wat mij bijzon-

Zo komen we uit bij het zogeheten kartel-versus-franje model,

der aanstaat, is dat de speltheorie in mijn vakgebied zo dicht

waarin er een dominant kartel is, en een veelheid van kleine

tegen de praktijk aanleunt. Dat maakt de milieueconomie

aanbieders, die we hier voor het gemak als prijsnemers zul-

trouwens op zich al zo boeiend.

len betitelen. Er zijn nu verschillende evenwichtsconcepten denkbaar, maar het interessantste is het Stackelberg even-

Ik ben ervan overtuigd dat de milieueconomie een belangrijk toepassingsgebied zal blijven wicht. Hierbij bepaalt het kartel een prijspad (in de tijd) en

Literatuur

een eigen aanbodpad, zodanig dat de franje precies zorgt

- Elbers, C. & Withagen, C. (2002). Environmental policy and

dat bij de gegeven prijs en bij het gegeven kartelaanbod, aan

Bertrand competition: a general equilibrium approach.

de totale vraag voldaan wordt, en het kartel geen alternatief

In C. Hommes, R. Ramer & C. Withagen (eds.), Equilibrium,

kan bedenken (in prijs en eigen aanbod) dat meer winst oplevert. Bedacht moet worden dat het kartel niet zomaar

Markets and Dynamics (pp. 183-195). Berlin: Springer. - Finus, M. (2003). Stability and design of international envi-

een willekeurige prijs kan vaststellen. Is de prijs te hoog, dan

ronmental agreements: the case of transboudary pollution.

biedt de franje tegen die prijs heel veel aan, bijvoorbeeld.

In H. Folmer en T. Tietenberg (eds.), The International Yearbook

Het vervelende van dit evenwichtsconcept is dat het in veel

of Environmental and Resource Economics 2003/2004 (pp. 82-158).

gevallen dynamisch inconsistent is. Het kartel stelt alles aan

Cheltenham: Edward Elgar.

het begin van de planperiode vast, maar gaandeweg zal het op het aangekondigde prijspad terugkomen, in het nadeel van de franje. Het evenwicht is daarom niet geloofwaardig. Daarom is heel lang gezocht naar de zogenaamde feedback

- Groot, F., Withagen, C. & De Zeeuw, A. (2003) Strong timeconsistency in the cartel-versus-fringe model. Journal of Economic Dynamics and Control, 28, 287-306. -N  oailly, J., Withagen, C. & Van den Bergh, J. (2007). patial

pendant, waarin die inconsistentie zich niet kan voordoen.

evolution of social norms in a common-pool resource

Kort geleden is voor een bepaalde klasse van modellen het

game. Environmental and Resource Economics, 36, 113-141.

feedback evenwicht gekarakteriseerd (Groot et al., 2003). Het onderzoek kent nog vele haken en ogen en biedt dus ook volop perspectieven. Hopelijk zal het ertoe leiden dat er ook

vuurwerk #7 mei 2008

jaargang 4

39

NIEUWS/FEWEB

> Seminars – Colloquia – Lezingen Op de Faculteit worden verschillende lezingen georganiseerd.

AGENDA > Promoties FEWEB • 1 1 januari, Jeljer Hoekstra, titel proefschrift: “Essays on integrated modelling with applications to marine ecosystem

Hieronder tref je een kort overzicht aan van de lezingen die de komende tijd plaatsvinden.



FaDo Lunch Seminars De FaDo (Faculteit op Donderdag) lunch seminars vinden om de twee weken plaats op donderdag van 12.30 uur tot 13.30 uur in zaal 2E-37. Voor lunch wordt gezorgd.

management.” Promotor: Prof.dr. J.C.J.M. van den Bergh.

• 1 4 januari, Onno Bouwmeester, titel proefschrift: “Advice

15 mei Seung-Gyu Jo (AOE)

as argument. Economic deliberation in management consulting

29 mei Wim Boonstra (AOE)

and academic contract research”. Promotor: Prof.dr. A. Klamer.

12 juni Anjo Koeter-Kant (Finance)

•

15 april, Lorenzo Pellegrini, titel proefschrift: “Corruption, Development and the Environment”, Promotoren: Prof.dr. H.

Voor meer informatie kun je contact opnemen met:

Verbruggen en Dr. R. Gerlagh

Paul Vlaar

[email protected]

Roman Kraeussl

[email protected]

Ina Putter

[email protected]

• 9 mei, Joep Arts, titel proefschrift: “Essays on New Product Adoption and Diffusion”. Promotor: Prof.dr. R.T. Frambach.

• 1 3 mei, Roos Andadari, titel proefschrift: “Local clusters in global value chains, a case study of wood furniture clusters in Central Java (Indonesia).” Promotoren: Prof.dr. P. Rietveld en Prof.dr. E. Masurel.

• 1 6 mei, Meindert Flikkema, titel proefschrift: “Service Development and New Service Performance. A conceptual essay and a project-level study into the relationship between HRM ractices and the performance of new services”. Promotor: Prof.dr. P.G.W. Jansen.

support of physical planning”. Promotoren: Prof.dr. H.J. Schol-

Waarom eenvoudig als het ook ingewikkeld kan: interestvrij financieren

ten en Prof.dr. P. Rietveld

Afscheidscollege van professor Hans Visser, 14 maart 2008.

• 1 9 mei, Eric Koomen, titel proefschrift: “Spatial analysis in • 2 1 mei, Eveline van Leeuwen, titel proefschrift: “Towns today. Contemporary functions of small and medium-sized towns

Samenvatting

in the rural economy”. Promotoren: Prof.dr. P. Nijkamp en Prof.

De titel van dit afscheidscollege had ook kunnen luiden: ‘Aristotle is

dr. P. Rietveld.

alive and kicking’. Aristoteles stelde dat geld slechts een ruilmiddel is

• 2 8 mei, Vera Kartseva, titel proefschrift: “Designing Controls

en als zodanig niets voortbrengt. Daarom is het tegennatuurlijk om

for Network Organization: A Value-Based Approach”. Promoto-

interest te vragen als vergoeding voor het uitlenen van geld. Deze

ren: Prof.dr. Y.H.Tan en Prof.dr. R. Paans

visie van Aristoteles vinden we terug bij de Scholastici, in Dante’s Hel en bij de dichter Ezra Pound en ze inspireert de voorstanders van het

> Oraties

Islamitische financieren, de leden van JAK Medlemsbanken uit Zweden

• 18 januari, Yvonne Burger.

en de propagandisten van het ‘kwijngeld’ van Silvio Gesell.

Menselijkheid in organisaties (voor samenvatting zie pagina 43).

• 10 april, Goos Minderman.

Interestvrij financieren gaat gepaard met een inperking van het te

Legitimatie en verankering. Uitdagingen voor de maatschappe-

gebruiken pakket aan financiële instrumenten en daardoor met,

lijke ondernemer (voor samenvatting zie pagina 43)

mogelijk hoge, maatschappelijke kosten. Het Islamitische financieren

• 2 juni, Isabelle Maignan. geen titel bekend, Aula, Vrije Universiteit.

tracht de schade te beperken door financiële instrumenten te ontwerpen die de conventionele zo dicht mogelijk benaderen. Vooraanstaande Islamitische deskundigen vragen zich teleurgesteld af of het Islamitische

40

Jelle Zijlstra Lezing

financieren zo niet een schijnvertoning is. Zij zouden graag een systeem

27 mei Jelle Zijlstra lezing (Auditorium), georganiseerd door het

zien dat gebaseerd is op een eigen Islamitische wereldbeschouwing en

NIAS i.s.m. FEWEB. De lezing wordt gegeven door Martin

een eigen Islamitische epistemologie. Echter, evenmin als het T.P. van

F. Hellwig, Professor of Economics, University of Bonn and

der Kooy indertijd aan de VU lukte om een economische wetenschap te

director of the Max Planck Institute for Research on Collective

ontwikkelen binnen de Wijsbegeerte der Wetsidee, lukt het hen om een

Goods in Bonn. Titel: “Systemic Risks in the Financial Sector”.

Islamitische economische wetenschap te creëren. Over de dwingende

Commentaar zal worden gegeven door Gerrit Zalm.

kracht van de religieuze teksten blijft meningsverschil mogelijk.

vuurwerk #7

mei 2008

jaargang 4

VU opent Instituut voor Erfgoed en Geschiedenis VU opent Amsterdam internationaal instituut voor erfgoed en geschiedenis van de leefruimte.

Claartje Vinkenburg te gast bij Buitenhof Claartje Vinkenburg was zondagmiddag 6 april 2008 te gast in het

Welke invloed heeft waterbeheersing op ons erfgoed?

programma Buitenhof. Zij was daar uitgenodigd om als deskundige

Hoe staan de oplossingen die we bedenken voor files of het

op het gebied van loopbanen in het algemeen en die van vrouwen in

woningtekort in relatie tot behoud van ons landschap en historische

het bijzonder te reageren op de actualiteit.

stadskernen? Wat zijn de effecten van de globalisering op de wijze waarop

Op 8 april wordt de Taskforce Deeltijd Plus ingesteld door de

wij het verleden beleven en gebruiken?

Staatsecretaris voor Sociale zaken en Werkgelegenheid, om er voor

Deze en andere actuele vraagstellingen zijn het onderwerp van

te zorgen dat meer vrouwen meer uren gaan werken. Nederland

research van het nieuwe instituut voor erfgoedstudies dat de Vrije

is kampioen deeltijdwerken: nergens werken zoveel vrouwen (en

Universiteit op 6 februari jl. heeft opgericht. In het internationale

mannen trouwens) parttime. En, zo vreest het kabinet, willen we de

instituut doen historici, economen, bestuurskundigen en aardweten-

problemen van de vergrijzing het hoofd bieden dan hebben we alle

schappers gezamenlijk onderzoek naar de veranderende rol van het

arbeidskrachten hard nodig. De vraag is: willen vrouwen wel een

erfgoed in onze leefruimte en naar de historische achtergronden van

volledige baan? En, waarom werken er eigenlijk zoveel in deeltijd?

ruimtelijke vraagstukken.

dr. C.J. (Claartje) Vinkenburg, (Management en Organisatiekunde)

Het instituut wil zich ontwikkelen tot een belangrijk expertisecentrum

zoekt samen met collega drs. J.S.E. (Josje) Dikkers van het

voor erfgoed van stad en land in Nederland en de rest van Europa.

Amsterdam Center for Career Research (onderdeel van FEWEB

Cultureel erfgoed heeft economische, culturele en wetenschappelijke

M&O) en Marloes van Engen (UvT) uit wat het effect is van

dimensies. Het is zowel van maatschappelijk als wetenschappelijk

moederschapsideologie (de gedeelde opvatting over wat een goede

belang dat binnen het instituut interdisciplinair onderzoek plaatsvindt.

moeder is en hoeveel tijd zij aan haar kinderen hoort te besteden) op de verdeling van zorgtaken tussen partners, het gebruik

Ontwikkelingen op ruimtelijk gebied gaan snel. Er is veel vraag

van regelingen (zoals parttime werk maar ook thuis werken of

naar specialisten die concepten, instrumenten en detectiemethoden

ouderschapsverlof) en loopbaanuitkomsten zoals tevredenheid maar

ontwikkelen om erfgoed tijdig in kaart te brengen en de conserverings-

ook salaris en doorgroei.

toestand daarvan vast te stellen. Historische kennis van deze processen is van belang voor het bijsturen van ontwikkelingen en het plannen van

Interessant (en vaak over het hoofd gezien) is de rol van de

nieuwe ruimtelijke ingrepen. Daarom zal het erfgoedinstituut intensief

werkgever hierin. Vijf dagen werken is voor een moeder best lastig

samenwerken met de vormgevers van

als je een leidinggevende hebt die oprecht vindt dat een moeder er

het toekomstige landschap van Europa.

een paar dagen per week voor haar kinderen hoort te zijn. Ook vindt er belangwekkend onderzoek op het gebied van watermanagement plaats. Historici kunnen trends en patronen van menselijke dynamiek definiëren die eeuwen geleden zijn ontstaan.

Zeven VU economen in Economen top 40

Daarnaast raakt watermanagement aan het historische bewustzijn

Op de top 40 van best publicerende Nederlandse economen staan 7

van de gemeenschap, aan culturele herkenbaarheid. Daarvoor zijn

economen van de Vrije Universiteit:

economische, bestuurlijke, waterstaatkundige en cultuurhistorische

Peter Nijkamp (6), Piet Rietveld (8), Richard Tol (9), Jeroen van den

afwegingen nodig. Het erfgoedinstituut leidt toekomstige beleids-

Bergh (22), Gerard van den Berg (32), Reyer Gerlagh (35) en Erik

makers op die deze afwegingen op een verantwoorde wijze kunnen

Verhoef (36).

maken.

De complete lijst staat gepubliceerd in de Economische Statistische Berichten (ESB) van 14 december 2007. De ESB ligt ter inzage in de bibliotheek. Nederland kent drie economentoppen die op vaste momenten via de ESB bekend worden gemaakt. In de top 10 van instellingen die tevens staat gepubliceerd in de ESB staat de VU op de 4e plaats, evenals vorig jaar. Op de 1e plaats staat de Erasmus Universiteit van Rotterdam.

vuurwerk #7 mei 2008

jaargang 4

41

CIMO wordt VU Center for Entrepreneurship

Antwoord raadsel artikel Tijms op pagina 27:

Het voormalige CIMO is met ingang van 1 maart jl. onderdeel

Voor de taxi : odds =12/17, kans = 12/29 = 0.4138.

geworden van FEWEB, ondergebracht bij de afdeling M&O. Met deze overgang gaat ook een wat andere missie gepaard die het beste tot uitdrukking komt in de nieuwe naam: VU Center for

ERC Grant voor Bas van der Klaauw

Entrepreneurship.

Aan Dr. Bas van der Klaauw (afdeling algemene en

Doelstelling van het center is om alle VU studenten in de gelegenheid

ontwikkelingseconomie) is door de European Research Council (een

te stellen in aanraking te komen met ondernemerschapsonderwijs.

soort Europese NWO) een ERC Starting Grant toegewezen. De Starting Grants zijn voor de eerste maal toegewezen en zijn

Per 1 september a.s. gaat in dat verband al een minor

bijzonder prestigieus. Slechts 3% van de 9167 ingediende voorstellen

ondernemerschap van start. Daarnaast wordt binnen het center

is gehonoreerd. Meer informatie over de Starting Grants is te vinden op

onderzoek verricht en wordt aangehaakt bij onderzoek dat elders

de site van de ERC: erc.europa.eu

binnen de faculteit en daarbuiten op het gebied van ondernemerschap wordt uitgevoerd. Het center werkt in het kader van het CASE-project (Coöperatie Amsterdamse Scholen voor Entrepreneurship) samen met soortgelijke centers bij de UvA, HvA en InHolland.

Het VU Center for Entrepreneurship heeft een vaste kern van 5 personen: Enno Masurel (directeur), Hilke Bos-Brouwers, Patricia van Hemert, Denise Pronk en Helen Couwenberg (office manager). Vanuit FSW en FEWEB zijn de medewerkers voor een gedeelte van hun tijd gedetacheerd naar het center. Voor FEWEB gaat het om Els Kleijn en Karen Verduyn. Tenslotte zijn er 7 buitenpromovendi aan het center verbonden. Het VU Center for Entrepreneurship blijft voorlopig gehuisvest in het W&N gebouw, maar zal na de herinrichting van het Hoofdgebouw ook fysiek onderdeel van FEWEB gaan uitmaken.

Erratum In Vuurwerk 6 stond ten onrechte vermeld dat Wim Boonstra hoogleraar is. Wim Boonstra is docent bij de afdeling Algemene en Ontwikkelingseconomie.

Van Den Berg, Koopman en Lucas in top 100 beste econometristen De lijst met de 100 beste econometristen wereldwijd wordt samengesteld door de econometrist Badi H. Baltagi, werkzaam aan de Center

Prijzen en awards

for Policy Research van Syracuse University, Syracuse, New York. Onlangs is de ranglijst uitgekomen met een update voor publikaties

Albert Menkveld wint de Pierson-medaille 2007

in top-tijdschriften in de periode 1989-2005. In deze ranking stijgt

Dr. Albert Menkveld (afdeling financiering) won 11 december de

Prof. dr. Gerard van den Berg (afdeling Economics) van onze faculteit

Pierson-medaille 2007. Hij kreeg deze voor zijn onderzoek naar

naar plek 47. Op de ranglijst over de periode 1995-2005 bezet de VU

financiële markten. De Stichting Mr. N.G. Pierson Fonds stelde dit

nog twee extra plaatsen in de Top 100, namelijk Prof. dr. Andre Lucas

jaar de medaille in als tweejaarlijkse aanmoedigingsprijs voor een

(afdeling Finance) en Prof. dr. S.J. Koopman (afdeling Econometrie en

veelbelovende onderzoeker die internationaal gaat doorbreken.

OR) op de 62e en de 98ste plaats.

Menkveld kreeg de prijs tijdens de jaarvergadering van de Konink-

Badi H. Baltagi meet de productiviteit aan de hand van gepubliceerde

lijke Vereniging voor Staathuishoudkunde in Wassenaar. Aan de

econometrische artikelen, en hij baseert zich hierbij op de 16 beste

medaille zit een bedrag van vijfduizend euro verbonden.

internationale wetenschappelijke tijdschriften ter wereld die (al dan niet hoofdzakelijk) econometrie-artikelen publiceren. De lijst

Menkveld houdt zich onder meer bezig met liquiditeit van effecten

zelf wordt binnenkort gepubliceerd in het tijdschrift Econometric

en stabiliteit van financiële markten. De resultaten van zijn onder-

Theory, vergezeld van een uitgebreide rechtvaardiging en inclusief

zoek zijn van belang voor de regelgeving van deze markten. In 2003

gevoeligheidsanalyses.

kreeg hij hiervoor de prestigieuze Lamfalussy beurs van de Europese Centrale Bank.

42

vuurwerk #7 mei 2008

jaargang 4

VOLGEND NUMMER

In dit nummer:

De volgende Vuurwerk verschijnt

Thema WISKUNDE

Samenvatting oraties

in oktober 2008 (lustrumnummer). Deadline kopij: 1 september 2008.

Redactioneel

3

Overzicht FEWEB

4

Overzicht opleidingen FEWEB

5

Legitimatie & verankering. Uitdagingen voor

6

de maatschappelijk ondernemer

Wiskunde in het onderwijs

Menselijkheid in organisaties

De wiskunde achter de containerlogistiek

12

Oratie van Yvonne Burger ter gelegenheid van de aanvaarding

Interview met Alexander Tieman

18

van het deeltijd hoogleraarschap Organisatiecultuur,

Forecasting national electricity load

20

communicatie en leiderschap in de Post Graduate Opleiding

consumption

Management Consultant, Faculteit der Economische

Bayesiaanse kansrekening:

24

Wetenschappen en Bedrijfskunde aan de VU in Amsterdam,

Verfrissend en leerzaam Column: ‘Van nostalgie wordt het

18 januari 2008

28

wiskundeonderwijs niet beter’

Professor Burger begon haar betoog met een persoonlijk verhaal over

De curator en de wiskundig econoom

30

haar ervaringen in Canada, omdat ze het hoopvol vindt om te zien dat

Spelenderwijs naar duurzaamheid?

36

er op verschillende plaatsen in de wereld mensen bijeen komen om

Agenda

40

na te denken over wat hun eigen praktische bijdrage zou moeten zijn

Nieuws FEWEB

41

aan een leefbaar planeet en ze is ervan overtuigd dat deze vorm een

Oraties

43

prachtig voorbeeld is van een interventie die tot positieve verandering en vernieuwing leidt. Deze ervaringen hebben tevens richting gegeven aan het thema ‘menselijkheid in organisaties’. Het betoog werd Oratie van Goos Minderman ter gelegenheid van de

voortgezet met de ontwikkelingen in de wereld en de behoefte bij

aanvaarding van het bijzonder hoogleraarschap Public

individuen aan organisatievormen waarin de menselijke maat weer

Governance and Public Law aan de Faculteit der Economische

terug is.

Wetenschappen en Bedrijfskunde aan de VU in Amsterdam,

Om een menselijke organisatie te realiseren is het ten eerste van

10 april 2008

belang een passende organisatievorm te kiezen waarin de menselijke maat weer leidend is met alle positieve gevolgen van dien voor het

Het Nederlandse middenveld krijgt steeds meer bevoegdheden

werkklimaat en de effectiviteit. Inspirerend leiderschap is daarbij een

omdat de centrale overheid terugtreedt. Deze nieuwe bevoegdheden

noodzakelijke voorwaarde om deze organisatievorm te implementeren.

betekenen echter niet dat de non-profitorganisaties vrijer zijn

Ten tweede is het werken aan individuele ontwikkeling een respectvolle

Wiskunde in het onderwijs

geworden: zij verwisselen hun afhankelijkheid van de overheid voor

veranderstrategie waardoor mensen – en daarmee organisaties

/ pagina 6

een afhankelijkheid van hun maatschappelijke partners, die niet minder

– worden geholpen om hun effectiviteit te verhogen. Een interessante

kritisch maar hopelijk wel minder bureaucratisch zijn. Maatschappelijk

uitkomst uit onderzoek is dat de effectiviteit van coaching meer te

ondernemen is dan ook vooral samenwerken. Deze onderlinge

maken lijkt te hebben met de persoonlijkheid van de coach dan met

maatschappelijke verankering van organisaties is een proces met

specifieke interventies: Hoe menselijker de coach, hoe effectiever de

risico’s, omdat die aanleiding kan zijn tot veel ondoorzichtige

coaching.

netwerken en ongewenste machtsconcentraties. Het middenveld moet

Ten slotte is het thema ‘persoonlijk leiderschap’ aan de orde gekomen

Spelenderwijs naar duurzaamheid / pagina 36

COLOFON

op zoek naar nieuwe heldere samenwerkingsverbanden waardoor

en de noodzaak om in tijden waarin veel onvoorspelbaar en onzeker is,

Vierde jaargang, nr. 7, mei 2008

Ontwerp en opmaak

De curator en de wiskundig econoom

men zich op verantwoorde wijze daadwerkelijk kan verzelfstandigen

in ieder geval van jezelf te weten wat je wilt bijdragen aan deze wereld.

Vuurwerk is het relatiemagazine van de

Room for ID’s, Nieuwegein

/ pagina 30

van de overheid. Helderheid scheppen in de ondoorzichtigheid en het

Echter, voor het slagen van het individu is ook de context van belang;

Faculteit der Economische Wetenschappen

Druk

ontwikkelen van nieuwe legitimatienormen zijn de twee bouwstenen

organisaties zullen dus de voorwaarden moeten creëren waaronder

en Bedrijfskunde (FEWEB).

Drukkerij Damen, Werkendam

van de maatschappelijke onderneming.

de mensen binnen deze organisaties hun persoonlijk leiderschap

Redactie

Fotografie

vorm en inhoud kunnen geven. Waardoor de organisaties als geheel

Frans Snijders, Iris Visser, Ina Putter,

FEWEB, Johan Hoekstra, Room for ID’s

effectiever zullen worden. Het begrip organisatiestructuur is niet meer

Henri de Groot

Oplage

zo in de mode, maar van uitermate groot belang voor de kwaliteit van

Adres

Vuurwerk verschijnt twee keer per jaar

de relaties tussen individuen en de mate waarin deze organisaties erin

Faculteitsbureau FEWEB,

in een oplage van 7.000 exemplaren.

slagen om hun doelen te bereiken.

De Boelelaan 1105, 1081 HV Amsterdam [email protected], (020) 598 61 57



vuurwerk #7

mei 2008

jaargang 4

vuurwerk #7

mei 2008

jaargang 4

43

Bereik méér aan de VU! • Certified Management Accountant en

Ben jij een professional met een goede baan? Dan heeft de VU-Postgraduate

Certified Financial Manager • Chartered

School dé opleiding voor jou. De VU-Postgraduate School biedt dé manier om

Financial Analyst • Controller in de publieke

een titel te behalen en je deskundigheid te vergroten.

en non-profitsector • Corporate Compliance • Financieel en Beleggingsanalist • Basisop-

Aan de Amsterdamse zuidas heeft de VU-Postgraduate School zich in korte tijd

leiding Management Consultant • Manage-

ontwikkeld tot een academisch centrum voor wetenschappelijk georienteerde

ment Consultant• Parttime opleiding master

beroepsopleidingen en executive onderwijs. In samenwerking met de Faculteit

Bedrijfswetenschappen • Parttime opleiding

der Economische Wetenschappen en Bedrijfskunde (FEWEB) biedt de Postgradu-

master Accounting & Control in combinatie

ate School veertien gerenommeerde deeltijdopleidingen aan.

met Registeraccoutant • Registeraccountant • Registercontroller • Register EDP-auditor •

Typerend voor het onderwijs aan de Postgraduate School is de interactie tussen

Treasury Management • Verandermanage-

theorie en praktijk, tussen cursist en docent en tussen cursisten onderling. Inter-

ment • Basisopleiding Verandermanagement

actie is zowel op de uitwisseling van kennis als op de uitwisseling van ervaring gericht. Interactie staat borg voor de practische toepasbaarheid van de leerstof. Interactie wordt niet alleen bewerkstelligd door een optimale integratie van theorie en praktijk in de leerstof maar tevens door voor het leerproces gebruik te maken van hoogleraren en docenten die naast hun aanstelling aan de universiteit tevens werkzaam zijn in de praktijk. De verankering met de Vrije Universiteit Amsterdam waarborgt het hoge niveau van de opleidingen. De verbondenheid van de opleidingen met de praktijk is een garantie voor de actualiteit van de programma’s.

vuurwerk Wiskunde Wiskunde in het onderwijs • De wiskunde achter de containerlogistiek • Electriciteitsvraag in Frankrijk • Bayesiaanse kansrekening • De curator en de wiskundig

Meer weten? Surf naar www.feweb.vu.nl en klik op ‘postgraduate school’ voor informatie over de postgraduate opleidingen. Van iedere opleiding is

econoom • Spelenderwijs naar duurzaamheid

uitgebreide documentatie beschikbaar. Voor nadere inlichtingen kun je je ook wenden tot het secretariaat van de Postgraduate School. Telefoon (020) 598 60 45.

#7

mei 2008

jaargang 4

Relatiemagazine van de Faculteit der Economische Wetenschappen en Bedrijfskunde