VI. A Rhind papirusz 41-es feladata

VI. A Rhind papirusz 41-es feladata

6. ábra Az RMP 41-es feladata. G. Robins and Ch. Shute, The Rhind Mathematical Papyrus, Plate 14. BM 10057 (right).

7. ábra A. Eisenlohr, Ein mathematisches Handbuch der alten Aegypter (Papyrus Rhind des British Museum) Taf.XV.

111

Királykörök

A. A szöveg tárgyalása Első sor

8

9

1/9

28 27-6 25 24 23 22 21 20

X

10 9

19 18-16 15-14 13 12 11 10 9-8

7

6

5-4

3

2 1

Első sor, első szelvény balról jobbra csoportosítva:

I/A 1 2

3

4-5

6

7

8-9

10

11

12

tp

n

ir-t

SA

Ar

a-pr

kb

n

9

FEJ

eN

SzáM-íT

öD-BőL

KaP

Csű - űR

-

N Körben 9

Fejen számít. Csűrödből kapni. Nagysága 9…

Első sor, második szelvény

I/B 13

14

15

10

x

b

10 KöR Be

16 17-18

19

20

21

22

- x r

k

1/9

n

OSZT KeRe - K

1/9 - Nyi

23

24 25 26-27

28

9

m 1 DA t-k

8

9

aMi 1 véGY uTaK

8

…10, körbe osztasz kerek 1/9-nyi 9-et, ami 1. Vegyétek el, az 8.

112

VI. A Rhind papirusz 41-es feladata

Második sor

58

57 56-5 54-52 51 50-49 48 47 46-5 44-3 42 41-40 39-7 36 35 34-32 31 30 29

Második sor, első szelvény

II/A 29 30 31 32-3

34

35

36

sk H - tp

m

8

r

SzűK Ha SéG FEJ aMI

8

37-39

40-41

42 43-44

z-p-w ra-k 8

Rá SZaPORíT KöRöK 8

xpr

45-46

x-r

KAP - O-L

Szükséges a fej. Ami 8 rászaporítasz 8-at, kapol…

Második sor, második szelvény

II/B 47

48

49-50

51

52

53 54

55-56

57

58

64

ir

xr

k

sk

H -

tp

m

64

aMi

64

64

SzáM - O-L - K

SZŰK Ha SéG FeJ

…64-et. Számolok, szükséges a fej. Ami 64…

113

Királykörök

Harmadik sor 99-8 97 -6 95 94 93 92 91 90-89 88-6 85 84 83 82-1 80-78 77-5 74

73 72 71 70 69 68 67-6 65-63 62-60 59

Harmadik sor, első szelvény III/A

59 60–62

r

63 64-65 66-67 68

zpra 10 xpr x r

Rá SzaPoRíT 10 KAP -O- L

69

70

f

m

640

íV

aMi

640

71 72-73 74

di 1/2 - f aDD

1/2

75-76 77 78

Hr-r - f

íV

KöR * íV

Rászaporítasz 10-et, kapol ívet, ami 640. Add a fele ívet a köregység ívre…

Harmadik sor, második szelvény III/B

79-80 81-82 83

84

85

xpr x r

f

m

960

KAP O –L

íV

aMi

960

114

86-88 89-90

rxt

- -

RaKoT-SÁGoK

91

92

f

m

íV

aMi

93

94

- 1/2

95

Har

Csú FÉL KAR

96

97 98-9

r w dHráR - U uD*

VI. A Rhind papirusz 41-es feladata

…kapol ívet, ami 960 rakottságú ív, ami fél karcsú áru udvar. A negyedik sor

128 127 126-5 124 123 122-120 119-7 116-4 113 - 110 109 108 107 106 105 104 103 102-1 100

A negyedik sor első szelvénye

IV/ A 100

ir

101-102

x

103

r

SzáM - O - L

104

105

k 1/20 - K

1/20

106

n - Nyi

107

108

960

m

48

960

aMi

48

Számolok 1/20-nyi 960-t, ami 48.

A negyedik sor második szelvénye IV/B

109

110

111 112-14 115-16 117-18 119

h

Ar

Ar

Be

rA

rA T-JU-K B-E - íR-Va

t-iwk p-w

r f

m aMi

120 121-22 123-24 125-26

tr

itn mr - dbn-k

TeL ÍT-Ni MéRő Gabona

127

128

48

dbn

48

BöDöN

Berakatjuk beírva, amit telítek mérő gabonából, az 48 bödön.

115

Királykörök

Az ötödik sor

139

138 137 136 135 134 133-32 131

130

129

Ötödik sor 129 130 131132-33 134 135

136

137

138

139

qA i §w§ - n s

hi

mDA

t

f

HÍ

SOK

Tá

íV

m

KéR I TuDó-SOKoN Szá M

Kéri tudósokon a számítások ívét

B. A magyar olvasat: 1. sor: Fejben számít, csűrödből kapni. Nagysága 9/10. Körbe osztod, kerek 1/9nyi 9-et, ami 1. Vegyétek el, az 8. 2. sor: Gondolkozz. Ami 8, rászaporítasz 8-at, kapol 64-et. Számolok, gondolkozz, ami 64… 3. sor: Rászaporítasz 10-et, kapol ívet, ami 640. Add a fele ívet a köregység ívére, kapol ívet, ami 960 rakottságú. Ív, ami fél karcsú áru udvar. 4. sor: Számolok 1/20-nyi 960-at, ami 48. Berakatjuk beírva, amit telítek mérő gabonából, az 48 bödön. 5. sor: Kéri tudósokon a számítások ívét.

116

VI. A Rhind papirusz 41-es feladata

Számítások:

A. Eisenlohr számozása ellenére a számítások nem sorokban, hanem három oszlopban láthatók, olvasásuk itt is jobbról balra történik. 1. oszlop: 1 × 8

2. oszlop:

8 × 64

3. oszlop: =

960

2 × 16

1 × 64

1/10 × 96

4 × 32

210 × 640

1/20 × 48

1/2 × 320

C. Megjegyzések A szöveg első 12 jelét írnokunk kiemelte, vörös festékkel írta130. Példája leglényegesebb mondanivalóját, egyúttal a címet is ezek a jelek tartalmazzák. Az MMP soraiból már megismert jelekkel, a fejszámolással kezdte feladatát, majd hozzáfűzte, hogy a csűr méretén keresztül a telítéshez szükséges mennyiséget számolja ki. Csupán a (12)-es jel lóg ki ebből a sorból, ti. a körbe rajzolt 9-es szám hieratikus jelével érzékeltette Árpád Mására Született eszesünk, hogy itt a 9-es számolási menettel találkozunk. Ez egyúttal az adott csűr kör alakú alapjának átmérője is. A továbbiakban nem vesztegette idejét méretek meghatározásával, sőt a későbbiekből nyilvánvaló magasságot is csupán a 10-es szám jelével adta meg. Így került egymás mellé a 9-es és a 10-es szám hieratikus jele. Összefoglalva: a következőkben csűrt számolunk, melynek alapja kör, szélessége 9, magassága pedig 10 egy-

130

Lásd 6. ábrát.

117

Királykörök

ségre tehető. (Lehetséges az is, hogy a (14-15)-ös jelek a Kő-LÁB olvasat alapján mértékegységet jelentenek.) A továbbiakban a kör király-menetes területszámolását követhetjük: a 9-et elkilencedelte, majd a kapott kerek 1-et kivonta a 9-ből. Így a közismert nyúló számhoz, a nyolchoz jutott.131 Szavaival élve: „körbe osztasz kerek…”. A kivonás esetében ismét a venni szavunkat használta, pontosabban felszólít: „végy utak”-at, vagy esetleg „végy étek”-et, amit ma már ‘vegyétek’-nek mondanánk. A második sorban írottakat már a 43-as példa elemzésekor megismertük, így a ‘szükséges a fej’, a ‘rászaporák’, a ‘kapol’ és a ‘számolok’ a korábbiaknak csupán ismétlései. Számolási menetében eljut a 8 × 8 = 64-es eredményhez. Ez a csűr alapkörének területe. A harmadik sor elején erre ‘rászaporít’ 10-et, így a körre képzelt 10 egység magasságú henger térfogatához jutunk. 64 × 10 = 640. Szavaival élve: „rászapora 10, kapol ív, ami 640”. Ide pontot tehetnénk, mert a feladat elején jelzett 9/10 méretű idomot, a henger térfogatát kiszámoltuk. A számolásnak azonban itt még nincs vége. A (71)-es jellel kezdődően írnokunk valami újat közöl, pontosabban felszólít: „add a felét az alapkörű ívre”. Erről eddig nem volt szó. Miért tegyem ezt? Válasz helyett minden esetre itt még tovább számolt, és a fél térfogatot, azaz 320-at hozzáadta a már kiszámolt henger űrtartalmához. Az eredmény: 640 + 320 = 960. A (86–99)-es jeleket ismét piros ‘tintával’ írta. Bizonyára fontos lehetett. Itt adott magyarázatot további számolására. A már ismert (darabos) űrtartalom kifejezését, a ‘rakottságot’ tovább finomította, és végre elárulta azt is, hogy mit jelent ez a külön lecke. Szavait idézve: „ami karcsú fél áru udvar”. Miért karcsú fél udvar? A korábbiakban megállapítottuk, hogy az első idom nyitott tetejű henger volt, 640-es űrtartalommal. Mit jelent a további fél térfogat számolása? Felfoghatjuk úgy is, hogy a 64 egység négyzetű alapkör területét két lépcsőben megszorozta 15-tel, azaz, ha a hengerformánál maradunk, akkor 9 /15 méretű, 960 köbegységű idomot számolt ki. Azért van itt egy kis bökkenő. Az első sorban világosan megadta az idom méreteit: 9/10. Tehát amit számolok, az 9 széles és 10 magas. Más szóval magassága nem lehet 15 egység. Ennél a pontnál a szakirodalom is megtorpan, s a számára legkézenfekvőbb megoldást választva, újabb mértékegységek bevezetésével magyarázza ezt a váratlan műveletet. A tudósok azt állítják, hogy a 640-es űrtartalom cubic cubitsben132 érvényes, viszont a 960-at írnokunk kharban érti. A váltószám 1 1/2 lenne. A számukra értelmetlen jelekből egyszerűen mértékegységeket faragtak. Állításuk igazához persze szükség lenne valamilyen mértékegységre, esetünkben a cubitre. Írnokunk azonban ilyennel nem szolgált. Mondjuk ki hangosan: csu131 132

Levezetését a A kör kulcsa című fejezetben bővebben is bemutatjuk. Köb könyök.

118

VI. A Rhind papirusz 41-es feladata

pasz számok mellé önkényesen még nem tisztázott mértékegységeket rendelni, majd jobb magyarázat híján ezeket valamilyen másik, eddig teljesen ismeretlen egységre átváltani, nem nevezhető tudományos eljárásnak. De visszatérve az „ami karcsú fél áru udvarok”-hoz láthatjuk, hogy az ‘áru’ szavunk írását mesterünk kissé elnagyolta, hiányzik a második ‘s’ alakú jel. Mégis az igazi újdonságot a 1/2 jel Hórusz írása hozta. A ‘normális’ fél érték, a (72)-es jel helyett itt a fordítottját látjuk (94). Fontos lehetett ez a jelölési módszer, mást mond, mint a korábbi társa. Esetünkben a felében az értelmes olvasat. Összegezve: „ami felében karcsú áru udvarok”. Az egyik fele tehát karcsú, a másik nem. Viszont a magasságot már ismerjük, mérete 10 egység. 10 és nem magasabb! Itt tehát a másik idom, az első karcsúsított változata áll. Megadott méretei azonosak a hengerével, azaz 9/10, de formája karcsú. Felmerül a kérdés: milyen idomot keresünk? Ezt írja: „add a felét az alapkörű ívre”. Alapja tehát ennek is kör, magassága 10 egység, ezek az első sor adatai, de térfogata a hasonló méretű henger térfogatának csak a fele. Nem lehet szabályos kúp, mert akkor a magasság harmadával szorzott volna, csakis valamilyen gömbölyded alakú, paraboloid idom jöhet számításba. Ha a mai népszerű mezőgazdasági fogalmak, számolási módszerek oldaláról közelítjük meg ezt a kérdést, akkor érdemes a Tiroler Bauern-kalendert133 a 294. oldalon fellapoznunk, ahol a Flächenund Körperberechnungen egyszerűsített számolási módszereivel találkozunk. Heuoder Strohhaufen (magyarul a széna/szalma boglya) Inhalt (térfogata) = Grundfläche × 1/2 h (ahol a h = magasság, Grundflache = alapterület). Összefoglalva megállapíthatjuk, hogy írnokunk két, azonos mérettel jellemzett, azonos alapterületű és magasságú csűr térfogatát számolta ki, majd adta össze. Az egyik henger alakú volt, a másik ennek a karcsúbb változata, azaz elképzelésünk szerint boglya formájú. Helyzetüket vizsgálva nem állhattak egymás tetején, mert a példa elején megadott magassággal ez ellenkezik. (Elképzelhető az is, hogy az alsó hengeres fele veremként kezelhető, ez esetben egymás fölött állhattak.) Össztérfogatuk 960 köbegység. Az említett idomok formájának bővebb leírásával a Kahun töredék tárgyalásánál foglalkozunk.134 Hajdan volt tanárunk egy füst alatt bemutatta az adott méretek figyelembe vételével mindkét lehetséges változatot, majd kiszámolta közös térfogatuk 20-ad részét. (Itt jegyezzük meg, hogy nyelvünk még ma is az ősi, egyiptomi módszer szerint fejezi ki az egész részeit, nem teszi ki a matematikailag fontos egy számlálót. Magyarul elég csupán a nevezőt kimondani. Így a harmad, a tized, a század stb. kifejezés már az egy-egység jelzett méretű felosztását jelentik. Csak elvont matematikai gondolkozás eredményeként alakulhatott ki az egynél magasabb számláló értéke. A 133 134

Haider, Humer, Viehweider, Tiroler Bauern Kalender 2000 (Innsbruck, 2000), 294. Lásd még a Függelék VII–X. tábláit

119

Királykörök

Nílus völgyében ebben az időben még nem ismerték, nem jegyezték az ilyen törteket.) Fennmaradó kétségeink a mértékegységek hiányára vezethetők vissza. Mint azt már jeleztük, jelen ismereteink szerint sem a khar, sem a ró nem létezett. A bödön egyébként térfogategységnek tekinthető, de írásmódja további kérdéseket vet fel. Ezt a feltevést látszik alátámasztani a gabona és a mérő búza hieratikus jele is, ahol a többes szám jelével kiegészítve ugyanezt a képecskét látjuk. Sőt, a telítek esetében – (120-122)-es jelek – a bödön fölött négy vonal látható, alatta, a főnévi igenévre utaló ‘n’ jelet Peet tollhibának tartja. Ezek a jelek csak hangértékükkel szerepelnek, és gabonát, telítést jelentenek. Kérdés, hogy más körülmények között valós egységeket képviselnek-e? Tegyünk mi is kísérletet a példánkban szereplő adatok alapján a bödön űrmérték meghatározására. • Ha valamilyen árumennyiséget elosztunk hússzal, akkor annak az 1/20 részét kapjuk. Tekintsük ezt egyelőre adónak. Ennek mértéke a mindenkori árumennyiségtől függ. Ha ez nagyobb, akkor nagyobb lesz a huszad része is. A 41-es, 42-es és 43-as példában egymástól eltérő mennyiségű méreteket huszadolt el tanárunk. Következésképpen a huszad, a fenti feltevés alapján az adó nagysága, esetenként más és más volt. Ezen az alapon ezt a számot, tehát a huszadot, mint valamilyen állandó közös mértékegységet kizárhatjuk. • Másrészt úgy is felfoghatjuk, hogy a bödön a keresett űrmérték, amelynek a térfogata 20 űregység. Ezek után csupán azt kell megvizsgálnunk, hogy ez az edény hányszor fér a megadott csűr térfogatába. Az osztás ilyenkor nem térfogategységekhez vezet – térfogatot osztunk térfogattal –, hanem darabszámot eredményez. Esetünkben – 48 – egész számú bödönt kapnánk, de mit gondoljunk a 43-as feladat eredményéről, ahol, mint láttuk, az eredmény 22 + 1/2 + 1/4 + 1/180 bödön lenne. (Egyébként ez a tört a 22 3/4 megközelítése.) Ha mélyebbre ásunk, láthatjuk azt is, hogy baj van a mértékegységek körül. Űregységgel osztunk… de mit? Egy számot, amelynek fizikai tulajdonságait nem ismerjük. Ha mégis az egyiptológusok által bevezetett, a példában nem létező méreteknek adunk hitelt, akkor is érvényes az a szabály, hogy csak azonos egységeket lehet egymással osztani. Így ebben a feltevésben mind a csűr, mind a bödön méretei szükségszerűen azonos egységben fejezhetők ki. Valamilyen köb-egységre gondolunk, melyet hosszméretekből kaptunk. Ha a szakirodalom által használt méretet, tehát az egy királykönyököt, a 52,5 cm-t fogadjuk el egységnek,135 akkor a 20 köbkönyök mérete: 0,525³ m³ × 20 = 0,145 m³ × 20 = 2,9 m³ lenne. Ekkora bödön-méret viszont nehezen elképzelhető, a csaknem 3 m³ űrtartalmú telített tartályt senki sem tudná 135

Hannig, op. cit., 1285, Köningselle.

120

VI. A Rhind papirusz 41-es feladata

megmozdítani. Egyébként könyökben számolva a példánkban számolt csűrök összmérete kis jóindulattal valósnak mondható. 960 × 0,525³ = 139,2 m³. Felfoghatnánk úgy is, hogy a henger alakú siló köbtartalma 640 × 0,525³ = = 640 × 0,145 = 92,8 m³, a ‘boglyának’ nevezett tárolóé 320 × 0,525³ = = 320 × 0,145 = 46,4 m³. Méreteik: 9 × 0,525 m = 4,725 m széles, magassága 10 × 0,525 = 5,25 m lehetett. Ilyen alapon komoly építménynek számíthattak. Ellenpróbaként a következő számolási menettel szolgálhatunk: ha abból indulunk ki, hogy a csűrök össztérfogata az előbb kiszámolt 139,2 m³, és egy bödön térfogata 2,9 m³, akkor a 139,2 m³ : 2,9 m³ = 48 bödön, példánkban kiszámolt, hiteles eredményhez jutunk. • Láthattuk, hogy könyökben számolva hatalmas csűröket kapunk, valamint az egységként használt bödön mérete olyan nagy, hogy teletöltve csak komoly felkészültséggel lehetett volna megmozdítani. Milyen szállítóeszközökkel rendelkezhettek a Nílus-menti földművesek? A kocsi és a szekér nem volt praktikus, többek között a homokban elsüllyedt volna. Szánok vontatásához sok ember kellett, ugyanakkor szamár hátára több köbméter gabonát körülményes lett volna felpakolni. Ezzel szemben minden bizonnyal volt valamilyen hajójuk. Parcelláikat öntözték, csatornájuk is volt, elképzelhető, hogy rendelkeztek tartályhajóval is. Nevezzük bödön-hajónak. Ez már könnyen mozdítható, sőt űrtartalma is ‘méretes’. Kérdés, hogy az aratás idején volt e még víz a csatornákban.136 • Térjünk vissza példánkhoz. A valóságban feltehetően csupán két mértékegységgel rendelkezünk. Az egyik a mérő-búza olvasatából származtatható mérő, a másik a bödön. Ez utóbbi hieroglifás jelei is mindig azonos méretű ‘hordókat’ jelölnek. A magyar olvasat nyomán meghatározhatjuk a mérő fogalmát. Fölírhatjuk tehát a következő egyenlőséget: 1 bödön = 20 mérő = 20 x³. Így csupán azt kell megállapítanunk, hogy x értéke mennyivel egyenlő. Robins szavait idézve kiderül, hogy a hivatalos álláspont szerint az alapméret a király-könyök volt: „The basic unit of length in the RMP is the royal cubit, corresponding to about 52.5 cm and subdivided into 7 palms of 7.5 cm, each of which is further divided into 4 fingers of 1.875 cm.”137 Nos, a köbkönyökről már megállapítottuk, hogy behemót méretű raktárakhoz vezetne, valamint vele számolva a mérő nagysága 145 liter lenne, ami gyakorlatilag mozdíthatatlan. Mindemellett olyan bödön-hajóra volna szükségünk, amelynek a befogadó képessége 3 m³ körül mozog. A magtár mérete könnyebben elképzelhető, a mérőé már jóval kevésbé, és a bödön-hajó sem lehetett mélyjáratú, úgy sejtjük, hogy sekély csatornákon ilyen teherrel nem lehetett mozogni. 136 137

Lásd Függelék VI. tábláját. ‘Robins and Shutte, The Rhind Mathematical Papyrus, Numerals and units of measurements, 13. Az RMP alap hosszegysége a király-könyök, nagysága kb. 52,5 cm, feloszható 7 tenyérre, mindegyik 7,5 cm széles, tenyerenként 4 ujjal számolunk, nagyságuk 1,875 cm.’

121

Királykörök

A szakirodalom által megadott következő méret a tenyér lenne (lásd 7,5 cm), ami viszont feltűnően kisméretű csűrhöz vezetne. Az így kapott csűr magassága csupán 7,5 cm × 10 = 75 cm lenne. Más, ide vonatkozó mértékegységgel a szakirodalom nem rendelkezik. (Megjegyezzük, hogy a tenyér méretének többszörözésével töltötték ki ezt az űrt. Pl: 1 dsr = 4 ssp, azaz tenyér = = ca. 30cm.138). Pedig még a középkorban is elterjedt méret volt a ‘láb’ mint mértékegység. Nagysága területenként változik, nagyjából a 15 és 33 cm között mozog. Egyébként mind a mai napig hiteles mérőeszköz hiányában a földön mérendő távolságokat ‘lelépjük’, illetve kisebb méreteket lábfejünk segítségével határozzuk meg. Régen sem lehetett ez másként. Vizsgáljuk meg, hogy az egyik ‘figyelemre méltó’ lábmérettel számolva, ezúttal legyen kerek 32 cm139, milyen eredményt kapunk. A csűr méretei a következők lennének: 9 × 0,32 m = 2,88 m széles, 10 × 0,32 = 3,2 m magas. 1 mérő = 0,32³ = = 0, 03 m³ = 30 liter. A bödön mérete is jóval kisebb lenne: 20 × 0,03 m³ = = 0,6 m³ = 600 liter. Ez a csónak méret látszólag megfelel követelményeinknek.140 • Állítsuk egymás mellé az így kapott idomokat: x = könyök, 52,5 cm x = láb, 32 cm Csűr magassága : 5,25 m Csűr magassága : 3,2 m Csűr szélessége : 4,725 m Csűr szélessége : 2,88 m 1 mérő = 0,145 m³: 145 liter 1 mérő = 0, 03 m³ : 30 liter 1 bödön = 2,9 m³ : 2900 liter 1 bödön = 0,6 m³ : 600 liter A választás nem nehéz. Szeretnénk ezek után ismételten rámutatni arra, hogy ez a nagyságrendi kitérő nem támaszkodik a példából vett konkrét adatokra. Mindez csupán feltevés! Hacsak…? A 41-es példa (14-15)-ös jele, a 42-es példa (11-12)-es jele, valamint a 43. példánk (45-?) jele nem a ‘k’ és a ‘b’ hangot jelölik: . Nem áll utánuk az ID jel. Ha fantáziánknak tágabb teret engedélyezünk, itt láthatjuk harmadik adatunkat, a hiányzó mértékegységet, a Kő-LÁB-at… A láb jel, ha mértékegység, lehet ID is, így elképzelhető, hogy ezt nem szükséges külön jelezni. Példáinkba ragyogóan illeszkedne: „Fejben számít. Csűrödből kapni. Nagysága 9/10 kőláb.” Úgy érezzük, hogy ezt a lehetőséget nem szabad figyelmen kívül hagyni.141 138

Hanig, op. cit., 1285. Ez a méret Fl. Petri által Abüdoszban mért Északi láb nagysága. 140 V.ö. a Függelék VI. Táblájával. 141 V.ö. a Méter című fejezettel. 139

122

VI. A Rhind papirusz 41-es feladata

Példánk befejező hasábjában tanárunk a számolás gyakorlati menetét mutatja be. Lényegében oszlopai nem jelentenek újdonságot, jól követhető gondolatmenete. Szeretnénk rámutatni a második számoszlop utolsó sorára, ahol: 1/2 (640) → 320 áll. A következő oszlopban aztán látható az összeadás eredménye: = 960. A szakirodalom 1,5-szörös khar méretéhez hiányzik a matematikai magyarázat, ha szorosan vesszük, hiányzik a 640 × 1,5–ös tábla: 1 × 640; 1/2 × 320 ; = 960. Ezt tette mesterünk minden alkalommal szorzásai esetén. Itt viszont csupán összeadott. Nyelvezetét tekintve a 41-es példa a 43-as hasonmásának tekinthető, nem találkoztunk újabb kifejezésekkel, eddig még nem használt szavakkal. Itt azért halkan hozzátesszük, hogy írnokunk ragyogó számtanos, de csak közepes nyelvész volt.

D. A szakirodalom álláspontja, részletek Eisenlohr142 a következőket írja: „Das Wort xAt in der Bedeutung Leichnam, Leib (Brugsch Wört. 1041) ist langst bekannt.”143 Ő ebből a csoportból vezeti le a 101. oldalon közölt fordítása alapján az általunk (93-99) számmal jelzett jelek értelmét: „…das ist sein körperlicher Inhalt.”144 Végső soron nem sokat tévedett, mi is – bár sokkal árnyaltabban – valami ilyesmit olvasunk: „ami karcsú áru udvarok”. Jól sejtette, itt nem méretről, hanem valamilyen jelzőről, alakról van szó. Csupán Peet145 és követői olvassák a hal jele alapján (95) a khar mértékegységet: „ ((pw omitted by the scribe)) its content in khar.” Az olvasatához szükséges particulumot, a nominális mondatokat bevezető pw jeleket szerinte az írnok kifelejtette, így az általa helyesbített részt a szögek közé helyezte. Fordítása ezek után már érthető: <ez az> ő (az idom) űrtartalma kharban. A khar mértékegységről a 43-as példa elemzésekor már bővebben szóltunk.146 Chace147 idézi Gunn csűrre vonatkozó megállapítását: „Gunn would prefer here to say volume or space. He quotes a passage containing a word SAa, which, because of the context, must mean something like space, and which cannot be translated by the name of any concrete container.”148 Nos, Gunn, Chace szavait követve megállapítja, hogy az általunk csűrnek nevezett idomra a térfogat illetve a tér fogalom illik. Ezt azzal pontosítja, hogy a jelzett transzliterációs jelek ebben az esetben va142

Eisenlohr, op. cit.,102. A szó xxxx Xat jelentése: holttest, (emberi) test, már régóta ismert.’ 144 ‘… ez testének az űrtartalma’ 145 Peet, op. cit., 80. 146 Lásd még a Kahun Papirusz összefoglalását is. 147 Chace, op. cit., 106. 148 ‘Gunn itt a térfogat vagy az űr szavakat helyezné előtérbe. Arra a szövegrészre hivatkozik, amelyik a SAa szót tartalmazza, mert a szöveg szerint valami olyasminek kell lennie, mint űr, amit egyetlen ismert tároló nevével sem lehet lefordítani.’ 143

123

Királykörök

lami olyasmit jelentenek, ami nem fordítható le semmilyen konkrét konténer formára, tárolóra… Nem ismerte a csűr szavunkat.

E. Gondolatok a q(A)b jelek lehetséges hangzósításáról Korábban már láttuk, hogy a 42–43-as példában a fent jelzett (5-6)-os, valamint a 43-as példában a (10-11)-es jelek a ‘kap-ni / karba-n / körbe-n / karóba-n’, a dbn transzliteráció alapján ‘időben / adóban’, sőt a jel képértéke alapján a nagyon valószínű ‘teker-ni / takar-ni / hajta-ni’ jelentéssel rendelkezhetnek. Azt is megállapítottuk, hogy helyzetük következtében ezek a jelek minden bizonnyal az állítmány helyén állnak, így az ‘n’ jel valószínűleg a főnévi igenév jele. (Egyébként lehetne névszói állítmány is.) Nos, a hangzósítás sora távolról sem teljes. Ha a zárójelbe tett (A) jelet is figyelembe vesszük, valamint a kAb átírás mindkét mássalhangzóját zöngés/zöngétlen párjával is felcseréljük – a K/G, az AR és a P/B váltásokra gondolunk –, újabb lehetséges variánsokhoz jutunk: • K-OR-Pa. „Csűrödből korpán” olvasat értelmetlen. • K–ER-eP. TESZ II 455 oldal: „kerep2 1248/1421: ‘egyfajta hajó’. Kun eredetű.” Olvasatunk ebben az esetben a nagyon is lehetséges: „Csűrödből kerepen”, azaz csűrödből hajón lenne. • G-ER-éB. Községi elöljáró, soltész, bíró. „Csűrödből gerében” olvasat nem valószínű. • G-ER-eB–eN. Fésülésre használatos eszköz. Ide sorolható az ugyancsak használatos ‘gereblye’ szavunk is. Ebben az esetben a: „Csűrödből gereben”, csűrödből ‘fésülni / gereblyézni’ olvasat meglehetősen értelmetlen. • G-AR-aB-oN. Bűvész, varázsló (lásd TESZ). „Csűrödből garabon”. Itt esetleg a számolásra utalhatna. Ez az olvasat sem valószínű. • G-AR-aB- (oly). TESZ I 1026 oldal: „garaboly 1664, – karaboly –, 1. kosár, többnyire kézikosár, 2. ‘betakarításhoz használatos magas oldalú szekér’. Valószínűleg jövevényszó.” Ez a változat nagyon is lehetséges. Ebben az esetben mindkét mássalhangzó zöngés formájában látható, valamint a A hangot is szabályosan AR-nak olvassuk. Értelmét tekintve is illeszkedik példánk mondanivalójához: „Csűrödből garabon”, azaz csűrödből kosarakban. • A Függelék VI. tábláján jól követhető a mezőgazdasági műveletek sora. A felsorolás természetesen még most sem teljes. Olvasatunkba egyelőre a fejezet címében is szereplő legértelmesebb változatot, a KaP-Ni szavunkat vettük fel.

124

VI. A Rhind papirusz 41-es feladata

F. Összefoglalás Mint láthattuk, ebben a példában két azonos mérettel meghatározott, de különböző formájú tároló űrtartalmát számoltuk. Ha ehhez hozzávesszük a 43-as feladat csaknem félgömb alakú pajtáját, illetve a 44-es példa szögletes alaprajzú csűrét beláthatjuk, hogy akkortájt a magtár formája igen változatos lehetett. Kitértünk arra is, hogy az általunk eddig olvasott példákban nem találtunk konkrét hossz- vagy űrmértékegységet. Elképzelhető, hogy a fáraók idejében az itt hiányzó mértékegységek közismertek voltak, így azokat nem kellett külön megjelölni. Tanárunk célja egyébként is inkább a számítások menetének bemutatása, az idomok térfogatának általános meghatározása, s nem annyira az adott feladatok fizikai méreteinek kiszámolása, megoldása volt. A számolási menetek elméletben bármilyen mértékegységben számolva érvényesek. Olvasatunk sarokpontja az idomok meghatározása volt. Azt láttuk, hogy a szöveg helyes olvasata a második idomhoz vezetett. Árpád Mására Született eszesünk az idomok űrtartalmát összeadta, majd meghatározta a telítéshez szükséges bödönök számát. Érdekességként kezelhetjük az esetleges láb mértékegységet is, amelyet később még pontosítunk.

125

VII. A Rhind papirusz 42-es feladata

8. ábra Az RMP 42-es feladata. BM 10057 (right) Recto

9. ábra. A. Eisenlohr, Ein mathematisches Handbuch der alten Aegypter (Papyrus Rhind des British Museum) Taf XVI.

127

Királykörök

A. A szöveg részletes tárgyalása Az első sor

30 29

28 27 26 25-24 23 22-212019 18 17 16 15-14 13-12 11 10 9 8-7 6-5 4-3 2

1

Tükörképében:

1

2 3-4

5-6 7-8 910 11 12 13 14-5 16 17 18 19 20 2122 23 24-5 26 27 28 29

30

SA Ar a-pr kAbn*n 10.10 x b* x-r k 1/9 n 10 m 1 1/9wDA t-k m 8 2/31/61/18 Csű-R öD-BőL KaP-Ni O-öN 10/10 Kör-Be * KeReK 1/9 Nyi 10, aMi 1+1/9. VeGyeTeK aMi 8 + 2/3 + 1/6 + 1/18149

Csűrödből kapni. A kör 10/10. Kőláb oszt kereket, 1/9-nyi 10, ami 1 egész és 1/9. Vegyétek, ami 8 egész 2/3+ 1/6 + 1/18-ad.

Megjegyzések: Az első nyolc jel olvasatával már többször találkoztunk. A „körbe oszt kerek” szavak helyett az utolsó sorban a „…kőláb oszt kerék(t)…” változatot írtuk át, bár jelen ismereteink alapján még egyiket sem tekinthetjük véglegesnek. A sor további jeleivel már korábban foglalkoztunk.

149

Helyszűke miatt a függőleges tagoltság itt nem követhető.

128

VII. A Rhind papirusz 42-es feladata

A második sor

61 60

59

58-56

55 54 53 52 51 50-49 45–48 44 43 42 4140 39 38 - 36 35 34 –32 31

Tükörképében:

2/a 31

32-33

34

35 36 37 38-9 40

41

ir

x-r

k

Sk h sk tp

8 2/3 1/6 1/18 r

SzáM

O-L

m

K SzüK-SéG FEJ aMi

8

42

43

44

45

2/3 1/6 1/18

46-48 49-50

z -p-w r-k

Rá SzaP-O – RáK

Számolok, gondolkozz, ami 8 + 2/3 + 1/6 + 1/18 rászaporítasz…

2/b 51

52

8 8

53

54

55

56

57-58

2/3

1/6 1/18 kp

r

x-r

2/3

1/6 1/18 KaP-oL

KöR

59

60

61

79 1/108 1/324 79

1/108 1/324

… 8 egész 2/3 + 1/6 + 1/18-ot, kapol kört 79 egész 1/108 + 1/324.

129

Királykörök

Harmadik sor

88

87 86

85

84 83 82 – 80 79 78 77-75 74 73

72

71 70-69 68 – 66 65 64-63 62

Tükörképében:

3/a 62

63-64

65

66 67 68 69 70 71

72

ir

x-r

k

Sk H sk tp

m

79 1/108 1/324 zpra 10

O-L

K

SzüK SéG FeJ

aMi

79 1/108 1/324 SzaPoRa 10

SzáM

73 74

75 – 77 78

Számolok, gondolkozz, ami 79 egész 1/108 és 1/324 szaporítasz 10-zel…

3/b 79

80

81-82

83

84

85

86

87

xp

r

x-r

f

m

790

1/18 1/27 1/54

KaP

oL

KöR

íV

aMi

790

1/18

1/27

…kapol körívet, ami 790 egész 1/18 + 1/27 + 1/54

130

88

1/54

VII. A Rhind papirusz 42-es feladata

Megjegyzések: A második és harmadik sor lényegében csak a törtszámok terén hozott újat, eddig még nem találkoztunk pl.:1/324-del.

Negyedik sor 4/a

122 121 120 119 118 117 116 115 –112 111 - 107 106 105-4 103 -100 99 98 – 95 94-3 92 91 90 89

4/b

143 142 141-40 139-8 137-134 133 132 -128 127 - 124 123-2 121120 119 118 117 116-114

Tükörképében: 4/a

89

di

90 91 92

*

f

93-94 95 96 97-98 99

100-1 102

Hr - l

x-r

aDD FÉL íV ARC-*

f íV

xpr

r

KaPoL Rá KöR

103 104-5 106

107 108 109 – 112

f

m 1100 80

5 Sk H sk tp

íV

aMi 1000 100 80

5 SzüKSéG FeJ

131

Királykörök

Add a fele ívet a köregység ívre, kapol rá körívet, ami 1185. Gondolkozz!… 4/a2

113 114 115 116 117

118

119 120 121 122

m 1000 100 80 5 1/20

m

aMi 1000 100 85

Mi

1/20

50 9 1/4 50

9

1/4

Ami 1185, annak egy huszada mennyi? Ez 59 1/4.

4/b

123 124

h

Ar

Be Ra

125 126-8 129-30 131-2 133 134 135 136-7 138-9 140 141 142 143

Ar t-iwk pw r-f

m tr

Ra T-JUK B-E íR-Va aMi

it mr

*n

50

9 bdn 1/4

TeL-ÍT MéRő GaBoNa 50 9 1/4 BöDöN

Berakatjuk, beírva (átszámolva), ami telít mérő gabonából, az 59 1/4 bödön.

Megjegyzések: Az utolsó sor olvasásakor sem találkoztunk ismeretlen jelekkel. Elmondhatjuk, hogy ez a példa a 41-es feladat hasonmása, csak itt nem a 9-es kör számolási menetének klasszikus módszerét követjük, hanem a király-menet közvetlen alkalmazását látjuk. A 41-es feladathoz hasonlóan ebben a példában is két lehetséges idom térfogatát számoltuk ki, majd megállapítottuk a bödön-méretben kifejezett közös űrtartalmukat. A példa érdekességének a magas nevezőjű törtek használatát tekintjük.

132

VII. A Rhind papirusz 42-es feladata

B. A 42-es feladat számításai A bevezető oszlop a már ismert szavakkal kezdődik. Vízszintesen rendezve a következő képet mutatja:

144 145 146 147-8

149

150

kAA j tut sk-n

sz

m

hi

M -

HÍ - TáSoK

KiRáLYi TUDóSoKoN Szá

151 152-153 154

t sk

f íVe

Királyi tudósoknak számításai Erről a jelcsoportról már korábban részletesen szóltunk, a lehetséges variációkra itt már nem térünk ki. A számolás első oszlopa: *

8 + 2/3 + 1/6 + 1/18

**

17 + 2/3 + 1/9

IIII

35 + 1/2 + 1/18

IIII IIII

71 1/9

Eddig csak a 8 × 8 + 2/3 + 1/6 + 1/18-dot számolta ki. Az első oszlop utolsó sorában a 2/3 × (8 + 2/3 + 1/6 + 1/18)-dot számolja tovább. 2/3

5 + 2/3 + 1/6 + 1/18 + 1/27

A második oszlop az 1/3, 1/6, 1/18-ados szorzótáblát mutatja be. 1/3

2 + 2/3 + 1/6 + 1/12 + 1/36 + 1/54

1/6

1 + 1/3 + 1/12 + 1/24 + 1/72 + 1/108

1/18

1/3 + 1/9 + 1/27 + 1/108 + 1/324. 133

Királykörök

A szorzás (négyzetre emelés) végeztével egy-egy ferde pipával megjelölte az összeadandó számokat: (71 + 1/9) + (5 + 2/3 + 1/6 + 1/18 + 1/27) + (1 + 1/3 + 1/12 + + 1/24 + 1/72 + 1/108) + (1/3 + 1/9 + 1/27 + 1/108 + 1/324) A második sor aljára került az összeadás eredménye: 79 + 1/108 + 1/324 Összeadási módszerük számunkra részleteiben követhetetlen. Ha jól meggondoljuk, már a legkisebb közös nevező kikeresése is komoly gondot okozhatott, hiszen a 648-at kellett volna mindegyik nevezővel osztani. Ha az egész számokat külön vesszük: 71 + 5 + 1, valamint a 2/3 + 1/3 törtekből egy egészet képezünk, akkor 78 egésszel számolhatunk. A többi törtet viszont mai ismereteink szerint közös nevezőre kellett hozniuk (?), illetve valamilyen, számunkra eddig ismeretlen úton jutottak el a 656/648 = 1 + 8/648 = 1 + 4/324 = 1 + 1/108 + 1/324 eredményre. Tekintve, hogy a mai értelemben véve sem szorozni, sem összeadni nem tudtak, valamint csupán egyes számlálójú törteket jelöltek, egyelőre megoldatlan talánynak tekintjük számolási meneteiket. Csak sejteni lehet, hogy mérhetetlen számtábla oszlopokkal rendelkezhettek, ahol a kettőzések sokasága mégis a kívánt eredményre vezetett. Még így is fel kell tételeznünk, hogy az egynél nagyobb számlálójú törtekkel is számoltak, és csak utólag váltották át ezeket egyes számlálójú törtekké. Aki nem hiszi, számoljon utána!150 Írnokunk ezzel befejezte a 10 egység átmérőjű kör területének számítását. Eredménye, figyelembe véve az akkor használatos π = 3,1605 értéket, hajszálpontos: Akör = 79 + 1/108 + 1/324 = 79,01 egység². Ellenőrzésképpen álljon itt mai számolási módszerünk: A = r² π = 5 × 5 × 3,1605 = 25 × 3,1605 = 79,01. A harmadik oszlopban a tízszerezésre került sor: *

79 + 1/108 + 1/324

10

790 + 1/18 + 1/27 + 1/54 + < 1/81>

1/2

395 + 1/36 + 1/54 + 1/108 + < 1/162> 1185 < 1/6 + 1/54 >

1/10 150

118 + 1/2 < 1/54 >

Segítségül a Hogyan számoltak? című fejezetet javasoljuk, melyben a 42-es példa számolási meneteit részletesen elemezzük.

134

VII. A Rhind papirusz 42-es feladata

Tanárunk az utolsó műveleteknél kissé nagyvonalú volt. Az utolsó törtet sem a tízzel történt szorzásakor, sem a felezésnél nem írta le. Nélkülük számolva egész értékhez jutott: 1185-öt kapott. A valós értékek, mint azt már Eisenlohr is kiszámolta, a szögek között láthatók. A negyedik oszlop tetején aztán megadta a számolás eredményét: 1/20

59 + 1/4 <1/108 >

Ha figyelemmel követtük a példát, ez az érték darabszám, azaz a szükséges bödönök száma.

C. A szöveg magyar olvasata 1. sor Csűrödből kapni. A kör 10 /10. Kőláb oszt kereket. 1/9 -nyi 10, ami 1 1/9. Vegyétek, ami 8 2/3 + 1/6 + 1/18. 2. sor Számolok, gondolkozz! Ami 8 2/3 + 1/6 + 1/18 rászaporítasz 8 2/3 +1/6 + + 1/18-t. Kapol 79 1/108 +1/324. 3. sor Számolok, gondolkozz! Ami 79 1/108 + 1/324 szaporítasz 10-zel, kapol ívet ami 790 1/18 + 1/27 + 1/54. 4. sor Add a fele ívet a köregység ívre, kapol ívet, ami 1185. Gondolkozz! Mennyi 1185 1/20-da, az 59 1/4. Berakatjuk, átszámolva, ami telít mérő gabonából az 59 1/4 bödön.

D. Összefoglalás Mint azt már korábban megállapítottuk, a 41-es példához képest a 42-es feladat alapvetően nem hozott újat. Eltérés az alapkör méreténél mutatkozik. Írnokunk ezen a példán keresztül kívánta bemutatni a kör király-menetes általános számolási módszerét. Tette ezt azon az áron, hogy hatalmas nevezőket kellett egymással összhangba hoznia, mellyel újfent kivívta csodálatunkat. Gyakorlatilag hibátlanul oldotta meg feladatát, mert az utolsó oszlopban észlelhető ‘pontatlanságokat’ véleményünk szerint a kerekítés érdekében szándékosan követte el. A bödönök számát értelmetlen lenne 59 egész egy negyed, valamint 1/108-ad részben megadni. A feladat olvasása közben a 41-es példából már ismert henger és boglya formájú tárolókkal találkoztunk. Ebben az esetben Árpád Mására Született írnokunk nem tartotta fontosnak a karcsú idom jelenlétét újra jelölni. A körterület további számo135

Királykörök

lásánál egyébként visszatér a számára könnyebb, 9-es alapkörű módszerhez, ezt külön is jelzi a 43-as példában. A 42-es feladatban a bödön, a mérő és esetleg a kőláb méretekkel találkoztunk, ami valós mértékeket jelenthetett. A 10/10-es tároló/csűr magassága lábakban kifejezve 3,2 m, míg a henger variáns függőleges metszete négyszöget eredményez. Mint tapasztaltuk, számolása a magas nevezők miatt nehézkes volt. Ismételten megjegyezzük, hogy eszesünk a 9-től eltérő átmérőjű kör területét az összes többi példában az egységnyi 3-as kör segítségével oldotta meg. Ez a példa – inkább mint kivétel – csupán számolásuk sokrétűségére enged következtetni.

136

VIII. A Rhind papirusz 50-es feladata

10. ábra Az RMP 50-es feladata. G. Robins and Ch. Shute, The Rhind Mathematical Papirus. Plate 16 Problem 50

11. ábra August Eisenlohr: Ein mathematisches Handbuch der alten Aegypter. Taf. XVII.

137

Királykörök

A. A szöveg feldolgozása Első sor

18

17-16

15

14 13 12-11 10- 9 8 7 6

5-4

3

2

1

Első sor

1

2

3

4-5

6

7

8

9-10

11-12

tp -

n

ir-t

Ar

H

t

cs-k

kAp-n

FeJ -

eN

SzáM-íT (m)AR – Há – T

13 14

cs -

15

n

18

xt - k 9

CsíK-oK KaP-Ni CsíK - oN KöTé(l)eK 9

Fejen számít felszínt. A csíkon kapni, 9 kötél …

138

16-17

VIII. A Rhind papirusz 50-es feladata

Második sor

45 44 43 42 41 40-39 38 37 36 35-34 33 32 31

30

29 28 27-26 25-24 23 22 21-19

2/A sor

19-21 22 23 24 –25 26-27 28

p-j-t tr * PaJTa TáR

r-x

* RaKo

t * k

29

30

31

f

m

Ar H t

Ss-k

Mi

(m)AR-HáT

CsíKoK

T-SáGoK íVe

32 33

34-35

Pajta térnek nevezett rakottságok íve, mennyi a felszíne?

2/B sor

36

x

37 38

b

Kő-Láb

39-40

41

* x-r

k

* Ke-Re-

K

42

43

1/9 f 1/9

44

45

m 1 ív

ami 1

Körbe osztasz kerek 1/9 ívet, ami 1.

139

Királykörök

Harmadik sor

64

63-62

61

60

59 58

57 56

55

54 53-52

47-48

49

50

51

52-53

54

m

8

ir

x-r

k

3/A sor

46

DA t-k

VeGY-TeK aMi

8.

SzáM O -L - oK

Vegyétek, ami 8. Számolok

3/B sor

55 56 57 58 59 60

61 62-63

Ss H sk tp

8 spr-k 8

m

SzüK - SéG FEJ aMi

64

8 SzaPoRáK 8

Szükséges a fej, ami 8 szaporítasz 8-cal…

140

51

50

49

48-47 46

VIII. A Rhind papirusz 50-es feladata

Negyedik sor

88

87 86-85 84 83 82

81

80 79 78 77-76 75-73 72 71 70

69 68-67 66 65

4/A sor

65

66

67-68

69

70

71 72 73-75 76-77

xp

r

x-r

f

m

6

4 rxt

Kö – R íV

aMI

6

4 RaKoTt-SáGoK

KaP - oL

sk-k

…kapol körívet, ami 64 a rakottságok…

4/B sor

78

79-80

81

82

83 84 85-86 87 88

f

pw

m

A

H t

íVé – BeN

aMi

Ss-k 6 4

(m)ARHáT CsíKoK 6 4

ívében, ami felszín 64

141

Királykörök

Vízszintesen rendezve: 89

90

ir

t

91 92

93-94

mr i xpr

95

96

xt

9

SzáM - íT MéR –I KaP-oL KöTé(l)

9

Számít(s), mérj, kapol, kötélben 9

B. A számolás menete 1

×

9

1/9 íV

97-98

99

x * xnt

1

100-101

102

nt

f

103 104-105 106

DA

tk

KöRBe Oszt KiöNTő (m)eNeTű íVVeGYe-TeK

142

1

×

8

2

×

16

4

×

32

8

×

64

8 8

Körbe/kőláb oszt, király menetű ív, vegyétek, ez 8.

VIII. A Rhind papirusz 50-es feladata

C. A végeredmény

107-9 110-111 112

rkt

sk-k

113

f

m

RaKoTt-SáGoK íVe

aMi

114 115 116 - 118

Ar

H

t

Ss-k

(m)ARH -áT CsíKoZ

rakottságok íve, ami marhát csíkoz 6+4 64

D. A magyar olvasat Fejen számít felszínt, amit a csíkon kapni. 9 kötél a pajta-tárnak nevezett rakottságok íve, mennyi a felszíne? Kőláb oszt kerek 1/9 ívet, ami 1. Vegyétek, ami 8. Számolok, gondolkozz! Ami 8, szaporítasz 8-cal, kapol körívet, ami 64 a rakottságok ívében. Ami felszín, az 64.

143

Királykörök

E. Megjegyzések Ebben a példában a többihez képest talán a legfeltűnőbb eltérés a mértékegység jelenléte. A szövegben is jól olvasható jelet az egyiptológusok khetnek nevezik, és hosszegységnek tartják. Hannig151 szerint: 1 xt = 100 mH (Ellen) = 52,5 m. Az Elle = Könyök = 52,5 cm. (Ezt egyébként király-könyöknek is nevezik.) Nos, Eisenlohr már 130 évvel ezelőtt kiszámolta, hogy mindez túl nagy méretekhez vezetne: „Die 64 khet² des Beispiels Nr.50 sind dann 64 × 27,56 m² = = 1763,84 Are oder 17,64 Hektare beinahe 70 preußische Morgen, was entschieden zu viel ist für ein einzelnes Stück Feld.”152 (Eisenlohr számolása egyébként nem pontos, mert a mai értékeket figyelembe véve a 64 × 27,56 m² szorzata nem Areban, hanem m²-ben jelentkezik. Így az átváltása hektárra ugyancsak két tizedessel elcsúszott. Mi több, a 27,56 m² is csak az 5,25 m négyzete, így egy nagyságrenddel eltér a hivatalos 52,5 m-től. Érdekes módon a 17,64 hektáros végeredménye viszont 52,5 méteres khettel számolva helyes.) Ezek után felmerül a kérdés: milyen mértékegység, és mekkora a valóságban a khet? A fentiekben a khet jelet mi kötélnek olvastuk. (Lásd a 16-17-es jelet.) Ha nagysága könyökben fejezhető ki, tehát hosszmérték, akkor mérete a könyök tízszerese is lehetne: 5,25 méter. (Egyelőre nincs arra bizonyítékunk, hogy a mértékegységek a tízes számrendszer szabálya szerint követnék egymást!) A könyök százszorosa nem valószínű – lásd Hannig nagyságrendjét –, mert sokkal körülményesebben kezelhető. Az 52,5 m hosszú kötelet – a súlyáról nem is beszélve – gondot okozott volna magukkal vonszolni, összetekerni, kifeszíteni. (Esetleg zsinór lehetett?) Az áradások alkalmával eltűntek a megművelt területek szélei, a víz visszahúzódásakor ezeket helyre kellett állítani. Számtalan ránk maradt rajzon láthatók a kötéllel kezükben ábrázolt földmérők. Mindig legalább ketten voltak. (A Függelékben is mellékeltük ezt az ábrát, XI. tábla.) Az 50-es feladatban a 9 khet egység kitűnően olvasható. Ha fenti feltevésünk igaz, akkor az eredményt khet²-ben kapjuk, azaz 64 × (5,25)² m² = 1764 m². Ez nagyjából 30×60 m-es földterület. Mindez természetesen csak a méretek érzékeltetésére alkalmas, hiszen a szakirodalom szerint akkortájt még nem ismerhették a

151 152

Hannig, op. cit., 1285. Eisenlohr, op. cit., 124: Az 50-es példa 64 khet²-te ezek alapján 64 × 27,56 m² = 1763,84 árral, vagy 17,64 hektárral, csaknem 70 porosz Morgen nagyságú, ami kétség kívül túl nagy egy darab föld méretének.

144

VIII. A Rhind papirusz 50-es feladata

métert. Megjegyezzük, hogy a khet/kötél és a könyök között további hosszegységek is létezhettek, gondolunk itt a valódi kar és az öl nagyságrendre. A helyzetet a továbbiakban az is bonyolítja, hogy a 49-52-es példákban több helyen is más-más mérettel szerepel a khet jel. A 49-es példában a 10-es és a 2-es szám kíséretében egy téglalap oldalait jellemzi. Az 51-es feladatban feltűnő módon a háromszög alapját és egyik befogóját adták meg khetben. Az alap esetében a szabályos 4-es szám áll mellette, a befogónál viszont a 10-es értékű khet jelet (alatta) három pont díszíti. Az 52-es példában a szövegbe ágyazva is olvashatjuk a khet-3, khet-6, és khet-4 formákban.153 A kötél méretének kutatását tehát még nem zárhatjuk le. Ez a példa a kör területének meghatározásához a legegyszerűbb módszert mutatta be, így nem férhet kétség a számolás menetéhez. Egyébként nemcsak csupasz számokkal találkozunk, írnokunk ide is szöveget mellékelt. A kapott felszín eredménye minden kétséget kizáróan 64 kötél². A számolás kidolgozása előtt látható oszlop némileg eltér a korábbiaktól: számít(s), mérj, kapol és a 9 köteles kör állnak egymás alatt. Úgy tűnik, írnokunk itt rövidített. A folyó szövegben nem szerepel, de itt külön is leírja, hogy a kőláb/körbe oszt, ez a király-menet. Érdekes azt is megfigyelni, hogy a negyedik sorban a 64-et kétféleképpen írta, először a 6 és a 4 hieratikus jelével találkozunk, a sor végén viszont a 6 mellett a 4-et látjuk. A végső eredményként leírt 64 is a 6 és 4 jeleiből áll. Nos, ennyit erről a geometriai ismereteinket tekintve egyszerű példáról.

153

Az említett példák eredeti hieratikus jelei a Függelékben ellenőrizhetők, IV tábla.

145

Királykörök

Összefoglalás Egyszerűségénél fogva mindenki tisztán követheti a kör területének számítását, ezért a körrel kapcsolatban az egyiptológusok általában erre a példára hivatkoznak. A példa elemzése sokféle matematikai és geometriai ‘felfedezés’-hez vezetett, variánsoknak se szeri, se száma. A többi között Thales és Pythagoras tételét is innen vezetik le. Mindezek természetesen a mindenkori kör jellemzőihez tartoznak, így érvényesek az 50. feladat körére is, de ebből a példából ilyen irányú ismereteket nem lehet közvetlenül származtatni. Nyelvezetét, matematikai szakkifejezéseit tekintve azonos a már korábban tárgyalt példákkal. Végső soron nem logikus a papiruszon elfoglalt helye sem. Minden bizonnyal az eddigiektől eltérő mértékegység, a kötél a ludas ebben. Ezzel a példával zárjuk az RMP körrel foglalkozó feladatait. Eddigi ismereteink szerint ezen a papiruszon több ilyen feladat nem található.

146

IX. A Kahun töredék két számoszlopa A. Bevezetés Az RMP 48-as példájához hasonlóan ez is szöveg nélküli feladat. Sőt! Tartalmát tekintve messze felülmúlja nevezetes társát. Mint látni fogjuk, ez a töredék valami újat, alapvető ismeretet tolmácsol, nélküle a ‘királykörökkel’ foglalkozó példák tárgyalása csonka lenne. Jelentőségét az is növeli, hogy a körrel foglalkozó ősi feladatok magyarázatánál a szakirodalom erre a példára támaszkodik, az egyiptológusok szerint ez a két számoszlop vezet az RMP példáiban előforduló mértékegységek átváltási elméletéhez. Érdemes minden részletét közelebbről megvizsgálni, alaposabban elemezni, mert a példa logikai levezetése új, meglepő felfedezéssel szolgál. Az eredeti hieratikus írás: 13. oszlop

14. oszlop

Átírás: 13. oszlop

14. oszlop

12. ábra Kahun Papyri, Mathematical Fragments PL. VIII.

147

Királykörök

A fent látható, Petrie Papirusz alatt is ismert töredék más leletekkel együtt 1889-ben az el-Lahun-i ásatások során látott ismét napvilágot. Hivatalos neve Papirusz el-Lahun,154 csupán Griffith kezdeti téves helymegjelölése miatt gyökeresedett meg a Kahun elnevezés. Hossza 42,5 m, szélessége 12,5 cm. Töredékünk a jobb oldalán megsérült, hiányos, a többi részét viszonylag könnyen tudjuk követni. A geometriai feladatokat tartalmazó 13-as és 14-es oszlopok a papirusz restaurálása során az el-Lahun, Vol II. T. PL. VIII, IV.3 cols. 13-14 hivatalos katalógusszámot kapta.

B. A feladat elemzése A papirusz első, részletes feldolgozása F.Ll. Griffith nevéhez fűződik.155 Véleménye szerint ez a feladat egy kör alapú gyümölcs-tároló űrtartalmának kiszámításával foglalkozik, melynek szerinte az átmérője 8 és a magassága 12 könyök. Ezekkel az adatokkal a valóságos számolási menetet nem sikerült követnie.156 Borchardt157 másik megoldást ajánlott. Szerinte ebben a példában a félgömb térfogatának meghatározásával találkozunk, melynek átmérője 8 könyök. Eltekintve attól, hogy feltevése csupán a valóságos értékek megközelítéséhez vezetett, nem tudta a másik nyilvánvaló méretet sem számolásába illeszteni. Arra a következtetésre jutott, hogy a 12 nem adat, csupán a 14-es számoszlop tartozéka. A még ma is érvényben lévő elmélet Schack-Schackenburg158 tollából származik. T.E. Peet159, az RMP klasszikus feldolgozásának szerzője is ezt fogadta el. Eszerint a vizsgált körmetszetű idom átmérője 12 könyök, a magassága 8 könyök. A feladat lényegét T.E. Peet a következőkben foglalta össze: „...the method of the Kahun Papyrus is a simplified method of finding the content of a cylinder direct in khar without working out its volume in cubic cubits and multiplying by 1½ to turn it into khar”160. Egyébként Gay Robins és Charles Shute161 is hasonló eredményre 154

Griffith, Hieratic Papyri from Kahun and Gurob I-II (London, 1898), Vol. II, T. VIII. Kol 13-14. Griffith, op. cit. 156 Kahun, op. cit., 16: “It would seem as though the problem had been to find the contents of a circular granary, of which the height and the diameter were 12 and 8 cubits respectively; but if so, the method adopted and the result are quite wrong, whether we look for the answer in cubits cubed, in khar, or in quadruple heqat.” 157 Borchardt Ludwig, ÄZ 35 (1897), 150-52. 158 Schack-Schackenburg, ÄZ 37 (1899), 78-9. 159 Peet, op. cit. 160 Peet, op. cit., 83: A Kahun Papirusz egyszerű módszere megmutatja, hogy hogyan kell kiszámolni egy henger térfogatát közvetlenül kharban anélkül, hogy azt először köb-könyökben számolnánk ki, majd 1 1/2-del szorozva váltanánk át kharra.’ 161 Robins G. & Shute Ch., op. cit., 46. 155

148

IX. A Kahun töredék két számoszlopa

jutott. Mi több! Szerintük az RMP 43-as feladata is pontosan ezzel foglalkozik: „the rule, which gives an exact result, is to add to the diameter its third part, square, and multiply by two-thirds of the height.”162 Állításuk egybehangzó, a kérdés csupán az, hogy mindez mennyire fedi a valóságot. A szakirodalom fejtegetéseit vizsgálva alapos kétségeink támadtak. Kérdéseinket a következőkben foglaljuk össze: 1. Feltűnő, hogy a feladat mellett sem a könyök, sem a khar mértékegységgel nem találkozunk. Amennyiben tanárunk két mértékegység közötti átváltás módszerét egy adott példa számításával kívánja bemutatni, joggal várhatjuk el, hogy külön-külön megjelölje az indulási és érkezési egységet. Sőt! Ha az egyiptológusok feltevésének hitelt adunk, akkor azt is el kellene fogadnunk, hogy a számolásra kerülő idom adatait írnokunk a körön kívül könyökben adta meg, míg a körön belül feltüntetett eredmény furcsa módon kharban látható. Tanárunk ezirányú útmutatása azonban egyszerűen hiányzik. 2. Nehéz megemésztenünk azt is, hogy a szakirodalom által feltételezett átváltás közben tanárunk hanyagul ‘elfelejtette’ volna módszerének nélkülözhetetlen második felét bemutatni. Az első lépésben az átmérő harmadával végzett növelését még pontosan követhetjük: 4/3×12=16, ugyanakkor hiányzik minden utalás arra, hogy a négyzetre emelés után kapott eredményt miért kellene a magasság 2/3-ával megszoroznunk. Egyáltalán, elfogadhatjuk-e hiteles számolási módszernek ezt a feltételezett „félmunkát”? Jogos a kérdés: miért kell azt hinnünk (lásd a többi között G. Robins és Ch. Shute levezetését), hogy hajdan volt tanárunk a magasság 2/3-ával számolt? Véleményünk szerint létezik más logikus magyarázat is az 5 1/3 származtatására! 3. Egyébként számunkra az a legkevésbé hihető, hogy kopasz fejű tanáraink ezt az összetett módszert csupán tapasztalati úton alakították volna ki. Olyan egyszerű idom, melynek térfogatát a [(4/3d)² × 2/3h]163 képlettel lehetne meghatározni, jelen ismereteink szerint nem létezik. Ez a lehetőség így nem állhatott rendelkezésükre. Akkor viszont a fent említett módszer csak elméleti úton, általános képlet segítségével határozható meg. Ilyen ismeretek a fáraók korában tudomásunk szerint még nem léteztek. Tegyük fel kereken a kérdést: létezett-e a valóságban is ez a szakirodalom által feltételezett csonka számolási módszer, vagy a fent említett tetszetős eszmefuttatás csak az utolsó évtizedek terméke? 162

Robins & Schute, op. cit., 46: ‘A szabály , mely pontos eredményhez vezet, a következő: add hozzá a szélességhez az 1/3-át, emeld négyzetre, majd szorozd meg a magasság 2/3-val.’ 163 Ez a képlet Robins & Schute számolásának váza. Op. cit., 46.

149

Királykörök

Megítélésünk szerint az egyiptológia még nem ismerte fel a Kahun töredék IV. 3 (VIII, PL.cols. 13-14) oszlopainak valódi tartalmát. Alapfeltevésünk szerint a Kahun töredék írnoka eredetileg összetett, kör metszetű idom térfogatát határozta meg, melyhez a számára nehézkes számolási menetek helyett új módszert talált. A továbbiakban azt is feltételezzük, hogy a számolás valóságos menete másik, most már egyszerű idomhoz vezet, melynek térfogata az előbb említett összetett idom térfogatával azonos. Feltevésünk igazolásához a matematikából ismert direkt bizonyítási eljárást alkalmazzuk. Lényege a következő: ha valamilyen alapfeltevésből kiindulva, logikailag hibátlan levezetéssel egy már ismert, elfogadott tételhez jutunk, megállapíthatjuk, hogy kezdeti feltevésünk helyes volt. Célszerű először a példa adataival megismerkedni. A 14. oszlop tetején, a 12-es szám hieratikus jelét láthatjuk. A kör mellett, az oszlop belső oldalán szintén hieratikus írással a 8-as szám áll. Az ábra alatt további, most már származtatott adattal, nevezetesen a 12 kétharmadával, (azaz ismételten) a 8-cal találkozunk.164 A rajzolt körben számokat olvashatunk, megítélésünk szerint ezek nemcsak a számolás végeredményét, hanem a feladat mondanivalójához további adatokat is jelentenek. (Az 5 1/3 származtatásánál erre még visszatérünk. Megjegyezzük, hogy az RMP körrel foglalkozó példáiban a rajzolt körön belül a kör átmérője, és nem a számolás végeredménye szerepel.) Írnokunk így minden kétséget kizáróan valamilyen kör metszetű idomra céloz, amelynek átmérője feltevésünk szerint d = 12 és a magassága h = 8. Mint azt már korábban is megjegyeztük, mértékegységekkel sehol sem találkozunk. Nos, itt az ideje ezt a kör alapú, összetett idomot pontosabban is meghatározni. T.E. Peet fent ismertetett elméletéhez már kiszámolt egy ilyen idomot:165 12 – ( 1 · 12) = 9

10

2 3

× 10

2 3

=

113 7 × 8 = 910 164 165

9 2 9

×11 = 2

10 2

3 7 113 9 910 2 9 1365 1 3

Lásd még később, az általános képlet tárgyalásánál. Peet, op. cit., 83. Megjegyezzük, hogy ez a számoszlop eredetileg Schack-Schackenburgtól származik, op. cit., 78.

150

IX. A Kahun töredék két számoszlopa

Itt szeretnénk megjegyezni, hogy Peet elképzelése szerint a negyedik sorban történik a mértékegységek közötti átváltás. Az első három sor 910 2 -et eredményez. (Egyébként a fenti levezetésben tisztán 9

követhető a kör területének egyik ősi számítási módszere, ugyanakkor Peet nem vette figyelembe azt a tényt, hogy a törteket a 2/3 kivételével csak egyes számlálóval jegyezték.) Eddig tehát hengert számoltunk. A kérdés ezek után az, hogy mi történik akkor, ha ezt az űrtartalmat további 1 1/2-del megszorozzuk. Induljunk ki abból, hogy összetett idomunk tulajdonképpen két másikból képezhető: az egyik a henger, a másik a kupola. Ez a két idom együttesen egy tárolót képez. Formáját tekintve nevezhetnénk boglyának, vagy esetleg méhkasnak is. August Eisenlohr166 már korábban ismertetett munkájában szintén leírt és megnevezett ilyen idomokat, az általa vélt kerek gyümölcstárolót a SA hieroglifa után ‘Scha’-nak nevezte el. (Korábbi példáink alkalmával már jeleztük magyar olvasatát: ‘csűr’.) Adataik mindkét esetben azonosak: a szélességük 12, a magasságuk 8 egység. Különbség csupán az alakjuk között van. Állhatnak egymás mellett, de egymás tetején is. Érdemes ennél a pontnál kicsit megállni. Az általunk feltételezett idom formáját a fentiekben már körülírtuk. Kérdés, hogy a valóságban is léteztek-e ilyen tárolók. El-Amarna (Újbirodalom) feltárásakor számos hasonló gabona/gyümölcs siló került napvilágra. Az ásatási munkákat vezető Borchardt így ír erről: „Beide Speicher stehen auf ebener Erde…Der obere Abschluss beider Speicher bestand aus Kugelgewölben.O 51.1”167 ‘Mindkét tároló a felszínen áll…felső lezárásuk kupolás.’ Ugyanitt találtak számos hasonló, de most már különböző mértékben földbe süllyesztett további tárolókat is. Ismét Borchardt-tól idézünk: „Alle Speicheranlagen sind also eng zusammengeschlossen und von den übrigen Nebenanlagen getrennt....Die Rundspeicher sind verschieden groß. Ihre Wandungen waren nur halbsteinig, ihre Böden liegen 60–80 cm gegen den Hofraum vertieft und sind teils ringförmig, teils mit gradlaufenden Schichten gepflastert. Zwischen je zwei Speichern befindet sich ein niedriger Auftritt, der das Einschütten des Speichergutes (wohl ausschließlich Getreide) von oben her erleichtern sollte. Die Entnahmeöffnungen lagen eine Ziegelschicht über der Hoffläche. Q 46.1.“168 Fordításunkban: ‚Az összes tároló a többi melléképülettől elkülönülve, szorosan egymás mellett áll. A kör alakú tárolók különböző nagyságúak. Falaik csak fél tégla vastagságúak, aljzatuk az udvar szintjéhez képest 60-80 cm-rel mélyebben fekszik, részben kör alakúak, részben fokozatos rétegekből összetapasztva. Két-két tároló között alacsonyabb feljárót találunk, amely megkönnyítette az anyagok (csaknem kizárólag gabona) beöntését. A kivevő nyílások téglarétege az udvar szintje fölé emelkedett.’ 166

Eisenlohr, op. cit., 101-2. Borchardt L. und Ricke H., Die Wohnhauser in Tell eL-Amarna (Berlin, 1980), 334. 168 Borchardt und Ricke, op. cit., 25. 167

151

Királykörök

Az ide vonatkozó alaprajzok és felvételek a Függelékben találhatók. Ebből a sorból nem hiányozhat Barry Kemp169 véleménye sem: „granaries: up to a certain individual capacity they were tall, circular constructions of brick, in diameter about 2.5 metres on average, and with domed tops (Plate 11) U 24.1. Más szóval: ‘gabonatárolók: tartalmuktól függően más-más magasságú kör alakú téglakonstrukciók, átmérőjük átlagosan 2,5 méter, és a tetejűk zárt. U 24.1.’170 A fentiekből szeretnénk kiemelni, hogy a tárolók – valószínűleg a talaj adottságaitól függően a földbe ásva is – általában párosával láthatók.171 A Rhind papirusz példáinál az össztérfogatukat számoltuk ki. A kupola térfogata 1/2 × henger. A kupola űrtartalmának ilyen számolása csak akkor pontos, ha a kérdéses idomot központi függőleges tengelye körül forgó parabola által a térből kihasított résznek fogjuk fel. Paraboloid. Már a 41-es feladat részletes elemzésénél is megjegyeztük, hogy a Tiroler Bauer Kalender172 a Felszín és Térfogat számításai között manapság még mindig ugyanígy számol: „Széna és szalma halom: űrtartalom = alapterület × 1/2 h.”. T.E. Peet számításának negyedik sorában tehát nem mértékegységek közötti át2 2 1 váltás, hanem a két idom űrtartalmának összegezése történik: 910 +  × 910  = 9 2 9 = 1365 1/3. Azt is megállapíthatjuk, hogy a Kahun papiruszon látható kör és adatai az RMP 41-42-es példáihoz hasonlóan kombinált kör metszetű idomra utalnak. Mindez nagyon tanulságos, csakhogy Peet fentebb bemutatott számolási menete egyetlen papiruszon sem látható! Ebből a feltételezett számításból csupán a körbe írt eredmény, az 1365 1/3 a valóság. Ha a számolás igazi menetét követjük, másik, sokkal egyszerűbb idomot fedezhetünk fel. Állításunk igazolására érdemes visszatérnünk a kör területének egyiptomi számításához. A geometria egyik alaptétele szerint ehhez minden esetre a „varázsszám”, a π szükséges! Az MMP173 10-es és az RMP 41-42-43-as és 50-es feladatai alapján már megállapítottuk, hogy a Ludolf-féle számot (3,141592…) ebben a formában a Nílus völgyében nem ismerték. Elméletben (megközelítőleg) a negyed2

8 ével, a sokkal könnyebben kezelhető   -tel számoltak. Ám a valóságban ezt sem 9 169

Kemp J. B., Ancient Egypt, anatomy of a civilization (London and New York, 1989). Kemp, op. cit., 296. 171 Részletesebb adatokkal a Függelék VII–X táblái szolgálnak. 172 Haider, Humer, Viehweider, Tiroler Bauern Kalender 2000 (Innsbruck 2000), 294. 173 Struve, Mathematischer Papyrus des Staatlichen Museums der Schönen Künste in Mosckau (Berlin, 1930), 157-169. 170

152

IX. A Kahun töredék két számoszlopa

kellett használniuk, mert helyette az ún. „király-menetet” választották. (Lásd lej8 9

2

jebb a 2-es számú módszert). A   egyébként a π negyedének csak jó megközelítése, négyszerese

64 256 ×4= -et, azaz a 3,1605-ös érteket eredményez. 81 81

A következőkben a ma érvényes matematikai formulák felhasználásával összefoglaljuk a kör területének általunk ismert ősi számítási módszereit: 

1) A kör =  d × 



2) A kör =  d − 



8  9

2

d  9

MMP 10. feladata 2

RMP 41-es, 42-es és 50-es feladata

8  d − 9 

2

3) A kör = 8 +   RMP 43-as feladata  3  3  Mindhárom módszer egymással azonos alakúra rendezhető, a továbbiakban az 

egyszerűség kedvéért az A =  d × 

2

8  képletet használjuk. 9

A fentiekből a következő tanulságokat vonhatjuk le: • A π, illetve annak ősi, egyiptomi formája nélkül nem lehetett a kör területét kiszámolni. • A kör területének számításakor mindig szerepel a négyzetre emelés is. • A négyzetre emeléssel a kör területének számítása befejeződött. • Itt szeretnénk megjegyezni, hogy nem minden négyzetre emelés célja a kör területének kiszámítása. A Kahun töredék IV/3 (Pl.VIII col 14)-hez visszatérve, négyzetre emeléssel, pontosabban a származtatott 16 négyzetre emelésével találkozunk. Az eredmény 256. Tanárunk az így kapott felszínt megszorozta 5 1/3-dal, amely 256 × 5 1/3 = 1365 1/3-ot eredményezett. A fentiekben megállapítottuk, hogy a kör területének számolása a négyzetre emeléssel befejeződött. Nem szükséges bővebben alátámasztanunk, hogy a fenti számolás alkalmával követhető műveletek (d + d/3)² nem adnak kör területet. (Egyébként a 256-ból matematikailag kiszámítható 18-as érték, mint kör átmérő ugyancsak elfogadhatatlan, ilyen számmal a példa során egyáltalán nem találkozunk.)

153

Királykörök

8 9

2

Ugyanakkor nem számolt a π-vel, illetve a   -tel sem. Sehol sem látható a 9cel történő osztás nyoma, mint ahogy ezt az RMP körrel foglalkozó feladatainál már megszoktuk (király-menet). Ezek alapján megállapíthatjuk, hogy a Kahun papiruszon számolt idom alapterülete nem lehet kör. Végül is milyen egyszerű idomot számolunk? A 14. oszlopban a négyzetre emelés tisztán követhető: 16 × 16 = 256. Ha ez az érték a fentiek alapján nem lehet a kör területe, akkor csak a négyszög területére utalhat, ahol a felszín nagysága azonos méretek szorzásából származik. Következtetésünk: a Kahun idom alapja négyzet174. Kérdésünk: milyen idom helyezhető el erre a felszínre? Tanárunk a 256-ot 5 1/3-dal szorozta meg. Ez a szorzószám a 16-os oldalméret 1/3-val azonos. Egyébként másik matematikai művelet eredménye is lehetne. Korábban láttuk, hogy 2/3 × 8 matematikailag ugyancsak 5 1/3-ot eredményez. Erről a műveletről viszont megállapítottuk, hogy a Kahun papiruszon nem található, ezért nem beszélhetünk semmilyen közvetlen számítási, átváltási módszerről. Ugyanezen az alapon az egyébként matematikailag levezethető hasáb térfogatának számítása is elvethető. A kérdés tehát az, hogy melyik idom számítható ki a következő módon: a × a × × a/3? Eltekintve néhány esetleges részidomtól, csak a gúla jöhet számításba. Vgúla = a² × 1/3 h, ha hgúla = a, akkor Vgúla = a³/3 = 1365 1/3. A Kahun papirusz általunk vizsgált oszlopainak számolása tehát a gúlához vezet. A bemutatott idomok űrtartalmának azonosságát a következő egyenlőségben fejezhetjük ki: A feltevésünk szerinti méhkas űrtartalma = A gúla térfogatával d 2 2 d+ 2 d 2    8 1  8 3 d  · d + d  · d = d +  × 3 3 3 3  9   9 Szavakba öntve: a kezdetben feltételezett kör metszetű összetett idom térfogata azonos a Kahun papiruszon kiszámolt piramis térfogatával. Tekintve, hogy a közvetlen bizonyítási eljárást követve az általunk feltételezett méhkas űrtartalma azonos a valóságban is számolt gúla térfogatával, elmondhatjuk, hogy alapfeltevésünk helyes volt. 174

Alapfeltevésünk szerint egyszerű idomot keresünk, a számításba vehető rombusz ennek nem tesz eleget.

154

IX. A Kahun töredék két számoszlopa

Azért két fontos kérdés nyitva maradt: 1. Miért nem látható az 5 1/3 származtatása, más szóval miért hiányzik az általunk feltételezett 16 × 1/3 = 5 1/3 levezetése? 2. Miért számolta ki hajdan volt tanárunk a 12 kétharmadát?175 • Az első kérdésre nem tudunk közvetlen választ adni. A 2/3 × hhenger lehetőségét a „csonka módszer” miatt már korábban elvetettük. Ugyanakkor az eredeti papiruszon a 16 × 1/3 = 5 1/3 levezetés sem látható. Nos, közvetett válaszként érdemes a következő gondolatmenetet mérlegelni. Elképzelésünk szerint tanárunk pontosan ismerte feladatát, nem ‘menet közben’ találta ki új módszerét. Mint azt már az alapfeltevésünkben is jeleztük, szándéka az összetett formájú, kör alapú tároló űrtartalmának kiszámítása volt, melyhez egyszerűbb módszert talált. Először megadta a méhkas/boglya alakú tároló méreteit, a 12 és 8 (ismeretlen) egységeket, majd ismertette a módszeréhez szükséges további viszonyszámot is: 12 × × 2/3 = 8. Összetett idomának űrtartalmát a szokásos úton kiszámolta, sőt beleírta a körbe. (Amennyiben csak a kör alakú idom térfogatára lett volna kíváncsi, akkor az RMP példáinak mintájára a 12-őt mint átmérőt, és nem a végeredményt írta volna a körbe.) Ezután a második lépésben bemutatta új módszerét. Ehhez csupán egy adatra és egy viszonyszámra volt szüksége. A kör átmérőjének 1/3-dal történő növelését tisztán követhettük, sőt megadta a kör alá írva a módszeréhez szükséges feltételt is. Nos, ez minden, ennyiből állt az újítása! A többi egyszerű számolás, s nem módszer kérdése. A fentiekből ezért az következik, hogy feltett kérdésünk helytelen volt. Az 5 1/3 = 1/3 × 16 levezetésre nem volt szüksége, ez az érték a gúla térfogatának már ismert számításához tartozik. • A második kérdést sem hagyhatjuk válasz nélkül, mert ezzel egyúttal alapfeltevésünk jogosságát igazoljuk. Kérdésünkre a méhkas és a piramis pontos viszonyának általános formába öntött meghatározása ad választ. A kérdés röviden az, hogy milyen méretű a ‘kiváltó’ gúla. (Mint láttuk, ez a speciális gúla egy mérettel jellemezhető: alapnégyzet oldalhosszúsága = = magassággal.) Mai matematikai formalizmust és ismereteinket felhasználva, valamint a két idom térfogatának azonosságát felírva, a következő általános egyenletet kapjuk:

(d + nd )

2

2

d + nd  8 =  d  1,5h 3  9

egyszerűsítve, rendezve:

(1 + n )3 d 175

=

32 h 9

Lásd a kör alatti származtatott adatot

155

Királykörök

Ahol: d = az összetett idom alapkörének átmérője, n = a gúla oldalhosszúságának előállításához szükséges szám, az oldal hosszúságot 

(d + n·d) alapján kell számolni,  d × 

2

8  az összetett idom alapköré9

nek területe (egyiptomi módon számolva), 1,5·h ≡ (1+1/2)·h = a henger magassága és a karcsú henger számításához szükséges 1/2 magassága. Az egyenlet 3 változót tartalmaz. Ha egyet adottnak tételezünk fel, akkor ez az egyenlőség csak a másik két változó egyetlen viszonyánál állhat fent. Például, ha n = 1/3 (mint most a Kahun módszernél), az egyenlőség csak h = 2/3·d-nél teljesül. Tehát így nyer értelmet a 14. oszlopban a kör alatt lévő származtatott adat. Feltételezhető, hogyha írnokunk nem ilyen arányt talál, nem tudja (vagy nem érdemes) használni ezt a módszert.176 Ez az 1-es számlálójú törtek használatából következik. Ellenpróbaként a fenti egyenlet segítségével olyan esetet is megvizsgálhatunk, amikor pl. h = d lenne, ilyenkor csak az n = 0,52628-nál állna fent az egyenlőség. Ezt a törtet viszont nem könnyű 1/egészszámú nevezővel felírni (0,52628 ≈ 1/1,9). A fenti egyenlet kidolgozásáért és értékeléséért Rátky Istvánt illeti köszönet.

C. Összefoglalás A Kahun töredék IV.3 PL. VIII/13 és 14-es oszlopainak vizsgálatakor kiderült, hogy a szakirodalom a számolás levezetésénél fontos kérdéseket hagyott megválaszolatlanul. Elemzésünk során azt tapasztaltuk, hogy ebben a példában egészen más irányú számolás folyik. Elmondhatjuk, hogy az egyiptológia még nem ismerte fel a feladat valódi értelmét. A matematikából kölcsönzött közvetlen bizonyítási eljárás segítségével bemutattuk a számoszlopok valódi tartalmát, igazoltuk alapfeltevésünk helyességét. A következő eredményre jutottunk: • Ez a feladat nem a nyitott tetejű, henger alakú idom térfogatának két mértékegységben számolt közvetlen átváltási menetét tartalmazza, hanem a boglya/méhkas űrtartalmát fejezi ki az egyszerűbben kezelhető gúla térfogatával. • Levezetésünk a fentiek alapján azt is igazolta, hogy a szakirodalom álláspontja hibás, az egyiptológusok által feltételezett könyök és khar mértékegység példánkban egyáltalán nem szerepel. • A Kahun oszlopok elemzése alapján azt tapasztaltuk, hogy a gúla/piramis eddig számunkra ismeretlen újabb űrmértékként jelentkezik, mellyel az itt leírt kör metszetű idom térfogata a nehézkes π használata nélkül is kifejezhető. 176

Ez az arány valószínűleg kikerülhető, ha az idomok egymás tetején helyezkednek el. Ilyen esetben a közös magasságuk (16 egység) azonos a kiváltó gúla magasságával (ugyancsak 16 egységgel) .

156

X. Hogyan számoltak? Sokan felteszik ezt a kérdést, de megnyugtató választ még senki sem tudott adni. A papiruszokról gyakorlatilag lépések sorozata hiányzik, így nem teljesen követhető a 4000 évvel ezelőtti matematikai ismeretanyag. Fogalmazhatnánk úgy is, hogy a számolás egy titkos fekete dobozban folyik, az egyik oldalon betápláljuk az adatokat, a másikon pedig megjelenik a helyes eredmény. Hogy közben mi történt, arról csak sejtéseink lehetnek. Így nem csoda, ha néhány követhető levezetés mellett számos feltevés, vélt számolási módszer, ún. megoldás látott napvilágot. A szakirodalom általánosan elfogadott álláspontja szerint az egyiptomiak fejlett számolási rendszereket ismertek. Az ujjaikon és a számlálódeszkákon kívül bánni tudtak az egész számokkal és törtekkel is, állítólag első és másodfokú egyenleteket, számtani és mértani haladványokat használtak. A geometria terén fejlett szerkezetekkel rendelkeztek, tudtak a körről, a hasonlóságról és az arányokról, valamint ismerték a trigonometria elemeit is. Csillagászati ismereteiket naptáraik igazolják. A fenti megállapításokat az egyiptológusok jobbára két matematikai papiruszra, az MMP-re és az RMP-re alapozzák.177 Nos, mennyi igazolható ebből? Mennyit ismerhettek őseink a matematika, a geometria rejtelmeiből, és mennyit teszünk hozzá mi, kései utódok? Mi a valóság és mennyi a feltételezés? A következőkben összegezzük az RMP és a Kahun töredék példáinak megoldása során követhető matematikai és geometriai ismereteket. Mindezt kiegészítjük logikus feltevésekkel, következtetésekkel. Az így alkotott kép természetesen nem lehet teljes, nem lehet általános érvényű, mert következtetéseinket csupán az általunk elemzett hat geometriai feladatra alapozzuk. Szeretnénk egyúttal nyomatékosan hangsúlyozni, hogy a papirusz további példáit nem vonjuk be mérlegelésünkbe, hiszen távolról sem biztos, hogy a tekercs teljes matematikai, geometriai ismeretanyaga egyúttal minden példára külön is érvényes. Kérdéseinkre választ keresve az elemzett példák közül az egyik ‘legbonyolultabbat’, a 42-es feladat számolási menetét fogjuk vallatóra. Először is foglaljuk össze mindazt, amit elfogadunk, mindazt, amit a példák megfejtése során közös vonásként tapasztaltunk. Megállapíthatjuk, hogy: • Számaikat jobbról balra, csökkenő értékek szerint egymás mellé írták. Írásmódjuk összeadó jellegű. • A tízes számrendszerben számoltak. 177

Az erre vonatkozó megállapításokat Kákosy: Az ókori Egyiptom története és kultúrája, Osiris (Budapest, 1998), 267, valamint Puskásné Párdy Jolán: Abakusz, 60 oldalairól vettük.

157

Királykörök

• Nullával és negatív számokkal nem találkoztunk. • Törtszámaik számlálója mindig egy volt. Ez alól látszólag a 2/3 az egyedüli kivétel. (Hieroglifája 1/1,5 formában ismeretes.) • Külön hieratikus jeleket használtak az ötre, a hatra, a hétre, a kilencre, valamint a húsz, harminc, ötven, hetven és a kilencven jelölésére. A négy, a nyolc, a negyven és a nyolcvan képzéséhez a korábban már említett ‘n’ hieratikus jelét kölcsönözték. A hatot és hatvanat a háromból is előállíthatták. (Gyakran ligatúrás formában láthatók.) • A törtek között az 1/3-ra, a 2/3-ra, a félre és a negyedre, valamint a Hórusz szem törtjeire külön jelekkel rendelkeztek.178 • Tudtak (akármekkora értéket) összeadni. • Kivonással a mai értelemben véve nem találkoztunk, viszont pl. az 1 egész 1/9-et el tudták venni a tízből. • Szorozni közvetlenül nem tudtak, helyette azonos értékek összeadásából származó táblázatokat készítettek, a kívánt eredményeket – ma szorzatoknak neveznénk – ezek segítségével képezték, olvasták le. • Egész számokat tizedeltek és feleztek is. (Érdekességként említhetjük meg az 5 tizedelésekor kapott fél értéket.) • Az egészet felezték és harmadolták. • Törtek összegezésekor mindig az általuk ismert lehetséges legnagyobb törtet emelték ki. Mielőtt a részletes elemzésbe fognánk, érdemes áttekintenünk azt is, amit nem látunk, illetve amit megítélésünk szerint nem ismertek: • Nem használtak tizedes vesszőt, és nem tudjuk, hogy ismerték-e a helyértékeket. • Nem tudjuk, hogy hogyan adtak össze. • Nem tudtak közvetlenül szorozni, osztani, így a kis szorzótáblával sem számolhattak. A 8 × 8 = 64, illetve 9 × 9 = 81 eredmény eléréséhez számoszlopokra volt szükségük (RMP 48-as, 41-es, 50-es példái). • Nem írtak le két azonos törtet egymás mellé. • A mai értelemben véve a törteket nem tudták közös nevezőre hozni. Mindezek után mégis megállapíthatjuk, hogy eredményeik hajszálpontosak voltak.

178

Lásd a Függelék XIV. tábláját.

158

X. Hogyan számoltak?

Ahhoz, hogy mélységében is megismerkedhessünk gondolataikkal, matematikai és geometriai ismereteikkel, bele kell néznünk a fekete dobozba, meg kell tanulnunk az általuk használt módszerekkel bánni. A tényleges számolási menetekre támaszkodva, a következő lehetőségeket kell megvizsgálnunk: 1. Kizárólag elméleti, számolási módszerekkel jutottak eredményeikhez. (Elfogadjuk azt is, hogy a már kidolgozott módszereket mechanikusan alkalmazták.) 2. Gyakorlatilag nem tudtak számolni, csak kétszerezni/felezni és harmadolni, így további eredményeiket csak mérések útján, segédeszközökkel érték el. 3. A két módszert egymás kiegészítésére használták. Természetesen nem húzhatunk éles határokat a fentiek közé, sőt a harmadik pontban jelzett ötvözetük aránya sem határozható meg. Gondoljunk csak a ma is közhasználatú mérnök szavunkra. Ez a nyelvújítás idejéből származó szó mindmáig magában hordja e foglalkozás csaknem két évszázaddal (?) ezelőtt meghatározott lényegét. A mérés mellett mérnökeinktől elvárható a számolás tudománya is. Ennyi bevezető után vizsgáljuk meg a 42-es példa számolási menetein keresztül mindhárom módszert. Emlékeztetőül mellékeljük a számolás eredeti levezetését:

13. ábra. Az RMP 42-es feladatának számolási oszlopai A. Eisenlohr fényképmásolata szerint.

159

Királykörök

Ad.1.

Ismerkedjünk meg a 42-es példa egyik részletén keresztül a Rátky-féle levezetéssel. A feladat: (8 + 2/3 + 1/6 + 1/18)² = ? Feltételezzük, hogy az alábbiakat ismerték: I.

II.

1 1 1 = + 2a a 2a 3

1 1 1 = + 3a a 3a 4

Pl.: ‘3 + ‘6 = ‘2 ‘6 + ‘12 = ‘4 ‘9 + ‘18 = ‘6

‘4 + ‘12 = ‘3 ‘8 + ‘24 = ‘6 ‘12 + ‘36 = ‘9

Ezen felül ismerték a következő egyenlőséget is:

2/3 = 1/2 + 1/6

Érdemes szavakban kifejezni az I és II egyenlőséget: • Ha egy tört nevezőjének a kétszerese harmadolható, akkor ez a tört felbontható a fenti I. egyenlet értelmében 1/a + 1/2a formában. • Ha egy tört nevezőjének a háromszorosa negyedelhető (kétszer felezhető), akkor ez a tört felbontható az 1/a + 1/3a formában. (Lásd II. egyenlet.) Mindez természetesen érvényes a fordított irányban is, így törteket össze is lehetett vonni.

A számolás levezetése: ‘18

1

1+ ‘3 ‘3 2/3 ‘12

‘9 ‘36

2

‘3+’3 = 2/3 és (II.-ből) ‘9 = ‘12 + ‘36

34 35 70

1+ ‘3 ‘6 ‘2 1

‘18 ‘18 ‘9

4

(I. alapján) ‘3 + ‘6 = ‘2

8

⇐

17 17

2/3 ’2

‘9 ’9

2

átalakítva 2/3 = ‘2 + ‘6

’6 ’18

’27

2/3

⇐

8

2/3

16 17

5 2/3 ’6

160

‘6

X. Hogyan számoltak?

8 8 8

2/3 ’2 ’2

’6 ’6 ’3

’18 ’6 ’18

2 2/3 ’6 ’9 ’54 2 2/3 ’6 ’12 ’36 ’54

’18 1 ’3

1 ’3 ’12 ’24 ’72 ’108 ’6

1 ’3 ’9

’36

’108 ’6

’3 ’9 ’27

’108 ’324 ’18

mivel 2/3 nem harmadolható ’6+’6 = ’3 ’9 = ’12 + ’36 mert felezni kell 24 és 72-vel nem lehet eljutni 108-ig, ezért ’24+’72 = ’18. Azt is tudták, hogy: ’18 = ’36+’36. Most már összevonhatjuk: ’12+’36 = ’9. Ezeket alkalmazva ⇐ ezzel számoltak az összesítésnél. ⇐

„⇐” a sorok összegzése 70

1

5

2/3

1

77

1

’9 ’6

’18

’3

’9

’3

’9

’2

’6

’9

’27 ’36 ’27

’9

’27

’27

’27

’108 ’108

’324

’108

’324

’108

’324

’108

’324

’9 78

’2

’6

’9

’9

’6

’9 ’3

’2 78

’2

’2

79 ’108 ’324 Rátky levezetéséből tisztán látható, hogy bizonyos körülmények között a 42-es példa számolási menete minden segédeszköz nélkül kiszámítható. Feltevése szerint hajdan volt írnokunk a fenti rendszer segítségével csak a nevezők kétszeresét, illetve háromszorosát figyelte, ezeket kellett harmadolnia, illetve negyedelnie. Megállapíthatjuk azt is, hogy csak matematikai úton (esetleg a fenti képleteket mechanikusan alkalmazva) eljuthatott a papiruszon talált végeredményhez. A bemutatott módszer gyakorlatilag a törtek közös nevezőre hozásának egyszerűsített formája.

161

Királykörök

Vannak azért árnyoldalai is. Talán azzal kezdenénk, hogy a jelzett képletek csak abban az esetben használhatók, ha a nevező egész számot ad. Így nem használhatók akkor, ha a = 5-7-10-1113… stb. Tekintve, hogy gyakorlatilag így csak minden harmadik számra alkalmazható, az egyes számlálójú törtek nagy része ezzel a módszerrel nem hozható közös nevezőre. A továbbiakban csak minden második páros szám osztható négygyel, így Rátky módszere szerint kétszer kellett minden alkalommal felezni. Ismerték volna a negyedelést? Ugyanakkor néggyel fejben, bizonyíthatóan nem tudtak szorozni. Egyébként a bemutatott képletek ismerete sokkal mélyebb, elméleti síkú matematikai tudást feltételez, mint amit a kettőzős számoszlopok sejteni engednek. További alapkérdés: ha mégis így számoltak, vajon honnan származnak ezek a módszerek? A másik gond az volt, hogy a törtekkel végzett műveletek nem minden esetben azt az eredményt adják, amelyet írnokunk leírt. Ilyenkor fel kell tételezzük azt is, hogy eszesünk előre ismerte további sorainak eredményét. Ennek érdekében kezelhetetlen törtjeit a fenti képletek segítségével átváltotta két másikra. Vizsgáljuk meg az 1/9-ed kétszerezését. Azt állíthatjuk, hogy ez a művelet láthatatlanul két lépcsőben történt. Az előző lépés: 1/18 + 1/18 = 1/9. Tiszta sor, ez került először a papiruszra. Csakhogy eszesünk látta, hogy az 1/9-et nem lehet tovább felezni, közbülső lépésként – a fenti módszer szerint – átváltotta olyan törtekké, melyek a későbbiekben is használhatók lesznek. Így a második kettőzés előtt az 1/9 = 1/12 + 1/36 értékekkel számolt. Ezt viszont már nem írta le. A továbbiakban az 1/12-ről ismételten tudnia kellett, hogy a következő lépésnél elfelezett formája, az 1/6, majd jól jön, amikor a harmadik lépésnél az 1/3-dal együtt 1/2-et képezhet. (A papiruszon csak az 1/2 + 1/18 szerepel.) Prekoncepció. (Ez a bonyodalom később, az 1/6-os osztás esetében is követhető.) Vajon az 1/24 + 1/72 + 1/108 esetében valóban az 1/108 felé törekedett-e írnokunk, vagy volt másik lehetősége is közös nevezőre hozni törtjeit? Ilyenkor vagy fejben (?), vagy „piszkozatokon” kellett volna közbülső lépéseit kiszámolni. De hol vannak az erre vonatkozó számolás írott nyomai? Vagy mégis fejben számolt volna? Akkor látnia kellett azt is, hogy 72 : 3 = 24. Sőt, el kellene fogadnunk azt is, hogy fejben meg tudta szorozni a harmadolás sorában látható 18-at közvetlenül hárommal. Eredménye viszont pontos: 54. A pálmát végül is a 108 ‘háromszorozása’ viszi el, mert látszólag gondolkodás nélkül kiderült, hogy 108 × 3 = 324, pontosabban, ha 1/6 → 1/108, akkor 1/18 → 1/324. Vajon tudott-e 3-mal szorozni? Ha a fenti műveleteknek hiszünk, akkor 3 × 24 = = 72 mellett a 3 × 108 = 324-t is ismerte. Ebben az esetben gyermekjáték lett volna a 9 × 9 = 81-et leterítenie. Vagy, ha a hármas szorzószámhoz ragaszkodunk, akkor: 3 × 9 = 27 → 3 × 27 = 81 is ide vezet. Mégis, miért volt szüksége a 48-as példában a kilenc × kilenc kiszámolásakor a kettőzős számoszlopra? Logikusan gondolkodva csak egyetlen magyarázatot látunk: tanárunk nem tudott közvetlenül 3-mal szoroz162

X. Hogyan számoltak?

ni, helyette három alkalommal összeadott. A kettőzött értékhez hozzáadta a kiindulási nagyságot. Ugyanígy állunk a 8 × 8 = 64 levezetésével is:

8 16 32 6

1 2 4 48

Ez a szorzótábla az RMP 41-es, 48-as és 50-es példáiban is félreérthetetlenül követhető. Egyébként ‘magasabb régiókban’ sem tudták számaik négyszeresét közvetlenül venni. Példa erre a RMP 43 as feladata: 1 113 2/3 1/9 2 227 1/2 1/18 4 455 1/9, vagy a Kahun töredék esetében :

1 2 4

256 512 1024

Nyugodt szívvel megállapíthatjuk, hogy mai értelemben szorozni sem hárommal, sem többel nem tudtak. A fentiek alapján előtolakodik a következő súlyos kérdés: valóban a fenti módszer szerint számoltak-e, és el tudtak-e végezni csak matematikai úton minden megoldott műveletet? Valóban ezt tartalmazná a fekete doboz?

163

Királykörök

Ad.2. Érdemes azt is megvizsgálni, hogy a korabeli ‘mérnökök’ csupán mérések útján eljuthattak-e ugyanerre az eredményre. Voltak-e olyan segédeszközeik, melyekkel a számolásokat helyettesíteni lehetett? Egyáltalán elképzelhető-e az, hogy a kőépítők számolás helyett mértek? Mielőtt erre választ keresnénk, tegyük fel a legelemibb kérdést: hogyan adtak össze egész számokat? Ennek sehol semmi nyoma nem maradt, mégis a kipipált mennyiségek összegét hibátlanul írták le. Hogyan számoltak? A hivatalos álláspont szerint nyugodtan rávághatnánk: fejben. Valójában ez sem lenne lehetetlen, mégis ellenőrzésképpen nem árt, ha a Kahun töredék VIII/14. oszlopát újra felidézzük: 256 1 / 512 2 1024 4 / 85 1/3 2/3 / összesen: 1365 1/3. Brávó. Kíséreljük meg mi is a kipipált számokat fejben összeadni: 256 + 1024. Mennyi is az? Ha ellustult agysejtjeinknek időt engedélyezünk, akkor lassan kivilágosodik az 1280-as részeredmény. Ezt most már könnyebb kiegészíteni a 85 1/3-dal. Pedig így még az egyszerűbb utat választottuk. Ha az összeadást alulról kezdjük, még jobban lelassulunk. Egyszerűen gondot okoz ez a kis fejszámolás. Az (1.) módszer alapján el kellene fogadnunk azt, hogy komoly összeadásokat – természetesen hibátlanul és segédszámolások nélkül – fejben végezték el azok az elődeink, akik ugyanakkor bizonyíthatóan nem tudtak közvetlenül 8-at 8-cal megszorozni. Lehetséges lenne ez? Minden esetre elgondolkodtató feltevés. Számoszlopaikban, számtalan esetben a tízes, százas, ezres értékeket vegyesen írták egymás alá, így elmondhatjuk azt is, hogy ha egyáltalán a helyértékeket ismerték, akkor nem a mi rendszerünk szerint használták. Mégis, hogyan adtak össze? Lehetséges-e az, hogy összegeiket kimérték? Tételezzük fel, hogy az összeadandó értékeket kezdetben egymás mellé helyezték, majd ujjaikat használva megállapították sokaságukat. A későbbiekben segédeszközöket készítettek, melyekkel a nagyobb számok összeadását is megoldhatták. A világ minden tájáról számos ilyen számolótábla, abakusz került napvilágra, ám a Nílus völgyéből csak mérőrudakat sikerült kiásni. A Torinóban és Kairóban őrzött könyökrudakra gondolunk.179 A bronzból, bazaltból, valamint fából készült rudakon látható, eddig megfejtetlen beosztások (3-as 4-es, 5-ös, 6-os, 12-es, 16-os 179

Schüsser, Pyramiden (Köln, 1983), 331. Abb. 154. Ellenstöcke, Kairo Ägypt. Mus. Steinere Elle des Osoroeris, Turin 6348, 52.38 cm ; Rivista. Turin Nr. 11, Mai 1961.

164

X. Hogyan számoltak?

és 24-es beosztások) arra utalnak, hogy a rudakat egymás mellé téve, forgatva, tologatva az alapműveleteken kívül távolságok meghatározására, esetleg szögmérésre és – feltevésünk szerint – különböző nevezőjű törtek összevonására is lehetett használni.180 Feltevésünk szerint összeadásuk lineáris alapú volt. Két (vagy több) mérőrudat úgy állítottak össze, hogy a keresett mennyiségek összesített nagysága hosszegységekben közvetlenül leolvasható legyen. Magasabb számoknál valószínűleg tízzel, esetleg százzal ‘egyszerűsítettek’. Így az 1200 helyett használhattak 12-t is, ez már ráfért mérőrúdjukra. E feltevés szerint tehát a számokat hosszúságokra váltották át. Következő ábránkon az egyik ilyen – rudakból összeállítható – lehetséges segédeszközt mutatunk be. 3 B

2

1

O

A 1/3

2/3

14. ábra Az OA szakasz harmadolása 180

A rudak leírásáról bővebben a Függelék XII. tábláján szólunk.

165

Királykörök

A síkgeometria első tételei között szakaszok összegezése, harmadolása, felosztása található. Az 14. ábránkon felvett OA szakasz az előre beosztott segédvonal OB alapján párhuzamos szelőkkel harmadolható. Ugyanez a művelet természetesen a felezésre, sőt, további osztásokra is alkalmas. A torinói és kairói mérőrudak beosztása ezirányú sejtéseinket erősíti. Gondoljuk végig: ha valaki fejben kénytelen összeadni, akkor törvényszerűen találkozik a szorzással is. Ugyanazon értékek összeadása nem más, mint többszörözés. Ez csak akkor nem volt nyilvánvaló, ha mechanikusan, segédeszközökkel adtak össze. Összegezve: a fenti gondolatmenet alapján feltételezzük, hogy összeadásukhoz segédeszközöket, valószínűleg mérőrudakat használtak. Ez a feltevés csupán mérésekre csökkentené a matematikai műveleteket, nagy kérdés, hogy csak ezen az úton eljuthattak-e a piramisok építéséhez. Ilyen korlátok között számunkra lehetetlennek tűnik Földünk egyik leghatalmasabb birodalmát több ezer éven keresztül irányítani. Az akkori „mérnökök” nemcsak mérni, de bizonyára számolni is tudtak. Vizsgáljuk meg a két módszer általunk tapasztalt ötvözetét.

Ad.3 Elképzelésünk szerint a Nílus-völgy gondolkodó embere elért eredményeit leírta, csoportosította, esetleg táblázatokat készített. Emellett tovább is mért, mert így számos esetben sokkal egyszerűbben oldhatta meg feladatait, mintha bonyolult úton számolgatni kezdett volna. Idézzük szavait, amikor az RMP soraiban megnevezett összeadást/szorzást szaporításnak, és vegyétek alakban csökkentésnek ismertük meg. Vizsgáljuk meg, hogyan néz ki a számolás és mérés ötvözete, ezen belül hogyan osztott el Árpád Mására Született eszesünk egy egészet? Írásjeleit is figyelembe véve megállapítottuk, hogy az egészet tudta felezni és harmadolni. A későbbiekben a tizedeléssel és tízszerezéssel is találkoztunk. Ha viszont ismerte a felezést, akkor ismételt felezéssel tudott negyedelni, nyolcadolni, stb. A félre és a negyedre volt külön jele is. Ha tudott harmadolni, akkor további harmadolással elérte a kilencedet, stb. is. Sőt, a két módszert együtt is használta, így jutott a felezés és a harmadolás segítségével pl. az 1/6-os törthöz.

166

X. Hogyan számoltak?

Hieroglifáit vizsgálva megállapíthatjuk, hogy a legkisebb egész, az egy jele a . Hieratikus megfelelője, a pont, a kívánt törtszám fölé került. Mint láthattuk, a mai

* 1 helyett 9 -et írtak. Így képezték a többi törtet is. 9

Hogyan tudott kivonni? Jogos a kérdés. A 42-es feladatban 10-et kilenc felé osztotta, majd az eredményül kapott 1 egész 1/9-et levonta a 10-ből. Csodák-csodájára a 8 egész 8/9 helyett 8 egész 2/3 + 1/6 + 1/18 került papiruszára. Itt valamilyen, eddig ismeretlen furcsaságba ütközünk. Elméletileg elképzelhető, hogy az egynél magasabb számlálókat is ismerte, azokkal szükségszerűen számolt is, de eredményét valamilyen eddig ismeretlen ok miatt mindig visszaalakította egyes számlálójú törtekké. A gyakorlatban azért ennek valahol nyoma maradt volna. Egyébként sem hihető, hogy valaki, aki több mint 800 hieroglifát mondhatott magáénak, ne talált volna valamilyen utat az osztásból származó magasabb számlálók jelzésére. Pedig erre sehol sem találtunk utalást, a kétharmad jelén kívül nem találkoztunk magasabb számlálójú törtekkel. Következésképpen másképpen számolt. Osztás helyett darabolt. Tudott-e darabolni segédeszközök nélkül? Nézzük meg még egyszer a kilencedelés műveletét. Ha manapság tíz hosszúkás kenyeret osztunk kilenc felé, akkor először mindenki kap egy egészet, majd a maradék utolsó kenyérből mindenki elveheti az egy kilenced részét. Az osztás tehát minden egész kenyér mellé annak egy kilencedét eredményezi. Ha ezek után elveszünk a teljes tízből egy csomagot, azaz egy egész kenyeret és az egy kilencedét, akkor az újabb számvetéskor nyolc egészet és nyolc-kilencedet találunk. Erről korábban már megállapítottuk, hogy ez csak a mai eljárásunk szerint történik így. Eszesünk másképpen számolt. Nem kilencedelt, hanem kétszer harmadolt! Először eldarabolta a tizedik kenyeret gondolatban háromfelé, de csak a harmadik darabot vágta le, majd ezt újra eldarabolta háromfelé. Ezek után egy teljes kenyeret és a harmadik harmadból egy darabkát elvett a többiből. Ez volt a 10 egykilenced része. A fenti kérdésre válaszolva megállapíthatjuk, hogy eszesünk a mai értelemben véve nem tudott kivonni, ő a kívánt mennyiségeket elvette. Idézzük ide szavait: „vegyétek”. Ez volt az egyesített osztás és kivonás művelete: 10 – 1 1/9 = ? Nos, mennyi maradt?

167

Királykörök

Az újraszámoláskor nyolc egész kenyere maradt, a továbbiakban megmaradt az eldarabolt, eredeti osztásnál tizedik kenyér kétharmada, és az utolsó harmadból két kis darabka. Ezeket a kis darabokat most külön vette. Az egyiket közülük ismét félretette, a másikat elfelezte. Az így kapott felek egyikét hozzátette a félretett, sértetlen darabhoz, majd megállapította, hogy ez az összetett egység a harmadolt rész felével azonos nagyságú. Eszesünk ezzel befejezte a darabolást és szemlét tarthatott. • Leszámolta az egészeket: 8 egész kenyér maradt. • Az első harmadolásnál félretett darabot ismét számba vette: 2/3. • A kivonás – elvétel – után viszont maradt még két darabkája. A fenti módszerrel megállapíthatta, hogy az egyik „házasított” rész az 1/3 felével azonos: 1/6. A maradékról viszont tudta, hogy kétszeri harmadolás és egy további felezés eredményéből származik: 1 egész feldarabolva három részre, majd ismét harmadolva az eredeti 1/9 részét képezi, ezt tovább felezve 1/18ot kapott. A végső számadásnál 8 egész kenyér mellett a maradék kétharmad kenyeret is megtalálta, amihez az eredeti 1/6-a, és az 1/18-a is társult: 8 + 2/3 + 1/6 + 1/18. Ennyi. Ez került a 42-es példában a papiruszra. Kicsit bonyolultnak tűnik. Az eredmény helyes, de lehet, hogy mégsem így gondolkodott. Használhatta mérőrúdjait is, így számok esetében könnyebben ‘mozoghatott’. Mérőrúdjaival bármit el lehetett harmadolni, kérdés, hogy tudta-e ugyanezt fejben is. Pontos választ csak a könyökrudak beosztásának alaposabb vizsgálata után adhatnánk. A fenti elemzésből megállapíthatjuk, hogy az egynél kisebb számok esetén mindig csak a legszükségesebb darabokat képezte, így nem látott kilenc azonos nagyságú törtdarabot egymás mellett. Ezek alapján nem is kerülhetett olyan helyzetbe, hogy a kilenc-kilencedből egykilencedet elvegyen, és nyolckilencedet képezzen. Ez a mai módszer. Eszesünk, megítélésünk szerint nem tudott egy egészet a mai értelemben véve kilencedelni. Lineáris formában kivetítve a következő képet kapjuk: 2/3 1/9 1/9 x::::::::::::::::::::::::::::::::::::::::::::::::::::::::::::::::::::::::::/:::::::::::::/::::::::::::/:::::::::::::x ⇑ /--------------------------------------------------------------/-----------------/-----/ 2/3 1/6 1/18

168

X. Hogyan számoltak?

A 42-es példában ez volt az első művelet. Következő lépését ma négyzetre emelésnek nevezzük. Eszesünk feladata a Rátky-féle levezetésnél bemutatott: 8 + 2/3 + 1/6 + 1/18 × 8 + 2/3 + 1/6 + 1/18 = ? Ezt a kérdést mai módszerünkkel törtek formájában a következőképpen oldjuk meg: (8 8/9)² = 80/9 × 80/9 = 6400 /81 = 79 1/81. Árpád Mására Született eszesünk eredménye is hajszálpontos, de szerinte az eredmény: 79 1/108 + 1/324. (Ha a törteket közös nevezőre hozzuk: 4/324 = 1/81 kapunk.) Szemmel láthatóan másképpen szorzott. Feltételezésünk szerint mért is és számolt is. Szorzóját elemeire bontotta, így először nyolccal, aztán 2/3-dal, később 1/6-dal és végezetül 1/18-dal képezte számoszlopait. A kapott eredményeket aztán összeadta. Kövessük az általa leírt menetet. 8 2/3 + 1/6 + 1/18

×

1

Ezután ezt kétszerezte. A 8 + 8 = 16 műveletet akár fejben is elvégezhette. Az első komoly kérdés az, hogy hogyan adott 2/3-hoz 2/3-ot. Ha a lineáris módszert alkalmazzuk, akkor: Egész x::::::::::::::::::::::::::::::::::::::::::::::::::::::::::::::::x /----------------------------------/………………../………………/ 2/3 + 2/3 amiből /………………./ 1/3 A fenti ábrán látható összeadást a harmadoláskor végzett művelet fordítottjaként foghatjuk fel. Ha valamilyen egység 1/3-ára volt szüksége, akkor abból csak ennyit távolított el. A maradék kétharmad egy darabban maradt. Ha ehhez ugyanekkora darabot hozzátett, akkor tapasztalhatta, hogy az eredeti egységen ez az összerakott darab túlér. Pontosan a második kétharmad rész felével hosszabb. Az így képzett rakottságból kivette a számára legnagyobb törtet, jelen esetben az egy teljes egészet – felfoghatjuk úgy is, hogy levágta a kilógó részt – és megtalálta a maradék 1/3-ot (tehát a második 2/3 felét), amit egyelőre félretett. 169

Királykörök

Az 1/6 + 1/6 művelet elvégzésekor valószínűleg a következő módon járt el: Egész x::::::::::::::::::::::::::::::::::::::::::/:::::::::::::::::::::::::::::::::::::::::::::::::::::::::::::::::::::::::x /.……………………………../ /-----------------/….…………../

= 1/3 1/6

+

1/6

= 1/3

Az itt szemléltetett „összerakósdiból” az 1/3 eredményre jutott. Hasonlóan járhatott el az 1/18 + 1/18 esetében is. Valószínűleg az 1/18 képzésénél eredetileg másképpen darabolt: mint azt már a kivonás esetében bemutattuk, a kétszeri harmadolás után felezett. Az eddigiek folyamán tehát a kettőzések helyett egymás mellé tette az azonos törtrészeket, és összehasonlította a korábbi darabolásból származó nagyobb egységekkel. Menet közben rájöhetett arra is, hogy ugyanezt az eredményt kapja, ha a törtek párosításakor számait (a nevezőket) elfelezi. Feltevésünk szerint ilyenkor számolt. Ezek után az eredményképpen kapott tört részeket egymás mellé helyezte, és most már a közös nagyságukat (hosszúságukat) olvasta le. Lássuk csak: Egész 2/3 x::::::::::::::::::::::::::::::::::::::::::::::::::::::::::::::::::::::::::/:::::::::::::::::::::::::::::::::::::::x 2/3 + 2/3 = 1 + 1/3-ból 1/6 + 1/6 = 1/3-ból 1/18+1/18=1/9-ből /-------------------------------/---------------------------------/-------------/ 1/3 1/3 1/9 = 1/3 +1/3 +1/9 = 2/3 +1/9 Ezen az ábrán jól követhető a gondolkodásmódja. Törtjeit egymás után téve megvizsgálta, hogy összességükben milyen hosszúak. Megállapította, hogy túlér az egész kétharmadán, így ismét kivette a „rakottságból” a számára lehetséges legnagyobb törtrészt, esetünkben a 2/3-ot. A maradékot is a legnagyobb formájában határozta meg: 1/9. Lineáris módszer. A kétharmadok összegezéséből kivett egy egészet, fejben hozzáadta a már megállapított 16-hoz, így egységeinek száma 17-re növekedett. Feltevésünk szerint mért és számolt is.

170

X. Hogyan számoltak?

Szorzótáblájához visszatérve most már leírhatjuk az általa meghatározott értékeket: 8 + 2/3 + 1/6 + 1/18

×

1

17 + 2/3 + 1/9

×

2

A következő párosításnál váratlan fordulat történt.181 Amikor a 17 + 2/3 + 1/9hez hozzáadta a párját, a kétharmadok összeadásánál ismét 1 + 1/3-ot képezett. Az 1/3 és az 1/9-edeket egymás után rakta, majd szokásához híven kivette a legnagyobb egységű törtet, amely most már nem a hármas darabolásból származott. Nézzük meg ezt közelebbről is: Egész x::::::::::::::::::::::::::::::::::::::::::::::::::::::::://:::::::::::::::::::::::::::::::::::::::::::::::::::::::::x ⇑ /---------------------------- /,,,,,,,,,,,,,,,,/,,,,,,,,/,,,,,,,/ 1/3 + 1/9 + 1/18 + 1/18 = 1/2 + 1/18 1/3 1/9 1/18 1/18 A legnagyobb eltávolítható egyes számlálójú tört ebben az esetben az 1/2 volt, és az ezen túlérő darabja az utolsó tag fele lett. Más szóval az eddig ismertetett harmadolós rendszerből átváltott a felezősre. Eredménye: 34 + 1 + 1/2 + 1/18. Megítélésünk szerint ez kifejezetten mérésre utal. 35 + 1/2 + 1/18

×

4

Ezzel elérkezett szorzóoszlopa utolsó lépéséhez, a 35 + 1/2 + 1/18 párosításához. A fentiek értelmében ez nem jelentett számára különösebb nehézséget. 35 + 1/2 + + 1/18 + 35 + 1/2 + 1/18 együttesen 70 + 1 + 1/9-et eredményezett. Minden bizonynyal számolt. 71 + 1/9

×

8

Megállapította, hogy (8 + 2/3 + 1/6 + 1/18) 8-cal szorozva 71 egész és 1/9 részt eredményez. Ha az eddigieket értékeljük, megállapíthatjuk, hogy fejszámolással és mérőrudak segítségével közvetlenül leolvashatta eredményeit, külön táblázatokra, mellékszámításokra nem volt szüksége. 181

V.ö.az ad. 1 fejezetben tárgyaltakkal.

171

Királykörök

A kérdés mégis az, hogy a valóságban tényleg így számolt, esetleg a bemutatott módon darabolt-e eszesünk (lásd mindkét módszert), vagy volt ennél könnyebb útja is? Elméletben rendelkezhetett kész számtáblákkal, melyekről a törtekkel végzett műveletek eredménye közvetlenül leolvasható. A gyakorlatban ez a lehetőség nagyon körülményesnek tűnik, mert sejtésünk szerint hatalmas számú változatot kellett volna táblázatba foglalnia. (Az RMP számtanpéldáinál találkozunk ilyen számsorokkal, lásd pl.: az ‘n’ és a ‘2/n’ táblázatot.) Másrészt hogyan számolt akkor, ha úton volt, más környezetbe került? Vitte magával a tábláit? Ebben az esetben a lineáris módszer sokkal egyszerűbbnek bizonyult. De térjünk vissza számolásához. A (8 + 2/3 + 1/6 +1/18) × (8 + 2/3 + 1/6 + 1/18) műveletből eddig csak nyolccal szoroztunk. Ezek után következnek a törtek. Az első oszlop aljára rögtön a 2/3-os szorzás eredménye került. 5 + 2/3 + 1/6 + 1/18 + 1/27

×

2/3

A második oszlop tetején viszont a további számolásához szükséges harmadolással találkozunk. Hogyan képezte a 8 + 2/3 + 1/6 + 1/18-ad kétharmadát? Számolta-e, vagy mérte eredményét? Ez a feltevés abból következik, hogy csak a második oszlop tetejére került az egyharmad méret. Tudott-e menetből fejben „kétharmadolni”, vagy eredményét csak később írta az első sor alá?182 Nagyon valószínű, hogy matematikai úton nem tudott közvetlenül 2/3-dal ‘szorozni’.183 Ha tudott volna, akkor nem jelezte volna a második sor tetején az egyharmados értékeket, erre nem volt kíváncsi. A nyolcat akár fejben is eloszthatta hárommal, majd a kétszeresét véve az 5 + 1/3 eredményre jutott. Ebből az osztásból még nem derül ki a módszere. (Ha 8-at háromfelé darabol, akkor 2 egész és 2/3 részt kap.) Sokkal valószínűbb, hogy először harmadolt, majd az így kapott értékeket párosította.

182

Felmerült annak a lehetősége is, hogy ennél az osztásnál a második sorban látható kettőzést harmadolta el, Rátky. 183 A gyakorlatban mégis találunk erre utalást, mert a 2/3 hieroglifás jelét a nyitott száj alatt két különböző hosszúságú pálcával jelölte. Ezt a törtet felfoghatjuk úgy, mint az 1/ 1,5 öt. Ha egy törtet kétharmaddal akart ’szorozni’, elképzelhető, hogy a nevezőjét másfélszer vette. Ez a módszer a 2/3 esetében nem kivitelezhető. Könnyebb útnak tűnik a szerkesztéses módszer, ahol akár közvetlenül képezhető a 2/3-os érték. (Segédrudas párhuzamos szelők módszere.)

172

X. Hogyan számoltak?

Kövessük mi is ezt az utat, már csak azért is, mert a következő oszlopban rögtön a 8 + 2/3 + 1/6 + 1/18 harmadolásába fogott. A nyolcat elharmadolva 2 + 2/3-ot kapott. Ezek után a kétharmadnak vette az egyharmadát. Tudott-e fejben harmadolni? Elméletben ez sem zárható ki, csupán azt kellene elfogadnunk, hogy Árpád Mására Született hárommal szorozni is tudott. E módszer alapján bármely törtnek 1/3 részét úgy veheti, ha a pont alatti egész számot (a tört nevezőjét) három alkalommal szaporítja. 2/3 × 1/3 = 2 / 3 + 3 + 3 = ? Furcsa, hogy közben nem vette észre a 3×3=9-et. (Ezen az alapon a 3×9=27, stb. sem okozhatott volna gondot.) Mai jelrendszerünk szerint ez 2/9-hez vezet. Eszesünk viszont, mint azt már korábban is láttuk, két azonos mértet, az 1/9 + 1/9 sohasem írt le egymás mellé, hanem kivéve belőlük a legnagyobb törtet, összevonta őket. Megint a két lépcsős gondolatmenettel találkozunk. Hihető ez? Számára bizonyára könnyebb volt mindezt lemérni. 1/6 1/3 x::::::::::::::::/:::::::::::::::: / /--------/--------/

:

1/9 + 1/9

/------------/----/

:

1/6 + 1/18

Az eredménye, az 1/6 + 1/18 hosszméret közvetlenül leolvasható. A további harmadolás a számolásos módszer szerint eszesünknek nem okozhatott gondot. Az 1/6-ból 1/18 lett, és az 1/18-ból 1/54-et képezett. Most már csak össze kellett őket adni: 2 + 2/3 + 1/6 + 1/18 + 1/18 + 1/54 = ? Tulajdonképpen az egészet ebben a formában meg is hagyhatta volna, mert az általa ismert, lehetséges legnagyobb törtet, a 2/3-ot már elérte, de észrevette a páros 1/18-os törteket, és ezeket összevonta. Kivette közülük megint a lehetséges legnagyobb egyes számlálójú törtet, az 1/12-et, majd meghatározta a maradék nagyságát is: 1/36. 1/12 1/6 x::::::::::::::::::::::::/::::::::::::::::::::::::/ /-------------/--------------/ /--------------------/-------/

: :

1/18 + 1/18 1/12 + 1/36

173

Királykörök

A fenti műveletekhez minden bizonnyal ismét mérőrudjait hívta segítségül. A papiruszra tehát a (8 + 2/3 + 1/6 + 1/18) × 1/3 eredménye: a 2 + 2/3 + 1/6 + + 1/12 + 1/36 + 1/54 került. A kétharmados szorzáshoz ennek a kétszeresét kellett vennie. Ez nem okozhatott számára nehézséget. 2 2/3 + 2 2/3 = 5 1/3 1/6 + 1/6 = 1/3 1/12 + 1/12 = 1/6 1/36 + 1/36 = 1/18 1/54 + 1/54 = 1/27 A két egyharmadot eszesünk összevonta, így az első oszlop alá a (8 + 2/3 + + 1/6 + 1/18) × 2/3 eredményét írhatta: 5 + 2/3 + 1/6 + 1/18 + 1/27. A második oszlop második sorába a (8 + 2/3 + 1/6 + 1/18) × 1/6 művelet került. Eszesünknek most már nem volt nehéz dolga, az első sorhoz képest felezhetett, az 1/3 helyett itt 1/6-dal kellett szoroznia. Ha felidézzük az első sor eredményét, könnyen követhető a felezés: 2 + 2/3 + 1/6 + 1/12 + 1/36 + 1/54 1 + 1/3 + 1/12 + 1/24 + 1/72 + 1/108

× ×

1/3 1/6

Ezt tovább harmadolva eljutott az 1/18-as sorhoz is: 1/3 + 1/9 + 1/36 + 1/72 + 1/216 + 1/324. Eddig ez rendben is lenne, de nem így került a papiruszra! Az 1/3 + 1/9-det nem tudta egyszerűsíteni, ám amikor az 1/36 + 1/72 + 1/216hoz érkezett, már az 1/27 + 1/108 törteket írta le. Mégis hogyan számította ki eredményét? Rakjuk össze a közös nevezőre váró törteket: //---------------------------------------------------/---------/-------------------------// 1/36 1/216 ⇑ 1/72 Az összerakás sorrendje nem lényeges, mert amikor eszesünk megvizsgálta ezt a hosszúságot, mérőrúdján a legnagyobb egyes számlálójú törtnek az 1/27 mutatkozott, nyíllal jelöltük nagyságát, a maradék pedig 1/108-nak bizonyult. Az 1/27 egyébként az 1/9-ed harmadolásából származik, az 1/54 és az 1/108 további felezések eredménye. Ismét mérnie kellett. 174

X. Hogyan számoltak?

Eredménye: 1/3 + 1/9 + 1/27 + 1/108 + 1/324 hajszálpontos. Ez után a számára is bonyolult műveletsor után össze kellett adnia részeredményeit. Ez sem tűnik könnyű mulatságnak. Minden esetre a papiruszon az összeadandó számokat kipipálta: 71 + 1/9 5 + 2/3 + 1/6 + 1/18 + 1/27 1 + 1/3 + 1/12 + 1/24 + 1/72 + 1/108 1/3 + 1/9 + 1/27 + 1/108 + 1/324 Nos, lássuk a medvét! Az egészeket közvetlenül összeadhatjuk: 71 + 5 + 1 = 77. Az 1/3 + 2/3 újabb egészet eredményezett, az előbbivel együtt 78. Nézzük meg a maradékot: 1/3 + 1/6 + 1/9 + 1/9 + 1/12 + 1/18 + 1/24 + 1/27 +1/27 + 1/72 + 1/108 + 1/108 + + 1/324. Ebből az 1/6 + 1/18 + 1/9 = 1/3. Az előző 1/3-dal együtt 2/3-ot képez. Ide emeljük ki a két legkisebb törtet is, az 1/108-at és az 1/324-et. Lássuk a maradékokat: 1/9 + 1/12 + 1/24 + 1/27 + 1/27 + 1/72 + 1/108. Ha hiszik, ha nem, mindez pontosan 1/3-dal egyenlő. Mai ismereteink alapján a fenti törtek összeadásakor a 216-ra, mint közös nevezőre lenne szükségünk, nem is beszélve arról, hogy közben szinte minden tört számlálója nagyobb lesz, mint egy. Eszesünk így nem tudott számolni.184 Minden bizonnyal elővette segédrúdjait és összetologatta a jelzett hosszúságokat addig, amíg a számára kivehető legnagyobb egyes számú törtet a mesterrúdon megtalálta. Így jutott a harmadik 1/3-hoz, és bizonyára észrevette azt is, hogy a két maradék tört, az 1/108 és 1/324 azonos 1/81-el. Ezt viszont már nem váltotta át. Mi lehetett az oka? Mindent összeadva megállapította, hogy a 10 egység átmérőjű kör területe: 79 + 1/108 + 1/324. (RMP 42-es példa. Tekintve, hogy a mai értelemben 3,1605-ös π-vel számoltak, az eredmény hajszálpontos. 5×5×3,1605 = 79,0125.)

184

Elképzelhető az is, hogy ügyesebb csoportosítással további törtek is egyszerűsíthetők.

175

Királykörök

Történt még valami érdekes ebben a példában. Árpád Mására Született eszesünk ez után először tízzel szorzott, majd később tízzel osztott is. Legegyszerűbb, ha rögtön megnézzük, hogyan szorzott olyan valaki tízzel, aki fejből nem ismerte a 8 × 8 = 64-et. 79 + 1/108 + 1/324

1

790 + 1/18 + 1/27 + 1/54 + <1/81>

10

395 + 1/36 + 1/54 + 1/108 + <1/162>

1/2

1185 < 1/6 + 1/54> 118 + 1/2 <1/54>

1/10

59 + 1/4 <1/108>

1/20

A szögek között látható értékek nem szerepelnek a papiruszon. A következő lépésekre sehol sincs magyarázat, utalás, stb., így feltevésünk helyességét a papiruszon nem tudjuk ellenőrizni. Valóban úgy tűnik, hogy tízzel szorzott. A 79 × 10 = 790 tisztán követhető. A problémát az (1/108 + 1/324) × 10 okozta. A két törtet nem lehetett közvetlenül tízzel szorozni a számlálók megnövelése nélkül. Ahhoz, hogy tízzel osztható nevezőket képezzünk olyan törtekre kellett az 1/108 + 1/324-et átváltani, melyek mai formában írva 0-ra végződnek. Eszesünknek újfent valamilyen módszerre volt szüksége, mellyel az ismeretlen törteket meghatározhatta. Tízzel nem tudott szorozni (a nevezőt osztani) mert nem jutott volna egész számokhoz, helyette elképzelésünk szerint tízzel ‘osztott’. Figyelem, nem darabolt! Erre még a levezetés után visszatérünk. Ezeket a műveleteket mindig a legegyszerűbb formában kell elképzelnünk. A módszer a következő: a nevezőt szorozta meg tízzel. Ezt a számot aztán elfelezte, így gyakorlatilag oda jutott, mintha öttel szorzott volna. Ezt az értéket aztán két másikra osztotta fel. Szóban ez az egész levezetés kicsit bonyolultnak tűnik, de valójában itt sem tett mást, mint tízzel szorzott, majd felezett és harmadolt.

176

X. Hogyan számoltak?

A gyakorlatban a következő történhetett: 108 × 10 = 1080; 1080 : 2 = 540; 540 : 3 = 180 és 540 : 2 = 270. Törtekről lévén szó, 1/108 = 1/180 + 1/270 eredménnyel kell számolnunk. A papiruszon sajnos ennek csak a már eltizedelt értéke, az 1/18 + 1/27 látható. A fenti módszert alkalmazva az 1/324 esetében is így járhatott el: 324 × 10 = 3240; 3240 : 2 = 1620; 1620 : 3 = 540 és 1620 : 2 = 810. Ha visszaalakítjuk törtekké, akkor 1/324 = 1/540 + 1/810. A papiruszra ennek a tizede került, pontosabban az 1/54 még látható, de az 1/81 hiányzik! Miért? Mielőtt ennek kutatásába kezdenénk, írjuk fel követett műveleteinket általános formában is: 1 1 1 = + a 5a 5a 2 3 Szeretnénk megjegyezni, hogy ez a képlet a bemutatott Rátky-féle képletek ellenpólusa, t.i. esetünkben nem közös nevezőre kell két törtet hozni, hanem egy törtet kell kétfelé választani. Sajnos ebben az esetben is csak akkor használható képletünk, ha a nevezőben végzett osztás egész számokhoz vezet, valamint ez az érték egyúttal mind hárommal, mind kettővel osztható. A jobb áttekinthetőség kedvéért az ötszörözés műveletét is megelőlegeztük, annak ellenére, hogy ez az érték megítélésünk szerint csak a bemutatott két lépcsőben képzelhető el. Mindezek mellett továbbra is láthatatlan maradt a tízes osztás módszere. Valószínűleg – mint azt már korábban is megállapítottuk – írnokunk nem darabolt, hanem törtszámaiból a nevezőket külön véve tízzel „szorzott”. Elméletben a szokásos kettőzéses szorzóoszlopaival kiszámolhatta bárminek a tízszeresét, mégis valószínűbb, hogy tízzel közvetlenül is tudott „szorozni vagy osztani”. Ilyenkor nem tett mást, csak egyszerűen ‘átlépett’ a következő nagyságrendbe. Ebből az is következik, hogy öttel nem tudott szorozni, ezt az értéket a tízes szorzás felezéséből kapta. Eljuthatott-e a lineáris/rakosgatós módszerrel is idáig? Minden bizonnyal. Sőt, a torinói/kairói mérőrudak hatos és négyes beosztása így kaphat értelmet. Eszesünk a tízszerezés után az eredmény egynegyedére, és egyhatodára volt kíváncsi. Ebben az esetben nem kellett a tízes értékeket feleznie, nem volt szüksége ötszörözésre, mert az ötszörös érték 1/3-a azonos a tízszeres 1/6-ával, valamint az ötszörös érték fele, a tízszeres érték negyede. Törtjeinek nevezője így közvetlenül leolvasható volt.185 185

Ez a felismerés vezetett egyébként a fenti számítási módszer kidolgozásához.

177

Királykörök

Vajon így történt-e mindez a valóságban? Sajnos, erre nincsenek adataink. Elsősorban az rontja a képet, hogy eszesünk ebben a sorban nem jelölte az utolsó törtet, az 1/81-et. Az így leírt törtek összege kerek 1/9, mely a tizedelés előtti 1/90-es nagyságra utal: ha az 1/108-ot és 1/324-et egy törtben fejezzük ki, akkor 1/81-et kapunk. Eredménye így csak megközelítés, de nem pontos. Miért? Háromszor is miért? Elfelejtette volna eszesünk leírni az utolsó törtet? Esetleg mégsem így számolt? Mindez lehetséges… mégis úgy érezzük, ebben az esetben valami más húzódik meg a háttérben. A tört értékekre példájában egyszerűen nem volt szüksége. A sor végén látható összeadáskor is csak az egész számokat jelölte. Az ezután következő tizedelés, majd felezés már nem okozhatott gondot.

Összefoglalás Emlékeztetőül megismételjük: a fenti számolások alkalmával kizárólag az RMP általunk vizsgált példáiban előforduló műveletekre, írás- és számjegyekre támaszkodtunk. Máshol előforduló esetleges ismeretekkel nem foglalkoztunk, megítélésünk szerint ugyanis nem bizonyítható, hogy a bemutatott példák szerzője ezen ismeretek birtokában volt.186 A fentiekben kizárólag az általunk tapasztalt módszereket, jeleket és terminológiát vettük nagyító alá. Megállapíthatjuk, hogy az egyiptomi geometria általunk vizsgált feladataiban tanáraink decimális rendszerben számoltak. A mai értelemben véve nem tudtak alapműveleteket végezni, számukra a párosítás, az elvevés, a szaporítás és a dőlés187 jelentette az összeadást, a kivonást, a szorzást és az osztást. Az egyet nem tudták a mai értelemben véve osztani, csak darabolni, ilyenkor feleztek vagy harmadoltak. Műveleteik elvégzésére az összeadás kivételével mindig számoszlopokat készítettek, melyeket a kettőzés, a párosítás alapján állítottak öszsze. Az egész számok és valószínűleg a törtek tízszerezését, illetve tizedelését is ismerték.

186

Lehetséges az is, hogy az RMP írnoka a bemutatottnál magasabb matematikai képességekkel rendelkezett. A bevezető sorok alapján elképzelhető, hogy már létező papiruszokról teljes feladatokat vett át. Ebben az esetben példáinkon keresztül nem eszesünk, hanem korábbi geometria tanárunk ismereteit elemeztük. 187 A dőlés szó valóban a művelet pontos meghatározását jelenti. Gondoljunk csak a mérőrudas harmadolás módszerére.

178

X. Hogyan számoltak?

Az egy darabolásakor ismét a sok felé haladtak, ilyenkor a számukra kívánt mértékben a részeket szaporították. Törtjeiket a 2/3 kivételével mindig egyes számlálóval jelölték, így megállapítottuk, hogy számolási menetük a mienktől eltér. A törtek összeadásánál más módszert használtak, nem ismerték a mai értelemben vett közös nevezőre hozást. A Rátky-féle képletek segítségével bemutattuk, hogy bizonyos feltételek mellett csupán matematikai alapon is kiszámítható a papiruszra írt, törtekkel végzett részeredmény, ugyanakkor rámutattunk a módszer korlátaira is. Elemzésünk során azt is feltételeztük, hogy ókori tanáraink lineáris rendszerbe helyezték törtjeiket, majd megvizsgálták az összetétel, a rakottságok hosszát. Ilyenkor minden esetben a legnagyobb lehetséges egyes számlálójú törtet, valamint a legnagyobb ugyancsak egyes számlálójú maradéko(ka)t választották eredményül. A 42-es példa számolási menetének elemzése alapján rámutattunk arra, hogy valamilyen (egyszerű, hordozható) segédeszközzel rendelkeztek, ezt (ezeket) neveztük el mérő rúd(ak)nak. Valószínűleg több ilyen rúdra volt szükségük, melyek eltérő beosztása a kívánt (tört)egységek összeállítását megkönnyítették. Az így képezett rakottság nagyságát aztán a mesterlécen leolvasták. Erre utalnak a Torinóban és Kairóban őrzött, beosztással ellátott mérőrudak, melyek szerepét, korabeli használatát még ma is homály fedi. A mérőrudak alaposabb vizsgálata további újdonságot jelenthet. Kitértünk arra is, hogy minden bizonnyal valamilyen táblázattal, kész számsorokkal rendelkeztek, melyek segítségével a törtekkel végezhető műveletek eredménye közvetlenül leolvasható. Segítségükkel a lineáris rendszer részben kikerülhető, illetve kiegészíthető. Megítélésünk szerint így nagyszámú táblázatra lett volna szükségük, vagy olyan általános megoldó képletekkel kellett volna rendelkezniük, melyek magasabb elméleti felkészültséget feltételeznek. Ilyen képlet(ek) birtokában nem szorultak volna párosító szorzótábláikra, sőt ismerni kellett volna az egynél magasabb számlálójú törteket is. Megjegyezzük, hogy a háromszorozás és a harmadolás műveletének ‘rugóit’ még nem sikerült részleteiben is felderítenünk.188 Felezéskor és harmadoláskor feltevésünk szerint szaporítottak. Ugyanakkor a fentiekben bemutattuk azt is, hogy elődeink nem tudtak fejben hárommal szorozni, a többi között ilyen lépésű szorzóoszlopokkal sehol sem találkoztunk. (Pl.: 1×9; 3×27; 9×81, stb. oszlopok hiányoznak.) Ugyanakkor mérőrúdjaikkal elméletben a négy alapművelet elvégezhető volt, sőt a dőlés nagyságát is mérni lehetett.

188

Elképzelhető, hogy a kör kerületének a sugárral végezhető hatodolását már akkor ismerték, így szerkeszthettek egyenlő oldalú háromszögeket is. Kerületük egy egyenesbe kiterítve már a vizsgált egész elharmadolt szakaszait jelezte.

179

Királykörök

Nyitva maradt az a kérdés, hogy eszesünk honnan ismerte a félgömb térfogatának megoldó képletét: V = 2/3 r³π = 2/3 r × (d 8/9)² ? (RMP 43-as feladata). Eljátszottunk azzal a gondolattal is, hogy az RMP csak az akkori általános iskola ismeretszintjét tartalmazza, a korabeli ‘egyetemi matematika’ még kiásatlanul hever valahol a sivatag homokjában. Sajnos, ez a feltevésünk sem igazolható. Ha valaki tud szorozni, akkor gyermekeit is erre tanítja, és már a kisiskolában elkerüli a túlhaladott, bonyolult számolási módszereket. Sajnos, írásjeleik sem tanúskodnak magasabb matematikai tudásról. Összefoglalva megállapíthatjuk, hogy egyik bemutatott módszer sem teljes, megítélésünk szerint csak részeredményekkel dicsekedhetünk. Úgy érezzük, hogy a bevezetőben említett fekete doboz fedelét csak kinyitni tudtuk, a benne találtak értékélését más keretek között még folytatnunk kell. A fejezet címében jelzett kérdés feltevésekor természetesen nem számítottunk minden részletre kiterjedő válaszra, mégis az általunk vizsgált példák alapján betekintést nyerhetünk az egészbe, az ősi számolási módszerek boszorkánykonyhájába.

180

XI. A matematikai papiruszok közös vonásainak áttekintése Mint azt már megállapítottuk, a Középbirodalom matematikai ismereteiről – néhány töredéktől eltekintve – két nagyobb tekercs: a Moszkvai Matematikai Papirusz, valamint a Rhind Matematikai Papirusz tanúskodik. Ebben a könyvben csupán a tekercsek körrel foglalkozó példáit válogattuk össze, és a Kahun papirusz ide vonatkozó töredékével együtt ezeket dolgoztuk fel. A szakirodalom szerint más, a klasszikus időkből származó és az ősi körszámítással foglalkozó papirusz nem ismeretes. Tekintve, hogy a feladatok megoldásánál jelentkező ellentmondásokat az egyiptológia gyakran a korabeli írnokok – szerintük csupán másolók – rovására írja, a címoldalon szereplő folyó szöveg magyar olvasatát is ehhez a munkához csatoltuk. Az említett példák a Moszkvai Matematikai Papirusz 10-es feladata, valamint a Rhind Matematikai Papirusz 41-es, 42-es, 43-as, 48-as és 50-es példái. Ezt egészítettük ki a Kahun töredék 13-as és 14-es ide vágó oszlopaival és az RMP címoldalával. Az MMP 10-es feladatát az: Olvassuk együtt magyarul! (Budapest, 2000) című munkánkban részletesen tárgyaltuk. A papiruszok körrel kapcsolatos példáinak számolása, nyelvezete a várható eltérések mellett további közös vonásokról tanuskodik.

A. A példák szerkezete A példák felépítése nagyjából azonos. Árpád Mására Született eszesünk néhány kivételtől eltekintve, mondanivalóját fekvő hasábokra osztotta fel. Kezdő jeleit vörös festékkel írta, itt foglalta össze feladata címét és meghatározását. Érdekes módon példájának adatainál már rendre a fekete jelekhez tért vissza, valószínűleg így kívánta érzékeltetni gondolatainak fontossági sorrendjét. A továbbiakban a szokásos fekete festékkel dolgozott, ám a fordulópontoknál, mintegy kiemelve a többi közül, a lényegesebb részleteket ismét pirossal jelölte. Végezetül a megoldás hieratikus jeleit is vörös festékkel írta. A példa második felét bevezető jelek után már csak a számolás matematikai megoldását találjuk. Ezt a hasábot ismét fekete festékkel készítette a Peet által másolóvá alacsonyított írástudó. Tanulságos lehet Peet ezirányú gondolatait is megismerni: „The Rhind papyrus is only a copy, probably by a poor mathematician, of a document which was doubtless differently arranged. The attempt to compress problems into the narrow horizontal registers into which the papyrus was ruled off has led in many cases to

181

Királykörök

the misplacement of the headings of the various parts of the sum… These are sSmt, irt mi xpr, and tp n sity.”189 Peet szerint a másoló tömörítési igyekezetében tollhibákat vétett. A hibák egyébként a számolást tartalmazó, alsó hasábban láthatók, sőt Peet meg is nevezi őket. Transzliterációs jelei alapján megállapíthatjuk, hogy minket csak az első két átírása érint, a harmadikkal nem találkoztunk feladataink elemzésekor. Tekintsük meg tehát a számolás összegezésénél használt hieratikus kezdő oszlopokat. A 41-, 42- és 43-as feladatok második hasábját Árpád Mására Született írnokunk azonos jelekkel kezdi. Vegyük példának a 43-as feladat 234-243-as jeleit:

234

235

236

237

238

239

240

241

242

243

Peet idézetéből az első, a sSmt, a 239-243 jelekre vonatkozik. Transzliterációjának elemzésekor Gardiner T31-es jelébe ütközünk. Már korábban megjegyeztük, hogy a szakirodalom, így Peet is a 241-es jelet helytelenül transzkribálta.190 Ez a hieratikus jel Gardiner megfogalmazása szerint késélesítőt jelent: „T31

knife-

sharpener (?). „Phon. sSm in … ‘guide’, ‘lead’ and derivatives.”191 Másik értelme: ‘vezetni’, kalauzolni’. Ha jobban megnézzük, akkor a késélesítő hieroglifa hangtani kiegészítői az és a jelek. A balra tartó lábak az RMP jelei között nem szerepelnek, egyébként az egyiptológia szerint cselekvést fejeznek ki. Az átírás alkalmával a szakirodalom – Eisenlohr kivételével – ebből a két jelből kiindulva megállapította, hogy a 241-es jel csak a sSm közepén álló késélesítő hieroglifa lehet, esetleg ennek egy variánsa a T33 (butcher, mészáros), mert a hozzá tartozó hangok csak ebben a szóban találhatók. Az már senkit sem zavar, hogy az eredeti hieratikus jel Möller 444-es jelére (a késélesítőre) nem is hasonlít és az egyetlen vele teljesen azonos jel Möller 96-os sorozatában látható. 189

Peet, op. cit., 22: ‘A Rhind Papirusz valószínűleg egy szerencsétlen matematikus által (írt) másolat, vagy olyan dokumentum, amelyet (az eredetihez képest) kétség kívül másképpen írtak át. A feladatok keskeny regiszterekbe való tömörítésének kísérlete, ahogyan a papirusz készült, sok esetben oda vezetett, hogy a számolás összefoglaló címének különböző részletei rossz helyre kerültek (helytelenül alkalmazták)… Ezek a következők…xxx’, lásd fönt. 190 Lásd a 43-as feladat elemzését. 191 Peet, op. cit., Sign-list 515.

182

XI. A matematikai papiruszok közös vonásainak áttekintése

Az eddigieket összefoglalva megállapíthatjuk, hogy a szakirodalom a vélt hangtani alátámasztók (fonetikai complementek) jeleiből kiindulva a valóságtól eltérő, másik értéket transzkribált a 241-es jel helyére. Mindezek mellett két jel eredeti olvasási sorrendjét is meg kellett cserélniük, a papiruszon a 240-es jelet kell először olvasni (lásd átírásunkat), és csak aztán következik a ‘késélesítő’ phallus. Így olvasva viszont az smS transzliteráció nem azonos Gardiner T31-es jelével. A helyzet fonákságára jellemző, hogy az egyiptológusok még így sem jutottak könnyebb helyzetbe. Peet is kénytelen volt a ‘vezet’ ige helyett névszót képezni, ekkor született meg a ‘form of working’ nagyvonalú fordítása. Mindezért természetesen a szegény matematikus sűrítési szándéka a felelős. Eddigi ismereteink szerint csak Eisenlohr, az RMP első feldolgozója kivétel a fentiek alól, átírásakor nem követte el ugyanezt a hibát. Szerinte is Gardiner D53-as jelét látjuk az eredeti papiruszon: , de hangzósítani már ő sem tudta, így transzliterálásakor ezt a jelet egyszerűen kihagyta. Számára a helyes átírás smot hangzósítást eredményezett. Mindehhez az Ausrechnung, a kiszámolás fordítást adta.192 A kérdéses jelek magyar olvasatát a 43-as példa tárgyalásakor részletesen megvilágítottuk. Itt csak a szerintünk helyes sorrendű hangzósítását ismételjük meg: Szá-M-hÍ-Tá-SOK. Magyarul nem okozhat gondot a fenti hieratikus jelek közvetlen összeolvasása. Az RMP 50-es feladata eltér az előbbiektől. Írnokunk itt egy hasábba rendezte mind a feladat leírását, mind a hozzá tartozó számolási menetet, majd a hieratikus oszloppal elválasztotta őket. Érdekes változatként nem a 41-43-as példákból már ismert mondatot használta számtani összefoglalójának bevezetésére, hanem valami újat talált ki. Peet ‘rossz néven’ is veszi ezt tőle: „more difficult is remaining phrase irt mi xpr.”193 Az irt-ről megállapítja, hogy ebben az esetben vagy a főnévi igenévvel azonos, vagy „impersonal passive”-nak fogható fel, lásd „the doing”, vagy „one does (it)”. A xpr értelmezésénél még bizonytalanabb, úgy véli, hogy választanunk lehet az „impersonal sDm-f, it happens” és a „neuter participle active with masculine form”: „that which happens” között. Számára a „the doing as it happens” fordítás a favorit. (Egyébként a tárgyalásából kihagyott mi jeleket feltevésünk szerint a közismert előljárónak tarthatta, like, as well as, jelentéssel.)194 Megjegyezzük, hogy mind az irt , mind a xpr jelek a szakirodalom szerint szófajukat tekintve valódi igék, így meglehetősen furcsa, hogy Peet az elsőt semleges alakban álló főnévként képzeli el, míg a másodikat az elvárható ‘t’ jel hi192

Eisenlohr, op. cit., 103-5. Peet, op. cit., 23: ‘Nehezebb a hátralévő mondatrész…xxx (meghatározása).’ 194 Gardiner, op. cit., 567. 193

183

Királykörök

ánya miatt ‘férfiasított’ alakú névszóként állítja elénk. Lábjegyzetben meg is jegyzi, hogy a 76-os és 78-as példáknál ugyanez az ige ott helyesen nőnemű alakban szerepel.195 A fentiek alapján elmondhatjuk, hogy a szakirodalom érdemben nem tudott megbirkózni a bemutatott jelek fordításával. Az 50-es feladat tárgyalásakor már kitértünk arra, hogy ez az öt jel nem képez összefüggő mondatot, eszesünk csupán három címszavát rövidítette le: Számít, Méri és Kap(ol) formában. Más szóval az itt következő leírás lényege a számítás, a mérés és az eredmény ismertetése. Egyébként elképzelhető ez a három jel felszólító módban is, ebben az esetben a SzáM-íT(s) – MéR-J – KaP-oL formában egyes szám 2. személyben olvashatjuk utasítását. Érdekességként jegyezzük meg, hogy Árpád Mására Született eszesünk példáinak meghatározásakor több címet is használt. Az MMP-ből megismert „fejen számít” jelek mellett ezekben a példákban a lényeget kifejező „csűrödből kapni” hieroglifák állnak. A 42-es és 43-as példában csak ezzel a rövidebb formával találkoztunk, az 50-es példa esetében csupán a „fejen számít” bevezető látható, ugyanakkor a 41-es példa címében mindkettőt leírta. A „fejen számít…” jelek részletes nyelvtani elemzésével már korábban foglalkoztunk,196 itt csak megismételjük, hogy hivatalos fordítása a birtokviszony miatt még ma sem egységes, gyakorlatilag az egyiptológia által felállított szabályok szerint ezek a jelek nem fordíthatók.

B. A körterület ősi számításának áttekintése A kör területének hajdani számítását elméletben az Akör = d² × (8/9)² képlettel lehetne kifejezni. Megállapítottuk, hogy nem a sugárral számoltak, a kör területének meghatározásához mindig az átmérőt használták. A d² viszont a mai értékek négyszeresét eredményezi: d² = 4 × r²-tel, így a ma π-nek nevezett ősi varázsszámuk elméletben a Ludolf-féle szám negyede volt: (8/9)², azaz 64/81, ami a mai érték kitűnő megközelítéséhez, a 3,1605-ös π-hez vezetett. Mindezt a szakirodalom már csaknem 130 évvel ezelőtt is látta – lásd Eisenlohr munkásságát –, de gyakorlati értékét mind a mai napig nem ismerte fel. A problémát az okozta, hogy hajdan volt kerekfejű tanáraink nem így számoltak. Az MMP 10-es feladatának kivételével más utat követtek. Mint láttuk, ennek az volt az oka, hogy a mai értelemben nem tudtak osztani, szorozni, négyzetre emelni, sőt összeadni és kivonni sem, csupán kétszerezésekből felállított számpárokkal dolgoztak. Részletes elemzéseink alkal195 196

Peet, op. cit., 23, No1 lábjegyzet. Borbola, op. cit., 98-102.

184

XI. A matematikai papiruszok közös vonásainak áttekintése

mával már kitértünk arra, hogy a fenti egyenletben szereplő műveletek elvégzése háromszori négyzetre emeléssel, valamint egy osztással és egy további szorzással járna. Helyette ennek rövidített változatát, az általunk „király-menet”-nek nevezett egyszerűbb módszert használták. A legtisztább számolási menetet az RMP 50-es feladata tartalmazza. Képletben kifejezve: Akör = (d - d/9)². Tisztán követhető ez a módszer az RMP 41-es, 42-es és 43-as példáiban is, de a szakirodalom számára itt már nem világos, hogy meddig tart a kör területének és hol kezdődik a térbeli idomnak számolása. Hasonlóan az MMP 10-es feladatához, a körmetszetű idom térfogatának számításánál összevonták az egyiptomi π értékét a keresett idom harmadik kiterjedésével. Ezek alapján megállapíthatjuk, hogy a szakirodalom eddig nem ismerte fel a kör ősi számolásának három alapvető törvényszerűségét, nevezetesen: 1. Négyzetre emelés nélkül a Nílus völgyében nem tudták a kör területét kiszámolni, továbbá… 2. a kör területének számítása a négyzetre emeléssel befejeződött, valamint… 3. minden további számolás már más irányú gondolatot takar (a harmadik kiterjedésre vonatkozik). Az MMP 10-es feladatában megismerkedtünk a d² = fejméret egységgel,197 ezután a kör területének eléréséhez már csak a (8/9)²-tel kellett ezt a számot megszorozni. Az így kapott 7 1/9 eredmény az egységkör területének tekinthető. Erre utal az RMP 43-as példája is, ahol Árpád Mására Született tanárunk eltér a szokásos 9 egységnyi alapkör átmérőjétől, és ezt az eltérést az MMP 10-es feladatából megismert egységkör segítségével dolgozza fel. Általános formában: 

2

8  d − 9   , ahol a 8/3 négyzete az egységkör 7 1/9-es eredményével 3  3 

Akör= 8 +  

azonos. Egyébként mindhárom általános képlet matematikailag azonos értékű, levezetését a Kahun töredék feldolgozásánál bemutattuk. A legtöbbet publikált, körrel foglalkozó feladat az RMP 50-es példája, melyben különösebb további utalások, korabeli megjegyzések nélkül a kör területének számolását tisztán követhetjük. Számolási menete – megítélésünk szerint ok nélkül – számos, már máshonnan ismert geometriai törvény eredeztetéséhez vezetett, sőt ezirányú tárgyalása napjainkban is folyik. Megállapíthatjuk, hogy napjaink tudósai elképzeléseikkel csupán a feltevés szintjén mozognak, mert pl. az ebben a példában „felfedezett” Pythagoras tétele a példában szereplő adatokból közvetlenül nem ve197

Borbola, op cit.,V/10/A.

185

Királykörök

zethető le. Egyébként a kör területének a négyzetből történő származtatásához megítélésünk szerint a 48-as példa is szükséges. Erről bővebben az 50-es példa feldolgozásánál már szóltunk. Az RMP 48-as feladata nem feladvány, csupán „segédlet’, az ősi varázsszám, a kör elengedhetetlen állandójának, a (8/9)²-nek a bemutatása. Munkánk során meghatároztuk a kör területéhez szükséges ősi állandókat is, a király-menethez elengedhetetlen 9-et, valamint a 8-at; ez utóbbit kellett négyzetre emelniük. Itt tért vissza az akkori π értékeként a (8/9)². Ha a szabványtól eltérő méretekkel kényszerültek számolni, ezt a módszert kiegészítették az egységnyi fejméretű, azaz a 3-as kör számolási adataival, lásd az MMP 10-es és az RMP 43-as feladatát. Rámutattunk arra is, hogy csak a magyar nyelvű olvasat segítségével sikerült a szöveges példákat megérteni, a helyes adatokat és számolási módszereket felismerni. Nyelvünk ismeretének hiányában a szakirodalom nem láthatta az előbb felsorolt törvényszerűségeket, nem ismerhette fel a tekercseken valóban szereplő idomok formáit, így az egyiptológusok helytelen fordításuk alapján nem juthattak helyes eredményre. Az ebből adódó eltéréseket az ősi írnokok tudatlanságára vezették vissza, miközben mind a mai napig fel sem merült bennük az a gondolat, hogy nem a Nílus-völgyi tanáraink számoltak rosszul, hanem napjaink „tudománya” bukott meg ezen a vizsgán.

C. Az idomok áttekintése Az MMP 10-es példájában szereplő idom formája a szakirodalom mai felfogása szerint egyértelműen nem állapítható meg. Ezirányú kísérletekről már a korábbi munkánk során beszámoltunk.198 Nem látják az előző fejezet 2. pontjában szereplő törvényszerűséget, valamint helytelen fordításuk nem adott lehetőséget az idom másik adatának felismerésére sem. Ezek után megállapítottuk, hogy a fent jelzett feladatban egy henger alakú kosár űrtartalmát számolta korabeli tanárunk. Az RMP 41-es és 42-es példáiban mesterünkkel együtt ismételten henger alakú idomot, szóhasználata szerint csűrt számoltunk, azzal a lényeges különbséggel, hogy itt már a henger méreteivel megadott másik lehetséges idom, a karcsú tároló űrtartalmát is bemutatta. Ennek formája mai elképzelésünk szerint valamilyen boglyához hasonlíthatott, amely metszetében szabályos parabolára emlékeztet. Űrtartalma a vele azonos méretekkel megadott hengernek csupán a fele. Tekintve, hogy tanárunk a magasságot a kezdő sorokban már meghatározta, arra a 198

Borbola, op. cit.

186

XI. A matematikai papiruszok közös vonásainak áttekintése

következtetésre jutottunk, hogy itt két azonos mérettel rendelkező, de külön álló idom össztérfogatáról beszélünk. Valószínűleg egymás mellett állt a henger és a vele azonos alapterületű és magasságú boglya. A közös űrtartalom számítása mégis némi kétségeket szült: elképzelhető, hogy a két idom nemcsak egymás mellett, hanem egymás felett is állt. Lehetségesnek tartjuk ebben az esetben azt, hogy a henger alakú rész a fölbe került, míg a kiálló, látható rész a boglya volt. Erre utal mindkét példában az így képezett összetett idom félmagassága. Szeretnénk megjegyezni, hogy mind a ‘vermes tárolót’, mind a felszíni formáit el-Amarna feltárása során a sivatag homokjából kiásták. Bővebben a Kahun töredék tárgyalásánál foglalkoztunk adataival.199 Az RMP 43-as példájában szintén valamilyen boglyafélét számolt tanárunk, de tekintve, hogy ez a karcsú boglya erősen hasonlított a félgömbhöz, tanácsosnak látta először a szabályos idom térfogatának számítását, majd megjegyezte, hogy az előző példák mintájára ez a félgömb is kicsit karcsú. Tekintve, hogy a további példákban – a többi között az RMP 49-es példájában –, hajdan volt tanárunk szögletes alapú csűrök térfogatát is bemutatja arra a következtetésre jutottunk, hogy a fenti példákban szereplő három csűrforma, nevezetesen a henger alakú siló, a karcsú, zárt tetejű boglya, valamint a félgömb alakú tároló a korabeli csűrök változatos formáit és térfogatának számolását hivatott bemutatni. Ezzel egyidejűleg elvetettük a szakirodalom által bevezetett különböző mértékegységek közötti átváltás elméletét, valamint a vélt khar és ró mértékegységet is. Szorosan összefügg ezzel a Kahun papirusz két oszlopa. Peet még ma is érvényben lévő megállapítása ezt a számolási módszert azonosítja a köb-könyök méretben megadott henger térfogatának közvetlen khar egységű átszámolásával. Ezt a ‘sémát’ húzta rá az RMP 43-as példájára, miközben az ebből adódó nyilvánvaló matematikai eltérésekért a másolókat hibáztatta. A Kahun töredék oszlopai mellett egyébként nem szerepel szöveg, így az eljárás nevét képező khar ‘mértékegységet’ Peet az RMP példáiból kölcsönözte. Az RMP példáinak magyar olvasatából arra a következtetésre jutottunk, hogy a Kahun oszlopok a valóságban valami mást takarnak. Rámutattunk arra, hogy az összetett csűr térfogatának átszámítását tartalmazza egy másik, szögletes alaprajzú idomra. Erről állapítottuk meg, hogy nagy valószínűséggel szabályos gúlához, azaz piramishoz hasonlítható. Más szóval nem a szakirodalom által kanonizált mértékegységek közötti átváltást tartalmazzák ezek az oszlopok, hanem az összetett körmetszetű csűr térfogatának egyszerűbb, π nélküli kifejezéséről van szó. Az így kapott piramis további gondolatokat ébresztett.

199

Lásd még a Függelékben is.

187

Királykörök

Felmerült az a kérdés, hogy mint alapidomot ezt tekinthetjük-e az akkori idők legegyszerűbbjének? A meghatározásához csupán egy méret, alapjának egyik oldala elégséges, mert az így kapott négyzetre emelt piramis magassága is ezzel a mérettel azonos. Űrtartalma viszont a vele azonos méretű kockának csupán a harmada. Mint alapidom, természetesen a kocka is számításba jöhetne, de érdekes módon erre sehol sincs utalás.

D. A példákban használt mértékegységekről Ezen a téren hatalmas zűrzavar uralkodik. A szakirodalom állítása szerint a példák hosszmértéke a könyök volna, így a térfogatszámolás eredményét köb-könyökben kapjuk. Lásd Robins and Shutte: „The basic unit of lengths in the RMP is the royal cubit, corresponding to about 52,5cm and subdivided into 7 palms of 7,5 cm, each of which is further divided into 4 fingers of 1,875 cm”200 A 41-es, 42-es és 43-as, valamint a Kahun példa esetében ezt a köb-könyököt számolná át – egyébként rosszul – hajdan volt tanárunk kharba, illetve az egészen kicsi méretű róra. Az 50es példában egyiptológusaink a nyilvánvaló khet hosszmértékkel számolnak, míg a 48-as feladatról megoszlanak a vélemények, egyesek azt állítják, hogy ott is hosszmértékkel kellene számolnunk.201. Mások rögtön területegységre gondolnak, utalunk itt Peet blokk-elméletére.202 Olvasatunk alapján azt tapasztaltuk, hogy sem a könyök, sem a khar, de a ró egység sem szerepel példáinkban. A khet, illetve olvasatunk szerint kötél mértékegység viszont szerintünk is valósnak látszik. A továbbiakban más űrméretekkel igenis találkoztunk, így a részletes tárgyalás során kitértünk a mérő és a bödön fogalmára is. A hosszméretek esetében a láb, esetleg a kőláb jelenlétét feltételezhetjük. Szeretnénk hangsúlyozni, hogy az általunk vizsgált példákban a szakirodalom könyök mértékegységét sehol sem láthatjuk! Jelenléte közvetlenül nem bizonyítható, így ez az állítás nem több, mint puszta feltevés. A szakirodalom mégis ezzel a mértékegységgel számol. Tekintve, hogy az egyiptológusok a khet nagyságát is a ‘király-könyökből’ vezetik le, úgy éreztük, hogy a könyök, mint hosszméret alaposabb figyelmet érdemel.

200

Robins and Shute, op cit.,13. ‘Az RMP alaphosszúság mértéke a király-könyök, nagyjából 52,5 cmnek felel meg, felosztható 7 tenyérre, mindegyik 7,5 cm, mindegyik tenyér tovább osztható 4 1,875 cmes ujjra.’ 201 Lásd Eisenlohr munkásságát 202 Peet, op cit., 88.

188

XI. A matematikai papiruszok közös vonásainak áttekintése

1. A KÖNYÖK Ezt a kitérőt csupán a szakirodalom ezirányú állításainak tárgyilagos megítélése érdekében tesszük, s az alábbi adatokat a teljesség igénye nélkül közöljük. Ismereteinket Elke Roik203 napjainkban megjelent összefoglalásával egészítettük ki. Vizsgálódásainkat érdemes Lepsius mindmáig érvényben lévő meghatározásával kezdeni. 1. Königliche Elle (Elle – 52) ca 52,500 cm = 7 Hände = 28 Finger 2. Kleinere Elle (Elle – 45) ca 45,000 cm = 6 Hände = 24 Finger Eszerint két könyökmérettel kellene számolnunk, de a szakirodalom a kisebbik könyök nagyságát a király-könyök méretébe olvasztotta be, amint Roik írja: „Die sogenannte Kleine Elle von 0.45 m wird heute nur noch als Unterabteilung der Königlichen Elle und nicht mehr als eigenständiges Maß betrachtet.”204 Nos, ezek után foglalkozzunk mi is a sokkal elterjedtebb király-könyökkel. Roik német precizitással látott munkához, amikor a forgalomban lévő könyök méreteket egymás mellé helyezte. Hihetünk felsorolásának, mert J. Newton-tól kezdve E.F. Jomard, R. Howard, Ch. Smyth, A. Böckh-F. Hultsch, R. Lepsius és W.M.F. Petrie méréseit pontos helymegjelöléssel, adatolással közölte.205 Néhány részletete minket is érdekelhet. Elsőként Smyth gondolata kívánkozik ide: „Smyth glaubte, wie Newton, zwei Maßeinheiten an der Cheopspyramide feststellen zu können: • eine Elle mit 0.525 m für unbedeutende Bauteile, • eine Elle mit 0.635 m als sog. Pyramidenelle.“206 Petrie viszont 1880-ban kivételes pontossággal elvégzett mérései alapján cáfolja a piramis-könyök elméletet, és megállapítja: „Dagegen bestätigt er, daß die Königliche Elle mit 0.525 m als Maßeinheit der Pyramiden gelten muß, da die Königskammer in ganzen Einheiten dieser Elle angelegt scheint.”207 203

Roik, Das Längenmaßsystem im alten Ägypten, (Hamburg, 1993). Gesamtherstellung: ChristianRosenkreutz-Verlag, Printed in Germany, ISBN 3-929322-00-5. 204 Roik, op. cit., 14, A/2: ‘Az úgynevezett 0,45 m-es kis-könyök nem tekinthető önálló méretnek, ma már csupán a király-könyök részeként fogjuk fel.’ 205 Roik, op. cit., 20. 206 Roik, op. cit., 19: ‘Smyth Newtonhoz hasonlóan úgy vélte, hogy a Kheopsz piramis két mérettel is rendelkezik: 1) a 0,525 m-es könyökkel, a kevésbé lényeges épületrészeknél, és 2) a 0.635 m-es könyökkel, amelyet piramis-könyöknek nevezett el.’ 207 Roik, op. cit., 19-20: ‘Ezzel szemben (Newton) azon a véleményen van, hogy a piramosoknál érvényes méretnek a 0,525 m-es király-könyök tekinthető, mert úgy tűnik, hogy a sírkamra méretei ennek egész számú többszöröseiben fejezhetők ki.’ Az egyébként nagyon pontos méréseiről ismert W.M.F. Petrie itt tévedett, mert a sírkamra hosszmérete csupán 10,45 m, ami nem osztható maradék nélkül 0,525-tel: 10, 45 : 0,525 = 19,9.

189

Királykörök

Kiindulási mérete tehát a Kheopsz piramis sírkamrája volt, 5,25 m × 10,45 m, és feltételezte, hogy ezek az adatok valamilyen egység egészszámú többszörösei: 10 × 0,525 m = 5,25 m. Így születetett meg az egyiptológia számára az 52,5 cm-es király-könyök méret. Volt azért némi ellentmondás itt is. Említsük meg a fontosabbakat: 1) Petrie későbbi ásatásai során előkerült három fából készült mérőrúd – ma a Kairói Múzeum birtokában –, melyek nagyságukat tekintve jócskán eltérnek a könyök méretétől. A Kahun I lelet 25.67 inches = 65,2 cm, Kahun II 26,43 inches = 67,13 cm. Deshasheh 26,15 inches = 66,421 cm. Petrie ezek után újabb magyarázattal szolgált, elképzelése szerint Egyiptomban másik hosszméret is létezhetett, amelyet idegenek hoztak magukkal. Mindezt az is alátámasztani látszik, hogy a Kheopsz piramis kőrétegei különböző méretűek, valamint csupán kis részük vezethető le a király-könyök egységből. Ennek mintha ellentmondana a Torinóban őrzött ún. Osoroeris méret, azaz az öt mérőrúd, melyekből az egyik a bronz, a másik a bazalt könyök néven vált ismertté (Torino 6349). Átlagos méretük 52 cm, és három oldalukon másmás méretbeosztást tartalmaznak.208 Szépséghibájuk, hogy ezek a beosztások sem vezethetők vissza a hetes rendszerre, és csupán a XXII. dinasztiától adatolhatók. Tekintve, hogy a görögök is ezt a méretet vették át, a későbbiekben ez terjedt el a köztudatban. 2) Roik gyűjteményében209 újabb táblázat foglalja össze azokat a leleteket, amelyek nem azonosíthatók a király-könyök mérettel. Feltűnő, hogy a többi között Petrie és Skinner abüdoszi méretei 0,6383 és 0,6385 méteresek. 3) Az összefoglalás M/1-es fejezetének első mondata210: „Die Königselle kann über die Funde von Ellenstäben frühestens in die Amarnazeit und über Texte in die Zeit des Übergangs vom MR zur Hyksoszeiet datiert werden. Es gibt keinen Beleg, daß die Elle des Palermosteins und die Elle von der Kapelle Sesostris I in Karnak aus dem MR die Länge einer Königliches Elle hatten.” Más szóval nincs jogunk azt feltételezni, hogy a nevezett mérőrudak az Amarna korszak (1352-1333), illetve a hükszosz átmeneti korszak előtt is érvényben lettek volna, így sem a Palermo kő, sem Sesostris I karnaki templomának középbirodalmi méretei nem lehettek király-könyök egységűek. 4) Roik megjegyzése211 végül is a helyére teszi a király-könyököt: „Da die Maßeinheit „Königliche Ellen” erst nach dem MR-Hyksoszeit belegt ist, ihr Nachweis an Bauten nicht gesichert ist und an Einzeldenkmäler ganz fehlt, kann sie nicht als das altägyptische Längemaß der Frühzeit gelten. Ihre Bedeutung ist geringer anzusetzen als bisher angenommen wurde”. ‘Tekintve, 208

Az ábrák a Függelék XII. Mérőrudak alatt találhatók. Roik, op. cit., 23. 210 Roik, op. cit., 385. 211 Roik, op. cit., 386. 209

190

XI. A matematikai papiruszok közös vonásainak áttekintése

hogy a király-könyök méret először a hükszoszok után adatolható, valamint más épülteken, emlékműveken nem mérhető, hiányzik, nem tekinthetjük a kora-egyiptomi idők mértékegységének. Jelentősége így jóval kisebb, mint azt eddig gondoltuk.’ Mint az ezek után várható, Roik megállapítása a szakirodalom hasábjain számos kritikát kapott. 5) A korábbi időkben a király-könyök helyett a Nbi mérettel találkozunk. Nagysága kb. 65 cm-re tehető. Hieroglifás átírása alapján a nagyon valószí.212 nű Nya-LÁB-(O-L) olvasattal azonosítható. Lásd Hannig: Ha a 65 cm-t 1 Nbi-nek nevezzük, akkor a szokásos felezéssel 1/8 Nbi = 8,12 cm-rel azonos (ez egy tenyér). Ezt tekinti a mai szakirodalom egy Enek, alapegységnek. Ebből kiszámolható, hogy a 6 E nagyság 48,75 cm-rel lenne egyenlő, nagyjából azonos lehetne a kis könyök méretével. Roik többek között213 a következőket írja: 3) „Die Belegbeispiele zeigen, daß das Nbj-Maßsystem von Reichseinigungszeit, Stele des Wadji, bis hin in die römische Zeit, Tempel von Kalabscha, vom Delta bis zum nubischen Raum das allgemeine ägyptische Längemaß war.4)…Das System der Königlichen Elle, das auf Ritualstäben aus Grabbeigaben begründet ist, muß eine Bedeutung in Religion und Totenkult haben, die aber noch untersucht werden muß”. Tehát a szerző szerint a Nílus völgyében széltében-hosszában, valamint a kezdettől az összeomlásig mindenütt ez a méret volt érvényben. A király-könyök viszont valószínűleg temetkezési, kultikus méret lehetett, amelynek a vizsgálata további kutatást igényel. 6) A két rendszer között gyakorlatilag nehéz összefüggést találni. A könyökrendszerből levezetett, hetes rendszerű tenyér mérete 7,14 cm, a nyalábméretből viszont 8,12 cm-t kapunk. Ha az akkori ésszel gondolkodunk, akkor is csak megközelítésében azonosítható a két rendszer, mert 5/4 királykönyök = 5 × 13.07 = 65,35 cm. Viszont ha abból indulunk ki, hogy a királykönyök méret csupán későbbi egység, akkor a Kheopsz piramis kamrája miért 5,25 m széles? Vagy lehetséges lenne az, hogy 10 király-könyök = 8 nyalábbal, azaz 10 × 0,525 = 8 × 0,65-tel azonos? Nos, ez sem egészen állja meg a helyét, mert 8 × 0,65 = 5,2-vel (5 cm-rel rövidebb). Ennek a kétszerese viszont ugyanennek a sírkamrának már majdnem a pontos hosszát adja: 16 nyaláb, azaz 16 × 0,65 = 10,4 m. (Petrie mérése szerint ez a méret 10,45 m, tehát itt is 5 cm az eltérés.) Ezek alapján némi tűréssel a király-könyök mérete a piramisépítők idejéből kiiktatható lenne. Szeretnénk hangsúlyozni, hogy a fenti számolás alapja a 65 cm-es nyaláb-egység volt. Az abüdoszi 0,6383 m ennél valamivel kisebb, illetve mások, mint azt már korábban láttuk, valamivel nagyobbak. 212 213

Hannig, op. cit., 1285. Roik, op. cit., 392, M/7.

191

Királykörök

7) Felmerült az a kérdés is, hogy ha az ókor embere a használt mértékeit valóban testének méreteiből kölcsönözte, akkor miért ‘kínlódott’ az esetlen könyök mérettel, miért nem inkább a még ma is használatos arasz mérettel számolt? Nos, mekkora is az arasz? Lehet 20-22 cm? Mekkora a nyaláb? Talán 3 arasz ! 8) Az arasz minden esetre kisebb, mint a láb, melynek valós átlagmérete 25 – 32 cm. Petrie képzeletében a Nbi = kettős láb, melyek egyike legalábbis 32,5 cm lábméretet feltételez. Ezt nevezték északi lábnak. 9) Csupán az összehasonlítás kedvéért mellékeljük az ősi magyar hosszméreteket: 1 öl = 1, 9 m214 1 öl = 6 láb 1 láb = 12 hüvelyk 1 hüvelyk = 12 vonal 1 négyszögöl= 3,6 m² Ha az 1 Nbi-t/nyalábot elfogadjuk a Petrie által Abüdoszban mért 0,638 m-nek, akkor 3 nyaláb = 3 × 0,638 m = 1,91 m ≈ 1 öl (egyelőre tekintsük véletlennek). Mindezek után legalább is kérdéses, hogy az RMP általános mérete a királykönyök, azaz 52,5 cm lenne. Sőt! Ha hiszünk az RMP (eddig) utolsó feldolgozóinak, Robins és Shute-nek Conclusions: „How far back does that knowledge go? On the evidence of the copyist Ahmose, the RMP reproduces material current in the Middle Kingdom, but its origins must date back to Old Kingdom days, at least to the age of the stone pyramid-builders if not before”215, akkor a papiruszon szereplő példák eredetét visszahelyezhetjük a piramisépítők idejére, esetleg még korábbra is. Ebben az időben viszont Roik szerint valószínűleg még nem számoltak könyökben. Nos, ezek után mi az igazság? Válaszunk egyszerű, (még) nem tudjuk. A fentiek alapján lehetetlen eldönteni. Valószínűnek látszik, hogy idézett szerző véleménye elfogadható, és nem a könyök, hanem a nyaláb volt általános a Nílus völgyében. Sajnos, ez az egység sem ad választ minden kérdésre. Elképzelhető, hogy valóban több hosszegység is létezett egy időben. Ha logikusan gondolkodunk, testméreteink nem minden esetben számolhatók át. A könyök is létező méret volt, ezt bizonyítják a mérőrudak, ezzel szemben a keltezése túl önkényes. Az RMP könyök 214 215

Pontosabban : 1896,48 mm Robins and Shute, op. cit., 18: ‘Milyen messze nyúlik vissza ez a tudás? Nyilvánvaló, hogy a másoló Ahmoze ideje az RMP-ben szereplő ismeretek alapján a Középbirodalomra tehető, de az alapul szolgáló eredetije az Óbirodalom napjaihoz vezet vissza, végül is ebben a korban éltek a kőpiramisok építői, (sőt) esetleg még korábbra is.’

192

XI. A matematikai papiruszok közös vonásainak áttekintése

jeleinek hieroglifás átírása

mHa egyáltalán nem meggyőző, számunkra a MeG-

AD olvasattal azonos. A csupasz vagy jelek viszont törteket jelentenek, 216 értékük 1/2. (Lásd az RMP 54-59-es feladatait.) Megítélésünk szerint a szakirodalom által általánosan használt könyök mérete az RMP tekercs esetében nem tekinthető bizonyítottnak, létezése számunkra még a feltételezés szintjét sem közelíti meg. Idomok űrtartalmát köb-könyökben számolni, majd ezt újabb mértékegységekbe átváltani a mértékegységek utáni görcsös kutatás önkényes eredményének tekinthető. A könyök és a nyaláb kutatását természetesen ezzel még távolról sem zártuk le. A már birtokunkban lévő adatok kiegészítéséhez, megnyugtató válasz formálásához még számos hasonló tekercs olvasatát tartjuk szükségesnek.

2. Nbi Az RMP példáinak vizsgálata során megállapítottuk, hogy a példák túlnyomó többségéből hiányzik a hosszméret. Tekintve, hogy írnokunk bevezető soraiban nem szabott meg az egész tekercsre érvényes nagyságokat, arra a következtetésre jutottunk, hogy a fizikai tulajdonságokkal rendelkező méreteket a Nílus völgyében szükségszerűen azonos, mindenki számára általánosan ismert egységben lehetett kifejezni. Ilyen körülmények között valóban felesleges lett volna minden alkalommal ismétlésekbe bocsátkozni. Következésképpen felmerült a kérdés, hogy melyik mértékegység volt ez az általános hosszméret, és vajon mai méreteinkben mérve mekkora lehetett. Valóban általánosan ismert volt-e, és fellelhető-e a ránk maradt épületek, tárgyak, stb. között? Nos, a válasz készen áll. Roik már korábban is megismert könyvében a következő válasszal szolgált: 3) „Die Belegbeispiele zeigen, daβ das Nbj-Maßsystem von Reichseinigungszeit, Stele des Wadji, bis hin in die römische Zeit, Tempel von Kalabscha, vom Delta bis zum nubischen Raum das allgemeine ägyptische Längemaß war… 4) Das System der Königlichen Elle, das auf Ritualstäben aus Grabbeigaben begründet ist, muß eine Bedeutung in Religion und Totenkult haben, die aber noch untersucht werden muβ.”217 Tehát a szerző részben már korábban is 216

Ez a jel a szakirodalom szerint is a teljes kart a vállal együtt ábrázolja, így a könyök kétszeresének tekinthető. 217 Roik, op. cit., 392, M/7: ’A mellékelt adatok azt mutatják, hogy a Nbi-méret a birodalom egyesítésének idejétől, a Wadji Stele-től egészen a római időkig (lásd a kalabsai templomot), a deltától a núbiai területekig az általános egyiptomi hosszméret volt. 4) A király-könyök rendszernek, amit a sírokból előkerült „mérőrudakra” alapoztak, csupán a hit és a halotti kultusz esetében lehetett jelentősége, de ez további vizsgálatra szorul.’

193

Királykörök

idézett szavai szerint a Nílus völgyében széltében-hosszában, valamint a kezdettől az összeomlásig mindenütt a Nbi-méret volt érvényben. Adósak maradtunk a Nbi-méret pontosabb meghatározásával. Az egyiptológia szerint az ősi kultúra legalábbis két alapmérettel számolt. • A király-könyök mérete 52,5 cm • A Nbi méret ± 65 cm. „Zusammenstellung einer Anzahl von Maßangaben, die mit dem Ellensystem nicht in Übereinstimmung zu bringen sind:218 W.M. Fl. Petrie: Maβ von Abydos

G. Daressy:

F.G. Skinner:

Meβstab Kahun I, MR219 Meβsβtab Kahun II, MR Meβstab Deshasheh, NR220 Meβstab Kalksteinplatte Ptol. Röm. Nilometer Kom el Giseh

: 0.6383 m (Weights and Maesures, BSAE 39, 1926, 38f) : 0,6520 m : 0,6713 m : 0, 6642 m : 0,6832 m : 0.57–0.58 m : 0,65 –67 m (Le Nilometre de Kom el Giseh, in ASAE 1 1900, 91f; vgl B3) 0, 6385 m (Das Maβ von Abydos,Wandmaß;Weightsand, Measures, London 1967, 44) ”

A felsorolt adatok közös vonásaként megállapíthatjuk, hogy a Nílus-völgyi kultúra 4000 ezer éve alatt (?) használt Nbi méret a szakirodalom szerint átlagosan 6568 cm-re tehető. Csupán az Abüdoszban mért két adat, a 0,6383 m és 0,6385 m mondható kisebbnek és egyúttal csaknem azonosnak. Valószínű, hogy a kezdeti méret az évezredek során időben és térben lassan megváltozott, így az Abüdoszban mért korai 0,6383 m-es egység a Ptolemaioszok idejére 0,6832 m-re duzzadt. Csaknem 5 cm a növekedés. (Egyébként tisztán számításos módszerrel J. Newton /1643-1727/ a Kheopsz piramis sírkamrájának méreteit vizsgálva a többi között

218

Roik, op. cit., 23: ‘Néhány olyan méret felsorolása, amelyek a könyök rendszerrel nem egyeztethetők össze’. 219 ‘Középbirodalom’ 220 ‘Újbirodalom’

194

XI. A matematikai papiruszok közös vonásainak áttekintése

0,635 m-es eredményre jutott, követője Ch.P. Smyth /1864-ben/ mérései alapján megerősítette a 0,635 métert.)221 A továbbiakban felmerült annak a lehetősége is, hogy ez a méret az egyiptomi kultúra után is tovább élt. Mint azt a felsorolásból megfigyelhettük, még a római időkben is ismert mértékegység volt. Roik fent említett könyvében megállapította, hogy ez a mértékrendszer a dór számolási rendszerrel vonható párhuzamba.222 Valóban, az oszlopokon látható 16 barázda négyszerese a 64-es egységhez vezet. Kérdés, hogy hol, mikor és melyik nép őrizte meg, esetleg csupán részleteiben, ezt az ismeretet.

3. A Nbi egység magyar olvasata Gardiner,223 Meassures of capacity and length: A much less often mentioned linear measure is the cubit.

, nbiw ‘nebiu’ lit. ‘pole’, perhaps equal to 1 ¼ or 1 1/3

Később a továbbiakkal egészítette ki: nbi, pole ; nbiw, a linear measure larger than 1 cubit.224

nbA, var.

Mindhárom írásmód nem lehet helyes, legalább is egyazon időben és helyen nehezen elképzelhető (lásd MR). Közös vonásukként a melyek az ‘N’ és ‘LáB’ hangokat jelölik.

jeleket emelhetjük ki,

Magyar hangzósítása több irányba vezet: • Ha az ‘N’ jelet mássalhangzónak vesszük: Ni – LÁB. • Ha az ‘N’ jelet számnévnek olvassuk: NÉGY-LáB (esetleg ujj). • Ha az ‘N’ jelet számnévnek olvassuk, valamint a ‘LáB’ jelet a hivatalos ‘B’ hangnak tekintjük, sőt a jel után gyakran szereplő ‘J’ hangot is az előzőekkel összeolvassuk, akkor a Nbi csont hangzósítása NÉGY-BoLY is lehet. • A ‘B-P’ zöngétlenítés irányába haladva N – LéP olvasat is szóban kerülhet, ahol a lépés hossza 63,83 cm valós méret lenne. Ebben az esetben az ‘N’ jel olvasata bizonytalan. (Négy LéP-ése) • Lehetséges az N(agy) – aLaP, esetleg a Négy – LaP hangzósítás is, értelmét tekintve azonban ez távol esik az ismert hosszméretektől. 221

Roik, op. cit., 20. Roik, op. cit., 391. 223 Gardiner, op. cit., 199, § 266. 224 Gardiner, op. cit., 573, 222

195

Királykörök

A NÉGY-BOLY olvasat elemzéséhez nagyfokú alaposság, gondos, körültekintő mérlegelés szükséges. Mielőtt nekivágnánk tárgyalásának, egyeztetni illik írásmódját, méretét, adatait. Peet hosszméretei között nem szerepel, számára csak úgy, mint Griffith-nél, a könyök méret volt a mérvadó. Hannig,225 Maβe und Gewichte viszont jegyzi ezt a méretet is: „ 1 Nbi (Naubion, pl. Naubia) = cc. 65 cm”.226 A ‘Toponyme’ fejezetében ismét feltünteti a Nbj (Nebi), illetve az ezzel azonos hangzású Nby (Neby) helységeket. Közelebbi helymeghatározással nem szolgál. Megállapíthatjuk, hogy a fent tárgyalt írásmód a Nbi vázhoz vezet. Felmerült a kérdés, hogy a

jelet miért olvassuk egyszerűen ‘b’-nek és miért nem elégedünk

hieroglifa után sehol meg a korábbi LáB hangzósítással. Ha megvizsgáljuk a sem áll az ID jele, nem teljes szó, így a szabály szerint olvasásakor csupán mássalhangzós vázával szerepel. Esetünkben: FON. Érdekes módon a szakirodalom az utána következő jelet – Hannig ‘Naubion’ meghatározásától eltekintve – külön sehol sem hangzósítja. Hivatalosan hangértéke ‘w’ volna, de itt az egyiptológiából száműzött ‘o’ hangnak olvashatjuk. A követő jelről már megállapítottuk, hogy ‘i/j’ hangnak felel meg. A fonetikus B – O – J/Y olvasatunk így szabályos. Kérdéses a továbbiakban az is, hogy milyen alapon olvassuk az egyébként ‘N’-nek látszó jelet 4-nek. A 4 hieratikus jele a függőleges vonalak helyett számtalanszor csak egy vízszintes vonal volt. A negyven esetében megkülönböztetésül még egy nagyobb pont is került föléje. További kérdés lehet, hogy miért nem olvassuk össze ezt a jelet az alatta látható ‘b’ hanggal. Nos, erre csak közvetett választ adhatunk. Elképzelésünk szerint, ha írnokunk az első két jelet egy szóba akarta volna tömöríteni, akjelet használja. Egy jellel kevesebbet kellett volna kor a sokkal ‘olcsóbb’ ‘nb’ írnia. Ha viszont két szóra gondolt, tehát: xNx(?) – BOLY, akkor miért írta egymás alá ezt a két jelet? Az egyik valószínű magyarázat szerint az ‘n’ itt nem hangértékével szereplő jel, hanem számnév. Írjuk le: 4. Ezek alapján az egyébként csábító Nya-LáB olvasat helytelen. Formai elemzése után érdemes a jelentésével is közelebbről megismerkedni. A NÉGY jelentése világos, a kérdés csupán az, hogy vajon a BOLY mekkora lehetett, mert ebből pontosan négy áll rendelkezésünkre. Ha a TESZ elemzését vizsgáljuk, akkor a következő sorokkal kell számolnunk: TESZ I, 335. oldal: „boly 1235; Vitatott eredetű. – 1. Hangfestő szó; azonos a nyugtalan mozgást kifejező 225 226

Hannig, op. cit.,1285. Hannig, op. cit., 1353, Toponyme.

196

XI. A matematikai papiruszok közös vonásainak áttekintése

bolyong, bolydul stb. szócsalád alapszavával. Eredeti jelentése egy ‘nyüzsgő együttes’-féle lehetett, amelyből a ‘hangyaboly’ jelentés jól érthető.” Szabadon értelmezve olyan egység, amely több mozgó részből áll. Nos, mekkora a BOLY ? A boly a TESZ szerint is összetett egységnek fogható fel. Lehet-e pl. 4 × 4? A válasz matematikai oldala természetesen tiszta, a kérdés csupán az, hogy miért a négyes egységből indulunk ki. Ehhez a gondolathoz a vizsgált mértékegység nevében szereplő négyes számot vettük alapul. 1 × 4 × 4 × 4. Miért négy az indulás? Az indulás tulajdonképpen nem négy, hanem egy. Ő, a Teremtőnk, az Egység, a Teljesség. Az ősi sumér hitvilágban AN. A szakirodalom szerint a lélek – EN-LIL – a fia, akinek földi megtestesítője EN-KI. A teremtő Anya neve NIN-HURSAG. Ez az N-EGY alkotja a négyes egységet. A felsorolt olvasatok közül a helyes út eddigi ismereteink alapján még eldönthetetlen, egyelőre a TESZ II 1034. oldalán adatolt nyaláb olvasat tűnik a leghitelesebbnek: „nyaláb 1326: ? …Nyalab…, 1327: ? Nalaab… 4.) 1803 ‘Az emberi test kerülete a törzsnél. Bizonytalan eredetű. Talán származékszó, s feltehető ‘összesség, csomó, köteg’ jelentésű * nyal- alapszava ősi örökség lehet az ugor korból”. A ‘nyaláb’ olvasat tehát további kutatást igényel. Ezt a számsort természetesen fizikai egységek nélkül már az ősidőkben is ismerhették. A kérdés mégis az, hogy ha a Négy BOLY egységre gondolunk, azaz 4 × 4 = 16–os számokra, akkor ez fizikai kiterjedésében miért egyezik meg az Abydosban mért, metrikus egységekben kifejezett 64 cm-rel? Lehet ismét a véletlen műve? Érdekes egybeesés! Tegyük fel kereken a kérdést: ismerhették-e a Nílus völgyében a métert? Ha a fenti levezetésre építünk, akkor ezzel a lehetőséggel számolnunk kell. Először is honnan származik a méter szó? Bizonyára visszavezethető a MATER, azaz az anya jelentésű latin szóra, valamint a görög µέτςσυ ‘mérték’ (TESZ II 910 oldal) jelentésre is, de hová vezet a további vonal?

197

Királykörök

4. A MÉTER Jogos az a feltevés, hogy aki a láb, mint hosszmérték, a π vagy annak egyiptomi változata, mint szorzószám és a körkerület számításához szükséges képlet birtokában van, az ismeri a métert is! Szeretnénk nyomatékosan kiemelni, hogy a fenti mondat leírásakor csupán sejtésünknek adtunk hangot, az alább látható logikai, geometriai levezetések ellenére feltevésünk igazolására közvetlen bizonyítékkal nem rendelkezünk. Talán a legegyszerűbb, ha megismerkedünk a nemzetközi hosszegység, a méter hivatalos születésének körülményeivel. A Francia Nemzetgyűlés 1799-ben hozott határozata értelmében: „A méter a Párizson keresztülmenő meridián kvadráns tízmilliomod része.” A közismert platina-iridiumból készült ‘ősméter’ a fejlődő természettudományok számára nem volt elég pontos. Először a Cadmium vörös vonalával,227 később a Kripton 86 izotóp narancsvörös vonalán keresztül próbálták a métert pontosabban definiálni (1927–1960). Többszöri változtatás után 1983 óta a ma is érvényben lévő meghatározás a következőképpen hangzik: „Egy méter definíciószerűen (és törvényesen) az a távolság, amelyet a fény 1/299 792 458 másodperc alatt fut be”.228 (A legújabb feltevések szerint a fény sebessége sem állandó). Nos, a fentiekből kiderül, hogy a méter hivatalosan csak 1799 óta ismeretes. Mi volt korábbi szerepe, nagysága, neve stb.? Volt-e egyáltalán ilyen egység? A méter után nyomozva térjünk vissza a fáraók korába. A matematikai papiruszok vizsgálatakor a kör ősi területszámolása mellett hiányoltuk a kör kerületével foglalkozó példákat. Kezdetben érthetetlen volt, hogy bonyolult kör alakú idomok területének, űrtartalmának számításai mellett miért nem találkozunk az egyszerűbb, logikailag mégis hiányzó kerületszámítással. A kör át8 9

2

mérője, valamint a   ismeretében játékos könnyedséggel meghatározhatták vol8 9

2

na a kör kerületét is. K = d × 4   . Ennek az ősi írásokon sehol semmi nyoma! Miért? A válasz talán egyszerűbb, mint gondolnánk. Az eddigiekben tapasztaltuk, hogy a Nílus völgyében ismerték a csonka gúla térfogatának megoldó képletét (MMP 14-es feladata), továbbá ismerték a kör területének és a félgömb űrtartalmának számítását is (RMP 43-as feladata). Sőt, a példákra hivatkozva megállapíthatjuk azt is, hogy számos síkidom területének meghatározása mellett összetett idomokkal is 227 228

Michelson, Fabry és Pérot, 1923. Simonyi, A fizika kultúrtörténete a kezdetektől 1990-ig (Budapest, 1998), 428.

198

XI. A matematikai papiruszok közös vonásainak áttekintése

tudtak számolni (RMP 41-es feladata és a Kahun töredék). Elképzelhető-e ezek után, hogy csak a kör kerületének egyszerű számítása hiányzott képleteik arzenáljából? Nem, itt egészen másról lehet szó. Nem szabad lebecsülnünk őseink ismereteit. Sőt! A kör kerületének meghatározását kopasz tanáraink minden bizonnyal ismerték, mi több, feltevésünk szerint nem is kellet kiszámolniuk. Egyszerűen nem volt rá szükségük. Vegyük sorba a logikus feltevéseket: Aki ismerte a 31,5 cm-es N-láb értékét, valamint ki tudta számítani az ezzel az átmérővel rajzolt kör kerületét, az ismerte a métert is: 8 9

2

d × 4   = 31,5 × 3,1605 = 99,556 ≈ 100. (Az egységeket egyelőre szándékosan nem jelöltük, mert nem ismerjük a méter akkori megnevezését. Egyébként nagyon gyanús a példáinkban is szereplő jel, esetleg az ‘öv’ olvasattal.) Ezek alapján, ha 1 láb átmérőjű kört rajzoltak, akkor kerületét 1 (méter) újabb egységben határozták meg. Két láb esetében 2 (méteres) kerülettel számolhattak, vagy pl. 16 lábas átmérő esetén 16 (méter) volt a kérdéses kör kerülete. (Ezek az értékek csupán kitűnő megközelítések, csakúgy, mint a 3,1605-es ősi érték viszonyul a mai π-hez (3,141592…). A 63,00 cm (Nbi) × 3,1605 = 199,11cm ≈ 200 cm; 16 × 31,5 cm × 3,1605 = 1592,89 cm = 15,92 m ≈ 16 m, stb.) A Nílus-völgyi gondolkodó számára tehát a két mértékegység számszerűségében (az egyszerűség kedvéért nevezzük ezentúl lábnak és méternek) a körkerület meghatározásakor azonos volt. Ahány láb az átmérő, annyi méter a vizsgált kör kerülete. Elképzelésünk szerint így nem kellett a mai értelemben vett π-vel minden alkalommal szorozniuk. Ki tudja? Talán kezdetben nem is ismerték ezt a szorzószámot! Ebben az esetben szükségszerűen kénytelenek voltak hosszúságaikat két mértékegységben kifejezni… Furcsa gondolat. Felfoghatjuk úgy is, hogy minden 31,5 cm-es lábméretű embertársunk (csaknem) 1 méter kerületű körökben jár. Ha elméletben a kör nagyságát a közvetlen érzékelhetőség határán túlra növeljük, akkor a kör kerülete érzékszerveink előtt elveszíti görbült jellegét. Így születhetett meg 1799-ben a testünk méreteitől idegen első hosszegység, a méter.229 229

Korábban már említettük, hogy Eratoszthenész (kb. i.e. 275–195), a cirénei születésű polihisztor, az Alexandriai Múzeum könyvtárosa már i.e. 235 körül nagy pontossággal kiszámolta a Föld kerületét, sőt feltételezte azt is, hogy a Nagy Óceánt egy további földrész két részre osztja. Eredményeit később elhanyagolták. Lehetséges lenne az, hogy számára a méter sem volt ismeretlen?

199

Királykörök

Ezek után elgondolkodtató fejlemény, hogy a természettudományok nyomására a méter és a kör közötti kezdeti összefüggés napjainkra elhalványult, így ez a csodálatos méret görbült jellegét elveszítve a fénysebességgel meghatározott egyenessé degradálódott. Úgy érezzük, nem állunk messze az igazságtól, ha azt feltételezzük, hogy a méter olyan idős, mint a kör maga. A fentiek ismeretében az egy láb átmérőjű és egy méter kerületű nevezetes kört a ‘Királykörök’ gyűrűjéhez csatoljuk.

5. A KHET Mi a khet, és ha hosszmérték, akkor mekkora? Ha Peet szavainak hiszünk, akkor: „ the khet (xt) of 100 cubits, the full name of which was xt nt nwH, or ‘reel (?) of cord,” a measure which…”230 Tehát 1 khet egyenlő 100 (király)könyökkel, mi több, kötéltekercsnek, zsinórnak nevezi. A. Gardiner is egyetért vele, mert az általa a § 266-ban szereplő 2.) Measures of length fejezetben: „the xt ‘rod’ of 100 cubits, also called…’rod of cord’.” fogalmában a könyök százszorosát véli felismerni. Meghatározása is azonos: bot/ rúd/ méret zsinórból. Ha közelebbről vizsgáljuk ezt a jelcsoportot, három jelet különíthetünk el egymástól. A méretet magát jelentő jelet és az alatta látható jeleket. A faágra emlékeztető jel a khet → köt olvasattal rendelkezik. Az alatta látható jelek viszont a ‘T’ jel olvasatára jogosítanak. Az utána álló ID jel figyelmeztet, vigyázz, itt mindent ki kell olvasni! Alsó állása miatt a ‘T’-nek mély magánhangzós feltöltése kívánatos: KöT – úT. Tisztán hangzik a ma már ‘kötél-út’-nak mondott méret. Egyébként az angol cord szó magyar fordítása kötél, zsineg, fonál. Érdekes megfigyelni mai nyelvünkben a kötél szó egyik tovább képzett formáját. A ‘kötelez’ szavunkban megőriztük az ige eredeti jelentését, azaz kötéllel járkál, mér, ugyanakkor átvitt értelemben kényszerít jelentéssel is bír. Kimérte a területet, megszabta a nagyságot, és ez kötelez. Feltevésünk szerint mindez a víz áradásával, a fokos gazdálkodással lehetett összefüggésben. A dagadó víz elmosta, eltakarta a földek között megszabott határokat. Levonultával újból ki kellett jelölni az ágyások nagyságát, a csatornák helyzetét, más szóval az emberek elindultak kötelezni. Mindez nem csupán fantáziánk terméke, erről már Herodotosz is beszámolt, 230

Peet, op. cit., 24, Egyptian Weights and Measures.

200

XI. A matematikai papiruszok közös vonásainak áttekintése

sőt számos ránk maradt képen, festményen láthatjuk a korabeli ‘földmérőket’ kötéllel a kezükben ábrázolva.231 A khet-et, azaz a magyar hangzósítású változatát, a kötelet ezennel felvesszük az ősi hosszméretek közé. Illene meghatározni a méretét is. A szakirodalom szerint 1 kötél hossza 100 könyöknek felel meg. Valóban? A fentiekben rámutattunk arra, hogy a könyök méret a Közép-birodalom, illetve korábbi korszakok idején a Nílus völgyében nem lehetett az általános gyakorlati hosszegység. Sőt! A tízes rendszerben emelkedő méretek – legalábbis kezdetben – nem azonosak a számukra szokásos, kettőzésekből származó nagyságokkal. Miért százszoros az arány, és miért nem tízszeres, esetleg hétszeres, hatszoros, stb.? Nos, a szakirodalom megállapítása szerint 1 kötél = 100 (király) könyök = 52,5 m. Szíves engedelmükkel ezt kétségbe vonjuk. Lehetségesnek tartjuk a nyaláb alapú kötélméreteket is, valamint a nyaláb százszoros méreténél kisebb egységet is. Ha ezen az alapon számolunk, akkor 100 nyaláb = 65 m; 10 nyaláb 6,5 méter; stb. Ha a korabeli képeket nézzük, pl. a Djeserkaresonb Thebai sírját díszítő képet (Függelék XI), akkor megállapíthatjuk, hogy a kötelet legalább ketten vitték, de nem volt hosszú. Mérete az ábra alapján 10 m-nél kisebbre tehető. A logikus gondolkozás is azt diktálja, hogy használható hosszúságokat képzeljünk magunk elé. Minél hosszabb a kötél annál nagyobb a nyúlása, tehát hosszának méreteltérése, pontatlansága is. Akkortájt feltevésünk szerint még nem fonhattak hosszú, vékony, de erős, azonos vastagságú, nem nyúló, könnyűsúlyú köteleket. Ha mindez valóban (kender, esetleg len) kötél volt és nem az újkor selyemzsinórja, akkor jelentős átmérővel és tetemes súllyal is rendelkezhetett. Az 50 m körüli tekercset többen cipelték volna, sőt ekkora távolságra már egymással kiabálni kellene. Elképzelésünk szerint az egységnyi kötél méret valahol az 5 és 10 m között kereshető. Nos, mégis mekkora lehetett a kötél akkori mérete? Igazság szerint csupán egyetlen tisztességes válasz létezik: a khet/kötél pontos hosszát ma még nem ismerjük.

231

Lásd még a Függelék XI A földmérők képeit.

201

Királykörök

6. A LÁB Forduljunk ismét Roik gyűjteményéhez, ahol a 375. oldalon a következő lábméreteket sorolja fel: • A „Dzsószer-láb”, kb. 27 cm • A „Nordischer-Fuβ”, vagy „Északi-láb”, kb. 30 cm • A „Ptolemaioszi-láb”, kb. 35 cm (2/3 király-könyök) • Az „Obeliszk-láb”, kb. 29 cm. − Ami a Dzsószer-lábat illeti, szinte bizonyosra vehető, hogy sohasem létezett. Petrie méréseinek téves nyomtatása a ludas ebben. − Az északi láb sem volt ismert a Nílus völgyében, ezt is Petrie vezette be. Szerinte ez 1/2 Nbj nagyságú lenne. (Bővebben lásd a „Szent Korana és a Nbi” fejezetben.) − A Ptolemaios-láb a Kalabscha-templom méreteinél merült fel, nagysága a könyökrendszerrel köthető össze, 35 cm. Tekintve, hogy király-könyöknek a 2/3-át jelenti, ebben az esetben is hatrészes könyökről beszélhetünk. − Az Obeliszk-láb mérete az Aswan melletti kőfejtőből származik. A befejezetlen obeliszkek mellett talált méretekből és segédvonalakból arra a következtetésre jutottak, hogy a kijelölt kőtömbök vonalai között az átlagos távolság 29,9 cm, melynek kétszerese a kettős láb méretével azonos. − Ha ismét a logikus gondolkodást hívjuk segítségül, akkor az akkori képek méreteit, arányait vehetjük alapul. Beláthatjuk, hogy a korabeli rajzokon az emberek arányosak voltak, nem jártak nagy lábon. A mai átlagos lábméret 25–30 cm.

7. A KHAR A szakirodalom által bevezetett űrméret lenne. Ha valamely idom térfogata köbkönyökben volt ismert, annak a másfélszerese a khar egységet jelentené. Más szóval a khar-ból több kellene ugyanazon méret kifejezéséhez, a khar így a köbkönyöknél kisebb űrméret. A feltevés szerint 1 köb-könyök = 1 1/2 khar. A 43-as példa részletes tárgyalása során kitértünk legvalószínűbb olvasatára, amikor is megállapítottuk, hogy a khar csupán a jelrendszer egyik felét képezi, a szervesen hozzátartozó másik jelet, a ‘cs’-t a szakirodalom nem hangzósítja. Összeolvasva a KaR-Csú szavunkat kapjuk, melynek közvetlenül semmi köze az űrméretekhez, a szövegben jelző minőségben szerepel. Közvetve természetesen a köbtartalomra is utal, hiszen minden karcsú idom kisebb méretű, mint mondjuk a telt forma. Ezek után a khart, mint űrméretet elvetettük. 202

XI. A matematikai papiruszok közös vonásainak áttekintése

8. A RÓ A legkisebb méretű, szájba vehető darabos űrméret lenne. Némi fantáziával csipetnek nevezhetnénk. Szépen hangzik, a valóságnak logikailag megfelelne, kár, hogy a 43-as példából ez a mértékegység sem vezethető le. Olvasatunk az áRÚ szóhoz vezetett. Egyébként a ró nagyságának kiszámolásához a szakirodalom az RMP 43as feladatának utolsó fél sorát használta fel. Valóságos számtani bűvészmutatványra volt szükség méretének azonosítására.232 Elképzelésünket támasztja alá az a tény is, hogy a kiszámolt idomok mellett sehol sem szerepel a ró, egyébként a khar mértékegység sem. A részletes tárgyalás során igazoltuk, hogy ezek a jelek a helytelen számolás javítását tartalmazzák.

9. A BÖDÖN ÉS A MÉRŐ Általunk olvasott űrméretek. Bővebben a 42-es feladat tárgyalásakor foglalkoztunk feltételezett méreteikkel, tulajdonságaikkal. A példák közös vonásainak fenti áttekintése természetesen nem lehet teljes. A szöveg részletes tárgyalásakor számos lingvisztikai, paleográfiai sajátosságra már kitértünk, de meggyőződésünk, hogy ezzel a nyelvészeti, geometriai, matematikai, sőt etimológiai összehasonlítások sorát még nem zárhatjuk le. Kidolgozását a jövő feladatának tekintjük. Előzetesként a Függelékben mellékeljük az olvasatunkból összeállított „Magyar-ősmagyar szószedetet”, XVIII. Tábla. Munkánk során a magyar nyelv ősével találkoztunk. Azt tapasztaltuk, hogy alapfeltevésünk igazolására felsorakoztatott példák közvetlen magyar olvasata tartalmuk helyesbítéséhez, több esetben pedig az eddig félreismert geometriai, matematikai példák helyes megoldásához vezetett. Az általunk használt – már korábban kialakított – közvetlen olvasási rendszer az RMP esetében is helyesnek bizonyult. Ismételten megállapíthattuk, hogy a Nílus-völgyi ősi nyelv fonetikus írású volt, a magyarhoz hasonlóan agglutinált, nyelvünkhöz hasonló nyelvtani rendszerrel rendelkezett, és magyarul ma is jól érthető szókincset használt. Mi több, magyar hangzósítással a magyar nyelv ősén beszélhető nyelvet takar.

* 232

*

*

Eisenlohr, op. cit., 109.

203

Királykörök

Munkánk során érdekes összehasonlításokra nyílott lehetőségünk. Feltevésünk szerint anyanyelvünk ma is magába foglalja mindazon ismereteket, melyekkel őseink rendelkeztek. Az egyik ilyen érdekességet, számaink eredetére vonatkozó megdöbbentő levezetéseket mutatjuk be a következő fejezetben.

204

XII. A kör kulcsa és a magyar számsor Az MMP 10-es feladatának elemzésekor részletesen kitértünk az egységnyi kör területének ősi számolására.233 Az RMP fentiekben tárgyalt példáinak segítségével megállapíthattuk, hogy az egyiptomi kör területének meghatározásához szükséges állandók a 9-es, a 8-as és a 3-as számok voltak. Elmondtuk, hogy hajdan volt tanáraink mindig 9-cel kezdték a kör területének számolását, majd a második lépcsőben kapott 8-at, illetve annak az „egységnyi hármas” kör jellemzőjével (a 2 2/3-dal) kiegészített változatait emelték négyzetre. Ezt a módszert neveztük királymenetnek. A négyzetre emelés az egyiptomi π, a (8/9)² számolására vezethető vissza. Ezzel a ‘hasonlításos módszerrel’ bármilyen, tetszőleges átmérőjű kör területe kiszámítható. Elődeink egyébként választhatták a számukra jóval nehezebb, de közvetlen utat is, azaz a mindenkori átmérőből levonták az 1/9-ét, majd az így kapott törtet emelték négyzetre. Példa erre az RMP 42-es feladata. Tekintve, hogy gyakorlatilag itt sem tettek mást, mint a (8/9)²-tel számoltak, ez is az előbbi módszerrel azonosítható. Érdemes a fenti állandókat megjegyezni, mert nélkülük az egyiptomiak nem tudták volna a kör területét kiszámolni. Ma, 4000 (?) évvel később a magyar számok sorában három, a többitől eltérő, nevük eredetét tekintve még nem tisztázott számmal rendelkezünk. Ezek a 9, a 8 és a 30, azaz a kilenc, a nyolc és a harminc. Közös végződésükkel, az nc/lc-vel kiemelkednek a többi szám közül. Nyelvünk következetes építkezése, csodálatos összhangja, úgy érezzük, ezt sem bízta a véletlenre, feltevésünk szerint más, kézzelfoghatóbb magyarázat rejtőzik e furcsaság mögött. Összevetve a fentiekkel a hasonlóság megdöbbentő. Önkéntelenül is felmerül a kérdés: van e valamilyen összefüggés a jelzett számcsoportok között? Lehetséges, hogy ennyi év után… még mindig…? Ez a talány megítélésünk szerint megérdemli, hogy a szokásosnál is mélyebbre ássunk, egyúttal részleteiben is megvizsgáljuk az említett három szám jelentését, összetételét, alkotó elemeinek eredetét. Mindenek előtt ismerkedjünk meg az általunk is sokat bírált TESZ ide vonatkozó megállapításaival: • TESZ II 488. oldal: „kilenc 1378. Valószínűleg összetett szó. Előtagja azonos lehet a kívül névutó kül, kil változatával. Az –nc utótag annak a tíz jelentésű ősmagyar kori permi jövevényszónak a fejleménye lehet, amely valószínűleg a harminc és nyolc szavaink végződésében is megvan… A kilenc 233

Borbola, op. cit.

205

Királykörök

összetétel feltehetően a korai ősmagyarban jött létre.” A fentiekből megállapíthatjuk, hogy a kil/kül első tag külön fejlődött az -nc utótagtól, de mégis ősi összetétel. A k-l, vagy a váltóhangjával képezett k-r a körrel kapcsolatos csontra, mássalhangzós vázra vezethető vissza: KiL→KiR→KöR. Összegezve: KöR + nc. • TESZ II 1051. oldal: „nyolc 1405. Valószínűleg magyar fejlemény, az ősmagyar korban keletkezhetett. A szó nyol- része ősi örökség az ugor korból … A nyolc szóvégi c-je valószínűleg a kilenc analógiájára járult a szóhoz… Egyik magyarázat sem teljesen kielégítő.” Ismételten az l-r cserével az alaptő Nyo-L→NyeR + c változatban is elképzelhető. Lássuk csak: Egyiptomban a körterület ősi számolásának második lépcsőként a 8-at vették alapul. Az első kilencedelés után ezt a számot nyer-tük. (TESZ II 1042. oldal: „nyer 1211. Valószínűleg ősi örökség az ugor korból; vö.: ήīr – ‘tép’.”) Továbbiakban az ny-l ‘ú’ hangzós közvetlen változata a Nyú-L(ó) →nyúló melléknévi igenevünket eredményezi. (TESZ II 1057. oldal: „nyújt 1300. A szócsalád nyú- alapszava ősi örökség a finnugor korból.”) Jegyezzük meg: az ‘ú’ hangzós változatban az alapszó a nyú. Ezek után úgy érezzük, hogy a nyolc szavunkat a TESZ feltevésével ellentétben nem a nyol – c formában kell vizsgálnunk, hanem inkább a nyo – lc felosztás látszik régebbinek. Feltevésünk alátámasztására álljon példaként nyújt szavunk nyú töve. Figyelemre méltó az ‘ny-l’ váz hangzósításának ‘ő’-s változata is: TESZ II 1025. oldal: „nő 1372…és newnek, 1527 newltek, 1575 fel nyéne, 1750 nyőltek, 1759 nyű, nyűl, nyö, nyűn, nagyobbá vagy magasabbá válik, kifejlődik… Ismeretlen eredetű. Alapvető fogalmat jelölő szerepe és más, ősi örökségként ránk maradt igékhez (fő, sző) hasonló alaktani viselkedése arra vall, hogy szókészletünknek ősi rétegébe tartozhat. Az –l képzős műveltető származéknak növel alakban való újrateremtődésére az eredetibb, nevel jelentésbeli elváltozása miatt kerülhetett sor” (kiemelés tőlünk). Az eddigieket összegezve megállapíthatjuk, hogy a kilenc, és a nyolc a hivatalos etimológiai vizsgálatok alapján szorosan összefügg, ezt támasztja alá a TESZ-ből vett korábbi idézetünk is: „a nyolc szóvégi c-je valószínűleg a kilenc analógiájára járult hozzá”. De folytassuk vizsgálódásunkat a TESZ további meghatározásaival: • TESZ II 63. oldal: „három 1055. Ősi örökség a finnugor korból. Az l > r változás ideje bizonytalan; … a hangfejlődésre vö. pl. virág~világ.” Hoppá! A TESZ szerint hangváltás történt, mégpedig a már általunk is elfogadott formában. Sőt, tovább is léphetünk, mert a h → k → g szabályos váltás figyelembe vételével ismét a H-R → K-R→ kör szavunkhoz jutunk. 206

XII. A kör kulcsa és a magyar számsor

Megjegyezzük, hogy a három szavunk ‘l’ hangzós alakja a ‘halom’ szavunkat eredményezi. Végezetül meglepetésünkre, de semmi esetre sem a véletlen szeszélyeként megtaláljuk az –nc végződést a harminc szavunk végén is. Meglepetés, mert a nyolc-hoz és a kilenc-hez hasonlóan egyedül a harminc szavunk hordozza ezt a végződést. S hogy ez nem lehet véletlen, bizonyítja a TESZ is: • TESZ II 61. oldal: „harminc 1405. Összetett szó. Előtagja a három eredetibb alakja; … -nc utótagja valószínűleg egy ősmagyar kori permi jövevényszó fejleménye…Feltehetőleg ugyanez az elem van meg nyolc és kilenc szavaink végződésében is. A permi számnevek utótagjának őspermi kori jelentése ‘tíz’ volt; e jelentésük kialakulása tehát a finnugor kornál későbbre tehető…” Itt azért kibújt a szög a zsákból, más szóval a permi nc = tíz kialakulása későbbre tehető, mint az azt kölcsönvevő finnugor ősnyelvben. A TESZ tehát az nc/c végződés alapján ezt a három számot összekötötte: KiLe – nc Nyo – lc HaRMi – nc A kilenc végül is a hárommal egyeztethető, de a nyolc szerepét, tulajdonságait tekintve már közvetlenül nem függ össze sem a hárommal, sem a kilenccel. (Jelen esetben eltekintettünk a számsorba elfoglalt helyüktől.) Hozzátehetjük azt is, hogy a harminc csatlakozik legkevésbé a nyolchoz. Mégis mindhárom szám utótagja a TESZ szerint az említett „permi jövevényszóra” vezethető vissza. Valóban? Meggyőződésünk, hogy következetesen építkező nyelvünkben ok nélkül nem történt semmi. Akkor miért ez a megkülönböztetés? Mit jelent, mit takar a TESZ által „ősmagyar kori permi jövevényszónak” nevezett nc/lc váz? Vizsgálatunkat célszerű a harminc számunkkal folytatni. A TESZ szerint három + nc → harm(i)+ nc. Ebben a levezetésben jól látható, hogy a szó első tagja maga az egyik tőszámnevünk: a három! Egyúttal azt is megállapíthatjuk, hogy a négyvan → negyven, öt-van → ötven, stb. szerkezeti azonosság itt nem érvényes. Más szóval: miért nevezzük a 3×10-et ‘harminc’-nak és miért nem ejtjük ezt a számnevet is a többi mintájára ‘har(m)van’-nak? Lássuk csak, hogyan is hangzik ugyanez pl. angolul: twenty, thirty, forty, stb., németül: zwanzig, dreiβig, vierzig, stb., spanyolul: veinte, treinta, cuarenta, stb., latinul: viginti, triginta, quadraginta, stb. Megállapíthatjuk, hogy nyelvünk – ellentétben az indoeurópai nyelvekkel – sem a húszat, sem a harmincat nem képezi a többi tízes számainak a mintájára. Miért? Honnan ez az alapvető különbség? 207

Királykörök

A harminc számunk szerkezetét boncolgatva úgy érezzük, hogy a három után valamilyen önálló jelentéssel rendelkező szó áll, de az nem lehet a tíz: három + valami. Ha az nc végződés a permi hasonlóság alapján anyanyelvünkben valóban tizet jelentene – ezt állítja a TESZ –, akkor miért nem ezzel képezzük a negyven, ötven, stb. számainkat is? Miért csak a harminc, a kilenc és a nyolc esetében uralkodott el ez a permi gyök? Milyen szépen hangzana: négyenc, ötönc, hatonc, stb. Ennél a pontnál a TESZ azért tovább lép, sejtése szerint magyarul a van ‘toldalékkal’ jelezzük a további tízes értékeket. TESZ II 1007. oldal: „negyven 1251/1281. Összetett szó … Utótagja az a -ven (-van) elem, amely megvan az ötven, hetven stb. számnevekben is.” A hatvan számnevünk tárgyalásakor bemutatja a zürjén megfelelőket (-min végződéssel), majd megjegyzi: „… mindezeknek jelentése eredetileg ‘öt tíz’, ‘hét tíz’ stb. lehetett, hasonlóan a vogulhoz és a permi nyelvekhez.”234 A fentiek alapján megállapíthatjuk, hogy a TESZ szerint nemcsak az -nc végződés, de a -van elem is a zürjén, a vogul és a permi nyelvek mintájára valamikor tizet jelenthetett. Igaz ez? Számunkra meglehetősen furcsa, enyhén szólva kétes levezetés. Egyébként ellentétben európai szomszédainkkal, a tízes számunk alakilag nem is vesz részt a többi szám képzésében. Ha már itt tartunk, érdemes a van szavunkat közelebbről megvizsgálni. TESZ III 1084. oldal: „van 1138. Ősi örökség a finnugor korból.” Ez mind szép és jó, csakhogy a tiszta magyar nyelv a van szavunkat ‘ritkán’ használja. Csak az indogermán nyelvek építkezését kölcsönző utolsó évszázadok vették át magyartalan használatát. Álljanak példaként Arany János balladái, vagy akár a magyarság két legszentebb versének sorai is. Kölcsey, de Vörösmarty sem használta a van segédigét. Ha ezek után a van (zürjén: min) szavunk ‘tízszerező’ tulajdonságát nagyító alá teszszük, kétségeink támadnak. Mai logikánkkal az öt-van kijelentés távolról sem határozta meg az 5 × 10-et, csupán az öt létét nyomatékosította. Valószínűleg közelebb járunk az igazsághoz, ha tízes számaink második elemében nem a van toldalékot látjuk, hanem mássalhangzós vázának másik hangzósításából származó von szavunkat. TESZ III 1171. oldal: „von 1372. Ismeretlen eredetű szócsalád.” A továbbiak megértéséhez érdemes visszalapoznunk az RMP 48-as példájához, ahol megállapítottuk, hogy a ‘tizedesvessző tologatásának’ bevett szokását jóval egyszerűbb okokra vezethetjük vissza. Egyszerűen könnyebb volt így írni. Egyiptomban az ír234

TESZ II 74. oldal.

208

XII. A kör kulcsa és a magyar számsor

nokok a száz alatti számokat tízzel osztott formában is írhatták. Ilyenkor pl. a szabályosan írt 64 → helyett látszólag a tizedét, a 6 egész és 4 tizedet → 6 és 4 formában írták le. Elképzelésünk szerint innen származik tízes számaink von elemének értelme is. Ha a hatos után álló szám fölé vonást vontak, akkor a hat vont(att)a azt a számot. Értelemszerűen a vonal mindig az egyesek fölé került. Hatvon négyet, nyolc-von egyet:

(Részlet a 48-as feladat alsó sorából)

A jobb oldalon a 8 × 8-as tábla végeredménye látható (jobbról balra olvassuk): 8 × (8) → 6 von 4. A baloldalon a 9 × 9-es tábla összege látható: → 8 von 1. (A 8 hieratikus jele a két vízszintes vonal.) Ebben a megvilágításban tízes számaink második elemét is értelmesnek látjuk.235 Külön figyelmet érdemel a húszas számunk hieratikus írása:

(A 43-as feladat utolsó számoszlopa)

Részletünkön a 455 egész 1/9 huszadolása követhető. A középső sor jobb oldalán az 1/10-es szám látható, az alsó sor viszont meglepetést tartogat. A huszat a tízből képezte írnokunk. A csákó-szerű tíz fölé egy vonalat húzott. A jobboldali jel az 1/20-ot jelenti, fölülről-lefelé: pont-húz-csákó → egy-húz-tíz→ egy huszad. A következő jel az osztás eredményének első számjegyét írja, tisztán olvashatjuk a 20-as számot. Képzése itt is az előbbi mintájára történt, azaz húz-tíz→ húsz.

235

Ezt a lehetőséget a jövőben is figyelemmel kísérjük.

209

Királykörök

A húz-von ikerszavunk ezek alapján tízes számaink képzésének pillére. A vonal a tizet fölfelé húzza, így képezte hajdani írnokunk a húszat. Negyventől fölfelé viszont a tízesek vonták az egyeseket, így képezte a példánkban szereplő hat von négyet is. Mai ismereteink szerint úgy tűnik, hogy tízes számaink neveiben a harminc a választóvonal. Addig húzunk, utána meg vonunk. Huza-vona! De térjünk vissza az nc jelentéséhez. Ha az nc nem lehet tíz, akkor mit jelent? A továbbiak megértéséhez ismét kis kitérőt ajánlunk az egyiptológia berkeiben. Az egyiptológusok csendben bevallják, hogy az általuk helyreállított középbirodalmi nyelvből hiányzó „l” hangot az „r”, illetve az „n”, sőt gyakran az „rn” jelek helyettesítik. Ez a három hang a szakirodalom szerint hangtanilag egymáshoz közel áll, egymás között felcserélhető. Ismerkedjünk meg napjaink nagynevű egyiptológusának, L. Zonhovennek236 ide vonatkozó megjegyzésével: „Az l hang, amely a koptok nyelvében, de a démotikus írásban is kétség kívül önálló jellel rendelkezett, a hieroglifás írásban nem szerepel; l hang-szerű értékek, úgy tűnik, mégis léteztek, ilyenkor az n-t, az r-t, illetve ezek kombinációját, az nr-t használták”. (Ezt a kérdést egyébként máshol bővebben tárgyaljuk.)237 Mindez részben a TESZ álláspontjával azonos, már a három etimológiai levezetésénél rámutattunk az r > l váltásra. Az egyiptológia szerint harmadikként az n hang jelentkezik: l > r > n > rn. Visszatérve eredeti fejtegetésünkhöz, az nc helyére az egyiptológiából ‘megismert’ n → r váltás figyelembe vételével az rc vázat tehetjük. A hangzósított nc → rc → arc/orca szó olvasata választ ad korábbi kérdéseinkre. (TESZ I 173. oldal: „arc 1372. Összetett szó; szerkezete arra mutat, hogy esetleg már a finnugor vagy ugor korban kialakult.”) Ha az így kapott „permi/egyiptomi” arc/orca szóval egészítjük ki mindhárom számunk tövét, akkor a következő képet kapjuk: Harminc → HaRM

– aRC

→ HáRoM

– aRC/oRCa – aRC/oRCA

Kilenc

→ KiL/KöR – aRC

→ KüL/KöR

Nyolc

→ Nő/Nyú

→ Nő(vekedő)/NyúLó – aRC/oRCA

236

– aRC

Zonhoven, Middel-Egyptische Grammatica (Leiden, 1992) § 19. NB.: “Der l-Laut, im Koptischen ohne Zweifel vorhanden und im Demotischen mit einem eigenen Lautzeichen geschrieben, wird in der Hieroglyphenschrift nicht notiert; l-haltige Laute scheinen wohl existiert zu haben; sie wurden mit n, r oder mittels der Kombination nr geschrieben.” 237 Borbola, op. cit., 29

210

XII. A kör kulcsa és a magyar számsor

Az összekötő kapocs tehát az arc/orca szavunk. Kiegészítésül tekintsük meg Gardiner jelrendszerében a D2 sorszám alatti jelet. Jelentése: arc, „face”, transzliterációja Hr,. Átvitt értelemben a felszínt, közvetlen magyar olvasata viszont a Hr egyiptomi csontja alapján a kör-t (is) jelentheti. Szolgáljon példaként az MMP 10-es feladatából átvett részlet238:

53-54

55

56 57 58 59-61

62

63

n

9

j

r

9-cedel-Ni

9

1/9

Hr

ntt

KöR (m)eNeTeT Já - Ró

… kilencedelni 9-et, kör / felszín menetet járó… A fenti szóösszetételeket elemezve finomíthatjuk előbbi feltevésünket, mert az nc→ rc váltással kapott „permi/egyiptomi” arc egyúttal az összetételek főtagjának tekinthető. Az első tagok szerepüket tekintve jelzőként és határozóként foghatók fel, csupán az nc/lc-ről mondanak valamit. Miről árulkodnak jelzett számaink kezdő-szótagjai? − A harminc tehát olyan arc, ami hármas számú. A három arc → mint harminc, közvetlen olvasata ellenére további magyarázatra szorul. Mindkét tagja tisztán érthető, mégis a 30-as szám a tízszerese az egyiptomi állandónak, a háromnak. Elképzelésünk szerint a 3-as szám jóval korábban alakult ki, mint a 8-as és a 9-es. Így a kör számsorukba illesztésekor ez a hely már „foglalt” volt. Azt is láthattuk a többi között az RMP 48-as feladatának tárgyalásánál, hogy hajdani matematika tanáraink a tízes helyérték helyett gyakran az egyes értékeket használták. Egyszerűsítettek. Például a 80-ból 8-at és a többi között a 30-ból csak 3-at írtak le. A hármas számról állíthatjuk, hogy már maga is a kör „csontját” viseli: „ h-r → k-r ”. Mint azt már láttuk, az ‘arc’ az egyiptomi ‘H-R’ transzliterációval azonos, így a harm-arc mindkét tagja a kilenchez hasonlóan a körre utal. Hasznos lenne tudni, hogy mennyire biztos az egyiptomi tízes számrendszer kezdeti létezése, volt-e átmenet például a kettes, hármas rendszerből a tízes rendszerre? (Gondoljunk csak a kezdeti lunáris időszámításra.) Kérdésünk alapja: három arc → harm-arc → harminc ⇒ 3 x 9 = 27 (na meg az a tizedik három.) Nézetünk szerint a három arc, vagy harminc a 9-ből származtatható. 238

Borbola, op. cit., 76.

211

Királykörök

− A nyolc szintén arc, sőt nyúló, növekvő arcnak tekinthető… A nyolc számunk lebontható a nyú – arc tagokra. Az ‘r → l’ csere az ‘r → n’ helyett239 valószínűleg az ‘n/ny’ hangok torlódásának köszönhető. Ebben az összetételben jelentését tekintve, a négyzetre emelésre utal: nő, nyő, nyú-l, esetleg nyer. − A kilenc arca a kil/kül-, kelő- vagy körarc, de erről még többet is elmondhatunk. A 9 már mindkét összetevőjében magában hordja a kör szavunkat: KiL, első tag → a (magyar)KöR, valamint az egyiptomi arc = HR, ez a második tag, → ugyancsak a (magyar) KöR. Sőt! Mássalhangzós vázában, a ‘K-L-N-C’-ben egyúttal magában hordja a kör megoldásának kulcsát is: KiLeNC → KiNCs (kincs) → KiLiNC (kilincs) → KuLCs (kulcs). Ebbe a sorba tartozik a ma már csaknem elfelejtett, ugyancsak a körre utaló szavunk a kelence, méhkas is. • TESZ II 489. oldal: „kilincs 1405. Vitatott eredetű. – 1. Ófrancia jövevényszó; vö. ófr. (északi, északkeleti) clinche ‘kilincs’.” Meddig terjedhetett a francia nyelvterület északkelet felé az ófrancia időkben? • TESZ II 662. oldal: „kulcs 1251. Szláv eredetű.” • TESZ II 492. oldal: „kincs 1213. Ismeretlen eredetű” • TESZ II 429. oldal: „kelence 1462. ‘Egyfajta (körülkerített) méhes’. Bizonytalan eredetű, szláv jövevényszónak látszik… Ezek alapszava a szláv kolo ‘kerék’.” Kilences számunkról elmondhatjuk, hogy ellentétben az eddigi etimológiai levezetésekkel (TESZ), nem tekinthető a tízből képzett ‘kültagnak’, hanem mint az egyiptomi kör kilincse/kulcsa, az idők kezdete óta önálló szereppel rendelkezik. Nem lehet véletlen, hogy ez az egy szám mind a kör fogalmát, mind a hozzá tartozó megoldást, a kör területének ősi számolását ma már elfelejtett kulcsként magában hordja.

Összefoglalás Fenti levezetésünk alapján megállapíthatjuk, hogy az eddig etimológiailag nem tisztázott három számunk, nevezetesen a 8, a 9 és a 30, az egyiptomi kör számolásának elengedhetetlen állandója volt, amelyet egyúttal nyelvünk is az nc/lc végződéssel a többi számtól megkülönböztetve összefogott. A fejezet elején feltett kérdésre: „van-e valamilyen összefüggés a két számcsoport között? Lehetséges lenne az, hogy ennyi év után…?” röviden válaszolhatunk: igen, lehetséges! Azt tapasztaltuk, hogy anyanyelvünk ebben a három számban ekkora távolságból is megőrizte örökségünket, az egyiptomi körterület számolásának ma már elfelejtett ősi módszerét. 239

Zonhoven, op. cit.

212

XIII. A Szent Korona egyiptomi méretei z eddigiek során megismerkedtünk az ősi kör jellegzetességeivel, területének meghatározásához szükséges állandóival, a több ezer éves papiruszokon lejegyzett kör alakú idomok formáival, méreteivel. Megismerkedtünk a „király-menettel”, az ősi egyiptomi π-vel, sőt a számolások közben követhettük és megcsodálhattuk a Nílus-völgy gondolkodóinak matematikai-geometriai ismereteit is. Úgy érezzük, mindez nem veszett kárba, nem tűnt el a történelem süllyesztőjében, még akkor sem, ha közvetlen szálait nehéz, esetenként lehetetlen nyomon követnünk.

A

Az ősi mértékek kutatása közben az egyik ilyen elveszettnek tartott nyomra bukkantunk. A már ismertetett több ezer éves körök közül magasan kiemelkedik a napjainkban is közöttünk lévő, titkait még ma is őrző csodálatos nemzeti királykörünk, a Szent Korona. Nemcsak gazdag díszítése, képeinek csodálatos kidolgozása, keresztény, de egyúttal kifejezetten magyar mondanivalója teszi egyedülállóvá, hanem harmonikus formája és különleges méretei is ősi eredetére utalnak. Vizsgálatunkat a Szent Korona vázára korlátoztuk. Célunk a tényekből, a méretekből kiindulva párhuzamot vonni az ősi egyiptomi kultúra matematikai és geometriai, könyvünkben is tárgyalt eredményeivel, ennek keretében a Szent Korona vázának méreteit és arányait összehasonlítani a már korábban részletezett Nbi mértékegységgel. Tekintve, hogy a vizsgálatunk tárgyát képező korona a Szent Korona nevet viseli, a továbbiakban mi is így nevezzük. Korábban már láttuk, hogy az ősi Egyiptom általánosan használt hosszmérete a Nbi-egység volt. A feltehetően egyik legrégebbi mérete Abüdosz-ból származik, nagysága Petrie mérései alapján 0,6383 m. Ha ezt az adatot a Szent Korona méreteivel összehasonlítjuk, meglepő eredményre jutunk. Érdemes a rendelkezésünkre álló és eddigi ismereteink szerint kizárólagos méreteit külön-külön is szemügyre venni.

213

Királykörök

A. A Szent Korona mai méretei Az ismertetésre kerülő adatokat az általunk mérnök csoportnak nevezett Beöthy Mihály, Fehér András, Ferenczné Árkos Ilona, Ferencz Csaba, Hennel Sándor tanulmányából vettük át.240 Az abroncs magassága: 2 hüvelyk A kupola magassága: 3 hüvelyk, együtt 5 hüvelyk A Szent Korona teljes magassága kereszttel együtt: 7 hüvelyk „A méretek középkori hüvelykben adottak. (1 hüvelyk ≅ 25,4 mm < 25,5 mm)”241 1. Táblázat: A befoglaló méretek elemzése242 Méret neve

Mért adat (mm)

Ideális adat (hüvelyk)

Szembőlnézeti átmérő Magasság Abroncs magassága Pántszélesség A kereszt függőleges tengelyre vetített magassága A kereszt hossza a talptányértól Előre-hátra átmérő

203,9–204,8 127,0–127,7 50,4–51,2 51,7–52,2 52,0–52,3

8 5 2 2 2

~56,5<60,0 215,8–215,9

2 8,5

A továbbiakban érdemes megismerkednünk az általunk aranyműves csoportnak nevezett Csomor Lajos, Lantos Béla, Ludvigh Rezső, Poór Magdolna méréseivel is:243 „A méréseket vonalzóval, körzővel, papír mérőszalaggal, tolómérővel, mikrométerrel és hakával (falvastagság és kőmagasság mérésére alkalmas műszer) végeztük. Ezekkel 1 mm-es, 0,1 mm-es és 0,01 mm-es pontossággal mérhettünk, ami megfelel szakmánk követelményeinek. Ilyen pontosság segítségével megszerkeszt240

Beöthy Mihály, Fehér András, Ferenczné, Árkos Ilona, Ferenc Csaba, Hennel Sándor: Méretek és arányok a Szent Koronán és a koronázási jelvényeken. Művelődéskutató Intézet és INTART, Magyarság és Műveltség (Budapest, 1987). 241 Ferenc, op. cit,. 130. 242 Ferenc, op. cit,. 133. 243 Csomor Lajos, Lantos Béla, Ludvigh Rezső, Poór Magdolna, A magyar korona aranyműves vizsgálatának eredményei. Zománc 1975-1985. Nemzetközi Zománcművészeti Alkotótelep (Kecskemét, é.n. 1985).

214

XIII. A Szent Korona egyiptomi méretei

hetők és elkészíthetők a legbonyolultabb ékszerek is. A magyar korona építői kb. 0,1 és 1 mm közötti tűréssel dolgoztak.”.244 A Szent Korona teljes magassága, kereszt nélkül : 127 mm Az abroncs Belső kerület (alul mérve) Az abroncs szélessége (magassága) Az abroncs vastagsága (négy ponton mérve) A használt aranydrótok vastagsága Belső hosszanti átmérő Belső rövidebb átmérő Külső hosszanti átmérő Rövidebb külső átmérő

: : : : : : : :

635 mm 51,2 mm 1,2 mm 2,2 mm 209 mm 198 mm 215,8 mm 204,8 mm

A keresztpántok Pántok szélessége Tamás pánt hossza Bertalan pánt hossza A másik két pánt hossza (Fülöp és András) A középső zárólemez méretei

: : : : :

51,7 – 52,2 mm 125 mm 127 mm 129 – 129 mm 72 × 72 mm

B. Gondolatok a Szent Korona méreteiről Elképzelésünk szerint a Szent Korona abroncsát gondos tervezés után, pontosan méretre vágott aranylemezből készítették. Végeit a szükséges formálás után összeillesztették, majd összeforrasztották. A történelem viharában elszenvedett változások valószínűleg az abroncsot képező lemez hosszát és szélességét nem érintették, ezért úgy véljük, hogy jelzett méreteit torzulása ellenére eredeti nagyságúnak tekinthetjük. (Megváltoztatásához az egész koronát szét kellett volna szedni.) Ezt a hosszúságot tekintjük a Szent Korona alapméretének. Kérdésünk: a Szent Korona vázának további méretei ehhez az alapmérethez képest mekkorák, a kupolát is beleértve az egység egészszámú többszörösei?

244

Csomor, op. cit., 95.

215

Királykörök

Talán tanulságos az alábbi összehasonlítást megtekinteni. 1 NbiAbüdosz = 0,6383 m → 6,383 dm → 63,83 cm vagy → 638,3 mm. (Az egyiptomiak nem használták a mai értelemben vett tizedes vesszőt, számukra csupán azonos számszerűség mellett kisebb, illetve nagyobb egységek léteztek. Lásd az RMP 48-as és 50-es feladatából már ismert általános írásrendszert. Összehasonlításul álljon előttünk a metrikus rendszer megannyi egysége: a métert tekintjük az etalonnak, de beszélhetünk deciméterről, centiméterről, stb., sőt a fenti adatokat, mint láthattuk, az aranyművesek mm-ben adták meg.) A Szent Korona abroncsának (alul mért) belső kerülete 63,5 cm. Itt érdemes megállni. Már korábban láttuk, hogy E. Roik245 adatai között I. Newton (1643–1727)246 méretei is szerepelnek. Newton az asztalára került mérési adatok alapján (Greaves és Burattini adatai) a Kheopsz piramis vizsgálatánál csupán számolásos alapon két könyökméretet ismert fel. „Er glaubte, in den Abmessungen der Pyramiden ein 2. Längemaß zu erkennen mit ca. 0.635 m, das er als sakrale Elle bezeichnete, und von dem er glaubte, daß es durch weiteres vermessen auch an anderen Bauten sicher bestimmt werden könnte. Die Rampen der großen Galerie haben Abmessungen von 0,61 und 0,68 m, Korridorhöhen u.a. 1,30 m.”247 Ch.P.Smyth248 1864-ben az akkori idők legmodernebb méréstechnikáját alkalmazva alátámasztotta Newton számításait (eredményét napjainkban V. Maragioglio és C. Rinaldi: M+R IV (1965), 10, újra megerősítették), megállapította, hogy a 0,52 m-es könyök a piramis lényegtelen részeinél használt méret, a másik egységet, a 0,635 métert viszont elnevezte piramiskönyöknek. Kár, hogy az akkori időkben irreálisnak minősített piramis elmélete az egyiptológia szemében munkáinak értékét aláásta. Úgy érezzük, nem szükséges bővebben a Kheopsz piramison mért 0,635 m és a Szent Korona abroncsának belső alsó kerületén mért méretek egybeesésére rámutatnunk. Mégis valami furcsaságot érzünk e mögött. Valóban ekkora lenne a Szent Korona abroncsának alapmérete? Kérdésünk: milyen hosszú lehetett az eredeti aranylemez a hajlítás előtt? 245

Roik, op. cit.,18-20. Newton Isaak, A Dissertation upon the sacred Cubit of the Jews and the Cubit of several Nations, in which, from the Dimensions of the greatest Pyramid, as taken by Mr. John Greaves, the ancient Cubit of Memphis is determined. 247 ‘Azt hitte, hogy a piramisok méretei között egy második hosszmérték is felismerhető, a 0,635 m, melyet szakrális könyöknek nevezett el, és amelyről úgy vélte, hogy más építészeti elemek méréseinél is megtalálhatók. A Nagy Galéria széleinek méretei 0,61–0,68 m-es nagyságúak, a folyosó magassága 1,3 m.’ 248 Smyth Ch.P., Life and Work at the great Pyramid of Jeezeh, 1865. 246

216

XIII. A Szent Korona egyiptomi méretei

Formálása közben valószínűleg a belső oldala tömörebb lett, megrövidült, a közepe tartotta meg az eredeti méretet, a külső kerülete viszont kissé megnyúlt. Ezek ismeretében a kérdés az, hogy ez a viszonylag vékony lemez (1,2 mm) ezen a csaknem 64 cm-es távolságon valóban mutathat-e mérhető eltérést belső és külső kerülete között. Fennáll-e a 63,50 → 63,83 → 64,16 mm-es méret? A valóságban ezek a méretek pontosan nem ellenőrizhetők, többek között azért sem, mert az abroncs alakja nem szabályos kör, sőt nem is szabályos ellipszis. Az aranyművesek leírása szerint ‘torzult ellipszisnek’ nevezhető. Ha mégis abból indulunk ki, hogy elméletben egy 1,2 mm vastagságú, 63,83 cm hosszú lemez körré formálása közben leszabott méretét csak a vastagságának mértani közepére képzelhető kör kerülete tartotta meg, akkor az átmérőjét kiszámolva megállapítható belső kerületének formálás közben elszenvedett csökkenése is, tehát 63,83 cm : 3,14 = 20,33 cm a képzeletbeli középső kör átmérője. Ebből a kétoldali fél vastagságot levonva: 20,33 cm – 0,12 cm = 20,21 cm. Ez lenne a mérhető belső átmérő, ha a korona abroncsa szabályos illesztésű és kör alakú lenne. Ezek után könnyen kiszámítható a belső kör kerülete: 63,46 cm. Ha az ősi egyiptomi π 3,1605-ös értékével számolunk, a belső átmérő hasonló feltételek mellett 20,08 cm lehetne, a belső kör kerülete viszont csaknem a már kiszámolt 63,46 cm-es nagysággal azonos. Az aranyművesek által mért 63,5 cm eltérése ehhez képest 4 tized mm (!), ami az ellipszis és a kör közötti különbség, valamint a torzulás számlájára is írható. Megjegyezzük, hogy közelebbi meghatározás elvégzésére csak akkor nyílna lehetőségünk, ha az aranyművesek is Petrie-hez hasonlóan tizedmilliméteres pontossággal mértek volna. A továbbiakban ismernünk kellene a használt formálási módszereket és az alkalmazott forrasztás technikáját is. A fenti számolási menet alapján megállapíthatjuk, hogy a Szent Korona abroncsát képező aranylemez eredeti hossza (± 0,4 mm-es tűréssel) megegyezik Petrie Abüdoszból származó hosszméretével, a 0,6383 m-rel.249 Ha ezek után a könnyebb áttekinthetőség kedvéért alapegységünkként az egyiptológia által Nbi-nek nevezett, 63,83 cm-es aranylemez hosszának századrészét fogadjuk el, akkor a következő összehasonlítást kapjuk: 100 NbiA = 100 × 0,6383 = 63,83 cm ≡ Az abroncs (számított) eredeti mérete. 20 NbiA = 20 × 0,6383 = 12,77 cm ≡ A korona magassága (kereszt nélkül):12,7 cm ≈ A pántok mért hosszai: 12,5 cm, 12,7 cm, 12,9 cm. 8 NbiA = 8 × 0,6383 = 5,106 cm ≈ Az abroncs szélessége: 5,12 cm ≈ A pántok szélessége: 5,17 cm és 5,22 cm. (Ez az utóbbi már megközelíti a király-könyököt).

249

Roik, op. cit., 23.

217

Királykörök

Egyébként a mérnökcsoport által bevezetett középkori hüvelyk mérete is pontosítható: = 4 × 0,6383 cm = 2,5532 cm. Ez összeesik korábbi megállapításukkal. 4 NbiA Felmerült az a kérdés is, hogy a korona magassága mekkora lehetne, ha a fedőlap teljesen vízszintesen állna, valamint a keresztet (?) is felegyenesítenénk? Lehetne 0,3 abüdoszi teljes egység? 30 NbiA 50 Nbi A

= 30 × 0,6383 cm = 19,149 cm. Mai magassága: 17,9 cm. A különbség: 1,249 cm. = 50 × 0,6383 cm = 31,92 cm ≈ A párta és a hosszanti pántív hossza egyaránt: 31,5 cm

(NbiA–val a Petrie által Abüdoszban mért egység század részét jelöltük.) Az eddigi összehasonlítás alapján megállapíthatjuk, hogy a kiterített abroncs hosszmérete és szélessége, valamint a Szent Korona kereszt nélküli magassága is az aranyművesek által meghatározott tűrési kereteken belül (0,1-1mm) kerek Nbiben fejezhető ki. Eddigi vizsgálódásunkból kimaradt a fedőlap értékelése. Az aranyművesek mérése szerint a négyszögletes formájú lap oldalmérete 72 mm. Ez a nagyság látszólag nem illeszkedik közvetlenül semmilyen ismert ősi rendszerbe, így a Nbi rendszerbe sem. Elemzését más oldalról kell megközelítenünk. Ha elméletben valamilyen átlagos fejdísz hasonló záró-lemezét kellene elkészítenünk, a magasság beállítása után a keresztpántok találkozását kiválthatnánk egy ilyen lemezzel. Nagysága, formája egyébként széles keretek között váltakozhatna. Ha a képzeletbeli pántjaink hosszát átlagosan 12,7 cm-nek, tehát 20 NbiA-nak veszszük, akkor a pántok hossza megadná a közé elhelyezhető középső lemez nagyságát. Más szóval abban az esetben, ha ez a méret nem lényeges, a zárólemez akkora lesz, amekkora a méretre szabott pántok után maradt tér kitöltéséhez szükséges. Következésképpen elméletben ennek nagysága nem feltétlenül házasítható össze a fejdísz többi méretével. Csakhogy a vizsgálatunk tárgyát képező Szent Korona esetében egyáltalán nem beszélhetünk átlagos fejdíszről! Ha csak az egyszerű laikus szemével nézzük, akkor is csodálatos remekmű! Vázának már eddigi vizsgálata során is láthattuk, hogy részeinek méreteiben gondosan megtervezett egységet képez, amelyből nem hiányozhat a korona zárólemeze sem. Sőt! Elképzelésünk szerint ez a lap különleges jelentőségű, hiszen a rajta látható kép Teremtőnket trónusán ülve ábrázolja.

218

XIII. A Szent Korona egyiptomi méretei

Feltevésünk szerint ez a négyszögletes lemez nemcsak közvetlen méretével, hanem méretének arányával is illeszkedik a Szent Korona egységébe. Az arányokat keresve beleütközünk a hármas, a nyolcas és a kilences számba. A korona díszítésében a hármas tagozódás mellett a 8-as és a 9-es szám is szinte mindenhol megtalálható. A többi között az abroncson 8 kép és 8 kő látható, közvetlen fölöttük kilencedikként a Fiú Isten képe helyezkedik el. A párta 9 elemű. A kupola pántjain látható 8 apostol az Atya Istent veszi körül. A kétoldali csüngők száma összesen 8, illetve hátul láthatjuk a kilencediket. Érdekes az elosztása is 4 + + 1 + 4. Elölnézetben csak 8 látható. Ha elfogadjuk a fedőlemezen látható zománckép trónusán ülő Atya Istent a Tökéletesnek, az Egynek, esetünkben matematikailag 9/9-nek, akkor könnyen belátható, hogy a fizikailag is alatta lévő királyi abroncs alapmérete ezt csak megközelítheti, de nem lehet vele azonos. Nos, mennyivel kisebb ez az egység? Matematikailag, ha 9/9 → 72-vel egyenlő, akkor ennek 8/9 része azonos 64-el, esetünkben ≈ 63,83 cm-rel, az abroncs belső kerületéből levezetett alapmérettel. Megállapíthatjuk, hogy a 8 és a 9 köti össze a négyzet alakú fedőlemezt a kör alakú koronával. Ezt látszik alátámasztani a korona díszítésének fent vázolt számszerűsége is. A fedőlemez oldalméretéről elmondhatjuk, hogy nem véletlenül tér el az abroncs egységétől, kapta az ismert méreteket, szándékos minőségi emelkedést, növekedést látunk ebben. Arányában a földi koronarész fölé emelkedik. A négyzet (oldal)méretében fejezte ki a Szent Korona építője az Atyaisten egységét, teljességét. A továbbiak megértéséhez érdemes visszatekintenünk az egyiptomi kör számolásának korábban tárgyalt állandóira. Ezek a számok a 3 mellett az elengedhetetlen 9 és a 8 voltak. Gondolunk itt a már korábban részletezett király-menetre, ahol a kör ősi számolásának kerülő, karoló király-menete erre a két számra épült. Az egységből, azaz 9/9-ből hajdan volt tanáraink levonták az 1/9-ét és 8-at kaptak. A Szent Korona kupoláját lezáró négyszögletes lemez alatt királyi fő, sőt kör alakú menet, abroncs látható. A záró lemezen Teremtőnk, az oszthatatlan Egység képe foglal helyet (emlékeztetőül: az egyiptomiak a törtek számlálóit mindig 1-nek írták). Ő a 9/9. Az abroncs mérete ennek csak a király-menetű 8/9 része lehetett. A fenti gondolatmenetből a következő, közvetlenül belátható megállapításokat tehetjük: • A Szent Korona építője/építői az Abüdoszban használt mértékegységgel azonos nagyságú hosszmérettel dolgozott/dolgoztak, amikor az abroncsot készítették. • 63,83 cm = 100 egység. Ezt tekintjük a Szent Korona alapméretének. • A Szent Korona magassága pontos és kerek abydoszi méretet ad, 20 Nbi = = 12,77 cm.

219

Királykörök

• Tudós elődeinkkel egybehangzóan mi is azt látjuk, hogy a Szent Korona díszítésénél a 8-as és a 9-es szám, esetleg szorzataik, a 64 és 72 az uralkodó. • Tapasztaltuk azt is, hogy a Szent Korona vázának további hosszméretei – a fedőlemez kivételével – ugyanebben az egységben fejezhetők ki. (A tűréshatárokat fent jeleztük). Ezek után joggal feltételezhetjük, hogy előre megfontolt, szándékos méretválasztás volt ez, ami alól a kupola sem kivétel, mert mindenütt ugyanazon méret, az általunk elemzett abüdoszi egység század részének egészszámú többszöröse köszön vissza. • Megállapítottuk, hogy a fedőlemez kilóg ebből a sorból, oldalmérete nem közvetlen többszöröse az abüdoszi egységnek. Lehet-e mindez véletlen? Ha a vizsgált tárgy többi mérete más-más egységekre volna visszavezethető, lehetne valóban a véletlen szeszélye is. A mi esetünkre azonban ez nem érvényes. A 63,83 cm-es alapegység nem lehet közönséges méret. Mai szemmel nézve a legnagyobb egészséges fejméretet is messze meghaladja. Nem tartjuk valószínűnek, hogy a Szent Korona készítői valakinek, létező történelmi személynek a fejméretéhez alkalmazkodtak volna. A méretek azonos rendszerbe helyezése gondos, előre megtervezett ötvösmunkára utal. Fennmaradó kérdéseinket a következőkben foglaljuk össze: • Ha a történelem viharaiban megőrzött Nbi hosszméret a görög-római időkre elérte a 65-68 cm-t,250 akkor a Szent Korona építői a legjobb esetben is csak ezt az utóbbi méretet örökölhették. Miért nem ezt a mértet vágták le az abroncs készítéséhez? • Ha a Szent Korona díszítését a 8 és a 9 uralja, valamint a fedőlemez és az abroncs egységei között is ezek a számok alkotják az összeköttetést, feltételezhetjük-e azt, hogy a Szent Korona készítői az ősi kör számításának egyiptomi állandóit, számolási meneteit, sőt az ősi π értékét is ismerték? • Talán a legégetőbb kérdés: ki és honnan ismerte a Szent Korona építésének idején az akkor már régóta a sivatag homokjába tűnt ősi egyiptomi zarándokhely, Abüdosz épületeinek, Ozirisz tiszteletére épített szentélyeinek milliméterre pontos egységnyi hosszméretét, és miért éppen ezt a méretet használta fel a magyar királyok fejére tervezett Szent Korona alapegységeként?

250

Roik, op. cit., 23.

220

XIII. A Szent Korona egyiptomi méretei

C. A Szent Korona vázának területe Az eddigiekben csak a hosszméretekkel foglalkoztunk. Felmerült a kérdés, hol maradnak a területszámítások. Az ezirányú kutatásokért Rátky Istvánt illeti köszönet. Érdekes eredményhez vezet a Szent Korona ismertetett vázméreteiből kiszámítható összfelület nagysága:251 A = 5,12 × (63,5 + 12,5 + 12,7 + 12,9 + 12,9) + (7,2×7,2) = 638,08 cm² … Mennyi? Értékét tekintve az abüdoszi Nbi szám tízszeresével találkozunk (Rátky). Egyébként az abroncs és a kupola anyaga komoly színkülönbséget mutat, minden bizonnyal eltérő aranyötvözetekből készültek. Az aranyműves csoport adatai szerint a lemezek mérhető vastagsága is különböző (a kupola 0,6 mm, az abroncs 1,2 mm), így értelmetlen volna a teljes váz építéséhez szükséges egységes lemez méreteit keresni. Megjegyezzük, hogy a fenti felszínek számításakor figyelmen kívül hagytuk a zománcképek készítésénél felhasznált arany hátlemezek területét.

E. További geometriai összehasonlítások A következőkben kis kirándulást teszünk a matematika és a geometria berkeiben. Előre bocsátjuk, hogy a számolásra kerülő feltételezett és valóságos idomok adatai, méretei a gyakorlatban nem minden esetben ellenőrizhetők, így megállapításainkat a megdöbbentő hasonlóságok ellenére is csak származtatott eredményeknek tekintjük. Itt szeretnénk azt is elmondani, hogy a Szent Korona építőinek elméleti matematikai, geometriai felkészültsége feltevésünk szerint sokkal alaposabb volt, mint azt a Szent Korona mai állapota alapján feltételezhetnénk. A korabeli technika lehetőségei megszabták a Szent Koronába építhető ismeretek határait is. Ha az abroncsot szabályos körnek tételezzük fel, akkor azt más geometriai idomokkal kiegészítve érdekes élményben lehet részünk. 1) Ha az abroncsot helyettesítő körbe azt mind a négy sarkával érintő négyzetet rajzolunk, a négyzet területének nagysága megegyezik a Szent Korona fedőlapjának négyszeresével. Lásd 15-ös ábránkat.

251

A számolásunkhoz használt méreteket az aranyműves csoporttól vettük át.

221

Királykörök

A

B

C

D 15. ábra

Az így kapott négyzet oldalának fele egyszerű számítással kiszámítható: 71,95 mm ≈ 7,2 cm. (A d nagyságaként az aranyművesek által mért belső átmérők átlagát, 20,35 cm-t használtuk.) A továbbiakban ez a koronába írt négyzet négy kisebb négyzetre osztható, mindegyik területe külön-külön megegyezik a felső lap nagyságával (Rátky). 2) A fenti kör köré egy másik négyzet is írható, melynek mindegyik oldala azonos a kör átmérőjével. A

a

d

D

b

c 16. ábra

222

B

C

XIII. A Szent Korona egyiptomi méretei

A geometria szabályai szerint az ABCD négyzet területe az abcd négyzet területének a kétszerese, az ABCD négyzet területe pedig nyolcszor akkora, mint a fedőlemezé. A két négyzetet úgy is felfoghatjuk, hogy a belső négy kis négyzet fölött a levegőben ‘úszik’ az ötödik, a nagyobbik esetében a nyolc fölött a kilencedik. (Hangsúlyozzuk, hogy a Szent Korona belső átmérőinek átlagával számoltunk.) 3) Az ABCD négyzetre meglepő idomot illeszthetünk. Ha ennek a négyzetnek sarkait összekötjük a Szent Korona fedőlemezének csúcsaival, akkor olyan csonka piramist kapunk, melynek a magassága 2 Nbi, azaz 12,7 cm (aranyművesek). (17. és 18. ábra.) A

B

A’

B’

N

n

m

N

D

C A’ 17. ábra

O

B’

18. ábra

A 17. ábrán a korona abroncsának jelölésével a ráépíthető piramist felülnézetben ábrázoljuk, a képzeletbeli piramis csúcsát ‘N’-nel jelöltük. A 15. ábrán a szerkesztett piramis keresztmetszetét láthatjuk, a piramis alapjának középpontját ‘O’-val jelöltük, az ‘nm’ távolság a zárólemez oldalhosszának a fele. Feltevésünk szerint a Szent Koronán az ON távolság 3 Nbi. A kérdést a számolás egyszerűsítése érdekében úgy is feltehetjük, hogy mekkora az OB’- és az ebből kiszámítható A’B’ távolság, mert így a másodfokú egyenlet helyett egyszerű aránypárral számolhatunk. Ha abból indulunk ki, hogy a szerkesztett piramis magassága 3 Nbi, akkor az alapját képező négyzet oldalhossza, még pontosabban a Szent Korona külső átmérője is szükségszerűen azonos számítási értéket mutat az aranyművesek által mért nagysággal. Ebben az esetben megállapíthatjuk, hogy kiindulópontunk, a 3 Nbi helyes volt. A következő adatokat használjuk: nm = 3,6 cm; On = 12,77 cm (aranyművesek); nN = 6,38 cm(Nbi); ON = ?, feltevésünk szerint 19,1 cm.

223

Királykörök

A számolásunkhoz felállítható egyszerű aránypár a következő képet mutatja: OB’:ON=nm : nN → OB’ =

nm × ON nN

= (3,6 cm × 19,1 cm):6,38 cm=10,77 cm.

Ez csak a képzeletbeli piramis alapjának fél hossza, más szóval a kör sugara. A kör és egyúttal a Szent Korona így kiszámolt átmérője 2 × 10,77 = 21,57 cm. Összehasonlításul az aranyművesek által mért külső nagyobbik kerület 21,58 cm! Nézzük meg még egyszer ezt az idomot. Megállapítottuk, hogy a 3 Nbi magasság mellett olyan négyzeten helyezkedik el, melynek oldalhossza ≈ 21,6 cm. A

a

d

D

B

b

c

C

19. ábra

4) Bizonyára sokan állítják majd, hogy ez is csupán véletlen, de a Szent Korona fedőlemezének oldalhossza 7,2 cm, az AB távolság ennek a háromszorosa: 21,6 cm. Kupolájának zárólemeze pontosan kilencszer fér el a 19. ábrán bemutatott, a legnagyobb átmérőjével képezett külső kör köré szerkesztett képzeletbeli négyzetbe. Az összehasonlítás kedvéért szaggatott vonalakkal a 16. ábrát is ‘ráúsztattuk’ piramisunk alapjára, így jól látható, hogy az abcd□ a belső körbe illeszkedik. A 16. ábrán alkalmazott átmérő, a db, a Szent Korona valóságos belső átmérőinek átlaga, 20,35 cm volt (Rátky). Ebben az esetben a körbe írt négyzet négy egyforma nagyságú mezője fölött252 ötödikként középen úszik a kupola azonos nagyságú fedőlemeze, valamint a külső kör köré képezett keret kilenc négyzete fölött a Pantokrátor képe a tizedik, velük ugyancsak azonos nagyságú lemezre került. 252

Lásd a 16. ábrát.

224

XIII. A Szent Korona egyiptomi méretei

Fenti számolásaink közben a következő lépéseket tettük: • A Szent Korona abroncsát szabályos kör alakúnak tekintve elméletben köré négyszögletes keretet képeztünk, melynek formáját négyzetnek tételeztük fel. (A belső, mért átmérők átlagát használtuk a kör rajzolásakor.) • Erre a négyzetre csonka gúlát emeltünk úgy, hogy az alap négyzet sarkaiból gondolatban egyeneseket bocsátottunk a Szent Korona fedőlemezének sarkai felé. Ezt a vázat beborítottuk oldallapokkal, így olyan csonka piramist kaptunk, melynek fedőlapja a Szent Korona 72 × 72 mm-es nagyságú fedőlemeze. • Az összekötő egyenesek további meghosszabbítása egy pontban találkozik, ez a pont a Szent Korona képzeletbeli központi, függőleges tengelyére esik. • Ezt a pontot egyúttal a piramis csúcsának tekintjük, melyről azt feltételeztük, hogy az alaptól 19,1 cm, azaz 3 Nbi magasságban van. • A fedőlap fölé képezett idomot a Szent Korona piramidonjának neveztük el. • Feltételezett piramisunk magasságát az egyszerűség kedvéért aránypár segítségével úgy állapítottuk meg, hogy visszafelé számoltunk, és a magasságot adottnak véve az alap nagyságát azonosítottuk a már ismert mérettel (aranyművesek). Amennyiben ezek az értékek a hasonló háromszögek szabálya alapján megegyeznek, akkor a többi méret, így a keresett magasság is azonos. • Számolásunk eredményeként megállapíthatjuk, hogy a fenti magasság csak abban az esetben érvényes, ha a piramis alapját képező négyzetet a Szent Korona legnagyobb, külső átmérőjével írt kör köré szerkesztjük. • A fentiek alapján elmondhatjuk azt is, hogy a Szent Korona vázának zárlemeze helyzetével és méreteivel pontosan illeszkedik a Szent Korona méretei közé, mert területe a belső körbe szerkeszthető négyzet negyedrésze, egyúttal a már ismertetett feltételek mellett a külső kör köré képezett négyzet területének kilencedével is azonos. • A továbbiakban megállapíthatjuk, hogy a Szent Korona legnagyobb külső átmérője a kupolát záró lemez oldalszélességének pontosan háromszorosa. Ezek alapján a Szent Koronát függőleges metszetében három egyenlő részre oszthatjuk fel. • A fentiekből az is belátható, hogy a ma ferde állású kereszt álló helyzetben magasságával pontosan a piramidonba illeszkedhetne, másrészt a kereszt vízszintes szárai ‘kilógnának’ a piramidonból. (12,77 cm + 6 cm = 18,77 cm, a különbséget képező 3 mm a kereszt csúcsának gömb formájával magyarázható. Pap Gábor.) • A fentiek alapján a Szent Korona tervezett teljes magassága 3 Nbi lehetett. • A geometriai összehasonlítások sora ezzel valószínűleg csak elkezdődött, és minden bizonnyal még számos további újdonságot tartogat. Ismét hangsúlyozzuk, hogy a valóságban a fenti sík- illetve térbeli idomok nem tekinthetők teljesen szabályosnak, számításainknál a Szent Korona torzulásait nem vettük figyelembe. 225

Királykörök

E. Gondolatok a Szent Korona arányairól A Kahun töredék253 érdekes módon az összetett körmetszetű idom, a méhkas térfogatának ‘átszámolását’ mutatja be a könnyebben használható piramis/gúla űrtartalmára. Számolását a ‘Kahun töredék’ fejezetben már részletesen kifejtettük. Meglepetésünkre a 4500 éves papiruszon számolt mindkét idomot a Szent Korona pártáján ismét viszontlátjuk. A párta háromszögek és kupola keresztmetszetű alakok váltakozásából áll. Ha ezeket az álló elemeket az 5000 éves egyiptomi írásszabályok szerint mélységükben is kiterjedéssel rendelkező idomoknak tekintjük, akkor a Kahun papiruszhoz hasonlóan itt is gúlákról és méhkasokról beszélhetünk. Sőt, tegyünk egy merész lépést előre, és tételezzük fel azt, hogy a Szent Korona formája teljesen zárt egységet képez. Tekintsük ezt is szabályos méhkasnak. Ebben az esetben a Kahun töredék példájából kiindulva párhuzam fedezhető fel a Szent Korona és az előző fejezetben bemutatott gúla között. Kérdésünket geometriai formába öntve a következőképpen fogalmazhatjuk meg: Milyen feltételek mellett azonos egy kör alaprajzú, 2 m magasságú méhkas térfogata a kör köré képzett, az átmérőjével azonos oldalhosszú négyzetre épített 3 m magasságú gúla térfogatával? A számolás során használt jelrendszer a következő: A kupola alapját képező kör átmérője Az összetett idom méhkas/kupola magassága A gúla négyzet alakú alapjának oldala A gúla magassága

: : : :

d 2m d 3m

Az összetett méhkas térfogata: Vk = x · m · r²π , ahol x olyan váltószám, amely meghatározza azonos alapterületek és magasságok mellett a henger és a méhkas térfogata közötti viszonyt. Értelemszerűen a henger térfogata mindig nagyobb a bele helyezhető, vele azonos alapú és magasságú méhkas térfogatánál. A keresett szorzószám tehát egynél mindig kisebb értéket mutat. A feltételezett gúla térfogata: d × d × 3 m /3 = d² × m A kérdésünk alapját képező egyenlőség segítségével meghatározhatjuk a méhkas térfogatának szorzószámát. 253

F. Ll. Griffith, The Petrie Papyri. Hieratic Papyri From Kahun And Gubor. (Principally of the Middle Kingdom) Edited by, M.A., F.S.A. (London Bernard Quaritch,1898)) IV/3, 13-as és 14-es oszlopai.

226

XIII. A Szent Korona egyiptomi méretei

A következő egyenlőséget vizsgáljuk: Vkorona mikor azonos a Vgúlával, azaz:

r²π · 2m · x = d² · m,

amelyből rendezve, egyszerűsítve:

x =

2 π

Szavakban kifejezve: a feltételezett gúla és méhkas közötti egyenlőség csak akkor áll fent, ha a méhkas térfogatának meghatározásához használt váltószám 2 / π értékű. Ha egyenletünket a Szent Koronára is kivetítjük, akkor furcsa eredményt kapunk. Legelőször is tisztáznunk kell néhány alapkérdést. Mint ismeretes: − A Szent Korona váza nem képez zárt idomot, a keresztpántok között a kupola nyitott. − A Szent Korona abroncsa nem kör alakú, hanem torzult ellipszisnek nevezhető. − A Szent Korona alakja praktikusan két részre osztható, az abroncs függőleges falai hengerre emlékeztetnek, a méhkas zárt tetejét a kupola pántjai jelképezik. Ezek után természetesen csak elméleti síkon vizsgálhatjuk a Szent Korona űrtartalmát. Tételezzük fel, hogy a Szent Koronának létezik egy központi függőleges tengelye. Ha e tengely körül a koronát megforgatjuk, akkor a kupolát képező pántok az abronccsal együtt összetett idomot határolnak el a térből. Vegyük ennek az idomnak a Szent Korona által rajzolt legkülső méretét, és nevezzük el az így kapott alakzatot ismét méhkasnak. A helyettesítő gúla képzése és a követhető számolás menete az előző fejezetből már ismert. Fenti egyenletünket ilyen feltételek mellett alkalmazva a következő meggondolásokhoz jutunk: − A Szent Koronába írható gúla térfogata csak akkor egyenlő a korona képzelt űrtartalmával, ha a számolás közben bemutatott hengerhez viszonyított mérete 2/π. Ez az idom tehát a valóságban is létező, fizikailag is kifejezhető a térből elhatárolt rész, melynek hajlása nagyjából követi a Szent Korona kupolájának görbületét. (A valóságban a két kupola íve nem lehet teljesen egybeeső, az alapját képező kör a korona esetében torzult ellipszis, a kupola fedőlapjának vízszintes darabját sem vontuk be számításunkba, sőt mint azt már említettük, a Szent Korona két darabból áll.) − Ha a fentebb kiszámolt váltószámot tüzetesebben megvizsgáljuk (2/π), akkor ismételten Nbi eredményre jutunk: 2: 3,16 ≈ 0,635. 227

Királykörök

− Mint azt már a Szent Korona méretei esetében megállapítottuk, a korona teljes magassága kereszt nélkül 12,7 cm, azaz 0,2 Nbi. Az előző fejezetben azt is kiszámoltuk, hogy a gúla magassága feltételeink mellett 0,3 Nbi-re tehető. Ezek után megállapíthatjuk, hogy a gúla képzeletbeli súlypontjának a korona alapjától a központi tengelyen mért távolsága 1 Nbi. − Ha a méhkast szabályos ellipszoidnak, vagy akár paraboloidnak tekintjük, akkor nem beszélhetünk egységes gyújtópontról, az ilyen felületekre merőlegesen érkező külső sugarak az idomokon belül szétszóródnak. Ugyanakkor a korona képzeletbeli súlypontja azonos a köré építhető gúla súlypontjával. − A feltételezett méhkas görbülete a helyettesítő gúla térfogatának ismeretében kiszámítható, és a koordináta rendszerben felrajzolható. Gyakorlatilag két görbe jöhet számításba, melyek közül az ellipszoid közelíti meg legjobban a kupola görbületét (Rátky).254 − A Szent Korona váza nem teljesen zárt, ‘szabályos’ méhkas, így csak részlegesen tehet eleget a fent említett tulajdonságoknak. − Mégis kérdéses, hogy a Szent Korona viselőjére milyen hatással lehetett az ilyen tulajdonságokkal rendelkező vázszerkezet. Megjegyezzük, hogy a Szent Korona és az emberi koponya anatómiai felépítése közötti összefüggéseket már korábban is vizsgálták. Részletes feldolgozását az INTART, magyarság és műveltség 1987-es számában olvashatjuk.255 A fenti gondolatok további kutatását biofizikusok figyelmébe ajánljuk. Minden koronakutatóban felmerül a ‘miért’ kérdése. Alapkérdés. Megfogalmazhatjuk kerekebben is: milyen célból készült a korona? Mint ezt már a fejezet legelején megbeszéltük, kutatásunkat ez irányba nem mélyítjük ki. A vázszerkezet kutatása mégis elvezetett az egyik lehetséges válaszhoz: „A Korona egyébként Faraday-kalitkaként is felfogható, amely modellben a kereszt receptor az Univerzum felé”.256 Mindez további kutatást igényel.

254

Az ide vonatkozó számításokat és összehasonlító ábrákat lásd a Függelék XVII. táblái alatt. Óváry Imre, Donáth Tibor, Adeghate Ernest, Kenéz József, Nemes Nagy József, Kiszely István, Szimbólumában él… A magyar Korona funkcionális-morfológiai aspektusa, INTART, (Budapest,1987). 256 Kiszely, op. cit., 111. 255

228

XIII. A Szent Korona egyiptomi méretei

F. A párta titka Az előző fejezetben utaltunk a párta alakos elemeinek és a Kahun töredék idomainak hasonlóságára. Itt az ideje a pártát is megvizsgálni. Kezdjük a párta meghatározásával. A párta alatt a Szent Korona abroncsának élére helyezett homlokzati díszt értjük. Kilenc elemből áll. A párta közepén látható oromzati Pantokrátor kép mindkét oldalát tükörképszerűen alakos elemek, két-két háromszög és váltakozva ugyanennyi méhkas keresztmetszetű, egyre csökkenő méretű idom egészíti ki. A párta két végpontja között mért teljes távolság 31,5 cm (aranyművesek). Megállapításuk szerint a párta mindig megbonthatatlan egységet képezett, elemei nem szedhetők szét, nem tologathatók, sorrendjük nem cserélhető fel. A középen látható Pantokrátor képpel eddig szinte minden koronakutató foglalkozott. Csodálatos kidolgozása, feliratai, keresztény mondanivalója, sőt a Szent Korona főtengelyéhez képest elfoglalt helyzete is többfajta értelmezésre, találgatásra adott okot.257 A párta alakos elemeinek vizsgálatára viszont a koronakutatók csak ritkán tértek ki, jelenlétüknek csupán díszítő szerepet tulajdonítottak. Egyébként nyugodtan állíthatjuk, hogy furcsa párta ez, mert a jelzett nyolc idomnak – eltérően a Szent Korona többi képétől – nincs hátlapja, csak kerete, így az átlátszó zománcképek hátulról is kaphatnak fényt. Egyedül a középső kép mögött látható arany hátlemez. Továbbá azt is megállapíthatjuk, hogy a párta alakos elemei nem esnek egybe az abroncson alattuk képezett kő- és képmezőkkel, azt mondhatjuk, hogy a párta az abroncshoz képest önálló életet él. Feltevésünk szerint a párta nem díszítés, hanem ÍRÁS. Mond valamit. A Pantokrátor képe és a szimmetrikusan elhelyezkedő idomok rajzai képezik mondanivalóját. (A méretek, mértékegységek kutatása során a valószínűleg sokkal mélyebb, más irányú mondanivalóval rendelkező oromzati Pantokrátor kép elemzése nem lehet feladatunk.)258 A rendelkezésünkre álló fényképek alapján a következőket állapíthattuk meg: − A Pantokrátor kép két oldalán lévő nagyobb, belső háromszögekben 6–6 teljes halmot számolunk. (Tekintve, hogy a párta alakos elemeinek szimmetrikusan elhelyezett képei mindkét oldalon azonosak, elemzésükkor csak egyes számban említjük, ugyanakkor természetesen mindkét idomra gondolunk.) Az egyiptológiában a halom jele mindennapos hieroglifa: = 10, azaz tizet jelent. 257

Az oromzati Pantokrátor képen látható feliratokat az ikonográfiai szakirodalom egyöntetűen az I-C és az X-C görög betűk formájában olvassa. Azt állítják: rövidítés. Így az „IC” Jesus és az „XC” Christos értelemmel rendelkezne. Szeretnénk kétségeinknek hangot adni, amennyiben ismereteink szerint a „C” betűt a görög abc nem jegyezte. Lásd: α-β-γ-δ-ε-ζ stb. 258 A zománcképen látható betűk olvasatára még visszatérünk.

229

Királykörök

−

Nos, a nagy háromszögben összesen 6 × 10 = 60-ig számolhatunk. Sőt, a felső halom tetején három kicsi is látható. Ezeket egyes nagyságrendűnek tekintjük. Összesen 60 + 3 = 63. Egy-egy ilyen halom hasonlítható egy boltíves kapuhoz. A kapu kerete a háromszögekben sötét(kék) színű, közepe zöld. A keret kettős vonala az azonos számszerűség mellett elképzelhető nagyobb és kisebb egységet jelenti. Pl.: 63, de lehet 6,3 egység is. Az egyes értékeknél nem szerepel a keret kettős vonala. A következő méhkasban az alsó sor három halmot ad, a középső csupán két teljeset, a fölső sorban ismét három halom látható: 3 + 2 + 3 = 8 halom. Sőt, itt is látható további három kicsi társuk, azaz összesen 8 × 10 + 3 = 83. (A második sor fél halmainak szerepére még visszatérünk.) A halmok most keretükben zöld színűek, a kapu belseje sötét. Az egyes értékeket jelző kapuk kerete itt is csak egy vonalból áll.

A háromszög/piramis keretében látható számok az egész egységeket jelentik, a színük is erre utal, a méhkasban látható halmok összege viszont a mai tizedes veszsző utáni értékeket fejezi ki. A párta két belső elemében szereplő számok összeolvasva a Szent Korona egységének már korábban tárgyalt méretét adják. Pontosan azt, amelyet W.M.Fl. Petrie Abüdoszban kb. 125 évvel ezelőtt mért. A pártára hieroglifákkal írt olvasható méret: 63,83 azaz 1 Nbi.

20. ábra Részlet a pártáról.

230

XIII. A Szent Korona egyiptomi méretei

Ezt a vonalat követve a két szélső ábrát is elolvashatjuk: − A kisebbik háromszögben 3 halom és 1 ‘pálcika’ látható: 3 × 10 + 1 = 31 egész. − A kisebbik méhkas 5 teljes halomnak adott helyet. (A második sorban itt is további két fél halom látható.) − Az előzőek mintájára a két kisebbik idom összesen 31,5-t ír.259 Gondolatban vegyük le a teljes pártát az abroncs tetejéről és terítsük ki. Az áttekinthetőség kedvéért (ismét csak gondolatban!) távolítsuk el az öt középső képet, és hagyjuk a helyüket üresen:

5

31

M

/

P

Р

P

M

31

5

31,5 cm

/

21. ábra (M = méhkas, P = piramis,

P = Pantokrátor kép)

Ez tehát olyan szakasz, amelynek a két végét tükörképükben azonos idomok zárják le, egyúttal a bennük megadott számok az általuk közrezárt szakasz cm-ben mérhető nagyságát is kifejezik.

5/6

31

8/9/3

63

22. ábra

Ez a különlegesség a belső négy idomnál is követhető, a teljes hieroglifákkal írt 63,83 pontosan az abroncsot képező lemez cm-ben kifejezett (számított) hossza. 1 NbiAbüdosz = 63,83 cm. (22. ábra) 259

A Szent Korona pártáját a Függelékben láthatjuk.

231

Királykörök

A metrikus egységekkel összehasonlítva hihetetlen egybeesés. A párta alkotóelemeinek illesztése és rögzítése a Szent Korona vizsgálóinak egyöntetű véleménye szerint vagy szinte tökéletes forrasztási technikával készült, vagy – ami kevésbé valószínű – a párta és az abroncs eleve egy lemezből van.

Megjegyzések Korábban már megismerkedtünk a három kiterjedésű idomok egyiptomi jelzésével. Hajdan volt tanáraink az álló síkidomoknak mélységet tulajdonítottak, ha ezeket viszont fekvő helyzetbe forgatták, akkor síkidomra gondoltak. Ezt a párta esetében is átvehetjük, így az álló háromszög gondolatban mélységgel rendelkezik, tehát piramist/gúlát jelöl, s a kupola metszetű félkör méhkasra utal. A piramisról elmondottuk már, hogy egy egységként kezelhető űrméret (lásd a Kahun Papirusz 13-as és 14-es oszlopait), más szóval olyan négyes egység, ami EGY. Ezen az alapon a piramisban szereplő számok értéke EGY EGÉSZ-et jelent! Lássuk csak! A Szent Korona belső háromszögében a 60-as és a 3-as számokat olvastuk. Ha A. Gardiner: Egyptian Grammar című könyvét a 266. § 197. oldalán felütjük, akkor az egyiptomi sólyom isten, Hórusz szemével találkozunk.260 A monda szerint Hórusz nagybátyjával, Széttel vívott küzdelmében veszítette el jobb szemét, melynek darabjait Thot isten rakta ismét a helyére. A Hórusz szem darabjait – ezentúl nevezzük törteknek – a hívő egyiptomiak a gabona mérésére használták. A törteket felezéses úton nyerték, lásd: 1/2 + 1/4 + 1/8 + 1/16 + 1/32 +1/64, összesen 63/64. Gardiner szavaival élve: „These fractions together add up to 63/64; presumably the missing 1/64 was supplied magically by Thoth.” Magyarul a törteket összeadva 63/64-t kapunk, feltehetően a hiányzó mágikus 1/64 rész viszont Thot istent illeti. A párta háromszögében is a Hórusz szám, a 63/64 látható! Ez a méret tehát nem lehet véletlen, sem Abüdoszban, sem a Szent Koronán. (Érdekes módon a 63 nem prímszám, a 3 × 21, a 9×7 is ennyit eredményez.) Ezek után megállapíthatjuk azt is, hogy a méhkasban látható számok egynél kisebb értékűek. Megfontolandó az is, hogy a méhkasban vagy közvetlenül 83-at, vagy 93-at olvasunk. Lásd a 20. ábrát is. Az értékek közötti különbség a fél halmok értelmezéséből adódik. Ez az érték sem lehet a véletlen műve. A 8-at és a 9-et, mint az ősi kör állandóit már korábban megismertük. A király-menetet, de négyzetük hányadosa egyúttal az egyiptomi π értékét adja. Ezek ismeretében mindkét értéket helyesnek tekinthetjük.

260

Bővebben a Függelékben látható.

232

XIII. A Szent Korona egyiptomi méretei

Megítélésünk szerint az első méhkasban a kör területének számolásához szükséges egyiptomi állandókat találjuk. A továbbiakban azt is megállapíthatjuk, hogy az első piramis és az azt követő méhkas teljes halmainak együttes nagysága az Abüdoszban mért ősi, szent méretet, a 63 egész és 83 részegységet alkotja. A kisebbik méhkasban ismét kettős olvasattal találkozunk, az 5-tel, illetve a 6tal. Ha a 31, illetve esetünkben a 3,1 mellé tesszük a 6 részt, akkor az ősi egyiptomi π négyszeres értékét kapjuk: 3,16. A párta kisebbik piramisában és méhkasában látható teljes halmokat olvasva 31,5-hez jutunk. A párta (egyúttal a keresztpántok) hossza pontosan 31,5 cm (aranyművesek).261 Elképzelésünk szerint ez volt az egyszeri N-Láb nagysága is. N-Lábai viszont az első piramisban olvashatók: 63 cm. Ennek háromszorosa a mai öl mérettel azonosítható: 3 × 63 cm = 189 cm = 1 öl (1896,48 mm). 262 Ide kívánkozik az oromzati Pantokrátor képen két kis köröcskében szereplő négy betű elemzése is. Ezek a körök a Pantokrátor feje mellett két oldalt láthatók. Tartalmukat IC és XC, valamint a fölöttük látható hullámos vonal képezi. Moravcsik véleménye szerint a Jézus Krisztus görög nevének a rövidítéséről van szó.263 Mint azt már korábban jeleztük, ez az olvasat sántít. A görögöknek t.i. nincs C betűjük. A szigma jelét a koptok valóban ehhez hasonló módón írták, de… tudtak-e a koptok ilyen fantasztikus rekeszzománc képeket készíteni, vagy van-e valami más magyarázat erre az ellentmondásra?264 Ebben az esetben a JeSus KriStus rövidítés helyes lehetne. Felmerült ugyanakkor a latin betűs olvasat is. Ebben az esetben az IC rögtön Jesus Cristust jelenti, de mit gondoljunk az XC jelekről? Így aztán visszatérve a párta alakos elemeinek mondanivalójára, ezeket a latin jeleket is számokként fogtuk fel. Az IC = 99 és XC = 90, összesen 189, pontosan 3 N-lábai méretű. Ha az oromzati Pantokrátor képet ebből a szemszögből vizsgáljuk, feltehető, hogy az itt olvasható nagyság a Szent Korona eredeti magasságát is jelenti. Egyébként valami lélegzetelállító furcsa véletlen következtében a mi (bécsi) öl méretünkkel is azonos. Érdemes lenne ezeket a betűket alaposabb vizsgálat alá vetni.265 Mindezek után nyitva maradt még a kérdés, hogy miért számolt a Szent Korona építője 3,16-tal. Az egyiptomi papiruszokon ennek nem találjuk nyomát?

261

A 31,5 cm-es félláb eltér a szent mérettől, valószínű ez volt a gyakorlati méret. Bécsi öl: Csengeri Pintér Péter, Mennyiségek, mértékegységek. Műszaki Könyvkiadó, 2. Átdolgozott bővített kiadás, (Budapest, 1987), 578. 263 Moravcsik Gyula, A Magyar Szent Korona a filológia és történeti kutatások megvilágításában (Budapest, 1938),423-472. 264 Hannig, op. cit., XXXVIII. A koptok egyébként görög betűkkel írtak. 265 V.ö. a 23. ábrával. 262

233

Királykörök

Nos, a válasz egyszerű. A kör kerületének ősi meghatározásánál nem a kör sugarát, hanem a terület számolásakor már megismert átmérőt használták. A mai eljárásunk helyett (K=2rπ) a ‘d’-vel számoltak: K= d × 4·(8/9)² = d × 3,16. Így kiszámolhatjuk az 1 Láb átmérőjű kör kerületét is: 31,5 cm × 3,16 = 99,54 cm 100 cm. Valóban egyszerű? ‘A méter’ című fejezetben erre már kitértünk. A párta alakos elemei a Szent Korona méreteinek és a velük kapcsolatos geometriai ismereteknek a legfontosabb adatait tartalmazzák. Ezért is kerültek a fő helyre, a Szent Korona homlokzatára. Mondanivalójuk világos, jól látható, sőt mindenki számára egyszerűen olvasható is. Megegyezik az ősi (szent) mérettel, ami ezek szerint a magyar királyokat is megilleti. Olvasásukhoz csupán az egyiptomi hieroglifákat kell ismerni.

G. Mi a Nbi helyes magyar olvasata? Nézzük meg még egyszer a következő hieroglifás jeleket: . Korábban már kitértünk elemzésükre, de nem jutottunk biztos olvasathoz. Nos, a párta segítségével választ kapunk erre a kérdésre is. A Pantokrátor képeket nézve feltűnik, hogy nincs rajtuk lábbeli. Két csupasz lábat látunk. (A kép további mondanivalójával itt nem foglalkozunk.) Kicsit szimbolikusan a lábánál hever a méret: az N-LÁBa-I = Nbi. Az Isten Lábai. Azért nem találtuk meg eddig a helyes olvasatot, mert az N, vagy AN – UN – EN – ON jelét nem tudtuk helyesen értelmezni. Egyébként a Nbi írásának másik variánsa is helyes olvasatot ad: azaz N- LÁB-O/A-I. Van-e valami köze szólásunkhoz: „megfogta az isten lábát”? Érdekességként megjegyezzük, hogy az egyiptomi Vörös Korona, hieroglifás jele , amelyet korábban már Gardiner transzliterációja alapján (dSrt) DiCSéReT-nek266 olvastunk, másik jelentéssel is rendelkezik: „phon. n, rare before Dyn. XVII.”267 Tehát a Vörös Koronát – Alsó Egyiptom királyi jelvényét – dicséretnek, de egyúttal ‘N’-nek is olvashatjuk. További érdeklődésre tarthat számot Petrie: der ‘Nordische Fuß” meghatározása: „…führte ihn zu der Bezeichnung „Doppelfuß” für die Kahunstäbe. Den einfachen Fuß mit 30-32 cm nannte er den Nordischen Fuß.” 268 Más szóval 266

Borbola, A másik út, Turán (XXIX.) II/4 (Budapest, 1999), 75-6. Gardiner, op. cit., Sign-list S3 , 504. 268 Roik, op. cit., A.3.4, 25. 267

234

XIII. A Szent Korona egyiptomi méretei

‘…vezette őt a Kahun-rudak meghatározásánál a „Kettősláb” leírásához. Az egyszeri lábméretet Északi Lábnak nevezte.’ Petrie meghatározása előtt tisztelettel meghajolunk. A Szent Korona pártáján megőrzött egyszeri lábméret 31,5 cm, N-LÁBAI-nak mérete 63(83) cm. Úgy is, mint a Petrie által Abüdosz-ban mért Nbi. Ki is volt az ‘N’? AN az asszirológia szerint a mezopotámiai isten neve, és ezzel gyakorlatilag meg is elégedhetnénk, hacsak… Érdekes módon ez az ‘N’ később sem tűnt el jelrendszerünkből. Mint a rövidítés jele, az epigráfia egyik elfogadott hullámvonalaként megmaradt a középkori feliratokon, ikonokon stb. Pontosabban ezt a vonalat senki sem nevezi az ‘n’ jelenék, ez csak azon merészek ‘agyszüleménye’, akik a hieratikus ‘n’ jelét a görög/római időkbe merészelik áthelyezni. Pedig igazából senki sem tudja, hogy mit is jelent ez a kicsit hullámos vonal, amely közvetlenül azonosítható a fent nevezett egyiptomi jellel. Számtalan ilyen felirat ismeretes, a többi között az oromzati Pantokrátor feje mellett látható körökben az IC és XC jelek fölött ehhez hasonló vonalat láthatunk:

23. ábra Részlet az oromzati Pantokrátor rekeszzománc képéről.

V.ö.: . Az ‘n’ hullámos vonala Nbi mértékegységünknél is a háromkottás LÁB fellett látható.269 Az ‘n’ jel és a rövidítés jelzésére elfogadott hullámvonal korántsem csupán valamilyen véletlen hasonlóság kérdése, mert az ismeretlen neve helyett írható latin rövidítés, az N.N. ma is használatos.270 Gondoljunk csak az anonim görög-latin meghatározás legismertebb magyar hordozójára, a Béla király korából származó Gesta Hungarorum szerzőjére a ‘mindenki által ismert’ ismeretlenre: Anonymusra. Nos, ha ezek után ismételten feltesszük kérdésünket, ki is volt valójában „N”, csak egy válasz lehetséges: Isten földi képviselője.

269 270

A láb hieroglifa teljes sormagasságú, csak a legritkább esetben helyeztek másik hieroglifát fölé. Bakos, op. cit., (nomen nescio) „nevét nem tudom, amit bármely személy neve helyett írhatunk”, 584.

235

Királykörök

I. Összefoglalás Ebben a fejezetben a Szent Korona vázának méreteit hasonlítottuk össze az általunk is keresett ősi mértékegységgel. Következtetéseinket az alábbiakban foglaljuk össze: • A Szent Korona abroncsa és kupolája azonos alapméretben készült, megítélésünk szerint a párta alakos elemei és az abroncs egyazon műhelyből származnak. • A Szent Korona alapmérete az egyiptológia által Nbi-nek nevezett egység, azaz 63,83 cm. Mint láttuk, ez volt az abroncsot képező aranylemez eredeti hosszúsága. • Ez az egység (a jobb áttekinthetőség kedvéért ennek század részével számoltunk) a vázrendszer általunk vizsgált minden kiterjedésében megtalálható, a mért és számolt nagyságok – a megadott tűréshatárok között – ennek egész számú kerek többszörösei. • A Szent Korona felső lapja kivétel, nem illeszkedik közvetlenül ebbe az egységbe, ez a lap méreteinek arányával kapcsolódik a Szent Koronához. • A Szent Koronán a 3-as, 8-as és 9-es számok szokatlanul gyakori előfordulása nem a véletlen játéka, nem valamilyen számmisztika hírnökei, hanem a kör területének ősi egyiptomi kiszámításához szükséges kulcsszámok. • A Szent Korona köré képezhető képzeletbeli piramis méretei alapján a korona eredeti, teljes magasságát 0,3 Nbi egységnyire tehetjük. • A párta tekinthető a Szent Korona léptékének, ami ebben az esetben szó szerint is érvényes, a Szent Korona készítői ezt a méretet „lépték”. A párta hossza nevezetesen 1/2 Nbi, azaz a Petrie által mért egy Északi láb. • A párta ‘titka’ az egyiptomi írással elolvasható, az eddig díszítésnek vélt halmok egyszerűen számok. Nagyságuk a már említett Nbi egységgel milliméter pontosságban azonosítható. • Az első háromszögben a Hórusz törtek összege, a 63/64 látható. • Az első nagy méhkasban a kör területének ősi számolásához szükséges állandókat látjuk: a 8-at, a 9-et és a 3-at. • A párta utolsó két elemében olvasható méret közvetlenül a láb nagyságát jelenti, 31,5 cm, a kisebb méhkasban szereplő további két fél kapu viszont a π ősi változatának a négyszeresét írja. Ezt az értéket, a 3,16-ot csak Egyiptomban használták a kör kerületének meghatározásánál. A párta adatai alapján az 1 láb átmérőjű kör kerülete a 31,5 cm × 3,16 = 99,54 cm ≈ 100 cm. • A koronaépítők számára a 3,16 nemcsak az un. π értékük négyszerese volt, hanem egy váltószámot, a „varázsszámot” jelenthette, mellyel a láb és a mé236

XIII. A Szent Korona egyiptomi méretei

ter közötti kapcsolatot fejezhették ki. Pl.:1 láb × 3,16 ≈ 1 méter, 2 láb × × 3,16 ≈ 2 méter, 3 láb × 3,16 ≈ 3 méter stb. • A Nbi nagyságok és a metrikus egységben mért eredmények azonossága megdöbbentő, egyúttal további gondolatok lavináját indíthatja el. Minden esetre érdemes alaposabb vizsgálatára később visszatérni. • A Nbi egyiptomi egységet ezentúl N-lábai-nak olvassuk. • Utoljára hagytuk, de ez a tény a legkülönösebb: A Szent Korona alapméretét jelentő, M.W.Fl. Petrie által is mért 0,6383 m-nek megfelelő Nbi méret mai ismereteink szerint csupán az ősi kegyhely, az Ozirisz tiszteletére épített egyiptomi temetőváros, Abüdosz épületeiben, szentélyeiben mérhető, melyekről elmondhatjuk, hogy a Szent Korona készítésének feltételezett idején már Egyiptom homokjában aludták évezredes álmukat. Meggyőződésünk, hogy az észlelések, megállapítások és levezetések alkalmával nem bocsátkoztunk ábrándos kalandokba, nem estünk csábító feltevések bűvkörébe, hanem a valóság megfogható és kiszámítható tételeire alapoztuk mondanivalónkat. A közismert és lejáratott számmisztikum olcsó fogásai helyett tényekkel, adatokkal, méretekkel érveltünk. A matematika és geometria világában mozogva választ adtunk a Szent Korona vázának és pártája alakos elemeinek összefüggéseire, méreteire és mondanivalójára. Végezetül tapasztalatainkat összefoglalva elmondhatjuk, hogy a Szent Korona, mint a legcsodálatosabb királykör, a magyar nép kultúráját, történelmét köti össze az ősi egyiptomi ismeretekkel.

237

XIV. Forrásmunkák Beckerath von J.: Chronologie des Pharaonischen Agypten (Mainz, 1997), Verlag Philipp von Zabern*gegründet 1785*. Borbola J.: Olvassuk együtt magyarul! A Moszkvai Matematikai Papirusz két feladatának magyar nyelvű olvasata. Írástörténeti Kutató Intézet (Budapest, 2000). Borchardt L und Ricke H.: Die Wohnhäuser in Tell el-Amarna (Berlin, 1980). Chace A.B.: The Rhind Mathmatical Papyrus (1906). The National Council of Teachers of Mathematics 1906 Association Drive, Reston, Virginia 22091. Eisenlohr A.: Ein mathemaschisches Handbuch der alten Aegypter (Papyrus Rhind des British Museum) (Leipzig, 1887).J.C.Hinrichs’ Buchhandlung. Gardiner A. H.: Egyptian Grammar, Third Edition (Oxford,1994) Griffith Institute, Ashmolean Museum. Gardiner A. H.: Ancient Egyptian Onomastica, Text, Vol I-II (Oxford, 1947). Griffith F.Ll.: Hieratic papyri from Kahun and Gurob (London, 1898). Zeitschrift für Ägyptische Sprache, 35-37.Band (Leipzig,1897-99). Hannig R.: Großes Handwörterbuch Ägyptisch-Deutsch (Mainz, 1995). Kákosy L.: Az ókori Egyiptom története és kultúrája (Budapest, 1998). Kemp J. B.: Ancient Egypt, anatomy of a civilization (London and New York, 1989). Möller G.: Hieratische Paläographie, Verlage J.C. Hinrichs (Leipzig, 1927). Peet T. Eric.: The Rhind Mathematical Papyrus, British Museum 10057 and 10058 (London, MCMXXIII). Introduction, Transscription, Translation and Commentary. Roik E.: Das Längemaßsystem im alten Ägypten (Hamburg,1993). Robins G. és Shute Ch.: The Rhind Mathematical Papyrus (London, 1987) The Trustees of the British Museum by British Museum Publications. Simonyi Károly: A fizika kultúrtörténete, Negyedik, átdolgozott kiadás, Akadémiai Kiadó (Budapest, 1998). TESZ, A magyar nyelv történeti-etimológiai szótára (Budapest, 1976) Akadémia Kiadó. Zonhoven L.M.J.: Middel-egyptische grammatica (Leiden, 1992).

239

A

nyanyelvét mindenki ajándékba kapja. Sokan mindjárt az egyik világnyelvet mondhatják sajátjuknak, mások viszont kevésbé szerencsések. E tekintetben mi kiváltságos helyzetben vagyunk. Nyelvünk sokrétűségével, rugalmasságával, teremtőképességével, de szókincsének gazdagságával és tömörségével is messze kiemelkedik a többi élő és holt nyelvek sorából. Szépsége csak azok előtt bontakozik ki, akik a magyar nyelvet anyanyelvükként tisztelhetik. Ilyen nyelv nem születik röpke párszáz év alatt, és nem lopható össze szomszédos kultúrák szókincsének átvételével sem. Könyvünkben nyelvünk egyik, a történelmi idők homályába visszanyúló gyökerét kutatjuk fel. Bemutatjuk, hogy a Nílus völgyében az első írásos emlékek megjelenésétől kezdve tisztán agglutináló, nyelvünk szerkezetével szinte azonos felépítésű, számunkra ma is jól érthető nyelven írtak, beszéltek és számoltak. Segítségével a Nílus-völgyi hieroglifákat a magyar nyelv ősén közvetlenül lehet, és ezen túl éppen ezért kell is olvasni. Minden állítás persze csak annyit ér, amennyit abból bizonyítani tudunk. Tételünket könyvünkben az eddig félreismert és megoldatlan 4000 éves szöveges példák, a királykörök megfejtésével, nyelvünk és az ősnyelv lélegzetelállító azonosságaival, valamint a legcsodálatosabb királykörrel, a titkát mindmáig őrző Szent Korona eddig ismeretlen egyiptomi méreteivel igazoljuk. Ajándék? Igen, de mint történelmünk folyamán soha semmit, ezt sem kaptuk ingyen. Anyanyelvünk, könyvünk tanúsága szerint őseink gondolatainak, egyúttal az egyetemes kultúra bölcsőjének megismerésére kötelez.

A szerző

241