Vezessük be újra a hídpénzt!1 Radnai Márton Pro Scientia Érmesek VI. Konferenciája, Miskolc, 2003
[email protected] Mottó: „Tillárom haj, az összes hídon bedugult a forgalom. Tegnap is bedugult, tillárom haj, és holnap is így lesz, tudom. Vidám a dalunk és semmi bajunk, iszunk egy bort, és otthon vagyunk. Vidám a dalunk és semmi bajunk, iszunk egy bort, és otthon vagyunk.” Heilig Gábor: Otthon vagyunk (részlet, énekli Kern András) 1. Bevezetés Kevés olyan területe van a gazdaságnak, amelyben az árazás olyannyira irracionális, annyira elmaradott és annyi veszteséget okoz, mint a tömegközlekedés esetében - írta 1961-ben William Vickrey Nobel díjas amerikai közgazdász2. Ez az állítás sajnos a budapesti tömegközlekedésre még ma is igaz. Ha moziba megyünk, természetesnek vesszük, hogy jegyet kell váltanunk, és azon sem lep dünk meg, hogy péntek este drágább a jegy, mint hétköznap. Ugyanennyire természetes az is, hogy éjjel olcsóbb a telefon, mint nappal, vagy a szállodai szobák drágábbak az ünnepek idején, mint egyébként. Cserébe viszont az is természetes, hogy mindig van szabad hely a moziban vagy szállodában, és tudunk telefonálni is. Ha viszont valaki például metróra vagy buszra ül, ugyanannyit fizet akkor is, ha reggel 8-kor a zsúfoltságban teszi ezt, mintha déli 12-kor az üres járatot veszi igénybe. Ha olcsóbb volna csúcsid n kívül utazni, bizonyára sokan indulnának ilyenkor útra, így csökkenne a zsúfoltság. Rövid id n belül már csak azok utaznának csúcsid ben, akik munkahelyükre, vagy iskolába sietnek. Hosszú távon azonban lehet, hogy néhány munkahely vagy iskola úgy döntene, hogy kés bb kezdi a munkát vagy tanítást, ha így a munkatársak vagy diákok pénzt takaríthatnak meg. A közlekedési vállalatnak pedig kevesebb járm re lesz szüksége, így költséget csökkenthet. Még rosszabb a helyzet az autós közlekedés terén - hiszen az utak, hidak igénybevételéért egyáltalán nem kell fizetni. Az eredményt minden autós ismeri - dugók és zsúfoltság. Az egyik legproblémásabb a budapesti hidak esete - a Lánchídon átjutni például este 10-kor 2 perc, hétköznap délután 5-kor viszont akár 10-20 percet is igénybe vehet. Es s id ben, és egy másik híd korlátozása esetén pedig akár egy órán keresztül is tarthat az út. Bár a probléma hosszú távon új hidak vagy alagutak építésével is megoldható, rövidtávon csak a forgalom korlátozása a megoldás (és forgalomkorlátozás nélkül a probléma újratermel dik). Ennek a közgazdászok által javasolt módja a hídpénz bevezetése. 1 Köszönettel tartozom Csiszár Csabának, Hanczár Gergelynek, Szatmári Alexandrának és a szekció valamennyi résztvev jének értékes megjegyzéseikért. 2 Vickrey, W: Pricing in Urban and Suburban Transport, American Economic Review, 53 (1963)
1
Hídpénz szedése nem ritka a világban – a New York-i Manhattan szigetre men hidak és alagutak többségén fizetni kell. Régen a budapesti hidak sem voltak ingyenesek – ezt bizonyítják a megmaradt fülkék a Szabadság-híd pesti hídf jénél. Londonban pedig 2003 februárjában vezették be a zsúfoltsági adót, amely szerint 5 fontot kell mindenkinek fizetni, aki London városközpontján akar keresztülhaladni autóval. Az els vizsgálatok azt mutatják, hogy a rendelkezés bevált – a forgalom 20 százalékkal csökkent az intézkedés bevezetése óta.3 Cikkünkben annak elméleti kérdéseivel foglalkozunk, hogy hogyan határozható meg az optimális (társadalmi összhasznot maximalizáló) hídpénz, és mely tényez k növelik, illetve csökkentik a hídpénz nagyságát. 2. A hídpénz modellje Tegyük fel, hogy az i. autós (i=1…n) hasznossági függvénye az alábbi alakú: U i = U i (xi , T ( X )) + mi X=
n i =1
(1) (2)
xi
ahol xi az autós döntése az utazásról ( xi = 0 , ha nem használja a hidat, xi = 1 , ha használja), X a hidat egy id ben használók száma, T a menetid , mi az autós egyéb javakra elkölthet jövedelme pénzben. Feltesszük, hogy ez a függvény xi -nek szigorúan monoton növ , T -nek pedig szigorúan monoton csökken függvénye, továbbá, hogy T -szerint folytonos és differenciálható. Feltesszük emellett, hogy T X -nek folytonos és differenciálható függvénye (ez nyilvánvalóan csak közelítés, de nagy X esetén elfogadható) a. Társadalmi optimum A társadalmi összhaszon az egyének hasznainak összege csökkentve a híd fenntartásának költségével, amir l az egyszer ség kedvéért feltesszük, hogy a használat mértékét l független, konstans érték. Ennek maximuma a társadalmi optimum:
W = max xj
n j =1
U j (x j , T ( X )) − c
(3)
Az optimális pont akkor alakul ki, ha
U i ( xi = 1) − U i ( xi = 0) = −
∂T ∂xi
n j =1
∂U j ( x j , T ( X )) ∂T
,
(4)
vagyis ha az egyén haszna az áthaladás esetén éppen annyival n , amennyivel az összes többi egyén haszna csökken amiatt, hogy megnövelte a menetid t.
3
Business Support for C-Charge remains firm, This is Local London, 19th August 2003
2
b. Egyéni optimum Nézzük meg ez után, hogy mi lesz az egyének saját optimalizálásának az eredménye, ha van hídpénz. Az egyén feladata az alábbi:
max U i ( xi , T ( X ) ) − pxi
(5)
xi
Az optimum els rend feltétele: U i ( x i = 1) − U i ( x i = 0) = p −
∂T ∂U i ( x i , T ( X )) ∂x i ∂T
(6)
Ha p helyére az alábbi értéket helyettesítjük be: p=−
∂T ∂x i
∂U j ( x j , T ( X ))
n
(7)
∂T
j =1
akkor az egyén feladata U i ( x i = 1) − U i ( x i = 0) = −
∂T ∂x i
≈−
∂T ∂xi
n
∂U j ( x j , T ( X )) ∂T
j =1
n
∂U j ( x j , T ( X )) ∂T
j =1
−
∂T ∂U i ( xi , T ( X )) ≈ ∂x i ∂T
,
(8)
(9)
amely majdnem a társadalmi optimumot eredményezi. A pontos társadalmi optimumot csak személyre szabott árakkal lehetne elérni, ahol ezt a majdnem optimális árat csökkentjük az egyénnek az áthaladási id növekedéséb l saját maga számára okozott kárral. Ha azonban a szerepl k száma kell en nagy, akkor ez az érték elhanyagolható az összes kárhoz képest, így a majdnem optimum igen közel lesz a tényleges optimumhoz. A hídpénz optimális értékét tehát meghatároztuk. Nézzük meg, hogy mi történik, ha nincs hídpénzszedés, azaz p = 0 . Az egyén feladata ekkor:
U i ( x i = 1) − U i ( x i = 0) = −
∂T ∂U i ( x i , T ( X )) ∂x i ∂T
(10)
Az egyén ekkor csak a saját maga számára okozott kárt veti össze az áthaladás hasznosságával. Mivel feltettük, hogy az U a T -nek szigorúan monoton csökken függvénye, az egyenlet jobb oldalán található érték kisebb lesz, mint az optimális ár esetén. Ez azt jelenti, hogy már sokkal kisebb haszon esetén is áthalad a hídon az autós, figyelmen kívül hagyva a többi autós számára áthaladásával okozott kárt. Ez a híd túlzott használatához, zsúfolódásához vezet.
3
3. Az optimális hídpénz tényez inek becslése A fenti optimális ár meghatározásához két tényez becslésére van szükség. El ször a szorzat els tényez jét vesszük szemügyre. a. Az els tényez becslése Az áthaladó autók és a menetid közti összefüggés meghatározásához egy egyszer mechanikai modellt használunk. Feltesszük, hogy két autó közti követési távolság akkora, amely elegend a teljes lefékezéshez még akkor is, ha az elöl haladó autó azonnal megáll (például beleütközik az el tte haladó autóba). Mivel az autós reakcióideje alatt még nem tudja megnyomni a fékpedált, a reakcióid alatt tartja sebességét, majd az út min ségét l függ gyorsulással lassulni kezd, míg meg nem áll. Az ez alatt megtett út, így a követési távolság az alábbi: 4
s = vk +
v2 2a
(11)
Ahol v a kezd sebesség, k a reakcióid , a pedig a gyorsulás mértéke. Tegyük fel emellett, hogy a híd hossza d , az autók hossza pedig l . Feltesszük, hogy minden autó (és autós) egyforma. A hídon áthaladó autók száma egyenl a híd hossza osztva a követési távolság és az autó hossza összegével (amennyiben a hídra felhajtáshoz már sorba kell állni, a híd hossza a sor méretével meghosszabbodik). Behelyettesítve az iménti képletet: X =
d = s+l
d v2 vk + +l 2a
A fenti egyenletb l kifejezve v -t (a megoldás létezéséhez szükséges, hogy X <
v = a k2 − 2
l d +2 − ak a aX
(12)
d ): l (13)
A menetid ennek segítségével már könnyen meghatározható:
T=
d = v
d l d a k −2 +2 − ak a aX
(14)
2
így ennek xi , azaz X szerinti deriváltja is: 4 Esetünkben a követési távolság az egyik autó orra és a másik autó fara közti távolságot jelenti. Más szerz k a követési távolságot a két egymást követ autó orra közti távolságként definiálják. Ezért a megjegyzésért köszönettel tartozom Csiszár Csabának.
4
∂T ∂T = = ∂xi ∂X
d2 v
2
v +k X2 a
d2
= a k2 − 2
l d +2 − ak a aX
2
k2 − 2
l d 2 +2 X a aX
(15)
Érdekességképpen meghatározhatjuk azt a sebességet is, amely mellett az egy másodperc alatt áthaladó autók száma maximális. Ez az érték B=
v = s+l
v 1 = 2 v l v + vk + +l k + 2a v 2a
(16)
B -t v szerint deriválva l 1 − 2 ∂B 2a v = ∂v v l k+ + 2a v
(17)
2
Amely akkor és csak akkor nulla, ha a számlálója nulla, azaz ha v * = 2al
(18)
b. A második tényez becslése Most következik a második tényez becslése, azaz az autósok várakozás miatti összes kárának becslése. Tegyük fel, hogy minden autós egyedül ül a kocsijában, és béréért túlórázhatna is, ha egy kicsit tovább benn maradhatna a munkahelyén (az inaktív autósok bére 0).
∂U j (1, T ( X )) ∂T
= −w j
(19)
Ha valaki nem használja a hidat, nyilván nem is szenved kárt, ha azt valaki más használja, így ebben az esetben a határhaszna nulla. ∂U j (0, T ( X )) ∂T
=0
(20)
A második tényez ezért az alábbi módon becsülhet : n j =1
∂U j ( x j , T ( X )) ∂T
=−
n j =1
5
x jwj
(21)
c. Összefoglalás Összefoglalva tehát az optimális hídpénz d2
p= v
=
2
n
v +k X2 a
j =1
x jwj =
d2 l d a k −2 +2 − ak a aX
(22)
n 2
l d 2 k −2 +2 X a aX
2
2
j =1
xjwj
(23)
A fenti kifejezés az autók számának „robbanó” függvénye.
4. Példa A fenti kifejezés intuitív vizsgálatához egy rövid számpéldát is mellékelünk. Tegyük fel, hogy egy híd hossza 100 méter, és el tte még további 900 métert sorba kell állnunk, hogy felhajthassunk rá – így a teljes út hossza, amikor a hídon lév k akadályozzák utazásunkat 1000 méter. Tegyük fel emellett, hogy a reakcióid 0,5 másodperc, az autók hossza 4 méter. m m A gyorsulás a = µg es s id ben 5 2 , száraz id ben pedig 10 2 . Az átlagbér nettó 357,10 s s Ft / óra (60000 Ft/hónap). A következ két táblázatban látható néhány f bb részadat illetve a kiszámított optimális hídpénz nagysága száraz és es s út esetén az autók számának függvényében (az autók számának elméleti maximuma 1000/4=250).
6
1. táblázat – száraz út Autók száma Sebesség Köv. táv. Menetid 1 mp alatt áthaladó (db) (km/h) (m) (mp) autók száma (db) Díj (Ft) 1 490,40 996,00 7,34 0,1362 0,38 11 133,20 86,91 27,03 0,4069 1,57 21 89,84 43,62 40,07 0,5241 2,53 31 69,46 28,26 51,83 0,5981 3,54 41 56,89 20,39 63,28 0,6480 4,66 51 48,10 15,61 74,84 0,6815 5,93 61 41,47 12,39 86,82 0,7026 7,42 71 36,20 10,08 99,44 0,7140 9,18 81 31,87 8,35 113,00 0,7171 11,28 91 28,21 6,99 127,60 0,7131 13,83 101 25,05 5,90 143,70 0,7029 16,96 111 22,28 5,01 161,60 0,6869 20,86 121 19,81 4,26 181,80 0,6657 25,79 131 17,58 3,63 204,80 0,6397 32,14 141 15,55 3,09 231,50 0,6090 40,47 151 13,68 2,62 263,10 0,5739 51,68 161 11,95 2,21 301,20 0,5345 67,19 171 10,34 1,85 348,30 0,4910 89,39 181 8,82 1,53 408,20 0,4434 122,60 191 7,38 1,24 487,60 0,3917 175,20 201 6,02 0,98 598,40 0,3359 265,00 211 4,71 0,74 764,70 0,2759 435,90 221 3,45 0,52 1044,00 0,2117 821,00 231 2,23 0,33 1614,00 0,1431 1991,00 241 1,05 0,15 3444,00 0,0700 9231,00
2. táblázat – es s út Autók száma Sebesség Köv. táv. Menetid 1 mp alatt áthaladó Es /Száraz -1 (db) (km/h) (m) (mp) autók száma (db) Díj (Ft) (%) 1 350,40 996,00 10,27 0,0973 0,52 38,57% 11 97,51 86,91 36,92 0,2979 2,08 32,29% 21 66,72 43,62 53,95 0,3892 3,27 29,11% 31 52,18 28,26 68,99 0,4493 4,48 26,62% 41 43,19 20,39 83,36 0,4919 5,80 24,52% 51 36,87 15,61 97,65 0,5223 7,28 22,67% 61 32,08 12,39 112,20 0,5435 8,98 21,00% 71 28,26 10,08 127,40 0,5573 10,96 19,43% 81 25,10 8,35 143,40 0,5647 13,30 17,91% 91 22,41 6,99 160,60 0,5666 16,12 16,56% 101 20,08 5,90 179,30 0,5634 19,54 15,21% 111 18,02 5,01 199,80 0,5557 23,76 13,90% 121 16,17 4,26 222,60 0,5436 29,05 12,64% 131 14,49 3,63 248,40 0,5274 35,80 11,39% 141 12,95 3,09 278,00 0,5072 44,60 10,21% 151 11,52 2,62 312,60 0,4830 56,34 9,02% 161 10,17 2,21 353,90 0,4549 72,46 7,84% 171 8,90 1,85 404,40 0,4229 95,39 6,71% 181 7,69 1,53 468,00 0,3867 129,50 5,63% 191 6,53 1,24 551,40 0,3464 183,10 4,51% 201 5,40 0,98 666,60 0,3015 274,10 3,43% 211 4,30 0,74 837,70 0,2519 446,70 2,48% 221 3,21 0,52 1122,00 0,1969 833,80 1,56% 231 2,12 0,33 1699,00 0,1360 2006,00 0,75% 241 1,02 0,15 3537,00 0,0682 9251,00 0,22%
7
Mivel nem tettünk korlátozást a maximális sebességre, alacsony autószám esetén igen magas átlagsebességeket is kaptunk. Az egy másodperc alatt áthaladó autók száma es s id ben körülbelül 90 autónál és 22 km/h sebességnél a legnagyobb (a korábban levezetettek miatt ez az érték pontosan 2 * 5 * 4 * 3,6 = 22,77 km/h) – itt az útdíj 16 forint. Ebben az esetben a menetid 160 másodperc, azaz kevesebb, mint 3 perc. A menetid 181 autónál mintegy 8 perc, míg 221 autónál már közel 19 perc. Vegyük észre, hogy az es esetén optimális díj egyre csökken mértékben tér el a száraz id esetén optimális díjtól (ennek oka az, hogy a sebesség csökkenésével a követési távolságon belül egyre n a reakcióid , és csökken a lassulási id miatti távolság). Látható, hogy a díj igen lassan kezd növekedni, de utána annál gyorsabban növekszik – a pszichológiai korlát 100 forintot körülbelül 181 autónál éri el, de 231 autónál már az 1000 forintot is átlépi.
5. Végkövetkeztetések Most, hogy meghatároztuk az optimális hídpénz mértékét, nyilvánvaló, hogy mely tényez k növelik, és melyek csökkentik a nagyságát. A hídpénzt növeli a hídon lév (és arra sorba álló) autók száma, a reakcióid hossza, az autók hossza, az es s id 5, valamint a hídon utazók órabéreinek összege (minél több aktív utazik a hídon, annál magasabb). Ezek közül az autók száma és az órabér miatt is mindenképpen magasabb díjat kell csúcsid ben meghatározni, mint csúcsid n kívül. Ésszer ek, de valószín leg nem népszer ek lennének azok az intézkedések, amelyek a magasabb reakcióidej ek (n k, vagy id sebbek) számára vagy nagyobb autóval rendelkez k számára magasabb díjakat szabnának meg. Bár elvileg a levezetett képlet minden paramétere megadható, ennek folyamatos kiszámítása igencsak költséges lenne. A gyakorlatban (Szingapúrban) ezért inkább azt a megoldást választják, hogy a hídpénzt napon belül úgy változtatják, hogy az id egység alatt áthaladó autók száma mindig egy bizonyos értékkel legyen egyenl . Ez azonban valószín leg nem egyezik meg az általunk is levezetett maximális áthaladó autók számával. Az érték meghatározásához ezért az általunk levezetett képletet érdemes alkalmazni úgy, hogy megvizsgáljuk, mikor egyenl az általunk az adott forgalom mellett számított hídpénz a valós, ugyanilyen mérték forgalmat biztosító díjjal (modellünkben az optimális díj a forgalom növekedésével n , míg a díjemelés hatására a forgalom csökken).
5 Az es nemcsak a megnöveked követési távolságon keresztül növeli a menetid t, és így a hídpénzt, hanem az áthaladó autók számának megnövekedésén keresztül is, mivel es ben többen ülnek autóba. Ezért a megjegyzésért köszönettel tartozom Hanczár Gergelynek.
8
