Vergelijkende studie tussen theoretische en empirische optieprijzen op Euronext beurzen

UNIVERSITEIT GENT

FACULTEIT ECONOMIE EN BEDRIJFSKUNDE ACADEMIEJAAR 2010 – 2011

Vergelijkende studie tussen theoretische en empirische optieprijzen op Euronext beurzen

Masterproef voorgedragen tot het bekomen van de graad van

Master in de Toegepaste Economische Wetenschappen: Handelsingenieur

Evert Troch

Onder leiding van

Dr. Dries Heyman

UNIVERSITEIT GENT

FACULTEIT ECONOMIE EN BEDRIJFSKUNDE ACADEMIEJAAR 2010 – 2011

Vergelijkende studie tussen theoretische en empirische optieprijzen op Euronext beurzen

Masterproef voorgedragen tot het bekomen van de graad van

Master in de Toegepaste Economische Wetenschappen: Handelsingenieur

Evert Troch

Onder leiding van

Dr. Dries Heyman

Vertrouwelijkheidclausule

Ondergetekende verklaart dat de inhoud van deze masterproef mag geraadpleegd en/of gereproduceerd worden, mits bronvermelding.

Troch Evert

I

Voorwoord

In november 2009 viel mijn oog op de titel van deze masterproef. Niet veel later startte ik een tocht die mijn kennis zou tarten op vele dimensies. Het is een onderzoeksdomein waar economie, wiskunde, fysica, statistiek en informatica tezamen komen. Deze masterproef is de naam afsluiter dan ook waardig. In deze tocht was ik uiteraard niet alleen. Vooreerst zou ik mijn dankwoord willen richten aan de dr. Heyman, die mij snel en accuraat kon voorzien van antwoorden op heel specifieke vragen. Verder ben ik ook heel dankbaar voor het verkregen vertrouwen en de vrijheid in het traject binnen de masterproef. Verder zou ik enkele medewerkers binnen Thomson Reuters willen bedanken voor de begeleiding bij dataverzameling en dataverwerking. De medewerkers Malfait, Madlang-awa, Nisha, Mauroux en Mangeat gaven blijk van veel geduld en betrokkenheid in geval van problemen. Ook binnen mijn kennissenkring zou ik iedereen willen bedanken die op sporadische wijze rekenkracht ter beschikking stelde. Tenslotte zou ik graag mijn vriendin en mijn ouders willen bedanken, niet alleen omdat ze de tijd hebben gevonden en de interesse hebben getoond om deze Masterproef na te lezen, maar ook voor hun steun doorheen mijn volledige academische opleiding.

II

Inhoudstabel

1.

Onderwerp van de masterproef.................................................................................................... 1

2.

Lévy proces en informatiestroom.................................................................................................. 3

3.

Overkoepelend kader voor prijsbepaling – Karakteristieke functies................................................. 5

4.

Empirisch waarderingsvermogen van verschillende aandelenprijsprocessen ................................. 14

4.1

Elementaire bouwsteen – Black-Scholes-Merton model met dividend....................................... 14

4.2

Elementaire bouwsteen – Stochastische volatiliteit.................................................................. 18

4.3

4.4

4.2.1

Volatiliteitoppervlak, -glimlach en -grijns...................................................................... 18

4.2.2

Heston (1993) ............................................................................................................. 30

Elementaire bouwsteen – Poisson sprongen ............................................................................ 36 4.3.1

Enkelvoudige sprongen ............................................................................................... 44

4.3.2

Merton (1976) - Sprongdiffusie model (logaritmische normale sprongen) ...................... 44

4.3.3

Pareto sprongen/Kou model – Tweevoudig exponentieel sprongdiffusie model.............. 46

Elementaire bouwsteen – Lévy sprongen................................................................................. 48 4.4.1

Subordinatie ............................................................................................................... 48

4.4.2

Lévy processen ........................................................................................................... 49

4.4.3 Stochastisch klokmodel – Variantie-Gamma model (Madan, Milne, 1991, Madan, Carr en Chang, 1998) ............................................................................................................................. 51 4.4.4

Stochastisch klokmodel – Normaal invers Gaussisch (Barndorff-Nielsen, 1998) ............... 53

4.5

Stochastische tijdsverandering................................................................................................ 54

4.6

Fractionele Brownse beweging,............................................................................................... 54

5.

Waarderingsvermogen............................................................................................................... 56

6.

Kwadratuurregel ........................................................................................................................ 57

7.

Kalibreren – Globale optimalisatieprocedures ............................................................................. 60

7.1

Adaptief gesimuleerd uitgloeiing proces .................................................................................. 60

7.2

PSO ....................................................................................................................................... 64

8.

Implementatie ........................................................................................................................... 66

9.

Resultaten................................................................................................................................. 70

9.1

Data ...................................................................................................................................... 70 III

9.2

Euronext Brussel .................................................................................................................... 71

9.3

Euronext Amsterdam ............................................................................................................. 81

9.4

Euronext Parijs....................................................................................................................... 91

9.5

Euronext Londen.................................................................................................................. 101

9.6

Samenvatting resultaten....................................................................................................... 111

10.

Conclusie ............................................................................................................................. 121

IV

Lijst van gebruikte afkortingen

DV = Differentiaalvergelijking SDV = Stochastische differentiaalvergelijking PDV = Partiële differentiaalvergelijking APT = Arbitrage Pricing Theory BS = Black-Scholes CIR = Cox-Ingersoll-Ross model t = Huidig tijdstip K = Uitoefenprijs of “Strike price” = TTM = Tijd tot vervaldag T = Vervaldag = Aandelenprijs op tijdstip t = Forward/future op tijdstip t = Brownse beweging op tijdstip t = Interestvoet op tijdstip t = Dividendvoet = Een verdisconteerde nulcoupon obligatieprijs = Een geschaalde forwardprijs op tijdstip t ITM = In-The-Money ATM = At-The-Money OTM = Out-The-Money V

= Arrow-Debreu effect = Risiconeutrale kans dat de optie op tijdstip t ITM vervalt onder kansmaat = Arrow-Debreu effect = Risiconeutrale kans dat de optie op tijdstip t ITM vervalt onder kansmaat L = Liquiditeit of “Moneyness” IV = Geïmpliceerde volatiliteit of “Implied Volatility” SV = Stochastische volatiliteit SI = Stochastische interestvoeten PJ = Poisson sprong J = Sprong SVJ = Stochastische volatiliteit met sprongen (identiek aan Bates model in deze masterproef) LV= Lévy sprong L = Liquiditeit of “Moneyness” SR = Square Root Process µ = Drift σ = Volatiliteit = Noise ∼ N(0,1) ∆ = Tijdstap = Gemiddelde op lange termijn of “long-run mean” Snelheid van terugkeer of “rate of reversion” of “mean reversion force” Volatility of volatility of vol-vol parameter of dispersiecoefficiënt Correlatie tussen de logaritmische opbrengsten en de volatiliteit van het activa.

VI

= Sprongintensiteit, i.e. het gemiddeld aantal aankomsten van sprongen per tijdseenheid (1 jaar). Onafhankelijk Poissonproces met sprongintensiteit . J(t) = Procentuele spronggrootte = De standaardafwijking van VG = Variance-Gamma NIG = Normal Inverse Gaussian SVVG = Stochastische volatiliteit gecombineerd met Variance-Gamma SVNIG = Stochastische volatiliteit gecombineerd met Normal Inverse Gaussian RMSE = Root Mean Squared Error ARPE = Average Relative Percentage Error AAE = Average Absolute Error APE = Average Percentage Error H = Hurst index ASA = Adaptive Simulated Annealing PSO = Particle Swarm Optimization LTCM = Long-Term Capital Management

VII

Lijst tabellen en figuren

Tabellen hoofdtekst

Tabel 4.3.1 Vergelijking diffusiemodellen en sprongmodellen (Bron: Selectie uit Cont & Tankov, 2004) Tabel 6.a Vergelijking methodes voor berekening van de prijs van de call optie Tabel 9.1.a Dimensies van gebruikte reeksen Tabel 9.2.a Black-Scholes parameter voor Euronext Brussel Tabel 9.2.b Heston parameters voor Euronext Brussel Tabel 9.2.c Merton parameters voor Euronext Brussel Tabel 9.2.d Bates parameters voor Euronext Brussel Tabel 9.2.e Kou parameters voor Euronext Brussel Tabel 9.2.f SVKou parameters voor Euronext Brussel Tabel 9.2.g VG parameters voor Euronext Brussel Tabel 9.2.h SVVG parameters voor Euronext Brussel Tabel 9.2.i NIG parameters voor Euronext Brussel Tabel 9.2.j SVNIG parameters voor Euronext Brussel Tabel 9.3.a Black-Scholes parameter voor Euronext Amsterdam Tabel 9.3.b Heston parameters voor Euronext Amsterdam Tabel 9.3.c Merton parameters voor Euronext Amsterdam Tabel 9.3.d Bates parameters voor Euronext Amsterdam Tabel 9.3.e Kou parameters voor Euronext Amsterdam Tabel 9.3.f SVKou parameters voor Euronext Amsterdam Tabel 9.3.g VG parameters voor Euronext Amsterdam Tabel 9.3.h SVVG parameters voor Euronext Amsterdam

VIII

Tabel 9.3.i NIG parameters voor Euronext Amsterdam Tabel 9.3.j SVNIG parameters voor Euronext Amsterdam Tabel 9.4.a Black-Scholes parameter voor Euronext Parijs Tabel 9.4.b Heston parameters voor Euronext Parijs Tabel 9.4.c Merton parameters voor Euronext Parijs Tabel 9.4.d Bates parameters voor Euronext Parijs Tabel 9.4.e Kou parameters voor Euronext Parijs Tabel 9.4.f SVKou parameters voor Euronext Parijs Tabel 9.4.g VG parameters voor Euronext Parijs Tabel 9.4.h SVVG parameters voor Euronext Parijs Tabel 9.4.i NIG parameters voor Euronext Parijs Tabel 9.4.j SVNIG parameters voor Euronext Parijs Tabel 9.5.a Black-Scholes parameter voor Euronext Londen Tabel 9.5.b Heston parameters voor Euronext Londen Tabel 9.5.c Merton parameters voor Euronext Londen Tabel 9.5.d Bates parameters voor Euronext Londen Tabel 9.5.e Kou parameters voor Euronext Londen Tabel 9.5.f SVKou parameters voor Euronext Londen Tabel 9.5.g VG parameters voor Euronext Londen Tabel 9.5.h SVVG parameters voor Euronext Londen Tabel 9.5.i NIG parameters voor Euronext Londen Tabel 9.5.j SVNIG parameters voor Euronext Londen Tabel 9.6.a Euronext Brussel over- en onderwaardering Tabel 9.6.b Overzicht waarderingsvermogen, Euronext Brussel Tabel 9.6.c Geordend globaal waarderingsvermogen, Euronext Brussel Tabel 9.6.d Geordend op fit per aantal parameters, Euronext Brussel IX

Tabel 9.6.e Overzicht waarderingsvermogen, Euronext Amsterdam Tabel 9.6.f Geordend globaal waarderingsvermogen, Euronext Amsterdam Tabel 9.6.g Geordend op fit per aantal parameters, Euronext Amsterdam Tabel 9.6.h Overzicht waarderingsvermogen, Euronext Parijs Tabel 9.6.i Geordend globaal waarderingsvermogen, Euronext Parijs Tabel 9.6.j Geordend op fit per aantal parameters, Euronext Parijs Tabel 9.6.k Overzicht waarderingsvermogen, Euronext Londen Tabel 9.6.l Geordend globaal waarderingsvermogen, Euronext Londen Tabel 9.6.m Geordend op fit per aantal parameters, Euronext Londen

Figuren hoofdtekst

Figuur 1.a Overzicht beslissingsboom voor modelkeuze (Bron: Eigen werk) Figuur 3.a Het onderwerp van de waardering is de optiepremie (Bron: Eigen werk) Figuur 4.1.a Simulatie Brownse beweging met [r-q,σ+=*0.01,0.5+ (Bron: Eigen werk) Figuur 4.2.1.a De aandelenopbrengsten voor de Bel20 voor ’90-’09. (Bron: Eigen werk & Eviews) Figuur 4.2.1.b Volatiliteitoppervlak voor vier indices op Euronext (Bron: Eigen werk) Figuur 4.2.1.c (Boven) Gemiddeld volatiliteitoppervlak ’10-’11 (Midden) Uitoefenprijsstructuur (Onder) Termijnstructuur (Bron: Eigen werk) Figuur 4.2.1.d (Boven) Gemiddeld volatiliteitoppervlak ’08-’10 (Midden) Uitoefenprijsstructuur (Onder) Termijnstructuur (Bron: Eigen werk) Figuur 4.2.1.e (Boven) Gemiddeld volatiliteitoppervlak ’09-’10 (Midden) Uitoefenprijsstructuur (Onder) Termijnstructuur (Bron: Eigen werk) Figuur 4.2.1.f (Boven) Gemiddeld volatiliteitoppervlak ’10 (Midden) Uitoefenprijsstructuur (Onder) Termijnstructuur (Bron: Eigen werk) Figuur 4.2.2.a Simulatie square root process voor *σ,κ,θ,v0+=*2,2,2,2+ (Bron: Eigen werk) Figuur 4.2.2.b Simulatie square root process voor *σ,κ,θ,v0+=*1,2,2,2+ (Bron: Eigen werk) X

Figuur 4.2.2.c Simulatie square root process voor *σ,κ,θ,v0+=*1,20,2,2+ (Bron: Eigen werk) Figuur 4.2.2.d Simulatie Heston process met [r-q,σ,κ,θ,ρ,v0+=*0.01,0.5,10,0.1,-0.9,0.2] (Bron: Eigen werk) Figuur 4.3.a Sprongen ter grootte van 2% en meer van de index (Bron: Eigen werk) Figuur 4.3.b Variërende amplitude en volatiliteitclusters voor de Bel20, periode ’90-’11 (Bron: Eigen werk) Figuur 4.3.c Constante amplitude bij de Brownse beweging (Bron: Eigen werk) Figuur 4.3.d De aandelenprijs verspreidt zich als een wolk naarmate we verder in de toekomst kijken. σ bepaalt hierbij de snelheid van diffusie en de breedte van de wolk. (Bron: Derman E. (2004) My life as a quant – Reflections on physics and finance) Figuur 4.3.e Wanneer men de mogelijkheid van een sprong incorporeert, neemt het bereik aan mogelijke aandelenprijzen drastisch toe. (Bron: Derman E. (2004) My life as a quant – Reflections on physics and finance) Figuur 4.3.f Traject van het Poissonproces (Bron: Gegenereerd aan de hand van de matlab code van Raimundas Gaigalas) Figuur 4.3.2.a Traject van Merton zijn sprongdiffusie proces (Bron: Gegenereerd aan de hand van de matlab code van Meucci) Figuur 4.3.3.a Traject van Kou zijn tweevoudig exponentieel sprongdiffusie proces (Bron: Gegenereerd aan de hand van de matlab code van Meucci) Figuur 4.4.3.a Traject van het VG proces (Bron: Gegenereerd aan de hand van de matlab code van Meucci) Figuur 4.4.4.a Traject van het NIG proces (Bron: Gegenereerd aan de hand van de matlab code van Meucci) Figuur 4.6.a Fractionele Brownse beweging (Bron: Gegenereerd aan de hand van de matlab code van Meucci) Figuur 8.a Grafische interface van het modulaire waarderingskader (De mesh is het BS volatiliteitoppervlak, het groene vlak is het SVNIG volatiliteitoppervlak) Figuur 9.2.a Gekalibreerde σ en gemiddelde σ van het volatiliteitoppervlak voor 100 handelsdagen Figuur 9.2.b Black-Scholes foutoppervlak voor Euronext Brussel Figuur 9.2.c Heston foutoppervlak voor Euronext Brussel Figuur 9.2.d Merton foutoppervlak voor Euronext Brussel

XI

Figuur 9.2.e Bates foutoppervlak voor Euronext Brussel Figuur 9.2.f Kou foutoppervlak voor Euronext Brussel Figuur 9.2.g SVKou foutoppervlak voor Euronext Brussel Figuur 9.2.h VG foutoppervlak voor Euronext Brussel Figuur 9.2.i SVVG foutoppervlak voor Euronext Brussel Figuur 9.2.j NIG foutoppervlak voor Euronext Brussel Figuur 9.2.k SVNIG foutoppervlak voor Euronext Brussel Figuur 9.3.a Gekalibreerde σ van het volatiliteitoppervlak voor 180 handelsdagen Figuur 9.3.b Black-Scholes foutoppervlak voor Euronext Amsterdam Figuur 9.3.c Heston foutoppervlak voor Euronext Amsterdam Figuur 9.3.d Merton foutoppervlak voor Euronext Amsterdam Figuur 9.3.e Bates foutoppervlak voor Euronext Amsterdam Figuur 9.3.f Kou foutoppervlak voor Euronext Amsterdam Figuur 9.3.g SVKou foutoppervlak voor Euronext Amsterdam Figuur 9.3.h VG foutoppervlak voor Euronext Amsterdam Figuur 9.3.i SVVG foutoppervlak voor Euronext Amsterdam Figuur 9.3.j NIG foutoppervlak voor Euronext Amsterdam Figuur 9.3.k SVNIG foutoppervlak voor Euronext Amsterdam Figuur 9.4.a Gekalibreerde σ van het volatiliteitoppervlak voor 400 handelsdagen Figuur 9.4.b Black-Scholes foutoppervlak voor Euronext Parijs Figuur 9.4.c Heston foutoppervlak voor Euronext Parijs Figuur 9.4.d Merton foutoppervlak voor Euronext Parijs Figuur 9.4.e Bates foutoppervlak voor Euronext Parijs Figuur 9.4.f Kou foutoppervlak voor Euronext Parijs Figuur 9.4.g SVKou foutoppervlak voor Euronext Parijs Figuur 9.4.h VG foutoppervlak voor Euronext Parijs XII

Figuur 9.4.i SVVG foutoppervlak voor Euronext Parijs Figuur 9.4.j NIG foutoppervlak voor Euronext Parijs Figuur 9.4.k SVNIG foutoppervlak voor Euronext Parijs Figuur 9.5.a Gekalibreerde σ van het volatiliteitoppervlak voor 245 handelsdagen Figuur 9.5.b Black-Scholes foutoppervlak voor Euronext Londen Figuur 9.5.c Heston foutoppervlak voor Euronext Londen Figuur 9.5.d Merton foutoppervlak voor Euronext Londen Figuur 9.5.e Bates foutoppervlak voor Euronext Londen Figuur 9.5.f Kou foutoppervlak voor Euronext Londen Figuur 9.5.g SVKou foutoppervlak voor Euronext Londen Figuur 9.5.h VG foutoppervlak voor Euronext Londen Figuur 9.5.i SVVG foutoppervlak voor Euronext Londen Figuur 9.5.j NIG foutoppervlak voor Euronext Londen Figuur 9.5.k SVNIG foutoppervlak voor Euronext Londen

Figuren appendix Figuur 1.a Historische fundering van de analogie tussen het opwerpen van een muntstuk en aandelenprijsbewegingen. (Bron: Kopie uit het boek van Regnault, Calcul des chances et philosophie de la bourse) Figuur 7.a Histogram AEX Figuur 7.b Histogram ASE Figuur 7.c Histogram AMI Figuur 7.d Histogram IGPA Figuur 7.e Histogram IGBC Figuur 7.f Histogram CAC Figuur 7.g Histogram FTSE China XIII

Figuur 7.h Histogram OMX Helsinki Figuur 7.i Histogram OMX Riga Figuur 7.j Histogram OMX Talinn Figuur 7.k Histogram Oslo exchange Figuur 7.l Histogram SBF 120 Figuur 7.m Histogram Warsaw GI

XIV

1. Onderwerp van de masterproef

Opties zijn afgeleide instrumenten die op dagelijkse basis een handelsvolume halen van miljoenen contracten. Opties worden niet enkel als instrument op zich verhandeld, maar vormen vaak een bouwsteen voor complexere afgeleide instrumenten. Het wijdverspreid gebruik van dit instrument leidde tot een uitgestrekt onderzoeksdomein dat zich toelegt op optiewaardering. Een optie is een afgeleid instrument met als onderliggend instrument het aandeel waarop de optie geschreven is. Door deze contractuele band bestaat er een relatie tussen de waarde van het aandeel en de waarde v an de optie. Het onderzoeksdomein van optiewaardering maakt gebruik van deze relatie om, op basis van de waarde van het aandeel en enkele contractclausules, de waarde van de optie te bepalen. In deze masterproef zullen we verschillende waarderingsmodellen voor opties vergelijken. Modellen voor optiewaardering worden op basis van drie dimensies geëvalueerd1. In deze masterproef behandelen we slechts één van deze aspecten, met name het statische prestatievermogen. Het statische prestatievermogen verwijst naar het waarderingsvermogen van het gebruikte model. Andere aspecten, zoals consistentie tussen model- en tijdserie parameters en het dynamische prestatievermogen, valt buiten het bereik van deze masterproef.

Figuur 1.a Overzicht beslissingsboom voor modelkeuze (Bron: Eigen werk)

Om het statische prestatievermogen te maximaliseren, dienen we een waarderingskader op te zetten. In dit waarderingskader zullen we op basis van het onderliggende instrument en de contractclausules van de optie, de marktprijs proberen te benaderen door middel van de modelprijs van het afgeleide 1

Bakshi, Cao, Chen (1997) Empirical performance of alternative option pricing models

1

instrument. Dit waarderingskader wordt gekenmerkt door drie factoren die het waarderingsvermogen beïnvloeden. Een eerste factor is de keuze van het aandelenprijsproces en zal het relatieve waarderingsvermogen beïnvloeden. Bij de keuze in aandelenprijsproces zal de bron van onzekerheid een belangrijke rol spelen. De overige twee factoren, een kwadratuurregel en een optimalisatieprocedure, bepalen het absolute waarderingsvermogen.

2

2. Lévy proces en informatiestroom

De waarde van een optie wordt bepaald door vraag en aanbod. Deze twee grootheden zijn afhankelijk van de beslissingen van handelaars op de beurs. Aangezien het onmogelijk is om dit gedrag te voorspellen of te modelleren, is onderzoek vooral gericht op processen die de handelsactiviteit voorafgaan. Het betreft processen die dicht aanleunen tegen aankoop- en verkoopbeslissingen. De meest kenmerkende zijn de informatiestroom en de informatieverwerking. Een handelaar op de beurs krijgt informatie binnen, interpreteert die en maakt al dan niet een verrichting. Daar het onderzoeksdomein “Behavorial finance” zich vooral toelegt op de interpretatie van informatie, valt de modellering van de informatiestroom onder stochastische calcul us. In deze masterproef zullen wij ons toeleggen op het laatste concept. Gebruikmakend van de veronderstelling van de efficiënte markthypothese, zal de informatiestroom het stochastische gedrag van het onderliggende instrument bepalen. Met andere woorden, de influx van informatie reflecteert zich onmiddellijk in de aandelenprijs. Via Arbitrage Pricing Theory kunnen we op basis van het stochastisch gedrag van de aandelenprijs, het stochastische gedrag van het afgeleide instrument bepalen. Om de informatiestroom te modelleren, grijpen we terug naar een gekend concept binnen financiële markten. Het betreft de EMH of Efficient Market Hypothesis. We gaan uit van twee basisveronderstellingen die gezamenlijk de efficiënte markthypothese constitueren2. Een eerste veronderstelling is dat aandelenprijzen Markov processen zijn. Dit betekent dat alle informatie die vereist is om toekomstige aandelenprijswijzigingen te voorspellen, vervat is in de huidige geobserveerde prijs. Dit betekent dat informatie uit het verleden de voorspelling niet kan verbeteren. Zo kan een handelaar op basis van fundamentele en technische analyse zijn voorspellingen niet versterken. Een tweede veronderstelling is dat de voorspellingen, verdisconteerd naar het huidige tijdstip, gecentreerd zijn rond nul. Deze veronderstellingen leiden tot het modelleren van aandelenprijzen als processen met onafhankelijke en stationaire toenames. Het prototype proces met stationaire en onafhankelijke toenames is het lévy proces (Appendix – Definitie 2.15). De veronderstelling van efficiënte markten dringt bijgevolg het lévy proces op als bron van onzekerheid. Informatie is de belangrijkste bron van onzekerheid binnen financiële markten. Een natuurramp, nieuwe reglementering voor financiële instellingen, wijzigingen van de rente of zelfs de 2

Cherubini, Lunga, Mulinacci, Rossi (2010) Fourier transform methods in finance

3

verkiezingsuitslag zijn voorbeelden van nieuws of informatie welke een directe of indirecte invloed heeft op beursgenoteerde bedrijven. Bemerk dat we geen veronderstelling maken over de snelheid waarmee informatie de markt binnenvloeit. De Brownse beweging (appendix, deel 3) en het Poisson proces (Appendix, deel 4) zijn twee bijzondere gevallen van het Lévy proces. Startend vanuit dit algemeen lévy proces zullen we definiëren hoe informatie de markt zal binnenvloeien. Het betreft het vastleggen van kanswetten die het arriveren van informatie determineert en prijsveranderingen veroorzaakt. Ter illustratie, de kansmaat van de Brownse beweging is de Gaussische kanswet. Hierdoor is de dispersie v an deze beweging proportioneel met de tijdslengte. In essentie zal dit werkstuk gaan over de mate van willekeurigheid waarmee informatie toekomt. De evolutie in modellen kan men niet los zien van de bijhorende geschiedenis. De theorie rond optiewaardering ontstond meer dan honderd jaar geleden (Appendix, deel 8). Het postuleren van theorieën zoals stochastische wandelingen was niet vanzelfsprekend in tijden waarin de deterministische visie domineerde. Men kan stellen dat het vestigen van de “Random Walk” theorie niet vanzelfsprekend was en veel tegenwind ontving. Deze vorm van willekeur bleek echter onvoldoende te zijn. Financiële markten kunnen turbulentie vertonen. In elke wetenschappelijk onderzoeksdomein is turbulentie een complex gegeven dat moeilijk te modelleren is. Het is dan ook vanzelfsprekend dat een optiewaarderingsmodel, dat enkel gebruik maakt van één parameter, niet in staat is om de verdeling van de aandelenopbrengsten te internaliseren, tenzij onder extreme parameterwaarden.

4

3. Overkoepelend kader voor prijsbepaling – Karakteristieke functies 3,4,5,6

Het onderwerp van waardering binnen deze masterproef is de Europese call optie. Een call optie is een afgeleid instrument op zich, maar vormt tevens een bouwsteen voor complexere afgeleide instrumenten. Inleidende begrippen betreffende de call optie kunnen worden teruggevonden in de appendix, onderdeel 6. In figuur 3.a illustreren we op grafische wijze het onderwerp van de waardering. Optiewaardering richt zich op het bepalen van de prijs van de optiepremie. Bemerk dat dit de diepte van de functie zal bepalen en bijgevolg de drempel voor winstgeneratie voor de houder van de call optie. De waardering van put opties is gelijkaardig in termen van gebruikte formules. Men kan stellen dat, gebruikmakend van de put-call pariteit, de waardering van call opties volledig analoog is aan die van put opties. Bijgevolg vallen put opties ook buiten het kader van deze masterproef.

Figuur 3.a Het onderwerp van de waardering is de optiepremie (Bron: Eigen werk)

Er bestaan verschillende technieken om de optiepremie of optieprijs te bepalen. Aangezien we enkel wensen gebruik te maken van modellen die formules in gesloten vorm aanbieden, is er geen nood aan 3

Bakshi, Madan (2000) Spanning and derivative-security valuation Carr, Madan (1999) Option valuation using the fast fourier transform 5 Cox, Ross (1975) The valuation of options for alternative stochastic processes 6 Zhu (2000) Applications of fourier transform to smile modeling - theory and implementation 4

5

numerieke procedures zoals binomiale bomen, Monte Carlo simulatie en eindige elementen methoden. Om de prijs van afgeleide instrumenten te bepalen, maken we gebruik van Arbitrage Pricing Technique of APT die voor het eerst geïntroduceerd werd door Ross7 . Deze techniek wordt verder uitgewerkt in volgende paragraaf. De funderingen van deze theorie werden gevormd door Modigliani en Miller8,9. Zij stellen dat, in afwezigheid van marktimperfecties, equivalente verzamelingen van financiële vorderingen dienen te noteren aan een identieke prijs. In geval van afgeleide instrumenten vloeit deze equivalentie voort uit de contractuele band tussen de waarde van het afgeleide instrument en de waarde van het onderliggende instrument. Een traditionele illustratie is de equivalentie tussen de positie in de call optie en de positie in het onderliggende instrument, zijnde het aandeel, gecombineerd met een positie in de geldmarkt. We kunnen hieruit besluiten dat, indien we het stochastische gedrag van het aandelenprijsproces en de geldmarkt correct kunnen modelleren, we hieruit het stochastische gedrag en bijgevolg de prijs van de call optie kunnen bepalen. Het stochastische gedrag van het aandelenprijsproces en dat van de geldmarkt kan worden gemodelleerd aan de hand van één of meerdere Itô processen X(t) (Appendix – Definitie 2.10). De wijze waarop de keuze in Itô processen zich manifesteert in het stochastische gedrag van het afgeleide instrument f(X(t)), wordt weergegeven door de Itô-Doeblinformule (Appendix – Definitie 2.11). Met deze elementen ter beschikking, ontstond er een waarderingstechniek die vandaag in mindere mate wordt toegepast. Deze waarderingstechniek, gebaseerd op dynamisch indekken, veronderstelt de mogelijkheid tot het opzetten van een zelffinancierende strategie die arbitrage uitsluit. Meer specifiek, het gaat over de creatie van een risicoloze portefeuille van aandelen, opties en de geldmarkt. Substitutie van hun stochastisch gedrag, tezamen met de veronderstelling van een risicoloze groei in de waarde van de portefeuille, leidde tot een partiële differentiaalvergelijking waarvan de oplossing de prijs van het derivaat voorstelde. Deze waarderingstechniek wordt ook wel de PDV-methode genoemd. De Noarbitrage veronderstelling zorgt ervoor dat de drift term µ van het aandelenprijsproces en het proces van de call optie naar de risicoloze rentevoet r wordt gebracht. In deze masterproef zal dit

zijn

aangezien wij werken met indices op Euronext en deze een dividendvoet uitbetalen. Deze PDV-methode wordt in de praktijk steeds minder toegepast omdat het vaak onmogelijk is om een oplossing in gesloten

7

Cox, Ross, Rubinstein (1979) Option pricing: A simplified approach Modigliani, Miller (1958) The cost of capital, corporation finance and the theory of investment 9 Merton (1977) On the pricing of contingent claims and the Modigliani -Miller theorem 8

6

vorm te bepalen voor de optieprijs. En zelfs indien deze kan gevonden worden, is het resultaat vaak onoverzichtelijk groot en computationeel ingewikkeld. Een flexibelere waarderingstechniek is risiconeutrale waardering. Deze wordt onderpind door dezelfde economische principes als die van het dynamisch indekken, maar heeft een meer technisch handelbare formulatie. De verdisconteerde versie van het Feynman-Kac theorema (Appendix – Definitie 2.13) vormt de brug tussen deze twee technieken, i.e. de deterministische PDV-wereld en de stochastische wereld van de verwachtingsoperator. Inderdaad, risiconeutrale waardering betekent dat we de PDV niet dienen op te lossen, de uitwerking van de verwachtingswaarde, gevolgd door een verdiscontering is voldoende. De gebruikte waarderingstechniek die we hier toepassen is die van de risiconeutrale waardering, gecombineerd met het concept van karakteristieke functies. De voordelen van het gebruik van deze functies wordt later vermeld. De veronderstelling van dynamisch indekken, steunt op het principe van marktvolledigheid. Dankzij marktvolledigheid dienen we geen rekening te houden met preferenties. Er wordt echter frequent niet aan deze veronderstelling voldaan. Ter illustratie, in een model met stochastische volatiliteit, wordt men geconfronteerd met een extra bron van onzekerheid, welke leidt tot een onvolledige markt. Om het proces risiconeutraal te maken, introduceert men de marktprijs van het risico. De marktprijs van het risico introduceert preferenties en is bijgevolg moeilijk te schatten. Gegeven deze algemene werkwijze, gaan we over tot het opzetten van het waarderingskader. Aangezien het gedrag van handelaars op de beurs niet deterministisch is, dienen we gebruik te maken van stochastische calculus. Een differentiaalvergelijking of DV is ontoereikend om het aandelenprijsproces te modelleren. Er is nood aan een stochastische component welke we introduceren als een Lévy proces. Wanneer we een stochastische component toevoegen aan een differentiaalvergelijking bekomen we een stochastische differentiaalvergelijking of SDV. Om het waarderingskader uit te werken, introduceren we twee stochastische differentiaalvergelijkingen. Enerzijds hebben we het risicovolle aandelenprijsproces en anderzijds het risicoloze rentevoetproces voor de geldmarkt. Zoals reeds vermeld, kunnen beide worden voorgesteld door Itô processen10,11

10 11

Zhu (2000) Applications of fourier transform to smile modeling - theory and implementation Rouah () The Heston Model

7

Waarbij

en

ook Itô processen kunnen volgen,

en

respectievelijk een n-

dimensionale en een één-dimensionale Brownse beweging voorstellen. Voor de constructie van de Brownse beweging, zie Appendix, onderdeel 3. Verder vereisen we dat , en

, waarbij

bijna zeker (éénmaal en tweemaal continu afleidbaar). Opdat

de SDV een unieke oplossing zou hebben , dienen a,b,c en e te voldoen aan de Lipschitz en groeivoorwaarde. (Appendix – Defintie 5.1). Risiconeutrale waardering geeft ons de prijs van de call optie.

Met t het huidige tijdstip, de tijd tot vervaldag en Q de risiconeutrale kansmaat. We definiëren: (Uitoefengebied van de call) (Toegelaten gebied voor de aandelenprijs bij vervaldag) De gezamenlijke risiconeutrale kansdichtheid functie van de resterende of toekomstige onzekerheid

8

We herschrijven dit als

We bemerken dat de prijs van een call optie kan worden ontbonden in vier primitieven. (i)

Een verdisconteerde nulcoupon obligatieprijs op tijdstip t met

perioden tot vervaldag. Op vervaldag betaalt deze

obligatieprijs € 1 uit.

(ii)

= Een geschaalde forward prijs op tijdstip t ( = eerlijke prijs van een belofte tot levering op vervaldag onderliggend activa

(iii)

van het

op vervaldag).

Twee Arrow-Debreu effecten of delta vorderingen:

We tonen aan dat

en

Arrow-Debreu effecten (Appendix - Definitie 5.2) voorstellen

onder een getransformeerde equivalente kansmaat (Appendix Definitie - 2.14). Voor

en

nemen we volgende respectievelijke Radon-Nikodym afgeleides (Appendix Definitie – 2.16):

9

We herschrijven

en

Beide zijn indicator functies S

welke de waarde 1 aannemen in het uitoefengebied, i.e. wanneer

en de waarde nul anderzijds.

en

worden geïnterpreteerd als de

risiconeutrale kansen dat op tijdstip t de optie ITM vervalt, weliswaar onder de verschillende kansmaten en

De kans

.

kan geïnterpreteerd worden als “Aangepast aan de aandelenmarkt” en de kans

als “Aangepast aan de geldmarkt”. Uit voorgaande is duidelijk dat de primitieven gelijkaardige 10

componenten bezitten. Elk van deze primitieven zal dan ook kunnen bepaald worden via de karakteristieke functie (Appendix – Definitie 5.3). We hebben voor de karakteristieke functie en zijn afgeleide:

De vier primitieven worden opgebouwd aan de hand van de twee voorgaande functies (i)

(ii) Met

de partiële afgeleide van

naar

(iii)

We bepalen de karakteristieke functies die horen bij de kansen (i)

De karakteristieke functie voor van

onder de kansmaat

in termen van de kans

is de verwachtingswaarde

en wordt als volgt bepaald

11

(ii)

De karakteristieke functie voor verwachtingswaarde van

in termen van de kans onder de kansmaat

is de

en wordt als volgt bepaald

We herschrijven de waarderingsformule en werken met de logaritmische tegenhanger van de aandelenprijs.

Een analoge uitdrukking kan worden bekomen voor put opties.

12

We verantwoorden het belang van karakteristieke functies in het gebruikte waarderingskader: (i)

De oplossing bestaat uit een beperkt aantal elementaire functies. Dit resulteert in een handelbare implementatie.

(ii)

De flexibele eigenschappen van de Fourier transformatie komen ter beschikking in het domein van de waardering van financiële activa.

(iii)

Karakteristieke functies zijn altijd continu, ook in het geval van discontinue distributies. Dit brengt grote voordelen met zich mee wanneer men sprong- of lévyprocessen modelleert.

(iv)

Deze functies zorgen voor een modulair kader in de creatie van optiewaardering modellen. Onafhankelijke stochastische factoren in het aandelenprijsproces vormen een aparte bouwsteen12 :

Waarbij SV, SI, PJ en LV respectievelijk verwijzen naar stochastische volatiliteit, stochastische interestvoeten, Poisson sprong en Lévy sprong. Wanneer men de specifieke karakteristieken van een bouwsteen uitschakelt, verkrijgt men de karakteristieke functie van het BS model, welke we noteren als

12

.

Zhu (1999) Modular pricing of options

13

4. Empirisch waarderingsvermogen van verschillende aandelenprijsprocessen 13

Gezien Reuters enkel de forward/future waarden, aandelenprijzen en optieprijzen ter beschikking stelt en om het effect van dividenden te incorporeren, beperken we de set aan mogelijke optiewaardering modellen en laten we de SI case vallen. We bekomen een meer vertrouwde waarderingsformule 14

Deze notatie wordt ook wel de “Black-Scholes styles” notatie genoemd. Hierbij wordt als de “delta” geïnterpreteerd. Indien

de forward/future waarde voorstelt en

de aandelenprijs, dan

kunnen we dit herschrijven als

met Men zou kunnen stellen dat dit de “Black styles” notatie is.15

4.1 Elementaire bouwsteen – Black-Scholes-Merton model met dividend16,17,18

Het BS model kent een wijdverspreid gebruik in de bank en investeringswereld. De hoofdreden vinden we terug in het feit dat dit model geen veronderstelling vereist over de verwachtingen van de investeerders betreffende de aandelenopbrengsten. In het BS model wordt het aandelenprijsproces gemodelleerd als een geometrische Brownse beweging. Een voorloper van dit proces is de absolute of rekenkundige Brownse beweging, welke werd ingevoerd door Bachelier in 1900. De historiek rond deze modellen kunnen worden teruggevonden in deel 8 van de appendix. Aangezien aandelenprijzen in het 13

Zhu (2000) Applications of fourier transform to smile modeling - theory and implementation Lewis (2001) A simple option formula for general jump-diffusion and other exponential lévy processes 15 Hull (2009) Options, futures and other derivatives 16 Black, Scholes (1974) The effects of dividend yield and dividend policy on common stock prices and returns 17 Black, Scholes (1973) The pricing of options and corporate liabilities 18 Merton () Theory of rational option pricing 14

14

Bachelier model negatief kunnen worden en dit in tegenspraak is met de beperkte aansprakelijkheid die we tegenkomen in de praktijk, opteert men voor de geometrische variant. Deze wordt genoteerd als

Deze SDV beschrijft de aandelenopbrengsten in de continue tijdrekening aan de hand van een drift coëfficiënt

en een coëfficiënt voor de volatiliteit . De microfundering voor een positieve drift is

“overtollige vraag”, die voor de volatiliteit is “handelsvolume”. We noteerden echter meteen de risiconeutrale vorm, i.e., de drift is, na verandering van kansmaat, de risicoloze rente op de geldmarkt, verminderd met de dividendvoet die de index uitkeert. We simuleren deze geometrische Brownse beweging aan de hand van Milstein zijn eerste orde discretisatie schema.19 Dit schema is een uitbreiding op het schema van Euler en implementeren we in matlab via volgende formule

Waarbij

. Hierbij stelt 252 het aantal handelsdagen in een jaar voor

en

3600 3400 3200 3000 2800 2600 2400 2200 2000 1800

0

100

200

300

400

500

Figuur 4.1.a Simulatie Brownse beweging met

19

600

700

800

900

1000

(Bron: Eigen werk)

Glasserman (2000) Monte carlo methods in financial engineering

15

Het BS model gaat gepaard met de veronderstellingen van een ideale frictieloze markt

(i)

Het aandeel volgt een stochastische wandeling, welke continu is in de tijd. Deze stochastische wandeling wordt de geometrische Brownse beweging genoemd. Hierbij wordt verondersteld dat de korte termijn intrestvoet r gekend en constant is doorheen de tijd. Ook de volatiliteit wordt verondersteld constant te zijn. Deze beweging creëert een logaritmisch normale verdeling van de aandelenprijs tussen twee tijdstippen.

(ii)

De beschouwde optie is van het type “Europees”, m.a.w., het kan enkel uitgeoefend worden op het eindtijdstip.

(iii)

Frictieloze markt a. Er zijn geen transactiekosten, belastingen, marge vereisten en er is geen verschil in bieden laatprijzen. b. Perfecte liquide markt, m.a.w., de handel in aandelen en derivaten is continu. Er zijn geen transactietijden. De continue handel heeft een vaste, geplande eindhorizon met tijdstip T, waarna alle economische activiteit stopt. c. Het shorten van afgeleide instrumenten met volledig gebruik van de opbrengsten is toegestaan. d. De voet waaraan wordt geleend en ontleend, is identiek.

(iv)

Alle aandelen en derivaten zijn perfect deelbaar.

(v)

Er zijn geen risicoloze arbitrage-opportuniteiten.

(vi)

De marktparticipanten zijn prijsnemers. Hun activiteit op de markt beïnvloedt de markt zelf niet.

Deze batterij aan veronderstellingen heeft tot gevolg dat deze waarderingsmethode tot vertekenende resultaten leidt. Niet elke veronderstelling is evenzeer problematisch. Zo vereist (ii) het gebruik van waarderingsformules voor Amerikaanse opties in plaats van waarderingsmodellen voor Europese opties. Een andere methode is het gebruik van een benaderingstechniek waarbij men de waarde van de 16

Europese optie neemt en er een premie bij optelt20. Ingersoll21 toonde aan dat (iii).a geen probleem vormt. Thorp22 vermeldt dat het effect van belastingen en transactiekosten, zoals vermeld in (iii).c, de analyse niet beïnvloedt. Merton en Samuelson23 toonden aan dat, onder voorwaarden van discrete handel, de risicoloze arbitrage portfolio enig risico loopt. De grootte van de gelopen risico’s is een begrensde continue functie van de handelintervallengte. Veronderstellingen (iv), (v), (vi), marge vereisten, verschil in bied- en laatprijzen hebben een relatief kleine impact op de waardering in vergelijking met andere veronderstellingen. We besluiten dat de waarderingsproblemen zich bevinden in veronderstelling (i). In essentie wordt het aandelenprijsproces aangedreven door een stochastisch experiment dat zo eenvoudig is als het opwerpen van een muntstuk (zie appendix, deel 1). Desalniettemin, wordt deze methode wegens zijn eenvoud nog vaak toegepast. Mandelbrot24 vat dit krachtig samen in de volgende stelling: “The belief that there is no alternative is strengthened by the fact that coin tossing is indeed, the oldest and by far the most widely used model of price variation” We zullen dan ook alternatieven in overweging nemen. Deze alternatieven zijn een verbetering op de BS bouwsteen of een combinatie van deze bouwstenen. We vermelden, zonder bewijs, de benodigde karakteristieke functies voor de BS bouwsteen

met

20

Adesi, Whaley (1987) Efficient analytic approximation of American option values Ingersoll (1976) A theor etical and empirical investigation of the dual purpose funds: An application of contingentclaims analysis 22 Thorp (1973) Extensions of the Black-Scholes Option Model 23 Merton, Samuelson (1974) Fallacy of the log-normal approximation to optimal portfolio decision-making over many periods 24 Mandelbrot () Fractal financial fluctuations; do they threaten sustainability? 21

17

In de appendix, deel 10, staat de matlab code vermeld die, op basis van geïmpliceerde volatiliteit, de marktprijs bepaald. Om de werking van het model te controleren, werd de uitkomst van het model vergeleken met bestaande waarderingsfuncties in de matlabomgeving.

4.2 Elementaire bouwsteen – Stochastische volatiliteit

4.2.1

Volatiliteitoppervlak, -glimlach en -grijns25

De meest betwiste veronderstelling van het BS model is dat van de constante volatiliteit. Indien deze veronderstelling correct zou zijn, dan zouden de logaritmische aandelenopbrengsten een normale verdeling moeten volgen. Reeds vijftig jaar geleden verschenen de eerste studies in verband met het feit dat aandelenopbrengsten niet normaal verdeeld zijn26,27. Een analyse van het histogram van de Bel20 voor de periode 1990-2009 bevestigt dit. 1,400

Series: LOG_RETURN Sample 1 5000 Observations 5000

1,200 1,000

Mean Median Maximum Minimum Std. Dev. Skewness Kurtosis

800 600 400

2.22e-05 0.000000 0.093340 -0.083193 0.011278 -0.022614 11.24626

Jarque-Bera 14167.27 Probability 0.000000

200 0 -0.075

-0.050

-0.025

0.000

0.025

0.050

0.075

Figuur 4.2.1.a De aandelenopbrengsten voor de Bel20 voor ’90-’09. Deze werden berekend als test verwerpt

De Jarque-Bera

De logaritmische aandelenopbrengsten zijn normaal verdeeld. (Bron: Eigen werk & Eviews)

25

Derman (1999) Regimes of volatility – Some observations on the variation of S&P 500 implied volatilities Mandelbrot (1963) The variation of certain speculative pri ces 27 Fama (1965) The behavior of stock-market prices 26

18

Deze aandelenopbrengsten zijn continu samengestelde opbrengsten of logaritmische opbrengsten. Dit is het limietgeval van de uitbetaling van een jaarlijkse interest, m keer per jaar, met m gaande naar oneindig. Voor de normale verdeling verwacht men een kurtosis (Appendix – Definitie 5.4) van drie en een scheefheid (Appendix, Definitie 5.3) van nul. Hoewel de JB test enkele tekortkomingen heeft, kunnen we besluiten dat aandelenopbrengsten afwijken van de normale verdeling. Voor meer geavanceerde testen, verwijzen we naar Doornik en Hansen (1994), Richardson en Smith (1993), Harvey (1995), Bai en Ng (2001). Een andere optie is het gebruik van testen gebaseerd op dichtheden zo als KolmogorovSmirnov of Lilliefors. In deel 7 van de appendix kunnen de histogrammen voor verschillende beurshuizen over de wereld worden teruggevonden. De verdelingen vertonen telkens gelijkaardige momenten. Het niet gaussische karakter van deze financiële data manifesteert zich in volgende stilistische eigenschappen: (i)

Dikke staarten of overtollige kurtosis 15,16,28,29 We bemerken een hoge kurtosis wat, in vergelijking met de normale verdeling, overeenstemt met meer kansmassa in het centrum en de staarten van de distributie. Met andere woorden, extreme gebeurtenissen komen vaker voor dan voorspeld door de normale verdeling. We kunnen stellen dat de normale verdeling het aantal en de grootte van de bloei- en crashperiodes onderschat. De aanwezigheid van dikkere staarten betekent niet dat alle diffusie processen onbruikbaar zijn. Men kan gebruik maken van niet-lineaire diffusie processen die, hoewel aangedreven door een Brownse beweging, op zich een proces vormen dat niet Gaussisch is.

(ii)

Asymmetrie of negatieve scheefheid30,31,32 We bemerken een negatieve scheefheid. Dit suggereert dat er meer extreme negatieve gebeurtenissen of crashes voorkomen dan extreme positieve gebeurtenissen of bloeiperiodes. Een diepgaandere analyse van scheefheid vinden we terug in Bakshi, Kapadia en Madan33 .

28

Blattberg, Gonedes (1974) A comparison of the stable and student distributions as statistical models for stock prices 29 Kon (1984) Models of stock returns - A comparison 30 Arditti (1971) Another look at mutual fund performance 31 Simkowitz en Beedles (1978) Asymmetric stable distributed security returns 32 Singleton en Wingender (1986) Skewness persistence in common stock returns 33 Bakshi, Kapadia, Madan (2003) Stock return characteristics, skew laws, and the differential pricing of individual equity options

19

Voorgaande eigenschappen leggen de oorzaken van het probleem bloot. De hogere kans op crashes en het risicomijdend gedrag van investeerders resulteert in een zoektocht naar bescherming tegen het instorten van de markt. OTM puts zijn hier ideaal voor en worden bijgevolg veelvuldig aangekocht. Dit heeft tot gevolg dat de geïmpliceerde volatiliteit en de optiepremie hoger ligt. OTM calls daarentegen zijn in overaanbod, waardoor de optiepremie lager ligt. Wanneer men deze volatiliteit uitzet op een grafiek tegen de uitoefenprijzen, ontstaat er een soort van “grijns”. Dit vormt het symptoom van het probleem. Ook het symptoom kunnen we illustreren. Gegeven de marktprijzen van de call opties, kunnen we ook op een andere wijze aantonen dat de veronderstelling van constante volatiliteit incorrect is. We doen dit door het BS model voor verschillende uitoefenprijzen K en tijden welke we noteren als de geïmpliceerde volatiliteit

tot vervaldag uit te werken naar ,

. Men gebruikt hiervoor meestal een

iteratieve techniek zoals bv. Newton-Raphson. Indien men opties wil quoteren, zal men vaak deze grootheid gebruiken in plaats van de absolute waarde van de optieprijs. Het belangrijkste voordeel dat deze quoteringsmethode met zich meebrengt is de standaardisatie en de daaruit volgende vergelijkbaarheid van opties. We dienen echter te vermelden dat het quoteren van een verschillende geïmpliceerde volatiliteit voor eenzelfde index in tegenspraak is met de veronderstellingen van het BS model. Het uitwerken van het BS model naar deze geïmpliceerde volatiliteit geeft ons de volatiliteitmatrix. Reuters stelt verscheidene optiecontracten met verschillende uitoefenprijzen K en tijden

tot vervaldag

voor één bepaalde index ter beschikking. We ontwikkelen een Excel-tool die met behulp van een ingebouwde zoekfunctie voor een welbepaalde handelsdag de volatiliteitmatrix samenstelt. De gebruikte Excel code en voorbeelden van volatiliteitmatrixen kunnen teruggevonden worden in de Appendix, deel 11. Reuters past lineaire interpolatie toe in geval van ontbrekende waarden. De voorziene documentatie van Reuters kan worden teruggevonden in de Appendix, deel 12. Om maximale consistentie te behouden, nemen wij deze techniek over. Op figuur 4.2.1.b vinden we de volatiliteitoppervlakken terug voor Euronext Londen, Parijs, Brussel en Amsterdam op willekeurige handelsdagen. Het volatiliteitoppervlak verschilt van handelsdag tot handelsdag en is een weerspiegeling van het marktsentiment. Het is een momentopname en is tevens een theoretische voorstelling van de afwijking tussen BS optieprijzen en marktprijzen voor opties. Mocht de BS veronderstelling van constante volatiliteit correct zijn, dan zou dit oppervlak een vlak moeten zijn dat evenwijdig is met het grondvlak. In de discrete tijdrekening is dit vergelijkbaar met een binomiale 20

boomstructuur waarbij elke stap op de boom gebeurt met een gelijke procentuele verandering. Het geïmpliceerde volatiliteitoppervlak heeft echter een structuur die gelijkaardig is aan die van een tent. Met andere woorden, de geïmpliceerde volatiliteit is geen constante σ maar een functie

. Dit

stemt overeen met een gedeformeerde binomiale boomstructuur in de discrete tijdrekening. Men spreekt ook van variërende lokale volatiliteit. We kunnen besluiten dat aan een constante globale volatiliteit niet voldaan is. We passen in Excel een methode toe die de volatiliteitmatrix samenvat in maturiteit- en liquiditeitcategorieën. We doen dit aan de hand van volgende procedure: (i)

Vastleggen van liquiditeitgrenzen (0.94, 0.97, 1, 1.03, 1.06)

(ii)

Vastleggen maturiteitgrenzen

(iii)

Data filteren en categoriseren op basis van de vastgelegde grenzen. Mathematisch vergelijkbaar met het gebruik van indicatorfuncties

(iv)

Gemiddeldes nemen

Er bestaan vele definities voor liquiditeit. Aangezien de optimale keuze van een categorie geen invloed heeft op het waarderingsvermogen, definiëren we de liquiditeit voor call opties op eenvoudige wijze als . We programmeren een macro die voor elke handelsdag de gecategoriseerde volatiliteitinformatie extraheert uit de dataseries van Reuters. Een tweede macro neemt het gemiddelde van al deze informatie. Op de figuren 4.2.1.c,d,e en f zien we het gemiddelde volatiliteitoppervlak voor Euronext Brussel, Amsterdam, Parijs en Londen respectievelijk. Uit het volatiliteitoppervlak halen we de termijnstructuur en de uitoefenprijsstructuur. In geval van indices is de gelijkenis tussen de uitoefenprijsstructuur en de symmetrische volatiliteitglimlach minder uitgesproken. Daarom spreekt men in de literatuur van de naar beneden hellende grijns.

21

Figuur 4.2.1.b Volatiliteitoppervlak voor vier indices op Euronext (Bron: Eigen werk)

22

Figuur 4.2.1.c (Boven) Gemiddeld volatiliteitoppervlak ’10-’11 (Midden) Uitoefenprijsstructuur (Onder) Termijnstructuur (Bron: Eigen werk)

23

Figuur 4.2.1.d (Boven) Gemiddeld volatiliteitoppervlak ’08-’10 (Midden) Uitoefenprijsstructuur (Onder) Termijnstructuur (Bron: Eigen werk)

24

Figuur 4.2.1.e (Boven) Gemiddeld volatiliteitoppervlak ’09-’10 (Midden) Uitoefenprijsstructuur (Onder) Termijnstructuur (Bron: Eigen werk)

25

Figuur 4.2.1.f (Boven) Gemiddeld volatiliteitoppervlak ’10 (Midden) Uitoefenprijsstructuur (Onder) Termijnstructuur (Bron: Eigen werk)

26

Deze structuren worden als volgt omschreven34 (i)

Uitoefenprijsstructuur of “Strike structure” of “Negative skew” Gegeven een vaste vervaldatum: Met andere woorden,

Waarbij

staat voor liquiditeit of

“moneyness”.

(ii)

Termijnstructuur of “Term structure” Gegeven een vaste uitoefenprijs:

Deze regel wijzigt

echter voor opties die diep ITM zijn. Voor deze laatste categorie geldt over het algemeen 35

We vermelden dat relatie (ii) traditioneel minder

uitgesproken is dan relatie (i). Hoewel er dag op dag verschillen kunnen zijn, blijven deze eigenschappen over het algemeen gelden. Zo kan het volatiliteitoppervlak op

andere karakteristieken vertonen dan het volatiliteitoppervlak op

, maar eigenschap (i) en (ii) gelden gemiddeld voor de volatiliteitoppervlakken met

met

voldoende groot. De aanwezigheid van deze patronen zijn ontstaan na de beurscrash van 1987 en worden geassocieerd met “Crashophobia”36,37 . OTM puts zijn de goedkoopste en beste bescherming tegen een neerwaartse duik van de markt. Sinds de crash zijn investeerders bewust van dit neerwaarts potentieel en zijn ze welwillend om een premie te betalen om zich in te dekken tegen deze onzekerheid. Carr en Wu38 stellen dat de interactie tussen het niveau van de aandelenindex en de volatiliteit van deze aandelenindex verloopt via drie kanalen: (i)

Het effect van de financiële hefboom39,40,41,42,43

Een stilistische eigenschap van financiële data is asymmetrie in de volatiliteit. Wanneer we het bedrijfsrisico constant houden, dan zal bij een toename (afname) in de financiële hefboom, de 34

Derman, Kani, Zou (1995) The Local Volatility Surface - Unlocking the Information in Index Option Prices Macbeth, Merville (1979) An empirical examination of the Black-Scholes call option pricing model 36 Bates (1990) The Crash of ’87: Was It expected? The evidence from Options Markets 37 Bates (1998) Post-’87 Crash fears in the S&P 500 futures options market 38 Carr, Wu (2009) Leverage Effect, Volatility Feedback, and Self-Exciting Market Disruptions: Disentangling the Multi-Dimensional Variations in S&P 500 Index Options 39 Black (1976) The pricing of commodity contracts 40 Christie (1982) The stochastic behavior of common stock variances : Value, leverage and interest rate effects 41 Schmalensee en Trippi (1978) Common stock volatility expectations implied by option premia 42 Beckers (1980) The constant elasticity of variance model and its implications for option p ricing 43 Nandi (1998) How important is the correlation between returns and volatility in a stochastic volatility model? Empirical evidence from pricing and hedging in the S&P 500 index options market 35

27

aandelenvolatiliteit ook toenemen (afnemen). De economische interpretatie kan worden gezocht in de relatieve wijziging van de gemiddelde marktwaarde van bedrijven ten opzichte van de schuld die ze dragen. Wanneer de aandelenindex toeneemt (afneemt), dan is de gemiddelde marktwaarde relatief hoog (laag) in vergelijking met de relatief lage (hoge) schuld van de bedrijven. Gemiddeld worden de risico’s, die hun oorsprong vinden in de schuldgraad van bedrijven, verlaagd (verhoogd) bij een hogere (lagere) gemiddelde marktwaarde, wat overeenstemt een lage (hoge) volatiliteit van de aandelenindex. Hoewel de wijziging van de financiële hefboom, met constante schuldgraad, afkomstig kan zijn van een wijziging in het aandelenniveau, kunnen managementbeslissingen deze grootheid ook beïnvloeden.44,45. Campbell en Hentschel46 daarentegen geven hier een andere interpretatie aan. Zij postuleren dat negatief nieuws een sterkere impact heeft dan goed nieuws.

(ii)

Het effect van de volatiliteitterugkoppeling

Ongeacht het niveau of de variatie in financiële hefboomwerking, doet een positieve schok in het bedrijfsrisico de kapitaalkost stijgen en verminderd het de waardering van toekomstige cashflows en dus de waarde van het bedrijf. Deze volatiliteitterugkoppeling creëert een negatieve correlatie tussen schokken in aandelenopbrengsten en de volatiliteit van de aandelenopbrengsten.

(iii)

Het effect van zelfversterkende marktverstoringen

De financiële markt vertoont zowel continue bewegingen als discontinue verstoringen. Grote negatieve marktstoringen kunnen zelfopwekkend gedrag vertonen. Het voorkomen van één verstoring leidt tot meerdere verstoringen, waardoor de marktvolatiliteit stijgt. We kunnen besluiten dat de BS veronderstelling van een constante volatiliteit over de gehele tijdsas een onrealistische veronderstelling is. Zowel Mandelbrot (1963) als Fama (1965) wezen hierop en dit werd bevestigd door Black en Scholes in 1972. De eerste methode om dit probleem op te lossen zijn de lokale volatiliteitmodellen, ontwikkeld door Dupire. Hierbij veronderstelt men dat de geïmpliceerde volatiliteit een deterministische functie is van de aandelenprijs47,48,49 . Het aandelenprijsproces wordt als volgt genoteerd:

44

Titman and Tomaidis (2005) Determinants of credit spreads in commercial mortgages Adrian and Shin (2008) Liquidity and leverage 46 Campbell en Hentschel (1992) No news is good news: An asymmetric model of changing volatility in stock returns 47 Dupire (1994) Pricing with a smile 45

28

Deze modellen vormden zelden een verbetering op het BS model en worden niet of nauwelijks toegepast.

De opzet om het volatiliteitoppervlak te incorporeren in waarderingsmodellen voor opties gaf aanleiding tot het ontstaan van een nieuwe klasse aan modellen, genaamd “stochastische volatiliteitmodellen”. Deze modellen vormen de nieuwe standaard in financieel onderzoek en worden veelvuldig toegepast in investeringsbanken en financiële instellingen. Deze klasse aan modellen veronderstelt dat volatiliteit een stochastisch proces volgt welke volgende eigenschappen zou moeten bezitten:

(i)

Stationair & mean reversion

(ii)

Negatieve correlatie met het aandelenprijsproces of hefboomeffect

De eerst eigenschap vereist dat de volatiliteit een proces is dat geïntegreerd is van orde nul, m.a.w. de serie vertoont geen deterministische tijdstrend en is alsook geen stochastische wandeling, maar fluctueert rond zijn gemiddelde met een eindige variantie welke onafhankelijk is van de tijdsvariabele. Een stationaire reeks en “mean reversion” gaan hand in hand. De reeks heeft de tendens om terug te keren naar zijn gemiddelde. Men zegt ook wel dat de tijdsreeks een gelimiteerd geheugen heeft van zijn gedrag in het verleden. Met andere woorden, de effecten van een welbepaalde willekeurige innovatie zijn transiënt. Eigenschap (ii) betreft de negatieve correlatie tussen volatiliteit en het niveau van de index. Met deze eigenschap probeert men de negatieve grijns te verklaren in termen van geïmpliceerde volatiliteit. Om deze eigenschap te kunnen reproduceren op consistente wijze over langere periodes, is de introductie van een functionele afhankelijkheid tussen de aandelenindex en de volatiliteit vereist. Een natuurlijke extensie van het BS model verkrijgt men door de introductie van lokale volatiliteitmodellen. Deze modellen staan toe dat volatiliteit verandert als functie van het onderliggend instrument en/of de tijdsveranderlijke. Het “Constant Elasticity of Variance model” of CEV model50 is het

48

Derman, Kani (1994) Riding on a smile Rubinstein (1994) Implied binomial trees 50 Cox (1975) Notes on option pricing I: Constant elasticity of variance diffusions 49

29

meest representatieve model voor de klasse van lokale volatiliteitmodellen. Cox veronderstelde dat de volatiliteit een dalende functie was van de aandelenprijs:

Dit model repliceert op eenvoudige wijze het hefboomeffect, maar slaagt er niet in om andere wenselijke eigenschappen te incorporeren. Van de meer uitgebreide stochastische volatiliteitmodellen bezitten Johnson/Shanno (1987), Wiggins (1987) en Hull/white (1987) geen mean reversion eigenschap. Deze modellen, tezamen met Lewis (2000), zijn niet stationair. Dit betekent dat er een beperkte set aan stochastische volatiliteitmodellen overblijven die veelbelovend zijn: (i)

Heston (1993)

(ii)

Stein & Stein (1991), Schöbel/Zhu (1999)

(iii)

Double square root model

Gezien het wijdverspreid gebruik van het Heston model, zullen we dit model uitwerken. De andere modellen zijn vrij gelijkaardig in structuur en vormen geen doorbraak in termen van gebruikte techniek.

4.2.2

Heston (1993)51,52

We komen in een situatie terecht met twee bronnen van onzekerheid. Enerzijds is er onzekerheid in het aandelenprijsproces en anderzijds in het volatiliteitproces. De eerste bron van onzekerheid wordt risiconeutraal gemaakt door de onzekerheid in te dekken met aandelen. Om het volatiliteitproces en dus het volledige model risiconeutraal te maken, dient men de prijs van volatiliteitrisico Dit vereist de introductie van preferenties. wordt meestal bepaald als

te introduceren. waarbij

=Relatieve risico aversie =Consumptie

51

Heston (1993) A closed-form solution for options with stochastic volatility with applications to bond and currency options 52 Moodley (2005) The Heston model : A practical approach with matlab code

30

In wat volgt omschrijven we het aandelenprijsproces en het volatiliteitproces. Beiden volgen het befaamde “Square root process”/Feller proces/CIR proces. Regnault (zie Appendix, deel 8) omschreef reeds in 1863 de eerste intuïtieve noties voor dit proces. Hij relateerde de “fair value” met het middelpunt van een cirkel, de standaardafwijking met de straal van de cirkel en de mogelijke aandelenprijzen met het oppervlak van de cirkel. Wanneer de tijd loopt, neemt het oppervlak proportioneel toe en neemt de straal of standaardafwijking toe met

.

Dit square root process is een eerste orde autoregressief proces in continue tijdrekening. De gebruikte afkorting is AR(1). We simuleren dit proces voor een verschillende set aan parameters om de later vermelde processen intuïtief te verduidelijken.53 Het toegepaste schema voor discretisatie wordt genoteerd als

Waarbij

en

6

5

4

3

2

1

0

0

100

200

300

400

500

Figuur 4.2.2.a Simulatie square root process voor [

53

600

700

800

900

1000

(Bron: Eigen werk)

Jondeau, Poon, Rockinger (2000) Financial modeling under non-gaussian distributions (Chapter 12)

31

4

3.5

3

2.5

2

1.5

1

0.5

0

0

100

200

300

400

500

600

700

Figuur 4.2.2.b Simulatie square root process voor [

800

900

1000

(Bron: Eigen werk)

4

3.5

3

2.5

2

1.5

1

0

100

200

300

400

500

Figuur 4.2.2.c Simulatie square root process voor [

600

700

800

900

1000

(Bron: Eigen werk)

Het aandelenprijsproces wordt omschreven als een “Square root mean reverting process”.

32

Het volatiliteitproces schrijven we als

We stellen dat de Brownse bewegingen gecorreleerd zijn met correlatie coëfficiënt . Deze parameter werd ingevoerd om consistentie te bekomen met empirische resultaten die stellen dat aandelenopbrengsten en geïmpliceerde volatiliteit negatief gecorreleerd zijn.

q = Dividendrendement Gemiddelde op lange termijn of “long-run mean”. Dit model maakt gebruik van mean-reversion. Een eigenschap die zou moeten aanwezig zijn wanneer men data observeert. Een denkoefening toont aan dat deze eigenschap een vereiste is. Stel dat we de distributie van de volatiliteit van een BNP Paribas aandeel over 100 jaar tijd ter onzer beschikking hebben. Wanneer volatiliteit niet mean-reverting is, dan is de distributie van de volatiliteit niet stabiel. Dit heeft tot gevolg dat de kans dat de volatiliteit van het BNP Paribas aandeel zich in het interval [1%,100%] bevindt, heel laag is. Het is veel waarschijnlijker dat het erbuiten zal liggen. Empirie daarentegen vertelt ons dat de volatiliteit zeker en vast zich binnen dit interval situeert. Mean reversion is dus een vereiste. Snelheid van terugkeer of “rate of reversion” of “mean reversion force”. Een maatstaf voor de graad van het clusteren van volatiliteit. Dit is consistent met de empirie. Grote prijsvariaties worden meer waarschijnlijk opgevolgd door grote prijsvariaties en kleine prijsvariaties worden meer waarschijnlijk opgevolgd door kleine prijsvariaties. Dit geeft aanleiding tot de vorming van clusters. Volatility of volatility of vol-vol parameter of dispersiecoefficiënt. Het beïnvloedt de kurtosis of de piek van de dichtheidsfunctie. Een

die nul is, is deterministisch en leidt tot een normale verdeling van

de logaritmische aandelenopbrengsten. In essentie, bepaalt Hoge waarden voor

de significantie van de glimlach/grijns.

betekent dat de volatiliteit meer volatiel wordt. Hoe volatieler de markt, hoe

hoger de kostprijs voor puts en hoe lager de kostprijs voor calls voor een constante K. Dit heeft uiteindelijk tot gevolg dat de glimlach/grijns meer tot uiting komt. Correlatie tussen de logaritmische opbrengsten en de volatiliteit van het activa. Het bepaalt de scheefheid van de dichtheidsfunctie en beïnvloedt op deze wijze de vorm van het geïmpliceerde

33

volatiliteitoppervlak. Met andere woorden,

komt de tekortkoming in BS, zijnde een constant

volatiliteitoppervlak voor verschillende K en , tegemoet.

Volatiliteit neemt toe als de aandelenprijs of aandelenopbrengst stijgt. Dit creëert een dikkere rechtse staart en een dunnere linkse staart.

Volatiliteit neemt af als de aandelenprijs of aandelenopbrengst stijgt. Dit creëert een dunnere rechtse staart en een dikkere linkse staart. Het voordeel van het Heston model is dat er een gesloten vorm beschikbaar is voor elke

in

tegenstelling tot het model van Hull-White, welke enkel een gesloten vorm kent voor enkele waarden van . We vereisen dat aan de Feller voorwaarden voor “square root processes” wordt voldaan. Onder deze voorwaarde is de variantie goed gedefinieerd en positief. We vermelden deze voorwaarden

We simuleren het Heston model aan de hand van het discretisatie schema van Milstein. Deze simulatie is louter illustratief en vertoont enkele gebreken. Voor een correctere simulatie die negatieve paden in vermijdt, bestaan er meer geavanceerde schema’s.

34

Op figuur 4.2.2.d is het hefboom effect duidelijk zichtbaar. Het aandelenprijsproce s en volatiliteitproces zijn als het ware een spiegelbeeld.

600

700

700

800

800

900

900

4500

500

600

4000

400

500

3500

300

400

3000

200

300

2500

100

200

2000

0

100

1500

0

1000

0.55

0.5

0.45

0.4

0.35

0.3

0.25

0.2

1000

Aandelenprijs

Volatiliteit

1000

Figuur 4.2.2.d Simulatie Heston process met

(Bron: Eigen werk)

35

De karakteristieke functies van het Heston model geven we zonder bewijs.

met met

In de implementatie zullen we merken dat Heston de volatiliteitgrijns enkel kan verklaren onder extreme parameterwaarden. Zo zal heel dicht tegen -1 liggen en neemt soms heel hoge waarden aan.

4.3 Elementaire bouwsteen – Poisson sprongen

Een kritische veronderstelling die werd gemaakt is de continuïteit van de aandelenprijspaden. Men verantwoordt de keuze van de Brownse beweging door de hoge graad van similariteit tussen het uitzicht van het aandelenprijspad en het pad van een Brownse beweging. Wanneer we het empirische 36

aandelenprijspad uitvergroten en dit contrasteren met een uitvergrootte zone in de Brownse beweging dan onthullen er zich verschillen in uitzicht. De Brownse beweging heeft een eigenschap, genaamd schaal invariantie, wat resulteert in gelijkaardige paden ongeacht op welke afstand men kijkt. Deze schaal invariantie is het logische gevolg van het feit dat we zijn vertrokken uit een geschaalde stochastische wandeling, waarbij we de incrementen oneindig klein hebben gemaakt door

Het

empirische aandelenprijspad daarentegen vertoont een discontinu gedrag met sprongen (zie figuur 4.3.a). Het meest essentiële aan deze constatatie is niet de discontinuïteit zelf, maar de grootte van deze discontinue sprongen. Het BS model is enkel bruikbaar wanneer veranderingen in aandelenprijzen voldoen aan een lokale Markov eigenschap. Met andere woorden, binnen een kort tijdsinterval mogen aandelenprijzen slechts een beperkte wijziging ondergaan. Ter illustratie geven we het aandelenprijspad voor de Bel20 gedurende een volatiele periode.

Sprongen 4100 4000

Bel20 index

3900 3800 3700 3600 3500 3400 3/01/2008 8/01/2008 13/01/2008 18/01/2008 23/01/2008 28/01/2008 2/02/2008 7/02/2008 data

Figuur 4.3.a Sprongen ter grootte van 2% en meer van de index (Bron: Eigen werk)

Wanneer we een model ontwikkelen om opties correct te waarderen, dienen we rekening te houden met alle relevante tijdsschalen. Daarenboven blijken sprongen in aandelenprijzen een groot deel van het risico te vertegenwoordigen. Het beeld wordt volledig wanneer we de relevante grootheden voor de investeerder observeren, met name de logaritmische aandelenopbrengsten. Op figuur 4.3.b zien we een 37

variërende amplitude en volatiliteitclusters voor de Bel20 in tegenstelling tot de algemeen constante amplitude bij de Brownse beweging op figuur 4.3.c.

Logaritmische aandelenopbrengsten Bel20 0.1 0.08 0.06 0.04 0.02

-0.02

Log return 1 232 463 694 925 1156 1387 1618 1849 2080 2311 2542 2773 3004 3235 3466 3697 3928 4159 4390 4621 4852 5083 5314

0

-0.04 -0.06 -0.08 -0.1 Figuur 4.3.b Variërende amplitude en volatiliteitclusters voor de Bel20, periode ’90-’11 (Bron: Eigen werk)

Brownse Beweging 0.10 0.08 0.06 0.04 0.02

-0.02

Brownian 1 232 463 694 925 1156 1387 1618 1849 2080 2311 2542 2773 3004 3235 3466 3697 3928 4159 4390 4621 4852 5083 5314

0.00

-0.04 -0.06 -0.08 -0.10 Figuur 4.3.c Constante amplitude bij de Brownse beweging (Bron: Eigen werk)

38

De sprongen in de aandelenprijs zorgen voor pieken in de amplitude welke niet voorkomen bij de Brownse beweging. Wanneer we spreken van zes tot tien sigma’s aan afwijking, dan geeft dit een eerste indicatie dat de empirische distributie van rendementen niet normaal verdeeld is. Om deze problematiek tegemoet te komen ontwikkelde Merton in 1976 een optiewaardering formule die een mengvorm van verdelingen gebruikt. Dit gemengd proces wordt ook wel een sprongdiffusie proces genoemd. We bemerken twee componenten. (i)

Diffusieprocessen (Representatief voor de rustige momenten op de beurs) Dit element verwijst naar de standaard geometrische Brownse beweging met een constante volatiliteit per tijdseenheid en een continu pad. Deze component vertegenwoordigt de gaussische vibraties in de aandelenprijs, welke het resultaat zijn van de invloed van de talloze handelaars die elk een kleinschalige invloed uitoefenen op de aandelenprijs. Dit is analoog aan wat de Schotse botanist Robert Brown opmerkte toen hij stuifmeelkorrels in water zag bewegen door talloze moleculaire botsingen. Het gaat in essentie over reacties van handelaars op informatie die enkel kleine prijsbewegingen kan teweeg brengen. Voorbeelden zijn wijzigingen in kapitalisatievoeten, bijgesteld economisch uitzich t, etc. Derman illustreert diffusieprocessen op een intuïtieve wijze in zijn “My life as a quant”. We nemen zijn figuur over:

Figuur 4.3.d De aandelenprijs verspreidt zich als een wolk naarmate we verder in de toekomst kijken. σ bepaalt hierbij de snelheid van diffusie en de breedte van de wolk. (Bron: Derman E. (2004) My life as a quant – Reflections on physics and finance)

39

Pakkanen54 stelt dat diffusieprocessen aandelenopbrengsten beschrijven onder drie voorwaarden. Zo moet de handelsimpact op de prijs van elke individuele handelaar op de beurs relatief klein zijn, vraag en aanbod mogen niet ver uit elkaar liggen en handel is regelmatig, i.e. handel gebeurt niet in stoten of op erratische wijze. Met institutionele beleggingsfondsen als handelaars op de beurs en de beursonrust die ontstaat uit extreme economische gebeurtenissen, kunnen we besluiten dat deze veronderstellingen niet gelden op elk tijdstip t. Vandaar de nood aan sprongprocessen. (ii)

Sprongprocessen (Representatief voor de actievere momenten op de beurs) Dit element verwijst naar abnormale vibraties in de prijs tengevolge van het opduiken van nieuwe en belangrijke informatie welke een grote herziening in termen van waardering van het aandeel teweegbrengt. Merton argumenteert dat dit vaak bedrijfsspecifieke, industriespecifieke of zelfs landspecifieke informatie zal zijn die op discrete tijdstippen arriveert. Informatie die grote herzieningen teweegbrengt, leidt tot het dikke staarten fenomeen dat werd vastgesteld in onderdeel 4.2.1. Het kuddegedrag van investeerders wordt vaak als oorzaak gezien voor zulke extreme fluctuaties.55,56,57,58 Ook hier voorziet Derman een interessante illustratie. Figuur 4.3.e Wanneer men de mogelijkheid van een sprong incorporeert, neemt het bereik aan mogelijke aandelenprijzen drastisch toe. (Bron: Derman E. (2004) My life as a quant – Reflections on physics and finance)

54

Pakkanen (2010) Microfoundations for diffusion price processes Pakkanen (2010) Microfoundations for heavy-tailed stock returns 56 Cont and Bouchaud (2000) Herd behavior and aggregate fluctuations in financial markets 57 Alfarano, Lux, and Wagner (2005) Estimation of agent-based models: the case of an asymmetric herding model 58 Horst, Rothe (2008) Queuing, social interactions, and the microstructure of financial markets 55

40

De sociale wetenschappen voorzien interessante inzichten in de wijze waarop informatie kan leiden tot abnormale sprongen in het aandelenprijsproces. We citeren59 : “An informational cascade occurs when it is optimal for an individual, having observed the actions of those ahead of him, to follow the behavior of the preceding individual without regard to this own information.” “In our model, individuals rapidly converge on one action on the basis of some but very little information. If even a little new information arrives, suggesting that a different course of actions is optimal, or if people even suspect that underlying circumstances have changed (whether or no t they really have), the social equilibrium may radically shift. Our model, which is based on what we call “informational cascades”, explains not only conformity but also rapid and short -lived fluctuations such as fads, fashions, booms, and crashes. In the theories of conformity discussed earlier, small shocks lead to big shifts in mass behavior only if people happen to be very close to the borderline between alternatives. Informational cascades explain why society, on the basis of little information, will systematically tend to land close to the borderline, causing fragility” HFT of High Frequency Trading wordt vaak met de vinger gewezen wanneer aandelenprijzen exuberante bewegingen ondergaan. Een gekend voorbeeld is de “Flash crash” op 6 mei, 2010. De Dow Jones nam toen een duik van iets minder dan 1000 basispunten. HFT maakt gebruik van algoritmes die prijsinefficiënties wegwerken. Een analyse op transactieniveau onthulde een ander verhaal. HFT blijkt netto onvoldoende contracten in voorraad te hebben om zulke prijsbewegingen te veroorzaken. Black stelde reeds in 1971 dat enkel grote orders in staat zijn om grote prijsbewegingen te veroorzaken. Kirilenko, Kyle, Samadi en Tuzun stellen dat het meer waarschijnlijk is dat fundamentele verkopers aan de hand van grote contractvolumes de crash hebben teweeggebracht60 . Uit het voorgaande kunnen we besluiten dat er individuën, instellingen en systemen aanwezig zijn op de financiële markt die zowel sprongen als normale vibraties veroorzaken. Zowel het sprongproces en het diffusieproces zijn voorbeelden van een lévy proces en hebben veel gemeen. Beide worden gekenmerkt door onafhankelijke en stationaire incrementen. Vertaald naar de praktijk betekent dit dat het toekomen van informatie op een bepaald tijdstip onafhankelijk is van het tijdstip waarop de vorige informatie 59

Welch, Bikhchandani, Hirshleifer (1992) A theory of fads, fashion, custom, and cultural change as informational cascades 60 Kirilenko, Kyle, Samadi en Tuzun (2011) The flash crash: the impact of high frequency trading on an electronic market

41

toekwam. Het enige verschil zit hem in de kanswet. Bij diffusieprocessen is dit de normale verdeling, bij sprongprocessen is dit de Poissonverdeling. Deze sprongen vormen evenzeer een antwoord op het probleem van de volatiliteitglimlach en het leptokurtisch karakter van de verdeling van logaritmische aandelenopbrengsten. Op dat vlak zijn sprongmodellen en volatiliteitmodellen concurrenten voor elkaar. We vergelijken de belangrijkste karakteristieken van diffusiemodellen en sprongmodellen.

Tabel 4.3.1 Vergelijking diffusiemodellen en sprongmodellen (Bron: Selectie uit Cont & Tank ov, 2004)

Empirische observatie Grote, plotse bewegingen in de prijzen Dikke staarten

Markten zijn onvolledig, indekking tegen alle risico’s is niet mogelijk Concentratie: de verliezen zijn geconcentreerd in een klein aantal grote neerwaartse bewegingen

Diffusiemodel Moeilijk na te bootsen, hoge volatiliteit nodig Mogelijk indien gekozen wordt voor een niet-lineaire volatiliteitstructuur Volledige markt

Sprongmodel Standaard eigenschap

Continuïteit: de prijsbewegingen zijn voorwaardelijk normaal en grote plotse bewegingen komen niet voor

Discontinuïteit: sprongen/discontinuïteiten in prijzen kunnen aanleiding geven tot grote verliezen

Standaard eigenschap

Onvolledige markt

Om deze sprongen te modelleren dienen we de sprongfrequentie en de spronggrootte te bepalen. Vanzelfsprekend, beschrijft de eerste term het aantal sprongen in een bepaalde tijdsperiode en de tweede de grootte van een sprong, indien deze voorkomt. Wanneer we sprongen modelleren als een samengesteld sprongproces, dan wordt het voorkomen van sprongen bepaald door het Poissonproces en wordt de spronggrootte bepaald door de gekozen distributie. Het type van het model waarmee we werken wordt bepaald door de distributie die we zullen gebruiken voor de spronggrootte. We vermelden drie types: (i)

Eenvoudige deterministische sprongen

(ii)

Lognormale sprongen

(iii)

Pareto sprongen (equivalent aan Kou’s gewogen dubbel exponentieel sprongmodel)

42

Hoewel sprongprocessen in risiconeutrale vorm kunnen worden genoteerd, kan het sprongrisico niet worden ingedekt. Het is niet mogelijk om een portfolio samen te stellen die de investeerder indekt tegen eender welke prijsverandering op eender welk tijdstip. Op de lange termijn behouden we echter het martingaal karakter. Grote verliezen komen in dusdanige frequentie voor dat ze op gemiddelde wijze de overtollige opbrengsten tenietdoen. Een andere mogelijkheid is veronderstellen dat CAPM opgaat en dat sprongen bedrijfsspecifiek zijn. Op deze wijze vormt een sprong een niet systematisch risico. Net zoals in het geval van stochastische volatiliteit, vermelden we eerst het meest eenvoudige sprongmodel. Cox, Ross en Rubinstein ontwikkelden in 1979 het CIR model.

De aandelenprijs groeit in dit geval met . Sprongen zullen arriveren met intensiteit en spronggrootte . De aandelenprijzen volgen een logaritmische Poisson verdeling. Als afsluiter, simuleren we het Poisson proces. We maakten gebruik van bestaande code. De algoritmes voor het simuleren van verschillende processen kan men terugvinden in Cont & Tankov 61 , hoofdstuk 6.

9 8 7 6 5 4 3 2 1 0 0.2

0.4

0.6

0.8

1

1.2

1.4

1.6

1.8

2

2.2

Figuur 4.3.f Traject van het Poissonproces (Bron: Gegenereerd aan de hand van de matlab code van Raimundas Gaigalas)

61

Cont, Tankov (2004) Financial modelling with jump processes

43

4.3.1

Enkelvoudige sprongen

Het aandelenprijsproces voor een sprongdiffusie model noteren we op volgende wijze:

= Sprongintensiteit, i.e. het gemiddeld aantal aankomsten van sprongen per tijdseenheid (1 jaar) Onafhankelijk Poissonproces met sprongintensiteit = Spronggrootte. Aangezien deze grootheid deterministisch is, zal het model onvoldoende flexibel zijn om de volatiliteitgrijns te incorporeren. Bijgevolg kent dit model weinig toepassingen in de praktijk. Wij zullen dit model niet implementeren De karakteristieke functies vermelden we zonder bewijs.

Opnieuw bemerken we een voordeel van het gebruik van de karakteristieke functie. Hoewel de Poisson verdeling een discontinue verdeling is, is de karakteristieke functie een continue functie.

4.3.2

Merton (1976) - Sprongdiffusie model (logaritmische normale sprongen)62

In plaats van een deterministische spronggrootte J, introduceren we Merton zijn sprongdiffusie model waarbij J een logaritmische normale verdeling volgt ∼

62

met

Merton (1976) Option pricing when underlying stocks are discontinuous

44

In tegenstelling tot het vorige model, wordt deze versie veelvuldig in de literatuur toegepast om de eigenschappen van de volatiliteitglimlach op te vangen.

= Sprongintensiteit, i.e. het gemiddeld aantal aankomsten van sprongen per tijdseenheid (1 jaar) J(t) = Procentuele spronggrootte (voorwaardelijk op het voorkomen van een sprong). Deze spronggrootte is lognormaal, identiek en onafhankelijk verdeeld over de tijd met onvoorwaardelijk gemiddelde = De standaardafwijking van Abnormale aandelenopbrengsten worden bepaald door de term

en kennen een

lognormaal verdeelde spronggrootte. De veronderstelling dat abnormale aandelenopbrengsten kunnen variëren in grootte is meer realistisch dan een deterministische sprong in het enkelvoudig sprongmodel. Daar de initiële waarderingsformule van Merton een oneindige som is van een oneindig aantal BS prijzen, leidt het gebruik van karakteristieke functies tot een gesloten vorm voorstelling.

Waarbij

45

Naar goede gewoonte illustreren we opnieuw dit proces. De simulatie van sprongprocessen werd volledig uitgewerkt door Meucci63 . We zullen dan ook van zijn code gebruik maken om sprongprocessen te simuleren. Merton jump-diffusion 0.1 0.05 0 -0.05 -0.1 -0.15 -0.2 -0.25 -0.3 -0.35 -0.4

0

0.1

0.2

0.3

0.4

0.5

0.6

0.7

0.8

0.9

1

Figuur 4.3.2.a Traject van Merton zijn sprong diffusie proces (Bron: Gegenereerd aan de hand van de matlab code van Meucci)

Zoals reeds vermeld, kunnen complexere modellen worden gemaakt door karakteristieke functies met elkaar te vermenigvuldigen. Wanneer men bijvoorbeeld het Merton model combineert met Heston zijn model, bekomt men Bates zijn model.64

4.3.3

Pareto sprongen/Kou model – Tweevoudig exponentieel sprongdiffusie model65

Zoals reeds vermeld, bekomen we een verschillend model wanneer we de veronderstelling betreffende de verdeling van de spronggrootte wijzigen. In geval van Pareto sprongen is het logaritme van de spronggrootte exponentieel verdeeld met gemiddelde . ∼ Dit impliceert dat de spronggrootte Pareto verdeeld is. We vermelden hierbij dat

63

Meucci (2010) Review of Discrete and Continuous Processes in Finance Bates (1996) Jumps and stochastic volatility: Exchange rate processes implicit in Deutsche Mark options 65 Kou (2004) Option pricing under a double exponential jump diffusion model 64

46

Gegeven

zijn sprongen altijd positief. Daarom introduceren we twee Pareto sprongen met

verschillende verwachtte spronggroottes en sprongintensiteiten. De ene is verantwoordelijk voor positieve verrassingen, de andere voor negatieve verrassingen. We noteren het aandelenprijsproces .

met

∼ ∼ De component

met sprongintensiteit

aandelenprijzen. De component

representeert de positieve abnormale bewegingen in de

met sprongintensiteit

representeert de negatieve abnormale

bewegingen in de aandelenprijzen. Dit model krijgt extra steun vanuit het “Behavorial finance” domein. Daarin stelt men dat investeerders te sterk en te lauw reageren op nieuws van buitenaf. Bemerk dat we geen veronde rstelling maken over het type nieuws. Aangezien de tweevoudige exponentiële distributie een hoge piek heeft, kan het proces de te lauwe reacties modelleren. De dikkere staarten van de tweevoudige exponentiële distributie daarentegen representeren de te sterke reacties. We vermelden de karakteristieke functies zonder bewijs:

47

Opnieuw geven we een visuele voorstelling van dit proces. double exponential 0.6 0.5 0.4 0.3 0.2 0.1 0 -0.1 -0.2 -0.3

0

0.1

0.2

0.3

0.4

0.5

0.6

0.7

0.8

0.9

1

Figuur 4.3.3.a Traject van Kou zijn tweevoudig exponentieel sprongdiffusie proces (Bron: Gegenereerd aan de hand van de matlab code van Meucci)

4.4 Elementaire bouwsteen – Lévy sprongen

4.4.1

Subordinatie66,67

We dienen een kanttekening te maken bij de vaststelling van het niet gaussische karakter onder 4.2.1. Logaritmische aandelenopbrengsten zijn niet normaal verdeeld in kalendertijd, maar kunnen benaderd normaal verdeeld zijn in een andere tijdrekening. Clark68 stelde dat, in kalendertijd, de logaritmische aandelenopbrengsten niet normaal verdeeld zijn omdat de volatiliteit niet constant is. De volatiliteit is niet constant omdat de stroom aan transacties niet constant is. Deze stroom is op zijn beurt niet constant aangezien informatie op variërend ritme ter beschikking wordt gesteld aan handelaars op de beurs. Dagen waarop geen of weinig nieuwe informatie beschikbaar is, zal de handel traag verlopen en evolueert het aandelenprijsproces traag. Dagen waarop nieuwe informatie ervoor zorgt dat oude verwachtingen drastisch dienen te worden bijgesteld, zal de handel opgedreven worden en evolueert het prijsproces veel sneller. De willekeurige intensiteit van de marktactiviteit verklaart het fluctuerende 66

Geman (2002) Pure jump lévy processes for asset price modelling Geman () Stochastic clock and financial markets 68 Clark (1973) A subordinated stochastic process model with finite variance for speculative prices 67

48

aspect van volatiliteit. Empirische studies bevestigen de positieve correlatie tussen volatiliteit en handelsvolume69,70 .We leggen de nadruk op het feit dat het aantal transacties van belang is en nie t de grootte van de transacties71 . Indien we zouden werken met economische tijd (zie publicaties NBER, 1940), welke aangedreven wordt door het volume aan transacties of het cumulatieve volume aan transacties, dan zouden de logaritmische aandelenopbrengsten benaderd normaal verdeeld zijn. Technisch betekent dit dat we het aandelenprijsproces zullen modelleren aan de hand van een gesubordineerde Brownse beweging

met als subordinator de economische tijd of transactietijd

. Bochner72 definieert een subordinator

als een rechtscontinu toenemend proces welke

onafhankelijke en homogene toenames heeft. Een subordinator beeldt een positieve tijdrekening af op een andere positieve tijdrekening en dient virtueel als een klok die de tijd op stochastische wijze wijzigt. Samengevat kunnen we stellen dat de subordinator een maat is voor economische activiteit. Wanneer de klok sneller loopt dan gewoonlijk, i.e.

, dan kan het stochastische klokmodel hogere variantie

genereren dan de gaussische tegenhanger. Omgekeerd, wanneer de klok trager loopt dan gewoonlijk, i.e.

, zal de variantie kleiner zijn. Een goede keuze voor de verdeling van de economische tijd of

transactietijd kan de gewenste overtollige kurtosis en negatieve scheefheid creëren. We geven enkele mogelijke verdelingen van

4.4.2

.

(i)

De kalendertijd t of het ontaarde geval

(ii)

Enkelvoudig of samengesteld Poisson proces

(iii)

Gamma proces (Madan en Seneta, 1990)

(iv)

Stabiel proces

Lévy processen73

Daar Poisson sprongen werden ingevoerd om grote en zeldzame gebeurtenissen op te vangen, zijn Lévy processen meer geschikt om vele kleine sprongen te modelleren. De logica om aandelenopbrengsten te 69

Karpoff (1987) The relation between price changes and trading volume: A survey Gallant, Rossi, en Tauchen (1992) Stock prices and volume 71 Jones, Kaul, Lipson (1994) Transactions, volume, and volatility 72 Bochner (1955) Harmonic analysis and the theory of probability 73 Wu (2008) Modeling financial security returns using lévy processes 70

49

modelleren aan de hand van kleine sprongen, stamt uit het feit dat de informatiestroom discontinu is en de handelsactiviteit plaatsvindt in een discrete tijdrekening. Aandelenprijzen zullen zich bijgevolg enkel voortbewegen aan de hand van sprongen. Het gebruik van Lévy processen vormt een stijlbreuk in optiewaardering. Vorige modellen nemen het traditionele BS model als uitgangspunt en pakken vervolgens de tekortkomingen één voor één aan. Deze methode kreeg echter vaak de kritiek onvoldoende flexibel te zijn. In continue tijdrekening zijn we beperkt tot het gebruik van de normale en mengelingen van de normale verdeling. In de discrete tijdrekening daarentegen, kan men een arbitraire verdeling voor aandelenopbrengsten kiezen. De introductie van Lévy processen bracht hier verandering in. Lévy processen kunnen een veel wijder gamma aan distributies genereren. Een Lévy proces biedt volgende voordelen: (i)

Algemeenheid Aandelenopbrengsten worden gedreven door verschillende economische krachten. De impact van elke kracht varieert stochastisch overheen de tijd.

Innovaties in

aandelenopbrengsten zullen worden gemodelleerd aan de hand van bouwblokken die overeenstemmen met de distributies van schokken van verschillende economische krachten.

(ii)

Subordinatie Verschillende economische krachten variëren stochastisch in impact. Dit concept wordt opgevangen door stochastische tijdsverandering toe te passen. Hierdoor wordt de klok waarop het proces loopt, willekeurig gemaakt. Het toepassen van stochastische tijdsverandering op verschillende Lévy componenten genereert stochastische volatiliteit en stochastische momenten van de aandelenopbrengsten.

(iii)

Er bestaat een economische betekenis voor elke Lévy component en zijn geassocieerde tijdsverandering.

Door een gepaste keuze te maken van Lévy processen en stochastische tijdsveranderingen, kunnen we de dynamiek in opbrengsten volledig opvangen. We dienen twee stappen te doorlopen: (i)

Keuze Lévy component

50

Deze dient de eigenschappen van de innovaties in opbrengsten, afkomstig van verschillende economische krachten, na te bootsen. Concepten zoals diffusie, sprong, frequentie, grootte van sprong en verschil tussen opwaartse en neerwaartse beweging zijn hier van belang.

(ii)

Variatie intensiteit voor de verschillende componenten Hiermee genereren we stochastische volatiliteit en stochastische momenten van de opbrengsten van de verscheidene economische bronnen. Men past verschillende tijdsveranderingen toe op verschillende Lévy componenten en modelleren hun intensiteit op een wijze dat het overeenstemt met de geobserveerde dynamische interacties.

Net zoals we diffusiemodellen hebben gecontrasteerd aan sprongmodellen, vergelijken we sprongmodellen en modellen met oneindige activiteit.

Tabel 4.4.2.1 (Bron: Selectie uit Cont & Tankov, 2004)

Sprongmodel Brownse component is een vereiste Sprongen zijn zeldzame gebeurtenissen Verdeling spronggroottes is onbekend Zijn sterk in het interpoleren van geïmpliceerde volatiliteiten

4.4.3

Model met oneindige activiteit Heeft niet noodzakelijk een Brownse component Het proces beweegt zich enkel en alleen met sprongen voort Verdeling van spronggroottes bestaat niet, sprongen arriveren oneindig vaak Geeft een realistische beschrijving van het historische aandelenprijsproces

Stochastisch klokmodel – Variantie-Gamma model (Madan, Milne, 1991, Madan, Carr en Chang, 1998)74,75

De prijsbeweging gebeurt nu enkel en alleen op basis van sprongen. We maken gebruik van een gamma proces met een gemiddelde voet van 1 en variantievoet . Dit proces is een puur sprongproces waar kleine sprongen vaak voorkomen en grote sprongen slechts af en toe. Zoals reeds besproken, subordineren we een Brownse beweging aan dit gamma proces. Op deze wijze maken we de deterministische tijdslengte van de Brownse beweging stochastisch. Op deze wijze stappen we over van een variantie van één per tijdseenheid naar een gamma verdeelde variantie. Een Brownse beweging met een drift in de kalendertijdrekening noteren we als 74 75

Madan, Carr en Chang (1998) The variance gamma process and option pricing Chourdakis, Option pricing using the fractional FFT

51

We subordineren de Brownse beweging aan een gamma proces met gemiddelde

en een variantie

in één eenheid tijdslengte. Het variantie-gamma proces noteren we als

= Variantievoet van de gamma tijdsverandering. Men kan definiëren als het ritme waartegen informatie toekomt gedurende de periode T. vertegenwoordigt de eerder besproken economische tijd of de tijd die aangepast is aan de informatiestroom. Een andere terminologie voor deze parameter is “handelsintensiteit”. zal de kurtosis beïnvloeden. = Drift in de Brownse beweging met drift. Deze parameter zal de scheefheid bepalen. In geval van krijgen negatieve waarden een hogere kans op voorkomen, wat resulteert in een negatieve scheefheid. = Volatiliteit van de Brownse beweging Het aandelenprijsproces noteren we als

met

We vermelden opnieuw de karakteristieke functies

We illustreren het variantie-gamma model. We merken een schril contrast met de eerste simulatie, i.e. die van de Brownse beweging. 52

variance gamma 0.08 0.07 0.06 0.05 0.04 0.03 0.02 0.01 0 -0.01 -0.02

0

0.1

0.2

0.3

0.4

0.5

0.6

0.7

0.8

0.9

1

Figuur 4.4.3.a Traject van het VG proces (Bron: Gegenereerd aan de hand van de matlab code van Meucci)

4.4.4

Stochastisch klokmodel – Normaal invers Gaussisch (Barndorff-Nielsen, 1998)

De geïmpliceerde distributie in dit model is een speciaal geval van de algemene hyperbolische verdeling. Dit model is analoog aan het voorgaande, maar in plaats van een gamma proces maken we gebruik van een inverse gaussische verdeling

voor een tijdslengte t met gemiddelde

en

als variantie.

Een inverse gaussische stochastische variabele kan worden afgeleid uit de eerste -passeertijd van niveau b van een Brownse beweging met drift . We stellen het niveau b voor de eerste-passeertijd gelijk aan de kalendertijd t.

Voor de inverse gaussische verdeling betekent dit en Deze twee parameters bepalen de vorm van de verdeling. Het normale inverse gaussische proces wordt genoteerd als

Het aandelenprijsproces noteren we als

met

53

We geven de karakteristieke functies zonder bewijs

We voorzien de lezer van een illustratie van dit laatste proces. normal-inverse-Gaussian 0.3

0.2

0.1

0

-0.1

-0.2

-0.3

-0.4

0

0.1

0.2

0.3

0.4

0.5

0.6

0.7

0.8

0.9

1

Figuur 4.4.4.a Traject van het NIG proces (Bron: Gegenereerd aan de hand van de matlab code van Meucci)

4.5 Stochastische tijdsverandering76 Een klasse aan modellen die we niet zullen bespreken, zijn de modellen die gebaseerd zijn op een stochastische tijdsverandering. Deze modellen zijn wiskundig minder beperkend dan het geval waarbij men subordinatie gebruikt.77

4.6 Fractionele Brownse beweging78,79 Gezien de vernieuwde interesse in dit proces, geven we een korte beschrijving. We zullen geen model implementeren gebaseerd op dit proces. Interesse in “self-similarity” en fractale eigenschappen van 76

Carr, Wu (2000) Time changed levy processes and option pricing Ane, Geman (2000) Order flow, transaction cl ock and normality of asset returns 78 Cont, Tankov (2004) Financial modeling with jump processes (Hoofdstuk 7) 79 Mandelbrot () Fractals and scaling in finance – Discontinuity, Concentration, Risk 77

54

marktprijzen ontstonden na het pionierswerk van Mandelbrot betreffende Katoenprijzen. Een vaak geciteerd probleem bij dit model is de mogelijkheid tot arbitrage. Modellen dienen aandelenprijzen te beschrijven op verschillende tijdsresoluties. Zowel transacties binnen de dag als op maandelijks niveau zijn belangrijk. Men is dus geïnteresseerd in de statistische eigenschappen van aandelenopbrengsten wanneer de tijdstap varieert. Men introduceert hier ook de notie van “schalen”. Schalen betekent dat, op een herschaling van eenheden na, dezelfde statistische eigenschappen voorkomen als je naar een proces kijkt op verschillende tijdsresoluties. Dit fenomeen is gelijkaardig aan de patronen die zich herhalen bij fractalen. Definieer een continu Gaussisch proces

, welke start bij nul en met gemiddelde nul, met

volgende covariantie functie

We noemen dit proces een fractionele Brownse beweging met Hurst parameter

. De waarde

van H bepaald wat voor proces de fractionele Brownse beweging is: Als H=1/2, dan is het proces een gewone Brownse beweging. Voor H ≠1/2 zal de covariantie van de incrementen traag afnemen. Als

H>1/2,

dan zijn de

incrementen van het proces positief gecorreleerd. Dit leidt tot een lange termijn

afhankelijkheid

van

de

incrementen. Als H<1/2 dan zijn de incrementen van het proces negatief gecorreleerd. Ook dit proces behoort tot de code repertoire van Meucci. Figuur 4.6.a Fractionele Brownse beweging (Bron: Gegenereerd aan de hand van de matlab code van Meucci)

55

5. Waarderingsvermogen 80

Om het waarderingsvermogen van de waarderingsmodellen te vergelijken volgen we Schoutens en gebruiken we meerdere maatstaven. De eerste drie vertellen ons iets over de goedheid van de fit, de laatste iets over de kwaliteit van de fit. Root-mean-square error

Gemiddelde relatieve procentuele fout

Gemiddelde absolute fout

Gemiddelde absolute fout als percentage van de gemiddelde prijs

80

Schoutens (2003) Lévy processes in finance

56

6. Kwadratuurregel 81,82

Opdat we de optieprijs zouden kunnen bepalen, dienen we de integraal berekenen voor de uitoefenkans

te

. Deze integraal kan niet op exacte wijze bepaald worden, maar

dient te worden benaderd met de FFT, i.e. Fast Fourier Transform, of een kwadratuur regel. Deze technieken worden in onderstaand schema vergeleken

Tabel 6.a Vergelijking methodes voor berekening van de prijs van de call optie

Fast Fourier Transform

Kwadratuur regel

Voordelen

Snelheid

Accuraat

Nadelen

Accuraatheid

Veel trager

Oplossing afhankelijk van een arbitraire parameter

Met het oog op maximaal waarderingsvermogen, opteren we voor de kwadratuur regel. Een kwadratuur regel is een benaderingstechniek voor de integraal van een functie. Beschouw de integraal

met f een reëelwaardige functie, gedefinieerd op een gesloten en eindige deelverzameling A van de reëelwaardige as. We kunnen deze grootheid benaderen door gebruik te maken van een eindige som die overeenstemt met een gepaste partitie van de verzameling A. Een kwadratuur regel van orde n neemt de volgende vorm aan

Hierbij stellen

de gewichten voor en

kwadratuurregels

leiden

tot

verschillende

de abscissen of kwadratuurnoden. Verschillende benaderingen

van

deze

integraal. Verschillende

kwadratuurregels stemmen overeen met verschillende wijzen waarop men de volgende verzameling opbouwt: 81 82

Fusai, Roncoroni (2000) Implementing models in quantitative finance: Methods and cases Gander, Gautschi Adaptive quadrature - Revisited

57

Elk van deze regels is gekoppeld met een theoretisch resultaat dat aantoont hoe met

convergeert naar

. In geval van de composiete kwadratuurregel worden de abscissen equidistant

verdeeld. Gaussische kwadratuur regels daarentegen selecteren de gewichten en abscissen op dusdanige wijze zodat de orde van de interpolerende polynoom gemaximaliseerd wordt. Aangezien het integrandum van optiewaarderingsmodellen grote functionele variaties vertoont, hebben we nood aan een methode die zich toelegt op die zones waar de functionele variaties groter zijn. Deze functionele variaties zijn afkomstig van de trillingsonstabiliteit welke veroorzaakt wordt door de complexe exponentiële functie in het integrandum. We herinneren de lezer eraan dat deze complexe exponentiële functie kan worden ontbonden in twee trigonometrische functies, gebruikmakend van de formule van Euler

De adaptieve kwadratuurregel detecteert zones met grotere functionele variatie en is dus het meest geschikt. De methode integreert de functie f(x) tweemaal over het integratie interval [a,b], gebruikmakend van twee verschillende numerieke methodes. Men verkrijgt twee integrandums I1 en I2. Stel dat I1 meer accuraat is dan I2, we berekenen het verschil tussen I1 en I2 en contrasteren dit met een bepaald tolerantieniveau. Naargelang het tolerantieniveau, zal dit verschil te groot of te klein zijn. Indien het verschil voldoende klein is, kiest men voor I1. Wanneer dit verschil te groot is, dan wordt het interval opgesplitst in twee subintervallen [a,c] en [c,b] met c = (a+b)/2. Beide integralen worden op onafhankelijke wijze benaderd door beide numerieke methodes. Het verfijnen van het interval in subintervallen gaat door tot het stopcriterium wordt bereikt

en

vormen hierbij twee schattingen voor de berekening van de integraal van het subinterval onder

beschouwing. Binnen de Gaussische kwadratuurregels, kunnen we opnieuw onderscheid maken tussen twee methodes

58

-

Lage orde kwadratuurregels: Adaptieve Simpson regel, i.e. een uitbreiding van de basis Simpson regel waarbij het integratie-interval wordt opgedeeld in verschillende intervallen met een niet uniforme lengte. In matlab gebruikt men de functie quad(functie, begin interval, einde interval).

-

Hoge orde kwadratuurregels: Adaptieve Gaussische kwadratuurregel, welke gebruikt maakt van Lagrange interpolerende polynomen. In MATLAB gebruikt men quadl(functie, begin interval, einde interval).

Opnieuw doet er zich een tradeoff voor, welke afhankelijk is van het ingestelde betrouwbaarheidsniveau of tolerantieniveau

Laag tolerantieniveau -

quadl is het efficiëntst

-

quadl is het betrouwbaarst

Hoog tolerantieniveau: -

quad is het efficiëntst

-

quadl is het betrouwbaarst

Hierbij meten we efficiëntie als het aantal recursieve stappen die vereist zijn om het antwoord te bepalen binnen een tolerantieniveau. Betrouwbaarheid zullen we meten als de mate waarin het vereiste tolerantieniveau is bereikt. Rekening houdend met het einddoel van maximaal waarderingsvermogen, vereisen we lage tolerantieniveaus om de optieprijs zo exact mogelijk te benaderen. Met andere woorden, we opteren voor het gebruik van de functie quadl(), welke beschikbaar is in het pakket MATLAB.

59

7. Kalibreren – Globale optimalisatieprocedures 83

7.1 Adaptief gesimuleerd uitgloeiing proces84,85

Uitgaande van het BS model, voegden we extra componenten toe die het waarderingsvermogen van het model verbeterden. De toename in realisme van het waarderingsmodel brengt additionele complexiteit met zich mee, wat de kalibratie van het model bemoeilijkt. Jacquier en Jarrow86 duiden erop dat de kalibratieprocedure zo cruciaal wordt als het model zelf. De nood aan een kalibratieprocedure stamt uit het feit dat de parameterschattingen afkomstig uit tijdserieanalyses niet resulteren in de correcte optieprijzen. Met andere woorden, de geïmpliceerde parameters die de modelprijzen en marktprijzen doen overeenstemmen, zijn verschillend van de parameters afkomstig uit tijdserieanalyses. We worden dus geconfronteerd met een invers probleem waarbij we op zoek gaan naar een set van parameters uit de parameterruimte die de modelprijzen en marktprijzen zo nauw mogelijk doen aansluiten bij elkaar. Het grote voordeel aan deze methode is dat we de marktprijs van bv. het volatiliteitrisico niet dienen te bepalen. Dit invers probleem is een niet lineair geval van de methode der kleinste kwadraten.

We zoeken een set van parameters in de parameterruimte die de kwadratische verschillen tussen modelprijzen en marktprijzen voor de volatiliteitmatrix minimaliseert. De kalibratieprocedure loopt over de volatiliteitmatrix met als kolommen de uitoefenprijzen

en als rijen de vervaldata . Hierbij slaat N

op het aantal opties die in de volatiliteitmatrix aanwezig zijn. In de literatuur spreekt men vaak van het kalibreren van het volatiliteitoppervlak. Het meest kritische element in deze kalibratieprocedure is de vorm van het meerdimensionale oppervlak . Dit oppervlak is niet convex en heeft geen gekende structuur. De zoektocht naar het globale 83

Detlefsen, Härdle (2008) Calibration design of implied volatility surfaces Ingber (1987 – 2011) Adaptive simulated annealing 85 Moins (2002) Implementation of a simulated annealing algorithm for Matlab 86 Jacquier en Jarrow (2000) Contingent Claim Models with Deterministic Volatility: Model Error vs. Poor Estimation 84

60

minimum van dit oppervlak, waarvan het bestaan niet kan worden gegarandeerd, kan niet wo rden gerealiseerd aan de hand van een parameterzoektocht die de gradiënt naar nul brengt. Minimalisatieprocedure op basis van een gradiënt, welke duiding geeft van de richting waarin het oppervlak het meest wijzigt, kunnen de minimalisatieprocedure doen ei ndigen in zowel een globaal als een lokaal minimum. De gradiënt wordt immers in beide gevallen nul. Een visuele voorstelling van de functie visuele

is mogelijk als we twee parameters vrij laten en de overige constant houden. Op zulke voorstellingen

zijn

er

ook

een

aantal

niet-differentieerbare

punten

aanwezig.

Differentieerbaarheid is een vereiste voor gradiëntgebaseerde optimalisatie. Dit gegeven zijnde, opteren we voor een kalibratietechniek die deze problematiek op een elegante wijze aanpakt. De kalibratietechniek waarover we spreken is ASA of “Adaptive Simulated Annealing”. Het is een open source project dat gestart is door Lester Ingber en over de jaren heen geperfectionaliseerd werd via feedback van gebruikers. ASA is een globale optimalisatieprocedure die afstamt van SA of “Simulated Annealing”. SA is ontstaan uit een betekenisvolle band tussen statistische mechanica en multivariate of combinatorische optimalisatie. Er bestaat met andere woorden een band tussen het gedrag van systemen met vele vrijheidsgraden in een thermisch equilibrium en de zoektocht naar het minimum van een functie welke afhangt van vele parameters. Het uitgloeien of “annealing” in vaste materialen voorziet een kader waarin we eigenschappen van grote en complexe systemen kunnen optimaliseren. Verschillende configuraties van verscheidene onderdelen van dit complexe systeem leiden tot verschillende “goodnesses”. Een kwantitatieve maat voor “goodness” is de kostfunctie of doelfunctie. Waarderingsmodellen voor opties die een uitbreiding vormen op BS introduceren veel parameters. Het aantal mogelijke inputs en dus configuraties van het systeem is onomzichtelijk groot. Er bestaat een analogie met de metallurgie, waar de configuratie van het systeem bepaald wordt door de verzameling aan atomische posities wordt gewogen door de Boltzmann kansfactor

waarbij

. Elk van deze configuraties

de Boltzmann constante en

de

temperatuur voorstelt. De uitdaging bij uitgloeien is het bereiken van de grondtoestand, i.e. de toestand waarbij de energie in het systeem minimaal is. Gezien de mogelijke schakeringen in atomische posities enorm is, is de grondtoestand moeilijk te bereiken. In geval van uitgloeien, dient men de substantie te smelten, gevolgd door het langzaamaan verlagen van de temperatuur om vervolgens gedurende een lange periode op temperaturen te blijven die dicht bij het vriespunt liggen. Wanneer men dit niet doet en bijgevolg dus 61

enkel schakeringen van atomen aanvaardt die overeenstemmen met een lagere energie of een lagere kostfunctie van het systeem, dan is dit equivalent aan een te snelle koelprocedure. Zulke procedure leidt tot krystaldefecten of metastabiele oplossingen, welke een lokale optimale structuur hebben. Om een ideaal uitgloeiproces te bekomen, passen we de metropolis procedure toe. Metropolis introduceert gecontroleerde opwaartse stappen in de procedure van iteratieve verbetering. Een gecontroleerde opwaartse stap kan leiden tot een betere oplossing. In termen van numerieke optimalisatie betekent dit dat we uit een lokaal minimum kunnen gaan om zo in een globaal minimum terecht te komen. Het SA algoritme van Metropolis kan als volgt worden omschreven: (1) Beschouw een systeem, voorgesteld door een vierkant, dat N partikels bevat. Deze N partikels worden in een willekeurige configuratie geplaatst.

(2) Beweeg één van deze partikels aan de hand van volgende bewerking

Waarbij de maximale toegestane verandering voorstelt en

een willekeurig getal tussen -

1 en +1 met

(3) Bereken de wijziging in de energie van het systeem

welke werd veroorzaakt door de

beweging van één partikel. We onderscheiden twee situaties: a.

De beweging brengt het systeem in een toestand van lagere energie. We staan de beweging toe en plaatsen het partikel in zijn nieuwe positie. Deze nieuwe configuratie met het verplaatste partikel wordt gebruikt als uitgangspunt voor de volgende iteratie in de procedure.

b.

We aanvaarden de beweging en dus configuratie met kans . Dit is het probabilistisch geval dat opwaartse bewegingen, i.e. configuraties met hogere energie, toestaat. Deze keuze voor

zorgt ervoor dat

het systeem evolueert in een Boltzmann verdeling. Deze kans wordt als volgt behandeld: 62

Neem een willekeurig getal 

Indien

, bewegen we het partikel naar zijn nieuwe positie. Met

andere woorden, we behouden de nieuwe configuratie. Dit is de opwaartse klim die globale optimalisatie mogelijk maakt.



Indien

, bewegen we het partikel terug naar zijn oude positie.

We herhalen stap (1),(2) en (3) vele keren en simuleren op deze wijze de thermische beweging van atomen die in thermisch contact zijn met een warmtebad op temperatuur T. Bij elke iteratie wordt de temperatuur verlaagd en verkleint de kans dat we opwaartse stappen ondernemen. Deze procedure stemt overeen met de intuïtie dat we eerst het terrein, gegeven door de doelfunctie, aftasten. Achteraf gebeurt de meer gedetailleerde zoektocht. Men gebruikt hierbij vaak de aanschouwelijke voorstelling van een bal die met hoge energie (i.e. hoge temperatuur) stuitert overheen het oppervlak. Vervolgens verliest deze bal geleidelijk aan energie en vestigt deze zich in de meer dieper gelegen valleien om daar het diepste punt op te zoeken. De analogie naar een numerieke optimalisatieprocedure wordt gevonden indien we de zoektocht naar “minimale energie” vervangen door de “minimalisatie van de kostfunctie”. Hierbij stellen de verschillende “configuraties” van atomen, verschillende sets aan “parameters” voor. Kenmerkend voor SA is het uitgloeiing schema of “annealing scheme”. Het bepaalt de snelheid waarmee de temperatuur daalt en bijgevolg de accuraatheid, efficiëntie en looptijd van het algoritme. Om de subjectiviteit van dit schema te vermijden, implementeren we een uitbreiding op SA, zijnde ASA. Lester Ingber breidde SA uit door het introduceren van statistische maatstaven die het huidig vermogen van het algoritme evalueren. Op basis van deze evaluatie worden de controleparameters of het schema gewijzigd.

63

7.2 PSO87

De optimalisatieprocedure beroept zich op het principe dat de interactie van vele individuen een superorganisme vormt waarbij het geheel meer is dan de som van de delen. PSO heeft zijn funderingen in artificieel leven en zwermtheorie. Artificieel leven vormt de eerste hoeksteen van PSO. Het al goritme beroept zich immers op zaken zoals zelf organisatie, zelf reproductie en zelf configuratie. De tweede hoeksteen, zwermtheorie, betreft het herkennen van het beste patroon, optimalisatie van het pad en collectief geheugen of informatiedeling. Vooral het laatste aspect maakt deze optimalisatieprocedure verschillend van reeds gekende technieken. Het delen van informatie creëert een evolutionair voordeel. Ter illustratie, wanneer een individueel lid van de populatie een ontdekking doet, dan haalt het ov erige deel van de populatie hier een voordeel uit. Een lokaal of globaal minimum oefent een aantrekkingskracht uit op een lid van de organisatie. Een lid van de populatie zal zich niet direct in het minimum nestelen. Het zal de locatie en de diepte meedelen aan de rest, maar kan nog andere zones verkennen. Eens het duidelijk wordt voor de groep waar het laagste punt zich bevindt, dan zullen zich meer en meer leden van de populatie zich begeven naar dit globale minimum. We vermelden het pseudo algoritme van de optimalisatieprocedure. We hebben een functie die voor elke set aan waardes, de kost meedeelt

Elke mogelijke oplossing voor het probleem wordt voorgesteld door een partikel. Afhankelijk van het soort probleem, gebruikt men een verschillend aantal partikels

De posities en snelheden van de partikels

Het huidige laagste punt dat het partikel is tegengekomen, noteren we als noteren we als . We initialiseren de constante

en

en het globale laagste punt

. We voeren stappen (1) tot en met (5) uit voor

elk lid van de zwerm (

87

Lectur e 13, Herrmann, Natural computing

64

(1) Creëer stochastische vector We vullen de vectoren

met willekeurige getallen van de uniforme verdeling, i.e. U[0,1]

(2) Vernieuw snelheden

(3) Vernieuw posities (4) Vernieuw laagste punt partikel indien (5) Vernieuw globaal laagste punt indien

65

8. Implementatie Eerder in dit document hebben we beschreven hoe we de data hebben geordend en samengevat aan de hand van Excel macro’s. Bij het schrijven van de code streefde ik naar een evenwicht tussen modulariteit en snelheid. In de appendix, deel 10 kunnen volgende functies worden teruggevonden: (i)

SimulateBrownian.m, SimulateSR.m en SimulateHeston.m

De eerste stukken code die we vermelden, zijn de simulaties van volgende processen: Brownse beweging, Square root proces en Heston. Voor de andere processen werd gebruik gemaakt van de code van Meucci en Gaigalas.

(ii)

ExcelIV.m

De data van de Excel files wordt ingelezen. De dimensies van de volledige dataset dienen worden aangepast in de code zelf. Men dient het bereik van de uitoefenprijzen mee te geven. Wanneer er n uitoefenprijzen ,

,

component (

, , forward

zijn, dan zal de code veronderstellen dat kolom , de interestvoeten

en aandelenprijs

, tijd tot vervaldag

,

zijn, respectievelijk. Inderdaad, in

plaats van de dividendvoet mee te geven, berekenen we direct (

in Excel. De

waarderingsformules maken nooit gebruik van de dividendvoet als individuele hoeveelheid, maar altijd van de volledige component (

. Door deze op voorrand

te berekenen, besparen we tijd gedurende kalibratie.

(iii)

ModulaireOptieWaardering.m, ModulairWaarderen.m, MWaarderingsvermogen.m en Waardering.M

Deze bestanden voorzien de gebruiker van een grafische interface (figuur 8.a) en functionaliteit van deze interface. Aangezien er veel elementen samenkomen bij de waardering van opties, hebben we geprobeerd om de gebruiksvriendelijkheid zo hoog mogelijk te houden.

66

Voordat de gebruiker start met waardering, kan hij, na selectie van de Euronext index, het volatiliteitoppervlak van Black-Scholes inladen. Men doet dit door op de knop “Volatiliteitoppervlak Black-Scholes inladen” te drukken. Dit oppervlak is opgeslagen in een bestand (Middle192.mat/MiddleAex.mat/MiddleLiffe.mat/MiddleMonep.met) dat bij het programma hoort.

Indien de gebruiker dit volatiliteitoppervlak wenst te verbeteren, i.e. het volatiliteitoppervlak naar het vlak

wenst te brengen, kan hij een model

samenstellen naar keuze. Wanneer hij geen keuze maakt, dan gaat de code uit van BlackScholes. Technisch gezien kan de gebruiker eender welke combinatie van modellen kiezen. Niet elke combinatie is echter zinvol. Zo kunnen SV en NIG niet gecombineerd worden. In dat geval stapt de code over naar de default, zijnde NIG. Hetzelfde geldt voor Merton sprong en Kou tweevoudige sprong.

De code werkt als volgt:

met In geval van

wordt de component niet geactiveerd. Voor

tegengestelde. Het uitschakelen van maximaal één

component.

én

geldt het

leidt tot de creatie van

is de diffusiecomponent die de sprongmodellen

Merton/Kou nodig hebben. De code creëert de initiële vector, boven- en ondergrenzen op basis van de keuze. Ook het te kalibreren model wordt terplekke “samengesteld”. De code is eenvoudig uitbreidbaar in termen van variatie in componenten, i.e. /…

De code uitbreiden voor SI modellen is mogelijk, maar vereist meer kennis van de bestaande code.

Vervolgens kiest de gebruiker de Euronext index, gevolgd door het bereik van handelsdagen dat deze wil kalibreren.

67

Een laatste instelling is de gevoeligheid van de kalibratie. We maakten de belangrijkste parameters beschikbaar:

Swarm size

=> Het aantal partikels die het te optimaliseren vlak afschuimen.

Tolx

=> Wanneer de procedure een stap wil nemen die kleiner is dan deze variabele, stopt de procedure

Tolfun

=> Wanneer de procedure, na een iteratie, een wijziging in de kostfunctie optekent die kleiner is dan tolfun, dan stopt de procedure

Maxiter

=> Maximaal aantal iteraties

Men drukt op “Kalibreer (PSO)”. Wanneer de volledige kalibratie doorlopen is, worden de geschatte parameters zichtbaar, evenals hun standaardafwijkingen. We voorzien de gebruiker ook van maatstaven van de gemaakte fout. Indien gewenst, kan de gebruiker het BS volatiliteitoppervlak contrasteren aan het volatiliteitoppervlak van het gekozen model door op “Volatiliteitoppervlak model inladen” te drukken. We waarschuwen de gebruiker dat kalibratie gebruik maakt van “parfor” lussen. Indien de gebruiker zijn matlab versie dit niet ondersteund, dient de gebruiker “parfor” te wijzigen naar “for” in ModulairWaarderen.m op lijn 19. De parfor versnelt de kalibratie aanzienlijk. Het deelt het volatiliteitoppervlak op in verschillende zones en zal die parallel uitrekenen. Dit gaat sneller dan wanneer men het volatiliteitoppervlak in seriële wijze zou doorlopen.

(iv)

Voor de kalibratie verwijzen we naar de appendix, deel 9. De benodigde weblinks naar de globale optimalisatieprocedures staan vermeld.

68

Figuur 8.a Grafische interface van het modulaire waarderingskader (De mesh is het BS volatiliteitoppervlak, het groene vlak is het SVNIG volatiliteitoppervlak)

69

9. Resultaten

9.1 Data

De data is afkomstig van Thomson Reuters. Voor elke optiereeks op een index van Euronext werden de geïmpliceerde volatiliteit (VL), het onderliggend instrument (OUP) en de marktwaarde (FV) geïmporteerd. Gezien de enorme set aan gegevens en de beperkte rekenkracht die ik ter beschikking heb, is het onmogelijk om al deze data te verwerken. Kalibratieprocedures onder strenge voorwaarden nemen veel tijd in beslag. Om dit op te lossen is een rekencluster vereist. Opdat we zinvolle informatie kunnen halen uit deze data, hebben we een kleine steekproef genomen en deze uitgebreid tot als de parameters en de maatstaven voor waarderingsvermogen stabiliseerden. Tabel 9.1.a Dimensies van gebruikte reeksen

Overzicht Euronext Brussels Euronext Londen Euronext Amsterdam Euronext Parijs Forward/Future BFX LSX ETI FCX Optiereeks BFXB ESX EOE PXA Dimensie IV Matrix 7 x 29 7 x 76 5 x 39 12 x 69 Aantal handelsdagen 100 245 180 400 Aantal optieprijzen 20,300 130,340 35,100 331,200

Het Black-Scholes model geeft ons een idee over de maximale fout dat een model mag maken. Aangezien dit model maar één parameter heeft, zijnde σ , dient deze zodanig gekozen te worden opdat de optieprijzen zo goed mogelijk benaderd worden. Grafisch kan dit worden voorgesteld door een doorsnijding van het volatiliteitoppervlak met een vlak. Het vlak weerspiegelt de BS veronderstelling van constante volatiliteit voor alle

en

voor één welbepaalde handelsdag. Intuïtief zou men dit vlak op

dusdanige wijze plaatsen zodat de afstand tussen het gekalibreerde vlak en het volatiliteitoppervlak minimaal is. Dit is analoog aan het nemen van een gemiddelde. Het gemiddelde is de eenvoudigste schattingsmethode. Wanneer we de gekalibreerde sigma’s en de gemiddelde sigma’s voor de verschillende handelsdagen uitzetten op een grafiek in figuur 9.2.a merken we zoals verwacht een hoge gelijkenis.

70

9.2 Euronext Brussel Euronext Brussel - BS Statistieken Tabel 9.2.a Black-Scholes parameter voor Euronext Brussel

Parameter Gemiddelde Standaardafwijking

0.23 0.11

Evolutie parameter 0.6 0.4

Gecalibreerd

0.2

Gemiddelde 1 5 9 13 17 21 25 29 33 37 41 45 49 53 57 61 65 69 73 77 81 85 89 93 97

0

Figuur 9.2.a Gekalibreerde

en gemiddelde

van het volatiliteitoppervlak voor 100 handelsdagen

Waarderingsvermogen

Waarderingsfout oppervlak

Gemiddelde waarderingsfout

Black-Scholes foutoppervlak 100 0 -100 3.19 2.13 1.60 -200 1.28 1.06 0.98 0.95 -300

1.29 0.54 0.28 0.91

0.88

0-100 -100-0 -200--100 -300--200

Liquiditeit

Figuur 9.2.b Black-Scholes foutoppervlak voor Euronext Brussel

71

Euronext Brussel - Heston Statistieken Tabel 9.2.b Heston parameters voor Euronext Brussel

Parameter Gemiddelde Standaardafwijking

1.08 0.50

48 82

0.09 0.10

-0.95 0.069

0.069 0.093

Waarderingsvermogen

Waarderingsfout oppervlak

Gemiddelde waarderingsfout

Heston foutoppervlak 50

1.29 0.78 0.46

0 3.19 -50

2.13

1.60

1.28

1.06

0.98

-100

0.28 0.95

0.91

0.88

0-50 -50-0 -100--50 -150--100

-150

Liquiditeit

Figuur 9.2.c Heston foutoppervlak voor Euronext Brussel

72

Euronext Brussel - Sprongdiffusie Statistieken Tabel 9.2.c Merton parameters voor Euronext Brussel

Parameter Gemiddelde Standaardafwijking

0.11 0.046

0.28 0.34

-0.40 0.36

0.50 0.31

Waarderingsvermogen

Waarderingsfout oppervlak

Gemiddelde waarderingsfout

Merton foutoppervlak 100

1.29 0.78 0.46

50 0 -503.19 2.13

-100

1.60

1.28

1.06

0.98

-150

0.95

0.28 0.91

0.88

50-100 0-50 -50-0 -100--50 -150--100

Liquiditeit

Figuur 9.2.d Merton foutoppervlak voor Euronext Brussel

73

Euronext Brussel - Bates Statistieken Tabel 9.2.d Bates parameters voor Euronext Brussel

Parameter Gemiddelde Standaardafwijking

0.10 0.04

6.76 4.29

0 0.02

-0.93 0.1

0.2 0.21

0.53 1.27

-3.12 2.86

4.11 2.31

Waarderingsvermogen

Waarderingsfout oppervlak

Gemiddelde waarderingsfout

Bates foutoppervlak 50

1.29 0.78 0.46

0 3.19 -50

2.13

1.60

1.28

1.06

0.98

0.95

0.28

0.91

0.88

0-50 -50-0 -100--50

-100

Liquiditeit

Figuur 9.2.e Bates foutoppervlak voor Euronext Brussel

74

Euronext Brussel - Kou Statistieken Tabel 9.2.e Kou parameters voor Euronext Brussel

Parameter Gemiddelde Standaardafwijking

0.45 0.33

0.44 0.28

0.38 0.28

0.27 0.19

0.54 0.19

Waarderingsvermogen

Waarderingsfout oppervlak

Gemiddelde waarderingsfout

Kou foutoppervlak 50

1.29 0.78 0.46

0

3.19 2.13 -50

1.60

1.28

1.06

0.98

-100

0.28 0.95

0.91

0.88

0-50 -50-0 -100--50 -150--100

-150

Liquiditeit

Figuur 9.2.f Kou foutoppervlak voor Euronext Brussel

75

Euronext Brussel - SVkou Statistieken Tabel 9.2.f SVKou parameters voor Euronext Brussel

Parameter Gemiddelde Standaardafwijking

1 0.56

72 66

0.22 0.29

-0.88 0.09

0.096 0.10

0.41 0.26

0.56 0.23

0.15 0.15

0.28 0.16

Waarderingsvermogen

Waarderingsfout oppervlak

Gemiddelde waarderingsfout

SVKou foutoppervlak 50

1.29 0.78 0.46

0 3.19 -50

2.13

1.60

1.28

1.06

0.98

-100

0.28 0.95

0.91

0.88

0-50 -50-0 -100--50 -150--100

-150

Liquiditeit

Figuur 9.2.g SVKou foutoppervlak voor Euronext Brussel

76

Euronext Brussel - VG Statistieken Tabel 9.2.g VG parameters voor Euronext Brussel

Parameter Gemiddelde Standaardafwijking

0.22 0.09

0.44 0.37

-0.0055 0.04

Waarderingsvermogen

Waarderingsfout oppervlak

Gemiddelde waarderingsfout

VG foutoppervlak 100 50

1.29 0.78

0 3.19 -50

0.46 2.13

1.60

1.28

1.06

0.98

-100

0.95

0.28 0.91

0.88

50-100 0-50 -50-0 -100--50

Liquiditeit

Figuur 9.2.h VG foutoppervlak voor Euronext Brussel

77

Euronext Brussel - SVVG Statistieken Tabel 9.2.h SVVG parameters voor Euronext Brussel

Parameter Gemiddelde Standaardafwijking

0.089 0.074

152 349

0.19 0.3

-0.92 0.077

0.058 0.083

0.41 0.31

0.0175 0.031

Waarderingsvermogen

Waarderingsfout oppervlak

Gemiddelde waarderingsfout

SVVG foutoppervlak 50 1.29 0.78 0.46

0 3.19 -50

2.13

1.60

1.28

1.06

0.98

0.95

0.28 0.91

0.88

0-50 -50-0 -100--50

-100

Liquiditeit

Figuur 9.2.i SVVG foutoppervlak voor Euronext Brussel

78

Euronext Brussel - NIG Statistieken Tabel 9.2.i NIG parameters voor Euronext Brussel

Parameter Gemiddelde Standaardafwijking

1.40 0.83

237 211

-2.34 2.23

Waarderingsvermogen

Waarderingsfout oppervlak

Gemiddelde waarderingsfout

NIG foutoppervlak 5

1.29 0.78 0.46

0

3.19 -5

2.13

1.60

1.28

1.06

0.98

-10

0.28 0.95

0.91

0.88

0-5 -5-0 -10--5 -15--10

-15

Liquiditeit

Figuur 9.2.j NIG foutoppervlak voor Euronext Brussel

79

Euronext Brussel - SVNIG Statistieken Tabel 9.2.j SVNIG parameters voor Euronext Brussel

Parameter Gemiddelde Standaardafwijking

1.24 0.93

97 116

0.20 0.24

-0.86 0.12

0.050 0.048

219 147

-11.18 12.69

Waarderingsvermogen

Waarderingsfout oppervlak

Gemiddelde waarderingsfout

SVNIG foutoppervlak 4 1.29 0.78

2 0 -23.19 -4

0.46 2.13

1.60

1.28

1.06

0.98

-6

0.95

0.28 0.91

0.88

2-4 0-2 -2-0 -4--2 -6--4

Liquiditeit

Figuur 9.2.k SVNIG foutoppervlak voor Euronext Brussel

80

9.3 Euronext Amsterdam Euronext Amsterdam - BS Statistieken Tabel 9.3.a Black-Scholes parameter voor Euronext Amsterdam

Parameter Gemiddelde Standaardafwijking

0.23 0.06

Evolutie Parameter

Sigma 1 0.5 Sigma 1 7 13 19 25 31 37 43 49 55 61 67 73 79 85 91 97 103 109 115 121 127 133 139 145 151 157 163 169 175

0

Figuur 9.3.a Gekalibreerde σ van het volatiliteitoppervlak voor 180 handelsdagen

Waarderingsvermogen

Waarderingsfout oppervlak

Gemiddelde waarderingsfout

Black-Scholes foutoppervlak 4 2 0 -2 -44.26 2.13 1.42

2-4

0.99 1.07

1.00

0.95

0.73 0.90

0.85

0-2 -2-0 -4--2

Liquiditeit

Figuur 9.3.b Black-Scholes foutoppervlak voor Euronext Amsterdam

81

Euronext Amsterdam – Heston Statistieken Tabel 9.3.b Heston parameters voor Euronext Amsterdam

Parameter Gemiddelde Standaardafwijking

0.74 0.62

74.24 89.05

0.034 0.0093

-0.93 0.063

0.0294 0.061

Waarderingsvermogen

Waarderingsfout oppervlak

Gemiddelde waarderingsfout

Heston foutoppervlak 3 2

2-3

1

1.24

0 -14.26 -2

0.91 2.13

1.42

1.07

1.00

0.95

0.73 0.90

0.85

1-2 0-1 -1-0 -2--1

Liquiditeit

Figuur 9.3.c Heston foutoppervlak voor Euronext Amsterdam

82

Euronext Amsterdam – Sprongdiffusie Statistieken Tabel 9.3.c Merton parameters voor Euronext Amsterdam

Parameter Gemiddelde Standaardafwijking

0.15 0.0092

0.18 0.27

-0.25 0.28

0.29 0.28

Waarderingsvermogen

Waarderingsfout oppervlak

Gemiddelde waarderingsfout

Merton foutoppervlak 4

2 1.24 0 4.26 -2

0.91

2.13

1.42

2-4 0-2 -2-0

1.07

1.00

0.95

0.73 0.90

0.85

Liquiditeit

Figuur 9.3.d Merton foutoppervlak voor Euronext Amsterdam

83

Euronext Amsterdam – Bates Statistieken Tabel 9.3.d Bates parameters voor Euronext Amsterdam

Parameter Gemiddelde Standaardafwijking

0.91 0.60

217.24 130

0.089 0.19

-0.93 0.083

0.073 0.088

0.25 0.19

-0.07 0.069

0.093 0.11

Waarderingsvermogen

Waarderingsfout oppervlak

Gemiddelde waarderingsfout

Bates foutoppervlak 3 2

2-3

1

1.24

0 -14.26 -2

0.91 2.13

1.42

1.07

1.00

0.95

0.73 0.90

0.85

1-2 0-1 -1-0 -2--1

Liquiditeit

Figuur 9.3.e Bates foutoppervlak voor Euronext Amsterdam

84

Euronext Amsterdam – Kou Statistieken Tabel 9.3.e Kou parameters voor Euronext Amsterdam

Parameter Gemiddelde Standaardafwijking

0.26 0.15

0.40 0.36

0.35 0.21

0.21 0.21

0.38 0.25

Waarderingsvermogen

Waarderingsfout oppervlak

Gemiddelde waarderingsfout

Kou foutoppervlak 5

1.24 0

0.91 4.26

2.13

1.42

1.07

1.00

-5

0.95

0.73

0.90

0-5 -5-0

0.85

Liquiditeit

Figuur 9.3.f Kou foutoppervlak voor Euronext Amsterdam

85

Euronext Amsterdam – SVkou Statistieken Tabel 9.3.f SVKou parameters voor Euronext Amsterdam

Parameter Gemiddelde Standaardafwijking

0.68 0.45

180 118

0.089 0.19

-0.89 0.061

0.062 0.085

0.52 0.17

0.49 0.17

0.15 0.15

0.19 0.13

Waarderingsvermogen

Waarderingsfout oppervlak

Gemiddelde waarderingsfout

SVKou foutoppervlak 3

2

2-3

1

1.24

0

-14.26 -2

0.91 2.13

1.42

1.07

1.00

0.95

0.73 0.90

0.85

1-2 0-1 -1-0 -2--1

Liquiditeit

Figuur 9.3.g SVKou foutoppervlak voor Euronext Amsterdam

86

Euronext Amsterdam – VG Statistieken Tabel 9.3.g VG parameters voor Euronext Amsterdam

Parameter Gemiddelde Standaardafwijking

0.19 0.029

0.62 0.31

-0.016 0.003

Waarderingsvermogen

Waarderingsfout oppervlak

Gemiddelde waarderingsfout

VG foutoppervlak 4 3

3-4

2

2-3 1.24

1 0 -14.26 -2

0.91 2.13

1.42

1.07

1.00

0.95

0.73 0.90

0.85

1-2 0-1 -1-0 -2--1

Liquiditeit

Figuur 9.3.h VG foutoppervlak voor Euronext Amsterdam

87

Euronext Amsterdam – SVVG Statistieken Tabel 9.3.h SVVG parameters voor Euronext Amsterdam

Parameter Gemiddelde Standaardafwijking

0.14 0.08

24.66 12.63

0.017 0.007

-0.23 0.35

0.045 0.041

0.99 0.37

-0.0073 0.0041

Waarderingsvermogen

Waarderingsfout oppervlak

Gemiddelde waarderingsfout

SVVG foutoppervlak 2 1

1.24

0 -14.26 -2

0.91

2.13

1.42

1.07

1.00

-3

0.95

0.73 0.90

0.85

1-2 0-1 -1-0 -2--1 -3--2

Liquiditeit

Figuur 9.3.i SVVG foutoppervlak voor Euronext Amsterdam

88

Euronext Amsterdam – NIG Statistieken Tabel 9.3.i NIG parameters voor Euronext Amsterdam

Parameter Gemiddelde Standaardafwijking

0.75 0.86

243 193

-3.81 2.76

Waarderingsvermogen

Waarderingsfout oppervlak

Gemiddelde waarderingsfout

NIG foutoppervlak 1

1.24 0

0.91 4.26

-1

2.13

1.42

1.07

1.00

0.95

0.73 0.90

0.85

0-1 -1-0 -2--1

-2

Liquiditeit

Figuur 9.3.j NIG foutoppervlak voor Euronext Amsterdam

89

Euronext Amsterdam – SVNIG Statistieken Tabel 9.3.j SVNIG parameters voor Euronext Amsterdam

Parameter Gemiddelde Standaardafwijking

0.57 0.86

115 137

0.03 0.0087

-0.85 0.085

0.14 0.10

293 129

-7.8 4.6

Waarderingsvermogen

Waarderingsfout oppervlak

Gemiddelde waarderingsfout

SVNIG foutoppervlak 0.4

0.2

1.24

0

4.26 -0.2

0.91 2.13

1.42

1.07

1.00

-0.4

0.95

0.73 0.90

0.85

0.2-0.4 0-0.2 -0.2-0 -0.4--0.2

Liquiditeit

Figuur 9.3.k SVNIG foutoppervlak voor Euronext Amsterdam

90

9.4 Euronext Parijs Euronext Parijs – BS Tabel 9.4.a Black-Scholes parameter voor Euronext Parijs

Parameter Gemiddelde Standaardafwijking

0.24 0.033

Evolutie Parameter

Sigma 0.6 0.4

0.2

Sigma 1 15 29 43 57 71 85 99 113 127 141 155 169 183 197 211 225 239 253 267 281 295 309 323 337 351 365 379 393

0

Figuur 9.4.a Gekalibreerde σ van het volatiliteitoppervlak voor 400 handelsdagen

Waarderingsvermogen

Waarderingsfout oppervlak

Gemiddelde waarderingsfout

Black-Scholes foutoppervlak 200 100 0 -1004.69

1.84 0.82

1.56 1.25 1.10 0.99 Liquiditeit

0.89

0.07 0.82

100-200 0-100 -100-0

0.75

Figuur 9.4.b Black-Scholes foutoppervlak voor Euronext Parijs

91

Euronext Parijs – Heston Statistieken Tabel 9.4.b Heston parameters voor Euronext Parijs

Parameter Gemiddelde Standaardafwijking

0.88 0.45

13.28 13.78

0.085 0.012

-0.92 0.099

0.046 0.072

Waarderingsvermogen

Waarderingsfout oppervlak

40 20

2.09 1.33 0.57 0.07

-80

0.75

0.82

0.85

0.89

0.78

-60

0.94

0.99

1.04

1.10

1.17

1.25

1.34

-40

1.56

-20

2.34

0 4.69

Gemiddelde waarderingsfout

Heston foutoppervlak

20-40 0-20 -20-0 -40--20 -60--40 -80--60

Liquiditeit

Figuur 9.4.c Heston foutoppervlak voor Euronext Parijs

92

Euronext Parijs – Sprongdiffusie Statistieken Tabel 9.4.c Merton parameters voor Euronext Parijs

Parameter Gemiddelde Standaardafwijking

0.13 0.046

0.26 0.27

-0.44 0.17

0.46 0.24

Waarderingsvermogen

Waarderingsfout oppervlak

Merton foutoppervlak

80

80-100

60

60-80

40

40-60 2.09 1.33

20

0.75

0.07 0.78

0.82

0.85

0.89

-60

0.94

0.99

1.04

1.10

1.17

0.57

1.25

1.34

-40

1.56

-20

2.34

0

4.69

Gemiddelde waarderingsfout

100

20-40 0-20 -20-0 -40--20 -60--40

Liquiditeit

Figuur 9.4.d Merton foutoppervlak voor Euronext Parijs

93

Euronext Parijs – Bates Statistieken Tabel 9.4.d Bates parameters voor Euronext Parijs

Parameter Gemiddelde Standaardafwijking

0.98 0.37

117 104

0.047 0.023

-0.93 0.075

0.082 0.081

0.27 0.24

-0.19 0.16

0.37 0.28

Waarderingsvermogen

Waarderingsfout oppervlak

Bates foutoppervlak

40

40-60

20

2.09 1.33 0.57 0.75

0.07 0.78

0.82

0.85

0.89

0.94

-40

0.99

1.04

1.10

1.17

1.25

1.34

1.56

-20

2.34

0 4.69

Gemiddelde waarderingsfout

60

20-40 0-20 -20-0 -40--20 -60--40

-60

Liquiditeit

Figuur 9.4.e Bates foutoppervlak voor Euronext Parijs

94

Euronext Parijs – Kou Statistieken Tabel 9.4.e Kou parameters voor Euronext Parijs

Parameter Gemiddelde Standaardafwijking

0.46 0.23

0.51 0.26

0.50 0.27

0.22 0.22

0.39 0.24

Waarderingsvermogen

Waarderingsfout oppervlak

Kou foutoppervlak

100 100-150 50

2.09 1.33

0.75

0.07 0.78

0.85

0.89

0.82

-100

0.94

0.99

1.04

1.10

1.17

0.57 1.25

1.34

1.56

-50

2.34

0

4.69

Gemiddelde waarderingsfout

150

50-100 0-50 -50-0 -100--50

Liquiditeit

Figuur 9.4.f Kou foutoppervlak voor Euronext Parijs

95

Euronext Parijs – SVkou Statistieken Tabel 9.4.f SVKou parameters voor Euronext Parijs

Parameter Gemiddelde Standaardafwijking

0.93 0.33

34 23

0.11 0.025

-0.92 0.055

0.032 0.039

0.48 0.21

0.55 0.14

0.10 0.071

0.18 0.069

Waarderingsvermogen

Waarderingsfout oppervlak

SVKou foutoppervlak

20

2.09 1.33 0.57 0.75

0.78

0.07 0.82

0.85

0.89

-40

0.94

0.99

1.04

1.10

1.17

1.25

1.34

1.56

-20

2.34

0 4.69

Gemiddelde waarderingsfout

40

20-40 0-20 -20-0 -40--20 -60--40

-60

-80--60 -80

Liquiditeit

Figuur 9.4.g SVKou foutoppervlak voor Euronext Parijs

96

Euronext Parijs – VG Statistieken Tabel 9.4.g VG parameters voor Euronext Parijs

Parameter Gemiddelde Standaardafwijking

0.22 0.075

0.51 0.31

-0.017 0.0063

Waarderingsvermogen

Waarderingsfout oppervlak

VG foutoppervlak

100 100-150 50

2.09 1.33 0.57 0.75

0.07 0.78

0.82

0.85

0.89

0.94

-100

0.99

1.04

1.10

1.17

1.25

1.34

1.56

-50

2.34

0

4.69

Gemiddelde waarderingsfout

150

50-100 0-50 -50-0 -100--50 -150--100

-150

Liquiditeit

Figuur 9.4.h VG foutoppervlak voor Euronext Parijs

97

Euronext Parijs – SVVG Statistieken Tabel 9.4.h SVVG parameters voor Euronext Parijs

Parameter Gemiddelde Standaardafwijking

0.087 0.077

372 1134

0.065 0.062

-085 0.12

0.14 0.13

0.56 0.39

0.0044 0.011

Waarderingsvermogen

Waarderingsfout oppervlak

SVVG foutoppervlak

100

100-150 50

2.09 1.33

0.75

0.07 0.78

0.85

0.89

0.82

-100

0.94

0.99

1.04

1.10

1.17

0.57

1.25

1.34

1.56

-50

2.34

0

4.69

Gemiddelde waarderingsfout

150

50-100 0-50 -50-0 -100--50

Liquiditeit

Figuur 9.4.i SVVG foutoppervlak voor Euronext Parijs

98

Euronext Parijs – NIG Statistieken Tabel 9.4.i NIG parameters voor Euronext Parijs

Parameter Gemiddelde Standaardafwijking

1.34 0.51

400 79

-5.5 1.33

Waarderingsvermogen

Waarderingsfout oppervlak

NIG foutoppervlak

Gemiddelde waarderingsfout

5 0 -5 3.53 2.83 2.35 2.02 1.77 1.57 1.41 1.28 1.18 1.09 1.01 0.97 0.94 0.91 -10

-15

0.57 0.07

0-5 -5-0 -10--5 -15--10

-20

-20--15

-25 -30

-25--20

-35

-30--25

-40

-35--30

-45

-40--35 -45--40 Liquiditeit

Figuur 9.4.j NIG foutoppervlak voor Euronext Parijs

99

Euronext Parijs – SVNIG Statistieken Tabel 9.4.j SVNIG parameters voor Euronext Parijs

Parameter Gemiddelde Standaardafwijking

1.14 0.74

33 44

0.088 0.018

-0.89 0.078

0.062 0.061

299 127

-4.98 2.74

Waarderingsvermogen

Waarderingsfout oppervlak

SVNIG foutoppervlak

2

2.09 1.33 0.57 0.75

0.07 0.78

0.82

0.85

0.89

0.94

-4

0.99

1.04

1.10

1.17

1.25

1.34

1.56

-2

2.34

0 4.69

Gemiddelde waarderingsfout

4 2-4 0-2 -2-0 -4--2 -6--4

-6

-8--6 -8

Liquiditeit

Figuur 9.4.k SVNIG foutoppervlak voor Euronext Parijs

100

9.5 Euronext Londen Euronext Londen – BS Statistieken Tabel 9.5.a Black-Scholes parameter voor Euronext Londen

Parameter Gemiddelde Standaardafwijking

0.24 0.033

Evolutie parameter

Sigma 0.6 0.4 0.2

Sigma

1 9 17 25 33 41 49 57 65 73 81 89 97 105 113 121 129 137 145 153 161 169 177 185 193 201 209 217 225 233

0

Figuur 9.5.a Gekalibreerde σ van het volatiliteitoppervlak voor 245 handelsdagen

Waarderingsvermogen

BS foutoppervlak

Liquiditeit

0.91

0.94

0.97

1.01

1.09

1.18

1.28

1.41

1.77

50-100

1.57

100 50 0 -50 -100 -150

3.53 2.83 2.35 2.02

Gemiddelde waarderingsfout

Waarderingsfout oppervlak

0.57

0-50

0.07

-50-0 -100--50 -150--100

Figuur 9.5.b Black-Scholes foutoppervlak voor Euronext Londen

101

Euronext Londen – Heston Statistieken Tabel 9.5.b Heston parameters voor Euronext Londen

Parameter Gemiddelde Standaardafwijking

0.91 0.27

10.32 8.42

0.062 0.011

-0.96 0.026

0.0252 0.013

Waarderingsvermogen

Waarderingsfout oppervlak

Gemiddelde waarderingsfout

Heston foutoppervlak 20 10 1.07

0

0.32 3.53 2.83 2.35 2.02 1.77 1.57 -10 0.07 1.41 1.28 1.18 1.09 1.01 0.97 0.94 0.91 -20

10-20 0-10 -10-0 -20--10 -30--20

-30

Liquiditeit

Figuur 9.5.c Heston foutoppervlak voor Euronext Londen

102

Euronext Londen – Sprongdiffusie Statistieken Tabel 9.5.c Merton parameters voor Euronext Londen

Parameter Gemiddelde Standaardafwijking

0.15 0.037

0.27 0.26

-0.30 0.24

0.33 0.19

Waarderingsvermogen

Waarderingsfout oppervlak

Merton foutoppervlak

Gemiddelde waarderingsfout

40 30 30-40

20

20-30

10

10-20 0

0.57

3.53 2.83 2.35 2.02 0.07 1.77 1.57 1.41 1.28 -10 1.18 1.09 1.01 0.97 0.94 0.91 -20

0-10 -10-0 -20--10 -30--20

-30

Liquiditeit

Figuur 9.5.d Merton foutoppervlak voor Euronext Londen

103

Euronext Londen – Bates Statistieken Tabel 9.5.d Bates parameters voor Euronext Londen

Parameter Gemiddelde Standaardafwijking

1.01 0.34

92.65 76.34

0.36 0.013

-0.91 0.10

0.04 0.046

0.31 0.23

-0.15 0.15

0.24 0.20

Waarderingsvermogen

Waarderingsfout oppervlak

Gemiddelde waarderingsfout

Bates foutoppervlak 30 20 20-30

10

10-20

0

0.57

0.07 -103.53 2.83 2.35 2.02 1.77 1.57 1.41 1.28 1.18 1.09 1.01 0.97 0.94 0.91 -20 -30

0-10 -10-0 -20--10 -30--20

Liquiditeit

Figuur 9.5.e Bates foutoppervlak voor Euronext Londen

104

Euronext Londen – Kou Statistieken Tabel 9.5.e Kou parameters voor Euronext Londen

Parameter Gemiddelde Standaardafwijking

0.46 0.39

0.42 0.30

0.61 0.28

0.35 0.24

0.47 0.25

Waarderingsvermogen

Waarderingsfout oppervlak

Gemiddelde waarderingsfout

Kou foutoppervlak 100 50 50-100

0

0.57

0.07 -503.53 2.83 2.35 2.02 1.77 1.57 1.41 1.28 1.18 1.09 1.01 0.97 0.94 0.91 -100 -150

0-50 -50-0 -100--50 -150--100

Liquiditeit

Figuur 9.5.f Kou foutoppervlak voor Euronext Londen

105

Euronext Londen – SVkou Statistieken Tabel 9.5.f SVKou parameters voor Euronext Londen

Parameter Gemiddelde Standaardafwijking

0.80 0.36

50 36

0.12 0.13

-0.87 0.09

0.027 0.042

0.27 0.21

0.53 0.21

0.18 0.19

0.25 0.14

Waarderingsvermogen

Waarderingsfout oppervlak

Gemiddelde waarderingsfout

SVKou foutoppervlak 30 20 10

30-40

0

0.57

-103.53 2.83 2.35 2.02 1.77 1.57 1.41 1.28 1.18 1.09 1.01 0.97 -20 0.94 -30

0.07 0.91

20-30 10-20

0-10 -10-0

Liquiditeit

-20--10 -30--20

Figuur 9.5.g SVKou foutoppervlak voor Euronext Londen

106

Euronext Londen – VG Statistieken Tabel 9.5.g VG parameters voor Euronext Londen

Parameter Gemiddelde Standaardafwijking

0.22 0.019

0.41 0.34

-0.02 0.0064

Waarderingsvermogen

Waarderingsfout oppervlak

VG foutoppervlak

Gemiddelde waarderingsfout

60 50

50-60

40

40-50

30

30-40

20

20-30

10 0

0.57

-103.53 2.83 2.35 0.07 2.02 1.77 1.57 1.41 1.28 1.18 1.09 1.01 -20 0.97 0.94 0.91 -30 -40

10-20 0-10 -10-0 -20--10 -30--20 -40--30

Liquiditeit

Figuur 9.5.h VG foutoppervlak voor Euronext Londen

107

Euronext Londen – SVVG Statistieken Tabel 9.5.h SVVG parameters voor Euronext Londen

Parameter Gemiddelde Standaardafwijking

0.095 0.063

234 270

0.099 0.21

-0.88 0.11

0.092 0.092

0.35 0.34

-2.86 0.0068

Waarderingsvermogen

Waarderingsfout oppervlak

Gemiddelde waarderingsfout

SVVG foutoppervlak 40 30 20 10 0 0.57 -103.53 2.83 2.35 0.07 2.02 1.77 1.57 1.41 1.28 1.18 1.09 1.01 -20 0.97 0.94 0.91 -30 -40 -50

Liquiditeit

30-40 20-30 10-20 0-10 -10-0 -20--10 -30--20 -40--30 -50--40

Figuur 9.5.i SVVG foutoppervlak voor Euronext Londen

108

Euronext Londen – NIG Statistieken Tabel 9.5.i NIG parameters voor Euronext Londen

Parameter Gemiddelde Standaardafwijking

1.21 0.75

321 51

-7.1 2.1

Waarderingsvermogen

Waarderingsfout oppervlak

NIG foutoppervlak

2

2-3

1

2.09 1.33

0.75

0.07 0.78

0.82

0.85

0.89

0.94

0.99

1.10

1.17

1.25

1.34

0.57

1.04

-2

1.56

-1

2.34

0

4.69

Gemiddelde waarderingsfout

3

1-2 0-1 -1-0 -2--1 -3--2

-3

Liquiditeit

Figuur 9.5.j NIG foutoppervlak voor Euronext Londen

109

Euronext Londen – SVNIG Statistieken Tabel 9.5.j SVNIG parameters voor Euronext Londen

Parameter Gemiddelde Standaardafwijking

1.3 0.82

93 151

0.051 0.019

-0.88 0.091

0.090 0.086

247 93

-6.88 3.45

Waarderingsvermogen

Waarderingsfout oppervlak

SVNIG foutoppervlak

Gemiddelde waarderingsfout

5 4

4-5

3

3-4

2

2-3

1

1-2

0

0.57

-13.53 2.83 2.35 2.02 1.77 1.57 0.07 1.41 1.28 1.18 1.09 1.01 0.97 0.94 0.91 -2 -3

0-1 -1-0 -2--1 -3--2

Liquiditeit

Figuur 9.5.k SVNIG foutoppervlak voor Euronext Londen

110

9.6 Samenvatting resultaten Een overzicht van de resultaten kan worden gevonden in volgende tabellen. We vermelden het waarderingsvermogen en contrasteren dit aan het benchmark Black-Scholes model. Vanzelfsprekend creëren modellen met meer parameters een betere fit. De gekende quote van John von Neumann is hier dan ook op zijn plaats: “With four parameters I can fit an elephant, and with five I can make him wiggle his trunk” Daarom vermelden we ook de verbetering van de fit per aantal parameters. We beginnen de analyse met Euronext Brussel (zie tabel 9.6.b). Qua globale fit scoort SVNIG het best op RMSE, APE en AAE. Bates neemt een eerste positie in op ARPE. De tweede plaats wordt voor alle maatstaven bezet door SVVG. Bates neemt de derde plaats in voor RMSE, APE en AAE. ARPE wordt bezet door Merton. Lévy sprongen zonder hun SV, nemen de slechtste posities in. NIG en VG scoren het slechtst, evenals Kou. (zie tabel 9.6.c) Wanneer we de analyse voor fit per parameter uitvoeren bemerken we een gelijkaardig verhaal. SVNIG scoort het best op RMSE, AAE en APE. Merton daarentegen neemt de eerste plaats in voor ARPE en tweede plaats voor AAE en APE. VG, SVVG en NIG nemen de overige tweede en derde posities in, verspreidt over de verschillende maatstaven. Bates is van het toneel verdwenen. De slechtste posities worden opnieuw bezet door Kou, SVkou, NIG en VG. (zie tabel 9.6.d) Vervolgens analyseren we Euronext Amsterdam (zie tabel 9.6.e). Qua globale fit hebben we hetzelfde verhaal voor de 1ste positie. SVNIG scoort het best op RMSE, APE en AAE. Bates neemt een eerste positie in op ARPE. Overige posities worden ingenomen door Bates, Heston en Merton. Op de slechtste posities zien we vooral VG, Kou en NIG. (zie tabel 9.6.f) Het verhaal wijzigt sterk voor de fit per aantal parameters. Merton steelt in dat geval de 1 ste positie voor RMSE, ARPE en AAE. NIG bezet APE. VG, SVVG, Heston en NIG nemen de overige posities in. Op de slechtste posities zien we vooral SVKou, Kou, NIG en VG. (zie tabel 9.6.g) Euronext Parijs ondergaat dezelfde analyse (zie tabel 9.6.h). Qua globale fit domineert SVNIG op RMSE, ARPE en AAE. Merton en Bates bezetten de overige posities. (zie tabel 9.6.i) Wanneer we overgaan naar fit per aantal parameters, dan wordt SVNIG ingehaald door de modellen Merton en Heston. (zie tabel 9.6.j) 111

De resultaten wijzigen in het geval van Londen (zie tabel 9.6.k). Qua globale fit domineren nu enkel Heston, Merton en Bates (zie tabel 9.6.l). Wanneer we de fit per aantal parameters beschouwen, zien we dat traditioneel slecht presterende modellen zoals NIG en VG de modellen Merton en Heston gedeeltelijk verdringen. Samengevat kunnen we stellen dat de modellen Merton, Heston, Bates en SVNIG de beste resultaten geven. De slechtste resultaten zijn afkomstig van Kou, SVKou en VG. Betreffende over- en onderwaardering overheen maturiteit en liquiditeit, bekomen we voor de volatiliteitoppervlakken gelijkaardige resultaten voor alle indices. We trekken volgende conclusies: Tabel 9.6.a Euronext Brussel over- en onderwaardering

Model

Onder- en overwaardering

BS

Onderwaardering voor ITM, overwaardering voor OTM

SV

Onderwaardering voor LT opties (en KT ITM voor Euronext Parijs), overwaardering OTM opties (uitgezonderd Euronext Londen, daar evenzeer onderwaardering)

Merton

Overwaardering voor ITM, wordt onderwaardering op LT. Onderwaardering voor OTM, wordt overwaardering op LT

Bates

Voornamelijk onderwaardering. (Uitgezonderd Euronext Londen en Parijs, daar bekomen we overwaardering voor OTM)

Kou &

Vooral overwaardering, onderwaardering voor ITM en LT (KT voor Euronext Londen),

SVKou

onderwaardering voor diep OTM (én LT voor Euronext Londen en Parijs)

VG

Voornamelijk

overwaardering

(Met

een

diagonaal

ITM&KT->OTM<

van

onderwaardering voor Euronext Londen en Parijs) SVVG

Voornamelijk overwaardering, onderwaardering voor OTM (Met een diagonaal ITM&KT>OTM< van onderwaardering voor Euronext Londen en Parijs)

NIG

Voornamelijk onderwaardering

SVNIG

Voornamelijk onderwaardering, tenzij op LT en OTM, in dat geval, overwaardering (OTM voldoende voor Euronext Londen)

112

Tabel 9.6.b Overzicht waarderingsvermogen, Euronext Brussel

113

Tabel 9.6.c Geordend globaal waarderingsvermogen, Euronext Brussel

RMSE SVNIG SVVG Bates Merton SVKou Heston VG NIG Kou

80 53 46 38 37 33 33 30 20

Geordend op totale fit ARPE AAE Bates 18% SVNIG SVVG 17% SVVG Merton 13% Bates Heston 12% SVKou SVKou 12% Merton NIG 8% Heston Kou -2% VG SVNIG -3% Kou VG -4% NIG

APE 39 SVNIG 24 SVVG 22 Bates 20 SVKou 19 Merton 17 Heston 13 VG 9 Kou 3 NIG

5.9% 3.4% 2.9% 2.4% 2.3% 1.9% 1.4% 0.4% 0.4%

Tabel 9.6.d Geordend op fit per aantal parameters, Euronext Brussel

RMSE SVNIG VG NIG Merton SVVG Heston Bates SVKou Kou

11.4 11.0 10.0 9.5 7.6 6.6 5.8 4.1 4.0

Geordend op fit per aantal parameters ARPE AAE Merton 3.25% SVNIG 5.6 NIG 2.67% Merton 4.8 SVVG 2.43% VG 4.3 Heston 2.40% SVVG 3.4 Bates 2.25% Heston 3.4 SVKou 1.33% Bates 2.8 Kou -0.40% SVKou 2.2 SVNIG -0.43% Kou 1.8 VG -1.33% NIG 1.0

APE SVNIG Merton SVVG VG Heston Bates SVKou NIG Kou

0.84% 0.58% 0.49% 0.47% 0.38% 0.36% 0.27% 0.13% 0.08%

114

Tabel 9.6.e Overzicht waarderingsvermogen, Euronext Amsterdam

115

Tabel 9.6.f Geordend globaal waarderingsvermogen, Euronext Amsterdam

RMSE SVNIG Bates Heston Merton SVVG SVKou VG Kou NIG

Geordend op totale fit ARPE AAE 4.17 Bates 14.1% SVNIG 4.04 Heston 14.0% Bates 4 Merton 13.5% Merton 3.9 SVVG 13.3% Heston 3.9 SVNIG 12.5% SVVG 3.43 SVKou 12.0% SVKou 2.83 VG 8.0% VG 2.3 Kou 2.0% Kou -2.26 NIG -18.0% NIG

APE 1.19 SVNIG 1.18 NIG 1.13 Bates 1.12 Heston 1.04 SVVG 1 SVKou 0.3 Merton 0.11 VG -3.37 Kou

2.5% 2.5% 1.4% 1.3% 1.3% 1.2% 1.1% 0.4% 0.0%

Tabel 9.6.g Geordend op fit per aantal parameters, Euronext Amsterdam

RMSE Merton VG Heston SVNIG SVVG Bates Kou SVKou NIG

0.98 0.94 0.80 0.60 0.56 0.51 0.46 0.38 -0.75

Geordend op fit per aantal parameters ARPE AAE Merton 3.38% Merton 0.28 Heston 2.80% Heston 0.22 VG 2.67% SVNIG 0.17 SVVG 1.90% SVVG 0.15 SVNIG 1.79% Bates 0.15 Bates 1.76% SVKou 0.11 SVKou 1.33% VG 0.10 Kou 0.40% Kou 0.02 NIG -6.00% NIG -1.12

APE NIG SVNIG Merton Heston SVVG Bates SVKou VG Kou

0.83% 0.36% 0.28% 0.26% 0.19% 0.18% 0.13% 0.13% 0.00%

116

Tabel 9.6.h Overzicht waarderingsvermogen, Euronext Parijs

117

Tabel 9.6.i Geordend globaal waarderingsvermogen, Euronext Parijs

RMSE SVNIG Bates Merton Heston SVKou SVVG Kou VG NIG

Geordend op fit per aantal parameters ARPE AAE 62 SVNIG 33% SVNIG 41.4 56 Merton 31% Merton 37 55 Heston 28% Bates 37 53 Bates 26% Heston 35 53 SVVG 25% SVKou 34 38 VG 21% SVVG 26 5 SVKou 19% VG 10 -6 NIG 2% Kou 3 -46 Kou -5% NIG -22

APE NIG SVNIG Bates Merton Heston SVKou SVVG VG Kou

7.6% 7.6% 5.2% 5.1% 4.9% 4.8% 3.6% 1.6% 0.7%

Tabel 9.6.j Geordend op fit per aantal parameters, Euronext Parijs

RMSE Merton Heston SVNIG Bates SVKou SVVG Kou VG NIG

13.75 10.60 8.86 7.00 5.89 5.43 1.00 -2.00 -15.33

ARPE Merton VG Heston SVNIG SVVG Bates SVKou NIG Kou

Geordend op totale fit AAE 7.65% Merton 7.00% Heston 5.60% SVNIG 4.73% Bates 3.57% SVKou 3.25% SVVG 2.11% VG 0.67% Kou -1.00% NIG

9.25 7.00 5.91 4.63 3.78 3.71 3.33 0.60 -7.33

APE NIG Merton SVNIG Heston Bates SVKou VG SVVG Kou

2.53% 1.28% 1.09% 0.98% 0.65% 0.53% 0.53% 0.51% 0.14%

118

Tabel 9.6.k Overzicht waarderingsvermogen, Euronext Londen

119

Tabel 9.6.l Geordend globaal waarderingsvermogen, Euronext Londen

RMSE Heston Merton Bates SVKou SVVG VG NIG SVNIG Kou

Geordend op fit per aantal parameters ARPE AAE 44.2 Heston 12.9% Heston 33.2 42 Merton 12.6% Merton 31.8 42 Bates 12.4% Bates 31.7 40 SVKou 11.8% SVKou 30 36 SVVG 10.0% NIG 26 33 NIG 8.8% SVVG 25.3 32.8 VG 8.7% VG 25 28 SVNIG 2.0% SVNIG 20 -6 Kou 1.0% Kou 12

APE SVNIG Heston Merton Bates SVKou VG SVVG NIG Kou

2.8% 2.2% 2.1% 2.1% 2.1% 1.8% 1.8% 1.3% 1.0%

Tabel 9.6.m Geordend op fit per aantal parameters, Euronext Londen

RMSE VG NIG Merton Heston Bates SVVG SVKou SVNIG Kou

11.00 10.93 10.50 8.84 5.25 5.14 4.44 4.00 -1.20

ARPE Merton NIG VG Heston Bates SVVG SVKou SVNIG Kou

Geordend op totale fit AAE 3.15% NIG 2.93% VG 2.90% Merton 2.58% Heston 1.55% Bates 1.43% SVVG 1.31% SVKou 0.29% SVNIG 0.20% Kou

8.67 8.33 7.95 6.64 3.96 3.61 3.33 2.86 2.40

APE VG Merton Heston NIG SVNIG Bates SVVG SVKou Kou

0.60% 0.53% 0.44% 0.43% 0.40% 0.26% 0.26% 0.23% 0.20%

120

10. Conclusie 88 In deze masterproef zijn we op zoek gegaan naar de meest realistische beschrijving van het aandelenprijsproces. Verschillende processen leiden tot een verschillende waardering van opties. Het was een zoektocht naar de correcte bron of combinatie van bronnen van onzekerheid. Met correct bedoelen we de bron of bronnen van onzekerheid die de modelprijzen en marktprijzen het dichtst bij elkaar brengen. Men mag hierbij de geschiedenis van optiewaardering niet naast zich leggen. Een formule zoals BlackScholes is niet uit het niets verschenen. Het was het eindresultaat van een aantal sequentiële verbeteringen. Eerdere versies van dit model steunden op principes die werden vastgelegd in 1900 door Bachelier. Men stelde zich daarbij nauwelijks de vraag of de Brownse beweging wel voldoende willekeurig is om hectische momenten op de markt te modelleren. Integendeel, de Random Walk theorie kreeg initieel veel tegenwind omwille van het feit dat men alle systematiek liet vallen. Fundamentele en technische analyses werden waardeloos indien men deze theorie zou aanvaarden. Het is dan ook ondenkbaar dat iemand het Random Walk model zou afschrijven als onvoldoende willekeurig. De realiteit bewees het tegendeel. Verscheidene crashes en booms maakten duidelijk dat aandelenprijzen extremere bewegingen kunnen maken. Bijgevolg zijn eigenschappen zoals een hoge kurtosis en een negatieve scheefheid stilistisch voor aandelenopbrengsten. Traditionele modellen kunnen deze bewegingen enkel nabootsen onder extreme parameterwaarden. Vandaar de zoektocht naar modellen met stochastische volatiliteit, modellen die sprongen incorporeerden of modellen die enkel en alleen met sprongen voortbewegen, i.e. pure sprong modellen. De introductie van stochastische volatiliteit (SV) resulteerde in een meer flexibelere distributie. De correlatie tussen schokken in volatiliteit en de onderliggende aandelenopbrengsten maakt het mogelijk om de kurtosis te verhogen. Stochastische volatiliteit verhoogt vooral de fit voor lange termijn opties. Aangezien volatiliteit wordt gemodelleerd als een diffusie, kan het enkel een continu pad volgen en zijn de mogelijkheden voor het internaliseren van voldoende kurtosis op korte termijn beperkt. Bijgevolg zijn de mogelijkheden voor het waarderen van korte termijn opties evenzeer beperkt. De kracht van dit model werd bevestigd in onze analyse. Heston kwam vaak tevoorschijn als één van de beter presterende modellen.

88

Bakshi, Cao, Chen (1997) Empirical performance of alternative option pricing models

121

De introductie van sprongen (J) verhoogde kurtosis en scheefheid op impliciete wijze. Deze modellen bieden meer flexibiliteit in het internaliseren van kurtosi s en scheefheid. Deze modellen verbeteren bijgevolg de waardering van opties op korte termijn. Ook dit werd bevestigd door onze analyse, althans voor het Merton model. Het Kou model haalt mindere resultaten en vereist één extra parameter. Vanzelfsprekend geeft de combinatie van stochastische volatiliteit met sprongen (SVJ) betere resultaten naar waardering toe. In het SVJ model of het Bates model, zal de correlatie volatiliteit model en de gemiddelde spronggrootte

van het stochastische

van het sprongmodel de scheefheid in het model

bepalen. De dispersiecoëfficiënt van het stochastische volatiliteit model en de grootte en variabiliteit van de sprongcomponent van het sprongmodel bepalen de kurtosis in het model . Ook dit model presteerde sterk in onze analyse Stochastische interestvoeten (SI) hebben we niet in beschouwing genomen. Deze modellen verbeteren enkel de waardering en verdiscontering van toekomstige uitbetalingen. De verwachting is dat deze component de fit voor lange termijn opties zal verbeteren. Modellen worden realistischer wanneer we een discontinu prijspad kiezen in plaats van de continue Brownse beweging. De stochastische klokmodellen kunnen de opbrengstendistributie goed benaderen met een beperkt aantal parameters. Dit komt omdat hun parameters een rechtstreekse invloed hebben op de kurtosis en scheefheid van aandelenopbrengsten. In onze analyse, presteerde lévy sprongen als individueel model vrij slecht, uitgezonderd voor Londen. De combinatie van de lévy sprong NIG met stochastische volatiliteit vormt een model dat kariger is dan SVJ en geeft evenwaardige of betere resultaten. SVNIG kwam vaak als één van de betere modellen tevoorschijn voor de indices Brussel, Amsterdam en Parijs. Om de vergelijking van de modellen statistisch zwaarder te onderbouwen is een rekencluster vereist. Niet alleen om de volledige dataset te overlopen, maar ook om de kalibratie instellingen zodanig in te stellen zodat er een statistisch bewezen globaal minimum wordt bereikt voor elk model op elke handelsdag. Ook het aantal combinaties van modellen kan uitgebreid worden. Zo kan de SI component worden toegevoegd, kunnen variaties op stochastische volatiliteit, Poisson sprong en lévy sprong

122

worden toegevoegd en kunnen meer onderlinge combinaties van deze modellen gevormd worden. De karakteristieke functies kunnen worden teruggevonden in Zhu89. Om het geleverde werk voor uitbreiding vatbaar te maken, werd het modulair waarderingskader ook op een modulaire wijze gecodeerd in matlab. De code is eenvoudige uitbreidbaar naar andere componenten. Daarenboven kan men, gebruikmakend van een “for lus” die de code omspant en een aantal set commando’s, de code uitvoeren zonder manuele tussenkomst. De resultaten worden, op basis van de gekozen instellingen, opgeslaan onder een specifieke bestandsnaam. Het onderzoek in optiewaardering staat niet stil en is voortdurend onderhevig aan verandering. We geloven sterk in de nood aan een modulair kader zodat de grote set aan mogelijke bestaande en nieuwe modellen empirisch kan worden geverifieerd. In deze masterproef werden de eerste stappen hiertoe gezet.

89

Zhu (2010) Applications of Fourier Transform to Smile Modeling: Theory and Implementation

123

Geraadpleegde werken

ADRIAN, T. en SHIN, H.S., (2008), Federal Reserve Bank of New York: Liquidity and Leverage, Staff Report nr. 328, mei 2008.

ALFARANO, S., FRIEDERICH, W. en THOMAS, L., (2004), Estimation of Agent-Based Models: the case of an Asymmetric Herding Model, URL: http://www2.econ.iastate.edu/ tesfatsi/EmpValidACE.AlfaranoWagnerLux.pdf, (20/07/2010).

ANÉ, T. en GEMAN, H., (2000), Order flow, transaction clock and normality of asset returns, The Journal of Finance, vol. 55, 2259-2840.

ARDITTI, F. D., (1971). Another look at mutual fund performance, Journal of Financial and Quantitative Analysis, vol. 6, 909-912.

BACHELIER, L., (1900), La thérie de la spéculation, Annales scientifiques de l’E.N.S, 21-86.

BAKSHI, G., CAO, C. en CHEN, Z., (1997), Empirical Performance of Alternative Option Pricing Mod els, Journal of Finance, vol. 52, 2003-2049.

BAKSHI, G., KAPADIA, N. en MADAN, D., (2003), Stock Return Characteristics, Skew Laws, and the Differential Pricing of Individual Equity Options, Review of Financial Studies, vol. 16, nr. 1, 101-143.

BAKSHI, G. en MADAN, D., (1999), Spanning and derivative-securtity valuation, Journal of Financial Economics, vol. 55, 2000, 205-238.

BARONE-ADESI, G. en WHALEY, R.E, (1987), Efficient Analytic Approximation of American Option Values, The Journal of Finance, vol. 42, nr. 2, juni 1987, 301-320.

BATES, D., (1996), Jumps and Stochastic Volatility: Exchange Rate Processes Implicit in Deutsche Mark Options, The Review of Financial Studies, vol. 9, nr. 1, 69-107. XV

BATES, D., (2000), Post-’87 Crash Fears in the S&P 500 Futures Option Market, Journal of Econometrics, vol. 94, 181-238.

BATES, D., (1991), The crash of ’87: Was It Expected? The Evidense From Options Markets, The Journal of Finance, vol. 46, 1009-1044.

BECKERS, S., (1980), The Constant Elasticity of Variance Model and Its Implications For Option Pricing, The Journal of Finance, vol. 35, nr. 3, juni 1980, 661-673.

BLACK, F., (1976), The Pricing of Commodity Contracts, Journal of Financial Economics, vol. 3, januari/maart 1976, 167-179.

BLACK, F. en SCHOLES, M., (1974), The effects of dividend yield and dividend policy on common stock prices and returns, Journal of Financial Economics, vol. 1, mei 1974, 1-22.

BLACK, F. en SCHOLES, M.,(1973), The Pricing of Options and Corporate Liabilities, The Journal of Political Economy, vol. 81, 673-654.

BLATTBERG, R.C. en GONEDES, N.J., (1974), A comparison of the Stable and Student Distributions as Stachistical Models for Stock Prices, Journal of Business, vol. 47, april 1974, 244-280.

BOCHNER, S., (1955), Harmonic Analysis and the Theory of Probability, Dover Publications, New York, 192p.

BOYARCHENKO, S. en LEVENDORSKII, S., (2002), Non-Gaussian Merton-black-scholes theory, World Scientific Publishing, Singapore, XXI+398p.

CAMPELL, J.Y. en HENTSCHELL, L., (1992), No News is Good News: An Asymmetric Model of Changing Volatility in Stock Returns, Journal of Financial Economics, vol. 31, 281-318.

XVI

CARRA, P. en WUB, L. (2002), Time-Changed L’evy Processes and Option Pricing, URL: , (10/02/2011).

CARR, P. en WUC, L., (2008), Leverage Effect, Volatility Feedback, and Self-Exciting Market Disruptions: Disentangling the Multi-dimensional Variations in S&P 500 Index Options, URL: < http://faculty.baruch.cuny.edu/lwu/papers/nscev06.pdf>, (25/02/2011).

CHOURDAKIS, K., (2004), Option pricing using the fractional fft, Journal of Computational Finance, vol. 8, nr. 2, 1-18.

CHRISTIE, A.A., (1982), The stochastic behavior of common stock variances : Value, leverage and interest rate effects, Journal of Financial Economics, vol. 10, december 1982, 407-432.

CLARK, P.K., (1973), A Subordinated Stochastic Process Model with Finite Variance for Speculative Prices, Econometrica, vol. 41, nr. 1, januari 1973, 135-155.

CONT, R., en TANKOV, P., (2004), Financial Modelling with Jump Processes, Chapman & Hall/CRC, New York, 527p.

COOTNER, P.H., (1964), The random character of stock market prices, MIT Press, Cambridge, 618p.

COX, J.C. en ROSS, S.A., (1976), The valuation of options for alternative stochastic processes, Journal of Financial Economics, vol. 3, januari/maart 1976, 145-166.

COX, J. C., ROSS, S.A., en RUBINSTEIN, M., (1979), Option Pricing: A Simplified Approach, Journal of Financial Economics, vol.7, september 1979, 229-273.

DE CROOCK, T., (2009-2010), Kwadratische hedgingstrategie voor shot-noiseprocessen, Masterproef Wetenschappen UGent, X+88p.

DERMAN, E.,(2004), My Life as a Quant, Reflections on Physics and Finance, John Wiley & Sons, Inc., New Jersey, XI+292p. XVII

DERMAN, E., (1999), Quantitative Strategies,Research Notes: Regimes of Volatility, Some Observations on the Variation of S&P 500 Implied Volatilities, Goldman Sachs: Quantitiative Strategies Research Notes (January), 26p.

DERMAN, E. en KANI, I., (1994), Riding on a Smile, Risk, vol. 7, nr. 2, 139-145.

DERMAN, E., KANI, I. en ZOU, J., (1996), The Local Volatility Surface, Unlocking the Information in Index Option Prices, Financial Analysts Journal, juli-augustus 1996, 25-36.

DETLEFSEN, K. en HÄRDLE, W.K., (2008), Calibration Design of Implied Volatility Surfaces, Journal of Data Science vol. 6, nr.3, juli 2008, 303-312.

DUPIRE, B., (1994), Pricing with a Smile, Risk, vol. 7, nr.1, 18-20.

FAMA, E.F., (1965), The Behavior of Stock-Market Prices, The Journal of Business, vol. 38, nr. 1, januari 1965, 34-105.

FUSAI, G. en RONCORONI, A., Implementing Models in Quantitative Finance: Methods and Cases, Springer, New York, XXIII+604p.

GALLANT, R.A., ROSI, P.E. en TAUCHEN, G., (1992), Stock Prices and Volume, Review of Financial Studies, vol. 5, 199-242.

GANDER, W. en GAUTSCHI, W. (2000), Adaptive quadrature-revisited, BIT, vol. 40, nr. 1, 84-101.

GATHERAL, J., (2006), The Volatility Surface, John Wiley & Sons, Inc., New Jersey , XXVII+179p.

GEMAN, H., (2002), Pure Jump Lévy Processes for Asset: Price Modeling, Journal of Banking and Finance, juli 2002, 1-25.

XVIII

GEMAN, H. (2008), Stochastic clock and financial markets, in: BENSOUSSAN, A. en ZHANG, Q. (eds.), Mathematical Modellling and Numerical Methods in Finance, Elsevier, Amsterdam, 649-664.

GILLI, M. en SCHUMANN, E., (2010), Calibrating Option Pricing Models with Heuristics, URL: , (15/02/2011).

GLASSERMAN, P., (2004), Monte Carlo Methods in Financial Engineering, in: ROZOVSKII, B. en YOR, M. (eds.), Applications of Mathematics, Springer, New York, XIV+596p.

HAFNER, W. en ZIMMERMAN, H. (eds.), (2009), Vinzenz Bronzin’s Option Pricing Models, Exposition and Appraisal, Springer, Berlijn IX+562p.

HESTON, S.L., (1993), A Closed-Form Solution for Options with Stochastic Volatility with Applications to Bond and Cuurency Options, The Review of Financial Studies, vol. 6, nr.2, 327-343.

HIRSHLEIFER, D. en TEOH, S.H., (2001), Herd Behavior and Cascading in Capital Markets: A Review and Synthesis, European Financial Management 109, 2003, 25-66.

HORSTY, U. en ROTHE, C., (2006), Queuing, social interactions, and the microstructure of Financial markets, Macroeconomic Dynamics, 2008, vol. 12, 211-233.

HUNT, P.J. en KENNEDY J.E., (2000), Financial Derivatives in Theory and Practice, John Wiley & Sons, New York, 432.

INGERSOLL, J.E., (1975), A theoretical end empirical investigation of the dual purpose funds: An apllication of contingent-claims analysis, Journal of Financial Economics, vol. 3, 1976, 83-123.

JACQUIER, E. en JARROW, R., (2000), Contingent Claim Models with Deterministic Volatility: Model Error Versus Poor Estimation, in: GIBSON, R.,(2001), Model Risk, Risk Books, Londen, 2-64.

JONDEAU, E., POON, S.-H. en ROCKINGER, M., (2006), Financial Modeling Under Non-Gaussian Distributions, Springer, Londen, 542p. XIX

JONES, C.M., KAUL, G. en LIPSON, M.L., (1994), Transactions, Volume and Volatility, The Review of Financial Studies, vol. 7, nr. 4, 631-651.

KARPOFF, J.M., (1987), The Relation Between Price Changes and Trading Volume, Journal of Financial and Quantitative Analysis, vol. 22, maart 1987, 109-126.

KOLMOGOROV, A.N.,(1956), Foundations of the Theory of Probability, Chelsea Publishing Company, New York, VIII+84p.

KON, S.J., (1984), Models of Stock Returns-A Comparion, Journal of Finance, vol. 39, maart 1984, 147165.

KOU, S.G. en WANG, H., (2004), Option Pricing Under a Double Exponential Jump Diffusion Model, Management Science, vol. 50, nr. 9, september 2004, 1178-1192.

LEWIS, L., (2001), A simple option formula for general jump-diffusion and other exponential levy processes, Envision Financial Systems 2001, 25p.

LIPTON, A., (2001), Matchematical methods for foreign exchange: a financial engi neer’s approach, World Scientific Publishing, Singapore, XXII+676p.

LOEVE, M., (1963) Probability Theory I, Springer-Verlag, New York, 1977, 440p.

LUKACS, E., (1960), Characteristic functions, C. Griffin, Londen, 216p.

MADAN, D., CARR, P. en CHANG, E., (1998), The Variance Gamma Process and Option Pricing, European Finance Review, vol.2, 79-105.

MALIK, S. en PITT, M., (2008), Modeling Stochastic Volatility with Leverage and Jumps: A `Smooth' Particle Filtering Approach, URL:, (10/12/2010). XX

MANDELBROT, B.B., (-), Fractal Financial fluctuations; do they threaten sustainability?, URL: < http://users.math.yale.edu/~bbm3/web_pdfs/vatican.pdf>, (05/12/2010).

MANDELBROT, B.B., (1963), The Variation of Certain Speculative Prices, The Journal of Business, vol. 36, oktober 1963, 394-419.

MERTON, R.C., (1977), On the pricing of contingent claims and the modigliani-miller theorem, journal of Financial Economics, vol. 5, november 1977, 241-249.

MERTON, R.C., (1976), Option pricing when underlying stock returns are discontinuous, Journal of Financial Economics, nr.3, 125-144.

MERTON, R.C.,(1973), Theory of rational option pricing, The Bell Journal of Economics and Management Science, vol.4, nr. 1, 141-183.

MERTON, R.C. en SAMUALSON, P.A.,(1972), Fallacy of the log-normal approximation to optimal portfolio decision-making over many periods, Journal of Financial Economics, Vol. 1, mei 1974, 67-94.

MODIGLIANI, F. en MILLER, M.H., (1958), The Cost of Capital, Corporation Finance and the Theory of Investment, The American Economic Review, vol. 48, nr. 3, juni 1958, 261-297.

MOODLEY, N., (2005), The Heston Model: A Practical Approach, bachelorscriptie Faculty of Science University of the Witwatersrand, V+47p.

PAKKANEN, M.S., (2010), Microfoundations for diffusion price processes, Math. Finan. Econ., vol.3, nr.2, 89-114.

PAKKANEN, M.S., (2010), Microfoundations for heavy-tailed stock returns, URL: < http://www.helsinki.fi/~mpakkane/slides/MP-Heavy-Tails-21-12-2010.pdf>, (12/10/2010).

XXI

POITRAS, G. (ed.), (2006), Pioneers of Financial Economics: Contributions Prior to Irving, Edward Elgar, Cheltenham, 274p.

REGNAULT, J., (1863), Calcul des chances et philosophie de la bourse, MalleBachellier et Castel, Parijs, 219p.

ROAH, F.D., (-), Derivation of the Heston Model, URL: < http://www.frouah.com/finance%20notes/The%20Heston%20Model.pdf>, (05/03/2011).

RUBINSTEIN, M., (1994), Implied Binomial Trees, Journal of Finance, vol. 49, juli 1994, 771-818.

SAMUALSON, P., (1973), Mathematics of Speculative Price, SIAM Review, Vol. 15, Nr. 1, januari 1973, 142.

SCHOUTENS, W., (2003), L’evy Processes in Finance: Pricing Financial Dervatives, John Wiley & Sons, New York, XIV+170p.

SCHMALENSEE, R. en TRIPPI, R.R., (1978), Common Stock Volatility Expectations Implied by Option Premia, Journal of Finance, vol. 33, 129-147.

SCHREVE, S., (2004), Stochastic calculus for finance I, Continuous-Time Models, Springer, New York, XIX+550p.

SHIRYAEV, A.N., (1999), Essentials of stochastic finance: Facts, Models, Theory, Science for Survival , World Scientific Publishing, Singapore, XVI+834.

SIMKOWITZ, M. en BEEDLES, W., (1978), Asymmetric stable distributed security returns, Journal of the American Statistical Association, 1980, vol. 75, 306-312.

SINGLETON, J.C. en WINGENDER, J., (1986), Skewness Persistence in Common Stock Returns, Journal of Financial and Quantitative Analysis, vol. 21, 335-341.

XXII

TITMAN, S., TOMPAIDIS, S. en TSYPLAKOV, S., (2004), Determinants of Credit Spreads in Commercial Mortgages, Real Estate Economics, vol. 33, 4 december 2005, 711-738.

THORPE, E.O., (1973), Extensions of the Black-Scholes option model. 39th Session of the International Statistical Institute, augustus 1973, Wenen, 1029-1036.

WU, L., (2008), Modeling Financial Security Returns Using Lévy Processes” in BIRGE, J. en Linetsky V. (eds.), Handbooks in Operations Research and Management Science: Financial Engineering Volume 15, Elsevier, Amsterdam, 1-58.

ZHU, J., (2010), Applications of Fourier Transform to Smile Modeling: Theory and Implementation, Springer, Berlijn, XV+330p.

ZHU, J., (2000), Modular Pricing of Options, URL: , (08/09/2010).

XXIII

Appendix

1. Stochastisch experiment – Opwerpen muntstuk

Aangezien de Brownse beweging een component is die in elk waarderingsmodel voorkomt, vermelden we het experiment dat deze beweging onderpint. Dit experiment kan worden gezien als de discrete motor die de Brownse beweging aandrijft. Begrippen zoals

, Ω, P en

worden formeel gedefinieerd in

volgend onderdeel. Het experiment heeft volgende voorwaarden: (i)

Het opgooien van een muntstuk, welke kan resulteren in kop (H) of munt (T).

(ii)

Het opgooien gebeurd een oneindig aantal keer

De ruimte waarin we werken is de oneindige, onafhankelijke coin-toss space. We definiëren voor de verschillende onafhankelijke worpen: (i)

De kans op kop H voor elke worp:

p>0

(ii)

De kans op munt T voor elke worp:

q = 1 – p >0

Wanneer we het experiment eenmaal uitvoeren, creëren we een sequentie

. Deze

sequentie zal het verloop van een aandelenprijspad beschrijven. H kan geïnterpreteerd worden als het resultaat van positief economisch nieuws en resulteert in een opwaartse beweging van het aandelenprijspad. Een tegengestelde redenering kan worden gevolgd voor T. De interpretatie van wordt omschreven als het aggregaat van de factoren die de beurs beïnvloeden. Voorbeelden van zulke factoren zijn nieuws, economische indicatoren en vraag en aanbod.

heeft niet noodzakelijk een

numerieke representatie, het stemt overeen met een scenario voor de toekomstige evolutie van de markt.90 Deze methode om het beurswezen te benaderen heeft historische funderingen die teruggaan tot in 1863. Onderstaande figuur illustreert dit met een extract uit het boek van Regnault.

90

Cont, Tankov (2004) Financial modelling with jump processes (Chapter 2)

1

Figuur 1.a Historische fundering van de analogie tussen het opwerpen van een muntstuk en aandelenprijsbewegingen. 91 (Bron: Kopie uit het boek van Regnault, Calcul des chances et philosophie de la bourse)

De associatie met dit experiment keert vaak terug. We citeren Samuelson92 : “It is not easy to get rich in Las Vegas, at Churchill Downs, or at the local Merrill Lynch office. That price changes of common stocks and commodity futures fluctuate somewhat randomly, something like the digits in a table of random numbers or with algebraic sign-patterns like that of heads and tails in tosses of a coin, has commonly been recognized.” De kansruimte Ω bevat alle mogelijke uitkomsten van het experiment en noteren we als Ω = {(

. Wanneer we niets van informatie hebben over het aantal worpen,

dan hebben we twee verzamelingen die de triviale σ-algebra vormen

. Wanneer we de

informatie verkrijgen dat er 1 worp is gebeurd, dan verkrijgen we volgende . Hierbij is

-algebra

de verzameling van alle sequenties die beginnen met H of

de verzameling van alle sequenties die beginnen met T of

en

. We definiëren de kansmaat P,

welke de geometrie van het muntstuk reflecteert. We stellen P(Ø)=0, Ρ(Ω)=1, Ρ(

= p en Ρ(

= q.

Deze redenering kan worden doorgetrokken voor een hoger aantal worpen.

91 92

Regnault (1863) Calcul des chances et philosophie de la bourse Samuelson (1973) Mathematics of speculative price

2

2. Maattheorie – Stochastische begrippen voor de kanstheorie 93,94

Risiconeutrale waardering vereist de mogelijkheid tot dynamisch indekken. Dynamisch slaat hierbij op het feit dat posities in de portefeuille dienen worden aangepast aan actuele informatie om deze portefeuille risiconeutraal te houden. Om deze informatiestroom te modelleren, maken we gebruik van . Kolmogorov95 introduceerde als eerste dit drietal en associeerde hiermee een

het drietal

stochastisch experiment. We introduceren de benodigde maattheoretische begrippen en definities om dit drietal te beschrijven.

Begrip 2.1 – Elementaire Gebeurtenis of element (“Elementary event” of “sample point”) Alle elementen

zijn vervat in de vaste, niet-ledige, abstracte ruimte Ω (“sample space”). Het éénmalig

uitvoeren van het experiment genereert één element

.

Begrip 2.2 – Gebeurtenis of Verzameling (“Event” of “Set”) Een abstracte notie die verwijst naar het voorkomen of niet voorkomen van een fenomeen, zonder rekening te houden met de aard van het fenomeen. Een gebeurtenis kan worden geassocieerd met de verzameling A met als elementen de elementaire gebeurtenissen

Waarbij Ø de onmogelijke gebeurtenis voorstelt en Ω de zekere gebeurtenis. Wanneer de uitkomst van een experiment, zijnde een elementaire gebeurtenis, voldoet aan de beschrijving van deze verzameling A, dan kunnen we zeggen dat gebeurtenis A zich heeft gerealiseerd en dat het element een lid is van de verzameling.

Begrip 2.3 – Klasse Een verzameling van verzamelingen wordt een klasse genoemd en zal genoteerd worden als Ϝ. 93

Schreve (2004) Stochastic Calculus for Finance II: Continuous -Time Models Loève (1977) Probability Theory I 95 Kolmogorov (1933) Grundbegriffe der Warscheinlichkeitrechnung 94

3

Begrip 2.4 – Sequentie Een geordende aftelbare klasse

wordt een sequentie

genoemd.

Begrip 2.5 - De onaftelbare oneindige kansruimte Ω Gezien we een experiment hebben waarbij er een oneindig aantal mogelijke uitkomsten mogelijk zijn, is er nood aan een oneindige kansruimte. Onaftelbaar oneindig, want er is geen één op één afbeelding tussen de verzameling van de natuurlijke getallen en deze kansruimte, m.a.w., de elementen kunnen niet opgesomd worden in een sequentie.

Definitie 2.1 - De σ-algebra Ϝ We definiëren eerst een veld of een algebra (“field”): Zij Ω een niet-ledige verzameling, en Ϝ een klasse van deelverzamelingen van Ω. We noemen dan Ϝ een algebra of veld als: (i)

De ledige verzameling Ø tot Ϝ behoort

(ii)

Als een gebeurtenis A tot Ϝ behoort, dan behoort het complement

(iii)

Als de gebeurtenissen A en B tot Ϝ behoren, dan behoort de unie A U B ook tot Ϝ

ook tot Ϝ

(i) en (ii) zorgen ervoor dat Ω eveneens tot Ϝ behoort. Om tot een σ-veld of σ-algebra te komen dienen we (iii) te vervangen door

(iv)

Als een rij verzamelingen

tot Ϝ behoort, dan behoort de unie

ook tot Ϝ

Men zegt dat Ϝ gesloten is onder complement en aftelbare unies ((ii) en (iv)). Met gesloten bedoelen we dat deze operaties op verzamelingen in Ϝ opnieuw verzamelingen in Ϝ vormen. Via de wetten van De Morgan, kunnen we “aftelbare unies” omwisselen met “aftelbare doorsneden”. Dit betekent dat Ϝ gesloten is onder alle aftelbare operaties op verzamelingen.

Definitie 2.2 – Meetbare ruimte Zij Ω een niet-ledige verzameling en Ϝ een σ-algebra van deelverzamelingen van Ω. Dan is (Ω,Ϝ) een meetbare ruimte, en worden verzamelingen in Ϝ meetbare verzamelingen genoemd. 4

Definitie 2.3 - Kansmaat Zij Ω een niet-ledige verzameling, en Ϝ een σ-algebra van deelverzamelingen van Ω. Een kansmaat P is een functie die aan elke verzameling A є Ϝ een waarde toekent in [0,1]. Deze waarde wordt de kans van A genoemd en genoteerd als P(A). Er is vereist dat: (i)

P(Ω) = 1

(ii)

Aftelbare additiviteit: vormen

,

,… een rij van disjuncte verzamelingen in Ϝ, dan

Een goede keuze van de maat P wordt niet bepaald aan de hand van abstracte redenering, maar door deze zodanig te kiezen dat deze de fysieke werkelijkheid van het experiment zo goed mogelijk weerspiegelt.

Definitie 2.4 - Kansruimte Als Ϝ een σ-veld is in Ω en P is een kansmaat op Ϝ, dan wordt het drietal (Ω,Ϝ,P) een meetbare kansruimte genoemd, of eenvoudiger, kansruimte.

Definitie 2.5 - Filtratie Zij Ω een niet-ledige verzameling. Zij T een vast positief getal, en onderstel dat voor elke t є *0,T+ er een σ-algebra Ϝ(t) bestaat. Onderstel dat als s ≤ t, dat dan elke verzameling in Ϝ(s) ook tot Ϝ(t) behoort. Dan is de klasse van σ-algebra’s Ϝ(t), 0 ≤ t ≤ T een filtratie.

Definitie 2.6 – Stochastische veranderlijke Zij (Ω,Ϝ,P) een kansruimte. Een stochastische veranderlijke is een reëelwaardige functie X gedefinieerd op Ω met de eigenschap dat voor elke Boreldeelverzameling B van is door

, de deelverzameling van Ω gegeven

behoren tot de σ-algebra Ϝ.

5

Definitie 2.7 – σ-algebra gegeneerd door stochastische veranderlijke Zij X een stochastische veranderlijke gedefinieerd op een niet-ledige verzameling Ω. De σ-algebra gegenereerd door X, genoteerd als σ(X), is de verzameling van alle deelverzamelingen van Ω van de vorm ,X є Ω; X( ) є B -, waarbij B loopt over alle Boreldeelverzamelingen van .

Definitie 2.8 –Meetbaarheid Zij X een stochastische veranderlijke gedefinieerd op een niet-ledige verzameling Ω. Zij van deelverzamelingen van Ω. Als elke verzameling in σ(X) ook tot

een σ-algebra

behoort, zeggen we dat X -

meetbaar is.

Definitie 2.9 –Aangepast stochastisch proces Zij Ω een niet-ledige verzameling voorzien van een filtratie (Ω,Ϝ,P) is een collectie van

, 0 ≤ t ≤ T. Een stochastisch proces X op

-waardige stochastische variabelen

. Het proces

of X wordt

aan aangepast stochastisch proces genoemd als voor elke t de stochastische veranderlijke

-

meetbaar is.

Definitie 2.10 – Itô-proces Zij

een Brownse beweging en zij

een bijhorende filtratie. Een Itô-proces is

een stochastisch proces van de vorm

Waarbij X(0) niet stochastisch is en, ∆ en

aangepaste stochastische processen. ∆ en

zijn zodanig dat

de integralen gedefinieerd zijn en de Itô integraal een martingaal is.

Definitie 2.11 – Itô-Doeblinformule voor de Brownse beweging Zij

een Itô-proces, en zij f(t,x) een functie waarvoor de partiële afgeleiden gedefinieerd en continu zijn. Dan voor elke

, in differentiaalvorm,

6

Definitie 2.12 – Itô-Doeblinformule voor een sprongproces Zij

een sprongproces en

een functie voor welke

en

gedefinieerd en continu zijn. Dan

geldt

Definitie 2.13 – Verdisconteerde Feynman-Kac theorema Beschouw de SDE

Zij een Borel-meetbare functie en zij r een constante. Fixeer functie

We veronderstellen hierbij dat differentiaalvergelijking

, en laat

voor alle t en x. Dan voldoet

Definieer de

aan de partiële

en aan de eindvoorwaarde voor alle x

Definitie 2.14 –Risiconeutrale kansmaat Een kansmaat is risiconeutraal als: (i) (ii)

en zijn equivalent, maw, voor elke

,

Onder is de verdisconteerde aandelenprijs

als en slechts als een martingaal voor elke

De equivalente kansmaat zijn bestaan en uniciteit is gerelateerd met twee belangrijke economische concepten: (i)

Het eerste fundamentele theorema van “asset pricing” 7

Het bestaan van de risiconeutrale kansmaat in een marktmodel impliceert de afwezigheid van arbitrage, maar het omgekeerde geldt niet. Er bestaat wel een equivalentie tussen de begrippen “Het bestaan van de kansmaat” en “no free lunch with vanishing risk”. Dit laatste begrip wordt omschreven als “there is no random sequence of zero-cost trading strategies converging to a nonnegative, nonzero cash flow, with the random sequence bounded below by a negative constant”.

(ii)

Tweede fundamentele theorema van “asset pricing” Een marktmodel met een risiconeutrale kansmaat is compleet als en slechts als de risiconeutrale kansmaat uniek is. En we kunnen zeggen dat een marktmodel compleet is als elk afgeleid instrument kan gerepliceerd worden door een zelffinancierende strategie. Wanneer een martingaal de PRP eigenschap heeft, kunnen we zeggen dat de markt volledig is. De PRP of “predictable representation theory” is een vrij delicate en zeldzame eigenschap die slechts enkele martingalen met zich meedragen (o.a. de Brownse beweging en een gecompenseerd Poisson proces). We gaan niet in op deze PRP eigenschap, maar we vermelden zonder bewijs dat de PRP eigenschap van de Brownse beweging ervoor zorgt dat het Black-Scholes model volledig is. Vele modellen hebben deze eigenschappen echte r niet en een meerderheid van de traders geloven dat de echte, reële markt niet volledig is.

Definitie 2.15 – Lévy proces 96 Zij (Ω,Ϝ,Ρ) een kansruimte. Onderstel dat voor elke Dan is het stochastisch proces {L(t), t (i)

є Ω er een continue functie L(t) bestaat voor t

0.

0} een Lévy proces als

bijna zeker

(ii)

Voor alle 0 <

, de toenames onafhankelijk zijn:

(iii)

De toenames zijn tijdshomogeen, i.e

is onafhankelijk van t

We zien dat, in tegenstelling tot de Brownse beweging en het Poisson proces (zie deel 3 en 4 van de appenix), een lévy proces geen verdeling vooropstelt voor de toenames. Voorwaarde (iii) sluit processen

96

Cont, Tankov (2004) Financial modelling with jump processes (Chapter 3)

8

uit die sprongen vertonen op vaste, niet stochastische tijdstippen. Zulke processen zou men kunnen gebruiken voor het modelleren van bepaalde kalendereffecten. Dit valt echter buiten het bereik van deze masterproef. Voorbeelden van Lévy processen zijn de Brownse beweging, het Poisson proces, het samengestelde Poisson proces, het stabiel proces, het gamma proces, het variantie -gamma proces, het CGMY proces, het Meixner proces en het veralgemeende hyperbolische proces. We vermelden dat, voor het bepalen van de karakteristieke functie van een Lévy proces, men gebruik maakt van de LévyKhinchin stelling.

Definitie 2.16 – Radon-Nikodým Zij (Ω,Ϝ,Ρ) een kansruimte, laat

een andere kansmaat zijn op (Ω,Ϝ) die equivalent is aan . Zij Z een

bijna zekere positieve stochastische variabele die we Z de Radon-Nikodým afgeleide van

en

relateert via

. Dan noemen

met betrekking tot . We schrijven

9

3. Constructie Brownse beweging dW(t)97

We creëren een symmetrische stochastische wandeling en grijpen hierbij terug naar ons experiment in onderdeel 1 van de appendix. We gooien een oneindig aantal keer een muntstuk op, waarbij de oneindige sequentie aan worpen wordt voorgesteld door

.We definiëren volgende

stochastische veranderlijke

Waarbij we H op intuïtieve wijze kunnen beschouwen als het effect van positief nieuws en T het effect van negatief nieuws. Om de stochastische wandeling symmetrisch te maken, stellen we kans op H gelijk aan de kans op T bij elke worp

Volgend proces

met

is een symmetrische stochastische wandeling.

Een symmetrische stochastische wandeling is zowel een Markov proces als een martingaal. Deze eigenschappen van de symmetrische stochastische wandeling in discrete tijdrekening, zal de Brownse beweging in continue tijdrekening ook vertonen. De overgang naar de Brownse beweging wordt bekomen door de tijd te versnellen en de stapgrootte te verkleinen gebruikmakend van een

. Vooreerst vormen we de symmetrische stochastische

wandeling om tot een geschaalde stochastische wandeling.

Hierbij dient n є , indien niet zo, dan dient men waarden Wanneer we n Wanneer we t 97

te definiëren via lineaire interpolatie tussen de

є dan gaat de geschaalde stochastische wandeling over in een Brownse beweging. 0 vastleggen, dan zal de verdeling van de geschaalde stochastische wandeling

,

Hunt, Kennedy (2000) Financial derivatives in theory and practice

10

geëvalueerd op het tijdstip t, volgens de centrale limietstelling, convergeren naar de normale verdeling met gemiddelde nul en variantie t. We beschouwen de normale verdeling als de statische tegenhanger van de dynamische Brownse beweging.

Definitie 3.1 – Eigenschappen Brownse beweging Zij (Ω,Ϝ,Ρ) een kansruimte. Onderstel dat voor elke Dan is het stochastisch proces {W(t), t (iv)

W(0) = 0 bijna zeker

(v)

Voor alle 0 <

(vi)

De toenames zijn stationair

(vii)

Elke toename

є Ω er een continue functie W(t) bestaat voor t

0.

0} een Brownse beweging als

, de toenames onafhankelijk zijn:

is normaal verdeeld met gemiddelde nul en variantie

Een aandelenprijspad dat wordt beschreven aan de hand van deze beweging mankeert elke vorm van systematiek, bijgevolg kan een observator van dit aandelenprijspad geen risicoloze welvaart creëren. Men kan wel zeggen dat het observeren van de Brownse beweging resulteert in informatie. Om deze informatiestroom te modelleren voeren we een filtratie in.

Defintie 3.2 – Filtratie voor de Brownse beweging Zij (Ω, Ϝ, Ρ) een kansruimte waarop een Brownse beweging ,W(t), t voor de Brownse beweging is een klasse van σ-algebra’s ,Ϝ(t), t (i)

gedefinieerd is. Een filtratie

}, die voldoet aan:

Informatie groeit aan Voor , elke verzameling uit Ϝ(s) behoort Ϝ(t). M.a.w. er gaat geen informatie verloren.

(ii)

Aangepast zijn Voor elke t

0, is de Brownse beweging W(t) op tijdstip t Ϝ(t)-meetbaar. M.a.w. de

informatie beschikbaar op het tijdstip t volstaat om de Brownse beweging W(t) te evalueren op t. (iii)

Onafhankelijkheid van toekomstige toenames Voor 0 ≤ t

u, is de toename W(u) – W(t) onafhankelijk van Ϝ(t). M.a.w. een toename van de

Brownse beweging na het tijdstip t is onafhankelijk van de informatie beschikbaar op t. 11

De eerste twee eigenschappen garanderen dat de beschikbare informatie op tijdstip t, minstens zoveel is als wat iemand zou leren door het observeren van de Brownse beweging. De laatste eigenschap zegt ons dat de informatie die we verkrijgen van de Brownse beweging ons niet in staat stelt om toekomstige bewegingen te voorspellen. Dit is equivalent aan de semi -sterke vorm van de efficiënte markt hypothese. De Brownse beweging

erft de markov en martingaal eigenschap over van de geschaalde

stochastische wandeling. Neem

als filtratie voor de Brownse beweging. De

martingaaleigenschap wordt voorgesteld als:

Wat we kunnen interpreteren als, gegeven de informatie in de σ-algebra op tijdstip s, welke we bekomen door het observeren van de Brownse beweging tot en met het tijdstip s, dan is de beste voorspelling die we kunnen maken voor de positie van de Brownse beweging op tijdstip t, de positie van de Brownse beweging op tijdstip s. Dit principe vinden we ook terug bij aandelenprijzen, waar de toekomstige aandelenprijs enkel afhangt van het huidige niveau en niet van de historische koers. Men zegt ook wel dat aandelenprijzen “geheugenloos” zijn. De Markov eigenschap wordt voorgesteld als: voor 0≤ s ≤ t en f en g Borelmeetbare functies

Een kenmerkende eigenschap van de Brownse beweging is de kwadratische variatie tot op het tijdstip T. [W,W](T) = waarbij

= T voor elke T en 0 =

…

bijna zeker

=T

De term “bijna zeker” is een resultaat van de oneindige kansruimte waarin we werken. Er kunnen paden zijn waarvoor deze stelling niet geldt, maar de verzameling van deze paden heeft kans nul. De verzameling van de paden waarvoor de stelling wel opgaat heeft kans één.

12

4. Constructie Poissonproces en samengesteld Poissonproces dQ(t)98

We starten met de definitie van een telproces. Gegeven een bepaalde gebeurtenis telproces

voor elk tijdstip t het aantal stochastische tijdstippen

Ω, geeft het

weer die zich hebben

voorgedaan in het interval [0,t]. We maken nog geen veronderstelling over de verdeling en afhankelijkheidsstructuur van .

Definitie 4.1 Telproces Gegeven een strikt stijgende rij van stochastische tijdstippen

met

(niet-explosie

In wat volgt, zullen we een veronderstelling maken over de verdeling van

. We weten echter dat voor

voorwaarde), dan wordt het telproces

gedefinieerd als

Waarbij I staat voor de indicatorfunctie.

een aandelenprijsproces de duurtijden tussen de verschillende schokken onafhankelijk zijn.

Zij een stochastische veranderlijke met dichtheid

Hierbij is

een positieve constante. We zeggen dat

een exponentiële distributie heeft. Een

kenmerkende eigenschap van een exponentieel verdeelde variabele is geheugenloosheid. We definiëren een sequentie van onafhankelijk exponentieel verdeelde variabelen gemiddelde . Op tijdstip

, allen met hetzelfde

doet er zich de eerste sprong voor. De tweede sprong doet zich

tijdseenheden later voor, m.a.w., de tweede sprong vindt plaats op tijdstip

. Wanneer de

stochastische tijdstippen exponentieel verdeeld zijn, dan weten we dat, gegeven een bepaalde gebeurtenis

Ω, het aantal schokken tot en met het tijdstip t Poisson verdeeld zijn met parameter

.

De veronderstelling van een verdeling leidde ons naar een speciaal geval van het telproces, met name het Poisson proces. We geven een definitie van dit proces.

98

Croock (2010) Kwadratische hedgingstrategie voor shot-noiseprocessen

13

Definitie 4.2 – Poissonproces Stel dat

een rij is van onafhankelijke en exponentieel verdeelde stochastische variabelen met

parameter en

. Het proces

gedefinieerd door

wordt een Poissonproces met intensiteit genoemd.

Defintie 4.3 – Eigenschappen Poisson proces Zij (Ω,Ϝ,Ρ) een kansruimte. Onderstel dat voor elke

є Ω er een continue functie Y(t) bestaat voor t

Een Poisson proces is een aangepast telproces (i)

Y(0)=0 bijna zeker

(ii)

Voor alle 0 <

(iii)

De toenames zijn stationair

(iv)

Voor elke

0.

met de volgende eigenschappen

, de toenames onafhankelijk zijn:

Poisson verdeeld met parameter , i.e.,

Aangezien de verwachte tijd tussen sprongen is, arriveren sprongen met een gemiddelde snelheid van per tijdseenheid. Met andere woorden, het verwachte aantal schokken per tijdseenheid is . Men zegt ook wel dat het Poisson proces Y(t) intensiteit heeft. De tekortkoming van het Poisson proces is dat het springt met slechts één eenheid. Modellen voor optiewaardering vereisen dat de spronggrootte stochastisch is. Daarom definiëren we een sequentie van stochastische variabelen

, welke een identieke verdeling hebben. We

veronderstellen dat deze onafhankelijk zijn van elkaar en ook onafhankelijk van het Poisson proces

.

Een samengesteld Poisson proces wordt gedefinieerd als

14

Definitie 4.4 – Samengesteld Poissonproces Een samengesteld Poissonproces met intensiteit

en met onafhankelijk en identiek verdeelde

schokgroottes , elk met verdeling f, is een stochastisch proces

Waarbij

gedefinieerd als

een Poissonproces is met intensiteit , onafhankelijk van

De eerste sprong is hierbij van grootte

, de tweede van , … . In de continue tijdrekening kunnen we

stellen dat sprongen in t worden voorgesteld als

Met andere woorden, sprongen in dt stellen we voor als

Hierbij stelt

Waarbij

de kans op een sprong in dt voor. Aan andere notatie voor

is

de Dirac indicator functie voorstelt

Het Poisson proces heeft de Markov eigenschap, maar is in het algemeen geen martingaal. Enkel een gecompenseerd Poisson proces, i.e., een Poisson proces verminderd met zijn gemiddelde, is wel een martingaal.

15

5. Algemene definities

Definitie 5.1 – Lipschitz en groeivoorwaarden De technische voorwaarden die voldoende zijn opdat er een unieke oplossing is voor de SDE vergelijking zijn de Lipschitz en groeivoorwaarden. Een functie y(x,t) voldoet aan de Lipschitz voorwaarde in x indien er een constante k is zodat voor elke geldt

Op gelijkaardige wijze voldoet

aan de groeivoorwaarde in x indien er een constante k is, zodanig

dat voor elke x en elke t

Definitie 5.2 – Arrow-Debreu effect In een Arrow-Debreu economie, worden enkel effecten verhandeld van het volgende type: één eenheid van effect , met prijs

brengt één geldeenheid op indien toestand theta zich voortdoet en voorts is er

niets dat deze uitbetaling kan triggeren. Deze uitbetaling kan samengevat worden door een vector met alle elementen gelijkgesteld aan nul, behalve voor kolom theta, waar men 1 noteert (0,...,0,1,0,...,0). Deze primitieve effecten worden Arrow-Debreu effecten of toestandsafhankelijke vorderingen of eenvoudigweg toestandsvorderingen genoemd. De karakteristieke functie kan geïnterpreteerd worden als Arrow-Debreu prijzen in een Fourier-getransformeerde ruimte.

Definitie 5.3 - Karakteristieke functie99 Wanneer men dichtheidsfuncties bestudeerd, is het aangeraden om in plaats van de dichtheidsfunctie F(x) zelf te bestuderen, uitdrukkingen te bestuderen die hiervan zijn afgeleid. Het gaat over integraaltransformaties

die

een

gepaste

kern

K( ,x)

gebruiken.

Algemeen

wordt

deze

integraaltransformatie voorgesteld als: 99

Lukacs (1960) Characteristic functions

16

Onder de voorwaarde dat deze integraal bestaat als een Lebesgue-Stieltjes integraal. Verscheidene kernen K( ,x) zijn interessant voor de studie van distributiefuncties. Voor ons is enkel volgende kern, welke de distributiefunctie F(x) transformeert naar een functie van de reële en continue variabele t, relevant met Deze transformatie wordt ook wel de karakteristieke functie f( ) van de distributiefunctie F(x) genoemd

Dit is eveneens een Fourier transformatie van de distributiefunctie F(x). Algemeen kunnen we dus stellen dat de karakteristieke functie een functie

is, die kan worden gedefinieerd als

Aangezien de uitbetaling van de karakteristieke functie kan worden opgedeeld in een trigonometrische sinus en cosinus, heeft het de specifieke eigenschap dat translaties en afleidingen veelvuldig kunnen worden uitgevoerd. De gezamenlijke karakteristieke functie voor twee variabelen kan worden gedefinieerd als

Definitie 5.4 – Scheefheid(Wuensch, 2005) De maat voor asymmetrie is de scheefheid, welke gemeten wordt met

De veronderstelling bij het BS model is een normale verdeling, welke een scheefheid heeft van nul. Empirische data suggereert echter een langere staart te hebben naar links dan naar rechts, wat wijst op een negatieve scheefheid. We vermelden de mogelijke gevallen:

17

Definitie 5.5 – Kurtosis (Wuensch, 2005) De maat voor dikke staarten is de kurtosis, welke gemeten wordt met

De veronderstelling bij het BS model is een normale verdeling, welke een kurtosis heeft van drie. Empirische data suggereert echter dat het veel langer duurt eer de staarten naar nul gaan. Dit gaat gepaard met een distributie die een hogere top heeft. De empirische distributie heeft dus eerder een leptokurtisch karakter.

18

6. De Europese Call optie We introduceren een paar algemene begrippen: 

Vervaldag - De laatste dag waarop de optie kan worden uitgeoefend. Afhankelijk van de winstgevendheid van de uitoefening, zal de houder de optie al dan niet uitoefenen.



(O)(A)(I)TM - Een optie kan OTM (Out of the money), ATM (At the money) of ITM (In the money) zijn. De naamgeving verraadt dat deze termen verbonden zijn met de winstgevendheid van de optie. De winstgevendheid kan men beoordelen door de aandelenprijs en uitoefenprijs te vergelijken.



De uitoefenprijs K – De prijs waaraan het onderliggend instrument wordt gekocht (in geval van een call optie) of verkocht (in geval van een put optie).



Maturiteit T – Het aantal handelsdagen tussen de uitgifte van de optie, tijdstip 0, en zijn vervaldag, tijdstip T.



Resterende tijd tot maturiteit

- Het aantal handelsdagen tussen de huidige datum,

tijdstip t, en zijn vervaldag, tijdstip T. We gebruiken volgende formule voor het aantal handelsdagen te bepalen

Het aantal handelsdagen wordt bepaald via de Excel functie “NETTO.WERKDAGEN()” uitgebreid met sluitingsdagen gespecificeerd door Euronext. 

Aandelenprijs



Uitbetalingsprofiel – Voor de Europese call optie is dit

– Dit stelt de prijs van het onderliggend instrument voor.

of

.

19

Binnen elementaire opties maakt men onderscheid tussen twee categorieën, met name binaire opties en vanilla opties. De Europese call optie, die het onderwerp vormt van deze masterproef, is een voorbeeld van een vanilla optie.

20

7. Niet gaussisch karakter van aandelenopbrengsten Samengenomen, bekomen we voor alle beurshuizen een gemiddelde scheefheid van -0.35 en een gemiddelde kurtosis van 13. De Amsterdam Exchange Index 3,000

Series: AEX_INDEX Sample 1 15000 Observations 7370

2,500

Mean Median Maximum Minimum Std. Dev. Skewness Kurtosis

2,000

1,500

1,000

500

0.000284 0.000318 0.111819 -0.127789 0.013523 -0.280687 11.72329

Jarque-Bera 23464.51 Probability 0.000000

0 -0.10

-0.05

0.00

0.05

0.10

Figuur 7.a Histogram AEX

Amsterdamse Stock Exchange 2,000

Series: AMSTERDAM_SE Sample 1 15000 Observations 4242

1,600

1,200

800

Mean Median Maximum Minimum Std. Dev. Skewness Kurtosis

0.000175 0.000518 0.105678 -0.139203 0.014121 -0.349086 11.46131

Jarque-Bera Probability

12740.34 0.000000

400

0 -0.10

-0.05

0.00

0.05

0.10

Figuur 7.b Histogram ASE

21

Argentina Merval Index 1,400

Series: ARGENTINA_MERVAL Sample 1 15000 Observations 4610

1,200 1,000

Mean Median Maximum Minimum Std. Dev. Skewness Kurtosis

800 600 400 200 0 -0.15

Jarque-Bera Probability -0.10

-0.05

0.00

0.05

0.10

0.000467 9.38e-05 0.161165 -0.147649 0.021838 -0.224161 8.240798 5314.361 0.000000

0.15

Figuur 7.c Histogram AMI

Chili (IGPA) 3,000

Series: CHILE_GENERAL Sample 1 15000 Observations 6326

2,500

2,000

1,500

1,000

500

Mean Median Maximum Minimum Std. Dev. Skewness Kurtosis

0.000701 0.000255 0.090578 -0.123036 0.008808 -0.251019 15.45532

Jarque-Bera Probability

40957.42 0.000000

0 -0.10

-0.05

0.00

0.05

0.10

Figuur 7.d Histogram IGPA

22

Columbia (IGBC) 1,200

Series: COLOMBIA_IGBC Sample 1 15000 Observations 2544

1,000

800

600

400

200

Mean Median Maximum Minimum Std. Dev. Skewness Kurtosis

0.001048 0.000740 0.146880 -0.110519 0.014025 -0.208755 16.11544

Jarque-Bera Probability

18252.03 0.000000

0 -0.10

-0.05

0.00

0.05

0.10

0.15

Figuur 7.e Histogram IGBC

France CAC 2,400

Series: FRANCE_CAC Sample 1 15000 Observations 6192

2,000

Mean Median Maximum Minimum Std. Dev. Skewness Kurtosis

1,600

1,200

800

400

0.000162 0.000000 0.105946 -0.101376 0.013895 -0.139902 8.926785

Jarque-Bera 9082.908 Probability 0.000000

0 -0.10

-0.05

0.00

0.05

0.10

Figuur 7.f Histogram CAC

23

FTSE China 600

Series: FTSE_CHINA Sample 1 15000 Observations 2527

500

Mean Median Maximum Minimum Std. Dev. Skewness Kurtosis

400

300

200

0.000367 0.000000 0.095513 -0.097662 0.019011 -0.160741 7.745182

Jarque-Bera 2381.709 Probability 0.000000

100

0 -0.100

-0.075

-0.050

-0.025

0.000

0.025

0.050

0.075

0.100

Figuur 7.g Histogram FTSE China

OMX Helsinki 2,400

Series: OMX_HELSINKI Sample 1 15000 Observations 6326

2,000

Mean Median Maximum Minimum Std. Dev. Skewness Kurtosis

1,600

1,200

800

400

0.000316 7.37e-05 0.145631 -0.174037 0.016711 -0.403857 12.07900

Jarque-Bera 21898.68 Probability 0.000000

0 -0.15

-0.10

-0.05

0.00

0.05

0.10

0.15

Figuur 7.h Histogram OMX Helsinki

24

OMX Riga 1,200

Series: OMX_RIGA__OMXR____TOT_RE Sample 1 15000 Observations 2935

1,000

800

600

400

Mean Median Maximum Minimum Std. Dev. Skewness Kurtosis

0.000472 0.000000 0.101798 -0.147052 0.016090 -0.614169 16.63494

Jarque-Bera Probability

22919.96 0.000000

200

0 -0.15

-0.10

-0.05

0.00

0.05

0.10

Figuur 7.i Histogram OMX Riga

OMX Talinn 1,600

Series: OMX_TALLINN Sample 1 15000 Observations 3870

1,400 1,200

Mean Median Maximum Minimum Std. Dev. Skewness Kurtosis

1,000 800 600 400

0.000513 0.000459 0.128667 -0.215765 0.016828 -0.973381 23.89029

Jarque-Bera 70981.29 Probability 0.000000

200 0 -0.20

-0.15

-0.10

-0.05

0.00

0.05

0.10

Figuur 7.j Histogram OMX Talinn

25

Oslo exchange 3,000

Series: OSLO_EXCHANGE Sample 1 15000 Observations 7370

2,500

2,000

1,500

1,000

500

Mean Median Maximum Minimum Std. Dev. Skewness Kurtosis

0.000487 0.000521 0.104647 -0.212073 0.013166 -1.111037 19.82774

Jarque-Bera Probability

88473.94 0.000000

0 -0.20

-0.15

-0.10

-0.05

0.00

0.05

0.10

Figuur 7.k Histogram Oslo exchange

SBF 120 1,200

Series: SBF_120 Sample 1 15000 Observations 5286

1,000

Mean Median Maximum Minimum Std. Dev. Skewness Kurtosis

800

600

400

200

0.000210 8.54e-05 0.103194 -0.093840 0.013039 -0.057222 8.814214

Jarque-Bera 7448.454 Probability 0.000000

0 -0.075

-0.050

-0.025

0.000

0.025

0.050

0.075

0.100

Figuur 7.l Histogram SBF 120

26

Warsaw General index 2,000

Series: WARSAW Sample 1 15000 Observations 5209

1,600

Mean Median Maximum Minimum Std. Dev. Skewness Kurtosis

1,200

800

400

0.000749 0.000000 0.147831 -0.113443 0.018906 -0.033129 10.06855

Jarque-Bera 10845.32 Probability 0.000000

0 -0.10

-0.05

0.00

0.05

0.10

0.15

Figuur 7.m Histogram Warsaw GI

27

8. Historiek100

De probabiliteitsleer is een vertakking van de maattheorie. De fundamenten van de probabiliteitsleer werden gelegd in de uitwisselingsbrieven tussen Blaise Pascal en Pierre Fermat. De eerst publicatie in dit domein was door Christiaan Huygens en Johann de Witt in 1657. Op het einde van de 19 de eeuw waren er een aantal pogingen om probabilistisch modelleren toe te passen binnen het domein van speculatie en markten voor afgeleide instrumenten. De contributies waren, in chronologische volgorde, afkomstig van Regnault (1863), Levèvre (1870) en Edgeworth (1888).101

Op 29 maart 1900, verdedigde Louis Bachelier op succesvolle wijze zijn Sorbonne thesis “La théorie de la spéculation”102 . Deze dag wordt gezien als de geboortedatum van de financiële theorie en men beschouwt Louis Bachelier als de vader van “option pricing theory”. Bachelier maakte gebruik van enkele intuïtieve noties over de financiële markt en kwam zo tot de rekenkundige of absolute Brownse beweging. Essentieel hierbij is dat Bachelier geen prijsbewegingen bestudeerde, maar vertrok vanuit een evenwichtsveronderstelling over de Parijse beurs. Reeds dan beschreef hij op intuïtieve wijze noties zoals de martingaal. We vermelden enkele citaten: “Il semble que le marché, c’est-à-dire l’ensemble des spéculateurs, ne doit croire à un instant donné ni à la hausse, ni à la baisse, puisque, pour chaque cours coté, il y a autant d’acheteurs que de vendeurs.” “L’espérance mathématique du spéculateur est nulle” “On dit alors que le jeu est équitable” Ook de kwadratische variatie was één van zijn resultaten: “L’espérance mathématique est proportionnelle à la racine carrée du temps”

100

Zimmer mann (2009) Vinzenz Bronzin’s option pricing models exposition and appraisal Geoffr ey Poitras (2006) Pioneers of Financial Economics: Contributions prior to Irving Fisher 102 Bachelier (1900) La théorie de la spéculation 101

28

Bachelier zijn werk bleef lang verdoken in obscuriteit. Het feit dat zijn werk voor lange tijd enkel kon worden gevonden in de “Rare Book Room” in de “Library of Congress” geeft hiervan duiding. De statisticus Jimmy Savage wees enkele economen in zijn kennissenkring op het bestaan van Bachelier zijn werk. Het was A. James Boness die zijn werk vertaalde naar het Engels en deze vertaling verscheen in Cootner103 . In 1959 herontdekte Osborne als eerste de Brownse beweging als model voor aandelenopbrengsten. Het was echter Samuelson die in 1965 een multiplicatieve versie van de rekenkundige Brownse beweging creëerde. Op deze wijze verhielp hij het probleem van negatieve aandelenprijzen. Bachelier zijn werk was niet het enige dat verdoken achterwege bleef. In 1920 verscheen het werk “Theorie der Prämiergeschäfte”. De auteur, Vinzenz Bronzin, nam een fundamentele andere inv alshoek in vergelijking met Bachelier. Bronzin startte niet vanuit het framework dat gebruikt maakt van stochastische processen zoals Bachelier, maar maakte directe veronderstellingen over de verdeling van aandelenprijzen op maturiteit. Het is een meer praktische aanpak en bevat vele gesloten vorm oplossingen, toepassingen en inzichten. Een mogelijke reden waarom deze werken weinig daglicht ontvingen heeft vermoedelijk te maken met het imago van afgeleide instrumenten. In het laatste decennium van de 19 de eeuw werden afgeleide instrumenten meer en meer met de vinger gewezen als oorzaak voor exuberante prijsschokken. Ter illustratie, in 1879, verwees von Maybach naar de aandelenprijsmarkt als een “gifboom” in de samenleving. Hij maakte deze verwijzing in een periode waarin aandelen van spoorwegmaatschappijen sterk toenamen door speculanten. Er werden dus heel wat modellen nog voor Black-Scholes neergeschreven. Zimmerman geeft een overzicht van deze modellen in zijn “Vinzenz Bronzin’s Option Pricing Models” (pg.248). De geciteerde modellen zijn, in chronologische volgorde, Bachelier (1900), Bronzin (1908), Sprenkle (1961,1964), Boness (1964), Samuelson (1965) en Samuelson/Merton (1969). De historiek rond deze materie is rijk en zou ons te ver weg leiden. We verw ijzen naar het boek van Zimmermann voor een uitgebreider betoog. Het bevat interessante elementen die de lezer inzicht geven in het ontstaan van bepaalde concepten. Na Black-Scholes nam het onderzoeksdomein in optiewaardering sterk toe in proportie. Merton en Scholes stonden mee aan het roer van LTCM (Long –Term Capital Management). Het faillissement van dit

103

Cootner (1964) The random character of stock market prices

29

hedgefonds is een voorbeeld van het belang van veronderstellingen die men maakt wanneer men modellen toepast in de praktijk. Dit onderzoeksdomein heeft niet stilgestaan en de set aan optiemodellen zijn ondertussen talrijk in aantal toegenomen. Men stelt soms dat, als Bachelier de optiewaardering initieerde, dat Mandelbrot degene is die ze afsluit. Daar de willekeurigheid in Bachelier zijn model met Brownse beweging minimaal is, is Mandelbrot zijn voorgestelde vorm van willekeurigheid aan de hand van een fractionele aanpak extremaal. Gezien deze grote set aan modellen, benadrukken we nogmaals de nood aan een modulair waarderingskader, wat de opzet van deze masterproef is.

30

9. Technisch – ASA en PSO

a) Om ASA te implementeren in matlab, is er nood aan de C++ code geschreven door Lester Ingber . Deze kan worden gedownload op http://www.ingber.com/. Opdat de C++ code kan worden geïmplementeerd in matlab, is er nood aan een “gateway routine”, zijnde asamin, geschreven door Shinichi Sakata. Deze routine kan worden gedownload op http://faculty.arts.ubc.ca/ssakata/public_html/software/. De installatie van asamin gebeurd via volgende stappen: (1) Matlab code: mex –setup Kies de eerste compiler

(2) Matlab code: mex asamin.c asa.c -DUSER_ACCEPTANCE_TEST#TRUE -DUSER_ASA_OUT#TRUE

(3) Indien vorige lijn een foutmelding geeft, probeer Matlab code: mex asamin.c asa.c -DUSER_ACCEPTANCE_TEST#TRUE -DUSER_ASA_OUT#TRUE DDBL_MIN#2.2250738585072014e-308 Deze lijnen zetten reeds een aantal instellingen vast. ASA heeft een set aan instellingen gedurende de installatie en een set aan instellingen gedurende kalibratie. Indien men wenst dat ASA fuzzy logic gebruikt, zichzelf optimaliseert gedurende kalibratie, etc. dan dient men de lijst met ins tallatie opties te raadplegen. Men stelt deze optie in als “*Spatie+-D[Naam instelling]#[TRUE of FALSE]. ASA biedt het grote voordeel dat het zich vestigt in het globale minimum. Om complexe modellen op grote hoeveelheden data te kalibreren zijn echter rekenclusters vereist. ASA neemt veel tijd in beslag om het globale minimum te vinden. Het is mogelijk om de instellingen te wijzigen om de procedure te versnellen, maar dan is het globale minimum niet meer gegarandeerd. b) Het hoofdprogramma biedt enkel PSO aan als kalibratietechniek. Dit is voordeliger naar potentiële eindgebruikers: (1) Geen installatie vereist. Men dient enkel de files te downloaden van http://biomath.ugent.be/~brecht/downloads.html (2) Intuïtiever en eenvoudiger om in te stellen. Foute instellingen kunnen de kalibratie prematuur beëindigen of kunnen de duurtijd onnodig verlengen. 31

10. Matlab code Testen Daar waar mogelijk, hebben we de zelfgeschreven code getest op bestaande code. Test BS - Handelsdag (7/13/2010): Valuation(0.005109091,0.436781609,0.0038058,2527.30,2517.70,1200,’BS’,0.7014) = 1342.4 bs(2517.70,2527.30,0.436781609,1200,0.005109091,0.7014) = 1342.4 blkprice(2527.30, 1200, 0.005109091, 0.436781609, 0.7014) = 1342.4 Test Heston – Handelsdag (4/09/2009) HestonCall(0.07,0.7,0.035,517,500,400,0.06,0.08,0.9,-0.5,0.7,0)=183.54; Valuation(0.07,0.7,0.035,517,500,400,'SV',0.06,0.08,0.9,-0.5,0.7)=183.15;

32

Code (i)

Simulators processen

function x = SimulateBrownian(x0,rq,sigma) % Vragen & suggesties: [email protected] % Grootte tijdstap = 1/#Handelsdagen delta=1/252; %Tijdsas ts=[delta : delta : 1]; n=(1/delta); % Epsilon of noise generatie eps = randn(n,1); % Milstein schema x=zeros(n,1); x(1)=x0; for i=2:n x(i) = x(i-1)*(1+rq*delta+sigma*sqrt(delta)*eps(i1)+(1/2)*(sigma^2)*delta*((eps(i-1))^2-1)); end figure plot(ts,x); title('Brownian Motion')

function [ ts, v ] = SimulateSR(sigma, kappa, theta, v0) % Vragen & suggesties: [email protected] % Grootte tijdstap = 1/#Handelsdagen delta=1/252; %Tijdsas ts=[delta : delta : 1]; n=(1/delta); % Epsilon of noise generatie eps=randn(1,n); v=zeros(1,n); v(1)=v0; % Milstein schema for i=2:n v(i)=(1-kappa*delta)*v(i-1)+kappa*theta*delta+sigma*sqrt(v(i1))*sqrt(delta)*eps(i); end figure plot(ts,v); title('Square Root Process') end

33

function [ ts,v,S ] = SimulateHeston(sigma, kappa, theta, rho, v0, mnu) % Vragen & suggesties: [email protected] %Grootte tijdstap = 1/#Handelsdagen delta=1/252; n=1/delta; %Tijdsas ts=[delta : delta : 1]; %Gecorreleerde Brownse bewegingen Z1=randn(1,n); for i=1:n Z2(i)=Z1(i)*rho+sqrt(1-rho^2)*randn; end %Ruimtes vrijmaken v=zeros(1,n); v(1)=v0; S=zeros(1,n); S(1)=2500; %Milstein schema for i=2:n v(i)=v(i-1)+kappa*(theta-v(i-1))*delta+sigma*sqrt(v(i1)*delta)*Z2(i)+(1/4)*(sigma^2)*(Z2(i)*Z2(i)-1)*delta; S(i)=S(i-1)*(1+mnu*delta+sqrt(v(i-1)*delta)*Z1(i)+(1/2)*v(i1)*(Z1(i)*Z1(i)-1)*delta); end %Plot creëren figure subplot(2,1,1); plot(ts,v) title('Heston') subplot(2,1,2); plot(ts,S) end

34

(ii)

Inlezen data

function OptionData = excelIV(mode) % Vragen & suggesties: [email protected] % IV naar MP (Implied volatilities naar Market prices) % klength = lengte van de strikes in de bovenste rij, op deze wijze weet het programma dat: % klength+1 = Interestvoet % klength+2 = Tau of TTM % klength+3 = (r-q)tau (deze grootheid wordt vooraf uitgerekend om gedurende de kalibratie het aantal bewerkingen te minimaliseren % klength+4 = Forward/future % klength+5 = Aandelenprijs % Illiq = Bepaald de afkapgrens. Optieprijzen onder deze prijs zijn calls die diep OTM zijn en worden als te illiquide beschouwd. switch mode case '192' % path(path,'C:\Users\Evert\Documents\MATLAB') klength=29; size=785; matrixIV=xlsread('C:\Users\Evert\Documents\MATLAB\192(BFXB and BFX)_Complete.xlsm','Sigma Distributie','A1:AH785'); illiq=12; case 'aex' % path(path,'C:\Users\Evert\Documents\MATLAB') klength=39; size=916; matrixIV=xlsread('C:\Users\Evert\Documents\MATLAB\AEX(EOE and ETI)_Complete.xlsm','Sigma Distributie','A1:AR916'); illiq=2; case 'monep' % path(path,'C:\Users\Evert\Documents\MATLAB') klength=69; size=5185; matrixIV=xlsread('C:\Users\Evert\Documents\MATLAB\MONEP(FSX and PXA)_Complete.xlsm','Sigma Distributie','A1:BV5185'); illiq=5; case 'liffe' % path(path,'C:\Users\Evert\Documents\MATLAB') klength=76; size=1716; matrixIV=xlsread('C:\Users\Evert\Documents\MATLAB\LIFFE(LSX and ESX)_Complete.xlsm','Sigma Distributie','A1:CC1716'); illiq=12; otherwise end %Grootte van de matrix bepalen met de Implied volatilities; m=length(matrixIV(:,1)); n=length(matrixIV(1,:)); % Hierin zullen de marketprices komen.De BS-waardering zal de IV omzetten naar MP OptionData=zeros(m,n);

35

% Optieprijzen bepalen we voor alle strike (1_klength), we starten op rij 2, op rij 1 staan de strikes for j = 1:klength for i = 2:size %Valuation(r,tau,rqtau,Ft,St,K,model,sigma,0,...,0) BSprijs=Valuation(matrixIV(i,(klength+1)),matrixIV(i,(klength+2)),matrixIV(i,( klength+3)),matrixIV(i,(klength+4)),matrixIV(i,(klength+5)),matrixIV(1,j),'BS' ,matrixIV(i,j),0,0,0,0,0,0,0); % Illiquide opties krijgen een prijs die niet voorkomt. Het is een soort code waarmee verdere code deze opties kan overslaan wanneer het de IV matrix kalibreert. if BSprijs<=illiq OptionData(i,j)=9797979; else OptionData(i,j)=BSprijs; end end end for j = 1:klength OptionData(1,j)=matrixIV(1,j); end for j=(klength+1):(klength+5) for i=2:size OptionData(i,j)=matrixIV(i,j); end end

end

36

(iii)

Interface en functionaliteit

We beginnen met kernfunctie die +/-

keren wordt uitgevoerd.

function call = % vragen & suggesties: [email protected] Waardering(illiq,r,tau,rqtau,Ft,St,K,HestonBinary,MertonBinary,KouBinary,VGbin ary,NIGBinary,input) warning off; if(illiq==1) call=9797979; else call = exp(r*tau)*(Ft*VAL(rqtau,tau,St,K,1,HestonBinary,MertonBinary,KouBinary,VGbinary,N IGBinary,input)K*VAL(rqtau,tau,St,K,2,HestonBinary,MertonBinary,KouBinary,VGbinary,NIGBinary, input)); end % Integratie van karakteristieke functie. Dit is het eindresultaat van % Hoofdstuk 3 Overkoepelend kader voor prijsbepaling – Karakteristieke % functies function Prob = VAL(rqtau,tau,St,K,type,HestonBinary,MertonBinary,KouBinary,VGbinary,NIGBinary ,input) Prob = 0.5+1/pi*quadl(@VIntegrand,0,100,[],[],rqtau,tau,St,K,type,HestonBinary,Merton Binary,KouBinary,VGbinary,NIGBinary,input); % Integrandum function ret = VIntegrand(phi,rqtau,tau,St,K,type,HestonBinary,MertonBinary,KouBinary,VGbinar y,NIGBinary,input) ret = real(exp(1i*phi*log(K)).*Valf(phi,rqtau,tau,St,type,HestonBinary,MertonBinary,KouBinary ,VGbinary,NIGBinary,input)./(1i*phi)); % Samenvoegen van de karakteristieke functies op aanvraag van de gebruiker function f = Valf(phi,rqtau,tau,St,type,HestonBinary,MertonBinary,KouBinary,VGbinary,NIGBin ary,input) sigma=input(1); H=1; if (HestonBinary) kappa=input(2); theta=input(3); rho=input(4); V=input(5); H=H+4; if type == 1 s11=-(1+1i*phi).*(((rho*kappa)/sigma)-1/2+(1/2).*(1+1i*phi).*(1rho.^2)); s21=(1+1i*phi)*(rho/sigma); gamma1=sqrt((kappa.^2)+2*(sigma.^2).*s11); gamma2=2.*gamma1.*exp(-gamma1.*tau)+(kappa+gamma1(sigma.^2).*s21).*(1-exp(-gamma1.*tau)); H1=(1./gamma2).*(gamma1.*s21.*(1+exp(-gamma1.*tau))-(1-exp(gamma1.*tau)).*(2.*s11+kappa.*s21));

37

H2=((2*kappa*theta)./sigma.^2).*log(((2.*gamma1)./(gamma2)).*exp((1/2).*(kappa -gamma1)*tau)); fheston=exp(-s21*(V+kappa*theta*tau)+H1*V+H2); else s12=-1i.*phi.*(((rho*kappa)./sigma)-1/2+(1/2)*1i.*phi.*(1rho.^2)); s22=1i.*phi*(rho/sigma); gamma1=sqrt((kappa.^2)+2*(sigma.^2).*s12); gamma2=2.*gamma1.*exp(-gamma1*tau)+(kappa+gamma1(sigma.^2).*s22).*(1-exp(-gamma1*tau)); H1=(1./gamma2).*(gamma1.*s22.*(1+exp(-gamma1.*tau))-(1-exp(gamma1.*tau)).*(2.*s12+kappa.*s22)); H2=((2*kappa*theta)./sigma.^2).*log(((2.*gamma1)./(gamma2)).*exp((1/2).*(kappa -gamma1)*tau)); fheston=exp(-s22*(V+kappa*theta*tau)+H1*V+H2); end f1=exp(1i*phi*(log(St)+rqtau)).*fheston; else if(VGbinary) fb=1; elseif (NIGBinary) fb=1; else if type == 1 fb=exp(1i*phi*((1/2)*(sigma.^2)*tau)((phi.^2)/2)*(sigma.^2)*tau); else fb=exp(1i*phi*(-(1/2)*(sigma.^2)*tau)((phi.^2)/2)*(sigma.^2)*tau); end end f1=exp(1i*phi*(log(St)+rqtau)).*fb; end if (MertonBinary) lambda=input(H+1); mnuj=input(H+2); sigmaj=input(H+3); H=H+3; if type == 1 flogjump=exp((1+1i.*phi).*lambda*tau*mnuj+lambda*tau.*(((1+mnuj).^(1+1i.*phi)).*exp((1/2)*1 i.*phi.*(1+1i.*phi).*sigmaj^2)-1)); else flogjump=exp(1i.*phi.*lambda*tau*mnuj+lambda*tau.*(((1+mnuj).^(1i.*phi)).*exp((1/2)*1i.*phi .*(1i.*phi-1).*sigmaj^2)-1)); end f2=flogjump; elseif(KouBinary) lambdaOne=input(H+1); lambdaTwo=input(H+2);

38

mnujOne=input(H+3); mnujTwo=input(H+4); H=H+4; if type == 1 mnukou=(lambdaOne*mnujOne)/(1-mnujOne)-(lambdaTwo*mnujTwo)/(1mnujTwo); fpareto=exp(-(1+1i.*phi)*mnukou*tau+lambdaOne*tau*((1(1+1i.*phi).*mnujOne).^(-1)-1)-lambdaTwo*tau*((1-(1+1i.*phi).*mnujTwo).^(-1)1)); else mnukou=(lambdaOne*mnujOne)/(1-mnujOne)-(lambdaTwo*mnujTwo)/(1mnujTwo); fpareto=exp(-1i.*phi*mnukou*tau+lambdaOne*tau*((11i.*phi.*mnujOne).^(-1)-1)-lambdaTwo*tau*((1-1i.*phi.*mnujTwo).^(-1)-1)); end f2=fpareto; else f2=1; end if(VGbinary) Beta=input(H+1); mnu=input(H+2); H=H+2; if type == 1 m=(1/Beta)*log(1-mnu*Beta-(1/2)*(sigma^2)*Beta); fvg=exp(-(1+1i.*phi).*m*tau).*(1./(1-(1+1i.*phi).*mnu*Beta(1/2)*(sigma^2)*Beta*(1+1i.*phi).^2)).^(tau/Beta); else m=(1/Beta)*log(1-mnu*Beta-(1/2)*(sigma^2)*Beta); fvg=exp(-1i.*phi.*m*tau).*(1./(11i.*phi*mnu*Beta+(1/2)*(sigma^2)*Beta.*(phi.^2))).^(tau/Beta); end f3=fvg; elseif(NIGBinary) kappanig=input(H+1); mnunig=input(H+2); H=H+2; if type == 1 m=kappanig-sqrt(kappanig^2-sigma^2-2*mnunig); fnig=exp(-(1+1i.*phi).*m.*tau.*(tau.*(kappanig-sqrt(kappanig^2(sigma^2).*((1+1i.*phi).^2)-2*mnunig.*(1+1i.*phi))))); else m=kappanig-sqrt(kappanig^2-sigma^2-2*mnunig); fnig=exp(-1i.*phi.*m.*tau.*(tau.*(kappanigsqrt(kappanig^2+(sigma^2).*(phi.^2)-2.*mnunig*1i.*phi)))); end f3=fnig; else f3=1; end f=f1.*f2.*f3; end end end end

39

Deze functie wordt aangeroepen door function cost = ModulairWaarderen(input,day,hlength,klength,OptionData,HestonBinary,MertonBina ry,KouBinary,VGbinary,NIGBinary) PriceDifference=zeros(hlength,klength); Modelprijs=zeros(hlength,klength); % vragen & suggesties: [email protected] if (HestonBinary) %Wedertransformatie naar kappa input(2)=(input(2)+input(1)^2)/(2*input(3)); end % Berekenen van de modelprijzen voor handelsdag day, over de % volatiliteitmatrix. for u=1:hlength i=u+1+hlength*(day-1); r=OptionData(i,(klength+1)); tau=OptionData(i,(klength+2)); rqtau=OptionData(i,(klength+3)); Ft=OptionData(i,(klength+4)); St=OptionData(i,(klength+5)); %Hier gebeuren de berekenen parallel parfor j=1:klength K=OptionData(1,j); % Illiquide zones negeren if (OptionData(i,j)==9797979) Modelprijs(u,j)=Waardering(1,r,tau,rqtau,Ft,St,K,HestonBinary,MertonBinary,Kou Binary,VGbinary,NIGBinary,input); else Modelprijs(u,j)=Waardering(0,r,tau,rqtau,Ft,St,K,HestonBinary,MertonBinary,Kou Binary,VGbinary,NIGBinary,input); end end end %Prijsverschillen berekenen tussen model en markt for u=1:hlength i=u+1+hlength*(day-1); for j=1:klength PriceDifference(u,j) = Modelprijs(u,j)-OptionData(i,j); end end %Kost bepalen op basis van de afwijking tussen modelprijzen en marktprijzen costf=sum(PriceDifference.^2); cost=sum(costf); end

40

Vorige functie wordt per handelsdag, meermaals doorlopen voor kalibratie. De kalibratie wordt uitgevoerd wanneer de gebruiker alles correct heeft ingesteld en dan op “Kalibreer (PSO)” drukt. De instellingen en het opstarten van de kalibratie gebeuren via de interface function varargout = ModulaireOptieWaardering(varargin) % Vragen & suggesties: [email protected] % MODULAIREOPTIEWAARDERING M-file for ModulaireOptieWaardering.fig % MODULAIREOPTIEWAARDERING, by itself, creates a new MODULAIREOPTIEWAARDERING or raises the existing % singleton*. % % H = MODULAIREOPTIEWAARDERING returns the handle to a new MODULAIREOPTIEWAARDERING or the handle to % the existing singleton*. % % MODULAIREOPTIEWAARDERING('CALLBACK',hObject,eventData,handles,...) calls the local % function named CALLBACK in MODULAIREOPTIEWAARDERING.M with the given input arguments. % % MODULAIREOPTIEWAARDERING('Property','Value',...) creates a new MODULAIREOPTIEWAARDERING or raises the % existing singleton*. Starting from the left, property value pairs are % applied to the GUI before ModulaireOptieWaardering_OpeningFcn gets called. An % unrecognized property name or invalid value makes property application % stop. All inputs are passed to ModulaireOptieWaardering_OpeningFcn via varargin. % % *See GUI Options on GUIDE's Tools menu. Choose "GUI allows only one % instance to run (singleton)". % % See also: GUIDE, GUIDATA, GUIHANDLES % Edit the above text to modify the response to help ModulaireOptieWaardering % Last Modified by GUIDE v2.5 21-May-2011 21:31:41 % Begin initialization code - DO NOT EDIT gui_Singleton = 1; gui_State = struct('gui_Name', mfilename, ... 'gui_Singleton', gui_Singleton, ... 'gui_OpeningFcn', @ModulaireOptieWaardering_OpeningFcn, ... 'gui_OutputFcn', @ModulaireOptieWaardering_OutputFcn, ... 'gui_LayoutFcn', [] , ... 'gui_Callback', []); if nargin && ischar(varargin{1}) gui_State.gui_Callback = str2func(varargin{1}); end if nargout [varargout{1:nargout}] = gui_mainfcn(gui_State, varargin{:}); else gui_mainfcn(gui_State, varargin{:});

41

end % End initialization code - DO NOT EDIT

% --- Executes just before ModulaireOptieWaardering is made visible. function ModulaireOptieWaardering_OpeningFcn(hObject, eventdata, handles, varargin) % This function has no output args, see OutputFcn. % hObject handle to figure % eventdata reserved - to be defined in a future version of MATLAB % handles structure with handles and user data (see GUIDATA) % varargin command line arguments to ModulaireOptieWaardering (see VARARGIN) % Choose default command line output for ModulaireOptieWaardering handles.output = hObject; % Update handles structure guidata(hObject, handles); % UIWAIT makes ModulaireOptieWaardering wait for user response (see UIRESUME) % uiwait(handles.figure1);

function varargout = ModulaireOptieWaardering_OutputFcn(hObject, eventdata, handles) varargout{1} = handles.output;

function Model_Callback(hObject, eventdata, handles)

function Model_CreateFcn(hObject, eventdata, handles) if ispc && isequal(get(hObject,'BackgroundColor'), get(0,'defaultUicontrolBackgroundColor')) set(hObject,'BackgroundColor','white'); end

function Euronext_Callback(hObject, eventdata, handles)

function Euronext_CreateFcn(hObject, eventdata, handles) if ispc && isequal(get(hObject,'BackgroundColor'), get(0,'defaultUicontrolBackgroundColor')) set(hObject,'BackgroundColor','white'); end

function Begindag_Callback(hObject, eventdata, handles)

function Begindag_CreateFcn(hObject, eventdata, handles)

42

if ispc && isequal(get(hObject,'BackgroundColor'), get(0,'defaultUicontrolBackgroundColor')) set(hObject,'BackgroundColor','white'); end

function Eindedag_Callback(hObject, eventdata, handles)

function Eindedag_CreateFcn(hObject, eventdata, handles) if ispc && isequal(get(hObject,'BackgroundColor'), get(0,'defaultUicontrolBackgroundColor')) set(hObject,'BackgroundColor','white'); end

% --- Executes on button press in Calibrate. function Calibrate_Callback(hObject, eventdata, handles) % hObject handle to Calibrate (see GCBO) % eventdata reserved - to be defined in a future version of MATLAB % handles structure with handles and user data (see GUIDATA) begindag = str2double(get(handles.Begindag,'String')); einddag = str2double(get(handles.Eindedag,'String')); swarm = str2double(get(handles.swarm,'String')); tolx = str2double(get(handles.tolx,'String')); tolfun = str2double(get(handles.tolfun,'String')); maxiter = str2double(get(handles.maxiter,'String')); EuronextSelection = get(handles.Euronext,'Value'); HestonBinary = get(handles.Heston,'Value'); MertonBinary = get(handles.Merton,'Value'); KouBinary = get(handles.Kou,'Value'); VGBinary = get(handles.VG,'Value'); NIGBinary = get(handles.NIG,'Value'); switch EuronextSelection case 1 euronext='Brussel'; case 2 euronext='Amsterdam'; case 3 euronext='Londen'; case 4 euronext='Parijs'; otherwise end

if (EuronextSelection==1) %(RAW) %vert=7; %klength=29; %load('OptionData192.mat'); hlength=7; klength=9;

43

load('Resized192.mat'); load('Middle192.mat'); exchange='192'; elseif (EuronextSelection==2) %(RAW) %vert=5; %klength=39; %load('OptionDataAex.mat'); hlength=5; klength=8; load('ResizedAex.mat'); load('MiddleAex.mat'); exchange='aex'; elseif (EuronextSelection==3) %(RAW) %vert=7; %klength=76; %load('OptionDataLiffe.mat'); hlength=7; klength=14; load('ResizedLiffe.mat'); load('MiddleLiffe.mat'); exchange='liffe'; elseif (EuronextSelection==4) %(RAW) %vert=12; %klength=69; %load('OptionDataMonep.mat'); hlength=12; klength=15; load('ResizedMonep.mat'); load('MiddleMonep.mat'); exchange='monep'; end % Alle mogelijke inputs en boven- en ondergrenzen % In plaats van kappa in te voeren voor heston, voeren we % 2*kappa*theta-sigma^2 in. Dit doen we om de feller conditie te % respecteren. Later zetten we de parameter terug om naar kappa. % BS 2kt-s^2 theta rho Vo lambda mnuj sigmaj lambda1 lambda2 mnuj1 mnuj2 betavg mnuvg knig mnunig Totalx = [0.2 0.2 0.09 -0.95 0.01 0.1 -0.5 0.5 0.5 0.15 0.15 0.5 0.5 1.5 0.2]; TotalL = [0 0 0 -1 0 0 -1 0 0 0 0 0 -1 150 -15]; TotalU = [3 20 1 -0.7 0.3 1 0 1 1 1 1 1 1 500 -3];

0.5 0 1

tel=1; x0(tel)=Totalx(tel); lb(tel)=TotalL(tel); ub(tel)=TotalU(tel); %Op basis van modelkeuze stellen we initiële vector, lower bounds en upper %bounds samen if (HestonBinary)

44

for i=2:5 tel=tel+1; x0(tel)=Totalx(i); lb(tel)=TotalL(i); ub(tel)=TotalU(i); end Hs='Heston'; else Hs=''; end if (MertonBinary) for i=6:8 tel=tel+1; x0(tel)=Totalx(i); lb(tel)=TotalL(i); ub(tel)=TotalU(i); end Me='Merton'; else Me=''; end if (KouBinary) for i=9:12 tel=tel+1; x0(tel)=Totalx(i); lb(tel)=TotalL(i); ub(tel)=TotalU(i); end Ko='Kou'; else Ko=''; end if (VGBinary) for i=13:14 tel=tel+1; x0(tel)=Totalx(i); lb(tel)=TotalL(i); ub(tel)=TotalU(i); end vG='VG'; else vG=''; end if (NIGBinary) for i=15:16 tel=tel+1; x0(tel)=Totalx(i); lb(tel)=TotalL(i); ub(tel)=TotalU(i); end nG='NIG'; else

45

nG=''; end if((HestonBinary+MertonBinary+KouBinary+VGBinary+NIGBinary)==0) Bs='BS'; else Bs=''; end GeschatteParameters=zeros((einddag-begindag+1),length(x0)); filename=['Begin',get(handles.Begindag,'String'),'Eind',get(handles.Eindedag,' String'),'opEuronext',euronext,'metModel',Bs,Hs,Me,Ko,vG,nG,'.mat']; for day = begindag:einddag options = PSOSET('SWARM_SIZE',swarm,'TOLX',tolx,'TOLFUN',tolfun,'DISPLAY','iter','MAX_IT ER',maxiter); tic; xstar = PSO('ModulairWaarderen',x0,lb,ub,options,day,hlength,klength,OptionData,Heston Binary,MertonBinary,KouBinary,VGBinary,NIGBinary); toc; %Parameters invoegen indien Heston aanwezig is if (HestonBinary) %Eerste parameter overnemen GeschatteParameters(day,1)=xstar(1); %Wedertransformatie naar kappa GeschatteParameters(day,2)=(xstar(2)+xstar(1)^2)/(2*xstar(3)); for i=3:length(x0) %Rest overnemen GeschatteParameters(day,i)=xstar(i); end else %Indien geen Heston aanwezig, alles invullen for i=1:length(x0) GeschatteParameters(day,i)=xstar(i); end end end [ AbsT, rmse, arpe, aae, ape, Modelprijs, FoutMatrix, MiddleMatrixModel,meanP,stdevP ] = MWaarderingsvermogen(begindag,einddag,GeschatteParameters,OptionData,hlength,k length,HestonBinary,MertonBinary,KouBinary,VGBinary,NIGBinary);

set(handles.abs, 'String', AbsT); set(handles.rmse, 'String', rmse); set(handles.arpe, 'String', arpe); set(handles.aae, 'String', aae); set(handles.ape, 'String', ape); tel=1; set(handles.BSsigma, 'String', meanP(tel)); set(handles.BSSTsigma, 'String', stdevP(tel));

46

%Op basis van modelkeuze stellen we initiële vector, lower bounds en upper %bounds samen if (HestonBinary) tel=tel+1; set(handles.HKappa, 'String', meanP(tel)); set(handles.HSTKappa, 'String', stdevP(tel)); tel=tel+1; set(handles.HTheta, 'String', meanP(tel)); set(handles.HSTTheta, 'String', stdevP(tel)); tel=tel+1; set(handles.HRho, 'String', meanP(tel)); set(handles.HSTRho, 'String', stdevP(tel)); tel=tel+1; set(handles.HV0, 'String', meanP(tel)); set(handles.HSTV0, 'String', stdevP(tel)); end if (MertonBinary) tel=tel+1; set(handles.MLambda, 'String', meanP(tel)); set(handles.MSTLambda, 'String', stdevP(tel)); tel=tel+1; set(handles.MMnu, 'String', meanP(tel)); set(handles.MSTMnu, 'String', stdevP(tel)); tel=tel+1; set(handles.MSigmaj, 'String', meanP(tel)); set(handles.MSTSigmaj, 'String', stdevP(tel)); end if (KouBinary) tel=tel+1; set(handles.KLone, 'String', meanP(tel)); set(handles.KSTLone, 'String', stdevP(tel)); tel=tel+1; set(handles.KLtwo, 'String', meanP(tel)); set(handles.KSTLtwo, 'String', stdevP(tel)); tel=tel+1; set(handles.KLMnuone, 'String', meanP(tel)); set(handles.KSTMnuone, 'String', stdevP(tel)); tel=tel+1; set(handles.KLMnutwo, 'String', meanP(tel)); set(handles.KSTMnutwo, 'String', stdevP(tel)) end if (VGBinary) tel=tel+1; set(handles.VGBeta, 'String', meanP(tel)); set(handles.VGSTBeta, 'String', stdevP(tel)); tel=tel+1; set(handles.VGMnu, 'String', meanP(tel)); set(handles.VGSTMnu, 'String', stdevP(tel)); end if (NIGBinary) tel=tel+1;

47

set(handles.NIGKappa, 'String', meanP(tel)); set(handles.NIGSTKappa, 'String', stdevP(tel)); tel=tel+1; set(handles.NIGMnu, 'String', meanP(tel)); set(handles.NIGSTMnu, 'String', stdevP(tel)); end save(filename);

function swarm_Callback(hObject, eventdata, handles)

function swarm_CreateFcn(hObject, eventdata, handles) if ispc && isequal(get(hObject,'BackgroundColor'), get(0,'defaultUicontrolBackgroundColor')) set(hObject,'BackgroundColor','white'); end

function tolx_Callback(hObject, eventdata, handles)

function tolx_CreateFcn(hObject, eventdata, handles) if ispc && isequal(get(hObject,'BackgroundColor'), get(0,'defaultUicontrolBackgroundColor')) set(hObject,'BackgroundColor','white'); end

function tolfun_Callback(hObject, eventdata, handles)

function tolfun_CreateFcn(hObject, eventdata, handles) if ispc && isequal(get(hObject,'BackgroundColor'), get(0,'defaultUicontrolBackgroundColor')) set(hObject,'BackgroundColor','white'); end

function Heston_Callback(hObject, eventdata, handles)

function Merton_Callback(hObject, eventdata, handles)

function Kou_Callback(hObject, eventdata, handles) function VG_Callback(hObject, eventdata, handles) function NIG_Callback(hObject, eventdata, handles)

48

function maxiter_Callback(hObject, eventdata, handles) function maxiter_CreateFcn(hObject, eventdata, handles) if ispc && isequal(get(hObject,'BackgroundColor'), get(0,'defaultUicontrolBackgroundColor')) set(hObject,'BackgroundColor','white'); end

function BSsigma_Callback(hObject, eventdata, handles)

function BSsigma_CreateFcn(hObject, eventdata, handles) if ispc && isequal(get(hObject,'BackgroundColor'), get(0,'defaultUicontrolBackgroundColor')) set(hObject,'BackgroundColor','white'); end

function BSSTsigma_Callback(hObject, eventdata, handles)

function BSSTsigma_CreateFcn(hObject, eventdata, handles) if ispc && isequal(get(hObject,'BackgroundColor'), get(0,'defaultUicontrolBackgroundColor')) set(hObject,'BackgroundColor','white'); end

function HKappa_Callback(hObject, eventdata, handles)

function HKappa_CreateFcn(hObject, eventdata, handles) if ispc && isequal(get(hObject,'BackgroundColor'), get(0,'defaultUicontrolBackgroundColor')) set(hObject,'BackgroundColor','white'); end

function HSTKappa_Callback(hObject, eventdata, handles)

function HSTKappa_CreateFcn(hObject, eventdata, handles) if ispc && isequal(get(hObject,'BackgroundColor'), get(0,'defaultUicontrolBackgroundColor')) set(hObject,'BackgroundColor','white'); end

function HTheta_Callback(hObject, eventdata, handles)

49

function HTheta_CreateFcn(hObject, eventdata, handles) if ispc && isequal(get(hObject,'BackgroundColor'), get(0,'defaultUicontrolBackgroundColor')) set(hObject,'BackgroundColor','white'); end

function HSTTheta_Callback(hObject, eventdata, handles)

function HSTTheta_CreateFcn(hObject, eventdata, handles) if ispc && isequal(get(hObject,'BackgroundColor'), get(0,'defaultUicontrolBackgroundColor')) set(hObject,'BackgroundColor','white'); end

function HRho_Callback(hObject, eventdata, handles)

function HRho_CreateFcn(hObject, eventdata, handles) if ispc && isequal(get(hObject,'BackgroundColor'), get(0,'defaultUicontrolBackgroundColor')) set(hObject,'BackgroundColor','white'); end

function HSTRho_Callback(hObject, eventdata, handles)

function HSTRho_CreateFcn(hObject, eventdata, handles) if ispc && isequal(get(hObject,'BackgroundColor'), get(0,'defaultUicontrolBackgroundColor')) set(hObject,'BackgroundColor','white'); end

function HV0_Callback(hObject, eventdata, handles) function HV0_CreateFcn(hObject, eventdata, handles) if ispc && isequal(get(hObject,'BackgroundColor'), get(0,'defaultUicontrolBackgroundColor')) set(hObject,'BackgroundColor','white'); end

function HSTV0_Callback(hObject, eventdata, handles)

function HSTV0_CreateFcn(hObject, eventdata, handles)

50

if ispc && isequal(get(hObject,'BackgroundColor'), get(0,'defaultUicontrolBackgroundColor')) set(hObject,'BackgroundColor','white'); end

function MLambda_Callback(hObject, eventdata, handles)

function MLambda_CreateFcn(hObject, eventdata, handles) if ispc && isequal(get(hObject,'BackgroundColor'), get(0,'defaultUicontrolBackgroundColor')) set(hObject,'BackgroundColor','white'); end

function MSTLambda_Callback(hObject, eventdata, handles)

function MSTLambda_CreateFcn(hObject, eventdata, handles) if ispc && isequal(get(hObject,'BackgroundColor'), get(0,'defaultUicontrolBackgroundColor')) set(hObject,'BackgroundColor','white'); end function MMnu_Callback(hObject, eventdata, handles)

function MMnu_CreateFcn(hObject, eventdata, handles) if ispc && isequal(get(hObject,'BackgroundColor'), get(0,'defaultUicontrolBackgroundColor')) set(hObject,'BackgroundColor','white'); end

function MSTMnu_Callback(hObject, eventdata, handles)

function MSTMnu_CreateFcn(hObject, eventdata, handles) if ispc && isequal(get(hObject,'BackgroundColor'), get(0,'defaultUicontrolBackgroundColor')) set(hObject,'BackgroundColor','white'); end

function MSigmaj_Callback(hObject, eventdata, handles)

function MSigmaj_CreateFcn(hObject, eventdata, handles) if ispc && isequal(get(hObject,'BackgroundColor'), get(0,'defaultUicontrolBackgroundColor')) set(hObject,'BackgroundColor','white'); end

51

function MSTSigmaj_Callback(hObject, eventdata, handles)

function MSTSigmaj_CreateFcn(hObject, eventdata, handles) if ispc && isequal(get(hObject,'BackgroundColor'), get(0,'defaultUicontrolBackgroundColor')) set(hObject,'BackgroundColor','white'); end

function KLone_Callback(hObject, eventdata, handles)

function KLone_CreateFcn(hObject, eventdata, handles) if ispc && isequal(get(hObject,'BackgroundColor'), get(0,'defaultUicontrolBackgroundColor')) set(hObject,'BackgroundColor','white'); end

function KLtwo_Callback(hObject, eventdata, handles)

function KLtwo_CreateFcn(hObject, eventdata, handles) if ispc && isequal(get(hObject,'BackgroundColor'), get(0,'defaultUicontrolBackgroundColor')) set(hObject,'BackgroundColor','white'); end

function KLMnuone_Callback(hObject, eventdata, handles)

function KLMnuone_CreateFcn(hObject, eventdata, handles) if ispc && isequal(get(hObject,'BackgroundColor'), get(0,'defaultUicontrolBackgroundColor')) set(hObject,'BackgroundColor','white'); end

function KMnutwo_Callback(hObject, eventdata, handles)

function KMnutwo_CreateFcn(hObject, eventdata, handles) if ispc && isequal(get(hObject,'BackgroundColor'), get(0,'defaultUicontrolBackgroundColor')) set(hObject,'BackgroundColor','white'); end

function KSTLone_Callback(hObject, eventdata, handles)

52

function KSTLone_CreateFcn(hObject, eventdata, handles) if ispc && isequal(get(hObject,'BackgroundColor'), get(0,'defaultUicontrolBackgroundColor')) set(hObject,'BackgroundColor','white'); end

function KSTLtwo_Callback(hObject, eventdata, handles)

function KSTLtwo_CreateFcn(hObject, eventdata, handles) if ispc && isequal(get(hObject,'BackgroundColor'), get(0,'defaultUicontrolBackgroundColor')) set(hObject,'BackgroundColor','white'); end

function KSTMnuone_Callback(hObject, eventdata, handles)

function KSTMnuone_CreateFcn(hObject, eventdata, handles) if ispc && isequal(get(hObject,'BackgroundColor'), get(0,'defaultUicontrolBackgroundColor')) set(hObject,'BackgroundColor','white'); end

function KSTMnutwo_Callback(hObject, eventdata, handles)

function KSTMnutwo_CreateFcn(hObject, eventdata, handles) if ispc && isequal(get(hObject,'BackgroundColor'), get(0,'defaultUicontrolBackgroundColor')) set(hObject,'BackgroundColor','white'); end

function VGBeta_Callback(hObject, eventdata, handles)

function VGBeta_CreateFcn(hObject, eventdata, handles) if ispc && isequal(get(hObject,'BackgroundColor'), get(0,'defaultUicontrolBackgroundColor')) set(hObject,'BackgroundColor','white'); end

function VGSTBeta_Callback(hObject, eventdata, handles)

function VGSTBeta_CreateFcn(hObject, eventdata, handles) if ispc && isequal(get(hObject,'BackgroundColor'), get(0,'defaultUicontrolBackgroundColor')) set(hObject,'BackgroundColor','white');

53

end

function VGMnu_Callback(hObject, eventdata, handles)

function VGMnu_CreateFcn(hObject, eventdata, handles) if ispc && isequal(get(hObject,'BackgroundColor'), get(0,'defaultUicontrolBackgroundColor')) set(hObject,'BackgroundColor','white'); end

function VGSTMnu_Callback(hObject, eventdata, handles)

function VGSTMnu_CreateFcn(hObject, eventdata, handles) if ispc && isequal(get(hObject,'BackgroundColor'), get(0,'defaultUicontrolBackgroundColor')) set(hObject,'BackgroundColor','white'); end

function NIGKappa_Callback(hObject, eventdata, handles)

function NIGKappa_CreateFcn(hObject, eventdata, handles) if ispc && isequal(get(hObject,'BackgroundColor'), get(0,'defaultUicontrolBackgroundColor')) set(hObject,'BackgroundColor','white'); end

function NIGSTKappa_Callback(hObject, eventdata, handles)

function NIGSTKappa_CreateFcn(hObject, eventdata, handles) if ispc && isequal(get(hObject,'BackgroundColor'), get(0,'defaultUicontrolBackgroundColor')) set(hObject,'BackgroundColor','white'); end

function NIGMnu_Callback(hObject, eventdata, handles)

function NIGMnu_CreateFcn(hObject, eventdata, handles) if ispc && isequal(get(hObject,'BackgroundColor'), get(0,'defaultUicontrolBackgroundColor')) set(hObject,'BackgroundColor','white'); end

function NIGSTMnu_Callback(hObject, eventdata, handles)

54

function NIGSTMnu_CreateFcn(hObject, eventdata, handles) if ispc && isequal(get(hObject,'BackgroundColor'), get(0,'defaultUicontrolBackgroundColor')) set(hObject,'BackgroundColor','white'); end

function abs_Callback(hObject, eventdata, handles)

function abs_CreateFcn(hObject, eventdata, handles) if ispc && isequal(get(hObject,'BackgroundColor'), get(0,'defaultUicontrolBackgroundColor')) set(hObject,'BackgroundColor','white'); end

function rmse_Callback(hObject, eventdata, handles)

function rmse_CreateFcn(hObject, eventdata, handles) if ispc && isequal(get(hObject,'BackgroundColor'), get(0,'defaultUicontrolBackgroundColor')) set(hObject,'BackgroundColor','white'); end

function arpe_Callback(hObject, eventdata, handles)

function arpe_CreateFcn(hObject, eventdata, handles) if ispc && isequal(get(hObject,'BackgroundColor'), get(0,'defaultUicontrolBackgroundColor')) set(hObject,'BackgroundColor','white'); end

function aae_Callback(hObject, eventdata, handles) function aae_CreateFcn(hObject, eventdata, handles) if ispc && isequal(get(hObject,'BackgroundColor'), get(0,'defaultUicontrolBackgroundColor')) set(hObject,'BackgroundColor','white'); end

function ape_Callback(hObject, eventdata, handles) function ape_CreateFcn(hObject, eventdata, handles)

55

if ispc && isequal(get(hObject,'BackgroundColor'), get(0,'defaultUicontrolBackgroundColor')) set(hObject,'BackgroundColor','white'); end

function BSMLOAD_Callback(hObject, eventdata, handles) begindag = str2double(get(handles.Begindag,'String')); einddag = str2double(get(handles.Eindedag,'String')); EuronextSelection = get(handles.Euronext,'Value');

if (EuronextSelection==1) %(RAW) %vert=7; %klength=29; %load('OptionData192.mat'); hlength=7; klength=9; load('Resized192.mat'); load('Middle192.mat'); elseif (EuronextSelection==2) %(RAW) %vert=5; %klength=39; %load('OptionDataAex.mat'); hlength=5; klength=8; load('ResizedAex.mat'); load('MiddleAex.mat'); elseif (EuronextSelection==3) %(RAW) %vert=7; %klength=76; %load('OptionDataLiffe.mat'); hlength=7; klength=14; load('ResizedLiffe.mat'); load('MiddleLiffe.mat'); elseif (EuronextSelection==4) %(RAW) %vert=12; %klength=69; %load('OptionDataMonep.mat'); hlength=12; klength=15; load('ResizedMonep.mat'); load('MiddleMonep.mat'); end %tau %X=OptionData(((begindag+1):begindag+hlength),klength+2); %TTM %Y=OptionData(1,1:klength)/OptionData(round((begindag+einddag)*hlength/2),klen gth+5);

56

mesh(MiddleMatrixBS,'parent',handles.PLOTTER,'HandleVisibility','on','AlphaDat a',.4); %colormap hot %hold on xlabel('Maturiteit','FontSize',12,'Color','black','background','white','EdgeCo lor','black'); ylabel('Liquiditeit','FontSize',12,'Color','black','background','white','EdgeC olor','black'); zlabel('Waarderingsfout','FontSize',12,'Color','black','background','white','E dgeColor','black'); title(handles.PLOTTER,'Volatiliteitoppervlak','FontSize',12,'Color','black','b ackground','white','EdgeColor','black'); rotate3d on

% --- Executes on button press in modelsurface. function modelsurface_Callback(hObject, eventdata, handles) % hObject handle to modelsurface (see GCBO) % eventdata reserved - to be defined in a future version of MATLAB % handles structure with handles and user data (see GUIDATA) begindag = str2double(get(handles.Begindag,'String')); einddag = str2double(get(handles.Eindedag,'String')); EuronextSelection = get(handles.Euronext,'Value'); HestonBinary = get(handles.Heston,'Value'); MertonBinary = get(handles.Merton,'Value'); KouBinary = get(handles.Kou,'Value'); VGBinary = get(handles.VG,'Value'); NIGBinary = get(handles.NIG,'Value');

switch EuronextSelection case 1 euronext='Brussel'; case 2 euronext='Amsterdam'; case 3 euronext='Londen'; case 4 euronext='Parijs'; otherwise end if (EuronextSelection==1) %(RAW) %vert=7; %klength=29; %load('OptionData192.mat'); hlength=7; klength=9; load('Resized192.mat'); load('Middle192.mat'); elseif (EuronextSelection==2) %(RAW) %vert=5; %klength=39; %load('OptionDataAex.mat');

57

hlength=5; klength=8; load('ResizedAex.mat'); load('MiddleAex.mat'); elseif (EuronextSelection==3) %(RAW) %vert=7; %klength=76; %load('OptionDataLiffe.mat'); hlength=7; klength=14; load('ResizedLiffe.mat'); load('MiddleLiffe.mat'); elseif (EuronextSelection==4) %(RAW) %vert=12; %klength=69; %load('OptionDataMonep.mat'); hlength=12; klength=15; load('ResizedMonep.mat'); load('MiddleMonep.mat'); end

if (HestonBinary) Hs='Heston'; else Hs=''; end if (MertonBinary) Me='Merton'; else Me=''; end if (KouBinary) Ko='Kou'; else Ko=''; end if (VGBinary) vG='VG'; else vG=''; end if (NIGBinary) nG='NIG'; else nG=''; end if((HestonBinary+MertonBinary+KouBinary+VGBinary+NIGBinary)==0)

58

Bs='BS'; else Bs=''; end filename=['Begin',get(handles.Begindag,'String'),'Eind',get(handles.Eindedag,' String'),'opEuronext',euronext,'metModel',Bs,Hs,Me,Ko,vG,nG,'.mat']; load(filename); %tau %X=OptionData(((begindag+1):begindag+hlength),klength+2); %TTM %Y=OptionData(1,1:klength)/OptionData(round((begindag+einddag)*hlength/2),klen gth+5); %Y,X mesh(MiddleMatrixBS,'parent',handles.PLOTTER,'HandleVisibility','on','AlphaDat a',.4); hold on %colormap hot surf(MiddleMatrixModel,'parent',handles.PLOTTER,'HandleVisibility','on','Alpha Data',.4); xlabel('Maturiteit','FontSize',12,'Color','black','background','white','EdgeCo lor','black'); ylabel('Liquiditeit','FontSize',12,'Color','black','background','white','EdgeC olor','black'); zlabel('Waarderingsfout','FontSize',12,'Color','black','background','white','E dgeColor','black'); title(handles.PLOTTER,'Volatiliteitoppervlak','FontSize',12,'Color','black','b ackground','white','EdgeColor','black'); rotate3d on

59

Het eindresultaat is het waarderingsvermogen. Dit wordt berekend aan de hand van volgende functie function [ AbsT, rmse, arpe, aae, ape, Modelprijs, FoutMatrix, MiddleMatrix,mn,st ] = MWaarderingsvermogen(begindag,einddag,GeschatteParameters,OptionData,hlength,k length,HestonBinary,MertonBinary,KouBinary,VGbinary,NIGBinary) % vragen & suggesties: [email protected] Modelprijs=zeros(hlength*(einddag-begindag+1),klength); FoutMatrix=zeros(hlength*(einddag-begindag+1),klength); MiddleMatrix=zeros(hlength,klength); for k=begindag:einddag for u=1:hlength i=u+1+hlength*(k-1); r=OptionData(i,(klength+1)); tau=OptionData(i,(klength+2)); rqtau=OptionData(i,(klength+3)); Ft=OptionData(i,(klength+4)); St=OptionData(i,(klength+5)); rij=GeschatteParameters(k,:); parfor j=1:klength K=OptionData(1,j); if (OptionData(i,j)==9797979) Modelprijs(u,j)=Waardering(1,r,tau,rqtau,Ft,St,K,HestonBinary,MertonBinary,Kou Binary,VGbinary,NIGBinary,rij); else Modelprijs(u,j)=Waardering(0,r,tau,rqtau,Ft,St,K,HestonBinary,MertonBinary,Kou Binary,VGbinary,NIGBinary,rij); end end end for u=1:hlength i=u+1+hlength*(k-1); for j=1:klength FoutMatrix(u,j) = Modelprijs(u,j)-OptionData(i,j); end end end for i=1:hlength for j=1:klength for k=0:(einddag-begindag) MiddleMatrix(i,j)=MiddleMatrix(i,j)+FoutMatrix(hlength*k+i,j); end MiddleMatrix(i,j)=MiddleMatrix(i,j)/(einddag-begindag+1); end end

AbsT=sqrt(sum(sum(abs(FoutMatrix))));

60

m=length(FoutMatrix(:,1)); n=length(FoutMatrix(1,:)); RelatieveAbsoluteFout=zeros(m,n); KwadratischeFout=FoutMatrix.^2; AbsoluteFout=abs(FoutMatrix); somoptieprijs=0; AantalOpties=0; for i=1:m for j=1:n if (FoutMatrix(i,j)==0) else AantalOpties=AantalOpties+1; end end end for i=1:m for j=1:n if (FoutMatrix(i,j)==0) else somoptieprijs=somoptieprijs+OptionData(i+1,j); end end end gemiddeldeoptieprijs=somoptieprijs/AantalOpties; for i=1:m for j=1:n RelatieveAbsoluteFout(i,j)=AbsoluteFout(i,j)/OptionData(1+i,j); end end rmse=sqrt(sum(sum(KwadratischeFout))/(AantalOpties)); aae=sum(sum(AbsoluteFout))/(AantalOpties); arpe=sum(sum(RelatieveAbsoluteFout))/(AantalOpties); ape=aae/gemiddeldeoptieprijs; pmlength=length(GeschatteParameters(1,:)); mn=zeros(1,pmlength); st=zeros(1,pmlength); for d=1:pmlength mn(d)=mean(GeschatteParameters(:,d)); st(d)=std(GeschatteParameters(:,d)); end end

61

11. Excel modules en macro’s Volgende figuur illustreert de zelfgemaakte excel modules die de volatiliteitmatrixen opbouwen uit de data van Thomson Reuters.

In wat volgt vermelden we de VBA code gebruikt binnen Excel. De eerste twee functies werden gemaakt om data samen te vatten in de figuren 4.2.1.c,d,e en f. De laatste functie zet de data klaar voor import in matlab 62

Extractie data Sub Extractie() j =0 k=0 i =0

'Datums overlopen' Do Until i = 607 Range("B1") = 29393 + i j =j +1 'Niet handelsdagen overslaan' If IsNumeric(Range("L10")) Then 'Activeer vanwaar we kopieren' Range("CE60").Activate 'We ordenen de data in een grote matrix' If j < 12 Then ActiveCell.Offset(j * 7, k * 7).Range("A1:G7").Value = ActiveCell.Range("A1:G7").Value i =i +1 Else j =1 k=k+ 1 ActiveCell.Offset(j * 7, k * 7).Range("A1:G7").Value = ActiveCell.Range("A1:G7").Value i =i +1 End If Else j =j - 1 i =i +1 End If Loop 'Datum terugzetten' Range("B1") = 29393 End Sub

63

Creatie van gemiddelde volatiliteitoppervlakken 'Van de eerder geëxtraheerde data, nu het gemiddelde nemen' Sub Average() hor = 0 ver = 0 For hor = 0 To 5 For ver = 0 To 5 Teller = 0 Noemer = 0 'De eerder gecrëerde matrix en submatrix doorlopen' For i = 0 To 10 For j = 0 To 39 Range("CF68").Activate If (ActiveCell.Offset(ver + i * 7, hor + j * 7).Range("A1")) > 0 Then Noemer = Noemer + 1 Teller = (Teller + ActiveCell.Offset(ver + i * 7, hor + j * 7).Range("A1").Value) Else End If Next j Next i

Range("CF147").Activate ActiveCell.Offset(ver, hor).Range("A1").Value = (Teller / Noemer) Next ver Next hor End Sub

64

Voorbereiding data Sub LoadDistr() 'Deze functie laad de volatiliteitoppervlakken in hun geheel binnen' i =0 j =0 Do Until i = 637 Sheets("M Volatility Surface").Select Range("B1") = 30030 - i If IsNumeric(Range("L8")) Then Range("C3:BX14").Select Selection.Copy Sheets("M Sigma Distributie").Select Range("A2").Offset(12 * j, 0).Activate Selection.PasteSpecial Paste:=xlPasteValuesAndNumberFormats, Operation:= _ xlNone, SkipBlanks:=False, Transpose:=False j=j+1 i = i +1 Else i = i +1 End If Loop Sheets("M Volatility Surface").Select Range("B1") = 30030 End Sub

65

12. Methode voor interpolatie van Thomson Reuters

Stage 1:Identifying the maturities For example, let’s suppose its 1st September 2001, the option class AAA trades a monthly cycle with expiry dates; MM/YY Expiry Date

Time to Expiry (in days)

Sep 01 28/09/01

28

Oct 01 28/10/01

58

Nov 01 28/11/01

89

The first stage consists in identifying the two nearest expiry months either side of the calculation period, for 30 days constant maturity the Sep 01 and Oct 01 months are identified. Stage 2: Identifying the strike price The next stage consists in enclosing the last price of the underlying option class index by two strike prices. If the underlying price of AAA was 5415, then the two strike nearest this value may be 5400 and 5450 respectively. Implied volatility for one strikes below underlying (5400) and one above (5450) are obtained. Stage 3: Interpolation using residual strike prices Stage 3 consists in computing the value of interpolated implied volatility at the money, using a virtual strike price of 5415, (interpolation of 5400 and 5450 values). Stage 4: Interpolation using maturities The last stage includes an interpolation of the maturities so that we at 30 days maturity . A graphical representation is given below: Implied vol. value Interpolation 30 day/constant implied vol. Strike 5450

Underlying 5415

Strike 5400

Maturity t1 = 28 30 days

t2 = 58

66