Vektory a matice Jiří Militký Katedra textilních materiálů Technická Universita Liberec, Červeně označené slide jsou jen pro doplnění informací a nezkouší se.
Matice
Matice je obdélníkové pole čísel (funkcí)
A
⎡1 2 3 ⎤ A = ⎢⎢5 4 1 ⎥⎥ ⎢⎣6 7 4 ⎥⎦
⎡a11 a12 ⎢a ⎢ 21 a22 ⎢ ⎢ ⎣am1
a1n ⎤ ⎥ ⎥ ⎥ ⎥ amn ⎦
⎡1 4 ⎤ C = ⎢⎢ 2 7 ⎥⎥ ⎢⎣ 3 8 ⎥⎦ ⎡ d11 D = ⎢⎢ d 21 ⎢⎣ d31
d12 d 22 d32
Velikost matice je „počet řádků x počet sloupců“(zde: m x n). Poloha elementů aij matice A je identifikována pomocí indexů (řádkový a sloupcový). Elementy mohou být čísla, proměnné nebo funkce proměnných.
d13 ⎤ d 23 ⎥⎥ d33 ⎥⎦
Prvkové operace ⎡a a ⎤ ⎡b s maticemi ⎢a a ⎥ + ⎢b
11
12
11
21
22
21
⎢a ⎣ 31
⎢b ⎣ 31
c12 ⎤ c 22 ⎥ c 32 ⎥⎦
Jsou možné jen pro a11 + b11 = c11 , a12 + b12 = c12 , matice stejných rozměrů a21 + b21 = c 21 , a22 + b22 = c 22 , Maticové sčítání (odčítání) a31 + b31 = c 31 , a32 + b32 = c 32 Komutativní: ⎡1 3 ⎤ ⎡6 2⎤ ⎡7 5⎤ A+B=B+A +⎢ =⎢ ⎢ ⎥ ⎥ ⎥ Asociativní: 4 7 3 1 7 8 ⎣ ⎦ ⎣ ⎦ ⎣ ⎦ (A+B)+C=A+(B+C)
a32 ⎥⎦
b12 ⎤ ⎡ c11 b22 ⎥ = ⎢ c 21 b32 ⎥⎦ ⎢⎣ c 31
Násobení matice skalárem
cA = Ac pokud ⎡ba11 Extrakce C = ⎢ba21 ⎢ba ⎣ 31
⎡1 3 ⎤ ⎡5 15 ⎤ 5* ⎢ =⎢ ⎥ ⎥ 4 7 20 35 ⎣ ⎦ ⎣ ⎦
je c skalár ba12 ⎤ ⎡ a11 a12 ⎤ ba22 ⎥ pak C = bA kde A = ⎢ a21 a22 ⎥ ⎢a ⎥ ba32 ⎥⎦ ⎣ 31 a32 ⎦
Maticové násobení
C
=
A
B
(m x n)= (m x p) (p x n)
Počet sloupců první matice musí být stejný jako počet řádků druhé matice Asociativní: (A B) C = A (B C) Distributivní: A (B+C) = A B + A C Není komutativní: AB ≠ BA
⎡7 1 2 3 ⎡ ⎤⎢ C=A B=⎢ ⎥ ⎢8 4 5 6 ⎣ ⎦⎢ ⎣9
C jk = ∑ l =1 Ajl Blk p
Sloupcové součty 1A
⎡1 4 7⎤ A1 = ⎡⎣1 1 1⎤⎦ ⎢2 5 8⎥ = ⎡⎣6 15 24 ⎤⎦ ⎢⎣3 6 9⎥⎦ 1 = ⎡⎣1 1 1⎤⎦
1⎤ ⎡ 1 × 7 + 2 × 8 + 3 × 9 1 × 1 + 2 × 2 + 3 × 3 ⎤ ⎡ 50 14 ⎤ ⎥ 2⎥ = ⎢ ⎥ = ⎢122 32 ⎥ 4 7 5 8 6 9 4 1 5 2 6 3 × + × + × × + × + × ⎣ ⎦ ⎣ ⎦ 3 ⎥⎦
Transpozice matic A
T
= ⎡1 2 3 ⎤ ⎢⎣ 4 5 6 ⎥⎦
⎡1 4 ⎤ A = ⎢2 5 ⎥ ⎢⎣3 6 ⎥⎦
Pro čtvercové matice lze definovat A0=E , An= A*A. n-krát
AnAm=An+m, (An)m = Anm
⎡1 4 ⎤ A = ⎢2 5 ⎥ A T = ⎡ 1 2 3 ⎤ ⎢⎣ 4 5 6 ⎥⎦ ⎢⎣3 6 ⎥⎦
⎛ a11 ⎜ ⎜ ⎜a ⎝ m1
T
a1n ⎞ ⎛ a11 ⎟ ⎜ ⎟ =⎜ amn⎟⎠ ⎜⎝a1n
am1 ⎞ ⎟ ⎟ amn⎟⎠
Platí, že: B=AT pokud Bij = Aji ∀ i,j (AT)T = A (A B)T = BT AT (A+B+C)T = AT+BT+CT
Násobení matice vektorem Skalární Výsledek je vektor
⎛| | ⎜ a a 1 2 ⎜ Ab ⎜| | ⎝
⎛ a11 ⎜ ⎜ ⎜a ⎝ m1
⎛ ∑ a1i bi ⎞ a1n ⎞ ⎛ b1 ⎞ ⎜ i ⎟ ⎛ < radek1 , b > ⎞ ⎟⎜ ⎟ ⎜ ⎟ ⎟=⎜ = ⎟⎜ ⎟ ⎜ ⎟ ⎟ ⎜ ⎟ ⎜ ⎟ ⎜ amn ⎠ ⎝ bn ⎠ ⎜⎜ ∑ ami bi ⎟⎟ ⎝ < radek m , b > ⎟⎠ ⎝ i ⎠
| ⎞⎛ b1 ⎞ ⎛|⎞ ⎛ | ⎞ ⎛ | ⎞ ⎟⎜ ⎟ ⎜ ⎟ ⎜ ⎟ ⎜ ⎟ an ⎟⎜ ⎟ = b1 ⎜ a1 ⎟ + b2 ⎜ a2 ⎟ + … + bn ⎜ an ⎟ ⎟ ⎜|⎟ ⎜ | ⎟ ⎜ | ⎟ | ⎟⎜ b ⎠⎝ n ⎠ ⎝ ⎠ ⎝ ⎠ ⎝ ⎠
Vektorové -Výsledek je matice : lineární kombinace sloupců matice A
Trojúhelníkové matice • Pokud jsou diagonální prvky trojúhelníkové matice B nenulové je B invertovatelná • Součin dolní (horní) trojúhelníkové matice je dolní (horní) trojúhelníková matice • Inverse (invertovatelné) dolní (horní) trojúhelníkové matice je dolní (horní) trojúhelníková matice det (U) = u11 u22 ..u nn det (L) = l11 l22 ..l nn
Horní trojúhelníková
Dolní trojúhelníková
Geometricky je vektor proměnná mající velikost a směr
Vektory
⎡vn ⎤ v=⎢ ⎥ ⎣ve ⎦
b
Column ⎡1 ⎤ vector ⎢ ⎥
b = ⎢1 ⎥ ⎢⎣ 2 ⎥⎦
Vektor je jednoduše matice obsahující buď jeden sloupec (sloupcový vektor) nebo řádek (řádkový vektor). y
v
cv x
if a A = [3 4 5]
⎡3 ⎤ thenaT AT = ⎢⎢4⎥⎥ ⎢⎣5 ⎥⎦
av = a ( x1 , x2 ) = ( ax1 , ax2 ) Transpozice (vektorů a matic): záměna řádků za sloupce (resp. naopak). Standard: sloupcový vektor (bez transpozice) ⎡1 5 6 ⎤ ⎡1 2 3 ⎤ ⎢2 4 7⎥ T ⎢ ⎥ Symetrické matice A = A = ⎢5 4 1 ⎥ ⎢ ⎥ T ⎢⎣ 3 1 4 ⎥⎦ A=A ⎢⎣6 7 4 ⎥⎦
A
Sčítání vektorů
B
C B
Pro dva vektory x a y je jejich součet roven součtu složek 2
dx y = [ y1 y2 ]
A
⎡ x1 + y1 ⎤ ⎣⎢x2 + y2 ⎥⎦
dy x = [ x1 x2 ]
θ 1
x y x = ⎡ x1 ⎤ , y = ⎡ y1 ⎤ ⎢⎣ 2 ⎥⎦ ⎢⎣ 2 ⎥⎦
x + y x + y = ⎡ x 1 + y1 ⎤ ⎢⎣ 2 2⎥ ⎦
|| x || = (x12+ x22 )1/2 2
x
Délka vektoru
x2 1 x1
Délka vektoru je odmocnina ze skalárního součinu vektoru se sebou (stejným vektorem) Jednotkový vektor u
dx = x =
2 T T x = x x = x x ∑i
x u= Čistý směr dx
i
Skalární součin vektoru se stejným vektorem je tedy čtverec jeho délky Pythagorova věta: || x || = (x12+ x22 )1/2
x2
x x1
x1
Vektorové operace
xT y = [ x1
x2 ... xn ]
⎡ y1 ⎤ ⎢y ⎥ n ⎢ 2⎥ = ∑x y ⎢ ⎥ i =1 i i ⎢ ⎥ ⎣ yn ⎦
Vnitřní součin - skalární (výsledek je skalár) ⎡ y1 ⎤ T < x , y > = x y ⎢ ⎥ T x y = [ x1 x2 x3 ] ⎢ y2 ⎥ = ⎢⎣ y3 ⎥⎦
= yT x
3
x1 y1 + x2 y2 + x3 y3 = ∑ xi yi i =1
Vnější součin - vektorový (výsledek je matice)
⎡ x1 ⎤ xy T = ⎢⎢ x2 ⎥⎥ [ y1 ⎢⎣ x3 ⎥⎦
y2
⎡ x1 y1 y3 ] = ⎢⎢ x2 y1 ⎢⎣ x3 y1
x1 y2 x2 y2 x3 y2
x1 y3 ⎤ x2 y3 ⎥⎥ x3 y3 ⎥⎦
Vzdálenost vektorů
Eukleidovská vzdálenost
(x
d(x , y) =
d(x , y) =
(x
Manhattanská vzdálenost Vzdálenost od počátku
z r
1
− y1 ) +
+ ( xm − ym ) =
1
− y1 ) +
+ ( xm − ym ) =
2
Minkowského vzdálenost p
Ekvidistantní vzdálenosti (r) od bodu z
p
∑(x
2
p
i
p
d(x , y) = ∑ x i − y i d(0, x) =
(x
i
1
− 0) + 2
∑ (x i
i
− yi )
i
− yi )
+ ( xm − 0) = 2
2
p
2 x ∑ i i
Eukleidovská vzdálenost v R3 (1.00 − 0.00 ) + ( 0.00 − 0.3162 ) + ( 0.00 − 0.9487 ) = 1.414 ) = (1.00 − 0.00 ) + ( 0.00 + 0.9556 ) + ( 0.00 − 0.2946 ) = 1.414 2
d(z1 , z 2 ) = d(z1 , z 3
d(z 2 , z 3 ) =
2
2
2
2
2
( 0.00 − 0.00 ) + ( 0.3162 + 0.9556 ) + ( 0.9487 − 0.2946 ) = 1.430 3 1.430 2
⎡0.0000⎤ z2 = ⎢0.3162⎥ ⎢⎣0.9487⎥⎦
2
2
⎡ 0.0000⎤ z3 = ⎢-0.9556⎥ ⎢⎣ 0.2946⎥⎦
1.414 1.414 2
⎡1.00⎤ z1 = ⎢0.00⎥ ⎢⎣0.00⎥⎦
1
Úhel mezi dvěma vektory
Kolineární vektory: xT y = || x ||*|| y ||
sin θ =
y2
sin β =
x2
y x
cos θ =
y1
cos β =
x1
x
y x
y
y
α
θ
β
x
y1
y1 x1 + y2 x2 cos α = cos( β − θ ) = cos β cos θ + sin β sin θ = x y xT y cos α = x y xT y = x y cos α
Ortogonální vektory: xT y = 0
x
α =π /2
y
x⊥y
y2
Význam úhlu mezi osou x a vektorem a = b = 1.
2
Cos θ = 0
a b = cos ( θ ) T
-1 ≤ Cos θ ≤ 0
0 ≤ Cos θ ≤ 1
θxy
Cos θ = -1
-1 ≤ Cos θ ≤ 0
Cos θ = 1 1
0 ≤ Cos θ ≤ 1 Cos θ = 0
Projekce vektoru
⎡ 0.8 ⎤ 1.0 ] ⎢⎣ 0.3 ⎥⎦ x Ty y = 2 dy ⎤ [0.8 0.3] ⎡⎢⎣0.8 0.3 ⎥⎦ 0.8 ⎤ = 1.0685 ⎡ = ⎢⎣ 0.3 ⎥⎦
[0.6
⎡ 0.8 ⎤ = ⎛ 0.78 ⎞ ⎜ ⎟ ⎢⎣ 0.3 ⎥⎦ ⎝ 0.73 ⎠
⎡ 0.8 ⎤ ⎢⎣ 0.3 ⎥⎦
⎡ 0.8548 ⎤ ⎢⎣ 0.3205 ⎥⎦
Projekce lx vektoru x na vektor y je rovna délce projekce px násobené jednotkovým vektorem ve směru y
xT y p x = cos (θ) *d x = dy x
2
0.6 x = ⎡ ⎤ ⎢⎣1.0⎥⎦
v kolmé na y
projekce x na y
y
⎛ xT y ⎞ l x = px y / d y = ⎜ 2 ⎟ y ⎜ dy ⎟ ⎝ ⎠ Chybový vektor v = x – lx je kolmý na y
0.8 y = ⎡ ⎤ ⎢⎣0.3⎥⎦
vTy= (x – lx)Ty = 0
1
Vzdálenost od roviny Rovina je definována bodem p v rovině a jednotkovým normálovým vektorem n. Hledá se vzdálenost bodu x od této roviny.
vzdálenost = ( x − p ) n T
Vzdálenost je délka projekce vektoru x-p na vektor n
•x n p•
x-p
Zákon sínů a kosínů
Zákon kosínů:
c = a + b − 2ab cos γ 2
α
Zákon sínů:
a b c = = sin α sin β sin γ
2
2
b γ
c β
a
Ortogonální vektory jsou vždy lineárně nezávislé
Lineární nezávislost Vektory {v1, v2, …, vk} jsou lineárně nezávislé pokud platí, že: α1v1 + α2v2 + … + αkvk = 0 jen když αi = 0 pro všechna i
To znamená, že žádný vektor nelze získat jako lineární kombinaci ostatních vektorů.
Paralelní vektory jsou vždy lineárně závislé
w
v
Vektorové prostory
V ≠ ∅ (neprázdná množina vektorů) v, w ∈ V ⇒ v + w ∈ V v ∈ V, α je skalár ⇒ αv ∈ V
{v1, v2, …, vn} jsou lineárně nezávislé bázové vektory {v1, v2, …, vn} pokrývají celý vektorový prostor V:
V = {α1v1 + α2v2 + … + αnvn , αi jsou skaláry} Každý vektor v V je jednoznačná lineární kombinace bázových vektorů. Počet bázových vektorů definuje dimenzi vektorového prostoru. z Pro prostor R3 – jsou standardně bázové ortogonální vektory x, y, z y (označované často jako i, j, k ) x
Maticové vyjádření
Nechť {v1, v2, …, vn} ´jsou bázové pro prostor V Každý vektor v∈V je jednoznačně definován jako
v = α1v1 + α2v2 + … + αnvn
⎛ α1 ⎞ ⎜ ⎟ v=⎜ ⎟ ⎜α ⎟ ⎝ n⎠
Vektor v je vlastně sloupcový vektor: Bázové vektory jsou pak pro Rm sloupce jednotkové matice: ⎛1⎞ ⎛0⎞ ⎛ 0⎞ ⎜0⎟ ⎜1⎟ ⎜ 0⎟ ⎜ ⎟, ⎜ ⎟, ⎜ ⎟ ⎜ ⎟ ⎜ ⎟ ⎜ ⎟ ⎜ ⎟ ⎜ ⎟ ⎜ ⎟ 0 0 ⎝ ⎠ ⎝ ⎠ ⎝1⎠
B je bázová matice
Ortonormální báze Ortonormální báze:
v1 ,..., v n
Párová ortogonalita:
vi ⊥ vi '
Jednotková délka:
vi , vi = 1 i = 1,..., n n
“Spektrální“ representace
x, v i = Maticově :
n
∑a i '=1
vi , vi ' = 0
x = ∑ ai vi n
i'
i =1
i ≠ i'
ai = x, vi
vi ' , vi = ∑ a i ' vi ' , vi = a i
x = Ba
i '=1
a = BT x
a se označuje jako “transformace (např. Fourierova, Wavelet)
Speciální matice I
Diagonální matice 0 0 ⎤ ⎡ 3 0 0 ⎤ ⎡a11 0 ⎢ 0 a22 0 0 ⎥ ⎢ ⎥ D= 0 2 0 ⎢ 0 0 a33 0 ⎥ ⎢ ⎥ ⎢0 ⎥ 0 0 a ⎢ ⎥ 0 0 5 44 ⎦ Jednotková matice ⎣ ⎦ ⎣ Anti symetrická matice EA= AE=A T = A A ⎡1 0 0 ⎤ Pokud je A čtvercová matice je ⎢ ⎥ T symetrická a A – AT je E= 0 1 0 A + A ⎢ ⎥ anti symetrická matice ⎢0 0 1 ⎥
⎣
⎦
Symetrická matice B = BT bij = bji
⎡3 4 2⎤ B = ⎢4 5 2⎥ ⎢ ⎥ ⎢⎣ 2 2 7 ⎥⎦
Idempotentní matice A2 = A
Dvě čtvercové matice A a B komutují, pokud AB = BA
= 1 ⇒ ||vi|| = 1
Ortogonální matice v
= 0 1
E=
ATA
=
v2
v1 v2
vn
=
viTvj = δij
vn Ortogonální matice A = [v1 | v2 | … vj …| vn] . vj je j tý sloupec:
vjT vk = 0 (pro j ≠ k) vjT vj = djj,
Matice D je diagonální AT A = D
Ortonormální matice A = [v1 | v2 | … vj …| vn] . qj je j tý sloupec: vjT vk = 0 (pro j ≠ k) vjT vj = 1,
Matice E je jednotková AT A = E A-1 = AT
Pokud je determinant systému n rovnic o n neznámých větší než nula má tato soustava právě jedno řešení.
Determinant ⎡a b ⎤ A=⎢ ⎥ c d ⎣ ⎦ ⎡ a A=⎢ d ⎢ ⎢⎣ g
det(AB)=det(BA)=det(A)det(B)
det (A) = ad - bc
det(cA)=cndet(A) det(A-1)=1/det(A)
c ⎤ ⎛⎡ e f ⎤⎞ ⎛ ⎡d f ⎤ ⎞ ⎛ ⎡d − + b c det( A) = a det ⎜ ⎢ det det ⎜⎢ ⎜⎢ ⎥⎟ ⎥⎟ ⎥ h i g i ⎦⎠ ⎦⎠ ⎝⎣ ⎝⎣ ⎝ ⎣g e f ⎥ h i ⎥⎦ Vlastnosti Determinant je definován pouze pro čtvercové matice A (n x n) = [a ij ] Pokud det(A) = 0, je matice A is singulární a matice A-1 neexistuje n det( A) = a1 j (−1)(1+ j ) M 1 j Pokud det(A) ≠ 0, je matice A nej =1 singuární , a matice A-1 existuje
∑
b
e⎤ ⎞ ⎟ h ⎥⎦ ⎠
Determinanty 2x2 matice
3x3 matice
⎡a A = ⎢ 11 ⎣a21
a12 ⎤ a22 ⎥⎦
⎡ a11 A = ⎢a21 ⎢a ⎣ 31
det A = A = a11
a22 a32
det( A) = a11a22 - a12 a21 a12 a22 a32
a13 ⎤ a23 ⎥ a33 ⎥⎦
a23 a - a12 21 a33 a31
a23 a + a13 21 a31 a33
a22 a32
det A = A = a11a22 a33 - a11a23a32 + a12 a23a31 - a12 a21 a33 + a13 a21 a32 - a13 a22 a31
A = ⎡1 2 ⎤ ⎢⎣3 4 ⎥⎦
Stopa matice
Stopa tr(A) čtvercové matice A je součet jejích diagonálních elementů n
tr ( A ) = ∑ aii i=1
n
tr ( A ) = ∑ aii = 1 + 4 = 5 i=1
Vlastnosti Pro skalár c, tr(cA) = c[tr(A)] tr(A ± B) = tr(A) ± tr(B) tr(AB) = tr(BA) tr(B-1AB) = tr(A)
(
)
n
m
tr AA T = ∑ ∑ aij2 i=1 j=1
Inverzní matice Vlastnosti
Inverse matice A (n x n) existuje pouze pokud má tato matice hodnost rovnou n ( rank A = n ).
A-1 A = A-1 A = E
A-1 lze určit pouze pro čtvercovou matici A (n x n) Pokud A-1 existuje, je A nesingulární (invertabilní) (A B) -1 = B-1 A-1, c A-1=(1/c)A-1 B-1 A-1 A B = B-1 B = E (AT) -1 = (A-1)T (A-1)T AT = (A A-1)T = E
⎡3 0 0⎤ D D−1 = ⎢⎢0 2 0⎥⎥ ⎢⎣0 0 5⎥⎦
⎡1 ⎢3 ⎢ ⎢0 ⎢ ⎢ ⎢0 ⎢⎣
⎤ 0 0⎥ ⎥ ⎡1 0 0⎤ 1 ⎥ ⎢ 0 = ⎢0 1 0⎥⎥ = E 2 ⎥ ⎢0 0 1⎥⎦ 1 ⎥⎥ ⎣ 0 5 ⎥⎦
Výpočet inverzní matice ⎡a b ⎤ A=⎢ ⎥ c d ⎣ ⎦
⎡ x1 A =⎢ ⎣ x3 −1
ax1 +cx2 bx1 + dx2
=1 =0 ax3 bx3
+ cx4 + dx4
=0 =1
x2 ⎤ x4 ⎥⎦
⎡ x1 A A=⎢ ⎣ x3 −1
x2 ⎤ ⎡ a b ⎤ ⎡1 0 ⎤ = =E x4 ⎥⎦ ⎢⎣ c d ⎥⎦ ⎢⎣ 0 1 ⎥⎦
1 − cx2 a b 1 − cx2 1 b b + dx2 = 0 ⇒ x2 = =− a (bc − ad ) det( A) … x1 =
1 ⎡ d −b ⎤ A = det( A) ⎢⎣ −c a ⎥⎦ −1
Pro invertaci matic lze použít celé řady metod od Gauss-Jordanovy resp. Gaussovy eliminace až po různé rozklady matic ( LU ).
Hodnost matice
⎡1 2 5 ⎤ A = ⎢3 4 11⎥ ⎢⎣6 5 16 ⎥⎦ x3=x1+2x2
Hodnost matice rank (A) je určena jako menší číslo z počtu nezávislých řádků resp. sloupců. Transponovaná matice má tedy stejnou hodnost jako původní matice. Pokud je hodnost matice A (n x n) = n , je tato matice ne singulární. Pro určení hodnosti matice lze určit počty nezávislých řádků resp. sloupců např. pomocí Gauss Jordanovy eliminace.
Lineárně nezávislé
Lineárně závislé
Vlastní vektory jsou Vlastní čísla invariantní vůči lineární transformaci a vlastní vektory O
Nechť je A nxn matice a uvažujme soustavu rovnic:Av = λv Hodnota λ pro kterou má tato soustava řešení v≠0 se nazývá vlastní číslo matice A. Platí: tr(A)=Σ λi , det(A)=Π λi Odpovídající řešení v je pak vlastní vektor matice A.
Av=λv Av - λv = 0 (A- λE)v = 0 To je homogenní lineární soustava rovnic, která má netriviální řešení, jen pokud je A- λE singulární, tj. její determinant je roven nule. Pro výpočet vlastních čísel je třeba řešit rovnici det(A- λE)=0.
Av = λv ⇒ A(αv) = λ(α v) ⇒ α v je také vlastní vektor Av = λv, Aw = λw ⇒ A(v+w) = λ(v+w) Vlastní vektory pro stejné λ tvoří lineární podprostor.
Výpočet vlastních čísel
A-1(Ax) = A-1 0 (A-1A)x = 0 Ex=0 x = 0 , Ax = 0 má a triviální řešení
Nenulové řešení Ax = λx odpovídá det(A –λ E) = 0 Ax = λx ⇔ Ax – λx = 0 ⇔ Ax – λEx = 0 ⇔ (A−λE)x = 0 det(A –λ E) je polynom stupně n. (charakteristický polynom). Kořeny polynomu jsou vlastní čísla. Pro liché n je alespoň jedno λ reálné Matice: Pro vlastní čísla platí, det(A-λE) = 0:
det( A − λ E) =
−5 − λ 2
2
⎡ −5 2 ⎤ A=⎢ ⎥ − 2 2 ⎣ ⎦
−2−λ
= (−5 − λ )(−2 − λ ) − 4 = λ 2+ 7λ + 6
Vlastní čísla -1 a -6. jsou pak řešením kvadratické rovnice.
Vlastní vektory
Vlastní vektory x se běžně normalizují xTx = 1.
Každému vlastnímu číslu λ odpovídá vlastní vektor x. Tento vektor lze určit dosazením λ do vztahu : Ax = λx ⎡− 5 2 ⎤ Např. -5x1 + 2x2 = λx1 A=⎢ ⎥ 2 − 2 2x1 – 2x2 = λx2 ⎣ ⎦ Při dosazení λ=-1, resultuje x2 = 2x1. Po volbě např. x1 = 1, vyjde odpovídající vlastní vektor roven ⎡1 ⎤
x1 = ⎢ ⎥ ⎣2⎦
Při dosazení λ=-6, resultuje x1 = -2x2 a pak při volbě x2 = -1 vyjde
⎡ 2⎤ x2 = ⎢ ⎥ ⎣ −1⎦
Spektrum matice Všechna vlastní čísla matice A tvoří její spektrum. Matice A je diagonalizovatelná pokud má A právě n nezávislých vlastních vektorů (tvoří matici V). Pak AV = VD Av1 = λ1 v1 Av 2 = λ2 v 2 Av n = λn v n
λ1
A
v1 v2
vn
=
v1 v2
λ2
vn
λn
Spektrální rozklad Každá symetrická matice A (m x m) se dá vyjádřit pomocí lineární kombinace vlastních čísel a vlastních vektorů (λi, vi) m
A = ∑ λi vi v i =1
T i
a její inverze
A = ⎡2 4 ⎤ ⎢⎣ 4 −4 ⎥⎦ ⎡ 1 ⎤ ⎡2 ⎤ 5⎥, v = ⎢ 5⎥, v1 = ⎢ 2 ⎢ -2 ⎥ ⎢ 1 ⎥ ⎢⎣ ⎢⎣ 5 ⎥⎦ 5 ⎥⎦
λ1 = - 6 a λ2 = - 4
k
A = ∑ λi vi v
T i
m
A -1 = ∑ λ i−1v i v iT i =1
i=1
⎡ 1 ⎤ ⎡2 ⎤ 5⎥ ⎡ 1 5⎥ ⎡ 2 -2 ⎤ + 4 ⎢ = -6 ⎢ ⎢ -2 ⎥ ⎢⎣ ⎢ 1 ⎥ ⎢⎣ 5 5 ⎥⎦ 5 ⎢⎣ ⎢⎣ 5 ⎥⎦ 5 ⎥⎦ ⎡ 1 -2 ⎤ ⎡4 2 ⎤ = -6 ⎢ 5 5 ⎥ + 4 ⎢ 5 5 ⎥ = ⎡2 4 ⎤ = A ⎢-2 5 4 5 ⎥ ⎢ 2 5 15 ⎥ ⎢⎣4-4⎥⎦ ⎣ ⎦ ⎣ ⎦
1
⎤ 5 ⎥⎦
Spektrum a diagonalizace Pokud je A diagonalizovatelná, platí A = VDV−1, kde D je diagonální matice A je vlastně škálování podél os vlastních vektorů! A = VDV
−1
Av1 = λ1 v1 Av 2 = λ2 v 2 Av n = λn v n
λ1
A
=
v1 v2
−1
λ2 v1 v2
vn
λn
vn
y y’ x’
Diagonalizace
A ortonormální báze
V rotace reflexe
x
D
A je normální pokud AAT = ATA.
Symetrická matice A = AT. jiná Normální n×n matice mají ortonormální právě n lineárně báze nezávislých vlastních vektorů. Pokud je A symetrická, má všechny vlastní čísla reálná a vlastní vektory jsou ortonormální
SVD I Spektrální rozklad obdélníkové matice A (m x k) při použití vlastních čísel a vlastních vektorů čtvercových matic ATA resp. (AAT). Existují ortogonální matice U (m x m), V (k x k) takové, že Singulární čísla matice A A = UΣV’ Diagonální matice Σ má i-tý diagonální prvek element σi ≥ 0 pro i = 1, 2,…, min (m,k) a 0 pro ostatní elementy. SVD je také maticový rozklad závislý na hodnosti r matice A. r
A = ∑ σiui v iT = Ur Σ r VrT i=1
positivní konstanty σ1, σ 2,…, σr, (singulární čísla) - ortogonální jednotkové vektory (m x 1) u1, u2, …, ur, - ortogonální jednotkové vektory (k x 1) v1, v2, …, vr,
-
5
2
4
SVD II
3
1 2 4.0
4.5
5.0
5.5
6.0
Matice AAT má vlastní čísla a vektory (λi, ui), a tedy
AA T ui = λ i2ui = σiui
−1 i
T
v i = λ A ui
λ i>0, i=1,...,r a λ i =0, i=r+1,...,m (pro m>k) Matice ATA má vlastní čísla a vektory (λi, vi), a tedy T
2 i
A Av i = λ v i = σi v i
−1 i
ui = λ Av i = σi Av i
λ i>0, i=1,...,r a λ i =0, i=r+1,...,k (pro k>m) Singulární čísla matice A (σi) tedy souvisí s vlastními čísly (symetrických) matic ATA a AAT σ = λ i
i
Odstranění šumů A
=
Ak = U diag (σ 1 ,..., σ k ,0,...,0)V nejmenších r-k singulárních čísel je nulových
U
rysy
∑
k
σ u v i i i =1
T i
VT výnamný
šum šum
=
významný
výz.
objekty
Ak =
Σ
šum
Součet matic hodnosti 1
T
Zkrácená SVD 0 0
(n x m) (n xm ) (m x m) (m x n) Pro zkrácenou SVD je matice Σ (m x m) diagonální a obsahuje na diagonále tzv. singulární čísla matice A. Regrese Matice U (n x m) a V (m x n) y = X*b + ε jsou ortogonální a normované
U U=E T
T −1
V V=E T
−1
b = (V ) S o −1
b = VS U y T
o=U y T
y 3 ep 2ep
Přesnost řešení MNČ bk obsahuje odhady parametrů počítané klasickou inverzí, bp obsahuje odhady počítané s využitím pseudoinverse, bz obsahuje odhady počítané s využitím zpětného lomítka (MATLAB), bsm obsahuje odhady počítané s využitím SVD, brs obsahuje odhady počítané s využitím rozkladu na vlastní čísla.
x1 1 ep 0
x2 1 0 ep
ep je přesnost (malé číslo). korektní řešení je b1=1 a b2=2 Výsledky¨ep=10-7 bz bp bsm 1.0000 0.9790 1.0000 2.0000 2.0210 2.0000
bk 0.9996 2.0004 bk NaN NaN
brs 0.9996 2.0004
Výsledky ep=10-8¨-10-15 bz bp bsm brs 1.0000 1.5000 1.0000 1.5000 2.0000 1.5000 2.0000 1.5000
bk NaN NaN
Výsledky ep=10-16 a menší¨ bz bp bsm brs 3.0000 1.5000 1.0000 1.5000 0 1.5000 2.0000 1.5000
Kvadratická forma
Pokud je Q(x) = xTAx > 0 pro vektory x ≠ 0, označuje se A jako positivně definitní.
Kvadratická forma je funkce Q(x) = xTAx Vektor x má m složek x1,…,xm , matice A (m x m) je symetrická.
Nechť xTAx = c2. Pro m = 2 tvoří všechna x splňující tuto rovnici elipsu c2 = λ1(xTix)2 + λ2(xTiy)2 . i2
i1
-A je positivně semidefinitní matice, pokud λi ≥ 0, pro i = 1,…,rank(A) - A je positivně definitní matice, pokud λi > 0, pro i = 1,…,rank(A)
Vektor x = cλ1 -1/2 i1 vyhovuje rovnici elipsy ve směru i1 a má délku cλ1 -1/2
Kvadratická forma - příklad Kvadratická forma obsahuje pouze druhé mocniny a m m smíšené členy
Q ( x ) = ∑ ∑ aij x i x j
Příklad
i=1 j=1
⎡ x1 ⎤ ⎡ ⎤ 1 4 x=⎢ ⎥ aA= ⎢⎣0 −2 ⎥⎦ ⎣x 2 ⎦
Q( x ) = x T Ax = x12 + 4x1 x 2 - 2x 22
Zatím vše !!!
