Geometrické vektory Martina Šimůnková Katedra aplikované matematiky
9. března 2008
Martina Šimůnková (KAP)
Geometrické vektory
9. března 2008
1 / 27
Definice geometrického vektoru
1
Definice geometrického vektoru
2
Operace s geometrickými vektory
3
Souřadnice geometrických vektorů
4
Baze (v rovině a v trojrozměrném prostoru)
5
Souřadnice vektorů a operace s vektory
6
Otočená soustava, transformační matice
7
Změna souřadnic v kosoúhlých soustavách, matice přechodu
8
Tři baze a násobení matic přechodu
Martina Šimůnková (KAP)
Geometrické vektory
9. března 2008
2 / 27
Definice geometrického vektoru
Budeme vycházet z běžné středoškolské definice vektoru jako veličiny, která je určena směrem, velikostí a orientací. Tato názorná představa má jednu výjimku, a sice nulový vektor – vektor o nulové velikosti nemající směr ani orientaci. Pod geometrickým vektorem budeme rozumět množinu orientovaných úseček o stejné nenulové délce, směru a orientaci, případně množinu úseček o nulové délce.
Vektory, které mají stejnou velikost a směr, ale opačnou orientaci, budeme nazývat opačnými vektory. Martina Šimůnková (KAP)
Geometrické vektory
9. března 2008
3 / 27
Definice geometrického vektoru
Budeme vycházet z běžné středoškolské definice vektoru jako veličiny, která je určena směrem, velikostí a orientací. Tato názorná představa má jednu výjimku, a sice nulový vektor – vektor o nulové velikosti nemající směr ani orientaci. Pod geometrickým vektorem budeme rozumět množinu orientovaných úseček o stejné nenulové délce, směru a orientaci, případně množinu úseček o nulové délce.
Vektory, které mají stejnou velikost a směr, ale opačnou orientaci, budeme nazývat opačnými vektory. Martina Šimůnková (KAP)
Geometrické vektory
9. března 2008
3 / 27
Definice geometrického vektoru
Budeme vycházet z běžné středoškolské definice vektoru jako veličiny, která je určena směrem, velikostí a orientací. Tato názorná představa má jednu výjimku, a sice nulový vektor – vektor o nulové velikosti nemající směr ani orientaci. Pod geometrickým vektorem budeme rozumět množinu orientovaných úseček o stejné nenulové délce, směru a orientaci, případně množinu úseček o nulové délce.
Vektory, které mají stejnou velikost a směr, ale opačnou orientaci, budeme nazývat opačnými vektory. Martina Šimůnková (KAP)
Geometrické vektory
9. března 2008
3 / 27
Definice geometrického vektoru
Budeme vycházet z běžné středoškolské definice vektoru jako veličiny, která je určena směrem, velikostí a orientací. Tato názorná představa má jednu výjimku, a sice nulový vektor – vektor o nulové velikosti nemající směr ani orientaci. Pod geometrickým vektorem budeme rozumět množinu orientovaných úseček o stejné nenulové délce, směru a orientaci, případně množinu úseček o nulové délce.
Vektory, které mají stejnou velikost a směr, ale opačnou orientaci, budeme nazývat opačnými vektory. Martina Šimůnková (KAP)
Geometrické vektory
9. března 2008
3 / 27
Definice geometrického vektoru
Budeme vycházet z běžné středoškolské definice vektoru jako veličiny, která je určena směrem, velikostí a orientací. Tato názorná představa má jednu výjimku, a sice nulový vektor – vektor o nulové velikosti nemající směr ani orientaci. Pod geometrickým vektorem budeme rozumět množinu orientovaných úseček o stejné nenulové délce, směru a orientaci, případně množinu úseček o nulové délce.
Vektory, které mají stejnou velikost a směr, ale opačnou orientaci, budeme nazývat opačnými vektory. Martina Šimůnková (KAP)
Geometrické vektory
9. března 2008
3 / 27
Definice geometrického vektoru
Budeme vycházet z běžné středoškolské definice vektoru jako veličiny, která je určena směrem, velikostí a orientací. Tato názorná představa má jednu výjimku, a sice nulový vektor – vektor o nulové velikosti nemající směr ani orientaci. Pod geometrickým vektorem budeme rozumět množinu orientovaných úseček o stejné nenulové délce, směru a orientaci, případně množinu úseček o nulové délce.
Vektory, které mají stejnou velikost a směr, ale opačnou orientaci, budeme nazývat opačnými vektory. Martina Šimůnková (KAP)
Geometrické vektory
9. března 2008
3 / 27
Definice geometrického vektoru
Budeme vycházet z běžné středoškolské definice vektoru jako veličiny, která je určena směrem, velikostí a orientací. Tato názorná představa má jednu výjimku, a sice nulový vektor – vektor o nulové velikosti nemající směr ani orientaci. Pod geometrickým vektorem budeme rozumět množinu orientovaných úseček o stejné nenulové délce, směru a orientaci, případně množinu úseček o nulové délce.
Vektory, které mají stejnou velikost a směr, ale opačnou orientaci, budeme nazývat opačnými vektory. Martina Šimůnková (KAP)
Geometrické vektory
9. března 2008
3 / 27
Definice geometrického vektoru
Budeme vycházet z běžné středoškolské definice vektoru jako veličiny, která je určena směrem, velikostí a orientací. Tato názorná představa má jednu výjimku, a sice nulový vektor – vektor o nulové velikosti nemající směr ani orientaci. Pod geometrickým vektorem budeme rozumět množinu orientovaných úseček o stejné nenulové délce, směru a orientaci, případně množinu úseček o nulové délce.
Vektory, které mají stejnou velikost a směr, ale opačnou orientaci, budeme nazývat opačnými vektory. Martina Šimůnková (KAP)
Geometrické vektory
9. března 2008
3 / 27
Definice geometrického vektoru
Budeme vycházet z běžné středoškolské definice vektoru jako veličiny, která je určena směrem, velikostí a orientací. Tato názorná představa má jednu výjimku, a sice nulový vektor – vektor o nulové velikosti nemající směr ani orientaci. Pod geometrickým vektorem budeme rozumět množinu orientovaných úseček o stejné nenulové délce, směru a orientaci, případně množinu úseček o nulové délce.
Vektory, které mají stejnou velikost a směr, ale opačnou orientaci, budeme nazývat opačnými vektory. Martina Šimůnková (KAP)
Geometrické vektory
9. března 2008
3 / 27
Operace s geometrickými vektory
1
Definice geometrického vektoru
2
Operace s geometrickými vektory Definice operací - sčítání, násobení číslem, lineární kombinace Vlastnosti operací s geometrickými vektory
3
Souřadnice geometrických vektorů
4
Baze (v rovině a v trojrozměrném prostoru)
5
Souřadnice vektorů a operace s vektory
6
Otočená soustava, transformační matice
7
Změna souřadnic v kosoúhlých soustavách, matice přechodu
8
Tři baze a násobení matic přechodu
Martina Šimůnková (KAP)
Geometrické vektory
9. března 2008
4 / 27
Operace s geometrickými vektory
Definice operací - sčítání, násobení číslem, lineární kombinace
Sčítání geometrických vektorů Součet ~a + ~b geometrických vektorů ~a, ~b získáme doplněním na rovnoběžník, případně trojúhelník.
Násobení geometrického vektoru číslem Násobek geometrického vektoru má stejný směr jako násobený vektor. Orientace a velikost násobku záleží na čísle, kterým násobíme.
Martina Šimůnková (KAP)
Geometrické vektory
9. března 2008
5 / 27
Operace s geometrickými vektory
Definice operací - sčítání, násobení číslem, lineární kombinace
Sčítání geometrických vektorů Součet ~a + ~b geometrických vektorů ~a, ~b získáme doplněním na rovnoběžník, případně trojúhelník.
Násobení geometrického vektoru číslem Násobek geometrického vektoru má stejný směr jako násobený vektor. Orientace a velikost násobku záleží na čísle, kterým násobíme.
Martina Šimůnková (KAP)
Geometrické vektory
9. března 2008
5 / 27
Operace s geometrickými vektory
Definice operací - sčítání, násobení číslem, lineární kombinace
Sčítání geometrických vektorů Součet ~a + ~b geometrických vektorů ~a, ~b získáme doplněním na rovnoběžník, případně trojúhelník.
Násobení geometrického vektoru číslem Násobek geometrického vektoru má stejný směr jako násobený vektor. Orientace a velikost násobku záleží na čísle, kterým násobíme.
Martina Šimůnková (KAP)
Geometrické vektory
9. března 2008
5 / 27
Operace s geometrickými vektory
Definice operací - sčítání, násobení číslem, lineární kombinace
Sčítání geometrických vektorů Součet ~a + ~b geometrických vektorů ~a, ~b získáme doplněním na rovnoběžník, případně trojúhelník.
Násobení geometrického vektoru číslem Násobek geometrického vektoru má stejný směr jako násobený vektor. Orientace a velikost násobku záleží na čísle, kterým násobíme.
Martina Šimůnková (KAP)
Geometrické vektory
9. března 2008
5 / 27
Operace s geometrickými vektory
Definice operací - sčítání, násobení číslem, lineární kombinace
Sčítání geometrických vektorů Součet ~a + ~b geometrických vektorů ~a, ~b získáme doplněním na rovnoběžník, případně trojúhelník.
Násobení geometrického vektoru číslem Násobek geometrického vektoru má stejný směr jako násobený vektor. Orientace a velikost násobku záleží na čísle, kterým násobíme.
Martina Šimůnková (KAP)
Geometrické vektory
9. března 2008
5 / 27
Operace s geometrickými vektory
Definice operací - sčítání, násobení číslem, lineární kombinace
Sčítání geometrických vektorů Součet ~a + ~b geometrických vektorů ~a, ~b získáme doplněním na rovnoběžník, případně trojúhelník.
Násobení geometrického vektoru číslem Násobek geometrického vektoru má stejný směr jako násobený vektor. Orientace a velikost násobku záleží na čísle, kterým násobíme.
Martina Šimůnková (KAP)
Geometrické vektory
9. března 2008
5 / 27
Operace s geometrickými vektory
Definice operací - sčítání, násobení číslem, lineární kombinace
Sčítání geometrických vektorů Součet ~a + ~b geometrických vektorů ~a, ~b získáme doplněním na rovnoběžník, případně trojúhelník.
Násobení geometrického vektoru číslem Násobek geometrického vektoru má stejný směr jako násobený vektor. Orientace a velikost násobku záleží na čísle, kterým násobíme.
Martina Šimůnková (KAP)
Geometrické vektory
9. března 2008
5 / 27
Operace s geometrickými vektory
Definice operací - sčítání, násobení číslem, lineární kombinace
Sčítání geometrických vektorů Součet ~a + ~b geometrických vektorů ~a, ~b získáme doplněním na rovnoběžník, případně trojúhelník.
Násobení geometrického vektoru číslem Násobek geometrického vektoru má stejný směr jako násobený vektor. Orientace a velikost násobku záleží na čísle, kterým násobíme.
Martina Šimůnková (KAP)
Geometrické vektory
9. března 2008
5 / 27
Operace s geometrickými vektory
Definice operací - sčítání, násobení číslem, lineární kombinace
Sčítání geometrických vektorů Součet ~a + ~b geometrických vektorů ~a, ~b získáme doplněním na rovnoběžník, případně trojúhelník.
Násobení geometrického vektoru číslem Násobek geometrického vektoru má stejný směr jako násobený vektor. Orientace a velikost násobku záleží na čísle, kterým násobíme.
Martina Šimůnková (KAP)
Geometrické vektory
9. března 2008
5 / 27
Operace s geometrickými vektory
Definice operací - sčítání, násobení číslem, lineární kombinace
Sčítání geometrických vektorů Součet ~a + ~b geometrických vektorů ~a, ~b získáme doplněním na rovnoběžník, případně trojúhelník.
Násobení geometrického vektoru číslem Násobek geometrického vektoru má stejný směr jako násobený vektor. Orientace a velikost násobku záleží na čísle, kterým násobíme. Pro ~b = 1.6 ~a je orientace vektoru ~b stejná jako orientace vektoru ~a a jeho velikost je 1.6× větší.
Martina Šimůnková (KAP)
Geometrické vektory
9. března 2008
5 / 27
Operace s geometrickými vektory
Definice operací - sčítání, násobení číslem, lineární kombinace
Sčítání geometrických vektorů Součet ~a + ~b geometrických vektorů ~a, ~b získáme doplněním na rovnoběžník, případně trojúhelník.
Násobení geometrického vektoru číslem Násobek geometrického vektoru má stejný směr jako násobený vektor. Orientace a velikost násobku záleží na čísle, kterým násobíme. Pro ~c = −2.4 ~a je orientace vektoru ~c opačná a velikost 2.4× větší.
Martina Šimůnková (KAP)
Geometrické vektory
9. března 2008
5 / 27
Operace s geometrickými vektory
Definice operací - sčítání, násobení číslem, lineární kombinace
Sčítání geometrických vektorů Součet ~a + ~b geometrických vektorů ~a, ~b získáme doplněním na rovnoběžník, případně trojúhelník.
Násobení geometrického vektoru číslem Násobek geometrického vektoru má stejný směr jako násobený vektor. Orientace a velikost násobku záleží na čísle, kterým násobíme. Obecně: velikost vektoru α~a je |α| násobkem velikosti vektoru ~a, pro α < 0 má vektor α~a opačnou orientaci než vektor ~a, pro α > 0 souhlasnou orientaci. Kontrolní otázka: Jak je to pro α = 0? Martina Šimůnková (KAP)
Geometrické vektory
9. března 2008
5 / 27
Operace s geometrickými vektory
Definice operací - sčítání, násobení číslem, lineární kombinace
Lineární kombinace vektorů Lineární kombinací vektorů ~a, ~b je například vektor 1.3 ~a + 0.7 ~b.
Obecně je lineární kombinací vektorů ~a1 , ~a2 , . . . , ~an s koeficienty α1 , α2 , . . . , αn vektor α1~a1 + α2~a2 + · · · + αn~an
Martina Šimůnková (KAP)
Geometrické vektory
9. března 2008
6 / 27
Operace s geometrickými vektory
Definice operací - sčítání, násobení číslem, lineární kombinace
Lineární kombinace vektorů Lineární kombinací vektorů ~a, ~b je například vektor 1.3 ~a + 0.7 ~b.
Obecně je lineární kombinací vektorů ~a1 , ~a2 , . . . , ~an s koeficienty α1 , α2 , . . . , αn vektor α1~a1 + α2~a2 + · · · + αn~an
Martina Šimůnková (KAP)
Geometrické vektory
9. března 2008
6 / 27
Operace s geometrickými vektory
Definice operací - sčítání, násobení číslem, lineární kombinace
Lineární kombinace vektorů Lineární kombinací vektorů ~a, ~b je například vektor 1.3 ~a + 0.7 ~b.
Obecně je lineární kombinací vektorů ~a1 , ~a2 , . . . , ~an s koeficienty α1 , α2 , . . . , αn vektor α1~a1 + α2~a2 + · · · + αn~an
Martina Šimůnková (KAP)
Geometrické vektory
9. března 2008
6 / 27
Operace s geometrickými vektory
Definice operací - sčítání, násobení číslem, lineární kombinace
Lineární kombinace vektorů Lineární kombinací vektorů ~a, ~b je například vektor 1.3 ~a + 0.7 ~b.
Obecně je lineární kombinací vektorů ~a1 , ~a2 , . . . , ~an s koeficienty α1 , α2 , . . . , αn vektor α1~a1 + α2~a2 + · · · + αn~an
Martina Šimůnková (KAP)
Geometrické vektory
9. března 2008
6 / 27
Operace s geometrickými vektory
Definice operací - sčítání, násobení číslem, lineární kombinace
Lineární kombinace vektorů Lineární kombinací vektorů ~a, ~b je například vektor 1.3 ~a + 0.7 ~b.
Obecně je lineární kombinací vektorů ~a1 , ~a2 , . . . , ~an s koeficienty α1 , α2 , . . . , αn vektor α1~a1 + α2~a2 + · · · + αn~an
Martina Šimůnková (KAP)
Geometrické vektory
9. března 2008
6 / 27
Operace s geometrickými vektory 1
Vlastnosti operací s geometrickými vektory
Pro libovolné dva vektory ~u, ~v je ~u + ~v = ~v + ~u.
2
Pro libovolné tři vektory ~u, ~v, w ~ je (~u+~v ) + w ~ = ~u + (~v +w). ~
Tuto vlastnost využíváme k vypouštění závorek, píšeme stručněji ~u + ~v + w. ~ Martina Šimůnková (KAP)
Geometrické vektory
9. března 2008
7 / 27
Operace s geometrickými vektory 1
Vlastnosti operací s geometrickými vektory
Pro libovolné dva vektory ~u, ~v je ~u + ~v = ~v + ~u.
2
Pro libovolné tři vektory ~u, ~v, w ~ je (~u+~v ) + w ~ = ~u + (~v +w). ~
Tuto vlastnost využíváme k vypouštění závorek, píšeme stručněji ~u + ~v + w. ~ Martina Šimůnková (KAP)
Geometrické vektory
9. března 2008
7 / 27
Operace s geometrickými vektory 1
Vlastnosti operací s geometrickými vektory
Pro libovolné dva vektory ~u, ~v je ~u + ~v = ~v + ~u.
2
Pro libovolné tři vektory ~u, ~v, w ~ je (~u+~v ) + w ~ = ~u + (~v +w). ~
Tuto vlastnost využíváme k vypouštění závorek, píšeme stručněji ~u + ~v + w. ~ Martina Šimůnková (KAP)
Geometrické vektory
9. března 2008
7 / 27
Operace s geometrickými vektory 1
Vlastnosti operací s geometrickými vektory
Pro libovolné dva vektory ~u, ~v je ~u + ~v = ~v + ~u.
2
Pro libovolné tři vektory ~u, ~v, w ~ je (~u+~v ) + w ~ = ~u + (~v +w). ~
Tuto vlastnost využíváme k vypouštění závorek, píšeme stručněji ~u + ~v + w. ~ Martina Šimůnková (KAP)
Geometrické vektory
9. března 2008
7 / 27
Operace s geometrickými vektory 1
Vlastnosti operací s geometrickými vektory
Pro libovolné dva vektory ~u, ~v je ~u + ~v = ~v + ~u.
2
Pro libovolné tři vektory ~u, ~v, w ~ je (~u+~v ) + w ~ = ~u + (~v +w). ~
Tuto vlastnost využíváme k vypouštění závorek, píšeme stručněji ~u + ~v + w. ~ Martina Šimůnková (KAP)
Geometrické vektory
9. března 2008
7 / 27
Operace s geometrickými vektory 1
Vlastnosti operací s geometrickými vektory
Pro libovolné dva vektory ~u, ~v je ~u + ~v = ~v + ~u.
2
Pro libovolné tři vektory ~u, ~v, w ~ je (~u+~v ) + w ~ = ~u + (~v +w). ~
Tuto vlastnost využíváme k vypouštění závorek, píšeme stručněji ~u + ~v + w. ~ Martina Šimůnková (KAP)
Geometrické vektory
9. března 2008
7 / 27
Operace s geometrickými vektory 1
Vlastnosti operací s geometrickými vektory
Pro libovolné dva vektory ~u, ~v je ~u + ~v = ~v + ~u.
2
Pro libovolné tři vektory ~u, ~v, w ~ je (~u+~v ) + w ~ = ~u + (~v +w). ~
Tuto vlastnost využíváme k vypouštění závorek, píšeme stručněji ~u + ~v + w. ~ Martina Šimůnková (KAP)
Geometrické vektory
9. března 2008
7 / 27
Operace s geometrickými vektory 3
Vlastnosti operací s geometrickými vektory
Pro nulový vektor ~o a libovolný vektor ~u platí ~u + ~o = ~u.
4
5
Ke každému nenulovému vektoru ~u existuje opačný vektor ~v , který splňuje ~u + ~v = ~o. Pro nulový geometrický vektor ~u = ~o tuto vlastnost má nulový vektor ~v = ~o. Opačný vektor budeme označovat −~u a součet vektoru −~u s vektorem w ~ budeme psát místo w ~ + (−~u) stručněji w ~ − ~u. Pro každý vektor ~u platí 1 ~u = ~u.
Martina Šimůnková (KAP)
Geometrické vektory
9. března 2008
8 / 27
Operace s geometrickými vektory 3
Vlastnosti operací s geometrickými vektory
Pro nulový vektor ~o a libovolný vektor ~u platí ~u + ~o = ~u.
4
5
Ke každému nenulovému vektoru ~u existuje opačný vektor ~v , který splňuje ~u + ~v = ~o. Pro nulový geometrický vektor ~u = ~o tuto vlastnost má nulový vektor ~v = ~o. Opačný vektor budeme označovat −~u a součet vektoru −~u s vektorem w ~ budeme psát místo w ~ + (−~u) stručněji w ~ − ~u. Pro každý vektor ~u platí 1 ~u = ~u.
Martina Šimůnková (KAP)
Geometrické vektory
9. března 2008
8 / 27
Operace s geometrickými vektory 3
Vlastnosti operací s geometrickými vektory
Pro nulový vektor ~o a libovolný vektor ~u platí ~u + ~o = ~u.
4
5
Ke každému nenulovému vektoru ~u existuje opačný vektor ~v , který splňuje ~u + ~v = ~o. Pro nulový geometrický vektor ~u = ~o tuto vlastnost má nulový vektor ~v = ~o. Opačný vektor budeme označovat −~u a součet vektoru −~u s vektorem w ~ budeme psát místo w ~ + (−~u) stručněji w ~ − ~u. Pro každý vektor ~u platí 1 ~u = ~u.
Martina Šimůnková (KAP)
Geometrické vektory
9. března 2008
8 / 27
Operace s geometrickými vektory 3
Vlastnosti operací s geometrickými vektory
Pro nulový vektor ~o a libovolný vektor ~u platí ~u + ~o = ~u.
4
5
Ke každému nenulovému vektoru ~u existuje opačný vektor ~v , který splňuje ~u + ~v = ~o. Pro nulový geometrický vektor ~u = ~o tuto vlastnost má nulový vektor ~v = ~o. Opačný vektor budeme označovat −~u a součet vektoru −~u s vektorem w ~ budeme psát místo w ~ + (−~u) stručněji w ~ − ~u. Pro každý vektor ~u platí 1 ~u = ~u.
Martina Šimůnková (KAP)
Geometrické vektory
9. března 2008
8 / 27
Operace s geometrickými vektory 3
Vlastnosti operací s geometrickými vektory
Pro nulový vektor ~o a libovolný vektor ~u platí ~u + ~o = ~u.
4
5
Ke každému nenulovému vektoru ~u existuje opačný vektor ~v , který splňuje ~u + ~v = ~o. Pro nulový geometrický vektor ~u = ~o tuto vlastnost má nulový vektor ~v = ~o. Opačný vektor budeme označovat −~u a součet vektoru −~u s vektorem w ~ budeme psát místo w ~ + (−~u) stručněji w ~ − ~u. Pro každý vektor ~u platí 1 ~u = ~u.
Martina Šimůnková (KAP)
Geometrické vektory
9. března 2008
8 / 27
Operace s geometrickými vektory 3
Vlastnosti operací s geometrickými vektory
Pro nulový vektor ~o a libovolný vektor ~u platí ~u + ~o = ~u.
4
5
Ke každému nenulovému vektoru ~u existuje opačný vektor ~v , který splňuje ~u + ~v = ~o. Pro nulový geometrický vektor ~u = ~o tuto vlastnost má nulový vektor ~v = ~o. Opačný vektor budeme označovat −~u a součet vektoru −~u s vektorem w ~ budeme psát místo w ~ + (−~u) stručněji w ~ − ~u. Pro každý vektor ~u platí 1 ~u = ~u.
Martina Šimůnková (KAP)
Geometrické vektory
9. března 2008
8 / 27
Operace s geometrickými vektory 3
Vlastnosti operací s geometrickými vektory
Pro nulový vektor ~o a libovolný vektor ~u platí ~u + ~o = ~u.
4
5
Ke každému nenulovému vektoru ~u existuje opačný vektor ~v , který splňuje ~u + ~v = ~o. Pro nulový geometrický vektor ~u = ~o tuto vlastnost má nulový vektor ~v = ~o. Opačný vektor budeme označovat −~u a součet vektoru −~u s vektorem w ~ budeme psát místo w ~ + (−~u) stručněji w ~ − ~u. Pro každý vektor ~u platí 1 ~u = ~u.
Martina Šimůnková (KAP)
Geometrické vektory
9. března 2008
8 / 27
Operace s geometrickými vektory 6
Vlastnosti operací s geometrickými vektory
Pro každý vektor ~u platí 0 ~u = ~o.
7
Pro každou dvojici čísel α, β a pro každý vektor ~u platí α(β~u) = (αβ)~u. Díky této vlastnosti můžeme vypouštět závorky a psát stručněji αβ~u.
8
Pro každou dvojici čísel α, β a pro každý vektor ~u platí (α + β)~u = α~u + β~u.
9
Pro každé číslo α a pro každou dvojici vektorů ~u, ~v platí α(~u + ~v ) = α~u + α~v .
Martina Šimůnková (KAP)
Geometrické vektory
9. března 2008
9 / 27
Operace s geometrickými vektory 6
Vlastnosti operací s geometrickými vektory
Pro každý vektor ~u platí 0 ~u = ~o.
7
Pro každou dvojici čísel α, β a pro každý vektor ~u platí α(β~u) = (αβ)~u. Díky této vlastnosti můžeme vypouštět závorky a psát stručněji αβ~u.
8
Pro každou dvojici čísel α, β a pro každý vektor ~u platí (α + β)~u = α~u + β~u.
9
Pro každé číslo α a pro každou dvojici vektorů ~u, ~v platí α(~u + ~v ) = α~u + α~v .
Martina Šimůnková (KAP)
Geometrické vektory
9. března 2008
9 / 27
Operace s geometrickými vektory 6
Vlastnosti operací s geometrickými vektory
Pro každý vektor ~u platí 0 ~u = ~o.
7
Pro každou dvojici čísel α, β a pro každý vektor ~u platí α(β~u) = (αβ)~u. Díky této vlastnosti můžeme vypouštět závorky a psát stručněji αβ~u.
8
Pro každou dvojici čísel α, β a pro každý vektor ~u platí (α + β)~u = α~u + β~u.
9
Pro každé číslo α a pro každou dvojici vektorů ~u, ~v platí α(~u + ~v ) = α~u + α~v .
Martina Šimůnková (KAP)
Geometrické vektory
9. března 2008
9 / 27
Operace s geometrickými vektory 6
Vlastnosti operací s geometrickými vektory
Pro každý vektor ~u platí 0 ~u = ~o.
7
Pro každou dvojici čísel α, β a pro každý vektor ~u platí α(β~u) = (αβ)~u. Díky této vlastnosti můžeme vypouštět závorky a psát stručněji αβ~u.
8
Pro každou dvojici čísel α, β a pro každý vektor ~u platí (α + β)~u = α~u + β~u.
9
Pro každé číslo α a pro každou dvojici vektorů ~u, ~v platí α(~u + ~v ) = α~u + α~v .
Martina Šimůnková (KAP)
Geometrické vektory
9. března 2008
9 / 27
Operace s geometrickými vektory 6
Vlastnosti operací s geometrickými vektory
Pro každý vektor ~u platí 0 ~u = ~o.
7
Pro každou dvojici čísel α, β a pro každý vektor ~u platí α(β~u) = (αβ)~u. Díky této vlastnosti můžeme vypouštět závorky a psát stručněji αβ~u.
8
Pro každou dvojici čísel α, β a pro každý vektor ~u platí (α + β)~u = α~u + β~u.
9
Pro každé číslo α a pro každou dvojici vektorů ~u, ~v platí α(~u + ~v ) = α~u + α~v .
Martina Šimůnková (KAP)
Geometrické vektory
9. března 2008
9 / 27
Operace s geometrickými vektory 6
Vlastnosti operací s geometrickými vektory
Pro každý vektor ~u platí 0 ~u = ~o.
7
Pro každou dvojici čísel α, β a pro každý vektor ~u platí α(β~u) = (αβ)~u. Díky této vlastnosti můžeme vypouštět závorky a psát stručněji αβ~u.
8
Pro každou dvojici čísel α, β a pro každý vektor ~u platí (α + β)~u = α~u + β~u.
9
Pro každé číslo α a pro každou dvojici vektorů ~u, ~v platí α(~u + ~v ) = α~u + α~v .
Martina Šimůnková (KAP)
Geometrické vektory
9. března 2008
9 / 27
Operace s geometrickými vektory 6
Vlastnosti operací s geometrickými vektory
Pro každý vektor ~u platí 0 ~u = ~o.
7
Pro každou dvojici čísel α, β a pro každý vektor ~u platí α(β~u) = (αβ)~u. Díky této vlastnosti můžeme vypouštět závorky a psát stručněji αβ~u.
8
Pro každou dvojici čísel α, β a pro každý vektor ~u platí (α + β)~u = α~u + β~u.
9
Pro každé číslo α a pro každou dvojici vektorů ~u, ~v platí α(~u + ~v ) = α~u + α~v .
Martina Šimůnková (KAP)
Geometrické vektory
9. března 2008
9 / 27
Operace s geometrickými vektory 6
Vlastnosti operací s geometrickými vektory
Pro každý vektor ~u platí 0 ~u = ~o.
7
Pro každou dvojici čísel α, β a pro každý vektor ~u platí α(β~u) = (αβ)~u. Díky této vlastnosti můžeme vypouštět závorky a psát stručněji αβ~u.
8
Pro každou dvojici čísel α, β a pro každý vektor ~u platí (α + β)~u = α~u + β~u.
9
Pro každé číslo α a pro každou dvojici vektorů ~u, ~v platí α(~u + ~v ) = α~u + α~v .
Martina Šimůnková (KAP)
Geometrické vektory
9. března 2008
9 / 27
Souřadnice geometrických vektorů
1
Definice geometrického vektoru
2
Operace s geometrickými vektory
3
Souřadnice geometrických vektorů Kartézské soustavy souřadné Kosoúhlé soustavy souřadné
4
Baze (v rovině a v trojrozměrném prostoru)
5
Souřadnice vektorů a operace s vektory
6
Otočená soustava, transformační matice
7
Změna souřadnic v kosoúhlých soustavách, matice přechodu
8
Tři baze a násobení matic přechodu
Martina Šimůnková (KAP)
Geometrické vektory
9. března 2008
10 / 27
Souřadnice geometrických vektorů
Kartézské soustavy souřadné
Zvolíme kartézskou soustavu souřadnou, ta je určena počátkem a dvojicí vektorů ~i, ~j. Vyjádříme vektor ~u jako lineární kombinaci vektorů ~i a ~j:
y
~u = x~i + y ~j, 1
1
Martina Šimůnková (KAP)
čísla v této lineární kombinaci budeme nazývat souřadnicemi vektoru ~u x vzhledem k souřadné soustavě spojené s vektory ~i, ~j a budeme používat označení u = ( xy ).
Geometrické vektory
9. března 2008
11 / 27
Souřadnice geometrických vektorů
Kartézské soustavy souřadné
Zvolíme kartézskou soustavu souřadnou, ta je určena počátkem a dvojicí vektorů ~i, ~j. Vyjádříme vektor ~u jako lineární kombinaci vektorů ~i a ~j: ~u = x~i + y ~j, čísla v této lineární kombinaci budeme nazývat souřadnicemi vektoru ~u vzhledem k souřadné soustavě spojené s vektory ~i, ~j a budeme používat označení u = ( xy ).
Martina Šimůnková (KAP)
Geometrické vektory
9. března 2008
11 / 27
Souřadnice geometrických vektorů
Kartézské soustavy souřadné
Zvolíme kartézskou soustavu souřadnou, ta je určena počátkem a dvojicí vektorů ~i, ~j. Vyjádříme vektor ~u jako lineární kombinaci vektorů ~i a ~j: ~u = x~i + y ~j, čísla v této lineární kombinaci budeme nazývat souřadnicemi vektoru ~u vzhledem k souřadné soustavě spojené s vektory ~i, ~j a budeme používat označení u = ( xy ).
Martina Šimůnková (KAP)
Geometrické vektory
9. března 2008
11 / 27
Souřadnice geometrických vektorů
Kartézské soustavy souřadné
Zvolíme kartézskou soustavu souřadnou, ta je určena počátkem a dvojicí vektorů ~i, ~j. Vyjádříme vektor ~u jako lineární kombinaci vektorů ~i a ~j: ~u = x~i + y ~j, čísla v této lineární kombinaci budeme nazývat souřadnicemi vektoru ~u vzhledem k souřadné soustavě spojené s vektory ~i, ~j a budeme používat označení u = ( xy ).
Martina Šimůnková (KAP)
Geometrické vektory
9. března 2008
11 / 27
Souřadnice geometrických vektorů
Kartézské soustavy souřadné
Zvolíme kartézskou soustavu souřadnou, ta je určena počátkem a dvojicí vektorů ~i, ~j. Vyjádříme vektor ~u jako lineární kombinaci vektorů ~i a ~j: ~u = x~i + y ~j, čísla v této lineární kombinaci budeme nazývat souřadnicemi vektoru ~u vzhledem k souřadné soustavě spojené s vektory ~i, ~j a budeme používat označení u = ( xy ).
Martina Šimůnková (KAP)
Geometrické vektory
9. března 2008
11 / 27
Souřadnice geometrických vektorů
Kosoúhlé soustavy souřadné
V případě kartézské soustavy jsou vektory ~i, ~j určující osy vzájemně kolmé a mají velikost rovnu jedné. Zvolíme-li nenulové vektory ~u, ~v různých směrů, dostaneme obecnější kosoúhlou soustavu souřadnou. Vyjádříme vektor ~a jako lineární kombinaci vektorů ~u a ~v : ~a = α ~u + β ~v a koeficienty α, β v této lineární kombinaci budeme, stejně jako u kartézské soustavy, nazývat souřadnicemi vektoru ~a vzhledem k souřadné soustavě spojené s vektory ~u, ~v a budeme používat označení a = ( αβ ). Martina Šimůnková (KAP)
Geometrické vektory
9. března 2008
12 / 27
Souřadnice geometrických vektorů
Kosoúhlé soustavy souřadné
V případě kartézské soustavy jsou vektory ~i, ~j určující osy vzájemně kolmé a mají velikost rovnu jedné. Zvolíme-li nenulové vektory ~u, ~v různých směrů, dostaneme obecnější kosoúhlou soustavu souřadnou. Vyjádříme vektor ~a jako lineární kombinaci vektorů ~u a ~v : ~a = α ~u + β ~v a koeficienty α, β v této lineární kombinaci budeme, stejně jako u kartézské soustavy, nazývat souřadnicemi vektoru ~a vzhledem k souřadné soustavě spojené s vektory ~u, ~v a budeme používat označení a = ( αβ ). Martina Šimůnková (KAP)
Geometrické vektory
9. března 2008
12 / 27
Souřadnice geometrických vektorů
Kosoúhlé soustavy souřadné
V případě kartézské soustavy jsou vektory ~i, ~j určující osy vzájemně kolmé a mají velikost rovnu jedné. Zvolíme-li nenulové vektory ~u, ~v různých směrů, dostaneme obecnější kosoúhlou soustavu souřadnou. Vyjádříme vektor ~a jako lineární kombinaci vektorů ~u a ~v : ~a = α ~u + β ~v a koeficienty α, β v této lineární kombinaci budeme, stejně jako u kartézské soustavy, nazývat souřadnicemi vektoru ~a vzhledem k souřadné soustavě spojené s vektory ~u, ~v a budeme používat označení a = ( αβ ). Martina Šimůnková (KAP)
Geometrické vektory
9. března 2008
12 / 27
Souřadnice geometrických vektorů
Kosoúhlé soustavy souřadné
V případě kartézské soustavy jsou vektory ~i, ~j určující osy vzájemně kolmé a mají velikost rovnu jedné. Zvolíme-li nenulové vektory ~u, ~v různých směrů, dostaneme obecnější kosoúhlou soustavu souřadnou. Vyjádříme vektor ~a jako lineární kombinaci vektorů ~u a ~v : ~a = α ~u + β ~v a koeficienty α, β v této lineární kombinaci budeme, stejně jako u kartézské soustavy, nazývat souřadnicemi vektoru ~a vzhledem k souřadné soustavě spojené s vektory ~u, ~v a budeme používat označení a = ( αβ ). Martina Šimůnková (KAP)
Geometrické vektory
9. března 2008
12 / 27
Souřadnice geometrických vektorů
Kosoúhlé soustavy souřadné
V případě kartézské soustavy jsou vektory ~i, ~j určující osy vzájemně kolmé a mají velikost rovnu jedné.
1
1
Zvolíme-li nenulové vektory ~u, ~v různých směrů, dostaneme obecnější kosoúhlou soustavu souřadnou. Vyjádříme vektor ~a jako lineární kombinaci vektorů ~u a ~v : ~a = α ~u + β ~v a koeficienty α, β v této lineární kombinaci budeme, stejně jako u kartézské soustavy, nazývat souřadnicemi vektoru ~a vzhledem k souřadné soustavě spojené s vektory ~u, ~v a budeme používat označení a = ( αβ ). Martina Šimůnková (KAP)
Geometrické vektory
9. března 2008
12 / 27
Souřadnice geometrických vektorů
Kosoúhlé soustavy souřadné
V případě kartézské soustavy jsou vektory ~i, ~j určující osy vzájemně kolmé a mají velikost rovnu jedné.
1
1
Zvolíme-li nenulové vektory ~u, ~v různých směrů, dostaneme obecnější kosoúhlou soustavu souřadnou. Vyjádříme vektor ~a jako lineární kombinaci vektorů ~u a ~v : ~a = α ~u + β ~v a koeficienty α, β v této lineární kombinaci budeme, stejně jako u kartézské soustavy, nazývat souřadnicemi vektoru ~a vzhledem k souřadné soustavě spojené s vektory ~u, ~v a budeme používat označení a = ( αβ ). Martina Šimůnková (KAP)
Geometrické vektory
9. března 2008
12 / 27
Baze (v rovině a v trojrozměrném prostoru)
1
Definice geometrického vektoru
2
Operace s geometrickými vektory
3
Souřadnice geometrických vektorů
4
Baze (v rovině a v trojrozměrném prostoru)
5
Souřadnice vektorů a operace s vektory
6
Otočená soustava, transformační matice
7
Změna souřadnic v kosoúhlých soustavách, matice přechodu
8
Tři baze a násobení matic přechodu
Martina Šimůnková (KAP)
Geometrické vektory
9. března 2008
13 / 27
Baze (v rovině a v trojrozměrném prostoru)
Ukážeme, že libovolné dva nenulové vektory ~u, ~v různých směrů můžeme vzít za základ soustavy souřadné v rovině, a jak vypočteme souřadnice libovolně zvoleného vektoru ~a. Narýsujeme rovnoběžník se stranami rovnoběžnýmí s vektory ~u, ~v , jehož úhlopříčku tvoří vektor ~a, změříme velikosti a vypočteme koeficienty v lineární kombinaci. ~a = 1.75 ~u − 0.25 ~v Vektory ~u, ~v budeme nazývat bazí. Souřadnice vektoru ~a 1.75 ). Situace v trojrozměrném vzhledem k této bazi jsou a = ( −0.25 prostoru je obdobná, jen je baze tvořena třemi nenulovými vektory, které neleží v jedné společné rovině. Důležitou vlastností je: pro danou bazi a daný vektor jsou souřadnice jednoznačně určené. Martina Šimůnková (KAP)
Geometrické vektory
9. března 2008
14 / 27
Baze (v rovině a v trojrozměrném prostoru)
Ukážeme, že libovolné dva nenulové vektory ~u, ~v různých směrů můžeme vzít za základ soustavy souřadné v rovině, a jak vypočteme souřadnice libovolně zvoleného vektoru ~a. Narýsujeme rovnoběžník se stranami rovnoběžnýmí s vektory ~u, ~v , jehož úhlopříčku tvoří vektor ~a, změříme velikosti a vypočteme koeficienty v lineární kombinaci. ~a = 1.75 ~u − 0.25 ~v Vektory ~u, ~v budeme nazývat bazí. Souřadnice vektoru ~a 1.75 ). Situace v trojrozměrném vzhledem k této bazi jsou a = ( −0.25 prostoru je obdobná, jen je baze tvořena třemi nenulovými vektory, které neleží v jedné společné rovině. Důležitou vlastností je: pro danou bazi a daný vektor jsou souřadnice jednoznačně určené. Martina Šimůnková (KAP)
Geometrické vektory
9. března 2008
14 / 27
Baze (v rovině a v trojrozměrném prostoru)
Ukážeme, že libovolné dva nenulové vektory ~u, ~v různých směrů můžeme vzít za základ soustavy souřadné v rovině, a jak vypočteme souřadnice libovolně zvoleného vektoru ~a. Narýsujeme rovnoběžník se stranami rovnoběžnýmí s vektory ~u, ~v , jehož úhlopříčku tvoří vektor ~a, změříme velikosti a vypočteme koeficienty v lineární kombinaci. ~a = 1.75 ~u − 0.25 ~v Vektory ~u, ~v budeme nazývat bazí. Souřadnice vektoru ~a 1.75 ). Situace v trojrozměrném vzhledem k této bazi jsou a = ( −0.25 prostoru je obdobná, jen je baze tvořena třemi nenulovými vektory, které neleží v jedné společné rovině. Důležitou vlastností je: pro danou bazi a daný vektor jsou souřadnice jednoznačně určené. Martina Šimůnková (KAP)
Geometrické vektory
9. března 2008
14 / 27
Baze (v rovině a v trojrozměrném prostoru)
Ukážeme, že libovolné dva nenulové vektory ~u, ~v různých směrů můžeme vzít za základ soustavy souřadné v rovině, a jak vypočteme souřadnice libovolně zvoleného vektoru ~a. Narýsujeme rovnoběžník se stranami rovnoběžnýmí s vektory ~u, ~v , jehož úhlopříčku tvoří vektor ~a, změříme velikosti a vypočteme koeficienty v lineární kombinaci. ~a = 1.75 ~u − 0.25 ~v Vektory ~u, ~v budeme nazývat bazí. Souřadnice vektoru ~a 1.75 vzhledem k této bazi jsou a = ( −0.25 ). Situace v trojrozměrném prostoru je obdobná, jen je baze tvořena třemi nenulovými vektory, které neleží v jedné společné rovině. Důležitou vlastností je: pro danou bazi a daný vektor jsou souřadnice jednoznačně určené. Martina Šimůnková (KAP)
Geometrické vektory
9. března 2008
14 / 27
Baze (v rovině a v trojrozměrném prostoru)
Ukážeme, že libovolné dva nenulové vektory ~u, ~v různých směrů můžeme vzít za základ soustavy souřadné v rovině, a jak vypočteme souřadnice libovolně zvoleného vektoru ~a. Narýsujeme rovnoběžník se stranami rovnoběžnýmí s vektory ~u, ~v , jehož úhlopříčku tvoří vektor ~a, změříme velikosti a vypočteme koeficienty v lineární kombinaci. ~a = 1.75 ~u − 0.25 ~v Vektory ~u, ~v budeme nazývat bazí. Souřadnice vektoru ~a 1.75 vzhledem k této bazi jsou a = ( −0.25 ). Situace v trojrozměrném prostoru je obdobná, jen je baze tvořena třemi nenulovými vektory, které neleží v jedné společné rovině. Důležitou vlastností je: pro danou bazi a daný vektor jsou souřadnice jednoznačně určené. Martina Šimůnková (KAP)
Geometrické vektory
9. března 2008
14 / 27
Baze (v rovině a v trojrozměrném prostoru)
Ukážeme, že libovolné dva nenulové vektory ~u, ~v různých směrů můžeme vzít za základ soustavy souřadné v rovině, a jak vypočteme souřadnice libovolně zvoleného vektoru ~a. Narýsujeme rovnoběžník se stranami rovnoběžnýmí s vektory ~u, ~v , jehož úhlopříčku tvoří vektor ~a, změříme velikosti a vypočteme koeficienty v lineární kombinaci. ~a = 1.75 ~u − 0.25 ~v Vektory ~u, ~v budeme nazývat bazí. Souřadnice vektoru ~a 1.75 vzhledem k této bazi jsou a = ( −0.25 ). Situace v trojrozměrném prostoru je obdobná, jen je baze tvořena třemi nenulovými vektory, které neleží v jedné společné rovině. Důležitou vlastností je: pro danou bazi a daný vektor jsou souřadnice jednoznačně určené. Martina Šimůnková (KAP)
Geometrické vektory
9. března 2008
14 / 27
Baze (v rovině a v trojrozměrném prostoru)
Ukážeme, že libovolné dva nenulové vektory ~u, ~v různých směrů můžeme vzít za základ soustavy souřadné v rovině, a jak vypočteme souřadnice libovolně zvoleného vektoru ~a. Narýsujeme rovnoběžník se stranami rovnoběžnýmí s vektory ~u, ~v , jehož úhlopříčku tvoří vektor ~a, změříme velikosti a vypočteme koeficienty v lineární kombinaci. ~a = 1.75 ~u − 0.25 ~v Vektory ~u, ~v budeme nazývat bazí. Souřadnice vektoru ~a 1.75 ). Situace v trojrozměrném vzhledem k této bazi jsou a = ( −0.25 prostoru je obdobná, jen je baze tvořena třemi nenulovými vektory, které neleží v jedné společné rovině. Důležitou vlastností je: pro danou bazi a daný vektor jsou souřadnice jednoznačně určené. Martina Šimůnková (KAP)
Geometrické vektory
9. března 2008
14 / 27
Baze (v rovině a v trojrozměrném prostoru)
Ukážeme, že libovolné dva nenulové vektory ~u, ~v různých směrů můžeme vzít za základ soustavy souřadné v rovině, a jak vypočteme souřadnice libovolně zvoleného vektoru ~a. Narýsujeme rovnoběžník se stranami rovnoběžnýmí s vektory ~u, ~v , jehož úhlopříčku tvoří vektor ~a, změříme velikosti a vypočteme koeficienty v lineární kombinaci. ~a = 1.75 ~u − 0.25 ~v Vektory ~u, ~v budeme nazývat bazí. Souřadnice vektoru ~a 1.75 ). Situace v trojrozměrném vzhledem k této bazi jsou a = ( −0.25 prostoru je obdobná, jen je baze tvořena třemi nenulovými vektory, které neleží v jedné společné rovině. Důležitou vlastností je: pro danou bazi a daný vektor jsou souřadnice jednoznačně určené. Martina Šimůnková (KAP)
Geometrické vektory
9. března 2008
14 / 27
Souřadnice vektorů a operace s vektory
1
Definice geometrického vektoru
2
Operace s geometrickými vektory
3
Souřadnice geometrických vektorů
4
Baze (v rovině a v trojrozměrném prostoru)
5
Souřadnice vektorů a operace s vektory
6
Otočená soustava, transformační matice
7
Změna souřadnic v kosoúhlých soustavách, matice přechodu
8
Tři baze a násobení matic přechodu
Martina Šimůnková (KAP)
Geometrické vektory
9. března 2008
15 / 27
Souřadnice vektorů a operace s vektory
y Jak vypočteme souřadnice α násobku vektoru ~u pomocí α a u = ( uuxy )? Souřadnice součinu α~u jsou ( αα uuxy ). x
Všimněte si podobných trojúhelníků, ze kterých uvedené plyne.
Jak vypočteme souřadnice součtu vektorů ~u, ~v z u = ( uuxy ) v = ( vvxy )? ~u + ~v Souřadnice součtu x jsou uuxy +v +vy .
Všimněte si, že vy < 0, proto je uy + vy rovno rozdílu velikostí vyznačených úseček.
Martina Šimůnková (KAP)
Geometrické vektory
9. března 2008
16 / 27
Souřadnice vektorů a operace s vektory
y Jak vypočteme souřadnice α násobku vektoru ~u pomocí α a u = ( uuxy )? Souřadnice součinu α~u jsou ( αα uuxy ). x
Všimněte si podobných trojúhelníků, ze kterých uvedené plyne.
Jak vypočteme souřadnice součtu vektorů ~u, ~v z u = ( uuxy ) v = ( vvxy )? ~u + ~v Souřadnice součtu x jsou uuxy +v +vy .
Všimněte si, že vy < 0, proto je uy + vy rovno rozdílu velikostí vyznačených úseček.
Martina Šimůnková (KAP)
Geometrické vektory
9. března 2008
16 / 27
Souřadnice vektorů a operace s vektory
y Jak vypočteme souřadnice α násobku vektoru ~u pomocí α a u = ( uuxy )? Souřadnice součinu α~u jsou ( αα uuxy ). x
Všimněte si podobných trojúhelníků, ze kterých uvedené plyne.
Jak vypočteme souřadnice součtu vektorů ~u, ~v z u = ( uuxy ) v = ( vvxy )? ~u + ~v Souřadnice součtu x jsou uuxy +v +vy .
Všimněte si, že vy < 0, proto je uy + vy rovno rozdílu velikostí vyznačených úseček.
Martina Šimůnková (KAP)
Geometrické vektory
9. března 2008
16 / 27
Souřadnice vektorů a operace s vektory
y Jak vypočteme souřadnice α násobku vektoru ~u pomocí α a u = ( uuxy )? Souřadnice součinu α~u jsou ( αα uuxy ). x
Všimněte si podobných trojúhelníků, ze kterých uvedené plyne.
Jak vypočteme souřadnice součtu vektorů ~u, ~v z u = ( uuxy ) v = ( vvxy )? ~u + ~v Souřadnice součtu x jsou uuxy +v +vy .
Všimněte si, že vy < 0, proto je uy + vy rovno rozdílu velikostí vyznačených úseček.
Martina Šimůnková (KAP)
Geometrické vektory
9. března 2008
16 / 27
Souřadnice vektorů a operace s vektory
y Jak vypočteme souřadnice α násobku vektoru ~u pomocí α a u = ( uuxy )? Souřadnice součinu α~u jsou ( αα uuxy ). x
Všimněte si podobných trojúhelníků, ze kterých uvedené plyne.
Jak vypočteme souřadnice součtu vektorů ~u, ~v z u = ( uuxy ) v = ( vvxy )? ~u + ~v Souřadnice součtu x jsou uuxy +v +vy .
Všimněte si, že vy < 0, proto je uy + vy rovno rozdílu velikostí vyznačených úseček.
Martina Šimůnková (KAP)
Geometrické vektory
9. března 2008
16 / 27
Souřadnice vektorů a operace s vektory
y Jak vypočteme souřadnice α násobku vektoru ~u pomocí α a u = ( uuxy )? Souřadnice součinu α~u jsou ( αα uuxy ). x
Všimněte si podobných trojúhelníků, ze kterých uvedené plyne.
Jak vypočteme souřadnice součtu vektorů ~u, ~v z u = ( uuxy ) v = ( vvxy )? ~u + ~v Souřadnice součtu x jsou uuxy +v +vy .
Všimněte si, že vy < 0, proto je uy + vy rovno rozdílu velikostí vyznačených úseček.
Martina Šimůnková (KAP)
Geometrické vektory
9. března 2008
16 / 27
Souřadnice vektorů a operace s vektory
y Jak vypočteme souřadnice α násobku vektoru ~u pomocí α a u = ( uuxy )? Souřadnice součinu α~u jsou ( αα uuxy ). x
Všimněte si podobných trojúhelníků, ze kterých uvedené plyne.
y Jak vypočteme souřadnice součtu vektorů ~u, ~v z u = ( uuxy ) v = ( vvxy )?
x
Martina Šimůnková (KAP)
~u + ~v Souřadnice součtu x jsou uuxy +v +vy .
Všimněte si, že vy < 0, proto je uy + vy rovno rozdílu velikostí vyznačených úseček.
Geometrické vektory
9. března 2008
16 / 27
Souřadnice vektorů a operace s vektory
y Jak vypočteme souřadnice α násobku vektoru ~u pomocí α a u = ( uuxy )? Souřadnice součinu α~u jsou ( αα uuxy ). x
Všimněte si podobných trojúhelníků, ze kterých uvedené plyne.
y Jak vypočteme souřadnice součtu vektorů ~u, ~v z u = ( uuxy ) v = ( vvxy )?
x
Martina Šimůnková (KAP)
~u + ~v Souřadnice součtu x jsou uuxy +v +vy .
Všimněte si, že vy < 0, proto je uy + vy rovno rozdílu velikostí vyznačených úseček.
Geometrické vektory
9. března 2008
16 / 27
Souřadnice vektorů a operace s vektory
y Jak vypočteme souřadnice α násobku vektoru ~u pomocí α a u = ( uuxy )? Souřadnice součinu α~u jsou ( αα uuxy ). x
Všimněte si podobných trojúhelníků, ze kterých uvedené plyne.
y Jak vypočteme souřadnice součtu vektorů ~u, ~v z u = ( uuxy ) v = ( vvxy )?
x
Martina Šimůnková (KAP)
~u + ~v Souřadnice součtu x jsou uuxy +v +vy .
Všimněte si, že vy < 0, proto je uy + vy rovno rozdílu velikostí vyznačených úseček.
Geometrické vektory
9. března 2008
16 / 27
Souřadnice vektorů a operace s vektory
y Jak vypočteme souřadnice α násobku vektoru ~u pomocí α a u = ( uuxy )? Souřadnice součinu α~u jsou ( αα uuxy ). x
Všimněte si podobných trojúhelníků, ze kterých uvedené plyne.
y Jak vypočteme souřadnice součtu vektorů ~u, ~v z u = ( uuxy ) v = ( vvxy )?
x
Martina Šimůnková (KAP)
Souřadnice součtu ~u + ~v x jsou uuxy +v +vy .
Všimněte si, že vy < 0, proto je uy + vy rovno rozdílu velikostí vyznačených úseček.
Geometrické vektory
9. března 2008
16 / 27
Souřadnice vektorů a operace s vektory
y Jak vypočteme souřadnice α násobku vektoru ~u pomocí α a u = ( uuxy )? Souřadnice součinu α~u jsou ( αα uuxy ). x
Všimněte si podobných trojúhelníků, ze kterých uvedené plyne.
y Jak vypočteme souřadnice součtu vektorů ~u, ~v z u = ( uuxy ) v = ( vvxy )?
x
Martina Šimůnková (KAP)
Souřadnice součtu ~u + ~v x jsou uuxy +v +vy .
Všimněte si, že vy < 0, proto je uy + vy rovno rozdílu velikostí vyznačených úseček.
Geometrické vektory
9. března 2008
16 / 27
Souřadnice vektorů a operace s vektory
y Jak vypočteme souřadnice α násobku vektoru ~u pomocí α a u = ( uuxy )? Souřadnice součinu α~u jsou ( αα uuxy ). x
Všimněte si podobných trojúhelníků, ze kterých uvedené plyne.
y Jak vypočteme souřadnice součtu vektorů ~u, ~v z u = ( uuxy ) v = ( vvxy )?
x
Martina Šimůnková (KAP)
~u + ~v Souřadnice součtu x jsou uuxy +v +vy .
Všimněte si, že vy < 0, proto je uy + vy rovno rozdílu velikostí vyznačených úseček.
Geometrické vektory
9. března 2008
16 / 27
Souřadnice vektorů a operace s vektory
y Jak vypočteme souřadnice α násobku vektoru ~u pomocí α a u = ( uuxy )? Souřadnice součinu α~u jsou ( αα uuxy ). x
Všimněte si podobných trojúhelníků, ze kterých uvedené plyne.
y Jak vypočteme souřadnice součtu vektorů ~u, ~v z u = ( uuxy ) v = ( vvxy )?
x
Martina Šimůnková (KAP)
~u + ~v Souřadnice součtu x jsou uuxy +v +vy .
Všimněte si, že vy < 0, proto je uy + vy rovno rozdílu velikostí vyznačených úseček.
Geometrické vektory
9. března 2008
16 / 27
Souřadnice vektorů a operace s vektory
y Jak vypočteme souřadnice α násobku vektoru ~u pomocí α a u = ( uuxy )? Souřadnice součinu α~u jsou ( αα uuxy ). x
Všimněte si podobných trojúhelníků, ze kterých uvedené plyne.
y Jak vypočteme souřadnice součtu vektorů ~u, ~v z u = ( uuxy ) v = ( vvxy )?
x
Martina Šimůnková (KAP)
~u + ~v Souřadnice součtu x jsou uuxy +v +vy .
Všimněte si, že vy < 0, proto je uy + vy rovno rozdílu velikostí vyznačených úseček.
Geometrické vektory
9. března 2008
16 / 27
Otočená soustava, transformační matice
1
Definice geometrického vektoru
2
Operace s geometrickými vektory
3
Souřadnice geometrických vektorů
4
Baze (v rovině a v trojrozměrném prostoru)
5
Souřadnice vektorů a operace s vektory
6
Otočená soustava, transformační matice Transformační vztahy, jejich maticový zápis Odvození transformačních vztahů Otočení v 3D prostoru
7
Změna souřadnic v kosoúhlých soustavách, matice přechodu
8
Tři baze a násobení matic přechodu Martina Šimůnková (KAP)
Geometrické vektory
9. března 2008
17 / 27
Otočená soustava, transformační matice
Transformační vztahy, jejich maticový zápis
Na obrázku jsou znázorněny souřadnice bodu A vůči vzájemně pootočeným souřadným systémům. Velikost úhlu pootočení (modře vyznačeného) označíme ω. y A y Vztahy mezi souřadnicemi [x, y] a [x, y] téhož bodu A jsou x = x cos ω + y sin ω,
x
y = −x sin ω + y cos ω. x
(Na následující straně tyto vztahy odvodíme.)
Souřadnice bodu A jsou zároveň souřadnicemi jeho polohového vektoru a jejich transformaci můžeme zapsat jako maticový součin x cos ω sin ω x = y − sin ω cos ω y (Ověřte vynásobením matic.) Martina Šimůnková (KAP)
Geometrické vektory
9. března 2008
18 / 27
Otočená soustava, transformační matice
Transformační vztahy, jejich maticový zápis
Na obrázku jsou znázorněny souřadnice bodu A vůči vzájemně pootočeným souřadným systémům. Velikost úhlu pootočení (modře vyznačeného) označíme ω. y A y Vztahy mezi souřadnicemi [x, y] a [x, y] téhož bodu A jsou x = x cos ω + y sin ω,
x
y = −x sin ω + y cos ω. x
(Na následující straně tyto vztahy odvodíme.)
Souřadnice bodu A jsou zároveň souřadnicemi jeho polohového vektoru a jejich transformaci můžeme zapsat jako maticový součin x cos ω sin ω x = y − sin ω cos ω y (Ověřte vynásobením matic.) Martina Šimůnková (KAP)
Geometrické vektory
9. března 2008
18 / 27
Otočená soustava, transformační matice
Transformační vztahy, jejich maticový zápis
Na obrázku jsou znázorněny souřadnice bodu A vůči vzájemně pootočeným souřadným systémům. Velikost úhlu pootočení (modře vyznačeného) označíme ω. y A y Vztahy mezi souřadnicemi [x, y] a [x, y] téhož bodu A jsou x = x cos ω + y sin ω,
x
y = −x sin ω + y cos ω. x
(Na následující straně tyto vztahy odvodíme.)
Souřadnice bodu A jsou zároveň souřadnicemi jeho polohového vektoru a jejich transformaci můžeme zapsat jako maticový součin x cos ω sin ω x = y − sin ω cos ω y (Ověřte vynásobením matic.) Martina Šimůnková (KAP)
Geometrické vektory
9. března 2008
18 / 27
Otočená soustava, transformační matice
Transformační vztahy, jejich maticový zápis
Na obrázku jsou znázorněny souřadnice bodu A vůči vzájemně pootočeným souřadným systémům. Velikost úhlu pootočení (modře vyznačeného) označíme ω. y A y Vztahy mezi souřadnicemi [x, y] a [x, y] téhož bodu A jsou x = x cos ω + y sin ω,
x
y = −x sin ω + y cos ω. x
(Na následující straně tyto vztahy odvodíme.)
Souřadnice bodu A jsou zároveň souřadnicemi jeho polohového vektoru a jejich transformaci můžeme zapsat jako maticový součin x cos ω sin ω x = y − sin ω cos ω y (Ověřte vynásobením matic.) Martina Šimůnková (KAP)
Geometrické vektory
9. března 2008
18 / 27
Otočená soustava, transformační matice
y
Odvození transformačních vztahů
Dva vyznačené úhly mají stejnou velikost, označíme ji ω. Vztahy mezi bazovými vektory jsou
y
~i = ~i cos ω − ~j sin ω ~j = ~i sin ω + ~j cos ω
x
Dosazením do
x
~a = x~i + y ~j
dostaneme
~a = x (~i cos ω − ~j sin ω) + y (~i sin ω + ~j cos ω).
Po úpravě
~a = (x cos ω + y sin ω) ~i + (−x sin ω + y cos ω) ~j
a srovnáním s dostaneme
~i + ~j y x ~a = x = x cos ω + y sin ω y = −x sin ω + y cos ω.
Souřadnice vektoru jsou v dané soustavě souřadné jednoznačně určené. Martina Šimůnková (KAP)
Geometrické vektory
9. března 2008
19 / 27
Otočená soustava, transformační matice
y
Odvození transformačních vztahů
Dva vyznačené úhly mají stejnou velikost, označíme ji ω. Vztahy mezi bazovými vektory jsou
y
~i = ~i cos ω − ~j sin ω ~j = ~i sin ω + ~j cos ω
x
Dosazením do
x
~a = x~i + y ~j
dostaneme
~a = x (~i cos ω − ~j sin ω) + y (~i sin ω + ~j cos ω).
Po úpravě
~a = (x cos ω + y sin ω) ~i + (−x sin ω + y cos ω) ~j
a srovnáním s dostaneme
~i + ~j y x ~a = x = x cos ω + y sin ω y = −x sin ω + y cos ω.
Souřadnice vektoru jsou v dané soustavě souřadné jednoznačně určené. Martina Šimůnková (KAP)
Geometrické vektory
9. března 2008
19 / 27
Otočená soustava, transformační matice
y
Odvození transformačních vztahů
Dva vyznačené úhly mají stejnou velikost, označíme ji ω. Vztahy mezi bazovými vektory jsou
y
~i = ~i cos ω − ~j sin ω ~j = ~i sin ω + ~j cos ω
x
Dosazením do
x
~a = x~i + y ~j
dostaneme
~a = x (~i cos ω − ~j sin ω) + y (~i sin ω + ~j cos ω).
Po úpravě
~a = (x cos ω + y sin ω) ~i + (−x sin ω + y cos ω) ~j
a srovnáním s dostaneme
~i + ~j y x ~a = x = x cos ω + y sin ω y = −x sin ω + y cos ω.
Souřadnice vektoru jsou v dané soustavě souřadné jednoznačně určené. Martina Šimůnková (KAP)
Geometrické vektory
9. března 2008
19 / 27
Otočená soustava, transformační matice
y
Odvození transformačních vztahů
Dva vyznačené úhly mají stejnou velikost, označíme ji ω. Vztahy mezi bazovými vektory jsou
y
~i = ~i cos ω − ~j sin ω ~j = ~i sin ω + ~j cos ω
x
Dosazením do
x
~a = x~i + y ~j
dostaneme
~a = x (~i cos ω − ~j sin ω) + y (~i sin ω + ~j cos ω).
Po úpravě
~a = (x cos ω + y sin ω) ~i + (−x sin ω + y cos ω) ~j
a srovnáním s dostaneme
~i + ~j y x ~a = x = x cos ω + y sin ω y = −x sin ω + y cos ω.
Souřadnice vektoru jsou v dané soustavě souřadné jednoznačně určené. Martina Šimůnková (KAP)
Geometrické vektory
9. března 2008
19 / 27
Otočená soustava, transformační matice
y
Odvození transformačních vztahů
Dva vyznačené úhly mají stejnou velikost, označíme ji ω. Vztahy mezi bazovými vektory jsou
y
~i = ~i cos ω − ~j sin ω ~j = ~i sin ω + ~j cos ω
x
Dosazením do
x
~a = x~i + y ~j
dostaneme
~a = x (~i cos ω − ~j sin ω) + y (~i sin ω + ~j cos ω).
Po úpravě
~a = (x cos ω + y sin ω) ~i + (−x sin ω + y cos ω) ~j
a srovnáním s dostaneme
~i + ~j y x ~a = x = x cos ω + y sin ω y = −x sin ω + y cos ω.
Souřadnice vektoru jsou v dané soustavě souřadné jednoznačně určené. Martina Šimůnková (KAP)
Geometrické vektory
9. března 2008
19 / 27
Otočená soustava, transformační matice
y
Odvození transformačních vztahů
Dva vyznačené úhly mají stejnou velikost, označíme ji ω. Vztahy mezi bazovými vektory jsou
y
~i = ~i cos ω − ~j sin ω ~j = ~i sin ω + ~j cos ω
x
Dosazením do
x
~a = x~i + y ~j
dostaneme
~a = x (~i cos ω − ~j sin ω) + y (~i sin ω + ~j cos ω).
Po úpravě
~a = (x cos ω + y sin ω) ~i + (−x sin ω + y cos ω) ~j
a srovnáním s dostaneme
~i + ~j y x ~a = x = x cos ω + y sin ω y = −x sin ω + y cos ω.
Souřadnice vektoru jsou v dané soustavě souřadné jednoznačně určené. Martina Šimůnková (KAP)
Geometrické vektory
9. března 2008
19 / 27
Otočená soustava, transformační matice
y
Odvození transformačních vztahů
Dva vyznačené úhly mají stejnou velikost, označíme ji ω. Vztahy mezi bazovými vektory jsou
y
~i = ~i cos ω − ~j sin ω ~j = ~i sin ω + ~j cos ω
x
Dosazením do
x
~a = x~i + y ~j
dostaneme
~a = x (~i cos ω − ~j sin ω) + y (~i sin ω + ~j cos ω).
Po úpravě
~a = (x cos ω + y sin ω) ~i + (−x sin ω + y cos ω) ~j
a srovnáním s dostaneme
~i + ~j y x ~a = x = x cos ω + y sin ω y = −x sin ω + y cos ω.
Souřadnice vektoru jsou v dané soustavě souřadné jednoznačně určené. Martina Šimůnková (KAP)
Geometrické vektory
9. března 2008
19 / 27
Otočená soustava, transformační matice
y
Odvození transformačních vztahů
Dva vyznačené úhly mají stejnou velikost, označíme ji ω. Vztahy mezi bazovými vektory jsou
y
~i = ~i cos ω − ~j sin ω ~j = ~i sin ω + ~j cos ω
x
Dosazením do
x
~a = x~i + y ~j
dostaneme
~a = x (~i cos ω − ~j sin ω) + y (~i sin ω + ~j cos ω).
Po úpravě
~a = (x cos ω + y sin ω) ~i + (−x sin ω + y cos ω) ~j | | {z } {z } ~i + ~j y x ~a = x = x cos ω + y sin ω y = −x sin ω + y cos ω.
a srovnáním s dostaneme
Souřadnice vektoru jsou v dané soustavě souřadné jednoznačně určené. Martina Šimůnková (KAP)
Geometrické vektory
9. března 2008
19 / 27
Otočená soustava, transformační matice
y
Odvození transformačních vztahů
Dva vyznačené úhly mají stejnou velikost, označíme ji ω. Vztahy mezi bazovými vektory jsou
y
~i = ~i cos ω − ~j sin ω ~j = ~i sin ω + ~j cos ω
x
Dosazením do
x
~a = x~i + y ~j
dostaneme
~a = x (~i cos ω − ~j sin ω) + y (~i sin ω + ~j cos ω).
Po úpravě
~a = (x cos ω + y sin ω) ~i + (−x sin ω + y cos ω) ~j
a srovnáním s dostaneme
~i + ~j y x ~a = x = x cos ω + y sin ω y = −x sin ω + y cos ω.
Souřadnice vektoru jsou v dané soustavě souřadné jednoznačně určené. Martina Šimůnková (KAP)
Geometrické vektory
9. března 2008
19 / 27
Otočená soustava, transformační matice
Otočení v 3D prostoru
cos ω sin ω Matici A = nazýváme transformační maticí. − sin ω cos ω Ověřte, že platí AAT = AT A = E . V trojrozměrném prostoru reprezentují otočení okolo souřadných os matice:
Ověřte, že platí AxATx = ATx Ax = Ay ATy = ATy Ay = Az ATz = ATz Az = E . Obecná transformační matice reprezentující otočení okolo obecně položené osy procházející počátkem je matice splňující AAT = AT A = E3 . (Ve skutečnosti otočení reprezentuje jen jedna z matic −A,
A, druhá mění orientaci os a tím převádí pravotočivou orientaci na
levotočivou. Příkladem takové matice je −E3 , případně −Ax , −Ay , −Az .)
Martina Šimůnková (KAP)
Geometrické vektory
9. března 2008
20 / 27
Otočená soustava, transformační matice
Otočení v 3D prostoru
cos ω sin ω Matici A = nazýváme transformační maticí. − sin ω cos ω Ověřte, že platí AAT = AT A = E . V trojrozměrném prostoru reprezentují otočení okolo souřadných os matice: 1 0 0 Ax = 0 cos ω sin ω 0 − sin ω cos ω
Ověřte, že platí AxATx = ATx Ax = Ay ATy = ATy Ay = Az ATz = ATz Az = E . Obecná transformační matice reprezentující otočení okolo obecně položené osy procházející počátkem je matice splňující AAT = AT A = E3 . (Ve skutečnosti otočení reprezentuje jen jedna z matic −A,
A, druhá mění orientaci os a tím převádí pravotočivou orientaci na
levotočivou. Příkladem takové matice je −E3 , případně −Ax , −Ay , −Az .)
Martina Šimůnková (KAP)
Geometrické vektory
9. března 2008
20 / 27
Otočená soustava, transformační matice
Otočení v 3D prostoru
cos ω sin ω Matici A = nazýváme transformační maticí. − sin ω cos ω Ověřte, že platí AAT = AT A = E . V trojrozměrném matice: cos ω Ay = 0 − sin ω
prostoru reprezentují otočení okolo souřadných os 0 sin ω 1 0 0 cos ω
Ověřte, že platí AxATx = ATx Ax = Ay ATy = ATy Ay = Az ATz = ATz Az = E . Obecná transformační matice reprezentující otočení okolo obecně položené osy procházející počátkem je matice splňující AAT = AT A = E3 . (Ve skutečnosti otočení reprezentuje jen jedna z matic −A,
A, druhá mění orientaci os a tím převádí pravotočivou orientaci na
levotočivou. Příkladem takové matice je −E3 , případně −Ax , −Ay , −Az .)
Martina Šimůnková (KAP)
Geometrické vektory
9. března 2008
20 / 27
Otočená soustava, transformační matice
Otočení v 3D prostoru
cos ω sin ω Matici A = nazýváme transformační maticí. − sin ω cos ω Ověřte, že platí AAT = AT A = E . V trojrozměrném prostoru reprezentují otočení okolo souřadných os matice: cos ω sin ω 0 Az = − sin ω cos ω 0 0 0 1
Ověřte, že platí AxATx = ATx Ax = Ay ATy = ATy Ay = Az ATz = ATz Az = E . Obecná transformační matice reprezentující otočení okolo obecně položené osy procházející počátkem je matice splňující AAT = AT A = E3 . (Ve skutečnosti otočení reprezentuje jen jedna z matic −A,
A, druhá mění orientaci os a tím převádí pravotočivou orientaci na
levotočivou. Příkladem takové matice je −E3 , případně −Ax , −Ay , −Az .)
Martina Šimůnková (KAP)
Geometrické vektory
9. března 2008
20 / 27
Otočená soustava, transformační matice
Otočení v 3D prostoru
cos ω sin ω Matici A = nazýváme transformační maticí. − sin ω cos ω Ověřte, že platí AAT = AT A = E . V trojrozměrném prostoru reprezentují otočení okolo souřadných os matice: cos ω sin ω 0 Az = − sin ω cos ω 0 0 0 1
Ověřte, že platí AxATx = ATx Ax = Ay ATy = ATy Ay = Az ATz = ATz Az = E . Obecná transformační matice reprezentující otočení okolo obecně položené osy procházející počátkem je matice splňující AAT = AT A = E3 . (Ve skutečnosti otočení reprezentuje jen jedna z matic −A,
A, druhá mění orientaci os a tím převádí pravotočivou orientaci na
levotočivou. Příkladem takové matice je −E3 , případně −Ax , −Ay , −Az .)
Martina Šimůnková (KAP)
Geometrické vektory
9. března 2008
20 / 27
Otočená soustava, transformační matice
Otočení v 3D prostoru
cos ω sin ω Matici A = nazýváme transformační maticí. − sin ω cos ω Ověřte, že platí AAT = AT A = E . V trojrozměrném prostoru reprezentují otočení okolo souřadných os matice: cos ω sin ω 0 Az = − sin ω cos ω 0 0 0 1
Ověřte, že platí AxATx = ATx Ax = Ay ATy = ATy Ay = Az ATz = ATz Az = E . Obecná transformační matice reprezentující otočení okolo obecně položené osy procházející počátkem je matice splňující AAT = AT A = E3 . (Ve skutečnosti otočení reprezentuje jen jedna z matic −A,
A, druhá mění orientaci os a tím převádí pravotočivou orientaci na
levotočivou. Příkladem takové matice je −E3 , případně −Ax , −Ay , −Az .)
Martina Šimůnková (KAP)
Geometrické vektory
9. března 2008
20 / 27
Změna souřadnic v kosoúhlých soustavách, matice přechodu
1
Definice geometrického vektoru
2
Operace s geometrickými vektory
3
Souřadnice geometrických vektorů
4
Baze (v rovině a v trojrozměrném prostoru)
5
Souřadnice vektorů a operace s vektory
6
Otočená soustava, transformační matice
7
Změna souřadnic v kosoúhlých soustavách, matice přechodu Změna souřadnic, matice přechodu Matice přechodu - shrnutí
8
Tři baze a násobení matic přechodu
Martina Šimůnková (KAP)
Geometrické vektory
9. března 2008
21 / 27
Změna souřadnic v kosoúhlých soustavách, matice přechodu
Změna souřadnic, matice přechodu
Na obrázku je znázorněna baze tvořená geometrickými vektory , ~a2 a osy odpovídající soustavy souřadné. Další baze ~a1 je tvořena geometrickými vektory ~b1 , ~b2 , zde jsou odpovídající osy. Vektory baze B = {~b1 , ~b2 } vyjádříme jako lineární kombinaci vektorů baze A = {~a1 ,~a2 }: ~b1 = 1.5 ~a1 + 2 ~a2 ~b2 = ~a1 − 0.5 ~a2 .
(1) (2)
Vztah (1) znamená, že souřadnice vektoru ~b1 vzhledem k bazi A jsou 1 b1 = ( 1.52 ), vztah (2) znamená b2 = ( −0.5 ). Martina Šimůnková (KAP)
Geometrické vektory
9. března 2008
22 / 27
Změna souřadnic v kosoúhlých soustavách, matice přechodu
Změna souřadnic, matice přechodu
Na obrázku je znázorněna baze tvořená geometrickými vektory a osy odpovídající soustavy souřadné. Další baze ~a1 , ~a2 je tvořena geometrickými vektory ~b1 , ~b2 , zde jsou odpovídající osy. Vektory baze B = {~b1 , ~b2 } vyjádříme jako lineární kombinaci vektorů baze A = {~a1 ,~a2 }: ~b1 = 1.5 ~a1 + 2 ~a2 ~b2 = ~a1 − 0.5 ~a2 .
(1) (2)
Vztah (1) znamená, že souřadnice vektoru ~b1 vzhledem k bazi A jsou 1 b1 = ( 1.52 ), vztah (2) znamená b2 = ( −0.5 ). Martina Šimůnková (KAP)
Geometrické vektory
9. března 2008
22 / 27
Změna souřadnic v kosoúhlých soustavách, matice přechodu
Změna souřadnic, matice přechodu
Na obrázku je znázorněna baze tvořená geometrickými vektory ~a1 , ~a2 a osy odpovídající soustavy souřadné. Další baze je tvořena geometrickými vektory ~b1 , ~b2 , zde jsou odpovídající osy. Vektory baze B = {~b1 , ~b2 } vyjádříme jako lineární kombinaci vektorů baze A = {~a1 ,~a2 }: ~b1 = 1.5 ~a1 + 2 ~a2 ~b2 = ~a1 − 0.5 ~a2 .
(1) (2)
Vztah (1) znamená, že souřadnice vektoru ~b1 vzhledem k bazi A jsou 1 b1 = ( 1.52 ), vztah (2) znamená b2 = ( −0.5 ). Martina Šimůnková (KAP)
Geometrické vektory
9. března 2008
22 / 27
Změna souřadnic v kosoúhlých soustavách, matice přechodu
Změna souřadnic, matice přechodu
Na obrázku je znázorněna baze tvořená geometrickými vektory ~a1 , ~a2 a osy odpovídající soustavy souřadné. Další baze je tvořena geometrickými vektory ~b1 , ~b2 , zde jsou odpovídající osy. Vektory baze B = {~b1 , ~b2 } vyjádříme jako lineární kombinaci vektorů baze A = {~a1 ,~a2 }: ~b1 = 1.5 ~a1 + 2 ~a2 ~b2 = ~a1 − 0.5 ~a2 .
(1) (2)
Vztah (1) znamená, že souřadnice vektoru ~b1 vzhledem k bazi A jsou 1 b1 = ( 1.52 ), vztah (2) znamená b2 = ( −0.5 ). Martina Šimůnková (KAP)
Geometrické vektory
9. března 2008
22 / 27
Změna souřadnic v kosoúhlých soustavách, matice přechodu
Změna souřadnic, matice přechodu
Na obrázku je znázorněna baze tvořená geometrickými vektory , ~a2 a osy odpovídající soustavy souřadné. Další baze ~a1 je tvořena geometrickými vektory ~b1 , ~b2 , zde jsou odpovídající osy. Vektory baze B = {~b1 , ~b2 } vyjádříme jako lineární kombinaci vektorů baze A = {~a1 ,~a2 }: ~b1 = 1.5 ~a1 + 2 ~a2 ~b2 = ~a1 − 0.5 ~a2 .
(1) (2)
Vztah (1) znamená, že souřadnice vektoru ~b1 vzhledem k bazi A jsou 1 b1 = ( 1.52 ), vztah (2) znamená b2 = ( −0.5 ). Martina Šimůnková (KAP)
Geometrické vektory
9. března 2008
22 / 27
Změna souřadnic v kosoúhlých soustavách, matice přechodu
Změna souřadnic, matice přechodu
Na obrázku je znázorněna baze tvořená geometrickými vektory , ~a2 a osy odpovídající soustavy souřadné. Další baze ~a1 je tvořena geometrickými vektory ~b1 , ~b2 , zde jsou odpovídající osy. Vektory baze B = {~b1 , ~b2 } vyjádříme jako lineární kombinaci vektorů baze A = {~a1 ,~a2 }: ~b1 = 1.5 ~a1 + 2 ~a2 ~b2 = ~a1 − 0.5 ~a2 .
(1) (2)
Vztah (1) znamená, že souřadnice vektoru ~b1 vzhledem k bazi A jsou 1 b1 = ( 1.52 ), vztah (2) znamená b2 = ( −0.5 ). Martina Šimůnková (KAP)
Geometrické vektory
9. března 2008
22 / 27
Změna souřadnic v kosoúhlých soustavách, matice přechodu
Změna souřadnic, matice přechodu
Na obrázku je znázorněna baze tvořená geometrickými vektory ~a1 , ~a2 a osy odpovídající soustavy souřadné. Další baze je tvořena geometrickými vektory ~b1 , ~b2 , zde jsou odpovídající osy. Vektory baze B = {~b1 , ~b2 } vyjádříme jako lineární kombinaci vektorů baze A = {~a1 ,~a2 }: ~b1 = 1.5 ~a1 + 2 ~a2 ~b2 = ~a1 − 0.5 ~a2 .
(1) (2)
Vztah (1) znamená, že souřadnice vektoru ~b1 vzhledem k bazi A jsou 1 b1 = ( 1.52 ), vztah (2) znamená b2 = ( −0.5 ). Martina Šimůnková (KAP)
Geometrické vektory
9. března 2008
22 / 27
Změna souřadnic v kosoúhlých soustavách, matice přechodu
Změna souřadnic, matice přechodu
Na obrázku je znázorněna baze tvořená geometrickými vektory ~a1 , ~a2 a osy odpovídající soustavy souřadné. Další baze je tvořena geometrickými vektory ~b1 , ~b2 , zde jsou odpovídající osy. Vektory baze B = {~b1 , ~b2 } vyjádříme jako lineární kombinaci vektorů baze A = {~a1 ,~a2 }: ~b1 = 1.5 ~a1 + 2 ~a2 ~b2 = ~a1 − 0.5 ~a2 .
(1) (2)
Vztah (1) znamená, že souřadnice vektoru ~b1 vzhledem k bazi A jsou 1 b1 = ( 1.52 ), vztah (2) znamená b2 = ( −0.5 ). Martina Šimůnková (KAP)
Geometrické vektory
9. března 2008
22 / 27
Změna souřadnic v kosoúhlých soustavách, matice přechodu
Změna souřadnic, matice přechodu
K bazovým vektorům přidáme vektor ~v i s jeho souřadnicemi vzhledem k bazi A: ~v = xa~a1 + ya~a2 a vzhledem k bazi B: ~v = xb~b1 + yb~b2 . Číselně souřadnice pro námi zvolený vektor vycházejí: ~v = 0.8 ~a1 − 1.3 ~a2 ~v = − 0.3 ~b1 + 1.3 ~b2 . Souřadnice napíšeme ve tvaru aritmetických vektorů a horním levým indexem A v = ( xyaa ), B v = ( xybb ) vyznačíme bazi. Vztah ~v = xa~a1 + ya~a2 zapíšeme pomocí aritmetických vektorů B v = xa B a1 + yaB a2 (viz 5. kapitola - Souřadnice vektorů a operace s vektory), případně totéž pomocí matic B v = ( B a1 B a2 ) ( xyaa ) (viz prezentace o aritmetckých vektorech, podkapitola úvodní kapitoly - Lineární kombinace a maticový součin), nebo též B v = ( B a1 B a2 ) A v . Martina Šimůnková (KAP)
Geometrické vektory
9. března 2008
23 / 27
Změna souřadnic v kosoúhlých soustavách, matice přechodu
Změna souřadnic, matice přechodu
K bazovým vektorům přidáme vektor ~v i s jeho souřadnicemi vzhledem k bazi A: ~v = xa~a1 + ya~a2 a vzhledem k bazi B: ~v = xb~b1 + yb~b2 . Číselně souřadnice pro námi zvolený vektor vycházejí: ~v = 0.8 ~a1 − 1.3 ~a2 ~v = − 0.3 ~b1 + 1.3 ~b2 . Souřadnice napíšeme ve tvaru aritmetických vektorů a horním levým indexem A v = ( xyaa ), B v = ( xybb ) vyznačíme bazi. Vztah ~v = xa~a1 + ya~a2 zapíšeme pomocí aritmetických vektorů B v = xa B a1 + yaB a2 (viz 5. kapitola - Souřadnice vektorů a operace s vektory), případně totéž pomocí matic B v = ( B a1 B a2 ) ( xyaa ) (viz prezentace o aritmetckých vektorech, podkapitola úvodní kapitoly - Lineární kombinace a maticový součin), nebo též B v = ( B a1 B a2 ) A v . Martina Šimůnková (KAP)
Geometrické vektory
9. března 2008
23 / 27
Změna souřadnic v kosoúhlých soustavách, matice přechodu
Změna souřadnic, matice přechodu
K bazovým vektorům přidáme vektor ~v i s jeho souřadnicemi vzhledem k bazi A: ~v = xa~a1 + ya~a2 a vzhledem k bazi B: ~v = xb~b1 + yb~b2 . Číselně souřadnice pro námi zvolený vektor vycházejí: ~v = 0.8 ~a1 − 1.3 ~a2 ~v = − 0.3 ~b1 + 1.3 ~b2 . Souřadnice napíšeme ve tvaru aritmetických vektorů a horním levým indexem A v = ( xyaa ), B v = ( xybb ) vyznačíme bazi. Vztah ~v = xa~a1 + ya~a2 zapíšeme pomocí aritmetických vektorů B v = xa B a1 + yaB a2 (viz 5. kapitola - Souřadnice vektorů a operace s vektory), případně totéž pomocí matic B v = ( B a1 B a2 ) ( xyaa ) (viz prezentace o aritmetckých vektorech, podkapitola úvodní kapitoly - Lineární kombinace a maticový součin), nebo též B v = ( B a1 B a2 ) A v . Martina Šimůnková (KAP)
Geometrické vektory
9. března 2008
23 / 27
Změna souřadnic v kosoúhlých soustavách, matice přechodu
Změna souřadnic, matice přechodu
K bazovým vektorům přidáme vektor ~v i s jeho souřadnicemi vzhledem k bazi A: ~v = xa~a1 + ya~a2 a vzhledem k bazi B: ~v = xb~b1 + yb~b2 . Číselně souřadnice pro námi zvolený vektor vycházejí: ~v = 0.8 ~a1 − 1.3 ~a2 ~v = − 0.3 ~b1 + 1.3 ~b2 . Souřadnice napíšeme ve tvaru aritmetických vektorů a horním levým indexem A v = ( xyaa ), B v = ( xybb ) vyznačíme bazi. Vztah ~v = xa~a1 + ya~a2 zapíšeme pomocí aritmetických vektorů B v = xa B a1 + yaB a2 (viz 5. kapitola - Souřadnice vektorů a operace s vektory), případně totéž pomocí matic B v = ( B a1 B a2 ) ( xyaa ) (viz prezentace o aritmetckých vektorech, podkapitola úvodní kapitoly - Lineární kombinace a maticový součin), nebo též B v = ( B a1 B a2 ) A v . Martina Šimůnková (KAP)
Geometrické vektory
9. března 2008
23 / 27
Změna souřadnic v kosoúhlých soustavách, matice přechodu
Změna souřadnic, matice přechodu
K bazovým vektorům přidáme vektor ~v i s jeho souřadnicemi vzhledem k bazi A: ~v = xa~a1 + ya~a2 a vzhledem k bazi B: ~v = xb~b1 + yb~b2 . Číselně souřadnice pro námi zvolený vektor vycházejí: ~v = ?~a1 +?~a2 ~v = − 0.3 ~b1 + 1.3 ~b2 . Souřadnice napíšeme ve tvaru aritmetických vektorů a horním levým indexem A v = ( xyaa ), B v = ( xybb ) vyznačíme bazi. Vztah ~v = xa~a1 + ya~a2 zapíšeme pomocí aritmetických vektorů B v = xa B a1 + yaB a2 (viz 5. kapitola - Souřadnice vektorů a operace s vektory), případně totéž pomocí matic B v = ( B a1 B a2 ) ( xyaa ) (viz prezentace o aritmetckých vektorech, podkapitola úvodní kapitoly - Lineární kombinace a maticový součin), nebo též B v = ( B a1 B a2 ) A v . Martina Šimůnková (KAP)
Geometrické vektory
9. března 2008
23 / 27
Změna souřadnic v kosoúhlých soustavách, matice přechodu
Změna souřadnic, matice přechodu
K bazovým vektorům přidáme vektor ~v i s jeho souřadnicemi vzhledem k bazi A: ~v = xa~a1 + ya~a2 a vzhledem k bazi B: ~v = xb~b1 + yb~b2 . Číselně souřadnice pro námi zvolený vektor vycházejí: ~v = 0.8 ~a1 − 1.3 ~a2 ~v = − 0.3 ~b1 + 1.3 ~b2 . Souřadnice napíšeme ve tvaru aritmetických vektorů a horním levým indexem A v = ( xyaa ), B v = ( xybb ) vyznačíme bazi. Vztah ~v = xa~a1 + ya~a2 zapíšeme pomocí aritmetických vektorů B v = xa B a1 + yaB a2 (viz 5. kapitola - Souřadnice vektorů a operace s vektory), případně totéž pomocí matic B v = ( B a1 B a2 ) ( xyaa ) (viz prezentace o aritmetckých vektorech, podkapitola úvodní kapitoly - Lineární kombinace a maticový součin), nebo též B v = ( B a1 B a2 ) A v . Martina Šimůnková (KAP)
Geometrické vektory
9. března 2008
23 / 27
Změna souřadnic v kosoúhlých soustavách, matice přechodu
Změna souřadnic, matice přechodu
K bazovým vektorům přidáme vektor ~v i s jeho souřadnicemi vzhledem k bazi A: ~v = xa~a1 + ya~a2 a vzhledem k bazi B: ~v = xb~b1 + yb~b2 . Číselně souřadnice pro námi zvolený vektor vycházejí: ~v = 0.8 ~a1 − 1.3 ~a2 ~v = ? ~b1 + ? ~b2 . Souřadnice napíšeme ve tvaru aritmetických vektorů a horním levým indexem A v = ( xyaa ), B v = ( xybb ) vyznačíme bazi. Vztah ~v = xa~a1 + ya~a2 zapíšeme pomocí aritmetických vektorů B v = xa B a1 + yaB a2 (viz 5. kapitola - Souřadnice vektorů a operace s vektory), případně totéž pomocí matic B v = ( B a1 B a2 ) ( xyaa ) (viz prezentace o aritmetckých vektorech, podkapitola úvodní kapitoly - Lineární kombinace a maticový součin), nebo též B v = ( B a1 B a2 ) A v . Martina Šimůnková (KAP)
Geometrické vektory
9. března 2008
23 / 27
Změna souřadnic v kosoúhlých soustavách, matice přechodu
Změna souřadnic, matice přechodu
K bazovým vektorům přidáme vektor ~v i s jeho souřadnicemi vzhledem k bazi A: ~v = xa~a1 + ya~a2 a vzhledem k bazi B: ~v = xb~b1 + yb~b2 . Číselně souřadnice pro námi zvolený vektor vycházejí: ~v = 0.8 ~a1 − 1.3 ~a2 ~v = − 0.3 ~b1 + 1.3 ~b2 . Souřadnice napíšeme ve tvaru aritmetických vektorů a horním levým indexem A v = ( xyaa ), B v = ( xybb ) vyznačíme bazi. Vztah ~v = xa~a1 + ya~a2 zapíšeme pomocí aritmetických vektorů B v = xa B a1 + yaB a2 (viz 5. kapitola - Souřadnice vektorů a operace s vektory), případně totéž pomocí matic B v = ( B a1 B a2 ) ( xyaa ) (viz prezentace o aritmetckých vektorech, podkapitola úvodní kapitoly - Lineární kombinace a maticový součin), nebo též B v = ( B a1 B a2 ) A v . Martina Šimůnková (KAP)
Geometrické vektory
9. března 2008
23 / 27
Změna souřadnic v kosoúhlých soustavách, matice přechodu
Změna souřadnic, matice přechodu
K bazovým vektorům přidáme vektor ~v i s jeho souřadnicemi vzhledem k bazi A: ~v = xa~a1 + ya~a2 a vzhledem k bazi B: ~v = xb~b1 + yb~b2 . Číselně souřadnice pro námi zvolený vektor vycházejí: ~v = 0.8 ~a1 − 1.3 ~a2 ~v = − 0.3 ~b1 + 1.3 ~b2 . Souřadnice napíšeme ve tvaru aritmetických vektorů a horním levým indexem A v = ( xyaa ) vyznačíme bazi. Vztah ~v = xa~a1 + ya~a2 zapíšeme pomocí aritmetických vektorů B v = xa B a1 + yaB a2 (viz 5. kapitola - Souřadnice vektorů a operace s vektory), případně totéž pomocí matic B v = ( B a1 B a2 ) ( xyaa ) (viz prezentace o aritmetckých vektorech, podkapitola úvodní kapitoly - Lineární kombinace a maticový součin), nebo též B v = ( B a1 B a2 ) A v . Martina Šimůnková (KAP)
Geometrické vektory
9. března 2008
23 / 27
Změna souřadnic v kosoúhlých soustavách, matice přechodu
Změna souřadnic, matice přechodu
K bazovým vektorům přidáme vektor ~v i s jeho souřadnicemi vzhledem k bazi A: ~v = xa~a1 + ya~a2 a vzhledem k bazi B: ~v = xb~b1 + yb~b2 . Číselně souřadnice pro námi zvolený vektor vycházejí: ~v = 0.8 ~a1 − 1.3 ~a2 ~v = − 0.3 ~b1 + 1.3 ~b2 . Souřadnice napíšeme ve tvaru aritmetických vektorů a horním levým B indexem v = ( xybb ) vyznačíme bazi. Vztah ~v = xa~a1 + ya~a2 zapíšeme pomocí aritmetických vektorů B v = xa B a1 + yaB a2 (viz 5. kapitola - Souřadnice vektorů a operace s vektory), případně totéž pomocí matic B v = ( B a1 B a2 ) ( xyaa ) (viz prezentace o aritmetckých vektorech, podkapitola úvodní kapitoly - Lineární kombinace a maticový součin), nebo též B v = ( B a1 B a2 ) A v . Martina Šimůnková (KAP)
Geometrické vektory
9. března 2008
23 / 27
Změna souřadnic v kosoúhlých soustavách, matice přechodu
Změna souřadnic, matice přechodu
K bazovým vektorům přidáme vektor ~v i s jeho souřadnicemi vzhledem k bazi A: ~v = xa~a1 + ya~a2 a vzhledem k bazi B: ~v = xb~b1 + yb~b2 . Číselně souřadnice pro námi zvolený vektor vycházejí: ~v = 0.8 ~a1 − 1.3 ~a2 ~v = − 0.3 ~b1 + 1.3 ~b2 . Souřadnice napíšeme ve tvaru aritmetických vektorů a horním levým indexem A v = ( xyaa ), B v = ( xybb ) vyznačíme bazi. Vztah ~v = xa~a1 + ya~a2 zapíšeme pomocí aritmetických vektorů B v = xa B a1 + yaB a2 (viz 5. kapitola - Souřadnice vektorů a operace s vektory), případně totéž pomocí matic B v = ( B a1 B a2 ) ( xyaa ) (viz prezentace o aritmetckých vektorech, podkapitola úvodní kapitoly - Lineární kombinace a maticový součin), nebo též B v = ( B a1 B a2 ) A v . Martina Šimůnková (KAP)
Geometrické vektory
9. března 2008
23 / 27
Změna souřadnic v kosoúhlých soustavách, matice přechodu
Změna souřadnic, matice přechodu
K bazovým vektorům přidáme vektor ~v i s jeho souřadnicemi vzhledem k bazi A: ~v = xa~a1 + ya~a2 a vzhledem k bazi B: ~v = xb~b1 + yb~b2 . Číselně souřadnice pro námi zvolený vektor vycházejí: ~v = 0.8 ~a1 − 1.3 ~a2 ~v = − 0.3 ~b1 + 1.3 ~b2 . Souřadnice napíšeme ve tvaru aritmetických vektorů a horním levým indexem A v = ( xyaa ), B v = ( xybb ) vyznačíme bazi. Vztah ~v = xa~a1 + ya~a2 zapíšeme pomocí aritmetických vektorů B v = xa B a1 + yaB a2 (viz 5. kapitola - Souřadnice vektorů a operace s vektory), případně totéž pomocí matic B v = ( B a1 B a2 ) ( xyaa ) (viz prezentace o aritmetckých vektorech, podkapitola úvodní kapitoly - Lineární kombinace a maticový součin), nebo též B v = ( B a1 B a2 ) A v . Martina Šimůnková (KAP)
Geometrické vektory
9. března 2008
23 / 27
Změna souřadnic v kosoúhlých soustavách, matice přechodu
Změna souřadnic, matice přechodu
K bazovým vektorům přidáme vektor ~v i s jeho souřadnicemi vzhledem k bazi A: ~v = xa~a1 + ya~a2 a vzhledem k bazi B: ~v = xb~b1 + yb~b2 . Číselně souřadnice pro námi zvolený vektor vycházejí: ~v = 0.8 ~a1 − 1.3 ~a2 ~v = − 0.3 ~b1 + 1.3 ~b2 . Souřadnice napíšeme ve tvaru aritmetických vektorů a horním levým indexem A v = ( xyaa ), B v = ( xybb ) vyznačíme bazi. Vztah ~v = xa~a1 + ya~a2 zapíšeme pomocí aritmetických vektorů B v = xa B a1 + yaB a2 (viz 5. kapitola - Souřadnice vektorů a operace s vektory), případně totéž pomocí matic B v = ( B a1 B a2 ) ( xyaa ) (viz prezentace o aritmetckých vektorech, podkapitola úvodní kapitoly - Lineární kombinace a maticový součin), nebo též B v = ( B a1 B a2 ) A v . Martina Šimůnková (KAP)
Geometrické vektory
9. března 2008
23 / 27
Změna souřadnic v kosoúhlých soustavách, matice přechodu
Matici ( B a1 B. 1 2
Ba 2
Matice přechodu - shrnutí
) budeme nazývat maticí přechodu od baze A k bazi
Budeme ji značit symbolem PA→B . V jejích sloupcích jsou souřadnice vektorů staré baze (A) vzhledem k nové bazi (B).
Slouží k přepočtu souřadnic dle vztahu B v = PA→B A v . cos ω sin ω Transformační matice je speciálním případem − sin ω cos ω matice přechodu. 3
Martina Šimůnková (KAP)
Geometrické vektory
9. března 2008
24 / 27
Změna souřadnic v kosoúhlých soustavách, matice přechodu
Matici ( B a1 B. 1 2
Ba 2
Matice přechodu - shrnutí
) budeme nazývat maticí přechodu od baze A k bazi
Budeme ji značit symbolem PA→B . V jejích sloupcích jsou souřadnice vektorů staré baze (A) vzhledem k nové bazi (B).
Slouží k přepočtu souřadnic dle vztahu B v = PA→B A v . cos ω sin ω Transformační matice je speciálním případem − sin ω cos ω matice přechodu. 3
Martina Šimůnková (KAP)
Geometrické vektory
9. března 2008
24 / 27
Změna souřadnic v kosoúhlých soustavách, matice přechodu
Matici ( B a1 B. 1 2
Ba 2
Matice přechodu - shrnutí
) budeme nazývat maticí přechodu od baze A k bazi
Budeme ji značit symbolem PA→B . V jejích sloupcích jsou souřadnice vektorů staré baze (A) vzhledem k nové bazi (B).
Slouží k přepočtu souřadnic dle vztahu B v = PA→B A v . cos ω sin ω Transformační matice je speciálním případem − sin ω cos ω matice přechodu. 3
Martina Šimůnková (KAP)
Geometrické vektory
9. března 2008
24 / 27
Změna souřadnic v kosoúhlých soustavách, matice přechodu
Matici ( B a1 B. 1 2
Ba 2
Matice přechodu - shrnutí
) budeme nazývat maticí přechodu od baze A k bazi
Budeme ji značit symbolem PA→B . V jejích sloupcích jsou souřadnice vektorů staré baze (A) vzhledem k nové bazi (B).
Slouží k přepočtu souřadnic dle vztahu B v = PA→B A v . cos ω sin ω Transformační matice je speciálním případem − sin ω cos ω matice přechodu. 3
Martina Šimůnková (KAP)
Geometrické vektory
9. března 2008
24 / 27
Změna souřadnic v kosoúhlých soustavách, matice přechodu
Matici ( B a1 B. 1 2
Ba 2
Matice přechodu - shrnutí
) budeme nazývat maticí přechodu od baze A k bazi
Budeme ji značit symbolem PA→B . V jejích sloupcích jsou souřadnice vektorů staré baze (A) vzhledem k nové bazi (B).
Slouží k přepočtu souřadnic dle vztahu B v = PA→B A v . cos ω sin ω Transformační matice je speciálním případem − sin ω cos ω matice přechodu. 3
Martina Šimůnková (KAP)
Geometrické vektory
9. března 2008
24 / 27
Tři baze a násobení matic přechodu
1
Definice geometrického vektoru
2
Operace s geometrickými vektory
3
Souřadnice geometrických vektorů
4
Baze (v rovině a v trojrozměrném prostoru)
5
Souřadnice vektorů a operace s vektory
6
Otočená soustava, transformační matice
7
Změna souřadnic v kosoúhlých soustavách, matice přechodu
8
Tři baze a násobení matic přechodu Dvojí otočení, součtové vzorce pro goniometrické funkce Kosoúhlé soustavy, násobení matic přechodu
Martina Šimůnková (KAP)
Geometrické vektory
9. března 2008
25 / 27
Tři baze a násobení matic přechodu
Dvojí otočení, součtové vzorce pro goniometrické funkce
Vektor ~r má v jednotlivých soustavách souřadnice A r = ( xy ), B r = ( xy ), C r = ( xy ). Úhly mezi jednotlivými soustavami označíme α, β. Mezi dvojicemi soustav se souřadnice přepočítávají podle vztahů B sin α α sin α A r = ( xy ) = ( −cossinαα cos ) ( xy ) = ( −cos α sin α cos α ) r sin β x cos β sin β B C r = ( xy ) = −cossinββ cos r β (y) = − sin β cos β Dosazením prvního vztahu do druhého dostaneme cos α sin α A sin β C r = −cossinββ cos β ( − sin α cos α ) r Souřadnice v soustaváchA a C lze přepočítat přímo dle cos(α+β) sin(α+β) A Úkol: porovnáním posledních dvou vztahů a vynásobením matic C r = − sin(α+β) cos(α+β) r v prvním z nich odvoďte součtové vzorce pro sinus a kosinus. Martina Šimůnková (KAP)
Geometrické vektory
9. března 2008
26 / 27
Tři baze a násobení matic přechodu
Dvojí otočení, součtové vzorce pro goniometrické funkce
y
x
Vektor ~r má v jednotlivých soustavách souřadnice A r = ( xy ), B r = ( xy ), C r = ( xy ). Úhly mezi jednotlivými soustavami označíme α, β.
Mezi dvojicemi soustav se souřadnice přepočítávají podle vztahů B sin α α sin α A r = ( xy ) = ( −cossinαα cos ) ( xy ) = ( −cos α sin α cos α ) r sin β x cos β sin β B C r = ( xy ) = −cossinββ cos r β (y) = − sin β cos β Dosazením prvního vztahu do druhého dostaneme cos α sin α A sin β C r = −cossinββ cos β ( − sin α cos α ) r Souřadnice v soustaváchA a C lze přepočítat přímo dle cos(α+β) sin(α+β) A Úkol: porovnáním posledních dvou vztahů a vynásobením matic C r = − sin(α+β) cos(α+β) r v prvním z nich odvoďte součtové vzorce pro sinus a kosinus. Martina Šimůnková (KAP)
Geometrické vektory
9. března 2008
26 / 27
Tři baze a násobení matic přechodu
Dvojí otočení, součtové vzorce pro goniometrické funkce
y Vektor ~r má v jednotlivých soustavách souřadnice A r = ( xy ), B r = ( xy ), C r = ( xy ). x Úhly mezi jednotlivými soustavami označíme α, β. Mezi dvojicemi soustav se souřadnice přepočítávají podle vztahů B sin α α sin α A r = ( xy ) = ( −cossinαα cos ) ( xy ) = ( −cos α sin α cos α ) r sin β x cos β sin β B C r = ( xy ) = −cossinββ cos r β (y) = − sin β cos β Dosazením prvního vztahu do druhého dostaneme cos α sin α A sin β C r = −cossinββ cos β ( − sin α cos α ) r Souřadnice v soustaváchA a C lze přepočítat přímo dle cos(α+β) sin(α+β) A Úkol: porovnáním posledních dvou vztahů a vynásobením matic C r = − sin(α+β) cos(α+β) r v prvním z nich odvoďte součtové vzorce pro sinus a kosinus. Martina Šimůnková (KAP)
Geometrické vektory
9. března 2008
26 / 27
Tři baze a násobení matic přechodu
Dvojí otočení, součtové vzorce pro goniometrické funkce
y x
Vektor ~r má v jednotlivých soustavách souřadnice A r = ( xy ), B r = ( xy ), C r = ( xy ). Úhly mezi jednotlivými soustavami označíme α, β.
Mezi dvojicemi soustav se souřadnice přepočítávají podle vztahů B sin α α sin α A r = ( xy ) = ( −cossinαα cos ) ( xy ) = ( −cos α sin α cos α ) r sin β x cos β sin β B C r = ( xy ) = −cossinββ cos r β (y) = − sin β cos β Dosazením prvního vztahu do druhého dostaneme cos α sin α A sin β C r = −cossinββ cos β ( − sin α cos α ) r Souřadnice v soustaváchA a C lze přepočítat přímo dle cos(α+β) sin(α+β) A Úkol: porovnáním posledních dvou vztahů a vynásobením matic C r = − sin(α+β) cos(α+β) r v prvním z nich odvoďte součtové vzorce pro sinus a kosinus. Martina Šimůnková (KAP)
Geometrické vektory
9. března 2008
26 / 27
Tři baze a násobení matic přechodu
y y
Dvojí otočení, součtové vzorce pro goniometrické funkce
y Vektor ~r má v jednotlivých soux A x stavách souřadnice r = ( y ), B r = ( xy ), C r = ( xy ). x Úhly mezi jednotlivými soustavami označíme α, β. x
Mezi dvojicemi soustav se souřadnice přepočítávají podle vztahů B sin α α sin α A r = ( xy ) = ( −cossinαα cos ) ( xy ) = ( −cos α sin α cos α ) r sin β x cos β sin β B C r = ( xy ) = −cossinββ cos r β (y) = − sin β cos β Dosazením prvního vztahu do druhého dostaneme cos α sin α A sin β C r = −cossinββ cos β ( − sin α cos α ) r Souřadnice v soustaváchA a C lze přepočítat přímo dle cos(α+β) sin(α+β) A Úkol: porovnáním posledních dvou vztahů a vynásobením matic C r = − sin(α+β) cos(α+β) r v prvním z nich odvoďte součtové vzorce pro sinus a kosinus. Martina Šimůnková (KAP)
Geometrické vektory
9. března 2008
26 / 27
Tři baze a násobení matic přechodu
y y
Dvojí otočení, součtové vzorce pro goniometrické funkce
y Vektor ~r má v jednotlivých soux A x stavách souřadnice r = ( y ), B r = ( xy ), C r = ( xy ). x Úhly mezi jednotlivými soustavami označíme α, β. x
Mezi dvojicemi soustav se souřadnice přepočítávají podle vztahů B sin α α sin α A r = ( xy ) = ( −cossinαα cos ) ( xy ) = ( −cos α sin α cos α ) r sin β x cos β sin β B C r = ( xy ) = −cossinββ cos r β (y) = − sin β cos β Dosazením prvního vztahu do druhého dostaneme cos α sin α A sin β C r = −cossinββ cos β ( − sin α cos α ) r Souřadnice v soustaváchA a C lze přepočítat přímo dle cos(α+β) sin(α+β) A Úkol: porovnáním posledních dvou vztahů a vynásobením matic C r = − sin(α+β) cos(α+β) r v prvním z nich odvoďte součtové vzorce pro sinus a kosinus. Martina Šimůnková (KAP)
Geometrické vektory
9. března 2008
26 / 27
Tři baze a násobení matic přechodu
y y
Dvojí otočení, součtové vzorce pro goniometrické funkce
y Vektor ~r má v jednotlivých soux A x stavách souřadnice r = ( y ), B r = ( xy ), C r = ( xy ). x Úhly mezi jednotlivými soustavami označíme α, β. x
Mezi dvojicemi soustav se souřadnice přepočítávají podle vztahů B sin α α sin α A r = ( xy ) = ( −cossinαα cos ) ( xy ) = ( −cos α sin α cos α ) r sin β x cos β sin β B C r = ( xy ) = −cossinββ cos r β (y) = − sin β cos β Dosazením prvního vztahu do druhého dostaneme cos α sin α A sin β C r = −cossinββ cos β ( − sin α cos α ) r Souřadnice v soustaváchA a C lze přepočítat přímo dle cos(α+β) sin(α+β) A Úkol: porovnáním posledních dvou vztahů a vynásobením matic C r = − sin(α+β) cos(α+β) r v prvním z nich odvoďte součtové vzorce pro sinus a kosinus. Martina Šimůnková (KAP)
Geometrické vektory
9. března 2008
26 / 27
Tři baze a násobení matic přechodu
y y
Dvojí otočení, součtové vzorce pro goniometrické funkce
y Vektor ~r má v jednotlivých soux A x stavách souřadnice r = ( y ), B r = ( xy ), C r = ( xy ). x Úhly mezi jednotlivými soustavami označíme α, β. x
Mezi dvojicemi soustav se souřadnice přepočítávají podle vztahů B sin α α sin α A r = ( xy ) = ( −cossinαα cos ) ( xy ) = ( −cos α sin α cos α ) r sin β x cos β sin β B C r = ( xy ) = −cossinββ cos r β (y) = − sin β cos β Dosazením prvního vztahu do druhého dostaneme cos α sin α A sin β C r = −cossinββ cos β ( − sin α cos α ) r Souřadnice v soustaváchA a C lze přepočítat přímo dle cos(α+β) sin(α+β) A Úkol: porovnáním posledních dvou vztahů a vynásobením matic C r = − sin(α+β) cos(α+β) r v prvním z nich odvoďte součtové vzorce pro sinus a kosinus. Martina Šimůnková (KAP)
Geometrické vektory
9. března 2008
26 / 27
Tři baze a násobení matic přechodu
y y
Dvojí otočení, součtové vzorce pro goniometrické funkce
y Vektor ~r má v jednotlivých soux A x stavách souřadnice r = ( y ), B r = ( xy ), C r = ( xy ). x Úhly mezi jednotlivými soustavami označíme α, β. x
Mezi dvojicemi soustav se souřadnice přepočítávají podle vztahů B α sin α A r= ( −cos sin α cos α ) r cos β sin β B C r= r − sin β cos β Dosazením prvního vztahu do druhého dostaneme cos α sin α A sin β C r = −cossinββ cos β ( − sin α cos α ) r Souřadnice v soustaváchA a C lze přepočítat přímo dle cos(α+β) sin(α+β) A Úkol: porovnáním posledních dvou vztahů a vynásobením matic C r = − sin(α+β) cos(α+β) r v prvním z nich odvoďte součtové vzorce pro sinus a kosinus. Martina Šimůnková (KAP)
Geometrické vektory
9. března 2008
26 / 27
Tři baze a násobení matic přechodu
y y
Dvojí otočení, součtové vzorce pro goniometrické funkce
y Vektor ~r má v jednotlivých soux A x stavách souřadnice r = ( y ), B r = ( xy ), C r = ( xy ). x Úhly mezi jednotlivými soustavami označíme α, β. x
Mezi dvojicemi soustav se souřadnice přepočítávají podle vztahů B α sin α A r= ( −cos sin α cos α ) r cos β sin β B C r= r − sin β cos β Dosazením prvního vztahu do druhého dostaneme cos α sin α A sin β C r = −cossinββ cos β ( − sin α cos α ) r Souřadnice v soustaváchA a C lze přepočítat přímo dle cos(α+β) sin(α+β) A Úkol: porovnáním posledních dvou vztahů a vynásobením matic C r = − sin(α+β) cos(α+β) r v prvním z nich odvoďte součtové vzorce pro sinus a kosinus. Martina Šimůnková (KAP)
Geometrické vektory
9. března 2008
26 / 27
Tři baze a násobení matic přechodu
y y
Dvojí otočení, součtové vzorce pro goniometrické funkce
y Vektor ~r má v jednotlivých soux A x stavách souřadnice r = ( y ), B r = ( xy ), C r = ( xy ). x Úhly mezi jednotlivými soustavami označíme α, β. x
Mezi dvojicemi soustav se souřadnice přepočítávají podle vztahů B α sin α A r= ( −cos sin α cos α ) r cos β sin β B C r= r − sin β cos β Dosazením prvního vztahu do druhého dostaneme cos α sin α A sin β C r = −cossinββ cos β ( − sin α cos α ) r Souřadnice v soustaváchA a C lze přepočítat přímo dle cos(α+β) sin(α+β) A Úkol: porovnáním posledních dvou vztahů a vynásobením matic C r = − sin(α+β) cos(α+β) r v prvním z nich odvoďte součtové vzorce pro sinus a kosinus. Martina Šimůnková (KAP)
Geometrické vektory
9. března 2008
26 / 27
Tři baze a násobení matic přechodu
y y
Dvojí otočení, součtové vzorce pro goniometrické funkce
y Vektor ~r má v jednotlivých soux A x stavách souřadnice r = ( y ), B r = ( xy ), C r = ( xy ). x Úhly mezi jednotlivými soustavami označíme α, β. x
Mezi dvojicemi soustav se souřadnice přepočítávají podle vztahů B α sin α A r= ( −cos sin α cos α ) r cos β sin β B C r= r − sin β cos β Dosazením prvního vztahu do druhého dostaneme cos α sin α A sin β C r = −cossinββ cos β ( − sin α cos α ) r Souřadnice v soustaváchA a C lze přepočítat přímo dle cos(α+β) sin(α+β) A Úkol: porovnáním posledních dvou vztahů a vynásobením matic C r = − sin(α+β) cos(α+β) r v prvním z nich odvoďte součtové vzorce pro sinus a kosinus. Martina Šimůnková (KAP)
Geometrické vektory
9. března 2008
26 / 27
Tři baze a násobení matic přechodu
y y
Dvojí otočení, součtové vzorce pro goniometrické funkce
y Vektor ~r má v jednotlivých soux A x stavách souřadnice r = ( y ), B r = ( xy ), C r = ( xy ). x Úhly mezi jednotlivými soustavami označíme α, β. x
Mezi dvojicemi soustav se souřadnice přepočítávají podle vztahů B α sin α A r= ( −cos sin α cos α ) r cos β sin β B C r= r − sin β cos β Dosazením prvního vztahu do druhého dostaneme cos α sin α A sin β C r = −cossinββ cos β ( − sin α cos α ) r Souřadnice v soustaváchA a C lze přepočítat přímo dle cos(α+β) sin(α+β) A Úkol: porovnáním posledních dvou vztahů a vynásobením matic C r = − sin(α+β) cos(α+β) r v prvním z nich odvoďte součtové vzorce pro sinus a kosinus. Martina Šimůnková (KAP)
Geometrické vektory
9. března 2008
26 / 27
Tři baze a násobení matic přechodu
Kosoúhlé soustavy, násobení matic přechodu
Provedeme bez doprovodu obrázků pro kosoúhlé soustavy totéž, co jsme na minulé straně dělali pro kartézské. Souřadnice mezi bazemi A, B, C přepočítáváme pomocí matic přechodu: B
r = PA→B A r ,
r = PB→C B r .
r z prvního vztahu do druhého dostaneme C r = PB→C PA→B Ar
Dosazením za (⋆)
C
B
(Kontrolní otázka: proč tento vztah neobsahuje žádné závorky?)
Vidíme, že matice P := PB→C PA→B slouží k přepočtu souřadnic vzhledem k bazím A a C, a proto je (⋆⋆) PA→C = PB→C PA→B . Pro přemýšlivé studenty: rovnici můžeme krátit pouze regulárními maticemi - definice viz prezentace o maticích - a aritmetický vektor, jako například A r není regulární maticí. Vztah (⋆) platí pro všechny aritmetické vektory A r , a proto platí (⋆⋆).
Martina Šimůnková (KAP)
Geometrické vektory
9. března 2008
27 / 27
Tři baze a násobení matic přechodu
Kosoúhlé soustavy, násobení matic přechodu
Provedeme bez doprovodu obrázků pro kosoúhlé soustavy totéž, co jsme na minulé straně dělali pro kartézské. Souřadnice mezi bazemi A, B, C přepočítáváme pomocí matic přechodu: B
r = PA→B A r ,
r = PB→C B r .
r z prvního vztahu do druhého dostaneme C r = PB→C PA→B Ar
Dosazením za (⋆)
C
B
(Kontrolní otázka: proč tento vztah neobsahuje žádné závorky?)
Vidíme, že matice P := PB→C PA→B slouží k přepočtu souřadnic vzhledem k bazím A a C, a proto je (⋆⋆) PA→C = PB→C PA→B . Pro přemýšlivé studenty: rovnici můžeme krátit pouze regulárními maticemi - definice viz prezentace o maticích - a aritmetický vektor, jako například A r není regulární maticí. Vztah (⋆) platí pro všechny aritmetické vektory A r , a proto platí (⋆⋆).
Martina Šimůnková (KAP)
Geometrické vektory
9. března 2008
27 / 27
Tři baze a násobení matic přechodu
Kosoúhlé soustavy, násobení matic přechodu
Provedeme bez doprovodu obrázků pro kosoúhlé soustavy totéž, co jsme na minulé straně dělali pro kartézské. Souřadnice mezi bazemi A, B, C přepočítáváme pomocí matic přechodu: B
r = PA→B A r ,
r = PB→C B r .
r z prvního vztahu do druhého dostaneme C r = PB→C PA→B Ar
Dosazením za (⋆)
C
B
(Kontrolní otázka: proč tento vztah neobsahuje žádné závorky?)
Vidíme, že matice P := PB→C PA→B slouží k přepočtu souřadnic vzhledem k bazím A a C, a proto je (⋆⋆) PA→C = PB→C PA→B . Pro přemýšlivé studenty: rovnici můžeme krátit pouze regulárními maticemi - definice viz prezentace o maticích - a aritmetický vektor, jako například A r není regulární maticí. Vztah (⋆) platí pro všechny aritmetické vektory A r , a proto platí (⋆⋆).
Martina Šimůnková (KAP)
Geometrické vektory
9. března 2008
27 / 27
Tři baze a násobení matic přechodu
Kosoúhlé soustavy, násobení matic přechodu
Provedeme bez doprovodu obrázků pro kosoúhlé soustavy totéž, co jsme na minulé straně dělali pro kartézské. Souřadnice mezi bazemi A, B, C přepočítáváme pomocí matic přechodu: B
r = PA→B A r ,
r = PB→C B r .
r z prvního vztahu do druhého dostaneme C r = PB→C PA→B Ar
Dosazením za (⋆)
C
B
(Kontrolní otázka: proč tento vztah neobsahuje žádné závorky?)
Vidíme, že matice P := PB→C PA→B slouží k přepočtu souřadnic vzhledem k bazím A a C, a proto je (⋆⋆) PA→C = PB→C PA→B . Pro přemýšlivé studenty: rovnici můžeme krátit pouze regulárními maticemi - definice viz prezentace o maticích - a aritmetický vektor, jako například A r není regulární maticí. Vztah (⋆) platí pro všechny aritmetické vektory A r , a proto platí (⋆⋆).
Martina Šimůnková (KAP)
Geometrické vektory
9. března 2008
27 / 27
Tři baze a násobení matic přechodu
Kosoúhlé soustavy, násobení matic přechodu
Provedeme bez doprovodu obrázků pro kosoúhlé soustavy totéž, co jsme na minulé straně dělali pro kartézské. Souřadnice mezi bazemi A, B, C přepočítáváme pomocí matic přechodu: B
r = PA→B A r ,
r = PB→C B r .
r z prvního vztahu do druhého dostaneme C r = PB→C PA→B Ar
Dosazením za (⋆)
C
B
(Kontrolní otázka: proč tento vztah neobsahuje žádné závorky?)
Vidíme, že matice P := PB→C PA→B slouží k přepočtu souřadnic vzhledem k bazím A a C, a proto je (⋆⋆) PA→C = PB→C PA→B . Pro přemýšlivé studenty: rovnici můžeme krátit pouze regulárními maticemi - definice viz prezentace o maticích - a aritmetický vektor, jako například A r není regulární maticí. Vztah (⋆) platí pro všechny aritmetické vektory A r , a proto platí (⋆⋆).
Martina Šimůnková (KAP)
Geometrické vektory
9. března 2008
27 / 27
Tři baze a násobení matic přechodu
Kosoúhlé soustavy, násobení matic přechodu
Provedeme bez doprovodu obrázků pro kosoúhlé soustavy totéž, co jsme na minulé straně dělali pro kartézské. Souřadnice mezi bazemi A, B, C přepočítáváme pomocí matic přechodu: B
r = PA→B A r ,
r = PB→C B r .
r z prvního vztahu do druhého dostaneme C r = PB→C PA→B Ar
Dosazením za (⋆)
C
B
(Kontrolní otázka: proč tento vztah neobsahuje žádné závorky?)
Vidíme, že matice P := PB→C PA→B slouží k přepočtu souřadnic vzhledem k bazím A a C, a proto je (⋆⋆) PA→C = PB→C PA→B . Pro přemýšlivé studenty: rovnici můžeme krátit pouze regulárními maticemi - definice viz prezentace o maticích - a aritmetický vektor, jako například A r není regulární maticí. Vztah (⋆) platí pro všechny aritmetické vektory A r , a proto platí (⋆⋆).
Martina Šimůnková (KAP)
Geometrické vektory
9. března 2008
27 / 27
Tři baze a násobení matic přechodu
Kosoúhlé soustavy, násobení matic přechodu
Provedeme bez doprovodu obrázků pro kosoúhlé soustavy totéž, co jsme na minulé straně dělali pro kartézské. Souřadnice mezi bazemi A, B, C přepočítáváme pomocí matic přechodu: B
r = PA→B A r ,
r = PB→C B r .
r z prvního vztahu do druhého dostaneme C r = PB→C PA→B Ar
Dosazením za (⋆)
C
B
(Kontrolní otázka: proč tento vztah neobsahuje žádné závorky?)
Vidíme, že matice P := PB→C PA→B slouží k přepočtu souřadnic vzhledem k bazím A a C, a proto je (⋆⋆) PA→C = PB→C PA→B . Pro přemýšlivé studenty: rovnici můžeme krátit pouze regulárními maticemi - definice viz prezentace o maticích - a aritmetický vektor, jako například A r není regulární maticí. Vztah (⋆) platí pro všechny aritmetické vektory A r , a proto platí (⋆⋆).
Martina Šimůnková (KAP)
Geometrické vektory
9. března 2008
27 / 27
Tři baze a násobení matic přechodu
Kosoúhlé soustavy, násobení matic přechodu
Provedeme bez doprovodu obrázků pro kosoúhlé soustavy totéž, co jsme na minulé straně dělali pro kartézské. Souřadnice mezi bazemi A, B, C přepočítáváme pomocí matic přechodu: B
r = PA→B A r ,
r = PB→C B r .
r z prvního vztahu do druhého dostaneme C r = PB→C PA→B Ar
Dosazením za (⋆)
C
B
(Kontrolní otázka: proč tento vztah neobsahuje žádné závorky?)
Vidíme, že matice P := PB→C PA→B slouží k přepočtu souřadnic vzhledem k bazím A a C, a proto je (⋆⋆) PA→C = PB→C PA→B . Pro přemýšlivé studenty: rovnici můžeme krátit pouze regulárními maticemi - definice viz prezentace o maticích - a aritmetický vektor, jako například A r není regulární maticí. Vztah (⋆) platí pro všechny aritmetické vektory A r , a proto platí (⋆⋆).
Martina Šimůnková (KAP)
Geometrické vektory
9. března 2008
27 / 27
