Je statisticky dokázáno… Martina Litschmannová Katedra aplikované matematiky, FEI, VŠB-TU Ostrava
Co vypovídá statistika o jednotlivci?
Lukáš Pavlásek (jednotlivec)
skaut
podnikatel
občan ČR
• Statistika nezkoumá jednotlivce jako individualitu, ale jako anonymního nositele některého znaku (činnosti, vlastnosti). • Statistika je nauka o hromadných jevech. 2
Co je to statistika? • teoretická disciplína, která se zabývá metodami sběru a analýzy dat
Jak provést statistické šetření? úplné šetření
statistická jednotka
statistické znaky – údaje, které u statistických znaků sledujeme (např. váha, výška, IQ, …)
= ZÁKLADNÍ SOUBOR 3
Co je to statistika? • teoretická disciplína, která se zabývá metodami sběru a analýzy dat
Jak provést statistické šetření? úplné šetření
výběrové šetření
REPREZENTATIVNÍ výběr
4
Co je to statistika? • teoretická disciplína, která se zabývá metodami sběru a analýzy dat
Jak analyzovat data? Exploratorní (popisná) statistika
Exploratorní (popisná) statistika
5
Základní pojmy ze statistické metodologie výběrové šetření
•
Exploratorní (popisná) statistika
Popisná statistika (angl. Exploratory Data Analysis, EDA) - uspořádání proměnných do názornější formy a jejich popis několika málo hodnotami, které by obsahovaly co největší množství informací obsažených v původním souboru.
6
Základní pojmy ze statistické metodologie výběrové šetření
Exploratorní (popisná) statistika
7
Několik nesouvislých poznámek EDA pro kvantitativní (číselné) znaky • ošidný průměr • proč potřebujeme míry variability Analýza závislosti dvou kvantitativních znaků • co nám říká korelační koeficient • co nám neříká korelační koeficient
8
Ošidný průměr Statistik, který má hlavu v sauně a nohy v ledničce, hovoří o příjemné průměrné teplotě. Autor neznámý
9
Ošidnost průměru
Zdroj: [1]
10
Ošidnost průměru
Země K
Průměrná produkce kuřat (na osobu): 1,0 (denně)
11
Ošidnost průměru
„Průměrná rodina má 2,2 dítěte.“ Zdroj: [1]
12
Ošidnost průměru n
Aritmetický průměr:
x
x i 1
i
n
Na co si dát pozor? Harmonický průměr • používá se, pokud potřebujeme hodnotu, která zastupuje ostatní, co se týče převrácených hodnot, například při výpočtu průměrné rychlosti na úsecích stejné délky, k zjištění průměrné délky času nutné k provedení nějakého úkonu, kdy jsou dané úkoly prováděny současně několika osobami či stroji apod. • Harmonický průměr je vždy menší nebo roven geometrickému průměru, což je snadný důsledek nerovnosti mezi aritmetickým a geometrickým průměrem.
13
Ošidnost průměru n
x
x
i
i 1
n
Na co si dát pozor? Harmonický průměr
𝑥𝐻 =
𝑛 𝑛 1 𝑖=1 𝑥 𝑖
14
1.
Nákladní automobil jel z města A do města B rychlostí 40 km/h, z města B do města C rychlostí 50 km/h a z města C do města D rychlostí 60 km/h. Vypočítejte průměrnou rychlost, které dosáhl automobil na celé trase, víte-li, že a) vzdálenost všech úseků je stejná – 5 km.
A
B
C
AB
BC
CD
Dráha (km)
5
5
5
Rychlost (km/h)
40
50
60
D
15
1.
Nákladní automobil jel z města A do města B rychlostí 40 km/h, z města B do města C rychlostí 50 km/h a z města C do města D rychlostí 60 km/h. Vypočítejte průměrnou rychlost, které dosáhl automobil na celé trase, víte-li, že a) vzdálenost všech úseků je stejná – 5 km.
A
B
C
AB
BC
CD
Dráha (km)
5
5
5
Rychlost (km/h)
40
50
60
5/40
5/50
5/60
Čas (h)
D
16
1.
Nákladní automobil jel z města A do města B rychlostí 40 km/h, z města B do města C rychlostí 50 km/h a z města C do města D rychlostí 60 km/h. Vypočítejte průměrnou rychlost, které dosáhl automobil na celé trase, víte-li, že a) vzdálenost všech úseků je stejná – 5 km.
A
B
C
D AD
AB
BC
CD
Dráha (km)
5
5
5
Rychlost (km/h)
40
50
60
5/40
5/50
5/60
Čas (h)
17
1.
Nákladní automobil jel z města A do města B rychlostí 40 km/h, z města B do města C rychlostí 50 km/h a z města C do města D rychlostí 60 km/h. Vypočítejte průměrnou rychlost, které dosáhl automobil na celé trase, víte-li, že a) vzdálenost všech úseků je stejná – 5 km.
A
B
C
D
AB
BC
CD
AD
Dráha (km)
5
5
5
15
Rychlost (km/h)
40
50
60
5/40
5/50
5/60
Čas (h)
5+5+5 3 𝑣= = = 48,7 𝑘𝑚 ℎ 1 1 1 5 5 5 + + + + 40 50 60 40 50 60
5/40 + 5/50 + 5/60
Harmonický průměr
18
1.
Nákladní automobil jel z města A do města B rychlostí 40 km/h, z města B do města C rychlostí 50 km/h a z města C do města D rychlostí 60 km/h. Vypočítejte průměrnou rychlost, které dosáhl automobil na celé trase, víte-li, že b) Vzdálenost z A do B je 15% trasy a vzdálenost z C do D je 60% trasy.
A
B
C AB
Dráha (km)
Rychlost (km/h)
D BC
0,15AD
40
CD 0,60AD
50
60
19
1.
Nákladní automobil jel z města A do města B rychlostí 40 km/h, z města B do města C rychlostí 50 km/h a z města C do města D rychlostí 60 km/h. Vypočítejte průměrnou rychlost, které dosáhl automobil na celé trase, víte-li, že b) Vzdálenost z A do B je 15% trasy a vzdálenost z C do D je 60% trasy.
A
B
Dráha (km)
Rychlost (km/h)
C
D
AB
BC
CD
0,15AD
0,25AD
0,60AD
40
50
60
20
1.
Nákladní automobil jel z města A do města B rychlostí 40 km/h, z města B do města C rychlostí 50 km/h a z města C do města D rychlostí 60 km/h. Vypočítejte průměrnou rychlost, které dosáhl automobil na celé trase, víte-li, že b) Vzdálenost z A do B je 15% trasy a vzdálenost z C do D je 60% trasy.
A
B
Dráha (km)
Rychlost (km/h) Čas (h)
C
D
AB
BC
CD
0,15AD
0,25AD
0,60AD
40
50
60
0,15AD/40
0,25AD/50
0,60AD/60
21
1.
Nákladní automobil jel z města A do města B rychlostí 40 km/h, z města B do města C rychlostí 50 km/h a z města C do města D rychlostí 60 km/h. Vypočítejte průměrnou rychlost, které dosáhl automobil na celé trase, víte-li, že b) Vzdálenost z A do B je 15% trasy a vzdálenost z C do D je 60% trasy.
A
B
Dráha (km)
Rychlost (km/h) Čas (h)
C
D
AB
BC
CD
AD
0,15AD
0,25AD
0,60AD
AD
40
50
60
0,15AD/40
0,25AD/50
0,60AD/60
0,15AD/40 + 0,25AD/50 + 0,60AD/60
0,15𝐴𝐷 + 0,25𝐴𝐷 + 0,60𝐴𝐷 1 𝑣= = = 53,3 𝑘𝑚 ℎ 0,15𝐴𝐷 0,25𝐴𝐷 0,60𝐴𝐷 0,15 0,25 0,60 40 + 50 + 60 40 + 50 + 60
Vážený harmonický 22 průměr
2.
Jsou dva kopáči. Jeden kopáč kope jámu 48 hodin, druhý jí kope 2 krát rychleji. a) Za jak dlouho vykope jámu druhý kopáč? 24 hodin
23
2.
Jsou dva kopáči. Jeden kopáč kope jámu 48 hodin, druhý jí kope 2 krát rychleji. b) Za jak dlouho vykope jámu „průměrný“ kopáč? "𝑐𝑒𝑙𝑘𝑜𝑣á 𝑑𝑜𝑏𝑎 𝑝𝑟á𝑐𝑒" 48 + 24 𝑽ý𝒌𝒐𝒏 "průměrného" 𝑘𝑜𝑝áč𝑒 = = ? "𝑐𝑒𝑙𝑘𝑜𝑣ý 𝑟𝑜𝑧𝑠𝑎ℎ 𝑝𝑟á𝑐𝑒" 2
Hledáme „průměrného“ kopáče – musíme použít vztah, v němž budeme uvažovat výkon našich dvou kopáčů pracujících za stejných podmínek (po stejnou dobu). 1
1.
kopáč … za 1h vykope 48 jámy
2.
kopáč … za 1h vykope 24 jámy
1
1
1
Oba (celkem) … za 2h vykopali 48 + 24 jámy "𝑐𝑒𝑙𝑘𝑜𝑣á 𝑑𝑜𝑏𝑎 𝑝𝑟á𝑐𝑒" 2 𝑽ý𝒌𝒐𝒏 "průměrného" 𝑘𝑜𝑝áč𝑒 = = (ℎ) 1 1 "𝑐𝑒𝑙𝑘𝑜𝑣ý 𝑟𝑜𝑧𝑠𝑎ℎ 𝑝𝑟á𝑐𝑒" 48 + 24 Harmonický průměr 24
2.
Jsou dva kopáči. Jeden kopáč kope jámu 48 hodin, druhý jí kope 2 krát rychleji. c) Za jak dlouho vykopou jámu společně?
1.
kopáč … za 𝑡 h vykope
jámy
2.
kopáč … za 𝑡 h
jámy
𝑡 48 𝑡 vykope 24
Oba (celkem) … za 𝑡 h vykopali
𝑡 48
+
𝑡 24
jámy
𝑡 𝑡 1= + 48 24 𝑡=
1 1 1 + 48 24
(ℎ)
25
2.
Jsou dva kopáči. Jeden kopáč kope jámu 48 hodin, druhý jí kope 2 krát rychleji. c) Za jak dlouho vykopou jámu společně?
Jiný přístup: Dva kopáči vykopou jámu 2 krát rychleji než průměrný kopáč: 𝑽ý𝒌𝒐𝒏 "průměrného" 𝑘𝑜𝑝áč𝑒 =
𝑡=
1
1 1 + 48 24
2
1 1 + 48 24
(ℎ)
(ℎ)
26
Ošidnost průměru n
x
x i 1
i
n
Na co si dát pozor? • Harmonický průměr (rychlosti, proměnné vyjadřující čas na jednotku výkonu) • Geometrický průměr (tempa růstu)
𝑥𝐺 =
𝑛
𝑥1 ∙ 𝑥2 ∙ ⋯ ∙ 𝑥𝑛 =
𝑛
𝑛
𝑥𝑖 𝑖=1
27
3.
Změny cen jedné akcie energetické společnosti na burze XY v období od 13. do 15. března jsou uvedeny v níže uvedené tabulce. Určete průměrné tempo růstu ceny této akcie v uvedeném období.
Cena akcie (Kč) 13. března
500
14. března
600
15. března
1 200
28
3.
Změny cen jedné akcie energetické společnosti na burze XY v období od 13. do 15. března jsou uvedeny v níže uvedené tabulce. Určete průměrné tempo růstu ceny této akcie v uvedeném období.
Cena akcie (Kč)
Tempo růstu
13. března
500
14. března
600
1,2
15. března
1 200
2,0
𝑦2 = 𝑘1 𝑦1 𝑦3 = 𝑘2 𝑦2 = 𝑘2 𝑘1 𝑦1 = 𝑘 2 𝑦1 𝑘 2 = 𝑘2 𝑘1 ⇒ 𝑘 =
𝑘2 𝑘1
Geometrický průměr 29
3.
Změny cen jedné akcie energetické společnosti na burze XY v období od 13. do 15. března jsou uvedeny v níže uvedené tabulce. Určete průměrné tempo růstu ceny této akcie v uvedeném období.
Cena akcie (Kč)
Tempo růstu
13. března
500
14. března
600
1,2
15. března
1 200
2,0
𝑦2 = 𝑘1 𝑦1 𝑦3 = 𝑘2 𝑦2 = 𝑘2 𝑘1 𝑦1 = 𝑘 2 𝑦1 𝑘 2 = 𝑘2 𝑘1 ⇒ 𝑘 =
𝑘2 𝑘1 = 2 ∙ 1,2 ≅ 𝟏, 𝟓𝟓 30
4.
Z 13. března na 14. března vzrostla cena jedné akcie energetické společnosti na burze XY o 20%, z 14. března na 15. března vzrostla cena akcie o 100%. Určete průměrný denní procentuální růst ceny této akcie v daném období.
Cena akcie (Kč)
Tempo růstu
13. března
?
14. března
?
?
15. března
?
?
31
4.
Z 13. března na 14. března vzrostla cena jedné akcie energetické společnosti na burze XY o 20%, z 14. března na 15. března vzrostla cena akcie o 100%. Určete průměrný denní procentuální růst ceny této akcie v daném období.
Cena akcie (Kč)
Tempo růstu
13. března
?
14. března
?
1,2
15. března
?
2,0
𝑘=
𝑘2 𝑘1 =
2 ∙ 1,2 ≅ 𝟏, 𝟓𝟓
Cena akcie vzrostla v daném období denně průměrně o 55%. 32
5.
Cena jedné akcie energetické společnosti vzrostla na burze XY v období od 13. do 15. března téhož roku z 500 Kč na 1 200 Kč. Jaký byl průměrný denní procentuální přírůstek ceny této akcie v daném?
Cena akcie (Kč)
𝑘=
Tempo růstu
13. března
500
14. března
?
?/500
15. března
1 200
1 200/?
𝑘2 𝑘1 =
𝑦3 𝑦2 ∙ = 𝑦2 𝑦1
𝑦3 = 𝑦1
1 200 = 500
2,4 ≅ 𝟏, 𝟓𝟓
Cena akcie vzrostla v daném období denně průměrně o 55%.
33
Ošidnost průměru n
x
x i 1
i
n
Na co si dát pozor? • Harmonický průměr (rychlosti, proměnné vyjadřující čas na jednotku výkonu) • Geometrický průměr (tempa růstu) • Průměrování na cirkulární škále
34
Ošidnost průměru n
x
x i 1
i
n
Na co si dát pozor? • Harmonický průměr (rychlosti, proměnné vyjadřující čas na jednotku výkonu) • Geometrický průměr (tempa růstu) • Průměrování na cirkulární škále
• Průměr není rezistentní vůči odlehlým pozorováním!
35
Ošidnost průměru V malé vesnici někde v Americe žije 6 lidí, jejichž roční plat je uveden níže. $25 000 $27 000 $29 000 $35 000 $37 000 $38 000 Určete průměrný plat obyvatel této vesnice. ($31 830) Do vesnice se přistěhoval Bill Gates, jehož roční příjem je $40 000 000. $25 000 $27 000 $29 000 $35 000 $37 000 $38 000 $40 000 000 Určete průměrný plat obyvatel této vesnice. ($5 741 571)
36
Ošidnost průměru
37
Ošidnost průměru
Zdroj: Blesk, 9.4.2013
38
Zdroj: http://www.czso.cz/csu/csu.nsf/informace/cpmz031114.docx
39
Zdroj: http://www.czso.cz/csu/csu.nsf/informace/cpmz031114.docx
40
Zdroj: http://www.czso.cz/csu/csu.nsf/informace/cpmz031114.docx
41
K čemu potřebujeme míry variability?
42
Průměr
Zásahy střelce A 4 5 6 ?
Zásahy střelce B 1 5 9 ?
43
Průměr
Zásahy střelce A 4 5 6 5
Zásahy střelce B 1 5 9 5
Zdroj: [1] 44
Výběrový rozptyl
x n
s2
i 1
i
x
2
n 1
Na co si dát pozor? Rozměr rozptylu charakteristiky je druhou mocninou rozměru proměnné.
45
Výběrová směrodatná odchylka
x n
s s 2
i 1
i
x
2
n 1
46
Jakou představu o variabilitě dat nám dává sm. odchylka? 1 Čebyševova nerovnost: ∀𝑘 > 0: 𝑃 𝜇 − 𝑘𝜎 < 𝑋 < 𝜇 + 𝑘𝜎 > 1 − 2 𝑘 k 1 2 3
𝑃 𝜇 − 𝑘𝜎 < 𝑋 < 𝜇 + 𝑘𝜎 >0 >0,75 >0,89
Pravidlo 3 sigma k 1 2 3
𝑃 𝜇 − 𝑘𝜎 < 𝑋 < 𝜇 + 𝑘𝜎 0,682 0,954 0,998
47
Variační koeficient (Směrodatná odchylka v procentech aritmetického průměru)
𝑠 𝑉𝑋 = ∙ 100 (%) 𝑥 • Čím nižší var. koeficient, tím homogennější soubor. • Vx > 50% značí silně rozptýlený soubor.
Proč potřebujeme bezrozměrnou míru variability? Umožňuje srovnání variability proměnných, které mají různé jednotky. 48
Analýza závislosti dvou kvantitativních proměnných
49
Korelační koeficient • Pearsonův koeficient korelace vyjadřuje míru závislosti dvou znaků.
lineární
y 25
spojitých
20 15
𝑟𝑋,𝑌 =
10 5
𝑛 𝑖=1 𝑛 𝑖=1
𝑥𝑖 − 𝑥 𝑦𝑖 − 𝑦
𝑥𝑖 − 𝑥
2
𝑛 𝑖=1
𝑦𝑖 − 𝑦
2
𝑟=0,88
0 0
10 x
20
50
Korelační koeficient • Hodnota korelačního koeficientu se pohybuje od -1 do 1. • Hodnoty ±1 nabývá tehdy, pokud všechny body [xi, yi] leží na přímce. • Nule je roven v případě, že veličiny jsou lineárně nezávislé. • Při měření lineární závislosti je znaménko korelačního koeficientu kladné, když obě veličiny X a Y zároveň rostou nebo obě zároveň klesají, a záporné, když jedna z veličin roste, zatímco druhá klesá.
• Při užití Pearsonova korelačního koeficientu je vždy třeba posoudit, zda je jeho aplikace vhodná. 51
Korelační koeficient y 25 20 15 10 5
0 0
10 x
20
52
Korelační koeficient y 25 20 15 10
𝑟=1
5
0 0
10 x
20
53
Korelační koeficient y 25
y 20
20
15
15
10
10
𝑟=1
5
5
0
0 0
10 x
20
0
10 x
20
54
Korelační koeficient y 25
y 20
20
15
15
𝑟=−1
10
10
𝑟=1
5
5
0
0 0
10 x
20
0
10 x
20
55
Korelační koeficient y 25
y 20
20
y 25 20
15
15
10
10
10
𝑟=1
5
15
𝑟=−1
5
0
5
0 0
10 x
20
0
0
10 x
20
0
10 x
20
56
Korelační koeficient y 25
y 20
20
y 25 20
15
15
10
𝑟=1
5
15
𝑟=−1
10
10
5
0
5
0 0
10 x
𝑟=0,10
20
0
0
10 x
20
0
10 x
20
57
Korelační koeficient y 25
y 20
20
y 25 20
15
15
10
𝑟=1
5
15
𝑟=−1
10
10
𝑟=0,10
5
0
5
0 0
10 x
20
0
10 x
20
0
0
10 x
20
0
10 x
20
y 25 20 15 10 5
0
58
Korelační koeficient y 25
y 20
20
y 25 20
15
15
10
𝑟=1
5
15
𝑟=−1
10
10
5
0
5
0 0
10 x
𝑟=0,10
20
0
0
10 x
20
0
10 x
20
y 25 20 15 10 5
𝑟=0,88
0 0
10 x
20 59
Korelační koeficient y 25
y 20
20
y 25 20
15
15
10
𝑟=1
5
15
𝑟=−1
10
10
5
0
5
0 0
10 x
20
y 25
y 25
20
20
15
15
10
10
5
𝑟=0,10
0
0
10 x
20
0
10 x
20
0
10 x
20
5
𝑟=0,88
0
0 0
10 x
20
60
Korelační koeficient y 25
y 20
20
y 25 20
15
15
10
𝑟=1
5
15
𝑟=−1
10
10
5
0
5
0 0
10 x
20
0
0
y 25
y 25
20
20
15
15
10
10
5
𝑟=0,10
5
𝑟=0,88
0
10 x
20
0
10 x
20
𝑟=−0,86
0 0
10 x
20
0
10 x
20 61
Korelační koeficient y 25
y 20
20
y 25 20
15
15
10
𝑟=1
5
15
𝑟=−1
10
10
5
0
5
0 0
10 x
20
0
0
y 25
y 25
20
20
15
15
10
10
5
5
𝑟=0,88
0
10 x
20
10 x
20
𝑟=−0,86 0
10 x
0
10 x
20
0
10 x
20
y 70 60 50 40 30 20 10 0
0 0
𝑟=0,10
20
62
Korelační koeficient y 25
y 20
20
y 25 20
15
15
10
𝑟=1
5
15
𝑟=−1
10
10
5
0
5
0 0
10 x
20
0
0
y 25
y 25
20
20
15
15
10
10
5
5
𝑟=0,88
0
10 x
20
10 x
20
𝑟=−0,86 0
10 x
0
10 x
y 70 60 50 40 30 20 10 0
0 0
𝑟=0,10
20
20
𝑟=0,04
0
10 x
20 63
Korelační koeficient y 3,5 3 2,5 2 1,5 1 0,5 0 0
10 x
20
64
Korelační koeficient y 3,5 3 2,5 2 1,5 1 0,5 0
𝑟=0,93
0
10 x
20
65
Korelační koeficient y 100
y 3,5 3 2,5 2 1,5 1 0,5 0
80 60 40 20 𝑟=0,93
0
10 x
0 20
0
10 x
20
66
Korelační koeficient y 100
y 3,5 3 2,5 2 1,5 1 0,5 0
80 60 𝑟=0
40 20 𝑟=0,93
0
10 x
0 20
0
10 x
20
67
Korelační koeficient y 100
y 3,5 3 2,5 2 1,5 1 0,5 0
80 60 𝑟=0
40 20 𝑟=0,93
0
10 x
0 20
0
10 x
20
y 70 60 50 40 30 20 10 0 0
10 20 30 40 50 60 x
68
Korelační koeficient y 100
y 3,5 3 2,5 2 1,5 1 0,5 0
80 60 𝑟=0
40 20 𝑟=0,93
0
10 x
0 20
0
10 x
20
y 70 60 50 40 30 20 10 0 0
10 20 30 40 50 60 x
69
Korelační koeficient y 100
y 3,5 3 2,5 2 1,5 1 0,5 0
80 60 𝑟=0
40 20 𝑟=0,93
0
10 x
0
y 70 60 50 40 30 20 10 0 0
0
20
10 20 30 40 50 60 x
y 70 60 50 40 30 20 10 0
10 x
20
𝑟=−0,85
0 10 20 30 40 50 60 x
70
Korelační koeficient Pokud jsou dvě náhodné veličiny korelované, znamená to pouze to, že jsou lineárně závislé. Nelze z toho však ještě usoudit, že by jedna z nich musela být příčinou a druhá následkem. To samotná korelovanost nedovoluje rozhodnout.
Silná korelace
Korelační koeficient Pokud jsou dvě náhodné veličiny korelované, znamená to pouze to, že jsou lineárně závislé. Nelze z toho však ještě usoudit, že by jedna z nich musela být příčinou a druhá následkem. To samotná korelovanost nedovoluje rozhodnout.
Silná korelace
Korelační koeficient
10 9 8 7 6 5 4 3 2 1 0 1998
35 30 25
20
𝑟=0,99
15 10 5
2000
2002
2004
2006
2008
year Sebevraždy oběšením a uškrcením (počet mertvých v USA) Americké výdaje na vědu, vesmírná výzkum a technologie (miliardy dolarů)
0 2010
Americké výdaje na vědu, vesmírná výzkum a technologie (miliardy dolarů)
tisíce
Sebevraždy oběšením a uškrcením (počet mertvých v USA)
Pokud jsou dvě náhodné veličiny korelované, znamená to pouze to, že jsou lineárně závislé. Nelze z toho však ještě usoudit, že by jedna z nich musela být příčinou a druhá následkem. To samotná korelovanost nedovoluje rozhodnout.
Zdroj: http://zpravy.aktualne.cz/zahranici/k-nobelove-cene-dopomaha-cokolada-naznacujestudie/r~i:article:760147/
Korelační koeficient V praxi se zpravidla hodnota koeficientu korelace interpretuje takto: Korelační koeficient
Typ lineární závislosti
𝑟 = 0,0
neexistující
𝑟 ∈ (0,0; 0,3
velmi slabá
𝑟 ∈ (0,3; 0,7
středně silná
𝑟 ∈ (0,7; 1,0)
těsná
𝑟 = 1,0
funkční
• Mezi proudem a napětím na odporu byl zjištěn korelační koeficient 0,6. • Mezi školním prospěchem a pocitem deprese u dětí byl zjištěn korelační koeficient 0,6. Výsledky interpretujte!
Něco ke čtení 1. SWOBODA, H. (1977): Moderní statistika, Praha.
76
Závěrečný test Body mass index (BMI) 18 letých dívek má střední hodnotu 21,3 𝑘𝑔 𝑚2 a směrodatnou odchylku 2,5 𝑘𝑔 𝑚2 . S využitím Čebyševovy nerovnosti odhadněte kolik procent 18 letých dívek má BMI v rozmezí 16,3 𝑘𝑔 𝑚2 až 26,3 𝑘𝑔 𝑚2 ? a) nejméně 50% b) nejméně 75% c) nejméně 89%
77
A to už je opravdu konec! Děkuji za pozornost
78
