´ padoc ˇeska ´ univerzita v Plzni Za Fakulta aplikovan´ych vˇed Katedra matematiky
´ pra ´ ce Diplomova Plochy ve svˇ etˇ e kolem n´ as
´ Lenka Beneˇ sova
ˇtlana Tomiczkova ´ , Ph.D. vedouc´ı diplomov´e pr´ace RNDr. Sve Plzeˇ n, 8. kvˇetna 2013
Prohl´ aˇ sen´ı Prohlaˇsuji, ˇze jsem diplomovou pr´aci na t´ema Plochy ve svˇetˇe kolem n´ as vypracovala samostatnˇe pod odborn´ ym veden´ım vedouc´ı diplomov´e pr´ace RNDr. Svˇetlany Tomiczkov´e, Ph.D. a s vyuˇzit´ım zdroj˚ u uveden´ ych v seznamu pouˇzit´e literatury.
V Plzni dne 8. kvˇetna 2013
.................................
Podˇ ekov´ an´ı T´ımto bych chtˇela podˇekovat vedouc´ı sv´e diplomov´e pr´ace, RNDr. Svˇetlanˇe Tomiczkov´e, Ph.D., za odborn´e veden´ı, ochotu, vˇecn´e pˇripom´ınky, trpˇelivost a veˇsker´ y ˇcas, kter´ y mi vˇenovala. D´ale bych chtˇela podˇekovat rodinˇe a pˇra´tel˚ um za trpˇelivost a psychickou podporu bˇehem cel´eho studia.
Kl´ıˇ cov´ a slova Uˇcebn´ı materi´al, plocha, rotaˇcn´ı, ˇsroubov´a, pˇr´ımkov´a, vektorov´e vyj´adˇren´ı, praxe, pracovn´ı list, Geogebra Abstrakt Diplomov´a pr´ace je zamˇeˇrena na popis vybran´ ych rotaˇcn´ıch, ˇsroubov´ ych a pˇr´ımkov´ ych ploch. Text je ps´an formou studijn´ıho materi´alu, kter´ y by mˇel b´ yt vyuˇz´ıv´an pˇri v´ yuce speci´aln´ıho semin´aˇre z deskriptivn´ı geometrie. Souˇc´ast´ı pr´ace jsou i pracovn´ı listy, pˇriloˇzen´e v elektronick´e podobˇe na CD. Konstrukce pˇr´ıklad˚ u jsou z programu Geogebra. Pr´ace je k dispozici i v podobˇe webov´ ych str´anek, kter´e jsou oproti textu obohaceny o modely vybran´ ych ploch, historick´e pozn´amky a fotogalerie. Keywords Learning material, surface, rotary, screw, linear, vector expression, practice, worksheet, Geogebra Abstract This diploma thesis focuses on the description of selected rotary, screw and rectilinear surfaces. The text is written in the form of study material that should be used when teaching a special seminar in descriptive geometry. The thesis also includes worksheets provided in electronic form on CD. Construction examples are from the program Geogebra. Thesis is also available in the form of web pages that are enriched compared to the text of the models selected areas, historical notes and a photo gallery.
Obsah ´ Uvod
9
1 Z´ akladn´ı pojmy 1.1 V´ ybˇer ploch . . . . . . . . . . . . . . . 1.2 Rotaˇcn´ı plochy . . . . . . . . . . . . . 1.2.1 Obecn´e poznatky . . . . . . . . 1.2.2 Parametrizace rotaˇcn´ıch ploch . ˇ 1.3 Sroubov´ e plochy . . . . . . . . . . . . . 1.3.1 Obecn´e poznatky . . . . . . . . 1.3.2 Parametrizace ˇsroubov´ ych ploch 1.4 Pˇr´ımkov´e plochy . . . . . . . . . . . . 1.4.1 Obecn´e poznatky . . . . . . . . 1.4.2 Parametrizace konoid˚ u . . . . . 1.5 Pracovn´ı listy . . . . . . . . . . . . . . 2 Vybran´ e rotaˇ cn´ı plochy 2.1 Kulov´a plocha . . . . . . . . . . . . . 2.1.1 Zaˇrazen´ı plochy . . . . . . . . 2.1.2 Matematick´e odvozen´ı plochy 2.1.3 Praktick´e vyuˇzit´ı plochy . . . 2.1.4 Pracovn´ı list - kulov´a plocha . 2.2 Anuloid . . . . . . . . . . . . . . . . 2.2.1 Zaˇrazen´ı plochy . . . . . . . . 2.2.2 Matematick´e odvozen´ı plochy 2.2.3 Praktick´e vyuˇzit´ı plochy . . . 2.2.4 Pracovn´ı list - anuloid . . . . 2.3 Jednod´ıln´ y rotaˇcn´ı hyperboloid . . . 2.3.1 Zaˇrazen´ı plochy . . . . . . . .
. . . . . . . . . . . .
. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
. . . . . . . . . . .
11 11 12 12 13 15 15 15 17 17 18 19
. . . . . . . . . . . .
21 21 21 22 23 27 28 28 31 32 34 35 35
2.4
2.3.2 Matematick´e odvozen´ı plochy 2.3.3 Praktick´e vyuˇzit´ı plochy . . . 2.3.4 Pracovn´ı list . . . . . . . . . . Rotaˇcn´ı paraboloid . . . . . . . . . . 2.4.1 Zaˇrazen´ı plochy . . . . . . . . 2.4.2 Matematick´e odvozen´ı plochy 2.4.3 Praktick´e vyuˇzit´ı plochy . . . 2.4.4 Pracovn´ı list . . . . . . . . . .
. . . . . . . .
3 Vybran´ eˇ sroubov´ e plochy 3.1 Pravo´ uhl´a uzavˇren´a pˇr´ımkov´a ˇsroubov´a 3.1.1 Zaˇrazen´ı plochy . . . . . . . . . 3.1.2 Matematick´e odvozen´ı plochy . 3.1.3 Praktick´e vyuˇzit´ı plochy . . . . 3.1.4 Pracovn´ı list . . . . . . . . . . . 3.2 Koso´ uhl´a uzavˇren´a pˇr´ımkov´a ˇsroubov´a plocha . . . . . . . . . . . . . . . . . . 3.2.1 Zaˇrazen´ı plochy . . . . . . . . . 3.2.2 Matematick´e odvozen´ı plochy . 3.2.3 Praktick´e vyuˇzit´ı plochy . . . . 3.2.4 Pracovn´ı list . . . . . . . . . . . 3.3 Archimedova serpentina . . . . . . . . 3.3.1 Cyklick´e ˇsroubov´e plochy . . . . 3.3.2 Matematick´e odvozen´ı plochy . 3.3.3 Praktick´e vyuˇzit´ı plochy . . . . 3.3.4 Pracovn´ı list . . . . . . . . . . . 4 Vybran´ e zborcen´ e plochy 4.1 Hyperbolick´ y paraboloid . . . . . . . 4.1.1 Zaˇrazen´ı plochy . . . . . . . . 4.1.2 Matematick´e odvozen´ı plochy 4.1.3 Praktick´e vyuˇzit´ı plochy . . . 4.1.4 Pracovn´ı list . . . . . . . . . . 4.2 Pˇr´ım´ y parabolick´ y konoid . . . . . . 4.2.1 Zaˇrazen´ı plochy . . . . . . . . 4.2.2 Matematick´e odvozen´ı plochy 4.2.3 Praktick´e vyuˇzit´ı plochy . . . 4.2.4 Pracovn´ı list . . . . . . . . . .
. . . . . . . . . .
. . . . . . . .
. . . . . . . .
. . . . . . . .
. . . . . . . .
. . . . . . . .
. . . . . . . .
. . . . . . . .
. . . . . . . .
. . . . . . . .
. . . . . . . .
. . . . . . . .
. . . . . . . .
. . . . . . . .
36 39 41 42 42 42 43 46
plocha . . . . . . . . . . . . . . . .
. . . . .
. . . . .
. . . . .
. . . . .
. . . . .
. . . . .
. . . . .
. . . . .
. . . . .
48 48 48 49 51 52
. . . . . . . . . .
. . . . . . . . . .
. . . . . . . . . .
. . . . . . . . . .
. . . . . . . . . .
. . . . . . . . . .
. . . . . . . . . .
. . . . . . . . . .
. . . . . . . . . .
. . . . . . . . . .
53 53 54 55 57 58 58 59 60 63
. . . . . . . . . .
64 64 64 65 67 69 70 70 70 72 74
. . . . . . . . . .
. . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
. . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
. . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
. . . . . . . . . .
. . . . . . . . . .
. . . . . . . . . .
. . . . . . . . . .
. . . . . . . . . .
. . . . . . . . . .
. . . . . . . . . .
. . . . . . . . . .
4.3
Pˇr´ım´ y 4.3.1 4.3.2 4.3.3 4.3.4
vlnov´ y konoid . . . . . . . . . Zaˇrazen´ı a vznik plochy . . . Matematick´e odvozen´ı plochy Praktick´e vyuˇzit´ı plochy . . . Pracovn´ı list . . . . . . . . . .
. . . . .
. . . . .
. . . . .
. . . . .
. . . . .
. . . . .
. . . . .
. . . . .
. . . . .
. . . . .
. . . . .
. . . . .
. . . . .
. . . . .
75 75 75 77 79
5 Modely ploch
80
6 Ovˇ eˇ ren´ı materi´ alu v praxi
82
Z´ avˇ er
84
Literatura
86
Seznam pˇ revzat´ ych obr´ azk˚ u
88
Pˇ r´ılohy
92
´ Uvod Na stˇredn´ı ˇskole je v´ yuka deskriptivn´ı geometrie vˇenov´ana konstrukc´ım v Mongeovˇe prom´ıt´an´ı, axonometrii a okrajovˇe line´arn´ı perspektivˇe, pˇr´ıpadnˇe k´otovan´emu prom´ıt´an´ı. Velice m´alo se pak vˇenuje geometrick´ ym ploch´am a jejich konstrukc´ım v r´amci Mongeova prom´ıt´an´ı a axonometrie. Ve studijn´ıch pl´anech deskriptivn´ı geometrie bychom nalezli pˇredevˇs´ım rotaˇcn´ı v´alcovou plochu, rotaˇcn´ı kuˇzelovou plochu ˇci kulovou plochu. V n´asleduj´ıc´ım textu jsou pops´any dalˇs´ı typy geometrick´ ych ploch, kter´e by bylo moˇzn´e pˇridat do v´ yuky deskriptivn´ı geometrie nebo speci´aln´ıho semin´aˇre. Tyto semin´aˇre by byly urˇceny pro nadan´e ˇz´aky, kter´e geometrie bav´ı a chtˇej´ı se v´ıce dovˇedˇet o ploch´ach technick´e praxe. Diplomov´a pr´ace na t´ema Plochy ve svˇetˇe kolem n´as je ps´ana ve formˇe uˇcebn´ıho materi´alu, kter´ y lze vyuˇz´ıvat pˇri v´ yuce semin´aˇr˚ u z deskriptivn´ı geometrie na stˇredn´ıch ˇskol´ach. Prvn´ı kapitola je vˇenov´ana z´akladn´ım pojm˚ um. Jedn´a se o uveden´ı do problematiky jednotliv´ ych typ˚ u geometrick´ ych ploch spolu s principem odvozov´an´ı jejich vektorov´eho vyj´adˇren´ı. Vybr´any jsou rotaˇcn´ı, ˇsroubov´e a pˇr´ımkov´e plochy. V prvn´ı kapitole jsou pops´any i pracovn´ı listy, kter´e jsou souˇca´st´ı diplomov´e pr´ace. Obsahuj´ı teoretick´e ot´azky a konstrukˇcn´ı u ´lohy, kter´e pom´ahaj´ı l´epe pochopit novˇe vyloˇzenou l´atku. Dalˇs´ı kapitoly jsou rozdˇeleny podle typ˚ u geometrick´ ych ploch. U kaˇzd´e konkr´etn´ı plochy je uvedeno, jak´ ym zp˚ usobem vznik´a a mezi jak´e plochy ji lze zaˇradit. N´asleduje matematick´e odvozen´ı plochy, kter´e je rozˇsiˇruj´ıc´ım uˇcivem. Uvaˇzujeme pouze rovinn´e pˇr´ıpady tvoˇr´ıc´ıch kˇrivek. Pro kaˇzdou plochu je ˇca´st textu vˇenov´ana vyuˇzit´ı plochy v technick´e praxi. Ve 3D model´aˇr´ıch Google SketchUp a Rhino byly vytvoˇreny modely ploch inspirovan´e pr´avˇe pˇr´ıklady z praxe. ˇ ast vytvoˇren´eho v´ C´ yukov´eho materi´alu byla vyzkouˇsena v praxi a posledn´ı kapitola je vˇenov´ana t´eto uk´azkov´e hodinˇe. Je zde pops´an pr˚ ubˇeh hodiny a v´ ysledky dotazn´ıkov´eho ˇsetˇren´ı. Nejedn´a se o statisticky v´ yznamn´e 9
v´ ysledky, nebot’ pˇri v´ yuce byl pˇr´ıtomen mal´ y vzorek student˚ u. Sp´ıˇse se jedn´a o konkr´etn´ı n´azory ˇz´ak˚ u, kter´e n´am pomohly utvoˇrit si pˇredstavu o tom, zda je tento materi´al vhodn´ y pro v´ yuku na stˇredn´ıch ˇskol´ach. K diplomov´e pr´aci je pˇriloˇzeno CD, na kter´em je pˇripraven´a i prezentace k uk´azkov´e hodinˇe. D´ale obsahuje vytvoˇren´e webov´e str´anky, kter´e maj´ı analogickou formu v´ yukov´eho materi´alu jako text diplomov´e pr´ace. Souˇca´st´ı jsou tak´e konstrukˇcn´ı u ´lohy s ˇreˇsen´ım v programu Geogebra, ve kter´em lze krokovat postupy jednotliv´ ych konstrukc´ı. Na webov´ ych str´ank´ach jsou k dispozici i vytvoˇren´e modely k jednotliv´ ym ploch´am.
10
Kapitola 1 Z´ akladn´ı pojmy 1.1
V´ ybˇ er ploch
Pr´ace je zamˇeˇrena na vyuˇzit´ı geometrick´ ych ploch v praxi. Byl proveden v´ ybˇer takov´ ych ploch, kter´e lze zaˇradit do tematick´eho pl´anu v´ yuky deskriptivn´ı geometrie na stˇredn´ı ˇskole. M´ame t´ım na mysli zaˇrazen´ı napˇr´ıklad do speci´aln´ıho semin´aˇre jako rozˇsiˇruj´ıc´ı uˇcivo pro nadan´e ˇz´aky. Proto pˇredpokl´ad´ame, ˇze dosavadn´ı znalosti ˇza´k˚ u z deskriptivn´ı geometrie a matematiky dostaˇcuj´ı k pochopen´ı nov´e l´atky. Za dostaˇcuj´ıc´ı znalosti z deskriptivn´ı geometrie povaˇzujeme znalost z´akladn´ıch konstrukc´ı Mongeova prom´ıt´an´ı a axonometrie. Z matematiky by mˇela b´ yt ˇza´k˚ um zn´ama analytick´a geometrie a goniometrick´e funkce. V n´asleduj´ıc´ım seznamu jsou plochy ˇrazen´e tak, jak se jim budeme postupnˇe v pr´aci a pochopitelnˇe i bˇehem v´ yuky vˇenovat. V z´avorce je vˇzdy uvedeno k jak´ ym typ˚ um ploch lze plochu zaˇradit. Seznam vybran´ ych ploch: 1. kulov´ a plocha (rotaˇcn´ı cyklick´a) 2. anuloid (rotaˇcn´ı cyklick´a) 3. jednod´ıln´ y rotaˇ cn´ı hyperboloid (rotaˇcn´ı, pˇr´ımkov´a zborcen´a) 4. rotaˇ cn´ı paraboloid (rotaˇcn´ı) 5. pravo´ uhl´ a uzavˇ ren´ a pˇ r´ımkov´ aˇ sroubov´ a plocha (pˇr´ımkov´a ˇsroubov´a, pˇr´ımkov´a zborcen´a) 11
6. koso´ uhl´ a uzavˇ ren´ a pˇ r´ımkov´ aˇ sroubov´ a plocha (pˇr´ımkov´a ˇsroubov´a) 7. Archim´ edova serpentina (cyklick´a ˇsroubov´a) 8. hyperbolick´ y paraboloid (pˇr´ımkov´a zborcen´a) 9. pˇ r´ım´ y parabolick´ y konoid (pˇr´ımkov´a zborcen´a) 10. pˇ r´ım´ y vlnov´ y konoid (pˇr´ımkov´a zborcen´a) Jednotliv´e typy jsou bl´ıˇze specifikov´any v n´asleduj´ıc´ıch tˇrech kapitol´ach. Shrnuli jsme v nich z´akladn´ı pojmy t´ ykaj´ıc´ı se rotaˇcn´ıch, ˇsroubov´ ych a pˇr´ımkov´ ych ploch. Zamˇeˇrili jsme se pouze na nejd˚ uleˇzitˇejˇs´ıch vlastnosti, kter´e jsou d´ale vyuˇz´ıv´any pˇri v´ yuce jednotliv´ ych vybran´ ych ploch. Podrobnˇejˇs´ı inforˇ ano bylo mace lze nal´ezt v publikac´ıch uveden´ ych v seznamu literatury. Cerp´ pˇredevˇs´ım z [1], [2].
1.2
Rotaˇ cn´ı plochy
1.2.1
Obecn´ e poznatky
Rotaˇcn´ı plochu vytvoˇr´ıme rotac´ı kˇrivky k tzv. tvoˇr´ıc´ı kˇrivky kolem pˇr´ımky o, kterou naz´ yv´ame osa rotaˇcn´ıho pohybu. Tvoˇr´ıc´ı kˇrivka neleˇz´ı v rovinˇe kolm´e k ose rotace, ani s touto osou nespl´ yv´a. Plocha je soumˇern´a podle osy rotaˇcn´ıho pohybu. Pokud je tvoˇr´ıc´ı kˇrivkou rotaˇcn´ı plochy kruˇznice, hovoˇr´ıme o tzv. cyklick´e rotaˇcn´ı ploˇse. Vedeme-li ˇrez rotaˇcn´ı plochy rovinou proch´azej´ıc´ı osou rotaˇcn´ıho pohybu, naz´ yv´ame tento ˇrez poledn´ıkem rotaˇcn´ı plochy neboli meridi´ anem. Pokud by nav´ıc byla rovina ˇrezu rovnobˇeˇzn´a s pr˚ umˇetnou, jedn´a se o meridi´ an hlavn´ı. Rovina kaˇzd´eho meridi´anu m´a tu vlastnost, ˇze je podle n´ı plocha soumˇern´a, nebot’ tato rovina proch´az´ı osou rotaˇcn´ıho pohybu. Budeme-li uvaˇzovat bod X na tvoˇr´ıc´ı kˇrivce, kter´a kon´a rotaˇcn´ı pohyb, pak tento bod opisuje tzv. rovnobˇeˇzkovou kruˇznici, kterou budeme oznaˇcovat y bod tvoˇr´ıc´ı kˇrivky se pohybuje po rovnobˇeˇzkov´e kruˇznici a tˇri rX . Kaˇzd´ z nich maj´ı speci´aln´ı oznaˇcen´ı tzv. rovn´ık, kr´ ater a hrdlo. Pokud teˇcny meridi´anu v bodech rovnobˇeˇzkov´e kruˇznice vytvoˇr´ı rotaˇcn´ı v´alcovou plochu a pokud je polomˇer rovnobˇeˇzkov´e kruˇznice ze vˇsech sousedn´ıch rovnobˇeˇzkov´ ych kruˇznic nejvˇetˇs´ı, naz´ yv´ame ji rovn´ık. Pokud teˇcny
12
meridi´anu v bodech rovnobˇeˇzkov´e kruˇznice opˇet tvoˇr´ı rotaˇcn´ı v´alcovou plochu, ale polomˇer t´eto rovnobˇeˇzkov´e kruˇznice je ze vˇsech sousedn´ıch rovnobˇeˇzkov´ ych kruˇznic nejmenˇs´ı, naz´ yv´ame ji hrdlo. Pokud teˇcny meridi´anu v bodech rovnobˇeˇzkov´e kruˇznice leˇz´ı v rovinˇe, naz´ yv´ame tuto rovnobˇeˇzkovou kruˇznici kr´ater. Nav´ıc m˚ uˇzeme rozliˇsovat i tzv. hraniˇcn´ı rovnobˇeˇzkov´e kruˇznice, kter´e vytvoˇr´ı koncov´e body tvoˇr´ıc´ı kˇrivky. Teˇcn´a rovina τ rotaˇcn´ı plochy je urˇcena teˇcnami ke dvˇema kˇrivk´am plochy v dan´em bodˇe. Nejˇcastˇeji budeme vyuˇz´ıvat kombinaci teˇcny meridi´anu tm a teˇcny rovnobˇeˇzkov´e kruˇznice tr nebo teˇcny tvoˇr´ıc´ı kˇrivky tk a teˇcny rovnobˇeˇzkov´e kruˇznice tr . Plat´ı, ˇze teˇcn´a rovina je kolm´a na rovinu meridi´anu, kter´a proch´az´ı dan´ ym bodem dotyku. Pˇr´ımku kolmou k teˇcn´e rovinˇe a proch´azej´ıc´ı dan´ ym bodem naz´ yv´ame norm´ alou plochy a oznaˇcujeme ji n.
1.2.2
Parametrizace rotaˇ cn´ıch ploch
Pro parametrizaci rotaˇcn´ı plochy zvol´ıme jako tvoˇr´ıc´ı kˇrivku meridi´an m rotaˇcn´ı plochy leˇz´ıc´ı v jedn´e ze souˇradnicov´ ych rovin. Tato volba je pro naˇse odvozov´an´ı v´ yhodn´a, protoˇze pak jedna ze souˇradnic vektorov´eho vyj´adˇren´ı tohoto meridi´anu bude rovna nule. D´ale je pro n´as v´ yhodn´e volit jako osu rotace jednu ze souˇradnicov´ ych os. My budeme u rotaˇcn´ıch ploch volit meridi´an leˇz´ıc´ı v rovinˇe yz a rotaci kolem osy z. Pokud bychom vˇsak zvolili jin´ y meridi´an a jinou osu rotaˇcn´ıho pohybu, princip odvozov´an´ı by byl analogick´ y. Vektorov´e vyj´adˇren´ı zvolen´eho meridi´anu v rovinˇe yz je ve vztahu (1.1), kde y(t), z(t) jsou funkce parametru t, jehoˇz hodnoty jsou z nˇejak´eho zvolen´eho intervalu I. m(t) = (0, y(t), z(t))
(1.1)
Kaˇzd´ y bod tohoto meridi´anu pˇri rotaˇcn´ım pohybu kolem osy z opisuje rovnobˇeˇzkovou kruˇznici. Mˇen´ı se tedy jeho souˇradnice x a y, kdeˇzto souˇradnice z z˚ ust´av´a nezmˇenˇena. Polomˇer rovnobˇeˇzkov´e kruˇznice urˇcuje souˇradnice y ve vektorov´em vyj´adˇren´ı meridi´anu, tedy plat´ı R = |y(t)|. Vˇsechny rovnobˇeˇzkov´e kruˇznice dohromady tedy tvoˇr´ı rotaˇcn´ı plochu. Vektorov´e vyj´adˇren´ı rotaˇcn´ı plochy zapisujeme vztahem (1.2). Souˇradnice x a y urˇcuj´ı rovnobˇeˇzkovou kruˇznici a souˇradnice z urˇcuje v jak´e v´ yˇsce tato rovnobˇeˇzkov´a kruˇznice leˇz´ı. Parametr u je z intervalu h0, 2π). P(u, t) = (R cos u, R sin u, z(t)) 13
(1.2)
Pokud dosad´ıme za polomˇer R, dostaneme koneˇcn´e vektorov´e vyj´adˇren´ı rotaˇcn´ı plochy (1.3). P(u, t) = (|y(t)| cos u, |y(t)| sin u, z(t))
(1.3)
Dalˇs´ım zp˚ usobem odvozen´ı rotaˇcn´ı plochy je vyuˇzit´ı geometrick´ ych transformac´ı pomoc´ı maticov´eho z´apisu. Tento postup uv´ad´ıme pˇredevˇs´ım pro ˇza´ky matematick´eho semin´aˇre, kteˇr´ı ch´apou operace s maticemi. Rotaˇcn´ı pohyb rovinn´e kˇrivky kolem osy z o u ´hel α oznaˇcujeme Rz(α) a matice vyjadˇruj´ıc´ı tuto transformaci m´a tvar, kter´ y je uveden ve vztahu ´ (1.4). Uhel otoˇcen´ı α uvaˇzujeme z intervalu h0, 2π). Rz(α)
cos α sin α 0 = − sin α cos α 0 0 0 1
(1.4)
Meridi´an rotaˇcn´ı plochy vyj´adˇr´ıme opˇet ve tvaru (1.5). m(t) = (0, y(t), z(t))
(1.5)
V´ yslednou rotaˇcn´ı plochu vyj´adˇr´ıme vztahem (1.6) jako n´asoben´ı vektoru meridi´anu a transformaˇcn´ı matice vyjadˇruj´ıc´ı rotaˇcn´ı pohyb. P(α, t) = m(t) · Rz(α)
(1.6)
Po dosazen´ı do (1.6) za meridi´an a matici rotace a po u ´pravˇe dostaneme vektorov´e vyj´adˇren´ı rotaˇcn´ı plochy (1.7). P(α, t) = (−y(t) sin α, y(t) cos α, z(t))
(1.7)
Na prvn´ı pohled se zd´a, ˇze vztahy (1.3) a (1.7) jsou dva odliˇsn´e v´ ysledky, ale ve skuteˇcnosti jde o stejnou rotaˇcn´ı plochu. Parametr u pln´ı stejnou funkci, jako u ´hel otoˇcen´ı α. V obou vyj´adˇren´ı jsou jedn´ım syst´emem kˇrivek rovnobˇeˇzkov´e kruˇznice a druh´ ym syst´emem polomeridi´any rotaˇcn´ı plochy, liˇs´ı se pouze t´ım, ˇze kdyˇz dosad´ıme do obou vztah˚ u stejn´e u ´hly, dostaneme dva r˚ uzn´e body rotaˇcn´ı plochy, ale v´ ysledn´a plocha je stejn´a. Zkuste si sami dosadit do obou vztah˚ u vˇzdy stejnou dvojici u ´hl˚ u a pˇresvˇedˇcete se o tom.
14
1.3
ˇ Sroubov´ e plochy
1.3.1
Obecn´ e poznatky
ˇ Sroubov´ e plochy vznikaj´ı ˇsroubov´ ym pohybem kˇrivky k, kterou opˇet naz´ yv´ame tvoˇr´ıc´ı kˇrivkou. Speci´alnˇe, pokud bude tvoˇr´ıc´ı kˇrivkou pˇr´ımka, budeme mluvit o pˇr´ımkov´e ˇsroubov´e ploˇse a pokud bude tvoˇr´ıc´ı kˇrivkou kruˇznice, budeme o t´eto ploˇse mluvit jako o cyklick´e ˇsroubov´e ploˇse. ˇ Sroubov´ y pohyb je sloˇzen´ım dvou element´arn´ıch pohyb˚ u, jsou jimi rotace ˇ kolem osy a posunut´ı ve smˇeru osy. Sroubov´ y pohyb obecnˇe urˇcujeme tˇremi prvky. Jsou jimi osa ˇsroubov´eho pohybu o, tzv. redukovan´ a v´yˇska z´ avitu, kterou znaˇc´ıme v0 a posledn´ım prvkem je orientace ˇsroubov´eho pohybu. Pravotoˇciv´ y smˇer znaˇc´ıme znam´enkem (+) a levotoˇciv´ y (−). Mus´ıme vˇsak d´avat pozor, protoˇze co je geometricky levotoˇciv´e, to architekti a stavitel´e naz´ yvaj´ı pravotoˇciv´ ym. yˇsku se posune bod X pˇri otoˇcen´ı Hodnota konstanty v0 ud´av´a, o jakou v´ ′ ′′ . o u ´hel α = 1rad = 57◦ 17 45 . V´yˇskou jednoho z´ avitu naz´ yv´ame posunut´ı o v´ yˇsku v pˇri otoˇcen´ı o 2π radi´an˚ u. Pokud je tvoˇr´ıc´ı kˇrivkou pˇr´ımka, kter´a proch´az´ı osou ˇsroubov´eho pohybu, budeme hovoˇrit o tzv. uzavˇren´e pˇr´ımkov´e ˇsroubov´e ploˇse. Naopak, pokud tvoˇr´ıc´ı pˇr´ımka nebude proch´azet osou ˇsroubov´eho pohybu, budeme hovoˇrit o tzv. otevˇren´e pˇr´ımkov´e ˇsroubov´e ploˇse. Provedeme-li ˇrez rovinou ρ, proch´azej´ıc´ı osou ˇsroubov´eho pohybu, z´ısk´ame tzv. pod´eln´y profil neboli osov´ y ˇrez. Pokud bude rovina ρ kolm´a na osu o, pak z´ısk´ame tzv. pˇr´ıˇcn´y profil neboli ˇceln´ı ˇrez. Meridi´anem ˇsroubov´e plochy naz´ yv´ame osov´ y ˇrez pˇr´ısluˇsn´ y k jednomu z´avitu ˇsroubov´e plochy. Vˇsechny body tvoˇr´ıc´ı kˇrivky se pohybuj´ı po trajektorii, kterou je v pˇr´ıpadˇe ˇsroubov´ ych ploch ˇsroubovice.
1.3.2
Parametrizace ˇ sroubov´ ych ploch
Jak bylo ˇreˇceno v´ yˇse, meridi´an ˇsroubov´ ych ploch je opˇet ˇrez rovinou, kter´a proch´az´ı osou ˇsroubov´eho pohybu. U ˇsroubov´ ych ploch je meridi´anem pouze ˇca´st kˇrivky, kter´a pˇr´ısluˇs´ı jednomu z´avitu. Stejnˇe jako v kapitole (1.2) i tady pro n´as bude v´ yhodn´e volit meridi´an leˇz´ıc´ı v jedn´e ze souˇradnicov´ ych rovin, aby byla jedna ze souˇradnic vektorov´eho vyj´adˇren´ı nulov´a.
15
Opˇet budeme volit meridi´an v rovinˇe yz, kter´ y vyj´adˇr´ıme vztahem (1.8). Jednotliv´e sloˇzky vektoru y(t), z(t) jsou, stejnˇe jako u rotaˇcn´ıch ploch, funkce parametru t, jehoˇz hodnoty jsou z nˇejak´eho intervalu I. m(t) = (0, y(t), z(t))
(1.8)
D´ale v´ıme, ˇze ˇsroubov´ y pohyb je sloˇzen z rotace kolem osy o u ´hel α a posunut´ı o nˇejak´ y vektor ve smˇeru osy ˇsroubov´eho pohybu. Proto i parametrick´e vyj´adˇren´ı ˇsroubov´e plochy bude sloˇzen´ım jednotliv´ ych pohyb˚ u. Kdyˇz bod rotuje kolem osy o nˇejak´ yu ´hel, mˇen´ı se souˇradnice x a z´aroveˇ n i souˇradnice y. Pˇri posouv´an´ı se mˇen´ı souˇradnice z o vektor posunut´ı. Proto budeme ˇsroubovou plochu vyjadˇrovat ve tvaru (1.9). Parametr u je z intervalu h0, 2πi. P(u, t) = (R cos u, R sin u, z(t) + v0 u)
(1.9)
Polomˇer kruˇznice pˇri rotaci je, stejnˇe jako rotaˇcn´ıch ploch, souˇradnice y vektorov´eho vyj´adˇren´ı meridi´anu R = |y(t)|. Pokud opˇet dosad´ıme do vztahu (1.9) za polomˇer dostaneme koneˇcn´e vektorov´e vyj´adˇren´ı ˇsroubov´e plochy ve tvaru (1.10). P(u, t) = (|y(t)| cos u, |y(t)| sin u, z(t) + v0 u)
(1.10)
Tak´e pro vyj´adˇren´ı ˇsroubov´e plochy m˚ uˇzeme vyuˇz´ıt maticov´eho poˇctu. Transformaˇcn´ı matici vyjadˇruj´ıc´ı rotaci kolem osy z o u ´hel α je d´ana tvarem (1.11), kde u ´hel α je z intervalu h0, 2πi. Rz(α)
cos α sin α 0 = − sin α cos α 0 0 0 1
(1.11)
Pro meridi´an ˇsroubov´e plochy opˇet vyuˇzijeme tvar (1.12). m(t) = (0, y(t), z(t))
(1.12)
Vztahem (1.13) vyjadˇrujeme vektor posunut´ı, o kter´ y se dan´ y bod posune pˇri otoˇcen´ı o u ´hel α. T(α) = (0, 0, v0 α)
16
(1.13)
Pravotoˇcivou ˇsroubovou plochu vyj´adˇr´ıme vztahem (1.14) a levotoˇcivou ˇsroubovou plochu vztahem (1.15). P(α, t) = m(t) · Rz(α) + T(α) P(α, t) = m(t) · Rz(α) − T(α)
(1.14) (1.15)
Pokud dosad´ıme do vztah˚ u (1.14) a (1.15) za meridi´an, matici rotace a vektor posunut´ı z´ısk´ame po u ´pravˇe koneˇcn´e vektorov´e vyj´adˇren´ı. Pro pravotoˇcivou ˇsroubovou plochu vztah (1.16) a pro levotoˇcivou ˇsroubovou plochu vztah (1.17). P(α, t) = (−y(t) sin α, y(t) cos α, z(t) + v0 α) P(α, t) = (−y(t) sin α, y(t) cos α, z(t) − v0 α)
1.4 1.4.1
(1.16) (1.17)
Pˇ r´ımkov´ e plochy Obecn´ e poznatky
Pˇr´ımkov´e plochy vznikaj´ı pohybem pˇr´ımky p. Pˇr´ımku p naz´ yv´ame tvoˇr´ıc´ı pˇr´ımkou nebo tzv. povrˇskou plochy. Obecnˇe pˇr´ımkov´e plochy rozliˇsujeme na rozvinuteln´e pˇr´ımkov´e plochy a na zborcen´e pˇr´ımkov´e plochy. Rozvinuteln´e pˇr´ımkov´e plochy jsou charakterizov´any tzv. torz´aln´ımi pˇr´ımkami, coˇz jsou takov´e pˇr´ımky, pod´el nichˇz existuje jedna teˇcn´a rovina. Vˇsechny povrchov´e pˇr´ımky rozvinuteln´ ych ploch jsou torz´aln´ı. Typick´ ym pˇr´ıkladem rozvinuteln´e plochy je rotaˇcn´ı kuˇzelov´a plocha. Naopak zborcen´e plochy charakterizuj´ı tzv. regul´ arn´ı pˇr´ımky, pod´el nichˇz existuje cel´ y svazek teˇcn´ ych rovin. Povrchov´e pˇr´ımky zborcen´ ych ploch nemus´ı b´ yt vˇsechny regul´arn´ı. Zborcen´a plocha m˚ uˇze obsahovat jednu nebo hned nˇekolik torz´aln´ıch pˇr´ımek. Pˇr´ıkladem zborcen´e plochy m˚ uˇze b´ yt jednod´ıln´ y hyperboloid. V diplomov´e pr´aci jsme se zamˇeˇrili pouze na plochy zborcen´e, mezi kter´e zaˇrad´ıme tzv. konoidy. Konoidy jsou plochy urˇcen´e tˇremi prvky, kter´ ymi jsou ˇr´ıdic´ı kˇrivka, ˇr´ıdic´ı pˇr´ımka a ˇr´ıdic´ı rovina. Povrchov´e pˇr´ımky plochy spojuj´ı body na ˇr´ıdic´ı pˇr´ımce s body na ˇr´ıdic´ı kˇrivce. Pro povrchov´e pˇr´ımky d´ale plat´ı, ˇze jsou rovnobˇeˇzn´e s ˇr´ıdic´ı rovinou. Vˇsechny povrchov´e pˇr´ımky jsou navz´ajem mimobˇeˇzn´e. 17
Konoidy naz´ yv´ame zpravidla podle jejich ˇr´ıdic´ı kˇrivky. Je-li ˇr´ıdic´ı kˇrivkou kruˇznice - kruhov´y konoid, parabola - parabolick´y konoid, ˇsroubovice - ˇsroubov´y konoid atd. Pokud by ˇr´ıdic´ı pˇr´ımka byla kolm´a na ˇr´ıdic´ı rovinu, pak budeme mluvit o tzv. pˇr´ım´em konoidu, v opaˇcn´em pˇr´ıpadˇe budeme mluvit o tzv. koso´ uhl´em konoidu. V diplomov´e pr´aci jsme se omezili pouze na pˇr´ım´e konoidy.
1.4.2
Parametrizace konoid˚ u
Protoˇze konoidy jsou m´enˇe zn´am´e plochy, pro parametrizaci vyjdeme z obr. 1.1, d´ıky kter´emu si ˇcten´aˇr m˚ uˇze snadnˇeji plochu pˇredstavit.
Obr´azek 1.1: Parametrizace konoid˚ u Mˇejme tedy zad´anu ˇr´ıdic´ı kˇrivku k v rovinˇe yz vektorov´ ym vyj´adˇren´ım (1.18), kde y(t) a z(t) jsou funkce parametru t, kter´ y n´aleˇz´ı nˇejak´emu intervalu I. k(t) = (0, y(t), z(t))
(1.18)
ˇ ıdic´ı rovinou plochy necht’ je rovina xz. Protoˇze se v pr´aci zab´ R´ yv´ame pouze pˇr´ım´ ymi konoidy, plat´ı ˇze ˇr´ıdic´ı pˇr´ımka q leˇz´ıc´ı v rovinˇe kolm´e k rovinˇe xz. Volme tedy ˇr´ıdic´ı pˇr´ımku, kter´a leˇz´ı v rovinˇe xy nebo v rovinˇe s n´ı rovnobˇeˇznou. Pro ˇr´ıdic´ı pˇr´ımku pak plat´ı vztah (1.19), kde parametr t n´aleˇz´ı stejn´emu intervalu I jako parametr ˇridic´ı kˇrivky. Hodnota d urˇcuje vzd´alenost ˇr´ıdic´ı 18
pˇr´ımky od roviny, ve kter´e leˇz´ı ˇr´ıdic´ı kˇrivka. Jedn´a se o konstantu z oboru re´aln´ ych ˇc´ısel R a z´aroveˇ n plat´ı, ˇze d 6= 0. q(t) = (d, y(t), 0)
(1.19)
Povrchov´e pˇr´ımky p spojuj´ı body ˇr´ıdic´ı kˇrivky k a ˇr´ıdic´ı pˇr´ımky q. Smˇerov´ y vektor tˇechto povrchov´ ych pˇr´ımek vyj´adˇr´ıme vztahem (1.20). Nejedn´a se zde o smˇerov´ y vektor konkr´etn´ı povrchov´e pˇr´ımky, ale o smˇerov´ y vektor cel´e mnoˇziny povrchov´ ych pˇr´ımek. s = k(t) − q(t) = (−d, 0, z(t))
(1.20)
Plochu konoidu pak vyj´adˇr´ıme vztahem (1.21). Vych´az´ıme z parametrick´eho vyj´adˇren´ı pˇr´ımky v analytick´e geometrii. Opˇet se zde jedn´a o vyj´adˇren´ı cel´e mnoˇziny povrchov´ ych pˇr´ımek, kter´e vytv´aˇrej´ı plochu pˇr´ım´eho konoidu. Parametr u je z nˇejak´eho intervalu J. P(u, t) = q(t) + su
(1.21)
Po dosazen´ı za ˇr´ıdic´ı pˇr´ımku a smˇerov´ y vektor dostaneme po u ´pravˇe koneˇcn´e vektorov´e vyj´adˇren´ı pˇr´ım´eho konoidu (1.22). Jin´e pˇr´ıpady um´ıstˇen´ı ˇr´ıdic´ı kˇrivek a ˇr´ıdic´ı pˇr´ımky se odvozuj´ı analogicky. P(u, t) = (d − du, y(t), z(t)u)
1.5
(1.22)
Pracovn´ı listy
Pro kaˇzd´ y typ ploch (rotaˇcn´ı, ˇsroubov´e, pˇr´ımkov´e) byl pˇripraven pracovn´ı list, kter´ y navazuje na pˇredch´azej´ıc´ı v´ yklad nov´e l´atky. Kaˇzd´ y pracovn´ı list obsahuje nˇekolik odd´ıl˚ u, kter´e jsou vˇenovan´e konkr´etn´ım ploch´am. Vu ´vodu pracovn´ıch list˚ u jsou vˇzdy shrnuty z´akladn´ı poznatky t´ ykaj´ıc´ı se rotaˇcn´ıch, ˇsroubov´ ych nebo pˇr´ımkov´ ych ploch. N´asleduj´ı menˇs´ı odd´ıly ke kaˇzd´e konkr´etn´ı ploˇse a tyto odd´ıly jsou rozdˇeleny na tˇri typy u ´loh. Kaˇzd´ y typ u ´loh je oznaˇcen jedn´ım z n´asleduj´ıc´ıch obr´azk˚ u. Na obr. 1.2 vlevo je oznaˇcen´ı pro v´ ykladovou ˇc´ast. Je oddˇelena r´ameˇckem, abychom zv´ yraznili, ˇze se jedn´a o shrnut´ı v´ ykladu. Pro ovˇeˇren´ı, zda jsou ˇza´ci pˇri v´ yuce pozorn´ı a soustˇredˇen´ı, jsme zde uvedli nˇekolik jednoduch´ ych ot´azek au ´kol˚ u, u kter´ ych ˇza´ci vyplˇ nuj´ı odpovˇedi. Or´amovanou ˇca´st lze vyuˇz´ıt bud’ jako shrnut´ı v z´avˇeru hodiny nebo jako kontroln´ı test k opakov´an´ı. 19
Obr´azek 1.2: Oznaˇcen´ı jednotliv´ ych ˇca´st´ı v pracovn´ım listˇe
Na obr. 1.2 uprostˇred je oznaˇcen´ı pro u ´lohy, kter´e bˇehem vyuˇcovac´ı hodiny prov´ad´ı vyuˇcuj´ıc´ı spoleˇcnˇe se ˇza´ky. K tˇemto u ´loh´am uˇcitel vyuˇz´ıv´a tabuli pro matematick´e odvozov´an´ı a program Geogebra, ve kter´em jsou jednotliv´e u ´lohy vyˇreˇseny. V tomto programu m˚ uˇze jednotliv´e konstrukce ˇza´k˚ um odkrokovat. M˚ uˇze zde ˇz´ak˚ um tak´e uk´azat, jak bude vypadat cel´e ˇreˇsen´ı pˇr´ıkladu, ˇ aci maj´ı nebot’ bˇehem hodiny nen´ı vˇzdy dostatek ˇcasu vyˇreˇsit cel´ y pˇr´ıklad. Z´ ke kaˇzd´emu konstrukˇcn´ımu pˇr´ıkladu k dispozici n´avodn´e kroky. Tˇret´ı ˇca´st, kter´a je zamˇeˇren´a na samostatnou pr´aci ˇz´ak˚ u, je oznaˇcena obr. 1.2 vpravo. Uˇcitel si na tˇret´ı ˇca´sti opˇet ovˇeˇr´ı pozornost ˇz´ak˚ u bˇehem vyuˇcovac´ı hodiny. Tyto pˇr´ıklady ˇreˇs´ı ˇz´aci bˇehem v´ yuky samostatnˇe nebo je lze zadat jako dom´ac´ı u ´kol. Pracovn´ı listy jsou pˇrid´any do pˇr´ıloh. Vˇsechny konstrukˇcn´ı u ´lohy a jejich ˇreˇsen´ı v programu Geogebra jsou souˇc´ast´ı vytvoˇren´ ych webov´ ych str´anek, kter´e jsou um´ıstˇen´e na pˇriloˇzen´em CD.
20
Kapitola 2 Vybran´ e rotaˇ cn´ı plochy V n´asleduj´ıc´ı ˇca´sti nav´aˇzeme na kapitolu (1.2) a budeme se vˇenovat vybran´ ym rotaˇcn´ım ploch´am. Vybrali jsme kulovou plochu, anuloid, rotaˇcn´ı paraboloid a jednod´ıln´ y rotaˇcn´ı hyperboloid. U kaˇzd´e plochy je uvedeno jak´ ym zp˚ usobem je vytvoˇrena, jak dospˇejeme k matematick´emu odvozen´ı vektorov´eho vyj´adˇren´ı a d´ale pˇr´ıklady vyuˇzit´ı plochy v praxi. Ke kaˇzd´emu typu ploch byl pˇripraven pracovn´ı list, kter´ y je dˇelen na d´ılˇc´ı ˇca´sti. Tyto ˇca´sti jsou vˇenovan´e ot´azk´am a konstrukˇcn´ım u ´loh´am na konkr´etn´ı plochu. Na z´avˇer byl vypracov´an model plochy bud’ ve 3D model´aˇr´ıch (Google SketchUp, Rhino) nebo fyzick´ y model.
2.1
Kulov´ a plocha
2.1.1
Zaˇ razen´ı plochy
Kulov´a plocha je mnoˇzina bod˚ u v prostoru, kter´e maj´ı od dan´eho bodu S stejnou vzd´alenost r. Kulov´a plocha neboli sf´era vznik´a rotac´ı kruˇznice k kolem osy o, proto tuto plochu ˇrad´ıme do cyklick´ ych rotaˇcn´ıch ploch. Osa rotaˇcn´ıho pohybu leˇz´ı v rovinˇe tvoˇr´ıc´ı kruˇznice, kter´a je tak´e meridi´anem plochy. Aby vznikla kulov´a plocha, mus´ı stˇred tvoˇr´ıc´ı kruˇznice leˇzet na ose rotaˇcn´ıho pohybu. Proto je kulov´a plocha podle osy rotaˇcn´ıho pohybu soumˇern´a. Jako osu rotace zvol´ıme osu z a stˇred kulov´e plochy um´ıst´ıme do poˇc´atku souˇradnicov´e soustavy. Model kulov´e plochy vid´ıme na obr. 2.1.
21
Obr´azek 2.1: Model kulov´e plochy
2.1.2
Obr´azek 2.2: Princip odvozen´ı kulov´e plochy
Matematick´ e odvozen´ı plochy
Pro odvozen´ı vektorov´eho vyj´adˇren´ı vyjdeme z obr. 2.2. Necht’ je d´ana kruˇznice k se stˇredem S = [0, 0, 0] a polomˇerem r. Tato kruˇznice leˇz´ı v rovinˇe yz a je hlavn´ım meridi´anem kulov´e plochy. Osou rotaˇcn´ıho pohybu je souˇradnicov´a osa z. Na tvoˇr´ıc´ı kruˇznici zvolme bod X. Vyznaˇc´ıme vzd´alenost tohoto bodu od stˇredu S tvoˇr´ıc´ı kruˇznice (polomˇer). Souˇradnicov´a osa y sv´ır´a s u ´seˇckou SX u ´hel t. Pro vypoˇcten´ı souˇradnice x a y bodu X vych´az´ıme z definice goniometrick´ ych funkc´ı. Plat´ı, ˇze tvoˇr´ıc´ı kruˇznice, je mnoˇzinou vˇsech bod˚ u X, jejichˇz vzd´alenost od bodu S se rovn´a polomˇeru r. Pro tvoˇr´ıc´ı kruˇznici tedy plat´ı vektorov´e vyj´adˇren´ı (2.1). Pro vytvoˇren´ı kulov´e plochy staˇc´ı vyuˇz´ıt jen polovinu tvoˇr´ıc´ı kruˇznice, nebot’ rotaˇcn´ı plochy jsou soumˇern´e podle osy rotaˇcn´ıho pohybu. Proto jsou hodnoty parametru t z intervalu h− π2 , π2 i. k(t) = (0, r cos t, r sin t)
(2.1)
Kaˇzd´ y bod tvoˇr´ıc´ı kruˇznice se pohybuje po rovnobˇeˇzkov´e kruˇznici leˇz´ıc´ı v rovinˇe xy nebo v rovinˇe rovnobˇeˇzn´e s rovinou xy. Polomˇer rovnobˇeˇzkov´e kruˇznice oznaˇc´ıme R. Tento polomˇer R se rovn´a souˇradnici y vektorov´eho vyj´adˇren´ı tvoˇr´ıc´ı polokruˇznice, plat´ı R = r cos t, viz obr. 2.2. Kulov´a plocha je tvoˇrena vˇsemi rovnobˇeˇzkov´ ymi kruˇznicemi, kter´e opisuj´ı body X na tvoˇr´ıc´ı kruˇznici. Vektorov´e vyj´adˇren´ı kulov´e plochy tedy zap´ıˇseme 22
ve tvaru (2.2). Parametr t je obsaˇzen ve vyj´adˇren´ı polomˇeru R. Parametr u je z intervalu h0, 2π). P(u, t) = (R cos u, R sin u, r sin t)
(2.2)
Pokud dosad´ıme za polomˇer R, dostaneme koneˇcn´e vektorov´e vyj´adˇren´ı kulov´e plochy (2.3). P(u, t) = (r cos t cos u, r cos t sin u, r sin t)
(2.3)
Toto vyj´adˇren´ı plat´ı pouze v pˇr´ıpadˇe, ˇze stˇred tvoˇr´ıc´ı kruˇznice leˇz´ı v poˇc´atku souˇradnicov´eho syst´emu. Tvoˇr´ıc´ı kruˇznici m˚ uˇzeme posouvat libovolnˇe po prostoru. Zmˇen´ı se souˇradnice stˇredu z S = [0, 0, 0] na S = [sx , sy , sz ]. Tyto posunut´e souˇradnice pˇriˇc´ıt´ame k jednotliv´ ym souˇradnic´ım vektorov´eho vyj´adˇren´ı (2.3) a kulovou plochu s posunut´ ym stˇredem pak vyj´adˇr´ıme vztahem (2.4). P(s, t) = (sx + r cos t cos u, sy + r cos t sin u, sz + r sin t)
(2.4)
Jedn´a se o vektorov´e vyj´adˇren´ı pomoc´ı sf´erick´ych souˇradnic 1 . Jin´ ym zp˚ u2 sobem parametrizace kulov´e plochy je tzv. racion´ aln´ı parametrizace .
2.1.3
Praktick´ e vyuˇ zit´ı plochy
1. zastˇ reˇ sov´ an´ı budov: V architektuˇre je vyuˇz´ıv´ano r˚ uzn´ ych ˇc´ast´ı kulov´e plochy k zastˇreˇsov´an´ı budov. Tˇemito ˇc´astmi jsou napˇr´ıklad kulov´ y vrchl´ık a plocha polokoule. Dalˇs´ım ˇca´stem kulov´e plochy, kter´ ych se vyuˇz´ıv´a k zastˇreˇsov´an´ı, ˇr´ık´ame sf´erick´e troj´ uheln´ıky. Pro vysvˇetlen´ı pojmu sf´erick´ y troj´ uheln´ık zavedeme nejprve pojem trojhran. Vyjdeme z obr. 2.3. 1
Nˇekdy se pouˇz´ıv´ a pro parametry t a u oznaˇcen´ı geografick´e souˇradnice. Parametr t urˇcuje zemˇepisnou d´elku (poledn´ıky) a parametr u urˇcuje zemˇe pisnou ˇs´ıˇrku (rovnobˇeˇzky) 2
Ve vektorov´em vyj´ adˇren´ı P(u, v ) =
a(u,v) c(u,v) e(u,v) b(u,v) , d(u,v) , f (u,v)
plat´ı, ˇze prvky a(u, v),
b(u, v), c(u, v), d(u, v), e(u, v) a f(u, v) jsou polynomy dvou promˇenn´ ych, kde u, v ∈ R. Tyto polynomy se vyjadˇruj´ı pomoc´ı jednotkov´e sf´ery se stˇredem S = [0, 0, 0], na kter´e se zvol´ı bod A = [0, 0, 1] jako tzv. p´ ol. Kaˇzd´ y bod sf´ery se pak spoj´ı s t´ımto p´ olem a vznikl´e pˇr´ımky prot´ınaj´ı rovinu xy. Vektorov´e vyj´ adˇren´ı tˇechto pˇr´ımek se dosazuje do vyj´ adˇren´ı pro jednotkovou sf´eru x2 + y 2 + z 2 = 1. V´ ysledn´ a racion´ aln´ı parametrizace bude ve 2tvaru +v 2 −1 2u 2v . Opˇet je moˇzn´e vyuˇz´ıt posunut´ y ve tvaru P(u, v ) = r · u1+u 2 +v 2 , r · 1+u2 +v 2 , r · 1+u2 +v 2 stˇred.
23
Obr´azek 2.3: Vysvˇetlen´ı pojmu trojhran
Obr´azek 2.4: Sf´erick´ y troj´ uheln´ık
Je d´ana rovina tˇremi body A’, B’, C’. D´ale je d´an bod S, kter´ y v rovinˇe neleˇz´ı. Trojhran definujeme jako mnoˇzinu bod˚ u vˇsech polopˇr´ımek s poˇca´tkem v bodˇe S, kter´e prot´ınaj´ı danou rovinu v troj´ uheln´ıku A’B’C’ a budeme ho znaˇcit S(A’, B’, C’). Bod S je vrcholem trojhranu, polopˇr´ımky SA’, SB’ a SC’ jsou hrany trojhranu, u ´hly 6 C’A’B’ = α, 6 A’B’C’ = β a 6 B’C’A’ = γ naz´ yv´ame u ´hly trojhranu a u ´hly 6 A’SC’ = η, 6 A’SB’ = θ a 6 B’SC’ = ζ naz´ yv´ame stˇenami trojhranu. Ve sf´erick´e trigonometrii se d´elky stran trojhranu definuj´ı jako velikosti pˇr´ısluˇsn´ ych u ´hl˚ u η, θ, ζ. Nyn´ı um´ıst´ıme vrchol trojhranu S do stˇredu kulov´e plochy o polomˇeru R. Sf´erick´ y troj´ uheln´ık definujeme jako pr˚ unik kulov´e plochy o polomˇeru R a trojhranu S(A’, B’, C’). Tam kde hrany trojhranu protnou kulovou plochu z´ısk´av´ame vrcholy sf´erick´eho troj´ uheln´ıku A, B, C, viz obr. 2.4. Strany sf´erick´eho troj´ uheln´ıku ch´apeme jako oblouky a, b, c, ve kter´ ych stˇeny trojhranu prot´ınaj´ı kulovou plochu. Pro v´ ypoˇcet d´elky kruhov´ ych oblouk˚ u pˇr´ısluˇsej´ıc´ı k dan´emu u ´hlu α ve stupn´ıch je vyuˇz´ıv´an n´asleduj´ıc´ı vztah (2.5). L =
2πr ·α 360
(2.5)
Pokud bychom chtˇeli vypoˇc´ıtat d´elky oblouk˚ u a, b a c, pak bychom 24
do vztahu (2.5) dosadili pˇr´ısluˇsn´e u ´hly η, θ nebo ζ a polomˇer kulov´e plochy R. Tyto oblouky jsou z´aroveˇ n ˇca´sti hlavn´ıch kruˇznic, kter´e jsou takt´eˇz v obr. 2.4 vyznaˇceny. Hlavn´ı kruˇznici sf´ery definujeme jako kruˇznici, kter´a leˇz´ı v rovinˇe proch´azej´ıc´ı stˇredem kulov´e plochy. Polomˇer hlavn´ı kruˇznice je shodn´ y s polomˇerem sf´ery. V´ıce o sf´erick´e geometrii lze nal´ezt v [7]. Typick´ ym pˇr´ıkladem vyuˇzit´ı sf´erick´eho troj´ uheln´ıku v architektuˇre je budova St´atn´ı opery v Sydney, viz obr. 2.5. Na obr. 2.6 je pak maketa jednotliv´ ych ˇca´st´ı kulov´e plochy (r˚ uzn´ ych sf´erick´ ych troj´ uheln´ık˚ u), kter´ ych architekt vyuˇzil. Tato maketa je um´ıstˇena pˇred budovou St´atn´ı opery a m˚ uˇzeme si na n´ı vˇsimnout, jak´ ym zp˚ usobem byly jednotliv´e skoˇrepiny z´ısk´any.
Obr´azek 2.5: St´atn´ı opera Sydney
Obr´azek 2.6: Maketa skoˇrepin
Pro celou stavbu bylo vyuˇzito celkem 20 skoˇrepin v n´asleduj´ıc´ım sloˇzen´ı. Jednotliv´a ˇc´ısla skoˇrepin jsou uveden´a na obr. 2.6 vpravo dole. • skoˇrepina ˇc´ıslo 1 . . . 6x • skoˇrepina ˇc´ıslo 2 . . . 6x • skoˇrepina ˇc´ıslo 3 . . . 4x • skoˇrepina ˇc´ıslo 4 . . . 4x Zaj´ımavost´ı je, ˇze vˇsechny jsou pokryty keramick´ ymi dlaˇzdicemi leskl´e ˇ edska. Budova je tak´e zaps´ana b´ıl´e barvy, speci´alnˇe dovezen´ ych ze Sv´ do seznamu svˇetov´eho kulturn´ıho dˇedictv´ı UNESCO. V pˇr´ıpadˇe St´atn´ı 25
opery v Sydney se jedn´a o prvn´ıho ˇzij´ıc´ıho architekta jehoˇz stavba z´ıskala tak v´ yznamn´e ocenˇen´ı. Bohuˇzel rok pot´e architekt Jφrn Utzon zemˇrel ve vˇeku 90 let. 2. kuliˇ ckov´ a myˇ s: Neˇz doˇslo k dalˇs´ım technick´ ym pokrok˚ um v oblasti informaˇcn´ıch technologi´ı, byla kulov´a plocha vyuˇz´ıv´ana i u tzv. kuliˇckov´e myˇsi, viz obr. 2.7.
Obr´azek 2.7: Sch´ema kuliˇckov´e myˇsi
Obr´azek 2.8: Kulov´a dotykov´a mˇeˇr´ıc´ı sonda
Kuliˇcka (1) byla um´ıstˇena mezi dvˇemi navz´ajem kolm´ ymi hˇr´ıdelkami (2). Jedna zajiˇst’ovala horizont´aln´ı pohyb a druh´a vertik´aln´ı pohyb. Pˇri pohybu myˇs´ı se pohyb pˇren´aˇsel na tyto hˇr´ıdelky, kter´e n´aslednˇe rozt´aˇcely otoˇcn´e clonky s ok´ ynky (3, 4). D´ale zde byl um´ıstˇen svˇeteln´ y senzor, kter´ y zm´ınˇen´e clonky prosvˇecoval (5). Vˇzdy se prosv´ıtilo pouze jedno ok´enko z jedn´e clonky, protoˇze druh´a byla pootoˇcen´a. Na z´akladˇe toho, kter´e ok´enko z jak´e clonky bylo prosv´ıcen´e svˇeteln´ ym paprskem, mechanismus rozpoznal smˇer pohybu. V kaˇzd´e takov´e myˇsi bylo ˇcidlo, kter´e pˇremˇen ˇovalo pˇreruˇsovan´e paprsky na elektrick´e impulsy, kter´e vys´ılaly sign´aly pro pohyb kursoru na monitoru. Nev´ yhodou kuliˇckov´e myˇsi bylo, ˇze fungovala jen na urˇcit´em typu povrchu. Na hladk´em povrchu kuliˇcka prokluzovala, proto byl mechanismus nepˇresn´ y. D´ale byly kuliˇckov´e myˇsi velice n´achyln´e na prach, 26
proto byla d˚ uleˇzit´a jejich u ´drˇzba. Podrobnˇejˇs´ı informace o fungov´an´ı poˇc´ıtaˇcov´ ych myˇs´ı viz [10]. 3. stroj´ırenstv´ı: Kulov´a plocha je vyuˇz´ıv´ana vˇsude, kde je potˇreba zajistit co nejmenˇs´ı tˇren´ı pˇri posunu. Typick´ ym pˇr´ıkladem jsou kuliˇckov´a loˇziska. Uvnitˇr kuliˇckov´eho loˇziska jsou dr´aˇzky, ve kter´ ych se odvaluj´ı kovov´e kuliˇcky. Vzhledem k tomu, ˇze se o kuliˇckov´ ych loˇzisc´ıch zm´ın´ıme jeˇstˇe v kapitole, kter´a se t´ yk´a anuloidu, obr´azek uvedeme v n´asleduj´ıc´ı kapitole. Kulov´a plocha je vyuˇz´ıv´ana tak´e u tzv. kulov´e dotykov´e mˇeˇr´ıc´ı sondy. Jedn´a se o souˇradnicov´ y mˇeˇr´ıc´ı pˇr´ıstroj pouˇz´ıvan´ y napˇr. pro mˇeˇren´ı obroben´ ych souˇca´st´ı ve stroj´ırenstv´ı. Princip mˇeˇren´ı spoˇc´ıv´a v tom, ˇze v prostoru urˇc´ıme pevn´ y z´akladn´ı bod a polohy ostatn´ıch bod˚ u z´ısk´ame mˇeˇren´ım souˇradnicov´ ych rozmˇer˚ u na os´ach x, y, z. Jako polohu z´akladn´ıho bodu uvaˇzujeme souˇradnice stˇredu kulov´eho zakonˇcen´ı hrotu sondy. Na obr. 2.8 je zobrazeno sch´ema mˇeˇr´ıc´ı sondy pracuj´ıc´ı ve tˇrech smˇerech. Ve sch´ematu je (1) tˇelo sondy. Uvnitˇr je kolem obvodu um´ıstˇen krouˇzek se tˇremi dr´aˇzkami (4) s elektrick´ ym kontaktem, ty jsou rovnomˇernˇe rozm´ıstˇen´e po 120◦ . Mˇeˇr´ıc´ı hrot (5) je napojen na tˇri ramena zakonˇcen´a kuliˇckami, kter´e jsou um´ıstˇeny uvnitˇr tˇela sondy v dr´aˇzk´ach. V tˇechto dr´aˇzk´ach jsou drˇzeny d´ıky pruˇzinˇe (2), kter´a na nˇe vyv´ıj´ı tlak. Kdyˇz se kulov´e zakonˇcen´ı hrotu sondy dotkne mˇeˇren´e souˇc´astky (6), pˇreruˇs´ı se elektrick´ y kontakt v jedn´e z dr´aˇzek a zaˇcne se vys´ılat sign´al. V´ıce informac´ı o mˇeˇren´ı ve stroj´ırenstv´ı lze nal´ezt v [11].
2.1.4
Pracovn´ı list - kulov´ a plocha
Pracovn´ı list, t´ ykaj´ıc´ı se kulov´e plochy, je souˇc´ast´ı pracovn´ıho listu k rotaˇcn´ım ploch´am. Budeme se tedy vˇenovat pouze odd´ılu, kter´ y je vˇenov´an kulov´e ploˇse. V u ´vodu je ˇza´k˚ um poloˇzeno nˇekolik ot´azek, ve kter´ ych jsou shrnuty d˚ uleˇzit´e informace, kter´e byly vyloˇzeny bˇehem v´ yuky. N´asleduje ˇca´st s konstrukcemi a pˇr´ıklady, kter´e jsou souˇca´st´ı v´ yuky. Pro prvn´ı pˇr´ıklad, kdyˇz ˇz´aci poˇc´ıtaj´ı d´elky oblouk˚ u, je vhodn´e vyuˇz´ıt i dr´atˇen´ y model kulov´e plochy, aby ˇza´ci pˇresnˇe vidˇeli, co poˇc´ıtaj´ı.
27
Ve druh´em pˇr´ıkladu maj´ı ˇz´aci za u ´kol sestrojit p˚ udorys bodu leˇz´ıc´ıho na rotaˇcn´ı ploˇse. Ve tˇret´ım a ˇctvrt´em pˇr´ıkladu ˇza´ci konstruuj´ı ˇrez kulov´e plochy rovinou. Kv˚ uli nedostatku ˇcasu zde ˇza´ci konstruuj´ı pouze jeden bod ˇrezu a n´aslednˇe maj´ı k dispozici ˇreˇsen´ı v Geogebˇre. V p´at´em pˇr´ıkladu je u ´kolem ˇza´k˚ u odvodit vektorov´e vyj´adˇren´ı kulov´e plochy. V posledn´ı ˇca´sti, t´ ykaj´ıc´ı se kulov´e plochy, maj´ı ˇz´aci tˇri u ´koly. Vybrat spr´avnou odpovˇed’ na ot´azku, d´ale vybrat spr´avn´ y obr´azek podle zad´an´ı a n´aslednˇe s vyuˇzit´ım konstrukc´ı z v´ yuky sestrojit sf´erick´ y troj´ uheln´ık pomoc´ı ˇrezu kulov´e plochy.
2.2 2.2.1
Anuloid Zaˇ razen´ı plochy
Obr´azek 2.9: Model anuloidu ˇ ıme ji mezi Na obr. 2.9 vid´ıme plochu zvanou anuloid neboli torus. Rad´ cyklick´e rotaˇcn´ı plochy, jelikoˇz vznik´a rotac´ı kruˇznice k kolem osy o, kter´a leˇz´ı ve stejn´e rovinˇe jako kruˇznice k. Podm´ınkou vˇsak mus´ı b´ yt, ˇze stˇred rotuj´ıc´ı kruˇznice neleˇz´ı na ose rotaˇcn´ıho pohybu (vznikla by kulov´a plocha). Rozliˇsujeme tˇri typy anuloidu, podle vz´ajemn´e polohy tvoˇr´ıc´ı kˇrivky a osy, kolem kter´e dan´a tvoˇr´ıc´ı kˇrivka rotuje.
28
1. Pokud je osa rotaˇcn´ıho pohybu seˇcnou rotuj´ıc´ı kruˇznice, pak tuto plochu naz´ yv´ame melanoid, viz obr. 2.10 vlevo. 2. Stane-li se osa teˇcnou rotuj´ıc´ı kruˇznice, z´ısk´ame plochu zvanou axoid, viz obr. 2.10 uprostˇred. 3. Pokud nenastane ani jedna z pˇredeˇsl´ ych moˇznost´ı, tedy osa rotace je vnˇejˇs´ı pˇr´ımkou kruˇznice, pak t´eto ploˇse ˇr´ık´ame anuloid, viz obr. 2.10 vpravo.
Obr´azek 2.10: Zleva: anuloid, axoid, melanoid Zavedeme zde pojmy vnitˇrn´ı a vnˇejˇs´ı polomˇer. Vnitˇrn´ı polomˇer budeme definovat jako polomˇer tvoˇr´ıc´ı kruˇznice a vnˇejˇs´ı polomˇer budeme definovat jako polomˇer kruˇznice, po kter´e se pohybuje stˇred tvoˇr´ıc´ı kruˇznice pˇri rotaˇcn´ım pohybu. Anuloid lze zaˇradit tak´e do skupiny tzv. obalov´ych ploch.3 Rovinn´e kˇrivky, kter´e vzniknou ˇrezem anuloidu rovinou, kter´a je rovnobˇeˇzn´a s osou rotaˇcn´ıho pohybu, naz´ yv´ame Cassiniho ov´ aly. Tvar tˇechto kˇrivek z´avis´ı na pomˇeru vnˇejˇs´ıho a vnitˇrn´ıho polomˇeru plochy anuloidu a tak´e na um´ıstˇen´ı roviny ˇrezu. Na obr. 2.11 m´ame r˚ uzn´e typy tˇechto kˇrivek. 3
M´ısto tvoˇr´ıc´ı kˇrivkou jsou obalov´e plochy vytv´ aˇreny tvoˇr´ıc´ı plochou. V kaˇzd´em momentˇe pohybu se tvoˇr´ıc´ı plocha dot´ yk´ a vznikaj´ıc´ı obalov´e plochy. Tento dotyk je definov´ an pomoc´ı kˇrivky c tzv. charakteristiky. Anuloid je obalov´ a plocha jednoparametrick´e soustavy kulov´ ych ploch. Vznikne rotac´ı kulov´e plochy kolem osy a stˇred kulov´e plochy neleˇz´ı na ose rotace.
29
Jednu z tˇechto kˇrivek speci´alnˇe naz´ yv´ame tzv. Bernoulliova lemnisk´ ata, viz obr. 2.12. N´azev poch´az´ı z ˇreck´eho slova lemniskos = smyˇcka. Bernoulliova lemnisk´ata pˇripom´ın´a leˇzatou osmiˇcku. Vznikne ˇrezem anuloidu teˇcnou rovinou τ . Rovina τ proch´az´ı bodem na vnitˇrn´ı rovnobˇeˇzkov´e kruˇznici anuloidu, kterou naz´ yv´ame hrdlo.
Obr´azek 2.11: R˚ uzn´e Cassiniho ov´aly
Obr´azek 2.12: Bernoulliova lemnisk´ata
Obr´azek 2.13: Profil trasy proudnice
Bernoulliova lemnisk´ata je vyuˇz´ıv´ana v technick´e praxi napˇr´ıklad u vodohospod´aˇrsk´ ych staveb, zejm´ena pˇri tvorbˇe umˇel´ ych koryt vodn´ıch tok˚ u. Trasy vodn´ıch tok˚ u se skl´adaj´ı z protismˇern´ ych oblouk˚ u. Ty na sebe mohou pˇr´ımo navazovat nebo mohou b´ yt oddˇeleny pˇr´ım´ ymi u ´seky. Vodn´ı tok m´a svou tzv. vazkost neboli vnitˇrn´ı tˇren´ı. Pˇri styku se dnem a stˇenou koryta mus´ı pˇrekon´avat vˇetˇs´ı odpor, proto se rychlost proudˇen´ı smˇerem ke dnu a ke bˇreh˚ um zmenˇsuje. S rostouc´ı hloubkou se zvyˇsuje rychlost proudˇen´ı. Bernoulliova lemnisk´ ata m´a v korytˇe toku tvar, kter´ y se nejv´ıce podob´a proudnici, viz obr. 2.13 ˇca´rkovanˇe. Proudnici definujeme jako plavnou spojnici m´ıst s nejvˇetˇs´ı hloubkou a t´ım tak´e s nejvyˇsˇs´ı rychlost´ı. M´ısta s nejvˇetˇs´ı hloubkou se nach´azej´ı za m´ısty ˇ ım vˇetˇs´ı toto zakˇriven´ı bude, t´ım vˇetˇs´ı bude hloubka s nejvˇetˇs´ım zakˇriven´ım. C´ toku. Bernoulliova lemnisk´ata je zaj´ımav´a tak´e proto, ˇze ve sv´em poˇca´teˇcn´ım a koncov´em bodˇe m´a nulovou kˇrivost. Tyto dva body splynou do jednoho bodu O tzv. bodu obratu nebo tak´e bodu samopr˚ uniku kˇrivky. Jedn´a se o inflexn´ı bod, coˇz je bod, ve kter´em se kˇrivka mˇen´ı z konvexn´ı na konk´avn´ı a naopak. Pro tvar koryta se vyuˇz´ıv´a ˇca´st od bodu O do bodu S, kter´ y naz´ yv´ame vrcholov´ym bodem, viz obr. 2.14 ˇcervenou barvou. Bod S vznikne pr˚ unikem kˇrivky s osou vrcholu teˇcnov´eho polygonu (na obr. 2.14 ˇca´rkovan´ y troj´ uheln´ık s vrcholem V ). Nebudeme zde zab´ıhat do detail˚ u, v´ıce o t´eto problematice, viz [6]. 30
Obr´azek 2.14: Vyuˇzit´a ˇca´st oblouku lemnisk´aty
Na obr. 2.14 je vyznaˇcena pouze jedna vˇetev koryta, protismˇern´ y oblouk (druh´a vˇetev) vznikne zrcadlov´ ym obrazem vˇetve prvn´ı.
2.2.2
Matematick´ e odvozen´ı plochy
Hlavn´ım meridi´anem anuloidu je kruˇznice k leˇz´ıc´ı v rovinˇe yz se stˇredem S o souˇradnic´ıch [0, sy , sz ] a polomˇerem r, viz obr. 2.15. Hodnoty souˇradnic sy , sz jsou z oboru re´aln´ ych ˇc´ısel R. Osu rotace ztotoˇzn´ıme se souˇradnicovou osou z. Budeme tedy odvozovat vektorov´e vyj´adˇren´ı anuloidu, jehoˇz vnitˇrn´ı polomˇer je r a vnˇejˇs´ı polomˇer je sy . Opˇet zvol´ıme bod X na tvoˇr´ıc´ı kruˇznici. Jeho vzd´alenost od stˇredu kruˇznice je rovn´a polomˇeru r. Vyjdeme z definice pro goniometrick´e funkce a vyj´adˇr´ıme souˇradnice y a z bodu X. Tvoˇr´ıc´ı kruˇznice je mnoˇzinou vˇsech bod˚ u X, kter´e maj´ı vzd´alenost od stˇredu S rovnu polomˇeru r. Vektorov´e vyj´adˇren´ı tvoˇr´ıc´ı kruˇznice vyj´adˇr´ıme vztahem (2.6). Parametr t je z intervalu h0, 2π), protoˇze u anuloidu uˇz nestaˇc´ı jen polovina tvoˇr´ıc´ı kruˇznice. k(t) = (0, r cos t + sy , r sin t + sz )
(2.6)
Kaˇzd´ y bod tvoˇr´ıc´ı kruˇznice se pohybuje po rovnobˇeˇzkov´e kruˇznici, leˇz´ıc´ı v rovinˇe rovnobˇeˇzn´e s rovinou xy. Stejnˇe jako u kulov´e plochy pro polomˇer 31
Obr´azek 2.15: Princip odvozen´ı anuloidu
rovnobˇeˇzkov´ ych kruˇznic anuloidu plat´ı vztah (2.7). Absolutn´ı hodnota zajiˇst’uje, aby polomˇer rovnobˇeˇzkov´e kruˇznice nebyl z´aporn´ y. R = y(t) = |r cos t + sy |
(2.7)
Pro vyj´adˇren´ı anuloidu pak plat´ı vztah (2.8). Souˇradnice x a y urˇcuj´ı v´ yˇse zm´ınˇen´e rovnobˇeˇzkov´e kruˇznice a souˇradnice z sdˇeluje v jak´e rovinˇe dan´a rovnobˇeˇzkov´a kruˇznice leˇz´ı. Parametr u je tak´e z intervalu h0, 2π). P(u, t) = (R cos u, R sin u, r sin t + sz )
(2.8)
Po dosazen´ı za polomˇer R z v´ yˇse uveden´eho vztahu (2.7) z´ısk´ame koneˇcn´e vektorov´e vyj´adˇren´ı anuloidu ve tvaru (2.9). P(u, t) = (|r cos t + sy | cos u, |r cos t + sy | sin u, r sin t + sz )
2.2.3
(2.9)
Praktick´ e vyuˇ zit´ı plochy
1. duˇ se pneumatik: V praxi lze anuloid vyuˇz´ıvat u duˇs´ı j´ızdn´ıch kol a pneumatik aut. Prvn´ı kola byla dˇrevˇen´a a pobit´a kovov´ ymi p´asky. Cesty byly vˇsak tehdy hrbolat´e a j´ızda nebyla pˇr´ıliˇs pohodln´a. Proto bylo snahou nal´ezt vhodn´e nahrazen´ı. 32
Prvn´ı pokusy o vyn´alez pneumatiky jsou datovan´e do 18. stolet´ı. Postupem ˇcasu se podaˇrilo odstranit chyby a byly vyvinuty modern´ı, vzduchem plnˇen´e pneumatiky. Ty mˇely velk´e uplatnˇen´ı v s´eriov´e v´ yrobˇe j´ızdn´ıch kol a o nˇekolik let pozdˇeji jich vyuˇz´ıval i leteck´ y pr˚ umysl. Duˇse pneumatik v nafouknut´em stavu maj´ı tvar anuloidu. T´eto plochy je vyuˇz´ıv´ano kv˚ uli styˇcnosti s vozovkou. Jej´ım vyuˇzit´ım doch´az´ı k menˇs´ımu odporu pˇri valen´ı a d´ıky tomu, ˇze se jedn´a o gumov´ y materi´al, projevila se i vlastnost lepˇs´ı pˇrilnavosti k povrchu. D´ıky vnitˇrn´ımu otvoru anuloidu je moˇzn´e pneumatiku snadno upevˇ novat a pˇr´ıpadnˇe vymˇen ˇovat. Duˇse pneumatiky je na obr. 2.16. V´ıce informac´ı o historii a souˇcasnosti pneumatik, viz [12].
Obr´azek 2.16: Duˇse pneumatiky
Obr´azek 2.17: Kuliˇckov´e loˇzisko
2. kuliˇ ckov´ a loˇ ziska: Ve stroj´ırenstv´ı se s anuloidem setk´av´ame u loˇzisek. Loˇziska se rozdˇeluj´ı podle druhu tˇren´ı mezi ˇca´stmi stroj˚ u na kluzn´a a valiv´a. Do valiv´ ych loˇzisek zaˇrad´ıme i tzv. kuliˇckov´ a loˇziska. Jedn´a se o sestavu vnitˇrn´ıho a vnˇejˇs´ıho krouˇzku, mezi nimiˇz se v dr´aˇzce pohybuj´ı valiv´a tˇelesa. Tˇemito valiv´ ymi tˇelesy jsou kuliˇcky stejn´eho rozmˇeru. Tato strojn´ı souˇca´stka je typickou uk´azkou toho, ˇze anuloid lze zaˇradit do obalov´ ych ploch. Anuloidem jsou zde dvˇe dr´aˇzky poloˇzen´e proti sobˇe, ve kter´ ych se pohybuj´ı kovov´e kuliˇcky, kter´e m˚ uˇzeme povaˇzovat za jednoparametrickou soustavu kulov´ ych ploch. Dr´aˇzky jsou obalovou plochou tˇechto kuliˇcek. 33
V´ yhodou vyuˇzit´ı valiv´ ych loˇzisek je mal´e tˇren´ı a t´ım i mal´e zahˇr´ıv´an´ı, s ˇc´ımˇz souvis´ı i niˇzˇs´ı spotˇreba maziva. Naopak nev´ yhodami jsou napˇr´ıklad citlivost na prach, n´arazy a t´ım i vˇetˇs´ı hluˇcnost. Kuliˇckov´e loˇzisko m´ame na obr. 2.17. Tento pˇr´ıklad vyuˇzit´ı byl ˇcerp´an z [8]. 3. Biotorus: Anuloid lze vyuˇz´ıvat i v medic´ınˇe, konkr´etnˇe v magnetoterapii. Jedn´a se o pˇr´ıstroj tvaru anuloidu, uvnitˇr kter´eho je navinut´a c´ıvka (tzv. toroidn´ı vinut´ı), kter´a vytv´aˇr´ı n´ızkofrekvenˇcn´ı pulsn´ı magnetick´e pole (NPMP). Uk´azka toroidn´ıho vinut´ı je na obr. 2.19. Protoˇze je pouˇzito toroidn´ı j´adro, vznikne uzavˇren´ y magnetick´ y tok s n´ızk´ ymi magnetick´ ymi ztr´atami. Nejd˚ uleˇzitˇejˇs´ım u ´ˇcinkem (NPMP) na lidsk´ y organismus je rozˇsiˇrov´an´ı c´ev a t´ım lepˇs´ı prokrvov´an´ı, urychlen´ı regenerace bunˇek a t´ım snadnˇejˇs´ı nastartov´an´ı procesu hojen´ı nebo odstranˇen´ı svalov´eho napˇet´ı a otok˚ u. Pokud by byla frekvence pˇr´ıliˇs vysok´a, mohlo by doj´ıt k neˇz´adouc´ım u ´ˇcink˚ um. Tˇemi mohou b´ yt bolest hlavy, koˇzn´ı zmˇeny a pˇr´ıpadnˇe i porucha srdeˇcn´ıho rytmu. Popisovan´ y pˇr´ıstroj je zn´azornˇen na obr. 2.18, podrobn´e informace viz [13].
Obr´azek 2.18: Biotorus
2.2.4
Obr´azek 2.19: Toroidn´ı vinut´ı
Pracovn´ı list - anuloid
Nav´azali jsme na pˇredeˇsl´e teoretick´e informace a praktick´a vyuˇzit´ı anuloidu a v r´amci pracovn´ıho listu na rotaˇcn´ı plochy jsme pˇridali odd´ıl vˇenovan´ y anuloidu. 34
´ ˇ aci odpov´ıdaj´ı na poloˇzen´e Uvodn´ ı ˇca´st je shrnut´ım probran´e l´atky. Z´ ot´azky a pln´ı jednoduch´e u ´koly t´ ykaj´ıc´ı se teoretick´ ych poznatk˚ u o anuloidu. N´asleduj´ı u ´lohy, kter´e bˇehem vyuˇcovac´ı hodiny prov´ad´ı uˇcitel spoleˇcnˇe se ˇz´aky. V prvn´ı u ´loze ˇza´ci odvozuj´ı n´arys bodu leˇz´ıc´ıho na anuloidu. Ve druh´em pˇr´ıkladˇe konstruuj´ı teˇcnou rovinu anuloidu dan´ ym bodem. Ve tˇret´ım pˇr´ıkladˇe maj´ı ˇz´aci za u ´kol odvodit vektorov´e vyj´adˇren´ı ke vˇsem typ˚ um anuloidu a naˇcrtnout obr´azky. Ve ˇctvrt´em pˇr´ıkladˇe sestrojuj´ı ˇrez anuloidu. Prvn´ı, druh´a a ˇctvrt´a u ´loha slouˇz´ı jako vzor pro konstrukci tˇret´ıho pˇr´ıkladu v ˇca´sti samostatn´e pr´ace ˇz´ak˚ u, ve kter´e jsou tyto element´arn´ı u ´lohy spojeny dohromady. V tomto samostatn´em pˇr´ıkladˇe ˇz´aci opˇet konstruuj´ı ˇrez anuloidu teˇcnou rovinou vedenou bodem na vnitˇrn´ım polomˇeru hrdeln´ı rovnobˇeˇzkov´e kruˇznice. V´ yslednou kˇrivkou ˇrezu je Bernoulliova lemnisk´ ata. Vˇsechny konstrukˇcn´ı u ´lohy je moˇzn´e opˇet postupnˇe krokovat v programu ˇ sen´ı v tomto programu jsou v´ Geogebra. Reˇ yhodn´a i v tom, ˇze jimi lze uˇsetˇrit ˇcas a ˇza´ci opˇet mohou konstruovat pouze nˇekolik bod˚ u a celkov´e ˇreˇsen´ı lze uk´azat v Geogebˇre.
2.3 2.3.1
Jednod´ıln´ y rotaˇ cn´ı hyperboloid Zaˇ razen´ı plochy
Obr´azek 2.20: Vznik plochy rotac´ı hyperboly
Obr´azek 2.21: Vznik plochy rotac´ı pˇr´ımky
Plochu jednod´ıln´eho rotaˇcn´ıho hyperboloidu lze vytvoˇrit dvˇema r˚ uzn´ ymi zp˚ usoby. Jako tvoˇr´ıc´ı kˇrivku k m˚ uˇzeme volit hyperbolu. Pak tato tvoˇr´ıc´ı 35
kˇrivka rotuje kolem sv´e vedlejˇs´ı osy. Na obr. 2.20 je model jednod´ıln´eho rotaˇcn´ıho hyperboloidu vytvoˇren´eho pr´avˇe rotac´ı hyperboly. Druhou moˇznost´ı je vytvoˇrit plochu rotac´ı pˇr´ımky p, kter´a je mimobˇeˇzn´a s osou rotaˇcn´ıho pohybu o. Lze ji tedy zaˇradit tak´e do pˇr´ımkov´ ych ploch. Na obr. 2.21 je model plochy vznikl´e rotac´ı pˇr´ımky. Na jednod´ıln´em rotaˇcn´ım hyperboloidu pak vzniknou dva syst´emy pˇr´ımek tzv. reguly. Pˇr´ımky kaˇzd´eho regulu jsou navz´ajem mimobˇeˇzn´e. Kaˇzd´a pˇr´ımka jednoho syst´emu prot´ın´a vˇsechny pˇr´ımky toho druh´eho a naopak.
2.3.2
Matematick´ e odvozen´ı plochy
Pro odvozen´ı vektorov´eho vyj´adˇren´ı jednod´ıln´eho rotaˇcn´ıho hyperboloidu vyjdeme z obr. 2.22. Necht’ je tvoˇr´ıc´ı kˇrivkou hyperbola leˇz´ıc´ı v rovinˇe yz, jej´ıˇz stˇred leˇz´ı v poˇc´atku O = [0, 0, 0]. Osou rotaˇcn´ıho pohybu je vedlejˇs´ı osa hyperboly, jeˇz spl´ yv´a se souˇradnicovou osou z.
Obr´azek 2.22: Princip rotace hyperboly
Obr´azek 2.23: Postup parametrizace hyperboly
Rovnici hyperboly m˚ uˇzeme d´ıky znalosti analytick´e geometrie napsat ve tvaru (2.10), kde a je d´elka hlavn´ı poloosy a b je d´elka vedlejˇs´ı poloosy hyperboly. Hodnoty a, b jsou z oboru re´aln´ ych ˇc´ısel R. V pˇr´ıpadˇe, ˇze bude platit a = b = 1 budeme hovoˇrit o rovnoos´e hyperbole. Tvoˇr´ıc´ı kˇrivka (hyperbola) bude t´eˇz meridi´anem jednod´ıln´eho rotaˇcn´ıho hyperboloidu. 1 =
y2 z2 − 2 a2 b 36
(2.10)
ˇ Pro odvozen´ı parametrizace tvoˇr´ıc´ı kˇrivky vyjdeme z obr. 2.23. Cervenou barvou je vyznaˇcena tvoˇr´ıc´ı kˇrivka a na n´ı je zvolen libovoln´ y bod M. Kruˇznice a m´a polomˇer rovn´ y d´elce hlavn´ı poloosy a kruˇznice b m´a polomˇer rovn´ y d´elce vedlejˇs´ı poloosy. D´ıky konstrukci dvou pravo´ uhl´ ych troj´ uheln´ık˚ u m˚ uˇzeme z definice goniometrick´ ych funkc´ı odvodit souˇradnice zvolen´eho bodu M. Z r˚ uˇzov´eho troj´ uheln´ıku odvod´ıme souˇradnici y a ze ˇzlut´eho troj´ uheln´ıku souˇradnici z. Dostaneme se tedy ke vztahu (2.11). Hyperbola je soumˇern´a podle osy rotaˇcn´ıho pohybu, proto n´am postaˇc´ı jedna vˇetev hyperboly. Hodnoty parametru t jsou tedy z intervalu h− π2 , π2 i. k(t) =
a 0, , b tan t cos t
(2.11)
Kaˇzd´ y bod tvoˇr´ıc´ı kˇrivky se pohybuje po rovnobˇeˇzkov´e kruˇznici se stˇredem na ose z a pro polomˇer kaˇzd´e rovnobˇeˇzkov´e kruˇznice plat´ı vztah (2.12). R = y(t) =
a cos t
(2.12)
Vektorov´e vyj´adˇren´ı jednod´ıln´eho rotaˇcn´ıho hyperboloidu pak zapisujeme ve tvaru (2.13). Souˇradnice x a y urˇcuj´ı rovnobˇeˇzkovou kruˇznici a souˇradnice z urˇcuje v jak´e rovinˇe dan´a rovnobˇeˇzkov´e kruˇznice leˇz´ı. P(u, t) = (R cos u, R sin u, b tan t)
(2.13)
Po dosazen´ı do vztahu (2.13) za polomˇer R z´ısk´ame koneˇcn´e vektorov´e vyj´adˇren´ı jednod´ıln´eho rotaˇcn´ıho hyperboloidu (2.14). Parametr u nab´ yv´a hodnot z intervalu h0, 2π). Toto vyj´adˇren´ı plat´ı jen tehdy, je-li stˇred hyperboly v poˇca´tku souˇradn´e soustavy. P(u, t) =
a a cos u, sin u, b tan t cos t cos t
(2.14)
Pokud posuneme stˇred hyperboly do libovoln´eho bodu, zmˇen´ı se jeho souˇradnice z S = [0, 0, 0] na S = [sx , sy , sz ]. Tyto posunut´e souˇradnice pˇriˇc´ıt´ame k jednotliv´ ym souˇradnic´ım vektorov´eho vyj´adˇren´ı (2.14) a jednod´ıln´ y rotaˇcn´ı hyperboloid s posunut´ ym stˇredem pak vyj´adˇr´ıme vztahem (2.15). P(u, t) =
a a cos u + sx , sin u + sy , b tan t + sz cos t cos t 37
(2.15)
Obr´azek 2.24: Princip odvozen´ı jednod´ıln´eho rotaˇcn´ıho hyperboloidu pomoc´ı rotace pˇr´ımky
Plochu jednod´ıln´eho rotaˇcn´ıho hyperboloidu lze vyj´adˇrit tak´e pomoc´ı rotace pˇr´ımky k, pro kterou plat´ı, ˇze je mimobˇeˇzn´a s osou rotaˇcn´ıho pohybu. Vyjdeme z obr. 2.24. Mˇejme tedy dva body A = [0, b, 0], B = [a, b, c]. Hodnoty a, b, c jsou z oboru re´aln´ ych ˇc´ısel R. Pro vznik jednod´ıln´eho rotaˇcn´ıho hyperboloidu plat´ı, ˇze a 6= 0 a z´aroveˇ n i c 6= 0. Jinak bychom vytvoˇrili rotaˇcn´ı v´alcovou plochu nebo rovinu. Osou rotaˇcn´ıho pohybu je osa z. Body A a B urˇcuj´ı tvoˇr´ıc´ı pˇr´ımku k. Smˇerov´ y vektor s tvoˇr´ıc´ı pˇr´ımky k urˇcujeme vztahem (2.16). s = B − A = (a, 0, c)
(2.16)
D´ale vyjdeme z parametrick´eho vyj´adˇren´ı pˇr´ımky v analytick´e geometrii a vyj´adˇr´ıme tvoˇr´ıc´ı pˇr´ımku vztahem (2.17) a osu rotaˇcn´ıho pohybu vztahem (2.18). Parametr t je v obou vztaz´ıch z intervalu (−∞,∞). k(t) = A + s · t = (at, b, ct)
(2.17)
o(t) = (0, 0, ct)
(2.18)
Kaˇzd´ y bod tvoˇr´ıc´ı pˇr´ımky se pohybuje po pˇr´ısluˇsn´e rovnobˇeˇzkov´e kruˇznici. Vzd´alenost tvoˇr´ıc´ı pˇr´ımky od osy rotaˇcn´ıho pohybu urˇcuje polomˇer rovnobˇeˇzkov´e kruˇznice. Vektor t´eto vzd´alenosti vyj´adˇr´ıme vztahem (2.19). d = k(t) − o(t) = (at, b, 0) 38
(2.19)
Polomˇer rovnobˇeˇzkov´e kruˇznice R se bude rovnat velikosti vektoru vzd´alenosti, viz vztah (2.20). √ R = |d| = a2 t2 + b2 (2.20) Plocha jednod´ıln´eho rotaˇcn´ıho hyperboloidu je tvoˇrena rovnobˇeˇzkov´ ymi kruˇznicemi vˇsech bod˚ u tvoˇr´ıc´ı pˇr´ımky. Vyj´adˇr´ıme ji vztahem (2.21), kde parametr u je z intervalu h0, 2πi. P(u, t) = (R cos u, R sin u, ct)
(2.21)
Pokud dosad´ıme do vztahu (2.21) za polomˇer R z v´ yˇse uveden´eho vztahu (2.20) z´ısk´ame koneˇcn´e vektorov´e vyj´adˇren´ı jednod´ıln´eho rotaˇcn´ıho hyperboloidu ve tvaru (2.22). √ √ P(u, t) = ( a2 t2 + b2 cos u, a2 t2 + b2 sin u, ct) (2.22)
2.3.3
Praktick´ e vyuˇ zit´ı plochy
1. stavitelstv´ı: Plocha jednod´ıln´eho hyperboloidu m´a v souˇcasnosti v architektuˇre zastoupen´ı v podobˇe chlad´ıc´ıch vˇeˇz´ı, kom´ın˚ u, rozhleden nebo podpˇern´ ych sloup˚ u ˇci designov´ ych dekorac´ı.
Obr´azek 2.25: Chlad´ıc´ı vˇeˇze jadern´e elektr´arny Temel´ın
Obr´azek 2.26: L´avka pro pˇeˇs´ı Manchester
Pro chlad´ıc´ı vˇeˇze je vyuˇz´ıv´ana, jelikoˇz se jedn´a o plochu tvoˇrenou rotac´ı pˇr´ımky. Je proto snadn´e vytvoˇrit bednˇen´ı, kter´e je zal´ev´ano betonem. Hmota je vyztuˇzena ˇsirok´ ymi kovov´ ymi dr´aty ve smˇeru povrchov´ ych pˇr´ımek, aniˇz by musely b´ yt oh´ yb´any. Jedn´a se o masivn´ı 39
Obr´azek 2.27: Rozhledna Bor˚ uvka u obce Hlubok´a nedaleko Pardubic
Obr´azek 2.28: Televizn´ı vˇeˇz v pˇr´ıstavu mˇesta Kobe, Japonsko
ˇzelezobetonovou konstrukci, kter´a je d´ıky zm´ınˇen´e v´ yztuˇzi pevn´a a stabiln´ı. Stavba m˚ uˇze dosahovat aˇz 200 m do v´ yˇsky a 100 m v pr˚ umˇeru. Na pˇredchoz´ıch obr. 2.25 aˇz 2.28 jsou r˚ uzn´e pˇr´ıklady vyuˇzit´ı plochy jednod´ıln´eho hyperboloidu v architektuˇre. Pro tento pˇr´ıklad praktick´eho vyuˇzit´ı jsme ˇcerpali z [2]. 2. stroj´ırenstv´ı: Plocha jednod´ıln´eho rotaˇcn´ıho hyperboloidu b´ yv´a vyuˇz´ıv´ana i ve stroj´ırenstv´ı. Typick´ ym pˇr´ıkladem je ˇsroubov´e soukol´ı, viz obr. 2.29. Jedn´a se o mechanick´ y ˇsroubov´ y pˇrevod pomoc´ı ozuben´ ych kol. Rotaˇcn´ı pohyb a toˇciv´ y moment se pomoc´ı hnac´ıho kola pˇren´aˇs´ı na kolo hnan´e d´ıky tvarov´emu styku zub˚ u jednotliv´ ych kol. Osy tˇechto ozuben´ ych kol neboli hˇr´ıdele jsou navz´ajem mimobˇeˇzn´e.
Obr´azek 2.29: Soukol´ı hypoidn´ıho pˇrevodu a jeho detail
40
N´azev ˇsroubov´e soukol´ı vznikl z pohybu ozuben´ ych kol. Pˇri jejich ot´aˇcen´ı doch´az´ı z´aroveˇ n i k posunu, protoˇze zde vznikaj´ı tzv. axi´ aln´ı s´ıly. Jedn´a se o s´ıly pod´el hˇr´ıdele, kter´e se snaˇz´ı pˇri z´abˇeru kola posouvat ve smˇeru hˇr´ıdele. V kapitole (1.3) jsme definovali ˇsroubov´ y pohyb jako sloˇzen´ı pohybu rotaˇcn´ıho a translaˇcn´ıho. Zm´ınˇen´e soukol´ı lze vytvoˇrit pouze za pˇredpokladu, ˇze kola jsou ˇc´astmi hyperboloidu. Pˇri jejich vz´ajemn´em pohybu se pˇr´ımky jednoho hyperboloidu posouvaj´ı po pˇr´ımk´ach toho druh´eho. Profil boku zub˚ u je tedy tzv. hypoidn´ıho typu, tedy se ˇsikm´ ymi zuby. Pro z´abˇer dvou ozuben´ ych kol se ˇsikm´ ymi zuby m´a zpravidla jedno kolo sklon zub˚ u doleva, zat´ımco druh´e kolo m´a sklon zub˚ u doprava. Detail ˇsroubov´eho soukol´ı se ˇsikm´ ymi zuby a mimobˇeˇzn´ ymi hˇr´ıdeli je na obr. 2.29 vpravo. Tyto ˇsikm´e zuby jsou v´ yhodn´e v tom, ˇze maj´ı mnohem tiˇsˇs´ı chod, protoˇze z´abˇer zub˚ u je plynul´ y, na rozd´ıl od zub˚ u pˇr´ım´ ych, kde je z´abˇer n´arazov´ y (cukav´y ). Protoˇze jsou zuby ˇsikm´e, vznik´a pˇri pohybu jiˇz zm´ınˇen´a axi´aln´ı s´ıla a ta se snaˇz´ı pˇri pohybu kolo tlaˇcit do strany. Tomuto neˇza´douc´ımu efektu konstrukt´eˇri ˇca´steˇcnˇe zabraˇ nuj´ı pomoc´ı loˇzisek. V´ yroba tohoto soukol´ı je velice obt´ıˇzn´a a tak´e n´akladn´a. Uplatnˇen´ı vˇsak maj´ı pˇredevˇs´ım u n´aroˇcn´ ych pˇrevod˚ u napˇr. u automobilov´ ych pˇrevodovek. Podrobnosti o soukol´ıch viz [8].
2.3.4
Pracovn´ı list
V pracovn´ım listˇe o rotaˇcn´ıch ploch´ach je opˇet blok vˇenovan´ y jednod´ıln´emu rotaˇcn´ımu hyperboloidu. V prvn´ı ˇc´asti ˇz´aci odpov´ıdaj´ı na ot´azky, kter´e jsou jim poloˇzeny za u ´ˇcelem shrnut´ı a zopakov´an´ı v´ ykladu o jednod´ıln´em rotaˇcn´ım hyperboloidu. V druh´e ˇc´asti ˇza´ci v prvn´ım pˇr´ıkladu odvozuj´ı p˚ udorys bodu leˇz´ıc´ıho na rotaˇcn´ım jednod´ıln´em hyperboloidu. Ve druh´em pˇr´ıkladu konstruuj´ı ˇrez rotaˇcn´ıho jednod´ıln´eho hyperboloidu. V dalˇs´ım pˇr´ıkladu maj´ı napsat vektorov´e vyj´adˇren´ı plochy, je-li tvoˇr´ıc´ı kˇrivkou hyperbola. V posledn´ı ˇca´sti maj´ı ˇz´aci pˇri samostatn´e pr´aci odpovˇedˇet na dvˇe teoretick´e ot´azky. V jedn´e maj´ı napsat pˇr´ıklady vyuˇzit´ı plochy a ve druh´e maj´ı 41
vybrat spr´avn´e tvrzen´ı. V dalˇs´ım pˇr´ıkladˇe si ˇz´aci opakuj´ı konstrukce v axonometrii a sestrojuj´ı jednotliv´e polohy pˇr´ımky pˇri jej´ı rotaci kolem osy z.
2.4 2.4.1
Rotaˇ cn´ı paraboloid Zaˇ razen´ı plochy
Tvoˇr´ıc´ı kˇrivkou plochy rotaˇcn´ıho paraboloidu je parabola. Vrchol tvoˇr´ıc´ı kˇrivky leˇz´ı na pˇr´ımce, kterou naz´ yv´ame osa paraboly. Z´aroveˇ n je tato pˇr´ımka osou rotaˇcn´ıho pohybu a leˇz´ı ve stejn´e rovinˇe jako tvoˇr´ıc´ı kˇrivka. Model plochy je na obr. 2.30.
Obr´azek 2.30: Model rotaˇcn´ıho paraboloidu
2.4.2
Obr´azek 2.31: Princip odvozen´ı rotaˇcn´ıho paraboloidu
Matematick´ e odvozen´ı plochy
Jak bylo ˇreˇceno v´ yˇse, plocha rotaˇcn´ıho paraboloidu vznik´a rotac´ı paraboly kolem sv´e osy, viz obr. 2.31. Mˇejme d´anu parabolu v rovinˇe yz. Osou rotaˇcn´ıho pohybu je souˇradnicov´a osa z, podle kter´e je tvoˇr´ıc´ı kˇrivka soumˇern´a. Vrchol paraboly m´a souˇradnice V = [0, 0, c]. Hodnota konstanty c je z oboru re´aln´ ych ˇc´ısel R. Vyjdeme z definice kvadratick´e funkce, jej´ıˇz vrcholem je bod V. D´ale zohledn´ıme, ˇze parabola leˇz´ı v rovinˇe yz a z´ısk´ame n´asleduj´ıc´ı tvar kvadratick´e funkce z = ay 2 + c, kde a, c jsou z oboru re´aln´ ych ˇc´ısel R. Z´aroveˇ n plat´ı, ˇze hodnota a 6= 0, protoˇze by jinak nevznikla kvadratick´a funkce. 42
Parametrizaci provedeme tak, ˇze poloˇz´ıme y = t. Vektorov´e vyj´adˇren´ı tvoˇr´ıc´ı kˇrivky k pak zap´ıˇseme vztahem (2.23). Protoˇze je parabola soumˇern´a podle osy z pro parametr t uvaˇzujeme hodnoty z intervalu h0,∞). k(t) = (0, t, at2 + c)
(2.23)
Kaˇzd´ y bod tvoˇr´ıc´ı kˇrivky se opˇet pohybuje po pˇr´ısluˇsn´e rovnobˇeˇzkov´e kruˇznici pro jej´ıˇz polomˇer plat´ı vztah (2.24). R = y(t) = t
(2.24)
Rotaˇcn´ı paraboloid vyj´adˇr´ıme vztahem (2.25), kde parametr u je z intervalu h0, 2π). Souˇradnice x a y opˇet urˇcuj´ı pˇr´ısluˇsn´e rovnobˇeˇzkov´e kruˇznice a souˇradnice z urˇcuje v jak´e rovinˇe dan´a rovnobˇeˇzkov´a kruˇznice leˇz´ı. P(u, t) = (R cos u, R sin u, at2 + c)
(2.25)
Po dosazen´ı za polomˇer R z v´ yˇse uveden´eho vztahu (2.24) z´ısk´ame koneˇcn´e vektorov´e vyj´adˇren´ı rotaˇcn´ıho paraboloidu (2.26). P(u, t) = (t cos u, t sin u, at2 + c)
2.4.3
(2.26)
Praktick´ e vyuˇ zit´ı plochy
1. akustick´ a zrcadla: Rotaˇcn´ı paraboloid je vyuˇz´ıv´an u tzv. akustick´ych zrcadel. Jedn´a se o pˇr´ıstroj, kter´ y zachycuje vlnˇen´ı z okol´ı. Parabolick´a plocha odr´aˇz´ı zvukov´e vlny do jednoho m´ısta (ohniska), kde je um´ıstˇen mikrofon. Nyn´ı zd˚ uvodn´ıme, proˇc se vlnˇen´ı odr´aˇz´ı pr´avˇe do m´ısta mikrofonu. Vyjdeme z obr. 2.32. Parabolu definujeme jako mnoˇzinu vˇsech bod˚ u X, kter´e maj´ı stejnou vzd´alenost od ohniska jako od ˇr´ıd´ıc´ı pˇr´ımky. Tedy spojnice libovoln´eho bodu X a ohniska F je stejnˇe dlouh´a jako vzd´alenost dan´eho bodu X od ˇr´ıd´ıc´ı pˇr´ımky d. T´eto spojnici a rovnobˇeˇzce s osou paraboly veden´e dan´ ym bodem X ˇr´ık´ame pr˚ uvodiˇc. Zvukov´a vlna je vlastnˇe v´ yˇse zm´ınˇen´ y pr˚ uvodiˇc, protoˇze se ˇs´ıˇr´ı rovnobˇeˇznˇe s osou paraboly a odr´aˇz´ı se do ohniska. Plat´ı tedy |TF |=|Td |, coˇz plyne z osov´e soumˇernosti podle teˇcny veden´e bodem T ke kˇrivce. 43
Obr´azek 2.32: Princip odrazu paprsk˚ u dopadaj´ıc´ıch na parabolu
Bod T je m´ısto dopadu paprsku na parabolu. Jelikoˇz nav´ıc plat´ı, ˇze u ´hel dopadu se rovn´a u ´hlu odrazu, paprsky se odr´aˇz´ı do ohniska, kde je um´ıstˇen mikrofon. Akustick´a zrcadla byla vyuˇz´ıv´ana jeˇstˇe pˇred vyn´alezem radar˚ u. Jiˇz bˇehem prvn´ı svˇetov´e v´alky pom´ahala pˇri varov´an´ı pˇred bl´ıˇz´ıc´ımi se nepˇr´atelsk´ ymi letadly a vzducholodˇemi. S v´ yvojem letectv´ı a d´ıky vynalezen´ı radaru byla tato zrcadla postupem ˇcasu ve vojenstv´ı zbyteˇcn´a. V dneˇsn´ı dobˇe je vˇsak st´ale vyuˇz´ıvaj´ı nˇekter´e automobilov´e z´avody. Pomoc´ı nich lze urˇcit slab´a m´ısta karoserie ovlivˇ nuj´ıc´ı hluˇcnost automobilu. Ty jsou dvoj´ıho typu. Oblasti, kter´e se pod´ılej´ı na vzniku aerodynamick´eho hluku pˇri j´ızdˇe automobilem a d´ale m´ısta, kudy m˚ uˇze proniknout hluk do kabiny vozu. Akustick´e zrcadlo se plynule posouv´a pod´el karoserie vozu a mapuje u ´roveˇ n hluku. Z namˇeˇren´ ych hodnot odborn´ıci poznaj´ı, kudy pronik´a dovnitˇr nebo ven z vozu neˇza´douc´ı hluk. Z vnˇejˇs´ıho prostoru se zamˇeˇruj´ı na v´ ystupky v karoserii napˇr. zpˇetn´a zrc´atka. Naopak, kdyˇz se mˇeˇr´ı zvukotˇesnost vozu, zdroj zvuku je um´ıstˇen uvnitˇr a zjiˇst’uje se, kudy unik´a ven. Na obr. 2.33 je akustick´e zrcadlo, kter´e bylo vyuˇz´ıv´ano ve vojenstv´ı. 44
Na principu akustick´eho zrcadla funguje i komunikace mezi bˇeluhami, viz obr. 2.34. 4 Pro pˇr´ıklad vyuˇzit´ı plochy jako akustick´ ych zrcadel jsme se nechali inspirovat ˇcl´anky, viz [14] a [15].
Obr´azek 2.33: Akustick´e zrcadlo nedaleko Kilnsea - VB
Obr´azek 2.34: Bˇeluha severn´ı
2. parabolick´ a zrcadla: Zrcadlov´a plocha je obecnˇe leskl´a plocha, kter´a m˚ uˇze b´ yt rovinn´a, kulov´a nebo jinak zakˇriven´a. T´ımto zakˇriven´ım m˚ uˇze b´ yt i plocha rotaˇcn´ıho paraboloidu, proto se tˇemto zrcadl˚ um ˇr´ık´a tzv. parabolick´ a zrcadla. Zobrazov´an´ı zrcadly se ˇr´ıd´ı z´akony paprskov´e optiky nebo-li ˇs´ıˇren´ım svˇetla a z´akonem pro odraz svˇetla. Zakˇriven´a zrcadla se vyuˇz´ıvaj´ı proto, ˇze mohou mˇenit velikost obrazu. Rozliˇsujeme dva typy zakˇriven´ ych zrcadel, dut´e neboli konk´ avn´ı a vypukl´e neboli konvexn´ı. Parabolick´a zrcadla jsou uˇziteˇcn´a v tom, ˇze nepodl´ehaj´ı tzv. kulov´e vadˇe zrcadla. Tato vada se projevuje tak, ˇze obrazem bodu nen´ı bod ale mal´a ploˇska. Paprsky se totiˇz nesb´ıhaj´ı do jednoho bodu a doch´az´ı tak ke zkreslen´ı obrazu. U akustick´ ych zrcadel jsme si vysvˇetlili princip odrazu paprsku na parabole. Protoˇze se paprsky sb´ıhaj´ı do jednoho bodu (ohniska), tak k t´eto vadˇe obrazu nedoch´az´ı. 4
Jedn´ a se o druh kytovce, kter´ y je charakteristick´ y svou b´ılou barvou. Vyhled´ avaj´ı sp´ıˇse mˇelˇc´ı ledov´e vody. Jsou barvoslep´e, proto se v kaln´ ych vod´ ach a bˇehem seversk´ ych noc´ı orientuj´ı tzv. echolokac´ı neboli ultrazvukov´ ymi vlnami. Slyˇs´ı ultrazvuk aˇz do 200 kHz zat´ımco ˇclovˇek pouh´ ych 20 kHz. Jako akustick´e zrcadlo jim slouˇz´ı v´ yr˚ ustek na hlavˇe, tzv. meloun.
45
Dut´a zrcadla jsou vyuˇz´ıv´ana napˇr´ıklad u automobilov´ ych svˇetlomet˚ u, protoˇze stejnˇe jako sb´ıh´an´ı paprsk˚ u do ohniska lze opaˇcn´ ym postupem z bodu (ˇza´rovky) pˇres odraz od parabolick´e plochy z´ıskat rovnobˇeˇzn´ y svazek paprsk˚ u. D´ale jsou dut´a zrcadla vyuˇz´ıv´ana u astronomick´ ych dalekohled˚ u u kter´ ych nevad´ı, ˇze obraz je pˇrevr´acen´ y. Typick´ ym pˇr´ıkladem je Newton˚ uv dalekohled.
ˇ NewtoObr´azek 2.35: Rez nov´ ym astronomick´ ym dalekohledem
Obr´azek 2.36: Parabolick´e bezpeˇcnostn´ı zrcadlo
Vypukl´a zrcadla se vyuˇz´ıvaj´ı napˇr´ıklad u zpˇetn´ ych zrc´atek, protoˇze maj´ı velk´ y zorn´ yu ´hel. Proto je lze vyuˇz´ıvat i jako bezpeˇcnostn´ı zrcadla v n´akupn´ıch centrech. Pˇr´ıstroji, kter´e pracuj´ı na podobn´em principu odrazu, jsou satelity, radioteleskopy, r˚ uzn´a seismick´a ˇci akustick´a ˇcidla, smˇerov´ y mikrofon ˇspion´aˇzn´ı techniky ˇci foto-deˇstn´ıky. V´ıce informac´ı o zobrazov´an´ı zrcadly, viz [16].
2.4.4
Pracovn´ı list
V r´amci pracovn´ıho listu o rotaˇcn´ıch ploch´ach jsme pˇridali jeˇstˇe posledn´ı blok vˇenovan´ y ploˇse rotaˇcn´ıho paraboloidu. V prvn´ı ˇca´sti ˇz´aci opˇet jako u pˇredchoz´ıch ploch odpov´ıdaj´ı na ot´azky, kter´e shrnuj´ı a opakuj´ı z´akladn´ı informace o ploˇse.
46
V dalˇs´ı ˇca´sti maj´ı ˇza´ci bˇehem v´ yuky konstruovat n´arys bodu, kter´ y leˇz´ı na ploˇse rotaˇcn´ıho paraboloidu. D´ale maj´ı za u ´kol konstruovat ˇrez rotaˇcn´ıho paraboloidu rovinou. Ve tˇret´ı ˇca´sti ˇza´ci konstruuj´ı opˇet dva pˇr´ıklady zamˇeˇren´e na ˇrez rotaˇcn´ıho paraboloidu. Sleduj´ı jak se mˇen´ı kˇrivka, kter´a vznikne dan´ ym ˇrezem r˚ uzn´ ym ˇ aci v nˇem maj´ı um´ıstˇen´ım roviny. Posledn´ı pˇr´ıklad je opˇet opakov´an´ım. Z´ za u ´kol vybrat spr´avn´ y obr´azek.
47
Kapitola 3 Vybran´ eˇ sroubov´ e plochy Nav´aˇzeme na kapitolu (1.3) a budeme se vˇenovat vybran´ ym ˇsroubov´ ym ploch´am. Vybr´any byly pravo´ uhl´a uzavˇren´a pˇr´ımkov´a ˇsroubov´a plocha, kosou ´hl´a uzavˇren´a pˇr´ımkov´a ˇsroubov´a plocha a cyklick´e ˇsroubov´e plochy se zamˇeˇren´ım na Archim´edovu serpentinu. U kaˇzd´e plochy opˇet uvedeme, jak´ ym zp˚ usobem vznik´a. D´ale provedeme matematick´e odvozen´ı vektorov´eho vyj´adˇren´ı plochy a uvedeme pˇr´ıklady vyuˇzit´ı plochy v praxi. Ke kaˇzd´e ploˇse pˇriprav´ıme pracovn´ı listy s ot´azkami a zad´an´ım konstrukˇcn´ıch u ´loh. Na z´avˇer pˇrid´ame model plochy vytvoˇren´ y bud’to ve 3D model´aˇr´ıch (Google SketchUp, Rhino) nebo vytvoˇr´ıme fyzick´ y model. Kapitola o Archim´edovˇe serpentinˇe je pojata trochu odliˇsnˇe, protoˇze se jedn´a jiˇz o sloˇzit´ y typ plochy pro ˇz´aky stˇredn´ı ˇskoly. Proto zde budeme mluvit o cyklick´ ych ˇsroubov´ ych ploch´ach obecnˇe a n´aslednˇe se zamˇeˇr´ıme v´ıce na Archim´edovu serpentinu, avˇsak bez podrobn´eho odvozen´ı vektorov´eho vyj´adˇren´ı. Detailn´ı odvozen´ı parametrizace Archim´edovy serpentiny bude moˇzn´e nal´ezt na pˇriloˇzen´ ych webov´ ych str´ank´ach.
3.1 3.1.1
Pravo´ uhl´ a uzavˇ ren´ a pˇ r´ımkov´ a ˇ sroubov´ a plocha Zaˇ razen´ı plochy
Pravo´ uhl´a uzavˇren´a pˇr´ımkov´a ˇsroubov´a plocha vznik´a ˇsroubov´ ym pohybem pˇr´ımky p, kter´a v kaˇzd´e sv´e poloze prot´ın´a osou ˇsroubov´eho pohybu. Nav´ıc 48
je pˇr´ımka p na tuto osu v kaˇzd´e sv´e poloze kolm´a. Nˇekdy se m˚ uˇzeme setkat s n´azvem schodov´ a plocha, jelikoˇz jej´ı nejˇcastˇejˇs´ı uplatnˇen´ı nalezneme u toˇcit´ ych schodiˇst’. V odborn´e literatuˇre m˚ uˇzeme nal´ezt i oznaˇcen´ı helikoid. Pravo´ uhlou uzavˇrenou pˇr´ımkovou ˇsroubovou plochu lze zaˇradit i mezi ˇ ıdic´ı kˇrivkou tohoto konoidu je ˇsroubovice, ˇr´ıdic´ı pˇr´ımkou je osa konoidy. R´ ˇsroubov´eho pohybu a ˇr´ıdic´ı rovinou je rovina kolm´a k ose ˇsroubov´eho pohybu. Pro plochu uˇz´ıv´ame n´azvu pˇr´ım´y ˇsroubov´y konoid. K tˇemto ploch´am se jeˇstˇe v n´asleduj´ıc´ıch kapitol´ach vr´at´ıme. Model pravo´ uhl´e uzavˇren´e pˇr´ımkov´e ˇsroubov´e plochy m´ame na obr. 3.1.
Obr´azek 3.1: Model pravo´ uhl´e uzavˇren´e pˇr´ımkov´e ˇsroubov´e plochy
3.1.2
Matematick´ e odvozen´ı plochy
Pravo´ uhl´a uzavˇren´a pˇr´ımkov´a ˇsroubov´a plocha, vznik´a ˇsroubov´ ym pohybem tvoˇr´ıc´ı kˇrivky. Touto tvoˇr´ıc´ı kˇrivkou je pˇr´ımka p, kter´a kon´a ˇsroubov´ y pohyb a je kolm´a na osu o. Pˇr´ımka p je urˇcena body A = [0, 0, 0] a B = [a, 0, 0]. Hodnota konstanty a je z oboru re´aln´ ych ˇc´ısel R a z´aroveˇ n plat´ı, ˇze a 6= 0. Pro smˇerov´ y vektor pˇr´ımky p vyuˇzijeme analytick´e geometrie a vyj´adˇr´ıme jej vztahem (3.1). s = B − A = (a, 0, 0)
(3.1)
k(t) = A + st = (at, 0, 0)
(3.2)
D´ale vyuˇzijeme parametrizaci tvoˇr´ıc´ı kˇrivky (pˇr´ımky) opˇet vztahem z analytick´e geometrie, viz vyj´adˇren´ı (3.2). Parametr t je z intervalu (−∞, ∞). 49
Obr´azek 3.2: Princip odvozen´ı schodov´e plochy
Kaˇzd´ y bod tvoˇr´ıc´ı pˇr´ımky kon´a ˇsroubov´ y pohyb. Tedy rotaci kolem osy o a z´aroveˇ n se posouv´a ve smˇeru osy o. V rovinˇe xy se pohybuje po rovnobˇeˇzkov´e kruˇznici o polomˇeru R, pro kter´ y plat´ı vztah (3.3). R = x(t) = at
(3.3)
Ve smˇeru osy z se dan´ y bod posune o v´ yˇsku v = v0 u. Parametr u je z intervalu h0, 2π). Spojen´ım rotaˇcn´ıho a posuvn´eho pohybu m˚ uˇzeme vyj´adˇrit schodovou plochu ve tvaru (3.4). P(u, t) = (R cos u, R sin u, v)
(3.4)
Pokud dosad´ıme do vztahu (3.4) za polomˇer R a za v´ yˇsku v, o kterou se pˇr´ımka p pˇri dan´em otoˇcen´ı posune, z´ısk´ame v´ ysledn´e vektorov´e vyj´adˇren´ı pravo´ uhl´e uzavˇren´e pˇr´ımkov´e ˇsroubov´e plochy (3.5). P(u, t) = (at cos u, at sin u, v0 u)
(3.5)
Jak bylo ˇreˇceno v´ yˇse, pravo´ uhlou uzavˇrenou pˇr´ımkovou ˇsroubovou plochu lze vyj´adˇrit i jako ˇsroubov´ y konoid1 . Tuto parametrizaci uv´ad´ıme jen jako pozn´amku pod ˇcarou, nebot’ si pro naˇse u ´ˇcely vystaˇc´ıme s prvn´ım vyj´adˇren´ım schodov´e plochy. 1ˇ
R´ıdic´ı kˇrivkou bude ˇsroubovice s vektorov´ ym vyj´ adˇren´ım k(t) = (a cos t, a sin t, v0 t).
50
3.1.3
Praktick´ e vyuˇ zit´ı plochy
1. architektura: Pravo´ uhl´a uzavˇren´a pˇr´ımkov´a ˇsroubov´a plocha je vyuˇz´ıv´ana pˇredevˇs´ım v architektuˇre a to pˇri stavbˇe toˇcit´ ych schodiˇst’, jak bylo zm´ınˇeno v´ yˇse. Tato plocha je tvoˇrena hranami jednotliv´ ych schod˚ u. Jedn´a se pouze o nˇekter´e polohy tvoˇr´ıc´ı pˇr´ımky, kter´e budeme naz´ yvat schodnice.
Obr´azek 3.3: Schodiˇstˇe rozhledna Kramol´ın
Obr´azek 3.4: Archim´ed˚ uv ˇsroub
Protoˇze jednotliv´e schodnice jsou ve vodorovn´e poloze, jsou tak´e kolm´e na stˇredov´ y opˇern´ y sloup schodiˇstˇe, kter´ y je z´aroveˇ n osou ˇsroubov´eho pohybu. Na obr. 3.3 je ˇzelezn´e toˇcit´e schodiˇstˇe rozhledny Stezka mezi korunami strom˚ u na ˇsumavsk´em Kramol´ınˇe. Pˇr´ıklad vyuˇzit´ı pravo´ uhl´e uzavˇren´e pˇr´ımkov´e ˇsroubov´e plochy jako schodiˇstˇe ˇcerp´an z [1]. 2. ˇ sroubov´ e dopravn´ıky: D´ale je plocha vyuˇz´ıv´ana u ˇsroubov´ ych dopravn´ık˚ u. Typick´ ym pˇr´ıkladem je tzv. Archim´ed˚ uv ˇsroub. Tento vyn´alez je zaloˇzen na n´asleduj´ıc´ım ˇ principu. Sroubov´ y mechanismus je ˇcasto uloˇzen v korytˇe ˇci rouˇre a ˇsroubov´a plocha je tˇesnˇe spojena s ot´aˇcej´ıc´ı se hˇr´ıdel´ı. Archim´ed˚ uv ˇsroub na obr. 3.4. Hodnota v0 vyjadˇruje redukovanou v´ yˇsku z´ avitu a parametr t je z intervalu h0, 2π). ˇ ıdic´ı pˇr´ımkou, oznaˇcme ji a, bude souˇradnicov´ R´ a osa z s vektorov´ ym vyj´ adˇren´ım a(t) = (0, 0, v0 t). Povrchov´e pˇr´ımky jsou kolm´e na osu ˇsroubovice, proto ˇr´ıdic´ı rovinou bude rovina xy. Smˇerov´ y vektor tˇechto povrchov´ ych pˇr´ımek vypoˇc´ıt´ ame jako s = k(t) − a(t). Koneˇcn´e vektorov´e vyj´ adˇren´ı ˇsroubov´eho konoidu pak vyj´adˇr´ıme vztahem P(u, t) = (u · a cos t, u · a sin t, v0 t), kde parametr u je z intervalu h0, 2π).
51
Ot´aˇcen´ım tohoto ˇsneku se prov´ad´ı samotn´e ˇcerp´an´ı - nejˇcastˇeji kapaliny. V kaps´ach, kter´e tvoˇr´ı z´avity, je tato kapalina drˇzena gravitaˇcn´ı silou a vyn´aˇsena do v´ yˇsky. V´ yhodami tohoto stroje je jednoduchost a spolehlivost. Je vyuˇz´ıv´an napˇr´ıklad v ˇcistiˇck´ach odpadn´ıch vod pˇri ˇcerp´an´ı zneˇciˇstˇen´e kapaliny nebo napˇr´ıklad k pˇrepravˇe zrn´ı uvnitˇr kombajnu. Dˇr´ıve byl Archim´ed˚ uv ˇsroub vyuˇz´ıv´an i na lod´ıch, kde slouˇzil k odˇcerp´av´an´ı vody zpˇet do moˇre. Plochou Archim´edova ˇsroubu by mohla b´ yti i jin´a ˇsroubov´a plocha. Napˇr´ıklad pouˇzit´ım hadice, kterou bychom navinuli na libovoln´ y v´alec, bychom pracovali s Archim´edovou serpentinou. Nejˇcastˇeji se vˇsak pouˇz´ıv´a pr´avˇe pravo´ uhl´a uzavˇren´a pˇr´ımkov´a ˇsroubov´a plocha pˇredevˇs´ım kv˚ uli moˇznosti snadnˇejˇs´ı v´ yroby. V´ıce informac´ı o dopravn´ıc´ıch lze nal´ezt v [9]. 3. technika: D´ale se s pravo´ uhlou uzavˇrenou pˇr´ımkovou ˇsroubovou plochou setk´av´ame u stavebn´ı techniky napˇr´ıklad u zemn´ıch vrt´ak˚ u, kde d´ıky t´eto ploˇse doch´az´ı k rovnomˇern´emu vrt´an´ı do zemˇe, a proto nedoch´az´ı ke zborcen´ı stˇen kolem vrtn´e d´ıry. Pravo´ uhl´a uzavˇren´a pˇr´ımkov´a ˇsroubov´a plocha je vyuˇz´ıv´ana tak´e u zemˇedˇelsk´e a zahradn´ı techniky. Patˇr´ı sem napˇr´ıklad p˚ udn´ı jamkovaˇc vyuˇz´ıvan´ y pro sadbu nov´ ych stromk˚ u nebo pro stavbu plotu, ˇzac´ı liˇsty kombajn˚ u, kter´e zajiˇst’uj´ı rovnomˇern´ y tok klas˚ u do ˇsnekov´eho dopravn´ıku, ˇc´ımˇz doch´az´ı k mal´emu poˇskozov´an´ı zrn. Tuto plochu nalezneme tak´e na z´avitech ˇsroub˚ u a ˇsroubov´ ych zved´ak˚ u, u kruhov´ ych n´ajezd˚ u do patrov´ ych gar´aˇz´ı, ˇci ventil´ator˚ u, jehoˇz lopatky jsou ˇca´stmi pravo´ uhl´e uzavˇren´e pˇr´ımkov´e ˇsroubov´e plochy. Pˇr´ıklady vyuˇzit´ı ˇcerp´any z [2].
3.1.4
Pracovn´ı list
Pro ˇsroubov´e plochy byl vytvoˇren pracovn´ı list - ˇsroubov´e plochy, do kter´eho byl vloˇzen blok t´ ykaj´ıc´ı se pravo´ uhl´e uzavˇren´e pˇr´ımkov´e ˇsroubov´e plochy. V u ´vodn´ı ˇc´asti ˇz´aci vyplˇ nuj´ı sv´e odpovˇedi na ot´azky, kter´e maj´ı shrnout probranou l´atku a provˇeˇrit znalosti ˇza´k˚ u i s vyuˇzit´ım poˇc´ıtaˇce a internetu. 52
V n´asleduj´ıc´ı ˇc´asti ˇza´ci bˇehem v´ yuky konstruuj´ı v prvn´ım pˇr´ıkladu pomoc´ı axonometrie pravo´ uhlou uzavˇrenou pˇr´ımkovou ˇsroubovou plochu. Ve druh´em pˇr´ıkladu maj´ı vybrat spr´avnou odpovˇed’ na z´akladˇe znalost´ı z probran´e l´atky a maj´ı sv´e rozhodnut´ı zd˚ uvodnit. V posledn´ı ˇc´asti vˇenovan´e t´eto ploˇse maj´ı ˇza´ci u ´koly zadan´e jako samostatnou pr´aci na doma. Hledaj´ı spr´avn´e tvrzen´ı o schodov´e ploˇse. D´ale maj´ı zkonstruovat plochu tentokr´at v Mongeovˇe prom´ıt´an´ı. Posledn´ı pˇr´ıklad byl pˇrid´an, aby mohli ˇz´aci porovnat rozd´ıly v obou vyuˇzit´ ych projekc´ıch (Mongeovo prom´ıt´an´ı, axonometrie).
3.2 3.2.1
Koso´ uhl´ a uzavˇ ren´ a pˇ r´ımkov´ aˇ sroubov´ a plocha Zaˇ razen´ı plochy
Obr´azek 3.5: Model koso´ uhl´e uzavˇren´e pˇr´ımkov´e ˇsroubov´e plochy Jak napov´ıd´a n´azev, jedn´a se opˇet o pˇr´ımkovou ˇsroubovou plochu. Nˇekdy se j´ı t´eˇz ˇr´ık´a tzv. v´yvrtkov´a plocha. Koso´ uhl´a uzavˇren´a pˇr´ımkov´a ˇsroubov´a plocha je urˇcena prvky ˇsroubov´eho pohybu (osou, redukovanou v´ yˇskou z´avitu, smˇerem vinut´ı) a d´ale tvoˇr´ıc´ı pˇr´ımkou p, kter´a je r˚ uznobˇeˇzn´a s osou o. Tvoˇr´ıc´ı pˇr´ımka opˇet v kaˇzd´e sv´e poloze prot´ın´a osu a d´ale plat´ı, ˇze pˇr´ımky o a p na sebe nesm´ı b´ yt kolm´e, protoˇze by pak vznikla pravo´ uhl´a uzavˇren´a 53
pˇr´ımkov´a ˇsroubov´a plocha, kter´e jsme se vˇenovali v pˇredeˇsl´e kapitole. Model koso´ uhl´e uzavˇren´e pˇr´ımkov´e ˇsroubov´e plochy je na obr. 3.5.
3.2.2
Matematick´ e odvozen´ı plochy
Obr´azek 3.6: Princip odvozen´ı koso´ uhl´e uzavˇren´e pˇr´ımkov´e ˇsroubov´e plochy Vyjdeme z obr. 3.6. Je zad´ana tvoˇr´ıc´ı kˇrivka, kterou je v pˇr´ıpadˇe v´ yvrtkov´e plochy pˇr´ımka p. Tato pˇr´ımka je d´ana body A a B, jejichˇz souˇradnice jsou A = [a, 0, c], B = [0, 0, 0]. Hodnoty a, c jsou z oboru re´aln´ ych ˇc´ısel R. D´ale plat´ı, ˇze a 6= 0 a z´aroveˇ n c 6= 0, jinak by nevznikla v´ yvrtkov´a plocha. Pˇr´ımka p tedy prot´ın´a osu ˇsroubov´eho pohybu o v bodˇe B. Osu o jsme ztotoˇznili se souˇradnicovou osou z. Pro smˇerov´ y vektor tvoˇr´ıc´ı pˇr´ımky p vyuˇzijeme analytick´e geometrie a vyj´adˇr´ıme ho ve tvaru (3.6). s = A − B = (a, 0, c)
(3.6)
D´ale vyjdeme z parametrick´eho vyj´adˇren´ı pˇr´ımky a tvoˇr´ıc´ı kˇrivku (pˇr´ımku) zap´ıˇseme ve tvaru (3.7), kde parametr t je z intervalu (−∞, ∞). k(t) = B + st = (at, 0, ct) 54
(3.7)
Kaˇzd´ y bod tvoˇr´ıc´ı kˇrivky kon´a ˇsroubov´ y pohyb. Ten je sloˇzen z rotaˇcn´ıho pohybu kolem osy o a z´aroveˇ n z posuvn´eho pohybu ve smˇeru osy o. Rotaˇcn´ı pohyb prob´ıh´a v rovin´ach rovnobˇeˇzn´ ych s rovinou xy a jednotliv´e body se pohybuj´ı po rovnobˇeˇzkov´ ych kruˇznic´ıch. Pro polomˇer R tˇechto rovnobˇeˇzkov´ ych kruˇznic plat´ı vztah (3.8). R = x(t) = |at|
(3.8)
Ve smˇeru osy z je realizov´ano posunut´ı o v´ yˇsku v = v0 u, kde parametru je z intervalu h0, 2π). Spojen´ım rotaˇcn´ıho a posuvn´eho pohybu vyj´adˇr´ıme v´ yvrtkovou plochu vztahem (3.9). P(u, t) = (R cos u, R sin u, z(t) + v)
(3.9)
Za polomˇer R dosad´ıme ze vztahu (3.8). Sloˇzka z(t) je z vektorov´eho vyj´adˇren´ı tvoˇr´ıc´ı kˇrivky. Nakonec dosad´ıme v´ yˇsku v, o kterou se pˇr´ımka pˇri dan´em otoˇcen´ı posune pod´el osy o. Po u ´pravˇe z´ısk´ame v´ ysledn´e vektorov´e vyj´adˇren´ı koso´ uhl´e uzavˇren´e pˇr´ımkov´e ˇsroubov´e plochy (3.10). P(u, t) = (|at| cos u, |at| sin u, ct + v0 u)
3.2.3
(3.10)
Praktick´ e vyuˇ zit´ı plochy
1. stroj´ırenstv´ı: Plocha m´a vyuˇzit´ı pˇredevˇs´ım ve stroj´ırenstv´ı a to u z´avit˚ u ˇsroub˚ u. ˇ Srouby obecnˇe se dˇel´ı na ˇsrouby pohybov´e a spojovac´ı (upevˇ novac´ı). Osov´ y ˇrez (profil) ˇsroub˚ u m˚ uˇze b´ yt tvoˇren spojen´ım nˇekolika rovnoramenn´ ych troj´ uheln´ık˚ u nebo lichobˇeˇzn´ık˚ u, viz obr. 3.7. V obou dvou pˇr´ıpadech jsou z´avity ˇsroub˚ u tvoˇreny ˇca´stmi v´ yvrtkov´ ych ploch. Pˇr´ıkladem vyuˇzit´ı koso´ uhl´e uzavˇren´e pˇr´ımkov´e ˇsroubov´e plochy u z´avit˚ u jsou tzv. ˇsrouby ˇci hmoˇzdinky s ostr´ym z´ avitem, kter´e maj´ı troj´ uheln´ıkov´ y profil. Hmoˇzdinku s ostr´ ym z´avitem m´ame na obr. 3.8. V´ıce o z´avitech ˇsroub˚ u viz [8]. D´ale se s touto plochou setk´ame u ˇrady vrt´ak˚ u, u nichˇz ˇsikm´e zuby zajiˇst’uj´ı maxim´aln´ı rychlost vrt´an´ı. D´ale pˇri obr´abˇen´ı kov˚ u se s n´ı setk´av´ame napˇr´ıklad u tzv. v´ alcov´ych fr´ez, viz obr. 3.9. Jedn´a se o obr´abˇec´ı n´astroj s nˇekolika bˇrity, kter´ y se up´ın´a do obr´abˇec´ıho stroje. Tento stroj se naz´ yv´a fr´ezka. Fr´ezky jsou vyuˇz´ıv´any nejen pro obr´abˇen´ı kovov´ ych materi´al˚ u, ale napˇr´ıklad i dˇreva ˇci umˇel´e hmoty. Fr´ezy 55
Obr´azek 3.7: R˚ uzn´e typy osov´ ych ˇrez˚ u ˇsroub˚ u
Obr´azek 3.8: Hmoˇzdinka s ostr´ ym z´avitem
Obr´azek 3.9: V´alcov´a fr´eza
Obr´azek 3.10: Kovov´a ˇspona po obr´abˇen´ı
se dˇel´ı napˇr´ıklad podle zp˚ usobu upnut´ı do stroje, podle obr´abˇen´eho materi´alu, ale i podle mnoha jin´ ych krit´eri´ı. V´alcov´e fr´ezy jsou v´ yhodn´e v tom, ˇze pˇri obr´abˇen´ı zab´ır´a v´ıce zub˚ u najednou a z´aroveˇ n se obr´ab´ı vˇetˇs´ı plocha. Tvar koso´ uhl´e uzavˇren´e pˇr´ımkov´e ˇsroubov´e plochy m´a nejen tento n´astroj, ale n´aslednˇe i pˇrebyteˇcn´ y materi´al, kter´ y se z obrobku odstraˇ nuje v podobˇe kovov´ ych ˇspon, viz obr. 3.10. 2. v´ yvrtka: Prvn´ı v´ yvrtky se objevily jiˇz v 17. stolet´ı. V´ yrobce se nechal inspirovat podobn´ ym n´astrojem, kter´ y slouˇzil k vyndav´an´ı kulek ze zbran´ı. O sto let pozdˇeji se tvar v´ yrobku zdokonalil tak, ˇze jiˇz pˇripom´ınal dneˇsn´ı v´ yvrtky. Dˇr´ıve v´ yvrtka slouˇzila jako otv´ır´ak lahviˇcek s parf´emy ˇci l´eky. Tak´e bylo vyr´abˇeno pivo ve velk´em mnoˇzstv´ı a prod´av´ano bylo v lahv´ıch se z´atkami, k jejichˇz otev´ır´an´ı tak´e slouˇzila v´ yvrtka. Na otev´ır´an´ı lahv´ı s v´ınem, se zaˇcala pouˇz´ıvat aˇz nˇekdy bˇehem 19. stolet´ı, kdy dˇrevˇen´e sudy na trhu postupem ˇcasu vystˇr´ıdaly lahve. Na obr. 3.11 je uk´azka ˇ ano z [2] a [17]. klasick´e v´ yvrtky. Cerp´ 56
Obr´azek 3.11: V´ yvrtka na v´ıno
Obr´azek 3.12: schodiˇstˇe v Louvre
Toˇcit´e
3. architektura: Koso´ uhl´a uzavˇren´a pˇr´ımkov´a ˇsroubov´a plocha m´a uplatnˇen´ı i ve stavitelstv´ı. Na obr. 3.12 vid´ıme toˇcit´e schodiˇstˇe v galerii Louvre v Paˇr´ıˇzi, kter´e je um´ıstˇeno v m´ıstˇe pod prosklenou pyramidou. Hrany schod˚ u vytv´aˇr´ı klasickou pravo´ uhlou uzavˇrenou pˇr´ımkovou ˇsroubovou plochu, o kter´e jsme se zm´ınili v kapitole (3.1). Avˇsak oplechov´an´ı spodn´ı strany schodiˇstˇe tvoˇr´ı v´ yvrtkovou plochu. Ta zde pln´ı pouze funkci design´erskou a nikoliv funkˇcn´ı.
3.2.4
Pracovn´ı list
Do pracovn´ıho listu o ˇsroubov´ ych ploch´ach je opˇet zahrnut blok s ot´azkami a pˇr´ıklady t´ ykaj´ıc´ı se koso´ uhl´e uzavˇren´e pˇr´ımkov´e ˇsroubov´e plochy. V u ´vodu opˇet ˇza´ci odpov´ıdaj´ı na nˇekolik ot´azek, d´ıky kter´ ym si shrnou a zopakuj´ı znalosti o v´ yvrtkov´e ploˇse. Ve druh´e ˇca´sti maj´ı ˇz´aci bˇehem v´ yuky konstruovat ˇrez koso´ uhl´e uzavˇren´e pˇr´ımkov´e ˇsroubov´e plochy rovinou kolmou na osu ˇsroubov´eho pohybu. V dalˇs´ım pˇr´ıkladˇe maj´ı ˇza´ci na z´akladˇe znalost´ı urˇcit spr´avnou moˇznost a n´aslednˇe maj´ı zd˚ uvodnit sv´e rozhodnut´ı. V posledn´ı ˇca´sti, kter´a je zamˇeˇrena opˇet na samostatnou pr´aci, maj´ı ˇz´aci vysvˇetlit rozd´ıly mezi schodovou“ plochou a v´ yvrtkovou“ plochou. D´ale ” ” maj´ı naˇcrtnout jejich obr´azky. V n´asleduj´ıc´ım pˇr´ıkladˇe sestrojuj´ı ˇza´ci ostr´ y z´avit ˇsroubu jehoˇz troj´ uheln´ıkov´ y profil je sloˇzen´ y ze dvou u ´seˇcek. Obˇe tyto ˇ aci konstruuj´ı u ´seˇcky konaj´ı ˇsroubov´ y pohyb a vytv´aˇr´ı v´ yvrtkovou plochu. Z´ pˇr´ıklad v Mongeovˇe prom´ıt´an´ı. 57
3.3 3.3.1
Archimedova serpentina Cyklick´ eˇ sroubov´ e plochy
Doposud jsme se zab´ yvali ˇsroubov´ ymi plochami, kter´e vznikaly ˇsroubov´ ym pohybem pˇr´ımky. Proto se jednalo o pˇr´ımkov´e ˇsroubov´e plochy. V kapitole (1.3) jsme vˇsak zavedli, ˇze vzhledem k typu tvoˇr´ıc´ı kˇrivky budeme rozliˇsovat jeˇstˇe tzv. cyklick´e ˇsroubov´e plochy. U cyklick´ ych ˇsroubov´ ych ploch je tvoˇr´ıc´ı kˇrivkou kruˇznice. Stejnˇe jako jsme u pˇr´ımkov´ ych ˇsroubov´ ych ploch rozliˇsovali jednotliv´e plochy podle um´ıstˇen´ı tvoˇr´ıc´ı pˇr´ımky, tak i u cyklick´ ych ˇsroubov´ ych ploch budeme konkr´etn´ı plochy urˇcovat podle polohy tvoˇr´ıc´ı kruˇznice. Budeme rozliˇsovat tˇri z´akladn´ı typy cyklick´ ych ˇsroubov´ ych ploch. • Norm´alov´a cyklick´a ˇsroubov´a plocha neboli vinut´ y sloupek • Osov´a cyklick´a ˇsroubov´a plocha • Archim´edova serpentina Vinut´ y sloupek vznik´a ˇsroubov´ ym pohybem kruˇznice k, kter´a leˇz´ı v rovinˇe ρ kolm´e na osu ˇsroubov´eho pohybu o. Stˇred S tvoˇr´ıc´ı kruˇznice k neleˇz´ı na ose ˇsroubov´eho pohybu o, jinak by vznikla rotaˇcn´ı v´alcov´a plocha. Princip vzniku vinut´eho sloupku je na obr. 3.13, ve kter´em je vyznaˇceno nˇekolik poloh tvoˇr´ıc´ı kruˇznice.
Obr´azek 3.13: Vinut´ y sloupek
Obr´azek 3.14: Osov´a cyklick´a
58
Obr´azek 3.15: Archim´edova serpentina
Osov´a cyklick´a ˇsroubov´a plocha vznik´a ˇsroubov´ ym pohybem tvoˇr´ıc´ı kruˇznice, kter´a leˇz´ı v rovinˇe proch´azej´ıc´ı osou ˇsroubov´eho pohybu. Stˇred tvoˇr´ıc´ı kruˇznice opˇet neleˇz´ı na ose ˇsroubov´eho pohybu. Princip vzniku osov´e cyklick´e ˇsroubov´e plochy je na obr. 3.14, ve kter´em je vyznaˇceno opˇet nˇekolik poloh tvoˇr´ıc´ı kruˇznice. Archim´edova serpentina vznik´a ˇsroubov´ ym pohybem tvoˇr´ıc´ı kruˇznice leˇz´ıc´ı v rovinˇe ρ kolm´e k teˇcnˇe ˇsroubovice, kterou opisuje stˇred tvoˇr´ıc´ı kruˇznice. Stˇred tvoˇr´ıc´ı kruˇznice neleˇz´ı na ose ˇsroubov´eho pohybu. Princip vzniku je na obr. 3.15, ve kter´em je vyznaˇceno opˇet nˇekolik poloh tvoˇr´ıc´ı kruˇznice. Archim´edova serpentina m˚ uˇze vˇsak vznikat i jako obalov´ a plocha. 2 Zamˇeˇr´ıme se na plochu Archim´edovy serpentiny, protoˇze m´a nˇekolik zaj´ımav´ ych vyuˇzit´ı. Model plochy m´ame na obr. 3.16.
Obr´azek 3.16: Model plochy Archim´edovy serpentiny
3.3.2
Matematick´ e odvozen´ı plochy
Matematick´e odvozen´ı Archim´edovy serpentiny je ponˇekud sloˇzit´e pro ˇza´ky stˇredn´ıch ˇskol, proto zde jen zhruba nast´ın´ıme postup a pro z´ajemce pˇrid´ame cel´e odvozen´ı na vytvoˇren´ ych webov´ ych str´ank´ach. 2
Tvoˇr´ıc´ı plochou je kulov´ a plocha, kter´ a kon´ a ˇsroubov´ y pohyb. Archim´edova serpentina je zde obalovou plochou jednoparametrick´eho syst´emu kulov´ ych ploch a jej´ı charakteristikou je kruˇznice.
59
ˇ Vyjdeme z vektorov´eho vyj´adˇren´ı ˇsroubovice (3.11). Sroubov´ y pohyb je spojen´ım rotaˇcn´ıho a posuvn´eho pohybu. Souˇradnice x a y urˇcuj´ı rotaˇcn´ı pohyb tvoˇr´ıc´ı kruˇznice k kolem osy o a souˇradnice z ud´av´a, o jakou v´ yˇsku se tvoˇr´ıc´ı kruˇznice k posune ve smˇeru osy o. P(t) = (a cos t, a sin t, v0 t)
(3.11)
Pro urˇcen´ı roviny, ve kter´e leˇz´ı tvoˇr´ıc´ı kruˇznice k vyuˇzijeme vektory hlavn´ı norm´aly a binorm´aly.3 . Po vˇsech potˇrebn´ ych u ´prav´ach bychom dospˇeli k vektorov´emu vyj´adˇren´ı (3.12) plochy Archim´edovy serpentiny. Pro jeho d´elku a pro pˇrehlednost jsme vyuˇzili sloupcov´ y z´apis vektoru.
P(u, t) =
3.3.3
a cos t + R cos u cos t + Rv0 sin u sin t √ a sin t + R cos u sin t − Rv0 sin u cos t √ v0 t +
Ra sin u √ 21 2 a +v0
1 a2 +v02
,
1 , a2 +v02
(3.12)
Praktick´ e vyuˇ zit´ı plochy
1. kuliˇ ckov´ yˇ sroub: Archim´edova serpentina m´a uplatnˇen´ı pˇredevˇs´ım ve stroj´ırenstv´ı. Vyuˇz´ıvaj´ı ji tzv. kuliˇckov´e ˇsrouby. Tyto ˇsrouby jsou jedn´ım z konstrukˇcn´ıch prvk˚ u pohybov´ ych u ´stroj´ı a jejich u ´kolem je pˇrev´adˇet rotaˇcn´ı pohyb na pohyb pˇr´ımoˇcar´ y. Pro snadnˇejˇs´ı pˇredstavu uv´ad´ıme obr. 3.17. Z´akladn´ımi ˇca´stmi tohoto ˇsroubu je hˇr´ıdel (2) a matice (1). Po cel´e d´elce hˇr´ıdele a uvnitˇr matice je vysoustruˇzen´a ˇsroubov´a dr´aˇzka (3). Dr´aˇzka na hˇr´ıdeli pln´ı funkci vnitˇrn´ı obˇeˇzn´e dr´ahy a dr´aˇzka v matici vnˇejˇs´ı obˇeˇznou dr´ahu. V tomto kan´ alku se odvaluj´ı pˇresn´e ocelov´e kuliˇcky o stejn´em pr˚ umˇeru. Pohybem v dr´aˇzce mezi hˇr´ıdel´ı a matic´ı vyvol´avaj´ı line´arn´ı pohyb hˇr´ıdele ˇci matice v z´avislosti na tom, jak´e poˇzadavky aplikace m´a. Toto ˇreˇsen´ı zajiˇst’uje minim´aln´ı mechanick´e opotˇreben´ı a spolehlivou funkci po celou dobu trvanlivosti ˇsroubu. 3
Trojice teˇcna, hlavn´ı norm´ ala a binorm´ ala urˇcuj´ı tzv. Frenet˚ uv trojhran
60
ˇ matic´ı kuliˇckov´eho ˇsroubu Obr´azek 3.17: Rez
Jedn´ım z nepostradateln´ ych d´ıl˚ u kaˇzd´eho kuliˇckov´eho ˇsroubu je tak´e zaˇr´ızen´ı, kter´e vrac´ı kuliˇcky, jeˇz dos´ahly konce obˇeˇzn´e dr´ahy uvnitˇr matice, opˇet na zaˇc´atek dr´ahy a zajiˇst’uje tak jejich opakovan´ y obˇeh. Zpravidla je k tomuto u ´ˇcelu urˇcena vnˇejˇs´ı vratn´a trubka, kter´a spojuje konec matice s jej´ım zaˇca´tkem a t´ım uzav´ır´a okruh ob´ıhaj´ıc´ıch kuliˇcek. Kv˚ uli moˇzn´emu poˇskozen´ı pˇri mont´aˇzi se vˇsak v souˇcasn´e dobˇe pracuje na alternativn´ım ˇreˇsen´ı. Dnes bychom se mohli tedy setkat s t´ım, ˇze pˇr´ımo v matici bude vyvrtan´a dr´aˇzka, d´ıky kter´e kuliˇcky neopust´ı prostor matice a kter´a zajiˇst’uje st´al´ y obˇeh kuliˇcek (4). V´ıce informac´ı o kuliˇckov´ ych ˇsroubech, viz [8]. 2. pruˇ ziny: Ve stroj´ırenstv´ı se tento mechanick´ y spojovac´ı prvek vyuˇz´ıv´a pˇredevˇs´ım k tlumen´ı n´araz˚ u a kmit˚ u. Budou n´as zaj´ımat pouze v´alcov´e pruˇziny. Rozdˇeluj´ı se podle toho, jak jsou nam´ah´any (taˇzn´e nebo tlaˇcn´e). Charakteristickou vlastnost´ı t´eto strojn´ı souˇc´astky je tzv. tuhost pruˇziny. Jedn´a se o konstantu vyjadˇruj´ıc´ı s´ılu potˇrebnou k vych´ ylen´ı pruˇziny z klidov´eho stavu. K v´ yrobˇe pruˇzin je vyuˇz´ıv´ana speci´aln´ı p´erov´a ocel, kter´a speci´aln´ımi u ´pravami z´ısk´a poˇzadovan´e vlastnosti (pevnost a pruˇznost). Zm´ınˇenou u ´pravou m˚ uˇze b´ yt napˇr´ıklad zuˇslecht’ov´an´ı oceli kalen´ım. Pruˇzinky z tenk´ ych dr´atk˚ u se mohou jiˇz za studena vinout z kalen´e struny, ale siln´e pruˇziny se zuˇslecht’uj´ı aˇz v koneˇcn´em stavu. 61
Dr´aty, ze kter´ ych jsou pruˇziny nav´ıjeny, maj´ı konstantn´ı polomˇer. Nikde nedoch´az´ı k deformaci tohoto polomˇeru, proto se jedn´a o Archim´edovu serpentinu.
Obr´azek 3.18: Pruˇzina tlumiˇce
Obr´azek 3.19: Stezka korunami strom˚ u - Kramol´ın
ˇ Tyto souˇca´stky se ˇr´ıd´ı normami CSN, tud´ıˇz je nalezneme ve strojnick´ ych tabulk´ach. Ty obsahuj´ı nejen jejich rozdˇelen´ı a pˇr´ısluˇsn´e rozmˇery, ale i zp˚ usob jejich zakreslov´an´ı do v´ ykres˚ u vˇcetnˇe potˇrebn´ ych vzorc˚ u pro v´ ypoˇcty napˇr´ıklad tuhosti pruˇziny, deformace, poˇctu vinut´ı atd. S pruˇzinami se m˚ uˇzeme setkat u r˚ uzn´ ych zaˇr´ızen´ı. Jmenujme napˇr´ıklad tlumiˇce u dopravn´ıch prostˇredk˚ u, vratn´e pruˇziny u zbran´ı, cviˇcebn´ı pom˚ ucky atd. Kaˇzdodennˇe se ale s pruˇzinami setk´av´ame u obyˇcejn´ ych vˇec´ı jako jsou propisovac´ı tuˇzky, kol´ıky na pr´adlo, pastiˇcky na myˇsi, spony do vlas˚ u a u mnoha dalˇs´ıch. Pro tento pˇr´ıklad bylo ˇcerp´ano opˇet z [8]. 3. skluzavky: S plochou Archim´edovy serpentiny se setk´av´ame u r˚ uzn´ ych skluzavek a tobogan˚ u v aquaparc´ıch ˇci dˇetsk´ ych hˇriˇst´ıch. Jak uˇz jsme zm´ınili plocha vznik´a ˇsroubov´an´ım kruˇznice, kter´a leˇz´ı v rovinˇe kolm´e k teˇcnˇe ˇsroubovice. Jedna takov´a skluzavka vznikla v r´amci nov´e stezky v korun´ach strom˚ u na Kramol´ınˇe. Jedn´a se o konstrukci rozhledny s terasami vinouc´ımi se 62
aˇz nad koruny strom˚ u. Podoba t´eto rozhledny je na obr. 3.19. M˚ uˇzeme si vˇsimnout, ˇze tato rozhledna obsahuje hned nˇekolik ˇsroubov´ ych ploch, my se vˇsak prozat´ım zamˇeˇr´ıme pouze na skluzavku - Archim´edovu serpentinu. Tato skluzavka slouˇz´ı jako zkratka pro ty, kteˇr´ı nechtˇej´ı absolvovat stejnou cestu i nazpˇet a chtˇej´ı z´aroveˇ n zaˇz´ıt nˇejak´e zpestˇren´ı. Skluzavka je totiˇz ponˇekud strm´a. Pro pˇr´ıklad vyuˇzit´ı plochy jako r˚ uzn´ ych skluz˚ u byla inspirace ˇcerp´ana z [1].
3.3.4
Pracovn´ı list
Pro procviˇcen´ı a upevnˇen´ı znalost´ı t´ ykaj´ıc´ı se cyklick´ ych ˇsroubov´ ych ploch jsme v pracovn´ım listˇe o ˇsroubov´ ych ploch´ach pˇridali posledn´ı blok. V u ´vodn´ı ˇca´sti ˇz´aci doplˇ nuj´ı spr´avn´e odpovˇedi na ot´azky, kter´e slouˇz´ı ke shrnut´ı l´atky. Druh´a ˇc´ast pracovn´ıho listu je zamˇeˇrena na pr´aci ˇza´k˚ u bˇehem v´ yuky. V prvn´ım pˇr´ıkladu ˇza´ci konstruuj´ı nˇekolik bod˚ u hlavn´ıho meridi´anu Archim´edovy serpentiny. Ve druh´em pˇr´ıkladu maj´ı ˇz´aci za u ´kol naˇcrtnout obr´azek na z´akladˇe sv´ ych znalost´ı o t´eto ploˇse. V posledn´ım pˇr´ıkladu t´eto ˇc´asti, opˇet konstruuj´ı body hlavn´ıho meridi´anu avˇsak jin´e cyklick´e ˇsroubov´e plochy a to vinut´eho sloupku. Cel´e meridi´any jsou ˇza´k˚ um k dispozici v programu Geogebra. Tˇret´ı a z´aroveˇ n posledn´ı ˇca´st je zamˇeˇren´a na samostatnou pr´aci ˇz´ak˚ u. Vyb´ıraj´ı spr´avnou tvrzen´ı o Archim´edovˇe serpentinˇe a v posledn´ım pˇr´ıkladu jiˇz sami sestrojuj´ı body ˇrezu osov´e cyklick´e ˇsroubov´e plochy rovinou kolmou k ose ˇsroubov´eho pohybu. ˇ aci si mohli Byly tedy vyˇreˇseny tˇri pˇr´ıklady na r˚ uzn´e cyklick´e plochy. Z´ povˇsimnout, ˇze meridi´an Archim´edovy serpentiny byla jin´a kˇrivka neˇz meridi´an vinut´eho sloupku. Hlavn´ı meridi´an ˇsroubov´e plochy se tedy mˇen´ı v z´avislosti na poloze tvoˇr´ıc´ı kˇrivky.
63
Kapitola 4 Vybran´ e zborcen´ e plochy V n´asleduj´ıc´ı kapitole nav´aˇzeme na kapitolu (1.4) a budeme se vˇenovat vybran´ ym zborcen´ ym ploch´am. Do t´eto skupiny jsme zaˇradili hyperbolick´ y paraboloid, pˇr´ım´ y parabolick´ y konoid a pˇr´ım´ y vlnov´ y konoid. U kaˇzd´e plochy opˇet uvedeme, jak´ ym zp˚ usobem vznik´a. D´ale provedeme matematick´e odvozen´ı plochy a uvedeme pˇr´ıklady vyuˇzit´ı plochy v praxi. Na z´avˇer jednotliv´ ych podkapitol pˇrid´ame pracovn´ı list t´ ykaj´ıc´ı se dan´e ploˇ chy spolu s modelem plochy. Reˇsen´ı pˇr´ıklad˚ u z pracovn´ıho listu budou n´aslednˇe k dispozici na pˇriloˇzen´ ych webov´ ych str´ank´ach opˇet z programu Geogebra.
4.1
Hyperbolick´ y paraboloid
4.1.1
Zaˇ razen´ı plochy
Obr´azek 4.1: Hyperbolick´ y paraboloid a dvˇe vyznaˇcen´e paraboly Plochu hyperbolick´eho paraboloidu lze zaˇradit do tzv. translaˇcn´ıch ploch. 64
Jin´ ymi slovy, budeme-li m´ıt dvˇe hlavn´ı paraboly, pak plochu hyperbolick´eho paraboloidu vytvoˇr´ıme tak, ˇze vrchol jedn´e z parabol budeme posouvat po trajektorii paraboly druh´e. Tyto dvˇe paraboly se rozev´ıraj´ı na opaˇcn´e strany (napˇr´ıklad prvn´ı parabola z = ax2 + bx + c a druh´a parabola z = −dy 2 + ey + f ). Na obr. 4.1 uv´ad´ıme model hyperbolick´eho paraboloidu s vyznaˇcen´ ymi hlavn´ımi parabolami. Jelikoˇz tvar plochy pˇripom´ın´a jezdeck´e sedlo, nˇekdy se j´ı t´eˇz ˇr´ık´a plocha sedlov´a. V pˇr´ıpadˇe, ˇze budeme hyperbolick´ y paraboloid ˇradit mezi zborcen´e plochy, konkr´etnˇe mezi konoidy, bude tato plocha urˇcena tˇremi ˇr´ıdic´ımi prvky. ˇ ıdic´ı kˇrivkou bude u hyperbolick´eho paraboloidu pˇr´ımka k. R´ ˇ ıdic´ı pˇr´ımkou R´ ˇ ıdic´ı bude pˇr´ımka l. Pro pˇr´ımky k a l plat´ı, ˇze jsou vz´ajemnˇe mimobˇeˇzn´e. R´ rovinou α bude rovina kolm´a k ˇr´ıdic´ı pˇr´ımce l. Pro povrchov´e pˇr´ımky p plat´ı, ˇze jsou rovnobˇeˇzn´e s ˇr´ıdic´ı rovinou α a d´ale jsou vˇsechny povrchov´e pˇr´ımky pˇr´ıˇckami dan´ ych mimobˇeˇzek k, l. Kaˇzd´a povrchov´a pˇr´ımka tedy spojuje body na ˇr´ıdic´ı kˇrivce k s body na ˇr´ıdic´ı pˇr´ımce l. Na ploˇse existuj´ı dva reguly pˇr´ımek. V kaˇzd´em tomto regulu budou zm´ınˇen´e pˇr´ımky mimobˇeˇzky. Pˇr´ımka z jednoho regulu prot´ın´a vˇsechny pˇr´ımky regulu druh´eho. My budeme zad´av´at plochu hyperbolick´eho paraboloidu pomoc´ı zborcen´eho ˇctyˇru ´heln´ıku ABCD. Pro zborcen´ y ˇctyˇru ´heln´ık plat´ı, ˇze jeho vrcholy neleˇz´ı v jedn´e rovinˇe. Protoˇze povrchov´e pˇr´ımky obou regul˚ u jsou rovnobˇeˇzn´e s ˇr´ıdic´ımi rovinami, mus´ı b´ yt zachov´ano, ˇze zborcen´ y ˇctyˇru ´heln´ık se do p˚ udorysu, n´arysu ˇci bokorysu prom´ıt´a jako rovnobˇeˇzn´ık. D´ale zadefinujme osu hyperbolick´eho paraboloidu o, jako pˇr´ımku rovnobˇeˇznou s pr˚ useˇcnic´ı ˇr´ıdic´ıch rovin a proch´azej´ıc´ı vrcholem plochy V. Vrchol plochy je d´an pr˚ useˇc´ıkem pˇr´ımek proch´azej´ıc´ıch stˇredy protˇejˇs´ıch stran ˇctyˇru ´heln´ıku. Tak´e plat´ı, ˇze teˇcn´a rovina, proch´azej´ıc´ı vrcholem plochy, je kolm´a na osu plochy.
4.1.2
Matematick´ e odvozen´ı plochy
Hyperbolick´ y paraboloid je speci´aln´ı typ konoidu, jak jiˇz bylo ˇreˇceno v´ yˇse. Konoidy jsou urˇceny tˇremi prvky a v pˇr´ıpadˇe hyperbolick´eho paraboloidu se jedn´a o dvˇe pˇr´ımky a ˇr´ıd´ıc´ı rovinu. Mˇejme zad´an zborcen´ y ˇctyˇru ´heln´ık s vrcholy A, B, C, D podle obr. 4.2. Souˇradnice tˇechto bod˚ u jsou n´asleduj´ıc´ı A = [0, 0, 0], B = [a, 0, 0], C = [a,
65
Obr´azek 4.2: Princip odvozen´ı hyperbolick´eho paraboloidu
b, c], D = [0, b, 0]. Hodnoty a, b, c jsou z oboru re´aln´ ych ˇc´ısel R. Pro tyto hodnoty d´ale plat´ı, ˇze a 6= 0, b 6= 0 a c 6= 0. Tyto ˇctyˇri body urˇcuj´ı dvˇe ˇr´ıdic´ı pˇr´ımky. Body B, C urˇcuj´ı ˇr´ıdic´ı pˇr´ımku k a body A, D urˇcuj´ı ˇr´ıdic´ı pˇr´ımku l. Plat´ı, ˇze pˇr´ımky k a l jsou navz´ajem mimobˇeˇzn´e. Pro smˇerov´ y vektor pˇr´ımek vyuˇzijeme vztah z analytick´e geometrie, tedy pro pˇr´ımku k vyj´adˇr´ıme smˇerov´ y vektor q, viz vztah (4.1) a smˇerov´ y vektor pˇr´ımky l oznaˇc´ıme s, viz (4.2). q = C − B = (0, b, c) s = D − A = (0, b, 0)
(4.1) (4.2)
D´ale vyjdeme z parametrick´eho vyj´adˇren´ı pˇr´ımky v analytick´e geometrii a pˇr´ımky k, l maj´ı vektorov´a vyj´adˇren´ı (4.3) a (4.4). Parametr t je z intervalu (−∞, ∞). k(t) = B + qt = (a, bt, ct) l(t) = A + st = (0, bt, 0)
(4.3) (4.4)
Povrchov´e pˇr´ımky p hyperbolick´eho paraboloidu vyj´adˇr´ıme jako spojnice vˇsech bod˚ u X, Y. Bod X se bude pohybovat po pˇr´ımce k a bod Y po pˇr´ımce 66
l. Pro smˇerov´ y vektor h povrchov´ ych pˇr´ımek p plat´ı vztah (4.5). h = k(t) − l(t) = (a, 0, ct)
(4.5)
Hyperbolick´ y paraboloid je mnoˇzinou vˇsech povrchov´ ych pˇr´ımek p, proto m˚ uˇzeme plochu vyj´adˇrit ve tvaru (4.6). Parametr u je opˇet z intervalu (−∞, ∞). P(u, t) = l(t) + hu
(4.6)
Pokud dosad´ıme do vztahu (4.6) za vektorov´e vyj´adˇren´ı pˇr´ımky l a smˇerov´ y vektor h, po u ´pravˇe z´ısk´ame koneˇcn´e vektorov´e vyj´adˇren´ı hyperbolick´eho paraboloidu (4.7). P(u, t) = (au, bt, ctu)
4.1.3
(4.7)
Praktick´ e vyuˇ zit´ı plochy
1. zastˇ reˇ sov´ an´ı budov:
Obr´azek 4.3: Kostel Neposkvrnˇen´eho poˇcet´ı Panny Marie
V modern´ı architektuˇre se plocha hyperbolick´eho paraboloidu vyuˇz´ıv´a pˇredevˇs´ım u zastˇreˇsov´an´ı r˚ uzn´ ych budov. Pˇr´ıkladem je kostel ve st´atˇe Colorado ve mˇestˇe Boulder, katedr´ala svat´e Marie v San Francisku a dokonce i stejnojmenn´a katedr´ala s podobn´ ym vzhledem v Tokiu. ˇ V Cesk´e republice m´a tak´e zastoupen´ı a to na Moravˇe ve mˇestˇe Bˇreclav u kostela sv. V´aclava nebo napˇr. v Praze Straˇsnic´ıch u kostela Neposkvrnˇen´eho poˇcet´ı Panny Marie, viz obr. 4.4. Na stejn´em obr´azku vpravo
67
Obr´azek 4.4: P˚ udorys budovy a vnitˇrn´ı prostory chr´amu
jsou ˇcervenˇe vyznaˇcen´e tˇri pˇr´ımky z kaˇzd´eho regulu hyperbolick´eho paraboloidu. Nejenˇze tento kostel vyrostl uprostˇred praˇzsk´eho s´ıdliˇstˇe, ale je zaj´ımav´ y tak´e svou modern´ı architekturou. Cel´a budova pˇripom´ın´a ˇctyˇrbok´ y jehlan, pˇriˇcemˇz vnitˇrn´ı chr´am zauj´ım´a polovinu cel´e budovy. M´a tedy p˚ udorys pˇripom´ınaj´ıc´ı rovnoramenn´ y troj´ uheln´ık. Tuto konstrukci navrhl architekt Jindˇrich Synek. Pro stavbu vyuˇzil hlavn´ı dˇrevˇen´ y sloup, na kter´ y jsou pˇripevnˇeny dalˇs´ı ˇctyˇri vazn´e sloupy. Ty vymezuj´ı ˇctyˇri plochy, z nichˇz tˇri vyuˇz´ıvaj´ı hyperbolick´ y paraboloid a ˇctvrt´a je prosklen´a, a t´ım tedy prosvˇetluje vnitˇrn´ı prostory. Modern´ı interi´er na n´avˇstˇevn´ıky p˚ usob´ı jako otevˇren´ y a vzduˇsn´ y prostor. V´ıce informac´ı o kostelu v Praze - Straˇsnic´ıch lze nal´ezt v [18]. 2. drobn´ a architektura:
ˇ e Budˇejovice Obr´azek 4.5: N´astupiˇstˇe autobusov´eho n´adraˇz´ı Cesk´
68
Plochu hyperbolick´eho paraboloidu nalezneme tak´e u jednoduch´ ych staveb jako jsou pˇr´ıstˇreˇsky, sochy, alt´any nebo n´astupiˇstˇe. Typick´ ym ˇ ych Budˇejovic´ıch. pˇr´ıkladem je autobusov´e n´adraˇz´ı v Cesk´ Je postaveno na stˇreˇse n´akupn´ıho centra Mercury. Na stavbˇe se pod´ılela skupina architekt˚ u ze spoleˇcnosti Atelier 8000, pˇriˇcemˇz hlavn´ım projektov´ ym managerem je Ladislav Kratochv´ıl. Po obou stran´ach odbavovac´ı budovy jsou nad jednotliv´ ymi n´astupiˇsti jednoduch´e pˇr´ıstavby s membr´anov´ ym zastˇreˇsen´ım. Jednotliv´e mark´ yzy jsou tvoˇreny ocelov´ ymi tyˇcemi s r˚ uzn´ ym sklonem, na kter´e je pˇripevnˇena b´ıl´a membr´ana, jej´ıˇz vnˇejˇs´ı okraj pˇripom´ın´a lomenou ˇca´ru. Jednotliv´a pole membr´any maj´ı obd´eln´ıkov´ y p˚ udorys. Jsou na vrchn´ı i spodn´ı stranˇe napnut´a ocelov´ ymi lany a vytv´aˇr´ı tak plochu hyperbolick´eho paraboloidu. Jedn´a se o nejrozs´ahlejˇs´ı proveden´ı tohoto typu ˇ e republice. zastˇreˇsen´ı n´astupiˇst’ v cel´e Cesk´ Na obr. 4.5 jsou fotografie autobusov´eho n´adraˇz´ı s detailn´ımi z´abˇery na ukotven´ı jednotliv´ ych pol´ı membr´any. Pro pˇr´ıklad vyuˇzit´ı hyperbolick´eho paraboloidu jako zastˇreˇsen´ı n´astupiˇst’ bylo ˇcerp´ano z [20].
4.1.4
Pracovn´ı list
Opˇet jako pro rotaˇcn´ı a ˇsroubov´e plochy jsme i pro zborcen´e plochy vytvoˇrili pracovn´ı list, jehoˇz jedna ˇca´st je zamˇeˇrena na plochu hyperbolick´eho paraboloidu. V u ´vodn´ı ˇca´sti jsou shrnuj´ıc´ı ot´azky zamˇeˇren´e na z´akladn´ı poznatky o ploˇse hyperbolick´eho paraboloidu. Prostˇredn´ı ˇca´st je zamˇeˇrena stejnˇe jako u pˇredchoz´ıch pracovn´ıch list˚ u na pˇr´ıklady, kter´e ˇza´ci pln´ı bˇehem v´ yuky pod dohledem vyuˇcuj´ıc´ıho. V prvn´ım pˇr´ıkladu si ˇza´ci pˇripomenou analytickou geometrii v prostoru, konkr´etnˇe u parametrick´eho vyj´adˇren´ı pˇr´ımky v prostoru. Ve druh´em pˇr´ıkladˇe ˇza´ci vyb´ıraj´ı spr´avnou odpovˇed’ z nab´ıdnut´ ych moˇznosti na z´akladˇe sv´ ych novˇe nabyt´ ych znalost´ı. Tˇret´ı pˇr´ıklad je na konstrukci povrchov´ ych pˇr´ımek hyperbolick´eho paraboloidu. N´asleduje nˇekolik ot´azek t´ ykaj´ıc´ı se ˇrezu hyperbolick´eho paraboloidu. V posledn´ı ˇca´sti, podobnˇe jako u jin´ ych ploch, jsou pˇr´ıklady vˇenovan´e samostatn´e pr´aci ˇz´ak˚ u a pˇr´ıklad˚ um analogick´ ym tˇem, kter´e byly pˇredveden´e ve ˇskole s malou modifikac´ı. V prvn´ım pˇr´ıkladˇe tedy ˇza´ci jiˇz sami konstruuj´ı povrchov´e pˇr´ımky plochy. Ve druh´e u ´loze konstruuj´ı ˇrez hyperbolick´eho paraboloidu a tˇret´ı pˇr´ıklad je zamˇeˇren na v´ ybˇer spr´avn´e moˇznosti. 69
4.2 4.2.1
Pˇ r´ım´ y parabolick´ y konoid Zaˇ razen´ı plochy
Obr´azek 4.6: Model pˇr´ım´eho parabolick´eho konoidu Pˇr´ım´ y parabolick´ y konoid ˇrad´ıme mezi zborcen´e plochy. Jedn´a se o pˇr´ımkovou plochu, kter´a je urˇcena tˇremi prvky. Jsou jimi ˇr´ıdic´ı pˇr´ımka, ˇr´ıdic´ı kˇrivka, kterou je parabola a posledn´ı je ˇr´ıdic´ı rovina. Jelikoˇz se jedn´a o pˇr´ım´ y konoid, ˇr´ıdic´ı pˇr´ımka je kolm´a na ˇr´ıdic´ı rovinu. Plocha je tvoˇren´a povrchov´ ymi pˇr´ımkami rovnobˇeˇzn´ ymi s ˇr´ıdic´ı rovinou a prot´ınaj´ıc´ımi obˇe ˇr´ıdic´ı kˇrivky. Pro pˇredstavu uv´ad´ıme model pˇr´ım´eho parabolick´eho konoidu na obr. 4.6. ˇ ıdic´ı parabola leˇz´ı v rovinˇe yz, ˇr´ıdic´ı pˇr´ımka leˇz´ı v rovinˇe xy nebo v rovinˇe R´ s n´ı rovnobˇeˇzn´e a je kolm´a na ˇr´ıdic´ı rovinu xz. Na tomto obr´azku je pouze polovina plochy, druh´a polovina by byla osovˇe soumˇern´a podle ˇr´ıdic´ı pˇr´ımky. Jin´ ymi slovy, dospˇeli bychom k n´ı tak, ˇze bychom povrˇsky plochy prodlouˇzili za ˇr´ıdic´ı pˇr´ımku.
4.2.2
Matematick´ e odvozen´ı plochy
Vyjdeme z obr. 4.7. Mˇejme zad´anu ˇr´ıdic´ı kˇrivku, kterou je parabola leˇz´ıc´ı v rovinˇe yz. Vrchol paraboly V leˇz´ı na souˇradnicov´e ose z a jeho souˇradnice jsou V = [0, 0, c]. Hodnota konstanty c je z oboru re´aln´ ych ˇc´ısel R. 70
Obr´azek 4.7: Princip odvozen´ı pˇr´ım´eho parabolick´eho konoidu
D´ale mˇejme d´anu ˇr´ıdic´ı pˇr´ımku l leˇz´ıc´ı v rovinˇe xy, kter´a je rovnobˇeˇzn´a se souˇradnicovou osou y. Vzd´alenost ˇr´ıdic´ı pˇr´ımky l od roviny paraboly oznaˇc´ıme d. Hodnota konstanty d je z oboru re´aln´ ych ˇc´ısel R a z´aroveˇ n plat´ı, ˇze d 6= 0, aby vznikl parabolick´ y konoid. Vyjdeme z definice kvadratick´e funkce z = −ay 2 +c, kde hodnoty a, c jsou z oboru re´aln´ ych ˇc´ısel R a z´aroveˇ n plat´ı, ˇze a 6= 0, jinak by nevznikla kvadratick´a funkce. Hodnota c vyjadˇruje pozici vrcholu paraboly na souˇradnicov´e ose z. Zvol´ıme parametrizaci y = t a po dosazen´ı do definice kvadratick´e funkce z´ısk´ame ˇr´ıdic´ı kˇrivku ve tvaru (4.8). Parametr t je z intervalu (−∞, ∞). k(t) = (0, t, −at2 + c)
(4.8)
ˇ ıdic´ı pˇr´ımka l leˇz´ı v rovinˇe xy. Jej´ı vzd´alenost d od roviny paraboly je R´ z´aroveˇ n souˇradnice x. Pˇr´ımka l je rovnobˇeˇzn´a se souˇradnicovou osou y, proto plat´ı pro souˇradnici y stejn´a parametrizace jako pro souˇradnici y paraboly. Vektorov´e vyj´adˇren´ı ˇr´ıdic´ı pˇr´ımky l budeme tedy vyjadˇrovat vztahem (4.9). St´ale plat´ı, ˇze parametr t je z intervalu (−∞, ∞) a konstanta d je z oboru 71
re´aln´ ych ˇc´ısel, pˇriˇcemˇz plat´ı d 6= 0. l(t) = (d, t, 0)
(4.9)
Povrchov´e pˇr´ımky p pˇr´ım´eho parabolick´eho konoidu jsou kolm´e na ˇr´ıdic´ı pˇr´ımku l a tedy rovnobˇeˇzn´e s rovinou xz. Pˇr´ımky p jsou vˇzdy spojnice dvou bod˚ u X, Y. Bod X se pohybuje po ˇr´ıdic´ı parabole k a bod Y po ˇr´ıdic´ı pˇr´ımce l. Smˇerov´ y vektor vˇsech tˇechto spojnic vyj´adˇr´ıme ve tvaru (4.10). s = k(t) − l(t) = (−d, 0, −at2 + c)
(4.10)
Vyjdeme z parametrizace pˇr´ımky, ale nejedn´a se zde pouze o jednu pˇr´ımku, ale o cel´ y svazek pˇr´ımek. Vektorov´e vyj´adˇren´ı plochy parabolick´eho konoidu pak zapisujeme vztahem (4.11). P(u, t) = l(t) + su
(4.11)
Po dosazen´ı do vztahu (4.11) za ˇr´ıdic´ı pˇr´ımku l a za smˇerov´ y vektor s povrchov´ ych pˇr´ımek p z´ısk´ame koneˇcn´e vektorov´e vyj´adˇren´ı pˇr´ım´eho parabolick´eho konoidu ve tvaru (4.12). Parametr u je opˇet z intervalu (−∞, ∞). P(u, t) = (d(1 − u), t, (−at2 + c)u)
4.2.3
(4.12)
Praktick´ e vyuˇ zit´ı plochy
1. zastˇ reˇ sov´ an´ı: Plocha pˇr´ım´eho parabolick´eho konoidu je vyuˇz´ıv´ana ve stavitelstv´ı. Je moˇzn´e ji vyuˇz´ıvat pˇredevˇs´ım k zastˇreˇsov´an´ı budov napˇr´ıklad prostory nad vchody nebo tzv. pilov´e stˇrechy r˚ uzn´ ych hal, kde se za sebou opakuj´ı stejn´e parabolick´e konoidy. Na obr. 4.8 je plocha pˇr´ım´eho parabolick´eho konoidu vyuˇzita pr´avˇe k zastˇreˇsen´ı. Jedn´a se o novostavbu ˇ rodinn´eho domu ve Star´em Draˇzejovˇe nedaleko mˇesta Strakonice (JC). Architekt vyuˇzit´ım plochy pˇr´ım´eho parabolick´eho konoidu oˇzivil jinak obyˇcejnou valbovou stˇrechu. Pouˇzit´ım t´eto plochy se tak´e rozˇs´ıˇril i vnitˇrn´ı prostor natolik, ˇze m´ısto klasick´ ych stˇreˇsn´ıch oken majitel´e mohli vyuˇz´ıt tzv. ark´yˇrov´e okno s v´ yhledem do krajiny. Vyuˇzit´ı plochy pˇr´ım´eho parabolick´eho konoidu jako zastˇreˇsen´ı budov jsme ˇcerpali z [2].
72
Obr´azek 4.8: Pˇr´ım´ y parabolick´ y konoid vyuˇzit´ı v zastˇreˇsov´an´ı budov
Obr´azek 4.9: Lamin´arn´ı proudˇen´ı
2. opˇ ern´ e zdi: D´ale je plochy pˇr´ım´eho parabolick´eho konoidu vyuˇz´ıv´ano tak´e u staveb, kde zdivo odol´av´a velk´emu tlaku. M˚ uˇzou jimi b´ yt klenbov´e vodn´ı pˇrehrady. Jej´ıˇz stˇena hr´aze m´a p˚ udorys parabolick´eho oblouku. D´ale je moˇzn´e ji vyuˇz´ıt u sklad˚ u sypk´ ych materi´al˚ u, jako jsou sila. Plocha tedy pln´ı funkci opˇern´e zdi, pod´el kter´e se rovnomˇernˇe rozloˇz´ı tlak. U vodn´ıch pˇrehrad plat´ı, ˇze v bl´ızkosti hr´aze pˇrehrady m´a kapalina malou rychlost a vznik´a zde tzv. lamin´arn´ı proudˇen´ı. Toto proudˇen´ı je charakteristick´e t´ım, ˇze proudnice neboli trajektorie ˇca´stic kapaliny jsou rovnobˇeˇzn´e. Kapalina proud´ı ve vrstv´ach tzv. laminech. Vrstva, kter´a se bezprostˇrednˇe dot´ yk´a stˇeny hr´aze a bˇreh˚ u, se pohybuje v d˚ usledku tˇren´ı nejmenˇs´ı rychlost´ı (je t´emˇeˇr v klidu). Po t´eto mezn´ı vrstvˇe se posouv´a druh´a vrstva, kter´a m´a rychlost o nˇeco vˇetˇs´ı. Po t´eto vrstvˇe se pohybuj´ı zase dalˇs´ı a dalˇs´ı vrstvy kapaliny s postupnˇe vˇetˇs´ı a vˇetˇs´ı rychlost´ı. Nejvˇetˇs´ı rychlost m´a kapalina, kter´a proch´az´ı stˇredem pˇrehrady. Koncov´e body vektor˚ u rychlosti tak leˇz´ı ˇ ım vˇetˇs´ı na parabole, viz obr. 4.9. Rychlost se mˇen´ı tak´e s hloubkou. C´ hloubka kapaliny bude, t´ım pomalejˇs´ı bude proudˇen´ı. Proto se u zd´ı pˇrehradn´ıch hr´az´ı vyuˇz´ıv´a plochy parabolick´eho konoidu, kter´a se stav´ı proti proudˇen´ı vody. To znamen´a, ˇze parabolick´ y konoid je orientovan´ y vrcholem ˇr´ıdic´ı kˇrivky smˇerem do hr´aze. T´ım se tlak kapaliny rovnomˇernˇe rozprostˇre pod´el zdi a nedojde k jej´ımu provalen´ı. 73
Tento pˇr´ıklad byl ˇcerp´an z [2] a konzultov´an nez´avisle s dvˇema odborn´ıky s Ing. Miroslavem Krejˇcou, Csc. a n´aslednˇe na to s b´ yval´ ym ˇ e Budˇejovice Jaroslavem Kovandou. stavbyvedouc´ım firmy VHS Cesk´
Obr´azek 4.10: Pˇrehrada Mooserboden, Rakousko Na obr. 4.10 m´ame na uk´azku horskou pˇrehradu Mooserboden leˇz´ıc´ı nedaleko rakousk´ ych mˇest Kaprun a Zell am See. Tyto dvˇe umˇele vytvoˇren´e vodn´ı n´adrˇze jsou souˇc´ast´ı komplexu pˇreˇcerp´avac´ı vodn´ı elektr´arny. Pln´ı tak funkci uchov´av´an´ı energie z vodn´ıch tok˚ u a pochopitelnˇe slouˇz´ı i k regulaci vody tekouc´ı z pˇrilehl´ ych vrchol˚ u rakousk´ ych alp.
4.2.4
Pracovn´ı list
V r´amci pracovn´ıho listu vˇenovan´emu pˇr´ımkov´ ym ploch´am si ˇza´ci opˇet na nˇekolika ot´azk´ach a pˇr´ıkladech zopakuj´ı a upevn´ı znalosti t´ ykaj´ıc´ı se plochy parabolick´eho konoidu. Prvn´ı ˇca´st je zamˇeˇrena pouze na teoretick´e ot´azky, u kter´ ych ˇz´aci doplˇ nuj´ı spr´avn´e odpovˇedi. Je zde tak´e jeden u ´kol na naˇcrtnut´ı obr´azku. Ve druh´e ˇca´sti uˇcitel spoleˇcnˇe se ˇza´ky odvod´ı parametrick´e vyj´adˇren´ı plochy na z´akladˇe pˇriloˇzen´eho obr´azku a v dalˇs´ı u ´loze se ˇza´ci nauˇc´ı jednoduchou konstrukci konoid˚ u. Je zde pˇrid´an tak´e pˇr´ıklad na konstrukci ˇrezu pˇr´ım´eho parabolick´eho konoidu, kter´ y je napojen na valbovou stˇrechu. Posledn´ı ˇc´ast je smˇerov´ana na samostatnou pr´aci ˇz´ak˚ u. Vyb´ıraj´ı napˇr´ıklad spr´avnou odpovˇed’ na ot´azku na z´akladˇe sv´ ych znalost´ı a konstruuj´ı povrchov´e pˇr´ımky pˇr´ım´eho parabolick´eho konoidu. Posledn´ı pˇr´ıklad je vˇenov´an
74
konstrukci ˇrezu pˇr´ım´eho parabolick´eho konoidu rovinou rovnobˇeˇznou s rovinou paraboly.
4.3
Pˇ r´ım´ y vlnov´ y konoid
Obr´azek 4.11: Model pˇr´ım´eho vlnov´eho konoidu
4.3.1
Obr´azek 4.12: Princip vytvoˇren´ı vlnov´eho konoidu
Zaˇ razen´ı a vznik plochy
Pˇr´ım´ y vlnov´ y konoid ˇrad´ıme tak´e mezi zborcen´e plochy. Plocha je urˇcena tˇremi prvky, kter´ ymi jsou ˇr´ıdic´ı kˇrivka (sinusoida), ˇr´ıdic´ı pˇr´ımka a ˇr´ıdic´ı rovina. ˇ ıdic´ı pˇr´ımka je kolm´a na ˇr´ıdic´ı rovinu, nebot’ jde opˇet o pˇr´ım´ R´ y konoid. Plochu tvoˇr´ı povrchov´e pˇr´ımky rovnobˇeˇzn´e s ˇr´ıdic´ı rovinou a prot´ınaj´ıc´ı obˇe ˇr´ıdic´ı kˇrivky. Pro pˇredstavu uv´ad´ıme obr. 4.11, kter´ y zn´azorˇ nuje model pˇr´ım´eho vlnov´eho konoidu.
4.3.2
Matematick´ e odvozen´ı plochy
Pod´ıvejme se na obr. 4.12. Mˇejme zad´anu ˇr´ıdic´ı kˇrivku k, kter´a leˇz´ı v rovinˇe yz. Touto kˇrivkou je sinusoida. Nemus´ı se jednat o z´akladn´ı sinusoidu, ale je ˇ ıdic´ı pˇr´ımka l leˇz´ı v rovinˇe xy nebo moˇzn´e mˇenit i jej´ı amplitudu a periodu. R´ ˇ ıdic´ı rovinou je rovina xz. v rovinˇe s n´ı rovnobˇeˇzn´e. R´ 75
Vyjdeme z definice goniometrick´ ych funkc´ı a funkci sinus zap´ıˇseme jako z = a sin(by). Hodnoty konstant a, b jsou z oboru re´aln´ ych ˇc´ısel. Konstanta a mˇen´ı amplitudu funkce sinus a konstanta b m´a vliv na periodu funkce sinus. Zvol´ıme parametrizaci y = t. Po dosazen´ı do pˇredpisu pro funkci sinus a rozeps´an´ı do sloˇzek z´ısk´ame vektorov´e vyj´adˇren´ı ˇr´ıdic´ı kˇrivky k ve tvaru (4.13). Plat´ı, ˇze parametr t je z intervalu h0, 2πi. k(t) = (0, t, a sin(bt))
(4.13)
ˇ ıdic´ı pˇr´ımka l leˇz´ı v rovinˇe xy a jej´ı vzd´alenost od roviny sinusoidy R´ oznaˇc´ıme d. Hodnota konstanty d je z oboru re´aln´ ych ˇc´ısel R a z´aroveˇ n plat´ı d 6= 0, jinak by nevznikl pˇr´ım´ y vlnov´ y konoid. Vektorov´e vyj´adˇren´ı ˇr´ıdic´ı pˇr´ımky l m´ame ve vztahu (4.14) a parametr t je ze stejn´eho intervalu jako pro ˇr´ıdic´ı kˇrivku k. l(t) = (d, t, 0)
(4.14)
Povrchov´e pˇr´ımky p pˇr´ım´eho vlnov´eho konoidu jsou rovnobˇeˇzn´e s rovinou xz, kter´a je kolm´a na ˇr´ıdic´ı pˇr´ımku l. Jsou to spojnice dvou bod˚ u X, Y. Bod X se pohybuje po ˇr´ıdic´ı kˇrivce k a bod Y se pohybuje po ˇr´ıdic´ı pˇr´ımce l. Smˇerov´ y vektor tˇechto spojnic vyj´adˇr´ıme vztahem (4.15). s = l(t) − k(t) = (d, 0, −a sin(bt))
(4.15)
D´ale vyjdeme ze vztahu z analytick´e geometrie a vyj´adˇr´ıme cel´ y syst´em povrchov´ ych pˇr´ımek, kter´e tvoˇr´ı plochu pˇr´ım´eho vlnov´eho konoidu ve tvaru (4.16). Parametr u je z oboru re´aln´ ych ˇc´ısel R. P(u, t) = l(t) + su
(4.16)
Pokud dosad´ıme do vztahu (4.16) za ˇr´ıdic´ı pˇr´ımku l a smˇerov´ y vektor s, z´ısk´ame koneˇcn´e vektorov´e vyj´adˇren´ı pˇr´ım´eho vlnov´eho konoidu ve tvaru (4.17). P(u, t) = (d(1 + u), t, −au sin(bt))
76
(4.17)
Obr´azek 4.13: Zed’ n´arod˚ u, Ath´eny ˇ - Recko
4.3.3
Obr´azek 4.14: Parkovac´ı d˚ um Rycht´aˇrka - Plzeˇ n
Praktick´ e vyuˇ zit´ı plochy
1. design: Plocha pˇr´ım´eho vlnov´eho konoidu m´a uplatnˇen´ı pˇredevˇs´ım ve stavebn´ım ˇ pr˚ umyslu z hlediska sv´eho designu. Spanˇ elsk´ y architekt Santiago Calatrava se nechal inspirovat plochou pˇr´ım´eho vlnov´eho konoidu a pouˇzil jej u tzv. Zdi n´arod˚ u, viz obr. 4.13. Ta byla jednou z mnoha souˇca´st´ı komplexu olympijsk´eho sportoviˇstˇe v Ath´en´ach v roce 2004. ˇ e republice se s touto plochou tak´e m˚ V Cesk´ uˇzeme setkat. V Plzni plochu pˇr´ım´eho vlnov´eho konoidu pˇripom´ın´a exteri´erov´ y design parkovac´ıho domu Rycht´aˇrka. Na fas´adˇe budovy jsou v ˇrad´ach pˇripevnˇen´e sklenˇen´e panely, kter´e jsou r˚ uznˇe sklonˇen´e. Pokud bychom vedli vertik´aln´ı stˇredn´ı pˇr´ıˇcku sklenˇen´ ym panelem, pak tato pˇr´ıˇcka bude jednou z povrchov´ ych pˇr´ımek pˇr´ım´eho vlnov´eho konoidu. Vyuˇzit´ı plochy pˇr´ım´eho vlnov´eho konoidu bylo inspirov´ano materi´alem [19]. 2. zastˇ reˇ sov´ an´ı: V souˇcasn´e dobˇe si majitel´e vinic ˇcasto pˇremˇen ˇuj´ı sv´e usedlosti na architektonick´ y skvost. Jedn´ım takov´ ym vinaˇrstv´ım je Bodegas Ysios, kter´e ˇ se nach´az´ı na severu Spanˇ elska v podh˚ uˇr´ı Pyrenej´ı. Architektem reprezentaˇcn´ı budovy byl opˇet Santiago Calatrava. Jeho u ´kolem bylo interi´er rozdˇelit na v´ yrobnu, sklad a reprezentaˇcn´ı ˇca´st urˇcenou pro prodej v´ına.
77
Obr´azek 4.15: Vinaˇrstv´ı Bodegas Ysios Pro tvar stˇrechy opˇet zvolil pˇr´ım´ y vlnov´ y konoid, kter´ y lad´ı s vlnit´ ym reli´efem okol´ı vinohradu. Je sloˇzena z hranat´ ych dˇrevˇen´ ych tr´am˚ u obalen´ ych v hlin´ıku, kter´e spoleˇcnˇe vytv´aˇr´ı vlnu. Uprostˇred budovy architekt pouˇzil vyv´ yˇsen´ y oblouk, kter´ y pln´ı funkci pozn´avac´ıho znamen´ı vinice. Nach´az´ı se zde n´avˇstˇevnick´e centrum a z balkonu lze pozorovat a obdivovat okol´ı vinice. Budova je zaj´ımav´a nejen vln´ıc´ı se stˇrechou, ale tak´e vlnit´ ymi obvodov´ ymi zdmi. Cel´a stavba se op´ır´a o dvˇe nosn´e stˇeny, kter´e maj´ı sinusovou linii s minim´aln´ım poˇctem oken. Pod´el jedn´e t´eto hlavn´ı stˇeny je vodn´ı plocha, v n´ıˇz se vlnit´a fas´ada odr´aˇz´ı. Architekturu budovy m˚ uˇzete nal´ezt na obr. 4.15. ˇ e republice m˚ V Cesk´ uˇzeme opˇet naj´ıt z´astupce vyuˇzit´ı pˇr´ım´eho vlnov´eho konoidu na zastˇreˇsov´an´ı. M´ame na mysli rekreaˇcn´ı stˇredisko Marina na bˇrehu jednoho z pˇr´ıstav˚ u Lipensk´e pˇrehrady. Jedn´a se z velk´e ˇca´sti o holandskou architekturu. Slovo Marina je odvozen´e z latinsk´eho slovo mare, coˇz v pˇrekladu znamen´a moˇre. Architekti n´azvem tohoto rekreaˇcn´ıho stˇrediska zd˚ uraznili fakt , ˇze stoj´ı na bˇrehu Lipensk´e pˇrehrady. Vlnit´ ym zastˇreˇsen´ım are´al dokonale lad´ı ˇ s vlnami vodn´ı hladiny i vln´ıc´ımi se Sumavsk´ ymi vrcholky. Hˇrebeny stˇrech jsou vlastn´ı ˇr´ıdic´ı pˇr´ımky a konec ˇsindelov´e stˇrechy m´a tvar vlny (sinusoidy), kter´a je ˇr´ıdic´ı kˇrivkou. Proto je zde zˇrejm´e vyuˇzit´ı pˇr´ım´eho vlnov´eho konoidu. Budovy are´alu jsou na obr. 4.16. Inspirace ˇcerp´ana z [19] a [20].
78
Obr´azek 4.16: Rekreaˇcn´ı stˇredisko Marina - Lipno
4.3.4
Pracovn´ı list
V pracovn´ım listˇe na zborcen´e plochy je pˇrid´an z´avˇereˇcn´ y blok vˇenovan´ y pˇr´ım´emu vlnov´emu konoidu. Prvn´ı ˇca´st je jako u pˇredchoz´ıch ploch vˇenov´ana ˇ aci opˇet odpov´ıdaj´ı na uveden´e ot´azky. opakov´an´ı v´ ykladov´e ˇca´sti. Z´ N´asleduje ˇca´st s pˇr´ıklady, na kter´ ych ˇz´aci pracuj´ı bˇehem v´ yuky. Prvn´ı pˇr´ıklad je vˇenov´an matematick´emu popisu plochy. Ve druh´em pˇr´ıkladˇe si maj´ı ˇza´ci zopakovat tzv. Kochansk´eho rektifikaci kruˇznice a zkonstruovat periodu sinusoidy nad rozvinut´ ym obvodem kruˇznice a posledn´ı pˇr´ıklad je vˇenov´an konstrukci povrchov´ ych pˇr´ımek pˇr´ım´eho vlnov´eho konoidu. Posledn´ı ˇca´st je opˇet zamˇeˇrena na samostatnou prac´ı ˇza´k˚ u. V prvn´ım pˇr´ıkladˇe maj´ı ˇz´aci za u ´kol sestrojit plochu pˇr´ım´eho vlnov´eho konoidu a n´asledˇ aci si na pˇr´ıklanˇe jeho ˇrez rovinou, kter´a je rovnobˇeˇzn´a s rovinou sinusoidy. Z´ du ovˇeˇr´ı, ˇze ˇrezy rovinou rovnobˇeˇznou s ˇr´ıd´ıc´ı pˇr´ımkou jsou opˇet sinusoidy. Tˇemto sinusoid´am se smˇerem od ˇr´ıd´ıc´ı kˇrivky k ˇr´ıd´ıc´ı pˇr´ımce postupnˇe zmenˇsuje amplituda. V posledn´ım pˇr´ıkladu maj´ı ˇza´ci vybrat spr´avnou odpovˇed’ na ot´azku.
79
Kapitola 5 Modely ploch Pro kaˇzdou vybranou plochu byl vytvoˇren bud’to virtu´aln´ı model ve 3D model´aˇr´ıch (Google SketchUp, Rhino) nebo fyzick´ y model, pokud to bylo konstrukˇcnˇe moˇzn´e. K tvorbˇe jsme vybrali n´asleduj´ıc´ı seznam budov ˇci v´ yrobk˚ u, u kter´ ych je vyuˇz´ıvan´a dan´a plocha. Seznam vybran´ ych model˚ u: 1. kulov´ a plocha - zastˇreˇsen´ı nad polovinou budovy St´atn´ı opery v Sydney (fyzick´ y model) 2. anuloid - kuliˇckov´e loˇzisko (virtu´aln´ı model) 3. jednod´ıln´ y rotaˇ cn´ı hyperboloid - rozhledna na Jeˇstˇedu (virtu´aln´ı model) 4. rotaˇ cn´ı paraboloid - planet´arium Bochum - Nˇemecko (virtu´aln´ı model) 5. pravo´ uhl´ a uzavˇ ren´ a pˇ r´ımkov´ aˇ sroubov´ a plocha - domek pro horsk´e kozy (fyzick´ y model) 6. koso´ uhl´ a uzavˇ ren´ a pˇ r´ımkov´ aˇ sroubov´ a plocha - v´ yvrtka (virtu´aln´ı model) 7. Archim´ edova serpentina - ˇza´rovka (virtu´aln´ı model) 8. hyperbolick´ y paraboloid - kostel prvn´ı evangelick´e c´ırkve - USA (virtu´aln´ı model) 80
9. pˇ r´ım´ y parabolick´ y konoid - kostel sv. Marie a sv. Ludv´ıka - USA (virtu´aln´ı model) 10. pˇ r´ım´ y vlnov´ y konoid - stˇrecha soukrom´eho domu - USA (virtu´aln´ı model) Vzhledem k rozsahu pr´ace, jsme se rozhodli, ˇze postupy jednotliv´ ych model˚ u vˇcetnˇe fin´aln´ıho srovn´an´ı modelu s origin´alem pˇriloˇz´ıme na vytvoˇren´e webov´e str´anky, viz pˇriloˇzen´e CD.
81
Kapitola 6 Ovˇ eˇ ren´ı materi´ alu v praxi Souˇc´ast´ı zad´an´ı diplomov´e pr´ace bylo tento pˇripraven´ y uˇcebn´ı materi´al vyzkouˇset na hodinˇe deskriptivn´ı geometrie. Tento bod zad´an´ı mohl b´ yt splnˇen d´ıky kontaktu na vyuˇcuj´ıc´ıho Mgr. Petra Zrostl´ıka, kter´ y v souˇcasn´e dobˇe externˇe vyuˇcuje na gymn´aziu Mikul´aˇssk´e n´amˇest´ı v Plzni. Semin´aˇr z deskriptivn´ı geometrie je rozvrhov´an na dvˇe vyuˇcovac´ı hodiny pro vybran´e ˇza´ky tˇr´ıd 8.A, 8.B, 4.A a 4.B. Vzhledem k tomu, ˇze byl term´ın na oduˇcen´ı domluven na t´ yden pˇred V´anoci, nebyli pˇr´ıtomni vˇsichni ˇz´aci. Nˇekteˇr´ı ˇz´aci mˇeli omluvenou v´ yuku, kv˚ uli speci´aln´ımu programu, kter´ y jim pˇred V´anoci zaˇr´ıdil tˇr´ıdn´ı uˇcitel, proto bylo pˇr´ıtomno pouze 11 ˇz´ak˚ u. Vybran´a ˇca´st uˇcebn´ıho textu vˇcetnˇe pracovn´ıho listu byla Mgr. Petrem Zrostl´ıkem nahr´ana na ˇskoln´ı server Moodle a ˇza´ci mˇeli za u ´kol tento materi´al pˇreˇc´ıst a pˇrin´est si vytiˇstˇen´ y pracovn´ı list. Vybr´ana byla ˇca´st diplomov´e pr´ace zamˇeˇren´a na kulovou plochu. Pˇri v´ yuce byl k dispozici poˇc´ıtaˇc s dataprojektorem a sympodium, na kter´em bylo moˇzn´e vyznaˇcovat d˚ uleˇzit´e informace ˇci dokreslovat vysvˇetluj´ıc´ı obr´azky. Pro ˇza´ky byla tak´e na u ´vod hodiny vytvoˇrena prezentace t´ ykaj´ıc´ı se obecn´ ych rotaˇcn´ıch ploch a n´aslednˇe konkretizace na kulovou plochu. Zaˇclenili jsme ji do v´ yuky pro shrnut´ı d˚ uleˇzit´ ych pojm˚ u, kter´e si mˇeli ˇza´ci sami nastudovat z poskytnut´eho materi´alu. V pˇr´ıpadˇe, ˇze tak ˇz´aci neuˇcinili, vytvoˇren´a prezentace s doprovodn´ ym v´ ykladem je dostateˇcnˇe podrobn´a k pochopen´ı nov´e l´atky. Pro lepˇs´ı pochopen´ı dan´e problematiky byl vyuˇzit i dr´atˇen´ y model kulov´e plochy, na kter´em bylo moˇzn´e vysvˇetlit pojem sf´erick´eho troj´ uheln´ıku. Pˇri vyplˇ nov´an´ı pracovn´ıch list˚ u ˇz´aci spr´avnˇe reagovali na poloˇzen´e ot´azky. Pˇri konstrukˇcn´ıch u ´loh´ach ˇza´k˚ um velmi pomohlo, ˇze pˇr´ıklady byly vyˇreˇseny v programu Geogebra a jednotliv´e kroky konstrukce jim byly prom´ıt´any. 82
Bˇehem poskytnut´ ych dvou vyuˇcovac´ıch hodin jsme spoleˇcnˇe s ˇza´ky stihli vˇsechny pˇripraven´e pˇr´ıklady do v´ yuky a samostatn´e u ´lohy jsme spoleˇcnˇe se ˇz´aky proˇsli. Pro konstrukci sf´erick´eho troj´ uheln´ıku byly ˇza´k˚ um vysvˇetleny n´avodn´e kroky. Na z´avˇer hodiny byl ˇza´k˚ um rozd´an kr´atk´ y dotazn´ık pro ovˇeˇren´ı jejich spokojenosti s touto v´ yukou. Mnoh´ ym z nich pomohla pˇripraven´a prezentace s vysvˇetluj´ıc´ım v´ ykladem, aby si v hlavnˇe urovnali samostatnˇe nabyt´e informace z materi´alu. D´ale byli spokojeni s pˇredpˇripraven´ ymi pracovn´ımi listy, s konstrukcemi v Geogebˇre a praktick´ ym vyuˇzit´ım plochy. Nˇekteˇr´ı ˇza´ci byli spokojeni s obsahovost´ı materi´alu i se vzr˚ ustaj´ıc´ı n´aroˇcnost´ı pˇr´ıklad˚ u. Pro nˇekter´e ˇz´aky byly naopak pˇr´ıklady tˇeˇzk´e. Pˇredevˇs´ım se zde jedn´a o odvozov´an´ı vektorov´eho vyj´adˇren´ı, poˇc´ıt´an´ı oblouk˚ u sf´erick´eho troju ´heln´ıku a pochopen´ı sf´erick´eho troj´ uheln´ıku v˚ ubec.
83
Z´ avˇ er C´ılem diplomov´e pr´ace na t´ema Plochy ve svˇetˇe kolem n´ as bylo vypracovat studijn´ı materi´al, kter´ y mˇel obsahovat jak teoretick´e informace o ploch´ach vyuˇz´ıvan´ ych v technick´e praxi, tak pracovn´ı listy s ot´azkami a konstrukˇcn´ımi pˇr´ıklady. Pro ˇreˇsen´ı tˇechto konstrukˇcn´ıch pˇr´ıklad˚ u jsme vybrali programu Geogebra, v nˇemˇz je moˇzn´e vytv´aˇret dynamick´e konstrukce. D´ale jsme se snaˇzili deskriptivn´ı geometrii prov´azat tak´e s matematikou ˇca´st´ı pˇri odvozov´an´ı vektorov´ ych vyj´adˇren´ı jednotliv´ ych ploch. P´ısemn´a ˇca´st diplomov´e pr´ace je doplnˇena o elektronickou formu studijn´ıho materi´alu v podobˇe webov´ ych str´anek, kter´e jsou souˇca´st´ı pˇriloˇzen´eho CD. C´ılem tvorby tˇechto webov´ ych str´anek bylo lepˇs´ı zpˇr´ıstupnˇen´ı uˇcebn´ıho materi´alu. Protoˇze v dneˇsn´ı dobˇe studenti sp´ıˇse sed´ı u poˇc´ıtaˇc˚ u neˇzli u kn´ıˇzek, jsou tyto webov´e str´anky vhodnou alternativou uˇcebnice. Str´anky maj´ı stejnou podobu uˇcebn´ıho materi´alu jako text diplomov´e pr´ace. D˚ uleˇzit´e je, ˇze jsou str´anky ˇclenˇen´e podle jednotliv´ ych kapitol a jsou prov´azan´e pomoc´ı odkaz˚ u. Str´anky nav´ıc obsahuj´ı nˇekter´e zaj´ımav´e historick´e pozn´amky a pro kaˇzdou plochu je pˇrid´ana fotogalerie s dalˇs´ımi pˇr´ıklady vyuˇzit´ı. Na hlavn´ı str´ance si uˇzivatel m˚ uˇze zvolit, zda ho zaj´ım´a teoretick´a ˇca´st o jednotliv´ ych ploch´ach nebo zda ho zaj´ımaj´ı konstrukˇcn´ı u ´lohy ˇci postupy vytvoˇren´ ych model˚ u. Sadu konstrukˇcn´ıch u ´loh jsme pro pˇrehlednost rozdˇelili podle jednotliv´ ych ploch. U kaˇzd´eho pˇr´ıkladu je v u ´vodu zad´an´ı pˇr´ıkladu, n´asleduje postup konˇ sen´ı strukce s pˇr´ıpadn´ ym doprovodn´ ym slovem a po kliknut´ı na odkaz Reˇ v Geogebˇre se ve vyhrazen´em r´ameˇcku objev´ı konstrukce, kterou lze krokovat a pˇr´ıpadnˇe modifikovat posouv´an´ım nˇekter´ ych bod˚ u. Takto krokovan´a konstrukce se n´am osvˇedˇcila pˇri zkuˇsebn´ı hodinˇe, pˇri kter´e byla ˇca´st pr´ace pˇredvedena na stˇredn´ı ˇskole. P˚ uvodn´ım z´amˇerem bylo vytvoˇrit uˇcebn´ı materi´al pro studenty stˇredn´ıch ˇskol, kteˇr´ı by tento materi´al vyuˇz´ıvali bˇehem speci´aln´ıho semin´aˇre deskrip84
tivn´ı geometrie. Po vyzkouˇsen´ı ˇca´sti vypracovan´e diplomov´e pr´ace na stˇredn´ı ˇskole jsme zjistili, ˇze vytvoˇren´ y studijn´ı materi´al je pro studenty stˇredn´ıch ˇskol pˇr´ıliˇs sloˇzit´ y. Na stˇredn´ı ˇskoly by bylo moˇzn´e zaˇradit rotaˇcn´ı plochy s vynech´an´ım vekˇ torov´ ych vyj´adˇren´ı. Sroubov´ e plochy a konoidy jsou jiˇz velice n´aroˇcnou l´atkou a pro studenty jsou obt´ıˇzn´e na pˇredstavivost. Bylo by moˇzn´e jej vyuˇz´ıvat pro nadan´e studenty, jako rozˇsiˇruj´ıc´ı uˇcivo. Lepˇs´ı vyuˇzit´ı by mˇel, pokud bychom jej zaˇradili jako studijn´ı materi´al pro studenty vysok´ ych ˇskol, konkr´etnˇe pro 1. nebo 2. roˇcn´ık bakal´aˇrsk´eho studia. Snad se n´am podaˇrilo zachytit podstatn´e informace o ploch´ach technick´e praxe, kter´e lze prostˇrednictv´ım t´eto diplomov´e pr´ace pˇredat student˚ um zaj´ımaj´ıc´ıch se o deskriptivn´ı geometrii. Vˇeˇr´ıme, ˇze vzbud´ıme z´ajem o tento materi´al prostˇrednictv´ım vytvoˇren´ ych webov´ ych str´anek. Pokud by pr´ace byla vyuˇz´ıv´ana pˇri v´ yuce na vysok´ ych ˇskol´ach, bylo by moˇzn´e dalˇs´ı jej´ı rozˇs´ıˇren´ı i o jin´e plochy a o sadu dalˇs´ıch i sloˇzitˇejˇs´ıch konstrukˇcn´ıch pˇr´ıklad˚ u. Webov´e str´anky by bylo moˇzn´e tak´e zdokonalit a zajistit pˇr´ım´ y pˇr´ıstup s internetov´ ych prohl´ıˇzeˇc˚ u popˇr´ıpadˇe ze samotn´eho webu odpov´ıdaj´ıc´ıho pˇredmˇetu.
85
Literatura [1] Urban A. Deskriptivn´ı geometrie II. SNTL, Praha 1967. [2] Piska R., Medek V. Deskriptivn´ı geometrie II. SNTL, Praha, Bratislava 1966. [3] Tomiczkov´a S. Deskriptivn´ı geometrie I - Pomocn´ y uˇcebn´ı text verze ˇ Plzeˇ 5.1. ZCU, n 2011. [4] Jeˇzek F. Geometrick´ e a poˇ c´ıtaˇ cov´ e modelov´ an´ı - Pomocn´ y uˇcebn´ı ˇ text verze 8.1. ZCU, Plzeˇ n 2006. [5] Jeˇzek F., Tomiczkov´a S. Geometrie pro FST2 - Pomocn´ y uˇcebn´ı text ˇ verze 5.0. ZCU, Plzeˇ n 2010. ˇ Praha, Praha 1988. ´ [6] Kov´aˇr P. Upravy tok˚ u - skriptum. VSZ ˇ Plzeˇ [7] Hloˇzek M. Sf´ erick´ a geometrie - diplomov´a pr´ace. ZCU, n 2005. [8] Dillinger J. a kol. Modern´ı stroj´ırenstv´ı pro ˇ skolu a praxi. EuropaSobot´ales cz.-s.r.o., Praha 2007. [9] Berka R. Kategorizace svisl´ ych dopravn´ık˚ u - bakal´aˇrsk´a pr´ace. VUT, Brno 2010. ˇ [10] Rauner K. Jak funguje poˇ c´ıtaˇ cov´ a myˇ s. Skolsk´ a fyzika [online]. 16.3.2012, ˇc. 1, s. 17-20 (ˇr´ıjen 2012). http://sf.zcu.cz/data/2012/sf2012 01 5.pdf [11] skripta TUL-FS-KVS.(z´aˇr´ı 2012). http://www.kvs.tul.cz/download/rapid prototyping/rp1 skripta.pdf
86
[12] Autocentrum RK home page.(bˇrezen 2012). http://www.autocentrumrk.cz/historie-pneumatik/ [13] 2EL s.r.o. home page.(duben 2012). http://2el.magnetotherapy.com/?10,biotorus-lt-100 [14] Kas´ık P. Nem´ ate radar? Tak mus´ıte poslouchat.... Technet.cz [online]. 9.6.2007 (listopad 2012). http://technet.idnes.cz/nemate-radar-tak-musite-poslouchat -dty-/tec technika.aspx?c=A070525 170259 tec technika pka [15] Vok´aˇc L. Ford pouˇ z´ıv´ a techniku z prvn´ı svˇ etov´ e v´ alky k vylepˇ sen´ı souˇ casn´ ych aut. Auto.idnes.cz [online]. 7.2.2012 (listopad 2012). http://auto.idnes.cz/ford-pouziva-techniku-z-prvni-svetovevalky-k-vylepseni-soucasnych-aut-1a9-/automoto.aspx?c=A120205 225349 automoto vok [16] Informaˇ cn´ı a vzdˇ el´ avac´ı port´ al ˇ skolstv´ı Zl´ınsk´ eho kraje home page. (kvˇeten 2012). http://www.zkola.cz/zkedu/pedagogictipracovnici/kabinet prirodnichved/metodickematerialyvyukoveprogramy/vyukove materialyzfyziky/17584.aspx [17] wikipedia.infostar.cz home page.(leden 2013). http://wikipedia.infostar.cz/c/co/corkscrew.html ˇ ımsko-katolick´ [18] R´ a farnost Neposkvrnˇ en´ eho poˇ cet´ı panny Marie home page. (z´aˇr´ı 2012). http://www.farnoststrasnice.cz/farnost.php?doc=kostel.htm ˇ [19] osobn´ı str´ anky Mgr. Jiˇ r´ıho Doleˇ zala VSB-TU.(kvˇ eten 2012). http://mdg.vsb.cz/jdolezal/StudOpory/Geometrie/Plochy/ ZborcenePlochy/Konoidy/Realizace/PrimyVlnkovyKonoid.html [20] archiweb home page.(leden 2012). http://www.archiweb.cz/
87
Seznam pˇ revzat´ ych obr´ azk˚ u • Obr´ azek 2.4: Sf´erick´ y troj´ uheln´ık (leden 2012) pˇrevzato a upraveno z: http://forum.matweb.cz/upload3/img/2011-12/82609 sfr1.png • Obr´ azek 2.5: St´atn´ı opera v Sydney (leden 2012) pˇrevzato z: http://cs.wikipedia.org/wiki/Soubor:Sydney Opera House Sails.jpg • Obr´ azek 2.6: Maketa skoˇrepin (leden 2012) pˇrevzato a upraveno z: ˇ v Plzni Fotografie od pracovn´ıka z KMA ZCU • Obr´ azek 2.7: Sch´ema kuliˇckov´e myˇsi (´ unor 2012) pˇrevzato z: http://cs.wikipedia.org/wiki/Soubor:Mouse-mechanismcutaway.png • Obr´ azek 2.8: Kulov´a dotykov´a mˇeˇr´ıc´ı sonda (kvˇeten 2012) pˇrevzato a upraveno z (str. 12): http://www.kvs.tul.cz/download/rapid prototyping/rp1 skripta.pdf • Obr´ azek 2.11: R˚ uzn´e Cassiniho ov´aly (z´aˇr´ı 2012) pˇrevzato z: http://en.wikipedia.org/wiki/File:Line of Cassini.svg • Obr´ azek 2.13: Profil trasy proudnice (ˇcerven 2012) pˇrevzato z: ˇ v´ yukov´a prezentace k pˇredmˇetu Mal´e vodn´ı toky (CZU Praha) poskytnuta vyuˇcuj´ıc´ım Prof. Dr. Pavlem Kov´aˇrem • Obr´ azek 2.16: Duˇse pneumatiky (´ unor 2012) pˇrevzato z: http://www.pneumarek.com/10731-duse/23550-duse-10-75-15 -3-tr15/
88
• Obr´ azek 2.17: Kuliˇckov´e loˇzisko (´ unor 2012) pˇrevzato z: http://cs.wikipedia.org/wiki/Soubor:Thrust-ball-bearing din711 ex.png • Obr´ azek 2.18: Biotorus (duben 2012) pˇrevzato z: http://2el.magnetotherapy.com/?10,biotorus-lt-100 • Obr´ azek 2.19: Toroidn´ı vinut´ı (duben 2012) pˇrevzato z: http://www.techmania.cz/edutorium/data/fil 4477.jpg • Obr´ azek 2.25: Chlad´ıc´ı vˇeˇze jadern´e elektr´arny Temel´ın (duben 2012) pˇrevzato z: http://i3.cn.cz/14/1320764532 008.jpg • Obr´ azek 2.26: L´avka pro pˇeˇs´ı Manchester (prosinec 2011) pˇrevzato z: http://farm9.staticflickr.com/8056/8077925310 2109ebd50e z.jpg • Obr´ azek 2.27: Rozhledna Bor˚ uvka u obce Hlubov´a nedaleko Pardubic (bˇrezen 2012) pˇrevzato z: http://turistickyatlas.cz/vse/misto/6472 rozhlednaboruvka.html • Obr´ azek 2.28: Televizn´ı vˇeˇz v pˇr´ıstavu mˇesta Kobe, Japonsko (kvˇeten 2012) pˇrevzato z: http://japonsko.tripzone.cz/fotogalerie/kobe-nocnipristav-6614 • Obr´ azek 2.29: Soukol´ı hypoidn´ıho pˇrevodu a jeho detail (kvˇeten 2012) pˇrevzato z: vlevo: [2] viz seznam pouˇzit´e literatury (str. 87) uprostˇred: http://kag.upol.cz/juklova/4rocnik/img4/Z1-7.jpg vpravo: http://cs.wikipedia.org/wiki/Soubor:Sprocket03.jpg • Obr´ azek 2.33: Akustick´e zrcadlo nedaleko Kilnsea, VB (listopad 2012) pˇrevzato z: http://auto.idnes.cz/ford-pouziva-techniku-z-prvni-svetovevalky-k-vylepseni-soucasnych-aut-1a9-/automoto.aspx?c= A120205 225349 automoto vok
89
• Obr´ azek 2.34: Bˇeluha severn´ı (listopad 2012) pˇrevzato z: http://www.iloveocean.estranky.cz/img/picture/4/ beluga whale 8907.jpg ˇ Newtonov´ • Obr´ azek 2.35: Rez ym astronomick´ ym dalekohledem (prosinec 2012) pˇrevzato z: http://www.pf.jcu.cz/stru/katedry/fyzika/prof/Tesar/diplomky/ obr dopl optika/optika/dalekohledy/dalsi typy/hvezd/new sc.jpg • Obr´ azek 2.36: Parabolick´e bezbeˇcnostn´ı zrcadlo (listopad 2012) pˇrevzato z: http://www.patera-zrcadla.cz/ • Obr´ azek 3.4: Archim´ed˚ uv ˇsroub (leden 2013) pˇrevzato z: http://hydroscrew.blogspot.cz/2011/09/archimedes-screw-pumparchimedes.html • Obr´ azek 3.7: R˚ uzn´e typy osov´ ych ˇrez˚ u ˇsroub˚ u (listopad 2012) pˇrevzato a upraveno z: http://kag.upol.cz/juklova/4rocnik/SRP5.html • Obr´ azek 3.8: Hmoˇzdinka s ostr´ ym z´avitem (listopad 2012) pˇrevzato z: http://www.pk-fischer.cz/content/images/eshop/52389.jpg • Obr´ azek 3.9: V´alcov´a fr´eza (listopad 2012) pˇrevzato z: http://www.kovonastroje.cz/out/pictures/z2/img5938 2 d fe18db5e815e6ffea0bd57a8774843e14d62e09.jpg • Obr´ azek 3.10: Kovov´a ˇspona po obr´abˇen´ı (listopad 2012) pˇrevzato z: http://nd01.jxs.cz/431/534/3a6f6b53ec 33197378 o2.jpg • Obr´ azek 3.11: V´ yvrtka na v´ıno (z´aˇr´ı 2012) pˇrevzato z: http://www.hunting-shop.cz/Obrazky/Zbozi/vyvrtka--big.jpg • Obr´ azek 3.12: Toˇcit´e schodiˇstˇe v Louvre (z´aˇr´ı 2012) pˇrevzato z: http://www.pbase.com/chammett/image/143241253 ˇ matic´ı kuliˇckov´eho ˇsroubu (ˇcervenec 2012) pˇrevzato • Obr´ azek 3.17: Rez a upraveno z: vlevo: http://www.mmspektrum.com/clanek/volba-kulickovych90
sroubu.html vpravo: http://www.kks.zcu.cz/pro-studenty-KKS/Studijni podklady/PRIRUCKA/CADIS/default.htm • Obr´ azek 3.18: Pruˇzina tlumiˇce (listopad 2012) pˇrevzato z: http://www.koladraci.cz/user/shop/category/1083.jpg • Obr´ azek 4.4: Kostel Neposkvrnˇen´eho poˇcet´ı Panny Marie (z´aˇr´ı 2012) pˇrevzato z: http://www.farnoststrasnice.cz/farnost.php?doc=kostel.htm • Obr´ azek 2.8: P˚ udorys budovy a vnitˇrn´ı prostory chr´amu (z´aˇr´ı 2012) pˇrevzato z: http://www.farnoststrasnice.cz/farnost.php?doc=kostel.htm • Obr´ azek 4.9: Lamin´arn´ı proudˇen´ı (ˇr´ıjen 2012) pˇrevzato a upraveno z: http://www.techmania.cz/edutorium/data/fil 0976.gif • Obr´ azek 4.10: Pˇrehrada Mooserboden, Rakousko (listopad 2012) pˇrevzato z: http://i656.photobucket.com/albums/uu286/DrMcNamara1/Namara/ mooserboden2-1.jpg ˇ • Obr´ azek 4.13: Zed’ n´arod˚ u, Ath´eny-Recko (kvˇeten 2012) pˇrevzato z: http://mdg.vsb.cz/jdolezal/StudOpory/Geometrie/Plochy/ ZborcenePlochy/Konoidy/Realizace/PrimyVlnkovyKonoid.html • Obr´ azek 4.15: Vinaˇrstv´ı Bodegas Ysios (kvˇeten 2012) pˇrevzato z: http://mdg.vsb.cz/jdolezal/StudOpory/Geometrie/Plochy/ ZborcenePlochy/Konoidy/Realizace/PrimyVlnkovyKonoid.html
91
Pˇ r´ılohy
92
PŘÍLOHA A Pracovní list – rotační plochy Na obrázku vpravo jsou tři rotační plochy, které nazýváme: a) ……………………………………………………………. b) ……………………………………………………………. c) ……………………………………………………………. Jakými prvky jsou určeny rotační plochy? ………………………………………………………………………………………………………………………………………….. Co platí pro rotační plochy vzhledem k ose rotačního pohybu? ………………………………………………………………………………………………………………………………………….. Jak nazýváme řez rovinou, která prochází osou rotačního pohybu? ………………………………………………………………………………………………………………………………………….. Jaké rovinné křivky získáme, provedeme-li osový řez rotačních ploch na obrázku vpravo? (Tyto řezy na obrázcích vyznačte odlišnou barvou.) a) ……………………………………………………………. b) ……………………………………………………………. c) ……………………………………………………………. Co je rovnoběžková kružnice? (Vysvětlete pojem.) ………………………………………………………………………………………………………………………………………….. Pro rotační plochy rozlišujeme tři významné rovnoběžkové kružnice, jak je nazýváme? (Vyznačte na obrázku vpravo.) a) ……………………………………………………………. b) ……………………………………………………………. c) …………………………………………………………….
92
Kulová plocha
Co je nárysem a půdorysem kulové plochy? ………………………………………………………………………………………………………………………………………….. Jaká rovinná křivka je hlavním meridiánem kulové plochy, je-li rovina osového řezu rovnoběžná s nárysnou a jak se tato křivka zobrazí v náryse a půdoryse? ………………………………………………………………………………………………………………………………………….. Které z rovnoběžkových kružnic (hrdlo, rovník, kráter) má kulová plocha? (Zakreslete do obrázku níže.) …………………………………………………………………………………………………………………………………………..
Jaké praktické využití má kulová plocha? (Uveďte alespoň 5 příkladů.) ………………………………………………………………………………………………………………………………………….. ………………………………………………………………………………………………………………………………………….. S využitím počítače a internetu vyhledejte, proč je na kupole hvězdáren či kupole kostelů využívána právě část kulové plochy (polokoule)? ………………………………………………………………………………………………………………………………………….. …………………………………………………………………………………………………………………………………………..
93
1) Jaké budou délky oblouků sférického trojúhelníku, jestliže víme, že roviny r, σ a ϕ jsou po dvou na sebe kolmé, poloměr kulové plochy je 30 metrů (kružnice v rovinách r, σ) a poloměr kružnice, která je řezem kulové plochy rovinou ϕ je 10 metrů? Načrtněte pomocné obrázky k výpočtům.
2) Sestrojte půdorys bodu M ležícího na rotační ploše, je-li tato rotační plocha dána osou rotačního pohybu o a hlavním meridiánem plochy m. (webové stránky: Kulová plocha – Příklad 1)
94
· · · ·
Bodem M vedeme pomocnou rovinu a; a ^ o (nárys – přímka a2). Průnik roviny a s meridiánem – pomocný bod M‘ (nárys – bod M‘2 navíc vzdálenost bodu M‘2 od osy o2 je rovna poloměru rovnoběžkové kružnice). Průnik roviny a s rotační plochou: rovnoběžková kružnice (půdorys – kružnice rM1). Odvodíme půdorys M1 bodu M (získáme dva body M1a, M1b – leží na rovnoběžkové kružnici rM1).
3) Sestrojte jeden bod řezu kulové plochy, je-li dána osa o, meridián m a rovina řezu r, viz následující obrázek. (webové stránky: Kulová plocha – Příklad 2)
· · · · · ·
Zvolíme bod A v rovině r (pro jednoduchost A2 Î n2r). Bodem A povedeme pomocnou rovinu a; a ^ o (nárys – přímka a2). Průnik rovin r a a (horizontální hlavní přímka; půdorys - přímka h1r , platí h2r = a2). Průnik roviny a s meridiánem – pomocný bod M‘ (slouží opět k určení poloměru rovnoběžkové kružnice). Průnik roviny a s rotační plochou je opět rovnoběžková kružnice (v půdoryse se promítne do kružnice rM1). Průsečíky horizontální hlavní přímky h1r s rovnoběžkovou kružnicí rM1 (získáme půdorysy X1 a Y1 bodů řezu X a Y, které odvodíme do nárysu).
Postup se opakuje, dokud nezískáme dostatečný počet bodů řezu. Těmito body aproximujeme spojitou křivku. Další body řezu lze ukázat ve vyřešeném příkladu v programu Geogebra. Pohybováním bodem A obdržíme jednotlivé body řezu. Řezem kulové plochy je kružnice, která se promítá do elipsy.
95
4) Analogicky jako u předchozího příkladu sestrojte jeden bod řezu kulové plochy, je-li dána osa o, meridián m a rovina řezu r, viz následující obrázek. (webové stránky: Kulová plocha – Příklad 3)
· · · · · ·
Zvolíme opět bod A v rovině r (pro jednoduchost A2 Î n2r). Bodem A povedeme pomocnou rovinu a; a ^ o (nárys – přímka a2). Průnik rovin r a a (horizontální hlavní přímka; půdorys - přímka h1r , platí h2r = a2). Průnik roviny a s meridiánem – pomocný bod M‘ (slouží opět k určení poloměru rovnoběžkové kružnice). Průnik roviny a s rotační plochou je opět rovnoběžková kružnice (v půdoryse se promítne do kružnice rM1). Průsečíky horizontální hlavní přímky h1r s rovnoběžkovou kružnicí rM1 (získáme půdorysy X1 a Y1 bodů řezu X a Y, které odvodíme do nárysu).
Další body řezu lze opět ukázat v již vyřešeném příkladu v programu Geogebra při pohybování bodem A. Řezem kulové plochy bude opět kružnice, která se promítá v nárysu do elipsy a v půdorysu do úsečky neboť rovina r je kolmá na půdorysnu.
5) Jak zapíšete vektorové vyjádření kulové plochy, jestliže souřadnice středu kulové plochy jsou S = [0, 0, 2], poloměr kulové plochy r = 3? (Jako osu rotace volte souřadnicovou osu z.) Načrtněte obrázek.
96
1) Jakou rovinnou křivku získáte řezem kulové plochy? (správnou odpověď zakroužkujte) a) Elipsa b) Kružnice c) Kruhový oblouk d) Jiná ……………………………………………
2) Na kterém z následujících obrázků vznikne kulová plocha, je-li dána tvořící kružnice k a osa rotace o? (správnou odpověď zakroužkujte)
3) Sestrojte 4 body řezu kulové plochy rovinami r, σ takových, že obě procházejí středem kulové plochy a obě jsou kolmé na půdorysnu. Zároveň jsou kolmé na sebe navzájem. Dále sestrojte 2 body řezu kulové plochy rovinou ϕ, která je rovnoběžná s půdorysnou, viz obrázek níže. Úkolem je sestrojit sférický trojúhelník, proto jsou důležité jen ty části řezu, které se nachází nad rovinou ϕ. (webové stránky: Kulová plocha – Příklad 4) Nejprve proveďte řez rovinou ϕ: Rovina ϕ je rovnoběžná s půdorysnou (v půdoryse se řez touto rovinou promítne do rovnoběžkové kružnice a v náryse do úsečky).
97
·
Průsečíky roviny ϕ s kulovou plochou (dva body B2 a B‘2 určují rovnoběžkovou kružnici – v náryse úsečka B2B‘2).
·
Odvodíte půdorys rB1 rovnoběžkové kružnice (kružnice o poloměru r =
a středem o1).
ᇱ
Proveďte řez rovinou s a r: Postup pro obě roviny je zcela analogický, proto jednotlivé kroky můžete konstruovat souběžně pro obě roviny. · · · · · · ·
Zvolíme bod A v rovině s (pro jednoduchost A2 Î n2s; volíme nad rovinou ϕ). Bodem A povedeme pomocnou rovinu a; a ^ o (nárys – přímka a2). Průnik rovin s a a (horizontální hlavní přímka; půdorys – přímka h1s, dále h1s=a2). Průnik rovin r a a (horizontální hlavní přímka; půdorys – přímka h1r, dále h1s=a2). Průnik roviny a s kulovou plochou – pomocný bod M‘ (slouží opět k určení poloměru rovnoběžkové kružnice). Průnik roviny a s rotační plochou je opět rovnoběžková kružnice (v půdoryse se promítne do kružnice rM1). Průsečíky horizontálních hlavních přímek h1s a h1r s rovnoběžkovou kružnicí rM1 (získáme půdorysy X1 a Y1 bodů řezu X a Y, které odvodíme do nárysu).
Postup opakujte, dokud nezískáte požadovaný počet bodů řezu a těmito body aproximujte spojitou křivku. Celý sférický trojúhelník je v řešení v programu Geogebra. Při pohybu bodem A je vidět, že body řezu opisují strany sférického trojúhelníku. Průnikem těchto tří rovin s kulovou plochou bude jeden ze sférických trojúhelníků, který byl využit architektem J. Utzonem k zastřešení budovy Státní opery v Sydney.
98
Anuloid
Jaké typy anuloidu rozlišujeme? ………………………………………………………………………………………………………………………………………….. Co je hlavním kritériem pro rozlišení jednotlivých typů anuloidu v předchozí otázce? ………………………………………………………………………………………………………………………………………….. Jaké rovnoběžkové kružnice můžeme nalézt na anuloidu (rovník, kráter, hrdlo)? (Zakreslete do obrázku vpravo odlišnými barvami a popište.) ………………………………………………………………………………….. ………………………………………………………………………………….. Jak nazýváme křivky, které vznikají řezem anuloidu (jednou z křivek je i Bernoulliova lemniskáta? ……………………………………………………………………………………..
99
1) Odvoďte nárys bodu A ležícího na anuloidu. Anuloid je dán osou rotačního pohybu o a svým nárysem a půdorysem. (webové stránky: Anuloid – Příklad 1)
· · · ·
Bod A se pohybuje po rovnoběžkové kružnici rA (půdorys – kružnice rA1 se středem o1 a poloměrem o1A1). Průnik rovnoběžkové kružnice s rovinou hlavního meridiánu je bod A‘ (půdorys – bod A‘1, který následně odvodíme do nárysu). Bodem A‘ sestrojíme pomocnou rovinu a; a ^ o (nárys - přímka a2). Odvodíme půdorys A1 bodu A do nárysu (leží v rovině a Þ A2 Î a2).
2) Narýsujte tečnou rovinu t anuloidu procházející bodem A, který je umístěn dle následujícího obrázku. (webové stránky: Anuloid – Příklad 2)
100
· · · · · · · · ·
Bod A se pohybuje po rovnoběžkové kružnici rA (půdorys – kružnice rA1 se středem o1 a poloměrem o1A1). Průnik rovnoběžkové kružnice s rovinou hlavního meridiánu je bod A‘ (půdorys – bod A‘1, který následně odvodíme do nárysu). Bodem A‘ sestrojíme pomocnou rovinu a; a ^ o (nárys - přímka a2), která se zároveň shoduje s nárysem t2rA tečny rovnoběžkové kružnice – jedna z tečen určující tečnou rovinu). Odvodíme půdorys A1 bodu A do nárysu (leží v rovině a - A2 Î a2). Sestrojíme půdorys t1rA tečny trA (tečna k rovnoběžkové kružnici rA) bodem A, nárys t2rA tečny rovnoběžkové kružnice se shoduje s přímkou a2. Sestrojíme půdorys t1m tečny tm (tečna k meridiánu) bodem A (přímka procházející body o1 a A1). V náryse sestrojíme pomocnou tečnu k hlavnímu meridiánu bodem A‘2 (průsečík této pomocné tečny s osou rotačního pohybu je bod M). Sestrojíme nárys t2m tečny tm (přímka procházející body A2 a M2). Tečnou rovinu určuje tečna k meridiánu a zároveň tečna k rovnoběžkové kružnici.
3) Sestavte vektorové vyjádření anuloidu jestliže za osu rotace zvolíte souřadnicovou osu z. Poloměr tvořící kružnice je r = 3 a střed tvořící kružnice S = [0, n, 0] n Î . Tvořící křivka leží v rovině yz. Číslo n nahraďte vhodným číslem tak, aby vznikly všechny tři typy anuloidu, načrtněte obrázky.
101
4) Sestrojte alespoň 4 body řezu anuloidu rovinou r, viz následující obrázek. (webové stránky: Anuloid – Příklad 3) · · · · · ·
Zvolíme opět bod A v rovině r (pro jednoduchost A2 Î n2r). Bodem A povedeme pomocnou rovinu a; a ^ o (nárys – přímka a2). Průnik rovin r a a (horizontální hlavní přímka; půdorys - přímka h1r , platí h2r = a2). Průnik roviny a s meridiánem – pomocné body M a M‘ (slouží k určení poloměru rovnoběžkových kružnic). Průnik roviny a s rotační plochou jsou dvě rovnoběžkové kružnice (v půdoryse se promítnou do kružnic rM1 a rM‘1). Průsečíky horizontální hlavní přímky h1r s rovnoběžkovými kružnicemi rM1 a rM‘1 (získáme půdorysy X1, Y1, T1, U1 bodů řezu X, Y, T a U, které odvodíme do nárysu).
Další body řezu lze opět ukázat v již vyřešeném příkladu v programu Geogebra pohybováním bodem A.
102
1) Pomocí počítače a internetu nalezněte alespoň 3 příklady praktického využití anuloidu v různých oblastech?
2) Na kterém z následujících obrázků vznikne anuloid, melanoid a axoid. Jsou-li tvořící kružnice k a osa rotace o zadané následujícími způsoby? (Správnou odpověď zakroužkujte a popište, který typ anuloidu na daném obrázku vznikne.)
103
3) Sestrojte alespoň 4 body řezu anuloidu tečnou rovinou t. Ta bude procházet bodem A, jehož půdorys leží na hrdlové rovnoběžkové kružnici. Tvořící kružnice rotuje kolem osy o, viz následující obrázek. (webové stránky: Anuloid – Příklad 4) Postupujte zcela analogicky jako u předchozích příkladů vyložených během výuky. Konkrétně je tento příklad spojením 2. a 4. příkladu. Stačí 4 body řezu, protože celkové řešení lze ukázat opět v programu Geogebra, pokud budeme pohybovat bodem B. V tomto konkrétním příkladu bude řezem anuloidu speciální rovinná křivka tzv. Bernoulliova lemniskáta, o které jsme se zmínili během výkladu této plochy.
· · · · ·
·
Sestrojte tečnou rovinu t, která je určena tečnou k rovnoběžkové kružnici a tečnou k meridiánu (viz postup příkladu 2) – půdorys t1m tečny k meridiánu bodem A splývá s půdorysem A1 bodu A. Zvolte bod B (na hlavním meridiánu plochy). Bodem B veďte pomocnou rovinu a; a ^ o (nárys – přímka a2). Průnik rovin t a a (půdorys – horizontální hlavní přímka h1t ; přímka se shoduje s půdorysem tečny k rovnoběžkové kružnici bodu A). Průnik roviny a s meridiánem – pomocné body, které slouží k určení poloměru rovnoběžkových kružnic). Průsečíky horizontální hlavní přímky h1t s rovnoběžkovými kružnicemi pomocných bodů (získáme půdorysy X1, Y1, T1, U1 bodů řezu X, Y, T a U, které odvodíme do nárysu).
104
Jednodílný rotační hyperboloid
Pohybem jakých rovinných křivek lze vytvořit plochu jednodílného rotační hyperboloidu? ………………………………………………………………………………………………………………………………………….. Má jednodílný rotační hyperboloid některou z těchto rovnoběžkových kružnic – hrdlo, kráter, rovník? (Zakreslete do obrázku vpravo odlišnými barvami a popište.) …………………………………………………………………………………….. Co je osou rotačního pohybu, pokud plocha vzniká rotací hyperboly? …………………………………………………………………………………….. Pokud plocha vzniká rotací přímky, jakou polohu má tato přímka vůči ose? ………………………………………………………………………………………………………………………………………….. S využitím počítače a internetu zjistěte, proč je pro chladící věže využívána právě plocha jednodílného hyperboloidu. ………………………………………………………………………………………………………………………………………….. …………………………………………………………………………………………………………………………………………..
1) Odvoďte půdorys bodu M, který leží na rotačním jednodílném hyperboloidu. Plocha je dána osou rotačního pohybu o a svým nárysem a půdorysem. (webové stránky: Jednodílný rotační hyperboloid – Příklad 1)
105
· · · ·
Bodem M vedeme pomocnou rovinu a; a ^ o (nárys – přímka a2). Průnik roviny a s meridiánem – pomocný bod M‘ (nárys – bod M‘2 navíc vzdálenost bodu M‘2 od osy o2 je rovna poloměru rovnoběžkové kružnice). Průnik roviny a s rotační plochou: rovnoběžková kružnice (půdorys – kružnice rM1). Odvodíme půdorys M1 bodu M (získáme dva body M1a, M1b – leží na rovnoběžkové kružnici rM1).
2) Sestrojte 2 body řezu jednodílného rotačního hyperboloidu rovinou r, viz následující obrázek. (webové stránky: Jednodílný rotační hyperboloid – Příklad 2) · · · · · ·
Zvolíme bod A v rovině r (pro jednoduchost A2 Î n2r). Bodem A povedeme pomocnou rovinu a; a ^ o (nárys – přímka a2). Průnik rovin r a a (horizontální hlavní přímka; půdorys - přímka h1r , platí h2r = a2). Průnik roviny a s meridiánem – pomocný bod M‘ (slouží opět k určení poloměru rovnoběžkové kružnice). Průnik roviny a s rotační plochou je opět rovnoběžková kružnice (v půdoryse se promítne do kružnice rM1). Průsečíky horizontální hlavní přímky h1r s rovnoběžkovou kružnicí rM1 (získáme půdorysy X1 a Y1 bodů řezu X a Y, které odvodíme do nárysu).
Další body řezu lze opět ukázat v již vyřešeném příkladu v programu Geogebra pokud budeme pohybovat bodem A.
106
3) Napište parametrické vyjádření jednodílného rotačního hyperboloidu, je-li tvořící křivkou hyperbola ܪሺݐሻ ൌ ቀ vedlejší poloosa hyperboly.
௦ ௧
ǡ ܾ ݐ ݊ܽݐǡ Ͳቁ a dále platí, že a je hlavní poloosa a b je
1) Uveďte alespoň 3 příklady praktického využití jednodílného rotačního hyperboloidu, které naleznete s využitím různých zdrojů (internet, knihy, vlastní zkušenosti).
107
2) Které z následujících tvrzení o jednodílném rotačním hyperboloidu je správné. a) Jednodílný rotační hyperboloid vznikne rotací kolem osy paraboly. b) Jednodílný rotační hyperboloid není souměrný podle osy rotačního pohybu. c) Jednodílný rotační hyperboloid lze vytvořit pouze rotací hyperboly. d) Jednodílný rotační hyperboloid vznikne rotací kolem vedlejší osy hyperboly.
3) V pravoúhlé axonometrii, zadané obrázkem níže, sestrojte jednodílný rotační hyperboloid, jehož podstava leží v rovině xy a osou rotačního pohybu bude osa z. Tento jednodílný rotační hyperboloid, vzniká rotací úsečky AB. Souřadnice bodů jsou A = [4, 0, 0], B = [0, 4, 8]. Sestrojte jednotlivé polohy úsečky otáčením po 90°. (webové stránky: Jednodílný rotační hyperboloid – Příklad 3)
· · · · · · · · ·
Osy x, y a z se v pravoúhlé axonometrii promítají do výšek axonometrického trojúhelníku XYZ. Rovinu xy otočíte kolem přímky XY a získáte otočené osy x0 a y0 (využijte Thaletovu kružnici). Pomocí otočených os, na kterých se vynášejí skutečné jednotky, sestrojíte půdorysy bodů A1 a B1. Rovinu xz otočíte kolem přímky XZ a získáte otočené osy x0 a z0 (opět využijte Thaletovu kružnici). Pomocí otočené osy z0 sestrojte axonometrický průmět bodu B (bod A = A1). Jednodílný rotační hyperboloid vzniká rotací úsečky AB. Přímka XY je osou afinity oA. V otočení zvolte bod AV0. V osové afinitě převeďte bod AV0 na bod AV1.
108
· ·
Zcela analogicky sestrojte bod BV0 a BV1 (úhel AV0O0 BV0 je roven 90°) – bod BV1 je nutné převést do druhé podstavy ve výšce 8 (vznikne tak bod B’V). Další poloha úsečky AB je úsečka AV1B’V.
Pohybem bodu AV0 lze ve vyřešeném příkladu v Geogebře ukázat, jak budou vypadat další polohy úsečky AB.
Rotační paraboloid
Pohybem jaké rovinné křivky vznikne rotační paraboloid? ………………………………………………………………………………………………………………………………………….. Jakou polohu má vrchol tvořící křivky vůči ose rotačního pohybu? …………………………………………………………………………………………………………………………………………. Co se stane s plochou rotačního paraboloidu, pokud budeme měnit koeficienty a, b, c ve vyjádření tvořící křivky. ………………………………………………………………………………………………………………………………………….. ………………………………………………………………………………………………………………………………………….. ………………………………………………………………………………………………………………………………………….. Má plocha rotačního paraboloidu některou z následujících rovnoběžkových kružnic (rovník, kráter, hrdlo)? Pokud ano, vyznačte je na obrázku v pravo. ………………………………………………………………………………………………. Zjistěte pomocí internetu, jak principielně funguje tzv. „akustický telefon“ (dva rotační paraboloidy proti sobě) ……………………………………………………………………………………………….. ………………………………………………………………………………………………………………………………………….
109
1) Sestrojte nárys bodu M, který leží na ploše rotačního paraboloidu. Rotační paraboloid je určen osou rotačního pohybu o a svým půdorysem a nárysem. (webové stránky: Rotační paraboloid – Příklad 1)
· · · ·
Bod M se pohybuje po rovnoběžkové kružnici rM (půdorys – kružnice rM1 se středem o1 a poloměrem o1M1). Průnik rovnoběžkové kružnice s rovinou hlavního meridiánu je bod M‘ (půdorys – bod M‘1, který následně odvodíme do nárysu). Bodem M‘ sestrojíme pomocnou rovinu a; a ^ o (nárys - přímka a2). Odvodíme půdorys M1 bodu M do nárysu (leží v rovině a Þ A2 Î a2).
2) Sestrojte alespoň 2 body řezu rotačního paraboloidu rovinou s, viz následující obrázek. (webové stránky: Rotační paraboloid – Příklad 2)
110
· · · · · ·
Zvolíme bod A v rovině s (pro jednoduchost A2 Î n2s). Bodem A povedeme pomocnou rovinu a; a ^ o (nárys – přímka a2). Průnik rovin s a a (horizontální hlavní přímka; půdorys - přímka h1s, platí h2s= a2). Průnik roviny a s meridiánem – pomocný bod M‘ (slouží opět k určení poloměru rovnoběžkové kružnice). Průnik roviny a s rotační plochou je opět rovnoběžková kružnice (v půdoryse se promítne do kružnice rM1). Průsečíky horizontální hlavní přímky h1s s rovnoběžkovou kružnicí rM1 (získáme půdorysy X1 a Y1 bodů řezu X a Y, které odvodíme do nárysu).
Další body řezu lze opět ukázat v již vyřešeném příkladu v programu Geogebra pokud budeme pohybovat bodem A.
1) Sestrojte alespoň 4 body řezu rovinou s, viz následující obrázek. (webové stránky: Rotační paraboloid – Příklad 3) · · · ·
Zvolíme bod A v rovině s (pro jednoduchost A2 Î n2s). Bodem A povedeme pomocnou rovinu a; a ^ o (nárys – přímka a2). Průnik rovin s a a (horizontální hlavní přímka; půdorys - přímka h1s, platí h2s= a2). Průnik roviny a s meridiánem – pomocný bod M‘ (slouží opět k určení poloměru rovnoběžkové kružnice).
111
· · ·
Průnik roviny a s rotační plochou je opět rovnoběžková kružnice (v půdoryse se promítne do kružnice rM1). Průsečíky horizontální hlavní přímky h1s s rovnoběžkovou kružnicí rM1 (získáme půdorysy X1 a Y1 bodů řezu X a Y, které odvodíme do nárysu). Postup ještě jednou opakujte.
Další body řezu lze opět ukázat v již vyřešeném příkladu v programu Geogebra pokud budeme pohybovat bodem A.
2) Sestrojte alespoň 4 body řezu rovinou s, viz následující obrázek. (webové stránky: Rotační paraboloid – Příklad 4) · · · · · · ·
Zvolíme bod A v rovině s (pro jednoduchost A2 Î n2s). Bodem A povedeme pomocnou rovinu a; a ^ o (nárys – přímka a2). Průnik rovin s a a (horizontální hlavní přímka; půdorys - přímka h1s, platí h2s= a2). Průnik roviny a s meridiánem – pomocný bod M‘ (slouží opět k určení poloměru rovnoběžkové kružnice). Průnik roviny a s rotační plochou je opět rovnoběžková kružnice (v půdoryse se promítne do kružnice rM1). Průsečíky horizontální hlavní přímky h1s s rovnoběžkovou kružnicí rM1 (získáme půdorysy X1 a Y1 bodů řezu X a Y, které odvodíme do nárysu). Postup ještě jednou opakujte.
Další body řezu lze opět ukázat v již vyřešeném příkladu v programu Geogebra pokud budeme pohybovat bodem A.
112
3) Na kterém z následujících obrázků vznikne rotační paraboloid. Tvořící křivka k a osa rotačního pohybu o jsou zadané následujícími způsoby? (správnou odpověď zakroužkujte)
113
PŘÍLOHA B Pracovní list – šroubové plochy Jaké pohyby musíme spojit, aby vznikl šroubový pohyb? ………………………………………………………………………………………………………………………………………….. Na obrázcích vlevo jsou naznačeny principy vzniku dvou různých šroubových ploch. Jakými prvky obecně je určena šroubová plocha? ………………………………………………………… ………………………………………………………… ……………..………………………………………… ………………………………………………………… ………………………………………………………………………………………………………………………………………….. Co je redukovaná výška závitu? (Vysvětlete pojem.) ………………………………………………………………………………………………………………………………………….. ………………………………………………………………………………………………………………………………………….. Jak nazýváme řez rovinou, která prochází osou šroubového pohybu? ………………………………………………………………………………………………………………………………………….. Jak nazýváme řez rovinou, která je kolmá na osu šroubového pohybu? ………………………………………………………………………………………………………………………………………….. Na následujících obrázcích určete, o jaký ze dvou základních typů šroubových ploch se jedná (přímková šroubová plocha, cyklická šroubová plocha?
………………………………………
………………………...
114
……………………………………
…………………..
Pravoúhlá uzavřená přímková šroubová plocha
Pohybem jaké rovinné křivky vytvoříme helikon („schodovou“ plochu)? ………………………………………………………………………………………………………………………………………….. Jakou polohu má tvořící křivka vůči ose šroubového pohybu? ………………………………………………………………………………………………………………………………………….. Do jakých ploch (kromě šroubových) lze tuto plochu zařadit a proč? ………………………………………………………………………………………………………………………………………….. ………………………………………………………………………………………………………………………………………….. S využitím internetu uveďte alespoň dva příklady, kde lze využít pravoúhlou uzavřenou přímkovou šroubovou plochu (kromě schodiště)? ………………………………………………………………………………………………………………………………………….. Lednice, Bouzov, to jsou zámky, v nichž mají schodiště levotočivý směr. S využitím internetu nalezněte důvod, proč se schodiště na zámcích a hradech stavěla levotočivá a uveďte ještě alespoň dva příklady (zámku nebo hradu), kde je tomu také tak. (!!! Pozor, co je geometricky levotočivé, stavitelé nazývají pravotočivé, aby vás to na internetu nemátlo.) ………………………………………………………………………………………………………………………………………….. ………………………………………………………………………………………………………………………………………….. ………………………………………………………………………………………………………………………………………….. Zámek Lednice:
Zámek Bouzov:
115
1) V následující axonometrii sestrojte schodovou plochu, která vzniká šroubovým pohybem úsečky AB o souřadnicích bodů A = [4, 0, 0], B = [0, 0, 0] a výška jednoho závitu v = 6. Šroubová plocha je levotočivá. (webové stránky: Schodová plocha – Příklad 1)
· · · · · · · · · ·
Osy x, y a z se v pravoúhlé axonometrii promítají do výšek axonometrického trojúhelníku XYZ. V průsečíku os získáme bod B1 a zároveň bod B. Rovinu xy otočíme kolem přímky XY a získáme otočené osy x0 a y0 (využijte Thaletovu kružnici). Přímka XY je osou afinity oA. Pomocí otočených os, na kterých se vynášejí skutečné jednotky a osové afinity sestrojíme půdorys bodu A1. Pravoúhlá uzavřená přímková šroubová plocha vzniká šroubovým pohybem úsečky AB. Rovinu xz otočíme kolem přímky XZ a získáme otočenou osu z0 (využijte Thaletovu kružnici), pomocí které vyneseme výšku jednoho závitu (|BBV| = 6). V otočené rovině xy zvolíme bod A‘0. V osové afinitě převedeme bod A‘0 na bod APom od kterého budeme vynášet výšku, kterou vypočítáme podle vzorce uvedeného ve výukových materiálech. Po vynesení této vypočítané výšky získáme bod A‘ a zcela analogicky sestrojíme bod B‘.
116
·
Další poloha úsečky AB je úsečka A‘B‘.
Pro všechna řešení lze opět využít řešení v programu Geogebra. Pokud budeme pohybovat bodem A‘0, můžeme sledovat další polohy úsečky AB.
2) Na kterém z následujících obrázků vznikne pravoúhlá uzavřená přímková šroubová plocha a vysvětlete proč. Víme že, k popř. p je tvořící křivka a o je osa šroubového pohybu? a)
b)
c)
1) Které z následujících tvrzení o schodové ploše je správně? a) Schodová plocha vzniká rotačním pohybem přímky. b) Schodová plocha je tvořena přímkou, která neprochází osou šroubového pohybu a je s touto osou mimoběžná. c) Schodovou plochu řadíme mezi cyklické šroubové plochy. d) Schodová plocha je tvořena přímkou, která prochází osou šroubového pohybu a je na tuto osu kolmá. 2) V Mongeově promítání sestrojte jeden závit schodové plochy, která vznikne šroubovým pohybem úsečky XY. Body X a Y mají následující souřadnice X = [0, 4, 0], Y = [2.5, 4, 0]. Šroubový pohyb (o, v0, +), je určen osou o ^ na půdorysnu, redukovaná výška závitu v0 = 1 a pravotočivým směrem. (webové stránky: Schodová plocha – Příklad 2)
117
· ·
· ·
· ·
Podle pravidel Mongeova promítání vyneste body X, Y a příslušnou úsečku XY. Bod X se bude pouze posouvat ve směru osy a bod Y bude konat šroubový pohyb (podstava válce, podél kterého se bude bod Y šroubovat, je v půdoryse určen kružnicí k1 se středem X1 a poloměrem |X1Y1|. Na obvodu podstavy válce zvolíme bod Y‘ (bod Y‘1 Î k1). Dále provedeme buďto rozvinutí šroubovice a zjistíme, do jaké výšky vystoupá bod A vzhledem k oblouku, který přísluší úhlu a nebo opět vypočítáme výšku přímo ze vzorce, uvedeného ve výukových materiálech . Na základě této výšky sestrojíme nárys Y‘2 bodu Y‘ a analogicky nárys X‘2 bodu X‘ Další poloha úsečky XY je dána úsečkou X’Y‘.
Pro všechna řešení lze opět využít program Geogebra. Pokud budeme pohybovat bodem Y‘1, můžeme sledovat další polohy úsečky XY.
118
Kosoúhlá uzavřená přímková šroubová plocha
Pohybem jaké rovinné křivky vytvoříme vývrtkovou plochu? ………………………………………………………………………………………………………………………………………….. Jakou polohu má tvořící křivka vůči ose šroubového pohybu? ………………………………………………………………………………………………………………………………………….. Kde je možné využít kosoúhlou uzavřenou přímkovou šroubovou plochu (najděte alespoň dva příklady)? ………………………………………………………………………………………………………………………………………….. V následujícím obrázku načrtněte tvořící křivku vývrtkové plochy, vyznačte osu šroubového pohybu a načrtněte několik dalších poloh tvořící křivky (povrchové přímky plochy).
Využijte internetu a pokuste se nalézt důvod, proč je pro různé vrtáky využívána kosoúhlá uzavřená přímková šroubová plocha a ne pravoúhlá. …………………………………………………………………………………………………………………………………………..
119
1) Sestrojte alespoň 1 bod řezu kosoúhlé uzavřené přímkové šroubové plochy rovinou r, která je kolmá na osu šroubového pohybu. Plocha vznikne šroubováním úsečky AB se souřadnicemi A = [0, 5, 6], B = [-6, 5, 0] a šroubovým pohybem (o, v0, +), viz následující obrázek. (webové stránky: Vývrtková plocha – Příklad 1)
· · · · ·
Podle pravidel Mongeova promítání vyneste body X a Y a příslušnou úsečku XY, kterou označíme k (tvořící křivka). Na tvořící křivce zvolíme bod X (například X1 Î k1 a odvodíme nárys X2). Dále provedeme rozvinutí šroubovice a zjistíme, jaký oblouk přísluší vzdálenosti bodu X od roviny r (vzdálenost X2 od PomVX). Tento oblouk následně naneseme na obvod podstavy válce, podél něhož se bod X šroubuje a získáme půdorys X‘1 bodu X‘. Nárys X‘2 leží v rovině r.
Budeme-li pohybovat bodem X1, můžeme sledovat další body řezu kosoúhlé uzavřené přímkové šroubové plochy.
120
Tímto příčným řezem bude část rovinné křivky, která se nazývá „evolventa šroubovice“. Evolventa křivky vzniká následujícím způsobem. Na křivce zvolíme jeden pevný bod například X. Dále budeme volit další body na křivce X1, X2,… a v každém tomto bodě zkonstruujeme tečnu ke křivce. Na tečnu bodem X1 budeme nanášet délku oblouku mezi body X a X1. Na tečnu bodem X2 budeme nanášet délku oblouku mezi body X a X2 atd. Body, které vzniknou nanesením délek příslušných oblouků, jsou body evolventy. Na následujících obrázcích jsou zobrazeny části evolventy šroubovice. Vlevo je část evolventy šroubovice, kterou budeme konstruovat při řešení tohoto příkladu v programu Geogebra řezem rovinou r, viz zadání výše. Vpravo je naznačen způsob tvorby evolventy šroubovice.
2) Na kterém z následujících obrázků vznikne kosoúhlá uzavřená přímková šroubová plocha a vysvětlete proč, víme-li že, k popř. p je tvořící křivka a o je osa šroubového pohybu? a)
b)
c)
1) Vysvětlete, jaký je rozdíl mezi schodovou a vývrtkovou plochou a načrtněte jejich obrázky?
121
2) Sestrojte jeden závit šroubu s ostrým závitem. Tento závit vzniká šroubováním dvou úseček. Úsečka AB se souřadnicemi bodů A = [0, 5, 2], B = [2, 5, 0] a úsečka CD s body C = [0, 5, -2], D = [2, 5, 0]. Šroubový pohyb (o, v0, +), je určen osou o ^ na půdorysnu, redukovaná výška závitu v0 = 1 a pravotočivým směrem. (webové stránky: Vývrtková plocha – Příklad 2)
· ·
·
Podle pravidel Mongeova promítání vyneste body A, B, C a D a příslušné úsečky AB a CD. Body A a C se budou pouze posouvat ve směru osy a body B a D budou konat šroubový pohyb (podstava válce, podél kterého se budou body B a D šroubovat je v půdoryse určen kružnicí k1 se středem A1 a poloměrem |A1B1|. Na obvodu podstavy válce zvolíme bod B‘, který se shoduje s bodem D‘ (platí, že bod B‘1 Î k1).
122
·
· · · ·
Dále provedeme buďto rozvinutí šroubovice a zjistíme, do jaké výšky vystoupají body B a D vzhledem k oblouku, který přísluší úhlu a nebo opět vypočítáme výšku přímo ze vzorce, uvedeného ve výukových materiálech . Na základě této výšky sestrojíme nárys B‘2 bodu B‘ a analogicky nárys A‘2 bodu A‘ Další poloha úsečky AB je dána úsečkou A’B‘. Na základě této výšky sestrojíme také nárys D‘2 bodu D‘ (D‘2 = B‘2) a analogicky nárys C‘2 bodu C‘ . Další poloha úsečky CD je dána úsečkou C’D‘.
Pro všechna řešení lze opět využít program Geogebra. Pokud budeme pohybovat bodem B‘1, můžeme sledovat další polohy úseček AB a CD.
Cyklické šroubové plochy
Pohybem jaké rovinné křivky vznikají cyklické šroubové plochy? ………………………………………………………………………………………………………………………………………….. Podle polohy tvořící křivky rozlišujeme tři typy cyklických šroubových ploch, napište názvy těchto ploch a popište, jak vznikají? ………………………………………………………………………………………………………………………………………….. ………………………………………………………………………………………………………………………………………….. ………………………………………………………………………………………………………………………………………….. Do jakých ploch (kromě šroubových) lze zařadit Archimédovu serpentinu? ………………………………………………………………………………………………………………………………………….. S využitím internetu najděte název pro metodu, kterou řezbáři či tesaři vytvářeli vinutý sloupek, pro jakou dobu byl vinutý sloupek charakteristický, a uveďte alespoň tři příklady využití. ………………………………………………………………………………………………………………………………………….. ………………………………………………………………………………………………………………………………………….. …………………………………………………………………………………………………………………………………………..
123
1) Sestrojte alespoň 1 bod hlavního meridiánu Archimédovy serpentiny, která vznikne šroubováním kružnice k a šroubovým pohybem (o, v0 = 1, +), viz následující obrázek. (webové stránky: Cyklické šroubové plochy – Příklad 1)
· · · · · ·
Na tvořící křivce zvolíme libovolný bod X (X1 Î k1). Bod X přešroubujeme do roviny hlavního meridiánu bod X‘ (bod X‘1 Î m1). Odvodíme nárys X2 bodu X (dva splývající body X2a a X2b označeny jako X2). Nárysem X2 vedeme pomocnou rovinu a - nárys přímka a2 (od této roviny budeme určovat výšku nárysu X‘2 bodu X‘). Tuto výšku odvodíme z grafu rozvinuté šroubovice. Sestrojíme nárys X‘2 bodu X‘ (bod hlavního meridiánu Archimédovy serpentiny).
Budeme-li pohybovat bodem X1, můžeme sledovat další body meridiánu Archimédovy serpentiny, které vykreslují celý hlavní meridián plochy.
124
2) V následujícím obrázku vyznačte, šroubovici středu tvořící kružnice, několik poloh této tvořící křivky a plochou proložte takovou plochu, aby bylo splněno, že šroubováním této plochy vznikne obalová plocha (Archimédova serpentina).
3) Sestrojte alespoň 1 bod hlavního meridiánu vinutého sloupku, který vznikne šroubováním kružnice k a šroubovým pohybem (o, v0 = 1, +), viz následující obrázek. (webové stránky: Cyklické šroubové plochy – Příklad 2)
125
· · · · · ·
Na tvořící křivce zvolíme libovolný bod X (X1 Î k1). Bod X přešroubujeme do roviny hlavního meridiánu bod X‘ (bod X‘1 Î m1). Odvodíme nárys X2 bodu X (dva splývající body X2a a X2b označeny jako X2). Nárysem X2 vedeme pomocnou rovinu a - nárys přímka a2 (od této roviny budeme určovat výšku nárysu X‘2 bodu X‘). Tuto výšku odvodíme z grafu rozvinuté šroubovice. Sestrojíme nárys X‘2 bodu X‘ (bod hlavního meridiánu vinutého sloupku).
Budeme-li pohybovat bodem X1, můžeme sledovat další body meridiánu vinutého sloupku, které vykreslují celý hlavní meridián plochy.
1) Na kterém z následujících obrázků vznikne cyklická šroubová plocha a jak ji nazýváme, víme-li že, k příp. p je tvořící křivka a o je osa šroubového pohybu? a)
b)
c)
…………………………………………………………………………………………………………………………………………..
2) Které z následujících tvrzení o ploše Archimédovy serpentiny je správně? a) Archimédova serpentina vzniká rotačním pohybem kružnice, jejíž střed leží na ose rotačního pohybu. b) Archimédova serpentina vzniká šroubovým pohybem přímky kolmé na osu šroubového pohybu. c) Archimédova serpentina vzniká šroubovým pohybem kružnice, která leží v rovině kolmé na osu šroubového pohybu. d) Archimédova serpentina vzniká šroubovým pohybem kružnice ležící v rovině kolmé na tečnu šroubovice. 126
3) Sestrojte alespoň 1 bod řezu osové cyklické šroubové plochy rovinou r, která je kolmá na osu šroubového pohybu. Osová cyklická šroubová plocha vznikne šroubováním kružnice k a šroubovým pohybem (o, v0 = 1, +), viz následující obrázek. (webové stránky: Cyklické šroubové plochy – Příklad 3)
· · · ·
Na tvořící křivce zvolíme bod X (například X2 Î k2 a odvodíme půdorys X1). Dále provedeme rozvinutí šroubovice a zjistíme, jaký oblouk přísluší vzdálenosti bodu X od roviny r (vzdálenost X2 od PomVX). Tento oblouk následně naneseme na obvod podstavy válce, podél něhož se bod X šroubuje a získáme půdorys X‘1 bodu X‘. Nárys X‘2 leží v rovině r.
Budeme-li pohybovat bodem X2, můžeme sledovat další body řezu osové cyklické šroubové plochy.
127
PŘÍLOHA C Pracovní list – přímkové plochy Pohybem jaké rovinné křivky vznikají tyto plochy? ………………………………………………………………………………………………………………………………………….. Jakou polohu mají povrchové přímky konoidů? ………………………………………………………………………………………………………………………………………….. Vysvětlete, jaký je rozdíl mezi rozvinutelnou přímkovou plochou a zborcenou přímkovou plochou vzhledem k povrchovým přímkám plochy? ………………………………………………………………………………………………………………………………………….. ………………………………………………………………………………………………………………………………………….. Jmenujte alespoň jeden příklad rozvinutelné přímkové plochy. ………………………………………………………………………………………………………………………………………….. Jmenujte alespoň jeden příklad zborcené přímkové plochy. ………………………………………………………………………………………………………………………………………….. Kterými prvky jsou určeny konoidy? ………………………………………………………………………………………………………………………………………….. Konoidy nazýváme podle řídící křivky, jak nazýváme konoidy na následujících obrázcích?
…………………………………………..
…………………………………… …………………………………………….
128
Hyperbolický paraboloid
Proč se pro plochu hyperbolického paraboloidu užívá názvu sedlová plocha? ………………………………………………………………………………………………………………………………………….. Pokud plochu hyperbolického paraboloidu zařadíme mezi translační plochy, vysvětlete princip jejího vzniku? ………………………………………………………………………………………………………………………………………….. ………………………………………………………………………………………………………………………………………….. ………………………………………………………………………………………………………………………………………….. Co je zborcený čtyřúhelník (vysvětlete pojem)? ………………………………………………………………………………………………………………………………………….. ………………………………………………………………………………………………………………………………………….. Hyperbolický paraboloid je speciálním typem konoidu, jakými prvky je určen? ………………………………………………………………………………………………………………………………………….. Kde je možné využít plochu hyperbolického paraboloidu? …………………………………………………………………………………………………………………………………………..
1) Napište vektorové vyjádření mimoběžných přímek a, b plochy hyperbolického paraboloidu, jestliže přímka a = BC a b = AD. Souřadnice bodů jsou A = [0, 0, 2], B = [3, 0, 0], C = [3, 4, 0] a D = [0, 4, 0]. Načrtněte obrázek.
129
2) Vyberte obrázky, na nichž se nachází plocha hyperbolického paraboloidu a)
b)
c)
d)
3) V pravoúhlé axonometrii, určené trojúhelníkem XYZ, sestrojte zastřešení pomocí plochy hyperbolického paraboloidu, který je dán body A = [0, 0, 2], B = [3, 0, 0], C = [3, 4, 0] a D = [0, 4, 0]. První regul hyperbolického paraboloidu je určen úsečkami BC, AD a druhý regul je určen úsečkami AB, CD. (webové stránky: Hyperbolický paraboloid – Příklad 1)
130
· · · · · · ·
·
Osy x, y a z se v pravoúhlé axonometrii promítají do výšek axonometrického trojúhelníku XYZ. Rovinu xy otočíme kolem přímky XY a získáme otočené osy x0 a y0 (využijte Thaletovu kružnici). Rovinu xz otočíte kolem přímky XZ a získáte otočenou osu z0 (opět využijte Thaletovu kružnici). Pomocí otočených os, na které se vynášejí skutečné jednotky, sestrojíme zadané body A, B, C a D. Hyperbolický paraboloid je určen úsečkami AB, CD a BC, AD. Rozpůlíme-li úsečky AB a CD a tyto středy spojíme, pak získáme úsečku jednoho regulu plochy, analogicky bychom půlením úseček BC a AD získali úsečku druhého regulu. Zvolíme-li libovolný bod XV na úsečce CD, pak půdorys povrchové přímky procházejí tímto bodem je rovnoběžný s rovinou yz ® kde půdorys povrchové přímky protne půdorys úsečky AB, získáme půdorys bodu YV – úsečka XVYV je jedna z povrchových úseček plochy. Analogickým způsobem získáme WVZV povrchovou úsečku druhého regulu plochy.
Ve vyřešeném příkladu v Geogebře lze ukázat, jak se budou měnit úsečky jednotlivých regulů plochy, pokud budeme pohybovat body ZV a YV. Zároveň lze pozměnit i zadanou pravoúhlou axonometrii, pokud budeme pohybovat body zadaného trojúhelníku XYZ.
4) Mějme zadán následující zborcený čtyřúhelník ABCD. Do obrázku doplňte povrchové přímky hyperbolického paraboloidu.
131
5) Jak se v axonometrii nazývá metoda pro určování průsečíku přímky s rovinou? ………………………………………………………………………………………………………………. 6) Zkuste vymyslet, jak se bude postupovat při konstrukci řezu hyperbolického paraboloidu. (Zohledněte předchozí dvě otázky a odpovědi.) ………………………………………………………………………………………………………………. 7) Určete (popřípadě vyhledejte na internetu), jaká rovinná křivka vznikne řezem hyperbolického paraboloidu rovinou r, která je: a) rovnoběžná s osou plochy a rovnoběžná s jednou z řídicích rovin? …………………………………………………………………………………………………… b) rovnoběžná s osou plochy, ale různoběžná s řídicí rovinou? …………………………………………………………………………………………………… c) různoběžná s osou plochy a zároveň je tečnou rovinou plochy? ……………………………………………………………………………………………………
d) různoběžná s osou plochy a zároveň není tečnou rovinou plochy? ……………………………………………………………………………………………………
132
Jednotlivé možnosti přiřaďte k následujícím obrázkům. A)
B)
C)
D)
1) V pravoúhlé axonometrii určené trojúhelníkem XYZ sestrojte zastřešení pomocí plochy hyperbolického paraboloidu, který je určen body o souřadnicích A = [0, 0, 0], B = [4, 0, 0], C = [4, -1, 3] a D = [0, 1, 3]. Povrchové úsečky jednoho regulu jsou dány úsečkami AB a CD. Druhý regul je určen úsečkami BC, AD. Načrtněte tři povrchové přímky každého regulu plochy. (webové stránky: Hyperbolický paraboloid – Příklad 2)
133
· · · · · · · ·
Osy x, y a z se v pravoúhlé axonometrii promítají do výšek axonometrického trojúhelníku XYZ. Rovinu xy otočíme kolem přímky XY a získáme otočené osy x0 a y0 (využijte Thaletovu kružnici). Rovinu xz otočíte kolem přímky XZ a získáte otočenou osu z0 (opět využijte Thaletovu kružnici). Pomocí otočených os, na které se vynášejí skutečné jednotky, sestrojíme zadané body A, B, C a D. Hyperbolický paraboloid je určen úsečkami AB, CD a BC, AD. Rozpůlíme-li úsečky AB a CD a tyto středy spojíme, pak získáme úsečku jednoho regulu plochy, analogicky bychom půlením úseček BC a AD získali úsečku druhého regulu. Zvolíme-li libovolný bod XV na úsečce AB, pak nárys povrchové přímky procházejí tímto bodem je rovnoběžný s rovinou yz ® sestrojíme úsečku XVYV jednu z povrchových úseček plochy. Analogickým způsobem získáme WVZV povrchovou úsečku druhého regulu plochy.
Ve vyřešeném příkladu v Geogebře lze ukázat, jak se budou měnit úsečky jednotlivých regulů plochy, pokud budeme pohybovat body XV a WV. Zároveň lze pozměnit i zadanou pravoúhlou axonometrii, pokud budeme pohybovat body zadaného trojúhelníku XYZ.
2) V pravoúhlé axonometrii zadané trojúhelníkem XYZ sestrojte plochu hyperbolického paraboloidu, který je dán body A = [-4, -4, 3], B = [4, -4, 1], C = [4, 4, 3] a D = [-4, 4, 1]. Dále sestrojte řez rovinou r, která je dána body B1, B, D1, D a rovinou s, která je určena body A1, A, C1, C. (webové stránky: Hyperbolický paraboloid – Příklad 3) · · · ·
Hyperbolický paraboloid je určen úsečkami AB, CD a BC, AD (postup analogický jako u předchozích příkladů). Půdorysná stopa roviny r splývá s úhlopříčkou B1D1 a nárysná stopa splývá s osou z. Půdorysná stopa roviny s splývá s úhlopříčkou A1C1 a nárysná stopa splývá opět s osou z. Zvolíte-li libovolný bod XV na úsečce BC, pak pomocí rovnoběžného půdorysu povrchové přímky s rovinou xz získáte úsečka XVYV jednu z povrchových úseček plochy.
134
· · · · · ·
Půdorys úsečky XVYV protne půdorysnou stopu roviny r v bodě P1 ® bodem P1 prochází také půdorys úsečky WVZV. Zkonstruujte povrchovou úsečku WVZV. Průsečík úseček XVYV a WVZV je bod P ® bod řezu hyperbolického paraboloidu rovinou r (můžete se přesvědčit, že body P a P1 leží na rovnoběžce s osou z). Půdorys úsečky XVYV protne také půdorysnou stopu roviny s v bodě Q1 ® bodem Q1 prochází také půdorys úsečky W‘VZ’V. Zkonstruujte povrchovou úsečku W‘VZ’V. Průsečík úseček XVYV a W‘VZ‘V je bod Q ® bod řezu hyperbolického paraboloidu rovinou s (můžete se přesvědčit, že body Q a Q1 opět leží na rovnoběžce s osou z).
Ve vyřešeném příkladu v Geogebře lze ukázat, jak se budou měnit úsečky jednotlivých regulů plochy, pokud budeme pohybovat bodem XV. Je také vidět, že se průsečíky jednotlivých povrchových úseček pohybují po příslušných parabolách, jejichž průsečík leží ve středu plochy (vrchol hyperbolického paraboloidu).
3) Které z následujících tvrzení o hyperbolickém paraboloidu je správně? a) Hyperbolický paraboloid je druh konoidu, jehož řídicí křivkou je parabola. b) Hyperbolický paraboloid je translační plocha vzniklá posunutím paraboly po přímce kolmé k rovině této paraboly a procházející jejím vrcholem. c) Hyperbolický paraboloid je tvořen povrchovými přímkami, které spojují body řídicí paraboly s body řídicí přímky. d) Hyperbolický paraboloid je druh konoidu, jehož řídicí křivkou je přímka.
135
Přímý parabolický konoid
Jakými prvky je určena plocha přímého parabolického konoidu? ………………………………………………………………………………………………………………………………………….. Co to znamená, když se řekně o konoidu, že je přímý? ………………………………………………………………………………………………………………………………………….. V následujícím obrázku určete řídicí křivku, řídicí přímku a načrtnětě povrchové přímky plochy tak, aby byla splněna podmínka, že se jedná o přímý parabolický konoid.
Jaké rovinné křivky vzniknou řezy přímého parabolického konoidu rovinami rovnoběžnými s rovinou řídicí křivky? …………………………………………………………………………………………………………………………………………..
1) Napište parametrické vyjádření přímého parabolického konoidu, jsou-li řídicí křivka a řídicí přímka umístěny podle následujícího obrázku. (Uvažujme pouze část paraboly pro z ³ 0 a pro řídicí přímku uvažujeme část y Î <-7; 7>.) Povrchové přímky jsou rovnoběžné s řídicí rovinou xz. 136
2) V kosoúhlém promítání (w = 135°, qx = ½) sestrojte parabolický konoid, který je dán částí řídicí křivky (paraboly) a částí řídicí přímky a. Povrchové přímky přímého parabolického konoidu jsou rovnoběžné s rovinou xz. (webové stránky: Přímý parabolický konoid – Příklad 1)
137
· · ·
Koncové body paraboly (body C a D) spojíme s příslušnými body na přímce a (body A a B) ® půdorysy povrchových přímek jsou rovnoběžné s rovinou xz. Zcela analogicky sestrojíme povrchovou přímku vrcholem V paraboly. Zvolíme-li libovolný bod Y na parabole (volíme půdorys Y1 bodu Y v prostoru paraboly) a vedeme jím rovnoběžku s rovinou xz ® na půdoryse úsečky a získáme půdorys bodu X – přímka XY je další povrchovou přímkou plochy. Ve vyřešeném příkladu v programu Geogebra je bod Y pohyblivý, proto pokud s ním budeme pohybovat, pak uvidíme všechny možné polohy povrchových přímek plochy přímého parabolického konoidu.
3) Plocha parabolického konoidu je napojena na valbovou střechu. V kosoúhlém promítání (w = 135°, qx = ½) sestrojte parabolický konoid, který je dán částí řídicí křivky (paraboly) a částí řídicí přímky a. Povrchové přímky přímého parabolického konoidu jsou rovnoběžné s rovinou xz. Následně proveďte řez rovinou a, která svírá s rovinou paraboly úhel 45°, stejně jako roviny valbové střechy. (webové stránky: Přímý parabolický konoid – Příklad 2)
138
·
Opět máme zadány řídicí prvky přímého parabolického konoidu a proto přejdeme ke konstrukci povrchových přímek. Zvolíme libovolný bod Y na parabole (volíme půdorys Y1 bodu Y v prostoru paraboly) a vedeme jím rovnoběžku s rovinou xz ® na půdoryse úsečky a získáme půdorys bodu X – přímka XY je další povrchovou přímkou plochy. Dále máme zkonstruovat řez rovinou a, která svírá s rovinou paraboly úhel 45° (nárysná stopa na ® osa úhlu mezi přímkami x a z, půdorysná stopa pa ® osa y). Bodem Y (jeho půdorysem) vedeme rovnoběžku s nárysnou stopou roviny a (protože rovinu a tvoří všechny rovnoběžné přímky s nárysnou stopou, které zároveň prochází jednotlivými body půdorysné stopy). Průsečík této rovnoběžky s povrchovou přímkou vedenou bodem Y je hledaný bod řezu.
·
Sestrojíme-li povrchové přímky koncovými body paraboly a budeme-li zároveň pohybovat bodem
· ·
· ·
Y, vidíme, že okrajové body hledaného řezu splývají s koncovými body paraboly. Řezem vznikne oblouk, kterého by se měli pokrývači zhruba držet při krytí střechy taškami. Na následujícím obrázku je tento konkrétní příklad využitý při zastřešení rodinného domku.
1) Které z následujících tvrzení je správně vzhledem k zadanému obrázku? a) řídicí křivka je část přímky ležící v rovině xy a kolmá k rovině yz, povrchové přímky jsou s touto přímkou rovnoběžné b) řídicí křivka je část paraboly a povrchové přímky jsou kolmé na řídicí přímku, která je rovnoběžná s řídicí rovinou c) řídicí křivka je část přímky rovnoběžná s řídicí rovinou a kolmá na řídicí přímku d) řídící křivka je část paraboly ležící v rovině yz a řídicí rovina je zadána rovinou xz
139
2) V kosoúhlém promítání (w = 135°, qx = ½) sestrojte přímý parabolický konoid, který je dán částí řídicí křivky (paraboly) a částí řídicí přímky a, viz následující obrázek. Povrchové přímky jsou rovnoběžné s rovinou xz. (webové stránky: Přímý parabolický konoid – Příklad 3)
· · ·
Koncové body paraboly (body C a D) spojíme s příslušnými body na přímce a (body A a B) ® půdorysy povrchových přímek jsou rovnoběžné s rovinou xz. Zcela analogicky sestrojíme povrchovou přímku vrcholem V paraboly. Zvolíme-li libovolný bod Y na parabole (volíme půdorys Y1 bodu Y v prostoru paraboly) a vedeme jím rovnoběžku s rovinou xz ® na půdoryse úsečky a získáme půdorys bodu X – přímka XY je další povrchovou přímkou plochy. Ve vyřešeném příkladu v programu Geogebra je bod Y pohyblivý, proto pokud s ním budeme pohybovat, pak uvidíme všechny možné polohy povrchových přímek plochy přímého parabolického konoidu.
3) V kosoúhlém promítání (w = 135°, qx = ½) sestrojte řez této plochy rovinou a, která je rovnoběžná s rovinou paraboly (yz) a leží mezi rovinou paraboly a rovinou řídicí přímky. (webové stránky: Přímý parabolický konoid – Příklad 4)
140
· ·
· · · ·
Opět máte zadány řídicí prvky přímého parabolického konoidu a proto můžete přejít ke konstrukci povrchových přímek. Zvolte libovolný bod Y na parabole (volte půdorys Y1 bodu Y v prostoru paraboly) a veďte jím rovnoběžku s rovinou xz ® na půdoryse úsečky a získáte půdorys bodu X – přímka XY je povrchovou přímkou plochy. Dále máte zkonstruovat řez rovinou a, která je rovnoběžná s rovinou yz a leží mezi rovinou paraboly a rovinou řídicí přímky. Zvolte bod P tak, aby byly tyto požadavky splněny. Rovina a prochází zvoleným bodem P (nárysná stopa na ® přímka vedená bodem P rovnoběžná s osou z, půdorysná stopa pa ® přímka vedená bodem P rovnoběžná s osou y). Tam kde půdorysná stopa roviny a protne půdorys povrchové přímky (X1Y1) získáme půdorys R1 bodu R (bod řezu, který hledáme ® leží na povrchové přímce XY). Sestrojte povrchové přímky koncovými body paraboly a vrcholem paraboly.
Řezem přímého parabolického konoidu rovinou, která je rovnoběžná s rovinou paraboly, je opět parabola. Budete-li ve vyřešeném příkladu v Geogebře pohybovat bodem Y, pak se budou vykreslovat všechny polohy povrchových přímek. Při pohybování bodem P je vidět, jak se mění tvar řezu (paraboly).
141
Přímý vlnový konoid
Jakými prvky je určana plocha přímého vlnového konoidu? ………………………………………………………………………………………………………………………………………….. V následujícím obrázku určete řídicí křivku, řídicí přímku a načrtnětě povrchové přímky plochy tak, aby byla splněna podmínka, že se jedná o přímý vlnový konoid.
S využitím počítače a internetu nalezněte alespoň dva příklady využití přímého vlnového konoidu. …………………………………………………………………………………………………………………………………………..
1) Napište obecné parametrické vyjádření přímého vlnového konoidu, je-li řídicí křivka a řídicí přímka umístěna podle následujícího obrázku. (Uvedena pouze jedna perioda sinusoidy, ale předpokládejme, že ji lze neomezeně prodloužit na obě strany stejně tak i řídicí přímku.) Povrchové přímky jsou rovnoběžné s řídicí rovinou xz.
142
2) Proveďte Kochanského rektifikaci kružnice ležící v rovině yz jejíž střed leží na ose y, prochází-li tato kružnice průsečíkem os y a z, viz následující obrázek. Dále nad rozvinutým obvodem této kružnice narýsujte jednu periodu sinusoidy příslušející k této kružnici. (webové stránky: Přímý vlnový konoid – Příklad 1) Historická poznámka: Kochanski (Polsko) patřil k největším myslitelům 17. století. Zabýval se nejrůznějšími obory jako například matematika, fyzika, mechanika atd. Zajímal se také o geometrii konkrétně o výše zmíněnou rektifikaci kružnice. Rektifikace jinými slovy znamená najít takovou úsečku, aby její délka odpovídala právě délce obvodu kružnice. Touto problematikou se zabývali již antičtí matematici, kteří měli pravděpodobně potřebu geometricky sčítat délky kružnic. Snažili se o Euklidovské konstrukce (pouze pravítkem a kružítkem) této úsečky. Bohužel až v 19. století bylo dokázáno, že se jedná o neeuklidovsky řešitelnou úlohu. Avšak existuje celá řada způsobů přibližného řešení rektifikace kružnice a jedním z nich je právě Kochanského rektifikace. V tomto příkladu si postup tohoto přibližného řešení ukážeme.
143
Kochanského rektifikace: · · · · ·
Bodem S povedeme přímku b, která svírá s osou y 330° (-30°). Průsečík přímky b a osy z je bod M. Na polopřímku MA od bodu M naneseme na osu z třikrát poloměr zadané kružnice – bod M‘. Úsečka BM‘ má délku přibližně pr. Z bodu A naneseme dvakrát získanou vzdálenost pr a získáme tak rozvinutý obvod kružnice.
Konstrukce sinusoidy: Pro konstrukci je výhodné využívat program Geogebra, ve kterém lze vypočítat délku oblouku popřípadě v novějších verzích programu je již přidán ovládací prvek nazvaný délka oblouku. O výpočtu délky oblouku jsme se zmínili již u rotačních ploch, konkrétně u sférického trojúhelníku, proto se odkazujeme na text popřípadě na webové stránky a kapitolu věnovanou rotačním plochám. · ·
Na kružnici zvolíme bod Xv a zjistíme (vypočítáme) délku oblouku příslušející úhlu ASXv a tuto délku naneseme od bodu A na rozvinutý obvod kružnice ® získáme bod X1 Bodem X1 vedeme kolmici na osu y a bodem Xv vedeme rovnoběžku s osou y ® kde se tyto přímky protnout, získáme bod X (bod ležící na sinusoidě) – vycházíme ze souvislosti funkce sinus a jednotkové kružnice.
Ve vyřešeném příkladu v Geogebře můžeme pohybovat bodem Xv po zadané kružnici a sledovat jak se bod X pohybuje po sinusoidě.
3) V kosoúhlém promítání (w = 135°, qx = ½) sestrojte plochu přímého vlnového konoidu, který je určen sinusoidou o fázovém posunu ϕ = p a řídicí přímkou a. Sinusoidu sestrojte pomocí zadané kružnice. Rovina xz je řídicí rovinou plochy. Přímý vlnový konoid sestrojte pro jednu periodu řídicí křivky. (webové stránky: Přímý vlnový konoid – Příklad 2)
144
· · · · · · · ·
·
·
Bodem S povedeme přímku b, která svírá s osou y 330° (-30°). Průsečík přímky b a osy z je bod M. Na polopřímku MA od bodu M naneseme na osu z třikrát poloměr zadané kružnice – bod M‘. Úsečka BM‘ má délku přibližně pr. Z bodu A naneseme dvakrát získanou vzdálenost pr a získáme tak rozvinutý obvod kružnice. Na kružnici zvolíme bod Xv a zjistíme (vypočítáme) délku oblouku příslušející úhlu ASXv a tuto délku naneseme od bodu A na rozvinutý obvod kružnice ® získáme bod X1. Aby byl zajištěn fázový posun ϕ = p, vedeme bodem Xv kolmici na osu y ® průsečíkem této kolmice se zadanou kružnicí je bod X’v. Bodem X1 vedeme kolmici na osu y a bodem X‘v vedeme rovnoběžku s osou y ® kde se tyto přímky protnout, získáme bod X (bod ležící na sinusoidě) – vycházíme ze souvislosti funkce sinus a jednotkové kružnice. Povrchové přímky jsou rovnoběžné s rovinou xz, proto vedeme bodem X1 rovnoběžku s osou x ® průsečíkem této rovnoběžky s přímkou a je bod Y (přímka vedená body X a Y je jednou z povrchových přímek přímého vlnového konoidu). Analogicky sestrojíme povrchové přímky koncovými body sinusoidy a středem sinusoidy (tři polohy povrchových přímek plochy přímého vlnového konoidu).
Ve vyřešeném příkladu v Geogebře můžeme pohybovat bodem Xv po zadané kružnici a sledovat jak se mění polohy povrchových přímek plochy přímého vlnového konoidu.
1) V kosoúhlém promítání (w = 135°, qx = ½) sestrojte plochu přímého vlnového konoidu, který je určen sinusoidou o amplitudě rovné dvojnásobku poloměru zadané kružnice a řídicí přímkou a. Rovina xz je řídicí rovinou plochy. Přímý vlnový konoid sestrojte pro jednu periodu řídicí křivky. Dále sestrojte řez rovinou a, která je rovnoběžná s rovinou řídicí přímky. Tuto rovinu zvolte mezi rovinou řídicí přímky a rovinou sinusoidy. (webové stránky: Přímý vlnový konoid – Příklad 3)
145
· · · · · · ·
·
· ·
· ·
Bodem S veďte přímku b, která svírá s osou y 330° (-30°). Průsečík přímky b a osy z je bod M. Na polopřímku MA od bodu M naneste na osu z třikrát poloměr zadané kružnice – bod M‘. Úsečka BM‘ má délku přibližně pr. Z bodu A naneste dvakrát získanou vzdálenost pr a získáte tak rozvinutý obvod kružnice. Na kružnici zvolte bod Xv a zjistěte (vypočítejte) délku oblouku příslušející úhlu ASXv a tuto délku naneste od bodu A na rozvinutý obvod kružnice ® získáte bod X1. Bodem X1 veďte kolmici na osu y a bodem Xv veďte rovnoběžku s osou y – kde se tyto přímky protnout, získáte bod Xpom (bod, který leží na sinusoidě má 2x větší vzdálenost než je |X1Xpom| ® bod X). Povrchové přímky jsou rovnoběžné s rovinou xz, proto veďte bodem X1 rovnoběžku s osou x ® průsečíkem této rovnoběžky s přímkou a je bod Y (přímka vedená body X a Y je jednou z povrchových přímek přímého vlnového konoidu). Dále máte sestrojit řez rovinou a, která je rovnoběžná s rovinou yz a leží mezi rovinou sinusoidy a rovinou řídicí přímky – zvolte proto bod P na ose x tak, aby byly tyto požadavky splněny. Půdorysná stopa roviny a prochází bodem P rovnoběžně s osou y a nárysná stopa roviny a prochází bodem P rovnoběžné s osou z (protože opět každým bodem půdorysné stopy lze proložit nárysnou stopu a všechny tyto nárysné stopy jsou navzájem rovnoběžné). Průsečík půdorysné stopy roviny s půdorysem povrchové přímky p je půdorys bodu R (hledaný bod řezu – leží na povrchové přímce) – konstrukce průsečíku přímky s rovinou. Sestrojíme povrchové přímky koncovými body sinusoidy a středem sinusoidy (tři polohy povrchových přímek plochy přímého vlnového konoidu).
Ve vyřešeném příkladu v Geogebře můžeme pohybovat bodem Xv po zadané kružnici a sledovat jak se mění polohy povrchových přímek plochy přímého vlnového konoidu. Navíc lze pohybovat také bodem P a měnit tak polohu roviny řezu. Vidíme, že změnou roviny řezu bude stále řezem přímého vlnového konoidu sinusoida, ale bude se měnit velikost její amplitudy.
2) Které z následujících tvrzení je správně vzhledem k následujícímu obrázku?
a) řídicí křivka je část přímky ležící v rovině xy a kolmá k rovině yz, povrchové přímky jsou s touto přímkou rovnoběžné b) řídicí křivka je část sinusoidy a povrchové přímky jsou kolmé na řídicí přímku, která je rovnoběžná s řídicí rovinou c) řídicí křivka je část sinusoidy ležící v rovině xz a řídicí rovinou je rovina yz d) řídicí křivka je část přímky rovnoběžná s řídicí rovinou a kolmá na řídicí přímku
146
PŘÍLOHA D Obsah přiloženého CD Text: ·
textDP.pdf (elektronická verze textu)
Pracovní listy: · · ·
rotační.zip šroubové.zip přímkové.zip
Webové stránky: webovky.zip
147