Fakulta aplikovaných věd Katedra matematiky

´ padoc ˇeska ´ univerzita v Plzni Za Fakulta aplikovaných vˇed Katedra matematiky

´ pra ´ ce Diplomova Plochy ve svˇ etˇ e kolem n´ as

´ Lenka Beneˇ sova

ˇtlana Tomiczkova ´ , Ph.D. vedouc´ı diplomové práce RNDr. Sve Plzeˇ n, 8. kvˇetna 2013

Prohl´ aˇ sen´ı Prohlaˇsuji, ˇze jsem diplomovou práci na téma Plochy ve svˇetˇe kolem n´ as vypracovala samostatnˇe pod odborn´ ym veden´ım vedouc´ı diplomové práce RNDr. Svˇetlany Tomiczkové, Ph.D. a s vyuˇzit´ım zdroj˚ u uveden´ ych v seznamu pouˇzité literatury.

V Plzni dne 8. kvˇetna 2013

.................................

Podˇ ekov´ an´ı T´ımto bych chtˇela podˇekovat vedouc´ı své diplomové práce, RNDr. Svˇetlanˇe Tomiczkové, Ph.D., za odborné veden´ı, ochotu, vˇecné pˇripom´ınky, trpˇelivost a veˇsker´ y ˇcas, kter´ y mi vˇenovala. Dále bych chtˇela podˇekovat rodinˇe a pˇra´tel˚ um za trpˇelivost a psychickou podporu bˇehem celého studia.

Kl´ıˇ cov´ a slova Uˇcebn´ı materiál, plocha, rotaˇcn´ı, ˇsroubová, pˇr´ımková, vektorové vyjádˇren´ı, praxe, pracovn´ı list, Geogebra Abstrakt Diplomová práce je zamˇeˇrena na popis vybran´ ych rotaˇcn´ıch, ˇsroubov´ ych a pˇr´ımkov´ ych ploch. Text je psán formou studijn´ıho materiálu, kter´ y by mˇel b´ yt vyuˇz´ıván pˇri v´ yuce speciáln´ıho semináˇre z deskriptivn´ı geometrie. Souˇcást´ı práce jsou i pracovn´ı listy, pˇriloˇzené v elektronické podobˇe na CD. Konstrukce pˇr´ıklad˚ u jsou z programu Geogebra. Práce je k dispozici i v podobˇe webov´ ych stránek, které jsou oproti textu obohaceny o modely vybran´ ych ploch, historické poznámky a fotogalerie. Keywords Learning material, surface, rotary, screw, linear, vector expression, practice, worksheet, Geogebra Abstract This diploma thesis focuses on the description of selected rotary, screw and rectilinear surfaces. The text is written in the form of study material that should be used when teaching a special seminar in descriptive geometry. The thesis also includes worksheets provided in electronic form on CD. Construction examples are from the program Geogebra. Thesis is also available in the form of web pages that are enriched compared to the text of the models selected areas, historical notes and a photo gallery.

Obsah ´ Uvod

9

1 Z´ akladn´ı pojmy 1.1 V´ ybˇer ploch . . . . . . . . . . . . . . . 1.2 Rotaˇcn´ı plochy . . . . . . . . . . . . . 1.2.1 Obecné poznatky . . . . . . . . 1.2.2 Parametrizace rotaˇcn´ıch ploch . ˇ 1.3 Sroubov´ e plochy . . . . . . . . . . . . . 1.3.1 Obecné poznatky . . . . . . . . 1.3.2 Parametrizace ˇsroubov´ ych ploch 1.4 Pˇr´ımkové plochy . . . . . . . . . . . . 1.4.1 Obecné poznatky . . . . . . . . 1.4.2 Parametrizace konoid˚ u . . . . . 1.5 Pracovn´ı listy . . . . . . . . . . . . . . 2 Vybran´ e rotaˇ cn´ı plochy 2.1 Kulová plocha . . . . . . . . . . . . . 2.1.1 Zaˇrazen´ı plochy . . . . . . . . 2.1.2 Matematické odvozen´ı plochy 2.1.3 Praktické vyuˇzit´ı plochy . . . 2.1.4 Pracovn´ı list - kulová plocha . 2.2 Anuloid . . . . . . . . . . . . . . . . 2.2.1 Zaˇrazen´ı plochy . . . . . . . . 2.2.2 Matematické odvozen´ı plochy 2.2.3 Praktické vyuˇzit´ı plochy . . . 2.2.4 Pracovn´ı list - anuloid . . . . 2.3 Jednod´ıln´ y rotaˇcn´ı hyperboloid . . . 2.3.1 Zaˇrazen´ı plochy . . . . . . . .

. . . . . . . . . . . .

. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

. . . . . . . . . . .

11 11 12 12 13 15 15 15 17 17 18 19

. . . . . . . . . . . .

21 21 21 22 23 27 28 28 31 32 34 35 35

2.4

2.3.2 Matematické odvozen´ı plochy 2.3.3 Praktické vyuˇzit´ı plochy . . . 2.3.4 Pracovn´ı list . . . . . . . . . . Rotaˇcn´ı paraboloid . . . . . . . . . . 2.4.1 Zaˇrazen´ı plochy . . . . . . . . 2.4.2 Matematické odvozen´ı plochy 2.4.3 Praktické vyuˇzit´ı plochy . . . 2.4.4 Pracovn´ı list . . . . . . . . . .

. . . . . . . .

3 Vybran´ eˇ sroubov´ e plochy 3.1 Pravo´ uhlá uzavˇrená pˇr´ımková ˇsroubová 3.1.1 Zaˇrazen´ı plochy . . . . . . . . . 3.1.2 Matematické odvozen´ı plochy . 3.1.3 Praktické vyuˇzit´ı plochy . . . . 3.1.4 Pracovn´ı list . . . . . . . . . . . 3.2 Koso´ uhlá uzavˇrená pˇr´ımková ˇsroubová plocha . . . . . . . . . . . . . . . . . . 3.2.1 Zaˇrazen´ı plochy . . . . . . . . . 3.2.2 Matematické odvozen´ı plochy . 3.2.3 Praktické vyuˇzit´ı plochy . . . . 3.2.4 Pracovn´ı list . . . . . . . . . . . 3.3 Archimedova serpentina . . . . . . . . 3.3.1 Cyklické ˇsroubové plochy . . . . 3.3.2 Matematické odvozen´ı plochy . 3.3.3 Praktické vyuˇzit´ı plochy . . . . 3.3.4 Pracovn´ı list . . . . . . . . . . . 4 Vybran´ e zborcen´ e plochy 4.1 Hyperbolick´ y paraboloid . . . . . . . 4.1.1 Zaˇrazen´ı plochy . . . . . . . . 4.1.2 Matematické odvozen´ı plochy 4.1.3 Praktické vyuˇzit´ı plochy . . . 4.1.4 Pracovn´ı list . . . . . . . . . . 4.2 Pˇr´ım´ y parabolick´ y konoid . . . . . . 4.2.1 Zaˇrazen´ı plochy . . . . . . . . 4.2.2 Matematické odvozen´ı plochy 4.2.3 Praktické vyuˇzit´ı plochy . . . 4.2.4 Pracovn´ı list . . . . . . . . . .

. . . . . . . . . .

. . . . . . . .

. . . . . . . .

. . . . . . . .

. . . . . . . .

. . . . . . . .

. . . . . . . .

. . . . . . . .

. . . . . . . .

. . . . . . . .

. . . . . . . .

. . . . . . . .

. . . . . . . .

. . . . . . . .

36 39 41 42 42 42 43 46

plocha . . . . . . . . . . . . . . . .

. . . . .

. . . . .

. . . . .

. . . . .

. . . . .

. . . . .

. . . . .

. . . . .

. . . . .

48 48 48 49 51 52

. . . . . . . . . .

. . . . . . . . . .

. . . . . . . . . .

. . . . . . . . . .

. . . . . . . . . .

. . . . . . . . . .

. . . . . . . . . .

. . . . . . . . . .

. . . . . . . . . .

. . . . . . . . . .

53 53 54 55 57 58 58 59 60 63

. . . . . . . . . .

64 64 64 65 67 69 70 70 70 72 74

. . . . . . . . . .

. . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

. . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

. . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

. . . . . . . . . .

. . . . . . . . . .

. . . . . . . . . .

. . . . . . . . . .

. . . . . . . . . .

. . . . . . . . . .

. . . . . . . . . .

. . . . . . . . . .

4.3

Pˇr´ım´ y 4.3.1 4.3.2 4.3.3 4.3.4

vlnov´ y konoid . . . . . . . . . Zaˇrazen´ı a vznik plochy . . . Matematické odvozen´ı plochy Praktické vyuˇzit´ı plochy . . . Pracovn´ı list . . . . . . . . . .

. . . . .

. . . . .

. . . . .

. . . . .

. . . . .

. . . . .

. . . . .

. . . . .

. . . . .

. . . . .

. . . . .

. . . . .

. . . . .

. . . . .

75 75 75 77 79

5 Modely ploch

80

6 Ovˇ eˇ ren´ı materi´ alu v praxi

82

Z´ avˇ er

84

Literatura

86

Seznam pˇ revzat´ ych obr´ azk˚ u

88

Pˇ r´ılohy

92

´ Uvod Na stˇredn´ı ˇskole je v´ yuka deskriptivn´ı geometrie vˇenována konstrukc´ım v Mongeovˇe prom´ıtán´ı, axonometrii a okrajovˇe lineárn´ı perspektivˇe, pˇr´ıpadnˇe kótovanému prom´ıtán´ı. Velice málo se pak vˇenuje geometrick´ ym plochám a jejich konstrukc´ım v rámci Mongeova prom´ıtán´ı a axonometrie. Ve studijn´ıch plánech deskriptivn´ı geometrie bychom nalezli pˇredevˇs´ım rotaˇcn´ı válcovou plochu, rotaˇcn´ı kuˇzelovou plochu ˇci kulovou plochu. V následuj´ıc´ım textu jsou popsány dalˇs´ı typy geometrick´ ych ploch, které by bylo moˇzné pˇridat do v´ yuky deskriptivn´ı geometrie nebo speciáln´ıho semináˇre. Tyto semináˇre by byly urˇceny pro nadané ˇzáky, které geometrie bav´ı a chtˇej´ı se v´ıce dovˇedˇet o plochách technické praxe. Diplomová práce na téma Plochy ve svˇetˇe kolem nás je psána ve formˇe uˇcebn´ıho materiálu, kter´ y lze vyuˇz´ıvat pˇri v´ yuce semináˇr˚ u z deskriptivn´ı geometrie na stˇredn´ıch ˇskolách. Prvn´ı kapitola je vˇenována základn´ım pojm˚ um. Jedná se o uveden´ı do problematiky jednotliv´ ych typ˚ u geometrick´ ych ploch spolu s principem odvozován´ı jejich vektorového vyjádˇren´ı. Vybrány jsou rotaˇcn´ı, ˇsroubové a pˇr´ımkové plochy. V prvn´ı kapitole jsou popsány i pracovn´ı listy, které jsou souˇca´st´ı diplomové práce. Obsahuj´ı teoretické otázky a konstrukˇcn´ı u ´lohy, které pomáhaj´ı lépe pochopit novˇe vyloˇzenou látku. Dalˇs´ı kapitoly jsou rozdˇeleny podle typ˚ u geometrick´ ych ploch. U kaˇzdé konkrétn´ı plochy je uvedeno, jak´ ym zp˚ usobem vzniká a mezi jaké plochy ji lze zaˇradit. Následuje matematické odvozen´ı plochy, které je rozˇsiˇruj´ıc´ım uˇcivem. Uvaˇzujeme pouze rovinné pˇr´ıpady tvoˇr´ıc´ıch kˇrivek. Pro kaˇzdou plochu je ˇca´st textu vˇenována vyuˇzit´ı plochy v technické praxi. Ve 3D modeláˇr´ıch Google SketchUp a Rhino byly vytvoˇreny modely ploch inspirované právˇe pˇr´ıklady z praxe. ˇ ast vytvoˇreného v´ C´ yukového materiálu byla vyzkouˇsena v praxi a posledn´ı kapitola je vˇenována této ukázkové hodinˇe. Je zde popsán pr˚ ubˇeh hodiny a v´ ysledky dotazn´ıkového ˇsetˇren´ı. Nejedná se o statisticky v´ yznamné 9

v´ ysledky, nebot’ pˇri v´ yuce byl pˇr´ıtomen mal´ y vzorek student˚ u. Sp´ıˇse se jedná o konkrétn´ı názory ˇzák˚ u, které nám pomohly utvoˇrit si pˇredstavu o tom, zda je tento materiál vhodn´ y pro v´ yuku na stˇredn´ıch ˇskolách. K diplomové práci je pˇriloˇzeno CD, na kterém je pˇripravená i prezentace k ukázkové hodinˇe. Dále obsahuje vytvoˇrené webové stránky, které maj´ı analogickou formu v´ yukového materiálu jako text diplomové práce. Souˇca´st´ı jsou také konstrukˇcn´ı u ´lohy s ˇreˇsen´ım v programu Geogebra, ve kterém lze krokovat postupy jednotliv´ ych konstrukc´ı. Na webov´ ych stránkách jsou k dispozici i vytvoˇrené modely k jednotliv´ ym plochám.

10

Kapitola 1 Z´ akladn´ı pojmy 1.1

V´ ybˇ er ploch

Práce je zamˇeˇrena na vyuˇzit´ı geometrick´ ych ploch v praxi. Byl proveden v´ ybˇer takov´ ych ploch, které lze zaˇradit do tematického plánu v´ yuky deskriptivn´ı geometrie na stˇredn´ı ˇskole. Máme t´ım na mysli zaˇrazen´ı napˇr´ıklad do speciáln´ıho semináˇre jako rozˇsiˇruj´ıc´ı uˇcivo pro nadané ˇzáky. Proto pˇredpokládáme, ˇze dosavadn´ı znalosti ˇza´k˚ u z deskriptivn´ı geometrie a matematiky dostaˇcuj´ı k pochopen´ı nové látky. Za dostaˇcuj´ıc´ı znalosti z deskriptivn´ı geometrie povaˇzujeme znalost základn´ıch konstrukc´ı Mongeova prom´ıtán´ı a axonometrie. Z matematiky by mˇela b´ yt ˇza´k˚ um známa analytická geometrie a goniometrické funkce. V následuj´ıc´ım seznamu jsou plochy ˇrazené tak, jak se jim budeme postupnˇe v práci a pochopitelnˇe i bˇehem v´ yuky vˇenovat. V závorce je vˇzdy uvedeno k jak´ ym typ˚ um ploch lze plochu zaˇradit. Seznam vybran´ ych ploch: 1. kulov´ a plocha (rotaˇcn´ı cyklická) 2. anuloid (rotaˇcn´ı cyklická) 3. jednod´ıln´ y rotaˇ cn´ı hyperboloid (rotaˇcn´ı, pˇr´ımková zborcená) 4. rotaˇ cn´ı paraboloid (rotaˇcn´ı) 5. pravo´ uhl´ a uzavˇ ren´ a pˇ r´ımkov´ aˇ sroubov´ a plocha (pˇr´ımková ˇsroubová, pˇr´ımková zborcená) 11

6. koso´ uhl´ a uzavˇ ren´ a pˇ r´ımkov´ aˇ sroubov´ a plocha (pˇr´ımková ˇsroubová) 7. Archim´ edova serpentina (cyklická ˇsroubová) 8. hyperbolick´ y paraboloid (pˇr´ımková zborcená) 9. pˇ r´ım´ y parabolick´ y konoid (pˇr´ımková zborcená) 10. pˇ r´ım´ y vlnov´ y konoid (pˇr´ımková zborcená) Jednotlivé typy jsou bl´ıˇze specifikovány v následuj´ıc´ıch tˇrech kapitolách. Shrnuli jsme v nich základn´ı pojmy t´ ykaj´ıc´ı se rotaˇcn´ıch, ˇsroubov´ ych a pˇr´ımkov´ ych ploch. Zamˇeˇrili jsme se pouze na nejd˚ uleˇzitˇejˇs´ıch vlastnosti, které jsou dále vyuˇz´ıvány pˇri v´ yuce jednotliv´ ych vybran´ ych ploch. Podrobnˇejˇs´ı inforˇ ano bylo mace lze nalézt v publikac´ıch uveden´ ych v seznamu literatury. Cerp´ pˇredevˇs´ım z [1], [2].

1.2

Rotaˇ cn´ı plochy

1.2.1

Obecn´ e poznatky

Rotaˇcn´ı plochu vytvoˇr´ıme rotac´ı kˇrivky k tzv. tvoˇr´ıc´ı kˇrivky kolem pˇr´ımky o, kterou naz´ yváme osa rotaˇcn´ıho pohybu. Tvoˇr´ıc´ı kˇrivka neleˇz´ı v rovinˇe kolmé k ose rotace, ani s touto osou nespl´ yvá. Plocha je soumˇerná podle osy rotaˇcn´ıho pohybu. Pokud je tvoˇr´ıc´ı kˇrivkou rotaˇcn´ı plochy kruˇznice, hovoˇr´ıme o tzv. cyklické rotaˇcn´ı ploˇse. Vedeme-li ˇrez rotaˇcn´ı plochy rovinou procházej´ıc´ı osou rotaˇcn´ıho pohybu, naz´ yváme tento ˇrez poledn´ıkem rotaˇcn´ı plochy neboli meridi´ anem. Pokud by nav´ıc byla rovina ˇrezu rovnobˇeˇzná s pr˚ umˇetnou, jedná se o meridi´ an hlavn´ı. Rovina kaˇzdého meridiánu má tu vlastnost, ˇze je podle n´ı plocha soumˇerná, nebot’ tato rovina procház´ı osou rotaˇcn´ıho pohybu. Budeme-li uvaˇzovat bod X na tvoˇr´ıc´ı kˇrivce, která koná rotaˇcn´ı pohyb, pak tento bod opisuje tzv. rovnobˇeˇzkovou kruˇznici, kterou budeme oznaˇcovat y bod tvoˇr´ıc´ı kˇrivky se pohybuje po rovnobˇeˇzkové kruˇznici a tˇri rX . Kaˇzd´ z nich maj´ı speciáln´ı oznaˇcen´ı tzv. rovn´ık, kr´ ater a hrdlo. Pokud teˇcny meridiánu v bodech rovnobˇeˇzkové kruˇznice vytvoˇr´ı rotaˇcn´ı válcovou plochu a pokud je polomˇer rovnobˇeˇzkové kruˇznice ze vˇsech sousedn´ıch rovnobˇeˇzkov´ ych kruˇznic nejvˇetˇs´ı, naz´ yváme ji rovn´ık. Pokud teˇcny

12

meridiánu v bodech rovnobˇeˇzkové kruˇznice opˇet tvoˇr´ı rotaˇcn´ı válcovou plochu, ale polomˇer této rovnobˇeˇzkové kruˇznice je ze vˇsech sousedn´ıch rovnobˇeˇzkov´ ych kruˇznic nejmenˇs´ı, naz´ yváme ji hrdlo. Pokud teˇcny meridiánu v bodech rovnobˇeˇzkové kruˇznice leˇz´ı v rovinˇe, naz´ yváme tuto rovnobˇeˇzkovou kruˇznici kráter. Nav´ıc m˚ uˇzeme rozliˇsovat i tzv. hraniˇcn´ı rovnobˇeˇzkové kruˇznice, které vytvoˇr´ı koncové body tvoˇr´ıc´ı kˇrivky. Teˇcná rovina τ rotaˇcn´ı plochy je urˇcena teˇcnami ke dvˇema kˇrivkám plochy v daném bodˇe. Nejˇcastˇeji budeme vyuˇz´ıvat kombinaci teˇcny meridiánu tm a teˇcny rovnobˇeˇzkové kruˇznice tr nebo teˇcny tvoˇr´ıc´ı kˇrivky tk a teˇcny rovnobˇeˇzkové kruˇznice tr . Plat´ı, ˇze teˇcná rovina je kolmá na rovinu meridiánu, která procház´ı dan´ ym bodem dotyku. Pˇr´ımku kolmou k teˇcné rovinˇe a procházej´ıc´ı dan´ ym bodem naz´ yváme norm´ alou plochy a oznaˇcujeme ji n.

1.2.2

Parametrizace rotaˇ cn´ıch ploch

Pro parametrizaci rotaˇcn´ı plochy zvol´ıme jako tvoˇr´ıc´ı kˇrivku meridián m rotaˇcn´ı plochy leˇz´ıc´ı v jedné ze souˇradnicov´ ych rovin. Tato volba je pro naˇse odvozován´ı v´ yhodná, protoˇze pak jedna ze souˇradnic vektorového vyjádˇren´ı tohoto meridiánu bude rovna nule. Dále je pro nás v´ yhodné volit jako osu rotace jednu ze souˇradnicov´ ych os. My budeme u rotaˇcn´ıch ploch volit meridián leˇz´ıc´ı v rovinˇe yz a rotaci kolem osy z. Pokud bychom vˇsak zvolili jin´ y meridián a jinou osu rotaˇcn´ıho pohybu, princip odvozován´ı by byl analogick´ y. Vektorové vyjádˇren´ı zvoleného meridiánu v rovinˇe yz je ve vztahu (1.1), kde y(t), z(t) jsou funkce parametru t, jehoˇz hodnoty jsou z nˇejakého zvoleného intervalu I. m(t) = (0, y(t), z(t))

(1.1)

Kaˇzd´ y bod tohoto meridiánu pˇri rotaˇcn´ım pohybu kolem osy z opisuje rovnobˇeˇzkovou kruˇznici. Mˇen´ı se tedy jeho souˇradnice x a y, kdeˇzto souˇradnice z z˚ ustává nezmˇenˇena. Polomˇer rovnobˇeˇzkové kruˇznice urˇcuje souˇradnice y ve vektorovém vyjádˇren´ı meridiánu, tedy plat´ı R = |y(t)|. Vˇsechny rovnobˇeˇzkové kruˇznice dohromady tedy tvoˇr´ı rotaˇcn´ı plochu. Vektorové vyjádˇren´ı rotaˇcn´ı plochy zapisujeme vztahem (1.2). Souˇradnice x a y urˇcuj´ı rovnobˇeˇzkovou kruˇznici a souˇradnice z urˇcuje v jaké v´ yˇsce tato rovnobˇeˇzková kruˇznice leˇz´ı. Parametr u je z intervalu h0, 2π). P(u, t) = (R cos u, R sin u, z(t)) 13

(1.2)

Pokud dosad´ıme za polomˇer R, dostaneme koneˇcné vektorové vyjádˇren´ı rotaˇcn´ı plochy (1.3). P(u, t) = (|y(t)| cos u, |y(t)| sin u, z(t))

(1.3)

Dalˇs´ım zp˚ usobem odvozen´ı rotaˇcn´ı plochy je vyuˇzit´ı geometrick´ ych transformac´ı pomoc´ı maticového zápisu. Tento postup uvád´ıme pˇredevˇs´ım pro ˇza´ky matematického semináˇre, kteˇr´ı chápou operace s maticemi. Rotaˇcn´ı pohyb rovinné kˇrivky kolem osy z o u ´hel α oznaˇcujeme Rz(α) a matice vyjadˇruj´ıc´ı tuto transformaci má tvar, kter´ y je uveden ve vztahu ´ (1.4). Uhel otoˇcen´ı α uvaˇzujeme z intervalu h0, 2π). Rz(α)





cos α sin α 0   =  − sin α cos α 0  0 0 1

(1.4)

Meridián rotaˇcn´ı plochy vyjádˇr´ıme opˇet ve tvaru (1.5). m(t) = (0, y(t), z(t))

(1.5)

V´ yslednou rotaˇcn´ı plochu vyjádˇr´ıme vztahem (1.6) jako násoben´ı vektoru meridiánu a transformaˇcn´ı matice vyjadˇruj´ıc´ı rotaˇcn´ı pohyb. P(α, t) = m(t) · Rz(α)

(1.6)

Po dosazen´ı do (1.6) za meridián a matici rotace a po u ´pravˇe dostaneme vektorové vyjádˇren´ı rotaˇcn´ı plochy (1.7). P(α, t) = (−y(t) sin α, y(t) cos α, z(t))

(1.7)

Na prvn´ı pohled se zdá, ˇze vztahy (1.3) a (1.7) jsou dva odliˇsné v´ ysledky, ale ve skuteˇcnosti jde o stejnou rotaˇcn´ı plochu. Parametr u pln´ı stejnou funkci, jako u ´hel otoˇcen´ı α. V obou vyjádˇren´ı jsou jedn´ım systémem kˇrivek rovnobˇeˇzkové kruˇznice a druh´ ym systémem polomeridiány rotaˇcn´ı plochy, liˇs´ı se pouze t´ım, ˇze kdyˇz dosad´ıme do obou vztah˚ u stejné u ´hly, dostaneme dva r˚ uzné body rotaˇcn´ı plochy, ale v´ ysledná plocha je stejná. Zkuste si sami dosadit do obou vztah˚ u vˇzdy stejnou dvojici u ´hl˚ u a pˇresvˇedˇcete se o tom.

14

1.3

ˇ Sroubov´ e plochy

1.3.1

Obecn´ e poznatky

ˇ Sroubov´ e plochy vznikaj´ı ˇsroubov´ ym pohybem kˇrivky k, kterou opˇet naz´ yváme tvoˇr´ıc´ı kˇrivkou. Speciálnˇe, pokud bude tvoˇr´ıc´ı kˇrivkou pˇr´ımka, budeme mluvit o pˇr´ımkové ˇsroubové ploˇse a pokud bude tvoˇr´ıc´ı kˇrivkou kruˇznice, budeme o této ploˇse mluvit jako o cyklické ˇsroubové ploˇse. ˇ Sroubov´ y pohyb je sloˇzen´ım dvou elementárn´ıch pohyb˚ u, jsou jimi rotace ˇ kolem osy a posunut´ı ve smˇeru osy. Sroubov´ y pohyb obecnˇe urˇcujeme tˇremi prvky. Jsou jimi osa ˇsroubového pohybu o, tzv. redukovan´ a výˇska z´ avitu, kterou znaˇc´ıme v0 a posledn´ım prvkem je orientace ˇsroubového pohybu. Pravotoˇciv´ y smˇer znaˇc´ıme znaménkem (+) a levotoˇciv´ y (−). Mus´ıme vˇsak dávat pozor, protoˇze co je geometricky levotoˇcivé, to architekti a stavitelé naz´ yvaj´ı pravotoˇciv´ ym. yˇsku se posune bod X pˇri otoˇcen´ı Hodnota konstanty v0 udává, o jakou v´ ′ ′′ . o u ´hel α = 1rad = 57◦ 17 45 . Výˇskou jednoho z´ avitu naz´ yváme posunut´ı o v´ yˇsku v pˇri otoˇcen´ı o 2π radián˚ u. Pokud je tvoˇr´ıc´ı kˇrivkou pˇr´ımka, která procház´ı osou ˇsroubového pohybu, budeme hovoˇrit o tzv. uzavˇrené pˇr´ımkové ˇsroubové ploˇse. Naopak, pokud tvoˇr´ıc´ı pˇr´ımka nebude procházet osou ˇsroubového pohybu, budeme hovoˇrit o tzv. otevˇrené pˇr´ımkové ˇsroubové ploˇse. Provedeme-li ˇrez rovinou ρ, procházej´ıc´ı osou ˇsroubového pohybu, z´ıskáme tzv. podélný profil neboli osov´ y ˇrez. Pokud bude rovina ρ kolmá na osu o, pak z´ıskáme tzv. pˇr´ıˇcný profil neboli ˇceln´ı ˇrez. Meridiánem ˇsroubové plochy naz´ yváme osov´ y ˇrez pˇr´ısluˇsn´ y k jednomu závitu ˇsroubové plochy. Vˇsechny body tvoˇr´ıc´ı kˇrivky se pohybuj´ı po trajektorii, kterou je v pˇr´ıpadˇe ˇsroubov´ ych ploch ˇsroubovice.

1.3.2

Parametrizace ˇ sroubov´ ych ploch

Jak bylo ˇreˇceno v´ yˇse, meridián ˇsroubov´ ych ploch je opˇet ˇrez rovinou, která procház´ı osou ˇsroubového pohybu. U ˇsroubov´ ych ploch je meridiánem pouze ˇca´st kˇrivky, která pˇr´ısluˇs´ı jednomu závitu. Stejnˇe jako v kapitole (1.2) i tady pro nás bude v´ yhodné volit meridián leˇz´ıc´ı v jedné ze souˇradnicov´ ych rovin, aby byla jedna ze souˇradnic vektorového vyjádˇren´ı nulová.

15

Opˇet budeme volit meridián v rovinˇe yz, kter´ y vyjádˇr´ıme vztahem (1.8). Jednotlivé sloˇzky vektoru y(t), z(t) jsou, stejnˇe jako u rotaˇcn´ıch ploch, funkce parametru t, jehoˇz hodnoty jsou z nˇejakého intervalu I. m(t) = (0, y(t), z(t))

(1.8)

Dále v´ıme, ˇze ˇsroubov´ y pohyb je sloˇzen z rotace kolem osy o u ´hel α a posunut´ı o nˇejak´ y vektor ve smˇeru osy ˇsroubového pohybu. Proto i parametrické vyjádˇren´ı ˇsroubové plochy bude sloˇzen´ım jednotliv´ ych pohyb˚ u. Kdyˇz bod rotuje kolem osy o nˇejak´ yu ´hel, mˇen´ı se souˇradnice x a zároveˇ n i souˇradnice y. Pˇri posouván´ı se mˇen´ı souˇradnice z o vektor posunut´ı. Proto budeme ˇsroubovou plochu vyjadˇrovat ve tvaru (1.9). Parametr u je z intervalu h0, 2πi. P(u, t) = (R cos u, R sin u, z(t) + v0 u)

(1.9)

Polomˇer kruˇznice pˇri rotaci je, stejnˇe jako rotaˇcn´ıch ploch, souˇradnice y vektorového vyjádˇren´ı meridiánu R = |y(t)|. Pokud opˇet dosad´ıme do vztahu (1.9) za polomˇer dostaneme koneˇcné vektorové vyjádˇren´ı ˇsroubové plochy ve tvaru (1.10). P(u, t) = (|y(t)| cos u, |y(t)| sin u, z(t) + v0 u)

(1.10)

Také pro vyjádˇren´ı ˇsroubové plochy m˚ uˇzeme vyuˇz´ıt maticového poˇctu. Transformaˇcn´ı matici vyjadˇruj´ıc´ı rotaci kolem osy z o u ´hel α je dána tvarem (1.11), kde u ´hel α je z intervalu h0, 2πi. Rz(α)





cos α sin α 0   =  − sin α cos α 0  0 0 1

(1.11)

Pro meridián ˇsroubové plochy opˇet vyuˇzijeme tvar (1.12). m(t) = (0, y(t), z(t))

(1.12)

Vztahem (1.13) vyjadˇrujeme vektor posunut´ı, o kter´ y se dan´ y bod posune pˇri otoˇcen´ı o u ´hel α. T(α) = (0, 0, v0 α)

16

(1.13)

Pravotoˇcivou ˇsroubovou plochu vyjádˇr´ıme vztahem (1.14) a levotoˇcivou ˇsroubovou plochu vztahem (1.15). P(α, t) = m(t) · Rz(α) + T(α) P(α, t) = m(t) · Rz(α) − T(α)

(1.14) (1.15)

Pokud dosad´ıme do vztah˚ u (1.14) a (1.15) za meridián, matici rotace a vektor posunut´ı z´ıskáme po u ´pravˇe koneˇcné vektorové vyjádˇren´ı. Pro pravotoˇcivou ˇsroubovou plochu vztah (1.16) a pro levotoˇcivou ˇsroubovou plochu vztah (1.17). P(α, t) = (−y(t) sin α, y(t) cos α, z(t) + v0 α) P(α, t) = (−y(t) sin α, y(t) cos α, z(t) − v0 α)

1.4 1.4.1

(1.16) (1.17)

Pˇ r´ımkov´ e plochy Obecn´ e poznatky

Pˇr´ımkové plochy vznikaj´ı pohybem pˇr´ımky p. Pˇr´ımku p naz´ yváme tvoˇr´ıc´ı pˇr´ımkou nebo tzv. povrˇskou plochy. Obecnˇe pˇr´ımkové plochy rozliˇsujeme na rozvinutelné pˇr´ımkové plochy a na zborcené pˇr´ımkové plochy. Rozvinutelné pˇr´ımkové plochy jsou charakterizovány tzv. torzáln´ımi pˇr´ımkami, coˇz jsou takové pˇr´ımky, podél nichˇz existuje jedna teˇcná rovina. Vˇsechny povrchové pˇr´ımky rozvinuteln´ ych ploch jsou torzáln´ı. Typick´ ym pˇr´ıkladem rozvinutelné plochy je rotaˇcn´ı kuˇzelová plocha. Naopak zborcené plochy charakterizuj´ı tzv. regul´ arn´ı pˇr´ımky, podél nichˇz existuje cel´ y svazek teˇcn´ ych rovin. Povrchové pˇr´ımky zborcen´ ych ploch nemus´ı b´ yt vˇsechny regulárn´ı. Zborcená plocha m˚ uˇze obsahovat jednu nebo hned nˇekolik torzáln´ıch pˇr´ımek. Pˇr´ıkladem zborcené plochy m˚ uˇze b´ yt jednod´ıln´ y hyperboloid. V diplomové práci jsme se zamˇeˇrili pouze na plochy zborcené, mezi které zaˇrad´ıme tzv. konoidy. Konoidy jsou plochy urˇcené tˇremi prvky, kter´ ymi jsou ˇr´ıdic´ı kˇrivka, ˇr´ıdic´ı pˇr´ımka a ˇr´ıdic´ı rovina. Povrchové pˇr´ımky plochy spojuj´ı body na ˇr´ıdic´ı pˇr´ımce s body na ˇr´ıdic´ı kˇrivce. Pro povrchové pˇr´ımky dále plat´ı, ˇze jsou rovnobˇeˇzné s ˇr´ıdic´ı rovinou. Vˇsechny povrchové pˇr´ımky jsou navzájem mimobˇeˇzné. 17

Konoidy naz´ yváme zpravidla podle jejich ˇr´ıdic´ı kˇrivky. Je-li ˇr´ıdic´ı kˇrivkou kruˇznice - kruhový konoid, parabola - parabolický konoid, ˇsroubovice - ˇsroubový konoid atd. Pokud by ˇr´ıdic´ı pˇr´ımka byla kolmá na ˇr´ıdic´ı rovinu, pak budeme mluvit o tzv. pˇr´ımém konoidu, v opaˇcném pˇr´ıpadˇe budeme mluvit o tzv. koso´ uhlém konoidu. V diplomové práci jsme se omezili pouze na pˇr´ımé konoidy.

1.4.2

Parametrizace konoid˚ u

Protoˇze konoidy jsou ménˇe známé plochy, pro parametrizaci vyjdeme z obr. 1.1, d´ıky kterému si ˇctenáˇr m˚ uˇze snadnˇeji plochu pˇredstavit.

Obrázek 1.1: Parametrizace konoid˚ u Mˇejme tedy zadánu ˇr´ıdic´ı kˇrivku k v rovinˇe yz vektorov´ ym vyjádˇren´ım (1.18), kde y(t) a z(t) jsou funkce parametru t, kter´ y náleˇz´ı nˇejakému intervalu I. k(t) = (0, y(t), z(t))

(1.18)

ˇ ıdic´ı rovinou plochy necht’ je rovina xz. Protoˇze se v práci zab´ R´ yváme pouze pˇr´ım´ ymi konoidy, plat´ı ˇze ˇr´ıdic´ı pˇr´ımka q leˇz´ıc´ı v rovinˇe kolmé k rovinˇe xz. Volme tedy ˇr´ıdic´ı pˇr´ımku, která leˇz´ı v rovinˇe xy nebo v rovinˇe s n´ı rovnobˇeˇznou. Pro ˇr´ıdic´ı pˇr´ımku pak plat´ı vztah (1.19), kde parametr t náleˇz´ı stejnému intervalu I jako parametr ˇridic´ı kˇrivky. Hodnota d urˇcuje vzdálenost ˇr´ıdic´ı 18

pˇr´ımky od roviny, ve které leˇz´ı ˇr´ıdic´ı kˇrivka. Jedná se o konstantu z oboru reáln´ ych ˇc´ısel R a zároveˇ n plat´ı, ˇze d 6= 0. q(t) = (d, y(t), 0)

(1.19)

Povrchové pˇr´ımky p spojuj´ı body ˇr´ıdic´ı kˇrivky k a ˇr´ıdic´ı pˇr´ımky q. Smˇerov´ y vektor tˇechto povrchov´ ych pˇr´ımek vyjádˇr´ıme vztahem (1.20). Nejedná se zde o smˇerov´ y vektor konkrétn´ı povrchové pˇr´ımky, ale o smˇerov´ y vektor celé mnoˇziny povrchov´ ych pˇr´ımek. s = k(t) − q(t) = (−d, 0, z(t))

(1.20)

Plochu konoidu pak vyjádˇr´ıme vztahem (1.21). Vycház´ıme z parametrického vyjádˇren´ı pˇr´ımky v analytické geometrii. Opˇet se zde jedná o vyjádˇren´ı celé mnoˇziny povrchov´ ych pˇr´ımek, které vytváˇrej´ı plochu pˇr´ımého konoidu. Parametr u je z nˇejakého intervalu J. P(u, t) = q(t) + su

(1.21)

Po dosazen´ı za ˇr´ıdic´ı pˇr´ımku a smˇerov´ y vektor dostaneme po u ´pravˇe koneˇcné vektorové vyjádˇren´ı pˇr´ımého konoidu (1.22). Jiné pˇr´ıpady um´ıstˇen´ı ˇr´ıdic´ı kˇrivek a ˇr´ıdic´ı pˇr´ımky se odvozuj´ı analogicky. P(u, t) = (d − du, y(t), z(t)u)

1.5

(1.22)

Pracovn´ı listy

Pro kaˇzd´ y typ ploch (rotaˇcn´ı, ˇsroubové, pˇr´ımkové) byl pˇripraven pracovn´ı list, kter´ y navazuje na pˇredcházej´ıc´ı v´ yklad nové látky. Kaˇzd´ y pracovn´ı list obsahuje nˇekolik odd´ıl˚ u, které jsou vˇenované konkrétn´ım plochám. Vu ´vodu pracovn´ıch list˚ u jsou vˇzdy shrnuty základn´ı poznatky t´ ykaj´ıc´ı se rotaˇcn´ıch, ˇsroubov´ ych nebo pˇr´ımkov´ ych ploch. Následuj´ı menˇs´ı odd´ıly ke kaˇzdé konkrétn´ı ploˇse a tyto odd´ıly jsou rozdˇeleny na tˇri typy u ´loh. Kaˇzd´ y typ u ´loh je oznaˇcen jedn´ım z následuj´ıc´ıch obrázk˚ u. Na obr. 1.2 vlevo je oznaˇcen´ı pro v´ ykladovou ˇcást. Je oddˇelena rámeˇckem, abychom zv´ yraznili, ˇze se jedná o shrnut´ı v´ ykladu. Pro ovˇeˇren´ı, zda jsou ˇzaći pˇri v´ yuce pozorn´ı a soustˇredˇen´ı, jsme zde uvedli nˇekolik jednoduch´ ych otázek au ´kol˚ u, u kter´ ych ˇzaći vyplˇ nuj´ı odpovˇedi. Orámovanou ˇca´st lze vyuˇz´ıt bud’ jako shrnut´ı v závˇeru hodiny nebo jako kontroln´ı test k opakován´ı. 19

Obrázek 1.2: Oznaˇcen´ı jednotliv´ ych ˇca´st´ı v pracovn´ım listˇe

Na obr. 1.2 uprostˇred je oznaˇcen´ı pro u ´lohy, které bˇehem vyuˇcovac´ı hodiny provád´ı vyuˇcuj´ıc´ı spoleˇcnˇe se ˇza´ky. K tˇemto u ´lohám uˇcitel vyuˇz´ıvá tabuli pro matematické odvozován´ı a program Geogebra, ve kterém jsou jednotlivé u ´lohy vyˇreˇseny. V tomto programu m˚ uˇze jednotlivé konstrukce ˇza´k˚ um odkrokovat. M˚ uˇze zde ˇzák˚ um také ukázat, jak bude vypadat celé ˇreˇsen´ı pˇr´ıkladu, ˇ aci maj´ı nebot’ bˇehem hodiny nen´ı vˇzdy dostatek ˇcasu vyˇreˇsit cel´ y pˇr´ıklad. Z´ ke kaˇzdému konstrukˇcn´ımu pˇr´ıkladu k dispozici návodné kroky. Tˇret´ı ˇca´st, která je zamˇeˇrená na samostatnou práci ˇzák˚ u, je oznaˇcena obr. 1.2 vpravo. Uˇcitel si na tˇret´ı ˇca´sti opˇet ovˇeˇr´ı pozornost ˇzák˚ u bˇehem vyuˇcovac´ı hodiny. Tyto pˇr´ıklady ˇreˇs´ı ˇzáci bˇehem v´ yuky samostatnˇe nebo je lze zadat jako domác´ı u ´kol. Pracovn´ı listy jsou pˇridány do pˇr´ıloh. Vˇsechny konstrukˇcn´ı u ´lohy a jejich ˇreˇsen´ı v programu Geogebra jsou souˇcást´ı vytvoˇren´ ych webov´ ych stránek, které jsou um´ıstˇené na pˇriloˇzeném CD.

20

Kapitola 2 Vybran´ e rotaˇ cn´ı plochy V následuj´ıc´ı ˇca´sti naváˇzeme na kapitolu (1.2) a budeme se vˇenovat vybran´ ym rotaˇcn´ım plochám. Vybrali jsme kulovou plochu, anuloid, rotaˇcn´ı paraboloid a jednod´ıln´ y rotaˇcn´ı hyperboloid. U kaˇzdé plochy je uvedeno jak´ ym zp˚ usobem je vytvoˇrena, jak dospˇejeme k matematickému odvozen´ı vektorového vyjádˇren´ı a dále pˇr´ıklady vyuˇzit´ı plochy v praxi. Ke kaˇzdému typu ploch byl pˇripraven pracovn´ı list, kter´ y je dˇelen na d´ılˇc´ı ˇca´sti. Tyto ˇca´sti jsou vˇenované otázkám a konstrukˇcn´ım u ´lohám na konkrétn´ı plochu. Na závˇer byl vypracován model plochy bud’ ve 3D modeláˇr´ıch (Google SketchUp, Rhino) nebo fyzick´ y model.

2.1

Kulov´ a plocha

2.1.1

Zaˇ razen´ı plochy

Kulová plocha je mnoˇzina bod˚ u v prostoru, které maj´ı od daného bodu S stejnou vzdálenost r. Kulová plocha neboli sféra vzniká rotac´ı kruˇznice k kolem osy o, proto tuto plochu ˇrad´ıme do cyklick´ ych rotaˇcn´ıch ploch. Osa rotaˇcn´ıho pohybu leˇz´ı v rovinˇe tvoˇr´ıc´ı kruˇznice, která je také meridiánem plochy. Aby vznikla kulová plocha, mus´ı stˇred tvoˇr´ıc´ı kruˇznice leˇzet na ose rotaˇcn´ıho pohybu. Proto je kulová plocha podle osy rotaˇcn´ıho pohybu soumˇerná. Jako osu rotace zvol´ıme osu z a stˇred kulové plochy um´ıst´ıme do poˇcátku souˇradnicové soustavy. Model kulové plochy vid´ıme na obr. 2.1.

21

Obrázek 2.1: Model kulové plochy

2.1.2

Obrázek 2.2: Princip odvozen´ı kulové plochy

Matematick´ e odvozen´ı plochy

Pro odvozen´ı vektorového vyjádˇren´ı vyjdeme z obr. 2.2. Necht’ je dána kruˇznice k se stˇredem S = [0, 0, 0] a polomˇerem r. Tato kruˇznice leˇz´ı v rovinˇe yz a je hlavn´ım meridiánem kulové plochy. Osou rotaˇcn´ıho pohybu je souˇradnicová osa z. Na tvoˇr´ıc´ı kruˇznici zvolme bod X. Vyznaˇc´ıme vzdálenost tohoto bodu od stˇredu S tvoˇr´ıc´ı kruˇznice (polomˇer). Souˇradnicová osa y sv´ırá s u ´seˇckou SX u ´hel t. Pro vypoˇcten´ı souˇradnice x a y bodu X vycház´ıme z definice goniometrick´ ych funkc´ı. Plat´ı, ˇze tvoˇr´ıc´ı kruˇznice, je mnoˇzinou vˇsech bod˚ u X, jejichˇz vzdálenost od bodu S se rovná polomˇeru r. Pro tvoˇr´ıc´ı kruˇznici tedy plat´ı vektorové vyjádˇren´ı (2.1). Pro vytvoˇren´ı kulové plochy staˇc´ı vyuˇz´ıt jen polovinu tvoˇr´ıc´ı kruˇznice, nebot’ rotaˇcn´ı plochy jsou soumˇerné podle osy rotaˇcn´ıho pohybu. Proto jsou hodnoty parametru t z intervalu h− π2 , π2 i. k(t) = (0, r cos t, r sin t)

(2.1)

Kaˇzd´ y bod tvoˇr´ıc´ı kruˇznice se pohybuje po rovnobˇeˇzkové kruˇznici leˇz´ıc´ı v rovinˇe xy nebo v rovinˇe rovnobˇeˇzné s rovinou xy. Polomˇer rovnobˇeˇzkové kruˇznice oznaˇc´ıme R. Tento polomˇer R se rovná souˇradnici y vektorového vyjádˇren´ı tvoˇr´ıc´ı polokruˇznice, plat´ı R = r cos t, viz obr. 2.2. Kulová plocha je tvoˇrena vˇsemi rovnobˇeˇzkov´ ymi kruˇznicemi, které opisuj´ı body X na tvoˇr´ıc´ı kruˇznici. Vektorové vyjádˇren´ı kulové plochy tedy zap´ıˇseme 22

ve tvaru (2.2). Parametr t je obsaˇzen ve vyjádˇren´ı polomˇeru R. Parametr u je z intervalu h0, 2π). P(u, t) = (R cos u, R sin u, r sin t)

(2.2)

Pokud dosad´ıme za polomˇer R, dostaneme koneˇcné vektorové vyjádˇren´ı kulové plochy (2.3). P(u, t) = (r cos t cos u, r cos t sin u, r sin t)

(2.3)

Toto vyjádˇren´ı plat´ı pouze v pˇr´ıpadˇe, ˇze stˇred tvoˇr´ıc´ı kruˇznice leˇz´ı v poˇcátku souˇradnicového systému. Tvoˇr´ıc´ı kruˇznici m˚ uˇzeme posouvat libovolnˇe po prostoru. Zmˇen´ı se souˇradnice stˇredu z S = [0, 0, 0] na S = [sx , sy , sz ]. Tyto posunuté souˇradnice pˇriˇc´ıtáme k jednotliv´ ym souˇradnic´ım vektorového vyjádˇren´ı (2.3) a kulovou plochu s posunut´ ym stˇredem pak vyjádˇr´ıme vztahem (2.4). P(s, t) = (sx + r cos t cos u, sy + r cos t sin u, sz + r sin t)

(2.4)

Jedná se o vektorové vyjádˇren´ı pomoc´ı sférických souˇradnic 1 . Jin´ ym zp˚ u2 sobem parametrizace kulové plochy je tzv. racion´ aln´ı parametrizace .

2.1.3

Praktick´ e vyuˇ zit´ı plochy

1. zastˇ reˇ sov´ an´ı budov: V architektuˇre je vyuˇz´ıváno r˚ uzn´ ych ˇcást´ı kulové plochy k zastˇreˇsován´ı budov. Tˇemito ˇcástmi jsou napˇr´ıklad kulov´ y vrchl´ık a plocha polokoule. Dalˇs´ım ˇca´stem kulové plochy, kter´ ych se vyuˇz´ıvá k zastˇreˇsován´ı, ˇr´ıkáme sférické troj´ uheln´ıky. Pro vysvˇetlen´ı pojmu sférick´ y troj´ uheln´ık zavedeme nejprve pojem trojhran. Vyjdeme z obr. 2.3. 1

Nˇekdy se pouˇz´ıv´ a pro parametry t a u oznaˇcen´ı geografické souˇradnice. Parametr t urˇcuje zemˇepisnou délku (poledn´ıky) a parametr u urˇcuje zemˇe pisnou ˇs´ıˇrku (rovnobˇeˇzky) 2

Ve vektorovém vyj´ adˇren´ı P(u, v ) =

a(u,v) c(u,v) e(u,v) b(u,v) , d(u,v) , f (u,v)

plat´ı, ˇze prvky a(u, v),

b(u, v), c(u, v), d(u, v), e(u, v) a f(u, v) jsou polynomy dvou promˇenn´ ych, kde u, v ∈ R. Tyto polynomy se vyjadˇruj´ı pomoc´ı jednotkové sféry se stˇredem S = [0, 0, 0], na které se zvol´ı bod A = [0, 0, 1] jako tzv. p´ ol. Kaˇzd´ y bod sféry se pak spoj´ı s t´ımto p´ olem a vzniklé pˇr´ımky prot´ınaj´ı rovinu xy. Vektorové vyj´ adˇren´ı tˇechto pˇr´ımek se dosazuje do vyj´ adˇren´ı pro jednotkovou sféru x2 + y 2 + z 2 = 1. V´ ysledn´ a racion´ aln´ı parametrizace bude ve 2tvaru +v 2 −1 2u 2v . Opˇet je moˇzné vyuˇz´ıt posunut´ y ve tvaru P(u, v ) = r · u1+u 2 +v 2 , r · 1+u2 +v 2 , r · 1+u2 +v 2 stˇred.

23

Obrázek 2.3: Vysvˇetlen´ı pojmu trojhran

Obrázek 2.4: Sférick´ y troj´ uheln´ık

Je dána rovina tˇremi body A’, B’, C’. Dále je dán bod S, kter´ y v rovinˇe neleˇz´ı. Trojhran definujeme jako mnoˇzinu bod˚ u vˇsech polopˇr´ımek s poˇca´tkem v bodˇe S, které prot´ınaj´ı danou rovinu v troj´ uheln´ıku A’B’C’ a budeme ho znaˇcit S(A’, B’, C’). Bod S je vrcholem trojhranu, polopˇr´ımky SA’, SB’ a SC’ jsou hrany trojhranu, u ´hly 6 C’A’B’ = α, 6 A’B’C’ = β a 6 B’C’A’ = γ naz´ yváme u ´hly trojhranu a u ´hly 6 A’SC’ = η, 6 A’SB’ = θ a 6 B’SC’ = ζ naz´ yváme stˇenami trojhranu. Ve sférické trigonometrii se délky stran trojhranu definuj´ı jako velikosti pˇr´ısluˇsn´ ych u ´hl˚ u η, θ, ζ. Nyn´ı um´ıst´ıme vrchol trojhranu S do stˇredu kulové plochy o polomˇeru R. Sférick´ y troj´ uheln´ık definujeme jako pr˚ unik kulové plochy o polomˇeru R a trojhranu S(A’, B’, C’). Tam kde hrany trojhranu protnou kulovou plochu z´ıskáváme vrcholy sférického troj´ uheln´ıku A, B, C, viz obr. 2.4. Strany sférického troj´ uheln´ıku chápeme jako oblouky a, b, c, ve kter´ ych stˇeny trojhranu prot´ınaj´ı kulovou plochu. Pro v´ ypoˇcet délky kruhov´ ych oblouk˚ u pˇr´ısluˇsej´ıc´ı k danému u ´hlu α ve stupn´ıch je vyuˇz´ıván následuj´ıc´ı vztah (2.5). L =

2πr ·α 360

(2.5)

Pokud bychom chtˇeli vypoˇc´ıtat délky oblouk˚ u a, b a c, pak bychom 24

do vztahu (2.5) dosadili pˇr´ısluˇsné u ´hly η, θ nebo ζ a polomˇer kulové plochy R. Tyto oblouky jsou zároveˇ n ˇca´sti hlavn´ıch kruˇznic, které jsou taktéˇz v obr. 2.4 vyznaˇceny. Hlavn´ı kruˇznici sféry definujeme jako kruˇznici, která leˇz´ı v rovinˇe procházej´ıc´ı stˇredem kulové plochy. Polomˇer hlavn´ı kruˇznice je shodn´ y s polomˇerem sféry. V´ıce o sférické geometrii lze nalézt v [7]. Typick´ ym pˇr´ıkladem vyuˇzit´ı sférického troj´ uheln´ıku v architektuˇre je budova Státn´ı opery v Sydney, viz obr. 2.5. Na obr. 2.6 je pak maketa jednotliv´ ych ˇca´st´ı kulové plochy (r˚ uzn´ ych sférick´ ych troj´ uheln´ık˚ u), kter´ ych architekt vyuˇzil. Tato maketa je um´ıstˇena pˇred budovou Státn´ı opery a m˚ uˇzeme si na n´ı vˇsimnout, jak´ ym zp˚ usobem byly jednotlivé skoˇrepiny z´ıskány.

Obrázek 2.5: Státn´ı opera Sydney

Obrázek 2.6: Maketa skoˇrepin

Pro celou stavbu bylo vyuˇzito celkem 20 skoˇrepin v následuj´ıc´ım sloˇzen´ı. Jednotlivá ˇc´ısla skoˇrepin jsou uvedená na obr. 2.6 vpravo dole. • skoˇrepina ˇc´ıslo 1 . . . 6x • skoˇrepina ˇc´ıslo 2 . . . 6x • skoˇrepina ˇc´ıslo 3 . . . 4x • skoˇrepina ˇc´ıslo 4 . . . 4x Zaj´ımavost´ı je, ˇze vˇsechny jsou pokryty keramick´ ymi dlaˇzdicemi lesklé ˇ edska. Budova je také zapsána b´ılé barvy, speciálnˇe dovezen´ ych ze Sv´ do seznamu svˇetového kulturn´ıho dˇedictv´ı UNESCO. V pˇr´ıpadˇe Státn´ı 25

opery v Sydney se jedná o prvn´ıho ˇzij´ıc´ıho architekta jehoˇz stavba z´ıskala tak v´ yznamné ocenˇen´ı. Bohuˇzel rok poté architekt Jφrn Utzon zemˇrel ve vˇeku 90 let. 2. kuliˇ ckov´ a myˇ s: Neˇz doˇslo k dalˇs´ım technick´ ym pokrok˚ um v oblasti informaˇcn´ıch technologi´ı, byla kulová plocha vyuˇz´ıvána i u tzv. kuliˇckové myˇsi, viz obr. 2.7.

Obrázek 2.7: Schéma kuliˇckové myˇsi

Obrázek 2.8: Kulová dotyková mˇeˇr´ıc´ı sonda

Kuliˇcka (1) byla um´ıstˇena mezi dvˇemi navzájem kolm´ ymi hˇr´ıdelkami (2). Jedna zajiˇst’ovala horizontáln´ı pohyb a druhá vertikáln´ı pohyb. Pˇri pohybu myˇs´ı se pohyb pˇrenáˇsel na tyto hˇr´ıdelky, které následnˇe roztáˇcely otoˇcné clonky s ok´ ynky (3, 4). Dále zde byl um´ıstˇen svˇeteln´ y senzor, kter´ y zm´ınˇené clonky prosvˇecoval (5). Vˇzdy se prosv´ıtilo pouze jedno okénko z jedné clonky, protoˇze druhá byla pootoˇcená. Na základˇe toho, které okénko z jaké clonky bylo prosv´ıcené svˇeteln´ ym paprskem, mechanismus rozpoznal smˇer pohybu. V kaˇzdé takové myˇsi bylo ˇcidlo, které pˇremˇen ˇovalo pˇreruˇsované paprsky na elektrické impulsy, které vys´ılaly signály pro pohyb kursoru na monitoru. Nev´ yhodou kuliˇckové myˇsi bylo, ˇze fungovala jen na urˇcitém typu povrchu. Na hladkém povrchu kuliˇcka prokluzovala, proto byl mechanismus nepˇresn´ y. Dále byly kuliˇckové myˇsi velice náchylné na prach, 26

proto byla d˚ uleˇzitá jejich u ´drˇzba. Podrobnˇejˇs´ı informace o fungován´ı poˇc´ıtaˇcov´ ych myˇs´ı viz [10]. 3. stroj´ırenstv´ı: Kulová plocha je vyuˇz´ıvána vˇsude, kde je potˇreba zajistit co nejmenˇs´ı tˇren´ı pˇri posunu. Typick´ ym pˇr´ıkladem jsou kuliˇcková loˇziska. Uvnitˇr kuliˇckového loˇziska jsou dráˇzky, ve kter´ ych se odvaluj´ı kovové kuliˇcky. Vzhledem k tomu, ˇze se o kuliˇckov´ ych loˇzisc´ıch zm´ın´ıme jeˇstˇe v kapitole, která se t´ yká anuloidu, obrázek uvedeme v následuj´ıc´ı kapitole. Kulová plocha je vyuˇz´ıvána také u tzv. kulové dotykové mˇeˇr´ıc´ı sondy. Jedná se o souˇradnicov´ y mˇeˇr´ıc´ı pˇr´ıstroj pouˇz´ıvan´ y napˇr. pro mˇeˇren´ı obroben´ ych souˇca´st´ı ve stroj´ırenstv´ı. Princip mˇeˇren´ı spoˇc´ıvá v tom, ˇze v prostoru urˇc´ıme pevn´ y základn´ı bod a polohy ostatn´ıch bod˚ u z´ıskáme mˇeˇren´ım souˇradnicov´ ych rozmˇer˚ u na osách x, y, z. Jako polohu základn´ıho bodu uvaˇzujeme souˇradnice stˇredu kulového zakonˇcen´ı hrotu sondy. Na obr. 2.8 je zobrazeno schéma mˇeˇr´ıc´ı sondy pracuj´ıc´ı ve tˇrech smˇerech. Ve schématu je (1) tˇelo sondy. Uvnitˇr je kolem obvodu um´ıstˇen krouˇzek se tˇremi dráˇzkami (4) s elektrick´ ym kontaktem, ty jsou rovnomˇernˇe rozm´ıstˇené po 120◦ . Mˇeˇr´ıc´ı hrot (5) je napojen na tˇri ramena zakonˇcená kuliˇckami, které jsou um´ıstˇeny uvnitˇr tˇela sondy v dráˇzkách. V tˇechto dráˇzkách jsou drˇzeny d´ıky pruˇzinˇe (2), která na nˇe vyv´ıj´ı tlak. Kdyˇz se kulové zakonˇcen´ı hrotu sondy dotkne mˇeˇrené souˇcástky (6), pˇreruˇs´ı se elektrick´ y kontakt v jedné z dráˇzek a zaˇcne se vys´ılat signál. V´ıce informac´ı o mˇeˇren´ı ve stroj´ırenstv´ı lze nalézt v [11].

2.1.4

Pracovn´ı list - kulov´ a plocha

Pracovn´ı list, t´ ykaj´ıc´ı se kulové plochy, je souˇcást´ı pracovn´ıho listu k rotaˇcn´ım plochám. Budeme se tedy vˇenovat pouze odd´ılu, kter´ y je vˇenován kulové ploˇse. V u ´vodu je ˇza´k˚ um poloˇzeno nˇekolik otázek, ve kter´ ych jsou shrnuty d˚ uleˇzité informace, které byly vyloˇzeny bˇehem v´ yuky. Následuje ˇca´st s konstrukcemi a pˇr´ıklady, které jsou souˇca´st´ı v´ yuky. Pro prvn´ı pˇr´ıklad, kdyˇz ˇzáci poˇc´ıtaj´ı délky oblouk˚ u, je vhodné vyuˇz´ıt i drátˇen´ y model kulové plochy, aby ˇzaći pˇresnˇe vidˇeli, co poˇc´ıtaj´ı.

27

Ve druhém pˇr´ıkladu maj´ı ˇzáci za u ´kol sestrojit p˚ udorys bodu leˇz´ıc´ıho na rotaˇcn´ı ploˇse. Ve tˇret´ım a ˇctvrtém pˇr´ıkladu ˇzaći konstruuj´ı ˇrez kulové plochy rovinou. Kv˚ uli nedostatku ˇcasu zde ˇzaći konstruuj´ı pouze jeden bod ˇrezu a následnˇe maj´ı k dispozici ˇreˇsen´ı v Geogebˇre. V pátém pˇr´ıkladu je u ´kolem ˇza´k˚ u odvodit vektorové vyjádˇren´ı kulové plochy. V posledn´ı ˇca´sti, t´ ykaj´ıc´ı se kulové plochy, maj´ı ˇzáci tˇri u ´koly. Vybrat správnou odpovˇed’ na otázku, dále vybrat správn´ y obrázek podle zadán´ı a následnˇe s vyuˇzit´ım konstrukc´ı z v´ yuky sestrojit sférick´ y troj´ uheln´ık pomoc´ı ˇrezu kulové plochy.

2.2 2.2.1

Anuloid Zaˇ razen´ı plochy

Obrázek 2.9: Model anuloidu ˇ ıme ji mezi Na obr. 2.9 vid´ıme plochu zvanou anuloid neboli torus. Rad´ cyklické rotaˇcn´ı plochy, jelikoˇz vzniká rotac´ı kruˇznice k kolem osy o, která leˇz´ı ve stejné rovinˇe jako kruˇznice k. Podm´ınkou vˇsak mus´ı b´ yt, ˇze stˇred rotuj´ıc´ı kruˇznice neleˇz´ı na ose rotaˇcn´ıho pohybu (vznikla by kulová plocha). Rozliˇsujeme tˇri typy anuloidu, podle vzájemné polohy tvoˇr´ıc´ı kˇrivky a osy, kolem které daná tvoˇr´ıc´ı kˇrivka rotuje.

28

1. Pokud je osa rotaˇcn´ıho pohybu seˇcnou rotuj´ıc´ı kruˇznice, pak tuto plochu naz´ yváme melanoid, viz obr. 2.10 vlevo. 2. Stane-li se osa teˇcnou rotuj´ıc´ı kruˇznice, z´ıskáme plochu zvanou axoid, viz obr. 2.10 uprostˇred. 3. Pokud nenastane ani jedna z pˇredeˇsl´ ych moˇznost´ı, tedy osa rotace je vnˇejˇs´ı pˇr´ımkou kruˇznice, pak této ploˇse ˇr´ıkáme anuloid, viz obr. 2.10 vpravo.

Obrázek 2.10: Zleva: anuloid, axoid, melanoid Zavedeme zde pojmy vnitˇrn´ı a vnˇejˇs´ı polomˇer. Vnitˇrn´ı polomˇer budeme definovat jako polomˇer tvoˇr´ıc´ı kruˇznice a vnˇejˇs´ı polomˇer budeme definovat jako polomˇer kruˇznice, po které se pohybuje stˇred tvoˇr´ıc´ı kruˇznice pˇri rotaˇcn´ım pohybu. Anuloid lze zaˇradit také do skupiny tzv. obalových ploch.3 Rovinné kˇrivky, které vzniknou ˇrezem anuloidu rovinou, která je rovnobˇeˇzná s osou rotaˇcn´ıho pohybu, naz´ yváme Cassiniho ov´ aly. Tvar tˇechto kˇrivek závis´ı na pomˇeru vnˇejˇs´ıho a vnitˇrn´ıho polomˇeru plochy anuloidu a také na um´ıstˇen´ı roviny ˇrezu. Na obr. 2.11 máme r˚ uzné typy tˇechto kˇrivek. 3

M´ısto tvoˇr´ıc´ı kˇrivkou jsou obalové plochy vytv´ aˇreny tvoˇr´ıc´ı plochou. V kaˇzdém momentˇe pohybu se tvoˇr´ıc´ı plocha dot´ yk´ a vznikaj´ıc´ı obalové plochy. Tento dotyk je definov´ an pomoc´ı kˇrivky c tzv. charakteristiky. Anuloid je obalov´ a plocha jednoparametrické soustavy kulov´ ych ploch. Vznikne rotac´ı kulové plochy kolem osy a stˇred kulové plochy neleˇz´ı na ose rotace.

29

Jednu z tˇechto kˇrivek speciálnˇe naz´ yváme tzv. Bernoulliova lemnisk´ ata, viz obr. 2.12. Název pocház´ı z ˇreckého slova lemniskos = smyˇcka. Bernoulliova lemniskáta pˇripom´ıná leˇzatou osmiˇcku. Vznikne ˇrezem anuloidu teˇcnou rovinou τ . Rovina τ procház´ı bodem na vnitˇrn´ı rovnobˇeˇzkové kruˇznici anuloidu, kterou naz´ yváme hrdlo.

Obrázek 2.11: R˚ uzné Cassiniho ovály

Obrázek 2.12: Bernoulliova lemniskáta

Obrázek 2.13: Profil trasy proudnice

Bernoulliova lemniskáta je vyuˇz´ıvána v technické praxi napˇr´ıklad u vodohospodáˇrsk´ ych staveb, zejména pˇri tvorbˇe umˇel´ ych koryt vodn´ıch tok˚ u. Trasy vodn´ıch tok˚ u se skládaj´ı z protismˇern´ ych oblouk˚ u. Ty na sebe mohou pˇr´ımo navazovat nebo mohou b´ yt oddˇeleny pˇr´ım´ ymi u ´seky. Vodn´ı tok má svou tzv. vazkost neboli vnitˇrn´ı tˇren´ı. Pˇri styku se dnem a stˇenou koryta mus´ı pˇrekonávat vˇetˇs´ı odpor, proto se rychlost proudˇen´ı smˇerem ke dnu a ke bˇreh˚ um zmenˇsuje. S rostouc´ı hloubkou se zvyˇsuje rychlost proudˇen´ı. Bernoulliova lemnisk´ ata má v korytˇe toku tvar, kter´ y se nejv´ıce podobá proudnici, viz obr. 2.13 ˇca´rkovanˇe. Proudnici definujeme jako plavnou spojnici m´ıst s nejvˇetˇs´ı hloubkou a t´ım také s nejvyˇsˇs´ı rychlost´ı. M´ısta s nejvˇetˇs´ı hloubkou se nacházej´ı za m´ısty ˇ ım vˇetˇs´ı toto zakˇriven´ı bude, t´ım vˇetˇs´ı bude hloubka s nejvˇetˇs´ım zakˇriven´ım. C´ toku. Bernoulliova lemniskáta je zaj´ımavá také proto, ˇze ve svém poˇca´teˇcn´ım a koncovém bodˇe má nulovou kˇrivost. Tyto dva body splynou do jednoho bodu O tzv. bodu obratu nebo také bodu samopr˚ uniku kˇrivky. Jedná se o inflexn´ı bod, coˇz je bod, ve kterém se kˇrivka mˇen´ı z konvexn´ı na konkávn´ı a naopak. Pro tvar koryta se vyuˇz´ıvá ˇca´st od bodu O do bodu S, kter´ y naz´ yváme vrcholovým bodem, viz obr. 2.14 ˇcervenou barvou. Bod S vznikne pr˚ unikem kˇrivky s osou vrcholu teˇcnového polygonu (na obr. 2.14 ˇca´rkovan´ y troj´ uheln´ık s vrcholem V ). Nebudeme zde zab´ıhat do detail˚ u, v´ıce o této problematice, viz [6]. 30

Obrázek 2.14: Vyuˇzitá ˇca´st oblouku lemniskáty

Na obr. 2.14 je vyznaˇcena pouze jedna vˇetev koryta, protismˇern´ y oblouk (druhá vˇetev) vznikne zrcadlov´ ym obrazem vˇetve prvn´ı.

2.2.2


Hlavn´ım meridiánem anuloidu je kruˇznice k leˇz´ıc´ı v rovinˇe yz se stˇredem S o souˇradnic´ıch [0, sy , sz ] a polomˇerem r, viz obr. 2.15. Hodnoty souˇradnic sy , sz jsou z oboru reáln´ ych ˇc´ısel R. Osu rotace ztotoˇzn´ıme se souˇradnicovou osou z. Budeme tedy odvozovat vektorové vyjádˇren´ı anuloidu, jehoˇz vnitˇrn´ı polomˇer je r a vnˇejˇs´ı polomˇer je sy . Opˇet zvol´ıme bod X na tvoˇr´ıc´ı kruˇznici. Jeho vzdálenost od stˇredu kruˇznice je rovná polomˇeru r. Vyjdeme z definice pro goniometrické funkce a vyjádˇr´ıme souˇradnice y a z bodu X. Tvoˇr´ıc´ı kruˇznice je mnoˇzinou vˇsech bod˚ u X, které maj´ı vzdálenost od stˇredu S rovnu polomˇeru r. Vektorové vyjádˇren´ı tvoˇr´ıc´ı kruˇznice vyjádˇr´ıme vztahem (2.6). Parametr t je z intervalu h0, 2π), protoˇze u anuloidu uˇz nestaˇc´ı jen polovina tvoˇr´ıc´ı kruˇznice. k(t) = (0, r cos t + sy , r sin t + sz )

(2.6)

Kaˇzd´ y bod tvoˇr´ıc´ı kruˇznice se pohybuje po rovnobˇeˇzkové kruˇznici, leˇz´ıc´ı v rovinˇe rovnobˇeˇzné s rovinou xy. Stejnˇe jako u kulové plochy pro polomˇer 31

Obrázek 2.15: Princip odvozen´ı anuloidu

rovnobˇeˇzkov´ ych kruˇznic anuloidu plat´ı vztah (2.7). Absolutn´ı hodnota zajiˇst’uje, aby polomˇer rovnobˇeˇzkové kruˇznice nebyl záporn´ y. R = y(t) = |r cos t + sy |

(2.7)

Pro vyjádˇren´ı anuloidu pak plat´ı vztah (2.8). Souˇradnice x a y urˇcuj´ı v´ yˇse zm´ınˇené rovnobˇeˇzkové kruˇznice a souˇradnice z sdˇeluje v jaké rovinˇe daná rovnobˇeˇzková kruˇznice leˇz´ı. Parametr u je také z intervalu h0, 2π). P(u, t) = (R cos u, R sin u, r sin t + sz )

(2.8)

Po dosazen´ı za polomˇer R z v´ yˇse uvedeného vztahu (2.7) z´ıskáme koneˇcné vektorové vyjádˇren´ı anuloidu ve tvaru (2.9). P(u, t) = (|r cos t + sy | cos u, |r cos t + sy | sin u, r sin t + sz )

2.2.3

(2.9)


1. duˇ se pneumatik: V praxi lze anuloid vyuˇz´ıvat u duˇs´ı j´ızdn´ıch kol a pneumatik aut. Prvn´ı kola byla dˇrevˇená a pobitá kovov´ ymi pásky. Cesty byly vˇsak tehdy hrbolaté a j´ızda nebyla pˇr´ıliˇs pohodlná. Proto bylo snahou nalézt vhodné nahrazen´ı. 32

Prvn´ı pokusy o vynález pneumatiky jsou datované do 18. stolet´ı. Postupem ˇcasu se podaˇrilo odstranit chyby a byly vyvinuty modern´ı, vzduchem plnˇené pneumatiky. Ty mˇely velké uplatnˇen´ı v sériové v´ yrobˇe j´ızdn´ıch kol a o nˇekolik let pozdˇeji jich vyuˇz´ıval i leteck´ y pr˚ umysl. Duˇse pneumatik v nafouknutém stavu maj´ı tvar anuloidu. Této plochy je vyuˇz´ıváno kv˚ uli styˇcnosti s vozovkou. Jej´ım vyuˇzit´ım docház´ı k menˇs´ımu odporu pˇri valen´ı a d´ıky tomu, ˇze se jedná o gumov´ y materiál, projevila se i vlastnost lepˇs´ı pˇrilnavosti k povrchu. D´ıky vnitˇrn´ımu otvoru anuloidu je moˇzné pneumatiku snadno upevˇ novat a pˇr´ıpadnˇe vymˇen ˇovat. Duˇse pneumatiky je na obr. 2.16. V´ıce informac´ı o historii a souˇcasnosti pneumatik, viz [12].

Obrázek 2.16: Duˇse pneumatiky

Obrázek 2.17: Kuliˇckové loˇzisko

2. kuliˇ ckov´ a loˇ ziska: Ve stroj´ırenstv´ı se s anuloidem setkáváme u loˇzisek. Loˇziska se rozdˇeluj´ı podle druhu tˇren´ı mezi ˇca´stmi stroj˚ u na kluzná a valivá. Do valiv´ ych loˇzisek zaˇrad´ıme i tzv. kuliˇckov´ a loˇziska. Jedná se o sestavu vnitˇrn´ıho a vnˇejˇs´ıho krouˇzku, mezi nimiˇz se v dráˇzce pohybuj´ı valivá tˇelesa. Tˇemito valiv´ ymi tˇelesy jsou kuliˇcky stejného rozmˇeru. Tato strojn´ı souˇca´stka je typickou ukázkou toho, ˇze anuloid lze zaˇradit do obalov´ ych ploch. Anuloidem jsou zde dvˇe dráˇzky poloˇzené proti sobˇe, ve kter´ ych se pohybuj´ı kovové kuliˇcky, které m˚ uˇzeme povaˇzovat za jednoparametrickou soustavu kulov´ ych ploch. Dráˇzky jsou obalovou plochou tˇechto kuliˇcek. 33

V´ yhodou vyuˇzit´ı valiv´ ych loˇzisek je malé tˇren´ı a t´ım i malé zahˇr´ıván´ı, s ˇc´ımˇz souvis´ı i niˇzˇs´ı spotˇreba maziva. Naopak nev´ yhodami jsou napˇr´ıklad citlivost na prach, nárazy a t´ım i vˇetˇs´ı hluˇcnost. Kuliˇckové loˇzisko máme na obr. 2.17. Tento pˇr´ıklad vyuˇzit´ı byl ˇcerpán z [8]. 3. Biotorus: Anuloid lze vyuˇz´ıvat i v medic´ınˇe, konkrétnˇe v magnetoterapii. Jedná se o pˇr´ıstroj tvaru anuloidu, uvnitˇr kterého je navinutá c´ıvka (tzv. toroidn´ı vinut´ı), která vytváˇr´ı n´ızkofrekvenˇcn´ı pulsn´ı magnetické pole (NPMP). Ukázka toroidn´ıho vinut´ı je na obr. 2.19. Protoˇze je pouˇzito toroidn´ı jádro, vznikne uzavˇren´ y magnetick´ y tok s n´ızk´ ymi magnetick´ ymi ztrátami. Nejd˚ uleˇzitˇejˇs´ım u ´ˇcinkem (NPMP) na lidsk´ y organismus je rozˇsiˇrován´ı cév a t´ım lepˇs´ı prokrvován´ı, urychlen´ı regenerace bunˇek a t´ım snadnˇejˇs´ı nastartován´ı procesu hojen´ı nebo odstranˇen´ı svalového napˇet´ı a otok˚ u. Pokud by byla frekvence pˇr´ıliˇs vysoká, mohlo by doj´ıt k neˇzádouc´ım u ´ˇcink˚ um. Tˇemi mohou b´ yt bolest hlavy, koˇzn´ı zmˇeny a pˇr´ıpadnˇe i porucha srdeˇcn´ıho rytmu. Popisovan´ y pˇr´ıstroj je znázornˇen na obr. 2.18, podrobné informace viz [13].

Obrázek 2.18: Biotorus

2.2.4

Obrázek 2.19: Toroidn´ı vinut´ı

Pracovn´ı list - anuloid

Navázali jsme na pˇredeˇslé teoretické informace a praktická vyuˇzit´ı anuloidu a v rámci pracovn´ıho listu na rotaˇcn´ı plochy jsme pˇridali odd´ıl vˇenovan´ y anuloidu. 34

´ ˇ aci odpov´ıdaj´ı na poloˇzené Uvodn´ ı ˇca´st je shrnut´ım probrané látky. Z´ otázky a pln´ı jednoduché u ´koly t´ ykaj´ıc´ı se teoretick´ ych poznatk˚ u o anuloidu. Následuj´ı u ´lohy, které bˇehem vyuˇcovac´ı hodiny provád´ı uˇcitel spoleˇcnˇe se ˇzáky. V prvn´ı u ´loze ˇzaći odvozuj´ı nárys bodu leˇz´ıc´ıho na anuloidu. Ve druhém pˇr´ıkladˇe konstruuj´ı teˇcnou rovinu anuloidu dan´ ym bodem. Ve tˇret´ım pˇr´ıkladˇe maj´ı ˇzáci za u ´kol odvodit vektorové vyjádˇren´ı ke vˇsem typ˚ um anuloidu a naˇcrtnout obrázky. Ve ˇctvrtém pˇr´ıkladˇe sestrojuj´ı ˇrez anuloidu. Prvn´ı, druhá a ˇctvrtá u ´loha slouˇz´ı jako vzor pro konstrukci tˇret´ıho pˇr´ıkladu v ˇca´sti samostatné práce ˇzák˚ u, ve které jsou tyto elementárn´ı u ´lohy spojeny dohromady. V tomto samostatném pˇr´ıkladˇe ˇzáci opˇet konstruuj´ı ˇrez anuloidu teˇcnou rovinou vedenou bodem na vnitˇrn´ım polomˇeru hrdeln´ı rovnobˇeˇzkové kruˇznice. V´ yslednou kˇrivkou ˇrezu je Bernoulliova lemnisk´ ata. Vˇsechny konstrukˇcn´ı u ´lohy je moˇzné opˇet postupnˇe krokovat v programu ˇ sen´ı v tomto programu jsou v´ Geogebra. Reˇ yhodná i v tom, ˇze jimi lze uˇsetˇrit ˇcas a ˇzaći opˇet mohou konstruovat pouze nˇekolik bod˚ u a celkové ˇreˇsen´ı lze ukázat v Geogebˇre.

2.3 2.3.1

Jednod´ıln´ y rotaˇ cn´ı hyperboloid Zaˇ razen´ı plochy

Obrázek 2.20: Vznik plochy rotac´ı hyperboly

Obrázek 2.21: Vznik plochy rotac´ı pˇr´ımky

Plochu jednod´ılného rotaˇcn´ıho hyperboloidu lze vytvoˇrit dvˇema r˚ uzn´ ymi zp˚ usoby. Jako tvoˇr´ıc´ı kˇrivku k m˚ uˇzeme volit hyperbolu. Pak tato tvoˇr´ıc´ı 35

kˇrivka rotuje kolem své vedlejˇs´ı osy. Na obr. 2.20 je model jednod´ılného rotaˇcn´ıho hyperboloidu vytvoˇreného právˇe rotac´ı hyperboly. Druhou moˇznost´ı je vytvoˇrit plochu rotac´ı pˇr´ımky p, která je mimobˇeˇzná s osou rotaˇcn´ıho pohybu o. Lze ji tedy zaˇradit také do pˇr´ımkov´ ych ploch. Na obr. 2.21 je model plochy vzniklé rotac´ı pˇr´ımky. Na jednod´ılném rotaˇcn´ım hyperboloidu pak vzniknou dva systémy pˇr´ımek tzv. reguly. Pˇr´ımky kaˇzdého regulu jsou navzájem mimobˇeˇzné. Kaˇzdá pˇr´ımka jednoho systému prot´ıná vˇsechny pˇr´ımky toho druhého a naopak.

2.3.2


Pro odvozen´ı vektorového vyjádˇren´ı jednod´ılného rotaˇcn´ıho hyperboloidu vyjdeme z obr. 2.22. Necht’ je tvoˇr´ıc´ı kˇrivkou hyperbola leˇz´ıc´ı v rovinˇe yz, jej´ıˇz stˇred leˇz´ı v poˇcátku O = [0, 0, 0]. Osou rotaˇcn´ıho pohybu je vedlejˇs´ı osa hyperboly, jeˇz spl´ yvá se souˇradnicovou osou z.

Obrázek 2.22: Princip rotace hyperboly

Obrázek 2.23: Postup parametrizace hyperboly

Rovnici hyperboly m˚ uˇzeme d´ıky znalosti analytické geometrie napsat ve tvaru (2.10), kde a je délka hlavn´ı poloosy a b je délka vedlejˇs´ı poloosy hyperboly. Hodnoty a, b jsou z oboru reáln´ ych ˇc´ısel R. V pˇr´ıpadˇe, ˇze bude platit a = b = 1 budeme hovoˇrit o rovnoosé hyperbole. Tvoˇr´ıc´ı kˇrivka (hyperbola) bude téˇz meridiánem jednod´ılného rotaˇcn´ıho hyperboloidu. 1 =

y2 z2 − 2 a2 b 36

(2.10)

ˇ Pro odvozen´ı parametrizace tvoˇr´ıc´ı kˇrivky vyjdeme z obr. 2.23. Cervenou barvou je vyznaˇcena tvoˇr´ıc´ı kˇrivka a na n´ı je zvolen libovoln´ y bod M. Kruˇznice a má polomˇer rovn´ y délce hlavn´ı poloosy a kruˇznice b má polomˇer rovn´ y délce vedlejˇs´ı poloosy. D´ıky konstrukci dvou pravo´ uhl´ ych troj´ uheln´ık˚ u m˚ uˇzeme z definice goniometrick´ ych funkc´ı odvodit souˇradnice zvoleného bodu M. Z r˚ uˇzového troj´ uheln´ıku odvod´ıme souˇradnici y a ze ˇzlutého troj´ uheln´ıku souˇradnici z. Dostaneme se tedy ke vztahu (2.11). Hyperbola je soumˇerná podle osy rotaˇcn´ıho pohybu, proto nám postaˇc´ı jedna vˇetev hyperboly. Hodnoty parametru t jsou tedy z intervalu h− π2 , π2 i. k(t) =

a 0, , b tan t cos t

(2.11)

Kaˇzd´ y bod tvoˇr´ıc´ı kˇrivky se pohybuje po rovnobˇeˇzkové kruˇznici se stˇredem na ose z a pro polomˇer kaˇzdé rovnobˇeˇzkové kruˇznice plat´ı vztah (2.12). R = y(t) =

a cos t

(2.12)

Vektorové vyjádˇren´ı jednod´ılného rotaˇcn´ıho hyperboloidu pak zapisujeme ve tvaru (2.13). Souˇradnice x a y urˇcuj´ı rovnobˇeˇzkovou kruˇznici a souˇradnice z urˇcuje v jaké rovinˇe daná rovnobˇeˇzkové kruˇznice leˇz´ı. P(u, t) = (R cos u, R sin u, b tan t)

(2.13)

Po dosazen´ı do vztahu (2.13) za polomˇer R z´ıskáme koneˇcné vektorové vyjádˇren´ı jednod´ılného rotaˇcn´ıho hyperboloidu (2.14). Parametr u nab´ yvá hodnot z intervalu h0, 2π). Toto vyjádˇren´ı plat´ı jen tehdy, je-li stˇred hyperboly v poˇca´tku souˇradné soustavy. P(u, t) =

a a cos u, sin u, b tan t cos t cos t

(2.14)

Pokud posuneme stˇred hyperboly do libovolného bodu, zmˇen´ı se jeho souˇradnice z S = [0, 0, 0] na S = [sx , sy , sz ]. Tyto posunuté souˇradnice pˇriˇc´ıtáme k jednotliv´ ym souˇradnic´ım vektorového vyjádˇren´ı (2.14) a jednod´ıln´ y rotaˇcn´ı hyperboloid s posunut´ ym stˇredem pak vyjádˇr´ıme vztahem (2.15). P(u, t) =

a a cos u + sx , sin u + sy , b tan t + sz cos t cos t 37

(2.15)

Obrázek 2.24: Princip odvozen´ı jednod´ılného rotaˇcn´ıho hyperboloidu pomoc´ı rotace pˇr´ımky

Plochu jednod´ılného rotaˇcn´ıho hyperboloidu lze vyjádˇrit také pomoc´ı rotace pˇr´ımky k, pro kterou plat´ı, ˇze je mimobˇeˇzná s osou rotaˇcn´ıho pohybu. Vyjdeme z obr. 2.24. Mˇejme tedy dva body A = [0, b, 0], B = [a, b, c]. Hodnoty a, b, c jsou z oboru reáln´ ych ˇc´ısel R. Pro vznik jednod´ılného rotaˇcn´ıho hyperboloidu plat´ı, ˇze a 6= 0 a zároveˇ n i c 6= 0. Jinak bychom vytvoˇrili rotaˇcn´ı válcovou plochu nebo rovinu. Osou rotaˇcn´ıho pohybu je osa z. Body A a B urˇcuj´ı tvoˇr´ıc´ı pˇr´ımku k. Smˇerov´ y vektor s tvoˇr´ıc´ı pˇr´ımky k urˇcujeme vztahem (2.16). s = B − A = (a, 0, c)

(2.16)

Dále vyjdeme z parametrického vyjádˇren´ı pˇr´ımky v analytické geometrii a vyjádˇr´ıme tvoˇr´ıc´ı pˇr´ımku vztahem (2.17) a osu rotaˇcn´ıho pohybu vztahem (2.18). Parametr t je v obou vztaz´ıch z intervalu (−∞,∞). k(t) = A + s · t = (at, b, ct)

(2.17)

o(t) = (0, 0, ct)

(2.18)

Kaˇzd´ y bod tvoˇr´ıc´ı pˇr´ımky se pohybuje po pˇr´ısluˇsné rovnobˇeˇzkové kruˇznici. Vzdálenost tvoˇr´ıc´ı pˇr´ımky od osy rotaˇcn´ıho pohybu urˇcuje polomˇer rovnobˇeˇzkové kruˇznice. Vektor této vzdálenosti vyjádˇr´ıme vztahem (2.19). d = k(t) − o(t) = (at, b, 0) 38

(2.19)

Polomˇer rovnobˇeˇzkové kruˇznice R se bude rovnat velikosti vektoru vzdálenosti, viz vztah (2.20). √ R = |d| = a2 t2 + b2 (2.20) Plocha jednod´ılného rotaˇcn´ıho hyperboloidu je tvoˇrena rovnobˇeˇzkov´ ymi kruˇznicemi vˇsech bod˚ u tvoˇr´ıc´ı pˇr´ımky. Vyjádˇr´ıme ji vztahem (2.21), kde parametr u je z intervalu h0, 2πi. P(u, t) = (R cos u, R sin u, ct)

(2.21)

Pokud dosad´ıme do vztahu (2.21) za polomˇer R z v´ yˇse uvedeného vztahu (2.20) z´ıskáme koneˇcné vektorové vyjádˇren´ı jednod´ılného rotaˇcn´ıho hyperboloidu ve tvaru (2.22). √ √ P(u, t) = ( a2 t2 + b2 cos u, a2 t2 + b2 sin u, ct) (2.22)

2.3.3


1. stavitelstv´ı: Plocha jednod´ılného hyperboloidu má v souˇcasnosti v architektuˇre zastoupen´ı v podobˇe chlad´ıc´ıch vˇeˇz´ı, kom´ın˚ u, rozhleden nebo podpˇern´ ych sloup˚ u ˇci designov´ ych dekorac´ı.

Obrázek 2.25: Chlad´ıc´ı vˇeˇze jaderné elektrárny Temel´ın

Obrázek 2.26: Lávka pro pˇeˇs´ı Manchester

Pro chlad´ıc´ı vˇeˇze je vyuˇz´ıvána, jelikoˇz se jedná o plochu tvoˇrenou rotac´ı pˇr´ımky. Je proto snadné vytvoˇrit bednˇen´ı, které je zaléváno betonem. Hmota je vyztuˇzena ˇsirok´ ymi kovov´ ymi dráty ve smˇeru povrchov´ ych pˇr´ımek, aniˇz by musely b´ yt oh´ ybány. Jedná se o masivn´ı 39

Obrázek 2.27: Rozhledna Bor˚ uvka u obce Hluboká nedaleko Pardubic

Obrázek 2.28: Televizn´ı vˇeˇz v pˇr´ıstavu mˇesta Kobe, Japonsko

ˇzelezobetonovou konstrukci, která je d´ıky zm´ınˇené v´ yztuˇzi pevná a stabiln´ı. Stavba m˚ uˇze dosahovat aˇz 200 m do v´ yˇsky a 100 m v pr˚ umˇeru. Na pˇredchoz´ıch obr. 2.25 aˇz 2.28 jsou r˚ uzné pˇr´ıklady vyuˇzit´ı plochy jednod´ılného hyperboloidu v architektuˇre. Pro tento pˇr´ıklad praktického vyuˇzit´ı jsme ˇcerpali z [2]. 2. stroj´ırenstv´ı: Plocha jednod´ılného rotaˇcn´ıho hyperboloidu b´ yvá vyuˇz´ıvána i ve stroj´ırenstv´ı. Typick´ ym pˇr´ıkladem je ˇsroubové soukol´ı, viz obr. 2.29. Jedná se o mechanick´ y ˇsroubov´ y pˇrevod pomoc´ı ozuben´ ych kol. Rotaˇcn´ı pohyb a toˇciv´ y moment se pomoc´ı hnac´ıho kola pˇrenáˇs´ı na kolo hnané d´ıky tvarovému styku zub˚ u jednotliv´ ych kol. Osy tˇechto ozuben´ ych kol neboli hˇr´ıdele jsou navzájem mimobˇeˇzné.

Obrázek 2.29: Soukol´ı hypoidn´ıho pˇrevodu a jeho detail

40

Název ˇsroubové soukol´ı vznikl z pohybu ozuben´ ych kol. Pˇri jejich otáˇcen´ı docház´ı zároveˇ n i k posunu, protoˇze zde vznikaj´ı tzv. axi´ aln´ı s´ıly. Jedná se o s´ıly podél hˇr´ıdele, které se snaˇz´ı pˇri zábˇeru kola posouvat ve smˇeru hˇr´ıdele. V kapitole (1.3) jsme definovali ˇsroubov´ y pohyb jako sloˇzen´ı pohybu rotaˇcn´ıho a translaˇcn´ıho. Zm´ınˇené soukol´ı lze vytvoˇrit pouze za pˇredpokladu, ˇze kola jsou ˇcástmi hyperboloidu. Pˇri jejich vzájemném pohybu se pˇr´ımky jednoho hyperboloidu posouvaj´ı po pˇr´ımkách toho druhého. Profil boku zub˚ u je tedy tzv. hypoidn´ıho typu, tedy se ˇsikm´ ymi zuby. Pro zábˇer dvou ozuben´ ych kol se ˇsikm´ ymi zuby má zpravidla jedno kolo sklon zub˚ u doleva, zat´ımco druhé kolo má sklon zub˚ u doprava. Detail ˇsroubového soukol´ı se ˇsikm´ ymi zuby a mimobˇeˇzn´ ymi hˇr´ıdeli je na obr. 2.29 vpravo. Tyto ˇsikmé zuby jsou v´ yhodné v tom, ˇze maj´ı mnohem tiˇsˇs´ı chod, protoˇze zábˇer zub˚ u je plynul´ y, na rozd´ıl od zub˚ u pˇr´ım´ ych, kde je zábˇer nárazov´ y (cukavý ). Protoˇze jsou zuby ˇsikmé, vzniká pˇri pohybu jiˇz zm´ınˇená axiáln´ı s´ıla a ta se snaˇz´ı pˇri pohybu kolo tlaˇcit do strany. Tomuto neˇza´douc´ımu efektu konstruktéˇri ˇca´steˇcnˇe zabraˇ nuj´ı pomoc´ı loˇzisek. V´ yroba tohoto soukol´ı je velice obt´ıˇzná a také nákladná. Uplatnˇen´ı vˇsak maj´ı pˇredevˇs´ım u nároˇcn´ ych pˇrevod˚ u napˇr. u automobilov´ ych pˇrevodovek. Podrobnosti o soukol´ıch viz [8].

2.3.4

Pracovn´ı list

V pracovn´ım listˇe o rotaˇcn´ıch plochách je opˇet blok vˇenovan´ y jednod´ılnému rotaˇcn´ımu hyperboloidu. V prvn´ı ˇcásti ˇzáci odpov´ıdaj´ı na otázky, které jsou jim poloˇzeny za u ´ˇcelem shrnut´ı a zopakován´ı v´ ykladu o jednod´ılném rotaˇcn´ım hyperboloidu. V druhé ˇcásti ˇzaći v prvn´ım pˇr´ıkladu odvozuj´ı p˚ udorys bodu leˇz´ıc´ıho na rotaˇcn´ım jednod´ılném hyperboloidu. Ve druhém pˇr´ıkladu konstruuj´ı ˇrez rotaˇcn´ıho jednod´ılného hyperboloidu. V dalˇs´ım pˇr´ıkladu maj´ı napsat vektorové vyjádˇren´ı plochy, je-li tvoˇr´ıc´ı kˇrivkou hyperbola. V posledn´ı ˇca´sti maj´ı ˇzáci pˇri samostatné práci odpovˇedˇet na dvˇe teoretické otázky. V jedné maj´ı napsat pˇr´ıklady vyuˇzit´ı plochy a ve druhé maj´ı 41

vybrat správné tvrzen´ı. V dalˇs´ım pˇr´ıkladˇe si ˇzáci opakuj´ı konstrukce v axonometrii a sestrojuj´ı jednotlivé polohy pˇr´ımky pˇri jej´ı rotaci kolem osy z.

2.4 2.4.1

Rotaˇ cn´ı paraboloid Zaˇ razen´ı plochy

Tvoˇr´ıc´ı kˇrivkou plochy rotaˇcn´ıho paraboloidu je parabola. Vrchol tvoˇr´ıc´ı kˇrivky leˇz´ı na pˇr´ımce, kterou naz´ yváme osa paraboly. Zároveˇ n je tato pˇr´ımka osou rotaˇcn´ıho pohybu a leˇz´ı ve stejné rovinˇe jako tvoˇr´ıc´ı kˇrivka. Model plochy je na obr. 2.30.

Obrázek 2.30: Model rotaˇcn´ıho paraboloidu

2.4.2

Obrázek 2.31: Princip odvozen´ı rotaˇcn´ıho paraboloidu


Jak bylo ˇreˇceno v´ yˇse, plocha rotaˇcn´ıho paraboloidu vzniká rotac´ı paraboly kolem své osy, viz obr. 2.31. Mˇejme dánu parabolu v rovinˇe yz. Osou rotaˇcn´ıho pohybu je souˇradnicová osa z, podle které je tvoˇr´ıc´ı kˇrivka soumˇerná. Vrchol paraboly má souˇradnice V = [0, 0, c]. Hodnota konstanty c je z oboru reáln´ ych ˇc´ısel R. Vyjdeme z definice kvadratické funkce, jej´ıˇz vrcholem je bod V. Dále zohledn´ıme, ˇze parabola leˇz´ı v rovinˇe yz a z´ıskáme následuj´ıc´ı tvar kvadratické funkce z = ay 2 + c, kde a, c jsou z oboru reáln´ ych ˇc´ısel R. Zároveˇ n plat´ı, ˇze hodnota a 6= 0, protoˇze by jinak nevznikla kvadratická funkce. 42

Parametrizaci provedeme tak, ˇze poloˇz´ıme y = t. Vektorové vyjádˇren´ı tvoˇr´ıc´ı kˇrivky k pak zap´ıˇseme vztahem (2.23). Protoˇze je parabola soumˇerná podle osy z pro parametr t uvaˇzujeme hodnoty z intervalu h0,∞). k(t) = (0, t, at2 + c)

(2.23)

Kaˇzd´ y bod tvoˇr´ıc´ı kˇrivky se opˇet pohybuje po pˇr´ısluˇsné rovnobˇeˇzkové kruˇznici pro jej´ıˇz polomˇer plat´ı vztah (2.24). R = y(t) = t

(2.24)

Rotaˇcn´ı paraboloid vyjádˇr´ıme vztahem (2.25), kde parametr u je z intervalu h0, 2π). Souˇradnice x a y opˇet urˇcuj´ı pˇr´ısluˇsné rovnobˇeˇzkové kruˇznice a souˇradnice z urˇcuje v jaké rovinˇe daná rovnobˇeˇzková kruˇznice leˇz´ı. P(u, t) = (R cos u, R sin u, at2 + c)

(2.25)

Po dosazen´ı za polomˇer R z v´ yˇse uvedeného vztahu (2.24) z´ıskáme koneˇcné vektorové vyjádˇren´ı rotaˇcn´ıho paraboloidu (2.26). P(u, t) = (t cos u, t sin u, at2 + c)

2.4.3

(2.26)


1. akustick´ a zrcadla: Rotaˇcn´ı paraboloid je vyuˇz´ıván u tzv. akustických zrcadel. Jedná se o pˇr´ıstroj, kter´ y zachycuje vlnˇen´ı z okol´ı. Parabolická plocha odráˇz´ı zvukové vlny do jednoho m´ısta (ohniska), kde je um´ıstˇen mikrofon. Nyn´ı zd˚ uvodn´ıme, proˇc se vlnˇen´ı odráˇz´ı právˇe do m´ısta mikrofonu. Vyjdeme z obr. 2.32. Parabolu definujeme jako mnoˇzinu vˇsech bod˚ u X, které maj´ı stejnou vzdálenost od ohniska jako od ˇr´ıd´ıc´ı pˇr´ımky. Tedy spojnice libovolného bodu X a ohniska F je stejnˇe dlouhá jako vzdálenost daného bodu X od ˇr´ıd´ıc´ı pˇr´ımky d. Této spojnici a rovnobˇeˇzce s osou paraboly vedené dan´ ym bodem X ˇr´ıkáme pr˚ uvodiˇc. Zvuková vlna je vlastnˇe v´ yˇse zm´ınˇen´ y pr˚ uvodiˇc, protoˇze se ˇs´ıˇr´ı rovnobˇeˇznˇe s osou paraboly a odráˇz´ı se do ohniska. Plat´ı tedy |TF |=|Td |, coˇz plyne z osové soumˇernosti podle teˇcny vedené bodem T ke kˇrivce. 43

Obrázek 2.32: Princip odrazu paprsk˚ u dopadaj´ıc´ıch na parabolu

Bod T je m´ısto dopadu paprsku na parabolu. Jelikoˇz nav´ıc plat´ı, ˇze u ´hel dopadu se rovná u ´hlu odrazu, paprsky se odráˇz´ı do ohniska, kde je um´ıstˇen mikrofon. Akustická zrcadla byla vyuˇz´ıvána jeˇstˇe pˇred vynálezem radar˚ u. Jiˇz bˇehem prvn´ı svˇetové války pomáhala pˇri varován´ı pˇred bl´ıˇz´ıc´ımi se nepˇrátelsk´ ymi letadly a vzducholodˇemi. S v´ yvojem letectv´ı a d´ıky vynalezen´ı radaru byla tato zrcadla postupem ˇcasu ve vojenstv´ı zbyteˇcná. V dneˇsn´ı dobˇe je vˇsak stále vyuˇz´ıvaj´ı nˇekteré automobilové závody. Pomoc´ı nich lze urˇcit slabá m´ısta karoserie ovlivˇ nuj´ıc´ı hluˇcnost automobilu. Ty jsou dvoj´ıho typu. Oblasti, které se pod´ılej´ı na vzniku aerodynamického hluku pˇri j´ızdˇe automobilem a dále m´ısta, kudy m˚ uˇze proniknout hluk do kabiny vozu. Akustické zrcadlo se plynule posouvá podél karoserie vozu a mapuje u ´roveˇ n hluku. Z namˇeˇren´ ych hodnot odborn´ıci poznaj´ı, kudy proniká dovnitˇr nebo ven z vozu neˇza´douc´ı hluk. Z vnˇejˇs´ıho prostoru se zamˇeˇruj´ı na v´ ystupky v karoserii napˇr. zpˇetná zrcátka. Naopak, kdyˇz se mˇeˇr´ı zvukotˇesnost vozu, zdroj zvuku je um´ıstˇen uvnitˇr a zjiˇst’uje se, kudy uniká ven. Na obr. 2.33 je akustické zrcadlo, které bylo vyuˇz´ıváno ve vojenstv´ı. 44

Na principu akustického zrcadla funguje i komunikace mezi bˇeluhami, viz obr. 2.34. 4 Pro pˇr´ıklad vyuˇzit´ı plochy jako akustick´ ych zrcadel jsme se nechali inspirovat ˇclánky, viz [14] a [15].

Obrázek 2.33: Akustické zrcadlo nedaleko Kilnsea - VB

Obrázek 2.34: Bˇeluha severn´ı

2. parabolick´ a zrcadla: Zrcadlová plocha je obecnˇe lesklá plocha, která m˚ uˇze b´ yt rovinná, kulová nebo jinak zakˇrivená. T´ımto zakˇriven´ım m˚ uˇze b´ yt i plocha rotaˇcn´ıho paraboloidu, proto se tˇemto zrcadl˚ um ˇr´ıká tzv. parabolick´ a zrcadla. Zobrazován´ı zrcadly se ˇr´ıd´ı zákony paprskové optiky nebo-li ˇs´ıˇren´ım svˇetla a zákonem pro odraz svˇetla. Zakˇrivená zrcadla se vyuˇz´ıvaj´ı proto, ˇze mohou mˇenit velikost obrazu. Rozliˇsujeme dva typy zakˇriven´ ych zrcadel, duté neboli konk´ avn´ı a vypuklé neboli konvexn´ı. Parabolická zrcadla jsou uˇziteˇcná v tom, ˇze nepodléhaj´ı tzv. kulové vadˇe zrcadla. Tato vada se projevuje tak, ˇze obrazem bodu nen´ı bod ale malá ploˇska. Paprsky se totiˇz nesb´ıhaj´ı do jednoho bodu a docház´ı tak ke zkreslen´ı obrazu. U akustick´ ych zrcadel jsme si vysvˇetlili princip odrazu paprsku na parabole. Protoˇze se paprsky sb´ıhaj´ı do jednoho bodu (ohniska), tak k této vadˇe obrazu nedocház´ı. 4

Jedn´ a se o druh kytovce, kter´ y je charakteristick´ y svou b´ılou barvou. Vyhled´ avaj´ı sp´ıˇse mˇelˇc´ı ledové vody. Jsou barvoslepé, proto se v kaln´ ych vod´ ach a bˇehem seversk´ ych noc´ı orientuj´ı tzv. echolokac´ı neboli ultrazvukov´ ymi vlnami. Slyˇs´ı ultrazvuk aˇz do 200 kHz zat´ımco ˇclovˇek pouh´ ych 20 kHz. Jako akustické zrcadlo jim slouˇz´ı v´ yr˚ ustek na hlavˇe, tzv. meloun.

45

Dutá zrcadla jsou vyuˇz´ıvána napˇr´ıklad u automobilov´ ych svˇetlomet˚ u, protoˇze stejnˇe jako sb´ıhán´ı paprsk˚ u do ohniska lze opaˇcn´ ym postupem z bodu (ˇza´rovky) pˇres odraz od parabolické plochy z´ıskat rovnobˇeˇzn´ y svazek paprsk˚ u. Dále jsou dutá zrcadla vyuˇz´ıvána u astronomick´ ych dalekohled˚ u u kter´ ych nevad´ı, ˇze obraz je pˇrevrácen´ y. Typick´ ym pˇr´ıkladem je Newton˚ uv dalekohled.

ˇ NewtoObrázek 2.35: Rez nov´ ym astronomick´ ym dalekohledem

Obrázek 2.36: Parabolické bezpeˇcnostn´ı zrcadlo

Vypuklá zrcadla se vyuˇz´ıvaj´ı napˇr´ıklad u zpˇetn´ ych zrcátek, protoˇze maj´ı velk´ y zorn´ yu ´hel. Proto je lze vyuˇz´ıvat i jako bezpeˇcnostn´ı zrcadla v nákupn´ıch centrech. Pˇr´ıstroji, které pracuj´ı na podobném principu odrazu, jsou satelity, radioteleskopy, r˚ uzná seismická ˇci akustická ˇcidla, smˇerov´ y mikrofon ˇspionáˇzn´ı techniky ˇci foto-deˇstn´ıky. V´ıce informac´ı o zobrazován´ı zrcadly, viz [16].

2.4.4

Pracovn´ı list

V rámci pracovn´ıho listu o rotaˇcn´ıch plochách jsme pˇridali jeˇstˇe posledn´ı blok vˇenovan´ y ploˇse rotaˇcn´ıho paraboloidu. V prvn´ı ˇca´sti ˇzáci opˇet jako u pˇredchoz´ıch ploch odpov´ıdaj´ı na otázky, které shrnuj´ı a opakuj´ı základn´ı informace o ploˇse.

46

V dalˇs´ı ˇca´sti maj´ı ˇzaći bˇehem v´ yuky konstruovat nárys bodu, kter´ y leˇz´ı na ploˇse rotaˇcn´ıho paraboloidu. Dále maj´ı za u ´kol konstruovat ˇrez rotaˇcn´ıho paraboloidu rovinou. Ve tˇret´ı ˇca´sti ˇzaći konstruuj´ı opˇet dva pˇr´ıklady zamˇeˇrené na ˇrez rotaˇcn´ıho paraboloidu. Sleduj´ı jak se mˇen´ı kˇrivka, která vznikne dan´ ym ˇrezem r˚ uzn´ ym ˇ aci v nˇem maj´ı um´ıstˇen´ım roviny. Posledn´ı pˇr´ıklad je opˇet opakován´ım. Z´ za u ´kol vybrat správn´ y obrázek.

47

Kapitola 3 Vybran´ eˇ sroubov´ e plochy Naváˇzeme na kapitolu (1.3) a budeme se vˇenovat vybran´ ym ˇsroubov´ ym plochám. Vybrány byly pravo´ uhlá uzavˇrená pˇr´ımková ˇsroubová plocha, kosou ´hlá uzavˇrená pˇr´ımková ˇsroubová plocha a cyklické ˇsroubové plochy se zamˇeˇren´ım na Archimédovu serpentinu. U kaˇzdé plochy opˇet uvedeme, jak´ ym zp˚ usobem vzniká. Dále provedeme matematické odvozen´ı vektorového vyjádˇren´ı plochy a uvedeme pˇr´ıklady vyuˇzit´ı plochy v praxi. Ke kaˇzdé ploˇse pˇriprav´ıme pracovn´ı listy s otázkami a zadán´ım konstrukˇcn´ıch u ´loh. Na závˇer pˇridáme model plochy vytvoˇren´ y bud’to ve 3D modeláˇr´ıch (Google SketchUp, Rhino) nebo vytvoˇr´ıme fyzick´ y model. Kapitola o Archimédovˇe serpentinˇe je pojata trochu odliˇsnˇe, protoˇze se jedná jiˇz o sloˇzit´ y typ plochy pro ˇzáky stˇredn´ı ˇskoly. Proto zde budeme mluvit o cyklick´ ych ˇsroubov´ ych plochách obecnˇe a následnˇe se zamˇeˇr´ıme v´ıce na Archimédovu serpentinu, avˇsak bez podrobného odvozen´ı vektorového vyjádˇren´ı. Detailn´ı odvozen´ı parametrizace Archimédovy serpentiny bude moˇzné nalézt na pˇriloˇzen´ ych webov´ ych stránkách.

3.1 3.1.1

Pravo´ uhl´ a uzavˇ ren´ a pˇ r´ımkov´ a ˇ sroubov´ a plocha Zaˇ razen´ı plochy

Pravo´ uhlá uzavˇrená pˇr´ımková ˇsroubová plocha vzniká ˇsroubov´ ym pohybem pˇr´ımky p, která v kaˇzdé své poloze prot´ıná osou ˇsroubového pohybu. Nav´ıc 48

je pˇr´ımka p na tuto osu v kaˇzdé své poloze kolmá. Nˇekdy se m˚ uˇzeme setkat s názvem schodov´ a plocha, jelikoˇz jej´ı nejˇcastˇejˇs´ı uplatnˇen´ı nalezneme u toˇcit´ ych schodiˇst’. V odborné literatuˇre m˚ uˇzeme nalézt i oznaˇcen´ı helikoid. Pravo´ uhlou uzavˇrenou pˇr´ımkovou ˇsroubovou plochu lze zaˇradit i mezi ˇ ıdic´ı kˇrivkou tohoto konoidu je ˇsroubovice, ˇr´ıdic´ı pˇr´ımkou je osa konoidy. R´ ˇsroubového pohybu a ˇr´ıdic´ı rovinou je rovina kolmá k ose ˇsroubového pohybu. Pro plochu uˇz´ıváme názvu pˇr´ımý ˇsroubový konoid. K tˇemto plochám se jeˇstˇe v následuj´ıc´ıch kapitolách vrát´ıme. Model pravo´ uhlé uzavˇrené pˇr´ımkové ˇsroubové plochy máme na obr. 3.1.

Obrázek 3.1: Model pravo´ uhlé uzavˇrené pˇr´ımkové ˇsroubové plochy

3.1.2


Pravo´ uhlá uzavˇrená pˇr´ımková ˇsroubová plocha, vzniká ˇsroubov´ ym pohybem tvoˇr´ıc´ı kˇrivky. Touto tvoˇr´ıc´ı kˇrivkou je pˇr´ımka p, která koná ˇsroubov´ y pohyb a je kolmá na osu o. Pˇr´ımka p je urˇcena body A = [0, 0, 0] a B = [a, 0, 0]. Hodnota konstanty a je z oboru reáln´ ych ˇc´ısel R a zároveˇ n plat´ı, ˇze a 6= 0. Pro smˇerov´ y vektor pˇr´ımky p vyuˇzijeme analytické geometrie a vyjádˇr´ıme jej vztahem (3.1). s = B − A = (a, 0, 0)

(3.1)

k(t) = A + st = (at, 0, 0)

(3.2)

Dále vyuˇzijeme parametrizaci tvoˇr´ıc´ı kˇrivky (pˇr´ımky) opˇet vztahem z analytické geometrie, viz vyjádˇren´ı (3.2). Parametr t je z intervalu (−∞, ∞). 49

Obrázek 3.2: Princip odvozen´ı schodové plochy

Kaˇzd´ y bod tvoˇr´ıc´ı pˇr´ımky koná ˇsroubov´ y pohyb. Tedy rotaci kolem osy o a zároveˇ n se posouvá ve smˇeru osy o. V rovinˇe xy se pohybuje po rovnobˇeˇzkové kruˇznici o polomˇeru R, pro kter´ y plat´ı vztah (3.3). R = x(t) = at

(3.3)

Ve smˇeru osy z se dan´ y bod posune o v´ yˇsku v = v0 u. Parametr u je z intervalu h0, 2π). Spojen´ım rotaˇcn´ıho a posuvného pohybu m˚ uˇzeme vyjádˇrit schodovou plochu ve tvaru (3.4). P(u, t) = (R cos u, R sin u, v)

(3.4)

Pokud dosad´ıme do vztahu (3.4) za polomˇer R a za v´ yˇsku v, o kterou se pˇr´ımka p pˇri daném otoˇcen´ı posune, z´ıskáme v´ ysledné vektorové vyjádˇren´ı pravo´ uhlé uzavˇrené pˇr´ımkové ˇsroubové plochy (3.5). P(u, t) = (at cos u, at sin u, v0 u)

(3.5)

Jak bylo ˇreˇceno v´ yˇse, pravo´ uhlou uzavˇrenou pˇr´ımkovou ˇsroubovou plochu lze vyjádˇrit i jako ˇsroubov´ y konoid1 . Tuto parametrizaci uvád´ıme jen jako poznámku pod ˇcarou, nebot’ si pro naˇse u ´ˇcely vystaˇc´ıme s prvn´ım vyjádˇren´ım schodové plochy. 1ˇ

R´ıdic´ı kˇrivkou bude ˇsroubovice s vektorov´ ym vyj´ adˇren´ım k(t) = (a cos t, a sin t, v0 t).

50

3.1.3


1. architektura: Pravo´ uhlá uzavˇrená pˇr´ımková ˇsroubová plocha je vyuˇz´ıvána pˇredevˇs´ım v architektuˇre a to pˇri stavbˇe toˇcit´ ych schodiˇst’, jak bylo zm´ınˇeno v´ yˇse. Tato plocha je tvoˇrena hranami jednotliv´ ych schod˚ u. Jedná se pouze o nˇekteré polohy tvoˇr´ıc´ı pˇr´ımky, které budeme naz´ yvat schodnice.

Obrázek 3.3: Schodiˇstˇe rozhledna Kramol´ın

Obrázek 3.4: Archiméd˚ uv ˇsroub

Protoˇze jednotlivé schodnice jsou ve vodorovné poloze, jsou také kolmé na stˇredov´ y opˇern´ y sloup schodiˇstˇe, kter´ y je zároveˇ n osou ˇsroubového pohybu. Na obr. 3.3 je ˇzelezné toˇcité schodiˇstˇe rozhledny Stezka mezi korunami strom˚ u na ˇsumavském Kramol´ınˇe. Pˇr´ıklad vyuˇzit´ı pravo´ uhlé uzavˇrené pˇr´ımkové ˇsroubové plochy jako schodiˇstˇe ˇcerpán z [1]. 2. ˇ sroubov´ e dopravn´ıky: Dále je plocha vyuˇz´ıvána u ˇsroubov´ ych dopravn´ık˚ u. Typick´ ym pˇr´ıkladem je tzv. Archiméd˚ uv ˇsroub. Tento vynález je zaloˇzen na následuj´ıc´ım ˇ principu. Sroubov´ y mechanismus je ˇcasto uloˇzen v korytˇe ˇci rouˇre a ˇsroubová plocha je tˇesnˇe spojena s otáˇcej´ıc´ı se hˇr´ıdel´ı. Archiméd˚ uv ˇsroub na obr. 3.4. Hodnota v0 vyjadˇruje redukovanou v´ yˇsku z´ avitu a parametr t je z intervalu h0, 2π). ˇ ıdic´ı pˇr´ımkou, oznaˇcme ji a, bude souˇradnicov´ R´ a osa z s vektorov´ ym vyj´ adˇren´ım a(t) = (0, 0, v0 t). Povrchové pˇr´ımky jsou kolmé na osu ˇsroubovice, proto ˇr´ıdic´ı rovinou bude rovina xy. Smˇerov´ y vektor tˇechto povrchov´ ych pˇr´ımek vypoˇc´ıt´ ame jako s = k(t) − a(t). Koneˇcné vektorové vyj´ adˇren´ı ˇsroubového konoidu pak vyjádˇr´ıme vztahem P(u, t) = (u · a cos t, u · a sin t, v0 t), kde parametr u je z intervalu h0, 2π).

51

Otáˇcen´ım tohoto ˇsneku se provád´ı samotné ˇcerpán´ı - nejˇcastˇeji kapaliny. V kapsách, které tvoˇr´ı závity, je tato kapalina drˇzena gravitaˇcn´ı silou a vynáˇsena do v´ yˇsky. V´ yhodami tohoto stroje je jednoduchost a spolehlivost. Je vyuˇz´ıván napˇr´ıklad v ˇcistiˇckách odpadn´ıch vod pˇri ˇcerpán´ı zneˇciˇstˇené kapaliny nebo napˇr´ıklad k pˇrepravˇe zrn´ı uvnitˇr kombajnu. Dˇr´ıve byl Archiméd˚ uv ˇsroub vyuˇz´ıván i na lod´ıch, kde slouˇzil k odˇcerpáván´ı vody zpˇet do moˇre. Plochou Archimédova ˇsroubu by mohla b´ yti i jiná ˇsroubová plocha. Napˇr´ıklad pouˇzit´ım hadice, kterou bychom navinuli na libovoln´ y válec, bychom pracovali s Archimédovou serpentinou. Nejˇcastˇeji se vˇsak pouˇz´ıvá právˇe pravo´ uhlá uzavˇrená pˇr´ımková ˇsroubová plocha pˇredevˇs´ım kv˚ uli moˇznosti snadnˇejˇs´ı v´ yroby. V´ıce informac´ı o dopravn´ıc´ıch lze nalézt v [9]. 3. technika: Dále se s pravo´ uhlou uzavˇrenou pˇr´ımkovou ˇsroubovou plochou setkáváme u stavebn´ı techniky napˇr´ıklad u zemn´ıch vrták˚ u, kde d´ıky této ploˇse docház´ı k rovnomˇernému vrtán´ı do zemˇe, a proto nedocház´ı ke zborcen´ı stˇen kolem vrtné d´ıry. Pravo´ uhlá uzavˇrená pˇr´ımková ˇsroubová plocha je vyuˇz´ıvána také u zemˇedˇelské a zahradn´ı techniky. Patˇr´ı sem napˇr´ıklad p˚ udn´ı jamkovaˇc vyuˇz´ıvan´ y pro sadbu nov´ ych stromk˚ u nebo pro stavbu plotu, ˇzac´ı liˇsty kombajn˚ u, které zajiˇst’uj´ı rovnomˇern´ y tok klas˚ u do ˇsnekového dopravn´ıku, ˇc´ımˇz docház´ı k malému poˇskozován´ı zrn. Tuto plochu nalezneme také na závitech ˇsroub˚ u a ˇsroubov´ ych zvedák˚ u, u kruhov´ ych nájezd˚ u do patrov´ ych garáˇz´ı, ˇci ventilátor˚ u, jehoˇz lopatky jsou ˇca´stmi pravo´ uhlé uzavˇrené pˇr´ımkové ˇsroubové plochy. Pˇr´ıklady vyuˇzit´ı ˇcerpány z [2].

3.1.4

Pracovn´ı list

Pro ˇsroubové plochy byl vytvoˇren pracovn´ı list - ˇsroubové plochy, do kterého byl vloˇzen blok t´ ykaj´ıc´ı se pravo´ uhlé uzavˇrené pˇr´ımkové ˇsroubové plochy. V u ´vodn´ı ˇcásti ˇzáci vyplˇ nuj´ı své odpovˇedi na otázky, které maj´ı shrnout probranou látku a provˇeˇrit znalosti ˇza´k˚ u i s vyuˇzit´ım poˇc´ıtaˇce a internetu. 52

V následuj´ıc´ı ˇcásti ˇzaći bˇehem v´ yuky konstruuj´ı v prvn´ım pˇr´ıkladu pomoc´ı axonometrie pravo´ uhlou uzavˇrenou pˇr´ımkovou ˇsroubovou plochu. Ve druhém pˇr´ıkladu maj´ı vybrat správnou odpovˇed’ na základˇe znalost´ı z probrané látky a maj´ı své rozhodnut´ı zd˚ uvodnit. V posledn´ı ˇcásti vˇenované této ploˇse maj´ı ˇzaći u ´koly zadané jako samostatnou práci na doma. Hledaj´ı správné tvrzen´ı o schodové ploˇse. Dále maj´ı zkonstruovat plochu tentokrát v Mongeovˇe prom´ıtán´ı. Posledn´ı pˇr´ıklad byl pˇridán, aby mohli ˇzáci porovnat rozd´ıly v obou vyuˇzit´ ych projekc´ıch (Mongeovo prom´ıtán´ı, axonometrie).

3.2 3.2.1

Koso´ uhl´ a uzavˇ ren´ a pˇ r´ımkov´ aˇ sroubov´ a plocha Zaˇ razen´ı plochy

Obrázek 3.5: Model koso´ uhlé uzavˇrené pˇr´ımkové ˇsroubové plochy Jak napov´ıdá název, jedná se opˇet o pˇr´ımkovou ˇsroubovou plochu. Nˇekdy se j´ı téˇz ˇr´ıká tzv. vývrtková plocha. Koso´ uhlá uzavˇrená pˇr´ımková ˇsroubová plocha je urˇcena prvky ˇsroubového pohybu (osou, redukovanou v´ yˇskou závitu, smˇerem vinut´ı) a dále tvoˇr´ıc´ı pˇr´ımkou p, která je r˚ uznobˇeˇzná s osou o. Tvoˇr´ıc´ı pˇr´ımka opˇet v kaˇzdé své poloze prot´ıná osu a dále plat´ı, ˇze pˇr´ımky o a p na sebe nesm´ı b´ yt kolmé, protoˇze by pak vznikla pravo´ uhlá uzavˇrená 53

pˇr´ımková ˇsroubová plocha, které jsme se vˇenovali v pˇredeˇslé kapitole. Model koso´ uhlé uzavˇrené pˇr´ımkové ˇsroubové plochy je na obr. 3.5.

3.2.2


Obrázek 3.6: Princip odvozen´ı koso´ uhlé uzavˇrené pˇr´ımkové ˇsroubové plochy Vyjdeme z obr. 3.6. Je zadána tvoˇr´ıc´ı kˇrivka, kterou je v pˇr´ıpadˇe v´ yvrtkové plochy pˇr´ımka p. Tato pˇr´ımka je dána body A a B, jejichˇz souˇradnice jsou A = [a, 0, c], B = [0, 0, 0]. Hodnoty a, c jsou z oboru reáln´ ych ˇc´ısel R. Dále plat´ı, ˇze a 6= 0 a zároveˇ n c 6= 0, jinak by nevznikla v´ yvrtková plocha. Pˇr´ımka p tedy prot´ıná osu ˇsroubového pohybu o v bodˇe B. Osu o jsme ztotoˇznili se souˇradnicovou osou z. Pro smˇerov´ y vektor tvoˇr´ıc´ı pˇr´ımky p vyuˇzijeme analytické geometrie a vyjádˇr´ıme ho ve tvaru (3.6). s = A − B = (a, 0, c)

(3.6)

Dále vyjdeme z parametrického vyjádˇren´ı pˇr´ımky a tvoˇr´ıc´ı kˇrivku (pˇr´ımku) zap´ıˇseme ve tvaru (3.7), kde parametr t je z intervalu (−∞, ∞). k(t) = B + st = (at, 0, ct) 54

(3.7)

Kaˇzd´ y bod tvoˇr´ıc´ı kˇrivky koná ˇsroubov´ y pohyb. Ten je sloˇzen z rotaˇcn´ıho pohybu kolem osy o a zároveˇ n z posuvného pohybu ve smˇeru osy o. Rotaˇcn´ı pohyb prob´ıhá v rovinách rovnobˇeˇzn´ ych s rovinou xy a jednotlivé body se pohybuj´ı po rovnobˇeˇzkov´ ych kruˇznic´ıch. Pro polomˇer R tˇechto rovnobˇeˇzkov´ ych kruˇznic plat´ı vztah (3.8). R = x(t) = |at|

(3.8)

Ve smˇeru osy z je realizováno posunut´ı o v´ yˇsku v = v0 u, kde parametru je z intervalu h0, 2π). Spojen´ım rotaˇcn´ıho a posuvného pohybu vyjádˇr´ıme v´ yvrtkovou plochu vztahem (3.9). P(u, t) = (R cos u, R sin u, z(t) + v)

(3.9)

Za polomˇer R dosad´ıme ze vztahu (3.8). Sloˇzka z(t) je z vektorového vyjádˇren´ı tvoˇr´ıc´ı kˇrivky. Nakonec dosad´ıme v´ yˇsku v, o kterou se pˇr´ımka pˇri daném otoˇcen´ı posune podél osy o. Po u ´pravˇe z´ıskáme v´ ysledné vektorové vyjádˇren´ı koso´ uhlé uzavˇrené pˇr´ımkové ˇsroubové plochy (3.10). P(u, t) = (|at| cos u, |at| sin u, ct + v0 u)

3.2.3

(3.10)


1. stroj´ırenstv´ı: Plocha má vyuˇzit´ı pˇredevˇs´ım ve stroj´ırenstv´ı a to u závit˚ u ˇsroub˚ u. ˇ Srouby obecnˇe se dˇel´ı na ˇsrouby pohybové a spojovac´ı (upevˇ novac´ı). Osov´ y ˇrez (profil) ˇsroub˚ u m˚ uˇze b´ yt tvoˇren spojen´ım nˇekolika rovnoramenn´ ych troj´ uheln´ık˚ u nebo lichobˇeˇzn´ık˚ u, viz obr. 3.7. V obou dvou pˇr´ıpadech jsou závity ˇsroub˚ u tvoˇreny ˇca´stmi v´ yvrtkov´ ych ploch. Pˇr´ıkladem vyuˇzit´ı koso´ uhlé uzavˇrené pˇr´ımkové ˇsroubové plochy u závit˚ u jsou tzv. ˇsrouby ˇci hmoˇzdinky s ostrým z´ avitem, které maj´ı troj´ uheln´ıkov´ y profil. Hmoˇzdinku s ostr´ ym závitem máme na obr. 3.8. V´ıce o závitech ˇsroub˚ u viz [8]. Dále se s touto plochou setkáme u ˇrady vrták˚ u, u nichˇz ˇsikmé zuby zajiˇst’uj´ı maximáln´ı rychlost vrtán´ı. Dále pˇri obrábˇen´ı kov˚ u se s n´ı setkáváme napˇr´ıklad u tzv. v´ alcových fréz, viz obr. 3.9. Jedná se o obrábˇec´ı nástroj s nˇekolika bˇrity, kter´ y se up´ıná do obrábˇec´ıho stroje. Tento stroj se naz´ yvá frézka. Frézky jsou vyuˇz´ıvány nejen pro obrábˇen´ı kovov´ ych materiál˚ u, ale napˇr´ıklad i dˇreva ˇci umˇelé hmoty. Frézy 55

Obrázek 3.7: R˚ uzné typy osov´ ych ˇrez˚ u ˇsroub˚ u

Obrázek 3.8: Hmoˇzdinka s ostr´ ym závitem

Obrázek 3.9: Válcová fréza

Obrázek 3.10: Kovová ˇspona po obrábˇen´ı

se dˇel´ı napˇr´ıklad podle zp˚ usobu upnut´ı do stroje, podle obrábˇeného materiálu, ale i podle mnoha jin´ ych kritéri´ı. Válcové frézy jsou v´ yhodné v tom, ˇze pˇri obrábˇen´ı zab´ırá v´ıce zub˚ u najednou a zároveˇ n se obráb´ı vˇetˇs´ı plocha. Tvar koso´ uhlé uzavˇrené pˇr´ımkové ˇsroubové plochy má nejen tento nástroj, ale následnˇe i pˇrebyteˇcn´ y materiál, kter´ y se z obrobku odstraˇ nuje v podobˇe kovov´ ych ˇspon, viz obr. 3.10. 2. v´ yvrtka: Prvn´ı v´ yvrtky se objevily jiˇz v 17. stolet´ı. V´ yrobce se nechal inspirovat podobn´ ym nástrojem, kter´ y slouˇzil k vyndaván´ı kulek ze zbran´ı. O sto let pozdˇeji se tvar v´ yrobku zdokonalil tak, ˇze jiˇz pˇripom´ınal dneˇsn´ı v´ yvrtky. Dˇr´ıve v´ yvrtka slouˇzila jako otv´ırák lahviˇcek s parfémy ˇci léky. Také bylo vyrábˇeno pivo ve velkém mnoˇzstv´ı a prodáváno bylo v lahv´ıch se zátkami, k jejichˇz otev´ırán´ı také slouˇzila v´ yvrtka. Na otev´ırán´ı lahv´ı s v´ınem, se zaˇcala pouˇz´ıvat aˇz nˇekdy bˇehem 19. stolet´ı, kdy dˇrevˇené sudy na trhu postupem ˇcasu vystˇr´ıdaly lahve. Na obr. 3.11 je ukázka ˇ ano z [2] a [17]. klasické v´ yvrtky. Cerp´ 56

Obrázek 3.11: V´ yvrtka na v´ıno

Obrázek 3.12: schodiˇstˇe v Louvre

Toˇcité

3. architektura: Koso´ uhlá uzavˇrená pˇr´ımková ˇsroubová plocha má uplatnˇen´ı i ve stavitelstv´ı. Na obr. 3.12 vid´ıme toˇcité schodiˇstˇe v galerii Louvre v Paˇr´ıˇzi, které je um´ıstˇeno v m´ıstˇe pod prosklenou pyramidou. Hrany schod˚ u vytváˇr´ı klasickou pravo´ uhlou uzavˇrenou pˇr´ımkovou ˇsroubovou plochu, o které jsme se zm´ınili v kapitole (3.1). Avˇsak oplechován´ı spodn´ı strany schodiˇstˇe tvoˇr´ı v´ yvrtkovou plochu. Ta zde pln´ı pouze funkci designérskou a nikoliv funkˇcn´ı.

3.2.4

Pracovn´ı list

Do pracovn´ıho listu o ˇsroubov´ ych plochách je opˇet zahrnut blok s otázkami a pˇr´ıklady t´ ykaj´ıc´ı se koso´ uhlé uzavˇrené pˇr´ımkové ˇsroubové plochy. V u ´vodu opˇet ˇzaći odpov´ıdaj´ı na nˇekolik otázek, d´ıky kter´ ym si shrnou a zopakuj´ı znalosti o v´ yvrtkové ploˇse. Ve druhé ˇca´sti maj´ı ˇzáci bˇehem v´ yuky konstruovat ˇrez koso´ uhlé uzavˇrené pˇr´ımkové ˇsroubové plochy rovinou kolmou na osu ˇsroubového pohybu. V dalˇs´ım pˇr´ıkladˇe maj´ı ˇzaći na základˇe znalost´ı urˇcit správnou moˇznost a následnˇe maj´ı zd˚ uvodnit své rozhodnut´ı. V posledn´ı ˇca´sti, která je zamˇeˇrena opˇet na samostatnou práci, maj´ı ˇzáci vysvˇetlit rozd´ıly mezi schodovou“ plochou a v´ yvrtkovou“ plochou. Dále ” ” maj´ı naˇcrtnout jejich obrázky. V následuj´ıc´ım pˇr´ıkladˇe sestrojuj´ı ˇzaći ostr´ y závit ˇsroubu jehoˇz troj´ uheln´ıkov´ y profil je sloˇzen´ y ze dvou u ´seˇcek. Obˇe tyto ˇ aci konstruuj´ı u ´seˇcky konaj´ı ˇsroubov´ y pohyb a vytváˇr´ı v´ yvrtkovou plochu. Z´ pˇr´ıklad v Mongeovˇe prom´ıtán´ı. 57

3.3 3.3.1

Archimedova serpentina Cyklick´ eˇ sroubov´ e plochy

Doposud jsme se zab´ yvali ˇsroubov´ ymi plochami, které vznikaly ˇsroubov´ ym pohybem pˇr´ımky. Proto se jednalo o pˇr´ımkové ˇsroubové plochy. V kapitole (1.3) jsme vˇsak zavedli, ˇze vzhledem k typu tvoˇr´ıc´ı kˇrivky budeme rozliˇsovat jeˇstˇe tzv. cyklické ˇsroubové plochy. U cyklick´ ych ˇsroubov´ ych ploch je tvoˇr´ıc´ı kˇrivkou kruˇznice. Stejnˇe jako jsme u pˇr´ımkov´ ych ˇsroubov´ ych ploch rozliˇsovali jednotlivé plochy podle um´ıstˇen´ı tvoˇr´ıc´ı pˇr´ımky, tak i u cyklick´ ych ˇsroubov´ ych ploch budeme konkrétn´ı plochy urˇcovat podle polohy tvoˇr´ıc´ı kruˇznice. Budeme rozliˇsovat tˇri základn´ı typy cyklick´ ych ˇsroubov´ ych ploch. • Normálová cyklická ˇsroubová plocha neboli vinut´ y sloupek • Osová cyklická ˇsroubová plocha • Archimédova serpentina Vinut´ y sloupek vzniká ˇsroubov´ ym pohybem kruˇznice k, která leˇz´ı v rovinˇe ρ kolmé na osu ˇsroubového pohybu o. Stˇred S tvoˇr´ıc´ı kruˇznice k neleˇz´ı na ose ˇsroubového pohybu o, jinak by vznikla rotaˇcn´ı válcová plocha. Princip vzniku vinutého sloupku je na obr. 3.13, ve kterém je vyznaˇceno nˇekolik poloh tvoˇr´ıc´ı kruˇznice.

Obrázek 3.13: Vinut´ y sloupek

Obrázek 3.14: Osová cyklická

58

Obrázek 3.15: Archimédova serpentina

Osová cyklická ˇsroubová plocha vzniká ˇsroubov´ ym pohybem tvoˇr´ıc´ı kruˇznice, která leˇz´ı v rovinˇe procházej´ıc´ı osou ˇsroubového pohybu. Stˇred tvoˇr´ıc´ı kruˇznice opˇet neleˇz´ı na ose ˇsroubového pohybu. Princip vzniku osové cyklické ˇsroubové plochy je na obr. 3.14, ve kterém je vyznaˇceno opˇet nˇekolik poloh tvoˇr´ıc´ı kruˇznice. Archimédova serpentina vzniká ˇsroubov´ ym pohybem tvoˇr´ıc´ı kruˇznice leˇz´ıc´ı v rovinˇe ρ kolmé k teˇcnˇe ˇsroubovice, kterou opisuje stˇred tvoˇr´ıc´ı kruˇznice. Stˇred tvoˇr´ıc´ı kruˇznice neleˇz´ı na ose ˇsroubového pohybu. Princip vzniku je na obr. 3.15, ve kterém je vyznaˇceno opˇet nˇekolik poloh tvoˇr´ıc´ı kruˇznice. Archimédova serpentina m˚ uˇze vˇsak vznikat i jako obalov´ a plocha. 2 Zamˇeˇr´ıme se na plochu Archimédovy serpentiny, protoˇze má nˇekolik zaj´ımav´ ych vyuˇzit´ı. Model plochy máme na obr. 3.16.

Obrázek 3.16: Model plochy Archimédovy serpentiny

3.3.2


Matematické odvozen´ı Archimédovy serpentiny je ponˇekud sloˇzité pro ˇza´ky stˇredn´ıch ˇskol, proto zde jen zhruba nast´ın´ıme postup a pro zájemce pˇridáme celé odvozen´ı na vytvoˇren´ ych webov´ ych stránkách. 2

Tvoˇr´ıc´ı plochou je kulov´ a plocha, kter´ a kon´ a ˇsroubov´ y pohyb. Archimédova serpentina je zde obalovou plochou jednoparametrického systému kulov´ ych ploch a jej´ı charakteristikou je kruˇznice.

59

ˇ Vyjdeme z vektorového vyjádˇren´ı ˇsroubovice (3.11). Sroubov´ y pohyb je spojen´ım rotaˇcn´ıho a posuvného pohybu. Souˇradnice x a y urˇcuj´ı rotaˇcn´ı pohyb tvoˇr´ıc´ı kruˇznice k kolem osy o a souˇradnice z udává, o jakou v´ yˇsku se tvoˇr´ıc´ı kruˇznice k posune ve smˇeru osy o. P(t) = (a cos t, a sin t, v0 t)

(3.11)

Pro urˇcen´ı roviny, ve které leˇz´ı tvoˇr´ıc´ı kruˇznice k vyuˇzijeme vektory hlavn´ı normály a binormály.3 . Po vˇsech potˇrebn´ ych u ´pravách bychom dospˇeli k vektorovému vyjádˇren´ı (3.12) plochy Archimédovy serpentiny. Pro jeho délku a pro pˇrehlednost jsme vyuˇzili sloupcov´ y zápis vektoru. 

P(u, t) =

3.3.3

    

a cos t + R cos u cos t + Rv0 sin u sin t √ a sin t + R cos u sin t − Rv0 sin u cos t √ v0 t +

Ra sin u √ 21 2 a +v0

1 a2 +v02

,

1 , a2 +v02

     

(3.12)


1. kuliˇ ckov´ yˇ sroub: Archimédova serpentina má uplatnˇen´ı pˇredevˇs´ım ve stroj´ırenstv´ı. Vyuˇz´ıvaj´ı ji tzv. kuliˇckové ˇsrouby. Tyto ˇsrouby jsou jedn´ım z konstrukˇcn´ıch prvk˚ u pohybov´ ych u ´stroj´ı a jejich u ´kolem je pˇrevádˇet rotaˇcn´ı pohyb na pohyb pˇr´ımoˇcar´ y. Pro snadnˇejˇs´ı pˇredstavu uvád´ıme obr. 3.17. Základn´ımi ˇca´stmi tohoto ˇsroubu je hˇr´ıdel (2) a matice (1). Po celé délce hˇr´ıdele a uvnitˇr matice je vysoustruˇzená ˇsroubová dráˇzka (3). Dráˇzka na hˇr´ıdeli pln´ı funkci vnitˇrn´ı obˇeˇzné dráhy a dráˇzka v matici vnˇejˇs´ı obˇeˇznou dráhu. V tomto kan´ alku se odvaluj´ı pˇresné ocelové kuliˇcky o stejném pr˚ umˇeru. Pohybem v dráˇzce mezi hˇr´ıdel´ı a matic´ı vyvolávaj´ı lineárn´ı pohyb hˇr´ıdele ˇci matice v závislosti na tom, jaké poˇzadavky aplikace má. Toto ˇreˇsen´ı zajiˇst’uje minimáln´ı mechanické opotˇreben´ı a spolehlivou funkci po celou dobu trvanlivosti ˇsroubu. 3

Trojice teˇcna, hlavn´ı norm´ ala a binorm´ ala urˇcuj´ı tzv. Frenet˚ uv trojhran

60

ˇ matic´ı kuliˇckového ˇsroubu Obrázek 3.17: Rez

Jedn´ım z nepostradateln´ ych d´ıl˚ u kaˇzdého kuliˇckového ˇsroubu je také zaˇr´ızen´ı, které vrac´ı kuliˇcky, jeˇz dosáhly konce obˇeˇzné dráhy uvnitˇr matice, opˇet na zaˇcátek dráhy a zajiˇst’uje tak jejich opakovan´ y obˇeh. Zpravidla je k tomuto u ´ˇcelu urˇcena vnˇejˇs´ı vratná trubka, která spojuje konec matice s jej´ım zaˇca´tkem a t´ım uzav´ırá okruh ob´ıhaj´ıc´ıch kuliˇcek. Kv˚ uli moˇznému poˇskozen´ı pˇri montáˇzi se vˇsak v souˇcasné dobˇe pracuje na alternativn´ım ˇreˇsen´ı. Dnes bychom se mohli tedy setkat s t´ım, ˇze pˇr´ımo v matici bude vyvrtaná dráˇzka, d´ıky které kuliˇcky neopust´ı prostor matice a která zajiˇst’uje stál´ y obˇeh kuliˇcek (4). V´ıce informac´ı o kuliˇckov´ ych ˇsroubech, viz [8]. 2. pruˇ ziny: Ve stroj´ırenstv´ı se tento mechanick´ y spojovac´ı prvek vyuˇz´ıvá pˇredevˇs´ım k tlumen´ı náraz˚ u a kmit˚ u. Budou nás zaj´ımat pouze válcové pruˇziny. Rozdˇeluj´ı se podle toho, jak jsou namáhány (taˇzné nebo tlaˇcné). Charakteristickou vlastnost´ı této strojn´ı souˇcástky je tzv. tuhost pruˇziny. Jedná se o konstantu vyjadˇruj´ıc´ı s´ılu potˇrebnou k vych´ ylen´ı pruˇziny z klidového stavu. K v´ yrobˇe pruˇzin je vyuˇz´ıvána speciáln´ı pérová ocel, která speciáln´ımi u ´pravami z´ıská poˇzadované vlastnosti (pevnost a pruˇznost). Zm´ınˇenou u ´pravou m˚ uˇze b´ yt napˇr´ıklad zuˇslecht’ován´ı oceli kalen´ım. Pruˇzinky z tenk´ ych drátk˚ u se mohou jiˇz za studena vinout z kalené struny, ale silné pruˇziny se zuˇslecht’uj´ı aˇz v koneˇcném stavu. 61

Dráty, ze kter´ ych jsou pruˇziny nav´ıjeny, maj´ı konstantn´ı polomˇer. Nikde nedocház´ı k deformaci tohoto polomˇeru, proto se jedná o Archimédovu serpentinu.

Obrázek 3.18: Pruˇzina tlumiˇce

Obrázek 3.19: Stezka korunami strom˚ u - Kramol´ın

ˇ Tyto souˇca´stky se ˇr´ıd´ı normami CSN, tud´ıˇz je nalezneme ve strojnick´ ych tabulkách. Ty obsahuj´ı nejen jejich rozdˇelen´ı a pˇr´ısluˇsné rozmˇery, ale i zp˚ usob jejich zakreslován´ı do v´ ykres˚ u vˇcetnˇe potˇrebn´ ych vzorc˚ u pro v´ ypoˇcty napˇr´ıklad tuhosti pruˇziny, deformace, poˇctu vinut´ı atd. S pruˇzinami se m˚ uˇzeme setkat u r˚ uzn´ ych zaˇr´ızen´ı. Jmenujme napˇr´ıklad tlumiˇce u dopravn´ıch prostˇredk˚ u, vratné pruˇziny u zbran´ı, cviˇcebn´ı pom˚ ucky atd. Kaˇzdodennˇe se ale s pruˇzinami setkáváme u obyˇcejn´ ych vˇec´ı jako jsou propisovac´ı tuˇzky, kol´ıky na prádlo, pastiˇcky na myˇsi, spony do vlas˚ u a u mnoha dalˇs´ıch. Pro tento pˇr´ıklad bylo ˇcerpáno opˇet z [8]. 3. skluzavky: S plochou Archimédovy serpentiny se setkáváme u r˚ uzn´ ych skluzavek a tobogan˚ u v aquaparc´ıch ˇci dˇetsk´ ych hˇriˇst´ıch. Jak uˇz jsme zm´ınili plocha vzniká ˇsroubován´ım kruˇznice, která leˇz´ı v rovinˇe kolmé k teˇcnˇe ˇsroubovice. Jedna taková skluzavka vznikla v rámci nové stezky v korunách strom˚ u na Kramol´ınˇe. Jedná se o konstrukci rozhledny s terasami vinouc´ımi se 62

aˇz nad koruny strom˚ u. Podoba této rozhledny je na obr. 3.19. M˚ uˇzeme si vˇsimnout, ˇze tato rozhledna obsahuje hned nˇekolik ˇsroubov´ ych ploch, my se vˇsak prozat´ım zamˇeˇr´ıme pouze na skluzavku - Archimédovu serpentinu. Tato skluzavka slouˇz´ı jako zkratka pro ty, kteˇr´ı nechtˇej´ı absolvovat stejnou cestu i nazpˇet a chtˇej´ı zároveˇ n zaˇz´ıt nˇejaké zpestˇren´ı. Skluzavka je totiˇz ponˇekud strmá. Pro pˇr´ıklad vyuˇzit´ı plochy jako r˚ uzn´ ych skluz˚ u byla inspirace ˇcerpána z [1].

3.3.4

Pracovn´ı list

Pro procviˇcen´ı a upevnˇen´ı znalost´ı t´ ykaj´ıc´ı se cyklick´ ych ˇsroubov´ ych ploch jsme v pracovn´ım listˇe o ˇsroubov´ ych plochách pˇridali posledn´ı blok. V u ´vodn´ı ˇca´sti ˇzáci doplˇ nuj´ı správné odpovˇedi na otázky, které slouˇz´ı ke shrnut´ı látky. Druhá ˇcást pracovn´ıho listu je zamˇeˇrena na práci ˇza´k˚ u bˇehem v´ yuky. V prvn´ım pˇr´ıkladu ˇzaći konstruuj´ı nˇekolik bod˚ u hlavn´ıho meridiánu Archimédovy serpentiny. Ve druhém pˇr´ıkladu maj´ı ˇzáci za u ´kol naˇcrtnout obrázek na základˇe sv´ ych znalost´ı o této ploˇse. V posledn´ım pˇr´ıkladu této ˇcásti, opˇet konstruuj´ı body hlavn´ıho meridiánu avˇsak jiné cyklické ˇsroubové plochy a to vinutého sloupku. Celé meridiány jsou ˇza´k˚ um k dispozici v programu Geogebra. Tˇret´ı a zároveˇ n posledn´ı ˇca´st je zamˇeˇrená na samostatnou práci ˇzák˚ u. Vyb´ıraj´ı správnou tvrzen´ı o Archimédovˇe serpentinˇe a v posledn´ım pˇr´ıkladu jiˇz sami sestrojuj´ı body ˇrezu osové cyklické ˇsroubové plochy rovinou kolmou k ose ˇsroubového pohybu. ˇ aci si mohli Byly tedy vyˇreˇseny tˇri pˇr´ıklady na r˚ uzné cyklické plochy. Z´ povˇsimnout, ˇze meridián Archimédovy serpentiny byla jiná kˇrivka neˇz meridián vinutého sloupku. Hlavn´ı meridián ˇsroubové plochy se tedy mˇen´ı v závislosti na poloze tvoˇr´ıc´ı kˇrivky.

63

Kapitola 4 Vybran´ e zborcen´ e plochy V následuj´ıc´ı kapitole naváˇzeme na kapitolu (1.4) a budeme se vˇenovat vybran´ ym zborcen´ ym plochám. Do této skupiny jsme zaˇradili hyperbolick´ y paraboloid, pˇr´ım´ y parabolick´ y konoid a pˇr´ım´ y vlnov´ y konoid. U kaˇzdé plochy opˇet uvedeme, jak´ ym zp˚ usobem vzniká. Dále provedeme matematické odvozen´ı plochy a uvedeme pˇr´ıklady vyuˇzit´ı plochy v praxi. Na závˇer jednotliv´ ych podkapitol pˇridáme pracovn´ı list t´ ykaj´ıc´ı se dané ploˇ chy spolu s modelem plochy. Reˇsen´ı pˇr´ıklad˚ u z pracovn´ıho listu budou následnˇe k dispozici na pˇriloˇzen´ ych webov´ ych stránkách opˇet z programu Geogebra.

4.1

Hyperbolick´ y paraboloid

4.1.1

Zaˇ razen´ı plochy

Obrázek 4.1: Hyperbolick´ y paraboloid a dvˇe vyznaˇcené paraboly Plochu hyperbolického paraboloidu lze zaˇradit do tzv. translaˇcn´ıch ploch. 64

Jin´ ymi slovy, budeme-li m´ıt dvˇe hlavn´ı paraboly, pak plochu hyperbolického paraboloidu vytvoˇr´ıme tak, ˇze vrchol jedné z parabol budeme posouvat po trajektorii paraboly druhé. Tyto dvˇe paraboly se rozev´ıraj´ı na opaˇcné strany (napˇr´ıklad prvn´ı parabola z = ax2 + bx + c a druhá parabola z = −dy 2 + ey + f ). Na obr. 4.1 uvád´ıme model hyperbolického paraboloidu s vyznaˇcen´ ymi hlavn´ımi parabolami. Jelikoˇz tvar plochy pˇripom´ıná jezdecké sedlo, nˇekdy se j´ı téˇz ˇr´ıká plocha sedlová. V pˇr´ıpadˇe, ˇze budeme hyperbolick´ y paraboloid ˇradit mezi zborcené plochy, konkrétnˇe mezi konoidy, bude tato plocha urˇcena tˇremi ˇr´ıdic´ımi prvky. ˇ ıdic´ı kˇrivkou bude u hyperbolického paraboloidu pˇr´ımka k. R´ ˇ ıdic´ı pˇr´ımkou R´ ˇ ıdic´ı bude pˇr´ımka l. Pro pˇr´ımky k a l plat´ı, ˇze jsou vzájemnˇe mimobˇeˇzné. R´ rovinou α bude rovina kolmá k ˇr´ıdic´ı pˇr´ımce l. Pro povrchové pˇr´ımky p plat´ı, ˇze jsou rovnobˇeˇzné s ˇr´ıdic´ı rovinou α a dále jsou vˇsechny povrchové pˇr´ımky pˇr´ıˇckami dan´ ych mimobˇeˇzek k, l. Kaˇzdá povrchová pˇr´ımka tedy spojuje body na ˇr´ıdic´ı kˇrivce k s body na ˇr´ıdic´ı pˇr´ımce l. Na ploˇse existuj´ı dva reguly pˇr´ımek. V kaˇzdém tomto regulu budou zm´ınˇené pˇr´ımky mimobˇeˇzky. Pˇr´ımka z jednoho regulu prot´ıná vˇsechny pˇr´ımky regulu druhého. My budeme zadávát plochu hyperbolického paraboloidu pomoc´ı zborceného ˇctyˇru ´heln´ıku ABCD. Pro zborcen´ y ˇctyˇru ´heln´ık plat´ı, ˇze jeho vrcholy neleˇz´ı v jedné rovinˇe. Protoˇze povrchové pˇr´ımky obou regul˚ u jsou rovnobˇeˇzné s ˇr´ıdic´ımi rovinami, mus´ı b´ yt zachováno, ˇze zborcen´ y ˇctyˇru ´heln´ık se do p˚ udorysu, nárysu ˇci bokorysu prom´ıtá jako rovnobˇeˇzn´ık. Dále zadefinujme osu hyperbolického paraboloidu o, jako pˇr´ımku rovnobˇeˇznou s pr˚ useˇcnic´ı ˇr´ıdic´ıch rovin a procházej´ıc´ı vrcholem plochy V. Vrchol plochy je dán pr˚ useˇc´ıkem pˇr´ımek procházej´ıc´ıch stˇredy protˇejˇs´ıch stran ˇctyˇru ´heln´ıku. Také plat´ı, ˇze teˇcná rovina, procházej´ıc´ı vrcholem plochy, je kolmá na osu plochy.

4.1.2


Hyperbolick´ y paraboloid je speciáln´ı typ konoidu, jak jiˇz bylo ˇreˇceno v´ yˇse. Konoidy jsou urˇceny tˇremi prvky a v pˇr´ıpadˇe hyperbolického paraboloidu se jedná o dvˇe pˇr´ımky a ˇr´ıd´ıc´ı rovinu. Mˇejme zadán zborcen´ y ˇctyˇru ´heln´ık s vrcholy A, B, C, D podle obr. 4.2. Souˇradnice tˇechto bod˚ u jsou následuj´ıc´ı A = [0, 0, 0], B = [a, 0, 0], C = [a,

65

Obrázek 4.2: Princip odvozen´ı hyperbolického paraboloidu

b, c], D = [0, b, 0]. Hodnoty a, b, c jsou z oboru reáln´ ych ˇc´ısel R. Pro tyto hodnoty dále plat´ı, ˇze a 6= 0, b 6= 0 a c 6= 0. Tyto ˇctyˇri body urˇcuj´ı dvˇe ˇr´ıdic´ı pˇr´ımky. Body B, C urˇcuj´ı ˇr´ıdic´ı pˇr´ımku k a body A, D urˇcuj´ı ˇr´ıdic´ı pˇr´ımku l. Plat´ı, ˇze pˇr´ımky k a l jsou navzájem mimobˇeˇzné. Pro smˇerov´ y vektor pˇr´ımek vyuˇzijeme vztah z analytické geometrie, tedy pro pˇr´ımku k vyjádˇr´ıme smˇerov´ y vektor q, viz vztah (4.1) a smˇerov´ y vektor pˇr´ımky l oznaˇc´ıme s, viz (4.2). q = C − B = (0, b, c) s = D − A = (0, b, 0)

(4.1) (4.2)

Dále vyjdeme z parametrického vyjádˇren´ı pˇr´ımky v analytické geometrii a pˇr´ımky k, l maj´ı vektorová vyjádˇren´ı (4.3) a (4.4). Parametr t je z intervalu (−∞, ∞). k(t) = B + qt = (a, bt, ct) l(t) = A + st = (0, bt, 0)

(4.3) (4.4)

Povrchové pˇr´ımky p hyperbolického paraboloidu vyjádˇr´ıme jako spojnice vˇsech bod˚ u X, Y. Bod X se bude pohybovat po pˇr´ımce k a bod Y po pˇr´ımce 66

l. Pro smˇerov´ y vektor h povrchov´ ych pˇr´ımek p plat´ı vztah (4.5). h = k(t) − l(t) = (a, 0, ct)

(4.5)

Hyperbolick´ y paraboloid je mnoˇzinou vˇsech povrchov´ ych pˇr´ımek p, proto m˚ uˇzeme plochu vyjádˇrit ve tvaru (4.6). Parametr u je opˇet z intervalu (−∞, ∞). P(u, t) = l(t) + hu

(4.6)

Pokud dosad´ıme do vztahu (4.6) za vektorové vyjádˇren´ı pˇr´ımky l a smˇerov´ y vektor h, po u ´pravˇe z´ıskáme koneˇcné vektorové vyjádˇren´ı hyperbolického paraboloidu (4.7). P(u, t) = (au, bt, ctu)

4.1.3

(4.7)


1. zastˇ reˇ sov´ an´ı budov:

Obrázek 4.3: Kostel Neposkvrnˇeného poˇcet´ı Panny Marie

V modern´ı architektuˇre se plocha hyperbolického paraboloidu vyuˇz´ıvá pˇredevˇs´ım u zastˇreˇsován´ı r˚ uzn´ ych budov. Pˇr´ıkladem je kostel ve státˇe Colorado ve mˇestˇe Boulder, katedrála svaté Marie v San Francisku a dokonce i stejnojmenná katedrála s podobn´ ym vzhledem v Tokiu. ˇ V Ceské republice má také zastoupen´ı a to na Moravˇe ve mˇestˇe Bˇreclav u kostela sv. Václava nebo napˇr. v Praze Straˇsnic´ıch u kostela Neposkvrnˇeného poˇcet´ı Panny Marie, viz obr. 4.4. Na stejném obrázku vpravo

67

Obrázek 4.4: P˚ udorys budovy a vnitˇrn´ı prostory chrámu

jsou ˇcervenˇe vyznaˇcené tˇri pˇr´ımky z kaˇzdého regulu hyperbolického paraboloidu. Nejenˇze tento kostel vyrostl uprostˇred praˇzského s´ıdliˇstˇe, ale je zaj´ımav´ y také svou modern´ı architekturou. Celá budova pˇripom´ıná ˇctyˇrbok´ y jehlan, pˇriˇcemˇz vnitˇrn´ı chrám zauj´ımá polovinu celé budovy. Má tedy p˚ udorys pˇripom´ınaj´ıc´ı rovnoramenn´ y troj´ uheln´ık. Tuto konstrukci navrhl architekt Jindˇrich Synek. Pro stavbu vyuˇzil hlavn´ı dˇrevˇen´ y sloup, na kter´ y jsou pˇripevnˇeny dalˇs´ı ˇctyˇri vazné sloupy. Ty vymezuj´ı ˇctyˇri plochy, z nichˇz tˇri vyuˇz´ıvaj´ı hyperbolick´ y paraboloid a ˇctvrtá je prosklená, a t´ım tedy prosvˇetluje vnitˇrn´ı prostory. Modern´ı interiér na návˇstˇevn´ıky p˚ usob´ı jako otevˇren´ y a vzduˇsn´ y prostor. V´ıce informac´ı o kostelu v Praze - Straˇsnic´ıch lze nalézt v [18]. 2. drobn´ a architektura:

ˇ e Budˇejovice Obrázek 4.5: Nástupiˇstˇe autobusového nádraˇz´ı Cesk´

68

Plochu hyperbolického paraboloidu nalezneme také u jednoduch´ ych staveb jako jsou pˇr´ıstˇreˇsky, sochy, altány nebo nástupiˇstˇe. Typick´ ym ˇ ych Budˇejovic´ıch. pˇr´ıkladem je autobusové nádraˇz´ı v Cesk´ Je postaveno na stˇreˇse nákupn´ıho centra Mercury. Na stavbˇe se pod´ılela skupina architekt˚ u ze spoleˇcnosti Atelier 8000, pˇriˇcemˇz hlavn´ım projektov´ ym managerem je Ladislav Kratochv´ıl. Po obou stranách odbavovac´ı budovy jsou nad jednotliv´ ymi nástupiˇsti jednoduché pˇr´ıstavby s membránov´ ym zastˇreˇsen´ım. Jednotlivé mark´ yzy jsou tvoˇreny ocelov´ ymi tyˇcemi s r˚ uzn´ ym sklonem, na které je pˇripevnˇena b´ılá membrána, jej´ıˇz vnˇejˇs´ı okraj pˇripom´ıná lomenou ˇca´ru. Jednotlivá pole membrány maj´ı obdéln´ıkov´ y p˚ udorys. Jsou na vrchn´ı i spodn´ı stranˇe napnutá ocelov´ ymi lany a vytváˇr´ı tak plochu hyperbolického paraboloidu. Jedná se o nejrozsáhlejˇs´ı proveden´ı tohoto typu ˇ e republice. zastˇreˇsen´ı nástupiˇst’ v celé Cesk´ Na obr. 4.5 jsou fotografie autobusového nádraˇz´ı s detailn´ımi zábˇery na ukotven´ı jednotliv´ ych pol´ı membrány. Pro pˇr´ıklad vyuˇzit´ı hyperbolického paraboloidu jako zastˇreˇsen´ı nástupiˇst’ bylo ˇcerpáno z [20].

4.1.4

Pracovn´ı list

Opˇet jako pro rotaˇcn´ı a ˇsroubové plochy jsme i pro zborcené plochy vytvoˇrili pracovn´ı list, jehoˇz jedna ˇca´st je zamˇeˇrena na plochu hyperbolického paraboloidu. V u ´vodn´ı ˇca´sti jsou shrnuj´ıc´ı otázky zamˇeˇrené na základn´ı poznatky o ploˇse hyperbolického paraboloidu. Prostˇredn´ı ˇca´st je zamˇeˇrena stejnˇe jako u pˇredchoz´ıch pracovn´ıch list˚ u na pˇr´ıklady, které ˇzaći pln´ı bˇehem v´ yuky pod dohledem vyuˇcuj´ıc´ıho. V prvn´ım pˇr´ıkladu si ˇzaći pˇripomenou analytickou geometrii v prostoru, konkrétnˇe u parametrického vyjádˇren´ı pˇr´ımky v prostoru. Ve druhém pˇr´ıkladˇe ˇzaći vyb´ıraj´ı správnou odpovˇed’ z nab´ıdnut´ ych moˇznosti na základˇe sv´ ych novˇe nabyt´ ych znalost´ı. Tˇret´ı pˇr´ıklad je na konstrukci povrchov´ ych pˇr´ımek hyperbolického paraboloidu. Následuje nˇekolik otázek t´ ykaj´ıc´ı se ˇrezu hyperbolického paraboloidu. V posledn´ı ˇca´sti, podobnˇe jako u jin´ ych ploch, jsou pˇr´ıklady vˇenované samostatné práci ˇzák˚ u a pˇr´ıklad˚ um analogick´ ym tˇem, které byly pˇredvedené ve ˇskole s malou modifikac´ı. V prvn´ım pˇr´ıkladˇe tedy ˇzaći jiˇz sami konstruuj´ı povrchové pˇr´ımky plochy. Ve druhé u ´loze konstruuj´ı ˇrez hyperbolického paraboloidu a tˇret´ı pˇr´ıklad je zamˇeˇren na v´ ybˇer správné moˇznosti. 69

4.2 4.2.1

Pˇ r´ım´ y parabolick´ y konoid Zaˇ razen´ı plochy

Obrázek 4.6: Model pˇr´ımého parabolického konoidu Pˇr´ım´ y parabolick´ y konoid ˇrad´ıme mezi zborcené plochy. Jedná se o pˇr´ımkovou plochu, která je urˇcena tˇremi prvky. Jsou jimi ˇr´ıdic´ı pˇr´ımka, ˇr´ıdic´ı kˇrivka, kterou je parabola a posledn´ı je ˇr´ıdic´ı rovina. Jelikoˇz se jedná o pˇr´ım´ y konoid, ˇr´ıdic´ı pˇr´ımka je kolmá na ˇr´ıdic´ı rovinu. Plocha je tvoˇrená povrchov´ ymi pˇr´ımkami rovnobˇeˇzn´ ymi s ˇr´ıdic´ı rovinou a prot´ınaj´ıc´ımi obˇe ˇr´ıdic´ı kˇrivky. Pro pˇredstavu uvád´ıme model pˇr´ımého parabolického konoidu na obr. 4.6. ˇ ıdic´ı parabola leˇz´ı v rovinˇe yz, ˇr´ıdic´ı pˇr´ımka leˇz´ı v rovinˇe xy nebo v rovinˇe R´ s n´ı rovnobˇeˇzné a je kolmá na ˇr´ıdic´ı rovinu xz. Na tomto obrázku je pouze polovina plochy, druhá polovina by byla osovˇe soumˇerná podle ˇr´ıdic´ı pˇr´ımky. Jin´ ymi slovy, dospˇeli bychom k n´ı tak, ˇze bychom povrˇsky plochy prodlouˇzili za ˇr´ıdic´ı pˇr´ımku.

4.2.2


Vyjdeme z obr. 4.7. Mˇejme zadánu ˇr´ıdic´ı kˇrivku, kterou je parabola leˇz´ıc´ı v rovinˇe yz. Vrchol paraboly V leˇz´ı na souˇradnicové ose z a jeho souˇradnice jsou V = [0, 0, c]. Hodnota konstanty c je z oboru reáln´ ych ˇc´ısel R. 70

Obrázek 4.7: Princip odvozen´ı pˇr´ımého parabolického konoidu

Dále mˇejme dánu ˇr´ıdic´ı pˇr´ımku l leˇz´ıc´ı v rovinˇe xy, která je rovnobˇeˇzná se souˇradnicovou osou y. Vzdálenost ˇr´ıdic´ı pˇr´ımky l od roviny paraboly oznaˇc´ıme d. Hodnota konstanty d je z oboru reáln´ ych ˇc´ısel R a zároveˇ n plat´ı, ˇze d 6= 0, aby vznikl parabolick´ y konoid. Vyjdeme z definice kvadratické funkce z = −ay 2 +c, kde hodnoty a, c jsou z oboru reáln´ ych ˇc´ısel R a zároveˇ n plat´ı, ˇze a 6= 0, jinak by nevznikla kvadratická funkce. Hodnota c vyjadˇruje pozici vrcholu paraboly na souˇradnicové ose z. Zvol´ıme parametrizaci y = t a po dosazen´ı do definice kvadratické funkce z´ıskáme ˇr´ıdic´ı kˇrivku ve tvaru (4.8). Parametr t je z intervalu (−∞, ∞). k(t) = (0, t, −at2 + c)

(4.8)

ˇ ıdic´ı pˇr´ımka l leˇz´ı v rovinˇe xy. Jej´ı vzdálenost d od roviny paraboly je R´ zároveˇ n souˇradnice x. Pˇr´ımka l je rovnobˇeˇzná se souˇradnicovou osou y, proto plat´ı pro souˇradnici y stejná parametrizace jako pro souˇradnici y paraboly. Vektorové vyjádˇren´ı ˇr´ıdic´ı pˇr´ımky l budeme tedy vyjadˇrovat vztahem (4.9). Stále plat´ı, ˇze parametr t je z intervalu (−∞, ∞) a konstanta d je z oboru 71

reáln´ ych ˇc´ısel, pˇriˇcemˇz plat´ı d 6= 0. l(t) = (d, t, 0)

(4.9)

Povrchové pˇr´ımky p pˇr´ımého parabolického konoidu jsou kolmé na ˇr´ıdic´ı pˇr´ımku l a tedy rovnobˇeˇzné s rovinou xz. Pˇr´ımky p jsou vˇzdy spojnice dvou bod˚ u X, Y. Bod X se pohybuje po ˇr´ıdic´ı parabole k a bod Y po ˇr´ıdic´ı pˇr´ımce l. Smˇerov´ y vektor vˇsech tˇechto spojnic vyjádˇr´ıme ve tvaru (4.10). s = k(t) − l(t) = (−d, 0, −at2 + c)

(4.10)

Vyjdeme z parametrizace pˇr´ımky, ale nejedná se zde pouze o jednu pˇr´ımku, ale o cel´ y svazek pˇr´ımek. Vektorové vyjádˇren´ı plochy parabolického konoidu pak zapisujeme vztahem (4.11). P(u, t) = l(t) + su

(4.11)

Po dosazen´ı do vztahu (4.11) za ˇr´ıdic´ı pˇr´ımku l a za smˇerov´ y vektor s povrchov´ ych pˇr´ımek p z´ıskáme koneˇcné vektorové vyjádˇren´ı pˇr´ımého parabolického konoidu ve tvaru (4.12). Parametr u je opˇet z intervalu (−∞, ∞). P(u, t) = (d(1 − u), t, (−at2 + c)u)

4.2.3

(4.12)


1. zastˇ reˇ sov´ an´ı: Plocha pˇr´ımého parabolického konoidu je vyuˇz´ıvána ve stavitelstv´ı. Je moˇzné ji vyuˇz´ıvat pˇredevˇs´ım k zastˇreˇsován´ı budov napˇr´ıklad prostory nad vchody nebo tzv. pilové stˇrechy r˚ uzn´ ych hal, kde se za sebou opakuj´ı stejné parabolické konoidy. Na obr. 4.8 je plocha pˇr´ımého parabolického konoidu vyuˇzita právˇe k zastˇreˇsen´ı. Jedná se o novostavbu ˇ rodinného domu ve Starém Draˇzejovˇe nedaleko mˇesta Strakonice (JC). Architekt vyuˇzit´ım plochy pˇr´ımého parabolického konoidu oˇzivil jinak obyˇcejnou valbovou stˇrechu. Pouˇzit´ım této plochy se také rozˇs´ıˇril i vnitˇrn´ı prostor natolik, ˇze m´ısto klasick´ ych stˇreˇsn´ıch oken majitelé mohli vyuˇz´ıt tzv. arkýˇrové okno s v´ yhledem do krajiny. Vyuˇzit´ı plochy pˇr´ımého parabolického konoidu jako zastˇreˇsen´ı budov jsme ˇcerpali z [2].

72

Obrázek 4.8: Pˇr´ım´ y parabolick´ y konoid vyuˇzit´ı v zastˇreˇsován´ı budov

Obrázek 4.9: Laminárn´ı proudˇen´ı

2. opˇ ern´ e zdi: Dále je plochy pˇr´ımého parabolického konoidu vyuˇz´ıváno také u staveb, kde zdivo odolává velkému tlaku. M˚ uˇzou jimi b´ yt klenbové vodn´ı pˇrehrady. Jej´ıˇz stˇena hráze má p˚ udorys parabolického oblouku. Dále je moˇzné ji vyuˇz´ıt u sklad˚ u sypk´ ych materiál˚ u, jako jsou sila. Plocha tedy pln´ı funkci opˇerné zdi, podél které se rovnomˇernˇe rozloˇz´ı tlak. U vodn´ıch pˇrehrad plat´ı, ˇze v bl´ızkosti hráze pˇrehrady má kapalina malou rychlost a vzniká zde tzv. laminárn´ı proudˇen´ı. Toto proudˇen´ı je charakteristické t´ım, ˇze proudnice neboli trajektorie ˇca´stic kapaliny jsou rovnobˇeˇzné. Kapalina proud´ı ve vrstvách tzv. laminech. Vrstva, která se bezprostˇrednˇe dot´ yká stˇeny hráze a bˇreh˚ u, se pohybuje v d˚ usledku tˇren´ı nejmenˇs´ı rychlost´ı (je témˇeˇr v klidu). Po této mezn´ı vrstvˇe se posouvá druhá vrstva, která má rychlost o nˇeco vˇetˇs´ı. Po této vrstvˇe se pohybuj´ı zase dalˇs´ı a dalˇs´ı vrstvy kapaliny s postupnˇe vˇetˇs´ı a vˇetˇs´ı rychlost´ı. Nejvˇetˇs´ı rychlost má kapalina, která procház´ı stˇredem pˇrehrady. Koncové body vektor˚ u rychlosti tak leˇz´ı ˇ ım vˇetˇs´ı na parabole, viz obr. 4.9. Rychlost se mˇen´ı také s hloubkou. C´ hloubka kapaliny bude, t´ım pomalejˇs´ı bude proudˇen´ı. Proto se u zd´ı pˇrehradn´ıch hráz´ı vyuˇz´ıvá plochy parabolického konoidu, která se stav´ı proti proudˇen´ı vody. To znamená, ˇze parabolick´ y konoid je orientovan´ y vrcholem ˇr´ıdic´ı kˇrivky smˇerem do hráze. T´ım se tlak kapaliny rovnomˇernˇe rozprostˇre podél zdi a nedojde k jej´ımu provalen´ı. 73

Tento pˇr´ıklad byl ˇcerpán z [2] a konzultován nezávisle s dvˇema odborn´ıky s Ing. Miroslavem Krejˇcou, Csc. a následnˇe na to s b´ yval´ ym ˇ e Budˇejovice Jaroslavem Kovandou. stavbyvedouc´ım firmy VHS Cesk´

Obrázek 4.10: Pˇrehrada Mooserboden, Rakousko Na obr. 4.10 máme na ukázku horskou pˇrehradu Mooserboden leˇz´ıc´ı nedaleko rakousk´ ych mˇest Kaprun a Zell am See. Tyto dvˇe umˇele vytvoˇrené vodn´ı nádrˇze jsou souˇcást´ı komplexu pˇreˇcerpávac´ı vodn´ı elektrárny. Pln´ı tak funkci uchováván´ı energie z vodn´ıch tok˚ u a pochopitelnˇe slouˇz´ı i k regulaci vody tekouc´ı z pˇrilehl´ ych vrchol˚ u rakousk´ ych alp.

4.2.4

Pracovn´ı list

V rámci pracovn´ıho listu vˇenovanému pˇr´ımkov´ ym plochám si ˇzaći opˇet na nˇekolika otázkách a pˇr´ıkladech zopakuj´ı a upevn´ı znalosti t´ ykaj´ıc´ı se plochy parabolického konoidu. Prvn´ı ˇca´st je zamˇeˇrena pouze na teoretické otázky, u kter´ ych ˇzáci doplˇ nuj´ı správné odpovˇedi. Je zde také jeden u ´kol na naˇcrtnut´ı obrázku. Ve druhé ˇca´sti uˇcitel spoleˇcnˇe se ˇza´ky odvod´ı parametrické vyjádˇren´ı plochy na základˇe pˇriloˇzeného obrázku a v dalˇs´ı u ´loze se ˇzaći nauˇc´ı jednoduchou konstrukci konoid˚ u. Je zde pˇridán také pˇr´ıklad na konstrukci ˇrezu pˇr´ımého parabolického konoidu, kter´ y je napojen na valbovou stˇrechu. Posledn´ı ˇcást je smˇerována na samostatnou práci ˇzák˚ u. Vyb´ıraj´ı napˇr´ıklad správnou odpovˇed’ na otázku na základˇe sv´ ych znalost´ı a konstruuj´ı povrchové pˇr´ımky pˇr´ımého parabolického konoidu. Posledn´ı pˇr´ıklad je vˇenován

74

konstrukci ˇrezu pˇr´ımého parabolického konoidu rovinou rovnobˇeˇznou s rovinou paraboly.

4.3

Pˇ r´ım´ y vlnov´ y konoid

Obrázek 4.11: Model pˇr´ımého vlnového konoidu

4.3.1

Obrázek 4.12: Princip vytvoˇren´ı vlnového konoidu

Zaˇ razen´ı a vznik plochy

Pˇr´ım´ y vlnov´ y konoid ˇrad´ıme také mezi zborcené plochy. Plocha je urˇcena tˇremi prvky, kter´ ymi jsou ˇr´ıdic´ı kˇrivka (sinusoida), ˇr´ıdic´ı pˇr´ımka a ˇr´ıdic´ı rovina. ˇ ıdic´ı pˇr´ımka je kolmá na ˇr´ıdic´ı rovinu, nebot’ jde opˇet o pˇr´ım´ R´ y konoid. Plochu tvoˇr´ı povrchové pˇr´ımky rovnobˇeˇzné s ˇr´ıdic´ı rovinou a prot´ınaj´ıc´ı obˇe ˇr´ıdic´ı kˇrivky. Pro pˇredstavu uvád´ıme obr. 4.11, kter´ y znázorˇ nuje model pˇr´ımého vlnového konoidu.

4.3.2


Pod´ıvejme se na obr. 4.12. Mˇejme zadánu ˇr´ıdic´ı kˇrivku k, která leˇz´ı v rovinˇe yz. Touto kˇrivkou je sinusoida. Nemus´ı se jednat o základn´ı sinusoidu, ale je ˇ ıdic´ı pˇr´ımka l leˇz´ı v rovinˇe xy nebo moˇzné mˇenit i jej´ı amplitudu a periodu. R´ ˇ ıdic´ı rovinou je rovina xz. v rovinˇe s n´ı rovnobˇeˇzné. R´ 75

Vyjdeme z definice goniometrick´ ych funkc´ı a funkci sinus zap´ıˇseme jako z = a sin(by). Hodnoty konstant a, b jsou z oboru reáln´ ych ˇc´ısel. Konstanta a mˇen´ı amplitudu funkce sinus a konstanta b má vliv na periodu funkce sinus. Zvol´ıme parametrizaci y = t. Po dosazen´ı do pˇredpisu pro funkci sinus a rozepsán´ı do sloˇzek z´ıskáme vektorové vyjádˇren´ı ˇr´ıdic´ı kˇrivky k ve tvaru (4.13). Plat´ı, ˇze parametr t je z intervalu h0, 2πi. k(t) = (0, t, a sin(bt))

(4.13)

ˇ ıdic´ı pˇr´ımka l leˇz´ı v rovinˇe xy a jej´ı vzdálenost od roviny sinusoidy R´ oznaˇc´ıme d. Hodnota konstanty d je z oboru reáln´ ych ˇc´ısel R a zároveˇ n plat´ı d 6= 0, jinak by nevznikl pˇr´ım´ y vlnov´ y konoid. Vektorové vyjádˇren´ı ˇr´ıdic´ı pˇr´ımky l máme ve vztahu (4.14) a parametr t je ze stejného intervalu jako pro ˇr´ıdic´ı kˇrivku k. l(t) = (d, t, 0)

(4.14)

Povrchové pˇr´ımky p pˇr´ımého vlnového konoidu jsou rovnobˇeˇzné s rovinou xz, která je kolmá na ˇr´ıdic´ı pˇr´ımku l. Jsou to spojnice dvou bod˚ u X, Y. Bod X se pohybuje po ˇr´ıdic´ı kˇrivce k a bod Y se pohybuje po ˇr´ıdic´ı pˇr´ımce l. Smˇerov´ y vektor tˇechto spojnic vyjádˇr´ıme vztahem (4.15). s = l(t) − k(t) = (d, 0, −a sin(bt))

(4.15)

Dále vyjdeme ze vztahu z analytické geometrie a vyjádˇr´ıme cel´ y systém povrchov´ ych pˇr´ımek, které tvoˇr´ı plochu pˇr´ımého vlnového konoidu ve tvaru (4.16). Parametr u je z oboru reáln´ ych ˇc´ısel R. P(u, t) = l(t) + su

(4.16)

Pokud dosad´ıme do vztahu (4.16) za ˇr´ıdic´ı pˇr´ımku l a smˇerov´ y vektor s, z´ıskáme koneˇcné vektorové vyjádˇren´ı pˇr´ımého vlnového konoidu ve tvaru (4.17). P(u, t) = (d(1 + u), t, −au sin(bt))

76

(4.17)

Obrázek 4.13: Zed’ národ˚ u, Athény ˇ - Recko

4.3.3

Obrázek 4.14: Parkovac´ı d˚ um Rychtáˇrka - Plzeˇ n


1. design: Plocha pˇr´ımého vlnového konoidu má uplatnˇen´ı pˇredevˇs´ım ve stavebn´ım ˇ pr˚ umyslu z hlediska svého designu. Spanˇ elsk´ y architekt Santiago Calatrava se nechal inspirovat plochou pˇr´ımého vlnového konoidu a pouˇzil jej u tzv. Zdi národ˚ u, viz obr. 4.13. Ta byla jednou z mnoha souˇca´st´ı komplexu olympijského sportoviˇstˇe v Athénách v roce 2004. ˇ e republice se s touto plochou také m˚ V Cesk´ uˇzeme setkat. V Plzni plochu pˇr´ımého vlnového konoidu pˇripom´ıná exteriérov´ y design parkovac´ıho domu Rychtáˇrka. Na fasádˇe budovy jsou v ˇradách pˇripevnˇené sklenˇené panely, které jsou r˚ uznˇe sklonˇené. Pokud bychom vedli vertikáln´ı stˇredn´ı pˇr´ıˇcku sklenˇen´ ym panelem, pak tato pˇr´ıˇcka bude jednou z povrchov´ ych pˇr´ımek pˇr´ımého vlnového konoidu. Vyuˇzit´ı plochy pˇr´ımého vlnového konoidu bylo inspirováno materiálem [19]. 2. zastˇ reˇ sov´ an´ı: V souˇcasné dobˇe si majitelé vinic ˇcasto pˇremˇen ˇuj´ı své usedlosti na architektonick´ y skvost. Jedn´ım takov´ ym vinaˇrstv´ım je Bodegas Ysios, které ˇ se nacház´ı na severu Spanˇ elska v podh˚ uˇr´ı Pyrenej´ı. Architektem reprezentaˇcn´ı budovy byl opˇet Santiago Calatrava. Jeho u ´kolem bylo interiér rozdˇelit na v´ yrobnu, sklad a reprezentaˇcn´ı ˇca´st urˇcenou pro prodej v´ına.

77

Obrázek 4.15: Vinaˇrstv´ı Bodegas Ysios Pro tvar stˇrechy opˇet zvolil pˇr´ım´ y vlnov´ y konoid, kter´ y lad´ı s vlnit´ ym reliéfem okol´ı vinohradu. Je sloˇzena z hranat´ ych dˇrevˇen´ ych trám˚ u obalen´ ych v hlin´ıku, které spoleˇcnˇe vytváˇr´ı vlnu. Uprostˇred budovy architekt pouˇzil vyv´ yˇsen´ y oblouk, kter´ y pln´ı funkci poznávac´ıho znamen´ı vinice. Nacház´ı se zde návˇstˇevnické centrum a z balkonu lze pozorovat a obdivovat okol´ı vinice. Budova je zaj´ımavá nejen vln´ıc´ı se stˇrechou, ale také vlnit´ ymi obvodov´ ymi zdmi. Celá stavba se op´ırá o dvˇe nosné stˇeny, které maj´ı sinusovou linii s minimáln´ım poˇctem oken. Podél jedné této hlavn´ı stˇeny je vodn´ı plocha, v n´ıˇz se vlnitá fasáda odráˇz´ı. Architekturu budovy m˚ uˇzete nalézt na obr. 4.15. ˇ e republice m˚ V Cesk´ uˇzeme opˇet naj´ıt zástupce vyuˇzit´ı pˇr´ımého vlnového konoidu na zastˇreˇsován´ı. Máme na mysli rekreaˇcn´ı stˇredisko Marina na bˇrehu jednoho z pˇr´ıstav˚ u Lipenské pˇrehrady. Jedná se z velké ˇca´sti o holandskou architekturu. Slovo Marina je odvozené z latinského slovo mare, coˇz v pˇrekladu znamená moˇre. Architekti názvem tohoto rekreaˇcn´ıho stˇrediska zd˚ uraznili fakt , ˇze stoj´ı na bˇrehu Lipenské pˇrehrady. Vlnit´ ym zastˇreˇsen´ım areál dokonale lad´ı ˇ s vlnami vodn´ı hladiny i vln´ıc´ımi se Sumavsk´ ymi vrcholky. Hˇrebeny stˇrech jsou vlastn´ı ˇr´ıdic´ı pˇr´ımky a konec ˇsindelové stˇrechy má tvar vlny (sinusoidy), která je ˇr´ıdic´ı kˇrivkou. Proto je zde zˇrejmé vyuˇzit´ı pˇr´ımého vlnového konoidu. Budovy areálu jsou na obr. 4.16. Inspirace ˇcerpána z [19] a [20].

78

Obrázek 4.16: Rekreaˇcn´ı stˇredisko Marina - Lipno

4.3.4

Pracovn´ı list

V pracovn´ım listˇe na zborcené plochy je pˇridán závˇereˇcn´ y blok vˇenovan´ y pˇr´ımému vlnovému konoidu. Prvn´ı ˇca´st je jako u pˇredchoz´ıch ploch vˇenována ˇ aci opˇet odpov´ıdaj´ı na uvedené otázky. opakován´ı v´ ykladové ˇca´sti. Z´ Následuje ˇca´st s pˇr´ıklady, na kter´ ych ˇzáci pracuj´ı bˇehem v´ yuky. Prvn´ı pˇr´ıklad je vˇenován matematickému popisu plochy. Ve druhém pˇr´ıkladˇe si maj´ı ˇzaći zopakovat tzv. Kochanského rektifikaci kruˇznice a zkonstruovat periodu sinusoidy nad rozvinut´ ym obvodem kruˇznice a posledn´ı pˇr´ıklad je vˇenován konstrukci povrchov´ ych pˇr´ımek pˇr´ımého vlnového konoidu. Posledn´ı ˇca´st je opˇet zamˇeˇrena na samostatnou prac´ı ˇza´k˚ u. V prvn´ım pˇr´ıkladˇe maj´ı ˇzáci za u ´kol sestrojit plochu pˇr´ımého vlnového konoidu a následˇ aci si na pˇr´ıklanˇe jeho ˇrez rovinou, která je rovnobˇeˇzná s rovinou sinusoidy. Z´ du ovˇeˇr´ı, ˇze ˇrezy rovinou rovnobˇeˇznou s ˇr´ıd´ıc´ı pˇr´ımkou jsou opˇet sinusoidy. Tˇemto sinusoidám se smˇerem od ˇr´ıd´ıc´ı kˇrivky k ˇr´ıd´ıc´ı pˇr´ımce postupnˇe zmenˇsuje amplituda. V posledn´ım pˇr´ıkladu maj´ı ˇzaći vybrat správnou odpovˇed’ na otázku.

79

Kapitola 5 Modely ploch Pro kaˇzdou vybranou plochu byl vytvoˇren bud’to virtuáln´ı model ve 3D modeláˇr´ıch (Google SketchUp, Rhino) nebo fyzick´ y model, pokud to bylo konstrukˇcnˇe moˇzné. K tvorbˇe jsme vybrali následuj´ıc´ı seznam budov ˇci v´ yrobk˚ u, u kter´ ych je vyuˇz´ıvaná daná plocha. Seznam vybran´ ych model˚ u: 1. kulov´ a plocha - zastˇreˇsen´ı nad polovinou budovy Státn´ı opery v Sydney (fyzick´ y model) 2. anuloid - kuliˇckové loˇzisko (virtuáln´ı model) 3. jednod´ıln´ y rotaˇ cn´ı hyperboloid - rozhledna na Jeˇstˇedu (virtuáln´ı model) 4. rotaˇ cn´ı paraboloid - planetárium Bochum - Nˇemecko (virtuáln´ı model) 5. pravo´ uhl´ a uzavˇ ren´ a pˇ r´ımkov´ aˇ sroubov´ a plocha - domek pro horské kozy (fyzick´ y model) 6. koso´ uhl´ a uzavˇ ren´ a pˇ r´ımkov´ aˇ sroubov´ a plocha - v´ yvrtka (virtuáln´ı model) 7. Archim´ edova serpentina - ˇza´rovka (virtuáln´ı model) 8. hyperbolick´ y paraboloid - kostel prvn´ı evangelické c´ırkve - USA (virtuáln´ı model) 80

9. pˇ r´ım´ y parabolick´ y konoid - kostel sv. Marie a sv. Ludv´ıka - USA (virtuáln´ı model) 10. pˇ r´ım´ y vlnov´ y konoid - stˇrecha soukromého domu - USA (virtuáln´ı model) Vzhledem k rozsahu práce, jsme se rozhodli, ˇze postupy jednotliv´ ych model˚ u vˇcetnˇe fináln´ıho srovnán´ı modelu s originálem pˇriloˇz´ıme na vytvoˇrené webové stránky, viz pˇriloˇzené CD.

81

Kapitola 6 Ovˇ eˇ ren´ı materi´ alu v praxi Souˇcást´ı zadán´ı diplomové práce bylo tento pˇripraven´ y uˇcebn´ı materiál vyzkouˇset na hodinˇe deskriptivn´ı geometrie. Tento bod zadán´ı mohl b´ yt splnˇen d´ıky kontaktu na vyuˇcuj´ıc´ıho Mgr. Petra Zrostl´ıka, kter´ y v souˇcasné dobˇe externˇe vyuˇcuje na gymnáziu Mikuláˇsské námˇest´ı v Plzni. Semináˇr z deskriptivn´ı geometrie je rozvrhován na dvˇe vyuˇcovac´ı hodiny pro vybrané ˇza´ky tˇr´ıd 8.A, 8.B, 4.A a 4.B. Vzhledem k tomu, ˇze byl term´ın na oduˇcen´ı domluven na t´ yden pˇred Vánoci, nebyli pˇr´ıtomni vˇsichni ˇzáci. Nˇekteˇr´ı ˇzáci mˇeli omluvenou v´ yuku, kv˚ uli speciáln´ımu programu, kter´ y jim pˇred Vánoci zaˇr´ıdil tˇr´ıdn´ı uˇcitel, proto bylo pˇr´ıtomno pouze 11 ˇzák˚ u. Vybraná ˇca´st uˇcebn´ıho textu vˇcetnˇe pracovn´ıho listu byla Mgr. Petrem Zrostl´ıkem nahrána na ˇskoln´ı server Moodle a ˇzaći mˇeli za u ´kol tento materiál pˇreˇc´ıst a pˇrinést si vytiˇstˇen´ y pracovn´ı list. Vybrána byla ˇca´st diplomové práce zamˇeˇrená na kulovou plochu. Pˇri v´ yuce byl k dispozici poˇc´ıtaˇc s dataprojektorem a sympodium, na kterém bylo moˇzné vyznaˇcovat d˚ uleˇzité informace ˇci dokreslovat vysvˇetluj´ıc´ı obrázky. Pro ˇza´ky byla také na u ´vod hodiny vytvoˇrena prezentace t´ ykaj´ıc´ı se obecn´ ych rotaˇcn´ıch ploch a následnˇe konkretizace na kulovou plochu. Zaˇclenili jsme ji do v´ yuky pro shrnut´ı d˚ uleˇzit´ ych pojm˚ u, které si mˇeli ˇzaći sami nastudovat z poskytnutého materiálu. V pˇr´ıpadˇe, ˇze tak ˇzáci neuˇcinili, vytvoˇrená prezentace s doprovodn´ ym v´ ykladem je dostateˇcnˇe podrobná k pochopen´ı nové látky. Pro lepˇs´ı pochopen´ı dané problematiky byl vyuˇzit i drátˇen´ y model kulové plochy, na kterém bylo moˇzné vysvˇetlit pojem sférického troj´ uheln´ıku. Pˇri vyplˇ nován´ı pracovn´ıch list˚ u ˇzáci správnˇe reagovali na poloˇzené otázky. Pˇri konstrukˇcn´ıch u ´lohách ˇza´k˚ um velmi pomohlo, ˇze pˇr´ıklady byly vyˇreˇseny v programu Geogebra a jednotlivé kroky konstrukce jim byly prom´ıtány. 82

Bˇehem poskytnut´ ych dvou vyuˇcovac´ıch hodin jsme spoleˇcnˇe s ˇza´ky stihli vˇsechny pˇripravené pˇr´ıklady do v´ yuky a samostatné u ´lohy jsme spoleˇcnˇe se ˇzáky proˇsli. Pro konstrukci sférického troj´ uheln´ıku byly ˇza´k˚ um vysvˇetleny návodné kroky. Na závˇer hodiny byl ˇza´k˚ um rozdán krátk´ y dotazn´ık pro ovˇeˇren´ı jejich spokojenosti s touto v´ yukou. Mnoh´ ym z nich pomohla pˇripravená prezentace s vysvˇetluj´ıc´ım v´ ykladem, aby si v hlavnˇe urovnali samostatnˇe nabyté informace z materiálu. Dále byli spokojeni s pˇredpˇripraven´ ymi pracovn´ımi listy, s konstrukcemi v Geogebˇre a praktick´ ym vyuˇzit´ım plochy. Nˇekteˇr´ı ˇzaći byli spokojeni s obsahovost´ı materiálu i se vzr˚ ustaj´ıc´ı nároˇcnost´ı pˇr´ıklad˚ u. Pro nˇekteré ˇzáky byly naopak pˇr´ıklady tˇeˇzké. Pˇredevˇs´ım se zde jedná o odvozován´ı vektorového vyjádˇren´ı, poˇc´ıtán´ı oblouk˚ u sférického troju ´heln´ıku a pochopen´ı sférického troj´ uheln´ıku v˚ ubec.

83

Z´ avˇ er C´ılem diplomové práce na téma Plochy ve svˇetˇe kolem n´ as bylo vypracovat studijn´ı materiál, kter´ y mˇel obsahovat jak teoretické informace o plochách vyuˇz´ıvan´ ych v technické praxi, tak pracovn´ı listy s otázkami a konstrukˇcn´ımi pˇr´ıklady. Pro ˇreˇsen´ı tˇechto konstrukˇcn´ıch pˇr´ıklad˚ u jsme vybrali programu Geogebra, v nˇemˇz je moˇzné vytváˇret dynamické konstrukce. Dále jsme se snaˇzili deskriptivn´ı geometrii provázat také s matematikou ˇca´st´ı pˇri odvozován´ı vektorov´ ych vyjádˇren´ı jednotliv´ ych ploch. P´ısemná ˇca´st diplomové práce je doplnˇena o elektronickou formu studijn´ıho materiálu v podobˇe webov´ ych stránek, které jsou souˇca´st´ı pˇriloˇzeného CD. C´ılem tvorby tˇechto webov´ ych stránek bylo lepˇs´ı zpˇr´ıstupnˇen´ı uˇcebn´ıho materiálu. Protoˇze v dneˇsn´ı dobˇe studenti sp´ıˇse sed´ı u poˇc´ıtaˇc˚ u neˇzli u kn´ıˇzek, jsou tyto webové stránky vhodnou alternativou uˇcebnice. Stránky maj´ı stejnou podobu uˇcebn´ıho materiálu jako text diplomové práce. D˚ uleˇzité je, ˇze jsou stránky ˇclenˇené podle jednotliv´ ych kapitol a jsou provázané pomoc´ı odkaz˚ u. Stránky nav´ıc obsahuj´ı nˇekteré zaj´ımavé historické poznámky a pro kaˇzdou plochu je pˇridána fotogalerie s dalˇs´ımi pˇr´ıklady vyuˇzit´ı. Na hlavn´ı stránce si uˇzivatel m˚ uˇze zvolit, zda ho zaj´ımá teoretická ˇca´st o jednotliv´ ych plochách nebo zda ho zaj´ımaj´ı konstrukˇcn´ı u ´lohy ˇci postupy vytvoˇren´ ych model˚ u. Sadu konstrukˇcn´ıch u ´loh jsme pro pˇrehlednost rozdˇelili podle jednotliv´ ych ploch. U kaˇzdého pˇr´ıkladu je v u ´vodu zadán´ı pˇr´ıkladu, následuje postup konˇ sen´ı strukce s pˇr´ıpadn´ ym doprovodn´ ym slovem a po kliknut´ı na odkaz Reˇ v Geogebˇre se ve vyhrazeném rámeˇcku objev´ı konstrukce, kterou lze krokovat a pˇr´ıpadnˇe modifikovat posouván´ım nˇekter´ ych bod˚ u. Takto krokovaná konstrukce se nám osvˇedˇcila pˇri zkuˇsebn´ı hodinˇe, pˇri které byla ˇca´st práce pˇredvedena na stˇredn´ı ˇskole. P˚ uvodn´ım zámˇerem bylo vytvoˇrit uˇcebn´ı materiál pro studenty stˇredn´ıch ˇskol, kteˇr´ı by tento materiál vyuˇz´ıvali bˇehem speciáln´ıho semináˇre deskrip84

tivn´ı geometrie. Po vyzkouˇsen´ı ˇca´sti vypracované diplomové práce na stˇredn´ı ˇskole jsme zjistili, ˇze vytvoˇren´ y studijn´ı materiál je pro studenty stˇredn´ıch ˇskol pˇr´ıliˇs sloˇzit´ y. Na stˇredn´ı ˇskoly by bylo moˇzné zaˇradit rotaˇcn´ı plochy s vynechán´ım vekˇ torov´ ych vyjádˇren´ı. Sroubov´ e plochy a konoidy jsou jiˇz velice nároˇcnou látkou a pro studenty jsou obt´ıˇzné na pˇredstavivost. Bylo by moˇzné jej vyuˇz´ıvat pro nadané studenty, jako rozˇsiˇruj´ıc´ı uˇcivo. Lepˇs´ı vyuˇzit´ı by mˇel, pokud bychom jej zaˇradili jako studijn´ı materiál pro studenty vysok´ ych ˇskol, konkrétnˇe pro 1. nebo 2. roˇcn´ık bakaláˇrského studia. Snad se nám podaˇrilo zachytit podstatné informace o plochách technické praxe, které lze prostˇrednictv´ım této diplomové práce pˇredat student˚ um zaj´ımaj´ıc´ıch se o deskriptivn´ı geometrii. Vˇeˇr´ıme, ˇze vzbud´ıme zájem o tento materiál prostˇrednictv´ım vytvoˇren´ ych webov´ ych stránek. Pokud by práce byla vyuˇz´ıvána pˇri v´ yuce na vysok´ ych ˇskolách, bylo by moˇzné dalˇs´ı jej´ı rozˇs´ıˇren´ı i o jiné plochy a o sadu dalˇs´ıch i sloˇzitˇejˇs´ıch konstrukˇcn´ıch pˇr´ıklad˚ u. Webové stránky by bylo moˇzné také zdokonalit a zajistit pˇr´ım´ y pˇr´ıstup s internetov´ ych prohl´ıˇzeˇc˚ u popˇr´ıpadˇe ze samotného webu odpov´ıdaj´ıc´ıho pˇredmˇetu.

85

Literatura [1] Urban A. Deskriptivn´ı geometrie II. SNTL, Praha 1967. [2] Piska R., Medek V. Deskriptivn´ı geometrie II. SNTL, Praha, Bratislava 1966. [3] Tomiczková S. Deskriptivn´ı geometrie I - Pomocn´ y uˇcebn´ı text verze ˇ Plzeˇ 5.1. ZCU, n 2011. [4] Jeˇzek F. Geometrick´ e a poˇ c´ıtaˇ cov´ e modelov´ an´ı - Pomocn´ y uˇcebn´ı ˇ text verze 8.1. ZCU, Plzeˇ n 2006. [5] Jeˇzek F., Tomiczková S. Geometrie pro FST2 - Pomocn´ y uˇcebn´ı text ˇ verze 5.0. ZCU, Plzeˇ n 2010. ˇ Praha, Praha 1988. ´ [6] Kováˇr P. Upravy tok˚ u - skriptum. VSZ ˇ Plzeˇ [7] Hloˇzek M. Sf´ erick´ a geometrie - diplomová práce. ZCU, n 2005. [8] Dillinger J. a kol. Modern´ı stroj´ırenstv´ı pro ˇ skolu a praxi. EuropaSobotáles cz.-s.r.o., Praha 2007. [9] Berka R. Kategorizace svisl´ ych dopravn´ık˚ u - bakaláˇrská práce. VUT, Brno 2010. ˇ [10] Rauner K. Jak funguje poˇ c´ıtaˇ cov´ a myˇ s. Skolsk´ a fyzika [online]. 16.3.2012, ˇc. 1, s. 17-20 (ˇr´ıjen 2012). http://sf.zcu.cz/data/2012/sf2012 01 5.pdf [11] skripta TUL-FS-KVS.(záˇr´ı 2012). http://www.kvs.tul.cz/download/rapid prototyping/rp1 skripta.pdf

86

[12] Autocentrum RK home page.(bˇrezen 2012). http://www.autocentrumrk.cz/historie-pneumatik/ [13] 2EL s.r.o. home page.(duben 2012). http://2el.magnetotherapy.com/?10,biotorus-lt-100 [14] Kas´ık P. Nem´ ate radar? Tak mus´ıte poslouchat.... Technet.cz [online]. 9.6.2007 (listopad 2012). http://technet.idnes.cz/nemate-radar-tak-musite-poslouchat -dty-/tec technika.aspx?c=A070525 170259 tec technika pka [15] Vokáˇc L. Ford pouˇ z´ıv´ a techniku z prvn´ı svˇ etov´ e v´ alky k vylepˇ sen´ı souˇ casn´ ych aut. Auto.idnes.cz [online]. 7.2.2012 (listopad 2012). http://auto.idnes.cz/ford-pouziva-techniku-z-prvni-svetovevalky-k-vylepseni-soucasnych-aut-1a9-/automoto.aspx?c=A120205 225349 automoto vok [16] Informaˇ cn´ı a vzdˇ el´ avac´ı port´ al ˇ skolstv´ı Zl´ınsk´ eho kraje home page. (kvˇeten 2012). http://www.zkola.cz/zkedu/pedagogictipracovnici/kabinet prirodnichved/metodickematerialyvyukoveprogramy/vyukove materialyzfyziky/17584.aspx [17] wikipedia.infostar.cz home page.(leden 2013). http://wikipedia.infostar.cz/c/co/corkscrew.html ˇ ımsko-katolick´ [18] R´ a farnost Neposkvrnˇ en´ eho poˇ cet´ı panny Marie home page. (záˇr´ı 2012). http://www.farnoststrasnice.cz/farnost.php?doc=kostel.htm ˇ [19] osobn´ı str´ anky Mgr. Jiˇ r´ıho Doleˇ zala VSB-TU.(kvˇ eten 2012). http://mdg.vsb.cz/jdolezal/StudOpory/Geometrie/Plochy/ ZborcenePlochy/Konoidy/Realizace/PrimyVlnkovyKonoid.html [20] archiweb home page.(leden 2012). http://www.archiweb.cz/

87

Seznam pˇ revzat´ ych obr´ azk˚ u • Obr´ azek 2.4: Sférick´ y troj´ uheln´ık (leden 2012) pˇrevzato a upraveno z: http://forum.matweb.cz/upload3/img/2011-12/82609 sfr1.png • Obr´ azek 2.5: Státn´ı opera v Sydney (leden 2012) pˇrevzato z: http://cs.wikipedia.org/wiki/Soubor:Sydney Opera House Sails.jpg • Obr´ azek 2.6: Maketa skoˇrepin (leden 2012) pˇrevzato a upraveno z: ˇ v Plzni Fotografie od pracovn´ıka z KMA ZCU • Obr´ azek 2.7: Schéma kuliˇckové myˇsi (´ unor 2012) pˇrevzato z: http://cs.wikipedia.org/wiki/Soubor:Mouse-mechanismcutaway.png • Obr´ azek 2.8: Kulová dotyková mˇeˇr´ıc´ı sonda (kvˇeten 2012) pˇrevzato a upraveno z (str. 12): http://www.kvs.tul.cz/download/rapid prototyping/rp1 skripta.pdf • Obr´ azek 2.11: R˚ uzné Cassiniho ovály (záˇr´ı 2012) pˇrevzato z: http://en.wikipedia.org/wiki/File:Line of Cassini.svg • Obr´ azek 2.13: Profil trasy proudnice (ˇcerven 2012) pˇrevzato z: ˇ v´ yuková prezentace k pˇredmˇetu Malé vodn´ı toky (CZU Praha) poskytnuta vyuˇcuj´ıc´ım Prof. Dr. Pavlem Kováˇrem • Obr´ azek 2.16: Duˇse pneumatiky (´ unor 2012) pˇrevzato z: http://www.pneumarek.com/10731-duse/23550-duse-10-75-15 -3-tr15/

88

• Obr´ azek 2.17: Kuliˇckové loˇzisko (´ unor 2012) pˇrevzato z: http://cs.wikipedia.org/wiki/Soubor:Thrust-ball-bearing din711 ex.png • Obr´ azek 2.18: Biotorus (duben 2012) pˇrevzato z: http://2el.magnetotherapy.com/?10,biotorus-lt-100 • Obr´ azek 2.19: Toroidn´ı vinut´ı (duben 2012) pˇrevzato z: http://www.techmania.cz/edutorium/data/fil 4477.jpg • Obr´ azek 2.25: Chlad´ıc´ı vˇeˇze jaderné elektrárny Temel´ın (duben 2012) pˇrevzato z: http://i3.cn.cz/14/1320764532 008.jpg • Obr´ azek 2.26: Lávka pro pˇeˇs´ı Manchester (prosinec 2011) pˇrevzato z: http://farm9.staticflickr.com/8056/8077925310 2109ebd50e z.jpg • Obr´ azek 2.27: Rozhledna Bor˚ uvka u obce Hlubová nedaleko Pardubic (bˇrezen 2012) pˇrevzato z: http://turistickyatlas.cz/vse/misto/6472 rozhlednaboruvka.html • Obr´ azek 2.28: Televizn´ı vˇeˇz v pˇr´ıstavu mˇesta Kobe, Japonsko (kvˇeten 2012) pˇrevzato z: http://japonsko.tripzone.cz/fotogalerie/kobe-nocnipristav-6614 • Obr´ azek 2.29: Soukol´ı hypoidn´ıho pˇrevodu a jeho detail (kvˇeten 2012) pˇrevzato z: vlevo: [2] viz seznam pouˇzité literatury (str. 87) uprostˇred: http://kag.upol.cz/juklova/4rocnik/img4/Z1-7.jpg vpravo: http://cs.wikipedia.org/wiki/Soubor:Sprocket03.jpg • Obr´ azek 2.33: Akustické zrcadlo nedaleko Kilnsea, VB (listopad 2012) pˇrevzato z: http://auto.idnes.cz/ford-pouziva-techniku-z-prvni-svetovevalky-k-vylepseni-soucasnych-aut-1a9-/automoto.aspx?c= A120205 225349 automoto vok

89

• Obr´ azek 2.34: Bˇeluha severn´ı (listopad 2012) pˇrevzato z: http://www.iloveocean.estranky.cz/img/picture/4/ beluga whale 8907.jpg ˇ Newtonov´ • Obr´ azek 2.35: Rez ym astronomick´ ym dalekohledem (prosinec 2012) pˇrevzato z: http://www.pf.jcu.cz/stru/katedry/fyzika/prof/Tesar/diplomky/ obr dopl optika/optika/dalekohledy/dalsi typy/hvezd/new sc.jpg • Obr´ azek 2.36: Parabolické bezbeˇcnostn´ı zrcadlo (listopad 2012) pˇrevzato z: http://www.patera-zrcadla.cz/ • Obr´ azek 3.4: Archiméd˚ uv ˇsroub (leden 2013) pˇrevzato z: http://hydroscrew.blogspot.cz/2011/09/archimedes-screw-pumparchimedes.html • Obr´ azek 3.7: R˚ uzné typy osov´ ych ˇrez˚ u ˇsroub˚ u (listopad 2012) pˇrevzato a upraveno z: http://kag.upol.cz/juklova/4rocnik/SRP5.html • Obr´ azek 3.8: Hmoˇzdinka s ostr´ ym závitem (listopad 2012) pˇrevzato z: http://www.pk-fischer.cz/content/images/eshop/52389.jpg • Obr´ azek 3.9: Válcová fréza (listopad 2012) pˇrevzato z: http://www.kovonastroje.cz/out/pictures/z2/img5938 2 d fe18db5e815e6ffea0bd57a8774843e14d62e09.jpg • Obr´ azek 3.10: Kovová ˇspona po obrábˇen´ı (listopad 2012) pˇrevzato z: http://nd01.jxs.cz/431/534/3a6f6b53ec 33197378 o2.jpg • Obr´ azek 3.11: V´ yvrtka na v´ıno (záˇr´ı 2012) pˇrevzato z: http://www.hunting-shop.cz/Obrazky/Zbozi/vyvrtka--big.jpg • Obr´ azek 3.12: Toˇcité schodiˇstˇe v Louvre (záˇr´ı 2012) pˇrevzato z: http://www.pbase.com/chammett/image/143241253 ˇ matic´ı kuliˇckového ˇsroubu (ˇcervenec 2012) pˇrevzato • Obr´ azek 3.17: Rez a upraveno z: vlevo: http://www.mmspektrum.com/clanek/volba-kulickovych90

sroubu.html vpravo: http://www.kks.zcu.cz/pro-studenty-KKS/Studijni podklady/PRIRUCKA/CADIS/default.htm • Obr´ azek 3.18: Pruˇzina tlumiˇce (listopad 2012) pˇrevzato z: http://www.koladraci.cz/user/shop/category/1083.jpg • Obr´ azek 4.4: Kostel Neposkvrnˇeného poˇcet´ı Panny Marie (záˇr´ı 2012) pˇrevzato z: http://www.farnoststrasnice.cz/farnost.php?doc=kostel.htm • Obr´ azek 2.8: P˚ udorys budovy a vnitˇrn´ı prostory chrámu (záˇr´ı 2012) pˇrevzato z: http://www.farnoststrasnice.cz/farnost.php?doc=kostel.htm • Obr´ azek 4.9: Laminárn´ı proudˇen´ı (ˇr´ıjen 2012) pˇrevzato a upraveno z: http://www.techmania.cz/edutorium/data/fil 0976.gif • Obr´ azek 4.10: Pˇrehrada Mooserboden, Rakousko (listopad 2012) pˇrevzato z: http://i656.photobucket.com/albums/uu286/DrMcNamara1/Namara/ mooserboden2-1.jpg ˇ • Obr´ azek 4.13: Zed’ národ˚ u, Athény-Recko (kvˇeten 2012) pˇrevzato z: http://mdg.vsb.cz/jdolezal/StudOpory/Geometrie/Plochy/ ZborcenePlochy/Konoidy/Realizace/PrimyVlnkovyKonoid.html • Obr´ azek 4.15: Vinaˇrstv´ı Bodegas Ysios (kvˇeten 2012) pˇrevzato z: http://mdg.vsb.cz/jdolezal/StudOpory/Geometrie/Plochy/ ZborcenePlochy/Konoidy/Realizace/PrimyVlnkovyKonoid.html

91

Pˇ r´ılohy

92

PŘÍLOHA A Pracovní list – rotační plochy Na obrázku vpravo jsou tři rotační plochy, které nazýváme: a) ……………………………………………………………. b) ……………………………………………………………. c) ……………………………………………………………. Jakými prvky jsou určeny rotační plochy? ………………………………………………………………………………………………………………………………………….. Co platí pro rotační plochy vzhledem k ose rotačního pohybu? ………………………………………………………………………………………………………………………………………….. Jak nazýváme řez rovinou, která prochází osou rotačního pohybu? ………………………………………………………………………………………………………………………………………….. Jaké rovinné křivky získáme, provedeme-li osový řez rotačních ploch na obrázku vpravo? (Tyto řezy na obrázcích vyznačte odlišnou barvou.) a) ……………………………………………………………. b) ……………………………………………………………. c) ……………………………………………………………. Co je rovnoběžková kružnice? (Vysvětlete pojem.) ………………………………………………………………………………………………………………………………………….. Pro rotační plochy rozlišujeme tři významné rovnoběžkové kružnice, jak je nazýváme? (Vyznačte na obrázku vpravo.) a) ……………………………………………………………. b) ……………………………………………………………. c) …………………………………………………………….

92

Kulová plocha

Co je nárysem a půdorysem kulové plochy? ………………………………………………………………………………………………………………………………………….. Jaká rovinná křivka je hlavním meridiánem kulové plochy, je-li rovina osového řezu rovnoběžná s nárysnou a jak se tato křivka zobrazí v náryse a půdoryse? ………………………………………………………………………………………………………………………………………….. Které z rovnoběžkových kružnic (hrdlo, rovník, kráter) má kulová plocha? (Zakreslete do obrázku níže.) …………………………………………………………………………………………………………………………………………..

Jaké praktické využití má kulová plocha? (Uveďte alespoň 5 příkladů.) ………………………………………………………………………………………………………………………………………….. ………………………………………………………………………………………………………………………………………….. S využitím počítače a internetu vyhledejte, proč je na kupole hvězdáren či kupole kostelů využívána právě část kulové plochy (polokoule)? ………………………………………………………………………………………………………………………………………….. …………………………………………………………………………………………………………………………………………..

93

1) Jaké budou délky oblouků sférického trojúhelníku, jestliže víme, že roviny r, σ a ϕ jsou po dvou na sebe kolmé, poloměr kulové plochy je 30 metrů (kružnice v rovinách r, σ) a poloměr kružnice, která je řezem kulové plochy rovinou ϕ je 10 metrů? Načrtněte pomocné obrázky k výpočtům.

2) Sestrojte půdorys bodu M ležícího na rotační ploše, je-li tato rotační plocha dána osou rotačního pohybu o a hlavním meridiánem plochy m. (webové stránky: Kulová plocha – Příklad 1)

94

· · · ·

Bodem M vedeme pomocnou rovinu a; a ^ o (nárys – přímka a2). Průnik roviny a s meridiánem – pomocný bod M‘ (nárys – bod M‘2 navíc vzdálenost bodu M‘2 od osy o2 je rovna poloměru rovnoběžkové kružnice). Průnik roviny a s rotační plochou: rovnoběžková kružnice (půdorys – kružnice rM1). Odvodíme půdorys M1 bodu M (získáme dva body M1a, M1b – leží na rovnoběžkové kružnici rM1).

3) Sestrojte jeden bod řezu kulové plochy, je-li dána osa o, meridián m a rovina řezu r, viz následující obrázek. (webové stránky: Kulová plocha – Příklad 2)

· · · · · ·

Zvolíme bod A v rovině r (pro jednoduchost A2 Î n2r). Bodem A povedeme pomocnou rovinu a; a ^ o (nárys – přímka a2). Průnik rovin r a a (horizontální hlavní přímka; půdorys - přímka h1r , platí h2r = a2). Průnik roviny a s meridiánem – pomocný bod M‘ (slouží opět k určení poloměru rovnoběžkové kružnice). Průnik roviny a s rotační plochou je opět rovnoběžková kružnice (v půdoryse se promítne do kružnice rM1). Průsečíky horizontální hlavní přímky h1r s rovnoběžkovou kružnicí rM1 (získáme půdorysy X1 a Y1 bodů řezu X a Y, které odvodíme do nárysu).

Postup se opakuje, dokud nezískáme dostatečný počet bodů řezu. Těmito body aproximujeme spojitou křivku. Další body řezu lze ukázat ve vyřešeném příkladu v programu Geogebra. Pohybováním bodem A obdržíme jednotlivé body řezu. Řezem kulové plochy je kružnice, která se promítá do elipsy.

95

4) Analogicky jako u předchozího příkladu sestrojte jeden bod řezu kulové plochy, je-li dána osa o, meridián m a rovina řezu r, viz následující obrázek. (webové stránky: Kulová plocha – Příklad 3)

· · · · · ·

Zvolíme opět bod A v rovině r (pro jednoduchost A2 Î n2r). Bodem A povedeme pomocnou rovinu a; a ^ o (nárys – přímka a2). Průnik rovin r a a (horizontální hlavní přímka; půdorys - přímka h1r , platí h2r = a2). Průnik roviny a s meridiánem – pomocný bod M‘ (slouží opět k určení poloměru rovnoběžkové kružnice). Průnik roviny a s rotační plochou je opět rovnoběžková kružnice (v půdoryse se promítne do kružnice rM1). Průsečíky horizontální hlavní přímky h1r s rovnoběžkovou kružnicí rM1 (získáme půdorysy X1 a Y1 bodů řezu X a Y, které odvodíme do nárysu).

Další body řezu lze opět ukázat v již vyřešeném příkladu v programu Geogebra při pohybování bodem A. Řezem kulové plochy bude opět kružnice, která se promítá v nárysu do elipsy a v půdorysu do úsečky neboť rovina r je kolmá na půdorysnu.

5) Jak zapíšete vektorové vyjádření kulové plochy, jestliže souřadnice středu kulové plochy jsou S = [0, 0, 2], poloměr kulové plochy r = 3? (Jako osu rotace volte souřadnicovou osu z.) Načrtněte obrázek.

96

1) Jakou rovinnou křivku získáte řezem kulové plochy? (správnou odpověď zakroužkujte) a) Elipsa b) Kružnice c) Kruhový oblouk d) Jiná ……………………………………………

2) Na kterém z následujících obrázků vznikne kulová plocha, je-li dána tvořící kružnice k a osa rotace o? (správnou odpověď zakroužkujte)

3) Sestrojte 4 body řezu kulové plochy rovinami r, σ takových, že obě procházejí středem kulové plochy a obě jsou kolmé na půdorysnu. Zároveň jsou kolmé na sebe navzájem. Dále sestrojte 2 body řezu kulové plochy rovinou ϕ, která je rovnoběžná s půdorysnou, viz obrázek níže. Úkolem je sestrojit sférický trojúhelník, proto jsou důležité jen ty části řezu, které se nachází nad rovinou ϕ. (webové stránky: Kulová plocha – Příklad 4) Nejprve proveďte řez rovinou ϕ: Rovina ϕ je rovnoběžná s půdorysnou (v půdoryse se řez touto rovinou promítne do rovnoběžkové kružnice a v náryse do úsečky).

97

·

Průsečíky roviny ϕ s kulovou plochou (dva body B2 a B‘2 určují rovnoběžkovou kružnici – v náryse úsečka B2B‘2).

·

Odvodíte půdorys rB1 rovnoběžkové kružnice (kružnice o poloměru r =

a středem o1).

࡮૛ ࡮ᇱ૛ ૛

Proveďte řez rovinou s a r: Postup pro obě roviny je zcela analogický, proto jednotlivé kroky můžete konstruovat souběžně pro obě roviny. · · · · · · ·

Zvolíme bod A v rovině s (pro jednoduchost A2 Î n2s; volíme nad rovinou ϕ). Bodem A povedeme pomocnou rovinu a; a ^ o (nárys – přímka a2). Průnik rovin s a a (horizontální hlavní přímka; půdorys – přímka h1s, dále h1s=a2). Průnik rovin r a a (horizontální hlavní přímka; půdorys – přímka h1r, dále h1s=a2). Průnik roviny a s kulovou plochou – pomocný bod M‘ (slouží opět k určení poloměru rovnoběžkové kružnice). Průnik roviny a s rotační plochou je opět rovnoběžková kružnice (v půdoryse se promítne do kružnice rM1). Průsečíky horizontálních hlavních přímek h1s a h1r s rovnoběžkovou kružnicí rM1 (získáme půdorysy X1 a Y1 bodů řezu X a Y, které odvodíme do nárysu).

Postup opakujte, dokud nezískáte požadovaný počet bodů řezu a těmito body aproximujte spojitou křivku. Celý sférický trojúhelník je v řešení v programu Geogebra. Při pohybu bodem A je vidět, že body řezu opisují strany sférického trojúhelníku. Průnikem těchto tří rovin s kulovou plochou bude jeden ze sférických trojúhelníků, který byl využit architektem J. Utzonem k zastřešení budovy Státní opery v Sydney.

98

Anuloid

Jaké typy anuloidu rozlišujeme? ………………………………………………………………………………………………………………………………………….. Co je hlavním kritériem pro rozlišení jednotlivých typů anuloidu v předchozí otázce? ………………………………………………………………………………………………………………………………………….. Jaké rovnoběžkové kružnice můžeme nalézt na anuloidu (rovník, kráter, hrdlo)? (Zakreslete do obrázku vpravo odlišnými barvami a popište.) ………………………………………………………………………………….. ………………………………………………………………………………….. Jak nazýváme křivky, které vznikají řezem anuloidu (jednou z křivek je i Bernoulliova lemniskáta? ……………………………………………………………………………………..

99

1) Odvoďte nárys bodu A ležícího na anuloidu. Anuloid je dán osou rotačního pohybu o a svým nárysem a půdorysem. (webové stránky: Anuloid – Příklad 1)

· · · ·

Bod A se pohybuje po rovnoběžkové kružnici rA (půdorys – kružnice rA1 se středem o1 a poloměrem o1A1). Průnik rovnoběžkové kružnice s rovinou hlavního meridiánu je bod A‘ (půdorys – bod A‘1, který následně odvodíme do nárysu). Bodem A‘ sestrojíme pomocnou rovinu a; a ^ o (nárys - přímka a2). Odvodíme půdorys A1 bodu A do nárysu (leží v rovině a Þ A2 Î a2).

2) Narýsujte tečnou rovinu t anuloidu procházející bodem A, který je umístěn dle následujícího obrázku. (webové stránky: Anuloid – Příklad 2)

100

· · · · · · · · ·

Bod A se pohybuje po rovnoběžkové kružnici rA (půdorys – kružnice rA1 se středem o1 a poloměrem o1A1). Průnik rovnoběžkové kružnice s rovinou hlavního meridiánu je bod A‘ (půdorys – bod A‘1, který následně odvodíme do nárysu). Bodem A‘ sestrojíme pomocnou rovinu a; a ^ o (nárys - přímka a2), která se zároveň shoduje s nárysem t2rA tečny rovnoběžkové kružnice – jedna z tečen určující tečnou rovinu). Odvodíme půdorys A1 bodu A do nárysu (leží v rovině a - A2 Î a2). Sestrojíme půdorys t1rA tečny trA (tečna k rovnoběžkové kružnici rA) bodem A, nárys t2rA tečny rovnoběžkové kružnice se shoduje s přímkou a2. Sestrojíme půdorys t1m tečny tm (tečna k meridiánu) bodem A (přímka procházející body o1 a A1). V náryse sestrojíme pomocnou tečnu k hlavnímu meridiánu bodem A‘2 (průsečík této pomocné tečny s osou rotačního pohybu je bod M). Sestrojíme nárys t2m tečny tm (přímka procházející body A2 a M2). Tečnou rovinu určuje tečna k meridiánu a zároveň tečna k rovnoběžkové kružnici.

3) Sestavte vektorové vyjádření anuloidu jestliže za osu rotace zvolíte souřadnicovou osu z. Poloměr tvořící kružnice je r = 3 a střed tvořící kružnice S = [0, n, 0] n Î . Tvořící křivka leží v rovině yz. Číslo n nahraďte vhodným číslem tak, aby vznikly všechny tři typy anuloidu, načrtněte obrázky.

101

4) Sestrojte alespoň 4 body řezu anuloidu rovinou r, viz následující obrázek. (webové stránky: Anuloid – Příklad 3) · · · · · ·

Zvolíme opět bod A v rovině r (pro jednoduchost A2 Î n2r). Bodem A povedeme pomocnou rovinu a; a ^ o (nárys – přímka a2). Průnik rovin r a a (horizontální hlavní přímka; půdorys - přímka h1r , platí h2r = a2). Průnik roviny a s meridiánem – pomocné body M a M‘ (slouží k určení poloměru rovnoběžkových kružnic). Průnik roviny a s rotační plochou jsou dvě rovnoběžkové kružnice (v půdoryse se promítnou do kružnic rM1 a rM‘1). Průsečíky horizontální hlavní přímky h1r s rovnoběžkovými kružnicemi rM1 a rM‘1 (získáme půdorysy X1, Y1, T1, U1 bodů řezu X, Y, T a U, které odvodíme do nárysu).

Další body řezu lze opět ukázat v již vyřešeném příkladu v programu Geogebra pohybováním bodem A.

102

1) Pomocí počítače a internetu nalezněte alespoň 3 příklady praktického využití anuloidu v různých oblastech?

2) Na kterém z následujících obrázků vznikne anuloid, melanoid a axoid. Jsou-li tvořící kružnice k a osa rotace o zadané následujícími způsoby? (Správnou odpověď zakroužkujte a popište, který typ anuloidu na daném obrázku vznikne.)

103

3) Sestrojte alespoň 4 body řezu anuloidu tečnou rovinou t. Ta bude procházet bodem A, jehož půdorys leží na hrdlové rovnoběžkové kružnici. Tvořící kružnice rotuje kolem osy o, viz následující obrázek. (webové stránky: Anuloid – Příklad 4) Postupujte zcela analogicky jako u předchozích příkladů vyložených během výuky. Konkrétně je tento příklad spojením 2. a 4. příkladu. Stačí 4 body řezu, protože celkové řešení lze ukázat opět v programu Geogebra, pokud budeme pohybovat bodem B. V tomto konkrétním příkladu bude řezem anuloidu speciální rovinná křivka tzv. Bernoulliova lemniskáta, o které jsme se zmínili během výkladu této plochy.

· · · · ·

·

Sestrojte tečnou rovinu t, která je určena tečnou k rovnoběžkové kružnici a tečnou k meridiánu (viz postup příkladu 2) – půdorys t1m tečny k meridiánu bodem A splývá s půdorysem A1 bodu A. Zvolte bod B (na hlavním meridiánu plochy). Bodem B veďte pomocnou rovinu a; a ^ o (nárys – přímka a2). Průnik rovin t a a (půdorys – horizontální hlavní přímka h1t ; přímka se shoduje s půdorysem tečny k rovnoběžkové kružnici bodu A). Průnik roviny a s meridiánem – pomocné body, které slouží k určení poloměru rovnoběžkových kružnic). Průsečíky horizontální hlavní přímky h1t s rovnoběžkovými kružnicemi pomocných bodů (získáme půdorysy X1, Y1, T1, U1 bodů řezu X, Y, T a U, které odvodíme do nárysu).

104

Jednodílný rotační hyperboloid

Pohybem jakých rovinných křivek lze vytvořit plochu jednodílného rotační hyperboloidu? ………………………………………………………………………………………………………………………………………….. Má jednodílný rotační hyperboloid některou z těchto rovnoběžkových kružnic – hrdlo, kráter, rovník? (Zakreslete do obrázku vpravo odlišnými barvami a popište.) …………………………………………………………………………………….. Co je osou rotačního pohybu, pokud plocha vzniká rotací hyperboly? …………………………………………………………………………………….. Pokud plocha vzniká rotací přímky, jakou polohu má tato přímka vůči ose? ………………………………………………………………………………………………………………………………………….. S využitím počítače a internetu zjistěte, proč je pro chladící věže využívána právě plocha jednodílného hyperboloidu. ………………………………………………………………………………………………………………………………………….. …………………………………………………………………………………………………………………………………………..

1) Odvoďte půdorys bodu M, který leží na rotačním jednodílném hyperboloidu. Plocha je dána osou rotačního pohybu o a svým nárysem a půdorysem. (webové stránky: Jednodílný rotační hyperboloid – Příklad 1)

105

· · · ·

Bodem M vedeme pomocnou rovinu a; a ^ o (nárys – přímka a2). Průnik roviny a s meridiánem – pomocný bod M‘ (nárys – bod M‘2 navíc vzdálenost bodu M‘2 od osy o2 je rovna poloměru rovnoběžkové kružnice). Průnik roviny a s rotační plochou: rovnoběžková kružnice (půdorys – kružnice rM1). Odvodíme půdorys M1 bodu M (získáme dva body M1a, M1b – leží na rovnoběžkové kružnici rM1).

2) Sestrojte 2 body řezu jednodílného rotačního hyperboloidu rovinou r, viz následující obrázek. (webové stránky: Jednodílný rotační hyperboloid – Příklad 2) · · · · · ·

Zvolíme bod A v rovině r (pro jednoduchost A2 Î n2r). Bodem A povedeme pomocnou rovinu a; a ^ o (nárys – přímka a2). Průnik rovin r a a (horizontální hlavní přímka; půdorys - přímka h1r , platí h2r = a2). Průnik roviny a s meridiánem – pomocný bod M‘ (slouží opět k určení poloměru rovnoběžkové kružnice). Průnik roviny a s rotační plochou je opět rovnoběžková kružnice (v půdoryse se promítne do kružnice rM1). Průsečíky horizontální hlavní přímky h1r s rovnoběžkovou kružnicí rM1 (získáme půdorysy X1 a Y1 bodů řezu X a Y, které odvodíme do nárysu).

Další body řezu lze opět ukázat v již vyřešeném příkladu v programu Geogebra pokud budeme pohybovat bodem A.

106

3) Napište parametrické vyjádření jednodílného rotačního hyperboloidu, je-li tvořící křivkou hyperbola ‫ܪ‬ሺ‫ݐ‬ሻ ൌ ቀ vedlejší poloosa hyperboly.

௔

௖௢௦ ௧

ǡ ܾ ‫ ݐ ݊ܽݐ‬ǡ Ͳቁ a dále platí, že a je hlavní poloosa a b je

1) Uveďte alespoň 3 příklady praktického využití jednodílného rotačního hyperboloidu, které naleznete s využitím různých zdrojů (internet, knihy, vlastní zkušenosti).

107

2) Které z následujících tvrzení o jednodílném rotačním hyperboloidu je správné. a) Jednodílný rotační hyperboloid vznikne rotací kolem osy paraboly. b) Jednodílný rotační hyperboloid není souměrný podle osy rotačního pohybu. c) Jednodílný rotační hyperboloid lze vytvořit pouze rotací hyperboly. d) Jednodílný rotační hyperboloid vznikne rotací kolem vedlejší osy hyperboly.

3) V pravoúhlé axonometrii, zadané obrázkem níže, sestrojte jednodílný rotační hyperboloid, jehož podstava leží v rovině xy a osou rotačního pohybu bude osa z. Tento jednodílný rotační hyperboloid, vzniká rotací úsečky AB. Souřadnice bodů jsou A = [4, 0, 0], B = [0, 4, 8]. Sestrojte jednotlivé polohy úsečky otáčením po 90°. (webové stránky: Jednodílný rotační hyperboloid – Příklad 3)

· · · · · · · · ·

Osy x, y a z se v pravoúhlé axonometrii promítají do výšek axonometrického trojúhelníku XYZ. Rovinu xy otočíte kolem přímky XY a získáte otočené osy x0 a y0 (využijte Thaletovu kružnici). Pomocí otočených os, na kterých se vynášejí skutečné jednotky, sestrojíte půdorysy bodů A1 a B1. Rovinu xz otočíte kolem přímky XZ a získáte otočené osy x0 a z0 (opět využijte Thaletovu kružnici). Pomocí otočené osy z0 sestrojte axonometrický průmět bodu B (bod A = A1). Jednodílný rotační hyperboloid vzniká rotací úsečky AB. Přímka XY je osou afinity oA. V otočení zvolte bod AV0. V osové afinitě převeďte bod AV0 na bod AV1.

108

· ·

Zcela analogicky sestrojte bod BV0 a BV1 (úhel AV0O0 BV0 je roven 90°) – bod BV1 je nutné převést do druhé podstavy ve výšce 8 (vznikne tak bod B’V). Další poloha úsečky AB je úsečka AV1B’V.

Pohybem bodu AV0 lze ve vyřešeném příkladu v Geogebře ukázat, jak budou vypadat další polohy úsečky AB.

Rotační paraboloid

Pohybem jaké rovinné křivky vznikne rotační paraboloid? ………………………………………………………………………………………………………………………………………….. Jakou polohu má vrchol tvořící křivky vůči ose rotačního pohybu? …………………………………………………………………………………………………………………………………………. Co se stane s plochou rotačního paraboloidu, pokud budeme měnit koeficienty a, b, c ve vyjádření tvořící křivky. ………………………………………………………………………………………………………………………………………….. ………………………………………………………………………………………………………………………………………….. ………………………………………………………………………………………………………………………………………….. Má plocha rotačního paraboloidu některou z následujících rovnoběžkových kružnic (rovník, kráter, hrdlo)? Pokud ano, vyznačte je na obrázku v pravo. ………………………………………………………………………………………………. Zjistěte pomocí internetu, jak principielně funguje tzv. „akustický telefon“ (dva rotační paraboloidy proti sobě) ……………………………………………………………………………………………….. ………………………………………………………………………………………………………………………………………….

109

1) Sestrojte nárys bodu M, který leží na ploše rotačního paraboloidu. Rotační paraboloid je určen osou rotačního pohybu o a svým půdorysem a nárysem. (webové stránky: Rotační paraboloid – Příklad 1)

· · · ·

Bod M se pohybuje po rovnoběžkové kružnici rM (půdorys – kružnice rM1 se středem o1 a poloměrem o1M1). Průnik rovnoběžkové kružnice s rovinou hlavního meridiánu je bod M‘ (půdorys – bod M‘1, který následně odvodíme do nárysu). Bodem M‘ sestrojíme pomocnou rovinu a; a ^ o (nárys - přímka a2). Odvodíme půdorys M1 bodu M do nárysu (leží v rovině a Þ A2 Î a2).

2) Sestrojte alespoň 2 body řezu rotačního paraboloidu rovinou s, viz následující obrázek. (webové stránky: Rotační paraboloid – Příklad 2)

110

· · · · · ·

Zvolíme bod A v rovině s (pro jednoduchost A2 Î n2s). Bodem A povedeme pomocnou rovinu a; a ^ o (nárys – přímka a2). Průnik rovin s a a (horizontální hlavní přímka; půdorys - přímka h1s, platí h2s= a2). Průnik roviny a s meridiánem – pomocný bod M‘ (slouží opět k určení poloměru rovnoběžkové kružnice). Průnik roviny a s rotační plochou je opět rovnoběžková kružnice (v půdoryse se promítne do kružnice rM1). Průsečíky horizontální hlavní přímky h1s s rovnoběžkovou kružnicí rM1 (získáme půdorysy X1 a Y1 bodů řezu X a Y, které odvodíme do nárysu).


1) Sestrojte alespoň 4 body řezu rovinou s, viz následující obrázek. (webové stránky: Rotační paraboloid – Příklad 3) · · · ·

Zvolíme bod A v rovině s (pro jednoduchost A2 Î n2s). Bodem A povedeme pomocnou rovinu a; a ^ o (nárys – přímka a2). Průnik rovin s a a (horizontální hlavní přímka; půdorys - přímka h1s, platí h2s= a2). Průnik roviny a s meridiánem – pomocný bod M‘ (slouží opět k určení poloměru rovnoběžkové kružnice).

111

· · ·

Průnik roviny a s rotační plochou je opět rovnoběžková kružnice (v půdoryse se promítne do kružnice rM1). Průsečíky horizontální hlavní přímky h1s s rovnoběžkovou kružnicí rM1 (získáme půdorysy X1 a Y1 bodů řezu X a Y, které odvodíme do nárysu). Postup ještě jednou opakujte.


2) Sestrojte alespoň 4 body řezu rovinou s, viz následující obrázek. (webové stránky: Rotační paraboloid – Příklad 4) · · · · · · ·

Zvolíme bod A v rovině s (pro jednoduchost A2 Î n2s). Bodem A povedeme pomocnou rovinu a; a ^ o (nárys – přímka a2). Průnik rovin s a a (horizontální hlavní přímka; půdorys - přímka h1s, platí h2s= a2). Průnik roviny a s meridiánem – pomocný bod M‘ (slouží opět k určení poloměru rovnoběžkové kružnice). Průnik roviny a s rotační plochou je opět rovnoběžková kružnice (v půdoryse se promítne do kružnice rM1). Průsečíky horizontální hlavní přímky h1s s rovnoběžkovou kružnicí rM1 (získáme půdorysy X1 a Y1 bodů řezu X a Y, které odvodíme do nárysu). Postup ještě jednou opakujte.


112

3) Na kterém z následujících obrázků vznikne rotační paraboloid. Tvořící křivka k a osa rotačního pohybu o jsou zadané následujícími způsoby? (správnou odpověď zakroužkujte)

113

PŘÍLOHA B Pracovní list – šroubové plochy Jaké pohyby musíme spojit, aby vznikl šroubový pohyb? ………………………………………………………………………………………………………………………………………….. Na obrázcích vlevo jsou naznačeny principy vzniku dvou různých šroubových ploch. Jakými prvky obecně je určena šroubová plocha? ………………………………………………………… ………………………………………………………… ……………..………………………………………… ………………………………………………………… ………………………………………………………………………………………………………………………………………….. Co je redukovaná výška závitu? (Vysvětlete pojem.) ………………………………………………………………………………………………………………………………………….. ………………………………………………………………………………………………………………………………………….. Jak nazýváme řez rovinou, která prochází osou šroubového pohybu? ………………………………………………………………………………………………………………………………………….. Jak nazýváme řez rovinou, která je kolmá na osu šroubového pohybu? ………………………………………………………………………………………………………………………………………….. Na následujících obrázcích určete, o jaký ze dvou základních typů šroubových ploch se jedná (přímková šroubová plocha, cyklická šroubová plocha?

………………………………………

………………………...

114

……………………………………

…………………..

Pravoúhlá uzavřená přímková šroubová plocha

Pohybem jaké rovinné křivky vytvoříme helikon („schodovou“ plochu)? ………………………………………………………………………………………………………………………………………….. Jakou polohu má tvořící křivka vůči ose šroubového pohybu? ………………………………………………………………………………………………………………………………………….. Do jakých ploch (kromě šroubových) lze tuto plochu zařadit a proč? ………………………………………………………………………………………………………………………………………….. ………………………………………………………………………………………………………………………………………….. S využitím internetu uveďte alespoň dva příklady, kde lze využít pravoúhlou uzavřenou přímkovou šroubovou plochu (kromě schodiště)? ………………………………………………………………………………………………………………………………………….. Lednice, Bouzov, to jsou zámky, v nichž mají schodiště levotočivý směr. S využitím internetu nalezněte důvod, proč se schodiště na zámcích a hradech stavěla levotočivá a uveďte ještě alespoň dva příklady (zámku nebo hradu), kde je tomu také tak. (!!! Pozor, co je geometricky levotočivé, stavitelé nazývají pravotočivé, aby vás to na internetu nemátlo.) ………………………………………………………………………………………………………………………………………….. ………………………………………………………………………………………………………………………………………….. ………………………………………………………………………………………………………………………………………….. Zámek Lednice:

Zámek Bouzov:

115

1) V následující axonometrii sestrojte schodovou plochu, která vzniká šroubovým pohybem úsečky AB o souřadnicích bodů A = [4, 0, 0], B = [0, 0, 0] a výška jednoho závitu v = 6. Šroubová plocha je levotočivá. (webové stránky: Schodová plocha – Příklad 1)

· · · · · · · · · ·

Osy x, y a z se v pravoúhlé axonometrii promítají do výšek axonometrického trojúhelníku XYZ. V průsečíku os získáme bod B1 a zároveň bod B. Rovinu xy otočíme kolem přímky XY a získáme otočené osy x0 a y0 (využijte Thaletovu kružnici). Přímka XY je osou afinity oA. Pomocí otočených os, na kterých se vynášejí skutečné jednotky a osové afinity sestrojíme půdorys bodu A1. Pravoúhlá uzavřená přímková šroubová plocha vzniká šroubovým pohybem úsečky AB. Rovinu xz otočíme kolem přímky XZ a získáme otočenou osu z0 (využijte Thaletovu kružnici), pomocí které vyneseme výšku jednoho závitu (|BBV| = 6). V otočené rovině xy zvolíme bod A‘0. V osové afinitě převedeme bod A‘0 na bod APom od kterého budeme vynášet výšku, kterou vypočítáme podle vzorce uvedeného ve výukových materiálech. Po vynesení této vypočítané výšky získáme bod A‘ a zcela analogicky sestrojíme bod B‘.

116

·

Další poloha úsečky AB je úsečka A‘B‘.

Pro všechna řešení lze opět využít řešení v programu Geogebra. Pokud budeme pohybovat bodem A‘0, můžeme sledovat další polohy úsečky AB.

2) Na kterém z následujících obrázků vznikne pravoúhlá uzavřená přímková šroubová plocha a vysvětlete proč. Víme že, k popř. p je tvořící křivka a o je osa šroubového pohybu? a)

b)

c)

1) Které z následujících tvrzení o schodové ploše je správně? a) Schodová plocha vzniká rotačním pohybem přímky. b) Schodová plocha je tvořena přímkou, která neprochází osou šroubového pohybu a je s touto osou mimoběžná. c) Schodovou plochu řadíme mezi cyklické šroubové plochy. d) Schodová plocha je tvořena přímkou, která prochází osou šroubového pohybu a je na tuto osu kolmá. 2) V Mongeově promítání sestrojte jeden závit schodové plochy, která vznikne šroubovým pohybem úsečky XY. Body X a Y mají následující souřadnice X = [0, 4, 0], Y = [2.5, 4, 0]. Šroubový pohyb (o, v0, +), je určen osou o ^ na půdorysnu, redukovaná výška závitu v0 = 1 a pravotočivým směrem. (webové stránky: Schodová plocha – Příklad 2)

117

· ·

· ·

· ·

Podle pravidel Mongeova promítání vyneste body X, Y a příslušnou úsečku XY. Bod X se bude pouze posouvat ve směru osy a bod Y bude konat šroubový pohyb (podstava válce, podél kterého se bude bod Y šroubovat, je v půdoryse určen kružnicí k1 se středem X1 a poloměrem |X1Y1|. Na obvodu podstavy válce zvolíme bod Y‘ (bod Y‘1 Î k1). Dále provedeme buďto rozvinutí šroubovice a zjistíme, do jaké výšky vystoupá bod A vzhledem k oblouku, který přísluší úhlu a nebo opět vypočítáme výšku přímo ze vzorce, uvedeného ve výukových materiálech . Na základě této výšky sestrojíme nárys Y‘2 bodu Y‘ a analogicky nárys X‘2 bodu X‘ Další poloha úsečky XY je dána úsečkou X’Y‘.

Pro všechna řešení lze opět využít program Geogebra. Pokud budeme pohybovat bodem Y‘1, můžeme sledovat další polohy úsečky XY.

118

Kosoúhlá uzavřená přímková šroubová plocha

Pohybem jaké rovinné křivky vytvoříme vývrtkovou plochu? ………………………………………………………………………………………………………………………………………….. Jakou polohu má tvořící křivka vůči ose šroubového pohybu? ………………………………………………………………………………………………………………………………………….. Kde je možné využít kosoúhlou uzavřenou přímkovou šroubovou plochu (najděte alespoň dva příklady)? ………………………………………………………………………………………………………………………………………….. V následujícím obrázku načrtněte tvořící křivku vývrtkové plochy, vyznačte osu šroubového pohybu a načrtněte několik dalších poloh tvořící křivky (povrchové přímky plochy).

Využijte internetu a pokuste se nalézt důvod, proč je pro různé vrtáky využívána kosoúhlá uzavřená přímková šroubová plocha a ne pravoúhlá. …………………………………………………………………………………………………………………………………………..

119

1) Sestrojte alespoň 1 bod řezu kosoúhlé uzavřené přímkové šroubové plochy rovinou r, která je kolmá na osu šroubového pohybu. Plocha vznikne šroubováním úsečky AB se souřadnicemi A = [0, 5, 6], B = [-6, 5, 0] a šroubovým pohybem (o, v0, +), viz následující obrázek. (webové stránky: Vývrtková plocha – Příklad 1)

· · · · ·

Podle pravidel Mongeova promítání vyneste body X a Y a příslušnou úsečku XY, kterou označíme k (tvořící křivka). Na tvořící křivce zvolíme bod X (například X1 Î k1 a odvodíme nárys X2). Dále provedeme rozvinutí šroubovice a zjistíme, jaký oblouk přísluší vzdálenosti bodu X od roviny r (vzdálenost X2 od PomVX). Tento oblouk následně naneseme na obvod podstavy válce, podél něhož se bod X šroubuje a získáme půdorys X‘1 bodu X‘. Nárys X‘2 leží v rovině r.

Budeme-li pohybovat bodem X1, můžeme sledovat další body řezu kosoúhlé uzavřené přímkové šroubové plochy.

120

Tímto příčným řezem bude část rovinné křivky, která se nazývá „evolventa šroubovice“. Evolventa křivky vzniká následujícím způsobem. Na křivce zvolíme jeden pevný bod například X. Dále budeme volit další body na křivce X1, X2,… a v každém tomto bodě zkonstruujeme tečnu ke křivce. Na tečnu bodem X1 budeme nanášet délku oblouku mezi body X a X1. Na tečnu bodem X2 budeme nanášet délku oblouku mezi body X a X2 atd. Body, které vzniknou nanesením délek příslušných oblouků, jsou body evolventy. Na následujících obrázcích jsou zobrazeny části evolventy šroubovice. Vlevo je část evolventy šroubovice, kterou budeme konstruovat při řešení tohoto příkladu v programu Geogebra řezem rovinou r, viz zadání výše. Vpravo je naznačen způsob tvorby evolventy šroubovice.

2) Na kterém z následujících obrázků vznikne kosoúhlá uzavřená přímková šroubová plocha a vysvětlete proč, víme-li že, k popř. p je tvořící křivka a o je osa šroubového pohybu? a)

b)

c)

1) Vysvětlete, jaký je rozdíl mezi schodovou a vývrtkovou plochou a načrtněte jejich obrázky?

121

2) Sestrojte jeden závit šroubu s ostrým závitem. Tento závit vzniká šroubováním dvou úseček. Úsečka AB se souřadnicemi bodů A = [0, 5, 2], B = [2, 5, 0] a úsečka CD s body C = [0, 5, -2], D = [2, 5, 0]. Šroubový pohyb (o, v0, +), je určen osou o ^ na půdorysnu, redukovaná výška závitu v0 = 1 a pravotočivým směrem. (webové stránky: Vývrtková plocha – Příklad 2)

· ·

·

Podle pravidel Mongeova promítání vyneste body A, B, C a D a příslušné úsečky AB a CD. Body A a C se budou pouze posouvat ve směru osy a body B a D budou konat šroubový pohyb (podstava válce, podél kterého se budou body B a D šroubovat je v půdoryse určen kružnicí k1 se středem A1 a poloměrem |A1B1|. Na obvodu podstavy válce zvolíme bod B‘, který se shoduje s bodem D‘ (platí, že bod B‘1 Î k1).

122

·

· · · ·

Dále provedeme buďto rozvinutí šroubovice a zjistíme, do jaké výšky vystoupají body B a D vzhledem k oblouku, který přísluší úhlu a nebo opět vypočítáme výšku přímo ze vzorce, uvedeného ve výukových materiálech . Na základě této výšky sestrojíme nárys B‘2 bodu B‘ a analogicky nárys A‘2 bodu A‘ Další poloha úsečky AB je dána úsečkou A’B‘. Na základě této výšky sestrojíme také nárys D‘2 bodu D‘ (D‘2 = B‘2) a analogicky nárys C‘2 bodu C‘ . Další poloha úsečky CD je dána úsečkou C’D‘.

Pro všechna řešení lze opět využít program Geogebra. Pokud budeme pohybovat bodem B‘1, můžeme sledovat další polohy úseček AB a CD.

Cyklické šroubové plochy

Pohybem jaké rovinné křivky vznikají cyklické šroubové plochy? ………………………………………………………………………………………………………………………………………….. Podle polohy tvořící křivky rozlišujeme tři typy cyklických šroubových ploch, napište názvy těchto ploch a popište, jak vznikají? ………………………………………………………………………………………………………………………………………….. ………………………………………………………………………………………………………………………………………….. ………………………………………………………………………………………………………………………………………….. Do jakých ploch (kromě šroubových) lze zařadit Archimédovu serpentinu? ………………………………………………………………………………………………………………………………………….. S využitím internetu najděte název pro metodu, kterou řezbáři či tesaři vytvářeli vinutý sloupek, pro jakou dobu byl vinutý sloupek charakteristický, a uveďte alespoň tři příklady využití. ………………………………………………………………………………………………………………………………………….. ………………………………………………………………………………………………………………………………………….. …………………………………………………………………………………………………………………………………………..

123

1) Sestrojte alespoň 1 bod hlavního meridiánu Archimédovy serpentiny, která vznikne šroubováním kružnice k a šroubovým pohybem (o, v0 = 1, +), viz následující obrázek. (webové stránky: Cyklické šroubové plochy – Příklad 1)

· · · · · ·

Na tvořící křivce zvolíme libovolný bod X (X1 Î k1). Bod X přešroubujeme do roviny hlavního meridiánu bod X‘ (bod X‘1 Î m1). Odvodíme nárys X2 bodu X (dva splývající body X2a a X2b označeny jako X2). Nárysem X2 vedeme pomocnou rovinu a - nárys přímka a2 (od této roviny budeme určovat výšku nárysu X‘2 bodu X‘). Tuto výšku odvodíme z grafu rozvinuté šroubovice. Sestrojíme nárys X‘2 bodu X‘ (bod hlavního meridiánu Archimédovy serpentiny).

Budeme-li pohybovat bodem X1, můžeme sledovat další body meridiánu Archimédovy serpentiny, které vykreslují celý hlavní meridián plochy.

124

2) V následujícím obrázku vyznačte, šroubovici středu tvořící kružnice, několik poloh této tvořící křivky a plochou proložte takovou plochu, aby bylo splněno, že šroubováním této plochy vznikne obalová plocha (Archimédova serpentina).

3) Sestrojte alespoň 1 bod hlavního meridiánu vinutého sloupku, který vznikne šroubováním kružnice k a šroubovým pohybem (o, v0 = 1, +), viz následující obrázek. (webové stránky: Cyklické šroubové plochy – Příklad 2)

125

· · · · · ·

Na tvořící křivce zvolíme libovolný bod X (X1 Î k1). Bod X přešroubujeme do roviny hlavního meridiánu bod X‘ (bod X‘1 Î m1). Odvodíme nárys X2 bodu X (dva splývající body X2a a X2b označeny jako X2). Nárysem X2 vedeme pomocnou rovinu a - nárys přímka a2 (od této roviny budeme určovat výšku nárysu X‘2 bodu X‘). Tuto výšku odvodíme z grafu rozvinuté šroubovice. Sestrojíme nárys X‘2 bodu X‘ (bod hlavního meridiánu vinutého sloupku).

Budeme-li pohybovat bodem X1, můžeme sledovat další body meridiánu vinutého sloupku, které vykreslují celý hlavní meridián plochy.

1) Na kterém z následujících obrázků vznikne cyklická šroubová plocha a jak ji nazýváme, víme-li že, k příp. p je tvořící křivka a o je osa šroubového pohybu? a)

b)

c)

…………………………………………………………………………………………………………………………………………..

2) Které z následujících tvrzení o ploše Archimédovy serpentiny je správně? a) Archimédova serpentina vzniká rotačním pohybem kružnice, jejíž střed leží na ose rotačního pohybu. b) Archimédova serpentina vzniká šroubovým pohybem přímky kolmé na osu šroubového pohybu. c) Archimédova serpentina vzniká šroubovým pohybem kružnice, která leží v rovině kolmé na osu šroubového pohybu. d) Archimédova serpentina vzniká šroubovým pohybem kružnice ležící v rovině kolmé na tečnu šroubovice. 126

3) Sestrojte alespoň 1 bod řezu osové cyklické šroubové plochy rovinou r, která je kolmá na osu šroubového pohybu. Osová cyklická šroubová plocha vznikne šroubováním kružnice k a šroubovým pohybem (o, v0 = 1, +), viz následující obrázek. (webové stránky: Cyklické šroubové plochy – Příklad 3)

· · · ·

Na tvořící křivce zvolíme bod X (například X2 Î k2 a odvodíme půdorys X1). Dále provedeme rozvinutí šroubovice a zjistíme, jaký oblouk přísluší vzdálenosti bodu X od roviny r (vzdálenost X2 od PomVX). Tento oblouk následně naneseme na obvod podstavy válce, podél něhož se bod X šroubuje a získáme půdorys X‘1 bodu X‘. Nárys X‘2 leží v rovině r.

Budeme-li pohybovat bodem X2, můžeme sledovat další body řezu osové cyklické šroubové plochy.

127

PŘÍLOHA C Pracovní list – přímkové plochy Pohybem jaké rovinné křivky vznikají tyto plochy? ………………………………………………………………………………………………………………………………………….. Jakou polohu mají povrchové přímky konoidů? ………………………………………………………………………………………………………………………………………….. Vysvětlete, jaký je rozdíl mezi rozvinutelnou přímkovou plochou a zborcenou přímkovou plochou vzhledem k povrchovým přímkám plochy? ………………………………………………………………………………………………………………………………………….. ………………………………………………………………………………………………………………………………………….. Jmenujte alespoň jeden příklad rozvinutelné přímkové plochy. ………………………………………………………………………………………………………………………………………….. Jmenujte alespoň jeden příklad zborcené přímkové plochy. ………………………………………………………………………………………………………………………………………….. Kterými prvky jsou určeny konoidy? ………………………………………………………………………………………………………………………………………….. Konoidy nazýváme podle řídící křivky, jak nazýváme konoidy na následujících obrázcích?

…………………………………………..

…………………………………… …………………………………………….

128

Hyperbolický paraboloid

Proč se pro plochu hyperbolického paraboloidu užívá názvu sedlová plocha? ………………………………………………………………………………………………………………………………………….. Pokud plochu hyperbolického paraboloidu zařadíme mezi translační plochy, vysvětlete princip jejího vzniku? ………………………………………………………………………………………………………………………………………….. ………………………………………………………………………………………………………………………………………….. ………………………………………………………………………………………………………………………………………….. Co je zborcený čtyřúhelník (vysvětlete pojem)? ………………………………………………………………………………………………………………………………………….. ………………………………………………………………………………………………………………………………………….. Hyperbolický paraboloid je speciálním typem konoidu, jakými prvky je určen? ………………………………………………………………………………………………………………………………………….. Kde je možné využít plochu hyperbolického paraboloidu? …………………………………………………………………………………………………………………………………………..

1) Napište vektorové vyjádření mimoběžných přímek a, b plochy hyperbolického paraboloidu, jestliže přímka a = BC a b = AD. Souřadnice bodů jsou A = [0, 0, 2], B = [3, 0, 0], C = [3, 4, 0] a D = [0, 4, 0]. Načrtněte obrázek.

129

2) Vyberte obrázky, na nichž se nachází plocha hyperbolického paraboloidu a)

b)

c)

d)

3) V pravoúhlé axonometrii, určené trojúhelníkem XYZ, sestrojte zastřešení pomocí plochy hyperbolického paraboloidu, který je dán body A = [0, 0, 2], B = [3, 0, 0], C = [3, 4, 0] a D = [0, 4, 0]. První regul hyperbolického paraboloidu je určen úsečkami BC, AD a druhý regul je určen úsečkami AB, CD. (webové stránky: Hyperbolický paraboloid – Příklad 1)

130

· · · · · · ·

·

Osy x, y a z se v pravoúhlé axonometrii promítají do výšek axonometrického trojúhelníku XYZ. Rovinu xy otočíme kolem přímky XY a získáme otočené osy x0 a y0 (využijte Thaletovu kružnici). Rovinu xz otočíte kolem přímky XZ a získáte otočenou osu z0 (opět využijte Thaletovu kružnici). Pomocí otočených os, na které se vynášejí skutečné jednotky, sestrojíme zadané body A, B, C a D. Hyperbolický paraboloid je určen úsečkami AB, CD a BC, AD. Rozpůlíme-li úsečky AB a CD a tyto středy spojíme, pak získáme úsečku jednoho regulu plochy, analogicky bychom půlením úseček BC a AD získali úsečku druhého regulu. Zvolíme-li libovolný bod XV na úsečce CD, pak půdorys povrchové přímky procházejí tímto bodem je rovnoběžný s rovinou yz ® kde půdorys povrchové přímky protne půdorys úsečky AB, získáme půdorys bodu YV – úsečka XVYV je jedna z povrchových úseček plochy. Analogickým způsobem získáme WVZV povrchovou úsečku druhého regulu plochy.

Ve vyřešeném příkladu v Geogebře lze ukázat, jak se budou měnit úsečky jednotlivých regulů plochy, pokud budeme pohybovat body ZV a YV. Zároveň lze pozměnit i zadanou pravoúhlou axonometrii, pokud budeme pohybovat body zadaného trojúhelníku XYZ.

4) Mějme zadán následující zborcený čtyřúhelník ABCD. Do obrázku doplňte povrchové přímky hyperbolického paraboloidu.

131

5) Jak se v axonometrii nazývá metoda pro určování průsečíku přímky s rovinou? ………………………………………………………………………………………………………………. 6) Zkuste vymyslet, jak se bude postupovat při konstrukci řezu hyperbolického paraboloidu. (Zohledněte předchozí dvě otázky a odpovědi.) ………………………………………………………………………………………………………………. 7) Určete (popřípadě vyhledejte na internetu), jaká rovinná křivka vznikne řezem hyperbolického paraboloidu rovinou r, která je: a) rovnoběžná s osou plochy a rovnoběžná s jednou z řídicích rovin? …………………………………………………………………………………………………… b) rovnoběžná s osou plochy, ale různoběžná s řídicí rovinou? …………………………………………………………………………………………………… c) různoběžná s osou plochy a zároveň je tečnou rovinou plochy? ……………………………………………………………………………………………………

d) různoběžná s osou plochy a zároveň není tečnou rovinou plochy? ……………………………………………………………………………………………………

132

Jednotlivé možnosti přiřaďte k následujícím obrázkům. A)

B)

C)

D)

1) V pravoúhlé axonometrii určené trojúhelníkem XYZ sestrojte zastřešení pomocí plochy hyperbolického paraboloidu, který je určen body o souřadnicích A = [0, 0, 0], B = [4, 0, 0], C = [4, -1, 3] a D = [0, 1, 3]. Povrchové úsečky jednoho regulu jsou dány úsečkami AB a CD. Druhý regul je určen úsečkami BC, AD. Načrtněte tři povrchové přímky každého regulu plochy. (webové stránky: Hyperbolický paraboloid – Příklad 2)

133

· · · · · · · ·

Osy x, y a z se v pravoúhlé axonometrii promítají do výšek axonometrického trojúhelníku XYZ. Rovinu xy otočíme kolem přímky XY a získáme otočené osy x0 a y0 (využijte Thaletovu kružnici). Rovinu xz otočíte kolem přímky XZ a získáte otočenou osu z0 (opět využijte Thaletovu kružnici). Pomocí otočených os, na které se vynášejí skutečné jednotky, sestrojíme zadané body A, B, C a D. Hyperbolický paraboloid je určen úsečkami AB, CD a BC, AD. Rozpůlíme-li úsečky AB a CD a tyto středy spojíme, pak získáme úsečku jednoho regulu plochy, analogicky bychom půlením úseček BC a AD získali úsečku druhého regulu. Zvolíme-li libovolný bod XV na úsečce AB, pak nárys povrchové přímky procházejí tímto bodem je rovnoběžný s rovinou yz ® sestrojíme úsečku XVYV jednu z povrchových úseček plochy. Analogickým způsobem získáme WVZV povrchovou úsečku druhého regulu plochy.

Ve vyřešeném příkladu v Geogebře lze ukázat, jak se budou měnit úsečky jednotlivých regulů plochy, pokud budeme pohybovat body XV a WV. Zároveň lze pozměnit i zadanou pravoúhlou axonometrii, pokud budeme pohybovat body zadaného trojúhelníku XYZ.

2) V pravoúhlé axonometrii zadané trojúhelníkem XYZ sestrojte plochu hyperbolického paraboloidu, který je dán body A = [-4, -4, 3], B = [4, -4, 1], C = [4, 4, 3] a D = [-4, 4, 1]. Dále sestrojte řez rovinou r, která je dána body B1, B, D1, D a rovinou s, která je určena body A1, A, C1, C. (webové stránky: Hyperbolický paraboloid – Příklad 3) · · · ·

Hyperbolický paraboloid je určen úsečkami AB, CD a BC, AD (postup analogický jako u předchozích příkladů). Půdorysná stopa roviny r splývá s úhlopříčkou B1D1 a nárysná stopa splývá s osou z. Půdorysná stopa roviny s splývá s úhlopříčkou A1C1 a nárysná stopa splývá opět s osou z. Zvolíte-li libovolný bod XV na úsečce BC, pak pomocí rovnoběžného půdorysu povrchové přímky s rovinou xz získáte úsečka XVYV jednu z povrchových úseček plochy.

134

· · · · · ·

Půdorys úsečky XVYV protne půdorysnou stopu roviny r v bodě P1 ® bodem P1 prochází také půdorys úsečky WVZV. Zkonstruujte povrchovou úsečku WVZV. Průsečík úseček XVYV a WVZV je bod P ® bod řezu hyperbolického paraboloidu rovinou r (můžete se přesvědčit, že body P a P1 leží na rovnoběžce s osou z). Půdorys úsečky XVYV protne také půdorysnou stopu roviny s v bodě Q1 ® bodem Q1 prochází také půdorys úsečky W‘VZ’V. Zkonstruujte povrchovou úsečku W‘VZ’V. Průsečík úseček XVYV a W‘VZ‘V je bod Q ® bod řezu hyperbolického paraboloidu rovinou s (můžete se přesvědčit, že body Q a Q1 opět leží na rovnoběžce s osou z).

Ve vyřešeném příkladu v Geogebře lze ukázat, jak se budou měnit úsečky jednotlivých regulů plochy, pokud budeme pohybovat bodem XV. Je také vidět, že se průsečíky jednotlivých povrchových úseček pohybují po příslušných parabolách, jejichž průsečík leží ve středu plochy (vrchol hyperbolického paraboloidu).

3) Které z následujících tvrzení o hyperbolickém paraboloidu je správně? a) Hyperbolický paraboloid je druh konoidu, jehož řídicí křivkou je parabola. b) Hyperbolický paraboloid je translační plocha vzniklá posunutím paraboly po přímce kolmé k rovině této paraboly a procházející jejím vrcholem. c) Hyperbolický paraboloid je tvořen povrchovými přímkami, které spojují body řídicí paraboly s body řídicí přímky. d) Hyperbolický paraboloid je druh konoidu, jehož řídicí křivkou je přímka.

135

Přímý parabolický konoid

Jakými prvky je určena plocha přímého parabolického konoidu? ………………………………………………………………………………………………………………………………………….. Co to znamená, když se řekně o konoidu, že je přímý? ………………………………………………………………………………………………………………………………………….. V následujícím obrázku určete řídicí křivku, řídicí přímku a načrtnětě povrchové přímky plochy tak, aby byla splněna podmínka, že se jedná o přímý parabolický konoid.

Jaké rovinné křivky vzniknou řezy přímého parabolického konoidu rovinami rovnoběžnými s rovinou řídicí křivky? …………………………………………………………………………………………………………………………………………..

1) Napište parametrické vyjádření přímého parabolického konoidu, jsou-li řídicí křivka a řídicí přímka umístěny podle následujícího obrázku. (Uvažujme pouze část paraboly pro z ³ 0 a pro řídicí přímku uvažujeme část y Î <-7; 7>.) Povrchové přímky jsou rovnoběžné s řídicí rovinou xz. 136

2) V kosoúhlém promítání (w = 135°, qx = ½) sestrojte parabolický konoid, který je dán částí řídicí křivky (paraboly) a částí řídicí přímky a. Povrchové přímky přímého parabolického konoidu jsou rovnoběžné s rovinou xz. (webové stránky: Přímý parabolický konoid – Příklad 1)

137

· · ·

Koncové body paraboly (body C a D) spojíme s příslušnými body na přímce a (body A a B) ® půdorysy povrchových přímek jsou rovnoběžné s rovinou xz. Zcela analogicky sestrojíme povrchovou přímku vrcholem V paraboly. Zvolíme-li libovolný bod Y na parabole (volíme půdorys Y1 bodu Y v prostoru paraboly) a vedeme jím rovnoběžku s rovinou xz ® na půdoryse úsečky a získáme půdorys bodu X – přímka XY je další povrchovou přímkou plochy. Ve vyřešeném příkladu v programu Geogebra je bod Y pohyblivý, proto pokud s ním budeme pohybovat, pak uvidíme všechny možné polohy povrchových přímek plochy přímého parabolického konoidu.

3) Plocha parabolického konoidu je napojena na valbovou střechu. V kosoúhlém promítání (w = 135°, qx = ½) sestrojte parabolický konoid, který je dán částí řídicí křivky (paraboly) a částí řídicí přímky a. Povrchové přímky přímého parabolického konoidu jsou rovnoběžné s rovinou xz. Následně proveďte řez rovinou a, která svírá s rovinou paraboly úhel 45°, stejně jako roviny valbové střechy. (webové stránky: Přímý parabolický konoid – Příklad 2)

138

·

Opět máme zadány řídicí prvky přímého parabolického konoidu a proto přejdeme ke konstrukci povrchových přímek. Zvolíme libovolný bod Y na parabole (volíme půdorys Y1 bodu Y v prostoru paraboly) a vedeme jím rovnoběžku s rovinou xz ® na půdoryse úsečky a získáme půdorys bodu X – přímka XY je další povrchovou přímkou plochy. Dále máme zkonstruovat řez rovinou a, která svírá s rovinou paraboly úhel 45° (nárysná stopa na ® osa úhlu mezi přímkami x a z, půdorysná stopa pa ® osa y). Bodem Y (jeho půdorysem) vedeme rovnoběžku s nárysnou stopou roviny a (protože rovinu a tvoří všechny rovnoběžné přímky s nárysnou stopou, které zároveň prochází jednotlivými body půdorysné stopy). Průsečík této rovnoběžky s povrchovou přímkou vedenou bodem Y je hledaný bod řezu.

·

Sestrojíme-li povrchové přímky koncovými body paraboly a budeme-li zároveň pohybovat bodem

· ·

· ·

Y, vidíme, že okrajové body hledaného řezu splývají s koncovými body paraboly. Řezem vznikne oblouk, kterého by se měli pokrývači zhruba držet při krytí střechy taškami. Na následujícím obrázku je tento konkrétní příklad využitý při zastřešení rodinného domku.

1) Které z následujících tvrzení je správně vzhledem k zadanému obrázku? a) řídicí křivka je část přímky ležící v rovině xy a kolmá k rovině yz, povrchové přímky jsou s touto přímkou rovnoběžné b) řídicí křivka je část paraboly a povrchové přímky jsou kolmé na řídicí přímku, která je rovnoběžná s řídicí rovinou c) řídicí křivka je část přímky rovnoběžná s řídicí rovinou a kolmá na řídicí přímku d) řídící křivka je část paraboly ležící v rovině yz a řídicí rovina je zadána rovinou xz

139

2) V kosoúhlém promítání (w = 135°, qx = ½) sestrojte přímý parabolický konoid, který je dán částí řídicí křivky (paraboly) a částí řídicí přímky a, viz následující obrázek. Povrchové přímky jsou rovnoběžné s rovinou xz. (webové stránky: Přímý parabolický konoid – Příklad 3)

· · ·

Koncové body paraboly (body C a D) spojíme s příslušnými body na přímce a (body A a B) ® půdorysy povrchových přímek jsou rovnoběžné s rovinou xz. Zcela analogicky sestrojíme povrchovou přímku vrcholem V paraboly. Zvolíme-li libovolný bod Y na parabole (volíme půdorys Y1 bodu Y v prostoru paraboly) a vedeme jím rovnoběžku s rovinou xz ® na půdoryse úsečky a získáme půdorys bodu X – přímka XY je další povrchovou přímkou plochy. Ve vyřešeném příkladu v programu Geogebra je bod Y pohyblivý, proto pokud s ním budeme pohybovat, pak uvidíme všechny možné polohy povrchových přímek plochy přímého parabolického konoidu.

3) V kosoúhlém promítání (w = 135°, qx = ½) sestrojte řez této plochy rovinou a, která je rovnoběžná s rovinou paraboly (yz) a leží mezi rovinou paraboly a rovinou řídicí přímky. (webové stránky: Přímý parabolický konoid – Příklad 4)

140

· ·

· · · ·

Opět máte zadány řídicí prvky přímého parabolického konoidu a proto můžete přejít ke konstrukci povrchových přímek. Zvolte libovolný bod Y na parabole (volte půdorys Y1 bodu Y v prostoru paraboly) a veďte jím rovnoběžku s rovinou xz ® na půdoryse úsečky a získáte půdorys bodu X – přímka XY je povrchovou přímkou plochy. Dále máte zkonstruovat řez rovinou a, která je rovnoběžná s rovinou yz a leží mezi rovinou paraboly a rovinou řídicí přímky. Zvolte bod P tak, aby byly tyto požadavky splněny. Rovina a prochází zvoleným bodem P (nárysná stopa na ® přímka vedená bodem P rovnoběžná s osou z, půdorysná stopa pa ® přímka vedená bodem P rovnoběžná s osou y). Tam kde půdorysná stopa roviny a protne půdorys povrchové přímky (X1Y1) získáme půdorys R1 bodu R (bod řezu, který hledáme ® leží na povrchové přímce XY). Sestrojte povrchové přímky koncovými body paraboly a vrcholem paraboly.

Řezem přímého parabolického konoidu rovinou, která je rovnoběžná s rovinou paraboly, je opět parabola. Budete-li ve vyřešeném příkladu v Geogebře pohybovat bodem Y, pak se budou vykreslovat všechny polohy povrchových přímek. Při pohybování bodem P je vidět, jak se mění tvar řezu (paraboly).

141

Přímý vlnový konoid

Jakými prvky je určana plocha přímého vlnového konoidu? ………………………………………………………………………………………………………………………………………….. V následujícím obrázku určete řídicí křivku, řídicí přímku a načrtnětě povrchové přímky plochy tak, aby byla splněna podmínka, že se jedná o přímý vlnový konoid.

S využitím počítače a internetu nalezněte alespoň dva příklady využití přímého vlnového konoidu. …………………………………………………………………………………………………………………………………………..

1) Napište obecné parametrické vyjádření přímého vlnového konoidu, je-li řídicí křivka a řídicí přímka umístěna podle následujícího obrázku. (Uvedena pouze jedna perioda sinusoidy, ale předpokládejme, že ji lze neomezeně prodloužit na obě strany stejně tak i řídicí přímku.) Povrchové přímky jsou rovnoběžné s řídicí rovinou xz.

142

2) Proveďte Kochanského rektifikaci kružnice ležící v rovině yz jejíž střed leží na ose y, prochází-li tato kružnice průsečíkem os y a z, viz následující obrázek. Dále nad rozvinutým obvodem této kružnice narýsujte jednu periodu sinusoidy příslušející k této kružnici. (webové stránky: Přímý vlnový konoid – Příklad 1) Historická poznámka: Kochanski (Polsko) patřil k největším myslitelům 17. století. Zabýval se nejrůznějšími obory jako například matematika, fyzika, mechanika atd. Zajímal se také o geometrii konkrétně o výše zmíněnou rektifikaci kružnice. Rektifikace jinými slovy znamená najít takovou úsečku, aby její délka odpovídala právě délce obvodu kružnice. Touto problematikou se zabývali již antičtí matematici, kteří měli pravděpodobně potřebu geometricky sčítat délky kružnic. Snažili se o Euklidovské konstrukce (pouze pravítkem a kružítkem) této úsečky. Bohužel až v 19. století bylo dokázáno, že se jedná o neeuklidovsky řešitelnou úlohu. Avšak existuje celá řada způsobů přibližného řešení rektifikace kružnice a jedním z nich je právě Kochanského rektifikace. V tomto příkladu si postup tohoto přibližného řešení ukážeme.

143

Kochanského rektifikace: · · · · ·

Bodem S povedeme přímku b, která svírá s osou y 330° (-30°). Průsečík přímky b a osy z je bod M. Na polopřímku MA od bodu M naneseme na osu z třikrát poloměr zadané kružnice – bod M‘. Úsečka BM‘ má délku přibližně pr. Z bodu A naneseme dvakrát získanou vzdálenost pr a získáme tak rozvinutý obvod kružnice.

Konstrukce sinusoidy: Pro konstrukci je výhodné využívat program Geogebra, ve kterém lze vypočítat délku oblouku popřípadě v novějších verzích programu je již přidán ovládací prvek nazvaný délka oblouku. O výpočtu délky oblouku jsme se zmínili již u rotačních ploch, konkrétně u sférického trojúhelníku, proto se odkazujeme na text popřípadě na webové stránky a kapitolu věnovanou rotačním plochám. · ·

Na kružnici zvolíme bod Xv a zjistíme (vypočítáme) délku oblouku příslušející úhlu ASXv a tuto délku naneseme od bodu A na rozvinutý obvod kružnice ® získáme bod X1 Bodem X1 vedeme kolmici na osu y a bodem Xv vedeme rovnoběžku s osou y ® kde se tyto přímky protnout, získáme bod X (bod ležící na sinusoidě) – vycházíme ze souvislosti funkce sinus a jednotkové kružnice.

Ve vyřešeném příkladu v Geogebře můžeme pohybovat bodem Xv po zadané kružnici a sledovat jak se bod X pohybuje po sinusoidě.

3) V kosoúhlém promítání (w = 135°, qx = ½) sestrojte plochu přímého vlnového konoidu, který je určen sinusoidou o fázovém posunu ϕ = p a řídicí přímkou a. Sinusoidu sestrojte pomocí zadané kružnice. Rovina xz je řídicí rovinou plochy. Přímý vlnový konoid sestrojte pro jednu periodu řídicí křivky. (webové stránky: Přímý vlnový konoid – Příklad 2)

144

· · · · · · · ·

·

·

Bodem S povedeme přímku b, která svírá s osou y 330° (-30°). Průsečík přímky b a osy z je bod M. Na polopřímku MA od bodu M naneseme na osu z třikrát poloměr zadané kružnice – bod M‘. Úsečka BM‘ má délku přibližně pr. Z bodu A naneseme dvakrát získanou vzdálenost pr a získáme tak rozvinutý obvod kružnice. Na kružnici zvolíme bod Xv a zjistíme (vypočítáme) délku oblouku příslušející úhlu ASXv a tuto délku naneseme od bodu A na rozvinutý obvod kružnice ® získáme bod X1. Aby byl zajištěn fázový posun ϕ = p, vedeme bodem Xv kolmici na osu y ® průsečíkem této kolmice se zadanou kružnicí je bod X’v. Bodem X1 vedeme kolmici na osu y a bodem X‘v vedeme rovnoběžku s osou y ® kde se tyto přímky protnout, získáme bod X (bod ležící na sinusoidě) – vycházíme ze souvislosti funkce sinus a jednotkové kružnice. Povrchové přímky jsou rovnoběžné s rovinou xz, proto vedeme bodem X1 rovnoběžku s osou x ® průsečíkem této rovnoběžky s přímkou a je bod Y (přímka vedená body X a Y je jednou z povrchových přímek přímého vlnového konoidu). Analogicky sestrojíme povrchové přímky koncovými body sinusoidy a středem sinusoidy (tři polohy povrchových přímek plochy přímého vlnového konoidu).

Ve vyřešeném příkladu v Geogebře můžeme pohybovat bodem Xv po zadané kružnici a sledovat jak se mění polohy povrchových přímek plochy přímého vlnového konoidu.

1) V kosoúhlém promítání (w = 135°, qx = ½) sestrojte plochu přímého vlnového konoidu, který je určen sinusoidou o amplitudě rovné dvojnásobku poloměru zadané kružnice a řídicí přímkou a. Rovina xz je řídicí rovinou plochy. Přímý vlnový konoid sestrojte pro jednu periodu řídicí křivky. Dále sestrojte řez rovinou a, která je rovnoběžná s rovinou řídicí přímky. Tuto rovinu zvolte mezi rovinou řídicí přímky a rovinou sinusoidy. (webové stránky: Přímý vlnový konoid – Příklad 3)

145

· · · · · · ·

·

· ·

· ·

Bodem S veďte přímku b, která svírá s osou y 330° (-30°). Průsečík přímky b a osy z je bod M. Na polopřímku MA od bodu M naneste na osu z třikrát poloměr zadané kružnice – bod M‘. Úsečka BM‘ má délku přibližně pr. Z bodu A naneste dvakrát získanou vzdálenost pr a získáte tak rozvinutý obvod kružnice. Na kružnici zvolte bod Xv a zjistěte (vypočítejte) délku oblouku příslušející úhlu ASXv a tuto délku naneste od bodu A na rozvinutý obvod kružnice ® získáte bod X1. Bodem X1 veďte kolmici na osu y a bodem Xv veďte rovnoběžku s osou y – kde se tyto přímky protnout, získáte bod Xpom (bod, který leží na sinusoidě má 2x větší vzdálenost než je |X1Xpom| ® bod X). Povrchové přímky jsou rovnoběžné s rovinou xz, proto veďte bodem X1 rovnoběžku s osou x ® průsečíkem této rovnoběžky s přímkou a je bod Y (přímka vedená body X a Y je jednou z povrchových přímek přímého vlnového konoidu). Dále máte sestrojit řez rovinou a, která je rovnoběžná s rovinou yz a leží mezi rovinou sinusoidy a rovinou řídicí přímky – zvolte proto bod P na ose x tak, aby byly tyto požadavky splněny. Půdorysná stopa roviny a prochází bodem P rovnoběžně s osou y a nárysná stopa roviny a prochází bodem P rovnoběžné s osou z (protože opět každým bodem půdorysné stopy lze proložit nárysnou stopu a všechny tyto nárysné stopy jsou navzájem rovnoběžné). Průsečík půdorysné stopy roviny s půdorysem povrchové přímky p je půdorys bodu R (hledaný bod řezu – leží na povrchové přímce) – konstrukce průsečíku přímky s rovinou. Sestrojíme povrchové přímky koncovými body sinusoidy a středem sinusoidy (tři polohy povrchových přímek plochy přímého vlnového konoidu).

Ve vyřešeném příkladu v Geogebře můžeme pohybovat bodem Xv po zadané kružnici a sledovat jak se mění polohy povrchových přímek plochy přímého vlnového konoidu. Navíc lze pohybovat také bodem P a měnit tak polohu roviny řezu. Vidíme, že změnou roviny řezu bude stále řezem přímého vlnového konoidu sinusoida, ale bude se měnit velikost její amplitudy.

2) Které z následujících tvrzení je správně vzhledem k následujícímu obrázku?

a) řídicí křivka je část přímky ležící v rovině xy a kolmá k rovině yz, povrchové přímky jsou s touto přímkou rovnoběžné b) řídicí křivka je část sinusoidy a povrchové přímky jsou kolmé na řídicí přímku, která je rovnoběžná s řídicí rovinou c) řídicí křivka je část sinusoidy ležící v rovině xz a řídicí rovinou je rovina yz d) řídicí křivka je část přímky rovnoběžná s řídicí rovinou a kolmá na řídicí přímku

146

PŘÍLOHA D Obsah přiloženého CD Text: ·

textDP.pdf (elektronická verze textu)

Pracovní listy: · · ·

rotační.zip šroubové.zip přímkové.zip

Webové stránky: webovky.zip

147

Fakulta aplikovaných věd Katedra matematiky

Recommend Documents