Vektory a matice Petr Hasil Pˇredn´ aˇska z matematiky
Podpoˇreno projektem Pr˚ uˇrezov´ a inovace studijn´ıch program˚ u Lesnick´ e a dˇrevaˇrsk´ e fakulty MENDELU v Brnˇ e (LDF) s ohledem na discipl´ıny spoleˇ cn´ eho z´ akladu (reg. ˇ c. CZ.1.07/2.2.00/28.0021) za pˇrispˇ en´ı finanˇ cn´ıch prostˇredk˚ u EU ˇ a st´ atn´ıho rozpoˇ ctu Cesk´ e republiky. c Petr Hasil (MENDELU)
Vektory a matice Matematika MT 1 / 57
Obsah 1
´ Uvod ˇ ıseln´e obory C´
2
Vektory Vektorov´y prostor
3
Matice Definice a operace Gaussova eliminaˇcn´ı metoda
4
Pˇr´ıklady
5
Aplikace Leslieho model r˚ ustu Pˇr´ıklad
6
Wolfram|Alpha c Petr Hasil (MENDELU)
Vektory a matice
Matematika MT
2 / 57
´ Uvod
ˇ ıseln´ C´ e obory
ˇ ıseln´e obory C´ Pˇrirozen´ aˇ c´ısla: Cel´ aˇ c´ısla:
N = {1, 2, 3, . . .}
(N0 = N ∪ {0}).
Z = {. . . , −2, −1, 0, 1, 2, . . .}.
Racion´ aln´ı ˇ c´ısla: Q = {q = nz : z ∈ Z, n ∈ N}. ˇ ısla, kter´a nejsou racion´aln´ı, tj. nelze je vyj´adˇrit jako pod´ıl cel´eho a C´ pˇrirozen´eho ˇc´ısla, naz´yv´ame iracion´aln´ı a znaˇc´ıme I. Re´ aln´ aˇ c´ısla: R = Q ∪ I. K re´aln´ym ˇc´ısl˚ um lze jednoznaˇcnˇe pˇriˇradit vˇsechny body nekoneˇcn´e pˇr´ımky (ˇc´ıseln´e osy) dle jejich vzd´alenosti od poˇc´atku. Komplexn´ı ˇ c´ısla: C = {z = a + bi : a, b ∈ R, i 2 = −1}. Komplexn´ım ˇc´ıslem z naz´yv´ame uspoˇr´adanou dvojici re´aln´ych ˇc´ısel ˇ ıslu a ˇr´ık´ame re´aln´a ˇc´ast [a, b] a p´ıˇseme z = [a, b] = a + bi. C´ komplexn´ıho ˇc´ısla z, ˇc´ıslu b imagin´arn´ı ˇc´ast komplexn´ıho ˇc´ısla z.
c Petr Hasil (MENDELU)
Vektory a matice
Matematika MT
4 / 57
Vektory
Vektorov´ y prostor
Veliˇciny, kter´ymi popisujeme svˇet kolem n´as lze rozdˇelit do dvou skupin: Skal´ arn´ı veliˇ ciny (skal´ ary) – jsou plnˇe urˇceny jedin´ym ˇc´ıseln´ym u ´dajem ud´avaj´ıc´ım jejich velikost – teplota, hmotnost, mnoˇzstv´ı,. . . Vektorov´ e veliˇ ciny (vektory) – k jejich popisu je tˇreba v´ıce ˇc´ısel v urˇcen´em poˇrad´ı – rychlost, s´ıla (velikost a smˇer), poloha (souˇradnice), barevn´y odst´ın (souˇradnice RGB, CMYK), stav populace (poˇcet a ˇcas), . . .
c Petr Hasil (MENDELU)
Vektory a matice
Matematika MT
6 / 57
Vektory
Vektorov´ y prostor
Definice (Vektor) Necht’ n ∈ N. Uspoˇr´adanou n-tici re´aln´ych ˇc´ısel v1 , v2 , . . . , vn v1 v2 ~v = . ∈ Rn .. vn ˇ ıslo n potom naz´yv´ame dimenz´ı naz´yv´ame (re´aln´ym) vektorem. C´ (rozmˇerem) vektoru ~v a ˇc´ısla v1 , v2 , . . . , vn naz´yv´ame sloˇzky vektoru ~v . Pozn´amka Vektory se v literatuˇre nˇekdy zapisuj´ı do ˇr´adku, tj. ~v = (v1 , v2 , . . . , vn ). Je-li potom potˇreba pouˇz´ıt ho jako sloupec, pouˇz´ıv´a se na nˇej operace transpozice (viz d´ale v ˇc´asti o matic´ıch, kdy na vektor je nahl´ıˇzeno jako na matici o jedin´em ˇr´adku/sloupci), podobnˇe obr´acenˇe. c Petr Hasil (MENDELU)
Vektory a matice
Matematika MT
7 / 57
Vektory
Vektorov´ y prostor
~ ∈ Rn m´ame Sˇc´ıt´an´ı vektor˚ u definujeme po sloˇzk´ach, tj. pro ~v , w v1 + w1 w1 v1 v2 w2 v2 + w2 ~v + w ~ = . + . = ∈ Rn . .. .. .. . wn
vn
vn + wn
N´asoben´ı vektoru ~v ∈ Rn skal´arem α ∈ R definujeme tak, ˇze kaˇzdou sloˇzku vektoru ~v vyn´asob´ıme skal´arem α, tj. v1 αv1 v2 αv2 α~v = α . = . ∈ Rn . .. .. vn
c Petr Hasil (MENDELU)
Vektory a matice
αvn
Matematika MT
8 / 57
Vektory
Vektorov´ y prostor
Definice (Nulov´y vektor) Vektor
0 0 ~0 = .. . 0
naz´yv´ame nulov´y vektor. Pro libovoln´e α ∈ R, ~v ∈ Rn plat´ı: ~v + ~0 = ~v , α~0 = ~0. Definice (Opaˇcn´y vektor) Vektor −~v = −1~v naz´yv´ame opaˇcn´y vektor k vektoru ~v . Plat´ı ~v + (−~v ) = ~v − ~v = ~0. c Petr Hasil (MENDELU)
Vektory a matice
Matematika MT
9 / 57
Vektory
Vektorov´ y prostor
Vlastnosti operac´ı na vektorech ~ ∈ Rn a skal´ary α, β ∈ R plat´ı: Pro vˇsechny vektory ~v , w ~ =w ~ + ~v , (i) ~v + w (ii) α~v = ~v α, ~ ) = α~v + α~ (iii) α(~v + w w, (iv) (α + β)~v = α~v + β~v , (v) α(β~v ) = (αβ)~v , (vi) 1~v = ~v .
c Petr Hasil (MENDELU)
Vektory a matice
Matematika MT
10 / 57
Vektory
Vektorov´ y prostor
Definice (Vektorov´y prostor) Mnoˇzinu vˇsech n-rozmˇern´ych vektor˚ u s operacemi sˇc´ıt´an´ı vektor˚ ua n´asoben´ı vektoru re´aln´ym ˇc´ıslem naz´yv´ame n-rozmˇern´y vektorov´y prostor. Pozn´amka Vektorov´y prostor je uzavˇren na operace sˇc´ıt´an´ı vektor˚ u a n´asoben´ı vektoru re´aln´ym ˇc´ıslem. ~ ∈ V , a, b ∈ R, pak Tj. je-li V vektorov´y prostor, ~v , w ~v + w ~ ∈ V, a~v ∈ V , a~v + b~ w ∈ V.
c Petr Hasil (MENDELU)
Vektory a matice
Matematika MT
11 / 57
Vektory
Vektorov´ y prostor
Geometricky lze vektory (dimenze 2 a 3) zobrazit jako orientovan´e pr˚ uvodiˇce bod˚ u (v rovinˇe, nebo v prostoru).
c Petr Hasil (MENDELU)
Vektory a matice
Matematika MT
12 / 57
Vektory
Vektorov´ y prostor
Operace:
c Petr Hasil (MENDELU)
Vektory a matice
Matematika MT
13 / 57
Vektory
Vektorov´ y prostor
Vektor lze zadat tak´e pomoc´ı jeho poˇc´ateˇcn´ıho a koncov´eho bodu. Vektor −→ ~ = AB = B − A je orientovan´a u w ´seˇcka z bodu A do bodu B.
Pozn´amka Protoˇze vektor je d´an jen svou velikost´ı a smˇerem, zelen´e ˇsipky jsou jen ~. r˚ uzn´a um´ıstˇen´ı t´ehoˇz vektoru w c Petr Hasil (MENDELU)
Vektory a matice
Matematika MT
14 / 57
Vektory
Vektorov´ y prostor
Definice (Line´arn´ı kombinace) Necht’ ~v1 , ~v2 , . . . , ~vm ∈ Rn a α1 , α2 , . . . , αm ∈ R. Vektor ~ = α1~v1 + α2~v2 + · · · + αm~vm = w
m X
αi ~vi
i=1
naz´yv´ame line´arn´ı kombinace vektor˚ u ~v1 , ~v2 , . . . , ~vm . Pˇr´ıklad
−1 1 −3 ~ ~ ~ 5 1 , Vektor w = je line´arn´ı kombinac´ı vektor˚ uu= 2 v= 4 3 −2 1 −3 2 · 1 + (−3) −1 ~. nebot’ 2~u + ~v = 2 2 + 1 = 2 · 2 + 1 = 5 = w 3 −2 2 · 3 + (−2) 4
c Petr Hasil (MENDELU)
Vektory a matice
Matematika MT
15 / 57
Vektory
Vektorov´ y prostor
Definice (Line´arn´ı z´avislost) ˇ Rekneme, ˇze vektory ~v1 , ~v2 , . . . , ~vm ∈ Rn jsou line´arnˇe z´avisl´e, jestliˇze je jeden z tˇechto vektor˚ u line´arn´ı kombinac´ı ostatn´ıch. V opaˇcn´em pˇr´ıpadˇe ˇrekneme, ˇze jsou line´arnˇe nez´avisl´e. Plat´ı Vektory ~v1 , ~v2 , . . . , ~vm ∈ Rn jsou line´arnˇe z´avisl´e pr´avˇe tehdy, kdyˇz existuj´ı takov´a ˇc´ısla α1 , α2 , . . . , αm ∈ R, ˇze aspoˇ n jedno z nich je nenulov´e a plat´ı m X
αi ~vi = α1~v1 + α2~v2 + · · · + αm~vm = ~0.
i=1
c Petr Hasil (MENDELU)
Vektory a matice
Matematika MT
16 / 57
Vektory
Vektorov´ y prostor
Pozn´amka Vektory ~v1 , ~v2 , . . . , ~vm ∈ Rn jsou zcela jistˇe z´avisl´e, jestliˇze: je mezi nimi aspoˇ n jeden nulov´y vektor, jsou mezi nimi aspoˇ n dva vektory stejn´e, jeden z dan´ych vektor˚ u je n´asobkem jin´eho, m > n. Pˇr´ıklad 1 −3 −1 ~ = 1 5 jsou line´arnˇe z´avisl´e, nebot’ Vektory ~u = 2 , ~v = aw 3 −2 4 ~ = 2~u + ~v , tj. w ~ = ~0. 2~u + ~v − w
c Petr Hasil (MENDELU)
Vektory a matice
Matematika MT
17 / 57
Vektory
Vektorov´ y prostor
Definice (Skal´arn´ı souˇcin) ˇ ıslo ~ ∈ Rn . C´ Necht’ ~v , w ~ i = ~v · w ~ = v1 w1 + v2 w2 + · · · + vm wm = h~v , w
m X
vi wi
i=1
~. naz´yv´ame skal´arn´ı souˇcin vektor˚ u ~v , w Pˇr´ıklad −3 −1 h 7 , 5 i = (−3) · (−1) + 7 · 5 + (−2) · 4 = 3 + 35 − 8 = 30. −2 4
c Petr Hasil (MENDELU)
Vektory a matice
Matematika MT
18 / 57
Matice
Definice a operace
Definice (Matice) (Re´alnou) matic´ı typu m × n rozum´ıme a11 a12 a21 a22 A= . .. .. .
obd´eln´ıkov´e ˇc´ıseln´e sch´ema · · · a1n · · · a2n .. , .. . .
am1 am2 · · · amn kde ˇc´ısla aij ∈ R, i = 1, . . . , m, j = 1, . . . , n, naz´yv´ame prvky matice A. Mnoˇzinu vˇsech matic typu m × n znaˇc´ıme Matm×n (R). Matici A s prvky aij znaˇc´ıme tak´e A = (aij ). Pozn´amka V pˇredchoz´ı definici m znaˇc´ı poˇcet ˇr´adk˚ u a n poˇcet sloupc˚ u matice A. Prvek aij se nach´az´ı v i-t´em ˇr´adku a j-t´em sloupci matice A.
c Petr Hasil (MENDELU)
Vektory a matice
Matematika MT
20 / 57
Matice
Definice a operace
Sˇc´ıt´an´ı matic stejn´ych rozmˇer˚ u definujeme po sloˇzk´ach, tj. pro A, B ∈ Matm×n (R) m´ame A + B = (aij ) + (bij ) = (aij + bij ) ∈ Matm×n (R). Pˇr´ıklad 2 −1 −2 7 2 − 2 −1 + 7 0 6 0 1 + 4 −2 = 0 + 4 1 − 2 = 4 −1 5 3 1 8 5+1 3+8 6 11 Pˇr´ıklad 5 0 7 2 5 + = Nelze seˇc´ıst, matice maj´ı r˚ uzn´e rozmˇery. 4 1 4 1 0
c Petr Hasil (MENDELU)
Vektory a matice
Matematika MT
21 / 57
Matice
Definice a operace
N´asoben´ı matice A ∈ Matm×n (R) skal´arem α ∈ R definujeme tak, ˇze kaˇzdou sloˇzku matice A vyn´asob´ıme skal´arem α, tj. αA = α(aij ) = (αaij ) ∈ Matm×n (R). Pˇr´ıklad
−2 7 7 · (−2) 7·7 −14 49 7 · (−1) = 28 −7 7 4 −1 = 7 · 4 1 8 7·1 7·8 7 56
c Petr Hasil (MENDELU)
Vektory a matice
Matematika MT
22 / 57
Matice
Definice a operace
Vlastnosti operac´ı na matic´ıch Pro vˇsechny matice A, B ∈ Matm×n (R) a skal´ary α, β ∈ R plat´ı: (i) A + B = B + A, (ii) αA = Aα, (iii) α(A + B) = αA + αB, (iv) (α + β)A = αA + βA, (v) α(βA) = (αβ)A, (vi) 1A = A.
c Petr Hasil (MENDELU)
Vektory a matice
Matematika MT
23 / 57
Matice
Definice a operace
Definice Necht’ A = (aij ) ∈ Matm×n (R). Plat´ı-li m = n, naz´yv´ame matici A ˇctvercov´a matice ˇr´adu m (ˇr´adu n). Prvky aii ˇctvercov´e matice naz´yv´ame prvky hlavn´ı diagon´aly. Matice, jej´ıˇz vˇsechny prvky jsou nulov´e, naz´yv´ame nulov´a matice a znaˇc´ıme O. ˇ Ctvercovou matici, kter´a m´a na hlavn´ı diagon´ale jedniˇcky a vˇsude jinde nuly, naz´yv´ame jednotkou matic´ı a znaˇc´ıme I . Matici, jej´ıˇz kaˇzd´y ˇr´adek zaˇc´ın´a vˇetˇs´ım poˇctem nul neˇz ˇr´adek pˇrech´azej´ıc´ı, naz´yv´ame schodovitou matic´ı. Matici AT = (aji ) ∈ Matn×m (R) naz´yv´ame transponovan´a matice k matici A. (Transponovan´a matice vznikne z´amˇenou ˇr´adk˚ u a sloupc˚ u p˚ uvodn´ı matice.) c Petr Hasil (MENDELU)
Vektory a matice
Matematika MT
24 / 57
Matice
Definice a operace
Pˇr´ıklad Jsou d´any matice 2 −1 0 1 0 1 0 1 2 3 A= ,B = , C = 0 1 3 , D = 2 0 0 1 0 0 −4 0 1 0 3 −4 Matice A je ˇctvercovou matic´ı ˇr´adu 2, je to jednotkov´a matice a je schodovit´a. Matice B je schodovit´a. Matice C je ˇctvercov´a ˇr´adu 3, nen´ı schodovit´a. Matice D je transponovan´a k matici B, tj. D = B T a B = D T .
c Petr Hasil (MENDELU)
Vektory a matice
Matematika MT
25 / 57
Matice
Definice a operace
Definice (N´asoben´ı matic) Necht’ matice A je typu m × p a B je matice typu p × n. Souˇcinem matic A a B (v tomto poˇrad´ı) rozum´ıme matici C typu m × n, pro jej´ıˇz prvky plat´ı cij = ai1 b1j + ai2 b2j + · · · aip bpj = =
p X
aik bkj ,
k=1
pro i = 1, . . . , m, j = 1, . . . , n. P´ıˇseme C = AB Pozn´amka Pˇri n´asoben´ı matic v pˇredchoz´ı definici vznikl prvek cij jako skal´arn´ı souˇcin i-t´eho ˇr´adku matice A a j-t´eho sloupce matice B.
c Petr Hasil (MENDELU)
Vektory a matice
Matematika MT
26 / 57
Matice
Definice a operace
Pˇr´ıklad
3 0 −2 2 1 1 4 3 · 0 −4 = 2 7 1 5 9 3 · 2 + 0 · 0 + (−2) · 5 3 · 1 + 0 · (−4) + (−2) · 9 −4 −15 1 · 1 + 4 · (−4) + 3 · 9 = 17 12 = 1·2+4·0+3·5 2·2+7·0+1·5 2 · 1 + 7 · (−4) + 1 · 9 9 −17
2 1 3 0 −2 0 −4 · 1 4 3 = × 5 9 2 7 1 Matice nelze n´asobit, nemaj´ı spr´avn´e rozmˇery [(3 × 2)(3 × 3)].
c Petr Hasil (MENDELU)
Vektory a matice
Matematika MT
27 / 57
Matice
Definice a operace
Vˇeta Necht’ A, B, C jsou matice vhodn´ych rozmˇer˚ u. Pak plat´ı (AB)C = A(BC ), A(B + C ) = AB + AC , (A + B)C = AC + BC . Pozn´amka Souˇcin matic nen´ı komutativn´ı, tj. obecnˇe nelze zamˇen ˇovat poˇrad´ı n´asoben´ı matic. Vˇeta Necht’ A ∈ Matm×n (R). Potom plat´ı A · In = A, Im · A = A.
c Petr Hasil (MENDELU)
Vektory a matice
Matematika MT
28 / 57
Matice
Definice a operace
ˇ Definice (ERO) N´asleduj´ıc´ı u ´pravy matic naz´yv´ame ekvivalentn´ı ˇr´adkov´e operace (´ upravy) v´ymˇena dvou ˇr´adk˚ u, vyn´asoben´ı ˇr´adku nenulov´ym ˇc´ıslem, pˇriˇcten´ı jednoho ˇr´adku k jin´emu, vynech´an´ı nulov´eho ˇr´adku. ˇ Rekneme, ˇze matice A a B jsou ekvivalentn´ı a p´ıˇseme A ∼ B, jestliˇze lze matici A pˇrev´est koneˇcn´ym poˇctem ekvivalentn´ıch u ´prav na matici B. Vˇeta Kaˇzdou matici lze koneˇcn´ym poˇctem ekvivalentn´ıch ˇr´adkov´ych u ´prav pˇrev´est do schodovit´eho tvaru.
c Petr Hasil (MENDELU)
Vektory a matice
Matematika MT
29 / 57
Matice
Gaussova eliminaˇ cn´ı metoda
Pomoc´ı Gaussovy eliminaˇcn´ı metody (GEM) lze pˇrev´est libovolnou matici do schodovit´eho tvaru. Postup (i) V matici najdeme sloupec nejv´ıce vlevo s alespoˇ n jedn´ım nenulov´ym prvkem. (ii) Zvol´ıme v tomto sloupci jeden z nenulov´ych prvk˚ u (tzv. pivota) a pˇrem´ıst´ıme ˇr´adek, ve kter´em se nach´az´ı, na pozici prvn´ıho ˇr´adku (pomoc´ı v´ymˇeny ˇr´adk˚ u). ˇ vynulujeme prvky pod pivotem. Vznikne-li nulov´y ˇr´adek, (iii) Pomoc´ı ERO vynech´ame ho. (iv) Kroky (i)–(iii) opakujeme na podmatici vznikl´e z p˚ uvodn´ı matice vynech´an´ım ˇr´adku s pivotem. (v) Postup opakujeme, dokud nen´ı matice ve schodovit´em tvaru Pozn´amka Kdykoliv bˇehem postupu m˚ uˇzeme nˇekter´y ˇr´adek vyn´asobit, nebo vydˇelit vhodn´ym ˇc´ıslem tak, abychom matici zjednoduˇsili. c Petr Hasil (MENDELU)
Vektory a matice
Matematika MT
31 / 57
Matice
Gaussova eliminaˇ cn´ı metoda
Pˇr´ıklad
0 −1 A= 1 3 2 1 1 3 ∼ 0 -1 0 −5
2 6 1 I ↔ II ∼0 −3 0 4 1 2 −3 0 1 ∼ 0 2 6 0 10 1 III − 5 · II
c Petr Hasil (MENDELU)
Vektory a matice
3 −3 0 −1 2 6 1 4 1 III − 2 · I 3 −3 0 −1 2 6 0 0 −29
Matematika MT
32 / 57
Matice
Gaussova eliminaˇ cn´ı metoda
Definice (Hodnost matice) Necht’ A ∈ Matm×n (R). Hodnost´ı h(A) matice A rozum´ıme maxim´aln´ı poˇcet line´arnˇe nez´avisl´ych ˇr´adk˚ u (= poˇcet line´arnˇe nez´avisl´ych sloupc˚ u). Vˇeta Hodnost matice ve schodovit´em tvaru je rovna poˇctu jej´ıch nenulov´ych ˇr´adk˚ u. Matice transponovan´a m´a stejnou hodnost jako matice p˚ uvodn´ı. Ekvivalentn´ı matice maj´ı stejnou hodnost.
c Petr Hasil (MENDELU)
Vektory a matice
Matematika MT
33 / 57
Matice
Gaussova eliminaˇ cn´ı metoda
Pˇr´ıklad V pˇredchoz´ım pˇr´ıkladu jsme zjistili, ˇze 0 −1 2 6 1 3 −3 0 6 , A = 1 3 −3 0 ∼ 0 −1 2 2 1 4 1 0 0 0 −29 tedy h(A) = 3. Pozn´amka T´ımto zp˚ usobem lze tak´e snadno zjistit, zda jsou dan´e vektory line´arnˇe z´avisl´e, popˇr. z nich dokonce vybrat maxim´aln´ı poˇcet line´arnˇe nez´avisl´ych vektor˚ u. Vektory naskl´ad´ame jako sloupce do matice, tu pˇrevedeme do schodovit´eho tvaru. Line´arnˇe nez´avisl´e vektory jsou ty, kter´e se nach´azely ve sloupc´ıch s pivoty. c Petr Hasil (MENDELU)
Vektory a matice
Matematika MT
34 / 57
Matice
Gaussova eliminaˇ cn´ı metoda
Definice Necht’ A je ˇctvercov´a matice ˇr´adu n. Jestliˇze existuje ˇctvercov´a matice A−1 ˇr´adu n takov´a, ˇze plat´ı A · A−1 = I = A−1 · A, naz´yv´ame matici A−1 inverzn´ı matic´ı k matici A. Vˇeta Necht’ je A ˇctvercov´a matice ˇr´adu n. Potom k n´ı existuje inverzn´ı matice A−1 pr´avˇe tehdy, kdyˇz m´a matice A line´arnˇe nez´avisl´e ˇr´adky (ˇr´ık´ame, ˇze je regul´arn´ı).
c Petr Hasil (MENDELU)
Vektory a matice
Matematika MT
35 / 57
Matice
Gaussova eliminaˇ cn´ı metoda
Z pˇredchoz´ı vˇety plyne, ˇze inverzn´ı matici lze naj´ıt jen ke ˇctvercov´e matici, kter´a m´a plnou hodnost. To znamen´a, ˇze ve schodovit´em tvaru jsou vˇsichni pivoti na jej´ı hlavn´ı diagon´ale a v pr˚ ubˇehu GEM se neobjevil ˇz´adn´y nulov´y ˇr´adek. J´adrem algoritmu pro v´ypoˇcet inverzn´ı matice je tzv. u ´pln´a Gaussova eliminace, kter´a spoˇc´ıv´a v tom, ˇze po z´ısk´an´ı schodovit´eho tvaru pokraˇcujeme stejn´ym zp˚ usobem v nulov´an´ı prvk˚ u nad pivoty (se kter´ymi se uˇz neh´ybe), a to zprava doleva.
c Petr Hasil (MENDELU)
Vektory a matice
Matematika MT
36 / 57
Matice
Gaussova eliminaˇ cn´ı metoda
Postup 1
K matici A pˇrid´ame jednotkovou matici stejn´e velikosti. T´ım z´ısk´ame rozˇs´ıˇrenou matici (A|I ).
2
Pomoc´ı u ´pln´e Gaussovy eliminace pˇrevedeme matici A na diagon´aln´ı matici (tj. matici, kter´a m´a nenulov´e prvky pouze na hlavn´ı ˇ pˇritom prov´ad´ıme s cel´ymi ˇr´adky matice diagon´ale). Vˇsechny ERO (A|I ).
3
Kaˇzd´y ˇr´adek matice (A|I ) vydˇel´ıme diagon´aln´ım prvkem matice A, kter´y se v nˇem nach´az´ı.
4
T´ım jsme matici A pˇrevedli na matici I a matici I na matici A−1 . V´ysledn´a rozˇs´ıˇren´a matice je tedy (I |A−1 ).
Pozn´amka Opˇet jako u ne´ upln´e“ Gaussovy eliminaˇcn´ı metody m˚ uˇzeme kdykoliv to ” jde matici zjednoduˇsit vhodnou u ´pravou (zvl´aˇstˇe vydˇelen´ı ˇr´adku spoleˇcn´ym dˇelitelem vˇsech jeho prvk˚ u). c Petr Hasil (MENDELU)
Vektory a matice
Matematika MT
37 / 57
Matice
Pˇr´ıklad Najdˇete inverzn´ı matice k matic´ım 1 2 1 A = 3 4 , B = −1 5 6 2
Gaussova eliminaˇ cn´ı metoda
A, B a C . 3 2 2 3 −1 0 4 , C = 4 1 2 3 3 2 −2 3
Matice A nen´ı ˇctvercov´a, tedy k n´ı neexistuje inverzn´ı matice.
c Petr Hasil (MENDELU)
Vektory a matice
Matematika MT
38 / 57
Matice
1 3 2 1 0 (B|I ) = −1 0 4 0 1 2 3 3 0 0 1 1 3 2 ∼ 0 3 6 1 0 −3 −1 −2 1 3 2 1 0 0 3 6 1 1 ∼ 0 0 5 −1 1 1 3 2 1 0 3 6 1 ∼ 0 0 1 −1/5 1 3 0 7/5 ∼ 0 3 0 11/5 0 0 1 −1/5 c Petr Hasil (MENDELU)
Gaussova eliminaˇ cn´ı metoda
0 0 II + I III − 2 · I 1 0 0 1 0 III + II 0 1 0 0 1 · 15 0 0 I − 2 · III 1 0 II − 6 · III 1/5 1/5 −2/5 −2/5 I − II −1/5 −6/5 1/5 1/5
Vektory a matice
Matematika MT
39 / 57
Matice
Gaussova eliminaˇ cn´ı metoda
1 0 0 −4/5 −1/5 4/5 ∼ 0 3 0 11/5 −1/5 −6/5 · 31 0 0 1 −1/5 1/5 1/5 1 0 0 −4/5 −1/5 4/5 ∼ 0 1 0 11/15 −1/15 −6/15 = (I |B −1 ) 1/5 1/5 0 0 1 −1/5 Tedy −12 −3 12 −4/5 −1/5 4/5 1 · 11 −1 −6 = 11/15 −1/15 −6/15 = 15 −3 3 3 −1/5 1/5 1/5
B −1
c Petr Hasil (MENDELU)
Vektory a matice
Matematika MT
40 / 57
Matice
2 (C |I ) = 4 2 2 ∼ 0 0 2 0 ∼ 0
Gaussova eliminaˇ cn´ı metoda
3 −1 1 0 0 1 2 0 1 0 II − 2I III − I −2 3 0 0 1 3 −1 1 0 0 4 −2 1 0 -5 III − II −5 4 −1 0 1 0 0 3 −1 1 −5 4 −2 1 0 0 0 1 −1 1
Matice C nen´ı regul´arn´ı (h(C ) = 2), tedy k n´ı neexistuje inverzn´ı matice.
c Petr Hasil (MENDELU)
Vektory a matice
Matematika MT
41 / 57
Pˇr´ıklady
Pˇr´ıklad Jsou d´any matice
2 1 A = −1 3 , 4 5
0 −2 1 . B= 3 −1 2
Spoˇctˇete 3A − 2B, AB T , AT B. ˇ sen´ı: Reˇ
6 7 3A−2B = −9 7 , 14 11
c Petr Hasil (MENDELU)
AB
T
−2 7 0 = −6 0 7 , −10 17 6
Vektory a matice
−7 3 A B= . 4 11 T
Matematika MT
43 / 57
Pˇr´ıklady
Pˇr´ıklad Jsou d´any vektory −2 0 , u= 1
3 v = −1 . 4
Spoˇctˇete hu, v i, uv T , u T v . ˇ sen´ı: Reˇ
hu, v i = −2,
c Petr Hasil (MENDELU)
uv T
−6 2 −8 0 0 , = 0 3 −1 4
Vektory a matice
u T v = (−2).
Matematika MT
44 / 57
Pˇr´ıklady
Pˇr´ıklad Urˇcete hodnost matice
2 −1 0 3 3 2 −3 . A= 1 −1 4 2 −6 ˇ sen´ı: Reˇ h(A) = 2.
c Petr Hasil (MENDELU)
Vektory a matice
Matematika MT
45 / 57
Pˇr´ıklady
Pˇr´ıklad Napiˇste pˇr´ıklady matic o hodnosti 1, 2, 3 a 4 a hodnost zd˚ uvodnˇete. ˇ sen´ı: Reˇ
1 2 3 h 0 0 0 = 1, 0 0 0 1 2 3 h 0 4 5 = 3, 0 0 6
1 2 h 0 4 0 0 1 0 0 −2 h 0 0 0 0
3 5 = 2, 0 0 0 5 3 = 4. 6 1 0 2
Matice jsou ve schodovit´em tvaru v nˇemˇz hodnost = poˇcet nenulov´ych ˇr´adk˚ u.
c Petr Hasil (MENDELU)
Vektory a matice
Matematika MT
46 / 57
Pˇr´ıklady
Pˇr´ıklad Jsou d´any vektory 1 −1 −6 1 0 u1 = 4 , u2 = 2 , u3 = 0 , u4 = −2 , u5 = 2 . 0 1 4 3 −1 Vyberte z nich co nejv´ıce line´arnˇe nez´avisl´ych vektor˚ u. ˇ sen´ı: Reˇ Napˇr. u1 , u2 , u4 .
c Petr Hasil (MENDELU)
Vektory a matice
Matematika MT
47 / 57
Pˇr´ıklady
Pˇr´ıklad Najdˇete inverzn´ı matici k matic´ım
−2 1 3 A = 2 −2 1 , 1 −3 3
3 2 0 1 B= 2 1 2 −3
1 −2 0 −1 . 1 −2 0 3
ˇ sen´ı: Reˇ
A−1
3 12 −7 1 5 9 −8 , = 11 4 5 −2
c Petr Hasil (MENDELU)
B −1
0 3 0 1 1 2 −3 −2 −1 . = 2 2 −13 0 −3 2 −5 −2 −1
Vektory a matice
Matematika MT
48 / 57
Aplikace
Leslieho model r˚ ustu
Pomoc´ı Leslieho modelu je moˇzn´e odhadnout v´yvoj populace. Pop´ıˇseme si pouze jej´ı vytvoˇren´ı a pouˇzit´ı. Zkoum´ame nˇejak´y syst´em jednotlivc˚ u (zv´ıˇrata, hmyz, bunˇeˇcn´e kultury,. . . ) rozdˇelen´y do n skupin (st´aˇr´ı, f´aze v´yvoje,. . . ). Stav v ˇcase k je tedy d´an vektorem a1 a2 xk = . , .. an kde ai , i = 1, . . . , n, je poˇcet jedinc˚ u skupiny i v ˇcase k. (Line´arn´ı) model v´yvoje takov´eho syst´emu je d´an matic´ı A ∈ Matn×n (R), kter´a popisuje zmˇenu z xk na xk+1 (jde o iterovan´y proces): xk+1 = Axk .
c Petr Hasil (MENDELU)
Vektory a matice
Matematika MT
50 / 57
Aplikace
Leslieho model r˚ ustu
Leslieho matice m´a tvar
f1 f2 f3 τ1 0 0 0 τ2 0 A = 0 0 τ 3 0 0 0 0 0 0
··· ··· ··· ··· .. .
fn 0 0 0
, 0
· · · τn−1
kde fi je relativn´ı plodnost a τi relativn´ı pˇreˇzit´ı skupiny i.
c Petr Hasil (MENDELU)
Vektory a matice
Matematika MT
51 / 57
Aplikace
Pˇr´ıklad
Pˇr´ıklad Uvaˇzujme populaci nezmar˚ u, kteˇr´ı se doˇz´ıvaj´ı tˇr´ı mˇes´ıc˚ u. Kaˇzd´y nezmar splod´ı mezi prvn´ım a druh´ym mˇes´ıcem dva mal´e nezm´arky, stejnˇe tak mezi druh´ym a tˇret´ım mˇes´ıcem ˇzivota. Mlad´ı nezmaˇri (do st´aˇr´ı jednoho mˇes´ıce) neplod´ı. Polovina nezmar˚ u po dovrˇsen´ı druh´eho mˇes´ıce um´ır´a, po dovrˇsen´ı tˇret´ıho mˇes´ıce um´ıraj´ı vˇsichni. Napiˇste Leslieho matici nezmaˇr´ıho modelu a urˇcete sloˇzen´ı populace, o sloˇzen´ı (17, 102, 191) po tˇrech mˇes´ıc´ıch. ˇ sen´ı: Leslieho matice je Reˇ 0 2 2 A = 1 0 0 . 0 1/2 0 Dan´a populace bude m´ıt po tˇrech mˇes´ıc´ıch sloˇzen´ı 3 0 2 2 17 1189 A3 · (poˇc´ateˇcn´ı sloˇzen´ı) = 1 0 0 · 102 = 136 . 0 1/2 0 191 293 c Petr Hasil (MENDELU)
Vektory a matice
Matematika MT
53 / 57
Aplikace
Pˇr´ıklad
Pozn´amka Z modelu dan´eho Leslieho matic´ı lze snadno urˇcit i pˇr´ır˚ ustek za obdob´ı a tak´e k jak´emu sloˇzen´ı (vzhledem k “vˇekov´ym” skupin´am) populace spˇeje. K oboj´ımu se vr´at´ıme po probr´an´ı n´aleˇzit´ych matematick´ych n´astroj˚ u. Populace z nezmaˇr´ıho pˇr´ıkladu m´a pˇr´ır˚ ustek cca 62% a ust´al´ı se na sloˇzen´ı cca 52 : 32 : 10. Tedy nejmladˇs´ıch bude (cca) 55, 32%, stˇredn´ıho vˇeku 34, 04% a senior˚ u 10, 64%. (Jak se pˇrepoˇc´ıtal pomˇer na procenta?)
c Petr Hasil (MENDELU)
Vektory a matice
Matematika MT
54 / 57
Wolfram|Alpha
Souˇ cet vektor˚ u. ~ (1,3,2) + (-2,4,5) N´ asoben´ı vektoru konstantou. ~ -2 (-1,0,2) Line´ arn´ı kombinace vektor˚ u. ~ 4 (-1,0,2) -3 (5,4,-6) Skal´ arn´ı souˇ cin. ~ (-1,0,2).(5,4,-6) Line´ arn´ı (ne)z´ avislost. ~ linear independence (-1,0,2),(5,4,-6),(1,2,3),(0,2,5)
c Petr Hasil (MENDELU)
Vektory a matice
Matematika MT
56 / 57
Wolfram|Alpha
Souˇ cet matic. ~ {(-1,0,2),(5,4,-6),(1,2,3)} + {(2,1,0),(6,-3,4),(2,2,5)} N´ asoben´ı matice konstantou. ~ 3 {(5,-3,0),(2,1,-3),(4,0,3)} Line´ arn´ı kombinace matic. ~ -2 {(3,3,2),(-2,1,6),(1,5,3)} +5 {(2,2,-2),(3,-6,1),(0,2,7)} Souˇ cin matic. ~ {(-1,1,0,2),(5,4,-4,-6),(3,5,2,-3)}.{(0,1),(3,-3),(2,-1),(5,0)} Hodnost matice. ~ rank{(5,-4,8),(3,-3,4),(3,-3,4),(2,-1,4)} Transponovan´ a matice. ~ transpose{(4,2,-1),(3,9,5),(2,-1,1),(1,6,-2)} Inverzn´ı matice. ~ inverse{(2,-1,3),(0,-3,2),(2,-1,5)}
c Petr Hasil (MENDELU)
Vektory a matice
Matematika MT
57 / 57
