Vedení kluzná - příklady

Západočeská univerzita v Plzni, Fakulta strojní Katedra konstruování strojů

Podklady pro: KKS/ KOS str. 0/33

Katedra konstruování strojů Fakulta strojní

KKS/ KVS, KOS

Vedení kluzná - příklady

Zdeněk Hudec

verze - 1.0 Tento projekt je spolufinancován Evropským sociálním fondem a státním rozpočtem České republiky


Podklady pro: KKS/ KOS

Hledáte kvalitní studium? Nabízíme vám jej na Katedře konstruování strojů Katedra konstruování strojů je jednou ze šesti kateder Fakulty strojní na Západočeské univerzitě v Plzni a patří na fakultě k největším. Fakulta strojní je moderní otevřenou vzdělávací institucí uznávanou i v oblasti vědy a výzkumu uplatňovaného v praxi. Katedra konstruování strojů disponuje moderně vybavenými laboratořemi s počítačovou technikou, na které jsou např. studentům pro studijní účely neomezeně k dispozici nové verze předních CAD (Pro/Engineer, Catia, NX ) a CAE (MSC Marc, Ansys) systémů. Laboratoře katedry jsou ve všední dny studentům plně k dispozici např. pro práci na semestrálních, bakalářských či diplomových pracích, i na dalších projektech v rámci univerzity apod. Kvalita výuky na katedře je úzce propojena s celouniverzitním systémem hodnocení kvality výuky, na kterém se průběžně, zejména po absolvování jednotlivých semestrů, podílejí všichni studenti. V současné době probíhá na katedře konstruování strojů významná komplexní inovace výuky, v rámci které mj. vznikají i nové kvalitní učební materiály, které budou v nadcházejících letech využívány pro podporu výuky. Jeden z výsledků této snahy máte nyní ve svých rukou. V rámci výuky i mimo ni mají studenti možnost zapojit se na katedře také do spolupráce s předními strojírenskými podniky v plzeňském regionu i mimo něj. Řada studentů rovněž vyjíždí na studijní stáže a praxe do zahraničí. Nabídka studia na katedře konstruování strojů: Bakalářské studium (3roky, titul Bc.) Studijní program Zaměření

B2301: strojní inženýrství („zaměřený univerzitně“)

B2341: strojírenství (zaměřený „profesně“)

Stavba výrobních strojů a Design průmyslové techniky zařízení Diagnostika a servis silničních vozidel Dopravní a manipulační Servis zdravotnické techniky technika Magisterské studium (2roky, titul Ing.)

Studijní program

N2301: Strojní inženýrství

Zaměření

Stavba výrobních strojů a zařízení Dopravní a manipulační technika

Více informací naleznete na webech www.kks.zcu.cz a www.fst.zcu.cz

Západočeská univerzita v Plzni, 2012

ISBN 978-80-261-0394-3 © doc. Ing. Zdeněk Hudec, CSc.



Předmluva Předkládaná publikace slouží jako text pro studium předmětů KVS a KOS strojní fakulty. Je zaměřena na konstrukci kluzných vedení obráběcích strojů. Text je členěn na 4 kapitoly: • V první kapitole jsou porovnány provozní vlastnosti kluzného vedení s vedením valivým a hydrostatickým • Druhá kapitola se zabývá účinností a samosvorností vedení • Třetí kapitola se zabývá výpočtem kluzného vedení s hranolovými plochami. Výpočet zahrnuje transformaci sil do souřadnic vedení a stanovení měrných tlaků • Čtvrtá kapitola se zabývá výpočtem kluzného vedení kruhového tvaru. Zahrnuje výpočet měrných tlaků a třecích sil ve vedení.



OBSAH 1 Porovnání provozních vlastností kluzného vedení s vedením hydrostatickým a valivým.................................................................................................................................. 1 2 Účinnost a samosvornost vedení ......................................................................................... 2 3 Výpočet vedení s hranolovými plochami ........................................................................... 4 3.1 Transformace sil do soustavy souřadnic vedení ...................................................... 4 3.2 Zatížení jednotlivých párů vedení ............................................................................ 8 3.3 Měrné tlaky ve vedení zatíženého silou F a momentem M ..................................... 9 3.3.1 Pár vodicích ploch s rozdílnou šířkou b1, b2 ....................................................... 9 3.3.1.1 Zatížení obou ploch vedení b1 a b2 ................................................................ 10 Zatížení M>0, F>0, F<0 ................................................................................................... 10 Zatížení M<0, F>0, F<0 ................................................................................................... 13 Zatížení F=0, M>0, M<0 .................................................................................................. 14 Zatížení F=0, M>0............................................................................................................ 14 Zatížení F=0, M<0............................................................................................................ 14 3.3.1.2 Zatížení jedné z ploch vedení (b1 nebo b2) .................................................... 15 Zatížení F>0, M>0, M<0 .................................................................................................. 15 Zatížení F<0, M>0, M<0 .................................................................................................. 15 3.3.2 Pár vodicích ploch se shodnou šířkou b ............................................................. 16 4 Výpočet vedení kruhového tvaru ..................................................................................... 23 4.1 Měrné tlaky ve vedení ............................................................................................ 24 4.2 Třecí síla ve vedení ................................................................................................ 25 SEZNAMY......................................................................................................................... 2 Seznam příkladů ................................................................................................................. 2 Seznam obrázků ................................................................................................................. 2 Seznam tabulek .................................................................................................................. 2 Seznam použité literatury ................................................................................................... 2 Firemní literatura (katalogy, www.) ................................................................................... 2


1

Podklady pro: KKS/ KOS str.1/28

Porovnání provozních vlastností kluzného vedení s vedením hydrostatickým a valivým Tab. 1 – Provozní vlastnosti materiálů používaných pro kluznou dvojici.

Kratší plocha

litina Biplast, Turcite Permaglide® P1, P2 [ 2]

Bronz Ocel kalená

Delší plocha

ocel, litina litina, ocel kalená ocel kalená litina, ocel kalená ocel kalená

Únosnost plochy (dovolený tlak při pohybu) pD MPa

Max. rychlost v

Součinitel pv

Součinitel tření

m/s

W/mm2

-

10

0,05

0,15

2

0,2

0,04-0,08

60-140 10-60

0,0010,005 0,005-0,05

6

0,05

0,15

20 - 40

0,05

0,15

1,8-2

0,05

Příklady užití

Pinoly, smykadla Saně lože Axiální a radiální ložiska, přímočará vedení Příčné saně soustruhu Čelisti upínací

Tab. 2 – Součinitel tření a únosnost valivého a hydrostatického vedení Statická bezpečnost C S0 = 0 P0

Vedení

Valivé

Hydrostatické

Tanky, předepnutá valivá vedení

3 - 20

Únosnost plochy

Max. Součinitel rychlost tření v

Příklady užití

MPa

m/s

-

8-10

1-5

0,002 – 0,0045

Pinoly, smykadla, saně -lože

3

0,0005 – 0,001

Pinoly, smykadla, saně -lože

2 - 10


2


Účinnost a samosvornost vedení

Obr. 1 – Účinnost a samosvornost vedení L [m] …………... délka vedení b [m] …………... šířka vedení fv = tgφ ……….... součinitel tření φ ………….….… úhel tření Fs [N] ………..… hnací síla F [N] ……..….… zatěžující síla as …………….… vzdálenost hnací síly od vedení aF …………….… vzdálenost zatížení od vedení ∆s ……...………. vzdálenost sil FVT [N] ……........ třecí síla ve vedení FN [N] ………….. normálná složka reakce vedení η ………………... účinnost vedení a0 ……………..… mez samosvornosti vedení F + 2 FVT − Fs = 0 ………………………….……………….…………. ( 1 ) FVT = FN ∗ f v ………………………………………………….………. ( 2 ) Fs ∗ ∆ s − FVT ∗ 2a F − FN ∗ L = 0 …………....……………….………… ( 3 ) Fs ∗ η = F ……………………………………………….…….………. ( 4 ) L = 2a 0 ∗ tgϕ Z tohoto vztahu následně vyplývá:

Západočeská univerzita v Plzni, Fakulta strojní Katedra konstruování strojů a0 =


L L ……………………………………….......….……. ( 5 ) = 2tgϕ 2 ∗ f v

Z těchto vztahů se poté stanoví účinnost vedení:

L + aF − ∆ s 2 ∗ fv a + aF − ∆ s η= = 0 ……………….……………….. ( 6 ) L a0 + a F + aF 2 ∗ fv Po dosazení aF – ∆s = -as: a − as η= 0 a0 + a F Vedení je samosvorné, pokud η ≤ 0 - tj. pro a s ≥ a 0 . Pozn.: Celková účinnost vedení závisí taktéž na dalších parametrech (klopné momenty), které jsou v předchozích výrazech zanedbány (viz kap. 3).

Př.: 1 – Účinnost vedení upínací čelisti Dáno: Délka vedení Šířka vedení Součinitel tření Vzdálenost hnací síly od zatížení Vzdálenost zatížení od vedení Zatížení Stanovit: mez samosvornosti vedení účinnost vedení hnací sílu

Obr. 2 – Vedení upínací čelisti.

L = 200 mm b = 15 mm fv = 0,2 ∆s= 125 mm aF = 110 mm F = 150 kN

Západočeská univerzita v Plzni, Fakulta strojní Katedra konstruování strojů a0 =


L L = 2tgϕ 2 ∗ f v ……………....…… ( 5 )

Ze vztahu L + aF − ∆ s a + aF − ∆ s 2 ∗ fv = 0 η= …………… ( 6 ) a z Fs ∗ η = F ………… ( 4 ) L a0 + a F + aF 2 ∗ fv a0 = 0,5 m η = 0,795 Fs = 188 kN

3

Výpočet vedení s hranolovými plochami

3.1

Transformace sil do soustavy souřadnic vedení

Obr. 3 – Vedení smýkadla - transformace sil Transformace sil působících na těleso do počátku souřadnic spoje (X, Y, Z) se provádí pro i = 1, 2…n takto: • určením vektoru polohy sil

•

ri = x i

yi

rS = x S

0 z S …………………………………………………….. ( 8 )

z i ……………………………………………………. ( 7 )

určením vektorů sil vnější síly Fi = Fxi

Fyi

hnací síla

Fzi ………………………………….………..……. ( 9 )

Západočeská univerzita v Plzni, Fakulta strojní Katedra konstruování strojů Fs = 0

− ∑ Fyi


0 ………………………………………………… ( 10 )

ηv

Kde ηv je odhad účinnosti vedení.

Tab. 3 – Celková účinnost vedení Účinnost vedení ηv 0,5 0,3

Typ vedení hranolové plochy trojboké plochy

•

Pozn. Rybinovité vedení

určením vektorů momentu v počátku souřadnic spoje (X, Y, Z):

Mi = ri x Fi …………………………………………………….…..….. ( 11 ) MS = rS xFS …………………………………………………..……….. ( 12 ) Výpočet se provádí takto:

Mi = M i x

Miy

M iz …………………………………….....…….….. ( 13 ) yi

zi

Fyi

Fzi

Miy = determinant

zi Fzi

xi ………………………………………..….. ( 15 ) Fxi

Miz = determinant

xi Fxi

yi ………………………………..………….. ( 16 ) Fyi

Mix = determinant

MS = M S x

M Sy

MSx = determinant MSy = determinant MSz = determinant •

……………………..……………….……. ( 14 )

M Sz ………………………………………..……… ( 17 )

0

zS

FS

0

zS

xS

0

0

xS

0

0

FS

……………………………….………….... ( 18 )

……………………………...…………..…. ( 19 )

………………………..………………..…. ( 20 )

stanovením celkových vektorů sil a momentů v počátku souřadnic spoje (X, Y, Z): n

Fc = FS + ∑ Fi……………………………………………………….. ( 21 ) 1 n

Mc = M S + ∑ Mi …………………………………………………….. ( 22 ) 1

Př.: 2 – Transformace sil do souřadné soustavy vedení smykadla Dáno: Počáteční vyložení osy nástroje na okraj vedení Poloha těžiště fréz. zařízení Poloha těžiště vřeteníku

a1 = 245 mm a2 = 700 mm a3 = 60 mm



Tíha vřeteníku Tíha fréz. zařízení Délka vedení Max. zdvih vřeteníku Síly na fréze: • Obvodová • Radiální • Axiální Průměr frézy

FQ1 = 1 600 N FQ2 = 1 000 N L= 450 mm ∆y =-300 mm F = 3 300 N FR =2 600 N FAx =2 000 N D = 125 mm x1= -0,5 D = -62,5 mm z1 =-170 mm zS =-30 mm ηv = 0,5

Souřadnice

Účinnost vedení Obr. 3 – Vedení smýkadla - transformace sil Stanovit: vektor síly a momentu v počátku souřadnic Z Obr. 3 jsou zřejmé souřadnice ve směru Y pro max. výsuv smykadla: počáteční hodnoty L  y 01 = − + a1  2  y 02 = ( y 01 + a 2 ) y 03 = ( y 01 + a 3 )

y 01 = -470 mm y 02 = 230 mm y 03 = -410 mm při max. výsuvu smykadla y i = y 0 i + ∆y

y1 = -770 mm y 2 = -70 mm y 3 = -710 mm Dle ri = xi y i r = xS 0 S

= Fxi Fyi Fi se stanoví:

z i ………………………….………..…………. ( 7 ) z S ……………………………………………… ( 8 ) Fzi

…………………………………………… ( 9 )

Vektor polohy síly r1 a síly F1 dle Obr. 3: Složka x y -62,5 -770 r1 2,64 -3,3 F1 Vektor polohy síly r2 a síly F2 = 0 0 − FQ 1 dle Obr. 3:

z -170 1,98

Mm kN

Západočeská univerzita v Plzni, Fakulta strojní Katedra konstruování strojů Složka r2 F2

x 0 0


y -70 0

z 0 -1,6

Mm kN

z 0 -1

Mm kN

Vektor polohy síly r3 a síly F3 = 0 0 − FQ 2 dle Obr. 3: Složka r3 F3

x 0 0

y -710 0

Vektor polohy síly rS a síly FS = 0 FS 0

− ∑ Fyi

0

ηv

FS =

0 dle Obr. 3 a vztahu:

………………………………….….. ( 10 ):

Složka rS FS

x 0 0

y 0 6,6

z -30 0

Mm kN

Pro i = 1…3 pomocí vztahů: yi zi F Fzi Mix = determinant yi ……………...……………… ( 14 ) zi xi M = determinant Fzi Fxi ……………….…….……….. ( 15 ) iy

Miz = determinant Obdobně: MS = M S x

M Sy

yi

Fxi

F yi

……………….….….……….. ( 16 )

M Sz …………………………………… ( 17 )

MSx = determinant MSy = determinant MSz = determinant se stanoví: Složka M1 M2 M3 MS

xi

0

zS

FS zS

0 xS

0 xS

0 0

0

FS

…………………….…………. ( 18 ) ………………………….……. ( 19 ) ………………………………. ( 20 )

x -2 086 112 710 198

y -325 0 0 0

z 2 239 0 0 0

Dále dle vztahů bude stanoveno: n

Fc = FS + ∑ Fi ………………………………..……… ( 21 ) 1 n

Mc = M S + ∑ Mi ……………………………..……… ( 22 ) 1

Složka

x

y

z

Nm Nm Nm Nm

Západočeská univerzita v Plzni, Fakulta strojní Katedra konstruování strojů 2,64 -1 066

Fc Mc 3.2

3,3 -325

Podklady pro: KKS/ KOS str.8/33 -0,62 2 239

kN Nm

Zatížení jednotlivých párů vedení

Obr. 4 – Vedení s hranolovými plochami Vedení se vyznačuje třemi páry vodicích ploch (A1-A2, B1-B2, C1-C2). Každý pár je zatížen momentem a silou, které se odvodí z vektoru síly a momentu působících v počátku soustavy souřadnic. Soustava souřadnic se umístí do os souměrnosti párů vodicích ploch. Zatížení párů vodicích ploch se stanoví z těchto vztahů: FA =

Fz M y − ………………………………………………….....………. ( 23 ) 2 Lx

FB =

Fz M y + ………………………………………...…………..………. ( 24 ) 2 Lx

Fc = Fx........................................................................................................... ( 25 ) Kde je vzdálenost vedení A – B:

Lx = B −

b1 + b2 ……………………………………….………………….. ( 26 ) 2

MA = MB =

Mx …………………………………….……………..……… ( 27 ) 2

M C = M z ………………………………………………….………………. ( 28 ) Př.: 3 – Zatížení páru vodicích ploch Dáno: Zatížení saní v počátku souřadné soustavy Složky x y 2,64 -3,3 Fc

z -0,62

kN

Západočeská univerzita v Plzni, Fakulta strojní Katedra konstruování strojů -1 066

Mc

-325

Podklady pro: KKS/ KOS str.9/33 2 239

Šířka vedení páru A a B: • spodní vodicí plocha • horní vodicí plocha Šířka vedení páru C: Celková šířka vedení A, B: Délka vedení A, B, C: Obr. 4 – Vedení s hranolovými plochami

Nm

b1 = 33 mm b2 = 22 mm b3 = 75 mm B = 215 mm L = 450 mm

Stanovit: zatížení párů vodicích ploch Ze vztahů FA =

Fz M y − ………………………………………………….....………. ( 23 ), 2 Lx

Fz M y + ………………………………………...…………..………. ( 24 ), 2 Lx M b +b Lx = B − 1 2 MA = MB = x 2 2 …. ( 27 ), Fc = Fx ……………. ( 25 ), ………. ( 26 ), M C = M z ……………….. ( 28 ) se stanoví:

FB =

FA = -2 044 N FB= 1 424 N FC = 2 640 N MA = MB = -533 Nm MC = 2 239 Nm 3.3 Měrné tlaky ve vedení zatíženého silou F a momentem M Maximální hodnota měrného tlaku ve vedení je rozhodující veličinou pro bezporuchovou funkci kluzného vedení – určuje opotřebení a tím dlouhodobou přesnost a bezpečnost proti zadření. Výpočet je založen na těchto předpokladech: • vůle ve vedení jsou nulové • tuhost vedení je podstatně vyšší než tuhost stykových vrstev Postup výpočtu přizpůsoben těmto výstupům (viz Obr. 5, Obr. 6, Obr. 7, Obr. 8): • Na plochách A1, B1, C1 jsou tlaky označeny záporným znaménkem • Na plochách A2, B2, C2 jsou tlaky označeny kladným znaménkem To umožňuje přiřadit tlaky k jednotlivým plochám a stanovit vektor reakce nepohyblivé části vedení (lože) včetně jeho působiště působící na saně. Tato síla pak určuje radiální zatížení částí vedení saní např. vodicích lišt, dále třecí sílu ve vedení. 3.3.1 Pár vodicích ploch s rozdílnou šířkou b1, b2 Rozdělení měrných tlaků na jednotlivé vodicí plochy závisí na vztahu:

µ=

M ………………………………………………………………… ( 29 ) F∗L

Kde je: M ……... klopný moment



F ……… síla L …….... délka vedení

Obr. 5 – Pár vodicích ploch s rozdílnou šířkou

Obr. 6 – Zatížení obou vodicích ploch

Obr. 7 – Zatížení jedné z vodicích ploch 3.3.1.1 Zatížení obou ploch vedení b1 a b2 Podmínkou pro zatížení obou ploch je: M 1 > ……………………………………………………………..…….. ( 30 ) F ∗L 6 M µ= F ∗ L ……. ( 29 ). M > 0, M < 0, F ≥ 0, F < 0 ….definiční obor funkce Zatížení M>0, F>0, F<0 Dle Obr. 6 lze stanovit pro tyto podmínky: • Vzdálenost reakcí od počátku souřadnic



yK =

L y p 3L − 2 y p − = …………………………………………….…….. ( 31 ) 2 3 6

yL =

L L − yp L + 2yp − = ………………………………………………. ( 32 ) 2 3 6

•

Reakce vodicích ploch

FK =

1 p K ∗ b2 ∗ y p ……………………………………………….………. ( 33 ) 2

FL =

1 p L ∗ b1 ∗ (L − y p ) ………………………………….……………….. ( 34 ) 2

•

Podmínky rovnováhy

F − FK + FL = 0 ……………………………………………..…………….. ( 35 ) M = FK ∗ y K + FL ∗ y L ……………………………………….……………. ( 36 ) •

Poměr tlaků na plochách

pL L − y p ……………………………………………………...……….. ( 37 ) = pK yp • Dosazením do F − FK + FL = 0 ………………..…….. ( 35 ) se stanoví: (L − y p )2 b2 b2 2F ( ) y p − pL L − y p = pK y p − pK = pK b1 b1 b1 yp

b 2F 2 2 y p = p K ( 2 y p − (L − y p ) ) ………………………………………….. ( 38 ) b1 b1 Dosazením do M = FK ∗ y K + FL ∗ y L …………………..….. ( 36 ):

(L − y p ) (L + 2 y p ) b b 12 M = p K 2 y p (3L − 2 y p ) + p L (L − y p )(L + 2 y p ) = p K 2 y p (3L − 2 y p ) + p K b1 b1 b1 yp 2

b  12M 2 2 y p = p K  2 y p (3L − 2 y p ) + (L − y p ) (L + 2 y p ) …………………….. ( 39 ) b1  b1 

Do tohoto výrazu se poté dosadí za pK b 2F 2 2 y p = p K ( 2 y p − (L − y p ) ) b b 1 ze vztahu 1 ……………….. ( 38 ) b2 2 2 y p (3L − 2 y p ) + (L − y p ) (L + 2 y p ) b 12 M 2F yp = yp 1 b2 2 b1 b1 2 y P − (L − y p ) b1



b2 2 2 y p (3L − 2 y p ) + (L − y p ) (L + 2 y p ) 6 M b1 …………………………….. ( 40 ) = b2 2 F 2 y P − (L − y p ) b1

Po dosazení

β=

µ=

M F ∗ L …………………………………... ( 29 ) a

b2 …………………………………………………..………………… ( 41 ) b1

6 µ ∗ L ∗ β ∗ y p − 6 µ ∗ L(L − y p ) − β ∗ y p (3L − 2 y p ) − (L − y p ) (L + 2 y p ) = 0 2

2

(

2

2

)

(

6 µ ∗ L ∗ β ∗ y p − 6 µ ∗ L L2 − 2 Ly p + y p − β ∗ y p (3L − 2 y p ) − L2 − 2 Ly p + y p 2

2

2

6µ ∗ L ∗ β ∗ y p − 6µ ∗ L3 + 12µ ∗ L2 ∗ y p − 6µ ∗ L ∗ y p − 3β ∗ L ∗ y p + 2 β ∗ y p 2

2

2

2

)(L + 2 y ) = 0 p

3

− L3 + 2 L2 ∗ y p − L ∗ y p − 2 L2 ∗ y p + 4 L ∗ y p − 2 y p = 0 2

2

3

Úprava rovnice 3. stupně: 3 2(β − 1) y p + + 6 µ ∗ L ∗ β ∗ y p − 6 µ ∗ L ∗ y p − 3β ∗ L ∗ y p + 3 L ∗ y p 2

2

2

2

+ 12µ ∗ L2 ∗ y p + − 6 µ ∗ L3 − L3 = 0 na tvar: 2(β − 1) y p + 3L(β − 1)(2 µ − 1) y p + 12 µ ∗ L2 ∗ y p − L3 (6 µ + 1) = 0 / 3

2

1 L3

při zavedení vztahu:

ξ=

yp L

……………………………………………………….…….…..….. ( 42 )

2(β − 1)ξ 3 + 3(β − 1)(2 µ − 1)ξ 2 + 12µ ∗ ξ − (6µ + 1) = 0 …………..….….…. ( 43 ) Součinitelé rovnice 3. stupně jsou poté: a 0 = 2(β − 1) ………………………………………………………………. ( 44 )

a1 = 3(β − 1)(2µ − 1) …………………………………………..…………… ( 45 ) a 2 = 12µ ……………………………………………………….….………. ( 46 ) a 3 = −(6 µ + 1) …………………………………………………….……….. ( 47 ) Rovnici lze řešit procedurou programu MATHCAD [ 1 ] nebo MATLAB. Maximální měrný tlak v místě K se stanoví ze vztahu b  12M 2 2 y p = p K  2 y p (3L − 2 y p ) + (L − y p ) (L + 2 y p ) b1  b1  …………….. ( 39 ) yp yp 1 …… ( 42 ) ξ = ……….. ( 42 ): , který se upraví násobením 3 a užitím výrazu ξ = L L L


[


]

12 M ξ = p K β ∗ ξ 2 (3 − 2ξ ) + (1 − ξ )2 (1 + 2ξ ) ……………………………… ( 48 ) b1 L2

Z tohoto vyjádření vyplívá měrný tlak v místě K: pK =

12 M ξ …………………………………. ( 49 ) ∗ 2 2 b1 L βξ (3 − 2ξ ) + (1 − ξ )2 (1 + 2ξ )

pL L − y p = pK yp

Měrný tlak v místě L se stanoví ze vztahu ………………….. ( 37 ) při využití yp ξ= L ……. ( 42 ) a se zahrnutím znaménka vzhledem k pK: vztahu

pL = pK

ξ −1 ………………………………………………………………. ( 50 ) ξ

Třecí odpor ve vedení je dán vztahem:

FT = ( FK + FL ) f v ………………………………………………..…….…... ( 51 ) 1 1 p K ∗ b2 ∗ y p FL = p L ∗ b1 ∗ (L − y p ) 2 2 Kde jsou reakce dle …… ( 33 ) a …. ( 34 ) a fv součinitel tření ve vedení. FK =

Zatížení M<0, F>0, F<0 Při změně smyslu zatěžujícího momentu (tj.pro M<0) se provedou tyto úpravy uvedených vztahů: b β = 2 ……………………. (41 ) se zamění za: b1

β=

b1 ………………….…( 52) a použije se pro výpočet ξ a pK dle vztahů: b2

a 0 = 2(β − 1) …………………………………………………. ( 44 ) a1 = 3(β − 1)(2µ − 1) …………………………….…………… ( 45 )

a 2 = 12µ ………………………………………..……………. ( 46 ) a 3 = −(6 µ + 1) ……………………………………………….. ( 47 )

Dále se provede přiřazení veličin: b1 ← b2 pro 12 M ξ ………………….. ( 49 ) pK = ∗ 2 b1 L βξ 2 (3 − 2ξ ) + (1 − ξ )2 (1 + 2ξ ) 12 M ξ pK = ∗ 2 2 b1 L βξ (3 − 2ξ ) + (1 − ξ )2 (1 + 2ξ ) ………………….. ( 49 ) tj.:

pK =

12 M ξ ……………………….………. ( 53 ) ∗ 2 b2 L βξ 2 (3 − 2ξ ) + (1 − ξ )2 (1 + 2ξ )



1 p L ∗ b1 ∗ (L − y p ) 2 ………………………………….….. ( 34 ) tj.: 1 FL = p L ∗ b2 ∗ (L − y p ) ………………………………….…….………… ( 54 ) 2 FL =

b2 ← b1 pro 1 FK = p K ∗ b2 ∗ y p 2 …………………………………………... ( 33 ) tj.: FK =

1 p K ∗ b1 ∗ y p ………………………………………..……………… ( 55 ) 2

Zatížení F=0, M>0, M<0 V případě, že je F = 0 což představuje zatížení pouhým momentem M a při β ≠ 1 se z rovnic b b 2F 2 2 y p = p K ( 2 y p − (L − y p ) ) β= 2 b1 b1 b1 …… ( 41 ) a ……….. ( 38 ),

ξ=

yp L ……………………………………………..………….. ( 42 ) odvodí:

1 − ξ  β =    ξ 

2

Pro libovolné β se pak stanoví: 1 ξ= ………………………………………………………….…….. ( 56 ) 1+ β

Zatížení F=0, M>0 pK =

ξ 12 M ∗ 2 2 b1 L βξ (3 − 2ξ ) + (1 − ξ )2 (1 + 2ξ )

Měrné tlaky v místech K a L jsou dány vztahy: …… ( 49 ) ξ −1 pL = pK ξ …. ( 50 ) Reakce ve vedeních a třecí odpor: 1 FK = p K ∗ b2 ∗ y p 2 ………………………………….……………. ( 33 ) 1 FL = p L ∗ b1 ∗ (L − y p ) 2 ………………………………………….. ( 34 )

FT = ( FK + FL ) f v

…………………………………………...…… ( 51 )

Zatížení F=0, M<0 Měrný tlak v místě K je dán vztahem: 12 M ξ ……………………… ( 53 ) pK = ∗ 2 2 b2 L βξ (3 − 2ξ ) + (1 − ξ )2 (1 + 2ξ ) Reakce ve vedeních:



1 p L ∗ b2 ∗ (L − y p ) 2 ………………………………..………… ( 54 ) 1 FK = p K ∗ b1 ∗ y p 2 ………………………………………………… ( 55 )

FL =

3.3.1.2 Zatížení jedné z ploch vedení (b1 nebo b2) Podmínkou pro zatížení jedné z ploch je: M 1 ≤ ……………………………………………………………….…. ( 57 ) F ∗L 6 M > 0, M < 0, F > 0, F < 0 ……..definiční obor funkce

µ=

M F ∗ L ….. ( 29 )

Zatížení F>0, M>0, M<0 Měrné tlaky v místech K a L jsou dány vztahy: pK =

F 6M ………………………………………………………. ( 58 ) + 2 L ∗ b2 L ∗ b2

pL =

F 6M ………………………………………………….……. ( 59 ) − 2 L ∗ b2 L ∗ b2

Výsledná reakce tlakového zatížení plochy je pak dána vztahem: FKL = F ………………………………………………………….……..…… ( 60 ) Vzdálenost reakce od počátku souřadnic:

y KL =

MC ……………………………………………………………….…. ( 61 ) FC

Třecí odpor ve vedení je dán vztahem: FT = FKL ∗ f v ……………………………………….……………...……….. ( 62 )

Zatížení F<0, M>0, M<0 Měrné tlaky v místech K a L jsou dány vztahy: pK =

F 6M …………………………………………………….…. ( 63 ) + 2 L ∗ b1 L ∗ b1

pL =

F 6M ……………………………………………………..…. ( 64 ) − 2 L ∗ b1 L ∗ b1



Obr. 8 – Pár vedení s rozdílnými šířkami b1, b2 3.3.2 Pár vodicích ploch se shodnou šířkou b Pro shodné šířky vedení tj. β = 1 se rovnice 2(β − 1)ξ 3 + 3(β − 1)(2 µ − 1)ξ 2 + 12µ ∗ ξ − (6µ + 1) = 0 …………..….….…. ( 43 ) 2(β − 1)ξ 3 2(β − 1)ξ 3 + 12µ ∗ ξ − (6µ + 1) = 0 …….. ( 43 ) změní na tvar: 12 µξ − 6 µ − 1 = 0 tj.: 1 1 …………………………………………………….…….…… ( 65 ) ξ= + 2 12µ 12 M ξ pK = ∗ 2 2 b1 L βξ (3 − 2ξ ) + (1 − ξ )2 (1 + 2ξ ) ….. ( 49 ) a Měrné tlaky se stanoví dosazením do

pL = pK

ξ −1 ξ …………. ( 50 ) při zavedení vztahu b ← b se odvodí: 1

pK =

F 6M ………………………………………………..………. ( 66 ) + 2 L ∗b L ∗b

pL =

F 6M ……………………………………………..…………. ( 67 ) − 2 L ∗b L ∗b

Vodicí plochy C1, C2 jsou zatěžovány vektory síly FC, MC. Tato dvojice je orientována zrcadlově k soustavě FA, MA. Proto je nutné při výpočtu tlaků na těchto plochách předchozí výrazy upravit touto záměnou znamének:



p KC =

FC 6M − 2 C ………………………………………………………. ( 68 ) L ∗b L ∗b

p LC =

FC 6M + 2 C …………………………………………….………… ( 69 ) L ∗b L ∗b

• Zatížení obou ploch je dáno podmínkou: M 1 > F ∗ L 6 ………… ( 30 ) Pro tento stav se stanoví veličina yp (Obr. 8) ze vztahu: yp ξ= L …………………………………………….……….. ( 42 ) nebo jednoduše z pL L − y p = pK yp ………………………………………...…….. ( 37 ) a po úpravě:

yp = L

pK pK + pL

……………………………………………………..…… ( 70 )

Reakce vedení: 1 FK = p K ∗ b2 ∗ y p 2 ………………………………..………. ( 33 ) 1 FL = p L ∗ b1 ∗ (L − y p ) 2 …………………………….…….. ( 34 ) Vzdálenost reakcí od počátku souřadnic dle L y p 3L − 2 y p L L − yp L + 2yp yK = − = yL = − = 2 3 6 2 3 6 ….. ( 31 ), ….. ( 32 ) Třecí odpor ve vedení: FT = ( FK + FL ) f v …………………………………………. ( 51 ) • Zatížení jedné plochy je dáno podmínkou: M 1 ≤ F ∗ L 6 …………………………………………………. ( 57 ) Reakce vedení dle FKL = F ………………………………………………….… ( 60 ) Poloha reakce se stanoví se změnou znaménka ve výrazu M y KL = C FC …………………………………………………... ( 61 )tj.:

y KLC = −

MC ………………………………………………………………. ( 71 ) FC

Třecí odpor ve vedení: FT = FKL ∗ f v ……………………………………………… ( 62 )



Př.: 4 – Měrné tlaky na vedení čelistí při upínání obrobku a při procesu obrábění Dáno: Délka čelisti Šířka čelisti Šířka vedení páru A a B: • spodní vodicí plocha • horní vodicí plocha Šířka vedení páru C:

L = 200 mm B = 100 mm b1 = 33 mm b2 = 22 mm b3 = 20 mm

Poloha působící síly F1: • Ve směru X • Ve směru Y • Ve směru Z

x1 = 0 y1=-50 mm z1=110 mm Proces

Absolutní hodnoty složek působící síly F1: • Ve směru X • Ve směru Y • Ve směru Z

FT = 0 FR = 100 kN FAx = 0

Poloha hnací síly FS: • Ve směru X • Ve směru Y • Ve směru Z

Obrábění FT = 50 kN FR = 162 kN FAx = 50 kN

xS = 0 yS =0 zS =-15 mm Proces

Účinnost vedení Dovolený tlak pro „ocel kalená – ocel kalená“ Součinitel tření ve vedení Obr. 9 – Vedení čelisti

Upínání

Upínání ηv =0,8 pD1 = 40 MPa fv = 0,15

Obrábění ηv =1 pD2 = 100 MPa

Stanovit: Max. měrný tlak, reakce ve vedení a třecí odpor při procesu upínání Max. měrný tlak při procesu obrábění ve vedení A1, A2, B1, B2, C1, C2, reakce ve vedení C1, C2



Obr. 9 – Vedení čelisti

Transformace sil do soustavy souřadnic vedení Vektor polohy síly r1 a síly F1 dle Obr. 9: Složka x 0 r1 0 Upínání F1 -50 Obrábění F1 Vektor polohy rS a hnací síly FS = 0 FS 0

Fs =

− ∑ Fyi

ηv

y -50 -100 -162

z 110 0 -50

mm kN kN

z -15 0 0

mm kN kN

0 dle Obr. 9 a vztahu

0

…… ( 10 )

Složka rS Upínání FS Obrábění FS

x 0 0 0

y 0 125 162

Pro i = 1 se stanoví: Mix = determinant

yi

zi

F yi

Fzi

zi

xi

Miy = determinant Fzi xi

……………………………...………….( 14 )

Fxi ………………………………...……….( 15 ) yi

F F yi Miz = determinant xi …………………………...…………….( 16 ) Obdobně: = M S x M Sy M Sz …………………………………....………..( 17 ) MS

Západočeská univerzita v Plzni, Fakulta strojní Katedra konstruování strojů 0 MSx = determinant FS zS M = determinant 0 Sy

xS

MSz = determinant 0


zS 0 ………………………………………….( 18 ) xS 0 ………………………………………….( 19 ) 0 FS …………………………………….….( 20 )

Dále se stanoví: n

= FS + ∑

Fc

Fi……………………………………………….……..( 21 )

1 n

= MS + ∑ 1 Mi ………………………………………….………..( 22 ) Mc Výsledkem je zatížení vedení v systému souřadnic:

Složka Upínání Obrábění Složka Upínání Obrábění

M1 MS M1 MS Fc Mc Fc Mc

x 11 000 1 875 20 320 2430 x 0 12 875 -50 22 750

y 0 0 -5 500 0 y 25 0 0 -5 500

z 0 0 -2 500 0 z 0 0 -50 -2 500

Nm Nm Nm Nm kN Nm kN Nm

Zatížení jednotlivých párů vedení FA =

Ze vztahů

Fz M y + 2 Lx ……. ( 23 ),

Fc = Fx.............. ( 25 ),

Fz M y − 2 L x ……. ( 24 ), M b +b Lx = B − 1 2 MA = MB = x 2 2 , , …... ( 26 ) ….. ( 27 ) FB =

M C = M z ..…. ( 28 ) vyplývá:

FA FB FC MA = MB MC

Upínání 0 0 0 6 438 0

Obrábění -100 862 50 862 -50 000 11 375 -2 500

Měrné tlaky, reakce ve vedení a třecí odpor při upínání FA = FB = 0 tj.: b β= 2 b1 ………………………………………………….. ( 41 ) β = 0,667

N N N Nm Nm


ξ=


1 1 + β ………………………………….…………… ( 56 ) ξ = 0,551

MA = MB >0 tj.: 12 M ξ ∗ pK = 2 2 b1 L βξ (3 − 2ξ ) + (1 − ξ )2 (1 + 2ξ ) …………….. ( 49 ) pL = pK

ξ −1 ξ ……………………………………………. ( 50 )

pK = 60 MPa

pL = -49 MPa Pozn.: Měrné tlaky překračují dovolenou hodnotu pD1 = 40 MPa yp 1 ξ= FK = p K ∗ b2 ∗ y p L …… ( 42 ), 2 Ze vztahů ……..... ( 33 ), FL =

1 p L ∗ b1 ∗ (L − y p ) 2 …………………………………. ( 34 ),

FQ = 72,4 kN

FR = -72,4 kN


…………………………….………… ( 51 ) se stanoví pro vedení A i B: FT = 21,7 kN Pro obě vedení je poté třecí odpor dán vztahem: FT . A. B = 2 FT FT.A.B = 43,4 kN Skutečná účinnost vedení se pak stanoví pomocí vztahu: FR η v . A. B = FR + FT . A.B

ηv. A. B = 0,7

Měrné tlaky při procesu obrábění • vedení A M F ∗ L ………………………………………... ( 29 ) se dosadí: Do vztahu M = M A , F = FA µ A = 0,56

µ=

M 1 > Vzhledem k tomu, že F ∗ L 6 ……………………..…….. ( 30 ) a MA >0: b β= 2 b1 …………………………………………………….. ( 41 )

β = 0,667



Součinitelé rovnice 3. stupně: a 0 = 2(β − 1) ……………………………………………...…. ( 44 )

a1 = 3(β − 1)(2µ − 1) ………………………………………… ( 45 ) a 2 = 12µ ……………………………………………………. ( 46 ) a1 = 3(β − 1)(2µ − 1) ………………………………..……….. ( 47 )

a 0 = -0,667

a1 = 2,128 a 2 = -6,767 a3 = 2,383

3 2 Z rovnice 2(β − 1)ξ + 3(β − 1)(2 µ − 1)ξ + 12µ ∗ ξ − (6µ + 1) = 0 …… ( 43 ) se pak stanoví:

ξ = 0,395 pK =

Měrný tlak v místě K a L ze vztahů ξ −1 pL = pK ………. ( 50 ):

12 M ξ ∗ 2 2 b1 L βξ (3 − 2ξ ) + (1 − ξ )2 (1 + 2ξ ) …… ( 49 ),

ξ

p K 2 = 46 MPa

p L1 = -70,6 MPa Pozn.: Indexy 1 a 2 určují plochu A1, A2 dle znaménka.

• vedení B Obdobně jako v předcházejícím případě se stanoví:

µ B = 1,118 β = 0,667 Součinitelé rovnice 3. stupně: a 0 = 0,667

a1 = 1,236 a 2 = -13,419 a3 = 7,709 Řešení rovnice:

ξ = 0,622

Měrný tlak v místě K a L:

p K 2 = 125 MPa p L1 = -75,7MPa Pozn.: Měrné tlaky překračují dovolenou hodnotu pD2 = 100 MPa

• vedení C Jedná se o vedení se stejnou šířkou b3 – použijí se vztah

µ=

M F ∗ L …………. ( 29 )

µ C = 0,25



Měrné tlaky dosazením b = b3 do vztahů F 6M F 6M p KC = C − 2 C p LC = C + 2 C L ∗ b L ∗ b ………. ( 68 ), L ∗ b L ∗ b ……… ( 69 ) p L C1 = -31 MPa p L C 2 = 6,2 MPa Pro µ C >

pK 1 je y p = L ………………………………….. ( 70 ): 6 pK + pL y p = 33 mm

1 p K ∗ b2 ∗ y p …………………...… ( 33 ), 2 L y p 3L − 2 y p 1 yK = − = FL = p L ∗ b1 ∗ (L − y p ) 2 2 3 6 ……. ( 34 ), ….. ( 31 ), L L − yp L + 2yp yL = − = 2 3 6 ……………………………….. ( 32 ) normálné reakce ve

Dále se stanoví ze vztahů FK =

vedení a jejich souřadnice od počátku souřadnic:

FK = 2 100 N y K = 89 mm FL = 52 000 N y L = 44 mm

4

Výpočet vedení kruhového tvaru

Obr. 10 - Kluzné vedení kruhové

Západočeská univerzita v Plzni, Fakulta strojní Katedra konstruování strojů 4.1


Měrné tlaky ve vedení L [m] ……....….. délka vedení D [m] ………….. průměr vedení a1 [m] ………….. počáteční vyložení síly F1 od okraje vedení a2 [m] ………..… vyložení síly F2 (tíhy pinoly) od působiště síly F1 ∆y [m] ……….… výsuv pinoly F1 [N] ………..… síla F1 (polovina tíhy obrobku) F2 [N] ………..… síla F2 (tíha pinoly)

Počáteční vyložení síly F1 od počátku soustavy souřadnic (X, Y): y 01 = a1 +

L ………………………………………………..……………… ( 72 ) 2

Vyložení síly F1: y1 = y 01 + ∆y …………………………………………….………………… ( 73 ) Vyložení síly F2: y 2 = − a 2 + y 01 + ∆y …………………………….……………….………… ( 74 ) Efektivní šířka vedení: be =

π 4

D ………………………………………………………….………… ( 75 )

Celková síla v počátku souřadnic: F = F1 + F2 …………………………………………………………...…… ( 76 )

Moment kolem osy Z

M = F1 ∗ y1 + F2 ∗ y 2 ………………………………………………...……. ( 77 ) Max. tlaky na vodicích plochách v místech K a L: • měrný tlak od síly:

F ………………………………………………………...……… ( 78 ) L ∗ be

pF = •

měrný tlak od momentu se stanoví ze vztahů:

FN =

1 L p M ∗ be ∗ ……………………………………………………...…. ( 79 ) 2 2

M =

2 L ∗ FN ……………………………………………………..………... ( 80 ) 3

po dosazení se stanoví:

pM = •

6M ………………………………………………….………..…. ( 81 ) L2 ∗ be výsledný měrný tlak v místech K a L:

Západočeská univerzita v Plzni, Fakulta strojní Katedra konstruování strojů pK = pF + pM = pL = pF − pM =

F L ∗ be

+

6M L2 ∗ be


………………………………..……..…..( 82 )

F 6M ……………………………………………( 83 ) − 2 L ∗ be L ∗ be

4.2 Třecí síla ve vedení Třecí odpor ve vedení se určí v závislosti na zatížení vodicích ploch: • Zatížení obou ploch je dáno podmínkou: M 1 > F ∗ L 6 …………………………………………..……….. ( 30 ) Veličina yp se stanoví ze vztahu

yp = L

pL L − y p …………..…….. ( 37 ) upraveného na: = pK yp

pK pK + pL

……………………………………………….. ( 70 )

Reakce vedení pro b1 = b2 = be: 1 FK = p K ∗ b2 ∗ y p 2 ……………………………………….…… ( 33 ) 1 FL = p L ∗ b1 ∗ (L − y p ) 2 …………………………………….… ( 34 ) Třecí odpor ve vedení: FT = ( FK + FL ) f v ……………………………………………... ( 51 ) • Zatížení jedné plochy je dáno podmínkou: M 1 ≤ F ∗ L 6 ………………………………………………….…. ( 57 ) Třecí odpor ve vedení: FT = FKL ∗ f v …………………………………………………... ( 62 )

Př.: 5 - Měrné tlaky a třecí síla v kruhovém vedení Dáno: Délka vedení Průměr vedení Počáteční vyložení síly F1 od okraje vedení Vyložení síly F2 (tíhy pinoly) Výsuv pinoly Polovina tíhy obrobku Tíha pinoly Dovolená hodnota měrného tlaku pro materiály vodicích ploch: ocel - litina Součinitel tření ve vedení Stanovit: max. tlaky ve vedení

L = 1 050 mm D = 450 mm a1=195 mm a2 = 880 mm ∆y = 450 mm F1 = 280 kN F2 = 19 kN pD =10 MPa fv = 0,15



třecí sílu L y 01 = a1 + 2 …………………………………………………. ( 72 ): Z y 0 = 0,72m Z y1 = y 01 + ∆y …………………………..……………….. ( 73 )

y1 = 1,17m Z y 2 = − a 2 + y 01 + ∆y ……………………………………. ( 74 ):

Z

be =

π 4

y 2 = 0,29m D

……………………………………………….. ( 75 ): be = 0,353m

Ze vztahů

F = F1 + F2

…. ( 76 ), M = F1 ∗ y1 + F2 ∗ y 2 … ( 77 ) plyne: F = 299kN

M = 333kNm pK = pF + pM =

Ze vztahů pL = pF − pM =

F L ∗ be

+

6M

L2 ∗ be ……………….. ( 82 ),

F 6M − 2 L ∗ be L ∗ be ……………...…………… ( 83 ) poté plyne:

p K = 5,9MPa p L = −4,3MPa pD =10 MPa

Dovolená hodnota měrného tlaku: Dosazením do vztahu

µ=

M F ∗ L …………………………... ( 29 ) se stanoví: µ = 1,06>1/6

M 1 > Dle F ∗ L 6 ………….. ( 30 ) platí vztahy pro reakce a třecí odpor vedení. 1 FK = p K ∗ b2 ∗ y p 2 ……………………………………..…. ( 33 ) 1 FL = p L ∗ b1 ∗ (L − y p ) 2 …………………………………... ( 34 )


………………………………………… ( 51 ) yp = 0,607 m FK =637 kN FL =338 kN FT = 146 kN



SEZNAMY Seznam příkladů Př.: 1 – Účinnost vedení upínací čelisti ...................................................................................... 3 Př.: 2 – Transformace sil do souřadné soustavy vedení smykadla ............................................. 5 Př.: 3 – Zatížení páru vodicích ploch ......................................................................................... 8 Př.: 4 – Měrné tlaky na vedení čelistí při upínání obrobku a při procesu obrábění ................. 18 Př.: 5 - Měrné tlaky a třecí síla v kruhovém vedení ................................................................. 25 Seznam obrázků Obr. 1 – Účinnost a samosvornost vedení. ................................................................................. 2 Obr. 2 – Vedení upínací čelisti. .................................................................................................. 3 Obr. 3 – Vedení smýkadla - transformace sil. ............................................................................ 4 Obr. 4 – Vedení s hranolovými plochami. ................................................................................. 8 Obr. 5 – Pár vodicích ploch s rozdílnou šířkou. ....................................................................... 10 Obr. 6 – Zatížení obou vodicích ploch. .................................................................................... 10 Obr. 7 – Zatížení jedné z vodicích ploch. ................................................................................ 10 Obr. 8 – Pár vedení s rozdílnými šířkami b1, b2. ...................................................................... 16 Obr. 9 – Vedení čelisti.............................................................................................................. 19 Obr. 10 - Kluzné vedení kruhové. ............................................................................................ 23 Seznam tabulek Tab. 1 – Provozní vlastnosti materiálů používaných pro kluznou dvojici. ................................ 1 Tab. 2 – Součinitel tření a únosnost valivého a hydrostatického vedení ................................... 1 Tab. 3 – Celková účinnost vedení .............................................................................................. 5 Seznam použité literatury Firemní literatura (katalogy, www.) [ 1] http://www.dtn.mathsoft.cz/ [ 2] PERMAGLIDE. [cit.2013-08-12]. Dostupné z: www.permaglide.de/

KKS/KVS,KOS VEDENÍ KLUZNÁ - PŘÍKLADY doc. Ing. Zdeněk Hudec, CSc. Vydavatel:

Západočeská univerzita v Plzni, Vydavatelství Univerzitní 8, 306 14 Plzeň tel.: 377 631 951 e-mail: [email protected]

Katedra: Vedoucí katedry: Určeno: Vyšlo: Počet stran: Nositelé autorských práv:

konstruování strojů doc. Ing. Václava Lašová, CSc. pro studenty FST červen 2013 33

Vydání:

doc. Ing. Zdeněk Hudec, CSc. Západočeská univerzita v Plzni 1. vydání, on-line

Tato publikace neprošla redakční ani jazykovou úpravou.



doc. Ing. Zdeněk Hudec, CSc.

Tento projekt je spolufinancován Evropským sociálním fondem a státním rozpočtem České republiky v rámci projektu č. CZ.1.07/2.2.00/07.0235 „Inovace výuky v oboru konstruování strojů včetně jeho teoretické, metodické a počítačové podpory“.

Vedení kluzná - příklady

Recommend Documents