Mˇ eˇ rEN´ I MODULU PRUˇ zNOSTI V TAHU ´ ´IKOVA ´ TEREZA ZABOJN
1. Teorie 1.1. Mˇ eˇ ren´ı modulu pruˇ znosti z protaˇ zen´ı dr´ atu. Pokud na dr´at p˚ usob´ı s´ıla ve smˇeru jeho d´elky, dr´ at se prodlouˇz´ı. Je li tato jeho deformace pruˇzn´a (dr´at se po uvolnˇen´ı zpˇet vr´at´ı do p˚ uvodn´ıho stavu, plat´ı pro jeho prodlouˇzen´ı ∆l vztah: 0F (i) ∆l = lSE Kde S je obsah pr˚ uˇrezu dr´ atu E je modul pruˇznosti v tahu F je p˚ usob´ıc´ı s´ıla a l0 je poˇc´ ateˇcn´ı d´elka dr´ atu. Dosad´ıme-li za vztahy pro relativn´ı prodlouˇzen´ı a norm´ alov´e napˇet´ı σ ∆l (ii) ε = l0 (iii) σ = FS Pak ze vztah˚ u (i) (ii) a (iii) plyne pro E: l0 F (iv) E = σε = ∆lS Pˇri mˇeˇren´ı prodlouˇzen´ı dr´ atu zrc´atkovou metodou je dr´at nataˇzen vodorovnˇe, na jednom konci pevnˇe upevnˇen a na druh´em konci veden pˇres kladku se zrc´atkem k poliˇcce, pˇripevnˇen´e na dr´ atu, na kterou je moˇzno pˇrid´avat z´avaˇz´ı, kter´a svou t´ıhou zp˚ usob´ı prodlouˇzen´ı dr´ atu. V zrc´atku se odr´aˇz´ı stupnice, na kterou se d´ıv´ame dalekohledem s ryskou. Ot´ aˇcen´ım kladky se zrc´atko nat´aˇc´ı a jsou v nˇem vidˇet jin´e d´ılky stupnice. Prodlouˇzen´ı ∆l lze spoˇc´ıst z u ´hlu pootoˇcen´ı zrc´atka α a polomˇeru kladky r: (v) ∆l = rα Z d´ılk˚ u, kter´e vid´ıme na rysce dalekohledem pˇres zrc´atko na stupnici u ´hel α vypoˇcteme s pomoc´ı aproximace tan α ≈ α jako 0 (vi) α ≈ n−n 2L kde L je vzd´ alenost stupnice od zrc´atka. 1.2. mˇ eˇ ren´ı modulu pruˇ znosti z pr˚ uhybu tr´ amku. Tr´amek obd´eln´ıkov´eho pr˚ uˇrezu podepˇreme na dvou m´ıstech dvˇema bˇrity a uprostˇred mezi tˇemito bˇrity p˚ usob´ıme na tr´ amek silou F , coˇz sp˚ usob´ı prohnut´ı y. Velikost pr˚ uhybu je pak d´ana vzorcem: F l3 (vii) y = 48EI p Kde Ip je ploˇsn´ y moment setrvaˇcnosti p˚ uˇrezu tr´amku a l je vz´alenost mezi bˇrity. Pro Ip plat´ı vztah: 3 (viii) Ip = ab 12 Kde a je ˇs´ıˇrka b v´ yˇska tr´ amku. E pak z tˇechto vztah˚ u m˚ uˇzeme vyj´adˇrit jako: 1
´ ´IKOVA ´ TEREZA ZABOJN
2
(ix) E =
F l3 4yab3
ˇr ˇen´ı 2. Me 2.1. Mˇ eˇ ren´ı prodlouˇ zen´ı dr´ atu. Pr˚ umˇer dr´atu byl mˇeˇren a nˇekolika m´ıstech mikrometrem. Mˇeˇren´ı je zaznamen´ ano v tabulce 1. d = (0, 506 ± 0, 005)mm Chyba byla vypoˇctena jako smˇerodatn´a odchylka. Tabulka 1. Mˇeˇren´ı pr˚ umˇeru dr´atu d [mm] 0,51 0,50 0,50 0,51 0,51 0,51 0,51 0,50 0,50 D´elka dr´ atu l0 i vzd´ alenost zrc´atko-stupnice L byla zmˇeˇren´a p´asov´ ym mˇeˇridlem l0 = (114, 2 ± 0, 2)cm L = (81, 8 ± 0, 2)cm Polomˇer r kladky, na kter´e je pˇripevnˇeno zrc´atko byl mˇeˇren ˇsuplerou (mˇeˇren´ı je zaznamen´ ano v tabulce2). r = (1, 925 ± 0, 002)cm
Tabulka 2. Mˇeˇren´ı pr˚ umˇeru kladky 2r [cm] 3,850 3,855 3,845 3,850 Na poliˇcku urˇcenou k pˇrid´ av´ an´ı z´avaˇz´ı byla postupnˇe pˇrid´av´ana z´avaˇz´ı o hmotnosti 100g. D´ılky zobrazen´e v zrc´ atku byly zaznamen´any v tabulce 2 pˇri kaˇzd´e hmotnosti pˇri pˇrid´ av´ an´ı z´avaˇz´ı i pˇri jejich odeb´ır´ an´ı, aby byl ovˇeˇren pˇredpoklad o pruˇznosti prodlouˇzen´ı. Jelikoˇz se v´ ysledky pˇri zatˇeˇzov´ an´ı a odtˇeˇzov´an´ı shodovaly v r´amci chyby urˇcen´ı d´ılku zobrazen´eho v zrc´atku, pˇredpoklad o pruˇzn´em prodlouˇzen´ı byl splnˇen. Chybu urˇcen´ı d´ılku zobrazen´eho v zrc´ atku odhaduji na 0,1cm (d´ıky tlouˇst’ce rysky v dalekohledu) hmotnost pˇrid´avan´ ych z´avaˇz´ı povaˇzuji za pˇresnou. Mˇeˇren´ı je zaznamen´ano v tabulce 3. Na namˇeˇren´ a data byla fitov´ana z´avislost f (x) = ax + b. Konstanty a a b byly urˇceny jako: a = 0.290 ± 0.006 b = 0.011 ± 0.005 Vztah mezi m (hmotnost pˇrid´avan´eho z´avaˇz´ı) a ∆l je 4l0 g ∆l = m πd ı zjiˇstˇen´e line´arn´ı regrese: 2 E z toho pomoc´ 4l0 g E = πd2 a z toho E = (1, 921 ± 0, 003)1011 Pa
Mˇ eˇrEN´I MODULU PRUˇ zNOSTI V TAHU
3
Tabulka 3. Mˇeˇren´ı prodlouˇzen´ı dr´atu hmotnost odeˇcten´e d´ılky kg cm 0,0 15,2 0,1 14,9 0,2 14,6 0,3 14,4 0,4 14,1 0,5 13,8 0,6 13,6 0,7 13,4 0,8 13,1 0,9 12,9 1,0 12,6 1,1 12,3 1,2 12,1 1,3 11,8 1,5 11,6
∆l chyba ∆l cm cm 0,000 0,0002 0,004 0,001 0,007 0,001 0,009 0,002 0,013 0,003 0,016 0,003 0,019 0,004 0,021 0,004 0,025 0,005 0,027 0,005 0,031 0,006 0,034 0,007 0,036 0,007 0,040 0,008 0,042 0,008
2.2. Mˇ eˇ ren´ı pr˚ uhybu tr´ amku. Rozmˇery tr´amk˚ u byly mˇeˇreny mikrometrem. Vzd´alenost mezi bˇrity pak p´ asov´ ym mˇeˇridlem. Touto metodou byl zmˇeˇren modul pruˇznosti mosazi a oceli. Rozmˇery mosazn´eho tr´ amku: am = (11, 84 ± 0, 04)mm (ˇs´ıˇrka) bm = (1, 98 ± 0, 01)mm (v´ yˇska) Rozmˇery ocelov´eho tr´ amku: ao = (11, 92 ± 0, 06)mm (ˇs´ıˇrka) bo = (2, 969 ± 0, 004)mm(v´ yˇska) Vzd´alenost mezi bˇrity: L = (41, 3 ± 0, 1)cm
2.2.1. Mosaz. Namˇeˇren´e pr˚ uhyb˚ u mosazn´eho tr´amku jsou zaznamen´any v tabulce 4. Chyba urˇcen´ı pr˚ uhybu byla odhadnuta jako 0,1mm. Fitov´an´ım funkce f(x)=Ax+B dostaneme konstanty: A = 0.01814 ± 0, 00005 B = −0.03 ± 0.01 Mezi pr˚ uhybem y a hmotnost´ı z´ avaˇz´ı m je pˇr´ım´a u ´mˇera. pomoc´ı (ix) a konstant u ´mˇernosti z fitovan´e funkce urˇc´ıme E jako: gl3 E = 4ab 3A Emosazi = (1, 04 ± 0, 03)1011 Pa
4
´ ´IKOVA ´ TEREZA ZABOJN
´ zek 1. Graf z´ Obra avislosti podlouˇzen´ı dr´atu na hmnotnosti zavˇeˇsen´eho z´avaˇz´ı 2.2.2. Ocel. Namˇeˇren´e hodnoty pro ocel jsou v tabulce 5. Hodnoty pˇri zatˇeˇzov´an´ı a odtˇeˇzov´ an´ı se v r´ amci chyby neliˇsily, tud´ıˇz bylo ovˇeˇreno, ˇze deformace nebyla plastick´a. Fitov´ an´ım line´ arn´ı z´ avislosti pr˚ uhybu na hmotnosti z´avaˇz´ı f(x)=A(x)+B dostaneme konstanty: A = 0.00265 ± 0, 00002 B = −0.03 ± 0.01 A z nich obdobnˇe jako u mosazi spoˇcteme Eo celi: Eoceli = (2, 1 ± 0, 2)1011 Pa
Mˇ eˇrEN´I MODULU PRUˇ zNOSTI V TAHU
Tabulka 4. Mˇeˇren´ı pr˚ uhybu mosazn´eho tr´amku hmotnost namˇeˇren´a v´ ychylka g mm 10 0,1 30 0,5 60 1,05 110 2,0 130 2,35 140 2,5 160 2,9 210 3,8 230 4,1 240 4,3 270 4,9 310 5,6 320 5,8 360 6,5 390 7,0 410 7,4 420 7,6 Tabulka 5. Mˇeˇren´ı pr˚ uhybu ocelov´eho tr´amku hmotnost namˇeˇren´a v´ ychylka g mm 0 0,00 100 0,20 200 0,50 300 0,80 400 1,00 500 1,30 600 1,55 700 1,80 800 2,10 900 2,35 1000 2,60 1100 2,90 1200 3,15
5
6
´ ´IKOVA ´ TEREZA ZABOJN
´ zek 2. Graf z´ Obra avislosti pr˚ uhybu mosazn´eho tr´amku na hmnotnosti zavˇeˇsen´eho z´ avaˇz´ı
Mˇ eˇrEN´I MODULU PRUˇ zNOSTI V TAHU
´ zek 3. Graf z´ Obra avislosti pr˚ uhybu ocelov´eho tr´amku na hmnotnosti zavˇeˇsen´eho z´ avaˇz´ı
7
8
´ ´IKOVA ´ TEREZA ZABOJN
3. Diskuse Tabelovan´ a hodnota modulu pruˇznosti dle [1] pro ocel je 2, 1 ∗ 1011 Pa a pro mosaz 11 1, 0 ∗ 10 Pa. Hodnoty, kter´e se mi podaˇrilo namˇeˇrit z pr˚ uhybu tr´amku, se v r´amci chyby shoduj´ı s tabelovan´ ymi hodnotami. U mˇeˇren´ı modulu pruˇznosti oceli z protaˇzen´ı dr´ atu tomu tak nen´ı, coˇz je zp˚ usobeno nejsp´ıˇs t´ım, ˇze je dr´at vyroben z jin´eho druhu oceli. U mˇeˇren´ı prodlouˇzen´ı dr´ atu byla velk´ ym zdrojem chyby neostrost rysky pro odeˇc´ıt´an´ı d´ılk˚ u na stupnici. T´eˇz d´elka dr´ atu l0 a vzd´alenost stupnice od zrc´atka vn´aˇs´ı do mˇeˇren´ı velkou nepˇresnost, nebot’ nen´ı jasnˇe urˇcen´a hranice, odkud kam se d´elka m´a mˇeˇrit(kde je m´ısto na kladce, kde je pˇr´ıtlaˇcn´ a s´ıla dr´atu na kladku nejvˇetˇs´ı). ´ ve ˇr 4. Za Z protaˇzen´ı dr´ atu a pr˚ uhybu tr´amku byly namereny hodnoty modulu pruˇznosti v tahu oceli a mosazi. Modul pruˇznosti v tahu oceli: E = (1, 921 ± 0, 003)1011 Pa (z protaˇzen´ı dr´atu) Eoceli = (2, 1 ± 0, 2)1011 Pa (z pr˚ uhybu tr´amku) Modul pruˇznosti v tahu mosazi: Emosazi = (1, 04 ± 0, 03)1011 Pa 5. Literatura [1] Matematick´e, fyzik´ aln´ı a chemick´e tabulky, J. Mikulˇc´ak a kol., Prometheus, Praha, 2009 [2] Fyzik´ aln´ı praktikum 1: Studijn´ı text k u ´loze IX: http://physics.mff.cuni.cz/vyuka/zfp/txt 109.pdf
