Valós változós komplex függvények. y 0 görbe egyenlete komplex alakban: f x, y 0. Komplex változós komplex függvények y, ahol z x

Valós változós komplex függvények f     , f  t   x  t   iy  t   r  t    cos   t   i sin   t    r  t   ei  t  f   t   x  t   iy  t  ,



f  t  dt  F  t   C ,

b

 f  t  dt   F  t  a

b a

 F b   F  a  .

zz zz  f  x, y   0 görbe egyenlete komplex alakban: f  x  ,y 2 2i 

   0. 

Komplex változós komplex függvények f     , f  z   u  x, y   iv  x, y  , ahol z  x  iy

f ( z )  u  x, y   iv  x, y 

f  z  z   f  z  z  0 z f ( z )  u x  x, y   ivx  x, y 

f ( z )  u  r ,    iv  r ,  

f ( z ) 

Deriválás: f ( z )  lim

f ( z )    x, y   ei  x , y 

e  i  v (r , )  iu (r , )  r f ( z )     y  i  y   ei

Cauchy-Riemann-egyenletek: ux  x, y   vy  x, y  , uy  x, y   vx  x, y 

1 ur  r ,    v  r ,   , u  r ,    rvr  r ,   r  x    y ,  y    x Harmonikus függvények: uxx  uyy  0 , vxx  vyy  0 .

f ( z) 

Néhány elemi függvény u  x, y   iv  x, y 

Df

f ( z )

z 

1

z 

ez

x  iy  r   cos   i sin    r  ei ,

  y  arctg  x    , x  0, y  0      , x  0, y  0  2    y   arc  z    arctg   , x0 x    , x  0, y  0  2    y arctg  x    , x  0, y  0        r  x 2  y 2 ,    ;   , Darctg   ;  2 2 

z



ez   n0

zn  n!

e x   cos y  i sin y 

www.mat-fiz-stat-tanoda.com

lnz 

 ln r  i  ln x 2  y 2  i  x, y  , r  0

z  , z  0

log z 

ln z  ... ln 

z  , z  0,   ,   0,   1

1 z 1 z  ln 

z 

eln z  e ln z  ...

z  , z  0,   

  z 1

z 

eln   e zln   ...

z  , z  0,   ,   0,   1

 z  ln 

sin z 

eiz  e  iz  ish  iz   2i  sin x  chy  i cos x  shy

z 

cos z

eiz  e  iz  ch  iz   2  cos x  chy  i sin x  shy

z 

 sin z



z

 1  z 2 n1  n  0  2n  1 ! n





cos z 

 1  z  2n  ! n 0 



n

2n



tgz 

sin z eiz  e  iz  i iz iz  ith  iz   e e cos z tgx  1  th 2 y  thy  1  tg 2 x   i 1  tg 2 x  th 2 y 1  tg 2 x  th 2 y

ctgz 

cos z eiz  e  iz  i iz iz  icth(iz )  e e sin z ctgx  1  th 2 y  thy  1  ctg 2 x   i 1  ctg 2 x  th 2 y 1  ctg 2 x  th 2 y



1 sin 2 z

1

z 

1 z2 z  1 1 1 z2 1 1 z2

shz  z 2 n 1   n  0  2n  1 !

1 1  iz  ... ln 2i 1  iz 1 iz  1  ln  ... 2i iz  1 e z  e z  i sin  iz   2  shx  cos y  ichx  sin y

chz   z 2n   n  0  2n  ! thz 



z  , z  k , k 

1 cos 2 z



i ln z  z 2  1  ...

arcctgz 

 k ,

1 z2 z  1 1

arc cos z  arctgz 

2 k 

z 

i ln iz  1  z





  ...

arc sin z 

2

z  , z 

z  , z  i z  , z  i

z 

chz

e z  e z  cos  iz   2  chx  cos y  ishx  sin y

z 

shz

shz e z  e  z   itg  iz   chz e z  e  z thx  itgy  1  ithx  tgy

  z  , z  i   k  , 2  z  k ,

1 ch 2 z

www.mat-fiz-stat-tanoda.com

cthz 

chz e z  e  z   ictg  iz   shz e z  e  z cthx  itgy  1  icthx  tgy

arshz 

ln z  z  1  i arcsin  iz   ...

archz 

ln z  z 2  1  i arccos  z   ...



2

z  i  k  , k  

1







1 1 z ln  iarctg  iz   ... 2 1 z 1 z 1 ln  iarcctg  iz   ... 2 z 1

arthz  arcth 

arcsin  iz  

iarsh  z 

cos  iz  

ch  z 

arccos  z  

iarch  z 

tg  iz  

ith  z 

arctg  iz  

iarth  z 

ctg  iz  

icth  z 

arcctg  iz  

iarcth  z 

w z

sin w  z

  2  2    w  n z  n r cos   k   i sin   k  , n  n   n  n k  0,1, 2,3,..., n  1

  w  i  ln  iz  1  z   2 l , l   w  i  ln  z  z  1   2 k , k   w  i  ln  z  z  1   2 l , l   w  ln  z  z  1   i  2 k , k   w  ln  z  z  1  i  2 l , l   w  ln  z  z  1   i  2 k , k   w  ln  z  z  1  i  2 l , l  

w1  i  ln iz  1  z 2  2 k , k   2

1

2

2

2

1

2

2

2

chw  z

1

2

2

tgw  z

z2 1 z  1 1 1 z2 1 1 z2

w  e z  e x iy  e x   cos y  i sin y 

2

shw  z

z 

w  ln z  i  k 2   ln r  i   k 2  , k  

2

cos w  z

1 z2 z  i 1

z  , z  1

ish  z 

n

z 

z  , z  1

sin  iz  

ew  z z0 ln w  z w0

w

1 sh 2 z

1 1  iz  k   , k   , z  i ln 2i 1  iz

www.mat-fiz-stat-tanoda.com

Komplex vonalintegrál: 

 f  z  dz   f  z  t    z  t  dt , vagy 

 f  z  dz    udx  vdy   i   vdx  udy     u  t   x  t   v  t   y  t    i  v  t   x  t   u  t   y  t  dt . Newton-Leibniz-tétel: Ha az f reguláris függvény primitív függvénye a T tartományon F , akkor bármely T -ben haladó a kezdőpontú és b végpontú rektifikálható  görbére:

 f  z  dz F  b   F  a  .

Cauchy-integráltétel: Ha az f függvény reguláris az egyszeresen összefüggő T tartományban, akkor bármely T-ben haladó

 zárt rektifikálható Jordan-görbére vonatkozó integrálja zérus, azaz

 f  z  dz  0 .

Általánosított Cauchy-integráltétel: Ha f reguláris egy  n  1 -szeresen összefüggő T tartományban és annak  külső és

 k , ( k  1, 2,..., n ) belső határgörbéin, akkor egyező körüljárás esetén:



n

f  z  dz    f  z  dz . k 1  k

A Cauchy-integráltétel 1. következménye: Ha az f függvény a többszörösen összefüggő T tartományban reguláris, akkor valamely egyszeresen összefüggő T * részében haladó  zárt rektifikálható Jordan-görbére vonatkozó integrálja zérus.

 f  z  dz  0

A Cauchy-integráltétel 2. következménye, Riemann tétele: Ha az f függvény az egyszeresen összefüggő T tartományban a z0 pont kivételével reguláris, a z0 pont környezetében pedig korlátos, akkor bármely a z0 pontot nem érintő zárt  görbére:

www.mat-fiz-stat-tanoda.com

 f  z  dz  0 .

A Cauchy-integráltétel 3. következménye: Ha az f függvény mindenütt reguláris az egyszeresen összefüggő T tartományban a véges sok z1 , z2 ,..., zn pont kivételével, akkor az izolált szinguláris pontokat körülvevő bármely  zárt rektifikálható Jordan-görbére vonatkozó integrálja egyenlő, feltéve, hogy a görbéket azonos irányban járjuk be.

 f  z  dz   f  z  dz 1

2

Cauchy-integrálformula: Legyen  rektifikálható zárt Jordan-görbe, továbbá f függvény reguláris a  görbén belül és a görbén, f  z 1   ekkor a  görbe belsejének minden z0 pontjára igaz, hogy f  z0   dz . 2 i  z  z0

A Cauchy-integrálformula speciális esete, Gauss-féle középértéktétel: Ha f reguláris a z0 középpontú r sugarú zárt körlapon, akkor a kör középpontjában felvett függvényérték a 2

1 kör kerületén felvett függvényértékek integrálközepe, azaz f  z0     f  z0  r  ei d . 2 0 A Cauchy-integrálformula kiterjesztése többszörösen összefüggő tartományra: Ha az f függvény reguláris a  és a belsejében levő  1 ,  2 ,...,  n rektifikálható zárt Jordan-görbén, valamint az általuk meghatározott  n  1 -szeresen összefüggő T tartományban, akkor tetszőleges z0  T-re: f  z0  

n f  z  1  f  z    dz    dz  . 2 i   z  z0 k 1  k z  z0 

Általánosított Cauchy-integrálformula: Ha az f függvény reguláris az egyszeresen összefüggő T tartományon és határán a  rektifikálható zárt Jordan-görbén, akkor tetszőleges z0 pontban akárhányszor deriválható és n -ed rendű deriváltja az alábbi integrálformulával állítható elő: f  n   z0  

f  z n!   dz . 2 i   z  z0 n 1

www.mat-fiz-stat-tanoda.com

Cauchy-típusú integrálok: 1. Ha f a  görbe belsejében reguláris és a görbén folytonos, z0 a  görbe belsejében van, akkor f  z 1    f  z0  . 2 i  z  z0

2. Ha f a  görbe belsejében reguláris és a görbén folytonos, z0 a  görbén kívül van, akkor f  z 1    0. 2 i  z  z0

3. Ha f a  görbén kívül és a  -ben reguláris, a görbén folytonos, z0 a  görbén kívül van, akkor f  z 1     f  z0   f    . 2 i  z  z0

4. Ha f a  görbén kívül és a  -ben reguláris, a görbén folytonos, z0 a  görbén belül van, akkor f  z 1    f  . 2 i  z  z0

Laurent-sor: f  z 1 n dz , n   , amely két részből áll. f  z    cn   z  z0  , ahol cn    2 i   z  z0 n 1 n  

Laurent-sor reguláris része (Taylor-sor), amely z0 középpontú R sugarú körlapon belül konvergens: f  n   z0  n   z  z0  , n! n 0 n 0 Laurent-sor főrésze, amely z0 középpontú r sugarú körlapon kívül konvergens: 1 n 1 f  z    z  z0  dz   1  2 i n  cn   z  z0    .  n n  n 1  z  z0  



 cn   z  z0    n

A két sor összege a két kör által meghatározott körgyűrű belsejében konvergens.

www.mat-fiz-stat-tanoda.com

Izolált szinguláris helyek csoportosítása Megszüntethető szingularitása van a függvénynek a z0 pontban, ha a lim f  z  határérték véges és



z  z0

lim f  z   f  z0  . Ez pontosan akkor következik be, ha a z0 körüli Laurent-sorának nincs főrésze.

z  z0



Pólusa van a függvénynek a z0 pontban, ha a lim f  z    . Ez pontosa akkor következik be, ha a z0 z  z0

körüli Laurent-sorának főrésze véges számú tagot tartalmaz. Ha ebben a Laurent-sorban  z  z0 

1

legmagasabb hatványa a k -adik, akkor a függvénynek ott k -ad rendű pólusa van. Ez pontosan akkor g  z következik be, ha f  z  előállítható alakban, ahol g  z  a z0 pontban reguláris és g  z0   0 . k  z  z0  lim  z  z0   f  z   g  z0   0 k

z  z0



Lényeges szingularitás van a függvénynek a z0 pontban, ha a lim f  z  nem létezik. Ez pontosan akkor z  z0

következik be, ha a z0 körüli Laurent-sorának főrésze végtelen sok tagot tartalmaz. 1 Az f  z  függvény a végtelenben úgy viselkedik, mint az   z  : f   függvény az origóban. z f  z  a végtelenben reguláris, ha   z  -nek az origóban megszüntethető szingularitása van.





c

f  z  végtelen körüli Laurent-sora:   z  

n  0

konvergens, reguláris része:



n 

n



 1 1  c n  z n , amely a 0  z  körgyűrűben  n R z n 

cn   z  z0  , főrésze: n



c  z  z  n

n 1

0

n

. Ha a végtelen megszüntethető

szingularitás, akkor a végtelen körüli Laurent-sornak nincs főrésze, ha pólus, akkor a reguláris rész véges sok tagot tartalmaz, ha lényeges szingularitás, akkor a főrész végtelen sok tagot tartalmaz.



Reziduum számítási módszerek 1 Re s  f , z0    Re s  f ,    c1  f  z  dz . 2 i 

Ha az f a z0 pontban reguláris, vagy megszüntethető szingularitása van, akkor Re s  f , z0   0 .

 

Ha f -nek z0 -ban elsőrendű pólusa van, akkor f előáll két reguláris függvény hányadosaként: f  z 



h  z0  h z . , ahol h  z0   0 , g  z0   0 , g   z0   0 , ekkor Re s  f , z0   g   z0  g z

Ha f -nek z0 -ban -ad rendű pólusa van, akkor Re s  f , z0  

 k 1 1 k .  lim  z  z0   f  z     k  1! z  z0 

Reziduum-tétel: Ha f reguláris a  zárt görbén és annak belsejében, kivéve a görbe belsejében lévő véges sok z1 , z2 ,..., zn szinguláris pontot, akkor



n

f  z  dz  2 i   Re s  f , zk   2 i  Re s  f ,   . k 1

www.mat-fiz-stat-tanoda.com

Legyen f olyan függvény, amelynek legfeljebb pólusszingularitásai lehetnek a T tartományban,  olyan rektifikálható zárt Jordan-görbe, amely belsejével együtt a T-ben van, és amelyik f egyetlen zérushelyén, illetve pólusán sem halad keresztül. Jelölje Z és P a görbe belsejében levő zérushelyek és pólusok számát, mindegyiket annyiszor számolva, ahányszoros a zérushely, illetve ahányadrendű a pólus. Ekkor f  z 1 dz  Z  P .   2 i  f  z  Ha F reguláris a T tartományban, továbbá z j , pk az f függvény zérushelyei és pólusai mindegyik 1 2 i 

multiplicitással számolva, akkor Z P f  z F z dz   F  z j   F  pk  . f z j 1 k 1

Laurent-sor és Fourier-sor kapcsolata: Legyen f reguláris a 1    z  1   ,   0 körgyűrűben, f Laurent-sora az egységkörvonalon megegyezik az f  eit  : g  t  valós változós komplex függvény Fourier sorával. Alkalmazzuk a következő helyettesítéseket! 1 1 zn  n zn  n int int  int  int e e z , cos nt  e  e  z , n   z  eit , sin nt   2i 2i 2 2 2

Az I 

 R  sin x, cos x dx típusú integrálok kiszámíthatók z

komplex változóra történő áttéréssel,

0

 : origó középpontú egységsugarú körön való integrálással. Alkalmazzuk a következő helyettesítéseket! eix  e  ix z 2  1 eix  e  ix z 2  1 1  , cos x   , dx  dz . z  e , sin x  2i 2iz 2 2z iz ix

Jordan-lemma: Ha az f komplex függvény véges sok szinguláris pontot kivéve reguláris az Im z  0 félsíkon, és z   esetben egyenletesen tart zérushoz, akkor tetszőleges a  0 -ra: lim  f  z  eiaz dz  0 , ahol  : a z  R , R 





Im z  0 félkörív. A lemmát

 f  x  e

iax

dx típusú integrálok kiszámítására használhatjuk.



www.mat-fiz-stat-tanoda.com







 f  z  dz  

i ,Im vi  0





f  x  dx típusú valós improprius integrálok kiszámítása: lim  f  z  dz  lim  f  z  dz  2    i 

 i 0

R 

i





j ,Im z j  0





f  x  dx  lim

Re s  f , z j  

R 



i ,Im vi  0

R

 f  x  dx 

R

lim  f  z  dz  lim  f  z  dz

 i 0

i

R 



Ha f  z  racionális törtfüggvény, melyben a nevező legalább 2-vel magasabb fokú mint a számláló, akkor úgy viselkedik a végtelenben, mint

const. , a  0 , ezért a félkörívre vonatkozó integrál eltűnik. z 2 a

P  x 0 Q  x  dx típusú valós improprius integrálok kiszámítása,



ahol

P  x racionális törtfüggvény és a nevező fokszáma legalább kettővel több a számlálóénál: Q  x

 P  x P z  dx Re s ln z        , ha a függvénynek a pozitív valós féltengelyen és a nullában nincs   0 Q  x   Q  z   



pólusa. Az összegezés az ln   z  

P z függvény összes szinguláris pontjára kiterjesztendő. Q z

www.mat-fiz-stat-tanoda.com