V.7. NÉPSZÁMLÁLÁS. A feladatsor jellemzői

Oktatáskutató és Fejlesztő Intézet Matematika fejlesztő feladatok szakközépiskolások számára

V.7. NÉPSZÁMLÁLÁS A feladatsor jellemzői Tárgy, téma Exponenciális egyenletek felírása és megoldása szöveges feladatok alapján. Szöveges feladatok alapján modellt alkotunk, amely alkalmas exponenciálisan növekvő, illetve csökkenő jelenségek leírására. A modell által adott képletek és egyenletek segítségével számításokat végzünk, melyekhez felhasználjuk eszközként a logaritmus definícióját és az új alapra történő áttérési szabályt. Előzmények Százalékszámítás, hatványok, egyenletrendezés, logaritmus fogalma, áttérés más alapú logaritmusra, kerekítés szabályai. Módszeres próbálgatással történő megoldási mód ismerete. Cél A matematikai szövegértés és a modellalkotás fejlesztése, exponenciális egyenletek megoldása logaritmus segítségével. A hatványkitevő – a negatív és a törtkitevőt is beleértve – és a valós életbeli folyamatok időbeli lefolyása kapcsolatának megismerése. A feladatsor által fejleszthető kompetenciák Tájékozódás a térben Tájékozódás az időben Tájékozódás a világ mennyiségi viszonyaiban Tapasztalatszerzés Képzelet Emlékezés Gondolkodás Ismeretek rendszerezése Ismerethordozók használata

+ + + + + + + +

Ismeretek alkalmazása Problémakezelés és -megoldás Alkotás és kreativitás Kommunikáció Együttműködés Motiváltság Önismeret, önértékelés A matematika épülésének elvei

+ + + + + +

Felhasználási útmutató A feladatsort elsősorban órai munkára ajánljuk. Használjunk logaritmus számítására alkalmas számológépet; lehetőség szerint számítógépet, valamint MS Excelt vagy egyéb táblázatkezelő programot. A tanulók minden feladatra próbáljanak először önállóan modellt alkotni, egyenletet felírni, majd ezt közösen megbeszélve kezdjék meg a megoldást. Az első feladat kivételével minden további feladatnál érdemes megbeszélni, hogy az mennyiben tér el az előzőtől, ezáltal a modell (egyenlet) minden feladatban csak kisebb módosításra szorul. Kevésbé jó képességű tanulók esetén jobb, ha a tanár rávezető kérdésekkel segíti ezt a folyamatot, jobb képességűek esetében ők maguk állítsák fel, illetve alakítgassák a modellt. Az első feladatban, ha megoldható, a tanulók használjanak számítógépet (MSExcel) a valóságos, illetve a modell által adott adatok kiszámítására, táblázatba foglalására, az eltérés elemzésére. Ehhez szükséges a számítógépen történő (egészekre) kerekítés és a hatványozás V. Függvények, sorozatok

V.7. Népszámlálás

1.oldal/6


mikéntjének ismerete. A számítógép használata a többi feladat esetén is megengedhető, ekkor a diákok megláthatják a számítógép gyakorlati alkalmazásának egy lehetőségét. A feladatsor megoldása során fontos hangsúlyozni, hogy bár a valóságban a lélekszám mindig egész szám, és ezért elvileg minden évben kerekíteni kellene, ez a matematikai modellt kezelhetetlenné tenné. Látható azonban, hogy az eltérés modell és valóság közt elenyésző. A feladatok helyes értelmezéséhez tudatosítani kell a tanulókban, hogy az „évi 6%-os növekedés” azt jelenti, hogy minden évben az előző évi (tehát nem a kezdeti) lélekszám 6%-át kell hozzáadnia. Egyes tanulóknak gondot okozhat, hogy a megoldást alkalmanként „módszeres próbálgatással” kell megtalálniuk. Magyarázzuk el, hogy ennek mi a technikája (először meghatározzuk azt a két egész számot, amelyek közé esik a megoldás, aztán pedig intervallumfelezéssel vagy tizedesjegyenként próbálgatva jutunk egyre közelebb a konkrét eredményhez). A feladatsor bővíthető például olyan feladattal, ahol a növekedési tényezőt az előző évek adataiból kell kiszámolni, vagy lehet a fix növekedési tényező helyett intervallumot (évi 5–6%) megadni és vizsgálni, hogy mekkora szórást eredményez ez a megoldásokban.

V. Függvények, sorozatok


2.oldal/6


NÉPSZÁMLÁLÁS Feladat sor HÁNYAN

VA GY U NK ?

Egy gazdaságilag hosszú távon dinamikusan fejlődő kisváros lélekszámát az önkormányzat minden évben ugyanazon a napon állapítja meg a bejegyzett adatok alapján. Ebben az évben 42 634 lakost számláltak, és a lakosok száma megbízhatóan évi 6%-kal nő. (Ez azt jelenti, hogy bármely évben a lélekszám az előző évi lélekszám 6%-ával nő.) 1. a) Készíts táblázatot, amely évről évre megadja a lélekszámot a következő tíz évben. Mivel a lélekszám természeténél fogva egész szám, az eredményeket minden évben kerekítsd lefelé, és ezzel a kerekített értékkel számítsd a következő évet! b) Az előző pontban alkalmazott módon számold ki az egyes években a lélekszámot úgy is, hogy menet közben nem, csak a végén egyszerre kerekíted lefelé azt! Tehát minden évre a kiindulási lélekszámból számold ki közvetlenül az értékeket! Egészítsd ki az adatokkal az a) pont táblázatát! c) Mekkora eltérést tapasztalsz? Számottevő változást okoz-e az évenkénti kerekítés elhagyása? K ÉP LE TE SE N

SZÓL V A

2. a) Az előző feladat gondolatmenete alapján határozz meg egy olyan összefüggést, amely leírja a lélekszám alakulását az eltelt évek számának függvényében! b) Számítsd ki az összefüggés segítségével is, hány lakosa lesz a városnak tíz év múlva! c) Számítsd ki, hány lakosa lesz a városnak húsz év múlva! Habár a népességnövekedést minden évben ugyanazon a napon regisztrálják, nyilvánvaló, hogy az nem ugrásszerűen, hanem az egész év alatt folyamatosan következik be. Ha feltesszük, hogy ez a fentieknek megfelelő exponenciális növekedést jelent, akkor a meghatározott összefüggés segítségével számítsd ki, hány lakosa lesz a városnak d) fél év múlva; e) húsz hónap múlva! f) Számítsd ki, hány lakosa volt a városnak három évvel ezelőtt, ha feltételezzük, hogy az évi 6%-os növekedés korábban is jellemző volt!



3.oldal/6


ÉS

HA M É GI S F OGY U N K ?

3. a) Hogyan módosul az összefüggés és a számítás, ha a népesség évi 6%-kal fogy? Számítsd ki, hány lakosa lesz a városnak tíz év múlva ebben az esetben! b) Az előző pontok gondolatmenete alapján számítsd ki, hány lakosa lesz a városnak tíz év múlva, ha a népesség az első öt évben évi 6%-kal növekszik, a második öt évben viszont évi 6%-kal fogy! c) Számítsd ki a lélekszámot úgy is, hogy az előbb öt éven át évi 6%-kal csökken, majd öt éven át évi 6%-kal nő! Mit tapasztalsz?

E L É R JÜ K ? 4.

Jelenleg 42 634 lakost és állandó, évi 6%-os növekedést feltételezve, állapítsd meg, mikor haladja meg a lélekszám az 50 000 főt! a) Az eredményt olvasd ki az első feladat táblázatából! b) Írj fel egyenletet, melynek segítségével pontosan kiszámíthatod, hány év múlva éri el a lélekszám az 50 000-et! c) A logaritmusfüggvény segítségével fejezd ki az időtartamot az egyenletből, és számítsd ki számológéppel két tizedesjegy pontossággal!

A

SZ OM SZÉ D KE RT JE M OST NE M Z ÖL DE BB

A szomszéd város lakossága ebben az évben 59 427 fő volt, de a munkalehetőség hiánya és a megélhetési nehézségek miatt ez folyamatosan, évi kb. 9%-kal csökken. 5. a) Keress összefüggést, amely leírja e város népességének alakulását! b) A 2. feladatban és az előző pontban megtalált összefüggéseket felhasználva írj fel egyenletet, amellyel kiszámítható, hogy kb. mennyi idő múlva lesz a két város lélekszáma egyenlő! c) Rendezd az egyenletet úgy, hogy abból – az előző feladat mintájára – kifejezhesd az ismeretlent! d) Írd át az egyenletet logaritmusalakba, és tízes alapra áttérve számítsd ki (években, két tizedesjegy pontossággal), mikor lesz a két város lakosainak száma egyenlő! V. Függvények, sorozatok


4.oldal/6


MEGOLDÁSOK 1. a–b) Lakosok száma Eltelt évek Évente kere- Utólag kereszáma kítve kítve 0 42 634 42 634 1 45 192 45 192 2 47 903 47 903 3 50 777 50 777 4 53 823 53 824 5 57 052 57 053 6 60 475 60 477 7 64 103 64 105 8 67 949 67 952 9 72 025 72 029 10 76 346 76 351 c) Látható, hogy ilyen rövid időtartamot tekintve az eltérés nem számottevő, mindössze öt fő, ami a tényleges népesség mindössze 0,0065%-a. Kijelenthetjük tehát, hogy a kerekítés nélküli (helyesebben a kapott eredményt csak utólag kerekítő) modell nagyon jól egyezik a valósággal, ezért alkalmas arra, hogy segítségével a valóságra vonatkozó számításokat végezzünk. 2. a) Bármely adott évben a lélekszámot 1,06-dal megszorozva kapjuk a következő évi lélekszámot: L  x   42634 1, 06 1,06  ...  1,  06  42634  1, 06 x , ahol x az eltelt évek száma.   x év alatt x  szer

10

b) L(10)  42 634  1,06

 76 351 , azaz 76 351 fő.

c) L(20)  42 634  1,06 20  136 733 , azaz 136 733 fő. 1 1 d) L( )  42 634  1,06 2  43 894 , azaz 43 894 fő. 2 20 20 20 e) 20 hónap = év. L( )  42 634  1,06 12  46 982 , azaz 46 982 fő. 12 12 3 f) L  3  42634 1, 06  35796 fő. 3. a) A módosított képletben 1,06-os szorzó helyett 0,94-ot kell alkalmazni, hiszen a megmaradt lélekszám az előző évinek csupán 94%-a. L(10)  42 634  0,9410  22 963 , azaz 22 963 fő. 5 b) L  42 634  1 ,065  0 , 94   41872 , azaz 41 872 fő. növekedés

fogyás

5

c) L  42 634  0 , 94 ,065  41 872 , azaz 41 872 fő.   1 fogyás


növekedés


5.oldal/6


A modellben a folyamatok tényleges sorrendjétől függetlenül ugyanazt kaptuk. Megjegyzendő, hogy a valóságban az évenkénti kerekítések miatt az eredmény a két esetben kissé (3 fő) eltér. 4. a) A táblázat szerint három év múlva haladja meg a lélekszám az 50 000-et. b) L  x   42634 1, 06 x alapján az egyenlet: 42634 1, 06 x  50000 , x az eltelt idő években. c)

50000  42634 1, 06 x 50000  1, 06 x 42634 50000 x  log1,06 42634

 50000  lg   50000 42634  x  log1,06    2, 74 . 42634 lg1, 06

5. a) A második város lélekszámát leíró képlet: L2  x   59427  0,91x , ahol x az eltelt évek száma. b) Az első város lakossága: L1  x   42634  1, 06 x . Megoldandó tehát az L1  L2 , azaz 42634 1, 06 x  59427  0,91x egyenlet. x

1, 06 x 59427  1, 06  59427 c) 42634 1, 06  59427  0,91    x   42634 . 0,91 42634  0, 91   59427  lg    59427   42634   2,18 év. d) x  log  1,06    x    1, 06     42634   0,91  lg    0,91  x


x


6.oldal/6

V.7. NÉPSZÁMLÁLÁS. A feladatsor jellemzői

Recommend Documents