Øe¹ení 5. série IV. roèníku kategorie JUNIOR RS-IV-5-1
Pro na¹e úvahy bude vhodné upravit si na¹í rovnici do tvaru 1 3jx 4 j+2 = 5 + 4 sin 2x:
Budeme uva¾ovat o funkci na pravé stranì na¹í rovnice, tj. o funkci f (x) = 5 + 4 sin 2x. Víme, ¾e funkce f1 (x) = sin x je shora i zdola omezená a její funkèní hodnoty jsou z intervalu h 1; 1i. Tedy funkce f2 (x) = 4 sin 2x nabývá funkèních hodnot z intervalu h 4; 4i. Máme-li je¹tì ke ka¾dé hodnotì z tohoto intervalu pøièíst èíslo 5, získáme interval pro funkèní hodnoty funkce f (x) 2 h1; 9i. 1 Stejnou úvahu nyní proveïme pro funkci g (x) = 3jx 4 j+2 na levé stranì na¹í rovnice. Pro x = 14 nabývá funkce svého minima (nejmen¹í mo¾né hodnoty), a to g ( 14 ) = 9. Bude-li x 6= 14 , bude g (x) > 9. Mají-li se levá i pravá strana rovnice sobì rovnat, musí nabývat stejné funkèní hodnoty, a to 9. To nastává v jedniném bodì de nièního oboru x = 41 . Tedy na¹e rovnice má jediný koøen v oboru reálných èísel, a to x = 14 . RS-IV-5-2
Pro konstrukci hledaného trojúhelníku je dobré uvìdomit si následující vìci:
souèet vnitøních úhlù trojúhelníku je úhel pøímý úhly pøi základnì rovnoramenného trojúhelníku jsou shodné, tzn. = 180 2 shodné jsou i velikosti vý¹ek na daná ramena pata vý¹ky na základnu le¾í ve støedu základny, tato vý¹ka je zároveò osou strany, resp. úhlu
Rozbor
ze známé velikosti úhlu pøi vrcholu C si dopoèteme velikosti zbývajících úhlù, které jsou shodné
mù¾eme narýsovat trojúhelník P QC (podle vìty uu), který je podobný hledanému trojúhelníku ABC , trojúhelníkù splòujících tuto vlastnost je v¹ak mnoho, my zvolíme libovolný z nich, av¹ak takový, který bude mít rozumné rozmìry 1
v trojúhelníku P QC sestrojíme vý¹ky na základnu a jedno rameno, patu vý¹ky na rameno oznaèíme R a patu na základnu S
pøi konstrukci vycházíme z podobnosti trojúhelníkù, jUS j = jP Rj, bod D le¾í od bodu C ve vzdálenosti s (tj. souèet vý¹ek, viz zadání)
A 2 P CqjjP U , B 2 CQ \ rjjQU
obr. 1 Pozn.: V úvodu je mo¾no sestrojit trojúhelník P QC tak, aby jeho vý¹ka na základnu byla dlouhá s, proto pak ji¾ nemusíme sestrojovat bod D, dal¹í postup v¹ak musíme absolvovat Popis konstrukce
1.
4P QC podle uu
2. p, vý¹ka na stranu CQ, R, pata vý¹ky p 3. S , støed strany P Q 2
2! CS; jUS j = jP Rj D; D 2! CS; jCDj = s 4P QU q; qjjP U; D 2 q r; rjjQU; D 2 r A; A 2 q \ CP B; B 2 r \ CQ 4ABC
4. U; U 5. 6. 7. 8. 9. 10. 11.
Diskuse
Úloha má, pøi daném úhlu pøi vrcholu C , jednoznaèné øe¹ení, a¾ na zámìnu bodù A, B . RS-IV-5-3
Tupoúhlý trojúhelník je takový, který má u jednoho vrcholu úhel vìt¹í ne¾ pravý úhel. Daný ètverec rozdìlíme úhlopøíèkou a poté nad ka¾dou stranou ètverce sestrojíme Thaletovu kru¾nici. Sestrojíme-li nad jednou stranou trojúhelník, nesmí jeho tøetí vrchol le¾et na Thaletovì kru¾nici (to by byl pravoúhlý), bude-li le¾et vnì kru¾nice, bude ostroúhlý. Musí tedy le¾et uvnitø.
obr. 2 3
V polorovinì dané úhlopøíèkou ètverce vzniknou tedy v¾dy alespoò 3 trojúhelníky, tj. minimální poèet tupoúhlých trojúhelníkù, na které lze rozdìlit ètverec, je 6, viz obrázek 2. RS-IV-5-4
Oznaème obì dvouciferná èísla jako AB a CD, kde písmena A, B , C , D oznaèují cifry, které potøebujeme dopoèítat, tedy A; B; C; D 2 f0; 1; : : : ; 9g; A; C 6= 0. Ze zadání víme, ¾e AB CD = 2176 a BA DC = 1978. Levá cifra urèuje poèet desítek a pravá poèet jednotek. Pøepí¹eme tedy èísla do tvaru AB = 10 A + B , CD = 10 C + D, BA = 10 B + A, DC = 10 D + C . Tato èísla dosadíme do rovností ze zadání. Tedy
AB CD = 2176 = 100 A C + 10 (A D + B C ) + B D
(1)
BA DC = 1978 = 100 B D + 10 (B C + A D) + A C (2) Ze vztahu (1) vyplývá, ¾e souèin A C 21 a souèin B D má na místì jednotek cifru 6. Z druhého vztahu plyne, ¾e souèin B D 19 a souèin A C má na místì jednotek cifru 8. Odeètením rovnosti (2) od rovnosti (1) dostaneme rovnost 2176 1978 = 198 = 99 A C 99B D: Tuto rovnost dále upravíme a získáme vztah 2 + B D = A C , tj. souèin A C je o 2 vìt¹í ne¾ souèin B D. Z tìchto pìti podmínek plyne, ¾e souèin A C je roven buï 8 (a souèin B D je o 2 men¹í, tedy 6) nebo 18 (B D = 16). Nyní si s trochou práce mù¾eme dosadit v¹echny varianty a zjistit tak výsledné cifry (tedy i hledaná èísla). Samozøejmì mù¾eme vymyslet dal¹í omezující podmínky jako napøíklad tu, ¾e v¹echny cifry A, B , C , D jsou vìt¹í ne¾ 1. Tato podmínka vychází z toho, ¾e kdyby jedno èíslo mìlo na místì desítek 1, tak i kdyby ostatní cifry byly 9, nikdy nedostaneme èíslo vìt¹í ne¾ 1978 (19 99 = 1881 < 1978). Je-li A C = 18, pak mù¾ou nastat tyto varianty: 1. A = 2; C = 9 (a) B = 2; D = 8 (b) B = 9; D = 2 2. A = 3; C = 6 (a) B = 4; D = 4 4
3. A = 6; C = 3 (a) B = 4; D = 4 4. A = 9; C = 2 (a) B = 2; D = 8 (b) B = 9; D = 2 Je ov¹em vidìt, ¾e varianta 1 je obdobou varianty 4 a varianta 2 je obdobou varianty 3. Varianty nejsou shodné, nicménì výsledná dvojice èísel AB a CD je stejná. Tabulka s jednotlivými propoèty
A B C D AB CD BA DC
2 2 9 8 2156 1958 2 8 9 2 2576 2378 3 4 6 4 2176 1978 2 2 4 3 946 748 2 3 4 2 966 768 Zvýraznìný øádek oznaèuje na¹e hledaná èísla. Hledaná èísla tedy jsou 34 a 64. RS-IV-5-5
Zadání úlohy sice vybízí k tomu, abychom urèili polohu bodu X tak, aby souèet vzdáleností od ramen trojúhelníku byl minimální, v dal¹ím textu je ale nápovìda, ¾e souèet je konstantní. Pøeformulujeme tedy úlohu na následující: Doka¾te, ¾e souèet vzdáleností libovolného bodu základny rovnoramenného trojúhelníku od jeho ramen je konstantní.
Postupù øe¹ení je jistì mnoho. Zkusme vyu¾ít osové soumìrnosti, tj. shodného zobrazení, tj. zobrazení, které zachovává délky úseèek a velikosti úhlù (tedy také kolmost). Zobrazíme-li trojúhelník KLM v osové soumìrnosti podle osy KL, snadno nahlédneme (viz obr. 3), ¾e pro libovolný bod X jeho základny je jXQj = jXQ0j, proto jXQj + jXP j = jP Q0j. Proto¾e je KM jjM 0L a také P X jjRY pro libovolné body X , Y základny, je pro libovolné dva body základny také jP Q0j = jRS 0j. Tím je tvrzení dokázáno.
5
obr. 3
6
