GRAVITAČNÍ POLE
¾ V okolí každého hmotného tělesa existuje gravitační pole, které se projevuje silovým působením na jiná hmotná tělesa. ¾ Gravitační pole zprostředkuje silové působení těles, aniž přitom musí dojít k jejich bezprostřednímu styku. ¾ Silové působení mezi tělesy je vždy vzájemné (dle 3. Newtonova pohybového zákona) … tzv. gravitační interakce ¾ Vzájemné přitažlivé síly, které jsou mírou gravitační interakce … tzv. gravitační síly
NEWTONŮV VŠEOBECNÝ GRAVITAČNÍ ZÁKON - zobecnění výsledků J. Keplera o kinematice pohybu planet pro dva hmotné objekty pro dva libovolné HB o hmotnostech
m1, m2
m1m2 Fg = κ 2 r
κ = 6,67.10-11 kg-1.m3.s-2 je gravitační konstanta, jejíž hodnota byla zjištěna experimentálně r Síla Fg leží na spojnici hmotných bodů
„Každé dva hmotné body se přitahují silou, která je přímo úměrná součinu jejich hmotností a nepřímo úměrná druhé mocnině jejich vzdálenosti.“
Vektorové vyjádření Newtonova zákona: - uvažujme hmotný bod o hmotnosti m2 v gravitačním poli hmotného bodu o hmotnosti m1
r mm r mm r Fg = −κ 1 2 2 r0 = −κ 1 3 2 r r r r r r r0 = r
- vektor gravitační síly má opačnou orientaci než polohový vektor (přitažlivá síla) Matematický vztah platí jen pro dva hmotné body a tělesa nahraditelná hmotnými body, jejichž velikost je proti jejich vzdálenosti zanedbatelná. Je také přesným vyjádřením gravitační síly dvojice homogenních koulí, kde r je vzdálenost jejich středů.
GRAVITAČNÍ KONSTANTA -hodnotu κ poprvé změřil anglický fyzik H. Cavendish (1798)
κ = 6,67.10-11 kg-1.m3.s-2 TORZNÍ VÁHY HENRY CAVENDISH
INTENZITA GRAVITAČNÍHO POLE -vektorová veličina určena podílem gravitační síly, která v daném místě pole působí na hmotný bod o hmotnosti m, a této hmotnosti: r
r Fg K= m
-intenzita popisuje pole v každém bodě jednoznačně -závisí pouze na poloze uvažovaného bodu a na hmotnosti tělesa, které pole vytváří - jednotka: N.kg-1 = m.s-2
Pozn.: Jelikož každé těleso je zdrojem prostorově neomezeného gravitačního pole, prolínají se v každém místě prostoru gravitační pole jednotlivých těles. V daném bodě prostoru se vektory intenzity gravitačních polí skládají.
RADIÁLNÍ (CENTRÁLNÍ) GRAVITAČNÍ POLE -centrální gravitační pole je prostorově neomezené siločarový
vektorový
pole vytvořené HB nebo homogenní koulí o hmotnosti M: - vektorové vyjádření:
model radiálního gravitačního pole:
Mm Fg = κ 2 r
⇒
K =κ
r Mr Mr K = −κ 2 r0 = −κ 3 r r r
r - směr vektoru intenzity K a) do daného hmotného bodu, který je zdrojem tohoto pole b) do středu stejnorodé koule, která je zdrojem grav. pole
M r2
HOMOGENNÍ GRAVITAČNÍ POLE -
pole charakterizované vektorem intenzity, který má v každém bodě tohoto pole stejnou velikost, stejný směr, stejnou orientaci
-
realizace: v dostatečné vzdálenosti od gravitačního centra : v omezeném prostoru, v němž jsou změny velikosti a směru vektoru intenzity zanedbatelné
a)
b)
GRAVITAČNÍ ZRYCHLENÍ
r
gravitační síla při svém působení na tělesa udílí těmto tělesům zrychlení ag tzv. gravitační zrychlení r 2. NPZ:
r r F = ma
Newtonův grav. zákon:
Fg = κ
r r Fg = ma g
Mm r2
Fg r ag = m
ma g = κ
ag = κ
mM r2
M r2
jednotka: m.s-2
gravitační zrychlení v určitém bodě je rovno intenzitě gravitačního pole v témže bodě (co do velikosti, směru a orientace)
r r K = ag
¾ vektor intenzity gravitačního pole popisuje pole ¾ gravitační zrychlení charakterizuje pohyb konkrétního tělesa, které se v daném místě pole nachází
PŘÍKLAD:
Mějme homogenní tyč délky L a hmotnosti m0. Na prodloužení tyče ve vzdálenosti a od jednoho jejího konce se nachází hmotný bod o hmotnosti m. Určete sílu, kterou na sebe tyto objekty působí.
PRÁCE GRAVITAČNÍ SÍLY
hmotný bod o hmotnosti m posuneme o element dráhy dr podél průvodiče r elementární práce gravitační síly: elementární práce vnější síly: (proti gravitační síle)
M
r1 r1
r r Fg
r2 r dr
m
r r Mm Mm r r dW = Fg dr = −κ 2 r0 dr = −κ 2 dr r r r r Mm r r Mm dW ′ = − Fg dr = +κ 2 r0 dr = +κ 2 dr r r
celková práce vnější síly při přemístění HB o hmotnosti m ze vzdálenosti r1 od HB o hmotnosti M do vzdálenosti r2 r r2 Mm ⎤ 2 Mm Mm Mm ⎡ κ κ = − + = W ′ = ∫ + κ 2 dr = ⎢− κ ⎥ r ⎦ r1 r2 r1 r ⎣ r1 Mm ⎛ Mm ⎞ ⎟⎟ = −κ − ⎜⎜ − κ r2 ⎝ r1 ⎠
GRAVITAČNÍ POTENCIÁLNÍ ENERGIE - skalární veličina, která kvantitativně popisuje chování těles v gravitačním poli jiných těles - práce gravitační síly
dW = − dE p
gravitační potenciální energie
dE P = −dW
⇒
E P = ∫ − dW + C
C je aditivní (integrační) konstanta
„Potenciální energie je určena prací, kterou vykoná gravitační síla při přenesení hmotného bodu z daného místa na vztažné místo a nezávisí na cestě, po níž se přenášení děje.“ Integrační konstantu ve výrazu pro potenciální energii určíme pomocí tzv. okrajových podmínek (vztažný bod volíme v nekonečnu): pro
r →∞
vymizí
E p = −κ
Fg Mm r
⇒
Ep = 0
GRAVITAČNÍ POTENCIÁLNÍ ENERGIE gravitační potenciální energie hmotného bodu o hmotnosti m v gravitačním poli hmotného bodu o hmotnosti M
E P = −κ
Mm r
- práce gravitační síly:
W = (EP1 − EP 2 ) = −(EP 2 − EP1 ) = −∆EP
M
r1
r2
r r Fg m
⎛ Mm ⎛ Mm ⎞ ⎞⎟ ⎟⎟ − ⎜⎜ − κ W = −⎜⎜ − κ r2 ⎝ r1 ⎠ ⎟⎠ ⎝
- práce vnější síly:
W ′ = (EP 2 − EP1 ) = + ∆EP W ′ = −κ
Mm ⎛ Mm ⎞ ⎟ − ⎜⎜ − κ r2 ⎝ r1 ⎟⎠
M
r1
r r Fg m
r dr
r − Fg r dr
r2
POTENCIÁL GRAVITAČNÍHO POLE - skalární veličina charakterizující gravitační pole v určitém bodě závisející pouze na vlastnostech tohoto pole (nikoli na vlastnostech tělesa v daném bodě umístěného) - potenciál gravitačního pole v daném bodě prostoru je podíl gravitační potenciální energie, kterou má v tomto bodě pomocné těleso (HB) o hmotnosti m a této hmotnosti
EP ϕ= m
jednotka: J.kg-1 = N.m.kg-1= m2.s-2
pro gravitační pole HB o hmotnosti M a zvolíme-li vztažný bod v nekonečnu:
ϕ = −κ
M r
GRAVITAČNÍ POLE ZEMĚ MODEL ZEMĚ - ve vztahu k jiným vesmírným objektům (planety, družice…) - Zemi považujme za homogenní kouli o poloměru R = 6378 km a hmotnosti M = 5,98.1024 kg VE SKUTEČNOSTI: • Země má tvar blízký rotačnímu elipsoidu ¾ hlavní poloosa (rovníkový poloměr) 6378 km ¾ vedlejší poloosa (polární poloměr) 6357 km • Země není homogenní • hustota roste směrem do středu Země ¾ hmotnost Země 5,983.1024 kg ¾ střední hustota Země 5520 kg.m-3
GRAVITAČNÍ ZRYCHLENÍ - gravitační zrychlení klesá s nadmořskou výškou (zvětšuje se vzdálenost od středu Země) - v nadmořské výšce h je vzdálenost od středu Země r = R + h
M M M R2 ag = κ 2 = κ =κ 2 ⋅ 2 r R (R + h )2 (R + h )
pokud je h pp R
h⎞ ⎛ ⇒ a g = a g 0 ⎜1 + ⎟ R⎠ ⎝
−2
⎛ 2h ⎞ ≈ a g 0 ⎜1 − ⎟ R⎠ ⎝
ag0 = κ
M R2
Pozn.: Ve výšce h = 3,18 km je gravitační zrychlení jen o 1 promile menší než při hladině moře a g 0
( )
ag = ag0
1 h⎞ ⎛ 1 + ⎜ ⎟ ⎝ R⎠
2
POTENCIÁLNÍ ENERGIE TĚLES V GRAVITAČNÍM POLI ZEMĚ - mějme těleso o hmotnosti m ve vzdálenosti r od středu Země - hmotnost Země ozn. M , poloměr R A) na povrchu Země:
B) ve výšce h nad povrchem Země:
EP 0 = −κ
Mm R
EP = −κ
Mm R+h
EP = −κ
Mm r
práce vnější síly potřebná k vyzvednutí tělesa z povrchu Země do výšky h (přemisťujeme proti gravitační síle):
W ′ = E p − E p 0 = −κ
Mm Mm 1 ⎞ ⎛1 +κ = κ M m⎜ − ⎟ R+h R ⎝ R R + h⎠
pro
h
<<
R
je práce:
⎛ ⎞ ⎜ Mm Mm⎛ M mh 1 ⎟ h⎞ ⎟ ≅κ ⎜1 − W′ =κ 1 − 1 + = κ ⎜ ⎟ h⎟ R ⎜ R ⎝ R⎠ R2 ⎜ 1+ ⎟ ⎝ R⎠
použijeme-li vztah pro gravitační zrychlení
ag 0
M =κ 2 R
práce vnějších sil:
W ′ = m ag 0 h platí pro malé nadmořské výšky
PŘÍKLAD:
Jakou rychlostí musíme vypustit těleso z povrchu Země, aby vystoupilo do výšky rovné poloměru Země?
TÍHOVÉ POLE ZEMĚ -ve vztahu k tělesům na povrchu resp. v blízkosti povrchu Země r r r -kromě gravitační síly Fg působí na tělesa o hmotnosti m síla setrvačná FS = Fod
FS = ma n = mrω 2 r = R cos β FS = mRω 2 cos β -tíhové pole Země je z gravitačního pole Země setrvačných (odstředivých) sil
složené a pole
- výslednice sil působících na těleso na r r r Zemi: Fg + FS = FG
r FG
r r F = m g ... tíhová síla, G
r g je tíhové zrychlení
směr tíhové síly definuje svislý směr
r FG
TÍHOVÉ ZRYCHLENÍ tíhové zrychlení závisí na nadmořské výšce i zeměpisné šířce: ¾ tíhové zrychlení klesá s nadmořskou výškou ¾ tíhová síla klesá s nadmořskou výškou stejně jako tíhové zrychlení g
FG = mg ¾ maximální je na zemských pólech (9,83 m.s-2 při hladině moře) ¾ minimální je na rovníku (9,78 m.s-2 při hladině moře) ¾ závislost je dána tvarem zemského elipsoidu a rotací Země ¾ tíhové zrychlení je vektorovým součtem gravitačního zrychlení a zrychlení setrvačného
r r r g = a g + as
POHYBY TĚLES V RADIÁLNÍM GRAVITAČNÍM POLI ZEMĚ - pohyby raketových střel, umělých družic Země, kosmických lodí - podél trajektorie těchto těles se mění velikost i směr intenzity gravitačního pole i gravitačního zrychlení - zanedbáváme vliv gravitačního pole Slunce, Měsíce a planet PRVNÍ KOSMICKÁ RYCHLOST (KRUHOVÁ RYCHLOST) ¾ rychlost, kterou musí mít těleso aby mohlo trvale obíhat kolem Země po kruhové dráze o poloměru r = R+h ¾odpor vzduchu zanedbáváme ¾dostředivá síla potřebná k udržení rovnoměrného pohybu po kružnici je dána gravitační silou:
m v2 Mm =κ 2 r r první kosmická rychlost:
- pro případ
h<<
R
R2 M M R2 = κ 2⋅ = ag 0 vI = κ R+h r R R+h
vI = a g 0 R = 7,9 km.s-1
DRUHÁ KOSMICKÁ RYCHLOST (PARABOLICKÁ, ÚNIKOVÁ) - rychlost, kterou je třeba udělit tělesu ve výšce h, aby opustilo sféru zemské přitažlivosti - předpokládáme, že se těleso má vzdálit do nekonečna (kde je potenciální energie tělesa nulová) - ze zákona zachování mechanické energie 1 Mm m v 2 = E P∞ − E P = κ 2 r - odtud platí:
vII = 2a g 0
R2 R+h
, pro h = 0 je vII = 11,2 km.s -1
TŘETÍ KOSMICKÁ RYCHLOST (HYPERBOLICKÁ RYCHLOST) • trajektorií družice je hyperbola • těleso opouští gravitační pole Země a stává se umělou družicí Slunce, pokud není její rychlost dostatečná k opuštění gravitačního pole Slunce za předpokladu, že družici vypouštíme ve směru rychlosti, kterou obíhá Země kolem Slunce -1
vIII = 16,7 km.s
PŘÍKLAD:
POHYBY TĚLES V HOMOGENNÍM TÍHOVÉM POLI ZEMĚ - parametry trajektorie vrženého tělesa malé ve srovnání s rozměry Země - tíhové zrychlení je podél celé trajektorie tělesa konstantní - pohybová rovnice volného HB:
d r r r (m v ) = m a = F dt -vyjádření pomocí souřadnic:
dv x d2x m ax = m = m = Fx 2 dt dt dv y d2y m ay = m = m = Fy 2 dt dt dv z d2z m az = m = m = Fz 2 dt dt
VOLBA SOUSTAVY SOUŘADNIC: ¾ počátek v počáteční poloze HB ¾ vektor počáteční rychlosti leží v rovině XY ¾ úhel, který svírá vektor rychlosti s kladným směrem osy X je tzv. elevační úhel (úhel vrhu) Podle počátečních podmínek dostáváme tyto případy: ¾ ¾ ¾ ¾ ¾
volný pád vrh svislý dolů vrh svislý vzhůru vrh vodorovný vrh šikmý vzhůru
souřadnice síly ve zvolené soustavě souřadnic:
Fx = 0 Fy = −m g Fz = 0
pohybu
Dosazení souřadnic síly do pohybových rovnic:
d2x d2y d2z = 0, = −g, = 0 dt 2 dt 2 dt 2 souřadnice rychlosti:
integrujeme
vx = k1 , v y = − g t + k2 , vz = k3
integrační konstanty = souřadnice počáteční rychlosti
dosaďme integrační konstanty
v0 x = v0 cos α , v0 y = v0 sin α , v0 z = 0 souřadnice 1 2 x v t c , y gt + v0 y t + c2 , z = v0 z t + c3 = + = − 0x 1 polohy HB:
2
integrační konstanty = souřadnice počáteční polohy HB
x0 , y 0 , z 0 = 0 1 x = v0 x t , y = − gt 2 + v0 y t , z = v0 z t 2
integrujeme
A) VOLNÝ PÁD - rovnoměrně zrychlený pohyb s nulovou počáteční rychlostí - pohyb ve směru osy y x0 = y0 = 0 ¾ okamžitá rychlost: souřadnice velikost ¾ souřadnice HB
v y = − gt
v = gt
1 y = − gt 2 , x = 0 2
integrujeme
B) VRH SVISLÝ DOLŮ - rovnoměrně zrychlený pohyb s nenulovou počáteční rychlostí -pohyb ve směru osy y
v0 y = −v0
x0 = y0 = 0
¾ okamžitá rychlost: souřadnice velikost ¾ souřadnice HB
v0 = 0
y = − v0 t −
v y = −v0 − gt
v = v0 + gt 1 2 gt , x = 0 2
integrujeme
C) VRH SVISLÝ VZHŮRU - rovnoměrně zpomalený pohyb s nenulovou počáteční rychlostí - pohyb ve směru osy y x = y =0 0
0
v = v y = v0 − gt
¾ okamžitá rychlost
integrujeme
1 2 y = v0t − gt , x = 0 2
¾ souřadnice HB
v = vy = 0
¾ doba výstupu pro ¾ výška výstupu
v0 y = v0
⇒
th =
v0 g
v02 h= 2g
¾ v okamžiku dopadu
y = 0 ⇒ celková doba vrhu
tc =
2v0 g
D) VRH VODOROVNÝ -pohyb v rovině xy -trajektorií je parabola -počáteční rychlost má směr osy x, úhel
α =0
-těleso se nachází na počátku na ose y ve výšce h ( x0 = 0, y0 = h ) ¾ okamžitá rychlost ¾ souřadnice HB
vx = v0 , v y = − gt x = v0 t
integrujeme
1 y = h − gt 2 2
¾ vyloučením času z rovnic pro souřadnice HB ¾ doba vrhu (pro y = 0)
ts =
2h g
1 x2 y = h− g 2 2 v0
¾ dálka vrhu (maximální x-ová souřadnice) s = v0 ¾ velikost celkové rychlosti v = v 2 + 2h g 0
2h g
E) VRH ŠIKMÝ VZHŮRU - pohyb v rovině xy, trajektorií je parabola - při uplatnění odporu prostředí je trajektorií balistická křivka π - počáteční rychlost v0 svírá s osou x elevační úhel 0 p α p 2 - na počátku je hmotný bod v počátku soustavy souřadnic x0 = y0 = 0 ¾ okamžitá rychlost
vx = v0 cosα v y = v0 sin α − gt
integrujeme
x = v0 t cosα ¾ souřadnice HB
1 y = v0 t sin α − gt 2 2
vyloučení času
1 x2 y = x tgα − g 2 2 v0 cos2 α
obecná rovnice trajektorie
¾ doba výstupu (souřadnice vrcholu paraboly) pro v y = 0
th =
v0 sin α g
¾ výška výstupu
v02 sin 2 α y1 = h = 2g
¾ dálka vrhu pro y = 0 ¾ celková doba vrhu
v02 sin 2α x2 = s = g 2v0 sin α ts = g
¾ velikost okamžité rychlosti
v = vx2 + v 2y = v02 − 2 g y
závislost tvaru trajektorie na elevačním úhlu vrhu
závislost tvaru trajektorie na odporu prostředí
bez odporu prostředí = parabola
balistická křivka
