Úvodní slovo pro studenta:

   

Úvodní slovo pro studenta:     Vážená paní kolegyně, vážený pane kolego,  vítám  Vás  v  kurzu  dalšího  vzdělávání,  který  by  měl  ukázat,  jak  lze  používat  technologie  ve  výuce  matematiky  na  2.  a  3.  stupni.  Podíváme  se,  jak  se  učí  pomocí  počítače  ve  světě,  jaké  počítačové  programy  jsou  vhodné  pro  výuku,  naučíme se jeden z nich ovládat, tak abyste mohli po skončení kurzu vyzkoušet  vlastní výuku se svými svěřenci.  K  dispozici  jsou  pro  Vás  připraveny  učební  texty  a  cvičení,  ve  kterých  budete  zkoušet  v  roli  žáků  u  počítače  vyřešit  úlohy.  Budeme  ukazovat,  jaké  faktory  mohou ovlivnit Vaši výuku, na základě jakých pedagogických teorií a zkušeností si  můžeme  dovolit  tvrdit,  že  výuka  pomocí  počítače  je  často  nejen  zábavnější,  ekonomičtější, ale že dokáže naučit matematiku. Dozvíte se o zdrojích výukových  materiálů  na  Internetu,  které  si  budete  moci  stáhnout  a  upravit  k  vlastnímu  použití.  Na  závěr  kurzu  budete  mít  za  úkol  připravit  výukovou  pomůcku  pro  výuku  některého  matematického  tématu  nebo  poznatku  tak,  aby  žáci  pracovali  s  počítačem  a  učili  se  přitom  matematiku.  Tyto  práce  budete  na  konci  kurzu  prezentovat ostatním účastníkům.  Přejeme  Vám  hodně  radosti  při  objevování,  jak  počítače  dokáží  učiteli  pomoci  učit matematiku, vést vyučování a motivovat své žáky pro studium matematiky.  Držíme  Vám  palce,  aby  Vaše  počítače  sloužily  a  používaný  software  nezlobil.  Přejeme  Vám  pěkné  zážitky  z  objevování,  ale  i  překonávání  sebe  sama  v  problémových situacích, ke kterým možná dojde. Věříme, že si z kurzu odnesete  chuť  do  další  práce,  že  získaná  odbornost  se  promítne  do  spokojených  tváří  Vašich žáků, kteří si učitele používajícího počítač jistě budou cenit.    Jiří Vaníček       

Strana | 1    

   

Cíle:    

Cílem pro účastníka je:  ‐   získat představu o tom, jakým způsobem se učí matematika pomocí počítače  ‐   uvědomit si možnosti, ale také rizika výuky s počítačem  ‐  udělat  si  přehled  o  typech  počítačových  aplikací,  které  slouží  k  výuce  matematiky  ‐    dokázat si vybrat vhodný software pro vlastní výuku  ‐    zvládnout základy práce s jedním z programů interaktivní geometrie  ‐  pochopit  princip  dynamické  geometrie  a  vytvořit  geometrický  obrázek  využívající   ‐  vytvořit  učební  pomůcku,  která  zohlední  možnosti  počítače  pro  výuku  v  konkrétní situaci       

Strana | 2    

   

1 Úvod do kurzu  V  této  kapitole  si  představíme  význam  technologií  pro  výuku  matematiky.  Nainstalujete  si  software,  který  budete  během  kurzu  používat,  a  ve  kterém  na  konci kurzu vytvoříte závěrečnou práci. Tento software si vyberete tak, aby Vás  nestál ani korunu a přitom jste jej mohli používat ve své výuce. 

Cíle:   Cílem pro účastníka je:  ‐ získat představu o tom, jakým způsobem se učí matematika pomocí počítače  ‐ nainstalovat a vyzkoušet si software pro výuku geometrie   

1.1 Obsah kurzu  Pokyny ke studiu:    K řadě studijních článků jsou přidány obrázky, které najdete ve zvláštním rámu ‐  je to vlastnost prostředí, ve kterém je tento kurz vytvořen.   Obrázky  i  s  popisky  jsou  v  textu  číslovány  shodně  s  čísly  na  ikonách  v  levém  rámu.  Obrázky  je  občas  nutno  si  lupou  zvětšit  do  skutečné  velikosti,  aby    byla  jemná  grafika dobře viditelná.  Kromě obrázků jsou v textu také originální soubory k prohlížení přímo v prostředí  konkrétní  počítačové  aplikace.  Je‐li  aplikace  správně  nainstalována,  stačí  klepnout na odkaz a soubor se správně zobrazí. 

  Cíle:   Vytvoření úvodního přehledu o kurzu, jeho struktuře a časovém rozložení.   

Strana | 3    

   

Vítejte  Vítáme  Vás  v  kurzu,  zaměřeném  na  trénink  učitelských  dovedností  v  používání  počítače při výuka matematiky.  Držím  Vám  palce,  abyste  kurz  zvládli,  ale  především  aby  Vás  dokázal  natolik  získat a naladit, abyste byli po jeho skončení ochotni používat počítač ve výuce a  dál se s počítačem na výuku připravovat. 

 

Obrázek 1.1‐1 obsah kurzu   

Časový harmonogram kurzu:  4 h úvodní setkání  30 h e‐learning  4 h vypracování závěrečné práce  4 h závěrečné soustředění   

Strana | 4    

   

1.2 Matematický software a jeho třídění  V tomto textu zavedeme pojem matematický software, vysvětlíme jeho aspekty  a především uvedeme různé druhy matematického software, tak jak se používají  ve  světě.  Ke  každému  druhu  je  připraven  obrázek  a  stručný  popis  spolu  se  seznamem  typických  reprezentantů  (produktů),  které  může  škola  zakoupit.  V  tomto  kurzu  se  nebudeme  moci  seznámit  s  ovládáním  všech  těchto  druhů  mj.  proto, že řada z těchto programů není zadarmo. V dalších kapitolách se naučíme  ovládat jeden z nich a na něm ukázat didaktické možnosti počítače. 

Cíle:   Zde  by  si  posluchač  měl  udělat  představu  o  šíři  a  pestrosti  matematického  software, aby se orientoval v odborných termínech pojmenovávajících jednotlivé  druhy tohoto software.  

Matematický software (aneb kognitivní technologie)  Technologie  představují  velice  široký  pojem,  a  i  když  máme  pod  pojmem  nové  technologie  na  mysli  především  aplikace  výpočetní  techniky,  je  potřeba  rozlišovat  informační  technologie  (Internet  a  jeho  služba  web,  hromadné  zpracování  dat,  portály,  sdílení  souborů  a  řešení,  softwarové  agenty),  komunikační technologie (e‐mail, online komunikace typu ICQ, Skype nebo chat,  elektronické konference, blogy, videokonference, mobilní telefonování a datové  přenosy) a kognitivní technologie, což jsou technologie přítomné při poznávání  a  během  poznávacího  procesu.  Takovými  technologiemi  se  budeme  zabývat  v  tomto kurzu.    Kognitivní  technologie  jsou  chápány  dvojím  způsobem:  jednak  jako  zařízení  či  prostředky,  jednak  jako  procedury,  u  nichž  se  předpokládá  usnadnění  kognitivních  činností.  Zde  jsou  vnímány  kognitivní  technologie  z  prvního  úhlu  pohledu, konkrétněji jako počítačové prostředky přítomné při poznávání.   

Řekněme,  že  počítačové  kognitivní  technologie  (nazývané  také  ne  zcela  přesně  matematický  software)  jsou  podmnožinou  technologií  informačních  a  komunikačních  (ICT)  a  tento  termín  je  zaveden  jako  užitečný,  aby  odlišil  používání  ICT  při  výuce  od  takovéto  typu  počítačových  aplikací,  které  přímo  Strana | 5    

   

přispívají k učení, k poznání. Jestliže např. žáci použijí e‐mail k odevzdání svého  úkolu  z  matematiky  nebo  k  vyhledání  informací  o  nějakém  pojmu,  definici  či  řešení úlohy na Internetu, jde o použití ICT ve výuce, ale nikoliv o použití takové,  při němž se žáci zdokonalují v matematických dovednostech, při nichž se bystří  jejich matematické uvažování a zlepšuje jejich matematická gramotnost.   Počítače jsou obzvláště mocné při učení se matematickému myšlení. Mohou totiž  operovat nejen s čísly, ale též se symboly, základními dorozumívacími prostředky  lidského myšlení.    

Třídění matematického software  Mezi  kognitivní  technologie  používané  ve  výuce  matematiky  jsou  zahrnovány  následující typy aplikací: 

1     Počítačové algebraické systémy   (CAS, computer algebra systems),   aplikace, které provádějí numerické i symbolické výpočty, např. upravují výrazy a  řeší  rovnice  a  matice,  kreslí  grafy  funkcí,  číselné  výsledky  zobrazují  přesně  (nikoliv  aproximovaně  v  desetinných  číslech  jako  kalkulačky)  a  zvládají  opravdu  vysokou  matematiku.  Jsou  představované  např.  produkty  Mathematica,  Maple,  Derive, Matlab, Maxima.  

  Obrázek 1.2‐1 Počítačový algebraický systém Derive 

Strana | 6    

   

2     Prostředí dynamické geometrie   (DGE, dynamical geometry environment),  aplikace  sloužící  k  rychlému  a  přesnému  rýsování  geometrických  figur  podle  zásad konstrukční geometrie. Obsahují nástroje pro pohyb, umožňují manipulaci  s hotovou figurou, měří a výsledky výpočtů opět v konstrukcích používají. Lze je  dělit  na  rovinná  (Cabri,  Sketchpad  ,  Cinderella,  Geonext,  Geogebra,  Euklides),  provádějící  konstrukce  v  rovinné  nákresně  shodné  s  obrazovkou  monitoru,  a  prostorová  prostředí  (Cabri  3D,  Euler  3D),  konstruující  ve  virtuálním  prostoru,  promítaném na obrazovku monitoru.    

  Obrázek 1.2‐2 Prostředí dynamické geometrie Cabri II    

3     Mikrosvěty   (microworlds),   prostředí  podporující  výuku  algoritmizace  a  alternativní  přístup  ke  geometrii.  Grafika  zde  vzniká  nikoliv  aplikací  konstrukčních  kroků,  ale  zadáváním  posloupnosti  příkazů  ke  kreslení  grafickým  objektem.  Tzv.  „želví  grafika“  poskytuje  alternativní  souřadnicový  systém  „z  pozice  středu  světa“,  blízkou  Strana | 7    

   

vnímání  dětí.  Představiteli  jsou  různé  implementace  jazyka  Logo,  např.  Imagine  nebo Starlogo.  

  Obrázek 1.2‐3 mikrosvět Imagine Logo   

4     Tabulkové procesory   (spreadsheets)  jsou  kancelářské  aplikace  k  hromadnému  zpracování  dat;  pomocí  vzorců  přepočítávají data v tabulce a mohou je vizualizovat do grafů. Jsou vyučovány v  rámci  výuky  informačních  technologií  a  s  výhodou  se  využívají  při  výuce  některých  matematických  disciplín  (posloupnosti,  statistika,  pravděpodobnost,  finanční  matematika).  Je  zde  ovšem  riziko,  že  učitel  nerozezná  hranici  mezi  výukou  matematiky  a  IT  a  zaměří  se  na  technologický  místo  matematického  obsahu výuky. Představiteli jsou Microsoft Excel a OpenOffice Calc.   

Strana | 8    

   

  Obrázek 1.2‐4 Tabulkový procesor MS Excel 

5     Počítačové laboratoře a stavebnice  (computer labs)   Prostředí  spojující  počítač  s  dalšími  externími  prvky,  zprostředkujícími  spojení  s  reálným světem ‐ stavebnicovými díly, čidly, motory a dalšími součástkami, které  slouží jako vstupní a výstupní zařízení tohoto prostředí a která přijímají podněty  a  vykonávají  příkazy.  V  takovýchto  robotických  prostředích  člověk  není  prostředníkem mezi počítačem a okolím.   Typickými  činnostmi  je  provádění  skutečných  fyzikálních  pokusů  nebo  tvorba  fungujících  reálných  modelů  ovládaných  počítačem.  Tato  prostředí  jsou  v  kontextu  našeho  školského  systému  vnímána  jako  hraniční  mezi  matematikou,  informatikou  a  technickou  výchovou.  Příkladem  je  Robolab,  LegoDacta  nebo  ISES. 

  Obrázek 1.2‐5 stavebnice Robolab 

Strana | 9    

   

6     Grafické kalkulačky   (graph calculators),   aplikace provádějící numerické výpočty a zobrazující grafy funkcí s odpovídajícími  výpočty  (např.  průběhu  funkcí,  derivací  ...).  Jsou  realizovány  v  kalkulátorech  stejně jako v programech běžících na počítači (např. Graphmatica).   

  Obrázek 1.2‐6 Grafická kalkulačka TI   

7     Uzavřená výuková prostředí,   výukové programy vytvořené tak, aby řídily činnost žáka a vedly jej od aktivity k  aktivitě. Jde o tzv. klasické výukové programy. Často jde o aplikace zaměřené na  výuku  (výklad,  procvičování)  konkrétních  témat  nebo  trénování  konkrétních  kompetencí. Tyto programy do jisté míry zastupují řídící roli učitele ve třídě.    

Strana | 10    

   

Pro svoji malou flexibilitu, úzký záběr obsahu a převažující behavioristický přístup  ve stylu řízení výuky nejsou již v současnosti v centru pozornosti, mají však jednu  výhodu:  mohou  výrazně  pomoci  učiteli  ‐  začátečníkovi  se  vstupem  na  pole  počítačem podporované výuky, neboť poskytují zabezpečení běhu výuky a učitel  získá  sebevědomí  pro  další,  již  náročnější  řízení  výuky  s  pomocí  otevřených  výukových  prostředí.  Do  této  kategorie  spadají  i  didaktické  matematické  počítačové  hry  (strategické  a  logické  hry  nebo  výukový  software  s  motivací  provedenou v podobě hry).   

  Obrázek 1.2‐7 Uzavřené výukové prostředí, standardní výukový program   

8     Interaktivní tabule   (interactive blackboard)  není  pouze  software,  ale  komplexní  pomůcka  zahrnující  dotykovou  desku,  připojenou k počítači, umožňující ovládání pohybem prstů po tabuli a nahrazující  polohovací  zařízení  typu  myši.  Tato  tabule  je  doplněna  dataprojektorem,  edukačním  softwarem  a  nástroji  pro  tvorbu  takových  výukových  materiálů.  Výhodou  je  větší  interaktivita  (žák,  který  na  tabuli  ukazuje,  je  přímou  součástí  edukační  situace),  obecnost  využití  pro  všechny  vyučovací  předměty  a  intuitivnost  ovládání  i  pro  malé  děti.  Jsou  připravovány  učebnice  matematiky,  které  převedeny  do  elektronické  podoby  umožňují  promítání  na  interaktivních  tabulích s animacemi a interaktivitou obrázků. Pro matematické vzdělávání je do  systému implementován i software DGE Geonext.   Strana | 11    

   

Na druhou stranu je třeba říci, že od určitého věku, kdy žák dokáže dobře ovládat  počítač pomocí myši, se výhoda přímé interaktivity ztrácí; pokud se místo tabule  použije prosté ovládání myší a zachová se projekce, je celý systém mobilnější. Na  druhém  stupni  základní  školy  je  pro  běžného  žáka  přirozené  používat  myš,  žáci  ve třídě jsou schopni sledovat kurzor myši na projekčním plátně i bez přítomnosti  osoby, která ukazuje. Na interaktivní tabuli je technicky složitější provádět jinak  běžné  úkony  (použití  obou  rukou  k  manipulaci  s  objekty,  psaní  na  klávesnici,  použití pravého tlačítka myši) a je nutno být ostražitý na neopatrný dotyk; také  atraktivnost  pomůcky  s  věkem  žáka  klesá.  Typickým  představitelem  je  SmartBoard a ActiveBoard.   

  Obrázek 1.2‐8 Interaktivní tabule s běžící aplikací Cabri 3D   

1.3 Terminologie  Občas  se  v  textu  vyskytnou  nová  slova,  která  by  mohla  být  nesrozumitelná.  V  našem slovníčku jsou objasněna, je vysvětleno, v jakém významu se používají. 

Strana | 12    

   

  Obrázek 1.3‐1 Geometrická figura  Na obrázku je geometrická figura vzniklá geometrickou konstrukcí 

Slovníček některých pojmů a zkratek  DGE   ‐  prostředí  dynamické  geometrie,  software,  který  umožňuje  konstruovat  geometrické figury na obrazovce počítače (více viz kap. Matematický software a  jeho třídění) 

figura   ‐  v  knize  rozlišujeme  pojmy  obrázek  a  figura.  Počítačová  geometrická  figura  je  množina  objektů,  zobrazovaných  na  nákresně  (geometrických  obrazců,  čísel,  textových polí  apod.), obrázek je statický grafický objekt umístěný v textu knihy.  Můžeme  říci,  že  obrázek  zobrazuje  geometrickou  figuru,  dva  různé  obrázky  mohou  znázorňovat  tutéž  figuru  v  různých  situacích  (z  různého  úhlu  pohledu  nebo  před  a  po  manipulaci).  Odlišením  termínů  obrázek  a  figura  chceme  dynamiku  figury.        zdůraznit  Figura může být vnímána jako určitá situace na nákresně, ovšem s tím drobným  rozdílem,  že  situaci  lze  chápat  jako  vztahující  se  k  nákresně,  zatímco  figura  je  svébytná.  Např.  v  3D  prostředí  lze  situaci  (mající  vliv  např.  na  řešení  úlohy)  změnit pouhou změnou pozorovacího úhlu, zatímco figura se nezměnila. 

    Strana | 13    

   

konstrukce   ‐ proces vzniku figury; figura je vnímána jako výsledek geometrické konstrukce.  Zavedení pojmu figura zabraňuje terminologickým nepřesnostem, kdy by termín  konstrukce  mohl  být  užíván  pro  proces  i  jeho  výsledek  (např.  „na  obrázku  je  hotová geometrická konstrukce čtverce“). 

ICT   ‐ informační a komunikační technologie 

manipulace   ‐ pohybování s figurou s cílem změnit její polohu a tvar. Manipulace se provádí  buď  přímo,  uchopením  a  táhnutím  některého  z  objektů  myší,  nebo  nepřímo,  např. změnou číselných parametrů figury nebo použitím nástrojů animace. 

1.4 Zahrajte si matematickou hru!  Matematika  může  být  také  pěkná  zábava.  Zahrajte  si  některé  z  těchto  her,  prohlédněte si výukové programy pro výuku matematiky. Vžijte se do role žáka,  představte  si,  jak  by  takové  aktivity  motivovaly  do  výuky.  Přitom  ve  všech  případech jde o rozvoj matematického myšlení! 

Cíle:   ukázat matematické výukové programy a hry  zažít pocit hraní (matematické hry) 

Zadání:   Zahrajte si  Nabízíme několik aktivit, které lze stejně dobře označit výukové programy nebo  hry, s matematických obsahem (u některých je to více zřejmé, u některých méně:  někde  jde  o  zvládnutí  školního  učiva,  jinde  o  použití  matematických  schopností  při tvorbě strategie hry apod.)   

  Strana | 14    

   

Matematické omalovánky ‐ problém 4 barev  Omalujte obrázek co nejmenším počtem barev (na všechny stačí pouhé 4 barvy,  někde i méně!)  Pozor, nesmíte obarvit dvě sousední plošky stejnou barvou.  obr. 1  Hra 4 barvy ‐ omalovánky 

  Obrázek 1.4‐1 Hra Matematické omalovánky  propedetika topologie na ZŠ 

  Hra Ščelk  Hra pro dva hráče, kteří se střídají v odebírání čtverečků. Kdo odebere poslední,  prohrál.  Po kliknutí zmizí všechny čtverečky napravo a nahoru od označeného čtverečku.  obr. 2  hra Ščelk   

Strana | 15    

   

  Obrázek 1.4‐2 Hra Ščelk pro 2 hráče 

střídavé odebírání políček z plochy 

  Číselné bludiště  Hrací kamen "jezdí" po čtvercové síti a cestou ji likviduje. Při jednom tahu vyrazí  do směru, který určí hráč kliknutím na sousední políčko, a popojede o počet polí,  které je napsáno na kliknutém políčku. Kdo dojede nejdál?  obr. 3  Hra Bludiště 

  Obrázek 1.4‐3 Hra Číselné bludiště 

kruh jezdí ve zvoleném směru o počet políček souseda  Strana | 16    

   

Hlavolam Sovy  Úkolem je převést sovy na druhou stranu, sova může přeskočit pouze jednu sovu  opačné barvy, ale žádnou sovu své barvy.  obr. 4  hlavolam Sovy 

  Obrázek 1.4‐4 Hlavolam Sovy  Sovy si chtějí navzájem vyměnit místa 

Výrazy ‐ výukový program  Hráč  má  za  úkol  zapsat  výraz,  který  bude  generovat  prvních  n  prvků  řady  čísel  tak, aby vyhovovala zadání.   Např.  výraz  "2*x+1"  bude  generovat  čísla  3  5  7  9  11  ..).  Jak  ale  zapsat  výraz,  generující  37 27 17 7 ‐3 ... ?  obr. 5  výukový Výrazy 

 

Strana | 17    

   

Obrázek 1.4‐5 Výukový program Výrazy  hledání předpisu posloupnosti, tak aby se shodovalo se zadáním 

  Hlavolam Cannibals  Varianta  známé  hry  vlk,  koza  a  zelí.  Převeďte  misionáře  s  lidožrouty  přes  řeku,  ale nenechte misionáře o samotě s přesilou!  obr. 6  hra Cannibals 

  Obrázek 1.4‐6 Cannibals ‐ hlavolam typu vlk, koza, zelí 

převezte lidožrouty i misionáře přes řeku 

  Tipy pro řešení:   Vyberte si  podle obrázků  vlevo a krátkého popisu.  Sami přijděte na to, jak hrát  (někde poslouží nápověda v programu, někde experimentování).   

Strana | 18    

   

2 Změny ve výuce způsobené použitím  počítačů  Jde o teoretickou kapitolu, která přináší informace o tom, jak se mění výuka pod  vlivem  používání  počítačů,  jaké  aspekty  má  používání  technologií  ve  výuce  matematiky i ve výchově člověka. 

  Cíle:   Často  kritizujeme  na  žácích,  že  jsou  povrchní,  že  přeskakují  z  jednoho  do  druhého,  že  nečtou  a  jen  si  prohlížejí.  ‐‐  Prosím  Vás,  abyste  v  tomto  kurzu  nesklouzli  právě  k  povrchnosti.  Řada  pěkných  animací  a  interaktivních  obrázků  svádí k přeskakování textu. Ovšem právě tento text poskytuje možnost vhledu do  problému; na obrázcích to podstatné často není patrné.   

2.1 Aspekty nasazení počítače do výuky  matematiky  Pdf soubor obsahuje přehled vybraných výhod a nevýhod používání počítače při  výuce, stejně jako rizik nebo obav z jejich používání.   Je  dobré,  když  učitel  předem  ví  o  rizicích,  ke  kterým  může  jeho  výuka    s  počítačem směřovat, aby si jich všímal a dokázal je odhalit.  

  Cíle:   Uvědomit si, že výuka pomocí počítače není jen mechanické přidání počítače do  své výuky bez dalších změn ve stylu výuky, v přípravě, v přístupu apod.     

Strana | 19    

   

2.2 Prohlédněte si obrázky k článku jako  pohyblivé konstrukce  Zde si spusťte soubor s dynamickou konstrukcí obrázku 3 k předchozímu článku. 

  Zadání:   Nejprve si znovu prohlédněte obrázek 3 z článku.  Zkuste tipnout, jak se bude levé kolo na obrázku pohybovat.  Poté soubor otevřete a ověřte svůj tip, svoji hypotézu.  Soubor pro Cabri:  obr.3 přední kolo  Soubor pro Geogebru:  obr3 přední kolo   

  Obrázek 2.2‐1 přední kolo     

Strana | 20    

   

Návrh řešení:   Takovéto  "nápady"  jsou  schovány  ve  většině  souborů,  které  budete  spouštět  v  ostatních aktivitách. Prosím nevynechávejte spouštění souborů s konstrukcemi a  jejich prohlížení a manipulaci označenými body pomocí myši:  ‐ jednak si trénujete ovládání programu  ‐  jednak  teprve  z  dynamického  modelu  je  často  patrné,  co  měl  autor  textu  na  mysli.   

Strana | 21    

   

3 Základní seznámení s různými druhy  výukového software pro matematiku  Zde bychom rádi ukázali "v akci" různé výukové materiály a prostředí, která jsme  vyjmenovali v minulé  kapitole. To ovšem s sebou  nese problém: řada produktů  není  zdarma  a  prakticky  všechny  je  třeba  zase  na  počítač  nainstalovat.  Toho se  chceme  vyvarovat.  Proto  uděláme  kompromis  a  většinou  ukážeme  náhledy  takových prostředí a typických aktivit a úloh. 

3.1 Algebraické systémy  Počítačové algebraické systémy jsou výpočetní programy, které dokáží "vypočítat  cokoliv"  Jsou to spíše matematické programy, některé  z nich vytvářejí prostředí vodná i  pro školy.  Algebraický program:      ∙ počítá nejen numerické, ale i symbolické výpočty      ∙ upravuje výrazy, řeší rovnice a matice      ∙ dovede derivovat a integrovat      ∙ kreslí grafy funkcí 

Algebraické systémy 

  Obrázek 3.1‐1 3D grafy v Derive  podle vzorce zapsaného ve spodním okně 

Strana | 22    

   

  Obrázek 3.1‐2 Algebraické okno v Derive 

  Obrázek 3.1‐3 3D grafy v Mathematice 

Strana | 23    

   

  Obrázek 3.1‐4 Grafika v Mathematice  ovládání pomocí posuvníků   

  Obrázek 3.1‐5 Mathematica ‐ graf vložený do výpočtů 

zvětšete si lupou   

Strana | 24    

   

Protože  algebraické  systémy  jsou  drahé  a  všechny  "zadarmo"  verze  jsou  buď  velmi  slabé,  nebo  velice  obtížně  uživatelsky  ovladatelné,  soustředíme  se  na  ukázky, ze kterých by bylo možno pochopit, o jakou práci se jedná.  Obecně platí, že takovéto programy nachází uplatnění na vysokých školách. 

Prohlédněte si  1. Videa, ukazující možnosti algebraických programů, konkrétně Mathematica  Jde o videa z YouTube.  http://www.youtube.com/watch?v=pIE9wcrQ0Ps&feature=related   http://www.youtube.com/watch?v=dQfI1D5PeaA&feature=related   Je  potřeba  vědět,  že  se  jedná  o  výběrové  motivační  ukázky,  že  kvalitní  práce  s  těmito  programy  není  jen  pěkné  klikání  myší,  ale  také  řada  znalostí  a  matematického umu.  2.  Pro  ukázku,  jak  vypadá  práce  s  takovým  programem,  si  prohlédněte  dokument, který ukazuje výpis výpočetní stránky z programu Derive. 

Pro zájemce  Jednodušší  program  Derive,  který  postačuje  i  pro  střední  školy  a  nemá  složité  ovládání, je možno v demoverzi vyzkoušet: nainstalovat a zkusit vyřešit některé  úlohy:  řešení rovnic  úpravy výrazů  řešení matic  vytváření 2D a 3D grafů (zvláště tato oblast je atraktivní svojí vizuální složkou).  Demoverze Derive  http://www.derive.cz/html/index.htm   Seznam výukových materiálů pro používání Derive  http://www.pf.jcu.cz/p‐mat/texty/cas.htm   Strana | 25    

   

3.2 Tabulkové procesory  Tabulkové procesory jsou běžné nástroje hromadného zpracování dat.  Mezi  tabulkové  procesory  počítáme  např.  programy  OpenOffice  Calc  nebo  Microsoft Excel      ∙ dokáží počítat podle vzorců a vytvářet grafy      ∙ slouží jako experimentální prostředí pro výuku:          procentuálního počtu,          statistiky,          počtu pravděpodobnosti          a dalších partiích matematiky. 

  Obrázek 3.2‐1 Grafy simulující hod hrací kostkou 

Strana | 26    

   

Tabulkové procesory  Programy, sloužící především k hromadnému zpracování dat, jsou někdy vhodné  i  pro  výuku  matematiky.  Učitel  si  ale  musí  uvědomit,  že  cílem  výuky  není  zvládnout tento program a jeho nástroje.  Připravili  jsme  pro  Vás  výběr  několika  netypických  inspirativních  úloh,  které  učí  matematiku.  Na  každém  listu,  které  se  přepínají  na  záložkách  pod  tabulkou,  najdete jednu úlohu. Na titulním listu najdete vysvětlení a návod k ovládání.  Máte‐li MS Excel:  Ukázky práce ‐ Excel   Máte‐li OpenOffice:  Ukázky práce ‐ OpenOffice   Nemáte‐li ani jeden, stáhněte si a zdarma nainstalujte OpenOffice z této adresy:  http://www.openoffice.org  

  Obrázky  Na  obrázcích  vidíte  některé  z  těchto  aktivit  v  souborech,  které  si  otevřete.  Výhoda souboru proti obrázkům je v interaktivitě:  ‐ můžete některá čísla přepsat a podívat se, jak se změnil graf, čísla, řešení.  ‐  můžete  pouze  nechat  přepočítat  všechny  buňky  tabulky  (klávesou  F9)  ‐  má  význam při použití generátoru náhodných čísel.     

Strana | 27    

   

  Obrázek 3.2‐2 Výpočet Pí podle Leibnizova vzorce 

postupnými iteracemi součtu číselné řady 

  Obrázek 3.2‐3 Tabulka násobilky s vyčerněnými násobky čísla v žluté buňce 

použito podmíněné formátování zde násobků 12  Strana | 28    

   

  Obrázek 3.2‐4 Netradiční metoda výpočtu tradiční úlohy 

generování číselných řad a hledání výsledku v pravém sloupci 

  Obrázek 3.2‐5 Pomůcka učitele pro přípravu na výuku 

automatické generování zadání úloh s pěknými výsledky  Strana | 29    

   

3.3 Mikrosvěty  Program Logo dává intenzívní prostředí pro trénink geometrické představivosti,  poskytuje  alternativní  soustavu  souřadnou  "z  pozice  želvy  jako  středu  světa",  blízké vnímání dětí . Typickým reprezentantem je Imagine, bohaté prostředí pro  výuku algoritmizace.  Řadí se ke skupině programů zvaných Mikrosvěty      ∙ Obsahuje želví grafiku, která umožňuje rozvoj chápání geometrie.      ∙ Ovládáním želvičky pomocí příkazů lze vytvářet geometrické obrazce.      ∙ Používáním parametrů v příkazech umožňuje vybudovat pojem proměnné ve  výrazu.      ∙ Podporuje tvůrčí aktivitu dítěte.  

Princip práce v Logo  Metodika  výuky  geometrie,  algoritmizace,  představivosti  a  řešení  problémů  pomocí  kreslení  v  tzv.  želví  geometrii  je  ve  světě  dostatečně  ověřena  a  svojí  pěknou  grafikou  poskytuje  vhodnou  motivaci.  Opírá  se  o  více  než  40  let  zkušeností,  postavených  na  prostředí  a  jazyku  Logo  a  podporovaných  konstruktivistickou  teorií  učení  (Piaget,  Papert).  Žák  za  pomocí  velmi  malého  počtu  základních  příkazů  a  pomocí  základních  znalostí  z  geometrie  vytváří  počítačovou grafiku. 

Ovládání želvího "robota"  Při práci v Logo na základní úrovni uživatel pomocí příkazů ovládá grafický kreslící  objekt,  takzvanou  želvu.  Příkazy  dopředu,  vlevo,  vpravo,  opakuj,  smaž,  když  a  dalšími ovládá tohoto virtuálního robota, který podle příkazů leze po obrazovce a  kreslí  za  sebou  čáru,  obtiskává  obrázky  nebo  sám  může  převzít  podobu  jiného  obrázku, který tak běhá po obrazovce.   Prohlédněte si obrázky.   

Strana | 30    

   

Želví grafika  Na rozdíl od standardní kartézské souřadnicové soustavy s pevnými osami x a y,  které jsou na sebe kolmé, je želví grafika umístěna do tzv. „želví“ soustavy, která  více odpovídá vnímání menších dětí. Ty chápou svět více sebestředně, vidí samy  sebe ve středu světa ‐ mohou se tedy s želvou identifikovat a její pohyb řídit „ze  svého pohledu“.  Želví souřadnicová soustava je v podstatě relativní polární soustava se středem v  místě, kde se právě želva nachází, a s hlavním směrem ve směru momentálního  natočení želvy. Příkazy pro změnu pozice v takové soustavě jsou příkazy dopředu  (posunutí želvy o daný počet pixelů) a vlevo (otočení želvy o daný počet stupňů).   Tato  soustava  se  osvědčila  při  výuce  začátečníků  v  orientaci  na  grafické  ploše.  Mohou totiž kreslit obrázky z pohledu procesu jejich vytváření, nikoliv z pohledu  výsledného tvaru. Další výhodou této soustavy je, že je relativní. Např. nakreslit  obrázek  pootočeného  čtverce  je  v  této  soustavě  snadnější  (nejprve  otočíme  želvu, pak nakreslíme  čtverec stejnými  příkazy jako  čtverec původní), zatímco v  soustavě  kartézské  by  to  znamenalo  složité  výpočty  často  nad  možnostmi  studentů střední školy. 

Příklady příkazů:  opakuj 4 [dopředu 100 vpravo 90]                                      ‐ nakreslí čtverec o délce  strany 100 (pixelů obrazovky)  opakuj 4 [dopředu 60 vpravo 90]                                        ‐ nakreslí menší čtverec  opakuj 3 [dopředu 100 vpravo 120]                                     ‐ nakreslí rovnostranný  trojúhelník  dopředu  100  vlevo  90  ‐ nakreslí velké písmeno T 

dopředu 

20 

vpravo 

180 

dopředu 

40                                                            

puntík  30  vpravo  90  dopředu  90  puntík  30  vpravo  180  dopředu  45  vlevo  90  dopředu 6 vpravo 180     ‐ želva nakreslí činku a zvedá ji  Tyto  a  další  příkazy  si  můžete  vyzkoušet  v  tréninkovém  prostředí,  které  si  spustíte zde:  Želví trénink   Strana | 31    

   

Příkazy můžete zkopírovat do tréninkového prostředí a vyzkoušet, jak fungují (viz  obr. 6).   

  Obrázek 3.3‐1 Želví grafika 

podle příkazů v dolním řádku želva vykreslí obrázek     

  Obrázek 3.3‐2 Želví grafika 

obrázek je složen ze zvětšujících se čtverců  Strana | 32    

   

  Obrázek 3.3‐3 základní úloha ‐ nakreslit domek 

‐ se všemi stranami stejně dlouhými   

  Obrázek 3.3‐4 Prostředí Imagine Logo 

české prostřdí, vhodné k výuce geometrie i programování     

Strana | 33    

   

  Obrázek 3.3‐5 Obrázky k kružnic 

kružnice: opakuj 360 [dopředu 3 vpravo 1]   

    Obrázek 3.3‐6 Želví trénink, prostředí pro tento úkol 

do žlutého pole se píší příkazy pro želvu, vpravo se vykreslují       

Strana | 34    

   

4 Základy práce s geometrickými  počítačovými programy  V této kapitole se naučíte základní práci v dynamickém geometrickém prostředí,  tedy buď v Cabri, nebo v Geogebře (podle Vaší volby). Abyste mohli porozumět  dalším  kapitolám  (např.  o  odlišnosti  práce  s  počítačem  od  geometrie  tužky  a  papíru,  o  dynamice  v  geometrii  nebo  didaktickým  kapitolám  o  formách  práce,  potřebujete  umět  v  prostředí  pracovat.  Nyní  se  naučíte  rýsovat  jednoduché  figury, vesměs takové, jejichž postup již znáte.   

Cíle:   Orientovat se v prostředí počítačové aplikace.  Zvládnout základní konstrukce.  Porozumět filozofii práce v aplikaci dynamické geometrie.   

4.1 Základy rýsování v Cabri  Zde  je  úvodní  stručný  kurz  rýsování  v  Cabri.  Po  něm  bude  následovat  sada  rýsovacích cvičení. 

Cíle:   Naučit se ovládat prostředí programu a rýsovat jednoduché figury.  Tento článek obsahuje opravdu jen strohé základy, protože hlavním cílem testu  není  řemeslné  ovládnutí  programu.  Podrobný  popis  najdete  v  kurzu  ovládání  programu Cabri na webu:   http://www.pf.jcu.cz/cabri/kurz/index.html   Zde následuje pouze stručný výklad, který může sloužit jako vysvětlivky pro Vaše  vlastní rýsování v následujících cvičeních.  

Strana | 35    

   

Prostředí Cabri  Interaktivní geometrický náčrtník má v horní části lištu s geometrickými nástroji.  Podržením  stisknuté  myši  nad  ikonou  se  rozbalí  nabídka  dalších  rýsovacích  nástrojů.  (obr. 1) 

  Obrázek 4.1‐1 Rozbalená nabídka rýsovacích nástrojů 

úplně vlevo je nástroj Ukazovátko, umožňující tahání za objekty  Všimněte  si,  že  konstrukční  nástroje  (Kolmice,  Střed  úsečky,  Rovnoběžka  ...)  najdete pohromadě, pod jednou ikonou.  Stejně tak zobrazení (osová souměrnost, posunutí, otočení) najdete pohromadě.  Formátovací  nástroje  (barva  objektů,  jejich  velikost,  viditelnost  apod.)  najdete  pod poslední ikonou vpravo.   

Strana | 36    

   

Nový objekt  Většinou  se  pracuje  tak,  že  se  vybere  rýsovací  nástroj  a  pak  klepne  myší  do  plochy  (jednou  nebo  několikrát,  podle  typu  nástroje).  Dobrou  pomůckou  je  zapnutí  kontextové  nápovědy,  která  jednou  větou  poradí,  jak  zacházet  s  vybraným  rýsovacím  nástrojem.  Nápověda  se  zapíná  z  nabídky  Nápověda  nebo  klávesou F1.  Vytvořeným  objektem  můžete  pohybovat  po  nákresně  při  zapnutém  nástroji  Ukazovátko  (úplně  vlevo).  Začátečníkům  dělá  problém  přepínání  do  režimu  Ukazovátka    ‐  režimu  hýbání  s  objekty.  Často  chtějí  pohnout  s  objektem,  ale  protože mají zapnutý jiný nástroj, místo toho např. vytvoří nový bod apod.  (obr. 2) 

  Obrázek 4.1‐2 Znázorněné uchopení a táhnutí objektu 

rozfázovaný pohyb přímky, tažené myší po nákresně       

Strana | 37    

   

Závislost objektů  Některé  objekty  jsou  závislé  na  předchozích.  Stále  zachovávají  svůj  vztah  k  tzv.  objektu,  kterým  jsou  určeny  (např.  kolmý,  leží  na  objektu,  rovnoběžný,  je  středem  úsečky  apod.),  a  také  přestávají  existovat,  když  přestane  existovat  objekt, na němž jsou závislé.   Např. vytvoříme‐li přímku b jako kolmici na jinou přímku a, bude tato přímka b  stále kolmá na přímku a i po manipulaci. Když ovšem smažeme přímku a, smaže  se automaticky i přímka b, protože je přímkou a definovaná.  Přiblíží‐li  se  myš  k  objektu,  objeví  se  u  ní  hlášení  (např.  tato  přímka,  obr.  3).  Hlášení  usnadňuje  orientaci  na  nákresně  při  rýsování  nových  objektů:  pomáhá  určit, zda opravdu ukazujeme na objekt, který potřebujeme označit) 

Mazání objektů  Objekt  na  nákresně  můžete  označit  (klepnutím  myší  nebo  zatržením  oblasti).  Označené objekty se mohou smazat klávesou Delete.  (obr. 3) 

  Obrázek 4.1‐3 Označení objektu (čárkovaná úsečka) např. k smazání 

v blízkosti objektů se u myši objevuje pomocné hlášení  Strana | 38    

   

Skrytí objektů  Objekty na nákresně lze zneviditelnit, skrýt. Režim Zobrazit/Skrýt najdete vpravo  na  liště  nástrojů.  Přepnete‐li  do  tohoto  režimu,  neviditelné  objekty  jsou  vytečkovány.  Klepnutím  na  objekt  jej  nastavíte  jako  neviditelný,  klepnutím  na  "neviditelný"  tečkovaný  objekt  jej  opět  zviditelníte.  Režim  Zobrazit/Skrýt  ukončíte např. volbou nástroje Ukazovátko.  (obr. 4) 

  Obrázek 4.1‐4 Režim Zobrazit/Skrýt 

tečkovaná kružnice a počáteční bod vektoru budou skryty  Rozdíl mezi smazaným a skrytým objektem je následující:  Smazaný objekt přestal existovat, zrušily se všechny vazby nezi tímto objektem a  dalšími objekty.  Skrytý objekt však stále udržuje vazby  s ostatními,  objekty na něm závislé stále  existují. 

Strana | 39    

   

Např.  představme  si,  že  máme  sestrojenu  kružnici  trojúhelníku  opsanou,  zkonstruovanou  pomocí  dvou  os  stran.  Jestliže  smažeme  jednu  osu  strany,  zanikne  i  kružnice.  Když  osu  strany  skryjeme,  osa  vidět  nebude,  ale  kružnice  se  bude chovat správně.  

Ukládání figury  Stejně jako jiné programy, Cabri umožňuje uložit práci do souboru. Nový obrázek  je vhodné začít příkazem Soubor/Nový obrázek. 

Posouvání nákresny a zoom  Nákresna se posouvá tažením za úchopové body po stranách nákresny.  V  Cabti  není  možné  přibližovat  a  oddalovat  nákresnu.  Lze  ovšem  zvětšovat  a  zmenšovat objekty vhodnou manipulací. 

Cvičení  Nyní  budou  následovat  cvičení,  v  nichž  budete  v  Cabri  rýsovat  jednoduché  konstrukce. Vždy se můžete vrátit k tomuto textu pro osvěžení paměti.   

4.2 Základy rýsování v Geogebře  Zde je  úvodní stručný kurz rýsování v  Geogebře. Po něm  bude  následovat sada  rýsovacích cvičení. 

Cíle:   Naučit se ovládat prostředí programu a rýsovat jednoduché figury.  Podrobnou nápovědu pro program Geogebra najdete na webu:   http://www.geogebra.org/help/docucz/   Zde následuje pouze stručný výklad, který může sloužit jako vysvětlivky pro Vaše  vlastní rýsování v následujících cvičeních.      

Strana | 40    

   

Prostředí GeoGebra  Interaktivní geometrický náčrtník má v horní části lištu s geometrickými nástroji.  Okno vlevo s popisem objektů je možno vypnout (nabídka Zobrazit/Algebraické  okno),  stejně  tak  je  možno  vypnout  příkazový  řádek  dole  (nabídka  Zobrazit/Vstupní  pole).  Pokud  necháte  okno  algeobraické  okno  zobrazené,  automaticky se vytváří popis všech nových objektů, při vypnutém okně se popis  nevytváří.  Klepnutím  na  malý  trojúhelníček  na  ikoně  nástroje  (trojúhelníček  zčervená)  se  rozbalí nabídka dalších rýsovacích nástrojů.  (obr. 1) 

  Obrázek 4.2‐1 Rozbalená nabídka rýsovacích nástrojů v Geogebře 

Vlevo je algebraické okno, vlevo nahoře je nástroj Ukazovátko.  Všimněte  si,  že  konstrukční  nástroje  (Kolmice,  Střed  úsečky,  Rovnoběžka  ...)  najdete pohromadě, pod jednou ikonou.  Stejně tak zobrazení (osová souměrnost, posunutí, otočení) najdete pohromadě.   

Strana | 41    

   

Formátovací nástroje (barva objektů, jejich velikost, viditelnost apod.) najdete v  kontextovém menu (klepnout pravým tlačítkem na objekt, položka Vlastnosti). 

Nový objekt  Většinou  se  pracuje  tak,  že  se  vybere  rýsovací  nástroj  a  pak  klepne  myší  do  plochy  (jednou  nebo  několikrát,  podle  typu  nástroje).  Dobrou  pomůckou  je  nápověda, která v části 3.2 poradí, jak zacházet s vybraným rýsovacím nástrojem.  Nápověda se zapíná z nabídky Nápověda nebo klávesou F1.  Vytvořeným  objektem  můžete  pohybovat  po  nákresně  při  zapnutém  nástroji  Ukazovátko  (úplně  vlevo).  Začátečníkům  dělá  problém  přepínání  do  režimu  Ukazovátka    ‐  režimu  hýbání  s  objekty.  Často  chtějí  pohnout  s  objektem,  ale  protože mají zapnutý jiný nástroj, místo toho např. vytvoří nový bod apod.  (obr. 2)   

  Obrázek 4.2‐2 Znázorněné uchopení a táhnutí objektu 

rozfázovaný pohyb přímky, tažené myší za bod B po nákresně     

Strana | 42    

   

Závislost objektů  Některé  objekty  jsou  závislé  na  předchozích.  Stále  zachovávají  svůj  vztah  k  tzv.  objektu,  kterým  jsou  určeny  (např.  kolmý,  leží  na  objektu,  rovnoběžný,  je  středem  úsečky  apod.),  a  také  přestávají  existovat,  když  přestane  existovat  objekt, na němž jsou závislé.   Např. vytvoříme‐li přímku b jako kolmici na jinou přímku a, bude tato přímka b  stále kolmá na přímku a i po manipulaci. Když ovšem smažeme přímku a, smaže  se automaticky i přímka b, protože je přímkou a definovaná.  Přiblíží‐li  se  myš  k  objektu,  objekt  vytvoří  stín  (obr.  3).  Vystínování  usnadňuje  orientaci  na  nákresně  při  rýsování  nových  objektů:  pomáhá  určit,  zda  opravdu  ukazujeme na objekt, který potřebujeme označit. 

Mazání objektů  Objekt  na  nákresně  můžete  označit  (klepnutím  myší  nebo  zatržením  oblasti).  Označené objekty se mohou smazat klávesou Delete.  (obr. 3)   

  Obrázek 4.2‐3 Označení více objektů zatržením obdélníkem (bod B, úsečka) 

v blízkosti kurzoru myši se objekt vystínuje  Strana | 43    

   

Skrytí objektů  Objekty  na  nákresně  lze  zneviditelnit,  skrýt.  Režim  Ukázat/Skrýt  objekt  najdete  vpravo  na  liště  nástrojů.  Přepnete‐li  do  tohoto  režimu,  neviditelné  objekty  jsou  vystínován.  Klepnutím  na  objekt  jej  nastavíte  jako  neviditelný,  klepnutím  na  "neviditelný" vystínovaný objekt jej opět zviditelníte. Režim Ukázat/Skrýt objekt  ukončíte např. volbou nástroje Ukazovátko.  (obr. 4) 

  Obrázek 4.2‐4 Režim Ukázat/Skrýt objekt 

vystínovaný bod B a úsečka budou skryty  Rozdíl mezi smazaným a skrytým objektem je následující:  Smazaný objekt přestal existovat, zrušily se všechny vazby mezi tímto objektem a  dalšími objekty.  Skrytý objekt však stále udržuje vazby  s ostatními,  objekty na něm závislé stále  existují.  Např.  představme  si,  že  máme  sestrojenu  kružnici  trojúhelníku  opsanou,  zkonstruovanou  pomocí  dvou  os  stran.  Jestliže  smažeme  jednu  osu  strany,  zanikne  i  kružnice.  Když  osu  strany  skryjeme,  osa  vidět  nebude,  ale  kružnice  se  bude chovat správně.   Strana | 44    

   

Ukládání figury  Stejně  jako  jiné  programy,  Geogebra  umožňuje  uložit  práci  do  souboru.  Nový  obrázek je vhodné začít příkazem Soubor/Nový. 

Posouvání nákresny a zoom  Nákresna se posouvá nástrojem Posunout nákresnu (pravý sloupec nástrojů).  Zoom lze realizovat nástroji Zvětšit a Zmenšit (tamtéž). 

Cvičení  Nyní  budou  následovat  cvičení,  v  nichž  budete  v  Geogebře  rýsovat  jednoduché  konstrukce. Vždy se můžete vrátit k tomuto textu pro osvěžení paměti.   

4.3 Rýsujeme  V  tomto  a  dalších  cvičením  rýsujte  ve  svém  programu  (Cabri  nebo  Geogebra)  podle postupu, který je popsán v zadání. 

Cíle:   Prakticky vyzkoušet poznatky z minulého článku.  Porozumět filozofii práce při rýsování v počítači. 

Zadání:   V  tomto  a  dalších  cvičením  rýsujte  ve  svém  programu  (Cabri  nebo  Geogebra)  podle  postupu,  který  je  popsán  v  zadání.  Otevřete  si  prostředí  programu  a  začněte na čistý list. 

Konstrukce podle postupu  1. Sestrojte dvě kružnice.  2. Posuňte jednu z kružnic tak, aby se protínaly.  3. Sestrojte průsečíky kružnic a těmito průsečíky veďte přímku.  Strana | 45    

   

4.  Sestrojte  volný  bod  někde  na  nákresně  a  tímto  bodem  veďte  kolmici  na  přímku. 

Manipulace s figurou  Uchopte jednu z kružnic a pohybujte s ní.  Zjistíte, že :  a)  jestliže  se  kružnice  neprotínají,  přestávají  existovat  průsečíky,  přímka  i  kolmice.   b) jakmile se kružnice protnou, přímky se opět objeví.  c) (pohybujte jednou kružnicí tak, aby kroužila kolem druhé a přitom ji protínala)  ‐ jestliže se spojnice průsečíků vlivem manipulace naklání, kolmice zůstává stále  kolmá a stále prochází volným bodem. 

Skrytí objektu  1. Skryjte přímku ‐ sponici průsečíků (vyberte odpovídající nástroj).  2. Vyberte nástroj Ukazovátko, uchopte jednu z kružnic a tahejte s ní.  Zjistíte, že:  a)  ačkoliv  přímka  není  vidět,  kolmice  se  pohybuje,  takže  vztahy  mezi  objekty  zůstaly zachovány.  3. Zobrazte skrytou přímku ‐ v režimu skrytí objektů na ni klepněte myší. 

Smazání objektu  Označte myší jeden z průsečíků a klávesou Delete jej smažte.  Zjistíte, že:  a) smazal se tento průsečík  b) smazaly se i objekty na něm závislé (obě přímky).   c) volný bod zůstal zachován, protože není na průsečíku závislý. 

  Strana | 46    

   

Tipy pro řešení:   Pro Geogebru:   nástroj  Kružnice  daná  středem  a  poloměrem  nabízí  okno,  do  něhož  napíšete  velikost poloměru. 

  Návrh řešení:   Manipulace s figurou  Na  rozfázovaném  obrázku  je  patrné  táhnutí  kružnice  kolem  druhé.  Je  vidět,  že  přímky jsou stále na sebe kolmé.   

  Obrázek 4.3‐1 Táhnutí za jednu z kružnic kolem druhé 

je vidět, že přímky jsou stále na sebe kolmé     

Strana | 47    

   

4.4 Kružnice opsaná  Další cvičení seznamující s prací v prostředí. 

Cíle:   Rozlišení překrývajících se objektů 

Zadání:   Sestrojte kružnici trojúhelníku opsanou  Použijte standardní postup:  1. sestrojte libovolný trojúhelník  2. poté tři jeho osy stran  3. průsečík těchto os je středem kružnice  4. kružnici se středem v průsečíku a procházející jedním vrcholem.   

  Obrázek 4.4‐1 Kružnice trojúhelníku opsaná 

Strana | 48    

   

5. Táhnutím vyzkoušejte, zda je kružnice opsaná pořád.   6.  Táhněte  jeden  vrchol  trojúhelníka  tak,  aby  prošel  mezi  zbývajícími  dvěma.  Poloměr  kružnice  přejde  "přes  nekonečno"  (žáci  jedné  třídy  tímto  způsobem  "zkoumali", co je "za nekonečnem"). 

Problém průsečíku více objektů  Při konstrukci jste patrně narazili na problém, že počítač neuměl označit průsečík  všech tří os.  Počítač pracoval správně, nemůže totiž vybrat průsečík současně tří objektů. Jak  víme,  průsečík  je  množinově  průnik,  a  ten  je  definován  jako  průnik  DVOU  množin.  Z geometrického pohledu, počítač "neví", že tři osy, které se protínají v jednom  bodě, se tak budou protínat vždy, i po manipulaci. Je nutno označit jen dvě ze tří  os. 

Jak to řeší Cabri  Cabri  se  "zeptá",  které  dva  z  objektů  máme  na  mysli.  Je  pak  třeba  v  nabídce  označit jednu z os a na druhou klepnout vzápětí. 

  Obrázek 4.4‐2 Průsečík více objektů v Cabri 

Objeví se hlášení a pak se vybírá z nabídky objektů  Strana | 49    

   

Jak to řeší Geogebra  Geogebra  nás  nechá  vybrat  jednu  z  os  a  na  tu  bod  umístí  (tedy  nepůjde  o  průsečík).   Průsečík  z  více  překrývajících  se  objektů  sestrojíme  nástrojem  Průsečíky  dvou  objektů (pod nástrojem Bod) 

  Obrázek 4.4‐3 Průsečík více objektů v Geogebře 

Objeví se nabídka objektů, vytvoří se bod na vybraném objektu 

Tipy pro řešení:   Osy  Nejprve sestrojte pouze DVĚ osy místo všech tří. Ke konstrukci stačí a vyhnete se  potížím naznačeným v zadání. 

Trojúhelník v Geogebře  Použijte  nástroj  Mnohoúhelník.  Ten  ukončíte  klepnutím  na  první  sestrojený  vrchol.   

Strana | 50    

   

Návrh řešení:   Cabri:  kružnice opsaná  Geogebra:  GGebra kruž. opsaná 

  4.5 Osová souměrnost  Na lehké úloze si vyzkoušejte vytvářet obrazy v osové souměrnosti. 

Cíle:   zvládnout používání nástroje Osová souměrnost 

Zadání:   Housenka  Rýsujte podle postupu  1.  Sestrojte  čtyřúhelník  (nástrojem  Mnohoúhelník,  poslední  vrchol  klepněte  do  prvního).  2.  Sestrojte  obraz  mnohoúhelníka  podle  některé  jeho  strany  (nástroj  Osová  souměrnost, klepněte na mnohoúhelník, pak na jeho stranu).  3.  Opakujte  několikrát,  vytvářejte  další  obrazy  tak,  abyste  dostali  řadu  čtyřúhelníků.  4. Pohybujte vrcholy vzoru a pozorujte. Nastavte nějaký zajímavý tvar a uložte.   

Strana | 51    

   

  Obrázek 4.5‐1 Housenka 

několikanásobná osová souměrnost 

Tipy pro řešení:   V Cabri se mnohoúhelník označuje klepnutím na jeho stranu.  V Geogebře pak dovnitř útvaru. 

Návrh řešení:   Soubor s řešením pro Cabri:  housenka  Geogebra:  GGebra housenka   

4.6 Posunutí  Až sestrojíte vzor i obraz, vyzkoušejte pohybovat jak krajními body vektoru, tak  celým vektorem posunutí. Možná uvidíte rozdíl mezi vektorem a jeho umístěním. 

Zadání:   Až sestrojíte vzor i obraz v této úloze, vyzkoušejte pohybovat jak krajními body  vektoru,  tak  celým  vektorem  posunutí.  Možná  uvidíte  rozdíl  mezi  vektorem  a  jeho umístěním.  Strana | 52    

   

Parta krokodýlů  Rýsujte podle postupu:  1. Sestrojte mnohoúhelník tvaru krokodýla (ježka, myši, jiného zvířete).  2. Mimo tento útvar sestrojte vektor (nástroj Vektor).  3. Sestrojte obraz mnohoúhelníka v posunutí o vektor; nástroj Posunutí (C) nebo  Posun ve směru vektoru (GG), označte mnohoúhelník a pak vektor).  4. Sestrojte obraz obrazu podle stejného vektoru.  5. Opakujte vytváření dalších obrazů podle stejného vektoru.    Vyzkoušejte svůj dynamický model:  1. Měňte tvar mnohoúhelníku ‐ vzoru. Ostatní krokodýli by se měli také měnit.  2. Hýbejte krajními body vektoru.  3. Uchopte vektor a přemístěte jej. Proč se teď nic nepohybuje 

  Obrázek 4.6‐1 Řetězené posunutí 

jeden vzor a více obrazů posunutých podle stejného vektoru 

Návrh řešení:   Cabri:  dikobrazi  Strana | 53    

   

Geogebra:  GGebra krokodýli 

Vysvětlení  Figura  obsahuje  dva  vzájemně  nezávislé  objekty:  vektor  a  mnohoúhelník.  Dále  obsahuje obrazy mnohoúhelníka v posunutí o tento vektor.  Figura slouží k předvedení rozdílu mezi vektorem a jeho umístěním: Při uchopení  vektoru  myší  mimo  jeho  krajní  body  a  táhnutí  se  obraz  mnohoúhelníka  nepohybuje,  zatímco  při  táhnutí  za  krajní  bod  vektoru  se  obraz  přemísťuje.  V  prvním  případě  se  mění  pouze  umístění  vektoru,  nikoliv  vektor  jako  takový  (posunutí je dáno vektorem a jestliže se poloha obrazu nemění, nemůže se měnit  posunutí  a  tudíž  ani  vektor  posunutí).  Uchopením  za  krajní  bod  vektoru  se  již  poloha obrazu mění, mění se tedy i vektor.   

4.7 Další cvičení  Chcete‐li  dále  trénovat,  nabízíme  několik  námětů  na  nesložité  úlohy  (dobrovolné). 

Zadání:   Další cvičení  1. Sestrojte kružnici trojúhelníku vepsanou  2. Je dána úsečka. Sestrojte čtverec, jehož jednou stranou (úhlopříčkou) je daná  úsečka.  3. Je dána kružnice a bod. Sestrojte tečny z tohoto bodu ke kružnici.  4.  Je  dána  úsečka.  Sestrojte  rovnostranný  trojúhelník,  jehož  jednou  stranou  (výškou) je daná úsečka.     

Strana | 54    

   

5 Pokročilejší rýsování v počítači  V  této  kapitole  si  vyzkoušíte  trochu  pokročilejší  nástroje,  které  umožní  rýsovat  obrázky  přesné  velikosti,  používat  čísla  v  geometrické  konstrukci.  Počítač  umí  změřit  vzdálenost  a  nanést  ji  na  jiné  místo  konstrukce.  To  se  využívá  nejen  k  nanášení délky, ale i pro otočení a vytváření úhlů.  Protože v každém z námi používaných prostředí jde o poměrně odlišný přístup,  tato kapitola má dvě varianty ‐ jednu pro Cabri a druhou pro Geogebru. 

Cíle:   zvládnout využívání čísel v konstrukci  rýsovat objekty přesné velikosti (dané číslem)   

5.1 Používání čísel v konstrukci ‐ Cabri  V Cabri je možno změřit délky, úhly, obsahy a použít je v další konstrukci. 

Použití čísel v konstrukci v Cabri  V Cabri je možno změřit délky, úhly, obsahy a použít je v další konstrukci. Je také  možno na nákresně vytvořit objekt Číslo, který lze dodatečně editovat a použít v  další konstrukci např. jako parametr.  Podrobněji  o  číslech  v  http://www.pf.jcu.cz/cabri/kurz/index.html  

konstrukci 

‐ 

viz 

Získání čísel  1. Změřením (nástroje Vzdálenost a délka, Obsah, Velikost úhlu).  Délka strany se měří jako vzdálenost mezi dvěma body.  Velikost úhlu se měří označením tří bodů, ležících postupně na rameni, vrcholu a  druhém rameni (stejně, jako se úhel popisuje, např. AVB)    Strana | 55    

   

2. Vytvořením číselného objektu na nákresně (nástroj Čísla)  Tento objekt se edituje klepnutím myší a pak klávesnicí nebo klepáním na šipky  za číslem.    Vyzkoušejte:  Narýsujte trojúhelník. Změřte jeho délky stran, velikosti úhlů, obsah. 

  Nanášení čísel do konstrukce  Ukážeme si dva způsoby. 

Nástroj Nanést délku  Nanese  délku  danou  číslem  na  polopřímku,  na  kružnici  apod.  Přitom  se  myší  ozunačí objekt, na který se má délka naníst, a číslo, které leží na nákresně.  Používá se k vytvoření objektů přesných rozměrů.    Vyzkoušejte:  Sestrojte rovnoběžník o délce sousedních stran 4,5 cm a 3,5 cm.   

Nástroj Otočení  Sestrojí obraz objektu otočeného o daný úhel kolem daného středu otočení.  Používá se k sestrojení úhlu přesné velikosti (otočením polopřímky kolem jejího  krajního bodu).    Vyzkoušejte:  Sestrojte úhel velikosti 78°.  Strana | 56    

   

Nástroj Kružítko  Slouží  k  témuž  účelu  jako  kružítko  skutečné:  "nabere"  nějakou  vzdálenost,  "zabodne" do nějakého bodu a vykreslí kružnici.   Neboli:  jde  o  rýsování  kružnice,  jejíž  poloměr  je  někde  na  nákresně  a  není  dán  číslem.  Kružítko usnadňuje rýsování tím, že nemusíme měřit a pak vynášet toto číslo na  nákresnu.  Použijete ho všude tam, kde byste použili normální kružítko.   

5.2 Používání čísel v konstrukci ‐ Geogebra  Použití čísel v konstrukci v Geogebře  V Geogebře je možno změřit délky, úhly, obsahy a použít je v další konstrukci. Je  také možno na nákresně vytvořit objekt Posuvník, který lze dodatečně editovat a  použít v další konstrukci např. jako parametr.  Podrobněji  o  číslech  v  konstrukci  ‐  viz  nápověda  ke  Geogebře,  pod  záložkou  Index hledejte Posuvník http://www.geogebra.org/help/docucz/   

Získání čísel  1. Změřením (nástroje Vzdálenost, Obsah, Úhel).  Délka strany se měří označením úsečky nebo označením dvou bodů.  Velikost  úhlu  se  měří  označením  přímek,  svírajících  úhel,  nebo  označením  mnohoúhelníka  2. Vytvořením číselného objektu na nákresně (nástroj Posuvník)  Tento objekt se edituje pravým klepnutím myší a nastavením mezních hodnot.  Vyzkoušejte:  Narýsujte trojúhelník. Změřte jeho délky stran, velikosti úhlů, obsah.  Strana | 57    

   

Nanášení čísel do konstrukce (obr. 1)  Některé  nástroje  (Kružnice  daná  středem  a  poloměrem,  Úsečka  dané  délky  z  bodu) předpokládají vložení čísla, číselného parametru.  Objeví se okno (obr. 1), do něhož lze zapsat konkrétní číslo nebo písmeno, které  odpovídá názvu některého objektu na nákresně (strany trojúhelníka a, úsečky f,  úhlu   atd.)  Není tedy nutno změřit daný parametr. 

  Obrázek 5.2‐1 Použití posuvníku v konstrukci 

vytvořená kružnice mění poloměr podle hodnoty na posuvníku 

  Vytvoření úhlu určité velikosti  Nástroj Úhel dané velikosti  1. posuvníkem, nanést hodnotu z posuvníku do okna (napsat název posuvníku)  nebo  2. přenést některý úhel z již hotové figury (viz obr. 2, 3)  Strana | 58    

   

  Obrázek 5.2‐2 Přenesení úhlu ‐ 1. obrázek 

přenáší se úhel u vrcholu B na úsečku DE   

  Obrázek 5.2‐3 Přenesení úhlu ‐ 2. obrázek 

vlastně se bod E otočil kolem bodu D o úhel beta     

Strana | 59    

   

Nástroj Kružítko  Slouží  k  témuž  účelu  jako  kružítko  skutečné:  "nabere"  nějakou  vzdálenost,  "zabodne" do nějakého bodu a vykreslí kružnici.   Neboli:  jde  o  rýsování  kružnice,  jejíž  poloměr  je  někde  na  nákresně  a  není  dán  číslem.  Kružítko usnadňuje rýsování tím, že nemusíme měřit a pak vynášet toto číslo na  nákresnu.  Použijete ho všude tam, kde byste použili normální kružítko.   

Strana | 60    

   

6 Problém dynamiky v geometrických  programech   

6.1 Odlišnosti 'počítačové geometrie' od  geometrie tradiční  Po  úvodním  "řemeslném"  seznámení  s  počítačovým  rýsováním  je  třeba  získat  teoretický nadhled.  V  tomto  článku  jsou  vysvětleny  rozdíly  mezi  oběma  způsoby  práce,  které  začátečníkům mohou činit potíže. 

Cíle:   Posluchač  si  uvědomí  rozdíl  mezi  geometrií  tužky  a  papíru  a  mezi  dynamickou  geometrií.   Umožní mu to lépe porozumět a ovládat geometrický software. 

Odlišnosti počítačové geometrie od tradiční   Implementace  geometrie  do  počítače  a  vytváření  interaktivního  geometrického  software  přineslo  změny  v  chápání  řady  matematických  pojmů,  v  jejich  interpretaci,  a  také  některá  omezení  či  naopak  nové  možnosti,  dané  jiným  pojetím geometrických figur oproti tradičnímu.  Lze  říci,  že  dynamická  geometrická  figura  má  některé  vlastnosti  obsažených  objektů,  které  jsou  v  čase  proměnlivé,  na  něž  jsme  si  však  v  tradiční  geometrii  zvykli nahlížet pouze přes jejich stálost v čase. Např. kružnice (rozumějme objekt  definovaný  jako  kružnice)  může  měnit  poloměr,  polohu  středu,  může  přestat  existovat,  nemůže  se  ale  změnit  v  elipsu.  Naopak  elipsa  se  v  kružnici  změnit  může  (bude  to  však  stále  elipsa,  v  danou  chvíli  tvarem  odpovídající  kružnici).  Kolmice může měnit svoji polohu, ale vždy musí zůstat kolmá k objektu, na jehož  základě je definovaná.  

Strana | 61    

   

Cabri:  kružnice elipsa    Geogebra:  GGebra kružn. elipsa   Asi  cítíte  z  předchozího  odstavce,  že  to  není  tak  zcela  zřejmé.  Pojďme  se  na  některé zvláštnosti podívat. 

Geometrické objekty  Prostředí dynamické geometrie pracuje s pojmem geometrický objekt, pod nímž  chápe  geometrické  obrazce  (bod,  mnohoúhelník,  vektor,  polopřímka)  a  tělesa,  dále množiny bodů či množiny dalších objektů, souřadnicové osy, mřížové body.   Geometrické  objekty  nejsou  počítačem  vnímány  implicitně;  jakákoliv  množina  bodů  na  obrazovce  či  jakákoliv  část  roviny  není  automaticky  objektem.  Průnik  dvou  překrývajících  se  kruhů  není  objektem  a  na  rozdíl  od  těchto  kruhů  tento  průnik  nepůjde  např.  vybarvit  (jako  je  to  možné  v  bitmapových  grafických  editorech).  Podobně  nelze  změřit  obsah  čtverce  sestrojeného  z  úseček,  dokud  nebude  vrcholy  čtverce  proložen  objekt  typu  mnohoúhelníka,  u  něhož  obsah  změřit lze.   Jiný  příklad:  v  programu  Cabri  lze  vybarvit  kruh  nebo  mnohoúhelník,  ale  nelze  vybarvit  vnitřek  elipsy.  Po  počátečním  podezření  na  chybu  programu  či  nedůslednost autorů programu uživatel pochopí, že elipsa jako kuželosečka daná  pěti  body  může  během  manipulace  snadno  přejít  v  hyperbolu  a  pokračující  manipulací  opět  v  elipsu,  v  níž  se  stal  původně  chápaný  vnitřek  elipsy  jejím  vnějškem (obr. 1). Takových překvapení skýtá dynamická geometrie celou řadu. 

Strana | 62    

   

  Obrázek 6.1‐1 Vnitřek elipsy nelze vybarvit 

elipsa při pohybu převlékne naruby  vnitřek kuželosečky    GGebra výplň elipsy    obr. 1 ‐ Objekt kuželosečka nemá „vnitřek“. Dodatečně obarvená figura ukazuje,  jak  se  elipsa  při  pohybu  bodu  A  po  úsečce  změní  v  hyperbolu  a  opět  v  elipsu,  přičemž se „převlékne naruby“.  Podle Vopěnky vnímá člověk jednotlivé geometrické objekty postupně, eviduje a  identifikuje  je  jako  vynořující  se  z  prázdnoty.  V  jednom  okamžiku  vnímá  v  geometrické  figuře  jistý  objekt,  v  dalším  může  vnímat  druhý.  Např.  na  obrázku  dvou  dvojic  rovnoběžných  přímek  (obr.  3)  člověk  vidí  rovnoběžník,  v  jiné  chvíli  jednotlivé  přímky  určující  jeho  strany.  Počítač  ovšem  rovnoběžník  „nevidí“,   protože tímto „automatickým“ způsobem geometrické obrazce nevnímá. 

  Obrázek 6.1‐2 Vnímání geometrických obrazců u počítače a člověka  člověk vnímá navíc rovnoběžník, počítač nikoliv    vnímání geom obrazců   GGebra jiné vnímání   obr. 2 ‐ Vnímání geometrických obrazců u počítače a člověka: u čtyř sestrojených přímek  člověk vnímá navíc rovnoběžník, počítač nikoliv. 

Strana | 63    

   

Další příklad: u konstrukce kružnice opsané trojúhelníku; software nenabízí jeden  společný průsečík os všech tří stran trojúhelníka, ale vždy pouze průsečík dvou z  nich.  Počítač  „neví“,  že  osy  stran  trojúhelníka  se  protínají  v  jednom  bodě,  a  především  není  v  dynamické  geometrii  žádná  záruka,  že  se  po  nějaké  příští  manipulaci přímky momentálně se protínající budou protínat i nadále.  Nutnost  přesné  specifikace  objektu  při  konstrukci  není  vždy  jen  zdržováním  v  práci, přináší také prokazatelný pedagogický efekt. Uživatel se učí precizovat své  „vyjadřování“, což je pro učitele důležité, neboť žáci při vágní formulaci mohou  chápat instrukce zcela rozdílně. 

  Body jsou objekty  Bod  je  také  geometrickým  objektem.  V  geometrii  pohybu  musíme  opustit  představu bodu jako místa prostoru (např. popsaného souřadnicemi).   Představa  bodu  jako  geometrického  objektu,  pohybujícího  se  rovinou  nebo  prostorem,  s  sebou  nese  nabourání  tradičních  geometrických  představ.  Například  v  jednom  místě  prostoru  může  být  více  zkonstruovaných  bodů  (v  některých  složitějších  konstrukcích  i  desítky,  při  použití  promítání  jako  konstrukčního  kroku  i  nekonečně  mnoho)  a  otázkou  je,  zda  dva  totožné  body  jsou či nejsou de facto bodem jedním.   Podívejme se na tento příklad: Zobrazíme‐li bod A v souměrnosti podle osy o a  bod A' opět v souměrnosti podle téže osy o, splývá bod A'' s bodem A. Každým z  bodů  A,  A''  však  lze  vést  další  konstrukci  (obr.  3).  Není  přitom  pravda,  že  je  lhostejné,  kterým  z  těchto  dvou  bodů  konstrukci  dále  povedeme.  Obraz  v  souměrnosti  totiž  nemusí  existovat  vždy  (osa  souměrnosti  o  může  třeba  procházet  průsečíkem  dvou  kružnic  a  při  manipulaci  s  objekty  se  tyto  kružnice  vždy protínat nemusí). Potom objekty sestrojené v konstrukci, založené na bodu  A'', mohou dočasně zaniknout, na rozdíl od konstrukce, založené na bodu A. Je  zřejmé,  že  totožnost  dvou  objektů  dostává  v  dynamické  geometrii  nový,  praktický  význam,  není  to  jen  „doplňkové“  zobrazení  pro  teoretické  úvahy  nad  grupou shodností. 

Strana | 64    

   

  Obrázek 6.1‐3 Body jako objekty 

dva totožné body nejsou jeden a  tentýž bod  body jako objekty    GGebra body objekty   obr. 3 ‐ Body jako objekty. Bod A je totožný s A´´ (ten je druhým obrazem bodu A  podle  osy  o).  Na  bodu  A  je  založena  konstrukce  čtverce,  na  A´´  konstrukce  úhlopříček  (obr.  vlevo).  Osa  o  prochází  průsečíkem  kružnic;  pokud  se  kružnice  neprotínají,  neexistuje  jejich  průsečík,  neexistuje  osa  o,  bod  A´´  ani  úhlopříčky;  čtverec však zůstává (obr. vpravo). 

Závislost objektů  Ve  statické  geometrické  figuře  není  nutno  o  vzájemné  závislosti  a  určenosti  objektů  uvažovat.  Vždy  konstruujeme  konkrétní  obrazce  na  konkrétním  místě.  Tento princip práce mimo jiné umožňuje samotné sestrojení figury „švindlovat“ ‐  žák  správně  zapíše  postup  konstrukce,  ovšem  poté  konstrukci  rýsuje  na  papír  „pozpátku“. Např. u konstrukce kružnice trojúhelníku opsané se nejprve narýsuje  kružnice,  do  ní  se  vepíše  trojúhelník  a  pak  další  prvky  konstrukce.  Vidina  přesného  výsledného  obrázku  potom  vede  žáky  k  evidentnímu  podvodu;  takovéto podvody ovšem počítač okamžitě odhalí. Je to umožněno tzv. závislostí  objektů,  kdy  každý  vytvářený  objekt  je  definován  vztahy  s  dalšími  objekty  (osa  úsečky je definována pomocí této úsečky a je jí tak definována „navždy“; jakkoliv  změníme  polohu  úsečky,  vytvořená  osa  je  vždy  její  osou;  když  úsečka  přestane  existovat, přestane existovat i její osa).    

Strana | 65    

   

V dynamické geometrii existují tři druhy objektů určených na základě závislosti:  volné, vázané a na objektu.  ‐          Volné  objekty  vznikly  pouhým  vytvořením  na  nákresně,  bez  definovaných  vztahů  k  dalším  objektům.  Lze  s  nimi  pohybovat  naprosto  volně,  na  jakékoliv  místo nákresny.  ‐     Objekty na objektu jsou vytvořeny na nějakém již existujícím objektu (např.  bod  na  přímce).  Jimi  lze  pohybovat  pouze  po  tomto  objektu,  jsou  vždy  jeho  prvky. Jejich poloha je tedy z části definována, z části volně měnitelná.  ‐          Vázané  objekty  jsou  plně  definovány  relací  k  ostatním  objektům  (střed  úsečky,  průsečík  dvou  objektů,  kolmice  z  bodu  na  přímku,  obraz  v  posunutí  daném  vektorem).  Těmito  objekty  nelze  manipulovat  přímo,  jejich  poloha  je  pevně  dána  (polohu  vázaných  objektů  lze  nepřímo  měnit  manipulací  s  objekty,  na nichž jsou tyto vázané objekty závislé).  

  Obrázek 6.1‐4 Volné a vázané body 

Volný bod A, bod na objektu B a vázaný bod C se stopami pohybu  volné vázané body   GGebra volné vázané   obr. 4 ‐ Volné a vázané body se znázorněnými stopami pohybu. Volný bod A, bod  na objektu B a vázaný bod C.  Pochopení  rozdílů  mezi  volnými  a  vázanými  objekty  je  pro  začátečníky  v  dynamické geometrii náročným úkolem.  

Strana | 66    

   

Jiný pohled na identitu  Geometrie pohybu ovlivňuje zpětně tradiční geometrii statickou. Uvažujme tuto  konstrukci: Danou úsečku AS otočíme kolem bodu S o daný úhel. Je‐li tento úhel  různý  od  celočíselného  násobku  plného  úhlu,  jedná  se  o  rotaci  a  vzniká  obraz  úsečky různý od vzoru. Je‐li však úhel otočení roven celočíselnému násobku 2π,  jde o identitu; vzor a obraz jsou totožné.  Chtějme v případě otočení o 2π změřit délku úsečky AA’. V případě, kdy chápeme  bod jako místo v prostoru a tudíž bod A a jeho obraz v otočení A’ jsou jedním a  týmž  bodem,  pak  vzdálenost  AA’   neexistuje  (nebo  musíme  dodefinovat  „vzdálenost  mezi  jedním  bodem“).  V  případě,  že  připustíme  možnost  existence  dvou bodů v jenom místě, je  AA’  = 0.  Při chápání bodu jako místa v prostoru vnáší identita do pořádku geometrických  zobrazení  jisté  výjimky  v  obecnosti,  neboť  přiřazuje  objektu  týž  objekt.  To  způsobí, že některé polohy bodů, případně některá  čísla jsou významná (tehdy,  když jiné zobrazení přechází v identitu, nevzniká v konstrukci žádný nový objekt,  což lze vnímat, jako „že se nic neděje“). V parametrech ovlivňujících tyto výjimky  však  nelze  najít  pravidlo,  řád  či  společnou  vlastnost  (podobnou  jako  mají  lichá  čísla či prvočísla), neboť tato čísla často závisí na konkrétní poloze objektů.  Pokud přijmeme představu, že v jednom místě prostoru se může nacházet bodů  více, zobrazení pak je bez výjimek přiřazením dvou objektů.   

Bod na přímce a přímka procházející bodem  Ze  závislostí  objektů  v  geometrické  figuře  vyplývá  následující  skutečnost:  v  dynamické  geometrii  není  lhostejné,  zda  bod  leží  na  přímce  či  přímka  prochází  bodem. U statických figur se vždy zapisuje vztah A p. U dynamiky ovšem záleží  na tom, který objekt byl sestrojen jako první, zda bod či přímka.  V levé části obr. 5 leží vrchol C trojúhelníka na dané přímce; lze s ním pohybovat  pouze po této přímce. V obrázku napravo přímka prochází bodem C, jako první  byl sestrojen trojúhelník. V důsledku toho lze při manipulaci pohybovat bodem C  libovolně a přímka p bod C vždy následuje. Vizuální rozdíl v chování obou figur je  evidentní.   

Strana | 67    

   

  Obrázek 6.1‐5 Bod na přímce nebo přímka procházející bodem? 

Odlišné chování figury při převrácení závislosti objektů  závislost objektů1   GGebra závislost obj   obr.  5  ‐  Odlišné  chování  figury  při  převrácení  závislosti  objektů.  Vlevo  bod  ležící  na přímce, vpravo přímka procházející bodem.  Uvažování  o  těchto  problémech  výrazně  zpřesňuje  uživatelovo  chápání  geometrických objektů a rozvíjí jeho matematické myšlení.               

Strana | 68    

   

6.2 Nástroje dynamiky v geometrických  programech  V  tomto  textu  budete  seznámeni  s  nástroji  dynamiky,  kterými  jsou  kromě  manipulace, kterou již znáte, stopa, množina a animace. V následných cvičeních  si tyto nástroje procvičíte. 

Cíle:   ‐    zvládnout nástroje dynamiky  ‐  pochopit  rozdíl  mezi  stopou  a  množinou  z  hlediska  technického  i  pedagogického   

  Obrázek 6.2‐1 Figura nakreslená pomocí množiny přímek (parabola jako obálka  os úseček s krajním bodem na dané přímce) 

Strana | 69    

   

Nástroje dynamiky v prostředí DGE  Využívání programů dynamické geometrie (DGE) bez nástrojů dynamiky nenabízí  významně  vyšší  přidanou  hodnotu  oproti  používání  nepočítačových  rýsovacích  nástrojů.  Výhody  přesnosti  a  rychlosti  rýsování  jsou  totiž  částečně  snižovány  ztrátou bezprostřednosti a manuální činnosti uživatele.  Většina  prostředí  dynamické  geometrie  používá  následující  nástroje  dynamiky,  tedy nástroje pro zachycení změny tvaru figury v čase: 

Manipulace   ‐  lze  uchopit  některý  z  volných  objektů  nebo  bodů  na  objektu  a  táhnout  s  ním  myší,  přitom  pozorovat  změny  tvaru.  Tento  pohyb  lze  do  jisté  míry  automatizovat nástrojem animace, kdy se vybraný bod (nebo více bodů) plynule  pohybuje po objektu, na němž leží. Animace jsou základem pohyblivých obrázků  ve webových apletech.  Poznámka:   V  Cabri  se  nástroj  umožňující  animace  jmenuje  Pohyb  objektu  nebo  Pohyb  více  objektů.   V Geogebře takový nástroj chybí a je nahrazen ruční manipulací. 

  Stopa   ‐ vybraný objekt (bod, přímka, kružnice atd.) při pohybu zanechává své otisky do  nákresny. Nástroj je velice didaktický,  ukazuje  tvar různých  množin nebo  křivek  tak, jak postupně vznikají. Výsledná stopa ovšem není objektem, nelze s ní dále  pracovat.  V Cabri stopu zapínáme  nebo vypínáme v režimu  stopy (nástroj Stopa ano/ne),  který  funguje  podobně  jako  skrývání  objektů.  V  tomto  režimu  objekt  označený  stopou bliká.   V Geogebře stopu zapínáme v místní nabídce každého objektu (pravým tlačítkem  myši, položka Stopa vypnuta).   

Strana | 70    

   

Množina   ‐  objekt  vzniklý  vypočítáním  velkého  množství  poloh  vybraného  objektu  při  pohybu.  Množina  vzniká  naráz,  na  rozdíl  od  stopy  je  dynamická,  v  měnící  se  figuře  mění  také  svůj  tvar.  S  množinou  lze  též  pracovat  jako  s  geometrickým  objektem  (použít  ji  v  další  konstrukci).  Nástroj  Množina  výrazně  rozšiřuje  možnosti software DGE v názornosti a při experimentování.  Právě  nástroje  dynamiky  činí  z  prostředí  DGE  tak  kvalitní  výukovou  pomůcku,  která  je  tradičními  pomůckami  nenahraditelná.  Kvalita  dynamických  nástrojů,  jemnost  a  preciznost  nastavení  pohybu,  možnosti  v  řízení  animace,  vytváření  stopy  a  množiny,  to  jsou  faktory,  které  odlišují  špičkový  software  dynamické  geometrie.  V Cabri množinu vytváříme nástrojem Množina. Nejprve označíme objekt, který  stopu vykresluje, a poté bod, pohybující se po jiném objektu a řídící pohyb.  V Geogebře je tomu naopak: nejprve označíme bod, který řídí pohyb, poté bod,  který  vykresluje  množinu.  Nástroj  pro  tvorbu  množiny  v  Geogebře  se  nazývá  Množina bodů. 

Rozdíl mezi množinou a stopou na ukázce  Otevřete si přiložený soubor.  Na levém obrázku je křivka vykreslena stopou, na pravém množinou.  Tahejte  za  body  podle  návodu  uvnitř  a  pozorujte  rozdíly  mezi  množinou  a  stopou.  Cabri:  množina a stopa   Geogebra:  GGebra množina stopa   Další  podrobnější  vysvětlení  rozdílu  najdete  http://www.pf.jcu.cz/cabri/kurz/Lekce4‐4.htm  

na 

webové 

stránce 

   

Strana | 71    

   

6.3 Parabola jako stopa pohybu  V  tomto  cvičení  budete  používat  stopu  bodu  a  budete  rýsovat  podle  daného  postupu. 

Cíle:   ‐ schopnost rýsovat podle daného postupu  ‐ použít stopu pohybu 

Zadání:   Parabola jako stopa pohybu   V  tomto  cvičení  budete  používat  stopu  bodu  a  budete  rýsovat  podle  daného  postupu. 

  Obrázek 6.3‐1 Parabola vykreslená stopou   

Strana | 72    

   

Spusťte svůj program.  Zadání: Konstruujte podle postupu:  (1)          Zobrazte  souřadné  osy  (Cabri:  Zobrazit  osy  ‐  pravý  sloupec  nástrojů;  Geogebra: nabídka Zobrazit/Osy)..  (2)     Sestrojte bod A tak, aby jeho souřadnice byly [0; ‐1] .  (3)     Na ose x  sestrojte libovolně bod  X.   (4)     Sestrojte úsečku AX.  (5)     Bodem X veďte přímku a kolmou na úsečku AX.  (6)     Průsečík přímky  a  s osou y  nazvěte Y.   (7)     Sestrojte rovnoběžku s osou y,  procházející bodem  X.   (8)     Sestrojte rovnoběžku s osou x,  procházející bodem  Y.   (9)     Průsečík těchto dvou rovnoběžek pojmenujte S.   (10)      Zapněte  stopu  pro  bod  S  (Cabri:  nástroj  Stopa  ano/ne;  Geogebra:  Stopa  vypnuta v místní nabídce bodu S).  Uchopte myší bod X, pohybujte s ním. Pokud jste správně rýsovali, bod S by měl  vykreslit křivku, která vypadá jako parabola.  Poznámka: Body v konstrukci nemusíte popisovat, pokud se v ní vyznáte.  A TEĎ TO HLAVNÍ:  Ano, narýsovali jste parabolu, ovšem JE TO OPRAVDU PARABOLA?  Oba programy, Cabri i Geogebra, mají nástroje, které nám ukáží, že je to opravdu  parabola. Ovšem tím neposkytly matematický důkaz.  Neměli  bychom  zapomínat,  že  cílem  se  nyní  nestává  pouhé  rýsování,  že  podstatné (a náročnější) je DOKÁZAT, že vykreslená křivka je parabola. 

    Strana | 73    

   

Tipy pro řešení:   Rada pro rýsování:  Jestliže se Vám nechce protnout přímka a s osou y, můžete posunout bod A po  ose x tak, aby se obě přímky protnuly. Je to lepší než hýbat celou nákresnou.  Tip pro důkaz:  Zkuste dokázat, že bod S má stále souřadnice [x;x2]. 

Návrh řešení:  

  Obrázek 6.3‐2 K důkazu, že se jedná o parabolu 

Vpravo pomocné trojúhelníky pro důkaz pomocí podobnosti  Nabízíme zde jak soubory s hotovými geometrickými figurami, tak důkaz.  Cabri:  odhalení paraboly  Strana | 74    

   

Geogebra:  GGebra odhalení par.  Poznámka k důkazu:  Důkaz na úrovni znalostí absolventů základní školy spočívá v dokázání, že bod S,  který  parabolu  vykresluje,  má  souřadnice  S  [x;  x2].  Základ  důkazu  spočívá  v  odhalení  podobnosti  trojúhelníků  AXO  a  XYO.  Jestliže  žáci  dokáží  jejich  podobnost např. podle věty UU ‐ viz obrázek vpravo, pak platí   |OA| : |OX| = |OX| : |OY| .   Nazveme‐li souřadnice  bodu S [x; y] a odhalíme‐li délku |OA| = 1, platí vztah    1 : x = x : y   Z něj vyplývá  y = x2  jak pro souřadnice bodu S, tak pro rovnici křivky, která je jím  při pohybu bodu X po ose x vykreslována.  Metodická poznámka:  Používání  počítače  by  nemělo  vést  k  tomu,  aby  se  pouze  rýsovalo  a  slepě  spoléhalo na to, co počítač vykreslí nebo tvrdí. Řekněme, že tato úloha, použitá  ve výuce, má dvě části: 1. úvodní rýsování (i slabí žáci stíhají a něco vytvoří) a 2.  dokazování, tedy vyvrcholení aktivity, kde hrají prim bystří žáci.   

6.4 Množina ortocenter trojúhelníků  V  této  úloze  by  nám  stopa  moc  nepomohla,  protože  měníme  zadání  úlohy  a  pozorujeme změny výsledné křivky, vykreslené nástrojem Množina. 

Cíle:   ‐ zvládnutí techniky vytvoření množiny bodů  ‐ pochopení výhod množiny oproti stopě  ‐ použití počítače k ověřování vlastních hypotéz   

Strana | 75    

   

Zadání:   Množina průsečíků výšek trojúhelníka  Zadání: Vyšetřete množinu průsečíků výšek trojúhelníka ABC, jehož vrchol C leží  (a tedy se může pohybovat) na dané přímce.   

Postup konstrukce  1. Sestrojte přímku.  2.  Sestrojte  trojúhelník  tak,  aby  jeden  z  jeho  vrcholů  (C)  ležel  na  sestrojené  přímce.  3. Sestrojte dvě výšky trojúhelníka.  4. Sestrojte průsečík O těchto výšek.  5. Sestrojte množinu těchto průsečíků, když vrchol C se pohybuje po přímce.   

Manipulace s figurou  1. Táhněte s vrcholem C po přímce a pozorujte, jak se ortocentrum O pohybuje  po množině.  2.  Měňte  zadání  úlohy  (polohu  vrcholů  A,  B  trojúhelníka  a  polohu  přímky)  a  pozorujte změny tvaru množiny.     

Strana | 76    

   

  Obrázek 6.4‐1 Množina průsečíků výšek 

leží‐li vrchol trojúhelníka na dané přímce    Jaký tvar má množina? Na první pohled vypadá jako parabola.   Je to opravdu parabola?    

Tipy pro řešení:   Nápověda pro vytvoření množiny  Cabri:   Vyberte nástroj Množina, označte nejprve průsečík výšek a pak vrchol C. Pokud  počítač pípne, něco děláte špatně.  GeoGebra:  Vyberte nástroj Množina bodů, označte nejprve vrchol C  pak průsečík výšek.  Strana | 77    

   

Návrh řešení:   Parabola nebo hyperbola?  Když  přesunete  jeden  z  vrcholů  do  opačné  poloroviny,  dané  přímkou,  tvar  množiny se změní na hyperbolu.  Vypadá to, že někdy je tvarem parabola a někdy hyperbola.  To je ale zvláštní. Víme, že při představě kuželosečky jako řezu kužele rovinou je  paraola speciální případ polohy mezi hyperbolou a elipsou.  Jestli se tedy hyperbola změnila v parabolu, měla by se také dále změnit v elipsu  a tu elipsu bychom měli manipulací odhalit.  Vypadá  to,  že  tvarem  je  vždy  hyperbola,  i  když  v  některých  případech  hodně  podobná  parabole.  Ovšem  pochybností  nás  zbaví  až  matematický  důkaz  (nebo  alespoň počítačový "důkaz", zobrazení rovnice této množiny).  Rovnice množiny v Cabri ‐ nástroj Souřadnice a rovnice   

Soubory s hotovou figurou  Cabri:  Geogebra:  GGebra ortocentra   

Strana | 78    

   

7 Formy a metody práce s programy  dynamické geometrie  K této kapitole přistupte teprve tehdy, jestliže zvládnete ovládat software Cabri  nebo  Geogebra  alespoň  tak,  že  jste  schopni  sestrojit  nějaké  konstrukce  a  využívat dynamiku v obrázcích (manipulovat s obrázkem tažením myší, použitím  stopy nebo množiny). 

Cíle:   Didaktická  kapitola,  která  ukazuje,  jakými  způsoby  lze  obohatit  výuku  s  počítačem,  jak  pestré  a  rozmanité  mohou  být  činnosti  s  matematickým  programem.   

7.1 Formy práce učitele se software dynamické  geometrie  V následujících článcích jsou rozděleny typy úloh a aktivit podle toho, jak aktivně  pracuje žák u počítače.  Vedle  textu  jsou  umístěny  soubory  s  dynamickými  konstrukcemi.  Nemáte‐li  nainstalováno  Cabri  II  Plus,  budete  k  jejich  prohlížení  muset  nainstalovat  Cabri  demo, protože v některých případech Geogebra nemá takové nástroje, aby se v  ní mohly podobné soubory vytvořit. Návod na instalaci najdete v úvodní kapitole. 

Cíle:   Získat představu o rozmanitosti přístupů k výuce, umožněné počítačem.  Současně půjde o nácvik manipulace s geometrickými figurami (taháním myší) a  další ovládání hotových figur. 

Strana | 79    

   

Typy úloh a žákovských aktivit v prostředí dynamické  geometrie  Naše  zkušenosti  ukazují,  že  většina  učitelů,  která  se  setká  s  prostředím  dynamické  geometrie  na  počítači  a  která  projeví  o  tento  software  zájem,vidí  využití počítače nejčastěji jako pomůcku pro rychlejší a přesnější rýsování či pro  prohlížení hotových obrázků, promítaných před třídou.   Prostředí  dynamické  geometrie  však  poskytuje  řadu  jiných  druhů  aktivit,  se  kterými učitel není seznámen, protože se takové typy úloh v běžných učebnicích  nevyskytují.  Právě  na  takové  řekněme  netradiční  typy  úloh  je  tato  kapitola  zaměřena. Snažíme se v ní na konkrétních příkladech ukázat, jak lze modifikovat  výuku  geometrie,  aby  žák  zkoumáním  geometrických  jevů  sám  přicházel  k  poznatkům  a  objevům,  dokázal  vytvářet  a  ověřovat  své  domněnky  a  hypotézy,  lépe porozuměl geometrickým pojmům.  Tato  kapitola  představuje  přehled  druhů  aktivit,  při  kterých  lze  použít  software  dynamické  geometrie  při  výuce  v  různých  tématech  geometrie  a  její  aplikace.  Aktivity jsou řazeny podle míry využití počítače jako nástroje konstruktivistického  přístupu  k  učení.  Seřazení  je  provedeno  od  nejvíce  tradičních,  tedy  takových,  které  dle  našich  zkušeností  z  přípravy  učitelů  a  studentů  učitelství  jsou  objevovány  nejčastěji  a  kvůli  jejichž  použití  učitelé  nepotřebují  příliš  měnit  svůj  styl  a  organizaci  výuky,  po  ty  méně  tradiční,  které  více  využijí  dynamiku  prostředí, vlastní aktivitu a kreativitu žáků. Poslední typ úloh představují projekty  ‐ jim je vyhrazen článek Žákovské geometrické projekty.  Podle míry aktivity  a zapojení žáka lze úlohy, použitelné při nasazení prostředí  DGE do výuky, typizovat následovně:  1.     sledování prezentace hotové figury nebo její konstrukce;  2.     rýsování podle návodu;  3.     manipulace s hotovou figurou;  4.     ověřování žákovských hypotéz;  5.     experimentování;  6.     modelování, komplexnější úlohy, projekty.  Strana | 80    

   

Každá  z  forem  použití  je  dokumentována  několika  příklady  žákovských  úloh,  reprezentujícími  daný  typ  aktivity.  Tyto  úlohy  jsou  ilustrovány  obrázky  a  komentovány  metodickými  poznámkami,  které  shrnují  zkušenosti  s  výukou  a  jsou  výsledkem  zúčastněného  pozorování  nebo  analýzy  žákovských  prací.  Z  příkladů  si  učitel  může  učinit  konkrétnější  představu,  jak  rozmanité  typy  geometrických  úloh  lze  řešit  pomocí  počítače  a  jak  pestrý  přístup  k  výuce  lze  zvolit.  

Obrázky  Obrázky najdete v levém sloupci, očíslované podle čísel v kapitole. Každý obrázek  lze lupou zvětšit.  V pravém sloupci jsou tak pouze popisky obrázků. 

Soubory Cabri   Ke  každému  příkladu  najdete  v  textu  podtržený  odkaz  na  soubor  spustitelný  v  prostředí  Cabri  II  Plus.  Nemáte‐li  Cabri  ostrou  verzi,  budete  si  prohlížet  v  Cabri  demo.  Tyto  soubory  si  VŽDY  dobře  prohlédněte,  pak  bude  text  příkladu  srozumitelnější.  Figury jsou zde připraveny buď v podobě zadání, nebo v podobě vyřešené úlohy  (a to převážně v situaci, o které se diskutuje v metodické poznámce, nebo která  je zachycena v knize na obrázku). 

Na vyzkoušení  1. Vlevo je obrázek 1 ‐ zvětšete ho a prohlédněte. 

  Obrázek 7.1‐1 Obrazy trojúhelníka     

Strana | 81    

   

2. Tento odkaz otevřete ‐ spustí se soubor s konstrukcí.  Na zkoušku   3.  Nastavte  trojúhelník  ABC  do  takové  pozice,  aby  dva  jeho  obrazy  měly  společnou jednu stranu (obr. 1 uprostřed). Jakou vlastnost má nyní trojúhelník?  4. Nastavte situaci, aby vzor se všemi svými obrazy dohromady tvořil trojúhelník  (obrázek vpravo). Jakou vlastnost má nyní šedý trojúhelník?  5.  Jaká  podmínka  musí  platit  pro  vzor,  aby  se  žádné  dva  jeho  obrazy  nepřekrývaly?  Vymyslete a ověřte.   

7.2 Počítač jako demonstrační pomůcka učitele  Kapitola  se  věnuje  tradičnímu  přístupu:  učitel  promítá  před  třídou  pomocí  dataprojektoru 

Demonstrační pomůcka učitele   Tradiční  přístup,  který  může  být  velice  „levný“  a  nenáročný.  Žáky  není  třeba  seznamovat  s  prací  v  počítačovém  prostředí,  a  také  učitel,  využívá‐li  hotové  materiály, nemusí být detailně seznámen s prací v daném počítačovém prostředí.  Didaktický přínos  však přes svoji efektnost není velký, protože nevyužívá aktivní  žákovu tvorbu a individuální přístup. Společné debaty nad promítanými figurami  umožňují  žákům  zkvalitnit  vyjadřování  a  učiteli  předvést  žákům  pokročilé  techniky  tvorby  figury.  Výhoda  projekce  jako  podpory  frontální  výuky  by  však  neměla vytlačit  žáky od počítačů a tedy aktivního přístupu k získávání poznatků.  Učitel používá projekci těmito způsoby:  ‐     použije hotové soubory s figurami jako názornou pomůcku např. při výkladu  před třídou;   ‐     postupné vytváří figuru před zraky žáků (i podle jejich pokynů);  ‐          kombinace  předchozích  způsobů  ‐  v  souboru  připraveném  k  projekci  je  uložena  pouze  část  konstrukce,  zbylou  část  dotvoří  učitel  před  třídou  pomocí  nástrojů počítače.    Strana | 82    

   

Má‐li učitel k dispozici projektor, je výuka efektivnější v porovnání s vytvářením  obrázku  na  tabuli  (je  přesnější  a  rychlejší)  a  také  bohatší  v  porovnání  s  prohlížením obrázku vytištěném na papíře (lze měnit zadání, skrývat a odkrývat  části  konstrukce,  nacházet  speciální  polohy).  Učitel  může  plně  vést  výuku  a  přitom  využívat  výhod  interaktivity;  nepotřebuje  měnit  zažitý  styl  výuky,  pouze  tabuli nahradí projekční plochou. Promítání figury pro celou třídu nevyžaduje od  učitele schopnost řídit individuální činnost žáka, což je výhodné pro učitele, kteří  s výukou pomocí počítače začínají. 

Příklad: Pravidelný n‐boký hranol ‐ otáčivý model  Figura  slouží  k  vytvoření  žákovy  představy  o  tvaru  hranolu,  o  jeho  charakteristických vlastnostech a jeho odlišení od kvádru. Ve figuře lze táhnutím  za ovladač měnit počet hran podstavy. Při demonstraci lze začít případem pro n =  4 a pak měnit parametr počtu hran.  Poznámka: Toto je příklad názorné počítačové učební pomůcky pro model, který  vlastně nelze jako reálný vyrobit. 

  Obrázek 7.2‐1 Otáčivý hranol 

Otáčivý model hranolu s proměnlivým počtem stěn  Hranol otáčivý    obr.1 ‐ Otáčivý model hranolu s proměnlivým počtem stěn, snímky pro parametry  n = 3, 5, 8  Strana | 83    

   

Příklad: Nepřímá úměrnost  Učitel  předvádí  figuru,  která  obsahuje  obdélník  s  proměnlivými  stranami,  který  při  manipulaci  zachovává  svůj  obsah  a  vykresluje  stopu  vrcholu  C.  Obrázek  je  geometrizací nepřímé úměrnosti mezi délkami sousedních stran obdélníka.  

  Obrázek 7.2‐2 Nepřímá úměrnost. 

Obdélník s konstantním obsahem, stopa vrch.C jako část hyperboly  2 Nepřímá úměrnost   obr. 2 ‐ Nepřímá úměrnost. Proměnlivý obdélník  s konstantním obsahem, stopa  vrcholu C jako část hyperboly.  Jak lze postupovat při výuce s použitím projekce této dynamické figury:  1. Při manipulaci s vrcholem B žáci vidí, že při prodlužování strany AB se sousední  strana zkracuje. Žáci si všimnou, že vrchol D se nepohybuje stejnou rychlostí jako  bod B.   2. Ještě před manipulací s figurou se učitel dotáže, jak se má podle žáků obdélník  chovat  (zda  a  jak  se  bude  měnit  poloha  vrcholu  D),  má‐li  být  obsah  obdélníka  zachován.  

Strana | 84    

   

3. Učitel položí další otázku: Po jaké křivce se pohybuje vrchol C obdélníka? Pro  její  zodpovězení  lze  označit  vrchol  C  stopou,  pak  táhnout  za  vrchol  B  a  stopa  pohybu vrcholu C vykresluje graf závislosti nepřímé úměrnosti.  4.  Lze  položit  dotaz:  Jakou  rovnici  má  křivka,  po  které  se  pohybuje  vrchol  C?  Použitím nástroje Množina se zobrazí množina vrcholů C jako objekt a nástrojem  Souřadnice a rovnice lze zjistit její rovnici (v našem příkladu na obr. 2 Cabri ukáže  rovnici  xy ‐ 12 = 0,  tedy  y = 12 / x,  kde 12 je daný obsah obdélníka).  5.  Žáky  lze  dovést  i  k  důkazu  této  rovnice.  Z  podobnosti  trojúhelníků  AB1,  ASD  platí,  že   |DA| : |1A| = |SA| : |BA|,  a označíme‐li délky stran obdélníka a, b a jeho obsah  S,  vyplývá  z  ní  vztah  b  :  1  =  S  :  a  .  Z  tohoto  vztahu  dostaneme  předpis  pro  nepřímou  úměrnost    b  =  S  /  a  ,  což  je  zároveň  rovnice  množiny  vrcholů  C  obdélníka.  6.  Zdatným  žákům  může  učitel  zadat  úlohu,  aby  takový  model  obdélníka  s  neměnným  obsahem  narýsovali.  Konstrukce  je  zobrazena  v  elektronické  verzi  obrázku v příloze na CD.     Jako nápovědu lze využít následující rámcový postup:  (1)     Bod S leží na ose x. Jeho vzdálenost od vrcholu A číselně odpovídá obsahu  obdélníka.  (2)     Bod 1 je bod ležící na ose y, jehož vzdálenost od vrcholu A je 1 cm.  (3)     Bod B leží na ose x, představuje vrchol obdélníka. Bodem B lze pohybovat  po ose x.  (4)     Bodem S vedeme rovnoběžku s přímkou, procházející body B a 1.  (5)     Průsečík této rovnoběžky s osou y je vrcholem D obdélníka. 

Příklad: Generování grafů goniometrických funkcí  Figura  slouží  jako  pomůcka  při  výkladu  goniometrických  funkcí.  Ve  figuře  se  zobrazují  grafy  funkcí  sinus,  kosinus,  tangens,  jednotlivé  funkce  lze  tlačítkem  zobrazit nebo skrýt. Uživatel pohybem bodu po ose x nechá grafy těchto funkcí  postupně vykreslovat. Body vytvářející graf jsou konstruovány geometricky.  Strana | 85    

   

  Obrázek 7.2‐3 Goniometrické funkce 

figura postupně generující graf funkcí sinus, kosinus, tangens  3 goniometr funkce   obr.  3  ‐  Goniometrické  funkce,  figura  postupně  generující  graf  funkcí  sinus,  kosinus, tangens odvozením z pohybu bodu A po kružnici.  Figura (obr.  3) je sestrojena tak, že bodem X lze pohybovat po ose x, bod A na  jednotkové kružnici je sestrojen tak, že délka oblouku mezi bodem A a bodem 1  na  ose  x  je  číselně  rovna  délce  úsečky,  spojující  bod  X  s  počátkem.  Pak  úhel  příslušný  bodu  A  v  radiánech  číselně  odpovídá  x‐ové  souřadnici  bodu  X.  Bod  S,  generující  graf  funkce  sinus,  má  y‐ovou  souřadnici  stejnou  jako  bod  A.  Bod  C,  generující  kosinus,  má  y‐ovou  souřadnici  stejnou  jako  x‐ová  souřadnice  bodu  A  (na  obrázku  není  zobrazeno,  protože  tlačítko  cos  je  vypnuté).  Bod  T,  generující  graf  funkce  tangens,  má  y‐ovou  souřadnici  stejnou  jako  bod  B,  průsečík  průvodiče bodu A s tečnou jednotkové kružnice, procházející bodem 1 na ose x.  Dalšími  tlačítky  lze  ke  každé  funkci  zobrazit  trojúhelníky  v  jednotkové  kružnici,  které  slouží  k  vysvětlení  vztahu  mezi  poměrem  stran  trojúhelníka  a  funkční  hodnotou dané funkce.   Příklad: Sinus a kosinus vnitřního úhlu trojúhelníka. 

Demonstrační  figura  (obr.  4),  na  níž  může  učitel  předvést  definici  sinu  a  kosinu  jako  poměru  stran  trojúhelníka  (s  výpočtem  v  jednotkové  kružnici).  Je  možno  plynule měnit velikost vnitřního úhlu trojúhelníka taháním za bod A a ovladačem  Strana | 86    

   

přepínat  mezi    funkcemi  sinus  a  kosinus.  Počítač  automaticky  přepočítává  naměřené hodnoty.   

    Obrázek 7.2‐4 Sinus a kosinus úhlu, interaktivní model 

zobrazuje úhel, délky odvěsen a vypočítá se sinus nebo kosinus    4 sinus a kosinus   obr. 4 ‐ Sinus a kosinus úhlu, interaktivní model. Podle polohy bodu A na oblouku  jednotkové  kružnice  se  zobrazuje  úhel,  délky  odvěsen  a  vypočítá  se  sinus  nebo  kosinus nastaveného úhlu. 

  Příklad: Rozklad sítě krychle  Krychle se táhnutím za ovladač rozloží do své sítě (obr.5). Použitelné při zavedení  vzorce pro výpočet jejího povrchu. 

Strana | 87    

   

  Obrázek 7.2‐5 Rozklad sítě krychle ‐ model   

5 rozklad krychle    obr.5 ‐ Rozklad sítě krychle ‐ model.   

7.3 Prostředí pro rychlé a přesné rýsování  Kapitola  se  věnuje  poměrně  očekávané  činnosti:  rýsování  v  počítači  místo  pomocí kružítka a pravítka. 

Pomůcka pro rychlé a přesné rýsování  Mezi  programy  interaktivní  geometrie  se  objevilo  toto  použití  jako  historicky  první a patrně bylo základní motivací prvních tvůrců geometrického software na  konci 80. let 20. stol.   Pro  žáky  je  tato  forma  zpočátku  nejpřirozenější  a  nejsrozumitelnější.  Žáci  se  nemusí zdržovat technikou rýsování (jak sestrojit kolmici, rovnoběžku), zajímají  se  především  o  vymyšlení  správného  postupu  konstrukce  a  o  sdělení  tohoto  postupu  počítači.  Rýsovací  aktivity  jsou  vhodné  i  pro  seznámení  s  prostředím  programu  na  takových  konstrukčních  úlohách,  které  již  uživatel  zvládl  bez  počítače a u nichž zná postup.     Strana | 88    

   

Tyto  úlohy  přivedou  žáky  k  poznání,  že  to  podstatné  na  geometrii,  řečeno  lapidárně, není vlastní rýsování, ale přemýšlení nad rýsováním.  Nutno  podotknout,  že  využití  tohoto  typu  software  jako  rýsovací  pomůcky  je  jeho základní, nikoliv však nejpodnětnější formou využití.  

Polohové úlohy  Konstrukční  úlohy  rozdělíme  na  úlohy  polohové  a  nepolohové.  V  polohových  úlohách  nezáleží  na  číselných  hodnotách  zadání,  neboť  to  je  dáno  umístěním  objektů  zadání  v  nákresně.  Vzhledem  k  tomu,  že  zadáním  lze  následně  pohybovat  a  měnit  tak  tvar  výsledného  zkonstruovaného  útvaru,  vytváří  žák  v  jednom  konkrétním  postupu  konstrukce  postup  obecný.  Tento  postup  je  ověřitelný manipulací s výslednou figurou, při níž se chyby stanou zjevnými.   Zadání polohových úloh je velice podobné konstrukčním úlohám na papíře. Žáci  mohou  začít  pracovat  se  zcela  prázdnou  nákresnou  a  zadání  si  narýsovat  sami,  přičemž  trénují  matematickou  gramotnost  snahou  o  porozumění  textu  zadání  úlohy.  Časově  efektivnější  je  poskytnout  žákům  soubory  se  zadáním  předem  vytvořeným, neboť začátečníci dělají chyby i v rýsování zadání.  

Příklad: Tečna z bodu ke kružnici  Zadání: Je dána kružnice k a bod A. Sestrojte tečnu z bodu A ke kružnici k.  Ukazuje  se,  že  postup  konstrukce  pomocí  Thaletovy  kružnice,  vyučovaný  na  základní škole, který definuje hledanou tečnu jako spojnici bodu A s průsečíkem  kružnice  k  a  Thaletovy  kružnice,  s  sebou  v  dynamické  konstrukci  nese  úskalí.  Pokud  ve  výsledné  figuře  přemístíme  bod  A  na  kružnici  k,  počítačový  program  jako řešení nezobrazí dvě  totožné  tečny, jak by uživatel očekával, ale nezobrazí  řešení žádné (obr. 6 vpravo). Příčinou je, že oba tečné body splynou s bodem A,  tečny  jsou  v  daný  okamžik  definovány  dvěma  totožnými  body  a  nejsou  tak  definovány jednoznačně.   Je zřejmé, že použitý postup konstrukce není obecný ‐ proto také se v zadáních  úloh  v  učebnicích  objevuje  žákům  někdy  nesrozumitelná  podmínka  „Je  dána  kružnice  k a  mimo ni bod A“. Správným postupem  je definovat  tečnu bodem a  směrem, např. jako kolmici na průměr kružnice k procházející tečným bodem. Na  tomto  příkladu  je  dobře  patrné,  jak  dynamika  konstrukce  umožňuje  tříbit  matematické uvažování.  Strana | 89    

   

  Obrázek 7.3‐1 Tečna z bodu A ke kružnici 

chybná dynamická konstrukce   1 tečna kružnice   obr. 1 ‐ Tečna z bodu A ke kružnici, chybná dynamická konstrukce  Metodická poznámka: Žáci sami vesměs neodhalí, že leží‐li A na kružnici k a tečny  se přitom nezobrazí, že jde o chybu  konstrukce. Pokud jsou navedeni učitelem,  často pak vidí chybu nikoliv v nesprávné konstrukci, ale v počítačovém programu  a jeho nedokonalosti. Ve většině případů je však ani nenapadne pátrat po příčině  této chyby, jakoby je nijak neoslovila. Splnili přece úkol, tečny narýsovali... Zde je  možno žáky přivést na cestu kritického uvažování. 

Typické polohové úlohy:  ‐     Je dána úsečka AB. Sestrojte čtverec ABCD, je‐li úsečka AB jeho stranou (zde  je zadáním úsečka AB, se kterou lze libovolně manipulovat).  ‐          Je  dán  trojúhelník  ABC.  Sestrojte  jeho  kružnici  opsanou,  vepsanou  (zde  je  zadán libovolný trojúhelník). 

Nepolohové úlohy   V  zadáních  úloh  jsou  dány  přesné  hodnoty.  Ty  jsou  na  nákresně  programu  realizovány vlastnostmi sestrojených pomocných objektů, např. délkami úseček,  velikostmi  úhlů  atd.  nebo  číselnými  objekty.  Ve  správném  řešení  úlohy  musí  změna  parametrů  zadání  (manipulací  s  úsečkami  zadání,  editací  čísel)  způsobit  změnu figury tak, aby stále vyhovovala zadání.  

Strana | 90    

   

  Obrázek 7.3‐2 Zadání nepolohových konstrukčních úloh 

pomocí ovladačů (vlevo) a pomocí číselných objektů (vpravo)  2 ovladače rozměrů   obr.2  ‐  Zadání  nepolohových  konstrukčních  úloh  pomocí  ovladačů  (vlevo)  a  pomocí číselných objektů (vpravo)  Ke  zjednodušení  práce  pro  zadání  tohoto  typu  úloh  se  používají  tzv.  ovladače,  což  jsou  předem  připravené  objekty,  přizpůsobené  pro  následnou  manipulaci  [Leischner,  2005].  Výhodou  použití  ovladačů  je  kromě  vlastní  vizualizace  zadání  rychlá a plynulá změna tvaru figury, výhodou použití čísel je možnost přesného  nastavení speciální polohy nebo tvaru figury.  Řešitel  úlohy  přenese  parametry  zadání  do  své  konstrukce  pomocí  nástrojů  Nanést  délku,  Kružítko  nebo  vlastní  konstrukcí,  např.  pomocí  rovnoběžek  nebo  shodných  zobrazení.  Velikost  úhlu  lze  přenést  konstrukcí  rovnoběžek  nebo  posunutím ramen  úhlu o vhodně  zvolený vektor. Lze též použít nástroj Otočení  po změření velikosti úhlu. 

  Příklad: Trojúhelník podle věty SSS  Zadání: Sestroj trojúhelník ABC, jsou‐li dány délky jeho stran a, b, c. Délky stran  jsou dány úsečkami sestrojenými v rohu nákresny (obr. 3).   Vzorový postup:  (1)     Sestrojte polopřímku s počátečním bodem B  (2)     Sestrojte kružnici k se středem v B, poloměrem a (nástroj Kružítko)  Strana | 91    

   

(3)     Sestrojte bod C jako průsečík polopřímky s kružnicí k  (4)     Sestrojte kružnici l (B; c) ‐ podobně jako v bodě 2  (5)     Sestrojte  kružnici m (C; b) ‐ podobně jako v bodě 2  (6)     Sestrojte bod A jako průsečík kružnic l, m     Metodická  poznámka:  Je  zřejmé,  že  konstrukce  je  prakticky  totožná  s  klasickou  konstrukcí  na  papíře,  pouze  s  uplatněním  technik  přenesení  vzdáleností  do  vznikající figury pomocí nástrojů počítače. Žákům vesměs nečiní potíže, ti naopak  ocení,  že  program  přímo  rýsuje  celé  kružnice  a  sám  upozorní,  že  existují  dva  průsečíky kružnic a tedy dvě řešení úlohy.   Po  sestrojení  lze  hledat  a  nastavit  takovou  velikost  úseček  zadání,  aby  vznikl  trojúhelník  rovnostranný,  rovnoramenný  s  vodorovnou  nebo  šikmo  umístěnou  základnou nebo zkoumat otázku existence trojúhelníka. 

  Obrázek 7.3‐3 Konstrukce trojúhelníka podle věty SSS 

se zadáním daným délkami úseček   

3 trojúhelník SSS   obr.  3  ‐  Konstrukce  trojúhelníka  podle  věty  SSS  se  zadáním  daným  délkami  úseček.  Strana | 92    

   

Typické úlohy  ‐          Sestrojte  obdélník  ABCD,  je‐li  dána  délka  jeho  úhlopříčky  a  úhel,  který  úhlopříčky  svírají.  Zadáním  je  délka  úsečky  a  velikost  úhlu,  umístěno  v  rohu  nákresny (obr.7 vlevo).  ‐     Sestrojte trojúhelník ABC, je‐li dána velikost jeho strany a, těžnice ta a výšky  va. Velikosti jsou dány čísly, napsanými na nákresně. 

Konstrukce podle předem daného postupu  V těchto úlohách žák konstruuje podle postupu, který je předem dán, stanoven.  Úlohy mohou sloužit k získání zručnosti v ovládání programu, v naučení postupu  nápodobou  nebo  jako  motivační  k  sestrojení  figury,  která  bude  použita  v  následných  aktivitách,  jimiž  mohou  být  výklad  nové  látky,  důkaz  nebo  diskuse,  objev  nového  poznatku,  ověření  hypotézy.  Vděčné  jsou  takové  úlohy,  v  nichž  konstrukce  vede  k  překvapení  nebo  k  neočekávanému  výsledku.  Konstrukce  podle  předem  daného  postupu  uvítají  slabší  žáci,  pro  které  je  obtížné  vlastní  postup  vymyslet.  Variantou  je  úloha  s  neúplným  postupem  nebo  s  postupem,  obsahujícím záměrnou chybu. 

Příklad: Grafický součet  Jsou  dány  dvě  rovnoběžné  úsečky  délek  a,  b.  Sestrojte  úsečku  délky  a+b  podle  postupu:  (1)     Sestrojte přímku p, rovnoběžnou s některou z daných úseček, a na ní bod A.  (2)     Přímkou q spojte levý krajní bod úsečky a s bodem A.  (3)          Druhým  krajním  bodem  úsečky  a  veďte  rovnoběžku  s  q;  její  průsečík  s  p  nazvěte B.  (4)     Spojte levý krajní bod úsečky b s bodem B přímkou r.  (5)          Druhým  krajním  bodem  úsečky  b  veďte  rovnoběžku  s  r;  její  průsečík  s  p  nazvěte C  (6)     Vytáhněte úsečku AC tlustě. Její délka je rovna a+b.  Tahejte za ovladače a, b (obr. 9).   Strana | 93    

   

  Obrázek 7.3‐4 Grafický součet dvou kladných čísel 

se zadáním pomocí ovladačů   

4 grafický součet   obr. 4 ‐ Grafický součet dvou kladných čísel se zadáním pomocí ovladačů  Metodická  poznámka:  Figura  přestává  správně  sčítat,  jestliže  jsou  krajní  body  úsečky  a  nebo  b  přesunuty  na  opačnou  polopřímku:  figura  pak  může  délky  úseček „odečítat“. Tomu lze předejít použitím zadání, v němž každá z úseček leží  na  skryté  polopřímce  tak,  že  její  krajní  bod  je  též  krajním  bodem  polopřímky  (zadání najdete v příloze na CD). 

  Příklad: Geometrické počítadlo druhé odmocniny  Žáci zkonstruují „počítačové odmocnítko“, vyzkouší jej a poté se pokusí dokázat,  proč „počítá druhou odmocninu“ (obr. 5).  Zadání:  Konstruujte podle postupu:  (1)     Zobrazte souřadnicové osy, počátek pojmenujte O.  (2)     Sestrojte bod A na ose x tak, aby jeho vzdálenost od bodu O byla 1 cm 

Strana | 94    

   

(3)          Sestrojte  polopřímku  ležící  na  ose  x  s  krajním  bodem  O,  která  nebude  procházet bodem A.  (4)     Na této polopřímce vytvořte bod X tak, aby byl volně pohyblivý.  (5)     Sestrojte kružnici k, jejímž průměrem bude úsečka AX.  (6)     Sestrojte bod Y jako průsečík kružnice k s osou y.  2

(7)     Změřte vzdálenosti bodů X, Y od bodu O. Zjistíte, že |XO| = |YO| .   Pohybujte  bodem  X  a  měňte  jeho  vzdálenost  od  počátku.  Ověřte,  že  program  automaticky  „změří"  hodnotu  druhé  odmocniny  z  nastavené  vzdálenosti  bodu  X  od počátku.     Uměli byste dokázat, proč konstrukce vede k druhé odmocnině z daného čísla?   

  Obrázek 7.3‐5 Figura grafické konstrukce druhé odmocniny   

5 odmocnítko    obr. 5 ‐ Figura grafické konstrukce druhé odmocniny  Metodická poznámka: Žáci mají dokázat, proč |OX| = |OY|2  . Tím také ověří, jak  vlastně geometrické odmocnítko pracuje. Pokud neznají Eukleidovu větu o výšce,  mohou  dokázat  platnost  vztahu  |OA|  :  |OY|  =  |OY|  :  |OX|  přes  důkaz  podobnosti  trojúhelníků  AYO  a  YXO.  Protože  |OA|  =  1,  po  úpravě  platí  |OX|  =  2

|OY|  .   Strana | 95    

   

Technická poznámka: Pokud by zobrazené hodnoty druhé odmocniny nebyly na  nákresně  zobrazovány  přesně,  jedná  se  o  nepřesnost  danou  zaokrouhlováním  měřených  hodnot  v  počítačové  aplikaci.  To  lze  zpřesnit  nastavením  větší  přesnosti měření označením měřeného čísla a stiskem klávesy [+] ,  „problém“ to  však neodstraní.   Důsledkem  porovnání  důkazu  a  skutečnosti,  zobrazované  na  nákresně,  je  pro  žáky  zajímavé  zjištění,  že  délka  narýsované  úsečky  OY  je  přesně  druhou  odmocninou  z  délky  úsečky  OX.  Počítač  ani  jiná  pomůcka  však  její  délku  až  na  výjimky nedokáže změřit úplně přesně.  Zajímavou navazující úlohou pro žáky je hledat  úsečky takové délky, jejíž druhá  odmocnina je přesně narýsovatelná. Žáci objeví, že takovými délkami jsou druhé  mocniny racionálních čísel (v Cabri nejčastěji přirozených čísel). Experimentálním  prostředím pro hledání takových úseček je nákresna se zobrazenými mřížovými  body a měřením délky úsečky.   

7.4 Manipulace s hotovou figurou  Kapitola  popisuje  opravdu  nový  způsob  výuky  geometrie:  toto  bez  počítače  provádět nelze. 

Manipulace s hotovou figurou  Figurou  se  zde  rozumí  sestrojená  konstrukce,  geometrický  obrázek,  uchovaný  v  souboru (viz Terminologie).  Princip  manipulace,  tedy  „ručního  nakládání“  s  geometrickou  figurou  spočívá  v  tom,  že  uživatel  v  již  vytvořené  figuře  uchopí  bod  nebo  jiný  objekt  myší  a  táhnutím  mění  situaci  na  nákresně,  mění  tvar,  umístění  a  vzájemnou  polohu  objektů.  Figuru  si  nejčastěji  otevře  ze  souboru  a  nesestrojuje  v  ní  žádné  nové  objekty.  Výhodou  manipulace  jako  metody  řešení  úloh  je  její  dostupnost  a  finanční  nenáročnost. Manipulaci s hotovými figurami si mohou dovolit i žáci školy nebo  uživatelé,  kteří  nevlastní  licenci  na  příslušný  geometrický  software.  Většina  těchto prostředí totiž umí hotové figury exportovat do apletů webových stránek.    Strana | 96    

   

Nelze  očekávat,  že  žáci,  zvyklí  po  léta  na  pamětné  učení  se  matematickým  vzorcům a poučkám, budou ihned schopni při manipulaci přemýšlet. Je potřeba  jim  dát  čas  a  vést  je,  aby  překonali  etapu  pouhého  mechanického  „hraní  si“  s  obrázkem a „zapojili přemýšlení“.  Aktivity  spojené  s  manipulací  vycházejí  z  pedagogického  přesvědčení,  že  žákům  nestačí nový poznatek sdělit; cennější je, když jej objeví sami. Tzv. „objevení pro  sebe“,  kdy  žák  učiní  objev,  který  je  ovšem  již  dávno  znám,  ale  pro  žáka  samotného  je  nový,  mu  poskytuje  velké  množství  kladných  emocí  a  vede  k  hlubšímu zapamatování jak objevu, tak cesty, která k němu vedla. Cílem těchto  aktivit je mj. žákům takový zážitek poskytnout, dát jim příležitost být objeviteli.  Na  rozdíl  od  objevu  nového  poznatku  jsou  při  řešení  úlohy  pomocí  manipulace  vyžadovány  znalosti.  Při  řešení  úlohy  je  žák  více  samostatný  než  při  objevování  nového poznatku, aktivita klade na učitele nižší nároky. 

Příklad: Závislost obsahu trojúhelníka na jeho výšce   Ve figuře je trojúhelník, jehož vrchol C se může pohybovat po dané přímce p. Při  pohybu  bodu  C  se  mění  změřený  obsah  trojúhelníka  (obr.  1).  Žáci  mají  vyzkoumat,  na  čem  závisí  velikost  obsahu  trojúhelníka,  mají  sami  objevit,  že  obsah závisí na výšce. Vhodným postupem je nechat žáky manipulovat s figurou,  nechat  je  objevovat  a  nové  poznatky  sdělovat  učiteli  a  ostatním  spolužákům.  Úloha  je  vhodná  pro  skupinovou  výuku  v  počítačové  učebně  nebo  pro  použití  interaktivní tabule. 

  Obrázek 7.4‐1 odhalení závislosti obsahu trojúhelníka na jeho výšce 

manipulací s vrcholem C a přímkou p 

Strana | 97    

   

1 závislost S na v   obr. 1 ‐ Manipulace s vrcholem C a přímkou p vede k odhalení závislosti obsahu  trojúhelníka na jeho výšce  Metodická  poznámka:  Žáci  při  manipulaci  s  bodem  C  objeví,  že  obsah  trojúhelníka  se  u  strmější  přímky  p  mění  výrazněji.  Někdy  sami,  jindy  na  dotaz  učitele objeví, že obsah trojúhelníka se nemění, pokud se bude bod C pohybovat  po  rovnoběžce  s  AB.  Následný  dotaz  „co  ještě  se  v  trojúhelníku  nemění,  je‐li  p  rovnoběžná  s  AB“  směřuje  k  nalezení  výšky  jako  prvku,  na  němž  závisí  neměnnost obsahu pro tuto polohu p.  Po prvním zkoumání s vodorovnou stranou AB trojúhelníka je potřeba nastavit i  jinou polohu této strany než vodorovnou. Žáci pak sice nenastaví p jako přesnou  rovnoběžku  s  AB,  to  jim  však  nemusí  bránit  závislost  odhalit  nebo  potvrdit.  Pokud  nastavíme  stranu  AB  jako  šikmou  hned  zpočátku,  je  to  pro  žáky  daleko  obtížnější problém.  Tuto  úlohu  lze  zadat  žákům  i  v  době,  kdy  již  znají  vzorec  pro  výpočet  obsahu  trojúhelníka.  Úloha  pak  indikuje  skutečnou  úroveň  porozumění  žáků,  totiž  zda  jim předchozí znalost vzorce pomohla v řešení úlohy, zda žáci vzorci rozumí. 

  Příklad: Thaletova kružnice  Změřením úhlu a následnou manipulací žáci odhalí vlastnost Thaletovy kružnice.   Zadání: Na obr. 2 je trojúhelník ABC vepsaný do kružnice k tak, že jeho strana AB  prochází středem kružnice. Je změřena velikost vnitřního úhlu při vrcholu C.  (1)     Pohybujte body A, C a přesvědčte se, že velikost úhlu se nemění.  (2)     Předefinujte bod C tak, aby se mohl volně pohybovat po nákresně. Co se na  obrázku změnilo?  (3)     Kdy bude měřený úhel ostrý a kdy tupý?  (4)     Vraťte bod C zpátky na kružnici. Bude opět změřený úhel pravý?  (5)          Pohněte  bodem  A  nebo  B,  aby  strana  AB  trojúhelníka  již  neprocházela  středem kružnice. Pohybujte nyní bodem C. Jak se chová měřený úhel? Porovnejte  to, co pozorujete, s ostatními.  Strana | 98    

   

Metodická  poznámka:  Žáky  často  neoslovilo,  že  v  situaci  na  levém  obrázku  je  měřený úhel stále pravý. Teprve po „procházce“ bodu C po nákresně a poté, co  se  v  důsledku  toho  změřená  velikost  úhlu  měnila,  je  začalo  zajímat,  kdy  je  měřený úhel větší a kdy menší než pravý. Zdá se, že ruční nastavování bodu C na  kružnici je pro žáky akceptovatelnější, i když není tak přesné jako u prvního kroku  zadání, kdy bod C ležel na kružnici.  V  5.  kroku  zadání  je  pro  učitele  zajímavé  pozorovat,  jak  žáci  zjišťují,  že  každý  z  nich  naměří  jinou  velikost  úhlu,  ale  že  při  pohybu  C  po  kružnici  se  úhel  chová  stejně  (nemění  velikost).  Učitel  může  pobídnout  žáky,  aby  objevili  vztah  mezi  naměřenými  hodnotami  úhlu  při  přechodu  bodu  C  do  opačné  poloroviny  dané  úsečkou AB. 

  Obrázek 7.4‐2 Objev poznatku o Thaletově větě manipulací 

2 Thaletova kružnice          obr. 2 ‐ Objev poznatku o Thaletově větě manipulací   

Příklad: Směrnicový tvar rovnice přímky  Žákům  často  chybí  konkrétní  představa  o  roli,  kterou  mají  parametry  k,  q  směrnicového  tvaru  přímky,  většinou  se  tyto  role  učí  pamětně.  Předložená  figura,  se  kterou  mohou  manipulovat,  jim  pomůže  lépe  problematiku  uchopit,  nastavit  si  speciální  situace  (např.  q  =  0,  k  =  0,  k  >  0,  k  <  0),  „uvidět“  geometrickou souvislost mezi hodnotou parametru a vzdálenostmi na obrázku.   

Strana | 99    

   

  Obrázek 7.4‐3 Směrnicový tvar rovnice přímky 

budování představy o roli, kterou mají parametry k, q  3 směrnice přímky   obr.  3  ‐  Směrnicový  tvar  rovnice  přímky,  manipulace  vedoucí  k  odpovědím  na  otázky a k prohloubení pochopení pojmů  Na nákresně (obr. 6.18) je sestrojena přímka, jejíž poloha závisí na koeficientech  k,  q,  které  lze  pomocí  ovladačů  k,  q  plynule  měnit.  Žáci  manipulují  s  těmito  ovladači se snahou zodpovědět na otázky učitele, později odpovídají bez nutnosti  manuálního ovládání figury.   Žáci  by  na  fakt,  že  průsečík  přímky  s  osou  y  má  y‐ovou  souřadnici  rovnu  q  a   hodnota  k  znamená  změnu  y‐ové  souřadnice  bodu  přímky  při  zvětšení  x‐ové  souřadnice  o  1,  měli  přijít  sami,  nebo  se  o  to  alespoň  pokusit  ‐  bude  cennější,  když  jejich  formulace  bude  nepřesná,  než  když  ji  sami  nezformulují  a  bude  jim  sdělena. Pouhé ověření učitelova sdělení má slabší didaktický efekt.  Otázky kladené učitelem:  1.     Pro jaké k bude přímka rostoucí?  2.     Kdy bude přímka klesající?  3.     Jaký vliv má koeficient q na umístění přímky?  4.     Který z koeficientů k, q musí být stejný u přímek navzájem rovnoběžných?  5.     Co mají společného přímky se stejným koeficientem q?  Strana | 100    

   

Metodická poznámka: I když je vztah mezi změřenými hodnotami parametrů k, q  a  jejich  „rolí“  v  sklonu  a  umístění  grafu  lineární  funkce  znázorněn  názorně  geometricky  i  barevně,  žáci  často  nevidí  souvislost  mezi  změřenými  čísly  a  koeficienty  rovnice  přímky  nebo  mezi  shodnými  trojúhelníky,  a  to  i  tehdy,  když  jsou kvůli názornosti stejně zformátovány. Budí to dojem, že žáci takové vztahy  mezi čísly a geometrickými vztahy neočekávají. 

Příklad: Obraz trojúhelníka v osové souměrnosti 

  Obrázek 7.4‐4 Obraz trojúhelníka v osové souměrnosti 

úloha řešená pomocí manipulace s hotovu figurou  4 obraz trojúhelníka   obr. 4 ‐ Úloha Obraz trojúhelníka řešená pomocí manipulace s hotovu figurou    Na  obrázku  je  sestrojen  obraz  trojúhelníka  v  osové  souměrnosti.  Najděte  takovou polohu osy o, aby vzor a obraz společně vytvořily čtyřúhelník.  Pohybujte s osou souměrnosti a napište, v jaké poloze se osa musí nacházet, aby  byl požadavek splněn (obrázek 14).  Metodická poznámka: Úloha má nekonečně mnoho řešení, žáci nejčastěji objeví  tři,  kdy  osa  prochází  stranami  trojúhelníka  (viz  obrázek).  Další  řešení  jim  jsou  chvíli  skryta,  než  někdo  překoná  „podmínku  navíc“,  že  trojúhelníky  se  nesmí  překrývat, kterou si žáci nevědomky často stanoví.  

Strana | 101    

   

Odhalení chyby v konstrukci pomocí manipulace  Manipulací s hotovou figurou lze odhalit záměrnou chybu v konstrukci a opravit  ji.  Úlohy  přispívají  k  tréninku  v  odhalování  chyb  a  ke  správným  návykům  při  kontrole hotové konstrukce. 

Příklad: Množina ortocenter trojúhelníka   V  této  úloze  žáci  trénují  schopnost  „dobře“  manipulovat  s  figurou.  I  při  manipulaci je potřeba uvažovat, jak a kterým bodem hýbat, aby se figura dostala  do polohy kvalitativně odlišné. V této úloze figura poskytne nečekané řešení.  Zadání:  Zjistěte,  jakou  křivku  tvoří  množina  průsečíků  výšek  všech  trojúhelníků  ABC, jejichž vrchol C leží na dané přímce p.  Návod: Označte bod O stopou (nebo lépe použijte nástroj Množina) a pohybujte  vrcholem C po přímce. 

  Obrázek 7.4‐5 množina ortocenter 

„Parabola“ se při manipulaci s bodem A ukáže být hyperbolou    5 ortocentra   obr.  5  ‐  „Parabola“  jako  množina  ortocenter  (vlevo)  se  při  vhodné  manipulaci  s  vrcholem A ukáže být hyperbolou (vpravo)    Strana | 102    

   

Metodické poznámky:   Křivka, kterou má žák vyšetřit (obr. 5 vlevo), na první pohled a velmi často i po  manipulaci  vypadá  jako  parabola.  Teprve  až  se  vrcholy  A,  B  ocitnou  např.  v  opačných polorovinách daných přímkou p, bude zřejmé, že křivkou je hyperbola,  která  původně  pouze  parabolu  připomínala.  Zkušenosti  s  touto  úlohou  ukazují,  že  žáci  hyperbolu  při  manipulaci  často  neodhalí.  Žáci  se  často  „bojí“  pohnout  s  objekty  příliš,  a  to  buď  z  toho  důvodu,  že  je  nenapadne  „přetáhnout“  bod  na  druhou  stranu  poloroviny,  nebo  si  nedokáží  představit,  kam  mají  táhnout  myší,  aby  mohlo  dojít  k  podstatné  změně  figury.  Někdy  to  vypadá,  že  se  dokonce  obávají,  aby  se  při  razantní  změně  polohy  zadání  figura  nerozpadla  nebo  již  neodpovídala  původnímu  zadání.  Ne  každá  manipulace  vede  k  odhalení  chyby;  ukazuje  se,  že  správné  manipulaci  pomáhá  vhled  do  situace,  že  správné  manipulaci je třeba se též učit.    Zajímavou  je  pak  debata  s  žáky  nad  tímto  problémem:  když  v  původní  poloze  množina ortocenter vypadala jako parabola, zda to opravdu byla parabola, nebo  zda šlo stále o  hyperbolu, která parabolu pouze připomínala. Pokud již žáci mají  znalosti  o  kuželosečkách,  lze  je  navést  úvahou,  že  pohlédneme‐li  na  parabolu  jako na řez kuželové plochy rovinou, je parabola hraniční případ mezi řezy tvaru  hyperboly  a  elipsy.  Další  pomocnou  aktivitou  v  danou  chvíli  je  hledání  takové  polohy  figury,  kdy  by  množina  dostala  tvar  elipsy.  Ta  je  založena  na  úvaze,  že  pokud množina ortocenter byla v některé poloze parabolou a v jiné hyperbolou,  měla by asi existovat i poloha, kdy má množina tvar elipsy.  Cílem aktivity pochopitelně není samotný poznatek o tvaru množiny ortocenter;  podstatný  je  trénink  argumentace  (při  ověřování,  zda  mohlo  jít  o  parabolu)  a  správné manipulace s figurou.    Technická poznámka:   V  Cabri  lze  využít  nástroje,  které  ověří,  o  jaký  typ  kuželosečky  se  jedná,  podle  následujícího postupu: Na množinu ortocenter umístíme pět bodů. Těmito body  proložíme  kuželosečku  (nástrojem  Kuželosečka).  Jestliže  poté  na  množinu  najedeme myší, Cabri vypíše, o jaký typ kuželosečky se jedná. Typ kuželosečky lze  ověřit  zobrazením  její  rovnice,  to  ovšem  vzhledem  k  obecné  poloze  křivky  nemusí být pro studenty průkazné.  Strana | 103    

   

Manipulace při diskusi řešení úlohy  Nad  hotovou  figurou  (nebo  po  jejím  sestrojení  v  rámci  konstrukční  úlohy)  žáci  diskutují počet řešení úlohy. Pro případné přesné závěry je praktické používat v  zadání  číselné  objekty,  které  lze  editovat  a  u  nichž  lze  nastavit  přesné  hodnoty  parametrů pro nastavení speciálních poloh figury. 

Příklad: Diskuse polohové úlohy  Přenastavováním poloh objektů a poloměrů kružnic zadání úlohy lze diskutovat  počet  řešení.  Žáci  se  pokouší  odhalit  některé  z  dílčích  podmínek  pro  určitý  zadaný počet řešení.  Zadání:  Na  nákresně  je  vyřešena  úloha  o  zadání  „Sestrojte  kružnici  daného  poloměru,  která  se  dotýká  dvou  daných  kružnic“.  Řešením  úlohy  jsou  tučně  vytažené kružnice na obr. 6. Pohybujte kružnicemi a jejich středy, měňte velikost  poloměru hledané kružnice. Pozorujte počty černých kružnic.   

  Obrázek 7.4‐6 Diskuse řešení úlohy 

Sestrojte kružnici daného poloměru, která se dotýká dvou kružnic  6 diskuse   obr. 6 ‐ Diskuse řešení úlohy manipulací s geometrickými objekty  Strana | 104    

   

Návodné otázky:  1.  Nastavte  obrázek  do  polohy,  v  níž  bude  počet  řešení  největší.  Kolik  řešení  vidíte?  2. Kolik řešení má úloha, pokud se kružnice k1, k2 neprotínají?  3.  Jaký  je  nejmenší  počet  řešení,  pokud  se  kružnice  protínají?  Může  mít  úloha   „žádné“ řešení?  4. Pro jaký největší poloměr hledané kružnice má ještě úloha řešení?  5. Kolik řešení bude mít úloha, jestliže budou všechny změřené údaje na obrázku  stejné?  6. Pro jakou podmínku úloha nemá řešení?  7. Jaká podmínka musí být splněna, aby úloha měla lichý počet řešení?   Metodická poznámka: U tohoto typu úlohy není podstatné, zda žáci dokáží úlohu  zkonstruovat či nikoliv. Podstatné je, zda dokáží ve figuře odhalovat zákonitosti  vztahů  mezi  parametry  konstrukce  a  počtem  řešení.  Nicméně  žáci  lépe  reagují,  pokud se s mechanismem figury podrobněji seznámí třeba konstruováním podle  návodu učitele.  Objevování  maximálního  počtu  možných  řešení  úlohy  v  kolektivu  třídy  patří  k  nejhezčím aktivitám s programy dynamické geometrie vůbec.  

Testová otázka  Jak jste porozuměli článku? Zde najdete soubor, který si otevřete a prohlédněte,  abyste mohli zodpovědět otázku č. 1 v následujícím testu.  testová  

7.5 Ověřování žákovských hypotéz  Dynamika  umožňuje  plynule  měnit  sestrojenou  figuru  a  ukáže  (diskrétně  a  individuálně  každému  žákovi  zvlášť),  zda  jeho  domněnka  o  chování  figury  je  či  není správná. 

Strana | 105    

   

Tvorba a ověřování žákovských hypotéz  Tato  forma  práce  rozhodně  není  tradiční  a  učitel  si  na  ni  musí  zvyknout.  Odměnou  mu  je  fakt,  že  opravdu  využívá  možností  počítače  naplno,  že  použití  počítače přispělo ke změně jeho výukového stylu.  U  vhodně  zvolených  úloh  lze  trénovat  žákův  odhad,  vhled  do  problematiky,  matematický talent. Prostředí v počítači ověří, zda si žák správně „tipnul“, zda je  jeho hypotéza správná.  Tyto typy úloh tříbí mysl, trénují vynalézavost i odvahu  jít  do  nejistého  výsledku.  Typově  lze  úlohy  pro  vytváření  žákovských  hypotéz  najít v úlohách o množinách bodů dané vlastnosti. Předpovídání, jak se bude bod  pohybovat a co bude výslednou trajektorií jeho pohybu, připadá žákům zábavné  a může motivovat i ty, kteří o matematiku zájem ztratili.  Jestliže žák manipuluje s figurou s cílem hledat a objevovat nové, zažívá příjemné  pocity  z  toho,  jak  jej  geometrické  prostředí  modelu  „poslouchá“  a  jak  vytváří  nové,  někdy  chtěné,  jindy  nechtěné  situace.  Pokud  žák  objeví  nový  poznatek,  novou skutečnost, zažívá neobyčejný emocionální zážitek z objevu, je motivován  dále takovým způsobem pracovat, a pokud se podaří důkaz objeveného tvrzení,  následuje další úžasný zážitek.   Vytváření  a  ověřování  žákovských  hypotéz  vyžaduje  odlišnou  formu  vedení  hromadné výuky. Žáci potřebují časový prostor pro vytvoření figury a především  pro  manipulaci,  pro  „hraní  si  s  obrázkem“.  Tato  aktivita  často  ústí  v  diskusi  ve  třídě, spojenou s tříbením a ujednocováním názorů, přijetím společného postupu  a individuálním dořešením úlohy každým žákem na svém počítači. 

Příklad: Těžiště trojúhelníka  Zadání:  Je dán trojúhelník ABC, jehož vrchol C se pohybuje   a)     po dané přímce (obr. 1)  b)     po dané kružnici  c)     po daném čtverci  Zjistěte, po jaké křivce se bude pohybovat těžiště tohoto trojúhelníka.  Metodická  poznámka:  Na  tomto  příkladu  je  v  následujících  odstavcích  představen možný vzorový postup řízení výuky při tvorbě a ověřování hypotéz.   Strana | 106    

   

(1)     Nejprve je žák učitelem vyzván k vytvoření vlastní hypotézy.   (2)          Poté  zkonstruuje  figuru  a  ještě  před  manipulací  je  znovu  vyzván,  aby  zkorigoval svoji hypotézu.   (3)          Poté  následuje  výzva  k  manipulaci  a  ověření  hypotézy.  Žáci  ověřují  své  domněnky a případně je korigují.   (4)     V závěru aktivity je správná hypotéza vysvětlena a u jedinců, kteří sestavili  chybnou hypotézu, vysvětlena příčina jejich omylu.  (5)          Následuje  tentýž  postup  se  změněným  zadáním.  Nejprve  přijde  změna  polohy  některých  objektů  tak,  aby  situace  stále  vyhovovala  původnímu  zadání,  později přechod k novému analogickému zadání. 

  Obrázek 7.5‐1 Ověřování žákovské hypotézy pro pohyb těžiště trojúhelníka 

1 těžiště 3úhelníka   obr. 1 ‐ Ověřování žákovské hypotézy pro pohyb těžiště trojúhelníka    V následujících bodech je popsán sled otázek a pokynů učitele pro vzorové řízení  aktivity:  1.     Tipněte si, po jaké křivce se bude těžiště pohybovat.  2.          Sestrojte  trojúhelník  ABC,  jehož  vrchol  C  bude  ležet  na  předem  vytvořené přímce p a bude se po ní moci pohybovat. Sestrojte těžiště tohoto  trojúhelníka.  3.     Znovu si zkuste tipnout, jak se bude těžiště pohybovat.  Strana | 107    

   

4.     Označte těžiště stopou a pohybujte vrcholem C. Odpovídá skutečnost vaší  předpovědi?  5.          Dokážete  popsat,  jak  by  se  taková  čára  dala  zkonstruovat,  znáte‐li  polohu trojúhelníka a přímky p?  6.          Stopu  smažte.  Změňte  polohu  přímky  p  nebo  vrcholů  A,  B  a  pokus  opakujte.  Zajímá  mě,  jestli  křivka,  po  které  se  těžiště  pohybuje,  i  nyní  odpovídá vaší předpovědi. Museli jste popis stopy změnit?  7.     Jak nejlépe popsat stopu pohybu těžiště? Poraďte se s ostatními.  8.          Zkuste  podle  postupu,  který  jste  společně  vymysleli,  tuto  křivku  sestrojit. Vyzkoušejte pak, zda se kryje se stopou. 

Příklad: Splynutí os a těžnic  Žáci manipulují s vrcholy a hledají správný tvar trojúhelníka, který bude splňovat  zadání,  poté  popisují  jeho  tvar  a  vlastnosti.  Úloha  pro  žáky,  kteří  ještě  nejsou  schopni úlohu vyřešit prostou úvahu. Žáci mohou výsledek „tipovat“.  Zadání:  Jaký  tvar  musí  mít  trojúhelník,  aby  všechny  jeho  osy  stran  splynuly  s  těžnicemi?  Jaký tvar musí mít trojúhelník, aby alespoň jedna osa strany splynula s těžnicí? 

 

Obrázek 7.5‐2 Splynutí os stran trojúhelníka s těžnicemi 

model pro experimentální hledání podmínky pro splynutí 

Strana | 108    

   

2 osy a těžnice   obr.  2  ‐  Model  pro  experimentální  hledání  podmínky  pro  splynutí  os  stran  trojúhelníka s těžnicemi 

Příklad: Množina čtverců  Zadání:  Vyšetřete  množinu  vrcholů  C  všech  čtverců  ABCD,  které  mají  společný  vrchol A a vrchol B leží na dané kružnici k.   

  Obrázek 7.5‐3 Množina vrcholů C čtverců s vrcholem B na dané kružnici   

3 množina čtverců   obr. 3 ‐ Množina vrcholů C čtverců s vrcholem B na dané kružnici  Analogické zadání pohybem:  Je  dán  čtverec  ABCD,  jehož  vrchol  A  je  pevný  a  vrchol  B  se  pohybuje  po  dané  kružnici k. Jaký tvar má stopa pohybu vrcholu C?  Řešení: Bod C se pohybuje po kružnici o větším poloměru než kružnice k, poměr  poloměrů  kružnic  vytvářených  body  C  a  B  je  roven  .  Důkaz  vychází  ze  stejnolehlosti  a  z  vlastností  úhlopříčky  ve  čtverci    ABCD.  Bod  D  se  pohybuje  po  kružnici stejného poloměru jako k. Tato úloha je vhodná i pro žáky ZŠ.   

Strana | 109    

   

7.6 Žákovský experiment  Dělání  pokusů,  experimentování,  je  ve  školní  matematice  netradiční  metoda  práce.  Jde  o  aktivitu  s  otevřeným  koncem,  která  nemusí  vyústit  v  nějaký  výsledek. 

Žákovský experiment  V  následujících  úlohách  máme  na  mysli  opravdové  žákovské  pokusy,  experimentování,  nikoliv  „vzpomínání  si“  na  probranou  látku,  opakování  učitelova  postupu  nebo  řešení  úlohy  pomocí  dedukce  či  analogie.  Experimenty  jsou  většinou  zařaditelné  jako  úvodní  aktivita  k  nějakému  tématu,  jako  propedeutika pojmu, případně jako problém, který má být vyřešen a který se jeví  natolik složitý, že může pomoci vytvoření modelu nebo nějakého náčrtku.  Geometrie  má  významný  vliv  na  formování  světového  názoru.  Podle  Hejného  „Rozhodující úlohu při neformálním poznávání geometrie hrají osobní zkušenosti  žáka, které mohou získat pouze experimentováním.“   Experiment je často aktivitou s otevřeným koncem, většinou zcela individuální, a  to  jak  co  do tempa,  tak  co  do  míry  potřebnosti  řízení  výuky  učitelem.  Je  téměř  nemožné řídit jej hromadně, frontálně. Je třeba, aby s tím učitel počítal, aby se  na výuku formou experimentu připravil.  

Příklad: Souřadnice bodu  Zkoumání vztahu mezi polohou bodu a jeho souřadnicemi. Žák pohybuje bodem  a  pozoruje  jeho  souřadnice,  pokouší  se  odpovědět  na  otázky  (obr.  1).  Žák  řeší  úlohy  „ručním“  nastavením  požadované  situace  na  nákresně,  později  uvažováním.  Sada otázek a pokynů, řídících experiment:  (1)     Pohybujte bodem A po ploše a pozorujte jeho souřadnice.   (2)     Ve které části roviny má bod A obě souřadnice záporné?  (3)     Kde má bod A první souřadnici kladnou?  (4)     Kde má bod A druhou souřadnici rovnou nule? 

Strana | 110    

   

(5)     Pohybujte postupně body B, C, D.  U každého bodu zjistěte, po jaké přímce  (křivce) se tento bod pohybuje. Jakou vlastnost mají jeho souřadnice?   (6)     Na nákresně je čtyřúhelník. Umístěte jeho vrcholy tak, aby měly souřadnice  [1; 3], [3; ‐1], [‐1; ‐3], [‐3; 1]. Jaký útvar jste dostali?  (7)     Umístěte vrcholy tohoto čtyřúhelníka do souřadnic [3; 2], [5; 1], [3; ‐3], [1;  1]. Jaký útvar jste dostali?  (8)     Jaký útvar vznikne ze souřadnic [2; 2], [7; ‐1], [6; ‐5], [1; ‐2]?  (9)     Jaký útvar vznikne ze souřadnic [‐1; 2], [2; 5], [3; 6], [‐3; 0]?    Správné odpovědi k náročnějším otázkám:   (6) čtverec        (7) drak, deltoid        (8) rovnoběžník       (9) úsečka ‐ body leží v přímce   

  Obrázek 7.6‐1 Experiment Souřadnice bodu v rovině 

  1 souřadnice bodu   obr. 1 ‐ Experiment Souřadnice bodu v rovině  Strana | 111    

   

Metodické poznámky:   Tuto figuru je lépe využít v podobě apletu webové stránky, na němž k bodům na  nákresně  nelze  přidávat  jejich  souřadnice,  což  je  z  hlediska  didaktického  výhodnější.  Bodem  A  lze  libovolně  pohybovat  po  nákresně,  zatímco  body  B,  C,  D  leží  na  skrytých  přímkách,  jejich  pohyb  je  omezen  a  tím  také  jejich  souřadnice  mají  speciální vlastnosti, např. jedna ze souřadnic se nemění, souřadnice jsou opačná  čísla apod.  U  řady  úloh  si  žák  může  pomoci  bodem  A,  protože  ten  vypisuje  souřadnice.  Pokud  by  se  měly  tvary  vzniklých  čtyřúhelníků  ověřit,  musely  by  se  použít  některé další nástroje (kolmice, kružnice, měření délek, úhlů).   

Příklad: Složení dvou osových souměrností  V  úloze  mají  žáci  poznat  vzor,  první  a  druhý  obraz.  V  2.  úloze  žáci  hledají  podmínku pro to, aby složením dvou osových souměrností byla identita.  Zadání:   V souboru jsou na nákresně tři shodné trojúhelníky, kterým chybí popis (obr. 2).  Víme,  že  trojúhelník  ABC  má  být  vzor,  DEF  je  jeho  obraz  podle  osy  o  a  GHI  je  obrazem obrazu DEF podle osy p.  (1)     Pohybujte osami o, p a poznejte, který trojúhelník je který. Vybarvěte vzor  ABC  růžovou,  obraz  DEF  červenou  a  obraz  obrazu  GHI  tmavě  červenou  barvou.  Můžete také popsat vrcholy trojúhelníků.  (2)     Pohybujte osami o, p tak, aby vzor ABC a druhý obraz GHI splynuly (tedy  aby váš nejsvětlejší trojúhelník splynul s nejtmavším). Vysvětlete, v jaké vzájemné  poloze osy leží.  Nápověda: Pokud se nedaří, aby trojúhelníky splynuly, je možné, že jste je špatně  vybarvili.   

Strana | 112    

   

  Obrázek 7.6‐2 Skládání zobrazení 

Hledání polohy dvou os, tak aby druhý obraz splynul se vzorem    2 složené zobrazení   obr.  2  ‐  Hledání  polohy  dvou  os,  tak  aby  druhý  obraz,  vzniklý  složením  obou  osových  souměrností,  splynul  se  vzorem.  Úloha  vede  k    některým  zobecněným  vlastnostem skládání zobrazení.  Metodická poznámka:   V 2. úloze žáci hledají podmínku pro to, aby složením dvou osových souměrností  byla  identita.  Správná  odpověď  je,  že  osy  musí  splynout.  Manipulace  dá  některým  žákům  značnou  práci,  protože  mají  potíže  s  koordinací  otáčení  os  (přímky, dané bodem a směrem, lze v Cabri buď otáčet kolem jejich tzv. hlavního  bodu,  nebo  je  přemísťovat  táhnutím  za  tento  hlavní  bod).  Jakmile  třeba  i  náhodou dostanou vzor a druhý obraz do polohy, v níž by byly jejich odpovídající  si strany rovnoběžné, rychle již dosáhnou hledané polohy.   

Příklad: Mřížové trojúhelníky  V  originále  na  čtverečkovaném  papíře,  v  „počítačové  verzi“  na  nákresně  opatřené  mřížovými  body  (v  Cabri  nástroje  Zobrazit  osy  a  poté  Mřížové  body)  Strana | 113    

   

žáci hledají všechny tvary a polohy trojúhelníků s vrcholy v mřížových bodech a s  obsahem  0,5.  Nástroj  měření  obsahu  Velikost  obsahu  může  slabšímu  žákovi  od  začátku,  vyspělejšímu  u  neelementárních  tvarů,  pomoci  velikost  obsahu  kontrolovat.  Žáci  experimentují  tak,  že  přesouvají  vrcholy  po  mřížce  a  hledají  další tvary téhož trojúhelníka, případně vytvářejí další a další tvary, které splňují  podmínku.   Učitel  může  očekávat,  že  žáci  budou  vytvářet  hypotézy  typu  Čím  je  obdélník  delší,  tím  je  užší;  Uvnitř  trojúhelníka  nesmí  ležet  žádný  mřížový  bod;  Ke  dvěma  zvoleným vrcholům mohu najít třetí na přímce „o jednu výše“. Pro ověření třetí  uvedené  hypotézy  lze  použít  umístění  třetího  vrcholu  na  přímku,  procházející  mřížovými  body  a  rovnoběžnou  se  spojnicí  dvou  zbývajících  vrcholů.  Toto  ověření  má  význam  především  u  vrcholů  umístěných  šikmo  v  mřížce  (na  obr.  vpravo body A, B).   

  Obrázek 7.6‐3 Trojúhelníky v mřížce 

Hledání všech tvarů mřížových trojúhelníků s obsahem 0,5  3 trojúh. v mřížce    obr. 3 ‐ Hledání všech tvarů mřížových trojúhelníků s obsahem 0,5. Základní tvary  (vlevo  nahoře),  pokročilé  tvary  získané  experimentováním  (vlevo  dole),  ověření  žákovské  hypotézy  konstrukcí  rovnoběžky,  procházející  mřížovým  bodem,  nejbližším k přímce AB.   

Příklad: Délka tětivy  Zadání: Jsou dány dvě protínající se kružnice. Z bodu A, ležícího na jedné z kružnic,  veďte polopřímky, procházející průsečíky obou kružnic. Tyto polopřímky protínají  Strana | 114    

   

druhou kružnici v bodech  B, C. Ověřte, zda platí, že  délka úsečky  BC nezávisí na  poloze bodu A (obr. 4).  Odpověď: platí pouze tehdy, pokud bod A neleží uvnitř druhé kružnice ‐ pouhé  ověření bez řádného experimentování tuto podmínku nenajde.   

  Obrázek 7.6‐4 Délka tětivy  Ověření nezávislosti délky úsečky BC na poloze bodu A na kružn. 

  4 délka tětivy   obr.  4  ‐  Experimentální  ověření  nezávislosti  délky  úsečky  BC  na  poloze  bodu  A  (pohybujícího se po kružnici), nalezení podmínky této nezávislosti. Čárkovaná část  figury představuje situaci pro jinou polohu bodu A.     

Strana | 115    

   

8 Projekty ve výuce matematiky s  počítači  Projekty jsou natolik specifickou formou práce ve výuce, že jsme je vyčlenili jako  speciální  kapitolu.  V  dnešní  době  se  projektová  výuka  hodně  skloňuje  (a  vyžaduje), je namístě si udělat jasno, co vlastně projekt je a jak takový produkt,  výsledek  projektové  výuky  vypadá.  V  kapitole  přinášíme  náměty  na  rozmanité  projekty při použití počítače v geometrii. 

Cíle:   ‐ porozumět tomu, co je projektová výuka  ‐ znát znaky projektu  ‐ udělat si představu o možnostech počítače při projektové výuce   

8.1 Projekty  ‐ trocha teorie  Je projekt vůbec vhodný do matematiky? Co je projekt a co není projekt? Na tyto  otázky  se  pokouší  text  odpovědět  ještě  předtím,  než  nabídneme  náměty  na  projektovou činnost. 

Projektová výuka při použití technologií  Teoretický úvod  Matematika se zprvu jeví jako školní předmět, který není pro projektovou výuku  vhodný.  Hlavní  náplní  tradiční  výuky  je  řešení  úloh,  a  i  ty  složité  a  komplexní  úlohy stále nemají povahu projektů, v nichž by se žák mohl mj. podílet na zadání.  Interdisciplinární projekty, v nichž část určeného času žák počítá či rýsuje, jsou z  pohledu  výuky  matematiky  vnímány  jako  projekty  aplikační.  Jejich  nasazování  ovšem naráží na vcelku pochopitelný odpor učitelů, kterým připadá, že projekty  nejsou  dostatečně  intenzívní,  že  v  nich  dochází  k  rozředění  matematického  obsahu  a  cílů  výuky.  Učitel  může  mít  pocit,  že  pouze  část  projektu  se  opravdu  věnuje matematice a tím že mu projekt ubírá prostor pro výuku matematických  Strana | 116    

   

kompetencí.  Z  hlediska  celkové  výchovy  člověka  je  to  postoj  falešný,  protože  práce  na  projektech  a  v  týmu  je  velice  cenná,  ovšem  to  nevyvrátí  učitelovy  obavy,  že  takovéto  aplikační  projekty  zvláště  u  starších  žáků  matematiku  odsouvají  do  pozadí.  K  těmto  obavám  někdy  přispívá  počáteční  pedagogický  nezdar (učitel neumí projekty vést a připravovat, žáci neumí projektově pracovat,  protože se to v jiném předmětu také nenaučili).  Možností,  jak  najít  vhodné  aplikační  prostředí  pro  projekty,  a  přitom  neztrácet  těžiště výuky mimo oblast matematiky, je použít výpočetní techniku jako nástroj  pro  aplikaci  matematických  dovedností.  Kromě  zvýšené  motivace,  která  přes  počítače může přitáhnout k matematice nové žáky, je kladem i fakt, že je možné  téměř celý projekt realizovat jako matematickou záležitost.   Tato  kapitola  přináší  sadu  aktivit  projektové  povahy,  které  vedou  žáky  ke  kreativitě,  k  použití  geometrických  kompetencí,  k  trénování  projektového  způsobu  práce.  Vybrané  projekty  jsou  zaměřeny  na  matematický  obsah,  nejde  tedy  jen  o  pouhou  aplikaci  matematiky  v  „situacích  ze  života“  nebo  interdisciplinarity.  Přehlídka  projektů  chce  ukázat  jiný  způsob,  jak  zhodnotit  žákovu  geometrickou  zdatnost,  než  je  použití  počítače  jako  interaktivního  geometrického náčrtníku.  

Co je projekt a co není projekt  Projekt má své charakteristické vlastnosti: samoorganizovanost a zodpovědnost,  cílenost, orientace na produkt, důraz na praktickou  činnost, orientace na zájmy  zúčastněných,  situační  zřetel,  sociální  učení  a  v  neposlední  řadě  mezipředmětovost.  Je třeba rozlišovat mezi učitelským projektem a žákovským projektem. Pokud si  učitel  připravuje  svoji  výuku  netradičními  formami,  např.  za  pomoci  experimentování,  objevování,  s  aktivním  zapojením  žáka,  zařazením  nových  témat  a  jejich  provázáním  apod.,  je  to  velice  záslužná  činnost.  Zde  se  jedná  o  učitelův projekt jeho výuky, automaticky to však neznamená, že také žáci budou  pracovat projektovým způsobem.  Velmi  dobře  lze  rozeznat  projekt  od  neprojektové  práce  podle  míry  podílu  řešitele  na  zadání  úlohy.  V  praxi  projekt  většinou  vyžaduje  podíl  toho,  kdo  projekt realizuje, na upřesnění, specifikaci zadání nebo někdy i rozsáhlejší změnu  zadání (po konzultaci se zadavatelem). Vychází se z toho, že zadavatel nemá tolik  odborných zkušeností, nezná technologické postupy, novinky v oboru apod., aby  Strana | 117    

   

problém byl schopen uchopit v plné šíři a zadání specifikovat. Žákovské projekty  se snaží právě toto simulovat.  Práce na projektu připomíná nejvíce práci samostatného zaměstnance ve firmě.  Ten  dostává  úkoly  od  svého  nadřízeného  a  k  danému  termínu  má  předložit  zpracované řešení, které vyhovuje vstupním požadavkům zadání a které má další  kvality,  vyplývající  ze  schopností  ovládat  výpočetní  techniku,  ze  zkušeností  a  znalostí z dalších oborů, ze schopnosti pracovat tvořivě, v týmu.  Na  projektu  je  podstatná  možnost  žáka  podílet  se  na  zadání  projektu  (možnost  „upravit  si  jej  podle  svého“).  Toto  je  nesmírně  důležitý  prvek  žákovského  projektu,  protože  při  tomto  „přizpůsobení“  dochází  ke  ztotožnění  žáka  s  projektem  (žák  jej  „vezme  za  svůj“).  Dalšími  výraznými  znaky  žákovského  projektu  jsou  otevřenost  (není  znám  předem  výsledek  ani  vlastní  postup),  cílenost (výsledkem má být nějaké dílo), samoorganizovanost, kreativita, aktivita  a originalita.  Projektem není sled krátkých navazujících úloh, které má žák provést. Projektem  není ani dlouhodobá činnost, pokud má žák přesně předepsáno, co má dělat, a  nemůže se sám svojí aktivitou zapojit do přípravy projektu. Projekt mívá často ne  zcela  konkrétní  zadání,  nicméně  má  stanoveny  podmínky  (kritéria),  které  musí  řešitel projektu splnit.  Často se za projekt vydává tzv. integrovaná tematická výuka, v níž některé téma  zastřešuje  a  překrývá  řadu  výukových  aktivit  ve  třídě.  Na  první  pohled  jde  o  tentýž  typ  výuky:  učitel  připravuje  často  rozsáhlé  přípravy,  má  originálně  sestavené kurikulum, zařazuje netypické úlohy, výuka se může odehrávat ve více  vyučovacích předmětech atd.  Tím nechceme říci, že takováto výuka je nevhodná, horší než projektová nebo že  by neměla být vyučována. Naopak, tyto aktivity jsou velmi často učitelem dobře  připraveny,  a  protože  nevyžadují  nějaký  nový  přístup  k  řízení  výuky,  jsou  i  standardně  dobře  odučeny.  Pouze  chceme  sdělit,  že  v  tomto  případě  nejde  o  žákovský projekt, a učitel, který takovou výuku připravuje, by měl mít na zřeteli,  že její realizací netrénuje ty dovednosti a postoje žáka, které jsou pro projektový  způsob práce potřebné.   

Strana | 118    

   

  Obrázek 8.1‐1 Projektová výuka 

Mlýn s otáčivými lopatkami jako geometrická figura v Cabri   

8.2 Náměty na konkrétní projektovou činnost  Nabízíme  burzu  námětů  na  geometrické  projekty,  realizovatelné  s  počítačem.  Prohlédněte si obrázky a přiloženými soubory, ze kterých bude zřejmé, že se děti  stále učí matematiku, i když používají počítač a neřeší tradiční úlohy z učebnice.  Vybrali jsme opravdu netradiční náměty, jejichž těžištěm je ovšem matematicka,  nikoliv  její  aplikace  v  jiné  oblasti.  Trochu  nás  může  uklidnit,  že  zde  děti  pracují  podobným  způsobem,  jako  s  velkou  pravděpodobností  budou  v  budoucnu  pracovat  ve  svém  zaměstnání  (což  o  tradiční  výuce  matematiky  říci  tak  zcela  nelze). 

Cíle:   ‐ udělat si představu o možnostech projektové práce u počítače  ‐ porozumět pojmu jednoduchý geometrický mechanismus a jeho modelování 

Náměty na projekty v prostředí dynamické geometrie  Soubory  pro  tyto  projekty  jsou  vytvořeny  v  Cabri  II  Plus  a  lze  je  prohlédnout  v  demoverzi Cabri.   Pro  některé  projekty  jsou  připraveny  i  soubory  v  Geogebře.  Takové  soubory  začínají v názvu slovem GGebra. 

Strana | 119    

   

Projekt: Ornamenty  Analogicky k rýsování ornamentů skládáním kružnic pouhým kružítkem na papír  lze  vytvářet  ornamentální  tvary  z  kružnic  a  dalších  vhodných  objektů  (např.  pravidelných mnohoúhelníků). Statické ornamenty mohou vytvářet i začátečníci;  projekt  pak  slouží  k  obeznámení  se  s  filozofií  ovládání  software.  Dynamické  obrázky mohou v jednodušší verzi zachovávat tvar při zvětšování či zmenšování  či  při  otáčení  kolem  svého  středu  (obr.  1  vlevo),  ve  složitější  verzi  může  jeden  ornament  přecházet  v  jiný,  s  jiným  stupněm  souměrnosti  nebo  poměrem  proporcí  jednotlivých  komponent  (obrázek  uprostřed  a  vpravo).  Při  tvorbě  statických  tvarů  se  jako  pracovní  technika  uplatní  prosté  vytváření  objektů  na  jiných  objektech,  u  složitějších  dynamických  figur  je  vhodnou  technikou  použití  shodných zobrazení. 

  Obrázek 8.2‐1 Projekt Ornamenty 

ornamenty poskládané z kružnic nebo z obrazů 5úhelníka v otočení  projekt Ornamenty   obr.  1  ‐  Projekt  Ornamenty.  Vlevo  ornament  poskládaný  z  kružnic,  uprostřed  a  vpravo  z  mnohonásobných  obrazů  pravidelného  pětiúhelníka  v  otočení  kolem  jednoho jeho vrcholu (figury se liší úhlem otočení).  Metodická  poznámka:  Žákům  se  často  zpočátku  nedaří  vytvářet  dynamické  ornamenty  většinou  proto,  že  nové  objekty  nedefinují  na  základě  již  vzniklých  objektů, ale vytvářejí je částečně nezávislé; obrázek se pak při manipulaci bortí.  Pomůže  jim  ukázka,  při  níž  se  nejprve  vytvoří  bod  na  kružnici  a  z  něho  vychází  další  konstrukce,  každý  další  objekt  musí  být  závislý  na  poloze  tohoto  bodu  (kolmice,  rovnoběžky,  středy  stran,  průsečíky).  Po  vytvoření  každého  dalšího  objektu je nutno zkontrolovat, zda se obrázek při manipulaci nehroutí.   Strana | 120    

   

U  konstrukcí  za  použití  otočení  se  ornament  vytváří  např.  tak,  že  se  jeden  pravidelný  mnohoúhelník  otočí  kolem  svého  vrcholu  o  úhel  daný  číslem  na  nákresně.  Toto  otočení  se  vždy  s  novým  objektem  mnohokrát  zopakuje.  Dodatečně  lze  měnit  úhel  otočení  a  tak  rozmístit  objekty  pravidelně  kolem  středu (uprostřed a vpravo).   

Projekt: Papírové modely těles  Žáci mají za úkol vytvořit v prostředí dynamické geometrie síť libovolného tělesa,  které  má  čtyři  stěny  a  půjde  slepit  v  papírový  model.  Figura  by  měla  být  vytvořena  tak,  aby  prostým  pohnutím  některým  z  vrcholů  vznikla  nová  síť,  ze  která  ovšem  opět  půjde  slepit  nový  čtyřstěn.  Po  vytvoření  sítě  lze  výkres  vytisknout, vystřihnout a zkontrolovat řešení jeho slepením.   Metodické poznámky:   Typický  průběh  projektu  vypadá  tak,  že  žák  nejprve  vytvoří  pevný  model  sítě  s  neměnnými stranami (použije přitom např. měření délek stran) a teprve potom  uvažuje nad tím, že by vytvořil takovou figuru, kterou bude moci manipulovat a  přitom bude síť vždy „slepitelná“. Zjistí, které strany musí být stejně dlouhé a jak  je  sestrojit.  Žáci  mohou  v  počítači  obarvit  ty  hrany  budoucího  tělesa,  které  se  budou lepit k sobě.    

Obrázek 8.2‐2 Síť čtyřstěnu 

dynamický model určený k vytištění, vystřihnutí a slepení 

Strana | 121    

   

projekt Síť čtyřstěn   obr.  2  ‐  Síť  čtyřstěnu  jako  dynamický  model  určený  k  vytištění,  vystřihnutí  a  slepení  (na  prostředním  obrázku  s  přidanými  záložkami  vytvořenými  použitím  makrokonstrukce).  Učitel  může  připravit  žákům  makrokonstrukci,  která  k  označené  straně  automaticky  zkonstruuje  záložku  pro  lepení.  Pak  je  úlohou  pro  žáka  též  navrhnout vhodnou polohu záložek.  Žáci  někdy  konstruovali  sítě,  které  bylo  po  vytištění  velice  obtížné  slepit.  Po  slepení  vznikala  tělesa  téměř  úplně  „placatá“,  připomínající  rovinné  obrazce.  Problematickou  síť  lze  rozeznat  ještě  před  vytištěním  ‐  obsahuje  výrazně  tupé  úhly nebo příliš úzké stěny. 

Projekt: Mozaiky pomocí tzv. řídkých množin  Vhodným  spojením  geometrie  s  rozvojem  výtvarného  cítění  a  vnímání  matematického  „krásna“  u  dětí  jsou  aktivity  vybarvování  rovinných  struktur.  Vytváření  kostry  mozaiky  pomocí  množin  objektů  dané  vlastnosti  je  zase  nejednoduchý geometrický problém pro vyspělejší žáky.  Cabri  umožňuje  nastavit  počet  objektů,  které  vykreslují  sestrojenou  množinu  (nástroj  Nastavit/Nastavit  prostředí,  záložka  Množiny).  Zmenšením  počtu  vykreslovaných  objektů  lze  využít  pravidelnosti  v  jejich  rozmístění  a  změnách  tvaru  ke  konstrukci  kostry  mozaiky.  Tu  je  možno  exportovat  jako  obrázek  (kopírováním nebo užitím klávesy PrintScreen) a dodatečně vybarvit v grafickém  editoru (např. v Malování) nebo vytisknout a vybarvit ručně.   

Obrázek 8.2‐3 Mozaiky vytvořené "řídkými" množinami 

vytvořeno v Cabri, dodatečně obarveno v grafickém editoru  Strana | 122    

   

projekt Mozaika1   projekt Mozaika2     obr.  3  ‐  Mozaiky  vytvořené  z  řídkých  množin  v  Cabri,  dodatečně  obarvené  v  grafickém editoru.  Komentáře k obrázkům:  ‐          Na  obr.  3  vlevo  je  patrné  pravidelné  rozmístění  objektů  (odpovídající  rovnoměrnému pohybu bodu po úsečce).   ‐          Na  obr.  3  uprostřed  je  efekt  vyboulení  docílen  projekcí  rovnoměrného  pohybu po kružnici na úsečku (znázorněno na obr. 4).   ‐     Na obr. 3 vpravo je řídká množina hyperbol zkonstruovaných z pěti bodů, z  nichž jeden se pohybuje po dané úsečce.    Konkrétní postup vytvoření čtvercové mozaiky se všemi shodnými čtverci (obr. 3  vlevo):  (1)     Sestrojte čtverec.  (2)     Jedním bodem X jeho libovolné strany x veďte kolmici na tuto stranu.  (3)     Sestrojte množinu těchto kolmic, jestliže se bod X pohybuje po straně x  čtverce.   (4)          Vzniklou  množinu  „zřeďte“  v  nastavení  programu,  počet  vykreslovaných  prvků  množiny  nastavte  asi  10  (v  Cabri  nabídka  Nastavit  prostředí/Množiny).  (5)     Zopakujte pro stranu kolmou na stranu x.   

Strana | 123    

   

  Obrázek 8.2‐4 Konstrukce kostry mozaiky 

pro projekt Mozaiky pomocí řídkých množin    projekt Moz. kostra   obr.  4  ‐  Konstrukce  kostry  mozaiky.  Pravidelné  rozmístění  svislých  čar  je  dáno  pohybem  řídícího  bodu  po  úsečce,  rozmístění  vodorovných  čar  pak  pohybem  bodu po kružnici.  Bystří žáci mohou po zapracování sami objevovat nové postupy pro tvorbu kostry  mozaiky.  Hotová  grafika  se  může  stát  součástí  diplomu  ve  školní  matematické  soutěži apod.   Omalovánky  Nabízíme zde ke stažení program, ve kterém můžete dodatečně obarvit obrázek  vytvořený  v  Cabri.  Tento  obrázek  mozaiky  zkopírujte  do  schránky  (pomocí  nástroje  Kopírovat  nebo  sejmutím  obrazovky  PrintScreen)  aq  poté  vložíte  do  Omalovánek.  Fraktálomalovánky  

Projekt: Pes a jeho rasy  Úkolem  je  vytvořit  „psa“  nějaké  zvláštní  „rasy“,  což  se  bude  projevovat  v  jeho  chování  poté,  když  s  ním  bude  manipulováno.  Žáci  dostanou  tzv.  „původního  psa“  tvaru  mnohoúhelníka    a  jejich  úkolem  bude  sestrojit  jiný  mnohoúhelník,  který bude vypadat jako naprosto shodný s původním, ale při tahání za bod oka  Strana | 124    

   

se jeho tvar bude měnit. Některý pes se třeba bude zvětšovat, jiný prodlužovat,  další protahovat nohy nebo mu bude růst ocásek ‐ fantazii se meze nekladou.  Projekt  vede  k  tomu,  aby  žák  objevoval,  jakou  geometrickou  konstrukcí  může  vyjádřit  pohyb  objektu  (psa  nebo  jeho  části),  který  si  sám  navrhne.  Jiný  pozorovaný  postup,  vedoucí  k  vytváření  nových  psích  ras,  je  založený  na  náhodném experimentování.  Metodická  poznámka:   Postup  tvorby  takového  „psa“  lze  rámcově  shrnout  takto:  z  původního  mnohoúhelníka  se  nějakou  konstrukcí  (stejnolehlost,  posunutí)  vytvoří  nový  mnohoúhelník, původní objekt se poté skryje. Aby bylo možno tahat psa za oko,  vede  vektor  posunutí  z  oka  „původního“  do  oka  „nového  psa“.  Náročnější  konstrukce  vznikají  tak,  že  obrazy  některých  vrcholů  mnohoúhelníka  se  předefinují  na  volné  body  (které  jsou  zcela  nezávislé  na  původním  mnohoúhelníku,  např.  tlapky  nohou  se  pohybují  se  zbytkem  psa  ‐  obrázek  psa  vlevo dole). Mohou se také sestrojit jiným postupem než obrazy zbylých vrcholů  (např.  konec  ocásku  se  bude  posouvat  o  jiný  vektor  než  ostatní  body,  tím  se  ocásek bude „vrtět“ nebo prodlužovat ‐ obrázek vpravo dole).  Nové  tvary  někdy  vznikají  naprostou  náhodou,  jindy  je  jejich  tvorba  naprosto  cílená,  kdy  k  předem  vymyšlenému  chování  psa  se  hledá  jeho  geometrická  interpretace a teprve poté algoritmus konstrukce, např. pes, který žere z misky,  pes měnící se na velblouda, pes dávající pac atd. 

 

Obrázek 8.2‐5 Pes a jeho rasy 

Původní tvar psa a „rasy“, ve které se původní tvar plynule mění 

Strana | 125    

   

projekt Pes 1   projekt Pes 2   obr. 5 ‐ Projekt Pes a jeho rasy, studentské práce. Původní tvar psa a „rasy“, ve  které se původní tvar plynule mění táhnutím myší.  Více  apletů  dynamických  figur  psa  najdete  http://www.pf.jcu.cz/cabri/projekty/index.html   

na 

webové 

adrese 

  Projekt: Kaleidoskop  Zrcadla  kaleidoskopu  jsou  modelována  pravidelným  trojúhelníkem,  do  něhož  jsou naskládány malé objekty. Jejich obrazy v osové souměrnosti vytvoří obrazce  jako  v  krasohledu.  Aby  byla  úloha  ztížena,  není  dovoleno  provádět  žádné  pomocné konstrukce nových os.  Metodická  poznámka:  Žákům  v  tomto  projektu  činí  největší  potíž  vytvořit  trojúhelník tak, aby při otáčení neměnil velikost. K tomu je potřeba jej sestrojit  jako pravidelný mnohoúhelník vepsaný kružnici (která na obrázku není viditelná).  Žáci dovedou sestrojit obrazy objektů umístěných uvnitř trojúhelníku, podle jeho  stran,  ale  mají  potíže  odhalit,  jak  se  vytvářejí  další  obrazy.  Někteří  žáci  si  zkonstruovali  pomocné  osy  jako  rovnoběžky  se  stranami  trojúhelníka,  procházející  jeho  vrcholy.  Bystří  žáci  mohou  přijít  na  konstrukci  bez  použití  žádných dalších os, pouze užitím stran trojúhelníka.  Je  potřeba  žáky  upozornit,  že  střípky  uvnitř  kaleidoskopu  musí  umístit  tak,  aby  při  jeho  otáčení  „nevyčuhovaly“  ven.  Kontrolní  otázka  učitele,  v  jaké  oblasti  se  smějí nacházet objekty ‐ vzory, vede k odpovědi o vepsané kružnici trojúhelníka,  případně k její konstrukci.  Obměnou  úlohy  může  být  jiný  tvar  kaleidoskopu  (pravoúhlý  trojúhelník,  pětiúhelník apod.)   

Strana | 126    

   

  Obrázek 8.2‐6 Kaleidoskop 

Otáčením trojúhelníku zrcadel se mění pozorovaný obrázek.  projekt Kaleidoskop             obr.  6  ‐  Projekt  Kaleidoskop.  Figura  simuluje  chování  reálného  krasohledu.  Otáčením trojúhelníku zrcadel se mění pozorovaný obrázek.   

Projekt: Je obličej souměrný?  V projektu žáci jednoduchou konstrukcí ověří, nakolik je lidský obličej souměrný.  Použitý  software:  Cabri  II  Plus,  příp.  program  pro  úpravu  fotografií  spolu  s  fotoaparátem.  Nad  fotografií  jako  pozadím  geometrické  konstrukce  žáci  použijí  osovou  souměrnost ke kontrole souměrnosti lidského obličeje. Poloha osy souměrnosti v  ověřovací  figuře  je  určena  polohou  dvou  tzv.  kalibračních  kružnic.  Další  objekty  již jsou standardními vzory a obrazy podle této osy.  Doporučený postup:   Souměrnost obličeje se ověří ve dvou krocích. Nejprve se figura zkalibruje ‐ obě  kružnice se umístí do středu očí a tím se nastaví poloha osy souměrnosti obličeje  (první  kružnice  se  umístí  ručně,  druhá  je  však  obrazem  první  v  osové  souměrnosti;  musí  se  tedy  manipulovat  s  osou,  aby  druhá  kružnice  přesně  Strana | 127    

   

„padla“  do  druhého  oka).  Poté  se  souměrnost  kontroluje  umístěním  vrcholů  trojúhelníka  do  tzv.  signifikantních  bodů  obličeje  (boltec,  ústní  koutek,  okraj  nosu).  Pozoruje  se,  zda  body  ukazují  do  stejných  míst  na  levé  i  pravé  polovině  obličeje.  Žáci zjistí, že lidský obličej není dokonale souměrný.  Projekt může u dospívajících  přispět  k  odstraňování  komplexu  vzhledu  (krása  obličeje  nespočívá  v  jeho  souměrnosti, naopak mnoho známých  lidí, považovaných za krásné, má obličej  výrazně nesouměrný). 

  Obrázek 8.2‐7 Projekt Je obličej souměrný? 

ověření souměrnosti obličeje jednoduchou konstrukcí v Cabri  projekt Obličej   obr.  7  ‐  V  projektu  žáci  jednoduchou  konstrukcí  ověří,  nakolik  je  lidský  obličej  souměrný.  Rozšíření projektu:   Žáci  si  též  mohou  zkontrolovat  souměrnost  vlastního  obličeje,  pokud  se  vyfotografují  digitálním  fotoaparátem  a  fotografii  přenesou  do  počítače.  Foto  musí  být  přímo  zepředu,  hlava  nesmí  být  nakloněná.  Jinou  možností  je  použít  fotografie slavných osobností, nalezené na webu.  Strana | 128    

   

Fotografii lze do nákresny v Cabri II Plus vložit takto: nejprve vytvořit nový bod a  poté  v  režimu  manipulace  vybrat  bod  pravým  tlačítkem  myši,  zvolit  v  místní  nabídce položku Přiložit obrázek (obrázkový soubor musí být ve formátu GIF). 

Projekt: Cylindrické zrcadlení   Žáci objevují konkrétní neshodné zobrazení, vytvářejí modely, které po vytištění  mohou  zkontrolovat  pomocí  válcového  zrcadla.  Projekt  lze  zařadit  na  úvod  celého  tematického  bloku  o  shodnostech  jako  propedeutiku  pojmu  zobrazení.  Projekt  je  možno  též  zařadit  na  konec  tematického  bloku  pro  zobecnění  zkušeností se shodnými a neshodnými zobrazeními.    

  Obrázek 8.2‐8 Model cylindrického zrcadlení 

V zrcadle se zrcadlí kresba na podložce, na níž zrcadlo stojí  obr. 8 ‐ Cylindrické zrcadlení v IQ Parku v Liberci. Ve válcovém zrcadle se zrcadlí  kresba na podložce, na níž zrcadlo stojí.  Teorie:  Použité  cylindrické  zrcadlení  je  zobrazení  známé  z  fyzikálního  jevu  jako  odraz  světla  ve  válcovém  zrcadle.  Lze  jej  snadno  modelovat  pomocí  počítače  a  prostředí dynamické geometrie. Fyzikální podstatu jevu lze shrnout následovně:  z  předmětu  (z  předlohy  nakreslené  na  podložce)  vychází  paprsek,  dopadá  na  válcové  zrcadlo  (rotační  válcová  plocha)  a  odráží  se  do  oka  pozorovatele.  Pozorovatel je klamán svou zkušeností, že světlo  se šíří přímočaře, a "vidí" před  sebou v zrcadle obraz předmětu. Vzhledem k charakteru zrcadla nejsou obraz a  vzor shodné.   Strana | 129    

   

    Obrázek 8.2‐9 Geometrický model cylindrického zrcadlení 

Model vzoru a obrazu bodu v cylindrickém zrcadlení    obr. 9  ‐ Model vzoru a obrazu bodu v cylindrickém zrcadlení.    Na obr. 9 je počítačový geometrický model průmětu tohoto zobrazení do roviny  podložky, na níž zrcadlo stojí. Průmět tohoto zrcadla je představován kružnicí k,  směr,  ze  kterého  situaci  sleduje  pozorovatel  (tedy  směr  odražených  paprsků)  znázorňuje  polopřímka  p.  Obrazem  bodu  A  je  bod  A',  jeho  konstrukce  je  geometrickou  interpretací  fyzikálního  zákona  o  odrazu  světla.  Paprsek,  vycházející  z  bodu  A  a  procházející  ohniskem  zrcadla,  se  po  dopadu  na  zrcadlo  odráží  rovnoběžně  s  optickou  osu  (směrem  pozorování).  Paprsek  procházející  středem  křivosti  se  odráží  zpět.  Obraz  A'  se  nachází  v  průsečíku  odražených  paprsků.  

Strana | 130    

   

  Obrázek 8.2‐10 Fotografie žákovské práce 

Cylindrické zrcadlení, vytištěná předloha a její obraz v zrcadle    zrcadlení kometa    obr. 10  ‐ Fotografie žákovské práce ‐ vytištěná předloha a její obraz v zrcadle.  V  prostředí  dynamické  geometrie  lze  k  cylindrickému  zrcadlení  vytvořit  geometrickou  konstrukci,  která  umožní  uživateli  definovat  obraz  v  zrcadle.  Uživatel si nejprve navrhne, co chce v zrcadle vidět, a pomocí předem připravené  makrokonstrukce vytvoří předlohu, kterou po vytištění umístí na podložku před  skutečné válcové zrcadlo. V zrcadle pak uvidí svůj navržený objekt.  Potřebné pomůcky:   Tiskárna  v  učebně  a  válcové  zrcadlo  (postačí  zrcadlová  samolepící  tapeta  nalepená na PET láhev, izolační vložka do termosky apod.)  Příprava:  Učitel si přinese stažený (nebo sám vytvoří nový) soubor s makrokonstrukcí pro  vytváření  předloh  a  podle  níže  uvedených  pokynů  pro  tvorbu  předloh  vytvoří  svůj vlastní model (případně stáhne soubory s hotovými předlohami). Ve figurách  nastaví  průměr  kružnice  k  tak,  aby  odpovídal  změřenému  průměru  válcového  zrcadla, které má k dispozici. Obrázky vytiskne.  Strana | 131    

   

Postup:  (1)          Úvodní  seznámení  s  hotovými  modely  bez  počítače.  Učitel  předvede  žákům  reálné  modely  s  válcovým  zrcadlem  (obr.  10).  Umístí‐li  žák  zrcadlo  na  papír  na  kružnici  k  a  podívá‐li  se  z  boku  z  naznačeného  směru,  vidí  obraz  v  zrcadle přesně v tomtéž místě, v němž je „sestrojen“ počítačem. Tato zkušenost  žákům  postačí  k  vytvoření  dostatečné  představy,  aby  se  mohli  pokusit  sami  na  počítači s cylindrickým zobrazením experimentovat.   (2)          Manipulace  s  hotovými  modely  v  počítači.  Žáci  si  otevřou  soubory  s  hotovými  modely.  Mohou  měnit  tvar  figury  uvnitř  kružnice  (tedy  mění  tvar  obrazu, který bude později v zrcadle viděn) a sledovat předlohu před zrcadlem.  Mohou také měnit poloměr kružnice (tedy zrcadla).  (3)          Tvorba  vlastního  modelu.  Žák  si  otevře  připravený  soubor  obsahující  makrokonstrukci  Cylindrické  zrcadlení.  Dovnitř  kružnice  představující  zrcadlo  nakreslí nějaký objekt (např. tvaru mnohoúhelníka), který chce v zrcadle spatřit.  Vytvoří  na  tomto  mnohoúhelníku  nový  bod  a  pomocí  nástroje  Cylindrické  zrcadlení  sestrojí  bod  na  předloze.  Nástrojem  Množina  objektů  pak  vytvoří  předlohu objektu.  Složitější  obrázky,  skládající  se  z  více  objektů,  se  vytváří  opakováním  stejného  postupu  pro  všechny  nakreslené  objekty:  nejprve  na  každém  objektu  vytvoří  bod,  pak  pomocí  makrokonstrukce  jeho  předloha  A  pro  zrcadlo  (označuje  se  bod  =  vzor,  kružnice  =  zrcadlo  a  polopřímka  =  směr  pozorování).  Poté  sestrojí  předlohu  pro  celý  objekt  jako  množinu  bodů  (označuje se nejdříve bod vně kružnice a poté bod uvnitř kružnice).  V  tomto  souboru  je  vše  připraveno,  aby  bylo  možno  začít  vytvářet  modely  v  zrcadlení.                Strana | 132    

   

zrcadlení start  

  Obrázek 8.2‐11 Žákovské práce v cylindr. zrcadlení 

Vpravo obraz sinusoidy jako hádanka (po překrytí vnitřku kruhu)  zrcadlení třídní       zrcadlení sinusoida         obr.  11    ‐  Práce  žáků,  model  v  cylindrickém  zrcadlení  (vlevo).  Vpravo  obraz  sinusoidy jako hádanka (po překrytí vnitřku kruhu).  (4) Kreativní  tvorba.  Žáci  vytváří  vlastní  modely  předloh  pro  prohlížení  v  zrcadle, tisknou je a prohlížejí. Před tiskem je potřeba nastavit a změřit  průměr kružnice zrcadla, aby po vytištění odpovídal skutečnému zrcadlu,  přes které bude pozorován. Schopnější žáci mohou vytvářet proměnlivé  nebo  otáčivé  modely  či  se  pokusit  vytvořit  takový  objekt,  z  jehož  předlohy  bude  obtížné  bez  zrcadla  jeho  tvar  uhodnout  (tento  objekt  mohou  před  tiskem  překrýt  jiným  objektem  nebo  skrýt).  Mohou  tak  vytvářet hádanky pro ostatní spolužáky.   

 

Obrázek 8.2‐12 Cylindrické zrcadlení ‐ změna směru pozorování 

Různé !předlohy", ovšem v zrcadle tentýž tvar, pouze otočený  Strana | 133    

   

zrcadlení změna směru   obr.  12  ‐  Změna  směru  pozorování  (pootočením  čárkované  polopřímky  při  generování předlohy). Přes diametrální rozdílnost předloh je stále v zrcadle vidět  tentýž  tvar,  pouze  otočený.  Je  také  patrná  topologická  ekvivalence  předloh.  Jednotlivé papíry s obrázky jsou pootočeny, aby sjednotily směr pozorování.  (5)    Doplňkové aktivity.   ‐     Učitel připraví pro žáky hádanky geometrických křivek, zobrazených v zrcadle.  Promítne figuru s předlohou a s dotazem: „Kterou křivku uvidíme v zrcadle?“ U  hyperboly, což je těžká hádanka, se lze dotázat, která kuželosečka bude vidět v  zrcadle.  ‐          Na  připravených  souborech  mohou  žáci  vidět,  jak  se  bude  měnit  tvar  konstruované  předlohy,  jestliže  se  bude  měnit  směr  pozorování  (otáčením  polopřímky). Je velmi působivé vidět, z jak naprosto rozdílných tvarů lze v zrcadle  vidět „totéž“ .  ‐     Na jiném souboru mohou žáci vidět shodné zobrazení jako speciální případ  neshodného.  Ve  figuře  je  možno  nastavit  nekonečný  poloměr  kružnice  k  a  válcové  zrcadlo  tak  nechat  plynule  přejít  v  rovinné.  Obraz  v  zrcadle  pak  bude  shodný se vzorem. 

  Obrázek 8.2‐13 Osová souměrnost jako limitní případ cylindrického zrcadlení 

plynulá změna poloměru zrcadla v nekonečný  zrcadlení nekoneč. r   obr. 13  ‐ Osová souměrnost jako limitní případ cylindrického zrcadlení.   

Strana | 134    

   

Modelování jednoduchých mechanismů v prostředí  dynamické geometrie  Tato  kapitola  je  věnována  těm  z  posluchačů  kurzu,  kteří  již  hravě  zvládnou  ovládání  software  a  chtěli  by  zkusit  něco  konstrukčně  náročnějšího  i  zábavnějšího.  Ostatním  může  poskytnout  pěkné  pokoukání,  ale  nemusí  je  frustrovat, že TOTO ještě nezvládnou.  Dynamické  geometrické  tvary  a  figury  mohou  být  vizuálně  vnímány  jako  animované  obrázky  reálných  předmětů,  podobně  jako  kreslení  obrázků  vede  v  útlém věku dítěte k prvním geometrickým abstrakcím (čára, kroužek, tečka).           

  Obrázek 8.2‐14 Model kolotoč‐ studentská práce 

model kolotoče      obr. 14 ‐ Kolotoč‐ studentská práce. Jednoduchá animace.    Co  rozumíme  pod  jednoduchými  mechanismy?  Nejde  zde  o  vnějškový  vzhled  nebo téma obrázku (mechanismus stroje nebo biomechanismus živočicha), ale o  vnitřní  geometrický  mechanismus,  pomocí  kterého  pohybování  některými  body  ovládá  pohyb  ostatních  objektů.  Tento  mechanismus  je  založen  na  čistě  geometrických  vztazích  mezi  objekty  (kolmost,  rovnoběžnost,  incidence,  zobrazení) a staví na závislosti objektů dynamické figury. Tento mechanismus je  velmi často ve figuře skrytý.   

Strana | 135    

   

  Obrázek 8.2‐15 Akvárium, žákovská práce (9. třída) 

Pohyb oka jedné z ryb ovládá pohyb ostatních ryb.  model akvária   obr. 15 ‐ Akvárium, žákovská práce (9. třída). Pohyb oka jedné z ryb ovládá pohyb  ostatních,  sestrojených    pomocí  souměrnosti  a  stejnolehlosti.  Pohybuje‐li  se  pak  dopředu  jedna  ryba,  plavou  dopředu  všechny.  Podobně  všechny  bublinky  jsou  obrazem jediné bublinky v posunutí a jsou jejím pohybem ovládány.    V  čem  přispívá  tvorba  dynamických  obrázků  k  rozvoji  geometrických  kompetencí  žáka?  Proč  nestačí  tradiční  geometrické  konstrukční  úlohy?  Dynamické obrázky na rozdíl od tradičních geometrických figur více připomínají  reálný  svět.  Při  tvorbě  dynamických  obrázků  žáci  trénují  svoji  představivost  a  inteligenci  hledáním  invariantů  při  pohybu  a  geometrických  zobrazeních  v  reálném  světě.  Např.  u  modelu  jedoucího  motocyklu  musí  rovnoběžné  dráty  výpletu  předního  a  zadního  kola  stále  zachovávat  rovnoběžnost,  jsou‐li  kola  stejně  velká.  Potom  zadní  kolo  může  být  obrazem  předního  kola  v  posunutí,  protože  posunutí  zachovává  rovnoběžnost.  Naopak  mají‐li  se  dvě  (např.  ozubená)  kola  otáčet  opačným  směrem,  mohou  být  sestrojena  užitím  osové  souměrnosti.   

Strana | 136    

   

  Obrázek 8.2‐16 Model spalovacího motoru 

Znázornění vnitřního mechanismu dynamického modelu spalovacího motoru  model motoru   obr.  16  ‐  Znázornění  vnitřního  mechanismu  dynamického  modelu  spalovacího  motoru  Ukažme  si  dva  příklady  použití  geometrických  dovedností  při  konstrukci  jednoduchých  mechanismů.  Prvním  je  model  spalovacího  motoru  (obr.  16),  v  němž lze úlohu o pohybu převést na úlohu o množinách bodů. Hlavním úkolem  je najít polohu středu pístu (žáci většinou vytvořili tento bod jako volný na svislé  polopřímce; tento bod se však nepohyboval s ostatními součástmi motoru, takže  ojnice  se  zkracovala  a  prodlužovala).  Na  základě  faktu,  že  ojnice  má  konstantní  délku, lze vyvodit, že střed pístu ležet na kružnici o pevném poloměru se středem  v  krajním  bodě  ojnice.  Střed  pístu  lze  tak  zkonstruovat  jako  průsečík  svislé  polořímky  a  kružnice  se  středem  v  bodě,  který  se  bude  pohybovat  po  malé  kružnici, a s pevným poloměrem vhodné délky.  Jednoduché  mechanismy  jsou  vhodnými  objekty  pro  tvorbu  dynamických  obrázků,  protože  jejich  pohyb  se  řídí  několika  jednoduchými  a  snadno  rozeznatelnými  pravidly.  Úlohy  z  dynamické  geometrie  lze  převést  na  úlohy  o  množinách bodů dané vlastnosti. Např. model pohybu pístu spalovacího motoru  vychází z poznatku, že ojnice motoru má neměnnou délku. Potom úsečka, která  ojnici  modeluje,  musí  mít  stále  stejnou  délku  a  střed  pístu  musí  mít  pevnou  vzdálenost  od  druhého  konce  ojnice.  Množinou  středů  pístu  bude  kružnice  o  Strana | 137    

   

poloměru  rovném  délce  ojnice,  střed  pístu  pak  průsečíkem  této  kružnice  se  svislou polopřímkou představující omezení pohybu pístu tělesem válce motoru.  Druhým  příkladem  je  technika  použití  průsečíku  jako  podmínky  existence  geometrických  objektů.  O  obou  částech  nohy  víme,  kde  začínají;  stehno  je  upevněno  v  kyčli  a  holeň  na  šlapačce.  Hledáme  vlastně  polohu  kolena.  Stejně  jako  u  úlohy  o  motoru  i  zde  platí,  že  úsečky  představující  holeň  i  stehno  mají  konstantní  délku  a  že  množinou  bodů  stejně  vzdálených  od  daného  bodu  je  kružnice. Koleno leží  v průsečíku obou čárkovaných kružnic (obr. vlevo). Úsečky,  které  představují  jeho  stehno  a  holeň,  jsou  zkonstruovány  jako  vedoucí  do  tohoto  průsečíku.  Jestliže  deformujeme  kolo  tak,  aby  se  kružnice  nemohly  protínat  stále,  koleno  i  celá  noha  může  při  animaci  na  čas  mizet.  Na  obrázku  vpravo se kružnice neprotínají, takže celá noha chybí. 

  Obrázek 8.2‐17 Model jízdního kola 

se znázorněním vnitřního mechanismu konstrukce nohy cyklisty  model jízdního kola   obr.  17  ‐  Model  jízdního  kola  se  znázorněním  vnitřního  mechanismu  konstrukce  nohy cyklisty   Zde  připojujeme  rámcovou  konstrukci  figury  jízdního  kola  s  vysvětlením  konstrukčních kroků.  (1)          Bicykl  pojede  po  zemi  doleva,  potřebujeme  vodorovnou  polopřímku  (s  krajním bodem K na pravé straně nákresny) a na ní bod Poh, který bude řídit celý  pohyb figury. 

Strana | 138    

   

(2)     Aby se zadní kolo při pohybu nedeformovalo, umístíme střed zadního kola  na kolmici k polopřímce, procházející bodem Poh.  (3)     Aby se kolo odvalovalo, je potřeba sestrojit jeden bod na kružnici, který se  bude po kružnici při pohybu pohybovat a kterým bude procházet jeden z drátů  kola (na pravém obrázku bod M). Změříme vzdálenost bodu Poh od koncového  bodu  polopřímky  K.  Tuto  vzdálenost  naneseme  na  kružnici  kola  od  bodu  Poh  a  získáme  bod  M.        Vysvětlení:  Dejme  tomu,  že  kolo  na  začátku  jízdy  stálo  tak,  že  bod  drátu  M  splýval  s  koncovým  bodem  polopřímky  K.  Jestliže  pak  kolo  popojelo,  tak  v  případě,  že  nepodkluzovalo,  musela  být  ujetá  dráha  rovna  délce  části  pláště,  o  kterou  se  kolo  odvalilo  (na  obrázku  vpravo  vzdálenost  bodu  Poh  od  K  je  stejná  jako délka oblouku od Poh k M).  (4)     Bodem M vedeme úsečku. Další dráty sestrojíme buď pomocí kolmic a os  úhlů, nebo opakovaným otočením o stejný úhel daný číslem.  (5)     Přední kolo bude obrazem zadního kola v posunutí o vektor pevné délky.  Vhodné  je  umístit  vektor  na  polopřímku,  ovšem  nikoliv  z  bodu  Poh,  protože  by  měnil svoji délku.  (6)     Rám kola lze opět sestrojit pomocí přímek, procházejících středy obou kol,  a  následnými  konstrukcemi,  založenými  na  těchto  dvou  bodech.  Elegantnějším  řešením  je  sestavit  rám  jako  obrázek  složený  z  dílů  volně  položených  k  sobě  kdekoliv  v  koutě  nákresny  a  poté  jednotlivé  díly  posunout  o  vektor,  jehož  koncovým bodem bude bod Poh. S pohybem kola se bude tento vektor měnit a  bude posouvat i obraz rámu ‐ rám později skryjeme.  (7)     Vysvětlení, proč je potřeba polopřímku zemského povrchu vynést zprava  doleva: příkaz Nanést délku nanáší vzdálenost na kružnici vždy v kladném smyslu;  kdybychom nechali jet kolo zleva doprava, vzdálenost by se měřila od koncového  levého  bodu,  ale  kolo  by  se  točilo  pořád  stejným  směrem  a  při  pohybu  by  se  nepřirozeně „protáčelo“. Jízda kola zleva doprava bude vypadat realisticky tehdy,  pokud jako bod drátu kola použijeme obraz bodu M podle svislé osy kola.   

Strana | 139    

   

  Obrázek 8.2‐18 Děti pinkající si s míčem, studentská práce 

Pohyb je ovládán středem míče pohybujícím se po oblouku  model děti s míčem   obr.  18  ‐  Děti  pinkající  si  s  míčem,  studentská  práce.  Pohyb  je  ovládán  středem  míče  pohybujícím  se  po  oblouku;  ruce  dětí  leží  na  rovnoběžkách  s  průvodičem  středu míče. 

  Obrázek 8.2‐19 Pracovník na pile ‐ studentský projekt   

model pracovníka   obr. 19 ‐ Pracovník na pile ‐ studentský projekt.  Metodická  poznámka:   Je  zajímavé,  že  úroveň  pohybu  v  dynamických  konstrukcích,  která  závisí  na  matematických  dovednostech,  nesouvisí  s  mírou  tvořivosti  autorů  jednotlivých  obrázků.  Často  vznikají  nápadité  živé  obrazy  s  velmi  jednoduchým  pohybem  Strana | 140    

   

objektů.  Řada  autorů  realizuje  svůj  tvořivý  potenciál  spíše  v  dokreslení  nepohyblivých částí obrázku a jejich vybarvení. I to je ovšem možno vnímat jako  pozitivní. 

  Obrázek 8.2‐20 Ciferník hodin, studentský projekt 

Ovládání táhnutím za ručičku nebo editací textu v poli času  modely ciferníku   obr.  20  ‐  Ciferník  hodin,  studentský  projekt.  Ovládání  táhnutím  za  hodinovou  ručičku (vlevo) nebo editací digitálního času (vpravo).  Poznámky k technice konstruování:   Pohyb ve figuře kyvadla je ovládán pohybem bodu po kružnici, který přes svislou  přímku  ovládá  pohyb  středu  kyvadla.  Střed  kyvadla  je  vždy  pod  tímto  otáčivým  bodem a leží na  dané kružnici se středem v závěsu kyvadla. Je to dobře patrné v  elektronické verzi obrázku.   Pohyb hodinových ručiček, který uživatel ovládá táhnutím za hodinovou ručičku  (obr.  vlevo)  je  složitější  záležitost.  Protože  Cabri  dokáže  měřit  velikost  pouze  konvexního  úhlu,  odečítání  polohy  malé  ručičky  je  zde  řešeno  pomocí  měření  délky  oblouku  mezi  dvanáctkou  na  ciferníku  a  malou  ručičkou.  Aby  se  na  hodinách  nezobrazoval  nesmyslný  čas  (např.  26:12,  2:‐10  nebo  3:78),  je  konstrukce  řešena  pomocí  existence  průsečíků  vhodných  objektů,  které  se  pro  hodnoty času, které nedávají smysl, neprotnou. Pro tyto nesmyslné hodnoty pak  průsečíky neexistují, a protože z těchto průsečíků vychází konstrukce hodinových  ručiček, ty se neobjeví také.   

Strana | 141    

   

9 Zdroje vzdělávacího obsahu na  Internetu  Učitel nemusí své výukové materiály vytvářet, pokud si dokáže vybrat z toho, co  nabízí Internet.  Řada  materiálů  na  Internetu  je  hotova  a  nabízena,  učiteli  stačí  se  v  nich  zorientovat  a  dokázat  stáhnout  si  a  upravit  pro  sebe  takový  objekt  (obrázek,  konstrukci, výpočet, graf, metodický list, projekt apod.).  V  této  kapitole  se  naučíte  vyhledat  a  stáhnout  si  hotovou  geometrickou  konstrukci  do  svého  počítače  (do  programu,  který  používáte  k  rýsování)  tak,  abyste jej mohli ještě upravit a uložit. 

  Cíle:   seznámit se se zdroji na Internetu  umět vyhledat vhodný výukový objekt  stáhnout, uložit a otevřít stažený vzdělávací obsah ve svém počítači     

Strana | 142    

   

10 Závěrečná práce  Zde jsou popsány požadavky na závěrečný projekt. 

10.1 Závěrem  Rozloučení 

Na co nezbyl čas  Jsme na konci kurzu, a patrně cítíte, že byste potřebovali další čas, abyste mohli  opravdu bravurně zvládnout tuto pomůcku.  Je  to  podobné  jako  v  autoškole:  nechají  Vás  chvilku  jezdit  pod  dohledem,  poskytnou řadu rad a informací, na závěr Vás vyzkoušejí, ale to neznamená, že z  Vás  udělali  dobrého  řidiče.  Tím  se  člověk  stane  teprve  praxí,  ježděním,  účastí  v  normálním provozu.  I v případě tohoto kurzu splněním závěrečných úkolů sice získáte certifikát (který  podle  nás  má  slušnou  cenu,  protože  při  poctivém  průchodu  kurzem  znamenal  značnou časovou i intelektuální zátěž, o nervovém vypětí nemluvě.  Nyní  je  ovšem  na  Vás,  zda  počítač  opravdu  začnete  při  své  výuce  používat,  protože  to  bude  aspo%n  zpočátku  znamenat  vydání  jisté  energie  a  času.  Na  druhou  stranu  si  pak  budete  moci  říci:  Ano,  tak  já  JSEM  moderní  učitelka,  moderní učitel. 

Co dál  V tomto kurzu jsme se stihli trochu dopodrobna zabývat jedním z několika druhů  výukového  software.  Dalších  jsme  se  jen  dotkli,  abychom  získali  přehled.  Třeba  ovšem  právě  v  jiné  oblasti  byste  se  chtěli  více  rozvíjet  nebo  v  něm  vidíte  více  možností.          Strana | 143    

   

Můžete tedy např.  1. Dále prohlubovat znalosti a používání geometrického softwaru  ‐ koupit ostrou verzi Cabri pro školu  ‐ zúčastnit se konference pro učitele Užití počítače ve výuce matematiky, která se  koná každý lichý rok v listopadu:  http://home.pf.jcu.cz/~upvvm   ‐ zabývat se prostorovou geometrií s programem Cabri 3D    2. Zabývat se počítačovou algebrou  ‐ koupit programy Mathematica, Derive  ‐ nebo zdarma používat např. program wxMaxima  ‐ využívat výukové materiály, které jsou k dispozici  ‐ koupit knihy    3. Propojit matematiku s informatikou pomocí mikrosvětů  ‐ pokud současně učíte počítače, je výhodné využít prostředí Logo pro výuku želví  geometrie i základů programování pro děti  ‐ koupit program Imagine Logo s výukovými materiály  ‐ používat stavebnice Robolab, ISES apod.    4. Používat 

Strana | 144