~-----------~=-:.:==~ .._--. OBSAH 1.
ÚVod do deskriptivní
1.1.
m.oha a význam deskriptivní
prax:i
geometrie
geometrie
••••.••••••••••
Nevlastní
prvky. Rozšírený
1.,).
Promítání
v rozšíreném
Promitání
v euklidovském
Ko11neace
mezi dvema rovinami
1.6.
Kol1neece
1.7
Promitací
2.
Kotované
promítání
2.1.
Kótované
promítání
2.2.
Zobrazení
2.,).
Sklápení
2.4.
Otáceni
,
4.
metody
Dvojice
4.. 6.
Metrické Otácení
4.8.
••••••••••
JO
•••••••••••••••
50
•
roviny
roviny
Tretí pri1metna
••
50 58
••••
61
• ••••
69
•
........................••
75
a pomocné pri1metny
80
teles
..•..•
89
•..................•
(Pravoúhlé promítání
na dve
..•..........•....•.•.•.. ., .. 101 bodu
•••...... •........•..
••
••
..
..
..
••
••
••
• •••
•
• •
101
• •••
••
••
••
109
• •••
•
••
••
121
••••••••••••••••
rovin; prímka a rovina úlohy
••
75
.... "
prímek
••
••••••••••••••
axonometrie
prímky
••
.." ..........•......• •••••
pojmy; zobrazení
Zobrazení
20
jako promítací metoda
k sobe kolmé prumetny
Dvojice
••••••••
44
prnmety
Zobrazení
16
•••••••••••••••
Axonometrické
4.. 2.
•••••••••
prostoru
. •••••
promítáni
7
••
;5
jednotky
Základní
prostor
•••••••••••••••
Axonometrické
4.1.
prostoru
4
••••••
. ••••••••••
pojmy
Mongeovo
euklidovský
prímky a roviny
roviny
Základní
'.2.
v rovine
rovinY
Pravoúhlá
v teclmické ,0
1.2.
4
..•..••••••
.....
-
129 •..•..........•
.
149 166
••••••••••••••••••
180
••••••••••••••••
190
--------------------------------------~
DESKRIPTIVilÍ
1., ÚVOD
l@l~ Úloha a význam deskriptivní ~
Deskriptivní
geometrie
se
ný vyucovací pf'edm.et, který
rozvíjí proatorovou
žo~ní"
v teclu~ieká praxi
ji~ tradicne
pokládá
svou strukturou,
&
svým zamerenim na studium
geometrie
zobrazováni
predstavivost
za význam-
svými metod~m.i a
pro$toro~Jch
útvarú
a pestuje presné logické Uv&-
Tak pripravllje žáka na jeho uplatneni
technickáhozamerení
"
prímo v
praxi
na vysokýc.b v
oboreeh .• ~ projektanty
~ 1. mOKa
,ff
1i'''''J. ~ ,_,, napr v" •. s:.:l.u:u.ce, ~,-~.; ol.J.a, J8~O
tická rešeni zástavby rozsáhlých mdže predložit
ve forme názoI~,ého modelu"
však zpravidla velmi pracné, a
ka!dá zmena v návrhu praktic~J lu. Proto technik,
zhotovení
casove nárocné
tovém modelu se ji~ težko vyznacuji
adj
nebo projekt
území std"
jiné
vyžaduje
a nákladné .•Na ho-
možné
alternativy;
zhotovení
inženýr, arehitekt mnohem
nového mode-
casteji predkládá
návrh ve forme nákresO, podrobne vypracovaných
projekt'O. nebo
plánO •.Výkresový
materiál
neji a hlavne rycr~eji a úcelneji neji! varianty
je
umožnuje
vypracovávat
výkresu$
mnohem
prípadné
pruž-
výhod-
reeení než pri užití model~.
A je to prá.ve deskriptivní
geometrie,
maže technik opirat pri konkretizQvání
o jejíž
metody
se
s~Jch my§lenek~ pri je-
jich rozpracováváni li zakreslov'fu1!na rýsovacích stolech
- 5 -
v kO!lstrukcnich a projekcních vykládá
a ucí, jak zobrazova~
i
útvary a tím zobrazovacích však pouze,
kancelárích.
technické
prostorové
objekty. Podává
metod užívanýchJv
jak se prostorové
Deskriptivní
geo-
geometrické
základní principy
technické praxi. Neukazuje
útvary zobrazují,
ale taká obrá-
cene jak lze z jejich obraza urcovat polohu a rozmery útvaru v prostoru, prostorové
tedy jak lze získat potrebné údaje pro j~jich urcen'.
V teehnieké výkresu,
praxi se setkáváme
od pomerne
jednOduchých,
objekty jsou v podstate ješte v základních
zobrazené
té geometrické
geometrická
technické
telesa, a to
v užívání
zobrazovacích
,
na nich jsou z geometrického
prostorové
stupnicí
až po výkresy znácne nárocné,
žadující již bohaté zkušenosti Predmety
na nichž zobrazené
elementární
polohách,
s velmi rozsáhlou
útvary,
metod.
hlediska
jejichž vzájemnou
vy-
,
složi-
polohu vý-
kresy soucasne reší. Vlastnostmi
prostorových
hou se zabývá prostorová struktér
geometrie.
Proto by sní
a vubec každý technik obeznámen.
že vypestovat
prostorovou
telným nástrojem
predstavivost,
a pomocníkem
A je to opet deskriptivní datnou pomocí zobrazovacích storové geometrie, Jejich
útvaru a jejich vzájemnou
tvurcího
Jejím studiem simu-
technika.
geometrie,
která názorne,
s vy-
metod vykládá a ucí základum pro-
a to v podstate na prostorových
a také zvládnutí
jejich vzájemných
mel být kon-
která je nepostrada-
rešení prevádí na rešení rovinných
porozumení
polo-
vlastností
prostorových
vztaha.
úlohách.
úloh a tak usnadnuje
prostorových
útvara a
- 6 -
Deskriptivní
metody
v oblasti geometrie.
V,ýrazne
matematika,
jsou matematickými
Proto deskriptivní
geometrie,
prispívá k rozvoji :logického
ka .•Proti matematice, má llšak deskriptivní hodu, nebot. pracuj'e s geometrickými dobre prístupné
Neustálá
záverl1 s~ skutecnost!
konkrétních
Logické myllení,
geometrie.
geometrie
praxi ješte zdaleka nevycerpá~. geometrie,
se v podstate
z Mezopotámie (23.stol..pr.n.1
'We
témer
geometrie .•
zobrazování
•. ) a Egypta
krivek a
která znacne již pre~~
prostorov.ých
je do1.ožena již
(12. st01..pr.n.l..).,
o užití promítání
stavitelstn.
tod, zvlášte perspekti~,
se uplatnuje
zabývá geometrií
deskriptivní
Znalost elementd
zachov.ané doklady
Její
zejména s1tavebnich a strojních.
tak do oblasti geometrie,
poznámka.
14. stol.., a to
s:chopnos:tabstraho;"
Tím se ovšem význam deskriptivní
útvard do roviny sahá hI.uboko do staroveku;
Nejstarš!
l.ogických
pros't:oro,mpreds:tavivost a zobrazoYání
rámec atfedoško1ské
Historická
rešeného geo-
:tormulsce. Tím v!ím jej pripra-mje
ve 'WŠecchtec:hnieJcýchoDorech,
tracuje
slouží tech-
konfrontac.e správnosti
soueást, konstruktivní
ploch. Zasahuje
V,ý-
probl.ému teclmické praxe.
pro technickou
Kons±ruktivní
znacnou
jaou nejv.ýznamn.ejŠí pryky výuky stredo,škol-
prostorov.ých uturd
nerozdílná
a rozborem
prohlubuje:,technikovu
'm1i, zob.ecnowst a upresnovat
geometria
geometrie
nejen postupd ~ešenít ale i všech dalších
prob~ému.
ské deskriptivní
myšlen~. techni-
útvar,y, které jsou pomerne
záv.erd, k nimž dospel log~ckými uvahami
na re!em
jako
názoru. Výs1.ec1nénázorné konatrukee
nikovi k o~rování
metrického
metodami
u nás, jsou z pol.
ZákJlady teorie promítacích
qy1y ~ak
rozvinuty
y
podstate
me-
až asi
-7 -
V pol# 16. stol., a to renezancními
li •.Zásadní "Géométrie
obrat v rozvoji promítacích deseriptive"
(1'7:46 - 1818).
francouzského
promítání,
metodou v:é
geometra
Gasparda Mongea promítání
dnes zpravidla nazývaného
se techniky v obdobi prdmys~or
V probehu 19. atol. doznala deskriptivní
velký rozk~t
Mon-
jež se ukázalo být velmi vhodnou zobrazovací
pro potreby rozvíjející
revcluce.
a a.ta~te-
metod prináeí ucebnice
Autor zde podává základy pravoúhl~o
na dve k sobe kolmé prdmetny,
~ovo
italskými malíri
zvlášte ve Francii,
Itálii, Nemecku
a
geometrie
bývalém
Rakousko-Uhersku.
K jejímu rozvoji nemalým podílem prispela i
rada vynikajících
geometrd
prací w deskriptivní silné geometrické ní deskriptivní
tzv. ceské geometrické
geometrii
tradice
u
geometrii,
se velmi zasloužili
nás. Nejvýraznejší
metod a konstruktivní
wnetradicníeh
oboreeh inženýrské
1.2. Nevlastní
prvky. Rozšírený
geometrie
geometrie
(stereometrie).
o vytvorení
tendencí
geometrie
euklidovský
je v podstate
prostor
soucástí proatorové
Tvrzeni potre'l:h"lá k rozvi.nuti'~vlaatfl.:t-
ru na rovinu,
se proto užitím stereometrickýeh
a to teorie zobrazení prosto-
bychom tedy meli predem ~vést všechny definice
ze stereometrie,
dne!-
praxe.
geometrie,
Správne
v
krivek a ploch
ho obsahu deskriptivní dokazují
S~U
zejména ~ SSSR, je rozvoj aplikací
zobrazovae1ch
Deskriptivní
školy.
vet. a vety
jichž budeme skutecne u!íyst, s teprve pak po-
- 8-
moci nich dokazovat
vety deskriptivní
Tento zdlouhavý ný, si podstatne
geometrie.
proces, pro školni úcely naprosto
zjednodušíme
ních stereometrických
neúnos-
tím, že budeme znaLost elementár-
vet proste pfedpokládat,
nejvýše
je pfi-
pomeneme. Tako~
prístup
trie euklidovského
je do znacné míry podložen prostoru
je budo~a
tak, že se opírá o ne-
koltik zákJLadních pojm"- a jednoduchých vesmes vycházejí abstrakci
z Objektivní
jeme. Vety euklidovského
tvrzení (axióm-o.),které
reality.
byly fakticky prevzaty prostoru
tím, že geome-
Po v.nodné a úcelné
z reálného odvozené
aveta, v nemž ži~ z axiómd logickou
~estou ve svém souboru pak v pfesné geometrické žejí skutecnosti, platnosti
fQrmulaéi
které nejsou ve sporu s realitou
se lze pfesvedcit
odrá-
a o jejiehž
prímo, popf. na vhodne volenýeh
modelech. -Praktické konstrukce
deskriptivní
det. v práve zmíneném euklidQvském
Je
však výhodné zavést ponekud
klidovský
geometrie
budeme prová-
prostoru;. znacíme jej
E).
širší pojem, a to rozšírený
eu-
prost.or E).
Z toho
a ddkazu mnohýCh
stereometriekých
prihJi..ížet k tomu, zda prímky a roviny
vet jsou
nebo nejsou vzájemne rovnobežné. Uwdeme
dva príklady'. Vystupují
bežek a smer. Prícka dvou mimobežek
b~žky
protíná.
prímek.
Smer je množina
v nich poj~
pfícka mimo-
je prímka, která obe mimo-
všeeh ftiájemne rovnobežných
- 9 -
1
PríkJLad 1 •.
Sestrojete dem M neležícím
prícku mimobežek
a, b, která prochází daným bo-
na žádné z daných mimooežek.
~ešení (obr. l~l). Existuje-li
prícka mimobežek
a, b proeháze-
bJ
Obr. 1.1
jící bodem M, pak musí nutne ležet v rovinách tj .musí to být prímka p = ex. tJ f3 bežky (obr. Jestliže
\I
b, tj. je-li b
obou mimobežek, JI
ex. (obr.
p "a, tj., a 111.3, neni prímka p príCkou, prícka vyhovující
požadovaným
= Ma a ;.3 = Mb,
• Je:stliže p protíná obe mimo-
l.la), pak je príckou
je však p
O(.
a to·jedinou.
l.lb), nebo je-li
a tedy neexistuje
žádná
podmink~.
Príklad 1.••2 Sestroj~e
at b daného smeru m, který není
prícku mimobežek
smerem žádné z daných mimobežek. ~ešení (Obr.
1.2). Existuje-li
prícka daných_mimobežek
požado-
~~ i i
- 10 -
~bl
aJ
Obr •.1.2
vané vlas!tnosti,
pak nutne musí ležet v rovine
urcené prímkou a, popr. b a smeremm. Jestliže r~znobežné (obr. 1,,2a). pak je p ::cx n;3 rešení, Je-li ex IIIJ ( obr. 1.2b). pak rešení neexistuje.
C( •
popr.
roviny
ex.
0 ,13 jsou
a to jediné.
Pojem rovnobežnosti vystupuje v rade dalších stereometrietých vet a úloh; prináší
vždy s sebou jisté
napr. tri ruzné roviny se protínají
komplikace. Tak
v jediném bode, ovšem za
predpokladu, že žádné dve z nich nejsou vzájemne rovnobežné, popr.,
že vzájemné prusecnice nejsou rovnobežné. ( Uveute a
nacrtnete v~echny možnosti~ Podobné situace se vyskytují z bodu lS na rovinu dle
t/i:
i v promítání.
Pri promítání
(obr. 1.3a) se ruznobežky a, b promítají
ruznobežek al, bl, pricemž prusecík P :: a Il b se promítá do
prusecíku Fl :: a1 tj bl• ~ Jestliže ná s
c;r ,
v.šak spojnice 2sp je rovnobež-
pak se prímky a, b promítají
do rovnobežek 82 b2, a \f
- 11 -
I S,J I 4:
I
/
bJ
aj Obr. 1.3
bod P nemá žádný prdmet. Obrácene stredu S (obr. v
""
vynat bod U
1.3b) promítají
= a
n
se prdmety rovnobežek
do rt'lznobežeka', b', z nichž je .'
b ; U
a, b ze
není pr~etem
.•••.
žádného bodu prímek
a,
b. Obdobná
situace, podstatne
v rovine pri promítání (obr.
však prehlednejší,
stredu S do hodu prímky p'
q'II
i
ze stredu S bodt'lprímky p na prímku p'
1.4). KaždY bod prímky p s výjimkou
ží na prímce
nastává
i
bodu V se promítá
ze
bod V = P t1 q' nemá žádný prt'lmet ( le-
p'). Ale také naopak každý bod rtlzný od U'
prímky p' pri promítání
z bodu S je prumetem
nejakého
bodu prím-
\
ky
p. BDd U'nem~že .být prdmetem
leží na prím~e
~
qll
V geometrii
žádného bodu prímky p, protože
p.
se zpravidla místo presného množinového
{p} = a{) b pro jednobodovou a, b ( bodových množin), vlastne jen nahrazuje
množinu
{lj,
zápisu
jež je pró.nikem prímek
užívá zápis P = a n b. Symbol
dríve užívaný symbol.,
dy znací, že bod P je prt'lsecíkprímek a, b.
n
zde
zápis P = aO b te-
q
..-- --
R
"-
s'
Obr.. Sledujeme-li
Vj-
=
bodil A, B,
se od bodu V po pve smyslu jednoduché
šipky, vidime, že se blíží prímce p' k bodu U'
p
1.4
podrobneji priimety A', B', C',
C prímky p vzdalujících
od bodu
--
~
Q
vzdalujících
,,
p',.,
ve smyslu stejne oznacené šipky na q.. Obdobne je tomu pro body P, Q~ R, •••
·se v opa.cnémsmyslu ( vyznaceném dvoji tou šipkou) jejichpr&1ety
p',
Q', R', ••.• na p' se blíží(
ve
smyslu dvojité šipky) k témuž bodu U'. Provedená úvaha nás prirozene vede k názoru, že výjimka, tj.,
že práve UE p' není prumetem žádného bodu prímky p, by od-
padla, kdybychomprohlásili,
že prímka p má jediný "bod v neko-
necnu" nebo ta.ké "úbežný bod". Oznacíme jej UQÓ;prirozene není to bod euklidovského prostoru .. Uvedené prohlášení jako bychomrekli,
znamená totéž,
že dve rovnobežné prímky p, q{ které nemají
v euklidovské rovine žádný bod spolecný) mají z našeho hlediska spolecný "úbežný bod". Prímka q vedená stredem promítáni S rovnobežne s p promítá pak takto nove zavedený t'úbežný bod"
Uoa
do
-- --------------
tnout V€ P ze stredu S
't' ,
.. v dem prOl1u· anl. S JeJ ", 1 v # k prona prlrJ:lKU p •• ; pr~l1Ua q "II II P ' ve d,e, end B-l-"re
mí tá do ~~dbežného bodu" V~ Podobné úvahy provádené
prípustili~
prímky p'" v proaxoru
že vzájemné rovnonežne
ku v nekonecnu";
vedou k tomu~ abychom
roviny mají spolecnou flpr"ím-
je to opet prvek, který nenáleží
euklidovskému
prostoru,.,
Názorné
zavedení
žných útvarúU
nových "útvar~ v nekonecnu"
musíme nyní doplnit
presnými
nebo také
definicemia
t nl
P
~~..t!flO
li?" . 1~asn.LmJ.; t.t· ' •. ~ove prVKY nazveme nev ze.ve d eme Je
."
•••••
....,"""'
••••••••••
_-_""
smer" Nevlastní
prímka
je množina
spolu rovnobežných
rovina
je množina
všech nevlastních
rovin,
zamereni" Nevlastní nevlastních
prímek$
V souhlasu útvaru rikáme konecnue
bod~ a
s predchozím
názorným
zavedením nevlastních
jim nekdy rovnež úbežné útvary nebo út~ary v ne-
Nevlastní
útvary
se znací stejne jako vlastní,
zpravidla s indexemco; tedy
Aoo,
ale
u 00 atd.
Poznámka /
Pro snažši pochopení
pojmu nevlastního
vlastní bod je dán množinou
dy stejne jako nevlastní bod~
"í
pr ma k
.,
J:lm
bodu pripomeneme,
že
t
h"'" #, proC~<;1ZeJlC1.Cn, e-
- 14 -
Euklido~ký
prostor E3 dopIner~
prvky tvorí nový prostor, ný euklidovský
prostor;
zavedenými
nevlastními
který nazveme (projektivne)
rozšíre-
budeme jej znacit E3.
Pro vlastní útvary prostoru E3 platí všechriy vety euklidov-
E3; pro nevlastní útvary je však treba zavést
ského prostoru
vhodné vety o incidenci vety o incidenci
vlastních
jen nevlastních
1. Je-li Aoo nevlastní
a nevlastních
útvarO
útvarO. Zavádíme
bod urcený
a dále
je takto:
smerem prímky a, pak A ()O
leží na a. 2. Je-li u co nevlLastní prímka urcená zamerením pak u 00 le ží v
eX.
3. Je-li A~ ní- rovine ~
•
nevlastní
, pak Aeo leží v
4. Je-li A 00 nevlastní uoo nevlastní
bod vlastní prímky ležící ve vlastlX.
•
bod urcený smerem prímky a a je-li
prímka urcená zamerením. roviny ex , pak AoO
Prvkum rozšireného
é UOo
-
práve tehdy, když a c oe...
i nevlastním
roviny (X. ,
euklidovského
bodum, prímkám
prostoru E3' tj. vlastním
a rovinám budeme pro jednoduchost
ríkat zase body, prímky a roviny a znacit stejne jako v E3. Poznamenejme,
že podle definice prímka (rovina)
ní nevlastní,
má krome vlastních
z E3'
v E3' která ne-
bodu, tj. prímky (roviny)
ješte jeden nev1.astní bod ( jednu nevlastní
prímkU)" Aby-
-
chom pro takto zavedené prvky v
>
E) nemuseli
hledat
zvláštní ná-
zev, budeme dále vlastni prímkou
(rovinou)v :&3 rozumet práve
takto rozšírenou
prostoru EJ e
Dokážeme
prímku (rannu)
alespon
jednu vetu rozšíreného
Dvema ru'znými body prostoru_
~3 l:r~hází
prostoru E3G práve jedna prímka.
- 15 -
aj
cJ
bJ
Obr. 1.5
D\1k:az(obr. 1~5). lt"hou nastat práve tri prípady:
a) oba body
jsou vlastní, b) jeden je vlastní a druhý nevlastní,
cJ oba
jsou nevlastní.
t
I t
i
I
Jsou-li
body A ~ B vlastní (obr.
známé základní vety z E)práve
1.58),
jedna vlastní
zející body A, B; spolu se svým nevla~tním
existuje podle prímka p prochá-
bodem urcuje pak
jedinou prímku v E3. Je-li A v;lastní a Boo nevlas;tní (obr. bodem A a smerem b, který urcuje Boo, ka p v E) r spolu s B
00
je urcena práYe jedna prím-.
je tím urcena práve j~dna prímka v
Je.ou-li dány nevlastní
body
!oa,
Boo,
ny dva r~zné smery a, .b. Oba smery urcují napr ~~rovinou
&;
Z výsledku
1.5b), pa~, jak víme,
pak jsou vlastne dájediné zamerení dané
tím je urcena jediná nevlastní
plyne, že dokázaná
tri rOzné vety prostoru E)_ Protože
E3.
prímka v _E3·
veta v E3 zahrnuje v podstate je tomu obdobne i pri jiných
vetách prostoru E3' jeví se jeho' geometrie
jednodušší než geo-
metrie vE). Ukážeme
to ješte na jednom príkIade.
Užijeme pritom pojem
- 16 -
mimobežek
Príklad
v
v E); rozumíme
tím dve prímky bez spolecného
bodu.
1.) E) sestrojte prícku mimobežek
bodem M neležícím rtešení. Existuje
a, b, která prochází
daným
na žádné z daných mimobežek. vždy práve jedno rešení, a to prímka p = ex Ci 13
,
kde oe. = Ma,!.3 = Mb. V príkladu
1.3 jsou mj. zahrnuty príklady 1.1 a 1~2 z EJ
(smer m urcuje nevlastní
bod Mco). Pr~secíky
pfícky p s prímka-
mi s, b mohou nyní být i nevlastní.
Cvicení ~
Dokažte,
že v E) platí: Prímkou
p a bodem A, který na ní ne-
leží, prochází práve jedna rovina. 2. Uveate všechny možné vzájemné
••••••
polohy dv-ou r~zných
prímek
v EJ*
-
polohy prímky a roviny vE)_
~Uveate
všechny možné vzájemné
~Uveate
všechny možné -vzájemné polohý dvou ruzných
rovin vE).
5. Proveate rozbor rešení príkladu 1.) pro všechny možné prípady vlastních
1.) Promítáni
a nevlastních
prvk~.
v roz'šíreném proetoru
Prvním základní. dkolem
deskriptivní
zp~sobem, pokud možno názorne,
geometrie
zobrazit proatorové
je vhodným útvary do ro-
- 17 -
viny. Tomupožadavku nejlépe vyhovuje promítáni, me geometrizováním proeesu videní.
které dostane-
Základní pojmy promítání uve-
deme v rozšíreném prostoru E3. Promítáni je dáno pevným bodemS ( sotred promítání) rovinou
1.T
(p~etna);
a pevnou
predpokládáme, že nejsou incidentní,
tj.
(obr. 1.6). Promítání (projekce) je zobrazení, v nemž obrazem bodu A # S je prCisecík A' prímky SA s prOmetnou7r ;
stif.1T
Á' = SAnCfr. Prímka SA ft nazývá promítací prímka (bodu AJ,
prOsecík A' je prumet bodu A.
s\\\ A\
Obr. 1.6
Obr. 1.7
Promítání je urceno s:tredem S a prmnetnou cq • Jsou-II/tyto prvky dány. ríkáme, že je dáno promítáni ( S,'f) nebo také promítání ze ~tredu S na prumetnu qr • V promítání vystupují
vlastne dve geometrické konstrukce:
---
1. sestrojení
,
cíku A
promítací prímky
SA (A
FS),
2. sestrojeni
prose-
~~
=
SA" c;r
•
Z v;et prostoru E3 plYne, že obe konstrukce
jsou jednoznacné. Promítání v E) je tedy jednoznacné ( bodové) zobrazení P prostoru, z nehož je vynat stred promítání, na ro-
I
- 18 -
vinu Cf , pricemž bod A se zobrazí do bodu A'. Sestrojené razení zapisujeme
casto sotrucne ve tvaru
Nekdy se promítáním
P:E3 '\. s..•.1f,
rozumi jen zobrazení
toru E3'" S na prímky SA, ••• (tj.
zob-
A-A'.
bodu A, ••• pros-
jen kona:trukce promítání
prímek) • Pr&1et: U' ( bodovéhO)
útvaru U je množina
dd útvaru U\ S. Útvar tvorený promítacími se nazývá promítací útvarem
prímkami útvaru U'S
útvar útvaru U. Speciálne,
rovina, ríkáme jí promítací
prllinetuvšech bo-
je-li promítacím
rovina.
PrOmet bodu, prímky, roviny Z vet o promítání základnejší,
v rozšíreném
a to vety o promítání
Prdmetem
prostoru E3 uvedeme
jen nej-
bodu, prímky a roviny.
bodu, který je ruzný od stredu promítání,
je bod.
Ddkaz tvrzení, které jsme ostatne již užili, plyne z toho, že promítací
prímka SA bodu A ~.S není prímkou
Prumet prímky, která neprochází
- --------------1.7).,
Dukaz (obr.
, a má s ní
1..6).
tedy práve jeden bod spolecný (obr.
ka. Prdmet promítací
rovinyqr
stredem promítání,
je prím-
prímky je bod.
Není-li p promítací,
pak p a s~tred promítání
= Sp prímky p. Roviny 11 a
S urcují promítací
rovinu ~
ruzné, a protínají
se v prímce p' = q;- (l
p. Je-li totiž AE: p~, pak promítací
f
-
prímka SA~
je bod prímky p'. Ale také obrácene,
Y
v prometu prímky
9
a A'
= SA n'ir
je-li A'~ p' libovolný
bod
8
tedy
prímky p', pak SA' a p jsou ruzné prímky téže roviny ~ , se protínají neinciduje
js:ou
v jediném bode A = SA'n p. Prnmetem
prímky. která
s S, je tedY prímka.
pramet p' promítací
prímky p je její prasecík
s p~etnou;
- 19 -
p' = pn1r • Je-li totiž A
#
S libovolný
bod prímky p, pak
p = SA. Odtud již plyne, že p' = A'. Z dokázaného
bezprostredne
plyne triviální (ale casto uží-
vaný) dusledek: Prdmet bodu prímky je bod prumetu prímky. Pro pr~et Prúmetem tem promítací
roviny platí: roviny, která není promítací,
je pr~etna.
PrOme-
roviny je prímka.
nl!kaz. Není-li
daná rovina 9
promítací (obr.
aj
1.8a), pak pro
bJ
Obr. 1...8
každý bod Aé?
platí, že SA neleží v
pak bod prúmetnyqr prímka SA 'neleží A. Pokládáme-li roviny
~
• Obrácene, v V
,
? ;
p~et
je-li A' libovolný
a protíná
tedy rovinu
q
A 'bodu A je bod pr~etny, v jediném bode
proto obe roviny za bodové množiny,
je prdmetem
prnmetna r;r • Obdobná úvaha však platí i pro prímky
obou rovin.
- 20 -
Jestliže
rovina
f
prímka m jejího bodu A
je bod prusecnice
I.Sb) t
je promítací (ocr.
#
S leží v rovine ~ , tj. její pr~et
9 ()
<Jr
Obrácene, každý bod A €
•
prumetem
veech bodu (s výjimkou S) promítací
Prumetem
promítací
roviny
pak promítací
je
C?)
prímky m = SA'.
9 je tedy její prusecnice
me tnou. Obdobnou úvahu mužeme provést, pokládáme-li za množinu
m'
qJ
s pru-
rovinu
~
prímek.
1.4. Promítání
v euklidovském
Pri praktické
prostoru
aplikaci promítání musíme rozlišovat
vlastními
a nevlastními
prvky. O pr~etne
pokládat,
že je vlastní. Stred promítání
~
mezi
budeme stále pred-
S1~
muže být vlastní
nebo nevlastní. Je-li stred promítání stredové promítání
S vla~tní bod, promítání
(centrální
ne.vlastni, promítání
projekce).
se nazývá
Je-li stred promítání
se nazývá rovnohežné
promítání ( paralelní
projekct!:).Prumet útvaru ve stredovém ( rovnobežném ) promítání se nazývá stredový (rovnobežný)
vE),
prthnet.
Vety, které jsme odvodili pro libovolné promítáni ( S, <Jr) plati i pr· oba uvedené speciální prípady. Je treba je jen
formulovat Stredové
s prihlédnutím
k vlastním a nevlastním
promítání ( S vlastní,
Spokojíme
se jen základními
nekolik nejjednodušších stredovém promítání prostor E).
'7T
vlastní,
prvkum.
sJrr)j{ obr.
informacemi,
1.9)
tj. uvedeme pouze
pojmu a vet. Z nich bude patrno,
že ve
je výhodné v plném rozsahu užít rozšíreaý
- 21 -
.
j
i
Obr. 1.10
Obr. 1.9
Vzdálenost tance. Rovina cni (nebo
stredu promítání S od prillnetnyc;r
(J',
pro níž platí Se
stredová).
promi~aného
S , f1 flT
,
Pri stredovém promítání
se nazývá dis-
se nazývá distan-
rozhoduje poloha
prvku práve vzhledem k této rovine.
Stredový
(at
prfurJ.et bodu
který neleží v distancní
již vl:..astního nebo nevlastního),
rovine
r5
J
je vlastní bod (obr.
1..9;
body A, Boo). Stredov.ý prfunet bodu distancní ( obr. 1.9; body C, D 00) .,
prehledne
je bod distancní
interpretovat
2s, Cf( ).
roviny,
,
bod
situace vyznacené
v obr. 1.3.
na EJ. Na obr. I.Ja je pak
Z podmínky
2SP
11
("ji plyne, že P F 2S
jeho stredový pr11met je tedy nevlastní
bod ve smeru 2SP• Stredové A :: ta n1!'"
je nevlastní
prostoru EJ mužeme ve stredovém
Daný prostor EJ pr~dev,ším rozšíríme stredové promítáni (
6
-
Užitím vet rozšíreného promítání
roviny
prumety prímek a, b jsou urceny body
B :: b" 1r a stredovým priimetem bodu P, tj. smerem
2SP• Stredové
pr~ety
prímek a, b jsou rovnohežné
prímky
a21l
b2
- 22 -
(rovnobežné
(S,?T)
s 28P). Na obr. I.Jb je dáno stredové promitáni
• Pro urcen:1istredových prrnneta rovnobežek a II b staci
urcit stredový prumet U' jejich spolecného
nevlastního
bodu Uoo
(daného smerem prímky a, popr. b). Protože prímka a není rovnobežná s 1r, bod U' je vlastní,
a tedy stredový prumet rovnobe-
žek a, b jsou rt1znobežky a' = U'A, b' = U'B, kde A = a (\'iT'
,
B = bn-4Jr. Rovnobežné
promítání (8 nevlastní,
Nevlastní
stred promítáni
se nazývá smer promitání. Rovnobežný Dt1kaz (obr.
8
vlastní, 8r;;iOtir'fr;
Vlastni
1.10)
obr.
je dán- smerem prímky s, který
,neni
Protole 80017
prcrmet vlastního
1.10).
OG
qr
s
II~.
bodu je vlastní bod.
bod A a nevlastní
wlastni prímku, která není rovnobežná
s
11'"
,
bod fx::p~
11'
urcuji
a tedy prrnnet A' bo-
du A je vlastní bod. Nevlastni nevlastní
bod Boo
promítaci
# 800 se promitá z nevlastniho
bodu je tedy nevlaatni
ní s predchozím
výsledkem
dostáváme:
Rovnobežné
promítání
je jednoznacné
ho prostoru na euklidovskou
-
promítáni
nemusíme
vet z vet obecnejších;
<jr,
A ~ A' •
tedy užívat rozšíreného
a usnadnuje
zarazuje
bod. Ve spoje-
zobrazeni R euklidovské-
rovinu, tzn. R : EJ -
prostoru EJt Jeho užiti jen ozrejmuje ných
Oc:t
primkou, která protiná prumetnu v nevlastnim
bode. Prrnnetem nevlastního
Pri rovnobežném
bodu 8
odvozeni potreb-
je bezprostredne
do
~becné teorie promitání. Pro rovnobežné
prumety
bodu, primky a roviny prostoru EJ
pak plati: Revnobežný
prt1met bodu je bod.
- 23 -
Rovnobežný Rovnobežný
prumet prímky, která není promítací,
prumet promítací
prímky je bod.
R01lnobežný prumet roviny, která není promítací, na. Rovnobežný
prdmet promítací
Pro rovnobežné prcrmetu dvojice Rovnobežný promítací,
je prímka.
promítání
je prumet-
roviny je prímka.
jsou v.ýznamné vety týkající
se
prímek. pr~met dv.ou ruzných rovnobežek,
které nejsou
jsou rovnobežky.
Dukaz (Obr. 1.11). Užijeme rozšírený prostor E3. Dané rovnobežky
1
aj
bJ
Obr. 1•. 11
oznacme a, b. Daný &.red promítání a ruzný od nevlastního jí tedy nevlastní tedy prOmetnu
je podle predpokladu
bodu prímek a, b, oba nevlastní
boQy urcu-
prímku, která není prímkou prumetny. Protíná
v jediném, a to nevlastním
prímek a, b mají tedy spolecný nevlastní
bode; prdmety .', b' bod. Prímky a', b' mo-
hou být ruzné ~ obr. 1.lla) nebo splývající Dokázanou
nevlaatní
vetu casto formulujeme
(obr.I.llb).
strucne ve tvaru:
- 24 -
Rovnobežné
promítání
zachovává
rovnobežnost.
Obdobná veta platí i pro úsecky. Rovnobežným
prUmetem
ží na promítacích
prímkách,
Pro r~znobežné Rovnobežný není promítací,
dvou rovnobežných jsou rovnobežné
úsecek, které neleúsecky.'
primk:y lze snadno dokázat:
prdmet dvou rdznobežných
prímek,
z nichž žádná
jsou bud ruznobežné (obr. 1.12a), nebo splýva-
jící (obr. 1.12b) prímky. Jestliže je její prumet bod incidentní
aj
jedna z n~~h je promítací,
s'prdmetem
druhé (obr.
bJ
1.12c).
cJ
Obr. 1.12
Vetu o rovnobežném vetami,
promítání
rovnobežných
jež se týkají také velikosti
Rovnobežné
prumety rovnobežných
které neleží na promítacích
prímkách)
úsecek doplníme
ús~cek. úsecek
téže velikosti ( a
jsou rovnobežné
úsecky
téže velikosti. DOkaz (obr. 1.13) v podstate dva rOzné prípady.
jen naznacíme.
Je treba rozeznávat
""""'"
~-------------- 25 -
A
aj
bJ
Obr. 1.13
Za predpokladu,
s
nobežné
C'D' podle
prómetnou,
že dané rovnobež:né úsecky AB, CD jsou rovale neleží v ní, je pro jejich prnmet A'B',
již dokázaného
jsou rovnobežníky
(obr.
1.13a). Z podmínky
A'B' = C'D'. V prípade,
"
".
.
"
"
Nejsou-li
= CD
dríve dokázané jedna z možných
Je úsecka AB = A B , popr. CD = CD; .• úsecky AB, CD rovnobežné
na promítacích
vety je
A'B'fl
prímkách),
C'D'( na
poloh úsecek AB,CD
obr.l.13b je zakreslena jen
vzhledem
obdobne se na promítací
k pr&1etne).
urcit bod M
že AMllcN.
A'M', C'D'
=
Potom
ABM a CDN jsou zrejme shodné, a tedy AM = CN.
Podle první. cásti ddkazu je pak již A'B' = C'D'(nebot =
Na
prímce bodu D sestro-
jí bod N tak, že CNII C'D'. Snadno se dokáže, však trojúhelníky
s prO-
pak zase podle
promítací 'prímce bodu B je vždy možno jednoznacne tak, že AMtlA'B';
obra-
,''V."
dané rovnobežné
me~nou ( a neleží-li
AB = CD pak plyne
že AB, popr. CD leží v prOmetne,
zec ABB A t popr. CDD C opet však Je A B
A'B' " C'D', a obrazce ABB 'A', CDD 'C~
C'N').
A'B' =
- 26 -
K dokázané vete plati i veta obrácená;
uvedeme
ji bez da-
kazu (obr. 1.13). Jsou-li
rovnobežné
metem rovnobežných
úsecky
úsecek,
téže velikosti
rovnobežným
pra-
pak tyto úsecky jsou rovnež téže
velikosti. Jak jsme dokázali, úsecka rovnobežný obecnejši
rovnobežná
prumet jsou téže velikosti veta, kterou nebudeme
Rovnobežný
pr~et
útvaru,
s prumetnou
a jeji
- shodné. Plati však
dokazovat: který leži v rovine rovnobežné
s prcrmetnou, je útvar s nim shodný. Pri rovnobežném
promitáni
kost úsecky. Zachovává Jsou-li A, B, X mitaci,
se ovšem nemusi zachovat veli-
se však pomer velikosti
tri ruzné body primky p, která neni pro-
pak pro jejich rovnobežné
A'X' p" primky p plati ---
=
BX
Dakaz (obr. 1.14). Jestli~e = X, t. zn.
prdmety A', B', X' na prumetu
AX
B'X'
B " = B, X
obou úsecek:
ž'e
•
p leži v prdmetne,
i
tvrzen1 plat •
Obr •.1.14
je A' = A,
- 21 -
Neleží-li
p v prumetne
prímky p, p' promítací bežnými promíta~ími
a není-li promítací,
roviny
prímkami
podle známých vet o úmernosti "
f
potom r~zné
prímky p jsou protaty rovno~
bod~ A, B, X. Tvrzení pak platí úsecek vytatých
rovnobežkami
na
dvou r~zných prímkách. Dokázanou
vetu je ješte možno doplnit.
bežného promítání tá do vnitrního
rovno-
je zrejmé, že vnitrní bod úsecky AB sepromí-
bodu úsecky A'B'. Podobne
k AB ( BA) se promí tá do bodu poloprímky Orientujeme-li
Z vlastností
bod poloprímky
opacné k A'B' ( B 'A').
- -- .
tedy zcela libovolne prímky p, p' (na
je jejich orientace
vyznacena
~ ~ .-... ......•. vzdálenosti AX, BX, A X , B X
opacné
obr.
1.14
šipkami), pak pro orientované
A'X' platí
AX
BX
Pri pevné volbe rozných bodú A, B na orientované
prímce p ~ AX
m~žeme pro každý další bod X prímky p pokládat pomer míru, která se - podle práve ukázaného
- rovnobežným
nemení.
__
BX
. za
promítáním
--
AX
Body A, B se nazývají
-
pomer ----
B'X'
delicí
__
BX
(bodu X vzhledem k základním
A'X'
~
zálcladní body, pomer
bodOm). Dokázanou
rovnost
AX
=
_ BX
ize pak interpretovat
takto (obr.
Delicí pomer bodu vzhledem ke-dvema která není promítací, ho prumetu vzhIedem
základním
se rovná delicímu pomeru
k rovnobežným
prdmet~
1.14): bodOm prímky,
jeho rovnobežné-
základních
bod~.
Delicí pomer B.tredu S úsecky AB ( vzhledem k bod&l A, B)
je
- 28 -
-AS
-1.
=
BS
Rovnobežným
metu úsecky.
prdmetem
atredu úsecky je pak stred pr~-
Odtud hnEd plyne, že rovnobežným
prdmetem
pravidel-
ného n-úhelníka (pro n sudé, jehož rovina není promítací) stredove
soumerný n-úhelník(
Rovnobežné pravoúhlé vzhledem
promítání
(ortogonální),
Pravoúhlé Všechny
kde n je sudé).
je bUd kosoúhlé (klinogonální) podle toho, zda smer promítání
k prúmetne kosý nebo k~lmý. Rovnobežnému
v prvním (druhém)prípade
promítání (smer promítání promítání
nebo s je
prumetu útvaru
ríkáme kosoúhlý ( pravoúhlý)
v;ety rovnooežného
je
prumet.
je kolmý k prumetne1t) platí prirozene
i v pravo-
úhlLém promítání • Navíc uvedeme dve d~ležité vety, které pLatí pouze pro pravoúhlé Veta o pravoúhlém
promítání.
prumetu vzájemne kolmých prímek
Dve vzájemne kolmé prímky, z nichž žádná není promítací, promítají
v pravoúhlém
promítání
jako vzájemne kolmé prímky prá-
ve tehdy, když alespon jedna je rovnobežná Dcrkaz (.obr.
1.15)
stací provést
Oor. 1.15
se
s prdmetnou.
jen pro protínající
se prímky
16 Obr. 1•.
- 29 -
a, b. Podle predpokladu
prímky a, b nejsou promitací,
jejich prumety prímky a', b'. Prímku rovnobežnou
jsou tedy
s prumetnou
oznacíme a. a) Nejprve
dokážeme,
a'-Lh'., Promítací tedy s ní urcuje
prímka p prusecíku její promítací
a "'1r' plyne al.p. Vzhledem má
~Jtdvema
ruznobežkám
a' II a, je také a:.L speciálne
13,
z predpokladu
V = a('lb je ruzná od b, a
rovinu
13
k predpokladu
b, p rovinyl3
= bp. Z podmínky
a1. b je prímka a kol-
, a tedy a1-13. Protože
také platnost
b' s rovinou obráceného
s prcrmetnou~
Cfr ;
a'1. b' •
tvrzení, tj. že
al.b, a:L b' plyne, že alespon
b je rovnobežná
jedna z prímek a,
• Prímky a, b nemohou
být promíta-
cí, nebot jejich pr~mety a', b' jsou prímky; prusecnici promítacích metnou
rovin cc ,~
rovnobežné,
predpoklad, Z podmínky
p-Ltff,
tj. a' je kolmá ke všem prímkám roviny i.3 ,
také k její prusecnici
b} Dokážeme
aJ.. 'O, a II'qr plyne
že z predpokladu
oznacíme p. Jsou-li
jejich
obe prímky s pru-
pak tvrzení platí. Mcržeme se tedy omezit na
že jedna z nich, napr. b, není rovnobežná b'j, a' plyne b'
..l~,
s q;- .•
a tedy b'.l a. Vzhledem k tomu,
že bl.a, .jea kolmá k dvema ruznobežkám
roviny.6
, tj. a.l.,1 ,
a tedy a tlc;r. Druhá v.eta se týká velikosti Velikost
pravoúhlého
mítací prímce)
pravoúhlého
prumetu úsecky.
prumetu úsecky ( která neleží na pro-
se rovná nejvýše velikosti
promitané
nost nastane práve tehdy, kqyž je úsecka rovnobežná D~az.
Jestliže
velikost
daná úsecka je rovnobežná
jejího pravoúhlého
Jestliž~
úsecky. Rovs prumetnou •.
s prumetnou,
prumetu rovná velikosti
pak se
dané úsecky.
daná úsecka AB je kosá k prumetne (obr.
1.16),
pak
- 30 -
jejim krajnim prótinala
promitaci
V pravoúhlém
pla:ti O
bod~m A vedeme rovnobežku
cr) 2
tak, aby
primku bodu B v bode, který oznacime BO•
trojúhelniku
< a: <..
s p~etnou
ABBo je úhel
IX.
=
+ BABo ( pro
který
pri vrcho1u A shodný s~úhlem primky AB s prd-
'metnou. Protože A'B' = ABo = AB cos 0(, je vždy A'B'< AB.
-
Cviceni 1. Rozhodnete, (S,
7i)
za jakých podminek
prometem
primky vlastni (nevlastni)
vlastni ( nevlastni)
2. Najdete pOdminky,
--
(s,lt)
za kterých
3. Dokažte vetu o rovnobežném
4. Dokažte
promitáni
primka, popr.
bod.
prfimetem rovnobežek
nepromitacich
je ve stredovém
jsou ve stredovém promitáni
aj rdznobežky,
b) rovnobežky~
prdmetu dvou ruzných rovnobežných
primek jen užitím vet euklidovského
vetu o rovnobežném
prostoru E3-
prdmetu dvou ruznobežek.
'
5. Uveute postup ddkazu vety obrácené k vete o rovnobežnýeh prdmetech
rovnobežných
1.5. Kolineace i
úsecek téže velikosti.
mezi dvema rovinami
V promitáni ( S, /'fr)
Ve
rozšireném
je, jak vime, prfimetem nepromitaci
euklidovském
prostoru
E3'
roviny prlliuetna(obr. 1.8a).
Pritom každý bod roviny se promitá do jediného bodu prdmetny obrácene, každý bod prfimetny je prdmetem rovi~.
jediného bodu dané
a
- )1 Táž situace nastává,
a1, ~
volime-li
2 a bod S tf.. ex l' ex 2 (obr.
SQ..
dve zcela libovolne roviny
1.17).
Vzájemne
jednoznacná
sp
" II
aj
II
,
bJ
Obr. 1.17
príbuznost,
v níž bodu jedné roviny odpovídá
ho prillnetze stredu S do druhé roviny, dvema
rovinam~ OC1'
ex 2 (urcená
se nazývá stred kolineace;
(koresponduje)
se nazývá kolineace mezi
stredem S). Stred promítání
je-li CX1
F
je-
O(
S
2' prímka o = ex 1 (l ex 2
se nazývá osa kolineace. V kolineaci
mezi dvema rovinami
odpovídá bod ( prímka)
bodu (prímce)jedné
druhé roviny, pricemž
roviny
se zachováváinci~,
dence. Dilkaz(obr.
1.17) vyplývá
z drive uvedených
V kolineaci mezi dvema rovinami tj. body, které odpovidají každý bod osy kolineace eX 1
=
c(
existují
vet prostoru
tzv. samodružné
samy sobe • Jestliže
je samodružný (obr.
E)* body,
eX 1 ~ ex 2' pak
i.17a). V prípade
2 jsou všechny body roviny samodružné ( obr. 1.17b) a
kolineace
je tzv. identita.
- 32 -
V neidentické
kolineaci
mezi dvema rovinami
ve jedna samodružná prímka ( osa kolineace). dající nesamodružné Dukaz (obr.
prímky
se protínají
Vzájemne
si odpoví-
na ose kolineace.
1.17a) první cásti tvrzení je triviá1J:ll.Druhá cást
tvrzení vyplývá z toho, že neaamodružné ky al, a2 leží v promítací
d2•
existuje prá-
Pr~secnice
sobe odpovídající
prím-
rovine, která je r~zná od rovin 0(1'
al,a2, o,techto
rovin mají tedy práve jeden bod
spolecný. Stred S a osa o neidentické
kolineace
mohou ovšem být vlastní nebo nevlastní. existují proto ctyri typy kolineaci a} Jsou-li roviny
«1
smeru
s~ .
O(
2 (nebo
Vyloucíme-li
1.18), d08:itávámeposunuti
roviny O( 2 do roviny
Obr. 1,",18
je stejnolehlost
stejnolehlosti
S.
()( 1) ve
Obr. 1.19
bJ Je-li o nevlas-tni a S vlastni (obr. príbuznost
identitu,
mezi dvema rovinami.
o i S nevlastní (obr.
do roviny
mezi dvema rovinami
mezi rovinami
1.19), pak vzniklá
0(1' 0(2 se atredem
- 33 -
c) Je-li osa o vlastní a atred S nevlastní (obr. pak se príbuznost dvema rovinami. nazývá
nazývá osová afinita (strucne
Smer s, který urcuje nevlastní
smer afinity,
1.20),
~finita) mezi stred 800, se
prímka o = cX.l () ex 2 se nazýv:á osa
afinity.
~
~z.
~~~--,
Obr.
11...20
Z vlastnosti, je samodružný,
,,
Obr. 1.21
že každý bod osy afinity,
plyne:
Prímce rovnobežné prímka rovnobežná
s osou afinity
je afinne prirazena
odpovídá vlastnímu ( nevlast-
nímu) bodu jedné roviny v:las:tní\nevlastní) promítáme
Rovnobežným pridruženy
zase
s osou afinity.
V afinite mezi dvema rovinami
(nebot
tedy i nevlastní,
z S~).
bod druhé roviny
Odtud plynou další diisledky:
prímkám v afinite mezi dvema rovinami
opet rovnobežné
prímky,
tj. rovnobežnost
jsou
se afinitou
zachovává. Delicí pomer se v afinite mezi dvema rovinami (a tedy napr. stredu úsecky
úsecky),
odpovídá
zachovává
stred afinne pridružené
- 34 -
-
--~
Odpovídající
si úsecky na rovnobežkách
s osou afinity mají
stejnou velikost. Afinita mezi dvema rovinami
je urcena róznobežnými
rovina-
mi a smerem daným prímkou s, která není s žádnou z daných rovin rovnobežná~ rovinami
Z predchozího
se mužeme
d) Jestliže príbuznost
je zrejmé, že v afinite mezi dvema
omezit jen na prostor E3.
stred promítání
S i osa o jsou vlastní,
nazývá stredová (centrická,
perspektivní)
pak se
kolineace
mezi dvema rov,inami. Bod jedné roviny, který ve stredové kolineaci nevlastnímu
odpovídá
bodu druhé roviny, se nazývá úbežník první roviny;
obdobne prímka jedné roviny odpovídající
nevlastni
prímce
dru-
hé roviny, se nazývá úbežnice první roviny. Na obr.
1.21 (který
zavádeli nevlastní úbežnic.
je obdobou obr.
Stredová kolineace
jich ke konstrukci
Odpovídající
je dána rovinami
roviny
0(1' 0(2 a stredem
úbežníku.
bod k nevlastnímu
0(1;
úb.ežníku a
si prímky ale 0(1' 82C 0(2.
odpovídá nevlastnímu
( VI ::: SV 2 co
1al).
bežnice ~
roviny ex. 2. Pro ~
Nevlastní
sestrojený bodu V2~
prímce Ul oe> roviny ex. z podmínky
Ul~
Ci:
bod, prochází
tj •.úbežnice,
a proto
u211
'Óbežnice u2 a
VI
mot.J.i jsme ovšem sestrojit
82
1 odpovídá
ú:"
plyne pf'edea osy koli-
jim odpovídající
o. Z obdobných
bod VI je
prímky
Ul oe
vším U2€ u2• Protože dále spolecný bod prímky uI~ neace o je samodružný
ú-
bodu UIClQ prímky al je
bežník U2 = SUl"c l1a2 roviny 0<.2. Obdobne úbežník
jímž jsme názorne
body) je vyznacena konstrukce
S. Dále jsou dány odpovídající Užijeme
1.4,
d\ivodu VlE
prímka U2'
VI(vIII
o).
také tak~ že bychom
- 35 -
stredem kolineace potom
u2 = 0(1'",
S vedli rovinu
«2'
II
OCl popr. o( 2'
mezi dvema rovinami
s osou kolineace (rozné
však
odpovídá v druhé rovine opet prímka rovnobežná
~.6. KoIineace
<X2;
prímce jedné 0<.':
úbežnice)
s osou.
v rovine
Promítnutím prostoru
11
vI = <X 2'n <Xl·
Ve stredové kolineaci roviny rovnobežné
0(1'
kolineace
mezi dvema rovinami v rozšíreném
E3 do roviny dostáváme
Podrofuneji ( obr.
1.22).
kolineaci
v rozšírené
Každý bod prometny ~
Obr. ~.22
rovine.
, do níž pro-
- 36 -
mítáme
a.1 a
ze atredu O ,fo(l' ex 2' je prfunetem jednoho bodu roviny jednoho bodu rov'iny ex. 2. Pro lepší názornost
budeme ríkat,
že ro~ina
qr je pokryta dvema soumíatnými poli bodu. Jestliže
bod AI ~
I a bod A2€
C<..
pak v rovine ~
eX
2 si odpovídají
v kolineaci
jsou si navzájem prirazeny
A2 '. Takto je každému
o stredu S,
AI:
jejichp~ety
bodu jednoho pole roviny
Cjl'"
prirazen
druhého pole. Obdobne prímce odpovídá prímka, pricemž
bod
se zacho-
vává incidence. Speciálním dostaneme O =
s.
prípadem
rovnež promítáním,
V identické
'prímka samodružné; Promítnutím ~l'
~2
ko1ineaci
ná prímka koline~ce kolineace
v rovine jsou každý bod a každá
je samodružný
tento prípad
stranou.
mezi dvema rovinami v rovine.
bod a osa kolineace
v rovine. Každá prímka procházející AIl....a
kterou
bUd oc1 = 0(2' nebo
stred S' a osu o' kolineace
je samodružná
J
a to volíme-li
s~redu S a osy o kolineace
dostáváme
-411'"
v rovine je identita,
dále již ponecháme
:Stred .kolineace
A-
kolineace
samodružstredem
a každý bod ležící na ose kolineace
je
samodružný •.. D1!kaz (obr .•1.22) plyne z definice kolineace samodružnost
bodu S' '~plývá z toho, že S' je prumetem
V kolineaci odpovídajícich
v rovine prochází , spojnice nesamodružných
si bodu stredem kolineace
odpovidajících •.
Dukaz (obr.
jednak
jednak bodu OSn O( 2.
bodu OS() ex l'
drUŽných
v rovine. Tak napr.
a pruseciky
nesemo:
si primek leží na ose kolineace •
1.22) se opírá o to, že prímka A1'A2' je samodružná
a bod Ml' = M2' je samodružný.
- 37 -
V rovine existují dva razné typy kolineací: jejíž stred není incidentní je incidentní Dukaz (obr.
s osou,
b)
a) kolineace,
kolineace,
jejíž stred
s osou ( tzv. elace ).
1.23).
Pri promítání
kolineace
mezi dvema rovinami
f' S'
I
I
,,1 .' A'
o'
/
I
aj
bJ
Obr. 16023
#S
z bodu ~ do roviny ~
záleží na poloze stredu O
k rovine oS. Jestliže
O," oS ( O € OS), pak dostáváme
( druhý) typ kolineace
v rovine.
Nalezené
vlastnosti
k rešení úloh týkajících
kolineaci
vzhledem práve první
v rovine plne charakterizují;
se kolineace
v rovine se neužívá koli-
neace mezi dvema rovinami,
z níž jsme vyšli. Proto v da1ším vy-
necháme
prumety)
cárky ( vyznacující
v oznacení prvku kolineace
v rovine. Bez d~kazu ješte uvedeme: Kolineace
v rovine je urcena stredem, osou a dvojicí koli-
neárne sdružených
bodu(vzájemne
ruzných,žádný
dem a neleží na ose), jejichž spojnice prochází
nesplÝ~
se stre-
atredem koline-
ace. Rozlišíme-li
v rozšírené
euklidovské
rovine C}- vlastní a
- 38 -
nevlastní
prvky, dostaneme
ctyri druhy kolineací
to a) posunutí ( atred a osa kilineace
jsou nevlastní),
nolehlost ( stred vlastní a osa nevlastní), kolineace
vlastní,
stred nevlastni)
v rovine, a b) stej-
osovou afinitu ( osa
a d) sxredovou kolineaci
( stred i osa vlastní). Všimneme
si ponekud blíže posledních
Osová afinita (strucne
jen afinita)
dvou príbuzností. v rovine (obr.
Obr. 1 •. 24
Obr.
1.~5
Smer s, který urcuje SoQ, se nazývá smer afinity;
osa se nazý-
vá -osaa:Fini ty. Smer osy muže být také smerem afinity ( tento prípad nebudeme
ní) bod, a proto, se mužeme,
bodu odpovídá
opet vlastní ( rlevlast-
je-li treba, omezit jen na eukli-
rovinu.
V oBové afinite v rovine spojnice nesamodružných sdružených žené prímky
I
elace);
zvlášt probírat.
Vlastnímu ( nevlastnímu)
dovskou
le24)
bodó leží ve smeru afinity; nesamodružné jsou bua ruznobežné,
afinne
afinne sdru-
a to tak" že prusecík
leží na
~r
i j,
):
- 39 -
;\:
ose afinity,
nebo jsou rovnobežné
Osováafinita
~liIIi.
v rovjne zachovává
mer a velikost
úsecek na prímkách
Dcrkaz nebudeme
provádet ( vyplývá
.b..
•
s osou afinity. rovnobežnost,
rovnobežných
8
delicí po-
__
osou afinity •
z toho, že obdobná tvrzení pla-
tí pro afinitu mezi dvema rovinami). V prípade,
že smer a:finity je kolmý ( kOSý) k její ose,
mluvíme· o pravoúhlé ( kosoúhlé)
Príklad
afini te.
1.4
V osové afinite urcené osou o, smerem s a dvojicí afinne sdružených
bodu AI' A:2 sestrojte
Pl odpovídající
i t
I
1
~ešení (obr. podmínky,
k daným prvkum Bl, C2€ AIA2'
prvky.
1.24).
Pri konstrukci
bodu B2 užijeme predevším
že musí ležet na prímce SooBl ( tedy na prímce smeru
f
afinity procházející
bodem Bl). Dále použijeme
t
Ml = M2 = mIn o sestrojíme
pomocí aamodružnéhobodu 1
cí prímku ~ Protože
= ~~;
hledaný
užít prímo. Sest~ojíme
další pár odpovídajícíc~
odpovídají-
bod je B2 = SOoBl (1~.
bod C2 je bodem samodružné
chozí konstrukci
prímku ml = AIBI;
prímky AIA2, nelze predproto pejprve liboyolný
si bodu Bl, 82 neležících
Potom stací k prímce P2 = B2C2 najít odpovídající
na AIA2. prímku PI.
Prímka P2 afinne sdružená k dané prímce Pl prochází družným bodem Pl = P2 = Plno. bodu Bl~ Pl najdeme B2;
K dalšímu libovolne
podle predchozího
postupu
samo-
zvolenému
odpovídající
bod
P2 = P2B2Jsou-li
ni te (ruzné
AI' A2 ( AI
#
A2) odpovídající
si body v osové a:fi-
od elace) a je-li A prusecík prímky AIA2 s osou afi-·
----- 40 -
AA
nity; pak delicí pomer
_2 AAl
Dókaz (obr. 1.25) provedem
je konstantní.
jen pro dve dvojice odpovídajících
si bod'O na r'Oznýeh S'amodružných prímkách. vet o úmernosti
Tvrzení
-
úsecek na dvou rovnobežkách
AB, A1Bl' A2B2• Orientujeme-li
vytatých·prímkami
souhlasne ( jinak však libovolne) ~
AA2 __ AAl
samodružIi.éprímky smeru s, pak
Je-li k> O, pak odpovídající ne vytaté osou afinity,
je d'Osledkem
=
002 ......•. BBl
-
=
k ( k ~ O, 1).
si .. body leží v téže polorovi-
je-li k
pak leží v opacných poloro-
vinách. afinita s k = -1 je osová soumernost
Pravoúhlá
Stredová ( centrická, (stred kolineace Všimneme elaci ( SlE
Príklad
vlastní,
kolineace
v rovine
osa vlastní)
si jen prípadu St: o; vše však platí také pro
0/ ·
1.5
Ve stredové kolineaci dvojicí kolineárne
v rovine urcené atredem S, osou o a
sdružených
Bl' b) k bodu C2 = Bl' vídající
perspektivní)
v rovine.
c)
bodO Al' A2 sestrojte
a) ,k bodu
k bodu Dl € A1A2' d) k prímce Pl odpo-
prvek.
ftešení(obr.
1.26). Bod B2 odpovídající
v dané atredové koli-
neaci bodu Bl musí ležet jednak na prímce SB1, jednak na prímce M2A2
odpovídající
prímce A1Bl ( Ml = ~
Bod Cl kolineárne
sdružený
==
AlBl (') o); B2 = SB{lM2A2e
s C2 najdeme
chozím prípade ( ackoli v C2 = Bl' je
CI
!
B2)·
obdobne jako v pred-
"'""--~----
- --~---~~~~~~~~~~~==------------------ 41 -
Obr. 1.26
Ke konstrukci
bodu D2 nem~žeme
a proto nejprve k libovolnému konstrukci
bodu
užít danou dvojici Al, A2,
811AIA2
najd~me 82- Ke
bodu D2 užijeme pak dvojici Bl, B2-
Prímka P2 odpovídající
dané prímce Pl prochází
bodem Pl = P2 = Pln o. Na Pl zvolíme libovolný k nemu najdeme
Poznámka_
odpovídající
V príkladu
odpovídající
(AI' A2), (Bl'
další bod Bl a
B2; P2 = PZS2-
1_5 jsme k bodfun Bl, C2( C2 = Bl) našii
body B2, CI; pritom bylo CI
být vždy. Jestliže
samodružným
však pro dve dvojice
B2) z platnosti
#
B2- Nemusí tomu tak
odpovídajících
B2 = AI plyne Bl =~,
podmínka platí pro dve libovolné
dvojice
si bod~ pak táž
odpovídajících
si bod~
(a také prímek). Pri rešení úloh ve stredové kolineaci pokládáme,
že rovina je rozšírená,
v rovine vždy pred-
nebot vlastnímu
prvku m~že
- 42 -
odpovídat
nevlastní prvek. Bod roviny, který ve stredové koli-
neaci v rovine koresponduje
nevlastnímu ( úbežnému)
bodu jednoho
pole, se nazývá úbežnik druhého pole •.. Obdobne nevlastní ( úbežné) prímce
jednoho pole odpovídá
prímka, která se nazývá úbežnice
druhého pole. Obe úbežnice
atredové kolineace
v rovine jsou rovnobežné
S osou kolineace. Dukaz. Nevlastní
prímka jednoho pole a jí odpovídající
mají spolecný samodružný
bod v nevlastním
bode'osy
Z téhož duvodu prímce ( ruzné od úbežnice) rovnobežné
s osou stredové kolineace
pole opet rovnobežná
Príklad
kolineace.
jednoho pole
odpovídá prímka druhého,
s osou.
1.,6
Stredová kolineace povídajících
je dána stredem S, osou o a dvojicí od-
si bodu AI' A2•
Sestrojte
~ešení (Obr. 1.27). Stací sestrojit pole. Za tím úcelem proložíme tínající
úbežnice
osu kolineace
sestrojíme
po jednom úbežníku
ve vlastním
u211
jí odpoví-
bodu UlDO prímky Pl najdeme ko-
prímku prvního
pole, potom ~
o. Obdobne k nevlastnímu
úbežník VI = SV2~nPl.
druhého pole, pak pro úbežnici
každého
prímku Pl pro-
bode a sestrojíme
úbežn:tk U2 druhého pole; U2 = SUl_i'
-li Ul nevlastní mínky U2€ u2'
obou polí.
bodem AI libovolnou
dající prímku P2. K nevlastnímu respondující
úbežnice
P2. Oznacíme-
sestrojíme
z pod-
bodu V20.0 prímky P2
Je-li v2 nevlastní
VI p:latí VIEVlt
VI" o.
prímka
- 43 -
Cvicení .1. Oddvodnete
-
základní vlastnosti
posunutí
roviny do roviny a
stejnolehlosti
mezi rovinami užitím toho, že obe príbuznosti
jsou speciální
kolineace
2. Dokažte
vetu o zachování
rovinami užitím
mezi dvema rovinami. rovnobežnosti
stereometrických
v afinite mezi dyema
vet.
3. Uveote príklady užití afinity a stredové ko1ineace mezi dve-
......
-
ma rovinami ( užijte elementární
4. Odvoote základní vlastnosti ne na základe
prímkové
posunutí
plochy).
a stejnolehlosti
toho, ~e ooe príbuznosti
v rovi-
jsou speciální
koli-
neace v rovine. 5-
V osové afinite
vídajících
v rovine dané oeou o a dvojicí
si bodu AI' A2 sestrojte k libovolnému
níku KILIMI
odpovídající
trojúhelník.
-
trojúhel-
N2P2Q2
Najdete
prímky o, s a kosoúhelník
podmínky pro to, aby existovala
osová afi-
nita a osou o a smerem s, v níž danému kosoúhelníku
-
troj-
Odpovídající.
6. V rovine jsou dány ruznobežné AIB1CIDl.
odpo-
Volte pak N2 = KI,
P2 = LI' Q2 = Ml a s~strojte k trojúhelníku úhelník
ruzných
odpovídá
pravoúhelník.
7. Stredová kolineace rem odpovídajících
v rovine je dá~a stredem S, osou o a pási bodu AI' A2- Sestrojte
jící a) dané úseccePlQl' Proveote
b) danému trojúhelníku
diskusi. Návod: Uvažujte
útvaru a úbežnice
vl-
útvar
vzájemnou
odpovída-
PlQ1Rl-
polohu daných
- 44 -
~.7. Promítací
metody
Až dosud jsme se v podstate mu úkolu deskriptivní prostorových
venovali
geometrie,
jen jednomu významné-
a to jednoznacnému
útvaru do roviny. Jako prostredek
druhy promí~ání.
Ukázali
zobrazení
jsme užili rdzné
jsme, jak se užitím promítání
zobrazí
body, prímky roviny atd. do prúmetny. Druhým,
ješte významnejším
uvéat a rozpracovat
znacná
zobrazení,která
nazývají
metody (nebot
jako jsou jedno-
vzoru jednoznacne
obrazu jednoznacne
geometrii
je
z rovinné-
tedy nalézt vzájemne
by nejen priradila
obraz, ale také Obrácene
také promftací
geometrie
útvaru najít jeho vlastnosti,
hran apod. Musíme
se v deskriptivní
deskriptivní
metody, které by umožnily naopak
ho obrazu prostorového napr. velikost~
úkolem
vzor. Takové metody
zobrazovací
metody nebo
se pri nich užívá promítání).
V žádném prípade nemúže být jediné promítáni ( bez vhodného doplnení)
promítací
zobrazením,
metodou.
Není totiž vzájemne
nebot všechny body téže promítací
prúmet. Prúmetu
jednoznacným
prímky mají týž
bodu v prÚIDetne není tedy jednoznacne
prirazen
bod v prostoru. Ponecháme-li
stranou nejjednodušší
vystupuje
jen jedno pravoúhlé
prúmetny(
tzv. kótované
užívaných
promítacích
V rozšíreném
18 'F 1.28b
2S (obr. .)
ppomitání),
l.v),
metodu, v níž
a vzdálenost
bodu od
pak základem všech bežne
metod jsou dve promítání
euklidovském
ných promítání (ls,
promítání
promítací
z rúzných
stredu.
prostoru E3 zvolíme dvojici rúz-
(2s,4:zr)
,
pricemž vždy predpokládáme
1•.28a);. pr&1etny lcu, ~
mohou splynout ( obr.
- 45 -
a)
bJ
Obr .•. 1 .•28
Uži tím dvojího promítání na usporádaná
dvojice ( A',
A")
je každému bodu A~ 1S2S prirazejeho prometú do rovin ~,
~
V prípade vyznaceném
na obr. 1.28s se pri~~y lUA' a 2UA"
tínají na prusecnici
u prfuneten; body lU, 2U jsou proseciky
prímky s :::1S2S s prÚlnetnami.•V prípade lcrr spojnice
8
bodu A', A"
prochází pr~secikem
;: ~
•.
pro-
(obr •.1.28b)
U prímky s :::1s28
prtimetnou.. Duležité
popr.
A',
Au
kám, dostaneme tli
je, že také obrácene, '#
volime-li
U tak, aby oba body vyhovovaly zpetnou konatrukcí
Je tedy dvojí promítání
-IIU,
AU I- 2u
uvedeným
podmín-
ff
práve jeden bod A prostoru EJ&
promítací metodou.
Protože pri nem fak-
ticky užíváme dva 'obrazy ( prOmety) bodu, mluvíme obrazovém
zobrazení.
jici( A', A")
Nekdy je ovšem výhodnejší
bodu A', A"
casto o dvoj-
usporádanou
dvo-
brát jako jeden element a rikat mu
obraz bodu", Je-li~ príslušná
:::2'11 (obr.
promítací
metoda
1.••28b),
dosáhli' jsme již cíle, nebot
zobrazuje vzájemne
jednoznacne
prostoru EJ ( z nehož je vynata primka s) do usporádaných
body dvojic
- 46 -
bod~ rozšírené roviny q = lq- = 2q- ( z níž je vynat bod U); usporádané dvojice bod~ pritom leží na prímkách procházejících bodemU. Jsou-li
prOmetny ruzné (obr.
1.28a), docíIime požadované
zobrazení na jednu rovinu' dalším promítáním (S,
Cf{-);
zobrazení
je opet dvojobrazové. Pri všech prakticky užívaných dvojobrazových zoprazeních s lc;r ~
2c;;-
1.29) •. Pr&lety útvarl1 roviny indexem 1 ( 2 ).
volí se S € lS2S a 191" (
2r,;) z S do
crr = 2q;- (
C'fi
obr.
oznacujeme
Obr. 1.29
Promítání (ls, tání,
11}"),( 2s, 21r) se nazývají pomocná promí-
------------
body ls, 2S pomocné stredy promítání,
roviny 1~,
mocné pr~e tny. Promítání ( S, tj7"') se nazývá h~avní promítáni, hlavní stred a q; hlavní prfunetne. V prí pade qr = 1q;- = 4;;(obr\. 1. 28b) lze volit A1 ~, r A , A2 = A " •.
-
2q1 poS
S zcela libovolne ( ovšem S4.9T) ; vždy je
- 47 -
Procesu promítání Cfr
::::
pomocné prumetny
l~
do hlavní prfimetp~
201 se ríká s~ružování prOJ1letell* Usporádané
dvojici ( AI'
A2 ) pak ríkáme sdružené prú:lllety bodu A .•Bod U se nazývá hlavní
-bod
zobrazení,
prímka hlavni pr~metny
i
u
její obraz u12 nazývá
Užitím zavedených
pojmd m~žeme
spojené s promítáním ( S:;t) Z, formulovat
základní
pvojobrazové prostoru
El
(
SE. lS2S, Cfr
:=
Z je vzájemne 9i'í -i;L
základnice.
4w-),
zobrazení
které ozn~címe
ješte ro~šírenou
jednoznacné
ni~
je vynat hI-avní bod).
hlavni prillnetnuE2 ( miato 0/"),
pak jsme vlastne ukázali ( Ae E3~ s; AI' A2E E2"'"
Z :
zobrazení
s ) ~o množiny usporádaných
dvojic bod~ ordinál hlavní priID1etny( z
]:3"' s .-..(E2, A-(Al'
u) X (E2""
U)
U)
A2),
relaci: AI' A2' U jsou kolineárnt.
Pri praktickém metnu (tj.
se
vetu:
zobrazeni
kde AI' A2 vyhovují
prdmeten
pro dvojabrazové
(z nehož je vynata prímka
Oznacíme-li
hlavním bo-
v prípade r~zDÝch pomocných
dem se nazývá ordiná~a; jejich pr~secnice
procházející
užiti dvojobrazových
adružené prumetny)
zobrazujeme
zobrazení hlavní pruješte shodne, popr.
podobne do další roviny, která se nazývá nákresna ( tabuI-e, sešit apod.). Obrazy sdružených
prdmeta AI' A2 bodu A se nazývají
sdružené obrazy bodu A. Zpravidla S~
nákresnou
i
rozumí
Rozlišení
hlavní p~etna~
vlastních
k rade dvojobrazových
a nevlastních
zobrazení;
deme alespon preh~ed užívaných a)Dvojstredové q;-:::: ~
= 2'7f ) ••
se opet znací AI' A2• Casto
promítání
prvkfi promítání
prlmetny
promítacích
v.ede
se volí vlastní. Uvemetod.
na je~~~J2r~etnu
{ls, 2S vlaatní;
- 48 -
1'J,)
Stereoskopické promítáni ( speciální
vého promítání pro lS2S Jt
prípad dvojstredo-
a lS2S ~ 65 mm).
Cfr-.
c) Stredové promítání na jednu prt1metnu(~ první promítání stredové,
lq--
=
= ~;
druhé pravoúh~é).
- d) Kosoúhlé promítání na jednu prmnetnu(
=
Cfr
lc;-
= ~;
první promítání kosoúhlé, druhé pravoúhlé) •. e) Pravoúh:lé promitání na d~e k sobe kolmé prumetny ( Mongeovo promítání) •. Pomocnéprumetny lcr a
jsou vzájemne kol-
2Cji"'"
mét pomocné stredy promítání lS, 2S jsou nevla$tní k pomocnýmprcrmetnám.Hlavní prumetna je nevlastní
Cjr
= .~,
body kolmic
hlavní stred S
bod kolmic k jedné z rovin soumernosti pomocných
prumeten.
f) Kosoúhlé promítání s pomocnoupr&1etnou. Pomocné prumetny l'lf ,2q- jsou vzájemne kolimé. První promítání je kosoúh1é, .
druhé pravoúhl.é. Hlavní pra:tnetna
c.;JI
=
r,
2
smer hlavního promi-
tání je týž jako u prvního promítání. ( V praxi užívané kosoúhlé promítání je kombinací kosoúhlých promítání d) a f) ). g) Základ pravoúhlé axonometrie •. Pomoenéprumetny l~, 2~ jsou k sobe kosé; obe promítáni jsou pravoúhlá., Hl.avn,í prt1metna je
qr = 2tlr ,
hlavní promítání je pravoúhlé.
h) Základ kosoúhlé axonometrie. Pomocnéprumetny
lc" , 2c;r-
jaou k sobe kosé; první promítání je pravoúhlé, druhé kosoúhlé. Hlavní prumetna je
crr =
2q-, smer hlavního promítání je smerem
druhého pomocnéhopromítání.
-i)
Stredové promítání s pomocnouprumetnou. Pomocné prametny lcr a 2ct js.ou vzájemne kolmé. Prwí promítání je pravoúhlé, druhé a;tredové. Hlavní prumetna je
Cf"
= ~
,
hlavní stred
-------~ -
-
-
-- -
- 49 -
je S =
2S.(V
aplikacích
nací stredových
uží~né
promítání
doplnující
podmínky
Z uvedených
Mongeova
Ve speciálním
promítání)
je kombi-
prípade)
se ješte navíc kladou nekteré
pro volbu hlavního
promítacích
základu kótovaného
i}.
c) a
v tzv. lineární perspektive,
atredové promítání
stredu S).
metod s.i b~íže všimneme( krome jen pravoúhlé
axonometrie
a
promítání.
-
Cvicení # 1., Nacrtnete názorné obrazky'Vol.by promitání
(s,1t) metnu
nekterých
speciálních
(1S, 1) 'Jr, (2 S, 2)11',
dvojobrazových
zobrazení;
prcr-
1r = 21'"'volte svislou. Urcete hlavní bod, ordinály a
( v prípade ~= sdružených
~)
základnici.
Uvedte konstrukci
prumetu bodu prostoru. Obrácene
bodu prostoru
z daných
sdružených
prumetu.
prumetu a
popište konstrukci
