Určovanie magnetického poľa Zeme pomocou tyčového magnetu a určenie magnetického momentu tyčového magnetu

Určovanie magnetického poľa Zeme pomocou tyčového magnetu a určenie magnetického momentu tyčového magnetu. RNDr. Jaroslav KOVÁR Zdrojom magnetického poľa sú aj tzv. magnety, t.j. telesá, ktoré sa nachádzajú v istom špecifickom stave, ktorý je typický len pre neveľkú skupinu látok. Tieto zdroje magnetického poľa boli známe omnoho skôr ako bol objavený elektrický prúd. Náuka o magnetizme sa preto rozvíjala paralelne s náukou o elektrine a podobne ako bol zavedený pojem elektrického náboja, zavádza sa v magnetizme pojem magnetického množstva, ktoré je lokalizované v tzv. magnetickom poli a ktorý budeme označovať symbolom m. Skúsenosť viedla k zisteniu, že zdroje silového pôsobenia magnetov sú koncentrované v koncových bodoch magnetu, takže magnetické póly boli lokalizované do koncových bodov magnetu. Skúsenosť viedla tiež k záveru, že podobne ako u elektrického náboja existuje dvojaká kvalita magnetických pólov t.j. kladný (severný) pól a záporný (južný) pól. Nie je možné oddeliť od seba severný a južný pól, ako je to možné urobiť s elektirckými nábojmi. V každom magnete sa obidva magnetické póly vyskytujú spoločne, nech by sme akokoľvek delili magnet na menšie časti. Na základe pokusov s tyčovými magnetmi došiel Coulomb k záveru, že zákon silového pôsobenia medzi magnetickými pólmi je analogický ako pri vzájomnom pôsobení elektrických nábojov. Ak bodové magnetické póly m1 a m2 sa nachádzajú vo vzdialenosti r od seba, pôsobia na seba silou f f 

 resp. f 

1 m1.m 2 . 40 r2

1 m1.m 2  r. 40 r 3

Súhlasné magnetické póly sa odpudzujú, nesúhlasné sa priťahujú. Jednotka magnetického pólu má rozmer [m2] = [f][0][r2] = kg2m4s-4A-2  [m] = kgm2s-2A-1.  Podobne ako v elektrickom poli, aj tu definujeme intenzitu magnetického poľa H

  f  f kgms 2 A H  H    2 2 1 m m kgm s A m a potenciál magnetického poľa Vm Vm 

W pm m

; V m  

W  pm

 m

kgm 2 s  2   A. kgm 2 s  2 A 1

 Vo vzdialenosti r od bodového magnetického pólu pre Ha V m môžeme písať:

 H 

1 m  r 40 r 3

;

Vm 

1 m . 40 r

Sústava dvoch magnetických množstiev opačnej polarity nachádzajúcich sa vo vzdialenosti l (tyčový magnet) tvorí magnetický dipól, pre ktorý definujeme magnetický moment dipólu

  vzťahom Mm  ml , ktorý je orientovaný od záporného pólu ku kladnému. Magnetický dipól (tyčový magnet) vytvára vo svojom okolí magnetické pole. Pre náš účel vypočítajme intenzitu magnetického poľa Vm magnetu v bode ležiacom na osi magnetu vo vzdialenosti x  l/2 od stredu magnetu (tzv. 1. Gaussova poloha, obr.1).

obr.1 Analógicky s elektrickým dipólom pre Vm dostávame

Vm  Vm  Vm 

Mm m 1 m 1 ml .    2 l 4 0 l 4 0   l   4 0 x 2 , 2 x x 2 2 4 0 x 1   2 x    

keď sme druhý člen v hranatej zátvorke zanedbli voči l (za podmienky 2x  l). Intenzitu magnetického poľa magnetu určíme ako –grad Vm t.j. H1  

dV m Mm  . dx 2 0 x 3

Odvodenie rovníc vedúcich k určeniu horizontálnej zložky magnetického poľa Zeme a magnetického momentu tyčového magnetu. 1) Položme skúmaný magnet do zemského magnetického poľa tak, aby jeho magnetická os bola kolmá na vodorovnú zložku intezity magnetického poľa Zeme H. Vo vzdialenosti L od jeho stredu umiestnime buzolu (magnetku). Magnet potom budí v mieste magnetky magnetické  pole o intenzite H1 , Mm H1  , 2L3  0  ktorá sa vektorove skladá s horizontálnou zložkou H celkovej intenzity poľa zeme na výslednú   intenzitu H . Pôsobením magnetického poľa magnetky ( H1 ) sa magnetka odkloní od svojho pôvodného smeru o uhol ,

obr. 2

pre ktorý podľa obr. 2 platí vzťah tg  

H1 Mm  H 2HL 3 0

z ktorého dostávame Mm  20 L3 tg  H

(1).

2) V rovnici (1) sú dve neznáme: Mm a H. K ich určeniu potrebujeme ešte jednu rovnicu. Môžeme ju dostať zo silových účinkov, ktorými pôsobí homogénne magnetické pole (napr. zemské) na magnetický dipól (tyčový magnet). Na tento bude pôsobiť dvojica síl ktorej    moment D  MmxH . Tento moment dvojice síl sa snaží pootočiť magnet tak, aby jeho os bola rovnobežná so siločiarami poľa Zeme (obr. 3).

obr. 3

obr. 4

Keď tyčový magnet je zavesený tak, že sa môže otáčať okolo osi prechádzajúcej jeho ťažiskom, začne vplyvom dvojice síl vykonávať kmitavý pohyb v rovine kolmej k osi závesu. Matematický tento pohyb môžeme popísať pohybovou rovnicou netlmeného kmitavého (harmonického) pohybu (torzný moment vlákna je nulový) v ktorej keď uvážime, že pre malú výchylku (malý uhol ) platí sin  , dostávame: J

d 2  M m H  0 dt 2

kde J je moment zotrvačnosti magnetu vzhľadom k osi otáčania. Riešením danej diferenciálnej rovnice je funkcia    0 sin  t    , kde  

MmH je uhlová frekvencia kmitania magnetu. Jeho doba kmitu je J T

2 J  2  MmH

odkiaľ

M m H  4 2

J T2

(2).

Magnetický moment Mm a intenzitu H môžeme určiť na základe odvodených rovníc (1) a (2) takto. Zo zmeranej doby kmitu T zistíme súčin MmH (2) a zmeraním výchylky magnetky podiel Mm/H (1). Zo získaných dvoch rovníc potom môžeme vypočítať magnetický moment tyčového magnetu Mm a horizontálnu vložku intenzity miestneho magnetického poľa H.

Postup pri meraní a spracovaní výsledkov 1. Magnet odvážime a jeho hmotnosť označíme m, 2. posuvným meradlom zmeriame rozmery magnetu (dĺžku l a šírku c) a zo získaných údajov 3. vypočítame jeho moment moment zotrvačnosti J (teleso tvaru hranola) podľa vzťahu 1 J  m l 2  c2 , 12 kde m je hmotnosť magnetu. 4. Pomocou tenkej nite magnet zavesíme na stojan tak, aby bol zavesený v ťažisku. 5. Vplyvom zemského magnetického poľa magnet začne vykonávať kmitavý pohyb vo vodorovnej rovine. Dobu jeho kmitu určíme meraním ako aritmetický priemer aspoň 30tich meraní (30-tich dôb kmitu). 6. Meraciu lavicu s magnetkou nastavíme tak, aby smer magnetického poľa bol kolmý na os lavice (magnetka nastavená na nulu) a do vodiaceho žľabu lavice položíme tyčový magnet. 7. Odmeriame vzdialenosť L (obr.1) a uhol , o ktorý sa magnetka vplyvom magnetu vychýli (obr. 2). Meranie urobíme 10-krát v rôznych vzdialenostiach L. 8. Namerané a vypočítané hodnoty zapíšeme do tabuľky. Podiel Mm/H vypočítame podľa vzťahu (1). 9. Vypočítame aritmetický priemer podielov Mm/H a určíme magnetický moment Mm a intenzitu H.



č.m.

L [m]

 [°]

L3 [m3]



tg

Mm/H

Úlohy 1. Určte magnetický moment tyčového magnetu Mm. 2. Určiť horizontálnu zložku intenzity zemského magnetického poľa H. 3. Odhadnite chybu merania, vznikajúcu nepresnosťou použitých meracích prístrojov.

Poznámka Pri meraní treba odstrániť z blízkosti magnetu a buzoly všetky predmety z feromagnetických materiálov. Pre vzdialenosť L sú doporučené hodnoty 20 až 30 cm.

Kontrolné otázky 1. Objasnite pojem magnetického množstva. Stanovte jeho jednotku. 2. Čo je magnetický dipól, jeho moment a objasnite fyzikálny význam magnetického momentu. 3. Napíšte pohybovú rovnicu magnetického dipólu v homogénnom magnetickom poli. 4. Napíšte vzťah pre periódu kmitov magnetického dipólu v magnetickom poli. 5. Popíšte zariadenie na meranie magnetického momentu tyčového magnetu a horizontálnej vložky magnetického poľa Zeme.