6 PŘEDNÁŠKA 6: Stav kvantového systému, úplná množina pozorovatelných. Operátor momentu hybnosti a kvadrátu momentu hybnosti. •
•
• •
•
•
•
•
Víme už tedy téměř vše o operátorech. Jsou to vlastně měřící přístroje v kvantové mechanice. Už víme, jaké všechny hodnoty můžeme s takovým přístrojem naměřit, dokonce jsme se minule věnovali tomu, že vlastní funkce operátoru energie jsou pro časově nezávislý potenciál tzv. stacionární stavy. Ale, stále jsme v poněkud flustrující situaci, kdy máme měřící přístroj, víme jaké hodnoty dokáže změřit, ale nevíme jak s ním měřit. To nyní napravíme. A dále: dosud jsme se dívali odděleně na pozorovatelné veličiny. Rychlost, hybnost, energie. V přednášce 4: okamžitý stav kvantové částice je určen komplexní funkcí tří proměnných. Měříme tedy nějaké pozorovatelné veličiny (např. energii a další). Viděli jsme v předchozích přednáškách že jedné hodnotě vlastního čísla (v případě harmonického oscilátoru energie) může odpovídat odpovídat více různých vlnových funkcí (3D HO). Jak tedy určit stav kvantové částice úplně, bez jakékoli nejistoty? Je stav klasické částice na přímce určen energií jednoznačně (SKM, cv. 37)? V analogii s klasickou mechanikou by přirozeným postupem při kinematickém popisu kvantové částice, např. elektronu, bylo zjistit, jakou komplexní funkcí popsat stav s danou polohou a hybností. Ač se to na první pohled bude zdát podivné, nepochopitelné ba protiřečící zdravému rozumu (ve skutečnosti však pouze naší makroskopické zkušenosti), takový kvantově mechanický stav neexistuje. Důvod je zhruba řečeno ten, že měření hybnosti změní podstatně polohu kvantové částice a měření polohy její hybnost (což odpovídá např. experimentálně potvrzené difrakci elektronů). Problém popisu kvantových systémů spočívá v odpovědi na otázku: Jakými měřeními lze popsat stav kvantové částice? Stavem fyzikálního systému pak obecně budeme nazývat soubor hodnot všech měření, která jsme na daném systému v daném okamžiku schopni provést a otázka, kterou chceme zodpovědět v této podkapitole zní: Jakou vlnovou funkci přiřadit fyzikálnímu systému (např. elektronu v atomu vodíku), který je v daném okamžiku v nějakém stavu? Když jde o určení stavu nějakého kvantové částice, musíme nejprve změřit její vlastnosti a z nich pak určit stav. Minulá přednáška: (stacionární) stav jednorozměrného HO je popsán vlastní funkcí operátoru energie příslušnou vlastnímu číslu odpovídajícímu energii HO. Znovu si připomeňme, že ze znalosti stavu kvantové částice (to jest její vlnové funkce) v čase t 0 už známe její budoucí vývoj (stav v libovolném čase t) díky tomu, že Schrödingerova rovnice je prvního řádu v čase. Když jde o provádění měření, kvantová fyzika má postuláty, které ve stručnosti říkají následující: 47
1. Výsledek měření pozorovatelné A může být pouze vlastní hodnota příslušného Hermitovského operátoru A . 2. Stav kvantové částice, pro kterou naměříme hodnotu α pozorovatelné A je popsán funkcí g , která je vlastní funkcí operátoru A , přiřazeného pozorovatelné A .
g = g A
.
(70)
Pokud byl systém před změřením hodnoty ve stavu ≠g , který NENÍ vlastním vektorem operátoru A , pak se měřením dostane do stavu g . 3. Pokud je systém před měřením ve stavu g , který je vlastním vektorem operátoru A , pak je výsledek měření se 100% jistotou. Jinak viz, (71) popř. (72). Pro úplnost zde uvádím plné znění kvantově mechanických postulátů (QMCA) •
•
Postulát [P3] Měření a vlastní stavy operátorů: Měření pozorovatelné veličiny A je formálně vyjádřeno jako na stavový vektor . Jediný možný výsledek takového měření je jedna z vlastních působení operátoru A . Pokud je výsledek měření , stav systému okamžitě po měření je dán projekcí funkce hodnot operátoru A na vlastní vektor g příslušný vlastnímu číslu (QMCA, s. 158 přesná definice projekce). Postuát [P4] Pravděpodobnostní charakter výsledku měření ◦ Diskrétní spektrum: Pokud měříme pozorovatelnou A systému, který je ve stavu , pravděpodobnost je dána změření nedegenerované vlastní hodnoty příslušného operátoru A 2
∣ g , ∣
P =
(71)
, A příslušející vlastní hodnotě . Pokud je vlastní hodnota
kde g je vlastní vektor operátoru m-násobně degenerovaná, vztah pro P se změní na m
2
∑ ∣ g j ,∣
(72)
P = j=1 , Akt měření změní stav systému z na g . Pokud je již před měřením stav systému vlastní funkcí =g operátoru A , měření A dá s jistotou příslušnou vlastní hodnotu , neboť A = . ◦
Spojité spektrum: Vztahy (71), (72), které platí pouze pro diskrétní spektrum, mohou být rozšířeny pro vyprodukuje hodnotu mezi a a ada pro systém, nalezení hustoty pravděpodobnosti že měření A který je původně ve stavu následovně:
d P a ∣ a∣2 = = da ,
∣a ∣2 ∞
∫ ∣ a ' ∣2 da '
;
(73)
−∞
například
P= •
pravděpodobnost
1 ,
nalezení
částice
mezi
x a x x je
dána
x x
∫
∣ x ∣2 dx .
x
Je důležité, že vlastní funkce operátorů tvoří bázi! Jsme si jisti, že na stavu nějakou hodnotu změříme, tedy pro součet pravděpodobností přes všechna vlastní čísla platí (všechna vlastní čísla):
∑ P =1
. Pokud by vlastní funkce netvořili bázi, mohlo by se stát, že
A
48
• •
•
•
•
•
•
, pak by ale součet pravděpodobností byl roven nule, nenaměřili g ,=0 ∀ ∈ A bychom žádnou přípustnou hodnotu. V teorémech P3, P4 je kvantifikována invazivnost měření. Měření mění stavovou funkci, pokud ta (náhodou) zrovna není vlastní funkcí operátoru, kterým měříme. V případě jednorozměrného HO jsou vlnové funkce určeny jednoznačně vlastním číslem (až na multiplikativní konstantu, která nemá při jejich interpretaci žádný význam). To znamená, že stavy kvantového lineárního HO jsou jednoznačně určeny svou energií. Pro určení stavu kvantové částice ve více rozměrech však potřebujeme měřit více fyzikálních veličin. Při jejich výběru je třeba být daleko opatrnější než u částice klasické. Je představitelné, že i minimální interakce mikroobjektu s přístroji nutná pro měření může změnit jeho stav, který byl vyhodnocen z měření předchozích. Výsledky měření tedy mohou záležet na pořadí, v jakém měření jednotlivých veličin provedeme, což je z hlediska popisu stavu nepřípustné. Pro experimentální popis stavu kvantového systému je proto třeba napřed zjistit, měření kterých veličin lze provést, aniž by výsledek jednoho znehodnotil platnost měření ostatních. Fyzikální veličiny – pozorovatelné, pro které je toto splněno nazýváme kompatibilní. Jejich výsledky provedené v jednom časovém okamžiku (či aspoň krátkém sledu časů) lze pak použít k definici stavu. Při důkladnějším rozboru pojmu kompatibility pomocí podmíněných pravděpodobností (viz SKM) lze ukázat, že požadavek kompatibility pozorovatelných je ekvivalentní tomu, že operátory A j přiřazené kompatibilním fyzikálním veličinám A 1 , . . . , AK vzájemně komutují. Pro operátory s čistě bodovými spektry plyne z této podmínky existence ortonormální baze, jejíž prvky jsou (společné) vlastní vektory operátorů všech operátorů A 1 , . . . , AK . (viz kapitola “Vlatní hodnoty a vlastní funkce operátorů”) Tento požadavek zpětně klade podmínky na kompatibilitu některých pozorovatelných. Například, pokud hybnostem a polohám částice přiřadíme operátory (44) a (45), pak docházíme k závěru (který je třeba experimentálně ověřit), že měření polohy a hybnosti v jednom směru jsou nekompatibilní, neboť jim příslušné operátory nekomutují
[ Q j , P j ]=i ℏ jk což je zkrácený zápis pro: [Q 1 , P 1]=i ℏ ,[ Q 1 , P 2 ]=0 ,[ Q 1 , P 3 ]=0 [Q 2 , P 1 ]=0 , [ Q 2 , P 2 ]=i ℏ ,[Q 2 , P 3 ]=0 [Q 3 , P 1]=0 ,[ Q 3 , P 2 ]=0 ,[ Q 3 , P 3 ]=i ℏ • • •
(74)
(75)
Tyto vztahy odvodíme na cvičení. To je mimo jiné důvod, proč v kvantové mechanice neexistuje obdoba klasického stavu částice – stav s danou polohou a hybností. Nemůžeme je současně změřit. Pro výsledek měření pozorovatelné A1 , tedy jednu vlastní hodnotu operátoru, může existovat více lineárně nezávislých vlastních funkcí. Příkladem jsou například funkce (67), které jsou vlastními funkcemi hamiltoniánu (54) pro tutéž hodnotu energie n3/2 ℏ , n=n1n2n3 . V takových případech se dá očekávat, že existují jiné měřitelné veličiny A2 ,... , AK , výsledky jejichž měření mohou rozlišit, kterou funkci (opět až na konstantu) máme přiřadit danému stavu. Pozorovatelné A2 ,... , AK musí být kompatibilní s pozorovatelnou A1 , jejíž 49
•
měření už jsme použili k částečnému určení (k zúžení prostoru kandidátů na) vlnové funkce daného stavu, a zároveň kompatibilní mezi sebou navzájem. Přiřazení vlnové funkce g fyzikálnímu stavu, tj. souboru výsledků měření kompatibilních fyzikálních veličin se řídí požadavkem: Vlnová funkce, která popisuje stav určený hodnotami 1 , . . . , K měření kompatibilních fyzikálních veličin A1 , . . . , AK , musí vyhovovat rovnicím
A i g=i g • •
•
pro
i=1, ... , K.
.
(76)
Znamená to tedy, že musí být společnou vlastní funkcí komutujících operátorů A i . Množině kompatibilních fyzikálních veličin, hodnoty jejichž výsledků jednoznačně určí kvantový stav, říkáme úplná množina pozorovatelných a jim odpovídající množina operátorů se nazývá úplný soubor komutujících operátorů. [T4] Operátory A1 , . . . , AK s čistě bodovými spektry (t.j. takovými, jejichž vlastní vektory tvoří ortonormální bazi) tvoří úplný soubor komutujících operátorů tehdy a jen tehdy, pokud pro každou k–tici jejich vlastních čísel 1 , . . . , K je rozměr podprostoru společných vlastních stavů roven jedné.
•
• •
•
•
Poznamenejme, že úplná množina pozorovatelných pro daný fyzikální systém (např. jednu částici) a jí odpovídající úplný soubor komutujících operátorů nejsou určeny jednoznačně a jejich výběr se řídí typem fyzikálního jevu, který chceme po psat. Pro experimentální účely jsou velmi důležité úplné množiny pozorovatelných obsahujících energii, neboť pro většinu mikrosystémů je to relativně snadno měřitelná veličina. Důležitým příkladem vhodného výběru úplné množiny pozorovatelných pro popis stavu kvantové částice v poli centrálních sil je energie, kvadrát momentu hybnosti a jedna jeho složka. Jinými slovy, tyto tři pozorovatelné tvoří úplnou množinu pozorovatelných. Moment hybnosti L=r × p kde r je poloha částice vzhledem k počátku souřadnic a p je její hybnost. Operace mezi nimi je vektorový součin. Moment hybnosti hraje důležitou úlohu při studiu objektů ve svérickém potenciálu V =V r . Stejně jako v klasické mechanice platí zákon zachování momentu hybnosti (QMCA, s. 269). MH je klíčový pro popis pohybu elektronů v atomech. Pro složku momentu hybnosti platí (SKM 3.2.3):
L j =∑ jkl Q k P l =∑ −i ℏ jkl x k ∂ ∂ xl kl kl • •
Zde jkl je tzv. Levi-Civitův symbol ( jkl=1 pro j , k ,l ∈{1,2,3 , 2,3,1 , 3,1,2} , jkl=−1 pro j , k , l∈{3,2,1 , 2,1,3 ,1,3,2} , jkl=0 pro ostatní kombinace). Vlastní hodnoty operátoru složek momentu hybnosti mohou nabývat pouze hodnot (SKM 3.2.3)
=m ℏ •
, kde
m∈Z
Kvadrát momentu hybnosti 2
2 2 2 L := L x L y L z
• •
(77)
.
(78)
.
(79)
Nepoznáte podle jaké osy se objekt točí. Vlastní hodnoty: Z+. Platí (jednoduše odvoditelné) komutační relace:
[ L j , P k ]=i ℏ jkm P m 50
(80)
[ L j , Q k ]=i ℏ jkl Q l 2 [ L , H ]=0
(81)
[ L3 , H ]=0
(83)
2 [ L , L 3 ]=0
(84)
(82)
Význam komutátoru.
51
